05- Kısmi diferansiyel denklemler

8/6/2019 05- Ksmi diferansiyel denklemler

1/35

BLM 5

KISM DFERANSYEL DENKLEMLERN SAYISAL ZM

5.1- Ksmi diferansiyel denklemlerin trleri

5.2- Eliptik denklemler

5.2.1 Levha boyunca scaklk dalmnn hesaplanmas

5.2.2 teratif yntemler

5.2.3 Liebmann ynteminde yaknsamann hzlandrlmas

5.2.4 Poisson denklemi

5.2.5 Trev cinsinden snr koulu

5.2.6. Deien ynl kapal formlasyon (ADI) yntemi

5.3- Parabolik denklemler

5.3.1 Is denkleminin zm

5.3.2 Crank-Nicolson yntemi

5.3.3 Teta yntemi

5.4- Hiperbolik denklemler

5.4.1 Titreen yay problemi:

5.4.2 DAlembert zm

5.4.3 Balang annda hzlarn sfr olmamas hali

5.4.4 ki boyutlu dalga denklemi

Ek- Sonlu fark formlasyonlar


2/35

Blm 5- Ksmi diferansiyel denklemlerin saysal zm

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M.A. Ykselen, HM504 Uygulamal Saysal Yntemler Ders Notlar

1

BLM 5

KISM DFERANSYEL DENKLEMLERN SAYISAL ZM

5.1 Ksmi diferansiyel denklemlerin trleri

Ksmi diferansiyel denklemler tip olarak snflandrlr.

xve ydeikenlerine bal olarak

022 =+++ FCyBxyAx

eklinde tanmlanan ikinci dereceden bir polinomun erisi kuadrik bir eridir. Bu eri:

042

ACB ise bir hiperboldr.

xve ybamsz deikenlerinin fonksiyonu olan bir u deikeni iin ikinci dereceden bir ksmidiferansiyel denklem genel olarak

02

22

2

2

=+

+

+

),,( uyxfy

uC

yx

uB

x

uA

eklinde tanmlandnda benzeri terminoloji kullanlarak denklemin

042 ACB ise hiperbolik

olduu ifade edilir.

Ksmi diferansiyel denklemler eitli tipte snr artlaryla birlikte verilir. Snr artu cinsinden

verilmise Dirichlet tipi snrart olarak, u nun gradyant cinsinden verilmise Neumann tipisnrart olarak adlandrlr. u ve gradyant birlikte verildii taktirde kark snrart szkonusu olur.

Eliptik denklemler potansiyel ad verilen bir bykln blge iindeki deiimini temsilederler. Potansiyel, bir bykln kesafetini (skln) ler. rnein scaklk vekonsantrasyon birer potansiyel byklktr. Baml u deikeni potansiyelin herhangi birnoktada, snrdaki deerlere bal olarak ald denge (equilibrium) veya daimi-durum (steadystate) deerlerini belirtir.

Dolaysyla eliptik denklemler ayn zamanda potansiyel denklemler olarak da adlandrlr. Eliptikdenklemin 2-boyutlu hal iin genel tanm,

02

2

2

2

=+

+

)/,/,,,( yuxuuyxfy

u

x

u


3/35



2

eklindedir.

Potansiyelin farkl bir balang durumundan itibaren eritii daimi durum deerleri birparabolik denklemle temsil edilir. Dolaysyla bu denklemler tzaman deikenini de bamszdeikenlerden biri olarak ierir. Gerekte balang durumundan itibaren zaman ilerledikenihai denge durumuna doru adm adm ilerlenir. nemli bir parabolik denklem

02

2

=

t

u

k

c

x

u

olup, bu denklem bir ubuk boyunca scakln ulardaki artlara bal olarak zamanla nasldeitiini temsil etmektedir. Buradaki c, ve kbyklkleri parametreler olup, srasyla slkapasite, younluk ve sl iletkenlik katsaysn belirtmektedir.

Bu rnekteA=1, B=0 ve C=0 ve dolaysyla B2 - 4AC= 0 olup, parabol ile ayndr. Bu denklems denklemi olarak adlandrlr. Ayn denklem, c/k yerine, D yaynm (difzyon) katsaysolmak zere 1/D konulmas halinde yaynm (difzyon) denklemi olarak adlandrlr. Bubakmdan c/k katsays da bazen sl yaynabilirlik (difzivite) olarak adlandrlr.

nc tip (hiperbolik) denklemler de zamana baldr. Dalgalarn nasl yayldn ifadeettiklerinden, dalga denklemi olarak adlandrlrlar. Bir boyutlu halde yaylarn titreiminigsterir. Titreen bir yay iin ksmi-diferansiyel denklem

02

2

2

2

=

t

u

w

Tg

x

u

eklinde olup, burada T, g ve wbyklkleri srasyla yaydaki gerilmeyi, yer ekimi ivmesini vebirim uzunluk bana arl belirtmektedir. Btn bu parametreler pozitif byklkler olup,,

A=1, B=0, C 0 dr.

Bu blmde ksmi diferansiyel denklemlerin saysal zmleri iin kullanlan teknikler izahedilecektir. Bu yntemler denklemler yerine sonlu-fark edeerlerini kullanrlar.

5.2 Eliptik denklemler:

Eliptik ksmi diferansiyel denklemlerin iki standart biimi vardr. ki-boyutlu halde

Laplace denklemi 0=+

+

auy

uc

x

uc

xyx

Poisson denklemi ( )yxfauyu

cx

u

cx yx ,=+

+

Burada cx, cy ve a sistemin parametreleri olupx, yve u deikenlerine bal olabilirler. u iseierisinde deeri bulunmak istenen byklk, yani potansiyeldir. Laplace denklemi ou zamanpotansiyel denklemi olarak adlandrlr.

Burada daha ziyade cx=cy=c sabit, a=0 olduu zel bir halle ilgilenilecektir ki bu durumdayukardaki denklemler

02

2

2

2

=

+

y

u

x

uc ve ( )yxf

y

u

x

uc ,=

+

2

2

2

2

ekline gelir. Burada parantez ierisinde geen ikinci-dereceden trevlerin toplam ou zaman


4/35



3

2

2

2

22

y

u

x

uu

+

=

eklinde bir sembolle gsterilir ki bu sembol Laplasiyen olarak adlandrlr.

Laplace denkleminin bir ok uygulamas vardr. Bunlardan birisi de iki boyutlu bir cisimzerindeki daimi-durum scaklk dalmdr ki, buradaki incelemelerde rnek model olarak,ou insann kolaylkla gznde canlandrabilecei bu problem ele alnacaktr.

ekil 5.1 de niform kalnlndadikdrtgensel bir levha yer almaktadr.Levhann O ile belirtilen sol alt kesi balangnoktas olmak zere dzenlenen bir (x,y)kartezyen koordinat sisteminde sol alt kesiP(x,y) noktasnda yer alan ve (dx,dy,) kenaruzunluklarna sahip bir hacim elemann elealalm. Hacim elemannaxdorultusunda birim

zamanda giren s

( )x

udyk

x

ukA

=

=

x,y

dx

dy

O

ekil 5.1

eklinde ifade edilebilir. Elemandan x dorultusunda birim zamanda kan s ise x+dxkesitindeki gradyant hesaplanarak

( ) ( )2

2

u u uk dy u dx k dy dx

x x x x

= + = +

eklinde gsterilebilir.

Benzeri ekilde elemana ydorultusunda birim zamanda giren ve kan slarda srasyla

( )y

udxk

=

( ) ( )

+

=

+

= dyy

u

y

udxkdy

y

u

yy

udxk

2

2

olacaktr.

Hacim elemannn ayrca alt ve st yzeylerinden s kaybolduu varsaylrsa, bu yolla birimzamanda kan s

dydxQ=

eklinde belirtilebilir. Burada Q bykl birim zamanda birim yzey bana (alt ve styzeyden) s kaybn belirten bir katsaydr.

Daimi-durumda elemana giren ve kan slar toplam eit olacandan:

( ) ( ) ( ) ( ) dydxQdyyu

y

u

dxkdxx

u

x

u

dyky

u

dxkx

u

dyk +

+

+

=

22

2

2

eklinde bir denge denklemi yazlabilir. Bu denklem sadeletirmeler ve dzenlemeler sonucu


5/35



4

=

+

k

Q

y

u

x

u2

2

2

2

(5.1)

ekline gelir. 3-boyutlu halde bu denklem yerine benzeri bir incelemeyle

kQ

zu

yu

xu =

+

+

2

2

2

2

2

2

denklemi elde edilebilir. Buradaki Q bykl birim hacim bana birim zamanda kaybolansy belirtir. (Bu durumdaki s kayb genellikle cisim iine gml bir soutucu vastasylaolmaktadr.)

(5.1) denklemini Laplasiyen operatrn kullanarak ksaca

=

k

Qu2

eklinde de ifade etmek mmkndr.

ayet levhann kalnl x ve y ile deiiyorsa (5.1) denklemi yerine

k

Q

y

u

yx

u

xu =

+

+ 2 (5.2)

eklinde bir denklem yazlabilir.

Hem levhann kalnl ve hem de sl iletkenlik katsays deiken ise, bu defa

Qy

u

y

k

yk

x

u

x

k

xkuk =

+

+

+

+ 2 (5.3)

eklinde bir denklem elde edilebilir.

5.2.1 Levha boyunca scaklk dalmnn hesaplanmas:

(5.1-3) denklemlerinden u bykln elde etmenin standart yolu hesap blgesini bir asistemiyle sonlu sayda elemana blerek herbir eleman zerinde trevlerin sonlu-farklarla ifadeedilmesidir.

Buradaki incelemede merkezi farklarkullanlacak ve elemanlarn btn hesapblgesinde eit byklkte kareelemanlar olduu, yani a noktalarnneit aralkla daldklar kabuledilecektir. Levha dikdrtgensel olduuve en/boy oran uygun seildii taktirdebu durum kolaylkla salanabilir.Eleman kenar uzunluklar ksacax=y=h olarak gsterilecektir.ekilde, problemin ayrklatrlmas iinkullanlan a sistemi, ve a dm

noktalarnn indisleme sistemigsterilmektedir.

x

y

0 1 i-1 i i+1 Ni

Nj

j+1

j

j-1

1

0

y=h

x=h

Pi,j

ekil 5.2


6/35



5

Trevlerin sonlu fark almlarnn Taylor serileri yardmyla elde edilmesi mmkndr. Bukonuyla ilgili bilgiler Ek 5 de yer almaktadr.

u deikenininxve yye gre ikinci trevlerinin herhangi bir Pijnoktas civarndaki merkezi farkalmlar srasyla

( )211

2

2 2

x

uuu

x

u jijiji

ji

+=

+ ,,,

,

ve( )2

11

2

2 2

y

uuu

y

u jijiji

ji

+=

+ ,,,

,

olup, bu durumda u nun Laplasiyeni iin

( ) , , , , ,,

2 2i 1 j i j i 1 j i j 1 i j 12

2 2 2iji j

u 4u u u uu uu

x y h

+ + + + + = + = (5.4)

elde edilir.

rnek:

20 cm genilikte ve 10 cm ykseklikteki bir dz levhann st ve alt yzeylerinin izole edildiinivarsayarak, st, alt ve sol kenarlarnda scaklk 0C, sa kenarndaki scaklk 100C ikenlevhann 2.5 cm aralkla belirlenmi noktalarndaki scaklklar hesaplaynz.

Bu problem (5.1) denkleminin Q=0 zelhalindeki

02

2

2

2

=

+

y

u

x

u

denklemiyle incelenecektir. Bu denkleminsaysal zm iin ekilde gsterildii gibibir a yaps kullanlabilir. Bu a yapsndanoktalar 2.5 cm aralkla yerletirildiindentoplam 37=21 adet i nokta ve 24 adet desnr noktas mevcuttur.

0 1 i-1 i i+1 Ni

Nj

j+1

j

j-1

0

y=h

x=h

Pi , j

Denklem, bu an bir Pijnoktas civarnda

, , , , ,i 1 j i j i 1 j i j 1 i j 1

2

u 4u u u u0

h

+ + + + + = , , , , ,i 1 j i j i 1 j i j 1 i j 1u 4u u u u 0 + + + + + = (5.5)

eklinde ayrklatrlabilir. Grld gibi ayrklatrlm denklem Pij noktasndaki bilinmeyenscaklk deerini bu noktann sol, sa, st ve altnda yer alan noktalardaki yine bilinmeyenscaklk deerlerine balamaktadr. Yani denklemde 5adet bilinmeyen bulunmaktadr.

Ayrklatrlm denklem btn i noktalarda yazlacak olup bylece 21 adet denklem eldeedilecektir. noktalardan bir ksm (16 adet) snra komu noktalar olup, bu noktalarda yazlandenklemlerde snr noktalarda bilinen scaklk deerleri de yer almaktadr. rnein P13noktasndaki ayrklatrlm denklem

1403131223 uuu4uu =+

eklinde olacaktr. Burada u03 ve u14 deerleri snrlar zerinde bilinen scaklklar olduu iindenklemin sana yazlmtr.


7/35



6

Bilinmeyen scaklk deerleri sadece i noktalarda olup, toplam bilinmeyen scaklk says21dir. Yani denklem saysna eittir. noktalarn ve snr noktalarnn listesi aadaki tablodagrlmektedir:

U04 U14 U24 U34 U44 U54 U64 U74 U84

U03 U13 U23 U33 U43 U53 U63 U73 U83U02 U12 U22 U32 U42 U52 U62 U72 U82

U01 U11 U21 U31 U41 U51 U61 U71 U81

U00 U10 U20 U30 U40 U50 U60 U70 U80

Denklemler i noktalarda (U11, U21, U31,U12, U22,) eklinde bir sra izlenerek yazlr ve oluandenklem sistemi de matris biiminde dzenlenirse aadaki gibi matris eitlii elde edilir.

-4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U11 0

1 -4 10 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

U210

0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U31 0

0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U41 0

0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U51 0

0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 U61 0

0 0 0 0 0 1 -4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 U71 -100

1 0 0 0 0 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 U12 0

0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 U22 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 U32 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 U42 = 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 U52 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 U62 0

0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 -4

0 0 0 0 0 0 1

U72-100

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 U13 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 U23 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 U33 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 U43 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 U53 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 U63 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 U73 -100

Bu denklem sisteminin Gauss eliminasyon yntemi ile zmnden elde edilen sonularaadaki tabloda sunulmutur.

4 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0.3530 0.9132 2.0103 4.2957 9.1532 19.6632 43.2101 100

2 0 0.4989 1.2894 2.8324 6.0194 12.6538 26.2894 53.1774 100

1 0 0.3530 0.9132 2.0103 4.2957 9.1532 19.6632 43.2101 100

0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Bu denklem sisteminin katsaylar matrisi 15 diyagonalli bir bant matris olup zm iin Gausseliminasyon ynteminin daha zel bir ekli kullanlabilir.

Levha zerindeki scaklk dalmn daha hassas ekilde hesaplamak iin a yaps daha

sklatrlabilir. Hassasiyeti arttrmann bir dier yolu da Laplasiyeni hesaplarken Pij noktasnnsa, sol alt ve st tarafnda yer alan komu noktalar yannda aprazdaki dier 4 noktay da (solve sadaki alt ve st kelerde yer alan noktalar) katarak 9 noktal bir ayrklatrmakullanmaktr.


8/35



7

5.2.2 teratif yntemler:

Yukardaki rnekte kullanlan zm tekniiyle ilgili en nemli sorun hassasiyeti arttrmak iina yaps ok sklatrldnda ok byk boyutlu matrislere ihtiya domasdr. h=2.5 cmhcre genilii iin 2121 elemanl bir katsaylar matrisi oluturulmutur. Hcre genilii yaryaindirilerek h=1.25 cm yapld taktirde katsaylar matrisinin boyutu 105105olacaktr. Hcre

geniliinin bir kez daha yarya indirilerek h=0.625 cm yaplmas halinde ise matris boyutu465465 olacaktr. Matrisin boyutununu ok byk olmas hem ok byk bilgisayar hafzashem de ok byk ilem zaman gerektirecektir.

Oysa yukardaki rnekte olduu gibi bu tip problemlerde karlalan matrisler genellikle seyrek(ou eleman sfr olan) matrislerdir. Ve seyrek matris sistemlerinin zm iin ideal teknikiteratif yntemlerdir.

Yukardaki rnekte elde edilen (5.5) denklemi

, , , ,

,

i 1 j i 1 j i j 1 i j 1

i j

u u u uu

4

+ ++ + +=

eklinde dzenlenerek Liebmann yntemi olarak bilinen bir iteratif teknik uygulanabilir.Bylece, herhangi bir admda bilinen scaklk deerleri uk

ijolmak zere bir sonraki admdaki

scaklklar yukardaki forml vastasyla

4

11111

k

ji

k

ji

k

ji

k

jik

ji

uuuuu

+++ +++= ,,,,, (5.6)

eklinde hesaplanabilir. Herhangi bir iterasyon admnda hesap noktasnn sanda ve stndekideerler iin nceki iterasyon admnda bilinen deerler alnrken solunda ve altndaki deerleriin bu iterasyon admnda hesaplanan yeni deerler alnmaktadr. Snra komu noktalarda bu

forml uygulanrken snr noktalarndaki deerler snr koullarndan bilinmektedir.

terasyonun balangcnda sadece snr deerleri bilinmekte olup, i noktalardaki deerler iinbir tahminde bulunmak gerekmektedir. Balang deerlerini keyfi (rnein btn i noktalardasfr) almak mmkndr. Ancak uygun deerler alnmas (rnein snr deerlerin birortalamas) iterasyon saysn azaltacaktr.

Aadaki tabloda 28 iterasyondan sonra 0.0001 hassasiyetle yaknsam zm sonular yeralmaktadr.

j \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

4 0 0 0 0 0 0 0 0 100

3 0 0.3531 0.9133 2.0105 4.2959 9.1533 19.6632 43.2102 100

2 0 0.4990 1.2896 2.8325 6.0195 12.6539 26.2895 53.1775 100

1 0 0.3531 0.9133 2.0104 4.2958 9.1532 19.6632 43.2102 100

0 0 0 0 0 0 0 0 0 100

5.2.3 Liebmann ynteminde yaknsamann hzlandrlmas:

Liebmann ynteminin yaknsamasn ardarda ar gevetme successive overrelaxation(SOR) yntemi uygulayarak hzlandrmak mmkndr.

Liebmann yntemi iin SOR yntemi

4

411

1

1

1

11

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

jik

ji

k

ji

uuuuuwuu

+++

+

++++

+= ,,,,,,,


9/35



8

iterasyon formlyle uygulanr. Buradaki w bykl ar gevetme arpan olarakadlandrlr. Yukardaki rnek problemde ar gevetme arpannn eitli deerleri iin 0.0001hassasiyetle yaknsamann saland iterasyon saylar aadaki tabloda sunulmutur.

Ar gevetme arpan 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

terasyon says 28 22 15 15 17 21 29 39

Ar gevetme ile iterasyon saysnn hayli azald grlmektedir. Ancak ar gevetmearpannn byk deerlerinde iterasyon saysnn tekrar artt dikkati ekmektedir.

Ar gevetme arpannn optimum deeri her zaman kolaylkla tahmin edilemez. Uygun deeribulmak iin iterasyonun balangcndaki birka adma ait sonular kullanan baz yntemlermevcuttur. Dirichlet tipi snr koullarnn kullanld dikdrtgensel bir hesap blgesi iinnerilmi bir yntem

( ) ( )[ ] 0161622 =++ qp /cos/cos (5.8)

denkleminin en kk kkdr. Burada p ve q byklkleri hesap blgesinin her iki yndekihcre saylarn belirtmektedir. rnek problem iin bu denklemin kkleri

7479642668110161666012211

2 .,.. ===+

olup kk kk iin bulunan deer yukardaki tabloda elde edilen sonular dorulamaktadr.Nitekim ar gevetme arpan iin 1.2668 deeri kullanlarak iterasyonun 15 admdayaknsad tespit edilmitir.

5.2.4 Poisson denklemi:

Poisson denklemi Ru = 2

eklinde olup buradaki R bykl (x,y) konumunun bir fonksiyonu olabilir. Laplacedenkleminin zmnde kullanlan yntemde ufak bir deiiklik yaparak Poisson denkleminizmek mmkndr.

rnek:

Dikdrtgensel kesitli bir ubuun kesit boyutlar 6 in 8 in dir. Bu ubuk iin burulmafonksiyonunu znz.

ubuun burulmas halinde teetsel gerilmeler burulma fonksiyonunun ksmi trevleriyleorantl olup burulma fonksiyonu iin

22 =

eklinde bir denklem elde edilir. Snr koulu ubuk kesitinin kenarlarnda =0eklindedir.

Bu denklemin zm iin basit ak iterasyon forml

, , , ,

,

k 1 k 1 k k 2

i 1 j i j 1 i 1 j i j 1k 1

i j

2h

4

+ + + ++ + + + +=

eklinde veya SOR iterasyon forml

, , , , ,

, ,

k 1 k 1 k k k 2

i 1 j i j 1 i 1 j i j 1 i jk 1 k

i j i j

4 2h

4

+ + + ++ + + + += +


10/35



9

eklinde yazlabilir. h = 1 in olmak zere oluturulan bir a yaps iin optimum ar gevetmearpan1.383 olup, bu deer kullanlarak 14 iterasyonda 0.001 hassasiyetle yaknsayan zmsonular aadaki tabloda sunulmutur.

j \ i 0 1 2 3 4 5 6

8 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

7 0.000 2.042 3.047 3.353 3.047 2.043 0.000

6 0.000 3.123 4.794 5.319 4.794 3.123 0.000

5 0.000 3.657 5.686 6.335 5.686 3.657 0.000

4 0.000 3.818 5.959 6.647 5.960 3.818 0.000

3 0.000 3.657 5.686 6.335 5.686 3.657 0.000

2 0.000 3.123 4.794 5.319 4.794 3.124 0.000

1 0.000 2.043 3.048 3.354 3.048 2.043 0.000

0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

5.2.5 Trev cinsinden snr koulu:

Baz problemlerde snrlarda fonksiyonun trevi cinsinden (Neumann tipi) veya kark tiptesnr art sz konusu olabilir. Snr koullar genel bir biimde

'uCBuA =+

eklinde ifade edilebilir. BuradakiA, B ve Cbykleri birer sabittir.

- Dirichlet tipi snr koulu iin = 0C ABu /=

- Neumann tipi snr koulu iin = 0A CBu /'=

- Kark tipte snr koulu iin 000 CBA ,,

Bu bant, rnein bir yzeyden s kayb iin kCHuBHA s === ,, alnarak

( )suuHuk = '

ekline gelir.

rnek:

Kalnl 0.5 cm olan 5 cm 9 cm boyutlarndaki dz levhann daimi-haldeki scaklk dalmnhesaplaynz. Levhann her yerinde Q= 0.6cal/cms byklnde s retimi olup, alt kenarda

T/y=15iddetinde birs kayb mevcut iken yan kenarlar 20C sabit scaklkta tutulmaktadr.st kenarda ise evre ile -kT/y = H(TO-Ts) forml uyarnca s alverii sz konusudur.Burada k(sl iletkenlik katsays)= 0.16, H(s transfer katsays) = 0.073 ve Ts (evre scakl) = 25C dr.TO bykl levhann uzun st kenarndaki scaklklar belirtmektedir. Levha yzeyi izoleedimi olup, evre ile s alverii yoktur. Hcre genilik ve yksekliklerini eit ve 1 cm alnz.

Levha iinde s retimi sz konusu olduundan bu problemin zmnde kullanlacak denklembir iaret farkyla (5.1) denkleminin benzeri olup

2 QTk

=

eklinde bir Poisson denklemidir. Bu denklem merkezi farklarla ayrklatrlarak


11/35



10

, , , , ,i 1 i i 1 j i j 1 i j 1 i j

2

T T T T 4T Q

h k

+ ++ + + =

biiminde yazlabilir. Denklem dzenlenerek

, , , , ,

, ,

k 1 k 1 k k k 2i 1 j i j 1 i 1 j i j 1 i jk 1 k

i j i j

T T T T 4T Q hT T

4 4 k

+ + + ++ + + + = + +

eklinde bir SOR iterasyon forml eldeedilebilir.

Probleme ilikin snr koullar yandaki ekilzerinde belirtilmitir.

Levhann yan yzlerindeki Dirichlet tipi snrkoulu bu kenarlardaki dm noktalarnda

scaklklar sabit 20C scaklkta tutularakgerekletirilecektir. Bu deerler i=1 vei=Ni-1 indisli dm noktalarndakidenklemlerde yer alacaktr. T/y=15

T= 20

-0.16 (T/y) = 0.073 (u-25)

T=20

i=Ni-1i=1

j=1j=0

j=-1

j=Nj+1

j=Nj

j=Nj-1

Levhann alt kenarnda T/y=15 eklinde scaklk gradyant cinsinden bir snr art verilmiolup bu gradyant j=1 indisli dm noktalar ile evre ortamda levha kenarndan h kadaruzakta yer ald varsaylanj=-1 indisli hayali dm noktalar arasnda

, ,i 1 i 1T Tu15

y 2h

= = , ,i 1 i 1

T T 30h =

eklinde hesaplanarak ilemlere katlabilir. (Burada scaklk gradyant pozitif iken snnlevhadan evreye doru -negatifyynnde- akaca, dolaysyla snn problemde belirtildiigibi kaybedilecei grlmektedir.) Bu durumda levhann alt kenar boyunca (j=0 indisli dmnoktalarnda) scaklklar

, , , , ,

, ,

k 1 k 1 k k k 2i 1 0 i 1 i 1 0 i 1 i 0k 1 k

i 0 i 0

T T T T 4T Q hT T

4 4 k

+ + ++ + + + = + +

, ,

k 1 k

i 1 i 1T T 30h+

=

Levhann st kenarnda snr koulu

( )sO TTHyuk =

eklinde verilmitir. Buradaki scaklk gradyant levhann st kenarna komu (j=Nj-1 indisli)dm noktalar ile yine evre ortamda levhadan h uzaklktaki hayali dm noktalar (j=Nj+1indisli) arasnda

, ,j ji N 1 i N 1T Tu

y 2h

+ =

eklinde hesaplanarak snr koulunda kullanlrsa

( ), , ,j j ji N 1 i N 1

i N s

T Tuk k H T T

y 2h

+ = =

( ), , , j j ii N 1 i N 1 i N s

2hHT T T T

k+ =


12/35



11

elde edilir. Bu durumda levhann st kenarndaki (i=Ni indisli) dm noktalarnda scaklklar

, , , , ,

, ,

i i i j i

i i

k 1 k 1 k k k 2i 1 N i N 1 i 1 N i N 1 i N k 1 k

i N i N

T T T T 4T Q hT T

4 4 k

+ + + ++

+ + + = + +

( ), , , j j jk 1 k k

i N 1 i N 1 i N s

2hHT T T T

k

++ =

bantlaryla hesaplanr.

Ar gevetme arpannn =1.43 deeri iin 59 iterasyon sonucunda 0.0001 hassasiyetliyaknsama ile elde edilen sonular aadaki tabloda yer almaktadr.

j \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 45.930 61.816 71.962 76.876 76.876 71.962 61.816 45.930

5 20 73.510 107.915 128.859 138.826 138.826 128.859 107.915 73.510 20

4 20 90.195 137.476 166.733 180.743 180.743 166.733 137.476 90.195 20

3 20 99.793 155.061 189.855 206.669 206.669 189.855 155.061 99.794 20

2 20 103.918 163.119 200.956 219.409 219.409 200.956 163.119 103.918 20

1 20 102.762 162.539 201.442 220.603 220.603 201.442 162.539 102.762 20

0 20 94.589 152.834 191.669 210.958 210.958 191.669 152.834 94.589 20

-1 72.762 132.539 171.442 190.603 190.603 171.442 132.539 72.762

5.2.6. Deien ynl kapal formlasyon (ADI) yntemi

Bu blmn banda ksmi diferansiyel denklemler sonlu farklarla dorudan zlmeyealldnda katsaylar matrisi seyrek olan denklem sistemleri ortaya kmt. Kullanlan anoktas says arttrldka bu seyreklik oransal olarak artacaktr. rnein 21 dm noktashalinde katsaylar matrisinin elemanlarnn %81 i sfr iken dm says105olduunda sfreleman says %96 ya kmaktadr. 303030 dm noktal boyutlu bir problemde ise

sfrdan farkl eleman says sadece %0.012 dir.

ki- ve -boyutlu problemlerde katsaylar matrisi sadece seyrek olmayp ayrca banteklindedir. Yani sfr olmayan elemanlar diyagonale paralel belli genilikteki bir bant blgeniniinde kalmaktadr. Bant matrisleri zen zel yntemler gelitirilmitir. Ancak baz hallerdebant genilii byk olmakta ve zm glemektedir. Sadece -diyagonalli sistemlerin basitve etkin bir zm mmkndr.

ki- ve -boyutlu problemleri -diyagonalli denklem sistemlerineindirgeyerek zmenin bir yoludeien ynl kapal formlasyon

(Alternate Direction Implicit ADI)yntemi kullanmaktr.

Yntemi aklamak iin Laplacedenklemi rnek olarak alnrsadenklemin, ekildeki gibi bir ayapsnda herhangi bir Pij noktasetrafndaki sonlu fark ayrklatrmas

0 1 i-1 i i+1 Ni

Nj

j+1

j

j-1

0

y=h

x=h

Pi, j

( ) ( ), , , , , ,i 1 i i j i 1 j i j 1 i j i j 12

2 2

T 2T T T 2T T T 0

x y

+ + + + = + =

eklinde yaplabilir. x=y=h alnmas halinde bu byklkler denklemden atlarak


13/35



12

( ) ( ), , , , , ,i 1 i i j i 1 j i j 1 i j i j 1T 2T T T 2T T 0 + + + + + =

yazlabilir. Bu denklemin iteratif zmnde herhangi bir iterasyon adm iki aamal olarakgerekletirilebilir.

nce ydorultusundaki trev nceki admdan bilinen deerlerle vexdorultusundaki trev deyeni admda hesaplanacak olan deerlerle ifade edilerek

( ) ( ) ( )/

, , , , , , , ,...k 1 2 k

i 1 i i j i 1 j i j 1 i j i j 1T 2T T T 2T T i 1 2 NI 1+

+ + + = + =

eklinde bir denklem sistemi, daha sonra da bunun tersi yaplarak

( ) ( ) ( )/

, , , , , , , ,...k 1 k 1 2

i j 1 i j i j 1 i 1 i i j i 1 jT 2T T T 2T T j 1 2 NJ 1

+ +

+ + + = + =

eklinde bir dier denklem sistemi elde edilir. Dikkat edilirse her iki denklem sistemi de -diyagonalli denklem sistemleridir. ki snrdaki (birinci sistem iin i=0 ve i=NIde, ikinci sistemiinj=0 vej=NJde) snr deerleri verildiinde Thomas yntemi kullanlarak zlebilirler.

NJ

j+1

j

j-1

0

x

y

0

i-1

i

i+1

NI

x

y

0

i-1

ii+1

NI

x

y

0

i-1

i

i+1

NI

knc adm(btn dm noktalarnda

zmler biliniyor)

k+1 inci adm(y ynnde kapal

ema ile zm)

k+ inci adm(x ynnde kapalema

ile zm)

zmn bilindii dm noktas

zmn arand dm noktas

NJ

j+1

j

j-1

0

NJ

j+1

j

j-1

0

Bu denklem sistemlerinden ilki x dorultusunda ayn sradaki dm noktalarnda yazlm

denklemleri ifade etmektedir. Denklem sistemi nce snra komu ilk srada (j=1) yazlpThomas yntemiyle zlr. Ayn ilem ikinci, nc ve daha sonraki sralar iin, dier snrakomu en son sraya (j=NJ-1) kadar gerekletirilir.


14/35



13

Daha sonra yn deitirilerek benzeri ilemler y ynndeki denklem sistemi iin tekrarlanr.Yani nce snra komu sra (i=1) iin, ardndan ikinci, nc ve dier snra komu sraya(i=NI-1) varncaya kadar btn sralar iin denklem sistemi yazlp zlr.

Bu iki-aamal iteratif zm teknii yeterli bir yaknsama elde edilinceye kadar tekrarlanr.

rnek:

6 cm 8 cm boyutlarndaki bir dz levhann uzun olan st kenar 100C, sa kenar 50C vedier iki kenar da sfr derece scaklkta tutulmaktadr. Levha yzeyi izole edilmi olup, evreile s alverii yoktur.Daimi-durum scaklk dalmn ADI yntemini kullanarak 1cm aralklarlahesaplaynz.

13 iterasyon adm sonucunda 0.001 hassasiyetle yaknsam zm sonular tablodasunulmutur.

j \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

6 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000

5 0 48.523 66.828 74.669 78.204 79.342 77.985 71.464 50

4 0 27.262 44.122 53.644 58.804 61.178 61.132 57.873 50

3 0 16.404 28.754 36.983 42.189 45.435 47.495 48.894 50

2 0 9.599 17.508 23.344 27.535 30.878 34.519 40.210 50

1 0 4.484 8.336 11.352 13.728 16.024 19.492 27.425 50

0 0 0 0 0 0 0 0

5.3. Parabolik denklemler:

Ksmi-diferansiyel denklemlerin parabolik karakterdeki ikinci snf, tipik rnekleri madde

yay

n

m

veya blge iinde

s

ak

olduundan genellikle yay

n

m denklemi veya

s

denklemiolarak adlandrlr. Buradaki incelemelerde de rnek olarak s problemleri ele alnacaktr.Bunlarn daha ncekilerden fark artk daimi durum problemi olmayp, zamana bal, yaniscakln zamanla deitii problemler olmasdr.

lk olarak bir ubuk boyunca bir-boyutlu s ak problemi ele alnacaktr. ayet zamanyeterince uzun tutulur ve scaklklar daimi-durum artlarna eriirse bu problem de daha ncekieliptik problem rneiyle zde olur.

ekilde L uzunluundaki bir ubuk zerindedx genilikli bir ubuk elemaniaretlenmitir. ubuun evresinin izoleolduu ve bu yzden evreyle s alveriiolmad varsaylmaktadr. x ekseni ubukboyunca soldan saa doru ynlenmi olup

xekseni boyunca

x=0 x=L

x dx

Giren s kan s

dx

dTkA

forml uyarnca akmakta olan s [cal/s] olarak llmektedir. Buradaki eksi iaretinin snnscaktan soua doru akmasyla ilgili olduu bilinmektedir. dx uzunluundaki ubukelemannn sa tarafndan kan s da

+dx

dxdTT

dxdkA

eklinde ifade edilebilir.


15/35



14

Daimi-durumda bu ubuk elemanna giren ve kan slar eit olur. Zamana bal olayda iseubuk elemanna birim zamanda giren s ile kan s arasndaki fark bu srete ubukelemannn bnyesinde depolanan sya eit olacaktr. Depolanan bu s da ubuk elemannnscakln arttracaktr. ubuk elemannn scaklk deiimiyle ilgili olarak birim zamandadepolanan s miktar elemannn hacmi (A*dx), malzemenin younluu () ve malzemenin slkapasitesine (c birim ktle ve birim scaklk bana depolayabildii s - cal/grC) baldr:

( )dt

dTAdxc

Bu ifade kullanlarak

( )dt

dTAdxcdx

dx

Td

dx

dTkA

dx

dTkA =

+

2

2

veya bu eitlik dzenlenerek

dt

dTc

dx

Tdk =

2

2

(5.21)

denklemi elde edilir. ki- veya -boyutlu halde de bu denkleme edeer

dt

dTcTk = 2 (5.22)

denklemi elde edilir.

Baz hallerde malzeme homojen olmayabilir. Bylece sl zellikler konuma bal olarakdeiebilir. Baz hallerde de malzeme iinde Q [cal/scm] byklnde bir s retimi olabilir.Bu gibi durumlar iin de yukardaki denklemler yerine

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt

dTzyxzyxc

x

Tzyxk

zx

Tzyxk

yx

Tzyxk

x,,,,,,,,,, =

+

+

eklinde bir denklem yazmak mmkndr.

Buradaki rnekler basit tutularak sadece (5.21) ve (5.22) denklemleriyle ilgilenilecektir.

Yukardaki btn denklemler de konum dnda ayrca zamana baldr. Bu denklemlerin bellibir balang zamannda verilen balang artlaryla balatlmas gereklidir. Ayrca snr

deerlerinin bilinmesine de ihtiya vardr. Dolaysyla bu tip problemler konuma gre snrdeer, zamana gre de balang deer problemi olarak nitelendirilmelidir.

5.3.1 Is denkleminin zm:

ubuk boyunca s ak nedeniyle scakln zamanla deiimi problemini zmek iin farklyntem incelenecektir. yntemde de benzer nokta olarak konumsal trevler merkezifarklarla ayrklatrlmaktadr. Yntemlerin farkllklar ise zamansal trevlerin ayrklatrlmaeklinden kaynaklanmaktadr.

nce ak formlasyon (explicit method) incelenecektir. Bu yntemde zamana gre trev ilerifarklarla

t

TT

t

Tk

i

k

i

+1

(5.23)


16/35



15

eklinde ayrklatrlmaktadr. Bu ifade xi noktasnda tk annda zamana gre trevi ifadeederken Tk bykl bu noktada tk anndaki scakl Tk+1 bykl ise tk+1 (veya tk+t)anndaki scakl belirtmektedir.

Bu yntemde konumsal trev ise tkanndaxinoktas etrafnda merkezi farklarla

( )211

2

2 2

x

TTT

x

T kik

ik

i

+

+ (5.24)

eklinde ayrklatrlmaktadr.

Yntem ayrklatrma ekli nedeniyle literatrde ou zaman FTCS (Forward Time CentralSpace) yntemi olarak da adlandrlmaktadr. Zamanda ayrklatrma birinci dereceden olduuiin hata O(t) mertebesinde iken, konumda ayrklatrma ikinci dereceden olduu iin hataO(x) mertebesinde olmaktadr. Hata mertebelerindeki bu farkllk yntemin kararllzerinde etki yaratmaktadr.

Ayrklatrlm trevler (5.21) denkleminde yerletirilerek

dt

dTc

dx

Tdk =

2

2

( ) t

TTc

x

TTTk

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

=

+ ++1

2

11 2

veya dzenlenerek

( ) ki

k

i

k

i

k

i rTTrrTT 111 21 +

+ ++= (5.25)

elde edilir. Burada

( )2xctk

r

=

dir. (5.25) bants zm zamanda tadm uzunluu ile ilerleten bir bant olup, zm birt=t0 balang annda T scaklnn btn xi noktalarnda bilinen balang deerleri ilebalatlmaktadr. Sonraki zaman admlarnda nceki admda bulunan scaklklar ve snrkoullar gerei ubuun iki ucundaki bilinen scaklk deerleri kullanlmaktadr.

Ynteme ak (explicit) ema denilmesinin nedeni,xi noktasndaki scakln nceki admdan vesnr koullarndan bilinen scaklk dierleri kullanlarak dorudan hesaplanabilmesidir.

rnek

2 cm kalnlnda ok geni bir elik levha iindeki scaklk dalmn zamann fonksiyonu olarakhesaplaynz. elik iin k=0.13 cal/scmC, c=0.11 cal/grC ve =7.8 gr/cm olarak verilmitir.Levha ok geni olduu iin yanal dorultulardaki s aklar ihmal edilerek sadece levhayzeylerine dik dorultudaki s ak dikkate alnacaktr. t=0 annda levha iindeki scaklkdalm

T(x) = 100x 0 x1

T(x) = 200 - 100x 1 x2

ve snr koullar da

T(0) = 0C ve T(2) = 0C

olarak verilmitir. Levha kalnln 8 e blerekx=0.25 alnz.


17/35



16

Problemin zmnde tzaman admnn bykl rbyklnn seimine baldr. r=0.5alnmas halinde (5.25) denklemi

( ).k 1 k k i i 1 i 1T 0 5 T T + + = + (5.26)

ekline gelir. Zaman adm da

( )2xctk

r

=

( ) ( ). . . ..

.

2 2r c x 0 5 0 11 7 8 0 25

t 0 206 sk 0 13

= = =

olur. (5.26) bants kullanlarak eitli zaman admlarnda elde edilen zmler aadakitabloda gsterilmitir. Levhann alt ve st yarlarndaki zmlerin simetrik olmas nedeniyletabloda levhann sadece st yarsndaki sonulara yer verilmitir.

r = 0.5 x = 0.25 0.75

zamanadm t say sal say sal analitik say sal say sal analitik

0 0 25.00 50.00 50.00 75.00 100.00 100.00

1 0.206 25.00 50.00 49.58 75.00 75.00 80.06

2 0.413 25.00 50.00 47.49 62.50 75.00 71.80

3 0.619 25.00 43.75 44.68 62.50 62.50 65.46

4 0.825 21.88 43.75 41.71 53.13 62.50 60.11

5 1.031 21.88 37.50 38.79 53.13 53.13 55.42

6 1.238 18.75 37.50 35.99 45.31 53.13 51.18

7 1.444 18.75 32.03 33.37 45.31 45.31 47.33

8 1.650 16.02 32.03 30.91 38.67 45.31 43.79

9 1.856 16.02 27.34 28.63 38.67 38.67 40.52

10 2.063 13.67 27.34 26.51 33.01 38.67 37.51

11 2.269 13.67 23.34 24.55 33.01 33.01 34.72

12 2.475 11.67 23.34 22.73 28.17 33.01 32.15

13 2.681 11.67 19.92 21.04 28.17 28.17 29.76

14 2.888 9.96 19.92 19.48 24.05 28.17 27.55

0.50 1.00

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Bu problemin koullar gerei t= iin daimi-duruma eriilecei ve her yerde scakln 0Colaca aktr. Tablodaki deerler de bunu dorulamaktadr. Yaplan inceleme sonucuscaklklarn 85inci zaman admnda 0.1 hassasiyetle sfra eritii grlmtr.

Saysal deerler genel olarak analitik deerleri izlemekte, sadece bir dalgalanmagstermektedir. Bunu yukardaki grafikten de fark etmek mmkndr. Bu grafikte srekli

x=1.0

x=0.5


18/35



17

izgiler analitik zmleri, daireler x=1 deki, genler ise x=0.5 deki saysal zmleribelirtmektedir.

ayet rbyklnn 0.4 ve 0.6 gibi farkl iki deeri iin hesaplar tekrarlanrsa (ki bu durumdatzaman adm da deiecektir) ilgin sonular tespit edilebilir.

r=0.4 iin saysal deerler ok daha doru olmakta analitik zmle farklar balangadmlarnda yar byklkte iken ilerleyen admlarda onda bir bykle kadar inmektedir.

r=0.6 iin ise son derece hatal sonular elde edilmektedir. Sadece 8 zaman admndan sonrabaz zmler negatif olmaktadr.

zmde kararszlk olmamas iin rnin alabilecei en byk deer r=0.5 olmaktadr.

5.3.2 Crank-Nicolson yntemi:

r>0.5 olduundaki kararszln nedeni uzaysal ve zamansal trevlerin sonlu farkayrtrmalarndaki mertebelerin farkl olmasdr. Crank-Nicolson yntemi bu sonlu farkalmlarn ayn mertebeye getiren bir tekniktir.

Zamansal trevin sonlu-fark alm

/

k 1 k

i i

k 1 2

T TT

t t

+

+

=

eklinde zaman aralnn ortasnda (tk+1/2 annda) alnm bir trev olarak dnlrse, bualm merkezi farklarla yaplm bir ayrklatrma olarak deerlendirilebilir. Bu durumdakonumsal trevin ayrklatrmas da ayn zaman admnda (yani tk+1/2 annda)gerekletirilebilir. Bunun iin T/x trevi bir kez zaman admnn balangcnda ve bir kez

de sonunda ayrklatrlarak bu ikisinin aritmetik ortalamasndan yararlanlr:

tkannda( )

k k k2

i 1 i i 1

22

k

T 2T T T

x x

+ + =

tk+1 annda( )

k 1 k 1 k 12

i 1 i i 1

22

k 1

T 2T T T

x x

+ + ++

+

+=

tk+1/2 annda( ) ( )

( )

k k k k 1 k 1 k 12i 1 i i 1 i 1 i i 1

22

k

T 2T T T 2T T T 1

x 2 x

+ + ++ + + + +

=

Ayrklatrlm trevler denklemde yerletirilerek

( ) ( )( )

k k k k 1 k 1 k 1k 1 ki 1 i i 1 i 1 i i 1i i

2

T 2T T T 2T T T T k 1

t c 2 x

+ + +++ + + + +

=

ve bu denklem dzenlenerek

( ) ( )k 1 k 1 k 1 k k k i 1 i i 1 i 1 i i 1rT 2 1 r T rT rT 2 1 r T rT + + +

+ + + + = + + (5.27)

elde edilir. Burada( )2xc

tkr

=


19/35



18

Bu denklem her bir Pijnoktasnda bir kez yazlarak

, , ,...k 1 k 1 k 1i i 1 i i i i 1 i LT DT U T R i 1 2 NI 1+ + +

++ + = =

eklinde bir denklem sistemi elde edilir. Burada

( )

( ) ( )

( )

, , , ,...

, , ,...

, , , ,...

1 i

i

NI 1 i

L 0 L r i 2 3 NI 1

D 2 1 r i 1 2 NI 1

U 0 U r i 1 2 NI 2

= = =

= + =

= = =

( )

( )

( )

, , ,...

k 1k k k

1 0 1 2

k k k

i i 1 i i 1

k k k

NI 1 NI 2 NI 1 N

0

I

k 1

NI

R rT 2 1 r T rT

R rT 2 1 r T rT i 2 3 NI 2

R rT 2 1 r T

rT

rTrT

+

+

+

= + +

= + + =

= +

+

+ +

dir. Bu denklem sisteminin katsaylar matrisi -diyagonallidir ve Thomas yntemiylezlebilir. Bu teknik kapal (implicit) formlasyonlu bir yntem olup en nemli avantajrninherhangi bir deeri iin kararl olmasdr.

Yntem rnek olarak bir nceki rnekte ele alnan problem iin uygulanm olup levhannortasnda (x=1.0) eitli zaman admlarnda r=0.5ve r=1.0 iin elde edilen sonular aadakitabloda sunulmutur.

i t analitik say sal hata t analitik say sal hata

0 0 100 100 0 0 100 100 0

1 0.206 80.06 82.32 2.8 0.413 71.80 71.13 0.9

2 0.413 71.80 73.48 2.3 0.825 60.11 61.53 2.4

3 0.619 65.46 66.86 2.1 1.238 51.18 51.97 1.5

4 0.825 60.11 61.34 2.0 1.650 43.79 44.67 2.0

5 1.031 55.42 56.52 2.0 2.063 37.51 38.29 2.1

6 1.238 51.18 52.21 2.0 2.475 32.15 32.88 2.3

7 1.444 47.33 48.30 2.0 2.888 27.55 28.23 2.5

8 1.650 43.79 44.71 2.1 3.300 23.62 24.23 2.6

9 1.856 40.52 41.40 2.2

10 2.063 37.51 38.36 2.3

r = 1.0r = 0.5

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4

Tabloda ayrca oransal hatalara da (saysal sonularla analitik sonular arasndaki farklarnanalitik sonulara oran) yer verilmitir. r=0.5 iin hatalar %2.0-2.7arasnda iken r=1.0 iin%0.9-2.6 arasndadr. Her iki haldeki hatalar da daha nce ak formlasyonla r=0.5 iinhesaplanan deerlerden kktr.

5.3.3 Teta yntemi:

Crank-Nicolson ynteminde zamana gre trevin merkezi fark alm zaman aralnnortasnda olarak yorumlanmt. Teta ynteminde daha genel bir yaklam yaplarak bu trevzaman aralnn ortasnda deil ama daha farkl bir noktasnda deerlendirilmektedir. Yani t


20/35



19

zaman aralnn bir kesiri alnarak, zamana gre trevin sonlu fark almnn bu noktadaalnd varsaylmakta, konuma gre trevin de zaman aralnn banda ve sonundakialmlarnn bu arpana gre arlkl ortalamalar alnmaktadr:

( )( ) ( )

( )

k k k k 1 k 1 k 1k 1 ki 1 i i 1 i 1 i i 1i i

2

1 T 2T T T 2T T T T k

t c x

+ + +++ + + + +

=

Bu bantda =0.5alnmas halinde tekrar Crank-Nicolson yntemine dnlecei, =0 iin akformlasyonun ve =1 iin de kapal formlasyonun elde edilecei grlmektedir.

Yukardaki bant tk+1 zamanndaki bilinmeyenler cinsinden dzenlenerek

( ) ( )k 1 k 1 k 1 k k k i 1 i i 1 i 1 i i 1r T 1 2r T r T r T 1 2r 1 T r T + + +

+ + + + = + + (5.28)

elde edilir. Bu denklem yine Crank-Nicolson ynteminde olduu gibi btn noktalar iin bir kezyazlarak -diyagonalli bir denklem sistemi elde edilir ve Thomas yntemiyle zlebilir.

Burger (1987) zm iin optimum bir deerin =2/3 civarnda elde edileceini belirtmitir.

Bu yntem iin de rnek olarak yukardaki problem ele alnm olup r=0.5 olmak zerelevhann orta izgisinde (x=1.0) nn eitli deerleri iin 10 zaman admnda elde edilensonular aadaki tabloda sunulmutur.

r = 0.5

i t analitik = 2/3 0.878 1.0 0.5 0.0 = 2/3 0.878 1.0 0.5 0.0

0 0 100 100 100 100 100 100 0 0.00 0.00 0.00 0.00

1 0.206 80.06 83.63 84.94 85.57 82.32 75.00 3.57 4.88 5.51 2.26 -5.06 2 0.413 71.80 74.28 75.35 75.95 73.48 75.00 2.48 3.55 4.15 1.68 3.20

3 0.619 65.46 67.44 68.25 68.74 66.86 62.50 1.98 2.79 3.28 1.40 -2.96

4 0.825 60.11 61.82 62.48 62.89 61.34 62.50 1.71 2.37 2.78 1.23 2.39

5 1.031 55.42 56.95 57.53 57.88 56.52 53.13 1.53 2.11 2.46 1.10 -2.30

6 1.238 51.18 52.61 53.15 53.47 52.21 53.13 1.43 1.97 2.29 1.03 1.95

7 1.444 47.33 48.68 49.19 49.49 48.30 45.31 1.35 1.86 2.16 0.97 -2.02

8 1.650 43.79 45.09 45.59 45.88 44.71 45.31 1.30 1.80 2.09 0.92 1.52

9 1.856 40.52 41.79 42.28 42.56 41.40 38.67 1.27 1.76 2.04 0.88 -1.85

10 2.063 37.51 38.74 39.23 39.51 38.36 38.67 1.23 1.72 2.00 0.85 1.16

hatalarsaysal zmler

nn seilen rnek deerleri arasnda en az hatann =0.5iin (Crank-Nicolson zm) eldeedildii, yani belirtildii gibi optimum deerin 0


21/35



20

hareketi problemi alnabilir. Her haldeki hareketlerin de srtnme kuvvetlerinin etkisiylezaman ierisinde snmlenecei sylenebilir.

5.4.1 Titreen yay problemi:

Hiperbolik ksmi-diferansiyel denklemlere bir rnek olarak, sabit iki u noktas arasnda gerilmi

olan bir yayn osilasyon hareketlerini modelleyen 1-boyutlu dalga denklemi dikkate alnabilir.

ekilde bir yay u noktalarn birletiren doruya gre telemeleri ok abartlm olarakgsterilmektedir. Yayn A ve B gibi yakn iki noktas arasnda kalan dx uzunluundaki bireleman ekilde ayrca bytlm olarak gsterilmitir. A ve B noktalarnda teetlerin eimalar srasyla A ve B ile belirtilmi olup, yayn eilmelerinin de abartl olduuna dikkatedilmelidir. Yayn telemeleri iki ucunu birletiren doruya dik olarak llmekte olup u ilegsterilecektir. Yaya etkiyen gerilme kuvvetiA ve B noktalarnda Tile belirtilmitir.

A

xdx

B

x=0 x=L

A

B

T

T

AB

Yukar doru kuvvetler pozitif iaretli olmak zere yay elemannn her iki ucuna etkiyenkuvvetlerin dey bileenleri srasyla

sin sinA BT T (5.29)

olacaktr. telemelerin ekil zerinde ar abartl gsterildii tekrar hatrlatlarak alarnaslnda ok kk olduu belirtilirse alarn tanjantlar ile sinsleri ayn kabul edilebilir. Buna

gre

sin tan

sin tan

A A

A

B B

B A

uT T T

x

u u uT T T T dx

x x x x

= =

= = = +

ve bylece yay elemanna dey ynde etkiyen net (bileke) kuvvet de

2

2

u

T dxx

olur. imdi dey dorultuda Newton kanunu uygulanarak bu kuvvet yayn ktlesi ile ivmeninarpmna eitlenirse, wyayn birim uzunluk bana arl olmak zere

2 2

2 2

u w dx uT dx

x g t

=

veya dzenlenerek

2 2

2 2u Tg ut w x = (5.30)


22/35



21

elde edilir. Bu denklem ikinci-dereceden ksmi diferansiyel denklemlerin standart biimi iindaha nce tanmlanan denklemle karlatrlrsa A=1, B=0, C=-Tg/w olduu ve bubyklklerle birlikte bu denklemin hiperbolik denklemler snfna girdii grlr.

Bir yay yerine gerilmi bir membran (davul zar gibi) dikkate alnrsa (5.30) denklemi

22

2

u Tgu

t w

= (5.31)

eklini alr. (5.30) ve (5.31) denklemlerinin zm snr koullarn ve t=0 anndaki balangkoullarn salamaldr. Problem t zamanna gre ikinci dereceden olduu iin balangkoullar yayn btn noktalarnda balang hzlarn ve balang ivmelerini iermelidir.

Titreen yay probleminin saysal zm

(5.30) denklemi, trevler sonlu-fark yaklamyla ayrklatrlarak zlebilir. Ayrklatrmalaruzayda hesaplanm zaman admnda merkezi farklarla

( )

k k k2

i 1 i i 1

22

u 2u uu

x x

+ + =

eklinde ve zamanda da hesaplanm zaman adm etrafnda merkezi farklarla

( )

k 1 k k 12

i i i

22

u 2u uu

t t

+ +=

eklinde yaplarak

( ) ( )

k 1 k k 1 k k k

i i i i 1 i i 1

2 2

u 2u u u 2u uTg

wt x

+ + + + =

sonraki zaman admndaki telemeler iin

( )

( )( )

2

k 1 k 1 k k k k

i i i i 1 i i 12

tTgu u 2u u 2u u

w x

+ +

= + + +

veya dzenlenerek

( )

( )( )

( )

( )

2 2

k 1 k k k 1 k

i i 1 i 1 i i2 2

Tg t Tg t u u u u 2 1 u

w x w x

+ +

= + +

elde edilir. ayet

( )

( )

2

2

Tg t w1 t x

Tgw x

= =

alnrsa (ki bu deer kararszln olmayaca en byk deerdir) denklemk 1 k k k 1

i i 1 i 1 iu u u u+

+= + (5.32)


23/35



22

ekline gelir.

Bu son denklem zamanda nasl ilerleneceini ak bir biimde gstermektedir. Buna gre yaynbirxi noktasnda telemenin yeni bir zaman admnda hesaplanmas iin komu noktalarn birnceki zaman admndaki telemeleri toplanarak hesap noktasnda iki zaman adm ncekitelemenin deeri bundan kartlmaktadr. Yani herhangi bir zaman admndaki hesaplamalar

iin daha nceki iki zaman admna ait deerlere gereksinim olmaktadr.

Yukardaki hesaplama tekniinin ancak ikinci zaman admndan itibaren yrtlebilecei aktr.Bunun iin de t=0 anndaki ve t=tilk zaman admndaki telemelerin bilinmesi gerekir. Ancakburada t=t ilk zaman admndaki telemelerin nasl elde edilecei hususu ak deildir. Zirayukardaki hesaplama tekniine gre ilk zaman admnda hesaplama yaplabilmesi iin t=0anndaki ve bundan daha nceki (!) bir t=-tannda telemelerin bilinmesi gerekir.

Aslnda titreen bir yayn salnmlarnn zamana gre periyodik bir fonksiyon olduu dikkatealnrsa ortada nemli bir sorun olmad grlr. Buna gre problemin balang an keyfi biran olup zm iin bu andaki hzlarn ve ivmelerin bilinmesi gerekmektedir. Balang anndahzlar verildii taktirde t=-tanndaki telemeler bulunabilir.

Hzlar telemelerin zamana gre trevi olup balang koullarndan birisi olarak hzlarn

t=0 da ( )0

ug x

t

=

olarak verildii varsaylrsa bu trev iin merkezi farklarla ayrklatrma yaplarak

( )1 1

i i

0

u uux

t 2 t

= =

veya

( )1 1i iu u 2g x t =

ve bu ifade de (5.32) denkleminde kullanlarak

( )0 0

1 i 1 i 1i

u uu g x t

2

+ ++= + (5.33)

elde edilir.

Buna gre, ilk zaman adm iin (5.33) denklemi ve daha sonraki btn zaman admlar iin de(5.32) denklemi kullanlarak zm gerekletirilebilir.

rnek:

Bir banjo yay 80 cm uzunluunda ve 1 gr arlkta olup 40000 gr lk bir kuvvetle gerilmitir.Bir ucundan 20 cm mesafedeki bir noktadan denge konumuna kyasla 0.6 cm ekilerekbraklmtr. Yay boyunca telemeleri zamann fonksiyonu olarak hesaplaynz.

zm iin ilk admda (5.33) ve daha sonraki admlarda da (5.32) denklemini kullannz.Hesaplamalarda x=10 cm alnz. Yay ekildikten hemen sonra brakld iin balang hzlarsfr alnacaktr. telemelerin her 16 admda bir tekrarlandn gsteriniz.

Verilen byklklerle zaman adm/

.w 1 80

t x 10 0 000179 sTg 40000 980

= = =


24/35



23

ve balang hzlar sfr olup ( ) g x 0=

ilk zaman admndaki telemeler0 0

1 i 1 i 1i

u uu

2

+ ++=

ve sonraki zaman admlarndaki telemeler k 1 k k k 1i i 1 i 1 iu u u u+

+= +

eklinde hesaplanacaktr. Balangtaki telemeler iinx=20 de u=0.6 cm verilmi olup bunagre dier hesap noktalarndaki telemeler

x< 20 iin u = 0.03x

x> 20 iin u = 0.6 - 0.03 (x-20)

eklinde hesaplanabilir. eitli zaman admlar iin elde edilen sonular tabloda yer almtr.

k x = 0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0.00 0.30 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

1 0.00 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

2 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

3 0.00 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.20 0.10 0.00

4 0.00 -0.10 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.10 0.00

5 0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.00

6 0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00

7 0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50 -0.40 -0.30 0.00

8 0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50 -0.60 -0.30 0.00

9 0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50 -0.40 -0.30 0.00

10 0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00

11 0.00 -0.10 -0.20 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.00

12 0.00 -0.10 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.10 0.00

13 0.00 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.20 0.10 0.00

14 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

15 0.00 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

16 0.00 0.30 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

17 0.00 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

18 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

19 0.00 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.20 0.10 0.00

20 0.00 -0.10 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.10 0.00

eitli xi konumlarndaki u i deerlerinin zamanla deiimi

Tablodan grld gibi yay 16tzaman admndan sonra tekrar eski konumuna gelmekte vedaha sonra da ayn hareketi tekrar etmektedir. Buna gre hareketin frekans hesaplanrsa

.

1 f 350 hz

16 0 000179= =

elde edilir. Fizikte bu dalga hareketi iin verilen standart forml uygulanrsa

/

1 Tg 1 40000 980 f 350 hz

2L w 2 80 1 80

= = =

eklinde ayn sonu elde edilir.


25/35



24

Grld gibi uygulanan saysal yntem frekanslar iin tam (exact) sonu vermitir. zmynteminin kararl olduu da anlalmaktadr. telemeler iin bulunan zmlerin ne kadardoru olduu ise izleyen blmdeki analitik zmle daha iyi anlalacaktr.

5.4.2 DAlembert zm

Titreen yay problemi aslnda analitik zm elde edilebilen bir problemdir. Bu analitik zmDAlembert zm olarak bilinir.

Yayn telemeleri iin zmn, Fve G keyfi fonksiyonlar olmak zere

( ) ( ) ( ),u x t F x ct G x ct = + + (5.34)

eklinde olduunu varsayalm. Bu ifadenin zamana ve konuma gre ikinci trevlerihesaplanrsa

( )

( )

( )

( )' '

x ct x ct u F GF c G c

t x ct t x ct t

+ = + =

+

( )'''' GFcx

u+=

2

2

2

( )( )

( )( )

' ' x ct x ct u F G

F G x x ct x x ct x

+ = + = +

+

'''' GFx

u+=

2

2

ve yayn osilasyon hareketi iin daha nceden kartlan (5.30) denkleminde kullanlrsa

2 2

2 2

u Tg u

t w x

= ( ) ( )'' '' '' ''2

Tgc F G F G

w+ = +

denklemin 2Tg

cw

=

iin saland grlr. Bu sonu, Fve G fonksiyonlarnn balang ve snr koullar salanacakbiimde bulunmas halinde (5.30) denkleminin zmnn elde edilecei anlamna

gelmektedir.

Balang koullarnn

( ) ( ) ( ) ( ), ; ,u

u x 0 f x x 0 g xt

= =

eklinde verildiini varsayalm. zm iin

( ) ( ) ( ) ( ), x ct

x ct

1 1u x t f x ct f x ct g d

2 2c

+

= + + + (5.35)

eklindeki bir kombinasyonun (5.34) bantsyla ayn biimde olduu ve snr koullarnsalad gsterilebilir. Nitekim (5.35) bantsnda t=0 konduunda


26/35



25

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xfdgc

xfxfxux

x

=++= 21

2

10,

elde edilmekte olup hzlar iin balang koullarnn saland grlmektedir. Ayrca (5.35)bantsnn tye gre trevi alnrsa

( ) ( ) ( ) ( ), x ct

x ct

1 1u x t f x ct f x ct g d

2 t 2c t

+

= + + +

ilk terim iin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

1 1 f x ct f x ct c f x ct c f x ct

2 t 2

c f x ct f x ct

2

+ + = + +

= +

ve integral terimi iin de I() fonksiyonu g() fonksiyonun integrali olmak zere

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]ctxgctxg

ctxgcctxgcc

ctxIctxItc

Itc

dgtc

ctx

ctx

ctx

ctx

++=

+=

+

=

=

+

+

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

olup bu iki bantda t=0 konarak balang annda trev iin

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ' 'u c 1

x 0 f x f x g x g x g xt 2 2

= + + =

elde edilir. Bylece ivme iin de balang koullarnn saland grlmektedir.

Bu ekilde (5.35) denkleminin titreen yay probleminin analitik zm olduu gsterilmitir.imdi daha nce (5.32) bantsyla nerilen saysal zmn yukardaki rnek problem iin(5.35) denklemini ne lde karladn grmeye alalm. ncelikle

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2 2

t tTg

1 c 1 x c t w x x

= = =

olup ayet herhangi bir t=tk=ktannda herhangi bir x=xi=ixkonumundaki teleme uik ile

gsterilirse

( ) ( )kc t c k t k c t k x= = =

olup bu teleme iin (5.34) bantsndan

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

k

i i k i k u F x ct G x ct F i x k x G i x k x

F i k x G i k x

= + + = + +

= + + (5.36)

bulunur. Bu bant yardmyla


27/35



26

k 1 k k k 1

i i 1 i 1 iu u u u+

+= + (5.32)

denklemindeki her bir terim yazlrsa

( ) ( )ki 1u F i 1 k x G i 1 k x+ = + + + +

( ) ( )ki 1u F i 1 k x G i 1 k x = + +

( ) ( )k 1iu F i k 1 x G i k 1 x = + + +

( ) ( )k 1iu F i k 1 x G i k 1 x+ = + + +

Verilen rnekte Fve G fonksiyonlarxdeikeninin lineer fonksiyonlar olup

( ) ( ) ( )F a F b F a b+ = + ( ) ( ) ( )G a G b G a b+ = +

zellikleri geerlidir. Bu koulla yukardaki ilk bant (5.32) denkleminin sa tarafndayerletirildii taktirde

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

k k k 1

i 1 i 1 iu u u F i 1 k x G i 1 k x

F i 1 k x G i 1 k x

F i k 1 x G i k 1 x

++ = + +

+ + + + +

+ +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

k k k 1

i 1 i 1 iu u u F i 1 k x i 1 k x i k 1 xG i 1 k x i 1 k x i k 1 x

++ = + + + + +

+ + + +

( ) ( )k k k 1i 1 i 1 ik 1

i

u u u F i k 1 G i k 1 x

u

+

+

+ = + + +

=

elde edilir. Grld gibi (5.32) eitlii salanmaktadr.

Bu incelemeden elde edilen sonu basit (5.32) bantsnn ilk zaman adm iin tam (exact)sonu verdii eklindedir. Buna gre daha sonraki admlar da tam (exact) sonu verecektir.

5.4.3 Balang annda hzlarn sfr olmamas hali

nceki rnekte balang hzlar sfr olmak zere bir yayn osilasyon hareketi incelenmiti.imdi balang hznn sfr olmamas halinde ne yaplabileceini grmeye alalm. (5.33)denklemi hesaplarn balatlmas iin hayli basit bir denklem olmakla birlikte verdii sonularndoruluu nceki rnekte sadece g(x)=0 hali iin gsterilmitir. zleyen rnekte g(x) sfrolmad taktirde (5.33) denkleminin nasl doru olmayan sonu verdii gsterilecek, ayrcabalang iin daha iyi bir yol ortaya konacaktr.

rnek:

9 birim uzunluktaki bir yay balangta iki u noktas arasnda bir doru paras biimindedenge durumundadr. Osilasyon hareketi bu yaya arplarak balatlmakta olup bu bakmdanbalang anndaki h zlar sfrdan farkldr ve u/t=3sin(x/L) eklinde verilmitir. Bir t

zaman admnn sonundaki telemeleri hesaplaynz.


28/35



27

Hesaplamalar iin x= 1 ve c2 =Tg/w= 4 alnz.

x= 1 ve yayn uzunluu 9 birim olduu iin yay zerinde 9 aralk ve 8 adet i hesap noktasbulunacaktr.

Hesaplamalarda

2 Tg

c 4w= = al

nmas

ngrlm olup, ayr

ca

( )

( )

2

2

Tg t

1w x

= olduundan

( )

( )

( )

( ).

2 2

2

2 2 2

t t 1 x 1c 1 t 0 5

c c 2x x

= = = = =

elde edilir.

Birinci zaman admndaki telemelerin hesaplanmas iin daha nce (5.33) denklemikullanlmt. Ancak (5.35) denklemi dikkate alnarak hesaplar iin bir baka yol daha olduugrlebilir. Nitekim (5.35) denkleminde t=tkonursa ve ct=xolduu dikkate alnrsa

( ) ( ) ( ) ( ),x x

i i i

x x

1 1u x t f x x f x x g d

2 2c

+

= + + +

( ) [ ] ( )

+=

+

+

x

xx

iiidg

cuutxu

2

1

2

1 01

0

1, (5.37)

elde edilir. Bu denklemin (5.33) denkleminden tek fark sonuncu terimidir. ayet g(x)=Sbalnrsa bu terimler de ayn olacaktr. Ancak imdiki rnekte olduu gibi g(x) sabit olmadnda(5.37) denklemindeki integralin bir ekilde hesaplanmas gerekmektedir.

Aadaki tabloda yayn sadece sol yarsndaki 4 nokta iin her iki teknikle (5.33 ve 5.37denklemleri kullanlarak) elde edilen sonular analitik sonularla birlikte verilmitir. Yayn sayarsndaki zmler simetrik olacaktr. Balang hzlar sfr olduu iin bu iki denklemdorudan

( ) ( ) txgtxuii

=, ve ( ) ( )

=

+

x

xx

idg

ctxu

2

1, , ( )

=

Lxg sin3

eklinde uygulanmtr. (5.37) denklemindeki integralin saysal hesabnda Simpson 1/3yntemi kullanlm

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]11 4

32

1

2

1+

+

++=

= iii

i

xx

xx

i xgxgxgx

cdg

ctxu ,

analitik integral ise

( ) ( )

=

=

= +

+

+

11

3

2

13

2

1

2

1 1

1

ii

x

xi

xx

xx

i xL

xL

L

cd

Lcdg

ctxu

i

i

coscossin,

eklinde hesaplanmtr.


29/35



28

x ui (x,0) g (xi) (5.33) denklemi

0.0 0.0 0.00000 Simpson 1/3 integrali Analitik integral

1.0 0.0 1.02606 0.51303 0.50272 0.50267

2.0 0.0 1.92836 0.96418 0.94480 0.94472

3.0 0.0 2.59808 1.29904 1.27292 1.27282

4.0 0.0 2.95442 1.47721 1.44752 1.44739

5.0 0.0 2.95442

(5.35) denklemi

Bu sonular gstermektedir ki saysal integral kullanlarak (5.35) denklemi ile elde edilensonular analitik sonularla hemen hemen ayn iken (5.33) denklemiyle elde edilen sonulardaha az dorudur. (5.33) denklemi kullanlrken xin (ve sonu olarak tnin) kltlmesiylehassasiyet arttrlabilir.

5.4.4 ki boyutlu dalga denklemi

Sonlu fark yntemi iki- veya -boyutlu hiperbolik ksmi diferansiyel denklemlerin zm iinde uygulanabilir. ki-boyutlu hal iin tipik bir problem bir membrann titreim hareketidir.

Dikdrtgensel bir ereve iine gerilmi ince, bklebilir bir membrann titreimi problemi

w

Tgc

y

u

x

uc

t

u=

+

= 2

2

2

2

2

2

2

2

,

hiperbolik denklemiyle modellenir. Buradaxve ykoordinatlar, tzaman ve u da telemeleribelirtmektedir. Tbirim uzunluk bana niform gerilme, g yer ekimi ivmesi, wde birim alanbana arlktr.

x=y=h olmak zere merkezi farklarla ayrklatrma yaplarak

( ) 211112

2

11 42

h

uuuuuc

t

uuu kjik

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji ,,,,,,,, +++=

+ +++

(5.38)

ve yeni zaman adm iin dzenleme yaplarak

( ) ( ) ( )

++++

= ++

+2

22

1

11112

22

1 212h

tcuuuuuu

h

tcu kji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji ,,,,,,, (5.39)

elde edilir. ayet

( )2

12

22

=

h

tc

alnrsa sonuncu terim yok olur

( ) 11111

1

2

1 ++

+ +++= kjik

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji uuuuuu ,,,,,, (5.40)

Birinci zaman admndaki zm iin balang annda zamana gre merkezi farklarla

( )ii

jijiyxg

t

uu

t

u+=

=

+

2

11

0

,, ( )iijiji yxgtuu ,,, =+ 211


30/35



29

yazlp son denklemde kullanlarak

( ) ( ) ( )iijijijijiji

yxgtuuuuu ,,,,,, ++++= +++ 0

1

0

1

0

1

0

1

1

4

1(5.41)

bulunur.rnek:

xy-Dzleminde 0x 2 , 0 y 2 kare blgesinde birereve ierisine gerilmi olan membran iin c2=Tg/w=3olup membrann eitli noktalarndaki ilk hzlar ve telemeler

( ) ( ) ( )yyxxuyxg == 220 ,,

olarak verilmitir. telemelerin zamanla deiiminihesaplaynz. Hesaplamalar iin x=y=h=1/2 alnz.

Seilen hcre genilii ile 9 adet i nokta (hesap noktas)elde edilir.

y

x

x=2

y=2

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Zaman adm( )

2

12

22

=

h

tc 20410

23

50

2.

.=

==

c

ht

lk hzlar 0=jig , olup

ilk zaman admnda ( )01

0

1

0

1

0

1

1

4

1++

+ +++=jijijijiji

uuuuu ,,,,,

sonraki zaman admlarnda ( ) 1111112

1 ++

+ +++= kjik

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji uuuuuu ,,,,,,

ile hesap yaplacaktr.

Problemin analitik bir zm 0 x a , 0 y b blgesinde dikdrtgensel bir ereveyegerilmi membran iin balang koullarnda telemeler ( ) ( )yayxaAxu = olmak zere

( )

=

=

=

1 1

2

2

2

2

m n

mn

b

n

a

mtc

a

yn

a

xmBtyxu cossinsin,,

( )( )

= nmnm

AbaB

mncoscos 11

16333

22

eklinde verilmektedir.

Aadaki tabloda eitli zaman admlarnda elde edilmi zmler yer almaktadr. Ayn tabloya1, 2 ve 5 numaral noktalardaki analitik zmler de konulmutur.


31/35



30

Nokta 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.0

y 0.5 0.5 0.5 1.0 1.0 1.0 1.5 1.5 1.5 0.5 0.5 1.0

t 0.2041

0.000 0.563 0.750 0.563 0.750 1.000 0.750 0.563 0.750 0.563 0.563 0.750 1.000

1 0.204 0.375 0.531 0.375 0.531 0.750 0.531 0.375 0.531 0.375 0.380 0.536 0.755

2 0.408 -0.031 0.000 -0.031 0.000 0.063 0.000 -0.031 0.000 -0.031 -0.044 -0.009 0.083

3 0.612 -0.375 -0.531 -0.375 -0.531 -0.750 -0.531 -0.375 -0.531 -0.375 -0.352 -0.539 -0.813

4 0.816 -0.500 -0.750 -0.500 -0.750 -1.125 -0.750 -0.500 -0.750 -0.500 -0.502 -0.746 -1.114

5 1.021 -0.375 -0.531 -0.375 -0.531 -0.750 -0.531 -0.375 -0.531 -0.375 -0.407 -0.535 -0.691

6 1.225 -0.031 0.000 -0.031 0.000 0.063 0.000 -0.031 0.000 -0.031 -0.015 0.008 0.030

7 1.429 0.375 0.531 0.375 0.531 0.750 0.531 0.375 0.531 0.375 0.410 0.534 0.688

Analitik zm

Sonlu-fark zmlerinde bir simetri mevcut olup belli frekanslarla tekrarlanmaktadr. Analitikzmlerle tam bir uyum yoktur.

( )

2

12

22

=

h

tc

orannn azaltlmas ortalama hassasiyette bir iyilik yaratmaz. Analitik zmlere yaklamakiin h hcre geniliinin azaltlmas gereklidir. Bu durumda Dt de azalacak olup bylece dahafazla zaman admnda hesap yaplmas gerekecektir. Bu da bilgisayar sresi asndan olumsuzbir durumdur. Bu bakmdan Crank-Nicolson veya ADI gibi kapal yntemlerin kullanlmasnerebilir.


32/35



31

Ek 5

SONLU FARK FORMLASYONLARI

Ksmi diferansiyel denklemlerde yer alan trevlerin bilgisayarda saysal hesab iin yaklakformda yazlmas gerekir. Bu tip ayrklatrma ilemlerine genel olarak sonlu fark formlasyonuad verilir.

Sonlu fark formlasyonlar ou zaman Taylor seri almna dayanlarak yaplr. Bunun yanndapolinomlar yardmyla da ayrklatrma yaplabilir.

Taylor seri alm ve Birinci trev iin yaklamlar

Bir f(x) fonksiyonunun (x+x) noktasndaki deeri Taylor seri alm ile

n

n

1n

3

33

2

22

x

f

!n

)x()x(f

.......x

f

!3

)x(

x

f

!2

)x(

x

f)x()x(f)xx(f

+=

+

+

+

+=+

=

(Ek5.1)

eklinde yazlabilir. Buradan birinci trev ekilirse;

.......

!3

)(

!2

)()()(

3

32

2

2

+=

fx

x

fx

x

xfxxf

x

f(Ek5.2)

veya

.......x

f

!3

)x(

x

f

!2

)x()x(O

3

32

2

2

=

(Ek5.3)

hata terimi olmak zere ksaca,

)()()(

xOx

xfxxf

x

f+

+

=

(Ek5.4)

yazlabilir. Bu ifade fbyklnn x e gre birinci trevi iin yaplm birinci dereceden biryaklamdr. ndissel formda

( )xOx

ff

x

f i1i

i

+

= + (Ek5.5)

eklinde gsterilir ve trev iin birinci mertebeden ileri fark formlasyonu olarak adlandrlr.Adm uzunluu azaltldka bu yaklak formln gerek treve o kadar yakn olaca aktr.

Taylor alm,

.......!3

)(

!2

)()()()(

3

33

2

22

+

+

=fxfx

x

fxxfxxf (Ek5.6)


33/35



32

eklinde yazlarak benzeri ilemlerle

( )i i 1i

f ffO x

x x

= +

(Ek5.7)

eklinde birinci mertebeden geri farkformlasyonu, veya (Ek5.1) ve (Ek5.6) Taylor almlarbirbirinden kartlarak

......x

f

!3

)x(2

x

fx2)xx(f)xx(f

3

33

+

+

=+

(Ek5.8)

benzeri ilemler sonucu

( )21i1ii

xOx2

ff

x

f

+

=

+ (Ek5.9)

eklinde merkezi farkformlasyonu elde edilebilir. Bu formlasyonun ikinci mertebeden olduudikkati ekmektedir.

Birinci trev iin yazlan formlasyonlarda hangi a noktalarnn kullanld aadaki ekildegsterilmektedir.

y

x

f(x+x)f(x)

x x+x

a) leri fark b) Geri fark c) Merkezi fark

y

x

f(x-x)f(x)

xx-x

y

x

f(x+x)f(x)

x x+x

f(x-x)

x-x

kinci trev iin formlasyon

Taylor serisinin (x+2x) ve (x-2x) noktalarndaki almlar

.......x

f!3)x2(

xf

!2)x2(

xf)x2()x(f)x2x(f 3

33

2

22

++++=+ (Ek5.10)

.......x

f

!3

)x2(

x

f

!2

)x2(

x

f)x2()x(f)x2x(f

3

33

2

22

+

+

=

(Ek5.11)

eklinde yazlabilir. (Ek5.1) eitlii 2 ile arpp (Ek5.10) denkleminden kartlrsa;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .....2 3

2 3

2 3

f ff x 2 x 2 f x x f x x x

x x

+ + = + + +

(Ek5.12)

ve buradan ikinci trev ekilirse,


34/35



33

)x(O)x(

)x(f)xx(f2)x2x(f

x

f22

2

+

+++=

(Ek5.13)

elde edilir. Bu bant indissel formda yazlarak ikinci trevin

( )xO)x(

ff2f

x

f2

i1i2i

i

2

2

++= ++ (Ek5.14)

eklinde ileri fark forml elde edilir. Benzeri ilemler (Ek5.1) ve (Ek5.11) seri almlararasnda yaplrsa ikinci trevin geri fark forml

( )xO)x(

ff2f

x

f2

2i1ii

i

2

2

++

=

(Ek5.15)

eklinde ve (Ek5.1) ve (Ek5.2) bantlar birbiriyle toplanarak benzeri ilemler sonucu ikinci

trevin merkezi fark forml

( )22

1ii1i

i

2

2

xO)x(

ff2f

x

f

+

+=

+ (Ek5.16)

eklinde elde edilir.

Sonlu fark denklemi

Bir ksmi diferansiyel denklemde yer alan btn trevler yukarda gsterilen yntemlerleayrklatrlarak denklemin tamam ayrk formda yazlr ve saysal zm bu ekilde aratrlr.

rnek olarak bir f = f( t , x , y ) baml deikenine ait

+

=

2

2

2

2

y

f

x

f

t

f (Ek5.17)

denklemini ayrklatralm. Zamana gre trevin sonlu fark almnda n st-indisi, konumagre trevlerin sonlu fark almlarnda da xynnde ialt-indisi ve yynnde de jalt-indisikullanalm. tannda f fonksiyonunun btnx ,y konumlarndaki deerleri bilinsin. Buna grezamana gre trevin ileri farkla hesaplanmas uygun olur:

)t(Otff

tf

n

j,i

1n

j,i

+=

+

(Ek5.18)

Konuma gre trevlerin tn annda veya tn+1 annda ayrklatrlmasna gre iki farkl sonlu farkdenklemi elde edilebilir. tnannda ayrklatrlma yaplrsa

( )2

2

nj,1i

nj,i

nj,1i

2

2

)x(Ox

ff2f

x

f

+

+=

+(Ek5.19)

( )

2

2

n1j,i

nj,i

n1j,i

2

2

)y(O

y

ff2f

y

f

++

=

+(Ek5.20)

Bylece (Ek5.17) denkleminin sonlu fark formlasyonu


35/35

Blm 5- Ksmi diferansiyel denklemlerin saysal zm 34

( ) ( )

( ) ( )[ ]222

n1j,i

nj,i

n1j,i

2

nj,1i

nj,i

nj,1i

nj,i

1nj,i

y,x,tO

y

ff2f

x

ff2f

t

ff

+

++

+=

+++

(Ek5.21)

ekline gelir. tn+1annda ayrklatrlma yapld taktirde ise

( ) ( )

( ) ( )[ ]222

1n1j,i

1nj,i

1n1j,i

2

1nj,1i

1nj,i

1nj,1i

nj,i

1nj,i

y,x,tO

y

ff2f

x

ff2f

t

ff

+

++

+=

+++

++

++

++

(Ek5.22)

elde edilir.

Bu iki formlasyon arasndaki temel farkllk elde edilen ayrklatrlm denklemlerdekibilinmeyen saysdr. (Ek5.21) denkleminde bir tek bilinmeyen var iken, (Ek5.22) denkleminde

5 bilinmeyen vard

r.(Ek5.21) denklemi btn a noktalarnda kolaylkla hesaplanr ve bu formlasyona "ak(explicit) formlasyon" ad verilir.

Buna karlk (Ek5.22) denkleminin her bir a noktasnda bamsz olarak zm mmkndeildir. Btn a noktalarnda yazldktan sonra elde edilen denklem sisteminin e zamanlolarak zlmesi gerekir. Bu nedenle bu formlasyona "kapal (explicit) formlasyon" adverilir.

Documents

05- Kısmi diferansiyel denklemler