06_matematica

1 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 6

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MATEMÁTICA

SEMANA 6

FUNCIONES.

PARTE I



ÍNDICE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................... 4

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4

FUNCIÓN ............................................................................................................................................. 5

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ............................................................................................................... 9

RECORRIDO DE UN FUNCIÓN ............................................................................................................ 13

MODELAMIENTO ............................................................................................................................... 16

COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 20

REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 21


FUNCIONES (PARTE I)

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar una función.

Aplicar el proceso que permite determinar el dominio y el recorrido de una función.

Identificar la gráfica de una función.

INTRODUCCIÓN

En casi todo fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la

estatura depende de la edad, la temperatura promedio de un día depende de la fecha, el costo de

enviar por correo un paquete depende de su peso. Se usa el término función para describir esta

dependencia de una cantidad sobre otra. Es decir, se expresa lo siguiente:

1) La altura es una función de la edad.

2) La temperatura es una función de la fecha.

3) El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso.

Las empresas de correo emplean una regla simple para determinar el costo de enviar un paquete

de acuerdo a su peso. Pero no es fácil describir la regla que relaciona el peso con la edad o la

temperatura con la fecha.

Se puede observar que las funciones son importantes, ya que permiten modelar situaciones

reales.


FUNCIÓN

Relación: es un conjunto formado por pares ordenados (Zill y Dewar, 1999, p. 121).

Ejemplos:

1) R= {(-1,2); (8,5); (-1,7)}

Se observa que los elementos del conjunto R son pares ordenados, por lo tanto este conjunto

corresponde a una relación.

2)

Se observa que la gráfica está constituida por pares ordenados, por lo tanto corresponde a una

relación.

En ambos ejemplos se tiene que para algunos valores de x existen asociados distintos valores de

y , por ejemplo, en la relación anterior de 1), el valor -1 está relacionado con el 2 y el 7, donde el 2

es diferente al 7.

Existen relaciones en las que cada valor x (correspondiente a la primera coordenada de los pares

ordenados) está relacionado con un único valor y , cuando esto sucede, la relación se denomina

función.

Una función de un conjunto X en un conjunto Y es una regla de correspondencia que le asigna a

cada elemento x en X uno y solo un elemento y enY (Zill y Dewar, 1999, p. 143).


Observación:

1) Dada una gráfica se puede determinar que es una función, si al dibujar una línea vertical

sobre la gráfica, dicha línea corta solo una vez la función.

2) Si una gráfica no es una función, entonces, se le llama relación, ya que está constituida

por pares ordenados.

3) A la expresión xf se le llama la imagen de x por f .

4) Una función puede estar dada por una fórmula explicita como, por ejemplo:

1 xxf

A continuación se muestra una gráfica de una función:

Fuente: Material elaborado para este curso por Hidalgo (2014).

Ejercicios:

1) Dada la siguiente función 12 xxxf , definida de R en R . Calcular 40 fyf :

Solución:

Es fácil ver que 21410 fyf , es decir las imágenes de 0 y 4, bajo esta función, son 1 y

21 respectivamente.

También existe el tipo de función que se denominan funciones por partes o por ramas y son

aquellas que pueden incluir más de una fórmula en tramos diferentes del dominio (Zill y Dewar,

1999, p. 147).


Ejercicios:

1) En la siguiente función por ramas

01

0

xsi

xsixxf , determine 31 fyf :

Solución:

Se observa que el número 1 es mayor que cero, luego pertenece al primer tramo de la función y

en ese caso la expresión algebraica que representa a la función es xxf , luego 11 f .

Se observa que el número -3 es menor que cero, luego pertenece al segundo tramo de la función

y, en ese caso, la expresión algebraica que representa a la función es 1xf , luego 13 f .

2) En la siguiente función por ramas

12

112

xsix

xsixxg , determine 20 gyg :

Solución:

Se observa que el número 0 es menor que 1, luego pertenece al segundo tramo de la función y, en

ese caso, la expresión algebraica que representa a la función es 2 xxg , luego

2200 g .

Se observa que el número 2 es mayor que 1, luego pertenece al primer tramo de la función y en

ese caso la expresión algebraica que representa a la función es 12 xxf , luego

514122 2 g .

3) Determine si las gráficas a) y b) son funciones:

a)

Solución:

No lo es, pues al deslizar una recta sobre el gráfico se observa que la recta, corta a la gráfica en

dos puntos:


b)

Solución:

Sí es función, ya que cualquier recta vertical, corta en un solo punto a la gráfica:

Ejercicios propuestos

A continuación, se sugiere revisar el video n° 1 de la semana que aparece en el apartado de

“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle el ejercicio 1) propuesto. Para resolver el

ejercicio propuesto 2).

1) Resolver:

Dada

104

122

2 xx

xxxxf

Determine:

a) 15f

b) 1f

c) 0f


2) Determine si las siguientes gráficas son funciones:

a)

b)

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Sea f función de A en B , se define, el dominio de f como el siguiente conjunto:

:AxfDom existe si By , tal que xfy

Es decir, el conjunto A se llama dominio de f (Smith, 2000, p. 18).

Los elementos que pertenecen al dominio se denominan preimagen.

Ejercicios

1) Dada 18 xxf determine la preimagen del valor 7.

Solución:

El valor 7 representa a xf , luego se debe resolver la ecuación, ya que se iguala la función al

número 7.

Se debe despejar la variable x :


718 x

Luego, el 1 se traspasa positivo:

178 x

Finalmente, se suma el 7 con el 1 y se divide por 8 para despejar x :

8

8

88

x

x

Se debe simplificar, lo que resulta:

1x

Por lo tanto, la preimagen del 7 es el 1, entonces se puede afirmar que el par ordenado (1,7)

pertenece a la función, esto es 71 f

2) Determinar el dominio de:

17

5

xx

xxf

Solución:

Cuando son funciones fraccionarias, para calcular el dominio, se debe exigir que el denominador

sea diferente de cero, esto es:

017 xx

Con esta desigualdad se debe exigir que cada factor sea diferente de cero, esto es:

01;07 xx

Se despeja la variable x en cada expresión:

101

707

xx

xx

Esto significa que el -7 y el 1 no pertenecen al dominio de la función, por lo tanto el dominio de f

es 1,7 RfDom


3) Determine el dominio de: xxf 32

Solución:

Para determinar el dominio de una función correspondiente a una raíz cuadrada, se debe exigir el

radical mayor e igual a cero, con la finalidad de que la expresión de la función sea real. Esto es:

032 x

Luego, se despeja la variable x aplicando el proceso de inecuaciones:

Se multiplica por -1, luego se invierte el

símbolo de desigualdad:

23 x

Se divide por 3: 23 x

3

2x

Luego, el dominio corresponde a:

3

2,fDom

4) Determine el dominio de:

4

32

x

xxf

Solución:

Se debe resolver la inecuación: 04

32

x

x

Para esto se debe aplicar, el conocimiento adquirido de las semanas anteriores.

Restricción:

Se exige que el denominador sea diferente de cero: 042 x

Se despeja el término que contiene a la variable: 42 x


Se extrae la raíz cuadrada:

2

4

42

x

x

x

Luego la restricción es: 2,2;2,2 xxR

Puntos críticos:

03 x

3x

042 x

0)2)(2( xx

2x ; 2x

Tabla de valores:

,32,2

,32,2

Domf

s p

Para determinar el dominio en la solución parcial se elimina el -2 y 2, ya que estos números son los

indicados en la restricción, es por esto que se debe abrir el intervalo correspondiente en esos

números.

Ejercicios propuestos:

1) Dada 75)( xxf , determine la preimagen del número 9.

2) Determine el dominio de:

a) 122

9)(

2

xx

xxf


b) )2)(1(

39)(

xx

xxf

c) xxf 59)(

RECORRIDO DE UN FUNCIÓN

Sea f función de A en B , se define, el recorrido de f como el siguiente conjunto:

xfyquetalAexisteByfc :Re

Es decir, el conjunto de todos los valores )(xf en B , se llama el recorrido de f (Smith, 2000, p.

18).

Los elementos del recorrido se denominan imágenes. Para determinar el recorrido se debe

reemplazar )(xf por y , luego se despeja x , finalmente se restringe.

Ejercicios:

1) Determine la imagen del 1 vía la función: 12)( 2 xxxf

Solución

Para determinar la imagen del 1 se debe reemplazar: 1x

2

121

112112

f

Luego, la imagen de 1 es, 2 , por lo tanto el punto )2,1( pertenece a la función.

2) Determine el recorrido de:

a) 4

7

x

xxf

Solución:

yx

x

4

7se reemplaza xf por y


741

74

47

47

yyx

yxyx

yxyx

xyx

Se despeja x :y

yx

1

74

Restricción:

1

1/1

01

y

y

y

1Re Rfc

b) 12 xxf

Solución:

0;12 Ryyx

2

1

12

12

2

2

2

yx

yx

yx

Como 02 no existe restricción y la respuesta sería R , pero como y al comienzo era igual a una

raíz cuadrada, se debía exigir 0Ry , por lo tanto: 00Re RRRfc


En los siguientes ejercicios encuentre en R el recorrido de las funciones:

a) xxf 25)(

b) 2

)(

x

xxf

c) xxf

1)(


A continuación, se sugiere revisar el video n° 2 que aparece en el apartado de “Videos de la

semana”. Posteriormente, desarrolle los siguientes ejercicios.


MODELAMIENTO

Antes de utilizar la matemática en la solución de problemas reales, hay que formular problemas en

el lenguaje de las matemáticas. Este proceso se llama modelación matemática. Muchos modelos

matemáticos se describen mediante el concepto de función, para ello lo que se debe encontrar

como están relacionadas las variables involucradas.

Ejercicios desarrollados

1) Hay que construir una caja abierta a partir de un pedazo rectangular de cartulina de 16

pulgadas de largo y 10 pulgadas de ancho, cortando cuadrados idénticos de x pulgadas en

cada esquina y doblando las solapas resultantes. Determinar una expresión para el volumen v

de la caja. ¿Cuál es el dominio de la función?

Solución:

Las dimensiones de la caja son entonces x216 pulgadas de largo y x210 pulgadas de

ancho por x pulgadas de alto. Luego, el volumen es:

xxxxxxv 160524210216 23

Como las dimensiones deben ser todas positivas, es decir:

0216 x ; 0210 x y 0x

O sea:

8x ; 5x y 0x las tres desigualdades se satisfacen en forma simultánea si: 5,0x

2) Una ventana consta de un rectángulo, con un semicírculo en la parte superior. Exprese el área

a de la ventana como una función del ancho x , si se sabe que el perímetro de la ventana es de

30 m.


Solución:

El radio del semicírculo es 2

x. Luego, el perímetro de la parte superior de la ventana es

22

x . Se

observa que el perímetro de la parte inferior de la ventana es: yx 2

Luego, el perímetro total es: yxx

22

2

El enunciado se afirma que este perímetro es 30, luego se tiene:

302

3022

2

yxx

yxx

Se debe despejar y :

2215

302

xxy

xxy

El área de la ventana es:

2

2,

xyxyxa

Correspondiente a la suma del área del rectángulo y de la semicircunferencia.

2

22215

xxxxxa


1) Hay que construir una caja abierta a partir de un pedazo rectangular de cartulina de 26

pulgadas de largo y 20 pulgadas de ancho, cortando cuadrados idénticos de x pulgadas

en cada esquina y doblando las solapas resultantes. Determinar una expresión para el

volumen v de la caja. ¿Cuál es el dominio de la función?

Se reemplazó la variable y por la expresión22

15xx

, para que la función quedara definida

solo dependiendo de la variable x .



2) Una persona construirá una puerta, como se muestra en la siguiente figura:

Dispone de 60 m de perfil de aluminio para construir el marco y la división. Determine la

función que representa el área de la puerta en función de su ancho.

A continuación, se sugiere revisar el video n° 3 de la semana que aparece en el apartado de

“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle el siguiente ejercicio.


COMENTARIO FINAL

Todos los conocimientos incorporados en las semanas anteriores se ven reflejados en esta parte

del curso: los elementos de modelación, manejo algebraico de números reales y de expresiones

racionales. La resolución de ecuaciones comienza a cobrar todo su sentido en esta semana. Las

funciones son la forma que tienen las matemáticas para poder plantear situaciones donde el valor

de la variable se desconoce e intenta comprender los problemas para todos los valores que esta

variable pueda tomar. Así como en las expresiones algebraicas es necesario conocer el dominio de

esta, en las funciones también es vital para poder saber qué valores puede y qué valores no puede

asumir dicha variable. Por otro lado, el rango o recorrido describe qué valores toma la función

cuando se la evalúa en los distintos valores que puede tomar la variable en estudio.


REFERENCIAS

Smith, R. (2000). Cálculo. Colombia: McGraw-Hill.

Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson.

Zill, D. y Dewar, J. (1999). Álgebra y trigonometría. Colombia: McGraw-Hill.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE:

IACC (2015). Funciones. Parte I. Matemática. Semana 6.


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