VektoR

VektorVektor

Penyajian Vektor

• Vektor sbg pasangan bilangan– u = (a,b)• a : komponen mendatar, b : komponen vertikal

• Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j– u = ai + bj

• Panjang vektor u ditentukan oleh rumus

b

au

22|u| ba

Kesamaan Vektor• Dua buah vektor dikatakan sama besar bila

besar dan arahnya sama.– Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) – Jika u = v, maka • |u| = |v| • arah u = arah v• a=c dan b=d

a b

Dua vektor sama, a = b

a b

Dua Vektor mempunyai besar

sama, arah berbeda

a b

Dua vektor arah sama, besaran beda

ab

Dua Vektor besar dan arah berbeda

Sifat-Sifat Operasi Vektor

• Komutatif a + b = b + a• Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c)• Elemen identitas terhadap penjumlahan• Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga

berupa vektor • Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|• 1u = u • 0u = 0, m0 = 0.• Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

Lanjutan ....

• (mn)u = m(nu)• |mu| = |m||u|• (-mu) = - (mu) = m (-u)• Distributif : (m+n)u = mu + nu • Distributif : m(u+v) = mu + mv • u+(-1)u = u + (-u) = 0

Contoh Sifat Vektor:* Komutatif :

a b b a

* Assosiatif :

( ) ( )a b c a b c

Penjumlahan Vektor

• Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang

• Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

vu w = u + vw = u + v

u

v

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

au

Pengurangan Vektor

• Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v)

• Dalam bentuk pasangan bilangan

vu

w = u - v -v

u

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

au

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenguranga

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenjumlaha

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

cos||||2|||||| 22 vuvuvu u + v

u

v

θ

cos||||2|||||| 22 vuvuvu u

vu-v

θ

Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

npenjumlaha hasilr arah vekto:

sin

||

)sin(

||

sin

||

vuvu

u + v

u

v

α

u

vu-v

α

β

npenguranga hasilr arah vekto:

sin

||

)sin(

||

sin

||

vuvu

β

Komponen vektor• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem

koordinat

Komponen vektor : a cos dan sinx ya a a a

Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus :

Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus :

Dalil sinus :

Besar vektor : a

2 2 dan tan xx y

y

aa a a

a

s

2 2 2 coss a b ab

dan a b

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

sin sin sin

a b c

Vektor satuan:

Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda : ˆˆ ˆ, dan i j k

• Penjumlahan vektor dengan komponen

Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut :a

b

ˆ ˆx ya a i a j

ˆ ˆx yb b i b j

x x x

y y y

z z z

s a b

s a b

s a b

Vektor Ortogonal

• Teorema– Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah

nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus

• Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.

• Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.• Untuk vektor bukan-nol

– a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90o = π/2

Perkalian vektor :• Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan

menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s.

• Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar ProductDikenal sebagai : Dot product

a

a

a

a

. cosa b ab

Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :

Scalar product berlaku hukum komutatif

Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :

Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :

. ( cos )( ) ( )( cos )a b a b a b

. .a b b a

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ. ( ).( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k

. x x y y z za b a b a b a b

Menghasilkan vector : Vector ProductDikenal sebagai : Cross Product

Dengan besar c adalah :

sinc ab

x a b c

Besaran x a b

ditulis x 0a b

jika //a b

dan maksimum jika a b

Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor

c

dan a b

dikenal sebagai hukum tangan kanan.

x ( x )b a a b

Penulisan dalam vektor satuan :

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( ) x ( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k

ˆ ˆ ˆ ˆ x ( x ) 0x x x xa i b i a b i i

ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( x )x y x y x ya i b j a b i j a b k

Hasil akhir :

ˆˆ ˆ x ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b a b b a i a b b a j a b b a k

Latihan soal :• Dua buah vektor bertitik tangkap sama

saling mengapit dengan sudut . Jika besar vektor

dua kali vektor dan , hitung !Jawab :

dan a b

a

b

3a b a b 2 2

2 2

2 cos

2 cos

a b a b ab

a b a b ab

2 2 2 22 cos 3 2 cosa b ab a b ab

2 216 cos 10 b b

051,32

• Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama.

Jawab :

Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus

Dalil Cosinus :

Dalil Sinus :

2 2 01 2 1 22 cos 45

458,7

21,4 satuan

r v v v v

r

r

2 2 22 1 1

0

2 cos

297,7 342,4 cos =29,6

v v r v r

20

0

sin sin 13515(0,707)

sin =29,721,4

v r

• Diketahui 3 buah vektor

Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu zjika . Hitung juga sudut antara vektor ! Jawab :

Sudut antara dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor satuan arah sumbu z.

Sudut antara diperoleh dengan men”dot”kan keduanya.

ˆˆ ˆ1 3 4

ˆˆ ˆ1 2 2

ˆˆ ˆ3 1 3

a i j k

b i j k

c i j k

r

2r a b c

dan a b

2 2 2ˆˆ ˆ( 2) ( 7) (13) ( 2) ( 7) (13) 14,9 satuanr i j k r

r

dan a b

0

. 1.( 1) ( 3).( 2) 4.(2)

13 cos 13 cos = =31,8

26 9

a b

a b

0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ. ( 2) . ( 7) . (13) .

13 cos 13 cos = =29.3

14.9

r k i k j k k k

r k

• Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor b

mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut.

Jawab :Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:

Sehingga diperoleh :

0252

0 0 0252 90 162

0 . cos (5)(4)cos162 19 satuana b ab

0 x sin (5)(4) sin162 6,18 satuana b ab