1

ESTIMACIJA STANJA U ELEKTROENERGETSKOM SISTEMU

1. UVOD Elektroenergetski sistemi u današnjim uslovima predstavljaju vrlo složenu cjelinu čije planiranje, pogon i upravljanje treba udovoljiti brojnim zahtjevima, kako onim tehničke prirode, tako i onim ekonomskim koji posljednjih godina u skladu sa otvaranjem i liberalizacijom tržišta dolaze sve više do izražaja. Zbog intenzivnog razvoja i porasta potrošnje, elektroenergetski sistemi postaju sve veći i kompleksniji, pa dostizanje optimalnih uslova pogona u ovakvom ambijentu postaje sve teže zbog brojnih zahtjeva koje treba udovoljiti. Funkcija proračuna estimacije stanja danas postaje sve važnija kao primarni alat za nadzor elektroenergetskog sistema (EES) na temelju prikupljenih mjerenja iz realnog sistema i njegove utvrñene topološke strukture. Sve napredne funkcije današnjih SCADA/EMS (Energy Management System), kao što su analiza sigurnosti, optimalni tokovi snaga, a koje omogućavaju pouzdano i ekonomično voñenje sistema, značajno ovise o tačnosti podataka dobijenih iz proračuna estimacije stanja. Prije nego li se poduzme analiza sigurnosti ili bilo koja upravljačka akcija, mora se odrediti pouzdana procjena postojećeg stanja u EES-u. Za ovu namjenu fizička mjerenja ne mogu biti ograničena samo na njihove kvantitete kao podrška konvencionalnim proračunima tokova snaga. Ulazne velične za proračun tokova snaga su P i Q snage na potrošačkim čvorištima, te P i U vrijednosti na generatorskim (naponski upravljanim) čvorištima. Ako je čak jedna od ovih veličina neraspoloživa, rješenje tokova snaga ne može biti dobijeno. Osim toga, greške u jednoj ili više ulaznih veličina (kvantiteta) mogu izazvati neupotrebljive i nerealne rezultate u tokovima snaga. U praksi, drugi prikladni mjerni kvantiteti, kao što su P i Q tokovi u linijama mreže, su raspoloživi, ali oni ne mogu biti korišteni u proračunima tokova snaga. Sva ova navedena ograničenja mogu biti eliminisana koristeći estimaciju stanja baziranu na kriterijumu najmanjih težinskih kvadrata (Weighted Least-Squares – WLS). Greške mjerenja imaju statističku prirodu, zbog čega je i estimacija stanja u EES-u predmetom statističkog testiranja prije nego li postane prihvatljiva kao zadovoljavajuća.

2. OSNOVNI KONCEPT ESTIMACIJE STANJA Statička estimacija stanja podrazumijeva postupak u kojem se koriste mjerenja u sistemu da bi se izračunale vrijednosti odreñenih varijabli stanja u sistemu (moduli napona i uglovi napona na čvorištima). Kako sva mjerenja sadrže greške, u manjoj ili većoj mjeri, potrebno je formulisati 'najbolju' estimaciju, ili 'najbolju' procjenu veličine. Najčešće se u tu svrhu koriste tri kriterijuma:

1. kriterijum maksimalne vjerovatno će, gdje je cilj da se maksimizira vjerovatnoća da je estimirana promjenljiva

estx što bliže tačnoj vrijednosti x ;

2. kriterijum najmanje varijanse , gdje je cilj minimizirati očekivanu vrijednost sume kvadrata odstupanja komponenti vektora estimiranih promjenljivih stanja od vektora tačnih vrijednosti promjenljivih stanja;

3. kriterijum najmanjih težinskih kvadrata (Weighted Least-Squares – WLS), gdje je cilj minimiziranje sume kvadrata težinskih odstupanja estimiranog mjerenja

estx od stvarne

vrijednosti x . Svaki od navedenih kriterijuma definiše identičan estimator stanja ukoliko se greške pri mjerenjima raspodjeljuju saglasno Gauss-ovoj normalnoj raspodjeli i ne utiču jedna na drugu.

2

Da bi se shvatio koncept estimacije stanja, u nastavku će biti korišten jednostavan primjer baziran na linearizovanim tokovima snaga (DC load flow). Pretpostavljen je trosabirnički sistem koji radi sa opterećenjem i proizvodnjom kao što je ilustrovano na slici 1 (čvor 3 je referentni čvor). Informacije koje su jedino raspoložive iz ovog sistema su mjerenja MW tokova snaga (DC load flow model podrazumijeva zanemarene gubitke snage u sistemu) locirana kao što to pokazuje slika 2.

100 (MW)

60 (MW)

65 (MW)

X = 0,2 (pu)12

X = 0,4 (pu)X = 0,25 (pu)

13

23

5 (MW)

40 (MW)

35 (MW)

1 2

3

slika 1. Trosabirnički sistem sa raspodjelom tokova snaga na bazi DC modela

M 12

lokacijamjerenja

M13

M32

1 2

3

slika 2. Lokacije mjerenja tokova snaga u analiziranom trosabirničkom sistemu

Samo su dva od ovih mjerenja neophodna da bi se odredili uglovi napona na čvorištima sistema, kao i vrijednosti opterećenja i proizvodnje po čvorištima. Neka su raspoloživa mjerenja M13 i M32 i neka ova mjerenja daju 'perfektne' vrijednosti snaga u njihovim odgovarajućim prenosnim linijama:

13

32

5 ( ) 0, 05 ( )

40 ( ) 0, 40 ( )

M MW pu

M MW pu

= == =

Tada tokovi snaga u linijama 1-3 i 3-2 mogu biti postavljeni jednako ovim mjerenjima:

1 313 13

13

3 232 32

23

0, 05 ( )

0, 40 ( )

f M pux

f M pux

θ − θ= = =

θ − θ= = =

Pošto je ugao napona na čvorištu 3 poznat, 3 0 ( )radθ = , moguće je riješiti jednačinu 13f za dobijanje vrijednosti ugla 1θ , odnosno jednačinu 32f za dobijanje vrijednosti ugla 2θ , na osnovu kojih se dobija

1 0, 02 ( )radθ = i 2 0,10 ( )radθ = − .

3

Neka se sada analizira slučaj kada su sva mjerenja sa blagim greškama. Pretpostavimo da su dobijene sljedeće vrijednosti mjerenja:

12

13

32

62 ( ) 0, 62 ( )

6 ( ) 0, 06 ( )

37 ( ) 0, 37 ( )

M MW pu

M MW pu

M MW pu

= == == =

Ako koristimo samo mjerenja M13 i M32 kao i ranije, dobit ćemo po istoj proceduri sljedeće vrijednosti za uglove napona: 1 0, 024 ( )radθ = , 2 0, 0925 ( )radθ = − i 3 0 ( )radθ = (jer polazimo od činjenice da je čvor 3, referentni čvor). Ovo rezultuje u tokovima snaga u sistemu kao što je to ilustrovano na slici 3.

95,25 (MW)

58,25 (MW)

64,25 (MW)

M 12

M13

M32

6 (MW)

37 (MW)

31 (MW)

1 2

3

10, 024 ( )radθ =

20, 0925 ( )radθ = −

30, 0 ( )radθ =

slika 3. Tokovi snaga dobijeni od mjerenja M13 i M32

Napomenimo da se prognozirani tokovi snaga u linijama 1-3 i 3-2 prilagoñavaju mjerenjima M13 i M32, dok se tok u liniji 1-2 ne prilagoñava mjerenju 12 62 ( )M MW= . Ako sada ignorišemo mjerenje M13 i koristimo mjerenja M12 i M32, prema istoj proceduri dobit ćemo raspodjelu tokova snaga u sistemu kao što to ilustruje slika 4.

99 (MW)

62 (MW)

69,875 (MW)

M 12

M13

M32

7,875 (MW)

37 (MW)

29,125 (MW)

1 2

3

10, 0315 ( )radθ =

20, 0925 ( )radθ = −

30, 0 ( )radθ =

slika 4. Tokovi snaga dobijeni od mjerenja M12 i M32

Sve što trebamo učiniti jeste da prilagodimo mjerenje M12, ali uz zanemarenje mjerenja M13. Ono što trebamo jeste procedura koja koristi raspoložive informacije od sva tri mjerenja da bi se postigla najbolja procjena uglova napona, tokova snaga, kao i opterećenja i proizvodnje po čvorištima sistema. Već je rečeno da se procjena stanja u sistemu bazira na raspoloživim mjerenjima. Ponovimo da su u svakom pojedinačnom slučaju korištena mjerenja da bi se odredili uglovi napona na čvorištima 1 i 2.

4

Kada su ovi uglovi napona poznati, sve veličine koje nisu mjerene, takve kao tokovi snaga, opterećenja i proizvodnja generatora, mogu biti odreñene. Zbog toga ćemo varijable 1θ i 2θ (za analizirani sistem) zvati varijablama stanja pošto njihovo poznavanje omogućava da se odrede i druge veličine u sistemu. Generalno, varijable stanja u EES-u predstavljaju moduli napona na svim čvorištima i uglovi napona na svim čvorištima, osim referentnog (balansnog) čvorišta gdje se pretpostavlja ugao napona jednak 0. Važno je napomenuti da možemo koristiti realne i imaginarne komponente fazora napona po čvorištima ako se tako zahtijeva. Ako možemo koristiti mjerenja da bi procijenili (estimirali) stanja u sistemu (module napona i uglove napona po čvorištima), tada možemo ići na proračun tokova snaga, opterećenja i proizvodnje po čvorištima sistema. Ovo pretpostavlja da je konfiguracija (topološka struktura) mreže poznata (poznati statusi prekidača i rastavljača), te da su impedanse u mreži poznate. Pozicije preklopki kod regulacionih transformatora ili fazni uglovi regulatora (kod transformatora sa poprečnom regulacijom) često su kao veličine uključene u analizu mreže, pa zbog toga one mogu biti telemetrisane u dispečerskom centru kao mjerne veličine. Striktno govoreći, pozicije preklopki kod regulacionih transformatora ili fazni uglovi regulatora trebaju biti razmatrani kao varijable stanja jer one trebaju biti poznate u cilju proračuna tokova snaga kroz transformatore. Na analiziranom trosabirničkom sistemu mi smo imali tri mjerača koja nas opskrbljuju sa skupom redundantnih mjerenja sa kojima smo procijenili dva stanja – dvije varijable, 1θ i 2θ . Kažemo da su mjerenja redundantna pošto su samo dva mjerenja neophodna da bi se odredili uglovi 1θ i 2θ , dok je preostalo mjerenje uvijek 'extra'. Meñutim, 'extra' mjerenje nosi sa sobom korisne informacije i ne bi trebalo biti odbačeno.

3. ESTIMACIJA STANJA BAZIRANA NA METODI NAJMANJIH KVADR ATA Za rješavanje problema estimacije stanja postoji velik broj tehnika, ali je od svih njih najčešće korišten pristup baziran na metodi najmanjih kvadrata (Weighted Least-Squares – WLS). Klasična WLS metoda je nelinearna metoda koja se zasniva na nesinhroniziranim mjerenjima iz SCADA sistema i opisana je u nastavku. Metoda najmanjih kvadrata najčešće je upotrebljavana metoda za estimaciju (procjenu) stanja meñu današnjim metodama. U ovoj metodi pretpostavlja se da vrijednost greške u svakom mjerenju može biti vjerovatna podjednako i kao pozitivna i kao negativna. Osim toga, pretpostavka je da je vrijednost kvadrata greške normalna, da ima standardnu devijaciju σ, te da je korelacija izmeñu mjerenja jednaka nuli. Kako mjerenje nije tačno, onda se ono može prikazati kao komponenta greške u obliku:

m tz z= + η (1)

gdje je mz – izmjerena vrijednost,

tz – tačna vrijednost, a η – slučajna greška koja pokazuje

nesigurnost u mjerenju. Netačnost u mjerenju η je slučajan broj i podliježe Gauss-ovoj (normalnoj) raspodjeli prema relaciji:

2

2

1( ) exp( )

2 2PDF

ηη = −σ π σ

(2)

gdje je σ – standardna devijacija, 2σ – varijansa slučajnog broja, dok je PDF – funkcija gustine vjerovatnoće (probability density function). Funkcija PDF opisuje ponašanje slučajne greške η . Standardna devijacija σ osigurava način da bi se modelovala važnost slučajne greške u mjerenju. Ako je σ veliko, mjerenje je relativno netačno (loš kvalitet mjernog ureñaja), dok mala vrijednost za σ označava malu grešku mjerenja (visok kvalitet mjernog ureñaja).

5

3.1. Koncept maksimalne vjerovatnoće Princip maksimalne vjerovatnoće u estimaciji stanja je ilustrovan na primjeru DC kola kao na slici 5. U ovom primjeru želimo procijeniti vrijednost naponskog izvora

tx koristeći ampermetar sa greškom za

koju je poznata standardna devijacija. Ampermetar daje mjerenje 1mz koje je jednako sumi 1

tz (tačna vrijednost struje u kolu) i 1η (greška mjernog ampermetra). Tada možemo pisati:

1 1 1m tz z= + η (3)

Pošto je srednja vrijednost od 1η jednaka 0, tada znamo da je srednja vrijednost od 1

mz jednaka 1tz . Ovo

nam dozvoljava da napišemo funkciju gustine vjerovatnoće za 1mz kao:

21 1

1 21 1

( )1( ) exp( )

2 2

m tm z z

PDF z−

= −σ π σ

(4)

gdje je 1σ – standardna devijacija za slučajnu grešku 1η . Ako pretpostavimo da je vrijednost otpornosti u našem kolu poznata, tada možemo pisati:

21

11 2

1 1

1( )

1( ) exp( )

2 2

m

m

z xr

PDF z

−= −

σ π σ (5)

r1

ampermetarmjeri z1

xt

+

slika 5. Jednostavno DC kolo sa mjerenjem struje Vraćajući se na definiciju maksimalne vjerovatnoće u estimaciji stanja, mi sada želimo da nañemo estimaciju (procjenu) veličine x koju ćemo zvati

estx tako da maksimiziramo vjerovatnoću nastanka

mjerenja 1mz . Pošto imamo na raspolaganju funkciju gustine vjerovatnoće za 1

mz , to možemo pisati:

prob1 1

1

1 1 1 1 1 1( ) ( ) 0 ( )

m m

m

z dz

m m m m m m

z

z PDF z dz dz PDF z dz

+

= = → =∫ (6)

Procedura maksimalne vjerovatnoće tada zahtijeva da maksimiziramo vrijednost od prob 1( )mz koja je funkcija od x . Tako je:

max prob 1 1 1( ) max ( )m m m

xz PDF z dz= (7)

Jedna prikladna transformacija koja može biti korištena jeste da maksimizira prirodni logaritam od

1( )mPDF z , pošto maksimizacija logaritma od 1( )mPDF z će, takoñe, maksimizirati i 1( )mPDF z . Tada želimo naći:

6

{ }1 1max ln ( )m m

xPDF z dz

ili, prema relaciji (5):

21

11 2

1

1( )

max ln( 2 )2

m

x

z xr

−

− σ π − σ

Kako je prvi član u posljednjoj relaciji konstantan, on u proceduri maksimizacije može biti ignorisan. Tada se maksimizacija funkcije u navedenoj relaciji svodi na minimizaciju njenog drugog člana jer je:

21

11 2

1

1( )

max ln( 2 )2

m

x

z xr

−

− σ π − σ

isto što i:

21

121

1( )

min2

m

x

z xr

−

σ

(8)

Vrijednost od x koja minimizira funkciju u izrazu (8) odreñena je jednostavno nalaženjem prve derivacije i njenim izjednačavanjem sa nulom:

21 1

1 12 21 1 1

1 1( ) ( )

02

m mz x z xr rd

dx r

− − −

= = σ σ

(9)

odakle je:

1 1m

estx x r z= =

Premda je ovaj rezultat bio očigledan od samog početka, ono što se željelo pokazati jeste dokaz da je maksimalna vjerovatnoća estimacije traženog napona jednostavno izmjerena vrijednost struje množena sa poznatom otpornošću. Meñutim, dodavanjem drugog mjernog kola, imamo sasvim različitu situaciju u kojoj najbolja estimacija nije očigledna. Neka je sada dodat i drugi ampermetar i otpornik kao što to ilustruje slika 6.

r1 r2

z1 z2

xt

+

slika 6. DC kolo sa dva mjerenja struje

7

Pretpostavimo da su otpornosti za oba otpornika, 1r i 2r , poznate. Kao i ranije, modelujmo svako mjerenje kao sumu tačne vrijednosti i slučajne greške:

1 1 1

2 2 2

m t

m t

z z

z z

= + η

= + η (10)

Pošto je srednja vrijednost od 1η i 2η jednaka 0, tada znamo da je srednja vrijednost od 1

mz i 2mz

jednaka 1tz i 2

tz , respektivno. Ovo nam dozvoljava da napišemo funkciju gustine vjerovatnoće za 1mz i

2mz kao:

21

1 21 1

22

2 22 2

1( ) exp( )

2 2

1( ) exp( )

2 2

PDF

PDF

ηη = −

σ π σ

ηη = −

σ π σ

(11)

i, kao i ranije, možemo napisati funkcije gustine vjerovatnoće od 1

mz i 2mz kao:

21

11 2

1 1

22

22 2

2 2

1( )

1( ) exp( )

2 2

1( )

1( ) exp( )

2 2

m

m

m

m

z xr

PDF z

z xr

PDF z

−= −

σ π σ

−= −

σ π σ

(12)

Pošto pretpostavljamo da su slučajne greške 1η i 2η nezavisne slučajne varijable, vjerovatnoća dobijenih mjerenja 1

mz i 2mz jeste jednostavno proizvod vjerovatnoće dobijenog mjerenja 1

mz i vjerovatnoće dobijenog mjerenja 2

mz :

prob prob prob1 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2

1 21 22 2

1 21 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( )

1 1exp( ) exp( )

2 22 2

m m m m m m m m

m m

m m

z i z z z PDF z PDF z dz dz

z x z xr r

dz dz

= × = =

− −

= − − σ π σ πσ σ

(13)

Da maksimiziramo funkciju datu relacijom (13), ponovo ćemo uzeti prirodni logaritam:

prob

2 21 2

1 21 2 1 22 2

1 2

2 21 2

1 22 21 2

1 1( ) ( )

max ( ) max ln( 2 ) ln( 2 )2 2

1 1( ) ( )

min2 2

m m

m m

x x

m m

x

z x z xr r

z i z

z x z xr r

− −

= − σ π − − σ π − = σ σ

− −

= + σ σ

(14)

8

Minimum je nañen prema uslovu:

2 21 2 1 2

1 2 1 22 2 2 21 2 1 1 2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

02 2

m m m mz x z x z x z xr r r rd

dx r r

− − − −

+ = − − = σ σ σ σ

odakle je:

1 22 2

1 1 2 2

2 2 2 21 1 2 2

1 1

m m

est

z z

r rx x

r r

+σ σ

= =+

σ σ

(15)

Ako je jedan ampermetar superiornijeg kvaliteta, njegova varijansa će biti mnogo manja nego kod drugog ampermetra. Naprimjer, ako je 2 2

2 1σ σ≪ , tada jednačina za x postaje 2 2m

estx x r z= = . Metod

maksimalne vjerovatnoće daje nam način da svakom mjerenju pridružimo težinsku mjeru saglasno njegovom kvalitetu. Može se zaključiti da je kriterij maksimalne vjerovatnoće u estimaciji nepoznatog parametra uvijek predstavljen kao vrijednost parametra koja daje minimum sume kvadrata razlike izmeñu izmjerene vrijednosti i tačne vrijednosti (predstavljene kao funkcija nepoznatog parametra), pri čemu je svaki kvadrat te razlike podijeljen (data mu je težinska mjera) sa varijansom greške mjerenja. Generalizirajmo ovaj zaključak na slučaju estimacije jednog parametra x koristeći

mN mjerenja.

Pretpostavka je i dalje da kvalitet jednog mjerenja ne utiče na kvalitet ostalih mjerenja u posmatranom skupu od

mN mjerenja, što znači da su mjerenja u matematičkom smislu nezavisna. Tada možemo

pisati sljedeći izraz:

2

21

( ( ))min ( )

mN m

i i

xi i

z f xJ x

=

−=

σ∑ (16)

gdje je: ( )if x = funkcija koja je korištena za proračun vrijednosti koja postaje izmjerena od i-tog mjerenja; 2i

σ = varijansa za i-to mjerenje;

( )J x = suma kvadrata mjernih razlika (ostataka, reziduala) i naziva se još indeks performanse; miz = i-ti izmjereni kvantitet. Napomenimo da jednačina (16) može biti predstavljena u per-unit sistemu, ili u fizičkim jedinicama kao što su MW, MVAr, kV. U slučaju estimacije

sN nepoznatih parametara koristeći

mN mjerenja, izraz (16) može se generalizirati

u oblik kao što to pokazuje relacija (17):

1 2

21 2

1 2 2, ,...,1

( ( , ,..., ))min ( , ,..., )

m

N

N

N

s

mNi i s

sx x xi i

z f x x xJ x x x

=

−=

σ∑ (17)

Proračun estimacije stanja na način predstavljen jednačinama (16) i (17) poznat je kao težinski estimator najmanjih kvadrata.

9

3.2. Matrična formulacija Ako su funkcije 1 2( , ,..., )

Ni sf x x x linearne funkcije, tada jednačina (17) ima egzaktno rješenje. Linearnu

formulaciju tih funkcija možemo predstaviti u obliku:

1 2 1 1 2 2( , ,..., ) ( ) ...N iN Ni i i is s s

f x x x f h x h x h x= = + + +x (18)

odnosno u matričnoj formi kao:

1

1

( )

( )( )

( )Ns

f

fH

f

= =

x

xf x x

x

⋮ (19)

gdje je: H =

m sN N× matrica koja sadrži koeficijente linearne funkcije ( )

if x ;

mN = broj mjerenja;

sN = broj nepoznatih parametara koji će biti estimirani.

Smještajući veličine mjerenja u vektor:

1

2

N

m

mm

m

s

z

z

z

=

z⋮

(20)

jednačina (17) može se napisati u kompaktnoj formi kao:

1min ( ) ( ) ( )m mJ R

− = − −

T

xx z f x z f x (21)

gdje je:

21

22

2Ns

R

σ σ =

σ

⋱

Matrica [R] naziva se matrica kovarijansi greški mjerenja. Da bi se dobila generalna forma za minimizaciju izraza (21), razvijmo taj izraz i zamijenimo funkciju ( )f x sa H x saglasno relaciji (19):

1 1 1 1min ( ) ( )m m m mJ R H R R H H R H

− − − − = − − +

T TT T T

xx z z x z z x x x (22)

Minimum funkcije ( )J x nalazi se iz uslova da su sve parcijalne derivacije po svim promjenljivim

1 2, ,..., Nsx x x jednake nuli, a što je identično i sa uslovom da je gradijent funkcije ( )J x , ( )J∇ x , jednak nuli. Gradijent funkcije ( )J x dat je u formi:

10

1 1( ) 2 2mJ H R H R H

− − ∇ = − +

T Tx z x

Tada uslov ( ) 0J∇ =x daje:

11 1 m

estH R H H R

−− −

=

T Tx z (23)

Napomenimo da jednačina (23) odgovara slučaju kada je

s mN N< , odnosno kada je broj parametara

koji će biti estimirani manji od broja mjerenja koja će biti napravljena. Specijalno, ako je s m

N N= , tada se problem estimacije značajno redukuje, pa se relacija (23) može predstaviti u jednostavnoj formi oblika:

1 mest

H−

= x z (24)

U situaciji kada je

s mN N> , mi ne estimiramo veličinu x da bi maksimizirali vjerovatnoću funkcije

jer ovaj slučaj obično implicira da mnogo različitih vrijednosti za estx može biti pronañeno da bi

vrijednost funkcije ( )i estf x postala jednaka m

iz , za sve 1,2,...,

mi N= . U ovom slučaju cilj je naći

estx

tako da suma kvadrata ,i estx bude minimizirana:

2

1

mins

N

ii

x

==∑ T

xx x (25)

uz uslov da je m H = z x . Rješenje problema u ovom slučaju dato je u obliku:

1m

estH H H

−

=

T Tx z (26)

3.3. Primjer metode najmanjih kvadrata u rješavanju problema estimacije stanja Vratimo se trosabirničkom test sistemu datom u poglavlju 2. Još jednom naglasimo da prema slici 2 imamo na raspolaganju tri mjerenja da bi odredili uglove napona na čvorištima 1 i 2, 1θ i 2θ . Saglasno matematičkom modelu predstavljenom u sekciji 3.2, znamo da varijable stanja 1θ i 2θ mogu biti estimirane minimizirajući rezidual (ostatak, razliku) 1 2( , )J θ θ , pri čemu je 1 2( , )J θ θ suma kvadrata pojedinačnih mjernih reziduala podijeljena sa varijansom svakog mjerenja. Pretpostavimo da sva tri mjerenja imaju sljedeće karakteristike:

vrijednost pune skale mjerenja: 100 (MW) mjerna tačnost: ± 3 (MW) a što se interpretira na način da će mjerni ureñaji dati mjerenje unutar ± 3 (MW) od tačne vrijednosti za približno 99% vremena. Matematički, reći ćemo da su greške distribuirane prema normalnoj raspodjeli funkcije gustine vjerovatnoće sa standardnom devijacijom σ. Napomenimo da se vjerovatnoća greške smanjuje kada se povećava intenzitet greške. Integracijom funkcije PDF izmeñu –3σ i +3σ dolazimo na vrijednost vjerovatnoće od približno 0,99. Pretpostavit ćemo da tačnost mjernog ureñaja (u našem slučaju ±3 (MW)) odgovara standardnoj devijaciji od σ = 1 (MW) = 0,01 (pu). Za razmatrani trosabirnički sistem ima se da je:

11

1

2

est

est est

θ = θ

x (27)

Da bi odredili [H] matricu, potrebno je da napišemo mjerenja kao funkciju varijabli 1θ i 2θ . Ove funkcije su napisane u per-unit sistemu kao:

1 2 1 212 12 1 2

12

1 3 113 13 1

13

3 2 232 32 2

23

5 50,2

2, 50, 4

40,25

M fx

M fx

M fx

θ − θ θ − θ= = = = θ − θ

θ − θ θ= = = = θ

θ − θ θ= = = − = − θ

(28)

Za referentnu sabirnicu još uvijek vrijedi da je 3 0 ( )radθ = . Tada je:

5 5

2,5 0

0 4

H

−

= −

Matrica kovarijansi greški mjerenja [R] odreñena je kao:

212

213

232

0, 0001

0, 0001

0, 0001

R

σ = σ = σ

Pošto su koeficijenti matrice [H] u per-unit, potrebno je, takoñe, matricu [R] i matricu mz napisati u per-unit sistemu. Prema metodi najmanjih kvadrata, najbolja estimacija za uglove 1θ i 2θ računata je kao:

11

1

2

1

0, 0001 5 55 2,5 0

0, 0001 2,5 05 0 4

0, 0001 0 4

0, 0001 0, 625 2,5 0 312500 2500

0, 0001 0, 065 0 4

0, 0001 0, 37

est

est est

−−

−

− θ = = × − − θ −

−

× = − −

x

100 32500 0, 028571

250000 410000 45800 0, 094286

−

= − − −

gdje je:

0, 62

0, 06

0, 37

m

=

z

12

Na osnovu ovako estimiranih uglova, mogu se odrediti tokovi snaga u svakoj liniji i neto potrošnja i proizvodnja po svakom čvorištu. Ovi rezultati prikazani su na slici 7.

9 , (MW)9 1

61 4, (MW)

6 ,5 (MW)8

M 12

M13

M32

7,1 (MW)

3 7 (MW)7,

3 (MW)0,6

1 2

3

10, 028571 ( )radθ =

20, 094286 ( )radθ = −

30, 0 ( )radθ =

slika 7. Raspodjela tokova snaga u trosabirničkom sistemu sa najboljom estimacijom za uglove 1θ i 2θ

Za izračunatu vrijednost reziduala 1 2( , )J θ θ dobija se:

2 2 212 12 1 2 13 13 1 2 32 32 1 2

1 2 2 2 212 13 32

2 2 21 2 1 2

( ( , )) ( ( , )) ( ( , ))( , )

(0, 62 (5 5 )) (0, 06 (2, 5 )) (0, 37 ( 4 ))2,14

0, 0001 0, 0001 0, 0001

z f z f z fJ

− θ θ − θ θ − θ θθ θ = + + =

σ σ σ

− θ − θ − θ − − θ= + + =

(29)

Pretpostavimo da je mjerni ureñaj M13, u liniji 1-3, superiorniji u kvalitetu u odnosu na mjerne ureñaje M12 i M32, u liniji 1-2 i liniji 3-2, respektivno. Kako će ova činjenica pogoditi estimaciju stanja u sistemu? Intuitivno, možemo rezonovati tako da će bilo koje mjerenje od mjernog ureñaja M13 biti mnogo bliže tačnoj vrijednosti toka snage u liniji 1-3, nego što će biti mjerenja od ureñaja M12 i M32 za tokove snaga u liniji 1-2 i liniji 3-2, respektivno. Zbog toga očekujemo kao rezultat od estimatora stanja da uzme u obzir ovu činjenicu, uz uslov da mu postavimo mjerne podatke tako da reflektuju superiornost mjerenja M13. Da bi smo pokazali ovo, koristimo sljedeće mjerne podatke:

mjerni ureñaji M 12 i M32: 100 (MW) puna skala

± 3 (MW) mjerna tačnost

(σ = 1 (MW) = 0,01 (pu))

mjerni ureñaj M 13: 100 (MW) puna skala

± 0,3 (MW) mjerna tačnost

(σ = 0,1 (MW) = 0,001 (pu)) Matrica kovarijansi greški mjerenja [R] u ovom slučaju odreñena je kao:

2 412

2 613

2 432

1 10

1 10

1 10

R

−

−

−

σ × = σ = × σ ×

Koristeći relaciju (23) ponovo sa novom matricom [R], dobija se nova najbolja estimacija za 1θ i 2θ :

13

11

4

61

42

14

6 56

4

1 10 5 55 2,5 0

1 10 2,5 05 0 4

0 41 10

1 10 0,625 2,5 0 6,5 10 2,5 10

1 10 0, 065 0 4

0, 371 10

est

est est

−−−

−

−

−−

−

−

× − θ = = × × − − θ − ×

× × − × × × = − − ×

x

15

5 5 5

1, 81 10 0, 024115

0, 0970032,5 10 4,1 10 0, 458 10

− × = − − × × − ×

Sa ovako estimiranim uglovima napona, novo stanje u mreži je ilustrovano na slici 8. Komparirajmo novi tok snage u linji 1-3 sa prethodno proračunatim na slici 7. Postavljanjem 13 0,1 ( )MWσ = , osiguran je tok snage u liniji 1-3 mnogo bliže mjernoj vrijednosti od 6,0 (MW). Estimacija za tokove snage u linijama 1-2 i 3-2 sada je unaprijeñena u odnosu na vrijednosti mjerenja sa mjerača M12 i M32, a to je ono što smo i željeli.

9 , (MW)9 35

60 55, (MW)

6 ,5 (MW)6 8

M 12

M13

M32

6,03 (MW)

3 8 (MW)8,

3 (MW)2,77

1 2

3

10, 024115 ( )radθ =

20, 097003 ( )radθ = −

30, 0 ( )radθ =

slika 8. Raspodjela tokova snaga u trosabirničkom sistemu sa boljim mjerenjem M13 i najboljom estimacijom za uglove 1θ i 2θ

3.4. Estimacije stanja u nelinearnim mrežama U prethodnim poglavljima demonstrirana je šema za razvoj estimacije stanja koristeći metod najmanjih kvadrata za mjerenja iz linearnih sistema. U ovoj metodi minimizirana je suma mjernih reziduala:

2

21

( ( ))min ( )

mN

i i

i i

z fJ

=

−=

σ∑

x

xx (30)

U slučaju linearnih sistema, funkcije ( )if x su linearne, pa je nalaženje minimuma funkcije ( )J x moguće

direktno. U slučaju naizmjeničnih mreža mjerni kvantiteti su MW, MVAr, MVA, A, kV, pozicije preklopki regulacionih transformatora. Varijable stanja su moduli napona na svim čvorištima, fazni uglovi napona na svim čvorištima, osim referentnog čvorišta, kao i pozicije preklopki regulacionih transformatora. Jednačine tokova snaga u naizmjeničnim mrežama su generalno nelinearne funkcije od modula i uglova napona na svakom kraju prenosne linije. Dakle, funkcije ( )

if x će biti nelinearne, osim

za mjerenja modula napona gdje funkcije ( )if x su jednostavno jedinica (nominalni napon u pu) puta

neko ix koje odgovara modulu napona koji se mjeri. Za MW i MVAr mjerenja na prenosnim linijama

od čvorišta i do čvorišta j , ima se sljedeći oblik funkcije ( )J x :

14

22

2

( cos( ) sin( ))

MWij

mij i ij i j ij i j ij i j

MW U G U U G B − − θ − θ + θ − θ

σ (31)

22

,

2

( ) ( sin( ) cos( ))CAP

MVArij

mij i ij ij i j ij i j ij i j

MVAr U B B U U G B − − + − θ − θ − θ − θ

σ (32)

Mjerenje modula napona treba rezultirati u sljedećem članu u funkciji ( )J x :

2

2

iU

m

i iU U −

σ (33)

Slične funkcije mogu biti izvedene i za MVA i A mjerenja. Ukoliko ne postoji linearna povezanost izmeñu varijabli stanja (moduli napona |U| i fazni uglovi napona θ) sa tokovima snaga u mreži, onda će biti neophodno primijeniti iterativnu tehniku u proceduri minimizacije funkcije ( )J x . Jedna često korištena tehnika za estimaciju stanja u EES-u, jeste računanje gradijenta funkcije ( )J x i tada njegovo 'prisiljavanje' da postane jednak nuli koristeći Newton-ov metod. U nastavku ćemo dati samo kratak pregled Newton-ovog metoda korištenog u rješavanju višedimenzio-nalnih problema prije nego li budemo odreñivali minimum funkcije ( )J x . Neka su date funkcije ( )

ig x , 1,2,...,i n= za koje je potrebno pronaći vektor 0x takav da je 0( ) 0

ig =x ,

za 1,2,...,i n∀ = . Ako ove funkcije aranžiramo u vektorski oblik ( )g x , tada možemo pisati ( ) 0=g x , za

0=x x . Razvojem funkcije ( )g x u Taylor-ov red u okolini tačke 0=x x i ograničavajući se samo na prvi član u razvoju, dobijamo:

( ) ( ) '( ) 0 + ∆ = + ∆ = g x x g x g x x (34)

pri čemu je [ '( )g x ] Jacobian matrica funkcije ( )g x . Prema jednačini (34) moguće je pisati:

1'( ) ( )

− ∆ = − x g x g x (35)

Nova tačka u iterativnoj šemi Newton-ovog metoda računata je kao n = + ∆x x x i koja se odreñuje (svaki put ažurirajući relaciju (35)) sve dok funkcija ( )g x ne postane približno jednaka nuli. Vratimo se sada na problem estmacije stanja koji je dat relacijom (30):

2

21

( ( ))min ( )

mN

i i

i i

z fJ

=

−=

σ∑

x

xx

Najprije ćemo formirati gradijent funkcije ( )J x kao:

15

1 2 32

1 1 11 11 1

1 2 32 22

2 2 2 2 2

1( )

( ( ))( ) 1

( ) 2 ( ( ))

f f fJ

x x xxz f

f f fJJ z f

x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ σ − ∂ ∂ ∂ ∂∇ = = − − ∂ ∂ ∂ ∂ σ

x

x

xx

x x

⋯

⋯

⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱

(36)

Ako funkcije ( )if x aranžiramo u vektorski oblik ( )f x i ako odredimo Jacobian od funkcije ( )f x , tada

dobijamo:

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

( )

f f f

x x x

f f f

x x x

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ =

∂ ∂ ∂ ∂

f x

x

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱

(37)

Ovu matricu označit ćemo sa [H]. Tada je:

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

f f f

x x x

f f fH

x x x

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱

, odnosno:

1 2 3

1 1 1

1 2 3

2 2 2

f f f

x x x

f f fH

x x x

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂

T

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱

(38)

Ako je sa [R] označena matrica:

21

22R

σ = σ

⋱

(39)

tada jednačinu (36) možemo napisati u obliku:

11 1

2 2

( ( ))

( ) 2 ( ( ))

z f

J H R z f− −

∇ = − −

T

x

x

x x

⋮

(40)

Da bi riješili jednačinu ( ) 0J∇ =xx , primijenimo Newton-ov metod:

1( )

( )J

J

− ∂∇

∆ = − ∇ ∂

xx

xx x

x (41)

Jacobian od ( )J∇xx računat je tretirajući matricu [H] kao konstantnu matricu:

16

1 1 11 1

2 2

( ( ))( )

2 ( ( )) 2 2

z fJ

H R z f H R H H R H− − −

− ∂∇ ∂ = − − = − − = ∂ ∂

T T Tx

xx

xx x

⋮

(42)

pa je tada vektor koraka:

11 1

11 1

1 1

2 2

1 1

2 2

( ( ))1

2 ( ( ))2

( ( ))

( ( ))

z f

H R H H R z f

z f

H R H H R z f

−− −

−− −

−

∆ = − =

−

= −

T T

T T

x

x x

x

x

⋮

⋮

(43)

Jednačina (43) po svojoj formi je veoma bliska jednačini (23). 3.5. Tipični rezultati estimacije stanja u naizmjeničnim nelinearnim mrežama Na slici 9 ilustrovan je šest-sabirnički sistem sa P+jQ mjerenjima na svakom kraju prenosne linije, mjerenjima proizvodnje i opterećenja na svakom čvorištu, kao i mjerenjima modula napona na svakom od čvorišta. U tabeli 1 dati su podaci koji se odnose na čvorišta sistema (PV, odnosno PQ čvorišta), dok su u tabeli 2 dati podaci o linijama sistema (otpornosti, reaktanse, šentirajuće susceptanse). Tabela 1: Podaci o čvorištima sistema Tabela 2: Podaci o linijama sistema

čvor

i GiP

(pu) i

U

(pu) PiP

(pu) Pi

Q

(pu)

grana

ℓ

Rℓ

(pu)

Xℓ

(pu)

0, 5Bℓ

(pu)

1 0,00 1,050 0,00 0,00 1 (1–2) 0,100 0,200 0,020 2 0,50 1,050 0,00 0,00 2 (1–4) 0,050 0,200 0,020 3 0,60 1,070 0,00 0,00 3 (1–5) 0,080 0,300 0,030 4 0,00 1,000 0,70 0,70 4 (2–3) 0,050 0,250 0,030 5 0,00 1,000 0,70 0,70 5 (2–4) 0,050 0,100 0,010 6 0,00 1,000 0,70 0,70 6 (2–5) 0,100 0,300 0,020 7 (2–6) 0,070 0,200 0,025 8 (3–5) 0,120 0,260 0,025 9 (3–6) 0,020 0,100 0,010 10 (4–5) 0,200 0,400 0,040 11 (5–6) 0,100 0,300 0,030

Varijanse mjerenja uzete su sa sljedećim vrijednostima:

P + jQ mjerenja: σ = 5 (MW) za P mjerenja

σ = 5 (MVAr) za Q mjerenja

V mjerenja: σ = 3,83 (kV). U tabeli 3 prikazani su rezultati tokova snaga i naponskih prilika: proračunate vrijednosti (bazni slučaj) i izmjerene vrijednosti, na osnovu čega je izvršena estimacija stanja u sistemu po varijablama stanja – modulima napona i uglovima napona. Proračunska procedura izvršena je kroz tri iteracije, sa inicijalnom vrijednošću vektora 0x postavljenom na 1,0 (pu) za module napona i 0 (rad) za uglove napona za svako čvorište u sistemu. Na početku svake iteracije data je suma reziduala mjerenja, ( )J x (jednačina (30)), kao što je predstavljeno u tabeli 4. Na kraju svake iteracije izračunate su vrijednosti maksimalnih razlika

17

za U∆ i za ∆θ , a koje su, takoñe, predstavljene u tabeli 4. Vrijednost za ( )J x na kraju iterativne procedure trebala bi biti jednaka nuli ako sva mjerenja nemaju grešku, ili ako nema redundantnih mjerenja. Kada postoje redundantna mjerenja sa greškom, vrijednost za ( )J x neće normalno težiti ka nuli. Njene vrijednosti predstavljaju mjeru izmeñu svih estimiranih i svih mjerenih vrijednosti.

M 23

M 12

M 35

M65

M 36

M 56

P+jQ mjerenje

kV mjerenje

M52

M15

M51

M54

M45

M 53

M26

M25

M21

M14

M41M42

M 63

M 62

M G2

M G1

MG3

MV3

MV5

MV6

MV2

MV1

MV4

ML6

ML5

ML4

M 23

M24

2

1

4

3

6

5

slika 9. Šest-sabirnički sistem sa mjerenjima modula napona, proizvodnje i potrošnje, kao i tokova aktivne i reaktivne snage

Estimirane vrijednosti iz estimatora stanja prikazane su u tabeli 5 zajedno sa rezultatima proračunatih tokova snaga i naponskih stanja, odnosno sa izmjernim iznosima za tokove snaga, module napona, proizvodnju i potrošnju po svakom čvorištu. Važno je naglasiti da se u osnovi estimirane vrijednosti jako dobro 'slažu' sa proračunatim vrijednostima iz analize tokova snaga i naponskih prilika, vodeći računa i o mjernim vrijednostima s kojima je napravljena takva estimacija stanja. Naprimjer, mjerenje M23 pokazuje vrijednost za tok snage P od 8,6 (MW), dok je tačna vrijednost 2,9 (MW), a estimator stanja je procijenio njenu vrijednost na 3,0 (MW).

18

Tabela 3: Tokovi snaga i naponska stanja: proračunate vrijednosti (bazni slučaj) i mjerene vrijednosti

Vrijednosti baznog slučaja Mjerene vrijednosti mjerenje

kV MW MVAr kV MW MVAr

MV1 241,5 238,4 MG1 107,9 16,0 113,1 20,2 M12 28,7 – 15,4 31,5 – 13,2 M14 43,6 20,1 38,9 21,2 M15 35,6 11,3 35,7 9,4

MV2 241,5 237,8 MG2 50,0 74,4 48,4 71,9 M21 – 27,8 12,8 – 34,9 9,7 M24 33,1 46,1 32,8 38,3 M25 15,5 15,4 17,4 22,0 M26 26,2 12,4 22,3 15,0 M23 2,9 – 12,3 8,6 – 11,9

MV3 246,1 250,7 MG3 60,0 89,6 55,1 90,6 M32 – 2,9 5,7 – 2,1 10,2 M35 19,1 23,2 17,7 23,9 M36 43,8 60,7 43,3 58,3

MV4 227,6 225,7 ML4 70,0 70,0 71,8 71,9 M41 – 42,5 – 19,9 – 40,1 – 14,3 M42 – 31,6 – 45,1 – 29,8 – 44,3 M45 4,1 – 4,9 0,7 – 17,4

MV5 226,7 225,2 ML5 70,0 70,0 72,0 67,7 M54 – 4,0 – 2,8 – 2,1 – 1,5 M51 – 34,5 – 13,5 –36,6 – 17,5 M52 – 15,0 – 18,0 – 11,7 – 22,2 M53 – 18,0 – 26,1 – 25,1 – 29,9 M56 1,6 – 9,7 – 2,1 – 0,8

228,9 MV6 231,0 ML6 70,0 70,0 72,3 60,9 M65 – 1,6 3,9 1,0 2,9 M62 – 25,7 – 16,0 – 19,6 – 22,3 M63 – 42,8 – 57,9 – 46,8 – 51,1

Tabela 4: Iterativni rezultati estimacije stanja

iteracija ( )J x na početku iteracije (pu)

najveća vrijednost U∆ na kraju iteracije (pu)

najveća vrijednost ∆θ na kraju iteracije (rad)

1 3696,86 0,1123 0,06422 2 43,67 0,004866 0,0017 3 40,33 0,0000146 0,0000227

19

Tabela 5: Rješenje estimacije stanja

Vrijednosti baznog slučaja Mjerene vrijednosti Estimirane vrijednosti mjerenje

kV MW MVAr kV MW MVAr kV MW MVAr

MV1 241,5 238,4 240,6 MG1 107,9 16,0 113,1 20,2 111,9 18,7 M12 28,7 – 15,4 31,5 – 13,2 30,4 – 14,4 M14 43,6 20,1 38,9 21,2 44,8 21,2 M15 35,6 11,3 35,7 9,4 36,8 11,8

MV2 241,5 237,8 239,9 MG2 50,0 74,4 48,4 71,9 47,5 70,3 M21 – 27,8 12,8 – 34,9 9,7 – 29,4 11,9 M24 33,1 46,1 32,8 38,3 32,4 45,3 M25 15,5 15,4 17,4 22,0 15,6 14,8 M26 26,2 12,4 22,3 15,0 25,9 10,8 M23 2,9 – 12,3 8,6 – 11,9 3,0 – 12,6

MV3 246,1 250,7 244,7 MG3 60,0 89,6 55,1 90,6 59,5 87,4 M32 – 2,9 5,7 – 2,1 10,2 – 3,0 6,2 M35 19,1 23,2 17,7 23,9 19,2 22,9 M36 43,8 60,7 43,3 58,3 43,3 58,3

MV4 227,6 225,7 226,1 ML4 70,0 70,0 71,8 71,9 70,2 70,2 M41 – 42,5 – 19,9 – 40,1 – 14,3 – 43,6 – 20,7 M42 – 31,6 – 45,1 – 29,8 – 44,3 – 30,9 – 44,4 M45 4,1 – 4,9 0,7 – 17,4 4,3 – 5,1

MV5 226,7 225,2 225,3 ML5 70,0 70,0 72,0 67,7 71,8 69,4 M54 – 4,0 – 2,8 – 2,1 – 1,5 – 4,2 – 2,5 M51 – 34,5 – 13,5 –36,6 – 17,5 –35,6 – 13,6 M52 – 15,0 – 18,0 – 11,7 – 22,2 – 15,1 – 17,4 M53 – 18,0 – 26,1 – 25,1 – 29,9 – 18,1 – 25,8 M56 1,6 – 9,7 – 2,1 – 0,8 1,3 – 10,1

228,9 230,1 MV6 231,0 ML6 70,0 70,0 72,3 60,9 68,9 65,8 M65 – 1,6 3,9 1,0 2,9 – 1,2 4,4 M62 – 25,7 – 16,0 – 19,6 – 22,3 – 25,4 – 14,5 M63 – 42,8 – 57,9 – 46,8 – 51,1 – 42,3 – 55,7