Marija Stevanovi

MikrotalasnoformiranjeslikeMicrowaveImaging

Akademska misao

Beograd, 2016.

NAPOMENA: Fotokopiranje ili umnoavanje na bilo koji nain ili ponovno objavljivanje ove knjige u celini ili u delovima nije dozvoljeno bez izriite saglasnosti i pismenog odobrenja izdavaa.

Marija Stevanovi

MIKROTALASNO FORMIRANJE SLIKE Microwave Imaging

Izdaje i tampa AKADEMSKA MISAO, Beograd

Dizajn naslovne strane Zorica Markovi, akademski slikar

Tira 100 primeraka

ISBN 978-86-7466-619-7

SADRAJUVOD.................................................................................................................................................................................5OSNOVILOKALIZACIJE.................................................................................................................................................6FORMIRANJESNOPABEAMFORMING................................................................................................................................................6ZADATAK:LOKALIZACIJACILINDRAPOMOUMETODEBEAMFORMING.........................................................................................7ZADATAK:ILUSTRACIJAUTICAJAUESTANOSTI.................................................................................................................................9ZADATAK:REKONSTRUKCIJANEKONVEKSNIHOBJEKATA.............................................................................................................11ZAPREMINSKATEOREMAEKVIVALENCIJE........................................................................................................................................12DIJADIKAGRINOVAMATRICA..........................................................................................................................................................15NUMERIKOODREIVANJEDIJADIKEGRINOVEMATRICE...........................................................................................................16ZADATAK:PRORAUNDIJADIKEGRINOVEMATRICEUPROGRAMUWIPLD.........................................................................17OSOBINEDIJADIKEGRINOVEFUNKCIJE..........................................................................................................................................18ZADATAK:NUMERIKAPROVERAZAPREMINSKETEOREMEEKVIVALENCIJE.............................................................................19APROKSIMATIVANIZRAZZARASEJANOPOLJESLABIHRASEJAA.................................................................................................22BEAMFORMINGUPROIZVOLJNOJSREDINI........................................................................................................................................23ZADATAK:LOKALIZACIJAZAKOPANOGOBJEKTA............................................................................................................................25

SINGULARNADEKOMPOZICIJA(SVD)...................................................................................................................27ORTOGONALNIVEKTORI.....................................................................................................................................................................27UNITARNAMATRICA............................................................................................................................................................................27SINGULARNADEKOMPOZICIJA...........................................................................................................................................................27PRIMENESINGULARNEDEKOMPOZICIJE...........................................................................................................................................28ZADATAK:PRIMENASINGULARNEDEKOMPOZICIJE........................................................................................................................31NEKEOSOBINESINGULARNEDEKOMPOZICIJE.................................................................................................................................33DEKOMPOZICIJAVEKTORA..................................................................................................................................................................33REAVANJESISTEMALINEARNIHJEDNAINA..................................................................................................................................35

TEHNIKELOKALIZACIJEZASNOVANENASINGULARNOJDEKOMPOZICIJI...............................................37MUSICALGORITAM............................................................................................................................................................................37ZADATAK:PRIMENAMUSICALGORITMAUSLOBODNOMPROSTORU.........................................................................................40ZADATAK:ODREIVANJEIMPULSNOGODZIVASISTEMA................................................................................................................41ZADATAK:LOKALIZACIJATELAIZAZIDAPRIMENOMMUSICALGORITMA.................................................................................42SKRAENA(TRUNCATED)SVDMETODA........................................................................................................................................43ZADATAK:PRIMENATSVDMETODE...............................................................................................................................................44TIHONOVREGULARIZACIJA.................................................................................................................................................................46LINEARSAMPLING...............................................................................................................................................................................47ZADATAK:PRIMENAMETODELINEARSAMPLING..........................................................................................................................49

KVANTITATIVNETEHNIKEREKONSTRUKCIJE..................................................................................................51BORNOVAINVERZIJA...........................................................................................................................................................................51ZADATAK:PRIMENABORNOVEINVERZIJEZAPROCENUSASTAVATELA....................................................................................54ITERATIVNEBORNOVEMETODE.......................................................................................................................................................57ZADATAK:PRIMENADBIMAZAODREIVANJESASTAVAHOMOGENOGOBJEKTA....................................................................58

LITERATURA.................................................................................................................................................................60

5

UvodU mnogim situacijama, postoji potreba za ispitivanjem vizuelno nedostupnih objekata, poput detekcije defekata u graevini, pronalaenja zakopanih objekata, medicinske dijagnostike i sl. U zavisnosti od primene, zanima nas lokacija traenog objekta, njegov oblik i, eventualno, sastav. Sama priroda objekata je raznorodna: u graevini to moe biti pukotina u zidu, u podzemnim istraivanjima arheoloko nalazite ili sakrivena mina, u radarskim problemima pokretna meta, u medicini izmenjeno tkivo. Svim ovim aplikacijama, zajednika je primena elektromagnetskog zraenja radi dobijanja slike. U najveem broju sluajeva, radi se o aktivnom istraivanju gde se predajnim antenama zraenje usmerava ka ispitivanom objektu, a potom prijemnim antenama meri elektromagnetsko polje izmenjeno zbog prisustva objekta. Ova perturbacija polja sadri takozvani "otisak" objekta. Obradom izmerenih podataka, u sluaju da postoji dovoljna koliina informacija, dobija se rekonstrukcija objekta. U nekim situacijama antene prikupljaju elektromagnetsko polje koje sam objekat prirodno zrai. U tom sluaju, radi se o takozvanom pasivnom ispitivanju. Primeri su mapiranje ledenih pokrivaa i odreivanje sastava tla.

Radi formiranja slike objekta, koriste se razliiti delovi elektromagnetskog spektra. Izbor uestanosti zavisi od konkretne primene i najee je rezultat kompromisa izmeu potrebnog nivoa detalja i dubine prodiranja elektromagnetskih talasa. Rezolucija slike je obrnuto proporcionalna talasnoj duini. Meutim, sa porastom uestanosti raste apsorpcija elektromagnetskih talasa, sto onemoguava pristup dubljim delovima objekta. U velikom broju primena, upravo mikrotalasni deo spektra, koji obuhvata opseg uestanosti od 300 MHz do 300 GHz, predstavlja optimalan izbor. Dodatna pogodnost mikrotalasnih sistema je dostupnost komponenti, kao i njihova relativna bezbednost kada je ljudsko zdravlje u pitanju.

Predmet ovog kursa je dobijanje slike na osnovu aktivnih merenja u mikrotalasnom podruju. Najpre, baviemo se algoritmima za lokalizaciju i odreivanje oblika objekta (beamforming, linear sampling, MUSIC). U drugom delu kursa, fokus je na algoritmima koji, pored oblika, omoguavaju i odreivanje sastava tela (Bornova inverzija, iterativni Bornov algoritam, deformisani Bornov algoritam). Pored teorijske osnove pomenutih metoda, materijal sadri i praktine primere za vebu u uraene u programskom paketu Matlab. Takodje, data su i uputstva za formiranje virtuelnih eksperimenata u programu za reavanje elektromagnetskih problema WIPL-D Pro.

6

OsnovilokalizacijeFormiranjesnopabeamforming

Posmatramo sistem koji se sastoji od antenskog niza i objekta koji se ispituje. Antenski niz se sastoji od M elemenata proizvoljno rasporeenih u prostoru. Na slici 1.1 prikazane su izdvojene i-ta antena, koja radi kao predajnik, i j-ta antena koja radi kao prijemnik. Udaljenosti predajne i prijemne antene od objekta su id i jd , respektivno.

Slika 1.1. Primer mernog sistema i ispitivanog objekta.

Pretpostavimo da se objekat nalazi u dalekom polju antena, odnosno ji dd , , gde je talasna duina u datoj sredini. U sluaju linearne sredine bez gubitaka, rasejani signal od objekta je zakanjena i oslabljena replika poslatog signala

ijijij thAts , ,/ cdd jiij (1.1)

gde je th talasni oblik originalnog signala, ij kanjenje, Aij slabljenje signala usled prostiranja i c brzina prostiranja elektromagnetskog talasa u posmatranoj sredini. U zavisnosti od pozicije primopredajnog para, kanjenja i slabljenja se razlikuju. Radi konstruktivnog sabiranja primljenih signala, potrebno je da se primljeni talasni oblici pomere u vremenu tako da se poniti efekat razliitog kanjenja,

M

i

M

jijij tstg

1 1. (1.2)

Meutim, kako je pozicija objekta nepoznata, nepoznata su i kanjenja ij . Zbog toga se objekat pretrauje u diskretnom skupu taaka, u odabranom delu prostora, kao to je ilustrovano na slici 1.2. Za svaku taku u mrei, formira se suma

M

i

M

jijij yxTtsyxtg

1 1,,; , (1.3)

7

cyyxxyyxxyxT jjiiij /, 2222

, (1.4)

gde su ii yx , Dekartove koordinate antena, Mi ,,1 , i yx, Dekartove koordinate posmatrane take na mrei. U primeru ilustrovanom na slici 1.2, pozicija traenog objekta je definisana koordinatama pp , yx . U frekvencijskom domenu (1.3) postaje

M

i

M

j

yxTij

ijijfHAyxfG1 1

,jj- ee,; , (1.5)

gde je fH Furijeova transformacija funkcije th . U sluaju kada je pxx i pyy , svi sabirci u sumi imaju istu fazu jer je ijij yxT pp , . Zbog toga, (1.5) ima maksimalnu vrednost upravo na mestu gde se objekat stvarno nalazi. U suprotnom, dolazi do ponitavanja sabiraka u sumi zbog proizvoljnih faza eksponencijalnih lanova. koji se brzo menjaju. Na osnovu prethodnih razmatranja, zakljuujemo da se lokacija objekta, kao i njegov priblini oblik, mogu dobiti crtanjem modula funkcije (1.5).

Slika 1.2. Mrea taaka u kojoj se vri pretraivanje objekta.

Zadatak:Lokalizacijacilindrapomoumetodebeamforming

Odrediti poloaj nepoznatog objekta pomou metode beamforming. Najpre, generisati simulaciju merenja u programu WIPL-D. Eksperimentalna postavka se sastoji od metalnog cilindra, koji predstavlja nepoznati objekat, i krunog niza dipola, kao to je prikazano na slici 1.3. Prilikom izrade modela, koristiti sledee podatke

Niz ini 36M polutalasnih dipola. Radna uestanost je GHz3f . Poluprenik niza je 3R . Poluprenik cilindra je cm5,2b . Osa cilindra prolazi kroz taku sa koordinatama ( cm5 cm,5 ).

8

Rezultati simulacije u vidu matrinih Y, Z i S parametara nalaze se u fajlu sa ekstenzijom ad1. Radi izdvajanja signala koji je, priblino, proporcionalan polju rasejanom od objekta, napraviti jo jedan model koji se sastoji samo od antenskog niza. Smatrati da je rasejano polje proporcionalno razlici impedansnih parametara dobijenih sa i bez objekta.

Slika 1.3. WIPL model.

U programskom jeziku Matlab napisati program za lokalizaciju objekta primenom algoritma beamforming. Proces se sastoji iz sledeih koraka:

Ispitivani prostor maxmin xxx , maxmin yyy diskretizovati u vidu kvadratne mree od NN taaka. Usvojiti: m2.0minmax xx , m2.0minmax yy ,

30N . Definisati promenljive koje predstavljaju koordinate vorova mree. Jedna mogunost

je primena Matlabove funkcije linspace, tj. ),,,(linspace maxminp Nxxx ),,(linspace maxminp Nyyy . U tom sluaju, koordinate

vora sa indeksima k, l su lykx pp , . Definisati promenljive koje predstavljaju koordinate elemenata antenskog niza. U

primeru krunog antenskog niza MiRix /12cosa , MiRiy /12sina , .,,1 Mi

Izraunati vrednosti piksela slike kao

,e, /),(j1 1

clkTM

i

M

jij

ijZlkI

2p2p2p2p, lyjykxjxlyiykxixlkT aaaaij , gde je ijZ razlika meusobne impedanse izmeu i-tog i j-tog elementa niza, sa i bez objekta.

Nacrtati sliku pomou Matlabove funkcije image

I=abs(I); I=I/max(max(I)); image(xp,yp,I','CDataMapping','scaled'); set(gca,'YDir','normal') ctb=colormap('jet'); colormap(ctb); colorbar('location','EastOutside'); set(gca,'fontsize',30,'TickDir','in'); daspect([1,1,1]);

9

M = 72

M = 36

M = 18

M = 12

Slika 1.4. Rekonstrukcija cilindra primenom metode beamforming, dobijena za razliit broj

elemenata antenskog niza, M.

Na slici 1.4 su prikazane rekonstrukcije nepoznatog objekta dobijene za razliit broj antena u nizu. Na osnovu rezultata, zakljuujemo da poveanje broja dipola samo donekle popravlja kvalitet procene. Optimalan broj elemenata antena u nizu zavisi od veliine ispitivanog prostora i iznosi, priblino, 1/2opt OM , gde je O obim ispitivanog prostora. Ovaj broj odreen je stepenom slobode elektromagnetskog polja, ije prouavanje prevazilazi granice kursa. U posmatranom primeru, taj broj je 33opt M . Daljim poveavanjem broja antena, koliina informacija ostaje ista, a sistem se nepotrebno uslonjava.

Zadatak:Ilustracijauticajauestanosti

U sledeem primeru posmatraemo uticaj uestanosti na rezoluciju sistema. Rezoluciju, odnosno najmanji mogui detalj koji se jasno razaznaje na slici, moemo priblino da odredimo na osnovu rezultata rekonstrukcije takastih rasejaa u trodimenzionom prostoru, odnosno beskonano dugakih i tankih cilindrinih tela u dvodimenzionom prostoru. U tu svrhu, posmatramo konfiguraciju prikazanu na slici 1.5. Detalji modela su isti kao u prethodnom primeru, osim to je sada poluprenik cilindra mm2b , a poluprenik niza

m5.0R . Na slici 1.6, prikazani su rezultati proraunati na uestanostima GHz3,2,1f . Stvaran presek cilindra oznaen je crnom linijom. Sa slika se uoava kako se sa porastom

10

uestanosti poveava prostorna rezolucija slike, a samim tim poboljava sposobnost sistema da razlikuje dva bliska objekta.

Slika 1.5. Model tankog cilindra u prisustvu krunog antenskog niza.

GHz1f

GHz2f

GHz3f

Slika 1.6. Rekonstrukcija tankog cilindra primenom metode beamforming, dobijena na razliitim uestanostima.

11

Zadatak:Rekonstrukcijanekonveksnihobjekata

Slika 1.7. Konfiguracija sistema sa cilindrom sloenog poprenog preseka.

U ovom zadatku posmatramo rekonstrukciju metalnog, nekonveksnog cilindrinog tela, prikazanog na slici 1.7, pri emu je m2.0a , m7.0R , 72M . Na slici 1.8, prikazani su rezultati dobijeni na razliitim uestanostima, GHz5,3,2,1f . Sa porastom uestanosti, rekonstrukcija objekta se poboljava. Meutim, zbog viestrukih refleksija na kracima, metoda pogreno rekonstruie nekonveksne delove konture tela.

GHz1f

GHz2f

GHz3f

GHz5f

Slika 1.8. Rekonstrukcija nekonveksnog cilindra dobijena primenom metode beamforming na

razliitim uestanostima.

12

TeorijskiosnoviinverznograsejanjaZapreminskateoremaekvivalencije

Vrlo retko se objekti, iju poziciju ili sliku elimo da odredimo, nalaze u slobodnom prostoru. Obino su u elektromagnetski sloenim sredinama, poput zatvorenih prostorija, ulica, nehomogenog tla, sloenih tkiva itd. U svim ovim situacijama, primljeni signal ne moe da se predstavi jednostavno pomou zakanjene replike poslatog signala, kao to je bio sluaj u vazduhu. Naprotiv, primljeni signali su izmenjeni viestrukim refleksijama elektromagnetskih talasa od prepreka, poput zidova u prostorijama, granica razliitih slojeva u zemljitu ili tkiva u ljudskom telu. Zbog toga je od interesa pronai opti fiziki model koji povezuje merenja i karakteristike sredine u kojoj se elektromagnetsko polje prostire. Prvi korak u razvoju tog modela je zapreminska teorema ekvivalencije.

Slika 2.1. Zapreminska teorema ekvivalencije u vakuumu. (a) Dielektrino telo u prisustvu pobudnih struja i (b) ekvivalentne elektrine i magnetske struje.

Pretpostavimo, najpre, da u vakuumu postoje samo pobudne struje iJ koje stvaraju elektromagnetsko polje 00,HE . Ovo polje i izvori zadovoljavaju Maksvelove jednaine

000 jrot HE , (2.1)

00i0 jrot EJH . (2.2)

Ukoliko se u vakuumu nalazi i telo ije se elektromagnetske osobine razlikuju od osobina vazduha, pri istoj pobudi, u prostoru se uspostavlja novo polje HE, . Ovo polje, takoe, zadovoljava Maksvelove jednaine

HE jrot , (2.3)

EJH jrot i , (2.4)

gde su i permitivnosti i permeabilnost tela, respektivno. Primer dielektrinog tela, u prisustvu izvora polja, ilustrovan je na slici 2.1a.

Oduzimanjem (2.1) i (2.2) od (2.3) i (2.4), dobijamo

13

000 jjrot HHEE , (2.5)

000 jjrot EEHH . (2.6)

Definiimo rasejano polje kao razliku ukupnog polja i polja bez prisustva dielektrinog tela,

0s EEE , (2.7)

0s HHH . (2.8)

Jednaine (2.5) i (2.6) se ne menjaju ako ih napiemo i obliku

000000 jjjjrot HHHHEE , (2.9)

000000 jjjjrot EEEEHH . (2.10)

Odnosno,

HHE 0s0s jjrot , (2.11)

EEH 0s0s jjrot . (2.12)

Definiimo zapreminske gustine ekvivalentnih elektrinih i magnetskih struja

EJ 0eq j , (2.13)

HM 0eq j . (2.14)

Ove struje postoje samo u oblasti gde je 0 i 0 , odnosno samo u dielektrinom telu. Kada uvrstimo izraze za ekvivalentne struje u (2.11) i (2.12), dobijamo

eqs0s jrot MHE , (2.15)

eqs0s jrot JEH . (2.16)

Jednaine za rasejano polje (2.15) i (2.16) su formalno iste kao za polje koje stvaraju ekvivalentne elektrine ( eqJ ) i magnetske struje ( eqM ) koje se nalaze u vakuumu, na mestu dielektrinog tela. Teorema ekvivalencije ilustrovana je na slici 2.1b.

Navedena teorema ekvivalencije je izvedena za sluaj kada se objekat (raseja) nalazi u vakuumu. Meutim, na isti nain moe da se formulie i opta teorema ekvivalencije, koja vai u proizvoljnoj linearnoj sredini. Na slici 2.2a, prikazan je nepoznati objekat nainjen od

14

dielektrika permitivnosti i permeabilnosti . Objekat se nalazi u poznatom, u optem sluaju nehomogenom, dielektriku parametara b i b . U prostoru postoje izvori polja u vidu pobudnih struja iJ . Polje rasejano od objekta sada definiemo kao

bs EEE , (2.17)

bs HHH , (2.18)

gde su bE i bH vektori incidentnog elektrinog i magnetskog polja, respektivno, uspostavljeni u sredini parametara b i b kada je objekat uklonjen (slika 2.2b). Rasejano polje se moe pripisati ekvivalentnim elektrinim i magnetskim strujama koje su sada

EJ beq j , (2.19)

HM beq j (2.20)

i one postoje samo u oblastima gde je b i b (slika 2.2c).

(a)

(b)

(c)

Slika 2.2. Ilustracija teoreme ekvivalencije u proizvoljnoj sredini. (a) Ukupno polje, (b) incidentno polje i (c) rasejano polje i ekvivalentne struje.

15

DijadikaGrinovamatrica

Elektromagnetsko polje, koje u linearnoj sredini parametara i , stvaraju elektrine struje zapreminske gustine J , dobija se reavanjem talasne jednaine

rJrErE j2 , (2.21)

gde je fazni koeficijent. Kada su izvori polja elementarni strujni izvori, talasna jednaina moe da se napie u obliku

'j',', 2 rrIrrGrrG , (2.22)

gde je ',rrG dijadika Grinova funkcija, I je jedinina 33 matrica i 'rr je prostorna delta funkcija. (Dijada je 33 matrica koja transformie jedan vektor u drugi vektor.)

Slika 2.3. Uz definiciju Grinove funkcije.

U razvijenom obliku dijadika Grinova matrica je

zyxzzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

GGGGGGGGG

gggrrG

', , (2.23)

gde vektori gx, gy i gz predstavljaju odzive sistema koje proizvode jedinini strujni izvori u pravcu x, y, i z-ose, respektivno,

xxx irrgg 'j2 , (2.24a)

yyy irrgg 'j2 , (2.24b)

zzz irrgg 'j2 . (2.24c)

16

Odatle, polje koje pobuuje elementarni strujni izvor vdJ (slika 2.3) je

vJJJ

GGGGGGGGG

EEE

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

dddd

, (2.25)

odnosno

vdd JGE , zzyyxx EEE iiiE d , zzyyxx JJJ iiiJ . (2.26)

Primenom principa superpozicije, elektrino polje koje potie od proizvoljne raspodele struja je

vv

d'', rJrrGrE . (2.27)

U optem sluaju, elementi Grinove dijadike matrice ne mogu da se odrede analitiki. U tu svrhu, najee se koristi elektromagnetski softver.

NumerikoodreivanjedijadikeGrinovematrice

Posmatramo linijski strujni element male duine h ( h ) sa strujom I (Hercov dipol). U tom sluaju (2.26) postaje

IhrrGrE ', , hh , (2.28)

gde je vektor h orijentisan kao i struja. Ukoliko je strujni element postavljen u pravcu x-ose, sledi

Ih

GGGGGGGGG

EEE

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

00 , (2.29)

.

,

,

hIEGhIGE

hIE

GhIGE

hIEGhIGE

zzxzxz

yyxyxy

xxxxxx

(2.30)

Slino, postavljanjem strujnog elementa paralelno y-osi, dobijamo xyG , yyG i zyG . Konano,

kada se orijentacija strujnog elementa poklapa sa z-osom, odreujemo xzG , yzG i zzG . U

17

sluaju kratkog neoptereenog dipola, formule (2.28-2.30) ostaju iste, s tim to h predstavlja duinu kraka dipola. Za razliku od Hercovog dipola, kratak neoptereeni dipol ima trougaonu raspodelu struje. Pod pretpostavkom da se dijadika Grinova matrica ne menja znaajno du ose dipola, (2.27) postaje

hrrGirrGrE

',d1',2 0

00 Ilh

lIh

, (2.31)

gde je I0 struja na prikljuku dipola, a i ort dipola u Dekartovom koordinatnom sistemu. Postavljanjem dipola paralelno koordinatnim osama, dobijaju se svi elementi Grinove dijadike matrice kao i u sluaju Hercovog dipola.

Zadatak:ProraundijadikeGrinovematriceuprogramuWIPLD

Radi odreivanja elemenata Grinove matrice, napraviti dielektrino telo u obliku kvadra relativne permitivnosti 2r , kao to je prikazano na slici 2.4. Osnova tela je kvadrat stranice cm2a , a visina cm10H . Radna uestanost je GHz2f . Radi odreivanja elementa 12,rrzzG u taki sa koordinatama cm0,cm3,cm1 1111 zyxr postaviti dipol duine kraka mm2h paralelno z-osi. Odrediti elektrino polje primenom opcije NEAR FIELD u taki sa koordinatama cm0,cm0,cm0 2222 zyxr .

Slika 2.4. WIPL-D model za odreivanje Grinove funkcije.

18

U programu WIPL-D, ice se pobuuju naponskim generatorom V1U . Odatle je struja na prikljuku dipola 11/ ZUI , gde je 11Z impedansa dipola. Traeni element Grinove

dijadike matrice je hZEG zzz 11 .

Posmatramo potom obrnutu situaciju, kao to je ilustrovano na slici 2.5. Dipol se nalazi u dielektriku u taki 2222 ,, zyxr , a polje se rauna u vakuumu u taki 1111 ,, zyxr . Odrediti element 21,rrzzG . Kakva je veza izmeu 12,rrzzG i 21,rrzzG ?

Slika 2.5. WIPL-D model za proveru osobina Grinove funkcije.

OsobinedijadikeGrinovefunkcije

Na osnovu teoreme reciprociteta moe se pokazati da vai T,'', rrGrrG , gde T oznaava transponovanje matrice. Teorema reciprociteta ima veliki znaaj u elektrotehnici, posebno u antenskim merenjima. Ovde je samo navodimo bez dokaza.

(a) (b) Slika 2.6. Ilustracija teoreme reciprociteta.

Neka u domenu 1v postoje zapreminske struje gustine 1J koje stvaraju polje 1E , kao to je prikazano na slici 2.6a. Slino, neka u domenu 2v sa slike 2.6b postoje zapreminske struje gustine 2J koje stvaraju polje 2E . Moe se pokazati da vai

19

21

21T212

T1 dd''

vv

vv rErJrErJ . (2.32)

Pomou dijadikih Grinovih matrica, levu i desnu stranu (2.32) moemo da napiemo u obliku

1 21 21

212T1221

T112

T1 dd,''d,'d'd''

v vv vv

vvvvv rJrrGrJrJrrGrJrErJ , (2.33)

1 22 12

211T2112

T221

T2 dd'',d',dd

v vv vv

vvvvv rJrrGrJrJrrGrJrErJ . (2.34)

S obzirom na to da je rJrrGrJ 2T1 ,'' skalarna veliina, njenim transponovanjem se nita ne menja,

',','','' 1TT2T2T12T1 rJrrGrJrJrrGrJrJrrGrJ . (2.35)

S druge strane, na osnovu (2.32)-(2.34)

,'',',' 1T21TT2 rJrrGrJrJrrGrJ (2.36)

odakle je

',,'T rrGrrG . (2.37)

Zadatak:Numerikaproverazapreminsketeoremeekvivalencije

Slika 2.7. Dielektrino telo u prisustvu dve antene.

Zapreminsku teoremu ekvivalencije proveriemo na primeru rasejanog polja koje potie od dielektrinog tela prikazanog na slici 2.7. Incidentno polje potie of elektriki kratkog dipola koji se nalazi u taki sa koordinatama ),,( 111 zyx . Prijemni dipol je identian i nalazi se u taki sa koordinatama 222 ,, zyx . Obe antene su postavljene u pravcu z-ose.

20

Na osnovu zapreminske teoreme ekvivalencije, rasejano polje u taki r izvan tela potie od ekvivalentnih struja

vvvv

d'',1jd'', r0eqs rErrGrJrrGrE , (2.38)

gde je 'rE ukupno polje u dielektriku u taki 'r , a ',rrG dijadika Grinova funkcija u vazduhu. S obzirom na to da je predajna antena z-polarizovana, pretpostavljamo da je zE dominantna komponenta elektrinog polja. Rasejano elektrino polje je priblino

v

zzzz vEGE d'',1j r0,s rrrr . (2.39)

Integral (2.39) se odreuje numeriki. U tu svrhu, unutranjost tela treba podeliti na uniformnu mreu voksela (najmanji deo 3D prostora), gde su centri voksela definisani Dekartovim koordinatama kjiijk zyx ,,r , xNi ,,1 , yNj ,,1 , zNk ,,1 . Priblina vrednost (2.39) na mestu predajnika je

x y zN

i

N

j

N

kzyxijkijkzzzs EGE

1 1 12r02, ,1j rrrr , (2.40)

gde su x , y , z dimenzije voksela po x, y i z osi, respektivno. Na osnovu teoreme reciprociteta (2.40) je

x y zN

i

N

j

N

kzyxijkijkzzzs EGE

1 1 12r02, ,1j rrrr , (2.41)

jer je ijkzzijkzz GG rrrr ,, 22 .

Implementacija algoritma se sastoji iz sledeih koraka

U programu WIPL-D napraviti model koji se sastoji od dielektrinog tela i dva dipola. Predajni i prijemni dipoli nalaze se u takama sa koordinatama

cm10cm,5,cm21 x , cm21 y , 4/1 Hz , 12 xx , 12 yy , 4/32 Hz , respektivno. Duina kraka dipola je mm5.7h , a poluprenik ice dipola je dvadeset puta manji od duine kraka. Radna uestanost je GHz2f . Dielektrino telo je u obliku kvadra koji je postavljen centralno u odnosu na koordinatni sistem. Visina tela je cm5H , a osnova je u obliku kvadrata, stranice cm2a . Relativna permitivnosti dielektrika je 5.1r .

Odrediti elektrino polje u unutranjosti dielektrinog tela, ijkzE r , primenom opcije NEAR FIELD. U odgovarajuoj tabeli, definisati mreu taaka:

21

2/min ax , 2/max ax , 50xN ,

2/min ay , 2/max ay , 50yN ,

2/min Hz , 2/max Hz , 50zN .

Napraviti drugi model koji se sastoji samo od predajne i prijemne antene u vazduhu (bez dielektrinog tela) radi odreivanja Grinove funkcije. U prethodno definisanoj mrei taaka, proraunati elektrino polje u vazduhu, ijkzE r0 . Odrediti priblino Grinovu funkciju hZEG ijkzijkzz /, 2202 rrr .

Izraunati priblino rasejano polje (2.41). Dobijeni rezultat uporediti sa rezultatom koji daje program WIPL-D,

,011

012

11

122,022,s

hZZ

hZZEEE zzz rrr

gde je E polje na mestu prijemne antene u prisustvu dielektrika, E0 polje na mestu prijemne antene bez prisustva dielektrika, a 12Z i

012Z su meusobne impedanse

prijemne i predajne antene sa i bez dielektrika, respektivno. Kolike su razlike u reenjima za tri razliita poloaja antene?

Oekivano je da se najbolje slaganje postie u treem sluaju, kada je predajna antena najudaljenija od objekta. U tom sluaju, incidentno polje je priblino ravan talas, a polje i struje indukovane u telu imaju dominantnu z-komponentu, kao to smo i pretpostavili u reenju. Na slici 2.8 prikazani su vektori indukovanih elektrinih struja za tri poloaja antena dobijeni proraunom u programu WIPL-D. Raspodela struja potvruje prethodna razmatranja.

(a) (b) (c) Slika 2.8. Ekvivalentne struje u dielektrinom telu kada je (a) cm21 x , (b) cm51 x i

(c) cm101 x .

22

Aproksimativanizrazzarasejanopoljeslabihrasejaa

Posmatramo situaciju prikazanu na slici 2.9. U dielektrinoj sredini poznatih parametara ( bb , ) nalazi se elektriki mali objekat nepoznate permitivnosti i permeabilnosti ( , ). Radi jednostavnosti, ograniavamo se na nemagnetske sredine. Stoga je 0b . U optem sluaju, dielektrik je nehomogen, rbb . Permitivnost b se odnosi na celokupnu okolinu traenog objekta.

Slika 2.9. Lokalizacija objekta sakrivenog u neprovidnoj dielektrinoj sredini.

Pretpostavimo da je objekat osvetljen predajnom antenom koja se nalazi na mestu ir i da se

polje meri prijemnom antenom na mestu jr . Na osnovu zapreminske teoreme ekvivalencije, rasejano polje moe da se pripie ekvivalentnim strujama koje postoje u sredini permitivnosti

b ,

vv iv

jv

jij d;';',''jd';',; bbeqbs rrErrGrrrJrrGrrE , (2.42)

gde je irrE ;' ukupno polje na mestu r' u prisustvu objekta, a b;', rrG j je Grinova dijadika matrica u sredini b (objekat je uklonjen). Pod pretpostavkom da je objekat elektriki mali, (2.42) daje priblino

Vijij rrErrGrrrE ;;,j; tbttbs , (2.43)

gde vektor tr definie poloaj objekta, a V je njegova zapremina. U izrazu (2.43) nepoznati su kontrast b i ukupno polje irrE ;t . Radi uproenja ovog nelinearnog problema, primenjuje se Bornova aproksimacija, po kojoj je ukupno polje u slabom rasejau priblino isto kao i incidentno polje. Pod slabim rasejaem podrazumeva se elektriki malo telo ija je

23

permitivnost slina permitivnosti okoline. U tom sluaju, btt ,;; ii rrErrE , a (2.43) postaje

Vijij btbttbs ,;;,j; rrErrGrrrE . (2.44)

Ukoliko je predajnik kratak neoptereeni dipol, struje I i kraka h , (2.44) postaje

VIijij hrrGrrGrrrE btbttbs ;,;,j; . (2.45)

Na osnovu teoreme reciprociteta dobijamo priblian izraz za rasejano polje koje ima linearnu zavisnost od nepoznate permitivnosti tela.

VIijij hrrGrrGrrrE btbtTtbs ;,;,j; , (2.46)

Beamforminguproizvoljnojsredini

Posmatraemo pojednostavljen sluaj u kome dijadika Grinova matrica moe da se aproksimira skalarnom veliinom. Jedna takva situacija je ilustrovana na slici 2.10, gde su predajna i prijemna antena paralelne sa z-osom. Imajui u vidu da je objekat izduen u pravcu z-ose, oekivano je da dominanta komponenta polja bude u tom pravcu.

Slika 2.10. Aproksimacija dvodimenzionog problema inverznog rasejanja.

U tom sluaju, z-komponenta rasejanog polja je priblino

btbtbtbt ;,;,;,;,j; izzjzzizzjzzijs,z GGGVIhGE rrrrrrrrrr , (2.47)

gde je VIh j .

Jednaina (2.47) je polazna osnova sa primenu algoritma beamforming u proizvoljnoj sredini, kao i nekih drugih algoritama za lokalizaciju o kojima e kasnije biti vie rei.

24

Implementacija algoritma se sprovodi na slian nain kao i u vakuumu. Najpre, izdelimo prostor koji pretraujemo na uniformnu mreu taaka. U svakoj taki proraunavamo funkciju

*btbt1 1

zs, ;,;,,

izzjzz

M

i

M

jij GGEI rrrrrrr , (2.48)

gde je yx,r proizvoljna taka u mrei. Ukoliko se objekat stvarno nalazi u taki yx,r , doi e do konstruktivnog sabiranja faza jer je

M

i

M

jizzjzz

izzjzz

M

i

M

jizzjzz

GG

GGGGI

1 1

2bt

2bt

*btbt

1 1btbt

.;,;,

;,;,;,;,

rrrr

rrrrrrrrr (2.49)

U suprotnom, brzo promenljivi lanovi se ponitavaju, zbog ega e funkcija I ima jako malu vrednost u tim takama. esto se, umesto (2.48), koristi alternativni (normalizovani) izraz

*

btbt

btbt

1 1zs, ;,;,

;,;,,

izzjzz

izzjzzM

i

M

jij GG

GGEI

rrrrrrrr

rrr , (2.50)

kojim se kompenzuju razlike u slabljenju signala usled drugaijih putanja.

Slika 2.11. Uz polje zraenja kratkog dipola.

Vredi napomenuti da formulacija algoritma beaforming u vakuumu predstavlja specijalan sluaj izraza (2.50). Kao ilustraciju, posmatrajmo kratak neoptereen dipol, postavljen kao na slici 2.11. Polje u dalekoj zoni dipola je

iEr

rhIZ jexpsin4

j 00 , (2.51)

gde je 0I struja napajanja, a 0Z talasna impedansa u slobodnom prostoru. U horizontalnoj ravni, vektor elektrinog polja ima samo z-komponentu koja iznosi

r

rhIZEz

jexp

4j 00 , (2.52)

odakle je Grinova funkcija

25

rZ

lIEG

rz

zz

4ej

j0

0

, rr

ZhI

EG zzz

jexp4

j 00

. (2.53)

Zamenom (2.53) u (2.50), dobijamo

ijM

i

M

jijEI

rrrrrrr j

1 1s e; , (2.54)

odnosno

M

i

y-yx-xy-yx-x

iijj

M

jzs

jjiiyxyxEyxI1

j

1,

2222

e,;,, . (2.55)

Zadatak:Lokalizacijazakopanogobjekta

U sledeem primeru ilustrovaemo lokalizaciju zakopanih objekata pomou metode beamforming. U programu WIPL-D, zemlju emo predstaviti kao dielektrino telo u obliku kvadra, stranica m1 ba i m.2.0c Usvojiemo da je permitivnost zemlje j16r . U zemlji se nalazi metalno telo, oblika sfere, poluprenika cm5.2r . Centar sfere je u taki sa koordinatama 0 zx , cm10y . Poloaj objekta se utvruje pomou niza kratkih dipola, koji rade na uestanosti GHz1f . Dipoli su rasporeeni, kao na slici 2.12, u vidu planarnog niza od 55 elemenata. Duina kraka dipola je 10/h . Ose dipola su u pravcu x-ose, a rastojanje izmeu napajanja susednih antena je yx . Niz se nalazi na visini

m15.0H iznad zemlje.

Slika 2.12. Lokalizacija zakopanih objekta. Model u programu WIPL-D.

Radi utvrivanja Grinovih funkcija, napraviti identian model samo bez objekta. Pomou opcije NEAR FIELD, proraunati blisko polje u mrei taaka maxmin xxx ,

maxmin yyy , m3.0maxminmaxmin yyxx , na visini 0z . Neka je broj taaka 40 yx NN . S obzirom na geometriju problema, dominantna komponenta prenosne

matrice je xxG . Za svaku taku na mrei (xi, yj), proraunati je na sledei nain:

hkkZyxEyxG kjixkjixx /,;,;, 0rr , (2.56)

26

gde je k indeks predajne antene i Z0 impedansna matrica proraunata u modelu bez objekta.

Potom, formirati sliku

M

k

M

lljixxkjixxji yxGyxGlkZyxI

1 1

*;,;,,, rr , (2.57)

gde je lkZ , razlika impedansnih parametara, proraunatih sa i bez objekta, respektivno. Na slici 2.13 prikazan je rezultat lokalizacije.

Slika 2.13. Slika objekta dobijena pomou algoritma beamforming.

27

Singularnadekompozicija(SVD)Ortogonalnivektori

Za par vektora 1C mx i 1C my kae se da su ortogonalni ako je ispunjeno 0H yx , odnosno

,1

mx

xx ,

1

my

yy (3.1)

01

*1

**1

H

m

iii

m

m yxy

yxx yx , (3.2)

gde H oznaava operaciju konjugovanja i transponovanja matrice (vektora).

Unitarnamatrica

Kvadratna matrica mmCQ je unitarna (unitary) ako vai 1H QQ , odnosno IQQ H . Ako matricu Q napiemo u funkciji njenih kolona, onda matrini proizvod glasi

mqqQ 1 , (3.3)

I

qqqqqq

qqqqqqqqqqqq

qqq

qQQ

mmmm

m

m

m

m H2

H1

H

H22

H21

H2

H12

H11

H1

1H

H1

H

, (3.4)

odatle sledi

mjiijji ,1,,H qq . (3.5)

Simbol ij , Kronekerova delta, jednak je 1 ako je ji , i 0 ako je ji . Vektori za koje je ispunjeno (3.5) nazivamo ortonormalnim vektorima.

SingularnaDekompozicija

Neka je nmCA pravougaona matrica, gde su m i n proizvoljni celi brojevi. Singularna dekompozicija matrice A je

28

VUA , (3.6)

gde je

muuU 1 , (3.7)

nvvV 1 , (3.8)

00

0

0000

000

2

1

p . (3.9)

Matrice mmCU i nnCV su unitarne matrice, a matrica nm je dijagonalna matrica. Dijagonalni elementi j matrice su vei ili jednaki nuli i poreani su po

opadajuem redosledu, 021 p , gde je nmp ,min . U razvijenom obliku singularna dekompozicija glasi

p

iiii

1

HH vuVU . (3.10)

Primenesingularnedekompozicije

Obrada slike

Za prenos slike formata 10001000 piksela, potrebno je preneti milion brojeva, gde svaki broj predstavlja kodovanu boju piksela. Umesto prenosa kompletne matrice, bolje je preneti samo sutinsku informaciju koja ona sadri. Ukoliko primenimo singularnu dekompoziciju, obino je samo deo singularnih vrednosti znaajan, dok su ostale priblino jednake nuli. Ukoliko je broj znaajnih singularnih vrednosti k, onda treba preneti samo k singularnih vrednosti, kao i prvih k singularnih vektora matrica U i V. Na primer ukoliko je 50k , treba preneti 1000000100050210005050 brojeva.

Rasejanje elektromagnetskog polja

Jedno od estih pitanja prilikom reavanja inverznih elektromagnetskih problema jeste dimenzionisanje antenskog niza koji se koristi prilikom rekonstrukcije nepoznatog objekta. Kao ilustraciju, posmatramo rasejanje savreno provodnog, beskonano dugakog cilindra poluprenika a, prikazanog na slici 3.1. Pod pretpostavkom da incidentni TM polarizovani

29

talas nailazi iz negativnog pravca x-ose, rasejano elektrino polje moe da se predstavi u vidu sume

,ej, j220

n

nn

n

nnzs HaH

aJEE (3.11)

gde je 0E efektivna vrednost incidentnog elektrinog polja, nJ Beselova funkcija prve vrste,

n-tog reda, 2nH Hankelova funkcija druge vrste, n-tog reda i , su polarne koordinate definisane na slici 3.1.

Slika 3.1. Rasejano elektrino polje beskonano dugakog metalnog cilindra.

U zoni zraenja vai aproksimacija

j2 ejj2 nnH , (3.12)

odakle sledi

n

nn

z cKE js e , , (3.13)

j

0e2 jEK , aH

aJcn

nn

2 . (3.14)

Broj znaajnih lanova sume opada sa veliinom objekta. Moe se pokazati da su doprinosi lanova iji je indeks vei od an 2max zanemarljivi, pa (3.13) postaje

max

max

js e,

n

nn

nn

z cKE . (3.15)

Radi izvoenja opteg izraza, posmatramo mernu konfiguraciju kao na slici 3.2. Cilindar je obuhvaen krunim nizom antena koje se nalaze na pozicijama ,, ii r .,,1 Mi Ukoliko su antene dovoljno udaljene od objekta, rasejano elektrino polje koje meri i-ta antena kada je j-ta antena prijemna, je priblino

30

max

max

js e,

n

nn

ijnncKijE . (3.16)

Slika 3.2. Merna konfiguracija.

Sva merenja mogu da se zapiu u jednu matricu, koja se naziva multistatic data matrix,

MMM

M

EE

EE

,,

,,

s1s

1s11s

L (3.17)

max

max

max

max

1

max

max

1max

max

11

jj

jj

ee

ee

n

nn

nn

n

nn

nn

n

nn

nn

n

nn

nn

MMM

M

cc

cc

K

(3.18)

MMM

M

nn

nnn

nnncK

jj

jj

ee

ee

1

111

max

max

. (3.19)

Definiimo vektore

Tjj ee1 1 Mnnn M u , Mn ,,1 . (3.20)

Vektori su priblino ortonormalni, odnosno vai

knnk uuH , maxmax , nnkn . (3.21)

Na osnovu (3.17)(3.21), matricu merenja moemo da zapiemo u obliku

31

Hnnn

nnnKMc uuL

max

max

. (3.22)

Sa druge strane, ako primenimo singularnu dekompoziciju matrice L, dobijamo

Hpp

M

pp vuL

0

, (3.23)

odakle sledi da su

nKMc singularne vrednosti matrice L , nu singularni vektori matrice L .

Da bismo u potpunosti rekonstruisali rasejano polje cilindra, potrebno je da poznajemo singularne vrednosti nc . Poveavanjem broja antena preko vrednosti 12 max nM ne dobijaju se nove informacije!

Zadatak:Primenasingularnedekompozicije

Napraviti kruni niz polutalasnih dipola u ijem se sreditu nalazi metalni cilindar, kao na slici 3.3. Radna uestanost je GHz2f . Poluprenik niza je 5R , gde je talasna duina u vazduhu. Visina cilindra je m8.0h , a poluprenik osnove je a . Na osnovu impedansnih parametara generisati priblinu matricu L,

MMM

M

ZZ

ZZ

1

111

L , (3.24)

gde je ijZ razlika meusobnih impedansi izmeu i-te i j-te antene, proraunatih u modelu sa cilindrom i bez cilindra.

Pomou Matlab komande svd odrediti singularnu dekompoziciju matrice L, LVU svd . Izdvojiti singularne vrednosti iz dijagonalne matrice i nacrtati ih u sluajevima: 1.0a , 1a i 2a . Na slici 3.4 su prikazani rezultati simulacije. Kao to je oekivano, broj znaajnih singularnih vrednosti raste sa porastom poluprenika cilindra.

32

Slika 3.3. Metalni cilindar u prisustvu krunog antenskog niza.

(a)

(b)

(c)

Slika 3.4. Normalizovane singularne vrednosti matrice L dobijene u sluaju (a) 2.0a , (b) 1a i (c) 2a .

33

Nekeosobinesingularnedekompozicije

Jednostavnim transformacijama pokazuje se da vae sledee osobine singularne dekompozicije:

jjjHii

P

iij uvvuLv

0, (3.25)

jjjii

P

iij vuuvuL

H

0

H , (3.26)

jjjjjHii

P

iij vuLvvuLLvL

2H

0

HH

, (3.27)

jjjjjii

P

iij uLvuuvLuLL

2H

0

H

, (3.28)

pri emu smo koristili osobinu ortonormalnosti singularnih vektora

,ijjHi vv (3.29)

.ijjHi uu (3.30)

U tabeli smo sumirali glavne osobine singularne dekompozicije:

jjj uLv

jjj vuL H

jjj vLvL2H

jjj uuLL2H

Dekompozicijavektora

Singularnom dekompozicijom proizvoljne kompleksne matrice 1 MCL dobijamo dva skupa ortogonalnih vektora, ju , Mj ,,1 i iv , Ni ,,1 . Vektori ju definiu bazu

prostora .1MC To znai da svaki vektor iz tog prostora moe da se predstavi linearnom

34

kombinacijom vektora ju , na isti nain kao to svaki vektor u trodimenzionalnom (3-D)

prostoru moe da se predstavi linearnom kombinacijom ortova xi , yi , i zi ,

zzyyxx AAA iiiA , (3.31)

xxA iA , yyA iA , zzA iA , (3.32)

gde su Ax, Ay i Az projekcije vektora A na pravce odgovarajuih ortova. Stoga za vektor 1 MCg moemo da napiemo

M

iiig

1ug , jjg ug, , (3.33)

gde se koeficijenti jg , Mj ,,1 dobijaju kao skalarni proizvod vektora g i j-tog bazisnog vektora,

j

M

iiiijj gg

1

HH, uuguug . (3.34)

Na slian nain, vektori Nii ,,1, v , predstavljaju bazu prostora 1NC . Vektor

1 NCf moemo da predstavimo pomou razvoja

M

iii

M

iiif

11, vvfvf . (3.35)

Dekompozicije vektora i matrica sumirane su u tabeli:

M

iii

M

iiig

11, uugug

N

iii

N

iiif

11, vvfvf

P

iiii

1

HvuL

35

Reavanjesistemalinearnihjednaina

Posmatramo sistem linearnih jednaina

gLf , (3.36)

gde je sada NCf nepoznati vektor, MCg poznati vektor i NMC L sistemska matrica. U optem sluaju, broj nepoznatih podataka nije jednak broju poznatih, odnosno NM . Zbog toga, ne moemo da reimo sistem jednaina invertovanjem matrice, gLf 1 , jer L nije kvadratna matrica.

Priblino reenje ovog sistema moe da se dobije minimiziranjem srednje kvadratne greke

izmeu modela i merenja, 2gLf . Diferenciranjem greke po nepoznatom vektoru f dobija se

,HH gLfLL (3.37) odnosno

gLLLf H1H . (3.38) Primenom singularne dekompozicije, pokazaemo zato dobijeno reenje nije numeriki stabilno. Posmatramo najpre levu stranu jednakosti (3.37). Na osnovu (3.27) i (3.35),

P

iiii

N

iii

N

iii fff

1

2

1

H

1

HH vvLLvLLfLL . (3.39)

Primenom (3.26) i (3.33), desna strana jednakosti (3.37) postaje

P

iiii

M

iii

11

HH ,, vuguLuggL . (3.40)

Izjednaavanjem (3.39) i (3.40), dobija se

iiiif ug,2 , (3.41)

odnosno

i

P

i i

i vug

f

1

,. (3.42)

Reenje sa najmanjim kvadratnim odstupanjem je numeriki nepovoljno zbog preovladavajueg uticaja lanova sa malim singularnim vrednostima. Naime, male singularne

36

vrednosti potiu od uma. Javljaju se u obliku i/1 , zbog ega suma divergira, odnosno

f . U sledeem poglavlju bie vie rei o postupcima za regularizaciju reenja kojima se postie numerika stabilnost.

37

TehnikelokalizacijezasnovanenasingularnojdekompozicijiMUSICalgoritam

Slika 4.1. Merni sistem.

Pretpostavimo da elimo da odredimo poziciju nepoznatog objekata pomou antenskih merenja, poput onog ilustrovanog na slici 4.1. Pozicija traenog objekta je odreena vektorom poloaja 1t1t1t1 ,, zyxt . Poloaj antena u nizu definisan je vektorima poloaja

iiii zyx ,,r , Mi ,,2,1 . Posmatramo situaciju kada i-ta antena radi kao predajna, a j-ta antena radi kao prijemna. Ako se objekat nalazi u dalekom polju antena, signal koji stie do prijemnika je, priblino, zakasnela i oslabljena replika poslatog signala,

jiijE rtrtrr 111s j-expj-exp, , (4.1)

gde je 1 koeficijent koji je proporcionalan koeficijentu refleksije objekta. Podatke izmerene sa svih antena moemo da stavimo u multistatiku matricu podataka

MMM

M

EE

EE

rrrr

rrrrL

,,

,,

s1s

1s11s

(4.2)

MMM

M

rtrtrtrt

rtrtrtrt

1111111

111111111

j-expj-expj-expj-exp

j-expj-expj-expj-exp

(4.3)

38

M

M

rtrtrt

rt

111

1

11

1 j-expj-expj-exp

j-exp (4.4)

1T11 tgtg , (4.5)

gde je

T1111 j-expj-exp Mrtrttg (4.6)

vektor iji su elementi proporcionalni odzivu niza na jedinini takasti raseja koji se nalazi na mestu 1t . Pretpostavimo sada da se P malih objekata nalazi na pozicijama Ptt ,1 . Smatramo da je interakcija izmeu objekata zanemarljiva, odnosno da nema viestruke refleksije signala od objekata. U tom sluaju, signal koji prima i-ti prijemnik je priblino jednak zbiru signala koje bi j-ti predajnik primio pojedinano od svakog objekta,

pjpiP

ppijE trtrrr

jexpjexp,

1s . (4.7)

Multistatika matrica podataka u tom sluaju glasi

pMpM

P

ppppM

P

pp

pMp

P

pppp

P

pp

trtrtrtr

trtrtrtr

Ljexpjexpjexpjexp

jexpjexpjexpjexp

11

1

11

111

(4.8)

pMpMppM

pMpppP

pp

trtrtrtr

trtrtrtr

jexpjexpjexpjexp

jexpjexpjexpjexp

1

111

1

(4.9)

T1

pp

P

pp tgtg

. (4.10)

U sluaju kada se rasejai nalaze u linearnom, u optem sluaju nehomogenom dielektriku, u 2-D prostoru, rasejano polje (4.1) je priblino

P

ppjippij ggE

1s ,,, trrtrr , (4.11)

39

gde je ipg rt , skalarna Grinova funkcija. Zbog reciprociteta Grinove funkcije vai

P

ppjpipij ggE

1s ,,, trtrrr . (4.12)

Poput (4.6), definiemo vektor iji su elementi odzivi antena u nizu na jedinini raseja u taki pt u proizvoljnoj linearnoj sredini

T1 ,, pMpp gg trtrtg . (4.13)

Kada se (4.13) uvrsti u (4.10), dobijamo generalni oblik za multistatiku matricu podataka. Radi dalje analize, (4.10) piemo u obliku

p

p

p

pp

P

pppp

P

pp tg

tgtgtg

tgtgtgLT

2

1

T

1

. (4.14)

S druge strane, singularna dekompozicija matrice L glasi

Hpp

M

pp vuL

0, (4.15)

Da bi (4.15) predstavljao singularni razvoj matrice, potrebno je da vektori pp tgtg / , Ptt ,1 , budu ortonornormalni, odnosno da vai

ijj

j

i

i tgtg

tgtgH . (4.16)

U tom sluaju

,,0

,,2

MpP

Ppppp

tg (4.17)

ppp tgtgu / , *pp uv . (4.18)

Na osnovu prethodnih izvoenja, moemo da definiemo MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) algoritam, koji je 1977. godine formulisao R.O. Schmidt, originalno namenjen za frekvencijsku estimaciju i lokalizaciju emitera.

Posmatramo multistatiku matricu (L) sistema koji se sastoji od M primopredajnih antena i P malih objekata ije pozicije traimo:

P singularnih vrednosti je razliito od nule, 01 P .

40

Preostalih PM singularnih vrednosti je nula, 01 MP . Singularni vektori Puu ,,1 odnose se na objekte (rasejae). Singularni vektori MP uu ,,1 odnose se na um. Singularni vektori koji se odnose na objekte propocionalni su odzivu niza na jedinini

raseja na mestu objekta, Ppppp ,,1,/ tgtgu .

Zbog ortogonalnosti singularnih vektora sledi 01

H

M

Pmpm tgu , gde je pt poloaj

bilo kog od P objekata.

Slika objekta visoke rezolucije dobija se kao

M

Pmm yx

yxI

1

H ,

1),(gu

.

U sluaju kada interakcija izmeu objekata nije zanemarljiva ili kada objekat nije elektriki mali, broj P je vei od broja rasejaa.

Zadatak:PrimenaMUSICalgoritmauslobodnomprostoru

Slika 4.2. Cilindri i kruni niz polutalasnih dipola.

U programu WIPL-D napraviti kruni niz od 18 polutalasnih dipola. Usvojiti da je radna uestanost niza GHz2f , a poluprenik niza m7.0R .

Napraviti dva metalna cilindra poluprenika cm2a i visine cm40h . Ose cilindara prolaze kroz take 0,cm2.0 11 yx i 0,cm2.0 22 yx .

Odrediti impedansne parametre sistema u prisustvu objekata, kao impedansne parametre samog niza.

Definisati multistatiku matricu podataka (L) kao razliku prethodno proraunatih impedansnih matrica.

U programu Matlab, definisati uniformnu kvadratnu mreu u prostoru: m4.0,m4.0 jyix , xNi ,,1 , yNj ,,1 , 50 yx NN .

Definisati promenljive koje predstavljaju koordinate elemenata antenskog niza, MmRmx /12cosa , MmRmy /12sina , .,,1 Mm

41

Primeniti SVD dekompoziciju multistatike matrice LVU svd . Nacrtati singularne vrednosti diag . Na osnovu grafika, odrediti broj P.

Odrediti vrednost piksela

2

1,,dot

1),(

M

Pmm jyix

jiIgu

,

gde je

mm :,Uu ,

1

22

22

jexp

11jexp,

Maa

aa

MyjyMxix

yjyxix

jyix g .

Na slici 4.3 prikazana je rekonstrukcija tankih cilindara pomou algoritma MUSIC.

Slika 4.3. Rekonstrukcija cilindara sa slike 4.2 pomou algoritma MUSIC.

Zadatak:Odreivanjeimpulsnogodzivasistema

Point spread function je odziv sistema na rasejano polje koje potie od takastog objekta. Ova funkcija predstavlja impulsni odziv sistema. Na osnovu njega, moe se proceniti najmanje mogue rastojanje izmeu dva objekta koji mogu da se razlikuju, odnosno rezolucija slike. Radi numerikog odreivanja ove funkcije, usvojimo da se takasti objekat nalazi u taki sa koordinatama )0,0( . U Matlabu, za niz iz prethodnog zadatka izraunati i grafiki prikazati funkciju

.00expjexpexpjexp

0,0,,

22

1

22

H

mymxymyxmx

yxjiI

aa

M

mjaia

ji gg

42

Rezultat prorauna su prikazani na slici 4.4. Rezolucija sistema zavisi od uestanosti, kao i broja elemenata u antenskom nizu.

Slika 4.4. Ilustracija prorauna impulsnog odziva sistema (PSF).

Zadatak:LokalizacijatelaizazidaprimenomMUSICalgoritma

Slika 4.5. Simulacija eksperimenta u programu WIPL-D.

U programu WIPL-D, modelovati zid kao kvadar dimenzija m5.1m2m1.0 . Usvojiti da je permitivnost zida 3r . Traeni objekat predstaviti pomou metalnog cilindra, poluprenika cm5.7r i visine m5.1H . Centar cilindra postaviti u taku sa Dekartovim koordinatama m)3.0m,8.0( , pri emu se koordinatni poetak poklapa sa centrom zida. Za detekciju koristiti antenski niz od 17 dipola, kao na slici 4.5. Osa niza je u pravcu y-ose, a sami dipoli su orijentisani u pravcu z-ose. Radna uestanost je GHz1f . Duina kraka dipola je 10/h , a rastojanje izmeu osa susednih dipola je h4 . Udaljenost ose dipola od blie ivice zida je 15 cm.

43

Proraunati blisko polje u takama m2.2m2.0 x , m1m1 y , 30 yx NN .

Na osnovu prethodnog prorauna, odrediti numeriki Grinove funkcije zzG . Pomou razlike impedansnih parametara, sa i bez prisustva objekta, odrediti lokaciju

cilindra.

Slika 4.6. Rekonstrukcija objekta iza zida primenom metode MUSIC.

Rezultat rekonstrukcije je prikazan na slici 4.6.

Skraena(Truncated)SVDmetoda

Slika 4.7. Nepoznati objekat okruen nizom antena.

Problem lokalizacije nepoznatog objekta moe da se formulie u vidu linearnog sistema jednaina. Posmatramo scenario kao na slici 4.7, gde se nepoznati objekat (ovalno telo) nalazi okruen antenskim nizom. Radi jednostavnosti, usvajamo da prva antena radi kao predajna, a ostale su prijemnici. Objekat traimo u diskretnoj mrei taaka nt , Nn ,,1 , koja je kruiima prikazana na slici 3.10. Za elektriki mali objekat, koji se nalazi u taki pt , vektor primljenih signala je priblino

44

p

pMp

pp

ME

E

1

11

1s

11s

jexpjexp

jexpjexp

,

,

rtrt

rtrt

rr

rr , (4.19)

gde je p koeficijent refleksije objekta. Nita se nee promeniti ukoliko u ostale take

pretraivanja dodamo po jedan takasti raseja iji je koeficijent refleksije nula, 0n , Nn ,,1 , pn . Primljeni signal moemo sada da zapiemo

,

jexpjexpjexpjexp

jexpjexpjexpjexp

,

, 1

11111

111111

1s

11s

fLg

rtrtrtrt

rtrtrtrt

rr

rr

NMNM

NN

ME

E

(4.20)

odnosno, u skraenom obliku,

gLf . (4.21)

U stvarnosti, mi ne znamo u kojoj se taki nalazi objekat. Stoga su za nas koeficijenti refleksije sadrani u vektoru f nepoznati. Pokazali smo u (3.42) da je reenje sa najmanjim kvadratnim odstupanjem

iP

i i

i vug

gLLLf

1

H1H , , (4.22)

kao i da je ono numeriki nepovoljno zbog preovladavajueg uticaja lanova sa malim singularnim vrednostima. Naime, male singularne vrednosti potiu od uma. Javljaju se u obliku i/1 zbog ega suma divergira, odnosno f . Zbog toga se primenjuje takozvana Truncated SVD (TSVD) metoda, gde se koristi samo prvih K lanova sume (4.22),

i

K

i i

i vug

f

1

,, (4.23)

kod kojih su singularne vrednosti vee od zadatog praga.

Zadatak:PrimenaTSVDmetode

U programu WIPL-D, modelovati kruni antenski niz od 36 polutalasnih dipola, gde je poluprenik niza 0.72 m. Radna uestanost niza je f = 2 GHz. Napraviti metalni cilindar, poluprenika 2 cm i duine 0.8 m. Osa cilindra prolazi kroz taku ( 0.2 m,0 ). Odrediti lokaciju objekta primenom TSVD metode na sledei nain:

Definisati vektor izmerenih vrednosti g,

45

T11 MMZZ g , iji su elementi razlike impedansnih parametara, proraunatih sa i bez objekta. Dimenzije vektora su 12 M , 36M .

Definisati mreu taaka u kojima se vri pretraivanje, 4.0,4.0 yx , 50 NNN yx .

Proraunati sistemsku matricu L. Elementi matrice predstavljaju prenos izmeu svakog mernog para i potencijalne lokacije objekta (take na mrei). U vakuumu, matrica glasi

22

22

jexpjexpjexpjexp

jexpjexpjexpjexp

11

111111

NMNMMM

NN

trtrtrtr

trtrtrtrL

,

gde su ir , Mi ,,1 , lokacije antena, a nt , 2,,1 Nn , lokacije taaka na mrei.

Veliina ove matrice je 22 NM .

Izraunati singularne vrednosti i singularne vektore matrice L. Nacrtati grafik normalizovanih singularnih vrednosti. Sa grafika odrediti priblini indeks poslednje znaajne singularne vrednost kao dB2010log20 K .

Pomou sume (4.23), odrediti vektor f iji su elementi proporcionalni koeficijentima refleksije taaka na mrei.

Vektor f pretvoriti u sliku pomou funkcije reshape: ),,(reshape NNI f .

Na slici 4.8 prikazan je grafik singularnih vrednosti u logaritamskoj skali. Rezultat rekonstrukcije je predstavljen na slici 4.9.

Slika. 4.8. Normalizovane singularne vrednosti u logaritamskoj skali.

46

Slika. 4.9. Lokacija cilindra odreena primenom metode TSVD.

Tihonovregularizacija

Da bi se ograniila energija nepoznatih koeficijenata, f , reenje moe da se trai u obliku

22 fgLf , (4.24)

gde je koeficijent regularizacije. Prvi lan minimizira kvadratnu greku, a drugi lan ograniava kvadratnu normu reenja. Odgovarajuim izborom koeficijenta balansira se izmeu ova dva uslova. Diferenciranjem (4.24) po nepoznatom vektoru f, dobija se

gLfILL HH . (4.25) Primenom singularne dekompozicije, (4.25) postaje

iP

iii

P

iif uugLvILL

1

H

1

H , , (4.26)

.,1

2

1i

P

iiiii

P

iif vugv

(4.27)

Izjednaavanjem koeficijenata sa leve i desne strane (4.27) dobija se

i

P

ii

i

ii

P

iif vugvf

12

1, . (4.28)

Koeficijent regularizacije se bira tako bude znatno manji od najvee singularne vrednosti. Na taj nain, ne utie na lanove razvoja koji odgovaraju velikim singularnim vrednostima jer

je tada ii

i

1

2 . S druge strane, kod jako malih singularnih vrednosti 02

ii

i ,

ime se spreava divergencija rezultata. Ovakav postupak se naziva Tihonov regularizacija.

47

LinearSampling

Slika 4.10. Kruni niz antena i nepoznati objekat.

Pretpostavimo da se nepoznati, elektriki mali, objekat nalazi u taki odreenoj vektorom poloaja t , a prijemni niz antena u takama Mrr ,,1 . Na slici 4.10, prikazan je primer jednog takvog niza koji se sastoji od 8 elemenata. Radi definisanja metode, polazimo od analitikog oblika multistatike matrice, odnosno, matrice u kojoj su smetena sva merenja. U vazduhu, ona je priblino

MMM

M

dddd

dddd

jexpjexp

jexpjexp

1

111

L , (4.29)

gde je koeficijent refleksije objekta, a Mdd ,,1 rastojanja od centra objekta do

odgovarajuih antena. Zanima nas da li postoji niz koeficijenata T1 ,, Mff f pomou kojih moemo da fokusiramo merenja kao da potiu iz ekvivalentnog izvora koji se nalazi u taki t, odnosno,

gLf , (4.30)

gde je

T1 jexpjexp Mdd g . (4.31)

vektor odziva niza na jedinini raseja u taki t. U ovom jednostavnom sluaju, reenje je

T1* jexpjexp Mdd gf . (4.32)

Na slian, u sluaju nehomogene linearne sredine, multistatika matrica je priblino

48

trtrtrtr

trtrtrtrL

,,,,

,,,,

1

111

MMM

M

gggg

gggg

. (4.33)

Vektor odziva niza na takasti raseja je

T1 ,, trtrg Mgg , (4.34)

a vektor koeficijenata koji omoguava fokusiranje

T*1** ,, trtrgf Mgg . (4.35) U realnim situacijama, poloaj objekta je nepoznat. Zbog toga, definiemo oblast pretraivanja u vidu mree taaka Ntt ,,1 , kao na slici 4.11. Za svaku taku, definiemo vektor odziva niza

T1 ,, nMnn gg trtrtg , Nn ,,1 . (4.36)

U specijalnom sluaju, u vakuumu, odziv niza je

T1 jexpjexp nMnn dd tg , ninid tr . (4.37)

Slika 4.11. Uz formulisanje linear sampling metode.

Odgovarajui sistem linearnih jednaina za svaku taku je

nn tgtLf . (4.38)

Reenje traimo pomou regularizovane singularne dekompozicije,

49

iP

iin

p

pn vutgtf

122 , , (4.39)

gde je regularizacioni koeficijent. Usvajamo da je 1001.0 .

Pretpostavka je da sistem jednaina ima konano reenje ukoliko taka nt pripada objektu. U suprotnom, fokusiranje je nemogue, odnosno reenje divergira, ntf . Moemo da fokusiramo primljene signale kao da se emituju iz neke take jedino ako je ta taka deo objekta. Stoga, n-ti piksel slike dobijamo kao

nnI tft /1 . (4.40)

Zadatak:PrimenametodeLinearSampling

U programu WIPL-D, modelovati kruni antenski niz od 36 polutalasnih dipola, gde je poluprenik niza 0.72 m. Radna uestanosti niza je f = 2 GHz. Napraviti cilindrino telo u obliku latininog slova U, duine stranice 0.26 m.

Slika 4.12. Model u programu WIPL-D.

Radi odreivanja oblika objekta primenom metode Linear sampling slediti ove korake:

Definisati multistatiku matricu podataka L koja je jednaka razlici impedansnih matrica proraunatih sa i bez objekta.

Izraunati singularne vrednosti i singularne vektore matrice L. Definisati mreu taaka u kojima se vri pretraivanje,

4.0,4.0 yx , 50 NNN yx .

Za svaku taku na mrei odrediti odziv niza (4.36). Odrediti odgovarajuu vrednost piksela primenom izraza (4.39) i (4.40).

50

Slika. 4.13. Slika cilindra sa poprenim presekom u obliku latininog slova U dobijena primenom metode LSM.

Rezultat rekonstrukcije je prikazan na slici 4.13. Konveksna anvelopa objekta je dobro procenjena. Meutim, otvor nije vidljiv, to je posledica viestruke refleksije signala.

51

KvantitativnetehnikerekonstrukcijeU mnogim situacijama nas, pored oblika ispitivanog objekta i njegove lokacije, zanima i sastav materijala od koga je sainjen. U tom sluaju, govorimo o kvalitativnim tehnikama inverznog rasejanja. Svoju primenu, kvalitativne tehnike su nale u medicinskoj dijagnostici (formiranje slike tkiva), geolokim ispitivanjima (odreivanje sastava tla), poljoprivredi (ispitivanje vlanosti zemlje) i brojnim drugim situacijama.

Bornovainverzija

Polazna jednaina za veinu metoda inverznog rasejanja je zapreminska teorema ekvivalencije, koja u vakuumu glasi

vvvv

d'',1'jd'', r0eqs rErrGrrJrrGrE , (4.1)

gde je ',rrG dijadika Grinova matrica, 'rE ukupno polje u objektu i rEs rasejano polje na mestu prijemnika. Naglaavamo da rasejano elektrino polje ne postoji kao stvarna fizika veliina koja moe da se izmeri. Naime, prijemna antena meri ukupno elektrino polje, tj. polje u prisustvu objekta, E . U nekim situacijama, mogue je ukloniti objekat i onda izmeriti incidentno elektrino polje, incE . Rasejano polje se tada dobija kao razlika ta dva merenja, odnosno incs EEE . Meutim, to najee nije izvodljivo (npr. prilikom podzemnih ili graevinskih ispitivanja). Tada se incidentno elektrino polje proraunava numeriki, pomou nekog softvera za elektromagnetsku analizu.

Rekonstrukcija objekta na osnovu (4.1) je nelinearan problem u kome je, pored permitivnosti r , nepoznato i polje u objektu. Problem je i neodreen jer broj nepoznatih esto premauje broj merenja. Neodreenost je izrazita kod nehomogenih sredina kod kojih se parametri znaajno menjaju sa uestanou. Radi ilustracije ove neodreenosti, moemo da zamislimo da je unutranjost objekta podeljena na kockice, gde svaka kockica ima konstantnu permitivnost. Ako se permitivnost menja od kockice do kockice, broj nepoznatih je jednak broju kockica. S druge strane, broj merenja koji nam je na raspolaganju je konaan. Najpre, zato to iz praktinih razloga ne moemo da postavimo beskonaan broj antena. Meutim, broj nezavisnih merenja je i sutinski ogranien. Naime, prostorna varijacija polja je konana i zavisi od dimenzija rasejaa. Optimalan broj merenja zavisi od brzine kojom se polje menja u prostoru. Slian fenomen postoji i u telekomunikacijama, gde nema smisla odabirati signal sa uestanou koja je vea od one odreene Nikvistovim kriterijumom.

Problem se moe, delimino, pojednostaviti kada je permitivnost objekta bliska permitivnosti okoline. U tom sluaju, ukupno elektrino polje u objektu je priblino jednako incidentnom elektrinom polju, odnosnu polju koje bi se uspostavilo bez prisustva objekta (Bornova aproksimacija). Tada (4.1) postaje

52

,d'','jd'',1'j inc0incr0s vvvv

rErrGrrErrGrrE (4.2)

gde je 1r funkcija kontrasta. Integralna jednaina je sada linearna jer je kontrast jedina nepoznata veliina.

Slika 4.1. Popreni presek nepoznatog objekta.

Zbog jednostavnosti, ograniavamo se na dvodimenzione (2-D) probleme. Smatramo da je objekat beskonano dugaak, konstantnog poprenog preseka. Na slici 4.1, ilustrovali smo popreni presek jednog takvog objekta i usvojeni koordinatni sistem. Elektrine osobine objekta su konstantne du z-ose, dok se u 0xy ravni menjaju na proizvoljan nain. U 2-D sluaju, (4.2) glasi

SEGES

d'','j inc0s rrrrr , (4.3)

dHf

G

20

0

2

8',rr , 'rr d , (4.4)

gde je ',rrG 2-D Grinova funkcija u vakuumu, 20H Hankelova funkcija druge vrste nultog reda, fazni koeficijent i S popreni presek objekta.

Radi numerikog reavanja jednaine (4.3), potrebno je da se izvri diskretizacija funkcije kontrasta. Zbog toga, popreni presek S delimo na male povri nS , Nn ,,1 , kao na slici 4.2. Smatramo da je podela dovoljno fina da kontrast bude priblino konstantan po svakoj povri nS .

Slika 4.2. Diskretizacija poprenog preseka objekta.

U diskretnom obliku (4.3) je

53

N

n Sn

N

n S

SEGSEGEnn 1

inc1

incs d'',d'',' rrrrrrrr , (4.5)

gde su n , ,,,1 Nn nepoznati koeficijenti kontrasta koji odgovaraju povrinama nS .

U realnim situacijama oblik objekta je esto nepoznat. Zbog toga, posmatramo povr za koju znamo da sigurno sadri objekat. Na slian nain kao i u prethodnom sluaju, tu povr delimo na manje povrine, nS , ,,,1 Nn kao to je prikazano na slici 4.3. Svakoj povrini dodeljujemo konstantan, ali nepoznat kontrast n , Nn ,,1 . U idealnom sluaju, rekonstrukcijom bi trebalo da dobijemo da su koeficijenti n nula izvan objekta, a u objektu jednaki stvarnim vrednostima.

Slika 4.3. Ispitivani prostor i njegova podela.

Da bi smo odredili nepoznate koeficijente, formiramo linearan sistem jednaina. Smatramo da nam je poznato rasejano polje na mestu antena, ir , Mi ,,1 . Pod pretpostavkom da je prva antena predajna, a i-ta antena prijemna dobijamo,

N

n Sini SEGE

n1

1inc1s d,'',, rrrrrr . (4.6)

U optem sluaju, integrali koji se pojavljuju u (4.6) se odreuju numeriki. Meutim, zbog jednostavnosti smatramo da su povrine nS dovoljno male da se incidentno polje i Grinova funkcija ne menjaju znaajno po njima. U tom sluaju vai aproksimacija

SEGSEG nniS

i

n

1inc1inc ,,d,'', rqqrrrrr , (4.7)

gde je nq sredinja taka povri nS , a S njena povrina. Linearni sistem jednaina glasi

54

,,,,11

1inc1s

N

ninn

N

n a

nnini aSEGEin

rqqrrr Mi ,,1 . (4.8)

U matrinoj formi (4.8) je

,

,

, 1111

1s

11s

NMNMN

N

M aa

aa

E

E

rr

rr (4.9)

,11 Ae (4.10)

gde indeks (1) oznaava da prva antena radi kao predajna.

Naalost, kao to ne moe da se napravi panoramska fotografija predela snimajui samo iz jednog pravca, tako ne moe ni da se odredi objekat na osnovu samo jednog emitovanog signala. Zbog toga, formiramo jednaine (4.11), za svaku predajnu antenu. Konaan linearan sistem jednaina glasi

,

11

A

A

e

e

MM

(4.11)

odnosno

.Ae (4.12)

Zadatak:PrimenaBornoveinverzijezaprocenusastavatela

Napraviti sliku i odrediti priblini sastav nepoznatog objekta pomou merenja dobijenih krunim antenskim nizom. Traeni objekat je dielektrini cilindar, kvadratnog poprenog preseka, stranice 2 cm, visine 20 cm i relativne permitivnosti 5.1r . Centar objekta nalazi se u taki sa Dekartovim koordinatama (5 mm, 5 mm, 0). Antenski niz se sastoji od 36M kratkih dipola. Poluprenik niza je m15.0R , a radna uestanost je GHz2f . Duina kraka dipola je 20/d h , gde je talasna duina na datoj uestanosti. Usvojiti za poluprenik ice 20/dd hr . Smatrati da se objekat nalazi u prostoru ayxa , , gde je

cm2a . Izgled modela u programu WIPL-D prikazan je na slici 4.4.

Za potrebe reavanja inverznog problema, ispitivani prostor podeliti na mreu koja se sastoji od 1010 kvadrata. Potrebne veliine za proraun su: incidentno elektrino polje, Grinova funkcija i "izmereno" rasejano elektrino polje. U sledeih nekoliko koraka objanjena je implementacija algoritma.

55

Slika 4.4. Model ispitivanog objekta u programu WIPL-D.

Incidentno elektrino polje odrediti u vorovima kvadratne mree, primenom opcije NEAR FIELD u programu WIPL-D. Ulazni podaci za odgovarajuu tabelu su

ax min , ax max , 10xN ,

ay min , ay max , 10yN ,

0min z , 0max z , 1zN .

Dvodimenziona Grinova funkcija u vakuumu moe da se odredi pomou funkcije besselh koja generie Hankelove funkcije. Argumenti funkcije su besselh(0,2,d), gde je d rastojanje izmeu prijemne antene i centra odgovarajue kvadratne povrine.

Rasejano elektrino polje na mestu prijemnika se moe priblino izraunati na osnovu impedansnih parametara. Kada m-ta antena radi kao predajnik, napon na prijemnoj n-toj anteni je

mmZnmZInmZU mn ,V1,, ,

gde je mI struja predajne antene, a nmZ , i mmZ , su impedansni parametri proraunati u prisustvu objekta. S druge strane, indukovana elektromotorna sila u prijemnoj anteni je

efflE nU , gde je effl efektivna duina antene. U sluaju kratkog dipola deff hl . Odatle sledi da je polje na mestu antene, u prisustvu objekta,

.,,,

dhmmZnmZ

hUmnE

d

n

Na slian nain, incidentno polje je

dhmmZnmZnmE

,,,

0

0inc ,

gde su nmZ ,0 i mmZ ,0 impedansni parametri proraunati kada je objekat uklonjen.

Dobijeni sistem linearnih jednaina, po nepoznatim koeficijentima kontrasta, reiti pomou singularne dekompozicije. Usvojiti da je regularizacioni parametar , max01.0 , gde je

56

max najvea singularna vrednost. Preporuuje se ispitavanje uticaja regularizacionog parametra na kvalitet reenja.

Slika 4.5. Rekonstrukcija objekta dobijena primenom Bornove inverzije. Na slici 4.5 prikazana je rekonstruisana permitivnost ispitivanog prostora. Na mestu objekta, permitivnost je najvea i pribliava se tanoj vrednosti 5.1r . U okolini objekta, procenjena permitivnost osciluje oko permitivnosti vakuuma. Korienjem finije podele i/ili iterativnog postupka, kvalitet slike bi bio jo bolji.

(a)

(b)

(c)

Slika 4.6. Ilustracija teoreme opte teoreme ekvivalencije. (a) Ukupno polje, (b) "incidentno" polje i (c) rasejano polje sa ekvivalentnima strujama.

57

IterativneBornoveMetode

Upotreba Bornove inverzije ograniena je na sluaj kada je permitivnost ispitivanog objekta bliska permitivnosti okoline. Meutim, ona moe da se proiri iterativnom primenom, gde se nepoznata permitivnost postepeno rekonstruie. Ovde emo objasniti jednu od najpoznatijih tehnika inverznog rasejanja, takozvani Distorted Born iterative method (DBIM). Polazimo od izraza za rasejano elektrino polje u nemagnetskoj sredini

,d'',''j bbbs vv

rErrGrrrErErE (4.13)

gde je E ukupno polje u sredini permitivnosti , bG dijadika Grinova funkcija proraunata sredini permitivnosti b i bE incidentno polje u sredini b . Sve veliine ilustrovane su na slici 4.6. Odreivanje nepoznate permitivnosti 'r na osnove jednaine (4.13) je teko zbog njene nelinearnosti. Ukoliko je razlika izmeu i b mala, usvaja se aproksimacija da je

bEE u dielektriku. Tada (4.13) postaje

.d'',''j bbbs vv

rErrGrrrE (4.14)

Radi numerikog reavanja jednaine (4.13), potrebno je da izvrimo diskretizaciju. Domen v delimo na K manjih domena, kv , u kojima vai da je permitivnost priblino konstantna. Svakom domenu dodeljuje se nepoznati koeficijent kontrasta, odnosno kk b ,

Kk ,,1 . Primenjeno na sluaj kada se objekat ispituje pomou M primo-predajnih antena, dobijamo

,d,'',j,, bb1

b vnv

m

K

iknmnm

k

rrErrGrrErrE

Mnm ,,1, , (4.15)

gde je mr pozicija prijemne antene, a nr pozicija predajne antene. U matrinom obliku, (4.15) je

KM

vMM

vM

vv

vv

MM

K

K

K

2

1

bbbb

2b1b2b1b

1b1b1b1b

s

21s

11s

,'',,'',

,'',,'',

,'',,'',

j

,

,,

1

1

1

A

brrErrGrrErrG

rrErrGrrErrG

rrErrGrrErrG

rrE

rrErrE

, (4.16)

odnosno

58

Ab . (4.17)

Prilikom implementacije iterativnog postupka potrebno je da se usvoji poetno reenje za

permitivnost svakog voksela, T1,b11,b1b K . Potom se proraunaju odgovarajue vrednosti za vektor elektrinog polja 1bE , dijadiku Grinovu matricu

1bG i "rasejano"

elektrino polje 1sE . (Rasejano elektrino polje predstavlja razliku izmeu ukupnog polja i

polja u sredini 1b .) Formira se sistem jednaina

111 Ab (4.18)

koji daje procenu kontrasta. Novo reenje za permitivnost je

12b

2b . (4.19)

Kao u prvom koraku, odreuju se nove vrednosti za elektrinog polja 2bE , dijadiku Grinovu

matricu 2bG i rasejano elektrino polje 2sE . Postupak se potom ponavlja sve do

konvergencije reenja.

Zadatak:PrimenaDBIMazaodreivanjesastavahomogenogobjekta

Slika 4.6. Model u programu WIPL-D za iterativnu procenu permitivnosti tela.

U programu WIPL-D napraviti dielektrino telo u obliku kocke, stranice mm87a . Kocka je napravljena od homogenog dielektrinog materijala kompleksne permitivnosti j3r . Kocka je okruena antenskim nizom koji radi na uestanosti GHz1f . Antene su ravnomerno rasporeene u etiri koncentrina kruga, poluprenika m3.0R . U svakom krugu nalazi se 36 kratkih dipola duine kraka 20/h , gde je talasna duina u vakuumu.

59

Kruni nizovi se nalaze se na visinama hz 5.11 , hz 5.42 , hz 5.13 , hz 5.44 . Implementirati algoritam na sledei nain:

Prva iteracija o Generisati WIPL-D model u kome je poetna permitivnost tela 10r . o Proraunati blisko polje u mrei taaka:

azyx 5.0minminmin , azyx 5.0maxmaxmax , 5 zyx NNN . o Proraunati priblino rasejano polje na mestu prijemne antene

hZZ

hZZ

Ejj

ij

jj

ijji 0

0

s ,rr , gde je 0Z matrica impedansnih parametara u

sredini 0r , a Z matrica impedansnih parametara dobijenih "merenjima".

o Za svaku taku, za svaku pobudu, proraunati Grinovu funkciju u sredini 0r : hZzyxEzyxG lllkjizlkjizz /,;,,,;,, 00r0r rr , gde je rl pozicija pobuene

antene, a kji zyx ,, koordinate take na mrei. o Formirati sistem jednaina, smatrajui da je telo napravljeno od homogenog

dielektrika.

1

1 1 1

0r

0r

1 1 1

0r1

0r2

1 1 1

0r1

0r1

s

21s

11s

,;,,,;,,

,;,,,;,,

,;,,,;,,

j

,

,,

N

i

N

j

N

k vMkjizMkjizz

N

i

N

j

N

k vkjizkjizz

N

i

N

j

N

k vkjizkjizz

MM

ijk

ijk

ijk

VzyxEzyxG

VzyxEzyxG

VzyxEzyxG

E

EE

rr

rr

rr

rr

rrrr

.

o Primenom metode najmanjeg kvadrata odrediti 1 . Druga iteracija

o Aurirati permitivnost tela 10r1r . o Ponoviti sve take iz prethodne iteracije za novu permitivnost.

Ponoviti postupak dok reenje ne iskonvergira.

U tabeli 4.1 prikazane su permitivnosti dobijene u razliitim iteracijama.

Tabela 4.1. Procena permitivnosti tela algoritmom DBIM.

Iteracija 1 2 3 4 r 1 - j0 2.11 - j0.94 2.92 - j1.12 3 - j

60

Literatura[1] M. Pastorino, Microwave Imaging, J. Wiley, Hoboken, NJ, 2010.

[2] L. E. Larsen, J. H. Jacobi, Medical Applications of Microwave Imaging, IEEE, Piscataway, NJ, 1986.

[3] A. R. orevi, Elektromagnetika, Akademska misao, Beograd, 2008.

[4] W. C. Chew, Waves and Fields in Inhomogeneous Media, IEEE Press, Piscataway, NJ, 1995.

[5] B. M. Kolundija, J. S. Ognjanovi, T. K. Sarkar, D. S. umi, M. M. Paramenti, B. B. Jani, D. I. Olan, D. V. Toi, M. S. Tasi, WIPL-D Microwave: Cuircit and 3D EM Simulation for RF & Microwave Applications, Artech House, Norwood, MA, 2006.

IzdavaAkademskamisao

Primorska21,BeogradTel.:+381113218354Fax:+38163298027

MarkoVujadinovidipl.el.in. AleksandarRakovi,dipl.el.in.+38163301075 +38163301065

marko.vujadinovic@akademskamisao.rs sasa.raskovic@akademskamisao.rs

www.akademskamisao.rsoffice@akademskamisao.rs

CIP,528.8.042:537962004.932,,1976Mikrotalasnoformiranjeslike=MicrowaveImaging/MarijaStevanovi.Beograd:Akademskamisao,2016(Beograd:Akademskamisao).60str.:ilustr.;24cmTira100.Bibliografija:str.60.ISBN9788674666197a)COBISS.SRID225489164

Blank Page