1. OLASILIK TEORİSİ

İstatistiksel araştırmaların temel konularından biri sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen

bazı şansa bağlı olayların (denemelerin) olası tüm mümkün sonuçlarının hangi sıklıkla ortaya

çıktığını belirleyebilmektir. Bu sorun istatistikte olasılık problemi olarak adlandırılır ve

denemelerin benzer koşullarda tekrarlanabildiği durumlarda çözüm bulmak mümkündür.

Tanım: Olasılık, bir olayın ortaya çıkma şansını tanımlayan, 0 ile 1 arasında bir sayıdır.

Tanım (Rassal Deney): Sonuç gözleninceye kadar çıktısı bilinmeyen deneyler, rassal

deneylerdir.

Çözümün ilk aşaması rassal deneyin tüm mümkün çıktılarının belirlenmesidir. Örneğin bir

paranın iki kez atılması sonucunda üst yüze gelen sembollerin tüm mümkün durumları bir

kümenin elemanları olarak;

YYTYYTTTeS ,,,,,,,:

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.

1.1 KÜME TEORİSİ

Bu kısımda kümeler A, B gibi büyük harfler ile gösterileceklerdir.

Tanım (Örnek Uzayı): Bir rassal deneyin tüm mümkün çıktılarının kümesi S, bu deneyin

örnek uzayı olarak adlandırılır.

Örnek uzayı içerdiği eleman sayısı açısından iki sınıfa ayrılır:

a) Sayılabilir (sonlu/sonsuz) elemanlı

b) Sayılamaz (sonsuz) elemanlı

Eğer bir örnek uzayının elemanları, tam sayıların bir alt kümesi ile birebir ilişkili ise örnek

uzayı sayılabilir elemanlıdır. Ayrıca bir örnek uzayı sonlu sayıda elemana sahip ise

sayılabilirdir. Bir kümenin elemanları pozitif tam sayılar kümesi ile bire bir eşleşebiliyor ise

sayılabilir sonsuz elemanlı kümedir. Bir diğer örnek de pozitif rasyonel sayılar kümesidir. Bu

yapıdaki kümeler eleman sayısı sonlu ya da sonsuz olsa da genellikle sayılabilir kümeler

olarak adlandırılırlar. Sayılamayacak kadar çok (sonsuz) elemana sahip kümeler için

verilebilecek örnek, tüm gerçel sayıların tanımlandığı kümedir. Reel sayıları saymak mümkün

değildir. Bu tip kümeler daha sonra incelenecektir.

Sayılabilir ve sayılamaz elemanlı örnek uzayları arasındaki fark sadece atanacak olasılıkların

belirlenmesi açısından önemlidir.

Bazı rassal denemelerin sonuçlarında ölçülen özellik sayısı iki ya da daha fazla olabilir.

Örneğin bir lamba üzerinde hem ürettiği ısı enerjisi miktarı X hem de yaydığı ısı enerjisi

miktarı Y ölçülebilir. Bu durumda örnek uzayı her iki özelliğe ait kümelerin kartezyen

çarpımından XY elde edilir:

yvexyxS 0 0:,

Buraya kadar olan kısımda rassal bir deneyin tüm mümkün sonuçlarını gösteren örnek uzayı S

tanıtıldı. Fakat S bir kümedir ve küme teorisiyle rassallığın matematiksel formülasyonunu

ortaya koymaktadır.

Bu aşamadan sonra yapılması gereken bir şeyin rassal olarak mı ortaya çıktığı ya da bir olay

mı olduğunun formülize edilmesidir.

Tanım (Basit olay): S örnek uzayını oluşturan her bir e elemanına basit olay denir.

Tanım (Bileşik olay): Bir örnek uzayının herhangi bir alt kümesi (S ’nin kendiside dahil) bir

olay olarak adlandırılır.

Rassal olayların kümeler cinsinden ifade edilmesi, olayların tüm mümkün birleştirilme ya da

manipüle edilmesi durumlarını küme teorisinin yardımıyla belirlenebilmesine olanak sağlar.

Örneğin olaylar aynı zamanda meydana gelen, alternatif, karşıt vb gibi tanımlanabilir.

Örnek: Rassal bir deneyin sınıftaki bir kişinin seçilmesi ve kampüse nasıl geldiği sorusuna

verdiği cevap olduğu varsayılsın.

Yukarıdaki şekil örnek uzayı içerisindeki olayları göstermektedir ve Venn Diyagramı olarak

adlandırılır.

Bir örnek uzayı için tanımlanan iki uç durum vardır. Birincisi S kümesinin tanımladığı en

büyük alt küme kendisidir. İkinci uç durum ise boş kümedir.

Tanım (Boş Küme): Elemanı olmayan küme boş Ø kümedir. A= Ø.

Bir A kümesindeki eleman sayısı kümenin hacmi (size) olarak adlandırılır ve A ile

gösterilir. Burada A negatif olmayan bir tam sayıdır ve Ø=0 olarak tanımlanır.

Olasılıkla ilgili ifadelerde genellikle bir kümenin olasılığı yerine bir olayın olasılığından

bahsedilir.

İlk olarak kümelerin (olayların) sıralama ve denkliğini tanımlayan iki ilişki aşağıda

verilmiştir:

Tanım (Kapsama): Eğer A kümesinin her elemanı B kümesi tarafından içeriliyor ise B

kümesi A kümesini kapsar ve A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir.

BxAxBA

Diğer bir gösterim ise BA şeklindedir.

Tanım (Eşitlik): Eğer iki küme tamamen aynı elemanlara sahip ise eşittir.

ABBABA ve

1.2 ELEMANTER KÜME İŞLEMLERİ

Herhangi iki olay (veya küme) A ve B verilmiş olsun.

Birleşme: A ve B kümelerinin birleşimi, A ya da B kümelerine ait elemanların kümesidir:

BxveyaAxxBA :

Birkaç farklı alternatiften oluşan bir olay tanımlanmak istensin. Örneğin kampüse gelirken

kullanılan motorlu taşıt olayı ya araba ya otobüs ya da her ikisi birlikte kullanılarak

gerçekleştirilebilir. Bu seyahat kümesinin gösterilmesi için hem arabanın tüm mümkün

çıktılarını hem de otobüsün tüm mümkün çıktılarının işaretlenmesi gerekir.

Not: “ve” ve “ya da” ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır. Araba ve otobüsün birleşimi

göstermek için araba “ve” otobüsteki her yerin işaretlenmesi gerekir. Birleşimin “ve” mi “ya

da” mı ile ifade edildiğini hatırlamak için taralı alandaki bir olayın neleri sağlaması gerekir

sorunun göz önüne alınması gerekir.

Kesişim: A ve B kümelerinin kesişimi, hem A hem de B kümelerine ait elemanların

kümesidir:

BxveAxxBA :

Kesişim iki ya da daha fazla olayın hepsinin birlikte meydana gelmesiyle oluşan bir olaydır.

Örneğin, kampüse yapılan seyahatin hem araba hem de tren ile gerçekleştiği varsayılsın. Bu

olayın gösterilmesi için araba ve tren olaylarının çakıştığı bölgedeki tüm çıktıların

işaretlenmesi gerekir.

Tümleyen: A kümesinin tümleyeni, A kümesinde olmayan tüm elemanların kümesidir:

AxxAc :

Bir olayın tümleyeni, o olayın tersidir. Olay neyi temsil ediyorsa, tümleyeni o olayın

gerçekleşmemesidir. Örneğin kampüse yapılan seyahat yürümeyi içermiyor olsun. Bu olayı

göstermek için S’de yürüme haricindeki tüm çıktıların işaretlenmesi gerekir.

Ayrıca Sc=Ø ve Øc=S olup (Ac)c =A özdeşlikleri geçerlidir.

Kesişim ve tümleyen işlemlerinin bir kombinasyonu olan Fark işlemi ise ileride açıklanmıştır.

Örnekler:

Deney: Sınıftan bir kişinin rassal olarak seçilmesi

Örnek Uzayı: S = { Sınıftaki tüm kişiler }

A olayı A = “kişinin erkek olması” ve B olayı B = “kişinin bisikletle kampüse gelmiş olması”

olsun.

Okula bisiklet ile gelmemiş olan bir erkeğin seçildiği varsayılsın. Buna göre aşağıdaki olaylar

gerçekleşip gerçekleşmemelerine göre incelenmiştir.

1) A evet 2) B hayır

3) A hayır 4) B evet

5) BA = {kadın veya bisiklet kullanıcısı ya da her ikisi} hayır

6) BA = {erkek ve bisiklet kullanmayan} evet

7) BA = {erkek ve bisiklet kullanan} hayır

8) cBA = BA dışındaki herşey. BA gerçekleşmediği için cBA

gerçekleşmiştir.

Venn diyagramları genellikle üç olaya kadar kullanışlıdır. Bu yüzden ispatlarda

kullanılmazlar. Üçten daha fazla olaylar için bu diyagram çakışmaları göstermede yetersiz

olabilir. Örneğin,

Bazı önemli küme işlemleri aşağıdaki teorem ile tanımlanmıştır.

Teorem: Örnek uzayı S üzerinde üç olay (küme) A, B, C tanımlanmış olsun. Burada

parantezler işlem sırasını tanımlar ve oldukça önemlidir. Örneğin (AB)C kümesi

A(BC) kümesinden farklıdır.

Değişme (Commutativity): AB= BA

AB= BA

Birleşme (Associativity) : A(BC)=(AB)C

A(BC)=(AB)C

Dağılma (Distributive) : A(BC)=(AB)(AC)

A(BC)=(AB)(AC)

De Morgan : (AB)c=AcBc

(AB)c=AcBc

İspat. Sadece De Morgan Kuralların ilki ispatlanacaktır. İspat iki aşamalıdır. İlk adımda

cccBABA olduğu gösterilsin:

S S

S S

cBAx olsun. Bu durumda BAx olmalıdır. Sonuç olarak; Ax ve

Bx . Bu nedenle cAx ve cBx , diğer bir deyişle; cc BAx bulunur. İlk adımın

sonucu:

cccBABA

İkinci adımda ccc BABA olduğu gösterilsin:

cc BAx olsun. Bu durumda cAx ve cBx olmalıdır. Sonuç olarak; Ax ve

Bx . Bu nedenle BAx , diğer bir deyişle; cBAx bulunur. İkinci adımın

sonucu:

ccc BABA

Her iki adımın sonucu birlikte değerlendirildiğinde:

ccc BABA .

Küme teorisi üzerine tanımlanan olaylar genel olarak iki gruba ayrılırlar: Ayrık olaylar ve

eşanlı olaylar olmak üzere, tümleyen olaylar ayrık olayların özel bir durumudur.

Eşanlı olaylar ise kendi içinde bağımsız ve bağımlı olaylar olarak ikiye ayrılırlar.

Tanım (Eşanlı olaylar): Herhangi iki olay A ve B eğer AB ise eşanlı olaylardır.

Tanım (Tümleyen olaylar): Herhangi iki olay A ve B eğer AB=S ise tümleyen olaylardır.

Tanım (Ayrık olaylar): İki olay A ve B eğer AB= ise ayrık olaylardır. Bunun anlamı: A

ve B olayları birlikte ortaya çıkamazlar. Eğer A ortaya çıkarsa B olayını dışlar ve tam tersi de

geçerlidir.

Verilen A1, A2,… olayları eğer tüm i≠j için AiAj= ise ikişerli olarak ayrık olaylardır.

İkiden fazla kümenin, örneğin A, B, C çifterli olarak ayrık olmaları,

AB= AC= BC=

S

durumunda onların hepsinin de ayrık olduğu

ABC=

söylenebilir. Bunun tersi geçerli değildir.

Tanım (Kümenin bölümlenmesi): Eğer A1, A2,… çifterli olarak ayrık ise ve SAi

1 1 ise A1,

A2,… kümeleri S kümesinin bir bölümlenmesini tanımlar.

Bir örnek uzayının birbirinden ayrık kümelere ayrıştırılması bölümleme olarak adlandırılır.

Herhangi bir A kümesi için,

S= cAA

S’nin bölünmesiyle elde edilen 4321 ,,, BBBB S’nin bölümleri 51,..., BB

Not: Herhangi bir B olayı için B ve B , S’nin bölümleridir.

Herhangi ayrık A ve B kümeleri için,

S=(AAc)(BBc)

=(AB)(ABc)(AcB)(AcBc)

ve herhangi bir iki yönlü sınıflama, iki ayrık olayın tanımlanması, üzerine üçüncü bir C

olayının tanımlanması ile,

S=(AAc)(BBc)(CCc)

S

S S

=(ABC)(ABCc)(ABcC)(AcBC)(AcBcC)(AcBCc)

(ABcCc)(AcBcCc)

olarak elde edilir. Böyle bir ayrışımın bileşenleri atom olarak adlandırılır. Yukarıdaki

örneklerde sırası ile 2, 4, 8 adet atom vardır. Genel olarak n adet küme için 2n adet atom

vardır. Bu örnek uzayı üzerine tanımlanan herhangi bir küme bazı atomların birleşimi olarak

yazılabilir.

Fark (Difference): A\B kümesi A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanların

kümesidir.

A\B=ABc=x: xA ve xB

Bu işlem değişme ve birleşme özelliklerine sahip değildir. Örneğin birleşme özelliğinin

geçerli olmadığı,

(A\B)\CA\(B\C)

ifadesinden görülebilir.

Tanım (Sigma Cebri): S ’nin alt kümelerinin bir koleksiyonu eğer aşağıdaki üç özelliği

sağlıyorsa sigma cebri olarak adlandırılır ve β ile gösterilir.

a) (boş küme β’nin elemanıdır)

b) Eğer A ise Ac (tümleyen işlemine göre kapalılık)

c) Eğer ,...A,A 21 ise

1i iA olur (sayılabilir sayıda birleşim işlemine göre

kapalılık).

Boş küme Ø, herhangi bir kümenin alt kümesidir. Bu nedenle ØS. Özellik (a) bu alt setin

daima sigma cebrine dahil olduğunu belirtir. S=Øc olduğundan özellik (a) ve (b) S kümesinin

de daima β’ye dahil olduğunu belirtir. Ayrıca De Morgan kanunları kullanılarak β’nin

sayılabilir kesişimler altında kapalı olduğu görülebilir. Eğer ,...A,A 21 ise bu durumda

,...A,A C2

C1 ’dir, (özellik b ile) ve

1i

C

iA olur. Bununla birlikte De Morgan kanunu

kullanılarak,

1i i

C

1i

Ci AA

bulunur ve özellik (b) ile

1i iA bulunur.

Örnek uzayı S’ye ait birçok farklı sigma cebri tanımlanabilir. Örneğin {Ø, S} şeklindeki iki

adet kümenin koleksiyonu bir sigma cebridir ve trivial sigma cebri olarak adlandırılır.

Eğer S sonlu ya da sayılabilir ise bu örnek uzayı üzerinde bir sigma cebri oldukça kolay bir

şekilde tanımlanır:

=S’nin tüm alt kümeleri, S’nin kendisi

Eğer S kümesi n adet elemana sahip ise β’deki küme sayısı 2n adettir. Örneğin eğer S={1,2,3}

ise β, 23=8 kümenin koleksiyonundan,

={1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}, Ø

oluşur.

Eğer S kümesinin elemanları sayılamıyor ise bu durumda β’yi tanımlamak zor olabilir.

Bununla birlikte β, ilgilenilen herhangi bir kümeyi içerecek şekilde seçilebilir. Örneğin S=(-

,) gerçel sayılar kümesi olarak tanımlanmış ise β cebri,

[a,b], (a,b], [a,b), (a,b)

şeklindeki tüm kümeleri içerecek şekilde seçilebilir. Burada a ve b tüm gerçel sayıları

tanımlar. Bu durumda β, yukarıda tanımlanan kümelerin, mümkün sayılabilir sonsuz, birleşim

ve kesişim işlemleri ile elde edilebilecek tüm kümeleri içerir.

1.3 OLASILIK TEORİSİNİN TEMELLERİ

Bir rassal deneyin çıktısı örnek uzayındaki bir elemandır. Rassal deneyin tekrarlı olarak

uygulanması durumunda bir çıktının “oluşum sıklığı” örnek uzayındaki elemanın (alt

kümenin) olasılığı olarak düşünülebilir. Örnek uzayındaki her bir A olayı için, bu olayla sıfır

ile bir arasındaki bir sayının eşleştirilmesi amaçlanır. Sıfır ile bir arasındaki bu sayı A olayının

olasılığı olarak adlandırılır ve P(A) ile gösterilir.

Basit anlamda olasılık, bir kümeyi ölçümlemek amacıyla bu kümeye atanan (ya da ait olan)

bir sayıdır. Diğer bir ifadeyle olasılık kelime anlamı olarak şansın ölçümlenmesidir. Bir

kümenin ya da bir olayın büyüklüğünün ölçülmesi için bazı yöntemler mevcuttur. Aynı

yöntemler bunların içerisindeki elemanları saymak için kullanılabilir mi? Aslında olasılık

hesaplanırken yapılacak işlem budur. Fakat bunun uygun olmadığı bir takım durumlar

mevcuttur. Örneğin bir kümenin ortaya çıkma ihtimalinin diğerinden daha fazla olduğu fakat

ikisinin de eleman sayılarının eşit olduğu durumda ne olur? Aynı olasılığa mı sahip

olmalıdırlar?

İlk küme: {Fenerbahçe kazanır}

İkinci küme: {Galatasaray kazanır}

İki kümenin de birer elemanı vardır. Fakat şüphesiz ki bunlara farklı olasılıklar verilmelidir.

Bununla birlikte, aynı anda çalışılacak küme sayısı birden fazla olabileceği ve her birine ait

olasılıkların belirlenmesi istendiği için olasılık “kümelerin bir fonksiyonudur”.

Olasılık belirli bir fonksiyona göre tanımlandığı için ilk olarak fonksiyon kavramı ele

alınmalıdır.

Bir fonksiyon, f(.), bir noktalar kümesindeki her bir noktayı bir diğer noktalar kümesindeki

bir ve yalnız bir nokta ile ilişkilendiren bir kuraldır (kanun, formül,vs). İlk küme tanım

kümesi A, ikinci küme B ise görüntü kümesidir.

Bir fonksiyon:

ƒ: xƒ(x)

ve olasılık kümelerin bir fonksiyonu olduğundan:

P: S P(S)

Örnek uzayının tüm alt kümelerinin tanımlandığı kümeler ailesi P fonksiyonunun tanım

kümesi olarak kullanılabilir.

Bu aşamada, eğer S sayılamayacak kadar çok eleman içeriyorsa problem oluşabilir. Ortaya

çıkan problem, S kümesinin sayılamayacak kadar çok alt küme içermesi ve bu nedenle her

bir alt kümeye bir olasılık atanmasında sıkıntı oluşmasıdır. Bu sorunun nasıl aşıldığı ileride

açıklanacaktır. Bununla birlikte, S sonlu elemana sahip ise her bir alt kümesine bir olasılık

atanmasında problem ortaya çıkmaz.

Olasılığın en basit yapıdaki tanımını verebilmek için, ilk aşamada örnek uzayının sayılabilir

olduğu varsayılacaktır.

Tanım (Klasik Olasılık): Eğer bir rassal deneyin örnek uzayı sonlu sayıda n adet ayrık

neeeS ,,, 21

ve eşit olasılıklı elemana sahip ise

n

eP i

1 ni ,1

ve nA, örnek uzayı üzerinde tanımlanan A olayındaki basit olayların (ei) sayısı ise A olayının

gerçekleşme olasılığı P(A);

n

nAP A

olarak belirlenir. Klasik olasılığın yetersiz kaldığı iki durum:

a) Olayların eşit olasılıkla oluşmadığı durumlar

b) Örnek uzayının sonsuz elemanlı olduğu durumlar.

Bir örnek uzayındaki elemanların eşit olabilirliğe sahip olması bazı ideal koşulların

oluşmasına bağlıdır. Ayrıca şans oyunlarının aksine doğadaki örnek uzayındaki elemanlar

genellikle eşit olasılığa sahip değildir. İnsanların kan grupları bir örnek olarak verilebilir.

Böyle bir durumda bir herhangi bir A olayının oluşum sıklığı nasıl belirlenir? Cevap açıktır;

anakütle üzerinde benzer koşullarda denemeler yapılmalıdır.

Tanım (Göreli frekans): Bir rassal deneyin örnek uzayı üzerine tanımlanmış olay A olsun.

Deney benzer koşullarda N adet tekrarlansın ve ortaya çıkan A olaylarının sayısı n olsun. A

olayının göreli frekansı:

f(A)=n/N

Örneğin hilesiz olduğu düşünülen bir para atıldığında üst yüze yazı gelmesi A olayı olarak

tanımlansın. Değişik deneme sayılarında gerçekleşen A olayı sayıları ve göreli frekansları:

N=10 n=4 f(A)=0.4

N=100 n=47 f(A)=0.47

N=1000 n=488 f(A)=0.488

Şüphesiz f(A) değeri gerçekleştirilen deney sayısı N ile bağımlıdır ve küçük N değerleri için

çok büyük dalgalanmalara sahiptir. Burada cevaplanması gereken soru, “N değeri sonsuza

gittiğinde f(A) oranlarının dizisi kararlı bir değere yakınsıyor mu?” olacaktır. Böyle bir

soruya deneysel olarak asla cevap verilemez. Çünkü limitin doğası gereği deneylere son

verilemez. Böyle bir limitin var olduğunu kabul etmek matematiksel bir yaklaşımdır:

istenildiği kadar küçük olabilen pozitif bir sayı olmak üzere, N>m() koşulunu altında,

)A(PN

n

Eşitsizliğini sağlayan bir m() sayısı bulunabiliyorsa,

)A(lim PN

n

N

Elde edilen bu sonuç A olayının deneysel limit frekansıdır ve P(A) değeri A olayının

gerçekleşme olasılığıdır.

Fakat P(A) limit değeri hala gerçekleştirilen deney dizisi sonuçlarına bağımlıdır. Deneyler

aynı koşullarda geçekleştirilse dahi bir sonraki deney dizisinin aynı sonuçları vereceğinin

garantisi yoktur. Bu frekanslar üzerine oluşturulan geçerli bir teori, yukarıda tanımlanan P(A)

değerinin tüm benzer deney dizileri için aynı olduğunu varsaymak zorundadır. Bu teorem ile

modern olasılığın temeli olan aksiyom olasılığını ele almak da mümkün olmuştur.

Tanım (Olasılık Küme Fonksiyonu): Rassal bir deneyin örnek uzayı S ve bu kümenin üzerine

tanımlı çifterli ayrık AiAj=, ij olaylar A1, A2,… olsun. Eğer P(.) fonksiyonu;

1) P(A)0

2) P(S)=1

3) P(A1A2…)=P(A1)+P(A2)+…

11

)(

i

ii i APAP

koşullarını sağlıyor ise bu rassal deneyin çıktılarının olasılık küme fonksiyonu olarak

adlandırılır. S örnek uzayının her bir A alt kümesi için P(A) sayısına da A olayının olasılığı

denir.

Yukarıdaki tanımda verilen üç özellik “olasılık aksiyomları” olarak ya da Kolmogorov

aksiyomları olarak bilinir.

Aksiyom tanımı belirli bir P fonksiyonunun nasıl seçileceğini belirtmez. Herhangi bir örnek

uzayı için pek çok farklı olasılık fonksiyonu tanımlanabilir.

Olasılığın bu tanımı matematiksel bir tanım olup, hangi küme fonksiyonunun olasılık

fonksiyonu olarak adlandırılabileceğini açıklamaktadır.

Olasılığın bu tanımı, verilen bir A olayı için olasılık fonksiyonunun P(.) alacağı değer ile ilgili

bilgi vermez.

Olaylara ait olasılık değerlerinin elde edilmesi için rassal deneyin modelinin tanımlanması

gereklidir.

Olasılık aksiyomları kullanılarak, daha karmaşık olasılıkların hesaplanmasında

kullanılabilecek olan, olasılık fonksiyonunun pek çok özelliği tanımlanabilir.

Teorem: Eğer P(.) bir olasılık fonksiyonu ve A kümesi S’deki herhangi bir küme ise,

a. P(Ø) = 0 (Burada Ø boş kümedir)

b. P(Ac)=1-P(A)

c. P(A) ≤ 1

İspat: a) S=SØ ve S ile Ø ayrık, SØ= Ø, olduğundan

P(S)=P(SØ)=P(S)+P(Ø)

1=1+ P(Ø).

b) S=AAc ve A ile Ac ayrık, A Ac = Ø, olduğundan

P(S)=P(AAc)=P(A)+P(Ac)

1= P(A)+P(Ac).

Aşağıda belirtilen her özellik hem kesikli hem de sürekli örnek uzayında tanımlı olaylar

(kümeler) için geçerlidir.

Birleşimin Olasılığı:

A ve B olayları S örnek uzayında tanımlı iki olay olsun. BA birleşim olasılığı için iki

durum söz konusudur:

1. A ve B ayrık olaylardır (çakışma yoktur): yani BA ϕ

2. A ve B ayrık olaylar değildir. BA ϕ

Birinci durum için BA ’nin olasılığı,

Eğer BA ϕ ise BPAPBAP

İkinci durum için ise,

Herhangi bir A ve B olayları için BAPBPAPBAP

Not: İkinci durum için tanımlanan formül aynı zamanda birinci durum için de kullanılabilir:

BAP P(ϕ) = 0

Üç ya da daha fazla olay için, örneğin A, B ve C olayları için

CPBPAPCBAP

CBPCAPBAP

CBAP

Kesişimin Olasılığı:

BAP için kolay bir formül yoktur. İstatistiksel bağımsızlığın kullanılabiliyor olması

gerekir.

Eğer A ve B istatistiksel olarak bağımsız değillerse, genellikle koşullu olasılık kullanılır.

Teorem: Eğer P(.) bir olasılık fonksiyonu ve A ile B kümeleri S ’deki herhangi iki küme ise ,

a. )BA(P)B(PBAP C

b. )BA(P)B(P)A(P)BA(P

c. Eğer BA ise )B(P)A(P ’dir.

d. P(A-B)=P(A)-P(AB)

İspat: a. Herhangi iki A ve B kümesi için,

B=(AB)(AcB)

ve olasılık ifadesi olarak,

P(B)=P(AB)P(AcB)

ve eşitliğin sağındaki iki olay ayrık olduğundan,

P(B)=P(AB)+P(AcB)

b. Herhangi iki A ve B kümesi için A ve BAc kümeleri birbirinden ayrık olduğundan,

AB=A(AcB)

özdeşliği kullanılarak,

P(AB)=P(A)+P(AcB)

S

Ayrıca AB=A (AcB)

ve eşitliğin sağındaki iki olay ayrık olduğundan,

P(AB)=P(A)+P (AcB)

Elde edilen sonuçlar yerine konarak ispat tamamlanır.

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

c. B=A(AcB) ve eşitliğin sağındaki iki olay ayrık olduğundan Aksiyom 3 kullanılarak

P(B)=P(A)+P(AcB)

Aksiyom 1 kullanılarak P(AcB)0 ve sonuç olarak P(B) P(A) bulunur.

d. A=(A-B)(AB) olup eşitliğin sağındaki kümeler ayrık olduğu için

P(A)=P(A-B)+P(AB) ispat tamamlanır.

Teoremin (b) formülü bir kesişim olasılığı için kullanılabilecek faydalı bir eşitsizliği

(Bonferroni eşitsizliği) tanımlar.

Tanım (Bole eşitsizliği): Herhangi iki A ve B olayı için A, BS olmak üzere AB için,

P(AB)P(A)+P(B)

ve eğer AB= ise

P(AB)=P(A)+P(B)

olarak tanımlanır. Bu sonuç aynı zamanda ayrık olayların olasılıklarının (ve eleman

sayılarının) toplama kuralına uyduğunu belirtir.

Bonferroni Eşitsizliği: Teoremin (b) formülünde 1)BA(P olduğundan,

)BA(P)B(P)A(P1

ve

1)B(P)A(P)BA(P

elde edilen sonuç Bonferroni eşitsizliğinin özel halidir.

Bonferroni eşitsizliği özellikle, kesişim olasılığının belirlenmek istendiği fakat

hesaplanmasının zor ya da imkansız olduğu durumlarda oldukça faydalıdır. Örneğin her biri

0.95 olasılığa sahip A ve B olayları için her ikisinin de birlikte oluşma olasılığının sınırı,

P(AB)=P(A)+P(B)-1=0.90

olarak bulunabilir.

Bireysel olayların olasılıkları yeterince büyük olmadıkça Bonferroni sınırı negatif değer

verdiği için (fakat hala doğrudur) kullanışsızdır.

Teorem: Eğer P(.) bir olasılık fonksiyonu ise,

a.

1

)()(i iCAPAP , herhangi bir C1, C2,… bölümlenmesi (ayrık olayları) için.

b.

1i i1i i ),A(PAP herhangi A1, A2,… kümeleri için, (Boole’un eşitsizliği)

Boole’un eşitsizliği ile Bonferroni ’nin eşitsizliği arasında bir benzerlik vardır. Temelde

aynıdırlar. Eğer Boole’un eşitsizliğinde Ac kullanılsaydı,

ci

n

1i

n

1i

ci APAP

burada cici AA ve )A(P1)A(P i

ci eşitlikleri kullanılarak

n

1i i

n

1i i )A(PnAP1

n

1i i

n

1i i 1nAPAP

elde edilir ki bu sonucun Bonferroni eşitsizliğinin genel ifadesidir.

Tanım (Olasılık Uzayı): Bir olasılık uzayı üç elemanlıdır, [S, β, P(.)]. Burada S örnek uzayı, β

sigma cebri diğer bir deyişle bir olaylar koleksiyonu ve P(.) ise tanım kümesi β olan bir

olasılık fonksiyonudur.

1.4 SAYMA YÖNTEMLERİ

İstatistik problemlerinde belirli bir durumda

1) olanaklı bütün seçenekleri ortaya koymak

ya da en azından

2) kaç farklı olanak bulunduğunu belirlemek

gereklidir

Sayma yöntemlerinin en sık kullanıldığı problemler, sonlu örnek uzayları üzerine tanımlanan

olaylara bir olasılık atanması durumudur. Genelde sayma problemleri karmaşıktır bu nedenle

saymayı basitleştirmek üzere problem basit parçalara ayrılır. Eleman sayısı N olan bir kesikli

S örnek uzayının klasik olasılık aksiyomlarını (eşit olasılıklı ayrık olaylar) sağladığı

varsayılsın. Bir A olayının olasılığını belirlemek için her biri eşit olasılık ile ortaya çıkan ve

birbirinden ayrık olan mümkün durumların sayısına ve A özelliğini taşıyan elemanların

sayısına gereksinim vardır. Bu sayıların elde edilebilmesi için bazı kombinasyon

formüllerinin kullanılması gereklidir. Bu formüller iki temel prensip üzerine kurulmuştur:

Tanım (Toplama): A ve B ayrık olaylar olmak üzere, bir A olayı toplam m farklı şekilde ve B

olayı ise n farklı şekilde oluşuyor ise A ya da B (AB) olayı m+n farklı şekilde oluşabilir.

Tanım (Çarpma): A olayı toplam m farklı şekilde ve B olayı ise toplam n farklı şekilde eşanlı

olarak oluşabiliyor ise, A ve B (AB) olayı mn farklı şekilde oluşabilir.

Tanım (Faktöriyel): Bir pozitif tam sayı n için, n (n faktöriyel) n değerine eşit ve küçük tüm

tam sayıların çarpımıdır.

n=n(n-1)…321

Burada,

n

nn

!!1

olduğundan, n=1 için 0!=1 olduğu görülebilir.

Sayılar büyüdükçe faktöriyel değerini hesaplamak zorlaşır. Bu nedenle yaklaşık bir hesaplama

değeri Stirling tarafından verilmiştir:

2

1

2!

nnnen

Daha güvenilir bir yaklaşım için e-n yerine

e-[n-(1/12n)] kullanılabilir.

Kullanılacak sayma yöntemleri gerçekleştirilen örnekleme yöntemine

a. İadeli örnekleme

b. İadesiz örnekleme

ve örneğe çıkış sırasına

c. Örneğe çıkış sırası önemsiz

d. Örneğe çıkış sırası önemli

bağımlıdır.

Tanım (İadeli Örnekleme): Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir

sonraki seçimde tekrar populasyona dahil ediliyorsa yani örneğe girme şansı yine varsa bu tip

örneklemeye iadeli örnekleme denir.

Tanım (İadesiz Örnekleme): Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer

bir sonraki seçimde tekrar populasyona dahil edilmiyorsa yani bir sonraki örnekte gözlenme

şansı yoksa bu tip örneklemeye iadesiz örnekleme denir.

Tanım (Permütasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz örneklemedeki tüm farklı

seçimleri için ortaya çıkan her bir farklı düzenlemelerine verilen isimdir.

Örneğin 3,2,1S kümesi için permütasyonlarının oluşturduğu küme:

2,1,3,1,2,3,1,3,2,3,1,2,2,3,1,3,2,1pS

Kümenin her bir elemanı bir permütasyona karşılık gelmektedir. Kümenin elemanları

incelendiğinde örneğe çıkış sırasının önemli olduğu görülebilir.

Tanım (Kümenin permütasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise farklı

düzenlemelerin (permütasyonların) sayısı:

!1.2)...1( nnnPnn

Kümeden örneğe çekilen eleman sayısı r<n koşulu ile sadece r adet ise farklı düzenlemelerin

(permütasyonların) sayısı:

!!

1)...1(rn

nrnnnPrn

Nesneler bir dairenin etrafında sıralanınca ortaya çıkan permütasyonlara daire

permütasyonları denir.

Teorem: Bir daire çevresinde sıralanan n farklı nesnenin permütasyon sayısı (n-1)!=n!/n dir

Tanım (Kombinasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz örneklemedeki tüm farklı

seçimlerine verilen isimdir.

Örneğin 3,2,1S kümesi için üç elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu

küme:

3,2,1kS

iki elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu küme:

3,2,3,1,2,1kS

Gerçekte kombinasyon, altküme ile aynı anlamı taşır.

Tanım (Kombinasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise nr olmak üzere r adet

elemanın faklı seçimlerinin sayısı,

r

n sembolü ile tanımlanır ve n içinden r adet seçim olarak

okunur:

!!

!

! rrn

n

rn

P

r

nC nn

rn

Bu sayılar aynı zamanda binom katsayıları olarak da adlandırılır.

Permütasyon tüm mümkün seçimlerin (kombinasyonların) kendi içindeki tüm mümkün farklı

düzenlemelerini de bir eleman olarak sayar. Örneğin abc ve acb aynı kombinasyon farklı bir

permütasyondur. Bununla birlikte abc ve abd farklı kombimasyonlardır.

1.4.1 İki terimli (Binom) ve Çok terimli (Multinomial) Teoremleri

İki terimli (a+b)n ifadesinin açılımı basit kombinasyon metodu kullanılara gerçekleştirilip

daha sonra çok terimli durum için genelleştirilecektir. İki terimli ifade n adet terimin çarpımı

şeklinde yazılabilir:

(a+b) (a+b)… (a+b)

Burada problem çarpım sonucunda oluşacak olan an-rbr teriminin önündeki katsayıları

bulabilmektir. Gerçekte bu problem iki gruba bölünmüş (a ve b) n adet çarpanın ortaya çıkış

sayısını bulmak olarak da tanımlanabilir.

n

nn

a

baba

1

Burada x=b/a alınarak

nnnxaba 1

mx1 çarpanı m=1, 2, …,n için açılarak,

(1+x)=1+x x

1

1

0

1

(1+x)2=1+2x+x2 2

2

2

1

2

0

2xx

(1+x)3=1+3x+3x2+ x3 32

3

3

2

3

1

3

0

3xxx

(1+x)n= 1+nx+…+ xn nxn

nxx

nn

2

2

3

10

Sonuç olarak:

rn

r

nx

r

nx

01

rn

r

nnn xr

naxa

01

r

n

r

n

n

n

a

b

r

na

a

ba

01

n

nn

n

n

a

b

n

n

a

bn

a

bnna

a

ba

2

2

2101

rrnn

r

nba

r

nba

0

elde edilir.

Yukarıda kullanılan yaklaşım n adet elemanın iki gruba ayrıldığı ve gruplardan birinin r adet

diğerinin n-r adet elemana sahip olduğu varsayımına uymaktadır. Bu n adet elemanın iki

kategori için r değiştikçe ortaya çıkabilecek farklı sıralamalarının sayısı kombinasyon

yaklaşımı ile;

rn

n

r

n

elde edildi. İki terim (kategori) için bulunan sonuçlar n eleman k adet kategori için

genellenebilir. Her bir kategorideki eleman sayısı ni, i=1,2,…,k ve nnn k 1 olsun.

Farklı seçimlerin (kombinasyonların) sayısı:!!!

!

,,, 2121 kk nnn

n

nnn

n

İspat: !!!

!

,,, 2121 kk nnn

n

nnn

n

k

k

n

nnnn

n

nnn

n

nn

n

n 121

3

21

2

1

1

!!

!

!!

!

!!

!

!!

!

121

121

32!13

21

212

1

11 kkk

k

nnnnnn

nnnn

nnnnn

nnn

nnnn

nn

nnn

n

!!!

!

21 knnn

n

Bu sonuç kullanılarak çok terimli açılım;

nkxxx 21

için elde edilen k adet çarpandan oluşan terimlerin,

kn

k

nn xxcx 21

21

önündeki c katsayısı bulunur. Çok terimli açılım:

k

k

nnn

n

k

nn

k

n

k xxxnnn

nxxx

,,

21

21

21

21

21

!!!

!

1.4.2 Örnekleme ve Örnek Uzayındaki Eleman Sayısı Üzerine Etkisi

Önemli kombinasyon problemlerinde temel yapıyı oluşturan birkaç standart sapma metodu

vardır. Bu metotlar genellikle örnekleme ya da atama yöntemleri olarak incelenirler.

Bir torbada 1’den n’e kadar işaretlenmiş n adet top olduğu ve bunlardan m adedinin farklı

koşullar altında çekildiği varsayılsın. Her bir farklı koşul için tüm mümkün çıktıların sayısının

belirlenmesi aşağıda incelenmiştir:

Durum I. Yerine Konarak Örnekleme ve Sıralama Önemli

Torbadan m adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya

iade edilir. Topların üzerindeki sayılar çıkış sırasına göre kayıt edilir. Sonuç olarak her m

adetlik çekiliş için m adet sayıdan oluşan bir (a1,…,am) sıralaması elde edilir. Burada her bir

aj, 1 ile m arasındaki herhangi bir sayı olabilir. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edebileceği

için bu sıralama bir permütasyon değildir. Tüm mümkün durumların sayısının elde edilmesi

için “Saymanın Temel Kuralı” uygulanarak nm bulunur. Torbadan topun çekilmesi ile altı

zarın atılması ya da tek bir zarın arka arkaya altı defa atılması arasında herhangi bir fark

yoktur.

Durum II. Yerine Koymadan Örnekleme ve Sıralama Önemli

Uygulanan örnekleme Durum I ile benzer olup tek fark çekilen topun torbaya iade

edilmemesidir. Bu durumda oluşan sıralı m adet (a1,…,am) sayıda her bir aj farklı sayıdan

oluşacaktır gibi kısıt konulmuştur. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edemeyeceği için bu

sıralama bir permütasyondur. Diğer bir kısıt ise mn olmalıdır. Bu tip problemlere “Saymanın

Temel Kuralı” doğrudan uygulanmamakla birlikte çözüm,

mnmnnn 11

benzerdir. Bu eşitliğin sol tarafında m adet çarpan vardır. Eşitliğin sağındaki mn sembolü n

sayısından birer küçülerek giden m adet sürekli çarpımı belirtmektedir.

Durum II permütasyon problemi olarak adlandırılan problemin özel halinin tanımlamaktadır.

Durum III. Yerine Koymadan ve Sıralama Önemsiz

Bu örnekleme yapısında çekilen toplar torbaya iade edilmez ve çekiliş sırası önemsiz olup

kayıt edilmez. Sonuç olarak m adet top bir defada çekilmiş olarak düşünülebilir. Böyle bir

örnekleme yapısında n elemanlı bir kümeden elde edilen m elemanlı alt kümeler ile ilgilenilir.

Alt kümelerin sayısını bulabilmek amacıyla ilk olarak Durum II ile bir karşılaştırma yapılması

faydalı olacaktır. Eğer m adet top iade edilmeksizin birer birer çekilip sıralanır ise mümkün

sıralama sayısı m! olacaktır. Örneğin n=5, m=3 için 3,2,5 alt kümesi;

2,3,5,3,2,5,2,5,3,5,2,3,3,5,2,5,3,2pS

3!=6 farklı şekilde çekilebilir. Sırlama önemsiz olduğundan n adet eleman içinden m eleman;

!!

!

mnm

n

m

n

farklı şekilde çekilebilir.

Durum IIIa Gruplara Ayrılabilen n Elemanın Permütasyonu

Torbadaki toplardan n1 adedinin Renk 1, n2 adedinin Renk 2,…, nr adedinin Renk r ile

boyandığı varsayılsın. Renklerin ayırt edilebidiği fakat aynı renkli topların ayırt edilemediği

bilinmektedir. Renk gruplarındaki eleman sayılarının toplamı n1+n2+…+nr=n torbadaki top

sayısına eşittir. Bu n adet topun ayrıştırılabilir kaç düzenlemesi vardır?

Örnek olarak n1=2, n2=2, n=4 ve renkler de sarı ve lacivert olsun. Elde edilebilecek farklı

düzenlemelerin sayısı 6 olarak belirlenir:

Yukarıdaki soruyu analitik olarak cevaplamak için tüm topların ayrıştırılabildiği Durum II ile

bir karşılaştırma yapılabilir. Renklendirilen toplar aynı zamanda numaralandırılır ise hepsi

birbirinden ayrıştırılabilir hale gelir. Bu durumda tüm mümkün düzenlemelerin toplam sayısı,

Durum II kullanılarak, n! olarak belirlenir. Renk 1 ile boyanan n1 adet top numaralar yardımı

ile n1! adet farklı düzenlemeye, Renk 2 ile boyananlar ise n2 adet farklı düzenlemeye sahip

olacaktır. Bir renk için elde edilen her bir düzenleme bir diğer rengin herhangi bir

düzenlemesi için serbestçe birleştirilebileceği için “Saymanın Temel Kuralı” kullanılarak

birlikte oluşturabilecekleri düzenleme sayısı (işaretler dikkate alındığında) n!n2!... nr!

bulunabilir. Araştırılan konu işaretlerin olmadığı sadece renklerin olduğu bir durumdaki

düzenleme sayısı olduğundan bu sayı,

!!!

!

21 knnn

n

çok terimli katsayısı ile elde edilebilir. Eğer r=2 ise,

21 n

n

n

n

iki terimli (binom) katsayısı ile elde edilebilir.

Durum IV. Yerine Konarak ve Sıralama Önemsiz

Torbadan m adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya

iade edilir. Topların üzerindeki sayılar çıkış sırası dikkate alınmadan kayıt edilir. Bu

problemin çözümü için farklı bir yaklaşın gereklidir. Aşağıda bu yaklaşım bir örnek üzerinde

açıklanacaktır. Örnek için n=m=3 alınsın. Tüm mümkün durumlar aşağıdaki tabloda

listelenmiştir.

1 2 3

111 ||

112 ||

113 ||

122 ||

123 ||

133 ||

222 ||

223 ||

233 ||

333 ||

Her çekim işleminden sonra çekilen numara sütununa bir kontrol işareti () konur. İşaret

sayısı deneme sayısına (m) eşit olup bu değer top sayısından (n) fazla olabilir. Numaralara ait

kontrol işaretleri arasındaki boşlukları belirtmek amacıyla çubuklar (|) kullanılmıştır. Ortadaki

üç sütun son sütunda özetlenmiştir. Bu sütun incelendiğinde üç kontrol ve iki çubuk için tüm

mümkün durumların dikkate alındığı görülmektedir. Toplam sayı, Durum III n=5, m=3, ya da

Durum IIIa n=5, n1=3, n2=2 ile çözülebilir. Sonuç olarak 5!/3!2!=10.

Durum IV deki problem m adet kontrol ve n-1 adet çubuğun tüm mümkün düzenlemeleri

problemine dönüştürülerek çözülmüştür. Eğer n adet mümkün durum var ise ve bu mümkün

durumların her biri tabloda olduğu gibi bir kutu ile tanımlanmışlar ise kutular arasında n-1

adet çubuk vardır. Durum IIIa için tanımlanan formüller uygulandığında çıktıların mümkün

sayısı:

1

11

n

mn

m

mn

ile elde edilebilir.

Yukarıda açıklandığı üzere kullanılacak sayma yöntemleri gerçekleştirilen örnekleme

yöntemine faklılık gösterebilir. Farklı örnekleme durumları için örnek uzayındaki eleman

sayıları aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.

İadesiz Örnekleme İadeli Örnekleme

Sıra Önemli )!(

!

mn

n

nm

Sıra Önemsiz

m

n

m

mn 1

Tabloda verilen durumları açıklamak amacıyla aşağıda 44 adet sayı içinden çekilebilecek 6

adet sayı için karşılaşılabilecek farklı örnek uzaylarının eleman sayıları hesaplanmıştır:

a. İadesiz sıralama önemli: Temel sayma teoremine göre ilk sayı 44 farklı şekilde, iadesiz

olduğundan ikincisi 43 farklı şekilde seçilebileceğine göre altı adet sayı;

444342414039=(44!/38!)=5.082.517.440

farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,

)!(

!

xn

n

bulunur.

b. İadeli sıralama önemli: Seçilen sayı tekrar iade edildiği için her bir çekiliş 44 farklı şekilde

yapılabileceğinden altı adet sayı,

444444444444=446=7.256.313.856

farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,

nx

bulunur.

c. İadesiz sıralama önemsiz: Sıralamanın önemsiz olduğu durumlarda, örnek uzayındaki

eleman sayısı azalır. Altı adet sayı 654321 farlı şekilde ortaya çıkabilir. Eğer sıralama

önemsiz ise bu durumların tümü örnek uzayındaki tek bir elemana karşılık geldiğinden, bu

sayı sıralamanın önemli olduğu durumda karşılaşılan örnek uzayından bölünerek düşülür ve

sonuç olarak sıralama önemsiz ise altı adet sayı,

052.059.7!6!38

!44

123456

394041424344

farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,

!!

!

rrn

n

r

n

bulunur.

d. İadeli sıralama önemsiz: Örnek uzayı belirlemenin en zor olduğu durumdur. Cevap olarak

hemen 446/654321 olduğu söylenebilir, fakat bu sonuç yanlıştır. Bu durumu saymak

için 44 adet sayı yan yana yerleştirilmiş her biri bir diğerinden bir karton ile ayrılmış kutular

olarak düşünülebilir ve altı adet sayı kağıtlara yazılıp kutuların içine konulur. Mümkün

durumların sayısı, 44 kutu içine konacak 6 adet kağıdın farklı mümkün durumlarının sayısına

eşit olacaktır. Kutuları ayıran kartonlardan ilki ve sonuncusunun oynadığı bir rol yoktur. 44

adet kutu 45 adet kartona sahiptir fakat 43 adet karton dikkate alınır. Bunlara ilave olarak 6

adet kağıt mevcuttur. Sonuç olarak 43+6=49 adet nesne vardır ve bunlar 49! Kadar farklı

yerleşime sahiptir. Bununla birlikte sıralama önemli olmadığından kağıtlar için 6! ve kartonlar

için 43! kadar durum elenmelidir. Sonuç olarak sıralama önemsiz ise altı adet sayı,

816.983.13!43!6

!49

farklı şekilde belirlenebilir.

1.5 MARJİNAL ve ŞARTLI OLASILIK

Koşul, olasılıkta kullanılan temel araçlardan birisidir. Özellikle bölümleme teorisi için kritik

olan BAP kesişim olasılığının hesaplanmasında işe yarar. Ayrıca tüm stokastik süreçler

alanı koşullu olasılığa dayanmaktadır. Bir sonraki süreçte ne olacağı, öncesinde ne olduğuna

yani koşula bağlıdır.

Bağımlı olaylar:

A ve B aynı örnek uzayında tanımlı iki olay olsun. Genellikle A ve B arasında bir bağımlılık

olur. Bunun anlamı şudur: eğer B’nin gerçekleştiği biliniyorsa, A’nın gerçekleşme şansı

hakkındaki bilgileri değiştirir.

Örnek: Bir zar havaya atılıyor.

A olayı = “6 gelmesi”

B olayı = “çift sayı gelmesi” olsun.

Eğer zar hilesiz ise 6

1AP ve

2

1BP ’dir.

Eğer B’nin gerçekleştiği biliniyorsa, A’nın gerçekleşme şansında bir artış olur:

P(B’nin gerçekleştiği bilindiğinde, A’nın gerçekleşmesi) 3

1

642

6

veyaveyasonuc

sonuc

Bu durumda

3

1| BAPAdeverildiginBP yazılabilir.

Soru: ?| ABP

BdeverildiginAPABP |

= P (6 geldiği bilindiğinde, çift sayı gelmesi)

= 1

Eleman sayısı n olan S örnek uzayı üzerinde, r adet ayrık Ai olayı ve c adet ayrık Bj olayı

tanımlanmış olsun. S örnek uzayındaki her elemanın eşit olasılığa sahip olduğu (klasik

olasılık) varsayımı ile A ve B olayları için aşağıdaki iki yönlü tablo oluşturulabilir:

B1 B2 Bc

A1 n11 n12 n1c

A2 n21 n22 n2c

Ar nr1 nr2 nrc

İlk satır ve ilk sütun hariç ablodaki hücrelere ait genel toplam:

r

i

c

j

ij nn1 1

olup bu hücrelerin her biri AiBj olayına karşılık olaylar eşit olasılıklı olduğundan:

n

n

ji

ijBAP

Herhangi bir Ai olayının gerçekleşme olasılığı:

c

j

ijiciii

n

n

n

nnnAP

1

21

ya da herhangi bir Bj olayının gerçekleşme olasılığı:

r

i

ijrjjj

jn

n

n

nnnBP

1

21

ile elde edilebilir. Bu olasılıklar sırası ile Ai ve Bj olaylarının marjinal olasılıkları olarak

adlandırılır.

Bir S örnek uzayı üzerine tanımlanan A ve B olayları için, B olayının oluşması durumunda A

olayının ortaya çıkma olasılığı şartlı olasılıktır ve P(A/B) ile gösterilir.

Tanım (Şartlı Olasılık): Verilen olasılık uzayında iki olay A ve B olsun. Verilen B olayı için

A olayının şartlı olasılığı P(B) > 0 için,

)B(P

)BA(P)B/A(P

olup P(B)=0 için tanımsızdır.

Not: BAP | ile P (A ve B, sadece B’nin bulunduğu kümeden) elde edilebilir

BAP ile P (A ve B, tüm örnek uzayı S’den) elde edilebilir

Örnek uzayını S’den B’ye çekmek için P sembolü yerine BP | sembolü kullanılmalıdır.

BP | sembolü de aynı P sembolü gibi ele alınmalıdır. Böylece,

BDCPBDPBCPBDCP |||| olur.

Benzer şekilde verilen A olayı için B olayının şartlı olasılığı P(A) > 0 için,

)(

)()/(

AP

BAPABP

Yukarıdaki iki eşitlik kullanılarak;

)()/()(/ APABPBPBAPBAP

ifadesi olasılığın çarpım kuralı olarak adlandırılır.

Teorem (Çarpım Kuralı): Tanımlanan bir olasılık uzayı için, eğer A1,A2,…,An olayları

0]...[ 11 nAAP koşulunu sağlayan S üzerinde tanımlanmış olaylar ise,

]A...A/A[P]...AA/A[P].A/A[P].A[P]A...AA[P 1n1n213121n21

Çarpım kuralı aşamalı deneyler için oldukça faydalıdır. Deneyin n aşamalı olduğu ve Aj

olayının deneyin j-inci aşamasına göre tanımlanan bir olay olduğu varsayılsın. Bu durumda

]A...A/A[P 1j1j , deneyin ilk j-1 aşamasında oluşan durumlara göre j-inci aşamada ne

olabileceğini tanımlayan bir olayın şartlı olasılığıdır.

P[./B] bir olasılık fonksiyonu mudur? Olasılık fonksiyonu olabilmesi için üç aksiyomu

sağlaması gereklidir.

a. 0)B(P)BA(P]B/A[P her SA için

b. 1)B(P/)B(P)B(P)BS(P]B/S[P

c. Eğer SAA ,..., 21 ’deki çifterli ayrık olayların dizisi ise

]B[P

BAP

]B[P

B)A(PB/AP i1ii1i

i1i

)B(P

BAP1i i

1i i ]B/A[P

Sonuç olarak verilen bir B, P(B)>0, olayı için P[./B] bir olasılık fonksiyonudur.

Teorem (Olasılıklar Toplamı Teoremi): Tanımlanan bir olasılık uzayı için, eğer B1,B2,…,Bn

olayları n

1j jBS

ve P[Bj]>0, j=1,…,n için, koşullarını sağlayan S üzerinde tanımlanmış

ayrık olaylar ise, her A için,

n

j jj

n

j

j BPBAPBAPAP1

1

][]./[][

İspat: A olayı ayrık Bj olaylarının her biri ile olan kesişimlerinin birleşimi

n

1j jBAA

olarak tanımlanabilir çünkü jBA ’ler de ayrıktır. Bu durumda

n

1j j

n

1j j ]BA[PBAP]A[P

]B[P].B/A[P j

n

1j j

bulunur. Bu teorem n için de geçerlidir.

Not: Yukarıda tanımlı B olayları ayrık değilse,

]B[P].B/A[P]B[P].B/A[P]A[P cc

Olasılıklar toplamı teoremi özellikle aşamalı olarak uygulanan deneylerde faydalıdır. Örneğin

her birinin içinde toplar bulunan torbalardan bir top çekilmek istendiği durum ele alındığında

ilk önce topun çekileceği torba seçilir daha sonra seçilen torbadan bir top çekilir. Bu tür

deneyler için Bj ilk aşamadaki olayı ve A ’da ikinci aşamadaki olayı tanımlar ise, P[Bj] ve

P[A/Bj] olasılıklarını bulmak oldukça kolaydır. Aşamalar halinde uygulanan deneylerde

birinci adımda sonuca göre koşul tanımlamak oldukça uygundur.

P[./B] fonksiyonunun özellikleri aşağıdaki teoremler ile tanımlanmıştır.

Teorem: 0]B/[P

Teorem: AB= ise P(A/B)=P(B/A)=0

Teorem: Eğer A ve B, S ’de tanımlı bir olaylar ise

]B/A[P1]B/A[P c

Teorem: Eğer SAA 21, ise

]B/AA[P]B/AA[P]B/A[P c21211

Teorem: Eğer SAA 21, ise,

]B/AA[P]B/A[P]B/A[P]B/AA[P 212121

Teorem: Eğer SBA , ve BA ise P(AB)= P(A)

1/

AP

BAPABP

Teorem: Eğer SBA , ve AB ise P(AB)= P(B)

AP

BP

AP

BAPABP

/

Teorem: Eğer SAA 21, ve 21 AA

]B/A[P]B/A[P 21

Şartlı olasılığın kullanıldığı önemli durumlardan biri aşağıdaki teorem ile açıklanmıştır.

Teorem (Bayes Formülü): Tanımlanan bir olasılık uzayı için, eğer B1,…,Bn olayları

n

1j jBS

ve 0]B[P j , j=1,…,n için, koşullarını sağlayan S üzerinde tanımlanmış ayrık

olaylar ise her A , 0]A[P , için

]B[P.]B/A[P

]B[P].B/A[P]A/B[P

j

n

1j j

kkk

bulunur. Bu teorem n için de geçerlidir. Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi

olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. Olasılıklar toplamı teoreminde olduğu

gibi Bayes formülü de aşamalı olarak uygulanan deneyler için oldukça faydalıdır. Aradaki

fark koşul olarak ikinci aşamanın kullanılmasıdır. Diğer bir ifade ile A olayı gerçekleşmiştir

ve sebep olan Bk olayı için olasılık araştırılmaktadır.

Bayes teorimi ile koşullu olasılıklar tersine çevrilebilir. Yani, ABP | ifadesi BAP |

cinsinden ifade edilebilir. Bu çok kullanışlı bir özelliktir. Örneğin,

P (sonraki olay|önceki olay)

verilsin. Sonraki olayın gözlemlenip önceki olayın olasılığı hakkında çıkarsama yapılmak

istensin. Bu durumda

P (önceki olay|sonraki olay)

kullanılmalıdır.

Olaylar Zinciri ve Olasılık Ağaçları:

Olaylar birbiri ardına gerçekleştiğinde olasılığın hesaplanabilmesi için çarpım kuralı oldukça

kullanışlıdır.

Örnek: İçerisinde 4 adet beyaz ve 2 adet kırmızı top bulunan bir kutudan iki top iadesiz

olarak rastgele seçiliyor. Buna göre:

a) İkisinin de beyaz olması

b) İkinci topun kırmızı olması olasılıklarını bulunuz.

Çözüm:

Wi = “i-inci topun beyaz olması” ve Ri = “i-inci topun kırmızı olması” olsun.

a) 1121221 | WPWWPWWPWWP

6

41 WP ve

5

3| 12 WWP

Böylece P (her ikisinin de beyaz olması) = 5

2

6

4

5

321 WWP

b) P ( ikinci topun kırmızı olması) olasılığı araştırılmaktadır. Bu olasılık ilk çekilişte hangi

topun geldiği koşuluna dayandırılmadan bulunamaz.

“ikinci topun kırmızı gelmesi” olayı aslında 21212121 , RRRWRRRW ’dir.

Böylece,

P ( ikinci topun kırmızı olması) = 2121 RRPRWP (ayrık olaylar)

112112 || RPRRPWPWRP

6

4

5

2 +

6

2

5

1

3

1

Olasılık Ağaçları:

Çarpım kuralının grafiksel gösterimidir.

İlk çekiliş İkinci çekiliş

Koşullu olasılıklar dallara yazılır. Kesişimin olasılığını bulmak için olasılıklar çarpılır.

Örneğin: 5

3

6

421 WWP ya da

5

4

6

221 WRP

İki ya da daha fazla olay olması durumu:

321 AAAP ’ü bulmak için çarpım kuralı dikkatlice uygulanmalıdır:

213321 AAAPAAAP

21213 | AAPAAAP

112213 || APAAPAAAP

123121321 || AAAPAAPAPAAAP olduğu hatırlanarak olasılık ağacında

Bu durum n adet nAA ,...,1 olayı için genelleştirildiğinde,

1112312121 ||| AAAPAAAPAAPAPAAAP nnn elde edilir.

Örnek: İçerisinde w adet beyaz ve r adet kırmızı top bulunan bir kutudan iadesiz olarak 3 top

çekiliyor. Buna göre sırasıyla beyaz-kırmızı-beyaz top çekilme olasılığı nedir?

Çözüm:

123121321 || WRWPWRPWPWRWP

2

1

1 rw

w

rw

r

rw

w

1.6 BAĞIMSIZ OLAYLAR

Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesi olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp

çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. Eğer P[A/B] olasılığı B

olayına bağımlı değilse, diğer bir deyişle P[A/B]=P[A] ise A olayı B olayından bağımsızdır.

Tanım (Bağımsız Olaylar): Verilen bir (S, β, P[.]) olasılık uzayı için, A ve B olayları β

üzerinde tanımlı olsunlar. A ve B olayları, ancak ve ancak,

a. )B(P).A(P]BA[P

b. ),A(P]B/A[P P[B]>0 ise

c. ),B(P]A/B[P P[A]>0 ise

koşulları sağlanıyor ise bağımsız olaylardır.

İkiden fazla nAA ,...,1 olayları sadece

nn APAPAPAAAP ...... 2121

ise bağımsızdır ve bu tanımlanan olaylar içerisinden seçilen alt olaylar için de geçerlidir.

Yani 4321 ,,, AAAA olayları

i) jiji APAPAAP ji olmak üzere tüm i, j için

ii) kjikji APAPAPAAAP tüm birbirinden farklı i, j, k için

iii) 43214321 APAPAPAPAAAAP

ise bağımsızdır.

Teorem: Eğer A ve B olayları verilen bir (S, β, P[.]) olasılık uzayında tanımlı birbirinden

bağımsız olaylar iseler,

a. A ve Bc

b. Ac ve B

c. Ac ve Bc

olayları da birbirinden bağımsızdır.

İspat: Sadece a şıkkının ispatı yapılacaktır. Bu amaçla )B(P).A(P]BA[P cc olduğu

gösterilmelidir.

)BA(P)A(P]BA[P c

)B(P).A(P)A(P

))B(P1).(A(P

)B(P).A(P c

bulunur.

A ve B olaylarının bağımsızlık özelliği ile A ve B olaylarının ayrık olaylar olma özelliği

temelde ilişkili olmakla birlikte farklı özelliklerdir. Örneğin iki ayrık olay ancak ve ancak

0)B(P).A(P]BA[P ise bağımsızdırlar. Bu durum sadece A ya da B olaylarının

olasılıklarının sıfır olması durumunda gerçekleşir. Eğer P[A]≠0 ve P[B]≠0 ise A ve B

olaylarının bağımsız olmaları onların ayrık olaylar olmadıklarını belirtir. Bunun tersi de

söylenebilir A ve B ayrık olaylar ise bağımsız olaylar değildirler.

Keşisimin Olasılığının Hesaplanması İçin İstatistiksel Bağımsızlık:

Önceki bölümlerde BAP ’nin doğrudan hesaplanmasının zor olduğu belirtilmişti. Bu

durumda iki seçenek mevcuttur:

1. Eğer A ve B bağımsız ise

BPAPBAP

2. Eğer A ve B’nin bağımsız olup olmadıkları bilinmiyorsa, koşullu olasılık

ve çarpım kuralı kullanılır.

BPBAPBAP |

Bu yapının kullanılabilmesi için BAP | ’nin hesaplanabiliyor olması gerekir.

Not: Eğer olaylar fiziksel olarak bağımsız iseler istatistiksel olarak da bağımsızdırlar.

Önemli bir olasılık uzayı modeli tekrarlı bağımsız denemelerdir. Bu model bir zar atışı, para

atışı yada desteden kart çekme gibi olaylarda kullanılmaktadır. Aşağıdaki örnek bu konu ile

ilgilidir.

Örnek: İlk olarak bir zar daha sonra bir para atılmakta ve son olarak da desteden bir kart

çekilmektedir. Her bir deneme aşağıda verilen

A = Paranın tura gelmesi

B = Zarın 5 yada 6 gelmesi

C= Çekilen kartın sinek gelmesi

olayları oluşturmaktadır. Gerçekleştirilen her üç denemenin birbirinden bağımsız olduğu

varsayılsın. Diğer bir deyişle uygulanan bir deneyin sonucu bir diğer deneyin sonucunu

etkilememektedir. Bu durumda tüm mümkün durumların eşit olabilirliğe sahip olduğu kabul

edilebilir. Her bir deneme için mümkün durumların sayısı sırası ile 2, 6 ve 52’dir. Tüm

denemeler kümesi için mümkün durumların sayısı bu sayıların çarpılması ile bulunabilir. Bu

sonuç ileriki kısımda açıklanacak olan saymanın temel kuralı ile elde edilmiştir. Aynı kural A,

B, C, AB, AC, BC, ABC olaylarına ait durumların sayısını elde etmek için de

kullanılabilir:

52*6*1A , 52*2*2B , 13*6*2C

52*2*1BA , 13*6*1CA , 13*2*2CB

13*2*1 CBA

Elde edilen sayıların 52*6*2S ile bölünmesi ile

P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(C)=1/4

P(AB)=1/6, P(AC)=1/8, P(BC)=1/12

P(ABC)=1/24

Sonuçları bulunur. Sonuçlar incelendiğinde aşağıdaki eşitliklerin geçerli olduğu kolayca

doğrulanabilir:

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

Burada dikkat edilmesi gereken durum olaylar olduğu kadar deneylerin de bağımsız

olduğudur. Eğer P(AB)=P(A)P(B) özelliği sağlanıyor ise A ve B olayları birbirinden

bağımsızdır. Sonuç olarak bağımsızlık ifadesinin göreli olarak verilen olasılık ölçümüne

bağlı olduğu görülebilir.

Çiftlerli olarak bağımsızlık, ortak bağımsızlık anlamına gelmemektedir. Örneğin: bir

kavanozda bir adet kırmızı, bir adet beyaz, bir adet mavi ve bir adet de kırmızı-beyaz-mavi

olmak üzere 4 adet top bulunmaktadır.

A olayı = “topun üzerinde kırmızı olması”

B olayı = “topun üzerinde beyaz olması”

C olayı = “topun üzerinde mavi olması”

İki top A, B ve C olaylarını sağlamaktadır. Böylece 2

1

4

2AP ve

2

1 CPBP ’dir.

Çiftlerli bağımsızlık:

4

1 BAP ele alınsın.

4

1 BPAP ’tür. Dolayısıyla BPAPBAP ’dir. Aynı

şekilde CPAPCAP ve CPBPCBP ’dir. Böylece A, B ve C ikişerli

olarak bağımsızdır.

4

1 CBAP ele alınsın. CBAPCPBPAP

8

1

2

1

2

1

2

1 ’dir.

Dolayısıyla A, B ve C ikişerli olarak bağımsız olmalarına karşın ortak olarak bağımsız

değillerdir.