§15 行列式的性质

性质 1

性质 5 、性质 6

性质 2 、性质 3 、性质 4

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行列式的转置 将行列式 D 的行变为列后得到的行列式称为 D 的转置行列式 记为 DT

a11

a21

…an1

a12

a22

…an2

a1n

a2n

…ann

…………

D

a11

a12

…a1n

a21

a22

…a2n

an1

an2

…ann

…………

则 bijaji(i, j1, 2, , n)

则 DT

显然 如果

即

b11

b21

…bn1

b12

b22

…bn2

b1n

b2n

…bnn

…………

DT

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性质 1

行列式 D 与它的转置行列式 DT 相等 由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然

>>>

行列式的转置 将行列式 D 的行变为列后得到的行列式称为 D 的转置行列式 记为 DT

a11

a21

…an1

a12

a22

…an2

a1n

a2n

…ann

…………

D

a11

a12

…a1n

a21

a22

…a2n

an1

an2

…ann

…………

则 DT

即

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这是因为 把这两行互换 有 DD 故 D0

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性质 2

互换行列式的两行 行列式变号 •推论 如果行列式有两行 ( 列 ) 完全相同 则此行列式等于零

>>>

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•推论 行列式中某一行 ( 列 ) 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面

性质 2

互换行列式的两行 行列式变号 •推论 如果行列式有两行 ( 列 ) 完全相同 则此行列式等于零 性质 3

行列式的某一行 ( 列 ) 中所有的元素都乘以同一数 k 等于用数 k 乘此行列式>>>

性质 4

行列式中如果有两行 ( 列 ) 元素成比例 则行列式等于零 下页

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nnnn

inii

n

nnnn

inii

n

nnnn

ininiiii

n

aaa

bbb

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

bababa

aaa

21

21

11211

21

21

11211

21

2211

11211

性质 5 若行列式的某一行 ( 列 ) 的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 即

性质 6 把行列式的某一行 ( 列 ) 的各元素乘以同一数然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去 行列式不变 即

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

nnnn

jninjiji

n

aaa

kaakaakaa

aaa

21

2211

11211

下页

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在计算行列式时 , 可以使用如下记号以便检查 :

下页

符号规定

第 i 行 ( 或列 ) 提出公因子 k 记作 rik( 或 cik) 交换 i j 两行记作 rirj 交换 i j 两列记作 cicj

以数 k 乘第 j 行 ( 列 ) 加到第 i 行 ( 列 ) 上 记作 rikrj (ci

kcj)

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214 31 13 3

1 3 21

1 3 21

0 16 72

0 1

2 3

1 2

11

0 0 10 8

0 1

2 3

1 2

11

0 2 1 1

1 1 05

D

3 1 215 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3

例 1 计算

解

D

3 1 215 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3

35 2 1

c1c2

r2r1

r45r1

0

0

8

16

6 4 0 2 1 1

72 0 8 6 4

r2r3

0 0 10 8 0 0 1510

r34r2

r48r2 0 0 5/2 0

34 45 rr

40

下页

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6

1 1 1 1

例 2 计算

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 1 3

1 1 3 1

D

D

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 1 3

1 1 3 1

D

D 解

c1c2c3c4 6 6 6 6

1 3 1 1

1 1 1 3

1 1 3 1

6

c16

1 1 1 1

1 3 1 1

1 1 1 3

1 1 3 1

r2r1

r4r1

r3r1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0

6848

下页

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D

例 3 计算 dcbacbabaa

dcbacbabaadcbacbabaa

dcba

D

3610363234232

解

r4r3r3r2

r2r1

a b c d0 a ab abc0 a 2ab 3a2bc0 a 3ab 6a3bca b c d0 a ab abc0 0 a 2ab0 0 a 3ab

r4r3r3r2

a b c d0 a ab abc0 0 a 2ab0 0 a a

r4r3 a4

下页

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对 D1 作运算 rikrj 把D1 化为下三角形行列式 设为 证

nnn

n

nkn

k

kkk

k

bb

bb

cc

ccaa

aa

D

1

111

1

111

1

111

00

00

kkk

k

aa

aaD

1

111

1

nnn

n

bb

bbD

1

111

2

例 4 证明 DD1D2 其中

对 D2 作运算 cikcj 把 D2

化为下三角形行列式 设为

kk

kkk

pppp

pD

011

1

11

1

nn

nnn

qqqq

qD

011

1

11

2

于是 对 D 的前 k 行作运算rikrj 再对后 n 列作运算 cikcj

把 D 化为下三角形行列式

nnnnkn

k

kkk

qq

q

cc

ccpp

p

D

1

11

1

111

1

11

000

0 00

故 Dp11 pkk q11 qnnD

1D2 下页

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把 D2n 中的第 2n 行依次与 2n1 行、、第 2

行 对 调 ( 作 2n2 次 相 邻 对换 ) 再把第 2n 列依次与 2n

1 列、、第 2 列对调 得

d

d

c

cb

b

a

adcba

D nn

)22(22 )1(

根据例 4 的结果 有 D2nD2D2(n1)

(adbc)D2(n1)

以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2)

(adbc)n1D2

(adbc)n

解

例 5 计算 2n 阶行列式

d

d

c

cb

b

a

a

Dn

2

其中未写出的元素为 0

结束