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目 次
第 1 章 行 列 式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 行列式的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 二阶行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 三阶行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 n 阶行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 行列式的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 行列式的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 降阶法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 归纳法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 化三角法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 行列式的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
第 2 章 矩 阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1 矩阵的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 矩阵的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 几类特殊的矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 矩阵的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 矩阵的加法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 线 性 代 数
2.2.2 矩阵的数量乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 矩阵的乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 矩阵的转置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.5 方阵的行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 矩阵的分块 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 分块矩阵的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 分块矩阵的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 逆矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1 逆矩阵的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2 可逆矩阵的判断与逆矩阵的求法 . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.3 逆矩阵的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 矩阵的初等变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.1 矩阵的初等行变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.2 矩阵的初等变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.3 初等矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6 矩阵的秩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6.1 矩阵的秩的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6.2 矩阵的秩的求法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
第 3 章 线性方程组与向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1 线性方程组的消元法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.1 一般线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.2 齐次线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 矩阵方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.1 矩阵方程 AAAXXX =BBB 的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.2 一类特殊的矩阵方程 AAAXXX =BBB . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
目 次 3
3.2.3 求逆矩阵的初等变换法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3 向量组及其线性组合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.1 向量及其线性运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.2 向量组及其线性组合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.3 向量组间的线性表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4 向量组的线性相关性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.1 向量组的线性相关的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.2 向量组的线性相关性的判别方法 . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5 向量组的秩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.1 向量组的极大无关组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.2 向量组的秩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.6 齐次线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.6.1 齐次线性方程组解的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6.2 齐次线性方程组的基础解系及其求法 . . . . . . . . . . . . . 123
3.7 非齐次线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.7.1 非齐次线性方程组解的性质与结构 . . . . . . . . . . . . . . 134
3.7.2 非齐次线性方程组的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8 向量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.8.1 向量空间与子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.8.2 向量空间的基与维数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.8.3 向量的坐标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.8.4 基变换与坐标变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.9 正交向量组与正交矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.9.1 向量的内积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.9.2 向量的长度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4 线 性 代 数
3.9.3 正交向量组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.9.4 正交矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.9.5 规范正交基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.1 矩阵的特征值与特征向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.1.1 特征值与特征向量的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.1.2 特征值与特征向量的求法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.1.3 特征值与特征向量的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.2 矩阵的相似对角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.2.1 相似矩阵的概念与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.2.2 矩阵的相似对角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.3 对称矩阵的相似对角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3.1 对称矩阵的特征值与特征向量的性质 . . . . . . . . . . . . . 179
4.3.2 对称矩阵的相似对角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
第 5 章 二 次 型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1 二次型及其矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1.1 二次型的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1.2 二次型的矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.1.3 矩阵的合同 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.2 标准形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2.1 用可逆变换化二次型为标准形 . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2.2 用正交变换化二次型为标准形 . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.3 正定二次型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3.1 正定二次型的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3.2 正定二次型的判别方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
目 次 5
参 考 文 献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
第 1章 行 列 式
管理科学与工程技术等领域的很多实际问题都可以归结为解一个线性方程组
的问题. 在中学里我们学过用消元法解二元及三元线性方程组. 一般的线性方程
组如何求解? 这一章讨论一类特殊线性方程组的求解, 所用工具是行列式. 一般
的线性方程组将在第 3 章中讨论.
行列式是重要的数学工具和概念之一, 它来源于解线性方程组. 在矩阵、线
性方程组、向量、二次型中都需要用到行列式. 行列式在数学、工程技术、经济
学及管理科学等众多领域也有广泛的应用. 本章首先从求二元及三元线性方程组
的解引入二阶及三阶行列式的概念, 然后利用归纳法引入 n 阶行列式的概念. 接
着讨论行列式的性质及其计算方法. 最后介绍用 n 阶行列式求解 n 元线性方程
组的克拉默 (Cramer) 法则.
除特殊说明, 本书所涉及的数都是实数.
1.1 行列式的概念
本节首先从求二元及三元线性方程组的解引入二阶及三阶行列式的概念, 然
后利用归纳法引入 n 阶行列式的概念.
2 线 性 代 数
1.1.1 二阶行列式
在中学里我们学过用加减消元法解二元线性方程组. 对于二元线性方程组{a11x1+a12x2 = b1,
a21x1+a22x2 = b2,(1)
a22 乘以第一个方程, a12 乘以第二个方程, 然后将两式相减, 消去 x2, 得
(a11a22−a12a21)x1 = b1a22−a12b2.
类似地, a21 乘以第一个方程, a11 乘以第二个方程, 然后将两式相减, 消去
x1, 得
(a11a22−a12a21)x2 = a11b2− b1a21.
因此当 a11a22−a12a21 ̸= 0 时, 方程组 (1) 有唯一解:
x1 =b1a22−a12b2a11a22−a12a21
, x2 =a11b2− b1a21a11a22−a12a21
. (2)
我们发现, 公式 (2) 中两个分式的分母都是 a11a22−a12a21. 把这些未知量的
系数按照在方程组 (1) 中的位置排成一个正方形:
a11 a12
a21 a22,
在正方形四个数的两侧各画一条竖线, 得到符号∣∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣ ,规定它等于 a11a22−a12a21, 并称为二阶行列式, 即下列的
定义 1 由 4 个数 aij(i, j = 1,2) 组成的二阶行列式 (determinant)∣∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣= a11a22−a12a21,
第 1 章 行 列 式 3
其中 aij(i= 1,2;j = 1,2) 称为行列式的元素，横排称为行, 纵排称为列.
图 1 所示的对角线法则: 图中有一条实线 (主对角线, 即从左上角到右下角
这条对角线), 一条虚线 (次对角线, 即从右上角到左下角这条对角线), 实线上两
元素的乘积冠正号, 虚线上两元素的乘积冠负号.
a11 a12
a21 a22
图 1
例如, ∣∣∣∣∣ 1 2
3 4
∣∣∣∣∣= 1×4−2×3 =−2.
按照二阶行列式的定义, 式 (2) 中分母都是二阶行列式
a11a22−a12a21 =
∣∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣ ,而两个分子分别是
b1a22−a12b2 =
∣∣∣∣∣ b1 a12
b2 a22
∣∣∣∣∣ ,a11b2− b1a21 =
∣∣∣∣∣ a11 b1
a21 b2
∣∣∣∣∣ .令
D =
∣∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣ , D1 =
∣∣∣∣∣ b1 a12
b2 a22
∣∣∣∣∣ , D2 =
∣∣∣∣∣ a11 b1
a21 b2
∣∣∣∣∣ .容易看出, D1 是 D 的第 1 列换成 b1, b2 而第 2 列不变所得到的行列式, D2 是 D
的第 2 列换成 b1, b2 而第 1 列不变所得到的行列式.
当 D ̸= 0 时, 方程组 (1) 的唯一解可改写为
x1 =D1
D, x2 =
D2
D.
4 线 性 代 数
1.1.2 三阶行列式
解三元线性方程组 a11x1+a12x2+a13x3 = b1,
a21x1+a22x2+a23x3 = b2,
a31x1+a32x2+a33x3 = b3.
(3)
从方程组 (3) 的前两个方程中消去 x3, 后两个方程中消去 x3, 再从所得到的两个
方程中消去 x2, 得到
(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31)x1
= b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32− b1a23a32−a12b2a33−a13a22b3.
若
D = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31 ̸= 0,
则
x1 =1
D(b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32− b1a23a32−a12b2a33−a13a22b3).
同样, 得到
x2 =1
D(a11b2a33+ b1a23a31+a13a21b3−a11a23b3− b1a21a33−a13b2a31),
x3 =1
D(a11a22b3+a12b2a31+ b1a21a32−a11b2a32−a12a21b3− b1a22a31).
我们发现, 上述 x1,x2,x3 的表达式中三个分式的分母都是 D. 把这些未知量的系
数按照在方程组 (3) 中的位置排成一个正方形:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
第 1 章 行 列 式 5
在这些正方形数的两侧各画一条竖线, 得到符号∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,规定它等于
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31,
并称之为三阶行列式, 即下列的
定义 2 由 9 个数 aij(i, j = 1,2,3) 组成的三阶行列式∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
图 2 所示的对角线法则: 图中有三条实线看作是平行于主对角线 (从左上角
到右下角这条对角线) 的连线, 三条虚线看作是平行于次对角线 (从右上角到左
下角这条对角线) 的连线, 实线上三元素的乘积冠正号, 虚线上三元素的乘积冠
负号.
a11
a21a31
a12
a22a32
a13
a23a33
图 2
例如, 三阶行列式∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
3 2 1
2 3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣= 1×2×5+2×1×2+3×3×3
6 线 性 代 数
−1×1×3−2×3×5−3×2×2
=−4.
引入三阶行列式后, 上述 x1,x2,x3 的表达式中分母都是三阶行列式
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,而分子分别是行列式
D1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
D2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
D3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
∣∣∣∣∣∣∣∣ .容易看出, Di 是 D 的第 i 列换成 b1, b2, b3 而其余两列不变所得到的行列式,
i= 1,2, 3. 当 D ̸= 0 时, 方程组 (3) 的解可改写为
x1 =D1
D, x2 =
D2
D, x3 =
D3
D.
1.1.3 n阶行列式
有了二阶和三阶行列式的概念, 线性方程组 (1) 与 (3) 的解就可以分别用二
阶和三阶行列式简捷地表示出来. 在这一章中我们将把这个结果推广到 n 元线性
第 1 章 行 列 式 7
方程组 a11x1+a12x2+ · · ·+a1nxn = b1,
a21x1+a22x2+ · · ·+a2nxn = b2,...
an1x1+an2x2+ · · ·+annxn = bn.
这里遇到的问题是如何定义 n 阶行列式. 为此, 先考察二阶和三阶行列式, 找出
内在的联系, 然后根据这些联系定义 n 阶行列式.
先考察二阶行列式. 首先规定一阶行列式∣∣∣ a11 ∣∣∣= a11.
注意一阶行列式与数的绝对值的区别. 因此
D =
∣∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣= a11a22−a12a21 = a11|a22|−a12|a21|.
令
M11 = |a22|, M12 = |a21|.
注意到, M1j 是 D 中划去元素 a1j 所在的第 1 行和第 j 列后余下的 1 个元
素构成的 1 阶行列式, 其中 j = 1,2. 则
D = a11M11−a12M12.
上式右边第 1 项前面是正号, 而第 2 项前面是负号. 为了使每一项前面都是正号,
注意到
D = a11 · (−1)1+1M11+a12 · (−1)1+2M12.
令
A11 = (−1)1+1M11, A12 = (−1)1+2M12.
则
D = a11A11+a12A12.
8 线 性 代 数
注意到, 上式右边的 2 个数 a11,a12 是 D 的第一行. 因此二阶行列式可以由
一阶行列式表示.
例如, ∣∣∣∣∣ 1 2
3 4
∣∣∣∣∣= 1A11+2A12 = 1(−1)1+1M11+2(−1)1+2M12
= 1×|4|−2×|3|=−2.
接下来考察三阶行列式
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
= a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)
= a11
∣∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣∣−a12
∣∣∣∣∣ a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣∣+a13
∣∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣∣ .令
M11 =
∣∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣∣ , M12 =
∣∣∣∣∣ a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣∣ , M13 =
∣∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣∣ .注意到, M1j 是 D 中划去元素 a1j 所在的第 1 行和第 j 列后余下的 4 个元
素按照在 D 中原来的位置构成的二阶行列式, 其中 j = 1,2,3. 则
D = a11M11−a12M12+a13M13.
上式右边第 2 项前面是负号, 其余两项是正号. 为了使每一项前面都是正号, 注
意到
D = a11 · (−1)1+1M11+a12 · (−1)1+2M12+a13(−1)1+3M13.
令
A11 = (−1)1+1M11, A12 = (−1)1+2M12, A13 = (−1)1+3M13.
第 1 章 行 列 式 9
则
D = a11A11+a12A12+a13A13.
注意到, 上式右边的 3 个数 a11,a12,a13 是 D 的第一行. 因此三阶行列式可
以由二阶行列式表示.
例如, 三阶行列式∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
3 2 1
2 3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣= 1A11+2A12+3A13
= 1(−1)1+1M11+2(−1)1+2M12+3(−1)1+3M13
=
∣∣∣∣∣ 2 1
3 5
∣∣∣∣∣−2
∣∣∣∣∣ 3 1
2 5
∣∣∣∣∣+3
∣∣∣∣∣ 3 2
2 3
∣∣∣∣∣= 7−2×13+3×5
=−4.
现在根据二阶和三阶行列式的规则, 用归纳法定义 n 阶行列式.
定义 3 由 n2(n> 2) 个数 aij(i, j = 1,2, · · · ,n) 组成的n阶行列式
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11A11+a12A12+ · · ·+a1nA1n,
其中
A1j = (−1)1+jM1j ,
而 M1j 是 D 中划去元素 a1j 所在的第 1 行和第 j 列后余下的 (n−1)2 个元素按
照在 D 中原来的位置构成的 n−1 阶行列式, 其中 j = 1,2, · · · ,n.
10 线 性 代 数
例如, 4 阶行列式∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0A11+1A12+2A13+3A14
=−1M12+2M13−3M14
=−
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 0
2 0 1
3 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣+2
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0
2 3 1
3 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣−3
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
2 3 0
3 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)× (−4)+2×4−3× (−28)
= 96.
至于上述 3 个三阶行列式既可以按对角线法则计算, 又可以按第 1 行展开计算.
注 1. 这里用归纳法给出行列式的定义, 即先引入二阶及三阶行列式的定义,
再按照行列式按第 1 行展开, 利用归纳法给出 n 阶行列式的定义. 现行的国内外
线性代数教材有的是利用排列逆序数法或公理法给出行列式的定义.
2. 行列式是一个数, 所用符号是两条竖线 “| |”.
3. 对角线法则只适应于二阶与三阶行列式.
4. 根据行列的定义, 行列式是按第 1 行展开的. 下一节将介绍的行列式性质
1 与性质 6 表明, 行列式可以按任意行 (列) 展开.
第 1 章 行 列 式 11
习 题
1. 填空题
(1)∣∣∣∣∣ 1 1
a b
∣∣∣∣∣= . (2)
∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1
1 0 1
1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣= .
(3)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0
0 2 0
0 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣= .
2. 计算 4 阶行列式 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 2
0 1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
1.2 行列式的性质
用行列式的定义计算行列式, 计算量一般是比较大的. 因为按这一定义计算
一个 n 阶行列式要计算 n 个 n−1 阶行列式. 为了介绍行列式的计算方法, 首先
讨论行列式的性质, 这些性质是奇妙而有趣的结果, 它们在行列式的计算中起着
十分重要的作用. 这些性质这里就不证明了.
根据行列式的定义, 行列式是按第 1 行展开的. 为了说明行列式可以按任意
行展开的, 先引入余子式和代数余子式的概念.
定义 在 n 阶行列式中划去元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列后余下的
(n− 1)2 个元素按照原来的位置构成的 n− 1 阶行列式称为元素 aij 的余子式
(cofactor), 记为 Mij . 令
Aij = (−1)i+jMij .
12 线 性 代 数
称 Aij 为元素 aij 的代数余子式 (algebraic cofactor).
元素 aij 的余子式 Mij 和代数余子式 Aij 都与这个行列式的第 i 行与第 j
列元素无关, 只与元素所在行列式的位置有关.
例如, 4 阶行列式 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣中元素 a32 = 3 的余子式和代数余子式分别是
M32 =
∣∣∣∣∣∣∣∣0 2 3
1 3 0
3 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣=−28,A32 = (−1)3+2M32 =−M32 = 28.
性质 1 (行列式按行展开公式) 行列式等于它的任一行的元素与这一行的对应元素的代数余子式乘积的和, 即
D = ai1Ai1+ai2Ai2+ · · ·+ainAin, i= 1,2, · · · ,n.
例如, 行列式 D =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
3 2 1
2 3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ 按第 2 行展开, 得
D = 3× (−1)2+1
∣∣∣∣∣ 2 3
3 5
∣∣∣∣∣+2× (−1)2+2
∣∣∣∣∣ 1 3
2 5
∣∣∣∣∣+1× (−1)2+3
∣∣∣∣∣ 1 2
2 3
∣∣∣∣∣=−3−2+1 =−4.
性质 2 (只有一行不同的两个行列式相加的规则) 只有一行不同的两个行列
第 1 章 行 列 式 13
式相加等于这一行的两组数相加而其余行都与原行列式相同所得到的行列式, 即
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n...
...bi1 · · · bin...
...an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n...
...ci1 · · · cin...
...an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n...
...bi1+ ci1 · · · bin+ cin
......
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,
即, 若行列式某一行的每个元素都是两个数的和, 则此行列式是两个行列式的和,
而这两个行列式的这一行分别是这两组数, 其余行都与原行列式相同, 即
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n...
...bi1+ ci1 · · · bin+ cin
......
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n...
...bi1 · · · bin...
...an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1n...
...ci1 · · · cin...
...an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
例如,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
3 2 1
1+1 1+2 2+3
∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
3 2 1
1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
3 2 1
1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣=−4+0 =−4.
性质 3 一个数乘行列式等于这个数乘这个行列式的一行的元素, 即
k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
kai1 kai2 · · · kain...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,
14 线 性 代 数
即, 一个数乘行列式的一行等于这个数乘这个行列式, 即
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
kai1 kai2 · · · kain...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
例如, ∣∣∣∣∣ 5×1 5×2
3 4
∣∣∣∣∣= 5
∣∣∣∣∣ 1 2
3 4
∣∣∣∣∣ .性质 4 交换行列式的两行, 行列式变号.
例如, ∣∣∣∣∣ 1 2
3 4
∣∣∣∣∣=−∣∣∣∣∣ 3 4
1 2
∣∣∣∣∣ .由性质 4, 可得下列的
推论 1 两行相同的行列式等于零.
事实上, 因为把行列式 D 中相同的两行交换, 行列式不变, 但由性质 4, 知它
们又应当反号, 所以 D =−D, 即 2D = 0. 故 D = 0.
由性质 3 和推论 1, 可得
推论 2 两行成比例的行列式等于零.
推论 3 行列式中一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积的和等
于零, 即
ai1Aj1+ai2Aj2+ · · ·+ainAjn = 0, i ̸= j.
证明 把行列式 D 的第 j 行换成 D 的第 i 行 (i ̸= j), 而其余各行不动得到
第 1 章 行 列 式 15
行列式 D1, 即
D1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
......
ai1 ai2 · · · ain...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
←第 i 行
←第 j 行
由于 D1 有两行相同, 故 D1 = 0. 将 D1 按第 j 行展开, 由于 D1 中第 j 行各元素
的代数余子式是原行列式 D 中第 j 行各元素的代数余子式, 故
D1 = ai1Aj1+ai2Aj2+ · · ·+ainAjn = 0, i ̸= j.
证毕.
性质 5 一个数乘行列式的一行加到另一行上, 行列式不变, 即∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
......
aj1 aj2 · · · ajn...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
......
aj1+kai1 aj2+kai2 · · · ajn+kain...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
例如, 2 乘行列式 D =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
3 2 1
2 3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ 的第 1 行加到第 2 行上, 得
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
3+2 2+4 1+6
2 3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
5 6 7
2 3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
