第 23　圆的有关性质

1. 了解：圆的定义及其有关概念 , 圆心角和圆周角的概念 .2. 理解：圆的轴对称性和中心对称性 .3. 掌握：垂径定理及其推论 , 圆周角定理及其推论 .4. 会：运用垂径定理及其推论和圆心角所对的弦、弧之间的关系定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题 .5. 能：用垂径定理及圆周角的性质解决与圆有关的分类问题 .

圆的有关性质1. 圆的对称性：圆既是轴对称图形 , 又是中心对称图形 .2. 垂直于弦的直径的性质及其推论：(1) 定理：垂直于弦的直径 ___________, 并且平分这条弦所对的两条弧 .(2) 推论：平分弦 ( 不是直径 ) 的直径 _____ 于弦 , 并且平分弦所对的 _______.

平分这条弦

垂直两条弧

3. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同一个圆中 , 如果圆心角相等 , 那么它们所对的弧相等 , 所对的弦也相等 .4. 圆周角定理及其推论：(1) 定理：在同圆或等圆中 , 同弧或等弧所对的圆周角 _____,都等于这条弧所对的圆心角的 _____.

相等一半

(2) 推论：半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 _____,90° 的圆周角所对的弦是直径 .5. 三角形的外心：外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离 _____.

直角

相等

1. 有下列四个命题：①直径是弦 ;② 经过三个点一定可以作圆 ;③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 ;④ 半径相等的两个半圆是等弧 . 其中正确的有　 ( )A.4 个　　　 B.3 个　　　 C.2 个　　　 D.1 个

B

2.如图 ,△ABC内接于☉ O,∠A=40°,则∠ BOC 　的度数为 ( )

A.20° B.40° C.60° D.80°3.若☉ O的半径为 5,弦 AB的弦心距为 3,则 AB=__.

D

8

4.等边三角形的边长为 6,则其外接圆的半径为 ____.5.如图 ,已知☉ O的半径是 6cm,弦 CB=6 cm,OD⊥BC,垂足为D,则∠ COB=_____.

2 3

120°

3

　　热点考向一  圆心角与圆周角【例 1】 (1)(2012·湘潭中考 )如图 ,在☉ O中 ,弦 AB∥CD,若∠ ABC=40°,则∠ BOD=( 　 　 )A.20° 　 　 　 　 B.40°C.50° D.80°

(2)(2013· 娄底中考 ) 如图 , 将直角三角板 60° 角的顶点放在圆心 O 上 ,斜边和一直角边分别与☉ O 相交于 A,B 两点 ,P 是优弧 AB 上任意一点 ( 与 A,B不重合 ), 则∠ APB= 　　　　 .

【思路点拨】 (1) 先根据平行线的性质求出∠ BCD, 再根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系求出∠ BOD.(2)∠AOB 和∠ APB 为同弧所对的圆心角和圆周角 ,先找出∠ AOB 的度数 ,再求∠ APB.

【自主解答】 (1) 选 D.∵弦 AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°.(2) 根据同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半 ,则∠ APB=30°.答案： 30°

【名师助学】圆中的“转化思想”1.在圆中有“直径”这一条件时 ,要考虑到直径所对的圆周角是直角 ,有时需要添加辅助线构造直径所对的圆周角 ,由此转化为直角三角形的问题 .

2. 与圆有关的求角的大小、线段的长度时 ,要灵活运用两个转化：(1)“弧、弦与圆周角”之间的“等对等”转化 ,即同弧转化为相等的圆周角 ,相等的圆周角转化为等弧 ,等弧转化为等弦等 .(2) 圆心角和圆周角之间的倍分转化 .

　　热点考向二  垂径定理【例 2】 (1)(2013·张家界中考 )如图 ,☉O的直径 AB⊥弦CD,且∠ BAC=40°,则∠ BOD=_________.

(2)(2013· 邵阳中考 ) 如图所示 , 某窗户由矩形和弓形组成 ,已知弓形的跨度 AB=3m, 弓形的高 EF=1m, 现计划安装玻璃 ,请帮工程师求出弧 AB 所在圆 O 的半径 .

【思路点拨】 (1) 由垂径定理知 ，由弧的关系找∠BAC 和∠ BOD 的关系，求出∠ BOD.(2) 先由垂径定理求出 BF，在 Rt△OBF 中，设圆 O的半径为x m ，用含 x的代数式表示出 OF，再用勾股定理列方程，解方程，求出弧 AB所在圆 O的半径 .

BC BD

【自主解答】 (1)∵⊙O的直径 AB与弦 CD 垂直，∴ ,∴∠BOD=2∠BAC=80°.答案： 80°(2) 由垂径定理得 BF= AB=1.5 m ， OE⊥AB ，设圆 O半径为x m ，则 OF=(x-1)m. 在 Rt△OBF 中，根据勾股定理得x2=1.52+(x-1)2, 解得 x=1.625 ，即圆 O的半径是 1.625 m.

BC BD

12

【名师助学】垂径定理的应用1. 垂径定理及其推论是证线段相等、角相等、垂直关系的重要依据 ,应用时要注意：垂径定理的推论“平分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦 ,并且平分弦所对的两条弧” ,一定要强调“弦不是直径” .2. 利用垂径定理解决问题时 ,常常作圆心到弦的垂线段这一辅助线 ,把问题转化到半径、弦长的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中 ,从而建立了已知量和未知量之间的关系 .

　　热点考向三  三角形的外接圆【例 3】 (1)(2012·鄂州中考 )如图 ,OA=OB=OC且∠ ACB=30°,则∠ AOB的大小是 ( 　 　 )A.40° 　 　 　 B.50°C.60° D.70°(2)(2012·资阳中考 )直角三角形的两边长分别为 16和 12,则此三角形的外接圆半径是 ________.

【解题探究】 (1)①由 OA=OB=OC,可得点 A,B,C有什么特殊的位置关系 ?提示：点 A,B,C 在同一圆上 .②∠ACB与∠ AOB有什么位置关系与数量关系 ?提示：∠ ACB 与∠ AOB 是同圆中同弧所对的圆周角与圆心角 ,∠AOB=2∠ACB.

(2)①直角三角形的两边长分别为 16和 12,一定是两直角边吗 ?可有几种情况 ?提示：不一定 ,可分两种情况：情况一、 16 和 12 都为直角边长 ;情况二、 12 为直角边长 ,16 为斜边长 .②在直角三角形中怎样求外接圆的半径 ?提示：直角三角形的斜边即为外接圆的直径 ,所以由勾股定理求出直角三角形的斜边即可 .

【尝试解答】 (1) 选 C. 根据题意 ,可以以点 O为圆心 ,以 OA为半径作圆 ,如图 ,则有点 A,B,C 均在圆周上 ,故有∠ AOB=2∠ACB=60°.

(2) 当已知的两边长分别为 16 和 12 的边为直角边时求得斜边为 20, 此时直角三角形的外接圆半径是 10. 当斜边长为 16时 ,此时直角三角形的外接圆半径是 8.所以三角形的外接圆半径是 10或 8.答案： 10或 8

【名师助学】三角形外心的三种位置1.锐角三角形的外心在三角形的内部 .2. 直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点 .3. 钝角三角形的外心在三角形的外部 .

圆中的分类讨论【典例】 (2012·襄阳中考 )△ABC是☉ O的内接三角形 ,若∠ AOC=160°,则∠ ABC的度数是 ( 　 　 )A.80° 　 　 B.160° 　 　 C.100° 　 　 D.80°或 100°

解：如图，圆心 O 在△ ABC 的内部 ………… ① ………… ② 故应选 A 。

1 1ABC AOC 160 80 .2 2

【纠错路径】1. 找错：画出的图形仅考虑了圆心 O 在△ ABC 内部的情形 , 因此错解从第 ___ 步出现错误 .2. 错因： ________________________________________________________________________________________________________________3._____________________________________

思考不周 , 犯了以偏概全的错误 . 符合要求的圆心 O可能在三角形的内部 , 也可能在三角形的外部 . 因此 , 本题应分两种情况讨论 .纠错：选 D. 当圆心 O 在△ ABC 内部时 , 如

图 .

①

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 1ABC AOC 160 80 .2 2

当圆心 O 在△ AB′C 外部时，如图 .∵ 四边形 ABCB′ 内接于⊙ O ，∴∠AB′C ＋∠ ABC ＝ 180°.∠AB′C ＝ 180° － 80° ＝ 100°.

综上，∠ ABC 的度数是 80° 或 100°.

【学以致用】(2012·绥化中考 )已知☉ O为△ ABC的外接圆 ,∠BOC=100°,则∠ A= 　 　 　 　 　 .【解析】如图 ,当圆心 O在△ ABC 内部时 ,∠A= ∠BOC= ×100°=50°. 当圆心 O在△A'BC 外部时 ,∵A,B,A',C 四点共圆 ,

12

12

∴∠A+∠A'=180°,∴∠A'=180°-50°=130°.答案： 50° 或 130°