Калкулус1-теорија ЦЕЛ МАТЕРИЈАЛ

Материјали за теоретскиот испит по Калкулус 1

Дополнителни часови по Калкулус 1 070 255-791/[email protected]

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Контакт: 070 255-791/[email protected] Page 2

Прв колоквиум

1. Дефиниција на функција

Деф. Ако променливата у зависи од променливата х, така што на секоја вредност на х и одговара единствена вредност на у, велиме дека у е функција од х. Деф. Функција е правило кое на секој влез х придружува единствен излез у. Деф. Нека множеството D c R. Функција f од D во R е пресликување на множеството D во множеството R, така што на секој 푥 ∈ 푅 му се придружува единствен реален број у. Со ова е зададена реална функција од една реална променлива. 푓:퐷 → 푅 D – домен/дефинициона област на функција

R – ранг/ кодомен/ опсег/ множество вредности на функција

푦 = 푓(푥) х – независна променлива У – зависна променлива

Доколку доменот на функцијата не е експлицитно наведен, се смета дека доменот на функцијата се состои од сите вредности на х за кои у прима реална вредност. Овој домен се нарекува природен домен на функцијата. Деф. Две функции 푓(푥) и 푔(푥) се еднакви ако имаат исти домени 퐷 = 퐷 = 퐷, имаат исти ранг 푉 = 푉 и ако ∀푥 ∈ 퐷 => 푓(푥) = 푔(푥) Начини на претставување на функција:

Бројно – со табела • Описно Геометриски – со график • Алгебарски – со формула

Тест со вертикални прави: Некоја крива е график на некоја функција, ако секоја вертикална права ја сече кривата во најмногу една точка. Експлицитно зададени функции: Една функција е зададена експлицитно доколку формулата со која е зададена функцијата се менува во зависност од делот од доменот на кој припаѓа х.

Пр. 푓(푥) =0,푥 ≤ −1

√1− 푥 ,− 1 ≤ 푥 ≤ 1푥,푥 ≥ 1

Апсолутна вредност на реален број

|푥| = 푥,푥 ≥ 0−푥,푥 < 0

Својства на апсолутната вредност 1. –푎 = |푎| 2. |푎푏| = |푎||푏| 3. | |=| |

| |,푏 ≠ 0

4. |푎 + 푏| ≤ |푎| + |푏| Правило на триаголник

5. √푥 = |푥| !!!



2. Добивање нови функции од стари

Аритметички операции со функции Деф. Нека се зададени функциите 푓(푥)и푔(푥) на домените 퐷 и퐷 соодветно. Тогаш следи дека на 퐷 = 퐷 ∩ 퐷 постојат на следните функции:

1. (푓 + 푔)(푥) = 푓(푥) + 푔(푥) 2. (푓 − 푔)(푥) = 푓(푥) − 푔(푥) 3. (푓 ∙ 푔)(푥) = 푓(푥) ∙ 푔(푥) 4. (푥) = ( )

( ),푔(푥) ≠ 0

Композиција на функциите 푓и푔 е функција која се дефинира на следниот начин:

Композиција на 푓од푔 (푓°푔)(푥) = 푓 푔(푥) ,퐷 ° = 푥 ∈ 퐷 푔(푥) ∈ 퐷 }

Композиција на gод푓 (푔°푓)(푥) = 푔 푓(푥) ,퐷 ° = 푥 ∈ 퐷 푓(푥) ∈ 퐷 }

(푓°푔)(푥) ≠ (푔°푓)(푥)

Транслација 푦 = 푓(푥) + 푐 - поместување по у оска за с единици нагоре 푦 = 푓(푥) − 푐 - поместување по у оска за с единици надоле

푦 = 푓(푥 + 푐) -поместување по x оска за с единици лево 푦 = 푓(푥 − 푐) -поместување по x оска за с единици десно Рефлексија

푦 = 푓(−푥) - рефлексија во однос на у-оска 푦 = −푓(푥) - рефлексија во однос на х-оска



Развлекување и компресија 푦 = 푐푓(푥) 푐 > 1 - развлекува вертикално за с

0 < 푐 < 1 - компресира вертикално за c 푦 = 푓(푐푥)

푐 > 1 - компресира по х-оска за с 0 < 푐 < 1 - растегнува по х-оска за c Симетричност и парност

Симетричност во однос на х-оска: Кривата е симетрична во однос на х-оската ако за секоја точка (х,у) од кривата важи дека и точката (х, -у) припаѓа на кривата. Оваа крива не претставува график на функција, бидејќи нема да го помине тестот со вертикални прави

Симетричност во однос на у-оска: Графикот на функцијата е симетричен во однос на у-оската ако за секоја точка (х,у) од графикот, важи дека и точката (-х, у) припаѓа на графикот. Овие функции за кои важи 푓(−푥) = 푓(푥) се нарекуват парни функции.

Симетричност во однос на координатен почеток: Графикот на функцијата е симетричен во однос на координатниот почеток ако за секоја точка (х,у) од графикот, важи дека и точката (-х,-у) припаѓа на графикот. Овие функции за кои важи 푓(−푥) = −푓(푥) се нарекуват непарни функции.



3. Фамилии функции Фамилии криви Параметри се константи во формулата на функцијата кои може да се меенуваат, при што се добиваат фамилии криви.

Функции со степен 풚 = 풙풑

1. P ∈ 푵,풑 > 0 => 풚 = 풙풑 p – парен број

o Функциите се парни – симетрични во однос на у-оска o Нивниот график поминува низ точките (0,0), (1,1), (-

1,1) o Сите графици се слични на графикот на 푦 = 푥

p-непарен број o Функциите се непарни – симетрични во однос на

координатниот почеток o Нивниот график поминува низ точките (0,0), (1,1), (-1,-1) o Сите графици се слични на графикот на 푦 = 푥

푦 = 푚푥 + 푏 m –фиксно, b – се менува

푦 = 푚푥 + 푏 b –фиксно, m – се менува

푓(푥) = 푐 c – се менува



2. 풑 ∈ 푵, 풑 > 0 => 푦 = 풙 풑 = ퟏ풙풑

o Дефинициона област: 푥 ∈ 푅\{0} o Во х=0 има прекин, бидејќи = ∞

p-парен број

o Функциите се парни – симетрични во однос на у-оска o Нивниот график поминува низ точките (1,1), (-1,1) o Сите графици се слични на графикот на 푦 =

p-непарен број

o Функциите се парни – симетрични во однос на координатниот почеток

o Нивниот график поминува низ точките (1,1), (-1,-1) o Сите графици се слични на графикот на 푦 =

Функции со степен реален број 풑 ∈ 푵, 풑 = ퟏ풏=> 푦 = 풙풑 = 풙

ퟏ풏 =

√풙풏

p-парен број o Дефинициона област: 푥 ≥ 0 o Пример 푦 = √푥

p-непарен број o Нема ограничување за дефиниционата област o Пример 푦 = √푥

Рационални функции 풚 = 푷(풙)

푸(풙)

o P(x) иQ(x) се полиномни функции o Функциите имаат прекин за оние вредности на х за кои Q(x)=0



Тригонометриски функции од обликот 풚 = 푨퐬퐢퐧(푩풙 + 푪)и 풚 = 퐀퐜퐨퐬(푩풙 + 푪) Параметар А – ја растегнува или компресира функцијата по у-оска

o А>1 ја растегнува функцијата o 0<A<1 ја компресира функцијата

Параметар В – ја растегнува или компресира функцијата по х-оска

o В >1 ја компресира функцијата o 0<В <1 ја растегнува функцијата

Параметар С Трансформација на функцијата во облик 푦 = 퐴 sin[퐵 푥 + ] 푦 = 퐴 cos [퐵 푥 + ]

o < 0 функцијата се поместува десно по х-оска за единици

o >0 функцијата се поместува лево по х-оска за единици

Експоненцијални функции 풚 = 풃풙

o Поминувааат низ точката (0,1) o За푏 > 1, функцијата푦 = 푏 е растечка o За0 < 푏 < 1,функцијата푦 = 푏 е опаднувачка o За푏 = 1,функцијата푦 = 푏 е константна o Дефинициона област: 푥 ∈ (−∞, +∞) o Ранг: 푦 ∈ (0, +∞)

Логаритамски функции 퐲 = 퐥퐨퐠풃 풙

o log 푥 = 푦 <=> 푏 = 푥 o Дефинициона област: 푥 ∈ (0, +∞) o Ранг: 푦 ∈ (−∞, +∞) o Aко 푏 > 0и푏 ≠ 1 функциите 푏 и log 푥 се

инверзни



Природен логаритам со е o 푦 = ln x <=> 푥 = 푒 o Неколку поважни примери

퐥퐧 ퟏ = ퟎ 퐥퐧 е = ퟏ 퐥퐧 ퟏе

= −ퟏ 퐥퐧 еퟐ = ퟐ

Важни и често користени особини 퐥퐨퐠풃 풃풙 = 풙 퐥퐧 풆풙 = 풙

풃퐥퐨퐠풃 풙 = 풙풆퐥퐧 풙 = 풙

Својства на логаритмирањето Ако 푏 > 0, 푏 ≠ 1, 푎 > 0, 푐 > 0, 푟 ∈ 푅 1. 퐥퐨퐠풃(풂풄) = 퐥퐨퐠풃풂 + 퐥퐨퐠풃 풄 2. 퐥퐨퐠풃(풂

풄) = 퐥퐨퐠풃 풂 − 퐥퐨퐠풃 풄

3. 퐥퐨퐠풃(풂풓) = 퐫퐥퐨퐠풃 풂

4. 퐥퐨퐠풃(ퟏ풄) = −퐥퐨퐠풃 풄

5. 퐥퐨퐠풃 풙 = 퐥퐧 풙퐥퐧 풃

Прави равенка на права

푦 = 푚푥 + 푏 равенка на права низ две точки

푦 − 푦 = (푥 − 푥 )

коефициент на правец на права (не зависи од изборот на точките)

푚 = 푡푔훼 =

푚 > 0 - правата е пострмна 푚 = 0 - правата е паралелна со х-оска 푚 < 0 - правата опаѓа Теорема: Нека 푙 и 푙 се прави со зададени правци 푚 и푚 1. 푙 ||푙 ако и само ако 푚 = 푚 2. 푙 ⊥ 푙 ако и само ако 푚 푚 = −1, т.е. 푚 =

α

y- y1 y2- y1

x2 x1

T S

R

y2

y1

Q

P



4. Лимеси. Интуитивен пристап

Деф. Ако вредноста на 푓(푥) е се поблиску до L, кога вредностите на х се доволно блиску до 푎, тогаш L е лимес на функцијата 푓(푥) кога х тежи кон푎 .

lim→푓(푥) = 퐿

Деф. Ако вредноста на 푓(푥) е се поблиску до L, кога вредностите на х се доволно блиску до 푎, но, 푥 > 푎тогаш L е десен лимес на функцијата 푓(푥) кога х тежи од десно кон푎 .

lim→

푓(푥) = 퐿

Деф. Ако вредноста на 푓(푥) е се поблиску до L, кога вредностите на х се доволно блиску до 푎, но, 푥 < 푎тогаш L е лев лимес на функцијата 푓(푥) кога х тежи од лево кон푎 .

lim→

푓(푥) = 퐿

Теорема: Врска помеѓу едностраните лимеси и двостраниот лимес Двостраниот лимес на 푓(푥) постои во точката 푎 ако и само ако постојат двата еднострани лимеси во 푎и имаат иста вредност.

lim→푓(푥) = 퐿акоисамоако lim

→푓(푥) = 퐿 = lim

→푓(푥)

Бесконечни лимеси Деф. Вредноста на функцијата 푓(푥) неограничено расте, т.е. тежи кон плус бесконечност ако lim → 푓(푥) = +∞и lim → 푓(푥) = +∞т.е. lim → 푓(푥) = +∞ Вредноста на функцијата 푓(푥) неограничено опаѓа, т.е. тежи кон минус бесконечност ако lim → 푓(푥) = −∞и lim → 푓(푥) = −∞т.е. lim → 푓(푥) = −∞

Вертикална асимптота на функцијата푓(푥) е правата 푥 = 푎 за која 푓(푥) →±∞ кога 푥 → 푎т.е. важи lim → 푓(푥) = +∞ или lim → 푓(푥) = +∞ или

lim → 푓(푥) = −∞ или lim → 푓(푥) = −∞

5. Пресметување лимеси

Теорема: Нека а и k се реални броеви. Важи: lim → 푘 = 푘 lim → 푥 = 푎 lim → = −∞ lim → = +∞ Теорема: Нека постојат лимесите lim → 푓(푥) = 퐿 и lim → 푔(푥) = 퐿 и k е реален број. Важи:

a) lim → [푓(푥) + 푔(푥)] = lim → 푓(푥) + lim → 푔(푥) = 퐿 + 퐿 b) lim → [푓(푥) − 푔(푥)] = lim → 푓(푥) − lim → 푔(푥) = 퐿 − 퐿 c) lim → [푓(푥) ∙ 푔(푥)] = lim → 푓(푥) ∙ lim → 푔(푥) = 퐿 ∙ 퐿 d) lim →

( )( )

= → ( )

→ ( ) = , 퐿 ≠ 0

e) lim → 푓(푥) = lim푓(푥)→

= 퐿 ,퐿 > 0ако푛 = 2푘

f) lim → 푘 ∙ 푓(푥) = lim → 푘 ∙ lim→

푓(푥) = 푘 ∙ lim→푓(푥) = 푘 ∙ 퐿

Истите правила важат и кога 푥 → 푎 и 푥 → 푎



Теорема: За секоја полиномна функција 푝(푥) = 푐 + 푐 푥 + ⋯+ 푐 푥 и секој реален број а важи lim→푝(푥) = 푐 + 푐 푎 + ⋯+ 푐 푎 = 푝(푎)

Доказ: lim → 푝(푥) = lim → (푐 + 푐 푥 + ⋯+ 푐 푥 ) = lim→푐 + lim

→푐 푥 + ⋯+ lim

→푐 푥 = lim

→푐 +

푐 lim→푥 + ⋯+ 푐 lim

→푥 = 푐 + 푐 푎 + ⋯+ 푐 푎 = 푝(푎)

Теорема: Нека 푓(푥) = ( )

( )е рационална функција, и а е реален број.

a) Ако 푔(푎) ≠ 0 тогаш lim → 푓(푥) = 푓(푎) b) Ако 푔(푎) = 0 и 푝(푎) ≠ 0 тогаш lim → 푓(푥) не постои. Се случува една од следните

можности: 1) Двата еднострани лимеси се +∞ 2) Двата еднострани лимеси се −∞ 3) Едниот едностран лимес е +∞ , а другиот е −∞

Доказ: 1) Нека 푔(푎) ≠ 0

푔(푎) = lim→

푔(푥)

lim→푓(푥) = lim

→

푝(푥)푔(푥)

=lim→

푝(푥)

lim→푔(푥) =

푝(푎)푔(푎)

= 푓(푎)

2) 푔(푎) = lim → 푔(푥) = 0 푓(푎) = lim

→푓(푥) ≠ 0

Количникот на 푝(푥)и푔(푥) неограничено ќе расте или ќе опаѓа кога 푥 → 푎 од што следи дека лимесот не постои.

6. Лимеси во бесконечност. Гранично однесување на функција Деф. Ако вредноста на функцијата 푓(푥) тежи кон L кога x се зголемува кон плус бесконечност, запишуваме lim → 푓(푥) = 퐿 Ако вредноста на функцијата 푓(푥) тежи кон L кога x се намалува кон минус бесконечност, запишуваме lim → 푓(푥) = 퐿 Доколку постои некој од овие лимеси, правата 푦 = 퐿 се нарекува хоризонтална асимптота на функцијата

lim →± 1 + = 푒 lim → (1 + 푥) = 푒

lim→±

(푓(푥)) = ( lim→±

푓(푥)) lim→±

푘 = 푘

lim→±

푘푓(푥) = 푘 lim→±

푓(푥) lim→±

= 0



Бесконечни лимеси во бесконечност Деф. Ако вредноста на функцијата 푓(푥) тежи кон плус бесконечност кога 푥 → +∞ или 푥 → −∞ , запишуваме lim → 푓(푥) = +∞ lim → 푓(푥) = +∞ Ако вредноста на функцијата 푓(푥) тежи кон минус бесконечност кога 푥 → +∞ или 푥 → −∞ , запишуваме lim → 푓(푥) = −∞ lim → 푓(푥) = −∞

Лимеси 풙풏кога 풙 → ±∞

lim → 푥 = +∞,푛 = 1,2,3,4 … . . lim → 푥 = −∞,푛 = 1,3,5, …+∞,푛 = 2,4,6, …

Лимеси од полиномни функции кога 풙 → ±∞

lim→±

(푐 + 푐 푥 + ⋯+ 푐 푥 ) = lim→±

푐 푥

Доказ: 푐 + 푐 푥 + ⋯+ 푐 푥 = 푥 + + ⋯+ 푐 ~푐 푥 ,кога푥 → ±∞

lim → ln 푥 = +∞ lim → 푒 = +∞ lim → 푒 = 0

lim → ln 푥 = −∞ lim → 푒 = 0 lim → 푒 = +∞

7. Формална дефиниција на лимес

Деф. Нека функцијата 푓(푥) е дефинирана за сите х, кои се елементи на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. Бројот L е лимес на функцијата 푓(푥)кога 푥 → 푎 , т.е. lim → 푓(푥) = 퐿 ако(∀휀 > 0)(∃훿 > 0)такашто|푓(푥) − 퐿| < 휀кога0 < |푥 − 푎| < 훿 Лев и десен лимес Деф. Нека функцијата 푓(푥) е дефинирана за сите х на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а.

lim→а

푓(푥) = 퐿 ако(∀휀 > 0)(∃훿 > 0)такашто|푓(푥) − 퐿| < 휀кога − 훿 < 푥 − 푎 < 0

Деф. Нека функцијата 푓(푥) е дефинирана за сите х на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а.

lim→а

푓(푥) = 퐿 ако(∀휀 > 0)(∃훿 > 0)такашто|푓(푥) − 퐿| < 휀кога0 < 푥 − 푎 < 훿

Лимеси кога 풙 → ±∞ Деф. Нека функцијата푓(푥)е дефинирана во некој отворен интервал кон плус бесконечност

lim→푓(푥) = 퐿 ако(∀휀 > 0)(∃푁 > 0)такашто|푓(푥) − 퐿| < 휀кога푥 > 푁

Деф. Нека функцијата푓(푥)е дефинирана во некој отворен интервал кон минус бесконечност

lim→푓(푥) = 퐿 ако(∀휀 > 0)(∃푁 < 0)такашто|푓(푥) − 퐿| < 휀кога푥 < 푁



Бесконечни лимеси Деф. . Нека функцијата 푓(푥) е дефинирана за сите х, на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а.

lim→

푓(푥) = +∞ако(∀푀 > 0)(∃훿 > 0)такашто푓(푥) > 푀кога0 < |푥 − 푎| < 훿 Деф. Нека функцијата 푓(푥) е дефинирана за сите х на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а.

lim→

푓(푥) = −∞ако(∀푀 < 0)(∃훿 > 0)такашто푓(푥) < 푀кога0 < |푥 − 푎| < 훿

8. Непрекинатост

Деф. Функцијата 푓(푥) е непрекината во точката 푥 = 푎 ако се исполнети следните услови: 1) 푓(푥)е дефинирана во 푥 = 푎, т.е. постои 푓(푎) 2) lim → 푓(푥)постои 3) lim → 푓(푥) = 푓(푎)

Ако функцијата푓(푥) не е непрекината во точката 푥 = 푎, велиме дека во таа точка функцијата има прекин.

Непрекинатост на интервал Ако функцијата 푓(푥) е непрекината во секоја точка од интервалот (а, b) тогаш велиме дека функцијата е непрекината на отворениот интервал (а, b) Ако функцијата 푓(푥) е непрекината во секоја точка од интервалот (−∞, +∞)тогаш велиме дека функцијата е непрекината насекаде. Функцијата е непрекината од лево ако важи: lim → 푓(푥) = 푓(푎) Функцијата е непрекината од десно ако важи: lim → 푓(푥) = 푓(푎) Деф. Функцијата 푓(푥) е непрекината на затворениот интервал [а, b] ако се исполнети следните услови:

1) 푓(푥) е непрекината на отворениот интервал (а, b) 2) 푓(푥) е непрекината од десно во а 3) 푓(푥) е непрекината од лево во b

Теорема: Ако 푓(푥) и 푔(푥) се непрекинати во точката а, тогаш во неа се непрекинати и следните функции:

1) (푓 + 푔)(푥) 3)(푓 ∙ 푔)(푥) 2) (푓 − 푔)(푥) 4) (푥),푔(푥) ≠ 0

Доказ: Ако 푓(푥)и 푔(푥) се непрекинати во точката а, важи lim

→푓(푥) = 푓(푎) и lim

→푔(푥) = 푔(푎)

1) lim → (푓 + 푔) (푥) = lim → (푓(푥) + 푔(푥)) = lim→푓(푥) + lim

→푔(푥) = 푓(푎) + 푔(푎) = (푓 + 푔)(푎)

2) lim → (푓 − 푔) (푥) = lim → (푓(푥) − 푔(푥)) = lim→푓(푥) − lim

→푔(푥) = 푓(푎)− 푔(푎) = (푓 − 푔)(푎)

3) lim → (푓 ∙ 푔) (푥) = lim → (푓(푥) ∙ 푔(푥)) = lim→푓(푥) ∙ lim

→푔(푥) = 푓(푎) ∙ 푔(푎) = (푓 ∙ 푔)(푎)

4) lim → ( )(푥) = → ( )

→ ( )= ( )

( )= (푎)



Теорема: a) Секоја полиномна функција е непрекината насекаде b) Дробно-рационалните функции се непрекинати во сите точки каде што именителот е

различен од нула, а имаат прекини во оние точки во кои именителот е еднаков на нула. Секоја дробно-рационална функција е непрекината во секоја точка од својот домен.

Непрекинатост на композиција на функции Теорема: Ако lim → 푔(푥) = 퐿 и ако функцијата 푓(푥) е непрекината во 퐿 тогаш lim → 푓(푔(푥)) = 푓(퐿). Односно lim → 푓(푔(푥)) = 푓(lim → 푔(푥)) Ова важи и за lim

→, lim

→, lim

→, lim

→

Теорема: a) Ако функцијата 푔(푥) е непрекината во с, а функцијата 푓 е непрекината во 푔(с), тогаш

композицијата 푓°푔 е непрекината во с. Доказ: Функцијата 푔(푥) е непрекината во точката c, значи важи: lim → 푔(푥) = 푔(푎) 푓 е непрекината во 푔(푎), значи важи: lim → ( ) 푓(푥) = 푓(푔(푎)) lim→

(푓°푔)(푥) = lim→푓 푔(푥) = 푓 lim

→푔(푥) = 푓 푔(푎) = (푓°푔)(푎)

b) Ако функцијата 푔(푥) е непрекината насекаде и функцијата 푓(푥) е непрекината насекаде,

тогаш композицијата 푓°푔 е непрекината насекаде.

Теорема за меѓувредност вредност: Ако функцијата 푓 е непрекината на затворен интервал [a,b], и k е било кој број кој припаѓа помеѓу 푓(푎)и푓(푏) (푓(푎) ≤ 푘 ≤ 푓(푏)или푓(푏) ≤ 푘 ≤ 푓(푎) ), тогаш постои барем еден број х, во интервалот [a,b] за кој важи 푓(푥) = 푘. Теорема: (Последица од Теоремата за средна вредност) Ако функција 푓 е непрекината на затворен интервал [a,b], и 푓(푎)и푓(푏) се различни од нула и имаат спротивен знак, тогаш барем едно решение на равенката 푓(푥) = 0 припаѓа на интервалот (a,b).

9. Непрекинатост на тригонометриски, експоненцијални и инверзни функции

Тригонометриски функции Теорема: Ако с е точка која припаѓа на природниот домен на тригонометриските функции, тогаш тие се непрекинати во таа точка lim→

sin 푥 = sin 푐 ,푐 ∈ 푅 lim→

cos 푥 = cos 푐 ,푐 ∈ 푅

lim→

tg 푥 = 푡푔푥,푐 ≠ (2푘 + 1)휋2

,푘 ∈ 푍

lim→

ctg푥 = ctg 푐 ,푐 ≠ 푘휋,푘 ∈ 푍 Инверзни функции Теорема: Ако 푓 е еден-на-еден функција која е непрекината во секоја точка од својот домен, тогаш инверзната функција 푓 е непрекината во секоја точка од нејзиниот домен, односно 푓 е непрекината во секоја точка од рангот на 푓.



Експоненцијални и логаритамски функции Теорема: Нека 푏 > 0и 푏 ≠ 1

a) функцијата 푏 е непрекината на (−∞, +∞) b) функцијата log 푥 е непрекината на (0, +∞)

Теорема: (Сендвич теорема) Нека за функциите 푓(푥), 푔(푥)иℎ(푥) важи 푔(푥) ≤ 푓(푥) ≤ ℎ(푥) за секој х што припаѓа на отворен интервал околу точката с, освен можеби во с. Ако lim → 푔(푥) = lim → ℎ(푥) = 퐿 тогаш lim → 푓(푥) = 퐿 Теорема: lim → = 1 lim → = 0 Доказ:

lim→

sin푥푥

= 1

За плоштините на триаголниците на цртежот важи следново неравенство: 푃∆ ≤ 푃∆ ≤ 푃∆ Плоштините на триеголниците се:

푃∆ =푂퐴 ∙ 퐴퐵

2=

sin 푥2

푃∆ =1휋푥2휋

=푥2

,должинанакруженлаке: 푙 =푟휋훼휋

푃∆ =푂퐶 ∙ 퐶퐷

2=푡푔푥

2

Заменуваме во неревенството: sin 푥

2≤푥2≤푡푔푥

2/∙ 2

sin 푥 ≤ 푥 ≤ 푡푔푥,0 ≤ 푥 ≤휋2

Од sin 푥 ≤ 푥 => sin푥푥

≤ 1

Од푥 ≤ 푡푔푥 <=> 푥 ≤ sin푥cos 푥

=> sin 푥푥

≥ cos 푥

О О О О С С С C B

A A A D D



cos 푥 ≤ sin푥푥

≤ 1,0 ≤ 푥 ≤휋2

Ова важи само за интервалот [0, ] . Проверуваме дали истото важи и за интервалот [− , 0]

Нека – ≤ 푦 ≤ 0 => 푦 = −푥кадешто0 ≤ 푥 ≤

cos 푦 = cos(−푥) = cos 푥 ≤sin 푥푥

=− sin 푥−푥

=sin(−푥)−푥

=sin푦푦

≤ 1

=> cos 푦 ≤sin푦푦

≤ 1,–휋2≤ 푦 ≤ 0

Значи, важидека cos 푥 ≤ ≤ 1, − ≤ 푥 ≤ и можеме да ја примениме сендвич теоремата lim → cos 푥 = 1 lim → 1 = 1 => lim → = 1

lim→

1− cos푥푥

= 0

lim → = lim → ∙ = lim → ∙ = lim → ∙ lim → = 1 ∙ = 0



Втор колоквиум

1. Наклон и брзина на промена

Ако телото се движи праволиниски и неговата положба во текот на времето е дадена со функцијата 푠 = 푓(푡), тогаш просечната брзина со која се движи е:

푣прос =изминатпат

време

За временски интервал [푡 , 푡 ], изминатиот пат изнесува 푓(푡 ) − 푓(푡 ),

푣прос =푓(푡 ) − 푓(푡 )

푡 − 푡

Моменталната брзина во временски момент 푡 е:

푣мом(푡 ) = lim→

푓(푡 ) − 푓(푡 )푡 − 푡

Наклонот (коефициентот) на секантата на кривата во точка со координати P(푥 , 푓(푥 )) е:

푚 =푓(푥 ) − 푓(푥 )

푥 − 푥

Наклонот (коефициентот) на тангентата на кривата со координати P(푥 , 푓(푥 )) е:

푚 = lim→

푓(푥 ) − 푓(푥 )푥 − 푥

Нека 푦 = 푓(푥). Просечна брзина(рата) на промена на функцијата 푦 во однос на променливата 푥, на интервалот [푥 , 푥 ] е:

푟прос =푓(푥 ) − 푓(푥 )

푥 − 푥= 푚

Моменталната брзина на промена во точка 푥 е:

푟мом(푥 ) = lim→

푓(푥 ) − 푓(푥 )푥 − 푥

= 푚

2. Извод на функција

Деф. Нека функцијата е зададена со формулата 푦 = 푓(푥)и нека 푥 е точка од доменот на f . Ако постои лимесот, тогаш тој се нарекува извод на функцијата f во точката 푥 . Се означува со:

푓 (푥 ) = lim→

푓(푥 ) − 푓(푥 )푥 − 푥

푓 (푥 )e всушност наклонот (стрмнината) на функцијата f во точката 푥 Деф. Нека 푥 е точка од доменот на f. Тогаш 푓 (푥 )е коефициент на правец на тангентата на графикот на функцијата f во точката со координати (푥 , 푓(푥 )) . Равенката на тангентата е:

푦 − 푓(푥 ) = 푓 (푥 )(푥 − 푥 )



Деф. Извод на функцијата е дефиниран со: 푓 (푥) = lim →( ) ( )

푓 може д се разгледува како нова функција, чиј домен го сочинуваат сите 푥 за кои постои 푓 (푥)

Диференцијабилност Деф.

Функцијата е диференцијабилна во точката 푥 ако постои извод во 푥 , т.е. ако постои

푓 (푥 ) = lim→

푓(푥 ) − 푓(푥 )푥 − 푥

Функцијата е диференцијабилна на интервал (a,b) ако е диференцијабилна во секоја точка од интервалот (a,b)

Функцијата е диференцијабилна секаде ако е диференцијабилна на интервалот (−∞, +∞) Причини за непостоење извод се:

Наклонот на секантите има различни лимеси од лево и од десно на таа точка. Затоа не постои двостраниот лимес

Во таа точка постои вертикална тангента Функцијата има прекин во таа точка

Теорема. Ако функцијата f е диференцијабилна во точката 푥 , тогаш таа е непрекината во таа точка Доказ: Дадено е 푓 (푥 ) = lim →

( ) ( )

Треба да се докаже дека lim → 푓(푥) = 푓(푥 ), односно lim → 푓(푥 ) − 푓(푥 ) = 0

lim→

푓(푥 ) − 푓(푥 ) = lim→

푓(푥 ) − 푓(푥 )푥 − 푥

(푥 − 푥 ) =

= lim →( ) ( ) lim → (푥 − 푥 ) = 푓 (푥 )0 = 0

Обратното не важи, т.е. ако функцијата е непрекината во точка не значи дека е диференцијабилна во таа точка Функцијата е диференцијабилна од лево ако 푓_ (푥 ) = lim →

( ) ( )

Функцијата е диференцијабилна од десно ако 푓 (푥 ) = lim →( ) ( )



Функцијата f е диференцијабилна на затворен интервал [a, b] ако f e диференцијабилна на отворениот интервал (a, b) f e дифренцијабилна од лево во a f e диференцијабилна од десно во b

Други нотации на извод кои често се користат:

푓 (푥) = lim∆ →

푓(푥 + ∆푥) − 푓(푥)∆푥

푑푦푑푥

= lim∆ →

Δ푦Δ푥

= lim∆ →

푓(푥 + ∆푥) − 푓(푥)∆푥

3. Техники на диференцирање

Теорема: Ако f е константна функција, изводот е 0. [푐] = 0 Доказ: (푐) = 푓 (푥) = lim →

( ) ( ) = lim → = 0 Теорема: За секој природен број важи (푥 )′ = 푛푥

Доказ:(푥 )′ = lim →( ) ( ) = lim → = lim →

( )( ⋯ ) == 푥 + 푥 푥 + 푥 푥 + ⋯+ 푥푥 + 푥 = 푛푥 За секој реален број r вaжи истото (푥 )′ = 푛푟 Теорема: Ако f е диференцијабилна функција во точката 푥 и c е константа, тогаш и функцијата c f е исто така диференцијабилна во 푥 (푐푓) (푥) = 푐푓 (푥) Доказ: (푐푓) (푥)=lim →

( )( ) ( )( ) = lim →( ) ( ) = 푐 lim →

( ) ( ) = 푐푓 (푥) Теорема: Ако функциите f и g се диференцијабилни во 푥 , тогаш и функциите f+g и f-g се диференцијабилни во 푥 (푓 + 푔) (푥) = 푓 (푥) + 푔 (푥) (푓 − 푔) (푥) = 푓 (푥) − 푔 (푥) Доказ: (푓 + 푔) (푥) = lim →

( )( ) ( )( ) = lim →( ) ( ) ( ) ( ) = lim

→

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] =

= lim→

[ ( ) ( )] + lim→

[ ( ) ( )] = 푓 (푥) + 푔 (푥)

(푓 − 푔) (푥) = lim→

(푓 − 푔)(푤) − (푓 − 푔)(푥)푤 − 푥

= lim→

푓(푤) − 푔(푤) − 푓(푥) + 푔(푥)푤 − 푥

= lim→

[푓(푤) − 푓(푥)] − [푔(푤) − 푔(푥)]푤 − 푥

= lim→

[푓(푤) − 푓(푥)]푤 − 푥

− lim→

[푔(푤) − 푔(푥)]푤 − 푥

= 푓 (푥) − 푔 (푥)

Теорема: Ако функциите f и g се диференцијабилни во 푥 , тогаш и функцијата fg е диференцијабилна во 푥 (푓푔) (푥) = 푓 (푥)푔(푥) + 푓(푥)푔 (푥)



Доказ: (푓푔) (푥) = lim →

( )( ) ( )( ) = lim →( ) ( ) ( ) ( ) =

= lim →( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

= lim →[ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] = lim →

[ ( ) ( )] ( ) + lim →( )[ ( ) ( )] =

= lim ( ) ( ) lim 푓(푥) + lim 푔(푥) lim ( ) ( ) = 푓 (푥)푔(푥) + 푓(푥)푔 (푥)

Теорема: Ако функциите f и g се диференцијабилни во 푥 , тогаш и функцијата е

диференцијабилна во 푥 (푥) = ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )]

Доказ: (푥) = lim →( ) ( )( )

= lim →

( )( )

( )( ) = lim →

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

= lim →( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )= lim →

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

=

=→

( ) ( )( ) → ( ) → ( ) →

( ) ( )( )

→ ( ) → ( )= ( ) ( ) ( ) ( )

[ ( )]

Теорема: За произволен цел број n важи (푥 )′ = 푛푥 Доказ: Ако 푛 ∈ 푁 доказот следи од Теоремата за извод од 푥 Ако 푛 ∈ 푍,푛 < 0 => 푛 = −푚,푚 > 0

푥 = 푥 =1푥

(푥 ) = ( ) =( )

=( )

= −푚푥 = 푛푥

Изводи од повисок ред 푓 (푥)푓 (푥) = (푓 ) (푥)푓 (푥) = (푓 ) (푥) … 푓( )(푥) = (푓( )) (푥)

Ако 푓( )(푥) = 0тогаш за ∀푛 > 푘,푓( )(푥) = 0 Други записи кои се користат

푓 (푥) =푑푦푑푥

푓 (푥) =푑푑푥 푑푦푑푥

=푑 푦푑푥

푓 (푥) =푑푑푥 푑 푦푑푥

=푑 푦푑푥

푓( )(푥) =푑푑푥 푑( )푦푑푥( ) =

푑( )푦푑푥



4. Извод од тригонометриски функции

푓 (푥) = lim→

푓(푤) − 푓(푥)푤 − 푥

= lim→

푓(푥 + ℎ) − 푓(푥)ℎ

Смена: ℎ = 푤 − 푥 (sin 푥) = cos 푥 푥 ∈ 푅

(sin 푥) = lim→

sin(푥 + ℎ)− sin푥ℎ

= lim→

sin 푥 cos ℎ − cos 푥 sinℎ − sin푥ℎ

= lim→

sin 푥 (cos ℎ − 1) + cos 푥 sinℎℎ

= sin 푥 lim→

−(1− cos ℎ)ℎ

+ cos 푥 lim→

sinℎℎ

= sin 푥 0 + cos 푥 1 = cos 푥

(cos 푥) = −sin푥 푥 ∈ 푅

(cos 푥) = lim→

cos(푥 + ℎ) − cos 푥ℎ

= lim→

cos 푥 cos ℎ − sin 푥 sinℎ − cos 푥ℎ

= lim→

cos 푥 (cos ℎ − 1)− sin 푥 sinℎℎ

= cos 푥 lim→

−(1− cos ℎ)ℎ

− sin푥 lim→

sinℎℎ

= cos 푥 0 − sin 푥 1 = −sin푥

(tg 푥) = 푥 ∈ 푅

(tg 푥) = (sin 푥cos 푥

) =(sin 푥) cos 푥 − sin푥(cos 푥)

cos 푥=

cos 푥 + sin 푥cos 푥

=1

cos 푥

(ctg 푥) = − 푥 ∈ 푅

(ctg푥) = (cos 푥sin푥

) =(cos 푥) sin푥 − cos 푥(sin 푥)

sin 푥=−sin 푥 − cos 푥

sin 푥= −

1cos 푥

(sec 푥) = (1

cos 푥) =

sin푥cos푥 cos 푥

= sec 푥 tg푥

(csc 푥) = (1

sin 푥) =

−cos 푥sin 푥 sin 푥

= −csc푥 ctg푥

5. Верижно правило

Теорема: Ако g е диференцијабилна во 푥 и f е диференцијабилна во 푓(푥), композицијата f◦g е диференцијабилна во 푥

(푓°푔) (푥) = 푓 (푔(푥)) ∙ 푔 (푥)



Ако 푢 = 푔(푥) тогаш можеме да ја користиме следната формула =

6. Имплицитно диференцирање

Експлицитно зададена функција-зависната променлива( y) се наоѓа од една страна на равенството, а сите изрази со независната променлива(аргументот x) од другата страна, т.е. y=f(x) Имплицитно зададена функција- независната променлива(аргументот x) и функцијата , односно зависната променлива( y) се претставени во произволен алгебарски израз. Пр. yx+y+1=x Деф. Равенката од x и y ја дефинира функцијата имплицитно ако y=f(x) се поклопува со дел од графикот на таа равенка. Пр. За равенката 푥 + 푦 = 1 имаме 푦 = ±√1 − 푥

Значи со оваа равенка имплицитно се определени следниве две функции 푓 (푥) = √1− 푥 и 푓 (푥) = −√1 − 푥

7. Локална линеарна апроксимација. Диференцијал Се прави апроксимација на нелинеарни функции во линеарни функции(равенка на права). Правата која што најдобро ја апросимира функцијата во некоја точка 푥 е тангентата на функцијата во таа точка.

푦 = 푓(푥 ) + 푓 (푥 )(푥 − 푥 ) Ако 푥 е блиску до 푥 => 푓 (푥 ) ≈ ( ) ( )

푓(푥) − 푓(푥 ) ≈ 푓 (푥 )(푥 − 푥 )

푓(푥) ≈ 푓(푥 ) + 푓 (푥 )(푥 − 푥 ) Диференцијал на 푦 во 푥: 푑푦 = 푓 (푥)푑푥 /:푑푥 ≠ 0 =>

= 푓 (푥)

8. Инверзни функции

Деф. Ако 푓 и 푔 ги задоволуваат двата услови: 푔 푓(푥) = 푥, ∀푥 ∈ 퐷 푓(푔(푥)) = 푦 ∀푦 ∈ 퐷

Тогаш и 푓 и 푔 се инверзни,푓 е инверзна за 푔 и 푔 е инверзна функција за 푓. Ознака: 푔 ≡ 푓 Ако 푓 има инверзна функција, тогаш таа е единствена.

푓 푓(푥) = 푥, ∀푥 ∈ 퐷 푓(푓 (푥)) = 푦 ∀푥 ∈ 퐷푓−1

Домен и Ранг: 퐷푓−1 = 푅푓 푅푓−1 = 퐷푓 Нe секоја функција има инверзна функција, функцијата 푓 треба да има различен излез за различен влез: 푓(푥 ) ≠ 푓(푥 ) зa 푥 ≠ 푥 , т.е. 푓 е инјекција (функцијата е од тип “еден на еден”). Заклучок: Функцијата 푓 има инверзна функција ако и само ако 푓 е инјекција.



Теорема: Тест со хоризонтални прави Функцијата 푓 има инверзна функција ако секоја хоризонтална права го сече графикот на функцијата 푓 во најмногу една точка. Теорема. Ако 푓 има инверзна функција 푓 тогаш графиците на функцијата 푦 = 푓(푥) и 푦 = 푓 (푥) се рефлексивни една на друга во однос на 푦 = 푥 т.е. секоја е слика во огледало на другата во однос на 푦 = 푥. Ако 푓 секогаш расте или секогаш опаѓа на доменот на푓, тогаш푓 има инверзна функција. Теорема: Ако 퐷 е интервал над кој 푓ʹ(푥) > 0или푓ʹ(푥) < 0 за ∀푥 ∈ 퐷 тогаш 푓 има инверзна функција. Теорема. Ако 푓 е функција со домен 퐷 и ранг 푅, и ако 퐷 e интервал и 푓 e непрекината и е од тип “еден на еден“ на 퐷, тогаш 푅 e интервал и 푓 e непрекината на 푅.

Извод на инверзна функција

Теорема. Нека 푓 е функција чиј домен 퐷 е отворен интервал и нека 푅 е ранг на 푓. Ако 푓 е диференцијабилна и е од тип “еден на еден“ на 퐷, тогаш 푓 е диференцијабилна за било која вредност на 푥 во 푅 за која 푓′(푓 (푥)) ≠ 0. Ако 푥 ∈ 푅 и 푓′(푓 (푥)) ≠ 0 тогаш

(푓 ) (푥) =푑푑푥

[푓 (푥)] =1

푓′(푓 (푥))

Изведување: Функцијата 푓 е диференцијабилна во (푎, 푏) ≡ (푎, 푓(푎)) и 푓′(푎) ≠ 0. Равенката на тангентата на графикот на функцијата 푓 во точката(푎, 푏) е: 푦 − 푏 = 푓′(푎)(푥 − 푎) Инверзна функција 푓 на тангентата е: 푥 − 푏 = 푓′(푎)(푦 − 푎) 푦 − 푎 =

( )(푥 − 푏)

Ова е тангента на инверзната функција 푓 во точката(푏,푎). Од друга страна, равенката на тангентата на инверзната функција 푓 во (푏,푎) = (푏, 푓 (푏))е: 푦 − 푎 = (푓 )′(푏)(푥 − 푏) Оттука следи (푓 )′(푥) =

( ( ))

Доказ: Функцијата푓 е диференцијабилна над 퐷 и 푓′(푥) > 0. Нека 푔(푥) = 푓 (푥) . Oттука следи 푔′(푥) > 0 ∀푥 ∈ 푅 и 푔(푥)е диференцијабилна во тие 푥 па lim →

( ) ( ) постои За 푤, 푥 ∈ 푅푓 и 푤 ≠ 푥нека и 푟 = 푔(푤)и푠 = 푔(푥) Следи дека 푓(푟) = 푤и 푓(푠) = 푥, 푟 ≠ 푠

푔(푤) − 푔(푥)푤 − 푥

=푟 − 푠

푓(푟) − 푓(푠)=

1푓(푟) − 푓(푠)

푟 − 푠

푤 → 푥 акко 푟 → 푠 . Следи дека lim →( ) ( ) постои само ако постои lim →

( ) ( ) и

lim →( ) ( ) ≠ 0

Оттука следи дека: 푓 (푥) е диференцијабилна во 푥 ако 푓 е диференцијабилна во 푦 и 푓′(푦) ≠ 0



Последица: Нека 퐷 е отворен интервал и 푓′(푥) > 0, ∀푥 ∈ 퐷 (или 푓 (푥) < 0, ∀푥 ∈ 퐷푓) Следи дека постои 푓 и таа е диференцијабилна за ∀푥 ∈ 퐷푓−1 закои푓′(푓−1(푥)) ≠ 0

푦 = 푓 (푥) => = (푓 ) (푥)

푥 = 푓(푦) => = (푓) (푦) = (푓) (푓 (푥))

(푓 ) (푥) = = Лајбницова нотација

9. Експоненцијални и логаритамски функции

푏 = 푏 ∙… ∙ 푏 (n пати) 푏 = 푏 = 1, 푏 ≠ 0 푏 = √푏 푏 =

푏 = 푏 ∙ 푏 = 푏 = 푏 (푏 ) = 푏 ∙ , 푝, 푞 ∈ 푅

f(x)= каде b>0 и b≠1 е наречена експоненцијална функција со база (основа) b (f(x) е непрекината) 푓(푥) = 푏

Функцијата f(x)= е дефинирана за сите реални вредности на x т.ш Df=(-∞,+∞).

Ф-јата f(x)= e непрекината на (-∞,+∞) и Rf=(0,+ ∞). Ако b>0 и b≠1 тогаш за x>0, логаритам со база b од x се означува со 푓(푥) = log 푥 и се дефинира да биде показателот на b за кој се добива x. Дефинициона област: 푥 ∈ (0, +∞).Ранг: 푦 ∈ (−∞, +∞)

b=10 – Обичен логаритам b=e – Природен логаритам e≈2.718282 (функцијата се означува со ln x)

Својства: 푦 = ln x <=> 푥 = 푒 푓(푥) = 푒 – природна експоненцијална функција Инверзна на 푓(푥) = 푏 e 푓 (푥) = log 푥

log 푏 = 푥 ln 푒 = 푥 푏 = 푥푒 = 푥 Својства на логаритмирањето

Ако 푏 > 0, 푏 ≠ 1, 푎 > 0, 푐 > 0, 푟 ∈ 푅 6. log (푎푐) = log 푎 + log 푐 7. log ( ) = log 푎 − log 푐

8. log (푎 ) = rlog 푎

9. log ( ) = −log 푐

10. log 푥 =



푒 = lim→

1 +1푥

푒 = lim→

1 +1푥

푒 = lim→

(1 + 푥)

lim → 푒 = +∞ lim → 푒 = 0 lim → ln 푥 = −∞ lim → 푒 = 0 lim → 푒 = +∞ lim → ln 푥 = +∞

Изводи на логаритамски и експоненцијални функции

(log 푥) = log 푒 푥 ≥ 0

(log 푥) = lim→

log 푤 − log 푥푤 − 푥

= lim→

[1

푤 − 푥log

푤푥

] = lim→

[1

푤 − 푥log

푥 + (푤 − 푥)푥

= lim→

[1푥

푥푤 − 푥

log (1 +푤 − 푥푥

)] = lim→

[1푥

log 1 +푤 − 푥푥

]

Смена: 푣 = 푤 → 푥 => 푣 → 0

=1푥

lim→

log (1 + 푣) =1푥

log 푒

(log 푥) = 푥 > 0 (ln 푥) = 푥 > 0 (ln |푥|) = 푥 ≠ 0 (푏 ) = 푏 ln푏 푏 > 0,푏 ≠ 1 (푒 ) = 푒 푦 = 푏 x = log 푦 푥 ∈ 푅, 푦 > 0 푑푦푑푥

=1푑푥푑푦

=11

푦 ln 푏= 푦 ln 푏 = 푏 ln 푏

Својство: ∀푟 ∈ 푅 => (푥 ) = 푟푥 Доказ: 푦 = 푥 ln 푦 = 푟 ln |푥| = 푟

= 푟 = 푟 = 푟푥

Логаритамско диференцирање

Во изрази од облик: 푦 = 푢 каде u и v се неконстантни ф-ции од x, за пресметување на се применува логаритамско диференцирање (ln на двете страни на равенството и потоа имплицитно диференцирање).



10. Инверзни тригонометриски функции

sin 푥 (arcsin x) е инверзна функција на ограничената синусна функција sinx, зa − ≤ 푥 ≤

cos 푥 (arccos x) е инверзна функција на ограничената косинусна фукција cos x, за 0 x

tg 푥 (arctg x) е инверзна функција на tanx , за − ≤ 푥 ≤

sec 푥 (arcsec x) е инверзна функција зa secx, 0 x со 푥 ≠

sec 푥 = cos sec(tg 푥) = √1 + 푥

sin 푥 + cos 푥 = sin(sec 푥) = √| |

, |x| ≥ 1

cos(sin 푥) = √1 − 푥 sin (−푥) = − sin 푥 sin(cos 푥) = √1 − 푥 tg (−푥) = − tg 푥

tg(sin 푥) =x

√1− 푥

sin 푥 + cos 푥 =휋2

sin − 푥 = cos 푥 = 푡 => − 푥 = sin 푡,푥 = cos 푡 => = sin 푡 + cos 푡

Изводи на инверзни тригонометриски функции

푦 = arcsin 푥 => 푥 = sin푦 − 1 ≤ 푥 ≤ 1 − ≤ 푦 ≤

= = = =√

=> (sin 푥) =√

푦 = arccos 푥 => 푥 = cos 푦 − 1 ≤ 푥 ≤ 10 ≤ 푦 ≤ 휋

= = = =√

=> (cos 푥) = −√

푦 = arctg푥 => 푥 = tg푦 − ∞ ≤ 푥 ≤ +∞ − ≤ 푦 ≤

= = = = = => (tg 푥) =

푦 = arctg푥 => 푥 = ctg푦 − ∞ ≤ 푥 ≤ +∞0 ≤ 푦 ≤ 휋

= = = = − = − => (ctg 푥) = −

푦 = sec x =

=> 푥 = cos 0 ≤ 푥 ≤ 휋푥 ≠

(sec 푥) =1

|푥|√푥 − 1



11. Лопиталово правило. Неопределени форми

Нека 푓и푔 се диференцијабилни функции во точката 푎 и lim → 푓(푥) = 0 и lim → 푔(푥) = 0 . Тогаш во lim →

( )( )постои неопределеноста .

Од диференцијабилноста на 푓 и 푔 следи дека 푓 и 푔 се непрекинати во 푎 и lim → 푓(푥) = 푓(푎) = 0 И lim → 푔(푥) = 푔(푎) = 0

lim→

푓(푥)푔(푥) = lim

→

푓(푥) − 푓(푎)푔(푥) − 푔(푎)

= lim→

푓(푥) − 푓(푎)푥 − 푎

푔(푥) − 푔(푎)푥 − 푎

=lim→

푓(푥) − 푓(푎)푥 − 푎

lim→

푔(푥) − 푔(푎)푥 − 푎

=푓 (푎)푔 (푎)

Теорема: Лопиталово правило – Неопределеност ퟎퟎ

Нека 푓 и 푔се диференцијабилни функции на отворениот интервал околу 푎 освен можеби во 푎 и нека lim → 푓(푥) = 0 и lim → 푔(푥) = 0 .

Ако lim →( )( )постои и е конечен број или +∞ или -∞ => lim →

( )( ) = lim →

( )( )

Ова важи и за 푥 → 푎 푥 → 푎 푥 → −∞ 푥 → +∞ Теорема: Лопиталово правило – Неопределеност Нека 푓 и 푔се диференцијабилни функции на отворениот интервал околу 푎 освен можеби во 푎 и нека lim → 푓(푥) = ∞ и lim → 푔(푥) = ∞ .

Ако lim →( )( )постои и е конечен број или +∞ или -∞ => lim →

( )( ) = lim →

( )( )

Ова важи и за 푥 → 푎 푥 → 푎 푥 → −∞ 푥 → +∞

Неопределеност 0 ∙ ∞ - Се пишува производот како дропка Алгебарски операции со бесконечности (определени): (+∞) + (+∞) → +∞ (+∞) − (−∞) → +∞ (−∞) − (+∞) → −∞ (−∞) + (−∞) → −∞ Неопределени: (+∞) − (+∞) (−∞) − (−∞) (+∞) + (−∞) (−∞) + (+∞) – Се доведуваат до облик Неопределености: 0 ∞ 1 Се решаваат со логаритамско диференцирање lim→푓(푥) ( )/ln

푦 = 푓(푥) ( ) => lim→

ln 푦 = lim→

[푔(푥)ln 푓(푥)] Ако ln 푦 → 푎, 푥 → 푏од непрекинатоста на експоненцијалната функција следи дека 푒 → 푒 , 푥 → 푏 => 푦 → 푒 , 푥 → 푏



12. Анализа и скицирање на график на функција

12.1. Растење и опаѓање на функција

Деф. Нека функцијата 푓 е дефинирана на интервал I и нека 푥 и 푥 се произволни точки од тој интервал.

1. Ако 푓(푥 ) < 푓(푥 ) кога 푥 < 푥 , тогаш 푓 е растечка на интервалот I 2. Ако 푓(푥 ) > 푓(푥 ) кога 푥 < 푥 , тогаш 푓 е опаѓачка на интервалот I 3. Ако 푓(푥 ) = 푓(푥 ) за сите 푥 , 푥 , тогаш 푓 е константна на интервалот I

Теорема

: Нека функцијата 푓е непрекината на затворениот интервал [a,b] и е диференцијабилна на отворениот интервал (a,b)

1. Ако 푓 (푥) > 0 ∀푥 ∈ (푎, 푏), тогаш 푓 е растечка на интервалот [a,b] 2. Ако 푓 (푥) < 0 ∀푥 ∈ (푎, 푏), тогаш 푓 е опаѓачка на интервалот [a,b] 3. Ако 푓 (푥) = 0 ∀푥 ∈ (푎, 푏), тогаш 푓 е константна на интервалот [a,b]

12.2. Вдлабнатост и испакнатост на функција

Деф. Нека 푓 е диференцијабилна функција во 푥 и нека 푓 е тангента на графикот на 푓во точката (푥 , 푓(푥 ))

1. Функцијата 푓 е конвексна (испакната, горно конкавна) во 푥 ако постои интервал I кој ја содржи 푥 т.ш за секој 푥 ∈ I што 푥 ≠ 푥 , точката (푥, 푓(푥)) е под тангентата

2. Функцијата 푓 е конкавна (вдлабната, долно конкавна) во 푥 ако постои интервал I кој ја содржи 푥 т.ш за секој 푥 ∈ I што 푥 ≠ 푥 , точката (푥, 푓(푥)) е над тангентата

Теорема: Нека 푓 е два пати диференцијабилна функција отворениот интервал I

1. Ако 푓 (푥) > 0 на I , тогаш 푓 е конкавна(вдлабната, горно конкавна) на I 2. Ако 푓 (푥) < 0 на I , тогаш 푓 е конвексна(испакната, долно конкавна) на I

Деф. Ако 푓 е непрекината на отворен интервал во кој припаѓа 푥 , и ако 푓 ја менува насоката на конкавност во точката (푥 , 푓(푥 )), тогаш велиме дека 푓 има превојна точка во 푥 Вториот извод на функцијата 푓 во точката 푥 е нула. 푓 (푥 ) = 0



12.3. Локални (релативни) екстреми

Деф. 1. Функцијата 푓 има локален максимум во точката 푥 , ако постои отворен интервал I кој ја

содржи точката 푥 , т.ш Ако 푓(푥 ) ≥ 푓(푥) 2. Функцијата 푓 има локален минимум во точката 푥 , ако постои отворен интервал I кој ја

содржи точката 푥 , т.ш Ако 푓(푥 ) ≤ 푓(푥) Локалниот минумум и локалниот максимум со едно име се нарекуваат локални екстреми. Теорема: Нека 푓 е функција дефинирана над отворен интервал кој го содржи бројот 푥 . Ако 푓има релативен екстрем во 푥 = 푥 тогаш или 푓ʹ(푥 ) = 0 или f не е диференцијабилна во 푥 . Доказ: Нека 푓 има релативен екстрем во 푥 . Тогаш постојат два случаи 1. Или 푓 е диференцијабилна во 푥 2. Или 푓 не е диференцијабилна во 푥 (ако не е, завршува доказот) Ако 푓 е диференцијабилна во 푥 , треба да докажеме дека 푓ʹ(푥 ) = 0. Ако 푓 (푥) > 0 тогаш функцијата би била растечка и не би имала екстрем во точката 푥 . Од истите причини, не може да биде ниту пак 푓 (푥) < 0 . Следи дека 푓ʹ(푥 ) = 0

Вредностите во доменот на푓 во кои 푓ʹ(х) = 0 или푓(푥) не е диреференцијабилна се нарекуваат критички точки (броеви) на f.

Вредностите за 푥 во кои 푓′(푥 ) = 0ќе ги нарекуваме стационарни точки на f. ( Можно е да нема релативни (локални ) екстреми во секоја критична точка) . Теорема: Тест со први изводи Нека f е непрекината во критичната точка 푥 .

1. Ако 푓’(푥) > 0на отворен интервал кој се простира лево од 푥 и 푓’(푥) < 0 на отворен интервал кој се простира десно од 푥 тогаш f има локален максимум во 푥 .

2. Ако 푓’(푥) < 0 на отворен интервал кој се простира лево од 푥 и 푓’(푥) > 0 на отворен интервал кој се простира десно од 푥 тогаш f има локален минимум во 푥 .

3. Ако 푓’(푥) има ист знак од двете страни на 푥 тогаш푓 нема локален екстрем во푥 Теорема: Тест со втори изводи Нека 푓е двапати диференцијабилна во푥 .

1. Ако 푓’(푥) = 0и푓’’(푥) > 0 тогаш 푓 има локален минимум во 푥 . 2. Ако 푓’(푥) = 0и푓’’(푥) < 0 тогаш푓 има локален максимум во 푥 . 3. Ако 푓’(푥) = 0и푓’’(푥) = 0 тогаш тогаш тестот е нерешлив (недефиниран) т.е.푓 може да

може да има локалем максимум во 푥 , локален минимум во 푥 или ниедно од двете.



12.4. Испитување на својствата и скицирање на графикот

Чекор 1. Определување домен Чекор 2. Испитување симетричност и периодичност Чекор 3. Наоѓање на пресеци со x и y оските Чекор 4. Однесување на графикот кога 푥 → −∞ и 푥 → +∞, сите хоризонтални, коси и вертикални

асимптоти Чекор 5. Наоѓање на 푓 (푥) за критични точки, интервали на растење и опаѓање Чекор 6. Наоѓање на локални екстреми Чекор 7. Наоѓање на 푓 (푥) за критични точки, интервали во кои 푓 е испакната и интервали во кои

푓 е вдлабната и превојни точки. Чекор 8. Цртање на график

13. Апсолутен (глобален) минимум и максимум

Деф. 1. Функцијата 푓 има апсолутен (глобален) максимум во точката 푥 на интервалот I кој ја

содржи точката 푥 Ако 푓(푥 ) ≥ 푓(푥) за ∀푥 ∈ I 2. Функцијата 푓 има апсолутен(глобален) минимум во точката 푥 , на интервалот I кој ја

содржи точката 푥 , Ако 푓(푥 ) ≤ 푓(푥) за ∀푥 ∈ I Апсолутниот минумум и апсолутниот максимум со едно име се нарекуваат апсолутни (глобални) екстреми. Теорема: Ако 푓 е непрекината на конечен затворен интервал [a,b], тогаш푓 има апсолутен min и апсолутен max во тој интервал. Теорема: Нека 푓 е непрекината на интервалот (a,b) и има глобални точки. Тогаш тие се во критичните точки. Алгоритам за определување глобален екстрем на функција: Чекор 1. Наоѓање на критичните точки на f во (a , b) Чекор 2. Наоѓање на вредности на 푓 во сите критични точки и во крајните точки a и b Чекор 3. Најголемата вредност на 푓од Чекор 2 е апсолутен max, а најмалата апсолутен min . Апсолутен екстрем на бесконечни интервали:

lim → 푓(푥) = +∞ lim → 푓(푥) = −∞ lim → 푓(푥) = −∞ lim → 푓(푥) = +∞

lim → 푓(푥) = +∞ lim → 푓(푥) = −∞ lim → 푓(푥) = +∞ lim → 푓(푥) = −∞

=>푓 има глобален min =>푓 има глобален max =>푓 нема глобален екстрем



Апсолутен екстрем на отворени интервали:

lim →а 푓(푥) = +∞ lim →а 푓(푥) = −∞lim →а 푓(푥) = −∞ lim →а 푓(푥) = +∞

lim → 푓(푥) = +∞ lim → 푓(푥) = −∞ lim → 푓(푥) = +∞ lim → 푓(푥) = −∞

=>푓 има глобален min =>푓 има глобален max =>푓 нема глобален екстрем

Теорема: Нека функцијата 푓 е непрекината функција на интервалот I и има само еден локален екстрем во 푥 . Тогаш функцијата мора да има глобален екстрем во таа точка

1. Ако 푓 има локален максимум во푥 , тогаш 푓(푥 )е глобален максимум на 푓 на I 2. Ако 푓 има локален минимум во푥 , тогаш 푓(푥 )е глобален минимум на 푓 на I

14. Теорема на Рол. Теорема за средна вредност Теорема: Теорема на Рол Нека функцијата 푓 е непрекината на затворениот интервал [a,b] и диференцијабилна на отворениот интервал (a,b). Ако 푓(푎) = 푓(푏) тогаш постои 푐 ∈ (푎, 푏) т.ш. 푓 (푐) = 0 Доказ: Разгледуваме два случаи:

1. Ако 푓е константна на (a,b) , тогаш за ∀푐 ∈ (푎, 푏) 푓 (푐) = 0 2. Ако 푓 не е константна на (a,b). Тогаш 푓 ќе помине од

растење во опаѓање и во таа точка ќе има локален екстрем (поради непрекинатоста). Од диференцијабилноста на 푓 на (푎, 푏) следи дека во точката на локалниот екстрем 푐 , 푓 (푐) = 0

Геометриско толкување: Во точката точката на локалниот екстрем 푐 , 푓 (푐) = 0, што значи дека тангентатата на функцијата во точката (푐, 푓(푐)) ќе биде паралелна со х-оската Правата низ крајните точки (푎, 푓(푎)) и (푏, 푓(푏)) е исто така паралелна со х-оската. Оттука следи дека тангентата во точката с е паралелна со правата низ крајните точки. Теорема: Теорема за средна вредност Нека функцијата 푓 е непрекината на затворениот интервал [a,b] и диференцијабилна на отворениот интервал (a,b). Постои барем една точка 푐 ∈ (푎, 푏) т.ш. 푓 (푐) = ( ) ( ) Доказ: Равенката на секантата што ги поврзува крајните точки (푎, 푓(푎)) и (푏, 푓(푏)) е: 푦 − 푓(푎) = ( ) ( ) (푥 − 푎)

푦 =푓(푏) − 푓(푎)

푏 − 푎(푥 − 푎) + 푓(푎)



Разликата помеѓу висината на графикот на функцијата и висината на секантата е:

푔(푥) = 푓(푥) − [푓(푎) +푓(푏) − 푓(푎)

푏 − 푎(푥 − 푎)]

Функцијата 푔 е непрекината на [a,b] како комбинација од непрекинати функции на [a,b]. Функцијата 푔 е диференцијабилна на (a,b) како комбинација од диференцијабилни функции на (a,b).

푔(푎) = 푓(푎) − 푓(푎) +푓(푏) − 푓(푎)

푏 − 푎(푎 − 푎) = 0

푔(푏) = 푓(푏) − 푓(푎) +푓(푏) − 푓(푎)

푏 − 푎(푏 − 푎) = 0

Од ова следи дека функцијата 푔 ги задоволува сите услови на теоремата на Рол, од каде ќе следи дека постои 푐 ∈ (푎, 푏) т.ш. 푔 (푐) = 0

푔 (푥) = 푓 (푥) −푓(푏) − 푓(푎)

푏 − 푎

푔 (푐) = 푓 (푐) −푓(푏) − 푓(푎)

푏 − 푎

푓 (푐) =푓(푏) − 푓(푎)

푏 − 푎

Геометриско толкување: Помеѓу две точки (푎, 푓(푎)) и (푏, 푓(푏)) од графикот на една диференцијабилна функција 푓 , постои барем една точка 푐 во која тангентната линија на графикот е паралелна со секантата кој ги поврзува точките (푎, 푓(푎)) и (푏, 푓(푏)). Последици од Теоремата за средна вредност Теорема: Нека функцијата 푓е непрекината на затворениот интервал [a,b] и е диференцијабилна на отворениот интервал (a,b)

1. Ако 푓 (푥) > 0 ∀푥 ∈ (푎, 푏), тогаш 푓 е растечка на интервалот [a,b] 2. Ако 푓 (푥) < 0 ∀푥 ∈ (푎, 푏), тогаш 푓 е опаѓачка на интервалот [a,b] 3. Ако 푓 (푥) = 0 ∀푥 ∈ (푎, 푏), тогаш 푓 е константна на интервалот [a,b]

Доказ: Го докажуваме случајот под 1. Нека за 푥 , 푥 ∈ [a,b] 푥 < 푥 . Треба да се докаже 푓(푥 ) < 푓(푥 ) [푥 , 푥 ]∁[푎, 푏] па условите на Теоремата за средна вредност ќе важат и за интервалот [푥 , 푥 ]. Според теоремата, постои 푐 ∈ [푥 , 푥 ]. т.ш. 푓 (푐) = ( ) ( )

푓 (푐) > 0 => 푓(푥 ) − 푓(푥 )

푥 − 푥> 0

Бидејќи 푥 < 푥 => 푥 − 푥 > 0 => 푓(푥 ) − 푓(푥 ) > 0 => 푓(푥 ) > 푓(푥 )



Теорема: Теорема за константка разлика Ако 푓и 푔 се диференцијабилни на интервалот [푎, 푏], и ако 푓 (푥) = 푔 (푥) за ∀푥 ∈ [푎, 푏]. Тогаш 푓и 푔 се разликуваат за константа, т.ш.

푓(푥) = 푔(푥) + 푘, 푥 ∈ [푎, 푏] Доказ: Нека за 푥 , 푥 ∈ [a,b] 푥 < 푥 [푥 , 푥 ]∁[푎, 푏] па условите на Теоремата за средна вредност ќе важат и за интервалот [푥 , 푥 ].

ℎ(푥) = 푓(푥) − 푔(푥) Функцијата ℎ е непрекината на [a,b] како комбинација од непрекинати функции на [a,b]. Функцијата ℎ е диференцијабилна на (a,b) како комбинација од диференцијабилни функции на (a,b).

ℎ (푥) = 푓 (푥) − 푔 (푥) = 0 Според теоремата за средна вредност функцијата ℎ е константна функција ℎ(푥) = 푘 , ∀푥 ∈ [푎, 푏] 푓(푥) − 푔(푥) = 푘 푓(푥) = 푔(푥) + 푘, ∀푥 ∈ [푎, 푏]

Documents

Калкулус1-теорија ЦЕЛ МАТЕРИЈАЛ