§1 － 7 无穷小的比较

§1－ 7 无穷小的比较§1－ 7 无穷小的比较

一般 , 无穷小量的商有下列几种情形 .

)0( 33

,0)1( 常数非时当 xx

x

0 ,0)2(2

xx

x 时当

2

,0)3(x

xx 时当

.,)1(1

1)1(

,)4( 极限不存在时当 n

n

n

nn

定义 1. 设 lim(x)=0, lim(x)=0.

,0)()(

lim )1( xx

若

则称 (x) 是比 (x) 高阶的无穷小量 ,记作 , (x)=o((x))

或称 (x) 是比 (x) 低阶的无穷小量 ,

)()(

lim ,xx

若即

则称 (x) 是比 (x) 低阶的无穷小量 .

,0)()(

lim )2( Axx

若

则称 (x) 和 (x) 是同阶无穷小量 ,

记作 , (x)= O((x))

则称 (x) 是 (x) 的 k 阶无穷小量 .

,0)]([

)(lim, A

x

xk

若特别

))(()( xOx k 记作

,1)()(

lim )3( xx

若

则称 (x) 和 (x) 是等价无穷小量 ,

记作 , (x) ~ (x)

显然 , 若 (x) ~ (x), 则 (x) 和 (x) 是

同阶无穷小量 , 但反之不对 .

比如 ,

(i) )0( ).( , .0lim 22

0

xxox

xx

x所以因

(ii) )0( ).(cos1 , .21cos1

lim 220

xxOxx

xx

所以因

(iii) .~)ln(,~1,~tg,~sin,0 xxxxexxxxx x 时当

2

21

~cos1 xx

.1

~1,12

,11

,,1

2 ne

nO

nno

nn n

时例

n

n1

2

1

n

n2

11

ne

10

0.1

0.01

0.2

0.105

100

0.01

0.0001

0.02

0.01005

1000

0.001

0.000001

0.002

0.0010005

…

…

…

…

…

定理 1. 设 (x), (x), (x), (x) 是某极限过程中的无穷小量 . f (x) 是另一变量 , 且 , (x) ~

(x), (x) ~ (x), 则

,)()(

lim)()(

lim )1(xx

xx

),()(lim)()(lim )2( xfxxfx

.)(

)()(lim

)()()(

lim )3(x

xfxx

xfx

只须右端极限存在或为无穷大 .

证 : (1) 因为 (x) ~ (x), (x) ~ (x),

所以)()(

limxx

)()(

)()(

)()(

limxx

xx

xx

)()(

limxx

类似可证 (2), (3).

例 1. .5sin2tg

lim0 x

xx

求

解 : 由于当 x0, tgx ~ x, 从而 tg2x ~ 2x.

当 x0, sinx ~ x, 从而 sin5x ~ 5x.

故 ,xx

x 5sin2tg

lim0 x

xx 5

2lim

0

52

例 2. )( ,sinsin

lim0

babxax

ee bxax

x

解 :x

bax

baee xbabx

x

2sin

2cos2

)1(lim

)(

0

xba

e

xba

e xba

x

bx

x

2sin

)1(lim

2cos2

lim)(

00

xba

xbax

2

)(lim

21

0

= 1

bxaxee bxax

x sinsinlim

0

例 3. ).3

1ln(lim3

2

xx

x

求

解 : )3

1ln(lim3

2

xx

x

32 3

limx

xx

xx

3lim

= 0

或 , )3

1ln(lim3

2

xx

x

)

31ln(

33

lim3

3

x

xxx

33

3

)3

1ln(3

limx

x xx

3

3

3

)3

1ln(lim3

limx

xx xx

= 0 ·1= 0

例 4. .1

111

lim

2n

nnx

求

解 :

2

11

11

lim

n

nnx

)1(lim

2

nnn

x= 1

.1

111

nnn来代换的等价无穷小但不能用

事实上 , 若作代换 , 有

2

11

11

lim

n

nnn

2

11

11

1

lim

n

nnn

00lim n

显然 , 这个结果是错误的 .

例 5. 当 x0 时 , tgx – sinx 是 x 的几阶无穷小量 ?

解 : 首先注意结论 : 若当 x0 时 , f (x) = O(x),

g(x) = O(x), 则 f (x) · g(x) = O(x+), 其中 ,

, 均大于 0.

.0)(

,0)(

,0, Bx

xgA

x

xfx 时设当事实上

.0)()()()(

, BA

x

xg

x

xf

x

xgxf从而

由于 tgx – sinx = tgx(1– cosx)

因 tgx ~ x , 而 1– cosx = O(x2).

故 tgx – sinx = tgx(1– cosx ) = O(x3).

常用的等价无穷小 .常用的等价无穷小 .

当 x0 时 ,

sinx ~ x, tgx ~ x,

arctgx ~ x, arcsinx ~ x,

ex–1 ~ x, ln(1+x) ~ x,

2~cos1

2xx

)0,( ,~1)1( kRkkxx k

事实上 , 当 y > 0 时 , y = elny. 从而 ,

kxx k

x

1)1(lim

0

kx

e xk

x

1lim

)1ln(

0

kxxk

x

)1ln(lim

0

= 1

0, ,~1)1(, kRkkxx k所以

注 1. 用符号“ ”表示无穷小量比无穷小量的极限问

题 .

00

用符号“ ”表示无穷大量比无穷大量的极限问题 .

用符号“ 0 ·” 表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题 .

.,

,000

存在它们的极限甚至可能不一定是穷大量

也不”不一定是无穷小量” “，” “，“则

三种类型可以互化 . 比如 ,

”“”“”“”“00

10

11

00

注 2. 若当 x0 时 , f (x) = O(x ), g(x) = O(x ),

> >0.

则 f (x) g(x) = O(x), ).()()( xO

xgxf

§1－ 8 函数的连续性与间断点§1－ 8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性

例 . 火箭升空时 , 质量变化情形如图 .

t

m

o

m0

t0

一般 , 当 f (x) 连续变化时 , 其图形是一条连续曲线 .

反之 , 若 f (x) 图形是一条连续曲线 , f (x) 则是连续变化的 .

x

y

ox

y

o xx

y

y

x

y

x

y

x0

f (x0)A

B

x x0 x x0

从图上可看出 , (x) 在 x0 间断 . 但 f (x) 在 x0 连续 . (x) 在 x0 的极限不存在 , 而 ).()(lim 0

0

xfxfxx

y y

x0

y = (x) y = f (x)

定义 1. 设 f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0) 内有定义 .

且).()(lim 0

0

xfxfxx

则称 f (x) 在 x0 连续 , x0 称为 f (x) 的连续点 .否则称 f (x) 在 x0 间断 , x0 称为 f (x) 的间

断点 , 或称为不连续点 .

由于当 f (x) 为多项式时 , 有 ).()(lim 00

xfxfxx

0sinsinlim,0

xxxx

并且 0coscoslim0

xxxx

所以 , 多项式及正 , 余弦函数在任何点 x0 处连续 .

连续定义也可用语言给出。

若对 >0, >0, 使得当 |xx0|< 时 ,

对应的函数值 f (x) 满足 | f (x) f (x0) |<

则称 f (x) 在 x0 处连续 .

注 : 与极限定义比较 , 将 "a" 换成 " f (x0)"

将 "0<|xx0|< " 换成 " |xx0|< ".

例 1.

.0 ,0,,0,||)( 处连续在时当时当证明 x

xxxxxxf

证 : 0lim)(lim00

xxfxx

因 0)(lim)(lim00

xxfxx

0||lim)(lim 00

xxfxx

故

又因为 f (0)=0. )0()(lim 0

fxfx

从而

.0||)( 处连续在故 xxxf

如图

x

y

o

f (x) = |x|

还可得到 , |x| 在任何点 x0 处连续 .

.||||lim 00

xxxx

即

],,(),(),,[),( 000000 xxxUxxxU 记

称为 x0 的右邻域和 x0 的左邻域 .

).()( 00 xUxU 和简记为

)),()(lim)(()(lim 0000

xfxfxfxfxxxx

若

定义 2.

则称 f (x) 在 x0 处右 ( 左 ) 连续 .

设 f (x) 在 x0 的某右邻域 ( 某左邻域 ) 内有定义 ,

)( 0xU

)( 0xU

定理 1. f (x) 在 x0 处连续 f (x) 在 x0 左连续且右连续 .

例 2.

,0,0,3)(

2

xxaxxxf设问 a 为何值时 ,

f (x) 在 x=0 连续 .

解 : f (0)=3

)00( f )(lim0

xfx

)3(lim 2

0

x

x= 3

f (x) 在 x = 0 右连续 .

为使 f (x) 在 x=0 连续 , 必须 f (0–0)=f (0)=f (0+0)

即 , a=3.

故 , a=3 时 , f (x) 在 x=0 连续 .

)00( f )(lim0

xfx

)(lim0

xax

= a

例 3.

,0,10,1)( 时当时当设

xxxxxf 问 f (x) 在 x=0 是否连

续 .

解 : f (0)=1

)00( f )(lim0

xfx

)1(lim0

xx

=1 右连续 .

故 , f (x) 在 x=0 间断 .

)00( f )1(lim0

xx

= –1 f (0) 不左连续 .

图形为x

y

o–1

1

y=f (x)

若 f (x) 在 (a, b) 内每一点连续 , 则称 f

(x) 在开区间 (a, b) 内连续 .记作 f (x)C(a, b).

C(a, b) 表示在 (a, b) 内连续的函数全体所成集合 .

其中

若 f (x) 在 (a, b) 内连续 , 且 f (x) 在 x=a 右连续 .

在 x=b 左连续 . 则称 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续 .

记作 f (x)C[a, b].

一般 , 设变量 u 从初值 u0 变到终值 u

1,记 u=u1u0,

称为变量 u 的增量 ( 改变量 ).

u 可正 , 可负 , 还可为 0.另外 , u1 = u0+ u

记 y = f (x) f (x0) = f (x0 + x) f (x0)

称为 y 在 x0 处相应于 x 的增量 ( 改变量 ).

设 f (x) 在 U(x0) 有定义 ,

xU(x0), 记 x =xx0

称为自变量 x 在 x0 处增量 ( 改变量 ).且 x = x0 + x

定义 3. 设 y=f (x) 在 U(x0) 有定义 .

若当 x = xx00 时 , 有 y=f (x0+x)f (x0)0

.0lim 0

yx

即则称 f (x) 在 x0 连续 .

0)]()([lim)()(lim 0000

xfxfxfxfxxxx

由于

0lim)]()([lim0

000

yxfxxfxx( 令 x = xx

0)

连续定义可用函数的增量的形式给出 .

如图 .

x

y

o

B=(x0)

A

x0+ x

y

C

D

x0

x>0

y=CD 的长

0lim0

yx

y=(x)

x

y

o

f (x0)

x0+x x0+x x0

x<0 x>0

yM

N

y=CD 的长

y= –(MN 的长 ) C

D

0lim0

yx

y=f (x)

§1-9 §1-9 连续函数运算与初等函数的连续性连续函数运算与初等函数的连续性

定理 1. 若 f (x), g(x) 在点 x0 处连续 , 则

(1) af (x)+bg(x) 在 x0 处连续 , 其中 a, b 为常数 . (2) f (x) ·g(x) 在 x0 连续 .

(3) 当 g(x0)0 时 , .)()(

0连续在xxgxf

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

定理 2. 设若 y=f [(x)] 由 y=f (u), u=(x) 复合而成 .

若 u=(x) 在 x0 连续 ,u0=(x0), 而 y=f (u) 在 u0

则复合函数 y=f [(x)] 在 x0 连续 .

连续 ,

证 : 要证 y=f [(x)] 在 x0 连续 , 只须证 >0,

>0, 当 |x–x0|< 时 , 有 | f [(x)] –f [(x0)]|<.

即可 .

二、复合函数的连续性

>0, 因 y=f (u) 在 u0 连续 ,

故 > 0, 当 |u–u0|<, 有 | f (u) – f (u0)|< .

又因 u=(x) 在 x0 连续 .

从而对上述 > 0,

>0, 当 |x–x0|< 时 , 有 |u–u0|= |(x) – (u0)|< .

,||, ||, 00 uuxx 有时当故进而有

| f [(x)] – f [(x0)]| = | f (u) –f (u0)|<

故 y=f [(x)] 在 x0 连续 .

将这个定理与定理 1 比较 , 这里少了

条件 "Û (x0), 使得在 Û (x0) 内 , (x) u0"

.这是因为 f (u) 在 u0 连续 .

注意 : 定理 1 中条件 "… (x) u0 " 不能少 .

如 , 设

.1

,1,3

1,2)( 0 间断在

时当

时，当u

u

uufy

而 u = (x) =1, x R.

则当 xx0 时 , u = (x) 1.

而当 u 1 时 , y=f (u) 2.

即按 P52. 定理 2, 应有 .2)]([lim0

xfxx

但

3.

,1)(,3

1)(,2)]([

时当

时，当

x

xxf

.,33lim)]([lim 00

矛盾从而 xxxx

xf

推论 . 若 lim[(x)] =A. 且 y=f (u) 在 u=A 连续 ,

则

limf [(x)] = f [lim(x)]

式子 )]([lim0

xfxx

= f [(x0)] 相当于

)],(lim[)]([lim00

xfxfxxxx

因此 ,

有

例 4.x

x x

11sinlim求

x

x x1

1limsinx

x x

11sinlim解 :

.sin e

定理 3. 若 y =f (x) 在区间 I 上单调增加 ( 减少 ) 且连续 ,则其反函数 x=f –1(y) 在相应区间上单调增加 ( 减少 ) 且连续 .

定理 4. 若 y =f (x) 在 x0 连续 , 且 f (x0)>0 (<0), 则

U(x0), 使 x U(x0), 有 f (x)>0 (<0).

三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性

定理 6. (1) 基本初等函数在其定义域内连续 .

(2) 初等函数在其定义域内连续 .

例 5.x

xxx arctg

)34ln(lim

2

1

41arctg1ln1

2cos3

1lim

22

2

0

xx

xx 3

121

1

例 6.

称形如 y=[f (x)]g(x) 的函数为幂指函数 , 其中 f (x)>0. 根据对数恒等式 y=elny, y >0, 有 [f (x)]gx = eg(x) ·lnf (x),

即 ,

因此 , 当 f (x), g(x) 均连续时 , [f (x)]g (x) 也连续 .

则 )(0

)( 0

0

)]([)]([lim xgxg

xxxfxf

)()(lim ),()(lim 0000

xgxgxfxfxxxx

若

x

xx )2(lim

0

例 7. 120

若 limf (x) = A > 0. limg(x) = B, 存在 .

)()](lim[ xgxf则 )(ln)(lim xfxge

ABe lnBA

x

x xx

1

0

2sinlim例 8. = 21 = 2

012

1lim

2

x

x xx例 9.

.

21 的图形知由

x

y

y

x0

1

x

y

21

.1lim 121

2

x

x

xx例 10.

.2

1

的图形知由 xy

y

0 1 x

1

xy

若 limf (x)=1, limg(x)= , 称 lim[f (x)]g(x)

为“ 1 ” 型极限问题 .

若 limf (x)=0, limg(x)= 0, 称 lim[f (x)]g(x)


“ 1 ”, “ 00 ” 和“ 0 ” 型都不一定是无穷小量 , 也不一定是无穷大量 , 更不一定是 1.

若 limf (x)= , limg(x)= 0, 称 lim[f (x)]g(x)


.)(coslim2

1

0

x

xx

求例 11.

解 : “ 1 ” 型 ,

原式 =2

1cos1cos

1

0))1(cos1(lim x

xx

xx

2

1cos

1cos1

0))1(cos1(lim

x

x

x

xx

21

e

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§1 － 7 无穷小的比较