1 บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น บทที่1 ... · ติวสบายคณิต เล่ม 1 บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตวสบายคณต เลม 1 http://www.pec9.com บทท 1 ตรรกศาสตรเบองตน

1

บทท 1 ตรรกศาสตรเบองตน

1.1 ประพจน

ประพจน คอขอความทอยในรปของประโยคบอกเลา หรอประโยคปฏเสธ ซงจะเปนจรงหรอเทจอยางหนงอยางใดเทานน

เชน หนงสปดาหม 7 วน เปนจรง ถอวาเปนประพจน หนงเดอนม 45 วน เปนเทจ ถอวาเปนประพจน หนงปม 15 เดอน เปนเทจ ถอวาเปนประพจน ขอใหโชคด บอกจรงเทจไมได ไมถอวาเปนประพจน จะไปไหนกน บอกจรงเทจไมได ไมถอวาเปนประพจน

1. ประโยคตอไปน มกประโยคทเปนประพจน ก. เดอนสงหาคม ม 30 วน ข. 7 {1 , 3 , 5 , 7 , 9} ค. (8 + 22)3 หารดวย 102 ไมลงตว ง. กรณารกษาความสะอาด

จ. จงตอบค าถามตอไปน ฉ. 3 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

2. ประโยคตอไปน มกประโยคทเปนประพจน

ก. 9 เปนจ านวนเฉพาะ ข. {1 , 2 } ค. โทรไดตามอ าเภอใจ ง. x เปนตวประกอบตวหนงของ x2 – x จ. {ก , ข , ค} = {1 , 2 , 3} ฉ. { 0 } { , 0 }

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6


2

1.2 การเชอมประพจน หากเรามประพจนยอยหลายๆ ประพจน เราสามารถน าประพจนยอยเหลานนมารวมกน ใหประพจนเดยวไดโดยใสตวเชอมประพจนเขาไประหวางประพจนยอยเหลานน

ตวเชอมประพจนม 4 ตว ไดแก 1) และ () 2) หรอ () 3) ถา.......แลว....... ( ) 4) กตอเมอ ( ) เชน ไกม 2 ขา และ ชางมงวง

1.2.1 การเชอมประพจนดวยตวเชอม และ ( ) ประพจนทถกเชอมดวยตวเชอมประพจน และ ประพจนรวมทไดจะเปนจรงหรอเทจ ใหพจารณาตามตารางตอไปน

p q p q T T T T F F F T F F F F

ตวอยาง ไกม 2 ขา และ หมมนอ ตวอยาง 6 เปนเลขค และ 3 เปนเลขค T F T T F T 1.2.2 การเชอมประพจนดวยตวเชอม หรอ ( ) ประพจนทถกเชอมดวยตวเชอมประพจน หรอ ประพจนรวมทไดจะเปนจรงหรอเทจ ใหพจารณาตามตารางตอไปน

p q p q T T T T F T F T T F F F

ตวอยาง ไกม 2 ขา หรอ หมมนอ ตวอยาง 6 เปนเลขค หรอ 3 หารดวย 2 ลงตว T F F F T F

จ ำงำย ๆ

ถำ T T ตอบ T นอกนน F หมด

จ ำงำย ๆ

ถำ F F ตอบ F นอกนน T หมด


3

1.2.3 การเชอมประพจนดวยตวเชอม ถา.......... แลว.......... ( ) ประพจนทถกเชอมดวยตวเชอมประพจน ถา.........แลว..... ประพจนรวมทไดจะเปนจรงหรอเทจ ใหพจารณาตามตารางตอไปน

p q p q T T T T F F F T T F F T

ตวอยาง ตวอยาง ถา ไกม 2 ขา หรอ หมมนอ ถา 6 เปนเลขค แลว 3 หารดวย 2 ลงตว T F F F T T 1.2.4 การเชอมประพจนดวยตวเชอม กตอเมอ ( ) ประพจนทถกเชอมดวยตวเชอมประพจน กตอเมอ ประพจนรวมทไดจะเปนจรงหรอเทจ ใหพจารณาตามตารางตอไปน

p q p q T T T T F F F T F

F F T ตวอยาง ตวอยาง ไกม 2 ขา กตอเมอ หมมนอ 6 เปนเลขค กตอเมอ 3 หารดวย 2 ลงตว T F F F F T

1.2.5 นเสธของประพจน () นเสธของประพจนใด คอประพจนทมคาความจรงตรงกนขามกบประพจนเดมนน

p p T F F T

จ ำงำยๆ ถำ T F ตอบ F นอกนน T หมด


4

ฝกท า. จงสรางตารางตอไปนใหสมบรณ p q p q

รอบ 1 p q รอบ 2

p q รอบ 3

p q รอบ 4

p q รอบ 5

T T T F F T F F

3. ประพจนตอไปน มกประพจนทเปนจรง ก. 2 > 3 และ 5 x 3 = 18 ข. กรงเทพเปนเมองหลวง และ เปนเมองใหญของประเทศไทย ค. 5 + 3 8 แต 8 – 3 = 5

ง. 32 มากกวา 1 และ เปนจ านวนเตม 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

ฝกท า. จงสรางตารางตอไปน p q p q

รอบ 1 p q รอบ 2

p q รอบ 3

p q รอบ 4

p q รอบ 5

T T T F F T F F


5

4. ประพจนตอไปน มกประพจนทเปนจรง ก. 2 > 3 หรอ 3 > 2

ข. x ทกตวในจ านวนเตมเปนเลขค หรอ ไมมจ านวนเตมทเทากบ 0 ค. กรงเทพเปนเมองหลวงของไทย หรอ เชยงใหมเปนเมองหลวงของไทย ง. โสภเปนผหญง หรอ สมชายเปนผชาย

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 ฝกท า. จงสรางตารางตอไปนใหสมบรณ

p q pq รอบ 1

pq รอบ 2

pq รอบ 3

pq รอบ 4

pq รอบ 5

T T T F F T F F

5. ประพจนตอไปน มกประพจนทเปนจรง ก. ถา โสภเปนผชาย แลว สมชายเปนผหญง ข. ถา 5 x 2 = 10 แลว 5 + 2 = 10 ค. ถา 3 + 2 = 6 แลว 6 – 2 = 3 ง. ถา 3 x 2 = 6 แลว 2

6 = 3 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


6

ฝกท า. จงสรางตารางตอไปนใหสมบรณ p q pq

รอบ 1 pq รอบ 2

pq รอบ 3

pq รอบ 4

pq รอบ 5

T T T F F T F F

6. ประพจนตอไปน มกประพจนทเปนจรง ก. 2 + 2 = 4 กตอเมอ 2 x 2 = 4 ข. 3 + 5 = 15 กตอเมอ 15 – 5 = 10 ค. เมองไทยไมใชเมองรอน กตอเมอ เมองไทยมหมะตก ง. 20 เปนจ านวนค กตอเมอ 20 4 ลงตว 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

นเสธของประพจน () คอประพจนทมคำควำมจรงตรงกนขำมกบประพจนเดม

p p T F F T

ฝกท า. จงสรางตารางตอไปนใหสมบรณ p q p q p q p q p q p T T T F F T F F


7

1.3 การหาคาความจรงของประพจน

7. ก าหนดให p , q , r , s และ t มคาความจรงเปน จรง เทจ จรง เทจ และ เทจ ตามล าดบ ประพจนตอไปนมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) (p q) r (ข) (p r) (t s) 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ 8. ก าหนดให p , q , r , s และ t มคาความจรงเปน จรง เทจ จรง เทจ และ เทจ ตามล าดบ ประพจนตอไปนมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) (p s) (p r) (ข) [(p q) t] 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ


8

9. ก าหนดให p , q , r , s และ t มคาความจรงเปน จรง เทจ จรง เทจ และ เทจ ตามล าดบ ประพจนตอไปนมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) [ (r s) p] (ข) (p q) (r t) 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ

10. ก าหนดให p , q , r , s และ t มคาความจรงเปน จรง เทจ จรง เทจ และ เทจ ตามล าดบ ประพจนตอไปนมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) (r q) (s t) (ข) (p q) (r s) 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ


9

11. ก าหนดให p , q , r , s และ t มคาความจรงเปน จรง เทจ จรง เทจ และ เทจ ตามล าดบ ประพจนตอไปนมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) (s p) (q r) (ข) (q r) (p s) 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ

ฝกท า. จงเตมค าลงในชองวางตอไปนใหถกตองและสมบรณ 1. F = …………… 2. F = …………… 3. F ก = …………… 4. ก F = …………… 5. F ก = …………… 6. F ก = ……………

ฝกท า. จงเตมค าลงในชองวางตอไปนใหถกตองและสมบรณ

1. T = …………… 2. T = …………… 3. T ก = …………… 4. ก T = …………… 5. T ก = …………… 6. T ก = …………… 7. ก = …………… 8. F ก = ……………

ฝกท า. จงเตมค าลงในชองวางตอไปนใหถกตองและสมบรณ 1. F T = …………… 2. F = …………… 3. T = …………… 4. F ก = …………… 6. T ก = …………… 7. ( F ) = …………


10

12. จงหาคาความจรงของประพจนทก าหนดใหตอไปน ก. (q r) (s p) ถา q เปน จรง ข. (q r) (s p) ถา q เปนเทจ

1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ 13. จงหาคาความจรงของประพจนทก าหนดใหตอไปน

ก. (q r) (s p) ถา q เปนเทจ และ s เปนจรง ข. ( s r) (q p) ถา p เปนจรง ค. ( ~p r) (q p) ถา p เปนจรง

1. ก. จรง ข. จรง ค. จรง 2. ก. จรง ข. จรง ค. เทจ 3. ก. เทจ ข. เทจ ค. เทจ 4. ก. เทจ ข. จรง ค. เทจ


11

14. ก าหนดให ( p q ) r มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรงของ p , q , r คอขอใดตอไปน ( ตอบตามล าดบ ) 1. T , T , F 2. T , F , F 3. T , F , T 4. F , F , F 15. ก าหนดให ( p q) (r s) มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรงของ p , q , r , s คอขอใดตอไปน ( ตอบตามล าดบ ) 1. T , T , F , F 2. T , F , F , F 3. T , F , T , T 4. F , F , F , T


12

16. ก าหนดให ( p q) (r q) มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรงของ p , q , r คอขอใดตอไปน ( ตอบตามล าดบ ) 1. T , T , F 2. T , F , F 3. T , F , T 4. F , F , F 17. ถา p q มคาความจรงเปนเทจ จงหาคาความจรงของประพจน (p q) (p q)

1. จรง 2. เทจ 3. ทงจรงและเทจ 4. ขอมลไมเพยงพอ


13

18(แนว En) ให p , q และ r เปนประพจน ถา (p q) (q r) มคาความจรงเปนเทจ แลวประพจนในขอใดตอไปน มคาความจรงเปนจรง 1. p q 2. p r 3. p q 4. q r 19(แนว มช) ใหคาความจรงของ r และ s เปนจรงและเทจตามล าดบ แลวคาความจรงของ p และ q ทท าใหประพจน [ (p q ) r ] ( p s ) มคาความจรงเปนเทจคอขอใด

1. p เปนจรง q เปนจรง 2. p เปนเทจ q เปนเทจ 3. p เปนเทจ q เปนจรง 4. p เปนจรง q เปนเทจ


14

20. ถา [ p(q r) ] (s r ) มคาความจรงเปนเทจ จงหาคาความจรงของ p , q , r และ s ( ตอบตามล าดบ )

1. T , T , F , F 2. T , T , F , T 3. T , F , T , T 4. F , F , F , T

21(แนว มช) ถาประพจน [ p (q r) ] (q r) มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรง ของประพจน p , q , r ตามล าดบคอ.......... ( ตอบตามล าดบ ) 1. T , T , F 2. T , F , F 3. T , F , T 4. F , F , F


15

1.4 การสรางตารางคาความจรง

การสรางตารางคาความจรงเปนวธการหาคาความจรงของประพจนในทกกรณทเปนไปได

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของ (p q) (p q) วธท า รปแบบของประพจน (p q) (p q) ประกอบดวยประพจนยอยสอง

ประพจนคอ p , q จงมกรณเกยวกบคาความจรงทอาจเกดขนไดทงหมด 4 กรณ

p q p q p q p q (p q) (p q) T T F F

T F T F

T F T T

F F T T

F T F T

F F F T

F T F T

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของ ( p q ) r วธท า รปแบบของประพจน ( p q ) r ประกอบดวยประพจนยอยสามประพจนคอ p , q และ r จงมกรณเกยวกบคาความจรงทอาจเกดขนไดทงหมด 8 กรณ

p q r p q (p q ) r T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

T T F F F F F F

T F

T T T T T T


16

22. เมอสรางตารางคาความจรงของประพจน p (r p) แลว มกกรณทมคาความจรง เปนจรง 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 23. เมอสรางตารางคาความจรงของ (p q) r แลว มกกรณทมคาความจรงเปนจรง 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7


17

1.5 รปแบบของประพจนทสมมลกน

ประพจน 2 ประพจน จะสมมลกนไดกตอเมอคาความจรงของ 2 ประพจนนน มคาตรงกนทกกรณ ตวอยาง จงแสดงวา (p q) สมมลกบ p q หรอไม

p q p q (p q) p q p q T T F F

T F T F

T T T F

F F F T

F F T T

F T F T

F F F T

จะเหนวา คาความจรงของ (p q) กบ p q ตรงกนทกกรณ ดงนน (p q) สมมลกบ p q

ประพจนแตละคตอไปนสมมลกนเสมอ

1) p q q p 2) p q q p 3) p ( q r) ( p q ) r 4) p ( q r) ( p q ) r 5) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 6) p ( q r) ( p q ) ( p r) 7) ( p q ) p q 8) ( p q ) p q 9) p q p q ตวอยาง A B A B K L K L 10) ( p q ) ( p q ) p q 11) p q q p 12) p q ( p q ) ( q p)

วธท า


18

13) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 14) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 15) ( q r ) p ( q p ) ( r p ) 16) ( q r ) p ( q p ) ( r p ) 17) p p p 18) p p p 19) p ~p F 20) p ~ p T

21) p F F 22) p T T 23) p T p 24) p F p

ฝกท า. จงเตมค าลงในชองวางใหถกตอง 1) p q ....................................

2) p q .................................... 3) p ( q r) .................................... 4) p ( q r) .................................... 5) p ( q r ) .................................... 6) p ( q r) .................................... 7) ( p q ) .................................... 8) ( p q ) ....................................

24. ประพจน p ( q r) สมมลกบขอใดตอไปน 1. ( p q ) r 2. ( q p ) r 3. ( p r ) q 4. ถกทกขอ


19

25. ประพจน p ( q r) สมมลกบขอใดตอไปน 1. ( p q ) ( p r ) 2. ( p q ) r 3. ( q p ) ( r p ) 4. มขอถกมากกวา 1 ขอ

26. ประพจน ( p q r) สมมลกบขอใดตอไปน 1. p q r 2. p q r 3. p q r 4. มขอถกมากกวา 1 ขอ ฝกท า. จงเตมค าลงในชองวางใหถกตอง 1) p q .................................... 2) ( p q ) .................................... 3) p q .................................... 4) p q ....................................


20

27. ประพจนในขอตอไปน มกขอทสมมลกน ก. P Q กบ Q P ข. (P Q) กบ P Q ค. (~X Y ) กบ Y X 1. 0 ขอ 2. 1 ขอ 3. 2 ขอ 4. 3 ขอ

28. ประพจนในขอตอไปนสมมลกนหรอไม

ก. (P Q ) R กบ (~P ~Q ) R ข. (P Q) (X Y) กบ (~P ~Q) (X Y) 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


21


ก. ( P Q ) ( R S ) กบ ( R S ) ( P Q ) ข. p q กบ ( q p ) ( q p) 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล 30. ประพจนในขอตอไปนสมมลกนหรอไม

ก. p ( q p) กบ p ( p q ) ข. p ( q r ) กบ ( p q ) r 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


22


ก. p ( q ( r p ) ) กบ p ( q ) r ข. p q กบ ( p q ) p 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล 32. ประพจนในขอตอไปนสมมลกนหรอไม

ก. p ( q q ) กบ q ข. p ( p q ) กบ q p 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


23


ก. (p q) (r r) กบ q p ข. p q กบ [p (q q)] [q (p p)] 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล

1.6 สจนรนดร สจนรนดร คอประพจนกมคาความจรงเปนจรงทกกรณ

วธการตรวจสอบวาประพจนใดเปนสจนรนดร ( ส าหรบโจทยทวไป ) ขนท 1 ใหสมมตคาความจรงของประพจนรวม เปนเทจ

ขนท 2 หาคาความจรงของประพจนยอย ๆ ขนท 3 พจารณาคาความจรงของประพจนยอย

หากมความขดแยงทกกรณ จะสรปวาประพจนรวมนนเปนสจนรนดร หากไมขดแยงแมกรณเดยว จะสรปวาประพจนรวมนนไมเปนสจนรนดร

วธการตรวจสอบวาประพจนใดเปนสจนรนดร ( ส าหรบหรบประพจนทมตวเชอม ) ขนท 1 พจารณาวาประพจนดานซายและขวาของ สมมลกนหรอไม ขนท 2 หากประพจนดานซายและขวาของ สมมลกน ประพจนรวมจะเปนสจนรนดร

หากประพจนดานซายและขวาของ ไมสมมลกน ประพจนรวมจะไมเปนสจนรนดร


24

34. ประพจนตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม ก. ( p q) p ข. ( ~ p ) ( p q ) 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

35. ประพจนตอไปนเปนสจนรนดร หรอไม ก. ( p q ) ( p q ) ข. ( p q ) ( p q ) 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน


25

36. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. [ (p q) p] p ข. ( p q ) ( p q)

1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

37. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. [ ( q p ) q ] p ข. ( p q ) ( p q) 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน


26

38. ประพจนตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม ก. ( p q ) ( p q ) ข. ( p q ) ( p q ) 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

1.7 การอางเหตผล

การอางเหตผล คอการใชเหตการณซงสมมตวาจะเกดขนจรง มาอางถงผลทเกดตามมา ขนตอนการตรวจสอบวา การอางเหตผลนน ๆ สมเหตสมผลหรอไม ขนท 1 สมมตใหเหตทกเหตเปนจรง และผลเปนเทจ ขนท 2 หาคาความจรงของประพจนยอยๆ ขนท 3 พจารณาคาความจรงของประพจนยอย

หากมความขดแยงทกกรณ จะสรปวาเปนการอางแบบสมเหตสมผล หากไมขดแยงแมกรณเดยว จะสรปวาเปนการอางแบบไมสมเหตสมผล


27

39(แนว En) พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p (q r ) ข. เหต 1. ( p q ) r

2. q 2. ( r s ) 3. r 3. p ผล p ผล q ขอใดตอไปนถก 1. ก. และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก.ไมสมเหตสมผล ข. สมเหตสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล

40. จงตรวจสอบวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตผลหรอไม เหต 1. p q 2. p r 3. s r 4. q ผล s 1. สมเหตผล 2. ไมสมเหตผล 3. สม และไมสมเหตผล 4. ขอมลไมเพยงพอ


28

41. จงตรวจสอบวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตผลหรอไม เหต 1. สมชายไปวายน า หรอ สมหญงไปเลนเทนนส

2. สมหญงไมเลนเทนนส ผล สมชายไปวายน าหรอไปตลาด

1. สมเหตผล 2. ไมสมเหตผล 3. สม และไมสมเหตผล 4. ขอมลไมเพยงพอ

1.8 ประโยคเปด

ประโยคเปด คอประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมตวแปร และเมอแทนตวแปรดวยสมาชกในเอกภพสมพทธแลวไดประพจน เชน x + 5 > 0 เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนเตม

ฝกท า. ประโยคตอไปน ขอใดเปนประโยคเปด 1. เขาก าลงเรยนอยชนมธยมศกษาปท 4 ใชหรอไม

2. ถา {3} {0 , 1} แลว 3 {0 , 1} 3. x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2)

4. เธอเปนนกรองเพลงไทยสากลของโรงเรยน 5. ทงขยะใหเปนทจะชวยใหบานเมองสะอาด 6. x + x = 2x และ x – x = 0

7. 21 x – x2 6

8. ถา x เปนจ านวนเตมแลว 3 ไมใชจ านวนจรง


29

1.9 ตวบงปรมาณ

โดยล าพงประโยคเปดอยางเดยวจะบอกคาความจรง ( บอกวาเปนจรงหรอเปนเทจ ) ไมได แตถามวลบงปรมาณอยดวย อาจสามารถบอกคาความจรงของประโยคเปดนนได

วลบงปรมาณม 2 ตว คอ 1) x อานวา ส าหรบ x บางตว 2) x อานวา ส าหรบ x ทกตว

ตวอยาง x ( x + 5 = 9) อานวา “ ส าหรบ x บางตว x + 5 = 9 ” ประโยคนเปนจรง

x ( x + 5 = 9) อานวา “ ส าหรบ x ทกตว x + 5 = 9 ” ประโยคนเปนเทจ

1.10 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว

การพจารณาคาความจรงของประโยคเปดใดๆ ตองพจารณา 3 สวนตอไปน 1. พจารณาตวประโยคเปด 2. พจารณาวลบงปรมาณ 3. พจารณาเอกภพสมพทธ

ควรทราบวา x [ P (x) ] 1) จะเปนจรง กตอเมอแทนคา x ทกคาใน U แลวท าใหประโยค P(x) เปนจรง

2) จะเปนเทจ เมอม x ใน U แมแตเพยง 1 ตว ทท าใหประโยค P(x) เปนเทจ ตวอยาง. x ( x + 1 x2 ) ก าหนด U = { 2 , 3 , 4 , ……}

อานวา “ ส าหรบ x ทกตวในเซต { 2 , 3 , 4 , …. } จะไดวา x + 1 x2 ” ประโยคนเปนจรง เพราะไมวาใชเลขใดใน U มาแทน x สมการ x + 1 x2 จะเปนจรง

2. x ( x + 1 x2 ) ก าหนด U = { 1 , 2 , 3 , 4 , ……} อานวา “ ส าหรบ x ทกตวในเซต { 1 , 2 , 3 , 4 , …… } จะไดวา x + 1 x2 ”

ประโยคนเปนเทจ เพราะหากแทนคา x เปน 1 สมการ x + 1 x2 จะเปนเทจ


30

ควรทราบวา x [ P (x) ] 1) จะเปนจรง เมอมคา x ใน U อยางนอย 1 ตว ทท าใหประโยค P (x) จรง

2) จะเปนเทจ เมอไมม x ใดๆ ใน U ทท าใหประโยค P(x) เปนจรง ตวอยาง 1. x (x2 > 2x) ก าหนด U = { 1 , 2 , 3 }

อานวา “ ม x บางตวในเซต {1 , 2 , 3 } ทท าให x2 > 2x ” ประโยคนเปนจรง เพราะหากแทนคา x เปน 3 สมการ x2 > 2x จะเปนจรง 2. x (x2 > 2x) ก าหนด U = { 0 , 1 , 2 }

อานวา “ ม x บางตวในเซต {0 , 1 , 2 } ทท าให x2 > 2x ” ประโยคนเปนเทจ เพราะไมมเลขใดใน U ทท าใหสมการ x2 > 2x จะเปนจรง

42. ประโยคตอไปน มกขอทมคาความจรงเปนจรง ก. x ( x – 5 = 10) ข. x ( x2 > 0) ค. x ( x + 6 = 18 ) ง. x ( x2 > 0) จ. x ( | x | < 0) 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 43. ก าหนดให ก. x [ x2 – 2x = 3 ] เมอ U = { –2 , –1 , 0 , 1 , 2 } ข. x [ x + 2 > 2 – x ] เมอ U = I แลวคาความจรงของ ก. และ ข. เปนไปตามขอใดตอไปน 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ


31

1.11 สมมลและนเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ

นเสธของฟงกชนทควรทราบมดงตารางตอไปน นเสธคอ

x P(x) =

x ~ P(x)

44. นเสธของประโยค xy [ (xy < 0) ( x < 0 y < 0) ] คอขอใดตอไปน 1. x y [ (xy < 0) ( x < 0 y < 0) ] 2. x y [ (xy > 0) ( x > 0 y > 0) ] 3. x y [ (xy > 0) ( x > 0 y > 0) ] 4. x y [ (xy > 0) ( x > 0 y > 0) ]

45. จงหานเสธของประโยค x y [ ( xy < 0 ) ( x < 0 ) ] คอขอใดตอไปน 1. xy [ ( xy < 0 ) ( x 0 ) ] 2. xy [ ( xy < 0 ) ( x 0 ) ] 3. xy [ ( xy 0 ) ( x 0 ) ] 4. xy [ ( xy 0 ) ( x 0 ) ]


32

1.12 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณสองตว

ประโยคทมตวบงปรมาณสองตว สามารถเขยนได 8 รปแบบ ไดแก xy [P(x, y)] xy[P(x , y)] xy[P(x, y)] xy[P(x , y)] yx [P(x, y)] yx[P(x , y)] yx[P(x, y)] yx[P(x , y)]

การหาคาความจรงของประโยคเหลาน เราจะอาศยบทนยามตอไปน

บทนยาม ประโยค xy [P(x, y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวในเอกภพสมพทธ แลวท าให P(a , b) เปนจรงเสมอ

ประโยค xy [P(x, y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b บางตวในเอกภพสมพทธ แลวท าให P(a , b) เปนเทจเสมอ

บทนยาม ประโยค xy [P(x, y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b บางตวในเอกภพสมพทธ แลว P(a , b) เปนจรง

ประโยค xy [P(x, y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวในเอกภพสมพทธ แลว P(a , b) เปนเทจ

บทนยาม ประโยค xy [P(x , y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลวท าใหประโยค y [P(a , y)] เปนจรง

ประโยค xy [P(x , y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวในเอกภพสมพทธ แลวท าใหประโยค y [P(a , y)] เปนเทจ

บทนยาม ประโยค xy [P(x , y)] มคาความจรงเปนจรงกตอเมอแทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวในเอกภพสมพทธ แลวประโยค y [P(a , y)] เปนจรง

ประโยค xy [P(x , y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลวประโยค y [P(a , y)] เปนเทจ

46. ก าหนดให U = {–1 , 0 , 1} คาความจรงของประโยคตอไปน คอขอใด (a) xy [ x y 2 ] (b) xy [ x + y 2 ] 1. (a) จรง (b) จรง 2. (a) จรง (b) เทจ 3. (a) เทจ (b) จรง 4. (a) เทจ (b) เทจ


33

47. ก าหนดให U = จ านวนเตม จงหาคาความจรงของ (a) xy [ x y = y x ] (b) xy [ x + y = 0 ] 1. (a) จรง (b) จรง 2. (a) จรง (b) เทจ 3. (a) เทจ (b) จรง 4. (a) เทจ (b) เทจ

48. ก าหนดให U = {–1 , 0 , 1} จงหาคาความจรงของ (a) xy [ 2x + y = 2 ] (b) xy [ x + y 2 ] 1. (a) จรง (b) จรง 2. (a) จรง (b) เทจ 3. (a) เทจ (b) จรง 4. (a) เทจ (b) เทจ

49. ก าหนดให U = {–1 , 0 , 1} จงหาคาความจรงของ (a) xy [ x y ] (b) xy [ x + y = 0 ] 1. (a) จรง (b) จรง 2. (a) จรง (b) เทจ 3. (a) เทจ (b) จรง 4. (a) เทจ (b) เทจ

50. ก าหนดให U = {–1 , 0 , 1} จงหาคาความจรงของ (a) xy [ x + y = 0 ] (b) xy [ x y ] 1. (a) จรง (b) จรง 2. (a) จรง (b) เทจ 3. (a) เทจ (b) จรง 4. (a) เทจ (b) เทจ


34

เฉลยบทท 1 ตรรกศาสตรเบองตน

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 1. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 2. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 1. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 2. 24. ตอบขอ 4. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 2. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 1. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 1. 39. ตอบขอ 3. 40. ตอบขอ 1. 41. ตอบขอ 1. 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 2. 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 1. 46. ตอบขอ 2. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 2. 49. ตอบขอ 1. 50. ตอบขอ 2.


35

ตะลยโจทยท วไป บทท 1 ตรรกศาสตรเบองตน

1.1 ประพจน 1. ประโยคตอไปน มกประโยคทเปนประพจน ก. อยามายงกบฉนไดไหม ข. ท าไมมาโรงเรยนสาย

ค. 2 เปนจ านวนเตม ง. 2 หรอ –3 เปนค าตอบของ x2 –x = 6 จ. ขอใหเดนทางกลบโดยสวสดภาพ ฉ. 16 หารดวย 5 ลงตว

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

1.2 การเชอมประพจน

2. ประพจนตอไปน มกประพจนทมคาความจรงเปนจรง

ก. 2 > 2 หรอ 4 < 2 ข. 2 > 2 หรอ 2 < 2 ค. ถำ 2 หำร 7 ไมลงตว แลว 7 เปนเลขค ง. ถำ 2 < 1 แลว 2 < 0

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

3. ประพจนตอไปน มกประพจนทมคาความจรงเปนจรง ก. ถำ 2 < 1 แลว 1 > 0 ข. 2 < 8 กตอเมอ 3 < 1 ค. 2 เปนจ ำนวนเตม หรอไมใชจ ำนวนเตม ง. 8 < 1 กตอเมอ 9 < 2 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

4. ประพจนขอใดตอไปน มคาความจรงเปนจรง 1. 2 + 4 = 4 + 2 กตอเมอ 5 x 2 = 2 x 3 2. ถา 2 x 3 = 3 x 2 แลว { 2 + 3 = 3 + 2 และ 2 – 3 = 3 – 2 } 3. { –2 = 2 หรอ –2 = –2 } กตอเมอ 1 + 2 = 2 – 1 4. ไมจรงท 3 เปนทงเลขคและเลขค


36

1.3 การหาคาความจรงของประพจน

5. ก าหนดให P , Q , R , S มคำควำมจรงเปน T , F , T , F ตามล าดบ ประพจนตอไปน มกประพจนทมคาความจรงเปนจรง ก. (P Q) R ข. (P Q) R ค. (P Q) R

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

6. ก าหนดให P , Q , R , S มคำควำมจรงเปน T , F , T , F ตามล าดบ ประพจนตอไปน มกประพจนทมคาความจรงเปนจรง ก. (P Q) R ข. (P Q) S ค. (P S) Q

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

7. ก าหนดให P , Q , R , S มคำควำมจรงเปน T , F , T , F ตามล าดบ ประพจนตอไปน มกประพจนทมคาความจรงเปนจรง ก. (R S) Q ข. (Q P) R ค. (S R) P 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

8. ก าหนดให P , Q , R , S มคำควำมจรงเปน T , F , T , F ตามล าดบ ประพจนตอไปน มกประพจนทมคาความจรงเปนจรง

ก. (P S) Q ข. (R S) Q ค. Q (S P) 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

9. ก าหนดให P , Q , R , S มคำควำมจรงเปน T , F , T , F ตามล าดบ ประพจนตอไปน มคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) [(P S) (R Q)] P

(ข) [S Q) (R P)] S (Q P) 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ


37

10. ก าหนดให P , Q , R , S มคำควำมจรงเปน T , F , T , F ตามล าดบ ประพจนตอไปน มคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) [(S P) R] [(Q P) S]

(ข) [(P Q) R] S [(S R) Q] P 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ

11. ก าหนดให P , Q , R , S มคำควำมจรงเปน T , F , T , F ตามล าดบ ประพจนตอไปน มคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) [(P Q) R] S (P R) S

(ข) (S Q) (R P) [(P Q) R] S 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ

12. ก าหนดให p , q , r , s และ t มคาความจรงเปน จรง เทจ จรง เทจ และ เทจ ตามล าดบ ประพจนตอไปนมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) [ (p q) (t r) ] s (ข) [ (pq) (ts) ] [ (qr) s ] 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ

13. ให p , q , r มคำควำมจรงเปน T , F , T ตำมล ำดบ จงหำวำประพจน [ p (q r) ] [ (p q) (p r) ] มคำควำมจรงตรงกบขอใด

1. [(p q) p] 2. p (p q) 3. [(p q) (p q)] 4. q p

14. ประพจนและเงอนไขทก าหนดใหตอไปน มคาความจรงเปนจรงหรอเทจ (ก) (p q) r เมอ r มคำควำมจรงเปน F

(ข) p (p q) เมอ q มคำควำมจรงเปน T 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ


38

15. จงหาคาความจรงของประพจนทก าหนดใหตอไปน ก. q (p q) ถา q เปนเทจ

ข. p (q r) ถา q เปนเทจ ค. p (q r) ถา p เปนเทจ

1. ก. จรง ข. จรง ค. จรง 2. ก. จรง ข. จรง ค. เทจ 3. ก. เทจ ข. เทจ ค. เทจ 4. ก. เทจ ข. จรง ค. เทจ

16. ถำ p (q r) มคำควำมจรงเปนเทจ แลวคำควำมจรงของ p , q , r คอ 1. p จรง q จรง r จรง 2. p จรง q จรง r เทจ 3. p จรง q เทจ r เทจ 4. p เทจ q จรง r เทจ

17. ถา (p q) (r s) มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรงของ p , q , r , s คอ 1. p จรง q จรง r จรง s เทจ 2. p เทจ q จรง r เทจ s เทจ 3. p จรง q เทจ r จรง s เทจ 4. p เทจ q จรง r จรง s เทจ

18. ถำ p (q r) เปนเทจ แลว [p (q r)] [(p q) (p r)] ม คำควำมจรง เปนอยำงไร 1. จรง 2. เทจ 3. ทงจรงและเทจ 4. ขอมลไมเพยงพอ

19. ถำ p q เปนเทจ และ q r เปนจรง ขอใดตอไปนมคำควำมจรงเปนเทจ 1. p (q r) 2. (p q) r 3. (q p) r 4. (p q) r

20. ถา [(p r) (r s) q มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรงของ p , q , r , s คอ 1. p จรง q จรง r จรง s เทจ 2. p เทจ q จรง r เทจ s เทจ 3. p จรง q เทจ r จรง s เทจ 4. p เทจ q เทจ r จรง s เทจ


39

21. ถา [(p q) (p s)] (r s) มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรง p , q , r , s คอ 1. p จรง q จรง r จรง s เทจ 2. p เทจ q จรง r เทจ s เทจ 3. p จรง q เทจ r จรง s เทจ 4. p เทจ q จรง r จรง s เทจ

22. ถำ (p q) และ (r p) มคำควำมจรงเปนจรงแลว ขอใดตอไปนมคำควำมจรง เปนเทจ 1. (p q) (r q) 2. (p q) (r q) 3. [(p q) (r q)] p 4. [(p r) (q p)] q

23. ก าหนดให (p q) , (q r) , (r s) มคาความจรงเปนจรง สวน p r มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรงของ p , q , r , s ตามล าดบคอ 1. p จรง q จรง r จรง s เทจ 2. p เทจ q จรง r เทจ s เทจ 3. p จรง q เทจ r จรง s เทจ 4. p เทจ q เทจ r เทจ s เทจ

24. ถำ [p (q r)] (s r) เปนจรง และ (p s) เปนเทจ แลว ขอใดถกตอง 1. p q เปนจรง 2. q r เปนจรง 3. r s เปนเทจ 4. s p เปนเทจ

25. ถำ (p q) และ [ p(q)(pq) ] [ (pq) (pq) ] มคำควำมจรงเปนเทจ และจรง ตำมล ำดบ จงหำคำควำมจรงของ p และ q 1. p จรง q จรง 2. p จรง q เทจ 3. p เทจ q จรง 4. p เทจ q เทจ

26. ก ำหนด (p q) r เปนจรง และ r s เปนเทจ ประพจนใดตอไปน มคำควำมจรงเปนเทจ

1. s p 2. (p q) r 3. (p q) r 4. r (s p)


40

27. ประพจน (p q) (r s) มคำควำมจรงเปนเทจ แลวประพจนใดตอไปนมคำ ควำมจรงเปนจรง ก. (p r) (q s) ข. r (p q) ค. (p s) r 1. ขอ ก. 2. ขอ ข. 3. ขอ ค. 4. จรงทง 3 ขอ

28. เมอ p , q , r เปนประพจน ถำพบวำ (p q) (r r) เปนจรง ประพจนใดตอไปน มคำควำมจรงเปนเทจ 1. q 2. p 3. p q 4. p q

29. ถำ [ (p q) r] (q r) มคำควำมจรงเปนเทจ คำควำมจรงของ p , q , r คอ 1. p จรง q จรง r จรง 2. p จรง q จรง r เทจ 3. p เทจ q เทจ r เทจ 4. p เทจ q จรง r เทจ

30. ก ำหนดให เขมพดจรงเสมอ , อมพดเทจเสมอ , เมยพดจรงบำงเทจบำง ถำไดยนทงสำมคนพดดงน เขม : หนมอยทเมองเลย หรอขวญอยทเมองเลย อม : แตงโมอยทเมองเลย หรอหนมอยทเมองเลย เมย : ถำแตงโมอยทเมองเลย แลวจยอยทเมองเลยดวย ขอควำมตอไปนมคำควำมจรงเปน T 1. แตงโมอยทเมองเลย 2. หนมอยทเมองเลย 3. ขวญอยทเมองเลย 4. ถำจยอยเมองเลยแลว แตงโมอยทเมองเลยดวย


41

1.4 การสรางตารางคาความจรง 31. เมอสรางตารางคาความจรงของประพจน (q p) (p q) แลว มกกรณทมคา ความจรงเปนจรง 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

32. เมอสรางตารางคาความจรงของประพจน (p q) (p r) แลว มกกรณทมคา ความจรงเปนจรง 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

1.5 รปแบบของประพจนทสมมลกน


ก. (p q) r กบ (p q) r ข. (p q) r กบ r (p q)

1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล 34. ประพจนในขอตอไปนสมมลกนหรอไม

ก. p q กบ (p q) (q p) ข. (p q) r กบ r (p q) 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


ก. ( p q ) ( r s ) กบ ( r s ) ( p q ) ข. p ( q r ) กบ ( p q ) r 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


42

36. ประพจนใดตอไปน สมมลกบประพจน r (p q) 1. r (p q) 2. (p q) r 3. r (p q) 4. (p q) r

37. m (n k) สมมลกบประพจนในขอใดตอไปน 1. m (k n) 2. n (m k) 3. (n k) m 4. k (n m)


ก. p (q r) กบ (p q) r ข. p (q r) กบ (p q) (p r) 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล

39. ประพจนในขอตอไปนสมมลกนหรอไม ก. p q กบ ( p q ) p ข. ( p q ) ( p r ) กบ p ( q r ) 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล 40. ประพจนในขอตอไปนสมมลกนหรอไม

ก. (p q) r กบ [(q r) (p r)] ข. p (q r) กบ (r p) (q p) 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


ก. p q กบ [p (q q)] [q (p p)] ข. (p q) (r r) กบ p q 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


43


ก. p q กบ [(p q) r] [(p q) r] ข. (p q) (r r) กบ (q p) 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


ก. [(q r) (p s) (q r)] กบ q p s ข. (r s) [(p p) q] กบ r s q

1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


ก. (p q) (q q) กบ (q p) ข. q กบ [q (r r)] [p (q q)] 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล


ก. [q (r r)] [p (q q)] กบ q ข. [p (q q)] w กบ w 1. ก. สมมล ข. สมมล 2. ก. สมมล ข. ไมสมมล 3. ก. ไมสมมล ข. สมมล 4. ก. ไมสมมล ข. ไมสมมล

46. ขอควำม “ ถำ ab < 0 แลว a < 0 หรอ b < 0” มควำมหมำยตรงกบประพจน ในขอใด 1. ถำ ab 0 แลว a 0 หรอ b 0 2. ab 0 หรอ a 0 หรอ b 0

3. ถำ ab 0 แลว a 0 และ b 0 4. ถำ a 0 หรอ b 0 แลว ab 0


44

1.6 สจนรนดร

47. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. ( p q ) ( p q ) ข. [ p (q) ] [ q (p) ] 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

48. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. (p q) (q r) (p r) ข. (p q) (p q) 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

49. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. p (p q) ข. [ ( p q ) q ] q 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

50. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. (p q) (q p) ข. [p (p q)] q 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

51. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. [ (p ) ( p q ) ] q ข. ( p q ) (p q) 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

52. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. (p q) q ข. (p q) (p q) 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน


45

53. ประพจนในขอใดตอไปนไมเปนสจจนรนดร 1. [p (p q)] p 2. [ p (p q) ] q 3. p (p q) p 4. [(p q) (q r)] (p r)

54. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. ( p q ) ( p q ) ข. [p (q r)] [ (p q) r ] 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

55. ประพจนตอไปน เปนสจนรนดรหรอไม ( p q ) r p (q r)

1. เปน 2. ไมเปน 3. เปน และไมเปน 4. ขอมลไมเพยงพอ

1.7 การอางเหตผล

56. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p q ข. เหต 1. p q 2. p 2. q

ผล q ผล p ขอใดตอไปนถก 1. ก. และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก.ไมสมเหตสมผล ข. สมเหตสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล

57. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p q ข. เหต 1. p q 2. p 2. q

ผล q ผล p ขอใดถก 1. ก. สมเหตผล ข. สมเหตผล 2. ก. สมเหตผล ข. ไมสมเหตผล 3. ก. ไมสมเหตผล ข. สมเหตผล 4. ก. ไมสมเหตผล ข. ไมสมเหตผล


46

58. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p q ข. เหต 1. p q 2. r (p q) 2. p (q r)

ผล p r ผล r ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. สมเหตผล ข. สมเหตผล 2. ก. สมเหตผล ข. ไมสมเหตผล 3. ก. ไมสมเหตผล ข. สมเหตผล 4. ก. ไมสมเหตผล ข. ไมสมเหตผล

59. พจารณาการอางเหตผลตอไปน

ก. เหต 1. (p q) (r s) ข. เหต 1. p q 2. (r s) 2. p (q r)

ผล p q ผล r ขอใดตอไปนถก 1. ก. และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก.ไมสมเหตสมผล ข. สมเหตสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล

60. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p q ข. เหต 1. p q 2. q r 2. q r ผล p 3. p

ผล r ขอใดตอไปนถก 1. ก. และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก.ไมสมเหตสมผล ข. สมเหตสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล


47

61. พจำรณำกำรอำงเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p q ข. เหต 1. p q 2. p 2. q r 3. q r 3. r s ผล p ผล s ขอใดถก 1. ก. สมเหตผล ข. สมเหตผล 2. ก. สมเหตผล ข. ไมสมเหตผล 3. ก. ไมสมเหตผล ข. สมเหตผล 4. ก. ไมสมเหตผล ข. ไมสมเหตผล

62. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p q ข. เหต 1. p q

2. r p 2. p r 3. q 3. p s

4. r t ผล r s ผล t ขอใดตอไปนถก 1. ก. และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก.ไมสมเหตสมผล ข. สมเหตสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล

63. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. ถำ ข ท ำยอดขำยตำมเปำหมำยทผจดกำรตงไว แลว เขำจะไดรบโบนส 2. ข ท ำยอดขำยตำมเปำหมำยทผจดกำรตงไว ผล ข จะไดรบโบนส

ข. เหต 1. ถำ ค ซอกระเปำถอสด ำ แลว ค จะซอรองเทำสด ำดวย 2. ค ซอรองเทำสด ำ ผล ค ซอกระเปำสด ำ

ขอใดตอไปนถก 1. ก. และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก.ไมสมเหตสมผล ข. สมเหตสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล


48

64. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. ถำ ก พบคนพกำรทขำยลอตเตอร แลว ก จะซอลอตเตอร 2. ก ไมไดซอลอตเตอร ผล ก ไมพบคนพกำรทขำยลอตเตอร ข. เหต 1. ก ซอสนคำโดยใชบตรเครดต หรอซอสนคำโดยใชเงนสด 2. ก ไมไดซอสนคำโดยใชบตรเครดต ผล ก ซอสนคำโดยใชเงนสด

ขอใดตอไปนถก 1. ก. และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก.ไมสมเหตสมผล ข. สมเหตสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล 65. พจารณาการอางเหตผลตอไปน

ก. เหต 1. ถาฝนตก และอากาศหนาว แลว เอกจะไมซกผา 2. ถาเอกไมซกผา แลวเอกจะกวาดบาน 3. เอกไมไดกวาดบาน ผล ฝนไมตก หรออากาศไมหนาว

ข. เหต 1. ถา a2 = 4 แลว a = 2 2. ถา a2 4 แลว a2 > 4 3. a 2

ผล a2 > 4 ขอใดตอไปนถก

1. ก. และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก.ไมสมเหตสมผล ข. สมเหตสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล


49

1.8 ประโยคเปด

1.9 ตวบงปรมาณ

1.10 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว

66. ก าหนดให U = {2 , 3} แลวคาความจรงของประโยคขอใดตอไปนเปนเทจ 1. x [x > 1] 2. x [x > 2] 3. x [x > 2] 4. x [x > 0] 67. ให U = { 2 , 3 , 4 , 5 } แลว คาความจรงของประโยคตอไปนเปนไปตาม ตวเลอกใด ก. x [x2 < 20] ข. x [x3 > 100] 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ 68. คาความจรงของประโยคทก าหนดใหตอไปน เปนไปตามตวเลอกใด ก. x [ (x > 4 ) (x < 7) ] เมอ U = { x x เปนจ ำนวนเตมบวกทนอยกวำ 10 } ข. x [ x2 0 ] เมอ U = I 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ

69. ให U = เซตของจ ำนวนจรง ประพจนในขอใดตอไปนมคำควำมจรงเปนเทจ 1. x [x2 < 0] x [x 0] 2. x [x > 0] x [x > 4] 3. x [x > 2] x [–2 < x < 3] 4. x [x < 3] x [3 < x < 7]


50

1.11 สมมลและนเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ

70. พจารณาขอความตอไปน ก. นเสธของ x [x + 2 = 3] คอ x [x + 2 3] ข. นเสธของ x [ x + 5 4] คอ x [x + 5 = 4] 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด

71. พจารณาขอความตอไปน ก. นเสธของ x [x + 2 3] คอ x [x + 2 3] ข. นเสธของ x [ x + 5 20] คอ x [x + 5 20] 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด

72. นเสธของ xy [ x2 y ] คอขอใด 1. x y [x2 y] 2. x y [x2 > y] 3. xy [x2 y] 4. xy [x2 > y]

73. พจารณาขอความตอไปน ก. นเสธของ x [ (x + 2 = 3) (x – 2 = –3) ] คอ x [ (x + 2 3) (x – 2 –3) ] ข. นเสธของ x [ (x + 1 2) (x + 2 7) ] คอ x [ (x + 1 = 2) (x + 2 = 7 ) ] 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด

74. นเสธของประพจน xy [ P(x,y) Q(x,y)] คอขอใดตอไปน 1. xy [P(x,y) Q(x,y)] 2. xy [P(x,y) Q(x,y)] 3. xy [P(x,y) Q(x,y)] 4. xy [P(x,y) Q(x,y)]


51

75. นเสธของประพจน x [ P(x) Q(x) ] คอขอใดตอไปน 1. x [ P(x) Q(x) ] 2. x [ P(x) Q(x) ] 3. x [ P(x) Q(x) ] 4. x [ P(x) Q(x) ] 76. นเสธของประพจน x y [ (x 3) (y 5) ] คอขอใดตอไปน 1. x y [(x 3) (y 5)] 2. x y [(x 3) (y 5)] 3. x y [(x 3) (y 5)] 4. x y [(x 3) (y 5)]

77. นเสธของ xy [ (x + y = 5) (xy = 6) ] คอขอใดตอไปน 1. xy [ ( xy = 6) (x + y = 5) ] 2. xy [ (x + y = 5) ( xy 6)] 3. xy [ ( xy = 6) (x + y = 5) ] 4. xy [ (x + y = 5) ( xy 6)]

78. นเสธของ xy [ (x + y = 8) ( x – y = 1) ] คอขอใดตอไปน 1. xy [ (x + y = 8) (x – y = 1) ] 2. xy [ (x + y = 8) (x – y 1) ] 3. xy [ (x + y = 8) (x – y = 1) ] 4. xy [ (x + y = 8) (x – y 1) ] 79. นเสธของ x y [ (xy = 0 x 0) (y = 0) ] คอขอใดตอไปน 1. x y [(xy = 0 x = 0) (y 0)] 2. x y [(xy 0 x = 0) (y = 0) ] 3. x y [(xy = 0 x 0) (y 0)] 4. x y [(xy = 0 x = 0) (y = 0)] 80. พจำรณำขอควำมตอไปน

ก. x (x < 6) x [x 8] สมมลกบ x [x 6] x [x 8] ข. { x (x < 6) (x 8) } สมมลกบ x x < 6 x < 8 ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด


52

81. นเสธของ “ ส าหรบ x ทกตวท าให x + 5 4 ” คอขอใดตอไปน 1. ม x บางตวทท าให x + 5 4 2. ม x บางตวทท าให x + 5 4 3. ม x บางตวทท าให x + 5 4 4. ม x บางตวทท าให x + 5 4

82. นเสธของ “ม x บางตว ซงท าให x + 2 4 ” คอขอใดตอไปน 1. ส าหรบ x ทกตว จะท าให x + 2 4 2. ส าหรบ x ทกตว จะท าให x + 2 4 3. ส าหรบ x ทกตว จะท าให x + 2 4 4. ส าหรบ x ทกตว จะท าให x + 2 4

1.12 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณสองตว

83. ก าหนดให U = {–1 , 0 , 1} คาความจรงของประโยคตอไปน จะเปนไปตาม ตวเลอกใด ก. xy [x + y > –3] ข. xy [x + y > –2] 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ

84. ก าหนดให U = {–1 , 0 , 1} คาความจรงของประโยคตอไปน จะเปนไปตาม ตวเลอกใด ก. xy [x + y = 1] ข. xy [x + y = 5] 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ 85. คาความจรงของประโยคทก าหนดใหตอไปน เปนไปตามตวเลอกใด ก. xy [ x + y = y + x ] เมอ U = { 0 , 1 } ข. xy [ x + 3 = 2y ] เมอ U = { 0 , 5 , 6 } 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ


53

86. ก าหนดให U = {–1 , 0 , 1} คาความจรงของประโยคตอไปน จะเปนไปตาม ตวเลอกใด ก. xy [ x – y = 0 ] ข. x y [ x + y = 1] 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ

87. ก าหนดให U = {–1 , 0 , 1} คาความจรงของประโยคตอไปน จะเปนไปตาม ตวเลอกใด ก. xy [ x + y > –1 ] ข. xy [ x + y = 1 ] 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ

88. ให U เปนเซตของจ านวนจรง คาความจรงของประโยคตอไปน จะเปนไปตาม ตวเลอกใด ก. x y [ x + y = 0 ] ข. yx [ x + y = 0 ] 1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ


54

เฉลยตะลยโจทยท วไป บทท 1 ตรรกศาสตรเบองตน

1. ตอบขอ 1. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 3. 8. ตอบขอ 3. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 1. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 2. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 4. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 4. 21. ตอบขอ 1. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 4. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 4. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 2. 32. ตอบขอ 4. 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 4. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 1. 39. ตอบขอ 1. 40. ตอบขอ 1. 41. ตอบขอ 2. 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 1. 44. ตอบขอ 1. 45. ตอบขอ 1. 46. ตอบขอ 2. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 1. 49. ตอบขอ 1. 50. ตอบขอ 3. 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 1. 53. ตอบขอ 4. 54. ตอบขอ 1. 55. ตอบขอ 1. 56. ตอบขอ 2. 57. ตอบขอ 1. 58. ตอบขอ 1. 59. ตอบขอ 1. 60. ตอบขอ 1. 61. ตอบขอ 3. 62. ตอบขอ 2. 63. ตอบขอ 2. 64. ตอบขอ 1. 65. ตอบขอ 1. 66. ตอบขอ 2. 67. ตอบขอ 3. 68. ตอบขอ 1. 69. ตอบขอ 4. 70. ตอบขอ 1. 71. ตอบขอ 1. 72. ตอบขอ 2. 73. ตอบขอ 4. 74. ตอบขอ 4. 75. ตอบขอ 4. 76. ตอบขอ 2. 77. ตอบขอ 2. 78. ตอบขอ 4. 79. ตอบขอ 3. 80. ตอบขอ 3. 81. ตอบขอ 4. 82. ตอบขอ 2. 83. ตอบขอ 2. 84. ตอบขอ 2. 85. ตอบขอ 2. 86. ตอบขอ 2. 87. ตอบขอ 2. 88. ตอบขอ 2.

ตวสบายคณต เลม 1 http://www.pec9.com บทท 2 ระบบจ านวนจรง

1

บทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

2.1 จ ำนวนจรง

จ ำนวนทเรำใชในวชำคณตศำสตรมหลำยประเภท ซงสำมำรถจ ำแนกแยกประเภทไดดงน

จ ำนวนจรง ( R ) คอจ ำนวนทสำมำรถเขยนแสดงบนบนเสนจ ำนวนได เชน –3 , – 35 , 0

, 0.5 , 3 , o33. เปนตน

จ ำนวนตรรกยะ ( Q ) คอจ ำนวนจรงทสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจ ำนวนเตมโดยทสวนไมเปนศนย ไดแกจ ำนวนเตม เศษสวน จ ำนวนอยในรปทศนยมธรรมดำและทศนยมซ ำ

เชน 8 , –6 , 0 , 43 , 4.3 ,

o33. เปนตน จ ำนวนเหลำนสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวนของ

จ ำนวนเตมไดเสมอจงเปนจ ำนวนตรรกยะ เชน

8 = 18 , –6 = – 1

6 , 0 = 10 , 4.3 = 10

43 , o33. = 9

33

จ ำนวนตรรกยะ ( Q/ ) คอจ ำนวนจรงทไมสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจ ำนวนเตมได เชน 3 , 5 +2 , p เปนตน 3 = 1.7320508…… มคำเปนจ ำนวนทศนยมไมซ ำและไมรจบ จงเขยนเปนเศษสวนไมได

p = นยกลางเสนผานศ

ลมเสนรอบวงก ปจจบนยงหำคำทแนนอนไมได จงเขยนเปนเศษสวนไมได

จ ำนวนเชงซอน ( C

จ ำนวนจรง ( R )

จ ำนวนตรรกยะ ( Q จ ำนวนอตรรกยะ ( Q)

จ ำนวนเตม ( I ) จ ำนวนไมเตม ( I)

จ ำนวนเตมบวก ( I+ ) หรอจ ำนวนนบ ( N )

จ ำนวนเตมลบ ( I– ) จ ำนวนเตมศนย ( 0 )

จ ำนวนจนตภำพ

–3 –2 –1 0 1 2 3 –3 – 35 0 0.5 3

o33.


2

จ ำนวนตรรกยะ ( Q ) ยงแบงไดเปนจ ำนวนเตม ( I ) และจ ำนวนทไมใชจ ำนวนเตม ( I/ ) จ ำนวนเตม ( I ) ยงแบงเปนจ ำนวนเตมบวก (I) , จ ำนวนเตมลบ (I/) และจ ำนวนเตมศนย (0) จ ำนวนเตมศนย (0) ไมใชจ ำนวนเตมบวกหรอจ ำนวนเตมลบ จ ำนวนเตมบวก เรยกอกอยำงวำจ ำนวนนบ ( N ) เพรำะเปนจ ำนวนทใชในกำรนบจ ำนวนคน สตว สงของใดๆ

1. จ ำนวนทก ำหนดใหตอไปน มกจ ำนวนทเปนจ ำนวนตรรกยะ 8 , 0 , –2 , 3

4 , 1.2693 , 95. , 3 , 1+ 3 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 2. 95. มคำเปนเชนไรเมอเทยบกบ 6 1. นอยกวำ 2. มำกกวำ 3. เทำกบ 4. เทยบไมได 3(แนว O-net) พจำรณำขอควำมตอไปน

(ก) มจ ำนวนตรรกยะทมำกทสดทนอยกวำ 6 (ข) มจ ำนวนอตรรกยะทมำกทสดทนอยกวำ 6

ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ถก 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด


3

2.2 สมบตของระบบจ ำนวนจรง สมบตของจ ำนวนจรงเกยวกบกำรบวก

สมบต ควำมหมำย ตวอยำง 1. ปด ถำ a , b R แลว a + b R 1 , 2 R ดงนน 1 + 2 R 2. กำรสลบท a + b = b + a 1 + 2 = 2 + 1 3. กำรเปลยนหม a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3 4. กำรมเอกลกษณ มจ ำนวนจรง 0 ซง 0 + a = a = a + 0 0 + 5 = 5 = 5 + 0 5. กำรมอนเวอรส ส ำหรบจ ำนวนจรง a จะมจ ำนวนจรง –a

ท (–a) + a = 0 = a + (–a) (–3) + 3 = 0 = 3 + (–3)

สมบตจ ำนวนจรงเกยวกบกำรคณ

สมบต ควำมหมำย ตวอยำง 1. ปด ถำ a , b R แลว a .b R 1 , 2 R ดงนน 1 x 2 R 2. กำรสลบท a . b = b . a 1 x 2 = 2 x 1 3. กำรเปลยนหม a ( b . c ) = ( a . b ) . c 1 x ( 2 x 3 ) = ( 1 x 2 ) x 3 4. กำรมเอกลกษณ มจ ำนวนจรง 1 ซง 1 . a = a = a . 1 1 x 5 = 5 = 5 x 1 5. กำรมอนเวอรส ส ำหรบจ ำนวนจรง a ท a ≠ 0 จะมจ ำนวน

จรง a–1 ท (a–1) a = 1 = a ( a–1 ) ( 3

1 ) x 3 = 1 = 3 x ( 31 )

นอกจำกนยงมสมบตทเกยวกบทงกำรบวกและกำรคณ ซงไดแกคณสมบตกำรแจกแจง กลำวคอ a (b + c ) = ab + ac เชน 3 ( 2 + 5 ) = 3 (2) + 3 (5)

4. ตวเลอกใดตอไปนเปนจรงตำมคณสมบตกำรมอนเวอรสส ำหรบกำรบวกจ ำนวนจรง 1. (–6) + 0 = –6 2. [2 + (c + d)] + 3(c + d)] = 2 + [(c + d) + 3 (c + d)] 3. – 7

1 + 71 = 0

4. 2 + (m + 1) = 2 + (1 + m)


4

5. ตวเลอกใดตอไปนเปนจรงตำมคณสมบตปดของกำรคณจ ำนวนจรง 1. 3

1 (2 + 7) = (2 + 7) 31 2. (–5) (

51 ) = 1

3. 1 x = x เมอ x คอจ ำนวนจรงใดๆ 4. ผลลพธของ 7 ( –3) เปนจ ำนวนจรง

6. ขอใดตอไปนเปนจรงตำมสมบตของกำรกระจำยจ ำนวนจรง 1. q x 37 = 37 x q 2. (2 + 3) p = 2 p + 3 p 3. 6 + (5 + y) = (6 + 5) + y 4. (2 + 3) (5 + 6) = (5 + 6) (2 + 3)

7. จงหำอนเวอรสกำรบวกของจ ำนวน ( a + b ) ตรงกบขอใดตอไปน 1. – a + b 2. a – b 3. –a – b 4. a + b


5

8. ให a , b เปนจ ำนวนจรงใดๆ และ a * b = a – b + 1 จงพจำรณำขอควำมทก ำหนดให ตอไปนวำเปนจรงกขอ ก. a * b = b * a ข. ( a * b ) * c = a * ( b * c ) ค. เซตของจ ำนวนจรงกบ * มสมบตปด ง. เซตของจ ำนวนจรง มเอกลกษณของ * จ. ส ำหรบจ ำนวนจรง a ใดๆ มจ ำนวนจรงทเปนอนเวอรสของ a

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ

2.3 ทฤษฏบทเศษเหลอ และกำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว

2.3.1 ทฤษฏบทเศษเหลอ ทฤษฏบทเศษเหลอ “ เมอ p(x) เปนพหนามใดๆ ถาหาร p(x) ดวยพหนาม x – c แลวเศษจากการหารจะเทากบ p(c) เมอ c เปนจ านวนจรง ” เราใชทฤษฏบทเศษเหลอหาเศษเหลอจากการหารพหนามไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยำง จงหาเศษทเหลอจากการหาร p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 ดวย x – 1 แนวคด ขนท 1 ให x – 1 = 0 จะได x = 1

ขนท 2 จาก p(x) = x3 + x2 + 4 x + 1 ( แทนคา x = 1 ) จะได p(1) = (1)3 + (1)2 + 4( 1 ) + 1 p(1) = 7 นนคอเศษทเหลอจากการหารมคาเทากบ 7


6

9. เศษเมอหาร x3 – 7x2 + 11x – 4 ดวย x – 3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –5 2. –6 3. –7 4. –8 10. เศษเมอหาร x3 + x2 + 4x + 1 ดวย x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 5 4. –5 11. เศษเมอหาร 4x4 – 3x2 + 8 ดวย x2 – 3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 40 2. 35 3. 30 4. 25


7

12. คา a ทท าให x – 2 หาร x2 – 7x + a ลงตวพอด มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20 13(แนว มช) ถาพหนาม p(x) = 6x3 + ax2 + bx – 1 ม (x – 1) เปนตวประกอบ และเมอหาร ดวย ( x + 1) จะเหลอเศษ –24 แลว a b จะมคาเทากบขอใด 1. 44 2. –44 3. 66 4. –66

2.3.2 กำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว สมกำรพหนำมตวแปรเดยว คอสมกำรทเขยนอยในรป an xn + an–1 xn + an+2 xn+2 + …… + a1 x + a0 = 0 เมอ n เปนจ ำนวนเตมบวก กำรแกสมกำรพหนำมทมดกรสง (ตงแตดกร 3 ขนไป ) สำมำรถท ำไดดงตวอยำงตอไปน


8

14. ค าตอบของสมการ x3 + x2 – 8x – 12 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –3 < x < 4 2. –2 < x < 3 3. –1 < x < 5 4. 0 < x < 6

15. เซตค าตอบของสมการ x3 – 10x2 + 27x = 18 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 2. { 5 , 6 , 9 , 13 , 15 } 3. { 1 , 3 , 6 , 9 , 12 } 4. { 1 , 2 , 5 , 6 , 9 } 16(แนว มช) ค ำตอบของสมกำร x3 – x2 – 5x – 3 = 0 ทสอดคลองกบเงอนไข x2 > 2 อย ในชวงขอใดตอไปน 1. –3 < x < 0 2. –2 < x < 3 3. 0 < x < 5 4. –1 < x < 1

17. ค าตอบของสมการ 1 – 3x2 + 2x3 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –1 < x < 2 2. 0 < x < 1 3. –3 < x < 0 4. 0 < x < 6


9

18. ค าตอบของสมการ 2x4 – 13x3 + 28x2 = 23x – 6 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 < x < 0 2. 0 < x < 5 3. –4 < x < 2 4. –3 < x < 3 19. ค าตอบของสมการ x3 + 5x2 + 6x = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –3 < x < 2 2. –2 < x < 1 3. –4 < x < 1 4. 0 < x < 3

20. ค าตอบของสมการ x3 – 5x2 – 16x + 80 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 < x < 0 2. –6 < x < 6 3. –4 < x < 8 4. 0 < x < 10


10

21(แนว PAT1) ผลบวกของต ำตอบของสมกำร 2x3 – 7x2 + 7x –2 = 0 เทำกบขอใดตอไปน 1. 3.0 2. 3.5 3. 4.0 4. 4.5 22(แนว En) เซตในขอใดตอไปนเปนเซตค ำตอบของสมกำร 9x3 + 12x2 + x – 2 = 0 1. { – 2 , 3

1 , 23 } 2. { – 1 , – 3

1 , 21 }

3. { – 1 , 31 , 3

2 } 4. { – 1 , – 32 , 3

1 }

23. ให a เปนจ ำนวนเตม ถำ x – a หำร x3 + 2 x2 – 5x – 2 เหลอเศษ 4 แลวผลบวกของ คำ a ทงหมดทสอดคลองกบเงอนไขดงกลำวเทำกบขอใดตอไปน 1. –6 2. –2 3. 3 4. 6


11

2.4 สมบตของกำรไมเทำกน สมบตบำงประกำรของกำรไมเทำกน

ให a , b , c เปนจ ำนวนจรงใดๆ 1) สมบตกำรถำยทอด ถำ a > b และ b > c แลว a > c

เชน 10 > 8 และ 8 > 7 จะไดวำ 10 > 7 2) สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a > b แลว a + c > b + c เชน 2 > 1 จะได 2 + 4 > 1 + 4

นนคอ 6 > 5 3) สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน

3.1) ถำ a > b แลว a c > b c เมอ c > 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x 4 > 1 x 4

นนคอ 8 > 4 3.2) ถำ a > b แลว a c < b c เมอ c < 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x (–5) < 1 x (–5)

นนคอ – 10 < – 5 3.3) ถำ a > b แลว a c = b c เมอ c = 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x 0 = 1 x 0

นนคอ 0 = 0 4) ถำ a < b และ c < d แลว a + c < b + d

5) ถำ a < b และ c < d แลว a – d < b – c 6) ถำ 0 < a < b และ 0 < c > d แลว ac < bd

7) ถำ 0 < a < b และ 0 < c > d แลว da < cb

8) ถำ 0 < a < b แลว a1 < b1


12

2.5 ชวงและกำรแกอสมกำร 2.5.1 ชวง

บทนยำม เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ ำนวนจรง และ a < b ชวงเปด ชวงปด

ชวงครงเปด ชวงครงเปด

ชวง ชวง ชวง ชวง ชวง

(a , b) [a , b]

(a , b] [a , b)

(a , ) [a , )

(– , a) (– , a] (– , )

หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง

{ x a < x < b } { x a x b } { x a < x b } { x a x < b } { x x > a} { x x a} { x x < a } { x x a } เซตของจ ำนวนจรง R

ฝกท ำ จงเขยนชวงตอไปนในรปของเซต พรอมทงแสดงชวงดวยกรำฟบนเสนจ ำนวน

1. ( –2 , 1)

2. [ 4 , 7 ] 3. [ –3 , 1 ) 4. ( –3 , 0 ]

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 1 0 1 2

3 4 5 6 7 8

-3 -2 -1 0 1 2

a b

a b

a b

a b

a a

a

a


13

24. ถา A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ชวงค าตอบของ A B คอขอใดตอไปน 1. ( –1 , 4 ] 2. ( –1 , 5 ] 3. ( –1 , 6 ] 4. ( –1 , 7 ]

25. ถา A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ชวงค าตอบของ A B คอขอใดตอไปน 1. [0 , 1) 2. [0 , 2) 3. [0 , 3) 4. [0, 4) 26. ถา A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ชวงค าตอบของ A – B คอขอใดตอไปน 1. (–1 , –2) 2. (–1 , –1) 3. (–1 , 0) 4. (–1 , 1) 27. ถา A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ชวงค าตอบของ B – A คอขอใดตอไปน 1. [1 , 2] 2. [1 , 4] 3. [2 , 2] 4. [2 , 4]


14

ฝกท ำ จงเขยนชวงตอไปนในรปของเซต พรอมทงแสดงชวงดวยกรำฟบนเสนจ ำนวน 1. ( 1 , ) 2. [ 0 , ) 3. ( – , 1 )

4. ( – , –2 ]

28. ถา A = (– , 2) , B = [0 , ) ชวงค าตอบของ A B คอขอใดตอไปน 1. [0 , 1) 2. [0 , 2) 3. [0 , 3) 4. [0, 4)

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2


15

29. ถา A = (–1 , 2) ชวง A คอขอใดตอไปน 1. (– , 1] [2 , ) 2. (– , 0] [2 , ) 3. (– , –1] [2 , ) 4. (– , 1] [2 , )

2.5.2 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกร 1 กำรแกอสมกำรพหนำมดกรหนงตวแปรเดยว สำมำรถท ำไดโดยใชวธคณไขวยำยขำงคลำยกำรแกสมกำร แตตองระวงวำหำกมกำรคณตลอดดวยจ ำนวนทมคำเปนลบ ตองเปลยนเครองหมำยอสมกำรดวยเสมอ ดงแสดงในโจทยตวอยำงตอไปน

30. เซตค ำตอบของอสมกำร 4 x + 2 x + 7 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ) 2. ( – , 3

5 ) 3. ( 35 , ) 4. ( 2 , )

31. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x – 1 x + 9 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ) 2. ( – , 10 ) 3. ( 10 , ) 4. ( 2 , )


16

32. เซตค ำตอบของอสมกำร 8x – 5 3x + 15 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ] 2. ( – , 4 ] 3. [ 4 , ) 4. [ 10 , ) 33. เซตค ำตอบของอสมกำร 3x – 2 x คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ] 2. ( – , 1 ] 3. [ 0 , ) 4. [ 2 , ) 34. เซตค ำตอบของอสมกำร 8 – 3x x คอเซตในขอใดตอไปน

1. ( – , 0 ) 2. ( – , 2 ) 3. ( 0 , ) 4. ( 2 , ) 35. เซตค ำตอบของอสมกำร 5 – 3m 19 + 4m คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ] 2. (– , 2 ) 3. [–2 , ) 4. [2 , )


17

36. เซตค ำตอบของอสมกำร 6 – 3m 3m คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ] 2. ( – , 1 ] 3. [ 0 , ) 4. [ 2 , ) 37. ชวงค ำตอบของอสมกำร 6x – 7 > 6 (5 + x) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–13 , 13) 3. (–,–13) (13 , ) 4. (– , )

38. ชวงค ำตอบของอสมกำร 8x – 3 < 8 (x + 1) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–7 , 7) 3. (– , –7) (7 , ) 4. (– , )


18

2.5.3 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกรสง วธการแกอสมการตวแปรเดยวดกรสง ใหศกษาจากตวอยางตอไปน

39. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 5x + 6 < 0 คอเซตขอใดตอไปน 1. (–∞ , 3 ) 2. ( 2 , 3 ) 3. (0 , 5) 4. (2 , ∞) 40. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 7x + 12 0 คอเซตขอใดตอไปน 1. (–∞ , 5 ] 2. (3 , 4) 3. [ 3 , 4 ] 4. [2 , ∞) 41. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 3x – 10 > 0 คอเซตขอใดตอไปน

1. ( –∞ , –2 ) ( 5 , ∞ ) 2. ( –∞ , –6 ) ( 1 , ∞ ) 3. ( –∞ , –2 ] [ 5 , ∞ ) 4. ( –∞ , –6 ] [ 1 , ∞ )


19

42. เซตค ำตอบของอสมกำร 5x 6 – x2 คอเซตขอใดตอไปน 1. ( –∞ , –2 ) ( 5 , ∞ ) 2. ( –∞ , –6 ) ( 1 , ∞ ) 3. ( –∞ , –2 ] [ 5 , ∞ ) 4. ( –∞ , –6 ] [ 1 , ∞ )

43. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – 3x2 10x คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –2 ] [0 , 5 ] 2. [–2 , 0 ] [5 , ) 3. [–2 , 5 ] 4. [0 , 2]

44. เซตค ำตอบของอสมกำร x (x2 + 4) < 5x2 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , 0 ) (1 , 4 ) 2. (0 , 1 ) (4 , ) 3. (0 , 4 ) 4. (1 , 4 )


20

45. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x > 2x2 – 2 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –1 ) (1 , 2) 2. (–1 , 1) (2 , ) 3. (–1 , 2 ) 4. (1 , 2 ) 46(แนว มช) ให A เปนเซตค ำตอบของอสมกำร 3y2 – 2y – 5 0 คอมพลเมนตของ A คอขอใด 1. [–1 , 3

5 ] 2. [ 35 , 1 ]

3. ( – , 35 ) (1 , ) 4. ( – , –1) ( 3

5 , )

สงตองทรำบเพมเตมเกยวกบกำรแกอสมกำรโดยใชเสนจ ำนวน 1) อสมการพหนามทจะแกโดยวธนได ตองเรยงล าดบตวแปรจากตวแปรทมก าลงสงไปหาตวแปรทมก าลงนอย และตวแปรทอยหนาสดตองมคาสมประสทธเปนบวกเทานน 2) กรณทโจทยอยในรปเศษสวน ตองระวงวาค าตอบทไดตองไมท าใหสวนเปน 0 3) ตวแปรทไมทราบคาวาเปนบวกหรอเปนลบหามคณไขว 4) ตวแปรซงยกก าลงจ านวนเตมคใหคดเปนตวแปรยกก าลง 1 ตวแปรรปยกก าลงดวยจ านวนเตมค ชวงทอยตดกบจดวกฤตทเกดจากตวแปรยกก าลงคนนใหใชเครองหมายบวกหรอลบเหมอนกนทงชวงทตดดานซายและดานขวา และทจดวกฤตนนใหเตมจดดวยเสมอ


21

47. เซตค ำตอบของอสมกำร 6x – x2 5 คอเซตในขอใดตอไปน 1. [ 2 , 3 ] 2. [1 , 5] 3. [1 , 3] 4. [3 , 5] 48. เซตค ำตอบของอสมกำร 9 – x2 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –3] 2. (– , –3] [3 , ) 3. [3 , ) 4. [–3 , 3]

49. เซตค ำตอบของอสมกำร 4) (x 5) (x

0 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (– , 4) 2. (4 , 5) 3. [4 , 5] 4. (4 , 5]


22

50. เซตค ำตอบของอสมกำร 2) (x 3) (x 1) (x


1. (– , –3 ] [1 , 2 ) 2. (– , 1 ] [2 , 3 ) 3. (– , –2 ] [1 , 3 ) 4. (– , –3 ] [–2 , –1 )

51. เซตค ำตอบของอสมกำร x 12 2x > 7 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 3 ) 2. (– , 0) ( 3 , 4) 3. ( 4 , ) 4. (0 , 3) ( 4 , )

52. จ ำนวนเตมนอยทสดในเซตค ำตอบของอสมกำร 4 x 6 x + 1 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –2 2. –1 3. 4 4. 5


23

53. เซตค ำตอบของอสมกำร 1 x 1 4) (x


1. (– , 1) (4 , ) 2. (– , –4) (–1 , ) 3. (1 , 4) 4. (–4 , –1) 54. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–∞ , 1) 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2) (–2 , 1) 4. {–2} (1 , ∞)

55. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–1 , 0) 2. (1 , ∞) 3. (–∞ , 1) 4. (–1 , 1)


24

56. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–∞ , 1) 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2) (–2 , 1) 4. (–2 , ∞) 57. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–∞ , 1] 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2] [–2 , 1] 4. {–2} [1 , ∞)

58. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2) (x – 3)6 (x – 5) < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. { –3 } ( –2 , 5 ) 2. (–2 , 5 ) 3. { –2 } ( 3 , 5 ) 4. (–2 , 3 ) (3 , 5 )


25

59. เซตค ำตอบของอสมกำร 3) (x 71) (x 7) (x 22) (x


1. [ 3 , 7 ] 2. (– , 1 ) (3 , 7 ] 3. (– , 0 ] 4. (– , 1 ) {2} (3 , 7 ] 60. เซตค ำตอบของอสมกำร (2x + 1)3 (x + 1)5 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( –1 , – 21 ) 2. (– , –1 ] [– 21 , ) 3. (– , –1 ) 4. (– 21 , ) 61. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x2 – x + 1 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. [ –1 , ) 2. (– , –1 ] [ 0 , ) 3. (– , –1 ] 4. (– , 0 ] [ 1 , )


26

62. เซตค ำตอบของอสมกำร 15) 2x 2(x

6) x 210)(x 3x 2(x

0 คอขอใดตอไปน

1. [–3 , 3) 2. (–∞ , –3] (3 , ∞) 3. (–∞ , –3] {2} (3 , ∞) 4. (–∞ , –5) (–5 , –3] {2} (3 , ∞)

63. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 2 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. 4. R 64. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 5 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 5 ) ( 5 , ) 2. (– 5 , 5 ) 3. 4. R


27

65. เซตค ำตอบของอสมกำร (x2 + 5) (x – 2) (x – 6) 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) (6 , ) 2. [2 , 6] 3. 4. R

66. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 3x – 1 < x + 2 < 5 มกจ ำนวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

67. จ ำนวนเตมบวกทไมเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร –2x – 5 < 7 < 3x – 2 มก จ ำนวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


28

68. เซตค ำตอบของอสมกำร x < x2 – 12 < 4 x คอเซตในขอใดตอไปน 1. (4 , 6) 2. (5 , 6) 3. (6 , 6) 4. (7 , 6)

2.6 คำสมบรณ

คำสมบรณของจ ำนวนจรง a ใดๆ หมำยถงระยะหำงจำกจด 0 ถงจ ำนวนจรง a นน บนเสนจ ำนวน เชน 2 = 2 –3 = 3 –1 = 1 0 = 0

สมบตบำงประกำรของคำสมบรณ

1. x =

บ เปนจ านวนลx เมอx

ย วกหรอศนเปนจ านวนบx เมอx

2. x 0 3. x x 4. x = –x 5. x . y = x y 6. yx = y

x

7. x – y = y – x 8. x 2 = x2 = x2

9. ถำ x a จะไดวำ –a x a ถำ x a จะไดวำ –a x a ถำ x a จะไดวำ x –a x a ถำ x a จะไดวำ x –a x a

–3 –2 –1 0 1 2 3


29

69. ถำ x > 0 และ y < 0 แลว x y มคำเทำกบเทำใด 1. x y 2. –x y 3. x y 4. x y 70. ถำ b < a แลว b – a เทำกบขอใด 1. b – a 2. a + b 3. –a –b 4. a – b 71. ถำ x + y > z แลว x + y – z เทำกบขอใด 1. x + y – z 2. x + y + z 3. x – y – z 4. x – y + z


30

2.7 กำรแกสมกำรและอสมกำรในรปคำสมบรณ

2.7.1 กำรแกสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ วธกำรแกสมกำรพหนำมซงอยในรปคำสมบรณใหศกษำจำกโจทยตวอยำงตอไปน

72. ค ำตอบของสมกำร x + 1 = 10 อยในชวงขอใดตอไปน 1. ( – , –11) 2. ( – , 0) 3. ( –12 , 12) 4. ( 0 , 20) 73. ค ำตอบของสมกำร 2x – 4 = 16 อยในชวงขอใดตอไปน 1. ( – , –11) 2. ( – , 0) 3. ( –12 , 12) 4. ( 0 , 20)


31

74. เซตค ำตอบของ 2x + 6 = x มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 75. เซตค ำตอบของ x = 2x – 3 มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

76. เซตค ำตอบของ x – 2 = x + 3 มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


32

77. เซตค ำตอบของ x 2 – 2 x – 24 = 0 มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 78. เซตค ำตอบของ x 2 + x – 72 = 0 มสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

2.7.2 กำรแกอสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ วธกำรแกอสมกำรคำสมบรณใหศกษำจำกโจทยตวอยำงตอไปน

79. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 2 < 1 คอขอใดตอไปน 1. [ – , 1] 2. [ – , 3] 3. [1 , 3] 4. [3 , ]


33

80. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x + 3 7 คอขอใดตอไปน 1. [ – , –5] 2. [ – , 0] 3. [–5 , 2] 4. [2 , ] 81. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 9 5 คอขอใดตอไปน 1. (– , 4 ] [ 10 , ) 2. (– , 4 ] [ 14 , ) 3. (– , 6 ] [ 10 , ) 4. (– , 6 ] [ 14 , ) 82. เซตค ำตอบของอสมกำร x + 3 > 5 คอขอใดตอไปน 1. (–8 , 2) 2. (2 , 8) 3. (– , –8) (2 , +) 4. (– , 2) (8 , +)


34

83. เซตค ำตอบของอสมกำร x (x – 5) 6 คอขอใดตอไปน 1. (– , 3) (6 , ) 2. (– , –1) (2 , 3) (6 , )

3. (– , –1) (6 , ) 4. (– , )

84. เซตค ำตอบของอสมกำร 3x + 4 x + 2 คอขอใดตอไปน 1. (– , – 2

3 ] 2. (– , –1 ] 3. [– 23 , –1 ] 4. (–1 , )

85. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x + 1 3x + 2 คอขอใดตอไปน 1. (– 3

2 , – 21 ) 2. (– 3

2 , 21 ) 3. (– 2

1 , 32 ) 4. (– 5

3 , )


35

86. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 5x + 2 2 คอขอใดตอไปน 1. (– , 5 ) 2. (0 , 1 ) (4 , 5) 3. (5 , ) 4. (– , 0) (1 , 4) (4 , ) 87. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 4 x – 2 คอขอใดตอไปน 1. (– , 3 ] 2. (– , 4 ] 3. (3 , ) 4. (4 , ) 88. เซตค ำตอบของอสมกำร x + 1 > x – 3 คอขอใดตอไปน 1. (– , –1 ] 2. (– , 3 ] 3. (–1 , 3 ) 4. (– , )


36

89. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x x – 1 มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 90. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 3 x – 2 x + 6 มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

91(แนว En) เซตค ำตอบของ 2 x 1 x

> 2 คอเซตหรอชวงในขอใดตอไปน

1. 2. (2 , 3) 3. (–1 , 2) (2 , 7) 4. ( 35 , 2) (2 , 3)


37

92. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x4x 3 มกจ ำนวน

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

93. ค ำตอบของอสมกำร 3 – x < 1 คอชวงในขอใดตอไปน 1. (–4 , –2) (2 , 4) 2. (–4 ,–2) (3 , 4) 3. (–4 , –2) (4 , 4) 4. (–4 ,–2) (5 , 4)

94. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร xx

– 8 < x มกจ ำนวน 1. 6 2. 7 3. 8 4. 9


38

95. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 1 x x 1 3

< – x มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

96. ชวงค ำตอบของอสมกำร 5x5x + 2 > x คอขอใดตอไปน

1. (– , 2) – {–5 } 2. (– , 3) – {–5 } 3. (– , 4) – {–5 } 4. (– , 5) – {–5 } 97. ในชวงค ำตอบของอสมกำร x + 2 3 + x – 3 มจ ำนวนเตมบวกอยกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

98. เซตค ำตอบของสมกำร x + 3 + x – 1 = 6 มสมำชกอยกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


39

เฉลยบทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 4. 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 4. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 1. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 2. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 2. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 2. 26. ตอบขอ 3. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 3. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 2. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 2. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 1. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 2. 40. ตอบขอ 3. 41. ตอบขอ 1. 42. ตอบขอ 4. 43. ตอบขอ 1. 44. ตอบขอ 1. 45. ตอบขอ 2. 46. ตอบขอ 4. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 2. 49. ตอบขอ 4. 50. ตอบขอ 1. 51. ตอบขอ 4. 52. ตอบขอ 1. 53. ตอบขอ 2. 54. ตอบขอ 2. 55. ตอบขอ 4. 56. ตอบขอ 3. 57. ตอบขอ 1. 58. ตอบขอ 4. 59. ตอบขอ 4. 60. ตอบขอ 1. 61. ตอบขอ 1. 62. ตอบขอ 4. 63. ตอบขอ 4. 64. ตอบขอ 3. 65. ตอบขอ 2. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 3. 68. ตอบขอ 1. 69. ตอบขอ 2. 70. ตอบขอ 4. 71. ตอบขอ 1. 72. ตอบขอ 3. 73. ตอบขอ 3. 74. ตอบขอ 1. 75. ตอบขอ 2. 76. ตอบขอ 2. 77. ตอบขอ 3. 78. ตอบขอ 3. 79. ตอบขอ 3. 80. ตอบขอ 3.81. ตอบขอ 2. 82. ตอบขอ 3. 83. ตอบขอ 2. 84. ตอบขอ 3. 85. ตอบขอ 4. 86. ตอบขอ 2 87. ตอบขอ 1. 88. ตอบขอ 4. 89. ตอบขอ 1. 90. ตอบขอ 1. 91. ตอบขอ 4. 92. ตอบขอ 4. 93. ตอบขอ 1. 94. ตอบขอ 3. 95. ตอบขอ 1. 96. ตอบขอ 2. 97. ตอบขอ 3. 98. ตอบขอ 3.


40

ตะลยโจทยท วไป บทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

2.1 จ ำนวนจรง 1. ขอควำมตอไปน ขอใดเปนจรงตำมสมบตของจ ำนวนจรง

1) 6 + (3 ×2) = (6 + 3) ×2 2) x – (y – z) = (x – y) – z 3) x – y = y – x 4) 5p + 5q = 5 (p + q)

2. ขอใดไมถกตอง 1. อนเวอรสกำรบวกของ 7 คอ –7 2. อนเวอรสกำรคณของ 8 คอ 8

1 3. อนเวอรสกำรบวกของ 2

9 คอ 29 4. อนเวอรสกำรคณของ 3

5 คอ 53

2.2 สมบตของระบบจ ำนวนจรง

3. ตวเลอกใดตอไปนเปนจรงตำมคณสมบตกำรมเอกลกษณกำรคณจ ำนวนจรง 1. ( 3 x 8 ) x 5 = ( 8 x 3 ) x 5 2. ( 3 x 2 ) x 4 = 3 x ( 2 x 4 )

3. 32 x 1 = 32 4. 4 x 41 = 1

2.3 ทฤษฏบทเศษเหลอ และกำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว

2.3.1 ทฤษฏบทเศษเหลอ

4. เมอหำร x3 – 4x2 + 6x – 4 ดวย x – 2 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 4 3. 5 4. 7

5. เมอหำร p(x) = 2x3 – x2 + x + 7 ดวย x – 2 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. 21 2. 28 3. 36 4. 44

6. เมอหำร p(x) = 5x3 – x2 + 3x + 4 ดวย x + 1 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. –10 2. –7 3. –5 4. 4

7. เมอหำร p(x) = 2x5 + 3x4 + 4x3 + 5x2 + 6x +7 ดวย x + 1 จะเหลอเศษเทำกบขอใด ตอไปน

1. –1 2. 1 3. 2 4. 3


41

8. เมอหำร p(x) = 4x3 + 5x2 – 4x ดวย 2 x – 3 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. – 4

75 2. – 455 3. 4

55 4. 475

9. เมอหำร 9x4 – 4x2 + 16 ดวย x2 – 2 จะเหลอเศษเทำกบขอใดตอไปน 1. 22 2. 28 3. 36 4. 44

10. คำ a ทท ำให x – 3 หำร x3 – 2x2 + 7x + a เหลอเศษ 4 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –26 2. –13 3. 13 4. 26

11. คำ a ทท ำให x – 3 หำร 3x3 – 7x2 – 9x – a ลงตว มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –13 2. –9 3. 9 4. 13

12. คำ a ทท ำให 3x – 5 หำร 3x2 – ax + 10 ลงตว มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 9 2. 11 3. 15 4. 33

13. คำ a ทท ำให x – a หำร x2 – x – 6 ลงตว มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –3 2. –2 3. 3 4. 3 , –2

14. ถำ (x – 1) และ (x – 3) ตำงหำร a x3 + b x2 – 5 x + 6 ลงตวแลว a b มคำเทำไร 1. –3 2. –2 3. 3 4. 5

15. ถำ p (x) = a x3 – x2 – b x + 4 ม (x – 2) เปนตวประกอบ และเมอหำร p (x) ดวย (x + 1) แลวเหลอเศษ 6 แลว ab มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –4 2. –2 3. 2 4. 4

16. ถำ (x + 4) , (x – 3) , (x – 2) เปนตวประกอบของ p (x) = a x3 + b x2 + c x + 24 แลว 7 (a + b) + c มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. –14 2. –7 3. 7 4. 14

2.3.2 กำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว

17. ผลรวมของค ำตอบต ำสดและสงสดของสมกำร x3 + 4x2 + x – 6 = 0 มคำเทำกบขอใด ตอไปน 1. –3 2. –2 3. 2 4. 3


42

18. ผลรวมของค ำตอบต ำสดและสงสดของสมกำร x3 –2x2 –5x + 6 = 0 มคำเทำกบขอใด ตอไปน 1. –5 2. –1 3. 1 4. 2

19. ผลรวมของค ำตอบต ำสดและสงสดของสมกำร x3 –19x + 30 = 0 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –3 2. –2 3. 2 4. 3

20. ค ำตอบของสมกำร x3 – 7x – 6 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 x 0 2. 0 x 5 3. –4 x 4 4. –3 x 1

21. ผลรวมของค ำตอบต ำสดและสงสดของสมกำร x4 –2x3 –13x2 + 14x + 24 = 0 เทำกบขอใด 1. –3 2. –1 3. 1 4. 3

22. ค ำตอบของสมกำร 3x4 – 8x3 + x2 +8x = 4 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 x 0 2. 0 x 5 3. –4 x 2 4. –3 x 1

23. ค ำตอบของสมกำร 2x3 + 7x2 + 5x = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –3 x 0 2. 0 x 5 3. –1 x 4 4. 0 x 7

24. ค ำตอบของสมกำร 3x3 + 2x2 – 12x – 8 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 x 0 2. 0 x 5 3. –4 x 4 4. –3 x 1

2.4 สมบตของกำรไมเทำกน

2.5 ชวงและกำรแกอสมกำร 2.5.1 ชวง ค ำชแจง จงใชขอมลตอไปนในกำรตอบค ำถำม 3 ขอถดไป

ก ำหนดให U = [–2 , 7] , A = (0 , 4] , B = (–1 , 6)

25. ชวง A – B เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–1 , 4] 3. [4 , 6] 4. (6 , )

26. ชวง A/ เทำกบขอใดตอไปน 1. (– , –2] 2. (–2 , 7] 3. [–2 , 0] (4 ,7] 4. (4 , )


43

27. ชวง (A B/) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–2 , 7] 3. [–2 , 0] (4 ,7] 4. (4 , )

2.5.2 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกร 1

28. ชวงค ำตอบของอสมกำร 4x – 9 > 7 เทำกบขอใดตอไปน 1. (– , 4) 2. (–4 , 4) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (4 , )

29. ชวงค ำตอบของอสมกำร 3 (x – 2) 2 (x + 4) เทำกบขอใดตอไปน 1. (– , 14) 2. (–14 , 14) 3. (–,–14) (14 , ) 4. (14 , )

30. ชวงค ำตอบของอสมกำร 2x – 20 6 x เทำกบขอใดตอไปน 1. (– , –5) 2. (–5 , 5) 3. (– , –5) (5 , ) 4. (–5 , )

31. ชวงค ำตอบของอสมกำร 2x – 3 > 2 (5 + x) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–13 , 13) 3. (–,–13) (13 , ) 4. (– , )

32. ชวงค ำตอบของอสมกำร 4x – 3 < 4 (x + 1) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2. (–7 , 7) 3. (– , –7) (7 , ) 4. (– , )

2.5.3 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกรสง

33. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x < 3 – x2 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –5 ) 2. (–5 , –4 ) 3. ( –3 , 1 ) 4. ( 5 , )

34. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 2x 15 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –5 ] 2. [–5 , 3 ] 3. [ –3 , 5 ] 4. ( 3 , )

35. เซตค ำตอบของอสมกำร 4x2 – 4x – 3 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , – 2

1 ) 2. ( – 21 , 2

3 )

3. ( 23 , ) 4. ( – , – 2

1 ) ( 23 , )

36. เซตค ำตอบของอสมกำร 3x2 + 2 7x คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 3

1 ] 2. [– 31 , 2 ] 3. ( – , 3

1 ] [2 , ) 4. ( 31 , )


44

37. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1) (x + 2) (x – 5) (x + 3) > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 1 ) ( 3 , ) 2. ( – , –1 ) ( 5 , ) 3. ( – , –3 ) ( –2 , 1 ) ( 5 , ) 4. ( – , –1 ) ( –2 , 1 ) ( 3 , )

38. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 < 16 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –4 ) (4 , ) 2. ( –4 , 4 ) 3. ( – , –16 ) (16 , ) 4. ( –16 , 16 )

39. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 > 11 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –11 ) (11 , ) 2. ( –11 , 11 ) 3. ( – , – 11 ) ( 11 , ) 4. ( – 11 , 11 )

40. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 4x + 2 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , – 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. ( – , 2 –2 ) ( 2 +2 , ) 4. ( 2 –2 , 2 +2 )

41. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x3 – 3x2 10x มกจ ำนวน 1. 3 2. 4 3. 5 4. 7

42. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x > 2x2 – 2 มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

43. เซตค ำตอบของอสมกำร x4 – 13x2 + 36 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –3) 2. (–3 , –3)

3. (– , –2) (2 , ) 4. (–3 , –2) (2 , 3)

44. เซตค ำตอบของอสมกำร 4 – x2 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –2) 2. (– , –2) (2 , ) 3. (2 , ) 4. (–2 , 2)

45. เซตค ำตอบของอสมกำร 3) (x 1) (x . 2) (x


1. ( – , –1 ] [ 0 , 4 ) 2. ( – , –1 ] [ 2 , ) 3. ( – , –2 ] [ 1 , 3 ) 4. ( – , –1 ] ( 3 , 4 ]


45

46. เซตค ำตอบของอสมกำร 5) (x 2) (x 3) (2x

> 0 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (–5 , –2) ( 23 , ) 2. (–2 , 2

3 ) (5 , )

3. (–5 , –2) (– 23 , ) 4. (–2 , – 2

3 ) (5 , )

47. เซตค ำตอบของอสมกำร 92x1)3(x


1. ( – , 1] 2. (– , –3) [1 , 3) 3. (–3 , 3) 4. (– , –3] [1 , 3]

48. เซตค ำตอบของอสมกำร x1 3 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 0 ) 2. (– , 0) [ 3

1 , ) 3. (0 , 3

1 ] 4. (0 , )

49. เซตค ำตอบของอสมกำร x – x4 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –2 ) 2. (– , –2] [ 0 , 2] 3. [–2 , 0) [2 , ) 4. [2 , )

50. จ ำนวนเตมมำกทสดในเซตค ำตอบของอสมกำร 1 x 4 2x 1 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

51. จ ำนวนเตมนอยทสดในเซตค ำตอบของอสมกำร 1 x 6 1 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 6 4. 7

52. จ ำนวนเตมมำกทสดในเซตค ำตอบของอสมกำร 2 x 8 x มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

53. จ ำนวนเตมบวกในเซตค ำตอบของอสมกำร x 62x ≤ 5 มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

54. เซตค ำตอบของอสมกำร 1 2x 1 < x


1. (–∞ , 21 ) (1 , ∞) 2. ( 2

1 , 1)

3. (0 , 21 ) 4. (0 , 2

1 ) (1 , ∞)


46

55. เซตค ำตอบของอสมกำร 2 x x x1 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (–2 , –1) (0 , 2) 2. (–∞ , 0) (2, ∞) 3. (–∞ , –2) (2 , ∞) 4. (–∞ , –2) (–1 , 0) (2 , ∞)

56. จ ำนวนเตมบวกในเซตค ำตอบของอสมกำร 3 2x 1 x < 3 x 1 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 4 4. 5

57. เซตค ำตอบของอสมกำร 1) (x x 6 x


1. (– , –1) (0 , 32 ) 2. (–∞, – 23 ] (–1 , 0) [ 32 , ∞)

3. (–∞, – 23 ) (–1 , 0) ( 32 , ∞) 4. (–∞, – 23 ] [–1 , 0] [ 32 , ∞)

58. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 3 x

4 + 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (– , – 21 ) (0 , ) 2. (– , – 2

1 ] (0 , ) 3. (– , – 2

1 ) 4. (0 , )

59. เซตค ำตอบของอสมกำร 2 3x 2x

x 5


1. (– , 1) (2 , 3) 2. (–1 , 1) ( 2, 3 ) 3. (–∞, –1) (1, 2) (3, ∞) 4. (– , 2) (3 , )

60. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2)2 (x + 1) < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –1 ) 2. (– , –2 ) (–2 , –1 ) 3. (– , –1 ] 4. (– , –2 ) (–2 , –1 ]

61. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)2 (x + 4) 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –4 ] 2. [4 , ) 3. (– , –4 ] [4 , ) 4. (– , –4 ] {1}

62. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 (x + 1) > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–1 , 0 ) (0 , ) 2. (–1 , 0 ) (5 , ) 3. (–1 , 0 ) (7 , ) 4. (–1 , 0 ) (8 , )


47

63. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 (x + 1) < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –1 ) 2. (– , –2 ) 3. (– , –3 ) 4. (– , –4 )

64. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2)2 (x + 4) (x – 5) > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –4 ) 2. (5 , – ) 3. (– , –4 ) (5 , ) 4. (– , –4 ) {2} (5 , )

65. เซตค ำตอบของอสมกำร 42)(x31)(x


1. (0 , 1) 2. (– , –2 ) (–2 , ) 3. (– , 1) 4. (– , –2 ) (2 , 1]

66. เซตค ำตอบของอสมกำร 5x3x < 0 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (0 , 5) 2. (5 , – ) 3. (– , 0 ) 4. (– , 0 ) (5 , )

67. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x2 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (0 , 1) 2. (– , 0 ) (0 , ) 3. (– , 1) 4. (– , 0 ) (0 , 1)

68. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 2 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. 4. R

69. เซตค ำตอบของอสมกำร 2 x2 + 1 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. 4. R

70. เซตค ำตอบของอสมกำร (x10 + 1) (x – 1) (x + 2) (x + 3) 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , –3 ] [1 , ) 2. [–3 , –2 ] [1 , ) 3. 4. R


48

71. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 6x + 13 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( – , 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. 4. R

72. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำรทก ำหนดใหตอไปน มกจ ำนวน 6 – 7x < x2 – 5x – 2 < 4

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

73. ก ำหนดให A = { x I– –2 21 x < 1 }

และ B = { x I+ –4 2x – 2 1 } จ ำนวนสมำชกของ A B จะมกจ ำนวน

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

2.6 คำสมบรณ

2.7 กำรแกสมกำรและอสมกำรในรปคำสมบรณ

2.7.1 กำรแกสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ

74. ผลบวกของสมำชกในเซตค ำตอบของสมกำร x – 5 = 4 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 8 4. 10

75. ผลบวกของสมำชกในเซตค ำตอบของสมกำร x + 2 = –2x + 5 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

76. เซตค ำตอบของสมกำร x – 1 = 2x มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

77. ผลบวกของสมำชกในเซตค ำตอบของสมกำร x2 – 3x + 1 = 5 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 5 4. 6

78. เซตค ำตอบของสมกำร 2x 1x = 2 มจ ำนวนสมำชกกตว

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


49

79. เซตค ำตอบของสมกำร 2 x + 3 = 2x + 1 มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 2.7.2 กำรแกอสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ

80. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 2 < 3 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. [ – , –5] 2. [ – , 0] 3. [–5 , ] 4. [0 , ]

81. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x – 1 < 11 คอขอใดตอไปน 1. ( – , –5) 2. ( – , 6)

3. (–5 , 6) 4. (– , –5) (6 , )

82. เซตค ำตอบของอสมกำร 3 – 4x ≤ 1 คอขอใดตอไปน 1. [ – , – 2

1 ] 2. [ – , 1]

3. [ 21 , 1] 4. (– , 2

1 ] [1 , ]

83. เซตค ำตอบของอสมกำร 3x + 5 ≥ 4 คอขอใดตอไปน 1. [ – , –3] 2. [ – , – 31 ]

3. [–3 , – 31 ] 4. (– , –3] [– 31 , ]

84. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 2 3 คอขอใดตอไปน 1. [ – , –1] 2. [ –1 , 5]

3. [5 , ] 4. (– , –1] [5 , ]

85. เซตค ำตอบของอสมกำร 5 x 9 – 3 > 0 คอขอใดตอไปน

1. (–8 , –2) 2. (– , –5) (–5 , –2) 3. (–5 , –2) 4. (–8 , –5) (–5 , –2)

86. เซตค ำตอบของอสมกำร 4x3x + 2 > 0 คอขอใดตอไปน

1. (–4 , 4) 2. (– , –4) (–4 , ) 3. (–4 , 2) 4. (– , –4) (2 , )


50

87. จ ำนวนเตมลบทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร x – 1 < x มกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

88. เซตค ำตอบของอสมกำร 4x –3 2x +7 คอขอใดตอไปน 1. [– 3

2 , 5 ] 2. (–5 , 32 )

3. (–∞ , –5] [ 32 , ∞) 4. (–∞ , – 3

2 ] [5 , ∞)

89. เซตค ำตอบของอสมกำร 2 2x – 1 3x + 1 คอขอใดตอไปน 1. (–∞ , – 71 ) (5 , ∞) 2. (– 71 , 5 ) 3. (–5 , 71 ) 4. ( 71 , 5 )

90. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 1x 1x 1 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

91. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 2x x 2 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

92. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 4x x 2 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

93. ชวงค ำตอบของอสมกำร 2 < x 4 1 2x

มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. ( , – 49 ) 2. ( , 4

9 )

3. (– 49 , 4 ) (4 , ) 4. ( 4

9 , 4 ) (4 , )

94. จ ำนวนเตมบวกทเปนสมำชกของเซตค ำตอบของอสมกำร 2x2x45x2x

1 มกจ ำนวน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

95. ชวงค ำตอบของอสมกำร 1 5x 1 5x

+ 4x > 0 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. (– , – 51 ) 2. (– , 5

1 ) 3. (– 51 , ) 4. ( 5

1 , )

96. ชวงค ำตอบของอสมกำร 4 x x 4

– 2 x + 3 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. (– , –6] 2. (– , 6] 3. [–6 , ) 4. [6 , )


51

97. ชวงค ำตอบของอสมกำร 2 x 1 x

0 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. (– , –2] 2. (–2 , 1] 3. [1 , ) 4. (–2 , 1] [1 , 2)

98. ชวงค ำตอบของอสมกำร 1 x x < 2 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. (– , 1) 2. (1 , ) 3. (– , –2) (2 , ) 4. (– , –2) (–1 ,1) (2 , )

99. ชวงค ำตอบของอสมกำร x – 3 + 3x – 1 > 12 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. (– , –2) 2. (–2 , )

3. (–2 , 4) 4. (– , –2) (4 , )

100. เซตค ำตอบของสมกำร x – 4 + x – 3 = 1 มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

101. เซตค ำตอบของสมกำร x – 1 + x – 2 = 3 มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

102. เซตค ำตอบของสมกำร x – 2 + x + 3 = 0 มจ ำนวนสมำชกกตว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


52

เฉลยตะลยโจทยท วไป บทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 1. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบขอ 3. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 1. 24. ตอบขอ 3. 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบขอ 3. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 4. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 4. 33. ตอบขอ 3. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบ ( 2

3 , 21 ) 36. ตอบขอ 3.

37. ตอบขอ 3. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 3. 40. ตอบ (2– 2 , 2+ 2 ) 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 4. 44. ตอบขอ 4. 45. ตอบขอ 3. 46. ตอบขอ 2. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 2. 49. ตอบขอ 3. 50. ตอบขอ 3. 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 3. 54. ตอบขอ 4. 55. ตอบขอ 4. 56. ตอบขอ 2. 57. ตอบขอ 2. 58. ตอบขอ 2. 59. ตอบขอ 3. 60. ตอบขอ 2. 61. ตอบขอ 4. 62. ตอบขอ 1. 63. ตอบขอ 1. 64. ตอบขอ 3. 65. ตอบขอ 4. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 4. 68. ตอบขอ 4. 69. ตอบขอ 3.

70. ตอบ [–3,–2] [1 , ) 71. ตอบขอ 4. 72. ตอบขอ 4. 73. ตอบขอ 4. 74. ตอบขอ 4. 75. ตอบขอ 1. 76. ตอบขอ 2. 77. ตอบขอ 2. 78. ตอบขอ 3. 79. ตอบขอ 2. 80. ตอบขอ 3. 81. ตอบขอ 3. 82. ตอบขอ 3. 83. ตอบขอ 4. 84. ตอบขอ 4. 85. ตอบขอ 4. 86. ตอบขอ 2. 87. ตอบขอ 1. 88. ตอบขอ 4. 89. ตอบขอ 1. 90. ตอบขอ 1. 91. ตอบขอ 3. 92. ตอบขอ 1. 93. ตอบขอ 4. 94. ตอบขอ 3. 95. ตอบขอ 4. 96. ตอบขอ 1. 97. ตอบขอ 4. 98. ตอบขอ 4. 99. ตอบขอ 4. 100. ตอบขอ 3. 101. ตอบขอ 3. 102. ตอบขอ 1.

Documents

1 บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น บทที่1 ... · ติวสบายคณิต เล่ม 1 บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น