ติวสบายคณิต เล่ม 2 บทที่ 6 เรขาคณิต ...¸ªรุปเข้ม-M06... · ขั้นที่ 3 หาจุดตัดเส้นตรง

ติวสบายคณติ เล่ม 2 http://www.pec9.com บทที่ 6 เรขาคณติวเิคราะห์

1

เฉลยตะลุยข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั บทที่ 6 เรขาคณิตวิเคราะห์

1. ตอบข้อ 3. แนวคิด เส้นตรงท่ีผา่นจุด (–1 , 3) และ (5 , 7)

มีจุดก่ึงกลาง = 27 3,2

5 1 = (2, 5) และมีความชนั m = 1) ( 5

3 7 = 3

2

เส้นตรงท่ีตั้งฉากและผา่นจุดก่ึงกลางของเส้นตรงแรก จะมีความชนั = – 32

หาสมการเส้นตั้งฉากดงักล่าวไดด้งัน้ี จาก (y – y1) = m (x – x1) y – 5 = –

23 (x – 2)

จะได ้ 3x + 2y – 16 = 0

2. ตอบข้อ 2. แนวคิด เส้นตรง 2x + 3y – 7 = 0 มีความชนั = – B

A = – 23

ดงันั้นความชนัของเส้นตั้งฉาก ( L ) = 32

เน่ืองจากเส้นตรง L ผา่นจุด (1 , 6) จึงหาสมการเส้นตรง L ไดด้งัน้ี จาก (y – y1) = m (x – x1) จะได ้ y – 6 = 3

2 (x – 1)

และจากสมการน้ี หาระยะตดัแกนดงัน้ี ระยะตดัแกน X ตอ้งแทน y = 0 0 – 6 = 3

2 (x – 1) x = –3 ระยะตดัแกน X = –3

ระยะตดัแกน Y ตอ้งแทน x = 0 y – 6 = 3

2 (0 – 1) y = 9

2 ระยะตดัแกน Y = 9

2

สุดท้ายจะได ้ ระยะตดัแกน X + ระยะตดัแกน Y = –3 + 92 = 3

2

http://www.pec9/


2

3. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่1 หาสมการเส้นตรง L1 ซ่ึงผา่นจุด (5 , 2) และ (1 , –6)

โดย m = 5 12 6)

( = 4

8 = 2

จาก y – y1 = m (x – x1) ( แทน m = 2 , x1 = 5 , y1 = 2 ) จะได ้ y – 2 = 2 (x – 5) y = 2x – 8

ขั้นที ่2 หาสมการเส้นตรง L2 ซ่ึงผา่นจุด (3 , –1) และ m = –1 จาก y – y1 = m (x – x1) ( แทน m = –1 , x1 = 3 , y1 = –1 ) จะได ้ y – [–1] = –1(x – 3) y = –x + 2

ขั้นที ่3 หาจุดตดัเส้นตรง y = 2x – 8 และ y = –x + 2 โดยแกส้มการทั้งสองน้ี จาก y = 2x – 8 ( แทนค่า y = –x + 2 ) จะได ้ –x + 2 = 2x –8 x = 3

10 แทนค่า x ลงใน จะได ้ y = 2x – 8 = 2( 3

10 ) – 8 = – 34

จุดตดัเส้นตรงทั้งสองคือ ( 310 , – 3

4 ) = (a , b) นัน่คือ a = 310 , b = – 3

4

สุดท้ายจะไดว้า่ a + b = 310 + (– 3

4 ) = 2

4. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 พิจารณาตามรูป เน่ืองจาก ความชนั AB = ความชนั CD ดงันั้น 5) a

4)( 1

( = 1 2

2)( 3

จะได ้ a = –4

ขั้นที ่ 2 หาสมการเส้นตรง L ท่ีผา่นจุดก่ึงกลาง AC และตั้งฉากกบั AC โดย ความชนั AC = 1 4)(

2)( 1

= 5

3

A(a , 1) D(2 , 3)

B(–5 ,–4) C (1 ,–2)

L

http://www.pec9/


3

ดงันั้น ความชนัเส้นตั้งฉาก ( L ) = 35

และจุดก่ึงกลาง AC = 22)(1,2

14 = 21, 23

หาสมการเส้นตรง L ไดด้งัน้ี จาก (y – y1) = m (x – x1) ( แทน m = 3

5 , x1 = – 23 , y1 = – 2

1 ) จะได ้ ( y – [– 2

1 ]) = 35 ( x – [– 2

3 ]) 5x – 2y + 6 = 0

5. ตอบข้อ 4. แนวคิด ข้อ 1. ถูก เพราะเส้นตรง y = 3x + 2 เทียบกบั y = mx + c จะไดว้า่มีความชนั (m) = 3 เส้นตรง 3x – y – 4 = 0 เทียบกบั Ax + By + C = 0 จะได ้ ความชนั B

A = 13

= 3 เส้นตรงทั้งสองมีความชนัเท่ากนั จึงขนานกนัแน่นอน

ข้อ 2 ถูก เส้นตรง 5x + y + 8 = 0 มีความชนั (m1) = – BA = 1

5 = –5 เส้นตรง 5y = x + 3 คือ –x + 5y – 3 = 0 มีความชนั (m2) = B

A = 51 = 5

1 จะไดว้า่ m1 x m2 = (–5) ( 51 ) = –1 ดงันั้นเส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกนั

ข้อ 3 ถูก ให ้ x1 = 0 , y1 = 2 , A = 3 , B = 4 , C = –10

จะได ้ d = 2B2A C 1By 1Ax

= 2423

10 4(0) 3(0)

= 5

10 = 2

ข้อ 4 ผดิ ให ้ A = 1 , B = –2 , C1 = 5 , C2 = –5

จะได ้ d = 2B2A 2C 1C

= 22)(21

5)( 5

= 5

10 = 510

http://www.pec9/


4

6. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่1 หาจุดตดัเส้นผา่นศูนยก์ลาง 2x + y = 5 และ x + 3y = 10 โดยแกส้มการน้ี 2x + y = 5 ( ใช ้3 คูณตลอด ) จะได ้ 6x + 3y = 15 และ x + 3y = 10

น า – จะได ้ 5x = 5 x = 1 แทน x = 1 ลงใน x + 3y = 10 1 + 3y = 10 y = 3 นัน่คือจุดตดัเส้นตรง = (1 , 3) = จุดศูนยก์ลางวงกลม

ขั้นที ่2 จากรูปจะไดว้า่ r2 = 223)(21)(6 =

22125 = 26

7. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 จากวงกลม x2 – 2x + y2 + 10y – 39 = 0 จะได ้ จุดศูนยก์ลาง = 2

E , 2D

= 210 , 2

2

= (1 , –5)

ขั้นที ่2 จากรูป ความชนัเส้นตรง OA = 1 25][ 3

= 8

ดงันั้น ความชนัเส้นสัมผสัวงกลม = – 81 = ความชนัเส้นตรง L

หาสมการเส้นตรง L ไดด้งัน้ี จาก (y – y1) = m (x – x1) ( แทน x1 = 1 , y1 = –5 , m = – 8

1 ) จะได ้ y – [–5] = – 8

1 (x – 1)

สุดท้าย พิจารณาตวัเลือก (4 , – 843 ) แทนค่า x = 4 , y = – 8

43 ลงสมการเส้นตรง

(6 , 4)

(h , k) 2x + y = 5

x + 3y = 10

A(2, 3)

O(1,–5)

L

http://www.pec9/


5

จะได ้ 8(– 843 ) + 40 = –4 + 1

–3 = –3 สมการเป็นจริง แสดงวา่จุด (4 , – 8

43 ) อยูบ่นเส้นตรง L

8. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 หาสมการเส้นตรง L ท่ีผา่นจุด (1 , 4) และมีความชนั 4

3 จาก y – y1 = m (x – x1) ( แทน x1 = 1 , y1 = 4 , m = 4

3 ) จะได ้ (y – 4) = 4

3 (x – 1) 4y – 16 = 3x – 3 0 = 3x – 4y + 13

ขั้น 2 หารัศมีวงกลมดงัรูป

จาก r = 2B2AC1By1Ax

= 24)(2313 4(2) 3(1)

= 5

8

สุดท้าย พิจารณาตวัเลือก (1 , 52 ) เม่ือหาระยะห่างจากจุดศูนยก์ลาง (1 , 2) จะได ้

d = 2)52(221)(1 = 5

8

จุด (2 , 52 ) อยูห่่างจากจุดศูนยก์ลางวงกลมเท่ากบัรัศมีวงกลม แสดงวา่จุด (1 , 52 ) อยูบ่นเส้นรอบวงแน่นอน

9. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 หารัศมีวงกลม โดยหาระยะทางจากจุดศูนยก์ลางวงกลม (2 , 1) ถึงเส้น สัมผสั x – y + 2 = 0

จาก r = 2B 2AC 1By 1Ax

r = 21) ( 212 1(1) 1(2)

r = 2

3

r

(2, 1) x – y + 2 = 0

L ; 3x – 4y +B = 0

(x , y) (1, 2)

R

http://www.pec9/


6

ขั้นที ่ 2 หาสมการวงกลม โดย (h , k) = (2 , 1) และ r = 2

3

จาก (x – h)2 + (y – k)2 = y2

จะได ้ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 2

23

x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 23

x2 + y2 – 4x – 2y + 0.5 = 0 เทียบกบั x2 + y2 + ax + by + c = 0 จะไดว้า่ a = –4 , b = –2 และ c = 0.5

ดงันั้น 2a – b + 2c = 2(–4) – (–2) + 2(0.5) = –5 = 5

10. ตอบข้อ 1. แนวคิด เน่ืองจากวงกลมสัมผสัทั้งแกน X และ Y จุดศูยก์ลางอยูห่่างจากแกนทั้งสองเท่ากนั และเท่ากบัรัศมี ( r ) จึงไดว้า่ จุดศูนยก์ลางวงกลมคือจุด (r , r) ดงัรูป

ต่อไป คิดระยะห่างจากจุด (r , r) ถึงเส้นตรง 3x – 4y + 24 = 0

จาก r = 2B2AC1By1Ax

จะได ้ r = 24) (23

244r 3r

5r = –r + 24

แต่ความยาว ( r ) ตอ้งเป็นบวกเท่านั้น จึงได ้ r = 4

ต่อไป เน่ืองจากเส้นตรง 3x – 4y + 24 = 0 มีความชนั = 43

+5r = –r + 24 6r = 24 r = +1

–5r = –r + 24 –4r = 24 r = –6

Y

X

3x – 4y + 24 = 0

r r (r , r)

r

http://www.pec9/


7

ดงันั้น เส้นท่ีตั้งฉากกบัเส้นน้ีจะมีความชนั = 34 หาสมการเส้นตั้งฉากและผา่นจุด (r , r) = (4 , 4) ไดจ้าก (y – y1) = m (x – x1) ( แทน x1 = 4 , y1 = 4 , m = 34 ) (y – 4) = 34 (x – 4) 4x + 3y – 28 = 0

11. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้น 1 จากวงกลม (x – 5)2 + y2 = 20 จะเห็นวา่ จุดศูนยก์ลาง = (5 , 0) และ รัศมี = 20 ต่อไป เส้นตรง L1 และ L2 สัมผสั วงกลมท่ีจุด P และ Q ตามล าดบั และ PQ เป็นเส้นผา่นศูนยก์ลางวงกลม แสดงว่าเส้นตรง L1 และ L2 ขนานกนั และห่างจากจุดศูนยก์ลางวงกลม (5 , 0) เป็นระยะ 20 หน่วย เท่ากนั ดงัรูป เน่ืองจาก L1 มีสมการเป็น x – 2y + 5 = 0 สมการเส้น L2 ควรเป็น x – 2y + C = 0

เพราะสัมประสิทธ์ิ x และ y ตอ้งเท่ากนัจึงจะขนานกนัได ้

หาค่า C ในสมการ L2 โดยคิดจากระยะห่างจากจุด (5 , 0) ซ่ึงมีค่า 20 หน่วย

จาก d = 2B 2AC 1By 1Ax

(แทน A = 1 , B = 2 , x1 = 5 , y1 = 0)

จะได ้ 20 = 22)( 21C 2(0) 1(5)

20 = 5C 5

10 = 5 + C 10 = 5 + C C = 5 , –15

P

(5, 0)

L1

L2

Q

20

20

http://www.pec9/


8

L2 ตอ้งใช ้ C เป็น –15 เพราะวา่ C เป็น 5 จะท าใหส้มการ L2 เหมือน L1 สุดท้าย จากสมการ L2 คือ x – 2y – 15 = 0

ลองพิจารณาตวัเลือก (25 , 0) แทน x = 15 , y = 0 ลงใน L2 จะได ้ 15 – 2(0) – 15 = 0

0 = 0 สมการเป็นจริง แสดงวา่จุด (15 , 0) อยูบ่นเส้นตรง L2

12. ตอบข้อ 2. แนวคิด ขั้นที ่ 1 พจิารณา A x2 + y2 = 1 เป็นวงกลม จุดศูนยก์ลาง = (h , k) = (0 , 0) และรัศมี = r = 1 พจิารณา B x2 + y2 – 10x – 10y + 49 = 0 เป็นวงกลม

จุดศูนยก์ลาง = 2E

2D

, = 210

210

, = (5 , 5)

รัศมี = 21 4F2E2D = 2

1 4(49)210)(210)( = 1

ต่อไป โจทยใ์ห ้ จุด p และ q อยูบ่น วงกลม A และ B ตามล าดบั หากตอ้ง การให ้ p และ q อยูห่่างกนัมากท่ีสุด ตอ้งให ้ p และ q อยูฝ่ั่งตรงกนัขา้มของ ปลายเส้นผา่นศูนยก์ลางวงกลม A และ B

ท่ีอยูใ่นแนวเส้นตรงท่ีผา่นจุดศูนยก์ลางวง กลมทั้งสองดงัรูป และจากรูปจะไดว้า่

ระยะไกลสุด = rA + ระยะห่างจุด (0 , 0) ถึง (5 , 5) + rB

= 1 + 20) (520) (5 + 1 = 1 + 5 2 + 1 = 2 + 2 5

q

B

(5, 5)

p (0, 0)

A

rA

rB

d

http://www.pec9/


9

13. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่1 จาก y2 + 2y – x – 2 = 0 y2 + 2y + 1 = x + 2 + 1 (y + 1)2 = (x + 3) จะไดว้า่ จุดยอด = (–3 , –1) ขั้นที ่ 2 หาระยะระหวา่งจุด (–3 , –1) กบัเส้นตรง 3x – y = 0 โดย A = 3 , B = –1 , C = 0 , x1 = –3 , y1 = –1

จะได ้ d = 2B2AC1By1Ax

= 21)(23

01)1)((3)3(

=

108

14. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่ 1 จากพาราโบลา y2 = –8 x จะไดว้า่ h = 0 , k = 0 , c = 4

8 = –2 จุดโฟกสั = (h+c , k) = (0+(–2) , 0) = (–2 , 0)

สุดท้าย หาระยะห่างจากจุด (–2 , 0) ถึงเส้นตรง 2x – y – 6 = 0 โดย A = 3 , B = –1 , C = 0 , x1 = –3 , y1 = –1 .

จะได ้ d = 2B 2AC 1By 1Ax

d = 21 22 6)( (0) 1 2)( 2

= 5

10 = 510 x 5

5 = 2 5

15. ตอบ 4 แนวคิด ขั้นที ่1 จากพาราโบลา y2 – 4y – 16 x – 12 = 0 เม่ือจดัรูปแลว้จะได ้ (y – 2)2 = 16 (x – 1) จะได ้ h = –1 , k = 2 , c = 4 ดงันั้น จุดโฟกสั = (h+c , k) = (–1+4 , 2) = (3 , 2) ขั้นที ่2 หาสมการเส้นตรง L ท่ีผา่นจุด (3 , 2) ตั้งฉากกบัเส้นตรง 3x – 2y + 5 = 0 เส้นตรง 3x – 2y + 5 = 0 มีความชนั = – BA = 2

3 = 2

3

http://www.pec9/


10

ดงันั้น เส้นตรง L ท่ีตั้งฉากจะมีความชนั (m) = – 32

จาก (y – y1) = m (x – x1) ( แทน m = – 32 , x1 = 3 , y2 = 2 )

จะได ้ (y – 2) = – 32 (x – 3)

หาระยะตดัแกน Y ของเส้นตรง L โดยแทนค่า x = 0 จะได ้ y – 2 = – 3

2 (0 – 3) y = 4 นัน่คือเส้นตรง L มีระยะตดัแกน Y เท่ากบั 4

16. ตอบข้อ 3. แนวคิด ขั้นที ่1 จากพาราโบลา y2 – 4y + 4x = 0 เม่ือจดัรูปแลว้จะได ้ (y – 2)2 = –4 (x – 0) จะได ้ h = 0 , k = 2 , c = –1 ดงันั้น จุดยอดของพาราโบลา = (h , k) = (1 , 2) สมการไดเรกตริกซ์ คือ x = h – c x = 1 – (–1) x = 2 ขั้นที ่2 หาสมการเส้นตรงท่ีผา่นจุดก าเนิด (0 , 0) และจุดยอดพาราโบลา (1 , 2) โดย m = 0 1

0 2 = 2

จาก (y – y1) = m(x – x1) (y – 1) = 2(x – 1) y = 2x สุดท้าย หาจุดตดัเส้นตรง y = 2x กบัไดเรกตริกซ์ x = 2

จาก y = 2x ( แทน x = 2 ) จะได ้ y = 2(2) y = 4

นัน่คือจุดตดั = (2 , 4) = (p , q) จึงไดว้า่ p = 2 , q = 4 ดงันั้น 5p – q = 5 ( 2 ) – 4 = 6

http://www.pec9/


11

17. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่1 จากพาราโบลา y2 – 2y – 8x – 7 = 0 เม่ือจดัรูปแลว้จะได ้ (y – 1)2 = 8 (x + 1) จะได ้ h = –1 , k = 1 , c = 2 ดงันั้น จุดโฟกสั = (h+c , k) = (–1+2 , 1) = (1 , 1) ระยะห่างจากจุดโฟกสัถึงเส้นไดเรกตริกซ์ = 2C = 2(2) = 4 ขั้นที ่2 วงกลมซ่ึงมีจุดศูนยก์ลางท่ีจุดโฟกสัพาราโบลา (1 , 1) และสัมผสัไดเรกตริกซ์ จะมีรัศมีเท่ากบั 4 หน่วย ดงัรูป หาสมการวงกลมไดด้งัน้ี (x – h)2 + (y – k)2 = r2 (x – 1)2 + (y – 1)2 = 42 x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 = 16 x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0

18. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่ 1 จากรูปพาราโบลา จะไดว้า่ จุดยอดพาราโบลา = (–2 , 3) c = ระยะจากจุดยอดถึงโฟกสั = 3 AB ขนานไดเรกตริกซ์และผา่นโฟกสั ดงันั้น เส้น AB คือเส้นเลตสั และ AB ยาว = 4C = 4(3) = 12 สุดท้าย วงกลมท่ีมี AB เป็นเส้นผา่นศูนยก์ลาง จะมีจุดศูนยก์ลาง = (1 , 3) = (h , k) และมีรัศมี = 2

AB = 212 = 6

หาสมการวงกลมไดโ้ดย จาก (x – h)2 + (y – k)2 = r2

(x – 1)2 + (y – 3)2 = 62

A

B

(1, 3)

x = –5

(–5,3) (–2,3) (1,3) F

B

X

Y

3

A

R= 4 (–3 ,1) (1 , 1)

x = –3

http://www.pec9/


12

x2 – 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 36 x2 + y2 – 2x + 6y – 26 = 0

19. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 จากวงกลม x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 จะได ้ จุดศูนยก์ลาง = 2

E , 2D

= 2

2 , 26

= (3 , –1)

ขั้นที ่2 ดูพาราโบลา ดงัรูป จุดโฟกสั = จุดศูนยก์ลางวงกลม = (3 , –1) สมการเส้นไดเรกตริกซ์คือ y = 5 จะได ้ จุดยอด = (3 , 2) = (h , k) ( อยูก่ึ่งกลางโฟกสักบัไดเ้รกตริกซ์ ) และ c = ระยะจากจุดยอดถึงจุดโฟกสั c = –3 หน่วย (กราฟคว ่า c จะเป็นลบ )

หาสมการพาราโบลาไดด้งัน้ี จาก (x – h)2 = 4c (y – k) ( แทน h = 3 , k = 2 , c = –3 ) (x – 3)2 = 4(–3)(y – 2) x2 – 6x + 9 = –12y + 24 x2 – 6x + 12y – 15 = 0

20. ตอบข้อ 3. แนวคิด ขั้นที ่1 จากวงกลม x2 + y2 – 2x –4y – 20 = 0 จะได ้ จุดศูนยก์ลางวงกลม = 2

E2

D

, = 2

422

, = (1 , 2)

ขั้นที ่2 ดูพาราโบลาดงัรูป จุดยอด = จุดศูนยก์ลางวงกลม = (1 , 2) และ x = r = 5 เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ และ c = ระยะจากจุดยอดถึงไดเรกตริกซ์ c = –4 (กราฟเปิดซา้ย c จะเป็นลบ )

(3,5) y = 5

F(3,–1)

A (3,2)

Y

X

1 5

C = –4 x = 5

Y

X

(1 , 2)

http://www.pec9/


13

หาสมการพาราโบลาไดด้งัน้ี จาก (y – k)2 = 4c (x – h) ( แทน h = 1 , k = 2 , c = –4 ) (y – 2)2 = 4(–4)(x – 1) y2 – 4y + 4 = –16x + 16 y2 – 4y + 16x – 12 = 0

21. ตอบข้อ 2. แนวคิด ขั้นที ่ 1 ลองวาดรูปพาราโบลาดงัน้ี จะได ้ (h , k) = (–1 , 0) และ c = +1 (กราฟเปิดขวา c เป็นบวก) หาสมการพาราโบลาไดด้งัน้ี

จาก (y – k)2 = 4 c (x – h) จะได ้ (y – 0)2 = 4 (1) (x – [–1]) y2 = 4x + 4

ขั้นที ่ 2 หาจุดตดัเส้นตรง y = x – 2 กบัพาราโบลา y2 = 4x + 4 โดยแกส้มการ จาก y2 = 4x + 4 ( แทน y = x – 2 ) จะได ้ (x – 2)2 = 4x + 4 x2 – 4x + 4 = 4x + 4 x2 – 8x = 0 x (x – 8 ) = 0 นัน่คือ x = 0 และ 8

และจาก y = x – 2 ถา้ x = 0 จะได ้ y = 0 – 2 = –2 ถา้ x = 8 จะได ้ y = 8 – 2 = 6 นัน่คือ P = (0 , – 2) และ Q = (8 , 6)

สุดท้าย ระยะ PQ = 22))((620)(8 = 128 = 64 2 = 8 2

Y c

X (0 , 0)

Q

(–1 , 0) F

P

A

http://www.pec9/


14

22. ตอบข้อ 2. แนวคิด ขั้นที ่ 1 จากวงรี 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0

จดัรูปจะได ้

1624 y 36

26 x

= 1 ดงันั้น จุดศูนยก์ลางวงรีคือ (h , k) = (6 , –4)

ขั้นที ่2 หาสมการเส้นตรงท่ีผา่นจุด (6 , –4) และตั้งฉากกบัเส้นตรง 3x+ 4y = 5 เน่ืองจากเส้นตรง 3x + 4y = 5 มีความชนั(m) = – 4

3BA

ดงันั้น ความชนัเส้นตั้งฉาก (m) = 34

หาสมการเส้นตรงน้ีไดโ้ดย จาก (y – y1) = m(x – x1) ( แทน x1 = 6 , y1 = –4 , m = 3

4 ) จะได ้ (y – [–4] ) = 3

4 (x – 6) 4x – 3y – 36 = 0

23. ตอบ 2 แนวคิด ขั้นที ่1 พิจารณาวงรี x2 + 2y2 +4x – 4y – 2 = 0

จดัรูปจะได ้ 421)(y

822)(x

= 1

และจะได ้ h = –2 , k = 1 , a2 = 8 , b2 = 4 จาก c2 = a2 – b2 c2 = 8 – 4 c = 2 ดงันั้น F = (h+c , k) = (–2+2 , 1) = A F = (h–c , k) = (–2–2 , 1) = B สุดท้าย จากรูปจะไดว้า่ พื้นท่ี = 2

1 (ฐาน) (สูง) = 21 (4) (1) = 2 ตารางหน่วย

F(–4, 1) F(0, 1)

O(0, 0)

http://www.pec9/


15

24. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 จากวงรี 9x2 + 4y2 – 36x – 24y + 36 = 0

จดัรูปจะได ้ 422)(x

923)(y

= 1

ดงันั้น จุดศูนยก์ลางวงรี = (h , k) = (2 , 3) และจุดน้ีจะเป็นจุดศูนยก์ลางวงกลมดว้ย ขั้นที ่2 หาสมการเส้นตรงท่ีผา่นจุด (1 , 3) กบั (5 , 0) โดย m = 4

3 153 0

จาก (y – y1) = m (x – x1) (y – 0) = 4

3 (x – 5) 3x + 4y – 15 = 0

สุดท้าย หารัศมีวงกลม โดยหาระยะจากจุด (2 , 3) ถา้เส้นตรง 3x + 4y – 15 = 0

จะได ้ r = 2B2AC1By1Ax

= 24 23

15 4(3) 3(2)

= 5

3

25. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 จากรูปวงรี จะไดว้า่ a = 3 และ c = 2 จาก c2 = a2 – b2 22 = 32 – b2 b = 5 ดงันั้น ความยาวแกนโท = 2b = 2 5 ขั้นที ่2 คิดวงกลมซ่ึงมีจุดศูนยก์ลางอยูท่ี่ (h , k) = (–2 , 1) และมีรัศมี ( r ) = คร่ึงหน่ึงของแกนโทวงรี = b = 5 หาสมการวงกลมไดด้งัน้ี จาก (x – h)2 + (y – k)2 = r2

(x – (–2))2 + (y –1)2 = 25 x2 + y2 + 4x – 2y = 0

3x + 4y – 15 = 0

(2 , 3)

(3 , 1) (5 , 1)

a = 3 c = 2 (0 , 1)

Y

X

http://www.pec9/


16

26. ตอบ 12

แนวคิด จากวงรี

421 y 9

21 x

= 1 จะไดว้า่ a2 = 9 และ a = 3

จาก ผลบวกคงตวั = 2a L1 + L2 = 2(3)

ดงันั้น AF1 + AF2 = 2a = 2(3) = 6 และ BF1 + BF2 = 2a = 2(3) = 6 นัน่คือ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 6 + 6 = 12

27. ตอบ 0.8 แนวคิด จากรูปจะไดว้า่ (h , k) = 2

1 9,2 22 ดงันั้น ความยาว c = 9 – 5 = 4 จาก ผลวบวกคงตวั = PF1 + PF2 2a = 10 a = 5 สุดท้ายจึงได ้ ความเยื้องศูนยก์ลาง = 54ac = 0.8

28. ตอบข้อ 3. แนวคิด ขั้นที ่1 จากพาราโบลา x2 – 8x + 4y + 4 = 0 จดัรูปจะได ้ (x – 4)2 = –4 (y – 3)

h = 4 , k = 3 , c = –1 ดงันั้น จุดยอด (B) = (h , k) = (4, 3) จุดโฟกสั (A) = (h , k+c) = (4 , 3 + [–1]) = (4 , 2)

ขั้นที ่2 พิจารณาวงรีซ่ึงมีจุดศูนยก์ลางอยูท่ี่ A และโฟกสัหน่ึงอยูท่ี่ B และสัมผสัเส้นตรง y = 4 ดงัรูป จะไดว้า่ a = 2 และ c = 1

*

Y

X

F2 (2 , 9) (h , k) F1 (2 , 1)

P c

A

B

L1 L2 F1 F2

http://www.pec9/


17

จาก c2 = a2 – b2 12 = 22 – b2 b = 3 หาสมการวงรีจึงไดด้งัน้ี

จาก 2b2k) (y 2a

2h) (x

= 1

22

24) (y 2222) (x

= 1

42 2)(y 3

2)4 (x

= 1

29. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่ 1 ลองวาดรูปวงรีดงัรูป จะไดว้า่ จุดศูนยก์ลาง = (0 , 0) และ c = 3 จาก 2a = ผลบวกคงตวั 2a = L1 + L2

2a = 2

022123])[(2

+

202

2123)(2

2a = 42125 + 4

211

a = 4 และ c2 = a2 – b2 32 = 42 – b2 b = 7 ขั้นที ่ 2 หาสมการวงรีไดด้งัน้ี

จาก 2a2 h)(x + 2b

2 k)(y = 1

2420) (x + 2

7

20) (y = 1

162x + 7

2y = 1

L1 (–3 ,0)

F2 (3 ,0)

F1 (0 , 0)

(2 , 221 ) L2

a=2

c=1

(4 , 4)

y = 4

F = (4 , 2)

C = (4 , 3)

Y

X

http://www.pec9/


18

สุดท้าย ดูตวัเลือก (–4 , 0) แทนค่า x = –4 , y = 0 ลงในสมการวงรี

จะได ้ 1624)( + 7

20 = 1 1 = 1 สมการเป็นจริง แสดงวา่จุด (–4 , 0) อยูบ่นวงรีน้ีแน่นอน

30. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่ 1 พิจารณาวงกลม C x2 + y2 = 1 จะได ้ จุดศูนยก์ลางวงกลม = (0 , 0) รัศมี = 1

วงกลมน้ีจะตดัแกน X และ Y ดงัรูป

ขั้นที ่ 2 วงรีสัมผสัวงกลมท่ีจุด (1 , 0) มีจุดโฟกสัอยูบ่นวงกลม จึงวาดวงรีไดด้งัรูป และจะไดว้า่ จุดศูนยก์ลางวงรี = (h , k) = (0 , 0) c = ระยะจากจุดศูนยก์ลางถึงโฟกสั = 1 b = ระยะจากจุดศูนยก์ลางถึงปลายแกนโท = 1

จาก c2 = a2 – b2 12 = a2 – 12

a = 2 หาสมการวงรีไดด้งัน้ี

จาก 2a2 k)(y + 2b

2 h)(x = 1

22

20) (y + 2120) (x = 1

22y + x2 = 1

สุดท้าย ดูพิจารณาตวัเลือก ( 31 , 3

4 ) แทนค่า x = 31 , y = 3

4 ลงในสมการวงรี

จะได ้ 231

2

234

= 1 1 = 1

X

Y

F (0, 1) (1, 0)

F (0 , –1)

http://www.pec9/


19

สมการเป็นจริง แสดงวา่จุด ( 31 , 3

4 ) อยูบ่นวงรีแน่นอน

31. ตอบข้อ 2.

แนวคิด จากไฮเพอร์โบลา 16

22 y 921 x

= 1 จะไดว้า่ a2 = 9 และ a = 3

จาก ผลต่างคงตวั = 2a L1 – L2 = 2a L1 – 3 = 2 (3) L1 = 9

นัน่คือระยะจาก A ถึงโฟกสัอีกดา้นยาว 9 หน่วย

32. ตอบข้อ 2. แนวคิด จากไฮเพอร์โบลา 16x2 – 9y2 + 32x + 36y = 164


921)(x

= 1

h = –1 , k = 2 a2 = 16 ดงันั้น a = 3 และ b2 = 16 ดงันั้น b = 4

ต่อไป หาสมการเส้นก ากบัดงัน้ี จาก (y – k) = ab (x – h) (y – 2) = 3

4 (x + 1)

หาจุดตดัแกน X โดยแทน y = 0 จะได ้ (0 – 2) = 3

4 (x + 1) (–2)( 4

3 ) = x + 1 2

3 – 1 = x x = – 2

3 , 21

แสดงวา่จุดตดัแกน X คือ x1 = (– 25 , 0) และ x2 = ( 2

1 , 0) และระยะห่าง x1 กบั x2 = 2

125 = 3

F1 F2

L1 = ? A L2= 3

http://www.pec9/


20

33. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่ 1 จากไฮเพอร์โบลา x2 – y2 = 0

จดัรูปจะได ้ 120) (x – 1

20) (y = 0 h = 0 , k = 0 , a2 = 1 และ a = 1

ดงันั้น จุดยอด A = (h+a , k) = (0+1 , 0) = (1 , 0) A = (h–a , k) = (0–1 , 0) = (–1 , 0)

ต่อไป โจทยบ์อกวงรีมีจุดโฟกสัท่ีจุดยอดไฮเพอร์โบลา จึงไดว้า่ Fวงรี = (1 , 0) และ Fวงรี = (–1 , 0) จะได ้ จุดศูนยก์ลางวงรี = (h , k) = (0 , 0) และ c = 1 ดงัรูป

โจทยย์งับอกวงรีผา่นจุด (0 , 1) จุดน้ีจะเป็นปลายแกนโท ดงันั้น b = ระยะจากจุดศูนยก์ลางถึงปลายแกนโท = 1 และจาก c2 = a2 – b2 จะได ้ 12 = a2 – 12 a = 2

จึงหาสมการวงรีไดด้งัน้ี

จาก 2a2 h)(x – 2b

2 k)(y = 1

22

20) (x – 2120) (y = 1

22x + y2 = 1

สุดท้าย ดูตวัเลือก (1 , – 22 ) แทน x = 1 และ y = 2

2 ลงในสมการวงรี

221 +

222

= 1

1 = 1

สมการเป็นจริงแสดงวา่จุด (1 , – 22 ) อยูบ่นวงรี E จริง

Y

(0, 1)

X (0, 0) (1, 0) (–1,0) F F

http://www.pec9/


21

34. ตอบข้อ 4. แนวคิด ลองวาดรูปดู แลว้จะไดว้า่ จุดศูนยก์ลาง = (h , k) = (3 , –1) a = 3 , c = 5 จาก c2 = a2 + b2 52 = 32 + b2 b = 4 หาสมการไฮเพอร์โบลาไดด้งัน้ี

จาก 2b

2 hx 2a

2 ky

= 1

2423 x

23

21][ y

= 1

1623 x

92]y

1

= 1

35. ตอบข้อ 2. แนวคิด ขั้นที ่1 จากวงรี 6x2 + 5y2 + 12x – 20y – 4 = 0

จดัรูปจะได ้ 622) (y 5

21) (x

= 1 ดงันั้น จุดศูนยก์ลางวงรี = (–1 , 2)

a2 = 6 และ b2 = 5 จะได ้ b = 5 จาก c2 = a2 – b2 c2 = 6 – 5 c = 1 ดงันั้น ระยะจากจุดศูนยก์ลางถึงจุดโฟกสั = c = 1

ขั้นที ่2 จากรูปจะหาสมการไฮเพอร์โบลาไดด้งัน้ี จุดศูนยก์ลางไฮเพอร์โบลา = จุดศูนยก์ลางวงรี = (–1 , 2) = (h , k) a = 1 , b = 5

(–1,2) A

1 5

a = 3

c = 5

A (3 , 2) C (3 , –1) A(3 , –4) F (3 , –6)

http://www.pec9/


22

จาก 2b

2 hx 2a

2 ky

= 1

25

21 x 21

22 y

= 1

x2 – 5y2 – 2x + 20y – 14 = 0

36. ตอบข้อ 2.

แนวคิด จากสมการ 11622)(y

92x

จะได ้ h = 0 , k = 2 , a = 3 , b = 4

และ 524232b2ac จะไดจุ้ดศูนยก์ลาง และโฟกสัดงัรูป

และสมการเส้นก ากบัคือ y – k = h)(xab y – 2 = x34 ( คิดเฉพาะ + หรือ – อยา่งเดียวก็ไดค้ าตอบจะเท่ากนั ) 3y – 6 = –4x 4x + 3y – 6 = 0 สุดท้าย หารัศมีวงกลม โดยหาระยะจากจุด (5 , 2)

ถึงเส้นตรง 4x – 3y – 6 = 0

r = 2B2AC1By1AX

r = 232464(5)

3(2)

r = 4

(5 , 2)

r

4x – 3y – 6 = 0

(h , k)

(0 , 2)

F = (h+c , k) *

= (0+5 , 2) = (5 , 2)

http://www.pec9/


23

37. ตอบข้อ 2 แนวคิด ขั้นที ่1 หาจุดศูนยก์ลางไฮเปอร์โบลา จะได ้ (h , k) = 2

1 1 , 25 7 = (–1 , 1)

แสดงวา่ ค าตอบจะตอ้งมี (x + 1)2 และ (y – 1)2 แน่นอน ขั้นที ่2 จากรูปจะไดว้า่ c = 6 ดงันั้น a2 + b2 = c2 a2 + b2 = 62 a2 + b2 = 36

ขั้นที ่3 จากสมการเส้นก ากบั h)(xba k)(y

จะเห็นวา่ ความชนัเส้นก ากบั = ba

เน่ืองจากเส้นก ากบัขนานเส้นตรง 05yx2 ซ่ึงมีความชนัเป็น 12

จึงไดว้า่ ความชนัเส้นก ากบั = ความชนัเส้นขนาน

ba = 1

2

และ 12

2b2a

ค าตอบท่ีเป็นไปได ้ จึงมีขอ้เดียวคือ 12421) (y

1221) (x

เพราะ a2 = 24 , b2 = 12 และมี (x + 1)2 กบั (y – 1)2

38. ตอบข้อ 3. แนวคิด พิจารณา 9x2 + 4y2 –18x + 16y – 11 = 0 ( เป็นสมการวงรี )


421)(x

= 1 ดงันั้น จุดศูนยก์ลางวงรี = (1 , –2) a2 = 9 ดงันั้น a = 3 b2 = 4 ดงันั้น b = 2 วาดรูปเพื่อหา Dr , Rr จะไดด้งัน้ี

F C F

(–7 , 1) (–1 , 1) (5 , 1)

c = 6

1 –1 3

–5

(1,–2)

2

Y

X

http://www.pec9/


24

Dr = ค่า x ท่ีรูปกวาดถึง = [–1 , 3] Rr = ค่า y ท่ีรูปกวาดถึง = [–5 , 1] สุดทา้ยจะได ้ Dr Rr = [–1 , 3] [–5 , 1] = [–1 , 1]

39. ตอบข้อ 4. แนวคิด พิจารณา x2 + 2y2 = 2

จุดรูปใหม่จะได ้ 22x + 1

2y = 1 สมการน้ีเป็นสมการวงรี

จุดศูนยก์ลาง = (0 , 0) a2 = 2 ดงันั้น a = 2 b2 = 1 ดงันั้น b = 1

วาดรูปเพื่อหา Dr , Rr จะไดด้งัน้ี Dr = ค่า x ท่ีรูปกวาดถึง = [– 2 , 2 ] = [–1.414 , 1.414] Rr = ค่า y ท่ีรูปกวาดถึง = [–1 , 1] ดงันั้น Dr – Rr = [– 2 , –1] [1, 2 ] = [–1.414 , –1] [1 , 1.414]

จึงไดว้า่ ช่วงท่ีไม่เป็นสับเซตของ Dr – Rr คือช่วง (1.4 , 1.5)

– 2

–1 b = 1

+ 2 a = 2 b = 1

+1

(0, 0) x

Y

a = 2

http://www.pec9/

Documents

ติวสบายคณิต เล่ม 2 บทที่ 6 เรขาคณิต ...¸ªรุปเข้ม-M06... · ขั้นที่ 3 หาจุดตัดเส้นตรง