91
::::::::: : : · c c c c c c c · c c cc c · cc c c c · cc c c · cc c c · cc c c · c cc c · c cc c · c c cc c c c · c cc c · c c c cc c c c · c c cc c c c c · cc cc c c c · c cc c c · c cc c · c cc c · c cc c · c cc c · c cc c · c cc c · cc c c c · c c · c cc c c · c cc c · c c cc c c c · c cc c c :::: :: · c cc c · c cc c c · c cc c c NN N N NNNNNNN N NN NN N NN N NNN nnnnnnnnnn nnnnnnnnnnn

1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

  • Upload
    vocong

  • View
    282

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

:::::::::

��:������:������

· c c c c c c� �� �� c ��

·

�� c

c cc c�

� ��� � �� ����

·�

�cc c cc

� ��

·�

��� � �cc c �c

� ��

· � �� ��cc� cc

· � �� ��

�cc�

cc

��� ���� � � �� ��� �

· � ��� �c���ccc���

· �c���ccc���� ��

· � �� �c��cccc ��������

��� ��� c c� � �

· � �� �c���ccc��� �����

· � ��� �cc��cccc��c ��������

� �c

���

� ���

�������

· � ��� �c���c��ccc�� �����������

� �c�

�������

��� ����� c ��� c ��� � �

· � �� ���cccccc��c ���

· � ��� �c��cccc�� ���������

· � �� �cccc �������

· � ��� �c���ccc�� ����

· � �� �c���ccc���

· � �� �c���ccc���

· � �� �c���ccc ��������

· � �� �c���ccc��� �����

· �� �� � ��ccc��c c�����

· � �� �c

c�� ��

����������

· � �� �cccc��c ����

· � ��� �c���ccc�� ����

· � ��� �c��ccccc��c ���

· � ��� �c��ccc���c�� ������

:�::���:����:���:

· � �� �

��� �

��c�cc��c� �

· � �

�� �� �c�ccc�

c������

· �� � � �� � �� ����

��

��

� ���

c�ccc�c�

��

NNN NNNNNNNNNNN NNNNNNNNNNN

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

Page 2: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

.....

· �� � � �� �� �� �c �ccc c � ��

· � � �c�ccc�cc

c��

· � �� ����

���

��c�ccc�

cc

c

· � ���

� �c���c

cc �

��

� ���� c c�� �

· � ���

� �cc

cc �

����

� ���� c c�� �

·�

� �

cc��c c �

c c

�� ��

::������:::�:��:���:�������::::

· � ���

��

��c

�c

�c

��cc

�c�c���

����

��

· � ���

��

��c

ccc

��c

�c�ccc

ccc��c���

����

·� �

� � � � � �

� � � ���� ���

� �� �

c ccc c

c � c � � � � � � �

� �� �� � �� �� � � � ��

·

� �

� � � � � � � �

����

� �� � �� �

c c �cc c

c � c � � � c �

�� �

� � � ��

· � ��

��

cc

c

�cc

cc �

� ����

���

· � ��

��

cc

c

�cc

cc �

� ����

���

:��:���::������:

· �� ��

c��� � ����� c

c��

· � ���

���

� c�

ccc

�c

������

� c�cc ��� �����

· � ���

���

c�

c���cc

�c

��

� c�cc ��� �����

· � ��

cc�c ��

�������� �

��

c��

· � ���

��

cc�

c�

�cc

c����

����

· � ���

��

c�c

�c

�cc

�c���

����

· � ���

����� � c�

c���

�c�

cccc� �

�����

��

· � ���

����� � c�

c���

��c

ccc�c �

�����

��

� c�cc�

�cc

����� ���

�� �����

· � � �� �c �� ���

��� �

�cc

�� ������ ��

��

c��

� ��

��� �

�cc

�� ��� c�cc ��� ��

Page 3: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..�..

· ccc��

c��

� ��

����

��� ����� �

��

c� ����

· � �

� �

� �

� �

� ccc

� c ��� � ������ ��

���

��

c� ��

��

� � �� � ��c�c� ��� �����

· � �� ���

���

���

� c�

c����cc

�c�

c� ��

��

��! �

��

� ��� � � c�c�c� ��� ������

::�:����::��:��::������::::

·�

����

�c �cc � �c �c c

�c �c c

�� � �

� ��

�� cc

�c �c c�

� ��

����� � � �

�� � � � � �

��

��

· � ���� ccc�c�c��c ���

��&'� ��

'

�c�c�c �� �� � �� c�c�c� ���

����� � � �

�� � �

���

��

· � ���

�cc

c�c�c

��c

���

���� ccc�c�c

�c�c�c��

� ��

����� � � ���

�� � � �

��

· ���� c�c�c��c ���

������� �����

· ��c �

cc�c �

�� � � ��c � �c �cc� ��

��

� �cc ��� �c � �

�c � �c �� � �

� �� �

· �� �

�cc

�c � cc c� �� � ��� ���&�

· � ��

ccc�

c������� � ����� �

��

c� cc� �� ��

· �� �� ����

���

�c

c�

c

�cc

c� ����&'��

��

��� �� ����

����

�c

�c

c

�cc

�c ����&'��

��

���� ���

cc�c

�&'��

� � � �

� c

� c �

� �� �

� ���

· �� � ��

���

����c

����c���

��cc

c����c����

����

��� �

��� � � ���� *�

�� ��� � � ���� *�

�� ���

� �� ccc����� �� ���

����� � ���

����cc������

����� �������� ��� �� ���� ����� ��� ��� ������

·�

cc����c ����c�� ���� ���

c�� �

� �

� ���� ��� ���

� �

c �c

�� �

�� �� � � � ��

Page 4: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..�..

· ���������� � ��c���cc���c

����c����c��� ��

��

ccc

�c�c��

�� cc

�c�c

��

����������������� �

·��� ���

��� ���

� c � c ccc

c c � c �

� �� �� �

��� ��� ���� c � c c� � �

� ���� ��� ��� ���c

� c c � c � � c c � c � ccc

� � � � � �

::������:::�:�:���:

· �� � ��� � ��� �������� �� ��

���� � ��� �c����c�

·

� � � � � � �c� c c cc � c c cc � c c cc cc

cc

� �� �� � � � � �� �

� � � �

����� ���� � ����� ���������

���� � ������ ��������

· ������ ������ �� ����� ��� ������ ���������

�� ��� ����� �������� �� ��� �������� ����� ��4��

����� �� ��� ���� �����

��� �� ��� �� ��� ��� ��������� �� ��� ��������

�������*��� ���� ��7� ���� �������� �� ��� �����

��������

���� �� ��� �� ��� �������� �� ��� �������� ����

���*��� ��� ����� �� ��� ����� ��������� ����

����� �� ��7�� �� ��� ������ ��������

��� � ��� � ��� ������ ������*��� �������*��

���������� � ��

� � '��cc �� � � � �� � ��

· � ���

���

��

��

���

c�

c�

ccccc

��

����

����

���� �� ���

· � �� ��� cc��ccc�c�� cc ����!��

� � � �!c c� � c � c cc � � c c� �� � � ��

� � � ���c �c� �� c � c cc � � c c� � ��

· c�

c��cc

c�c��

�c�c ����

���

� ������!

��

· � �� ��� ccc�ccc�cc� ������!

· � �� ccc�c�����c ��

� �� �� � � �

�c����� �c c ���� �c c c

� �� � � �

· � �� ccc�c�����c ���� ��

��c

�����*�����*����*���� �

·� �c� ��� �c c cc� � ��

� � ���� � � � � �

���� �

c�� ��� �c c ���� �c c c

� �� � � � �

· � �� ccc�c���� c ��

� � ���� � ���� � � �

���� �

c�� �c c ���� �c c c

� �� � � � �

�4������� ���4���� �� ��4�4*�� �

· � ���� �� cccc���ccc��� ��� �

· � ���� �� cccc���ccc��� ��� �

· � ���� �� cccc���ccc��� �������

� ���

· � ���� �� cccc���ccc��� �������

� ���

· � ��� ��� cc���cc��cccc��c ���

Page 5: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..�..

· � ��� ��� cc���cc��ccc�� ��� ������

· � � � ���� c cc c��� c c c� �� � � ��

· � �� ccc��� �cccc ���� ���� ��

· � �����

����

� �� c�c�

cc���cc

c��� ����

· � �����

�����

� �� c�c�

cc���cc

c��� ����

����:::��:������

· ��� �� �� �� �� � � cc�c �c�� ����

����� �

��c

� ��

�c

��

· ��� �� �� �� �� � � ccc����� ����

�� � �

� ��

� ��

��

��

c���c���

· ��� � ��� �� �� � � ccc��� �� ����

�� � �

� ��

� �� �

��

c���c���

· ��� � ��� �� �� � � ccc���� � ����

�� � �

����

�� �

��

c

· ��� � ��� �� �� � ���� c cc� � ����

�� �

���

c�

��

· ��� � ��� �� �� ccc��c� �

� � ����

�� � �

����

���

�� �

��

cc��c

· ��� � ��� �� �� � � ccc�� ���� �

�����

��� ��� �

� �

� �

�c c c �� �

� �

� �� � �

� �

· ��� � ��� �� �� �� � � cccc������ ��

� ����

�� �� � ��

�� ��

��

���

�� ��

��

���

��

cc������

� ��

��

���

��

cc��������

�� ��

��

���

��

· ��� � � �� �� ��� � � � ccc ������ � ����

�� � ����� � �� � � ��� �

��������:

��:::�

��������������:�������

�� � ������������������

�� ��� � � � � � �� ��� � � � � �

'� ��� � � � � � �� � ��� � � � � �

��� ���� � ��� �� � ���

�� ����������� �� �����������

'� ������������ �� ������������

#�

� �

� � �

� �

� ��� ����

��

��

� � ����� � � � ��

'�

'� ����� � � �

'�

'�

' � ����� ��� ��

� � ������ � �

$� � %��%���%������%�������

�� ��� c � ��� c � � �� ��� c � ��� c � �

'���� c � ��� c � �c � � ����� c���� c��c ��

Page 6: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..�..

�� � ���

ccc���

c���

��

��

�� ��� c � c � � �� ��� c � c � �

'� c ��� c � � �� c � ��� c � �

*�

2� � ��� �

�� �� � ��� 2���� ��� � � � � � �� ��� � � � � �

'� cc���c

���

�� ccc��� �� ���

�� � �ccc���c

c�� ���

����

�� � ��� � � ��� � � � �� ��� � � ��� � � �

'� ��� � � ��� � � � �� ��� � � ��� � � �

�� � � c����

�����

�� ����c � ��� c � � �� ��� c � ��� c � �

'� ��� c � ����� c � � �� �����c � ��� c ��

��

� �

� �

� '

��

!

� � � �"� �����

�� �� �� �� '��

'� �

'� '

� '�

��

� � �� '�'���

��� � ���

ccc���

c���

�� � ��� c � � ��� c � c � �

�� � ��� c � ���c � c � �

'� ��� c � � ��� c � c � c

�� ��� c � � ��� c � c � �

��� ��� �

� ���� �����

�� ��

� ��� �� �� �� �

� ���� � ��

'��

�� ��� �� � � ��

� ���� � ��

��� �� ' �� � � �c c c c cc� � � �� �

�� � '� �� �� �c c c c� � � � ��

>�� �

>

cc

��

'�

'�� �

>

cc

�� ��

��� �

>

cc

��

�#� ��

���� cc

c

cc

��

��

�� ��� ��� c � ����� c � �

�� ��� ��� c � ����� c � �

'� ��� ��� c � ����� c � �

�� ��� ��� c � ����� c � �

�$� � ��

�cc

c

c��

�� ccc �� �&>

>

��� ccc �� �&>

>

'� ccc �� �&>

>

��� ccc �� �&>

>

'

��� � ��

cc�c����

�� � � c�c��c�c����

���

�� � � c�c����c���

������

'� � � c�c����c��c�

���

�� c�c

��� ���

��

�*� � ���

���

�cc

c�c

c

����

���� ��

�� ccc

��� ���

���

� ��

����

�� ccc

��� ���

���

� ��

����

'� ccc

��� ���

���

� ��

����

�� ccc

��� ���

���

� ��

����

Page 7: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..�..

��� � ���� �c�c

cc

�� � � c�c�c�c�c��

�������

������

�� � � c�c�c�c�c��

�������

������'

'� � � c�c�c�c�c��

�������

������'

�� c�c�c ����

���� �cc

c

c��

�������

���

�� cc

���

��

���������

�� cc

���

���

���������

'� cc

���

��

���������

�� cc

���

���

���������

��� � ��

�cc

c

c���c

�����

���

�� cc� �� cc��

'� ccc �� ������ �� cc �

��� � �cc

cc�� ������

�� '�

��� ��� ����

c c c c� � �

�� cccc ��� ����������'

� '

'� cccc ��� ����������'

� '

�� cccc ��� ���������'

� '

nnnnnnnnnnnn��n����nnn�nnnn

��� � ��

�cc

c

cc

c

��

?

��

���������

�� ������������ � � �� �������� � ���� � �

'� ��� � ��� � � �� ������� � �?� � �

��� � ����������� �

��� � � ��� �

��� �

�� �� �� �

�����

�� �� ����� � �� �� �� ������ ��

'� � �� ������ � � �� �� ���� ��

�#� � ��� cccc��cc��c ��������

�� � � ccc �� ������������

�� � �

ccc

��

������������

'� ������� � ��� � �c c c�

�� c�� �� )����������

�$� ��

���� ccc

��� c ��� c�

��

�� ccc �� ���������

�� ccc �����������

'� ccc ������������

�� �

��� ��� ����

c c c� �

��� � ��

ccc

c�

�����

�����

�� c�

c�

�� ���

�� c�

c�

��

��

���

'� c�

c�

����

�� c�

c�

���

���

Page 8: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..�..

�*� � cc���cc��� > �

�� cc���c�����

��

�� cc���c������

@

��

'� ccc ���

����'� �����

�� ccc�

�>

���>���

���� c

cc

���� %�����*%

�� c� c ��� �� c�c ��� ����&�

'� c�c �� ������ �� c�c �� �������&�

��� � ���

ccc

c

c �

��%������%

�� ccc �� �� �� ������

�� ccc �� �� �� ������

'� ccc �� �� �� ������

�� cc�cc �� �� �� ������

��� � �� � cc ��

cc%�����*%

�� �� �c��� � c�� � �� � � �c��� � c� �

'� �� �c��� � c� � �� �� �c��� � c�� �

#�� � �����

cccc

cc

�������

�������

�� ccc �� �����������

�� ccc �� �����������

'� ���� ��� � � �c ��c c ��� c c� �

�� cc���c��cc��c �� ������

#�� � ����cc

cc

�� cc �� �����'

� ���� cc �� �����

� ��

'� cc �� ������

� ���� ��������� � �

#�� �� ��

ccc

c�'&�

'&�

�� cc

���

����

''&� �� c

c�

� ����

''&�

'� cc

�� ���

�'&� �� c

c�

��

���

�'&�

##� � ��� �

cc�� cc ������

�� c� c

���

��� c

� c�

��

��

'� c� c

��

��

��� c

� c�

� ��

#$� � ��

ccc�

c

'�

�� cc� �� '�� �� cc�

�� ��

'� cc� ��� '�

'

��� cc� �� ��

'

#�� � ��

cccc

c�� ���?����

����

�� ccc �� ����?���������'

� ��

�� cc �� �?�����������

� �

'� ccc �� ����?��������>

� ��

�� ccc �� ����?�������� ��

Page 9: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..�..

#*� � ��

cccc

cc��

������

�������

�� cc���c��c �� ������ ��

�� cc���c �� ������ �

'� ������ � �

�� ��� �����c � ����c� � �

#�� �� ��

ccc���c���

�'�

�� cc���

�� '�

��� c

c����

� �'���

'� cc���

��

��'���

���

��� '�c

��� c� �

#�� � �ccccc ���������

�� cc ���� �� cc �����

'� cc �� ���� �� cc �����

#�� �� � ccc�������� �

�� cc

�� ��

��� c

c�

� ��

'� cc �� �� �� cc �� ��

$����� ���� ���� �

cc

c c c�

��

�� cc �� ����������

�� cc �� ���������

'� cc �� ���������'

�� cc �� ���������

$�� �� ��

cccc �

�� cc ������ �� cc �������

'� cc ��� ���� �� �c

c�

��

$�� �� �

�cc

c

c�

����

�� � cc� �� ���� ��

�c

c�

��

� �

�����

'� �

c�

c�

��

��

�����

�� �

c�

c�

��

��

����

$#� :$ � ��

ccc�c����

c������� ���

cc�c�� �� ����������� ���� � ���� 7 �

�� � �

� ���� ��

� �

� ��

'� � �

� ����

�� �

$$� ���

cccc

c

��� ������

�� cc �� ����� �� cc ��� �����

'� cc �� ����� �� cc ��� �����

$�� � �ccc��cc��c ������

�� cc ���

� � ����

�������

�� cc ���

� � ����

�������

'� ������� � � ��� �� � �

�� ������� � � ��� �� � �

$*� ��

ccc����

c�c

c

��

���� �

�� ��� ����� � � �� c�c��c c ����

'� �������� � � �� �������� � �

Page 10: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..��..

$�� � �ccc���c��� '� %�����*%

�� cc���

c

c�����

>

>'

�� cc���c���

�� >'

>

'

'

'� cc���c�����

>'

>'

�� cc���c�����

>'

>'

$�� � �ccc���

c

���

�� cc ����� �� cc �����

'� cc �����

��� cc ����

$�� �� �

���

� ���

cc

c

c���cc

c

���'�

��

���

�� cc

c��� ��

� �� ���� �

�� cc

c��� ���

� �� ���� �

'� � cc��� ��� ���� ��

�� cc

c��� ��

� �� ���� �

��� � �ccc���c��� '

�� cc���c��� ��� �&A�&'

A

'

�� cc���c��� �� �&A�&'

A

'

'� cc���c��� �� �&A�&'

A

'

�� cc���c��� �� �&A�&'

A

'

��� � ���

���

�cc

c

c

c �

����

��

�� cc

c��

���

���� �� c

c

c��

���

���

���

����

'� cc

c��

����

����

��� c

c

c��

���

��

����

��� �� cccc������ >'

��

@ � ���� ��� ���

@ � '

c c cc� � �

��

@ � ���� ��� ���

@ � '

c c cc� � �

'�

@ � ���� ��� ���

@ � '

c c cc� � �

��

@ � ���� ��� ���

@ � '

c c cc� � �

�#� �

�ccc

��

��

�� ����� c� c� �� � �� ����� c� c� � �

'� ����� c� c� � � �� ����� c� c� �� �

�$� � ��

cc�

�c

c

��&

�� � ��&������� ����&� � ��� � �

�� ��&��� � ��� ����&� � ��� � �

'� � ��&������� ����&� � ��� � �

�� ��&������� ����&� � ��� � �

Page 11: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..��..

��� � ��

ccc

c

'

>

�� � ccc ��� '' ��?

�� � ccc ��� '' ��?

'� � ccc ��� '' ��?

�� � ccc ��� '' ��?

�*� ���

� � ��� ���$%�%�%������%�$�%�%��

����

��� �'

���

�� ����

' '

� � � � � �

'��� �

���' �

� � � � � �

�� � �

����

� � � � � �

��� �����%��������������$�����������$�%����%���

�� �� ��� ��������

�� �� ���� ��������

'� ������� ���� ��� ���

�� ��4���4�� ����� ��4���4�� ���

��� � ��

�� � ��� � ����

�� ��

��7

�� �� �� 7�

'�

��7

�� ��

��

��

���

��

�� �

ccc

c�

��

�� ��>

> � >����

> '

cc c c�� �

� � �� �� �

�� ��>

> � >����

> '

cc c c�� �

� � �� �� �

'� ��>

> � >����

> '

cc c c�� �

� � �� �� �

�� ��>

> � >���'

cc c c�� �

� � �� �� �

*�� ���

ccc

c�

��

�� � �� �� �

� �

� �c c

c� �

� �� �

� �� �

�� � �� �� �

� �

� �c c

c� �

� �� �

� �� �

'� � �� �� �

� �

� �c c

c� �

� �� �

� �� �

�� � �� �� �

� �

� �c c

c� �

� �� �

� �� �

�nn��n��n�n�nnnnnn�nnnnnnnnnnn���nn

*�� cccc

����

� �

�� �

������

c � � �� �����

c � �

'� �

���������� � � ��

��������

c � �

*�� ��

cc�

c

c

��

�� � c��

c ���������

� �� � c�

c �������

'� � c� c ������ �� � c�� c ���������

Page 12: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..�...

*#�

��� ���

��� � � ��� � >�

� ��

������� ���� � � �� � �

����� ��� ��� � �

�� �� �� �

��

'� ��� ��� ��� � �

�� �� �� �

� �

�� ��� ��� ���� � � �� � �

*$� �� '

cc

c c�

� ��

��� � '

����'

cc� �� �

� � �

�� � � '

�����'

cc� �� �

� � �

'�� � '

�����'

cc� �� �

� � �

�� � � '

����'

cc� �� �

� � �

*�� �� '

cc

c c�

� �� ������*�

�� � � '

����A

cc� �� �

� � �

�� � � '

����A

cc� �� �

� � �

'� � � '

����A

cc� �� �

� � �

�� � � '

����A

cc� �� �

� � �

**� �

'

� �cc

c c�

� �� ��������

�� �

����

cc

c

��

� �� �

���� �

cc

c

��

'� �

���� �

cc

c

��

� �� �

���� �

cc

c

��

*�� � �� ccc� c �����>

�� � � ccc� c

���

������������>��?

>

�� � � ccc� c

����

������������>��?

>

'� � �>

>����� ���������?

c�c c c

� �

�� � � ccc� c

��� �

������������>��?

>

*�� � �ccc���� c >'

�� � � ccc���� c

�� >���>>''�

'

�� � � ccc���� c

�� >���>>''�

'

'� � � ccc���� c

�� '���'>>'�

'

�� � � ccc���� c

�� >���'>>'�

'

*�� � �ccc���c �'

�� � �� � cc���c���

c

���

���'�����'���

'�

�� � �� � cc���c���

c

����

�'��������?

'�

'� � � � �� � cc���c���

c

���

'�����'�������'���

'��

�� � � �� � cc���c���

c

���

'�����'�����'���

'�

nnnnnnnnnnnn��n��nnnn�nnnnn�nnnn�nnnn��

��� :$� �

� �'� ��� �� ����������� �

� *

�� �%������%

��%���

�� �' �� � '� ��' �� ��

Page 13: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..��..

��� � ���� �

����� � � ��� � '

�� ��

��� ��� � '

��� �' ��� � �

��

� ��� ��� � '

��� �� ��� � �

��

'���� � '

��� ���� � �

��

� �� � ��� � '

��� �> ��� � �

��

��� �

��� ���

� ��� ��

��

�� �

��� ���� �

� ��� ��

��

�� ��� ���� �

��� �

��

'� �

� ��� ���� �

� � ��� ��

�� �

��� �� ��� �

� ��� ��

�#� � ��

� �

� �

� � � �

� �� � �������%���%���%��

�%�����%��%�'�%

��� �

�� '

� � � �

�� � �

�� '

� � � �

'�

'� �� ��

�� '

� � � �

�� � �

�' '

� � � �

�$� � �

� �� '�� �� �����

��

� ���� �

� �

��

� ��

� ���� �

� �

��

'�

� ���� �

� �

��

� ��

�� ���� �

��

��n�nn�nn��nnnnnnnnnnnnnnnn

��� ��

� � � �� �� �����$%�%�%������%�$�%�%��

�� ���� � �� � �� ��

��� � ��

� �

'� �� � �� � �� � �� ��

� �� � �'

� �

�*� �� �c c cc� � ��

�� � �'&��� ' @

�>c c c� � �

�� � �'&��� ' @

�>c c c� � �

'� � �'&��� ' @

>c c c� � �

�� � �'&��� ' @

�>c c c� � �

nnnnnnnnnnnn��n�nnn�

��� � �cc�c c�%�����*%

�� �� ��� � �� � �� � � �� �� ��� � �� � �� � �

'� �� � �� � � �� �� ��� � � � �� � �

��� � �cc�c c�

�� c��

c

c� c ��

���

���

'�

�����

�����

���

�� c��

c

c� c ��

���

���

'�

�����

�����

���

'� c��

c

c� c ��

���

���

'�

�����

�����

���

�� c��

c� c ���

��

������

���

Page 14: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..��..

��� � �cc���ccc ���

�� � ��� � � ��� ���� �&�� � �

�� �� ��� � � ��� � ��� �

c � � c

'� � ��� � � � ��� ���� �&�� � �

�� � ��� � � ��� ���� �

c� � �

��� � �cc���cc��� ����� :�%�������%���% %

����:�����%���%����%$%�%�%��'����%�$%�%��

�� ���� � �� ��� � '� ��� � �� ��� �

��� � �� ccc��� �

�� � ��� ���� � �

���� ��������

�� � ��� ��� � � �

���� ��������

'� � ��� ��� � � �

���� � ���� ���

�� � ��� ���� � �

���� ����� � � �

��� �� �� ���� c c cc� � ��

�� � ����� � � �� c� � �

�� � c ����� � � �� c� � �

'� � � ����� � � �� c� � �

�� � � ����� � � �� c� � �

�#� � ��

c���

cc

�������

�� � ��� �

c� � �� � ���

c� �

'� � ��� �

c� � �� � ���

c� �

�$� � ��

ccc

cc

����

����

�� c���c �� ������ �� ccc �� ��������

'� cc

c ��

��� �� cc

c ���

���

��� :$�' ' �c cc � cc � �c �c cc c �� � � �� � � � � �� ��

���%�%�'�'�'�%�

�� ���'������ �� ����'������

'� �����'����� �� �������'�

�*� � �� ccc ������ �

�� � ��� ����������� ������ � �

�� � ��� ����������� ������ � �

'� ��� ����������� ������ � �

�� ��� ����������� ������ � �

��� �� �ccc��� ���

�� � �� � cc���c���c �� ������

�� � �� �c���c���c

�������

� � �

'� � � cc���c���c

���

���

�� � �� � cc���c���c

�� �������

�nn��n��nnnn�� � � �c� � c � c cc� ��� ��

��� � � cccc� c ��������� � %������%

�� �� ��� � � � �� �� ��� � ��� � � �

'� �� ��� � � � �� � �� ��� � � �

��� � ��

�� �

��

�����

c

cc� c

n�n�

�� �� c

� c

�� � �� �� ����� � � �

'� cc

�� c���c ����

��

��

��

�� ��

��

c� c���

��

� �

Page 15: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..��..

��� � ��

ccc

c�c

����

�� �� �

�c

� �� ��� �

� � �� �� �

�c

�� �� ��� �

� �

'� �� � � � �� ���

� ��c

� ��� ��� �

� �

��� � ���

� �cc�

c

c c

�� �� � � �� �� c

� � �

'� � ���

c� � �� �� �� � �

��� �� ��

���

�cc

c

c�c

'�

��

�� �� ��

c�c

c�

����� �

� ��c

c�

'� ��

cc

c�

��� ��

����

�c � �

�#� � ���

��

c���

c����c

��

��n�n�

�� c

�c

������� � ��

c

c����c

�����

� � �

'� �� ��� � � � �� �� ��� � � �

�$� � ��

c���

c���� c

��

��� �n��

�� �� ���� � � �� �� ��� � � �'� �� ���� ��� � � � �� �� ����� c � �

��� ��

���

� ���

ccc

c�

��

�� � ���

cc

c�

� �� � ���

cc

c

��

'� � ���

cc

c�

� �� ���

�*� � �� cccc� cc ������

�� �� � � �� �� ���� � �

'� �� �� � � �� �� � �� � �

��� � �����

ccccc

�c

� ��������� �

�%������%

�� ���� �c� c c� � �� cc

�c

�� �

'� cc�c �� ��� �� � ��c� c c� �

��� � �� ccc

c�c ��

�����

�� �� ��� � � � �� �� ���� � � c

�� � �

'� �� ���� � � c

�� � � �� c

c

�c

��

��� � ����

����

cccc

cc�c

��

��

�� ccc�c ��� ��� ��

�� ccc�c ��� ��� �

'� ccc�c ��� ��'� �

�� ccc�c ��� �>�� �

nn��nnnnnnnn���nn

���� � 4��� � �� ��������

�� ����� ' '

� �������� � � �� @ @

�� �

�� � '

����� � �� @

� �� �

'� � ' '

� ����� � �������� � �� @ @

� �� �

�� � '

� ����� � �� @

� �� �

���� � ���� � �� ��������

�� �� �

��� ����� ���� �' '

� �

Page 16: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..��..

�� �� �

��� ����� � ���� �' '

'� �� �

��� ����� ���� �' '

� �

�� �� �

��� ����� � �������� �' '

���� � � � �� ��������

�� �

�������

������������������

�� �

�������

� ���������

'� �

�������

������������������

�� �

�������

���� �

�����

��#� cc� 4� � �� ��������

�� �

'����������

'������

�� �

'����������

' ������

'� �

'����������

' ������

�� �

'����������

'���

��$� :�'%

��� � � ���� ���� ��� '����%�:

�'$�������

��

� >

'��

��� ���� � ��

? ?�

�� �

� >

'��

��� ���� � ��

? ?�

'�

� >

'��

��� ���� � �� �

? ?

�� �

� >

'��

��� ���� � �� �

? ?

�n�n�nn�

�nn���nn�n�nnn�nn��n��

�� � �����������

�� � � � ��

��

�� �

'� �� � � �� �

���

�� � ����%�������%���%���%�����

�� � � � ��

��

�� �

'� �� � � �� �

��

�� �

#��

������ ������

�� � �� �� '& ��

'c c�

'� �

�� �

� �� � � �

$� � ��%���� ��� ��

� ��� ��

�� ����

�� � � � �� �

���

'�

��

�� � ��

'�

' � �

�� � %��%����%������%��������

�� � �� �

�c���

Page 17: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..��..

'� c�

�c�

�� c�

�c�

*� � �� � cccc �����

�� cccc

����

�����

����

�� cccc

����

�����

����

'� cc c �� ��� �� cc c �� ���

�� � ����

����� cc

ccc

�'���

'�

�� �� �� �� ��� � � '� c�c

��

�� c�c

���

�� � ��

cccc���

cc�����

''

���

���

�� ��� c � ������c � �

�� ����c � ����� c � �

'� ����c � ����c � � �� ����c � ����c � �

�� � ����cc���

����

�� � ��� � � � �� � � ��� � � �

'� � � ��� � � � �� �� ��� � � �

��� � cc�� cc �

�� ����� � � �� cc�

�� cc

�� ������

'� �

c�

��c

�� ����

�� �

c�c

�cc

����

��� � ��

ccc

cc

'��'

�� ccc

���>�����

�>���'

�� ccc

���>�����

�>���'

'� ccc �� �>��>�����'

��'�������>��>��� �

��� � ���%�%����%�����

�� �� ��� � � � �� ���

'� �� � � �� ���� � �

�#� � � ��

cccc��� �����

�� ��� c � � �� ����c � �

'� cc�

��� �

�� cc�

��� �

�$� � ��

���

����

cc

cn�n�

�� cc

c��� ��� ���� c

cc��� ��� ��

'� cc

c����

��

�� cc

c����

��� �� ccc����

�� ��� �� � � �� cc ������@�

'� cc ������@�

��� cc ������@�

�*� � ��

cccc

c

���

����

�� � ����� c � ��� c � �

�� ����� c � ��� c � �

'� � ����� c � ��� c � �

�� ����� c � ��� c � �

Page 18: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..��..

��� � ccc

c��

�� cc � �� � cc � '� ��� � � �� �� � �

��� � ���

��

cc��

��cc

cc

�������'

�������>

�� � � � �� '����

'� cc

�'

'

�� cc

��

'

��� c c cc ��

�� '& �'

�c c� ��

>& ��

>c c�

'� >& �>

�c c� ��

'

�c c�

��� � �� ��� c���c��c��� ������������

�� ccc

����

���� c

cc��

��

��

'� cc

��

�� cc

��

��� �� � ���

cccc

cc

������

������

�� ����� � � ��� �� � � � �

�� ��� � � ��� � � � � �

'� ����� � � ��� �� � �

�� ����� � � ��� �� � � � �

��� � ��

ccc��c��

c���

�������� �

�� c���� c � � �� c � ����c � �

'� ��� c ��c � � �� c�� ��� c�� �

�#� � � ���

��� ccc c�� �� �� � � � �� � �� �

�� ����c�����c � �

�� ���� � ����c � �

'� ����c�����c � �

�� cc���c���

���

�� �

�$� � �cc

�c����

��

�� ����� ����� �c �c c

�� �

�� c�c

��� ��

'� c�c

��� ��

�� c�c����c���

�� ������

��� � ��

ccccc

��c�

�� ccccc

�c�c

c

�c��

�� �����

�� ccccc

�c�c

c

�c��

�� �����

'� cccc

��c�

��

���

�� ccccc

c

�c��� ���

�*� :$�� � �� � c�ccc� '�����%

�� � cc� � �� � �c���c� ����

'� � ��c� �� � c�c� �

��� �� � cc�� c��

�� c��

��c

c�

�����

�� c��

��c

c�

�����

'� ��

��c ��

���

��� ��

��

��c ��

���

���

Page 19: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..��..

��� � �ccc���

c�����

��

�� cc�

��

�����

�� cc�

��

�����

'� �� ���?� � � ��

?���

��

cc�

��� � ��

ccc���

c���

�� ��� ������ ����

�� cc�

��������

'� cc��� �������

�� ���� ������ �� � �

#��

� ' >c ccc

c

� ���

�� >& � '& ��

� ��>c c c c� � �

�� >& � '& �>

� ���c c c c� � �

'� '& � '& ��

� ��>c c c c� � �

�� '&� '&��

� ��>c c c c� � �

nnnnnnnnnnnn��n����nnn�nnnn

#�� � �ccc

c���

���������

�� cc�

�������

��� c

c���

��

�������

'� cc

����

��

�������

��� c

c�

��������

#�� � ��

ccc

c���

'�

��

�� cc���

��

'

�� '�

�� cc��� �� �� ���

'� cc��� �� �� �� �� cc��� �� '� ��

##� �

� >

� ' > �

ccc

c c

� �� �

�� ccc ��� �>'�

� �

�� ccc ��� �>' �

'� ccc ��� �>'�

� � �� ccc ��� �>'

'

� �

#$� � �� �' ������ cc��c

cc

�� cc�����c

��

����

��� c

c�����c�

����

'� cc�����c

�'��'

��� c

c�����c�

����

#�� � �ccc

c

' ����

���

�� '' ��� c c� �� cc �' ����'

'� cc �' ��� �� cc �' ����

#*� ��� �

��� ���

�� cc

c c

�� ����� � � � �� cc������

'� cc����

���

���

�c

c����

��

Page 20: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

...�..

#��� ��c c ��cc���ccc� ��

�� cc��c�

'

'

�� cc��c��

'

'

'� cc��c�

��

�� cc��c�

#�� � ���

cc��

��cc

cc

�� c�� cc �� � �����

�� c�� cc �� � �����

'� c�� cc �� � ������

�� �

��� � ��

c c� � c�� �

#�� �� �� �

ccc���c ���

�� �

cc���

��

��

�� ��� � �����c� � �

'� ������� � � ��� �� � �

�� ������� � � ��� �� � �

$�� � ���

�cc

cc

c

�'

'�

�� ccc ��� �'�

�� ccc ��� �'� �

'� ccc ��� �&'� ��'��

�� ccc ���� �&'� ��'��

$�� �� ccc���c���

�� cc ����'

��� ����c ��&'��

'

'� cc �'&����'

��� cc ��&'���

$�� � �� ccc���c���'

�� cc����

'

�� cc�����

'

'

'� cc�����

�� cc ����

$#� � � �� ccc���ccc��� ?A

�� cc����

A

A

�� cc��� �A

'� cc����

��

��

��

@

@

��� cc�

$$� � ��

ccc

c

A�

�� cc �� A� �� cc �� A� �

'� cc

�� A

� �� cc

��� ���

��

A

$�� � �ccc

c

������

���

�� � � cc ����������

�� � � cc ����������

'� � � cc ����������

�� � � cc�c ����������

$*� � ���

ccc

c

����

����

�� cc �� ���������

�� cc �� ���������

'� ccc �� �����������

�� ccc �� �����������

Page 21: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

...�..

$�� � cccc '���A��� �

�� cc���c�����

@

��

�� cc���c��� �� �>��� ��

'� cc���c��� �� �>��� ��

�� cc���c��� �� �>���

$�� ��

�cc

cc

cc

��������

�������

�� cc�

������� �� c

c�

��������

'� cc�

�������� �� c

c�

�������

$�� � �ccc �� %�����*%

�� ccc

��

����

��� cc��

'� �

��' cc�� ��

�� c��

��� � �� �� �� cc��c���c���

�� �� � c��c��

� ���

��

�� �� � c��c��

� ���

��

'� � �� � c��c�

��

� ���

��

�� � � � ��

� �� * �� � �

�� �� �� ��

��� ��

�c

cn���

�� �� �c � ������� � �

�� � �� �c � ������� � �

'� cccc ����� ��������

� ��

�� �� �c ������� � � �

��� � �

ccc

c���c@

��'

��

�� cc���

��

��

�� cc���c

��

��'

'� � cc��� �� ���

@

��� c

c�

@

��� ��

�#� ���

���

ccc�

c��c

�c ��

�� ������������ �� cc��

�c ������

'� cc��

�c ��� ����

�� ��� c �� c c� � �

�$� � ��

cc���

c

c

�� c����

c ���

�� c����

c ���

'� c��� c ��� �� c��� c ��

��� ��� cc

c���c��c

c��c���

�� cc���c��c

�� ����

�� cc���c��c

���

����

'� cc���c��c

�� ���

� �� c

c���c��c�

��

���

Page 22: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

......

�*� � ��

cc�c�

�c

�� c�c��

� c ��� �����

�� c��c�

� c ��� � �����

'� c�c� c ��� ����� �� c��c c ��� � �����

���� �� �cc

cc

c�

���

��������

�� � �

c�

c�

��

���������

�� c�

c �

�����������

'� cc � �� ������� �� c�

c �

��

����� �

��� � ���

ccc���c

c������

�� cc���c�

��

�� cc���c�

���

'� cc���c

�� ���

��� ���� c � ��� c � � �

��� � ��� ������� �ccc���c�� �

�� c�

c�� �

����

�� c�

c�� �

��

��� �

'� c�

c�� �

��

��

��� �

�� ��� ��� c

c�

� �

*�� � ��

cccc

c

���>����

���

�� ccc �� ����>���������

�� cc �� ����>�����>

'� cc �� ����'������

�� cc �� ����>�����'

*�� � � � �

� � � � �� �� �� ����

� �ccc�c

c c�

c c�c c�������

��

�� � �

cc�

c ���� ��

� �

����

cc

� c

� �� � �

'� � �

� �

cc�

c

c�

c ���

���� ��

� �

� �

cc�

c

c

c����

����

*�� �� �� �ccccc ���������

�� � cc ������������

�� cc ���������

'� cc �� ��������

�� � cc �� �����������

*#� � � cc�� cc � �

�� � c� c �� �

'

� �� � c� c �� �'

�'

'� � c� c �� �'

� �� � c� c �� �'

�'

*$� � ��� cccc���c� cc��c ������

�� c� cc��c � �� c� cc��c ��

'� c� cc��c

��

�� c� cc �� ���

*�� � ��� ccc� c �'

�� c�c ��'

'

��� cc� c ��

��

'� c� c �� � '

'

��� c� c �

�'

**� � �� cc� c�c

�� cc�c� �� �� c�

c� �

'� c� c � �� cc� c ��

Page 23: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

...�..

*������ � � �� �c ��� � c

ccc

� �

�� � ��� ���� c � �� �� � ��� ���� c ���

'� ��� ���� c ��� �� ��� �� � �

*�� � ��

ccc����

c�c

c

��

����

�� ��� ����� � � �� � �������� � �

'� ��� ����� � � �� ��� �� � �

*�� ��

� ccc

c���c ����������� �

�� � cc ��� �����������

�� � cc �� �����������

'� � cc������ �� ��������

�� � cc������ ��� ��������

��� �c

c���n�n� %�����*%

�� ���� c � � �� ����c � �

'� ����c �� �� ���� c ��

��� � ���

� ��

cc�c

cc

��

�� c� cc

��

�� cc

���

��

'� c� cc

���

�� cc

���

��

��� � �

ccccc

� c��� �

�� c������

� � �� �

� c����

��� �

'� ��� �����c � � �� c���

��

��

� �

�#� �� �� '

���� cc

cc%������%

�� �c

c�

� ������

��� �

cc

�� ����

'� �c

c�

��

�����

��� �

cc

�� �

����'

�$� � �cc���c���c

c�

���

�� cc� ���� �� c�

c�

��

��� �

'� c�

c�

����

�� cc� ������

��� � ��

��

ccc��

��cc

cc

���������

�� cc ����������

�� cc ������������

'� cc ������������

�� cc ��������������

�*� � �� � ccc� c �����' ���

�� �c �� ������ � �� �c �� �������

� �

'� �c ��� ������ � �� �c ��� �������

� �

��� � �cc

c

c

��

�� cc���c �� �� �� cc���c �� ��

'� � � cc���c �� ��� �� � � cc���c �� ��

Page 24: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

...�..

����& � ���

� �

c c� cc

�� �� � � ��

�� & �� ���

c c� c� � ��

& �� ����

c c� c�

'� & �� ���

c c� c� ��

&�� ����

c c� c� �

���� � ��

�cc

c

c

��

�� �� �c cc

���

� �'

�� ccc ��� �����

'� ccc

��� �����

'

�� ccc

���

'

�����

���

� �

� �

� ���

� �

��

��

�� � � �� ����� �

� � � �

� �

�� �� � � ��� �� �

� � � �

��

'� � � �� ����� �

� � � �

� �

�� � � � ��� �� �

� � � �

� �

��� � �����

���'�����������

���

'��� ��� '� �

���� ��� ����

�� �

'��� ��� '� �

���� ��� �� � �

'��

'��� ��� '� �

���� ��� �� � � �� ����

��� �

���

� ��� ��

�� ����� ���� � 7 ��

� ����� ���� � 7

'� ��� ������ � 7 �� ��� ������ � 7

�#� �

����

� ��

��

�� �����

��

� � � �

� � �� ����� ������

'� �����

��

� � � �

�� �� ����� ���� � �

�nn��n��n�n�nnnnnn�nnnnnnnnnnn���nn

�$� � ��

ccc���

�� ����� �� � � �� �

�������� � �

'� ���������� � � �� �

����������� � �

��� �� �

� c

cn�n�

�� '

������ ��'� � � ��

'

������ ��'� � �

'� �'

������ ��'� � � ��

������ ��'� � �

�*� �

� @� �>� �� �����

���� � �

���� '

� �� � � �

��� � '

��� �'

� �� � � � �

Page 25: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

...�..

'��� � �

��� �' '

� �� � � � �

���� � �

��� �' '

� �� � � � �

��� �

�cc

c c�

� ��

�� � �

���'

cc� �� �

� � �

�� � � �

���'

cc� �� �

� � �

'� � � �

����'

cc� �� �

� � �

�� � �

����'

cc� �� �

� � �

��� � � ��

cc

c c�

� ��

�� � �

����'

cc� �� � � �

� ��

� �����

'

cc� �� � � �

'� � �

����'

cc� �� � � �

���

� �����

'

cc� �� � � �

nnnnnnnnnnnn��n��nnnn�nnnnn�n�nn�nnnn�

��� � ��

� � � �� �� �����

��� �

��� �� �

�� � � �� ���

� ���� �

� �

�� � � �� �

'�� �

��� �� �

�� � � �� ���

� �'��� �

� �

�� � � �� �

��� � ��

�� ' '� �� �� �����

����

> ���

�� '

'� �

�� � �

�� �

> ���

�� '

'� �

�� ��

'��

' ���

�� '

'� �

�� � �

�� �

'� ���

�� '

'� �

�� ��

��� � � �

�� �� �� 4������

��� �� � �

��� � ��� �' � �

� �� �� �� �� �

��� �� � �

��� � � �� �' � �

� �� �� �� �� �

'�� ��

��� � �� �� � �'

� �� �� �� �

��� �� ' �

��� � � �� �' � �

� �� �� �� �� �

nnnnnnnnnnnn��n�nnn�

��� � �cc�c c

�� cc� c� �� cc�c �� ���

'� cc�c �� ��� �� cc�c �� ���

�#� � �ccc� c ������

�� c���c���cc ��

�� cc������cc

�� �

'� cc���c���c ��

�� cc���c���c ��

�$� � �ccc���

�� ����� ���� � � �� ����� �� � �

'� ����� ���� � � �� ����� ���� � �

��� � �� ccc��� �

�� � ������ � ��� �� � ��� � �

�� � ������ ��

� ��� �� � ��� � �

'� � ����� � � ��� �� c� � �

�� � ��� � � ��� � � � ��� � �

Page 26: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

...�..

�*� �� �� cccc '���� '���

�� ccc ������

�� � � cccc ���� �� �����

'� � � cccc ���� ������'

�� � � cccc ���� �� �����

��� � �ccc���� c��� �

�� � cc���� c��� ����

�� � cc���� c��� �� �

'� � cc���� c��� �� �� �� � cc���� c��� �� �'

�nn��n��nnnn�� � � �c� � c � c cc� ��� ��

��� � �� ccc���c� c �����

�� �� ��� � � � �� �� ��� � � �

'� �� ���� � ���� �� � � �� ��� ��� � � �

��� � � ccc��cc����c �� ���

�� �� ��� �� � � �� �� ��� �� � � �

'� �� ��� �� � � �� �� ��� �� � � �

���� � �� ccc���c���� c ��� ��

�� �� ��� � � � �� �� ������� �� � �

'� �� ���� � � � �� �� ������ �� � �

���� � �� ccc���c���� c �� �

�� ������ �� � � �� �� ������� �� � �

'� �� ���� � � � �� �� ���� � � �� � �

���� �� ��

�cc

c

c� c

��

�%�����*%

�� ��

c� cc

�� �� ��

c� cc

��

'� �

c� cc

��

�� c

� c

��

�� �

��#� � � ccccc

�c

������ %������%

�� �� � � � �� �� ��� � � �

'� ��

c

� � � �� �� ������ c� � �

��$� �� � cc�cc c����������� �

�� ������� �� � � �� ����������� � �

'� ��� ��� � � �� ��� ������� �� � �

���� �� ��

ccc

�c c

'�

%�����*%

�� �c

c

�c

�� �

��� �

cc

�c c

�� �

'� �c

c

�c c

�� �

��� �

cc

�c c

�� '

��*� � ���

���

�� cc

cc ������

���

�� � ��� � � � �� c

c

���� �

'� � ���� ��� � � �� cc

c�

������

nn��nnnnnnnn���nn

���� � 4��� � �� ��������

��

'������� � '�������� '� � �

� @ @� �

��

'������� � ' '�������� � �

� @ @� � �

'� '� ' '

� ��� ����� �������� � � �� @ @

� �

��

'��� ����� '�������� �

� @� �

Page 27: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

...�..

���� � 4� � �� ��������

�� �

' ���'���������� �� ���'��

'��������

'� �

' ���'���������� �� ���'����������

���� � 4����� � �� ��������

�� ������

'���'��

��

'�� �� �����

'���'���

'� ������

'���'��� �� ������

'���'���

�:

�������:

����:::�

��� � ��� � �'� ' ��� � �>� �

��� � �A� � �@� � �?� � ��� �

��� � ��� � �'� ' ��� � �>� �

��� � �A� ' �@� � �?� � ��� '

��� � ��� � �'� � ��� � �>� �

��� � �A� ' �@� � �?� � '�� �

'�� ' '�� � ''� ' '�� ' '>� '

'�� � 'A� ' '@� ' '?� ' ��� �

��� � ��� � �'� � ��� � �>� �

��� � �A� ' �@� � �?� � >�� �

>�� � >�� � >'� � >�� � >>� �

>�� � >A� � >@� � >?� � ��� '

��� � ��� � �'� ' ��� � �>� '

��� � �A� � �@� � �?� � A�� �

A�� ' A�� � A'� � A�� ' A>� '

A�� � AA� � A@� � A?� � @�� �

@�� � @�� � @'� � @�� � @>� �

@�� � @A� � @@� ' @?� � ?�� �

?�� � ?�� � ?'� � ?�� � ?>� �

?�� ' ?A� � ?@� � ??� ' ���� '

���� � ���� � ��'� � ���� �

�:���:�

��� � ��� � �'� � ��� ' �>� �

��� � �A� � �@� � �?� ' ��� '

��� � ��� ' �'� � ��� � �>� '

��� � �A� ' �@� ' �?� � ��� �

��� � ��� � �'� � ��� � �>� �

��� � �A� � �@� � �?� � '�� �

'�� ' '�� � ''� � '�� � '>� �

'�� ' 'A� � '@� � '?� � ��� �

��� � ��� ' �'� � ��� � �>� �

��� ' �A� � �@� ' �?� � >�� '

>�� � >�� ' >'� � >�� � >>� �

>�� � >A� � >@� � >?� � ��� �

��� � ��� � �'� � ��� � �>� '

��� � �A� � �@� � �?� � A�� �

A�� � A�� � A'� ' A�� ' A>� '

A�� � AA� ' A@� ' A?� � @�� '

@�� � @�� � @'� � @�� � @>� �

@�� ' @A� ' @@� � @?� � ?�� �

?�� � ?�� � ?'� ' ?�� ' ?>� �

?�� ' ?A� ' ?@� � ??� � ���� �

���� � ���� � ��'� � ���� � ��>� �

���� � ��A� � ��@� ' ��?� �

BBB

Page 28: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

......

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

IIIIIIII

KKKKKKKKKK

�������K���K��������

222 22 222 2

�2222 2 222

a a�

a a��� 2���2���2�222a �2

2��2�2���2���2222a ��2

�� 2�2���2���222a ���2

��2�2��a ���222�2��2

� ��K

2 22�� 2�� 2�2

222 2 222

a a�

a a� ������K�K�K�K��

�� KKK���

�� ���2����2�2���2�� A ���222�a

2� ���2����2�2���2�� A ���2�222�a

�� ���2����2���2�� A ���222�a

� ���2����2���2�� A ���2�222�a

� ��� 2 2

��

��� � ��� �K�������

������ � � ��� 2

��� 22 ��� 2 2 2

a� �� �� �� �� �

� �� �

2����� � � ��� 2

��� 22 ��� 2 2 2

a� �a � �� �� �� �

� �� �

������ � � ��� 2

��� 2��� 22 2 2

a� �� �� �� �� �

� �� �

����� � � ��� 2

��� 2��� 22 2 2

a� �a � �� �� �� �

� �� �

� �

�22�� 2 � 2�� 2 �

�a a�

2�� 2 �� �2�

2�� 2 �

a

a �2����������

�� 2�������� 2��2��������

�� 222�2������ ��222�2������

� 2

2 2�2

� 2

��

a�

�� 2� 2a ���2�����2���2

�2��� 2� 2a ���2�����2���2

�� 2� 2a a ���2�2�����2���2

�� 2� 2a ���2������2���2

� ��K � �K ����K ��K ������K �����

��������K��K2��

��

� ��� �� �

K��

� � ��2� � 2 �

2

��� � � �

a� a �

a� ��������

���� 2�� ���� ��2

& 2�� 2 222 2

� 2�� 22

a

a� K ���K � K ���K �K �K ���

2 ��

�� �� � �� �

�� �2��2��2 2���2���2���222�2��2

�� �2���2���2222���2 �����2���2��2

� 2 �� 2

��2

2 ���

�� ���2���2 2������2���2

�� ������2���2 �������2���2

� ��K�

� � � ���

� �

��� �� �� ��

�K ���

�����K�

���

2�2��a

2����

2���

2�

��K Ka

� � � � �a�

2 � ��

��� � �� �� � �

���K � � �

� �

���2

2��

2���

2�

����

��

2�

Page 29: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

22 222

2 �22

2 2��2

��

��

�� �2���2�2���2

2����2 2�

2��2���2�2���

2

2���2

�� 2��2���2���2���2

2�����2

�����

2��2���2���2��

2��2

� ��K � ����K��K�K���K���K�K�K�

2���K���K���K�

�K ���

�� � � � �

�� � 2��� � � �

a�� �

���

� � � �

�� � ��

�� � � �

a �� �

� K�K ����K � 2

2 2

2 �2

� 2 � � 2� � �� ��

����������������������

�� �2������ 2 � 2���2������ 2 ���

�� �2����� 2 ����

����2����� 2 ���� �

� ��K � ����K��K�K���K���K�K�K�

2K ���K���K�K��K�

�K ���K ��

��

�2��

����

���

2

� �2

2

2 � 2

�2 ��� �2 ���K�K�

�� �����2����2���2����2

2���������2����2���2����2

�� �����2���2���2��� ���2��

� 2

� 2�2

2 2

��

��

�� �2��2����2��

�����22���2

2���2��2���������2���2

�� �2��2���2������2���2

��2��2��2���������2���2

&

2 ��2

2 2

a�

��

�� 2����2���2�����

2��2���22�����������2��2

2� 2����2���2�����

2��2���22�����������2���2

�� 2����2���2�����2���22������������2���2

� 2����2���2������2���22�����������2�2

� �K�� ������K��������K � � K��K�K ����

����K������K����K�������K � � � ��� ������K �K ��������K ����K ��������K ����

� �� � K��

���2�

2�� ��� 2��

2�

2�� �� �� �

���22�2���� ��2�

2�� ��a

nnnnnnnnnnnn��n����nnn�nnnn

� 222 22 2�� 22

�2222 22 2�� 22

a�

��

���

2�2� 222 2

�� �a� �� �

��2

2���2� 2�� 2

2 � �

�� �a �� �� �

���

2��2���222� 22

�2

�� �a� �� �

��2

� �2���2�2�22����2

Page 30: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

2

2

�� ��

a�

��

���� 2 2�

2�� �2

� � �a � a �

2��� 2 �

2�� �2

� � �a a a �

��� � 2 �2�� �

2� � �a � a �

�� � 2 2�2�� �

2� � �a a a �

� � � 2

222 222� �2� 2

a� �a� ��� �

�� �� ��

�� ttt���2�2 2����22���2���2

��

222

2� ��

222

2a �

�� 22

�2

2 �

��

���

2

� 2��� 2 2

2 2 �

a� �� �� �

�� �

2��

2

� 2��� 2 2

2 2 �

a� �� �� ��� �

���

2

� 2��� 2 2

2 2 �

a� �� �� ��� �

� � 2

2

� 2��� 2 2

2 2 �

a� �� �� ��� �

��

2

� 2�2

� 2

��

��

��

2�� 2 �

��� 22 2 2

a � �a�� �

� �

2�

2�� 2 �

��� 22 2 2

a � �a�� �

� �

��2

�� 2 ���� 2

2 2 2

a � ���� �

� �

2�� 2 �

��� 22 2 2

a � ���� �

� �

�� ��K�2 2

��� � �� 2�� 2 2

� �� � �� �� � �� K���K�K�

�����

2����

�����

���

�� 2�2

� 222 2 � 2�� 2�

a�

���

2� � ��� 2

�a ���2�

�2

� � � ��� 2�

a

�� �

2� � � ��� 2

�a �� �

�2

� � � ��� 2�

a

�� 222 2 2 2�� 2

�22 2 222 2

��

��

��2 222 2

�2� 22

��

2���2���2��2���222�2���2

��2

�2� 22 222 2

��

���2���2��2222��2�2��2��2

�& 2

2 ��2

2 � 2�

��

��

��

2

2

� 2��2� 2

2�

�� 2��

2

2

2��2� 2

� 2��

�� �2���2�2���2�2�����2�������2�����2�2����2

Page 31: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��

2 ��2

2 �

��

����������2��������2����2

2�� � ���� ��� ���� � ���

��� � ���� ������ � ���

��� � ���� ��� ���� � ���

�� ��K����K�K���K � �2 2� � � K���

� 2 2

� ���

� ��

�� ��2��2 2��� �2

� �

��

�� �

2

����

2� �

2

� ��K

2

2 2

2�2 2 ��� 2

2�2 2 ��� 2�� K�K�K���K �����K�K�

���KKKK�K���K�

�� 2�2��2�2 2��2�22222

��2����22 ��2�22�22

� ���� �

�2

2 � 2�

��

��

��

� �� 2

2

� �a � �� �� �

�2��

�� �

� �� 2

� 2

� �a �� �� �

��

� �

� �� 2

2

� �a a �� �� �

��

�� �

� �� 2

� 2

� �a � �� �� �

�� ����

2 2�2

2

a��

��

��

2

� �� 2

x 2

� �a �� �� �

2�

��

2

� �� 2

x 2

a � �a �� �� �

��

��

2

� �� 2

x 2

� �a �� �� �

��

2

� �� 2

x 2

a � �a �� �� �

�� ��22

�2

2 2��

a�

�� 2

� 22

2� 2 2��

a2�� 2

� 22

2� 2 2�

a�

a

�� 2

� �2

2� 2 2��

a�� 2

� �2

2� 2 2�

a�

a

�� �

�2

2 2�

��

�� � 22�2� � 2 2

�� �

2�� � 2��2� � 2 2

2� �

��� ���2� � 2 2

2� �

�� �2�2� � 2 2

�� �

�� �� 22

��2

�� 2�

��

�� 2

� 2! 2

�� �� 2�

��2� 2

� 2! 2

�� �� 2a �

�� 2

� �! 2

�� �� 2�

����� 2

� 2! 2

�� �� 2a �

Page 32: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..�...

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

�� �

��2�

� �

� �a� � � �� �� �a �� �

�� �

�� � � � � � �� �

���KK�K�K�K�K�K�

��2

�2��

��

����

��

���

22

�&

2

���

a�

��

���

2

2

� 2 ��2�

2 2 2 �

� ��

� �

� ��

a �

2��

2

2

� 2 ��2�

2 2 �

� ��

� �

a ��

� �

���

2

2

� 2 ��2�

2 2 2 �

� ��

� �

a ��

� �

��

2

2

� 2 ��2�

2 2 �

� ��

� �

� a�

a a

��

�2 2

2 22

� ��2

� � �

��

a ��

����

��2����2����22�������2

2����������2�����2����2

�� ��������2�����2����2

�����������2����2����2

�� ��K

2 2

2 2

� ��

#� �

a

a

�a� K�KK�K�K�K���K 2# �� a K K�K�

���

�� �����#

��

a������

��

����2����

2�������

��������

�#

��

a��2����

�� �������

2������

��

����2�� ��

� ������

��������

�#

��

a��2���

� �11��� �

1 1 �K�K�

��� � ����2 � � � ��� �

2�� � �� ���2 � � ��� �

��� � ����2 � � � ��� �

�� ��� ��� �

� ��K��K����K���K���K�����������K��K�����KK��

���K� ��K���K�����K���

a a a�l l l l

� � �

1

� ��� ��� ��� �����2��

��� l� �2��2 2� l �� �2��2

����

�l� ���

� ��

l� ���

��2

�� �� �� !� !�

� ���� ��

���

�2��

�� 2�� ��� �2���

��

��� �� �2��� �� ��

��

�2��

��

Page 33: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

nnnnnnnnnnnn��n�nnnnn�nnnn�nnnn�

�� ��K �

22

2

2 2

2 2�2 � ���

�2 � 2 �

a � �� � �� �� ��

� �����a � � � �� �� �

�� ���� � �

�K�

�� 2 2

2

a� ���2����������

�� ���

a� �

�� �

� 2�2 � ���

� 2 �

a � �� �� �a � ��

�K���K� 2

� 2

�a K�K�K���K�K�K��K�

�� � �

� ��

2� �

� �a� �� �

2�� � �

� ��

2� �

� �� �� �

�� �

� ��

2� �

� �� �� �

��� ��

� 2�

� �� �� �

��

2

2

2 ��2

2 2 �

a�

� ��

��

2

2

� 2 2 ��2� 2

2 2 2 �

� ��

a �

2��

2

2

� 2 2 ��2� 2

2 2 2 �

a ��

� �

��

2

2

� 2 2 ��2� 2

2 2 �

a ��

� �

���

2

2

� 2 2 ��2� 2

2 2 �

a ��

�nn��n��n�n�nnnnnn�nnnnnnnnnnn���nn

�� �2

2 2� 2�

a�

�� 2������� �

� �� �

� �

����2 2��2����

� �� �� �

� � �

��2

�� 222����� �

� �� �

� �

����2 ��222���

� �� �� �

� � �

���2

�& 222 2 2�� 2

�2x 2�� 22

a�

a�

��� 2�� 2 222 2

2�� 22

a �� � �� �� �

2�� 2�� 2 222 2

2�� 2�

a �� � �� �� �

��� 2�� 2 222 2

2�� 2

a �� � �� �� �

� 2������2���2���222�2����2

��

�� 2

%

2�2

� 2�

��

�� % � 2 %2�2� 2 2 � 2

%� � �

2�

%

%

� 2 ��2� 2

2 2 �

� ���� �a� �

�� %2 � 2 2� � �� %� � 2 2� �

�� �

2� 2

� 2�

��

��� 2

222 � 2�

a � � �� �� �

2��� 2 �2

�2� 2 2 � 2�

� � �

���� 2 �2

�2� 2 2 � 2�

� � �

�� 2

2 2�2� 2

� 2 ��

Page 34: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

......

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

...3

3

��� � ��� ���

� ��� �

-�

-�

��� 3���

��� ���� �� � �3

--�

���� 3� ��

��� ���� �� �3

- � � �� �

3�� 3� ��

��� ���� �� �3

- � �- �� �

������ 3 � ��

��� ���� �� �3

- � � �� �

.�. �

���

� � ��

��

���

3

� ���� � �

3 �

- � � � � �

��� � 3���� � � �

3

-- �

3��

3

� ���� � �

3 �

- � �- � � �

����

3

�3��� � �

- � � � � �

.�.��

��� � ��� ����

�� ������� ����� � �������� ������ �

3� ������� ����� �� ��� ����������� �

.�. �� xx� �x���x ���x� x ��

������� ���� �� ������� ���� ��

3������� ����� �� ������� ���� ��

.�. � xx ���x x ��

��� �

x

������ ��������� ��3��3 ��3�� �

��� �

x

������ ��������� ��3� 3 ��3�� �

3���

x

������ ��3 ��3��������� ��3�� �

����

x

������ ��3 ��3� ������� ��3�� �

... ) )� xx� ���x � ���x x ��

��� � �� �� �

�x�� � ��x � � � � ��x �

��� � �� � �� �

�x�� � ��x � � � ��x �

3�� � �� �� �

�x�� � ��x � � � � ��x �

��� � �� � �� �

�x�� � ��x � � � ��x �

.�. � x ����x x ��

����

x

������ �������3�� ������ ����� �

����

x

������ �������3�� ���� � ����� �

3���

x

������ ���� ���������3�� ����� �

����

x

������ ���� ���� ����3�� ����� �

.�. � x� .��������.����������

��x�

��������������������������������

������������ ���

���������

3��

�������� �������������

Page 35: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

nnnnnnnnnnnn��n�nnn�

.�.� � ��

��� � ��� � �

� �� � � ��

���

� ��� ��� ���

�� � �

��

3�� �

��� � �� �� � ���

��� � �

��

.�. � x�����x���x x ��

���� ���������x

���� �

����� ����� ���x

���� �

3��� ����������x

���� �

���� � � ���x

���� �

�.. � x���x���x x ��

���� ��� ����� ��

� �

x���

� �� ��

���� ��������� ��

� �

x���

� �� ��

3��� ��������� ��

� �

x���

� �� ��

���� ��� ���x

����� ��

��. � xx ���x x ��

����� ������ ����� ��� �

������ ��� �� ��� � ��� �

3���� ��� �� ��� � ��� �

����� ������ ��� ��� �

��. � x xx ��� x x ��

��������� �

� � �� �� �

�� x ���x x���x ���x

x � �� � � � �

��������� �

� �� �� �

�� x ���x x���x ���x

x � � � �� � � � �

�����3�� �

� � �� �� �

�� x ���x x���x ���x

� x � �� � � � �

��������� �

� �� �� �

�� x ���x x���x ���x

x � � �� � � � �

��. � �

����xx

x��

���� �� �� ��

���x �

��x� ��

���� �� �� ��

���x �

��x �

3��� �

�� �� ��

� ���x

��x ��

��� �� �� ��

���x �

�x �

��. � x ���x x ����.���������������������������

��� � �� ���x

� ����

�� ���x �

� �

3�� �� �� ���x

� ����

� �� ���x �

� �

�.. ss�� x x ��

��� � �� �� �� x �� x �� x �

��� � � �� �� x �� x � �� x �

3�� � �� �� �� x�� x �� x �

��� � � �� �� x�� x � �� x �

Page 36: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

�� �K ������K��K��K��������K�K���

���K��

�K�K�K� K��K����K��

����222���2���2 2����222���2���2

���2���2����222 ��2���2����222

�& � �� ������ �

������� � � 2� ���� � ���� !����� 2

� � ���� 2 2

�2

�����2� � � 2� ���� � ���� !����� 2

� � ���� 2 2

�2

��������� � 2� ���� � ���� !����� 2

� � � ���� 2 2

�2

�������� 2� ���� � ���� !�����

� � 2

�2

�� K � 1��� �� �KK ����������KK���KK�K�����

����2������

2���2�

�����

����2�2����

���2�

�����

�� � �� � � 1� K�

���

2��2����2��2����2����2

2��

2��2����2��2����2����2

���� �

�� �� �

2 �� ����� � �

2 2��2

��� �

�� �� �

��� �� ����� � �

2 2���2

& ������ � K�

���2��22��2�2�������2�2���2

2���

2��22��2�2�������2�2���2

�������

2��222����2��2

���

2��22��2�2�������2�2���2

& K � ���� ������ ��

���2����2����2����2 2������2����2�2��2

�������2�2���2�2��2 ������2�����2�2��2

&� �

��

11 11

11 11

��� � 1

��� � � K�K�

��� � �� a �� �� ��� 2�

���� � � � �

2�� � �� a �� �� ��� 2

���� � � � �

��� � �� a �� �� ��� 22

���� � � � �

�� � � a �� �� ��� 22

���� � � � � �

&� � �� �� ���

1 ���������

�K�

�����2�2�����2�2 2����2�2���222����2

������2�2�!��222��2 �����2�2�����2�2

Page 37: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

&� � � 2

��� �2� 2

a a�

��

����� 2�

2 222 2 � 2 22

a� �� a �� �� �

2���� 2�

2 222 2 � 2 22

aa � �� a �� �� �

���� 2�

2 222 2 � 2 22

aa � �a � a �� �� �

��� 2�

2 222 2 � 2 22

aa � �a a �� �� �

&� � �� ���� � K�

�����

2����2��222��

��

2�222�2

2����

2����2��222��

2�222�2

�����

2����2��222��

2

� ��222�2

�����

2����2��222��

2�222�2

&� ��K� �

� �� �� �� 11

�����

1 � ���

���

� �� �� �

��

11

1 1 �

1 � ���

��� ��

� �� �� �� 11

���

1 1 ���K���K�

��

���

��

���22�����2��2����22��2

2��2�2�����2��2����22���2

���22�����2��2����22��2 ���

&& � �� �� �� 11 �

�����

�K�

���� �� �� �

� ������

�� �2� ! �2

2��� �� �� �

� ������

2� �2� ! ��2

���� �� �� �

� ������

2� �2

� !2

�2

��� ������

2�2 �2� ! �2

&� � �� �� ��

����� ���

�� K�

������2!��2����2�2�2 2������2!�2��

���2��2�2

�������2!�2��

���2��2�2����������2!�2�

����

2��2�2

�nn��n��nnnn�� � � ��� � � � � ��� ��� ��

&� K�2�� 2

2

2� � �2

� 2

a � �� �� �� �

� �a� ��

��� ����� �� 2�� �

���� �

��� ����� �

2

� �� �

�2 ��� �� �

� �

��� �1 �����

�1 �

K�

����2���2���2 2�� �� 2 � �

2

��� �� � ���

2�� �� �

��� 2 2

� 2

2

�� �

�� � � ���

� �� �� � �� �� �

�� �� �� �� �

����2�22���2�2 2�� ��

2

����2������2�2

�� � � �� 2 � �

Page 38: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

......

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

...++�

xx xxxxx�x

� ���xx��

���������� ���

������

���� �� ��������

.�.� �� �� �� xx ���xx � �

� �x���xxxxx

��

��� ����� ��� ��� ��������

�� ����� ��� �� ���� ���

.�.� �� �� �� xx � � xxxxx

� �x� � ���xx

��

��� ������� ���1

� �������

��� ������� �� �������

.�.1� �+

� �� �

�x

x

x

x� �x

x � ���

��� ++

���

� 1��� +

���

� �1

��+

+� � 1� �

� �1 ��

� �+� �+� �

� � �1� �

� 1

.�. � ��� � ���x� x x �x+ �

��� ���������� ��� ����������

�� ������������ �� �����������

.�. � �� xxx�x � ����x �x ��

������������� �������������

������������� ������������

...

��

x x x� �x

x

� �+ +� � � �+� �

��� ��

x x� �

x

+�

��� ��

x x� �

x

++

� ��

x x� �

x

+ ++

����

x�

x+

.�. � �� � �x x �x

� + � ��

���� �

+� �� �

1� ��������� � �

����

��� +1

� ��������� � �����

�� +�

��������� � �����

�� � �+� ��������� � ���� �

��. � ��� � x� x x�x� � �

��� � x� x �

�� + ��� � x� x �

� +

�� ���x� x �

�� + �� ���x� x �

� +

��.

� �

� �

x�x

x

� ��� �� �

+� �� �� ��� ����

��� �� �

x�

x

++ ���

��

x��

x+

+

�� � �

x�

x+

+ �� �

� �

x�

x

++

Page 39: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��n�nn�nn��nnnnnnnnnnnnnnnn

�.. �

�� ��

� �� �

+

+ +��� ��������������

��������������������������

� ���������������������������

� ��������������

��. �

� ��

� �� �

+

+ +�

��� � � �

� �� � ��� � �

� �� �+ + + +� �� �

��� � � �

� �� � ��� � �

� �� �+ + + +� �� �

�� � � �

� �� � ��� � �

� +� �+ + + +� �� �

�� � � �

� �� � ��� � �

� +� �+ + + +� �� �

��. �

� ���

�� �

+

��

�� � ��� � ���� � � �� � � +

�� � ��� � ���� � � �� + � +

� � ��� � ���� � � �� � + � +

� � ��� � ���� � � �� � � � +

��.� �

��� �

��

�� � ��� � � �� � ��

�� + + � +

�� � ��� � � �� � ��

�� + � � +

� � ��� � � �� � ��

�� + + + +

� � ��� � � �� � ��

�� + � + +

��. � �

��

� � � �

+ ��

��

��� � �

��� � ��

�� ��

� +� �� �� �

����

� �����

� � �

� � �+� �� �+� �

��

� �����

� � �

� � �+� �� ��� �

���

� �����

� � �

� � �+� �� �+� �

��. � �

���

� � �

�� �������

��� �

� �+

����

�� �

�+

��� �

� �+ �� �

� �

�+

�.. �

���

�� �� � �

+ ��

�� �

� �

� �

++

���� �

� �

� �

�+

� �

� �

� �

�+

� �� �

� �

� �

++

Page 40: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

nnnnnn�nn�n�nnnn�nnnn�nnnnnnnn�n�

�� 2 22 2

� 2�� 222��

� ���

����� � ��� 2

��� 22�

a � � �� �� �

2����� ��� 2

��� 22� �

a � � �� �� �

����� ��� 2

��� 22� �

a � � �� �� �

���� ��� 2

��� 22�

a � � �� �� �

2 2

��2

222 2 #2�� 2�

��

���� 2

��� ��� 2 2� �

a � � �� �� �

�2���� �

��� ��� 2 2�

a � � �� �� �

���� � ��� 2

� �� 2� 2

a � � �� �� �

����� �

� �� ��� 2 2� 2

a � � �� �� �

2

2 2�� 2�� K�K�KK K ��� K ��K ���K����

���K���K���

��� �

�� �

2��� 2

���

��� 2

���

��� �

�2�

� 2 2

�222 2 �2�� 2a �� K �K �K KK ���� K � �

�����K�K�K���K���K � �K�

���

���

2����

2�2

������

���

� ��

� 2

� 2 2

��2

2�� 2 22�� 2 222 2 �222 2�

� ��

���� �

��� ���� 2 �� 2� �

a � �� �� �� �

2�� ��� 2 �

��� 2�

a �� ��� �

� �

���� ���2 �

��� 22 2

a �� ��� �

� �

��� ���2 �

��� 22 2

a �� � �� �� �

� �

2 222 2�� K�K�KKK ��� K2

�!���2

� �� �� �

�K�

���K�K�K���

��� �

�� 2

2��� 2

�� �

����� �

�� �

���2 �

�� �

� �

�2�� 2 222 2�� K�K�KK�KK���K

��

� ������

� 1 ����

�KKK���K���K���K�K�

���

��������� 2��

�������

������������

��

������2

� �

�2� 2�� 2 222 2

���

�� �2���� �

�� �� �

����

2 2���2

2��� 2�2� ��� 2

2 2

� �a �� �� �

�� �2���� �

� �� �

���� �

2 2���2

��� �

� �� �� �

���� ���

2 2 2

Page 41: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

& �

� �����

� � �� ��� ��

����

�2� 222 2��2

� � � �� a � � �� �

2���

�2� 222 2��2

� � � �� a a � �� �

����

�2� 222 2��2

� � � �� � � � �� �

���

�2� 222 2��2

� � � �� � a � �� �

nn��nnnnnnnn���nn

� � � ���K�K � �

��� � � K���K����

� �

�K�

������ �����

2�� �

��� �����

������ �����

$�� �

������� �

$

� ��K��K�K � �

��� � � K���K� ���

���

�K�

���

�����2������2 2��

�����2������2

����

�����2������2 ���

�����2������2

� �� � � K �K K K����K �K � K����K �

������������K���K�K�K��K������

��� �

� 2����2 2���

� 2�����2

���� �

� 2����2 ��

��

������2

��K��K�K ��� �

� � � K���K����

��

�K�

���!� �����

2��

!%� �����

���!� �����

$��

!� �����%

$

� ��K �22� 2 �2 �22� 2 �22� 2 22 �� � � ��

���K�K�K�K�K�K�

����

�2��

%

a���

���

%

� ��K��K�K

���

��

1 ����K�

���K�

����

�� �

� 2�

�� �

����

� ���

����

���

� 2�

� 2����

� ��K��K�K

���

��

1 ����K�

���

��

�����

�2��

���

!�

!��

� ��K�K��K�K ������K������K��

��K� �

��������

����K�

���

����

���2

�� ����22�����2 2��

2

�� � ��

a�22�����2

���2

�� � 2��22���2�2 ��

2

�� ����222

� ��K�K �

���

�KK���K�

�K�

���2

�� � ��

a�22�����2����

��2

2��2

�� ���22�����2��

��2

Page 42: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..�...

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

���2

�� ����������2����

��2

���2

�� � ��

a��������2��

��2

& ��K��K�K � � ��

� � �K���K��K�K

� ���

��

����

�����2

2����

�����2

����

������

����

������

� ��K���K �

��

�K���K�

�K�K �11

���

� 1 1�

������

�%

�� % ��2��

��

�%

�� % ��

�����

��

� ����

��

��2

� ���n

� ��K ����

� ��

��

�����K ���K ��� ��

����

� �����

���

������2���

������

����

��

��������

��

������

K���K���

;K;�KKKKK

�KK;<KKK�KK�=K�KK�K�;K

x x

2 2

2�� 2 222 2�2

� 22�� 2 222 2

a�

a�

���

2�222�22���2 2��

2

a�222�22���2

���

2�2���22��2 ��

2a �2���22���2

� �� 2 2

2 2 2 2��

� � �2 2�

a

a a � �� K���K�K�

�� ��2���2������� 2�� �

2 �2�� ��

���

�2�� �� ������2�������

K� 222 2

�2222 2

��a�

�� 2�222�a ���2���a ��2����2�2��2���a �����2

2� 2�2���a ���222�a ��2���2�2��2���a ���2

�� 2�222�a ���2���a ��2����2�2��2�a �����2

� 2�2���a ���222�a ��2���2�2��2�a �����2

�2�� �2

�2222 2 222 2

��

�� �

���� ��� � � ���� ���� � �

2�� � �

���� ��� � ���� ���� � �

�� � ���

��� �� ��

���2��

Page 43: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

� ��K 2

� 2

2

��2 � 2�� � 2

� #

a� �a

� K���K�

�� ��2� � 2�� ��2� � ��� ��2� # �� #�2� �

� 2

2

� 2 ��2

2 2

��

��

�� 22 2 2 �� � 2�� 22 2 �� �

�� ��22

��

2 2�

� �� �� 22

��

2 2�

& �K����K�������K��K � 2 �2�2�� � � ���K����K��K��K����K������K ����K������

���2

� �a� �� �

K���K��K����K������K���K��

������K��

�������2� 2�������� ������2� �������

� �

2

a�

�K�K�

�� a � �� � �

� �

2��aa � �

� � �

��� � �

���aa � a �

� � �

� ��� � �

��aa � a �

� � �

� 2 ��� � �

� � aa

���

aa

2��2��

22222222K�

���2�222�2����2��a ��2����2

2��2�222�2���2�2��a ����2

����2�222�2���2�2��a �����2

���2�222�2���2��a �����2

2

2���

�� ��

��

a ��

��� 2

�� ��

��

� ��������2�� ���� � �a �

��� � 2���� �2� �

2� � �a a � ���� 2

��

��

nnnnnnnnnnnn��n����nnn�nnnn

��K � ���K 2

�� K�K�KK 2

�� K���K�K�

���

2 �2� �a 2����2��2���

��2

�2����

2

�2��

a

� ��K 2 2

� 2 �2� 2 � 2� � �� K�K�

���K����K�K�K���K�K���K�

�� 2

2 � 2� � 2�� 2

� 2�

���2�������2 ��222�����2

�2 2

2 2

2 � 2

� 2

� �

�� K�K � �� K�

�� � �

2 2�2 � 2 2

� �

� � ��

2� 2 2

�2

� 2 � 2�

� �

��� �

2 22 � 2 2� � �

�� �

2 2�2 � 2 2

�� � �

Page 44: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

� �� 2�� � ��

�2

2 � 2�

��

�� ��� 2 2� � 2�� ���

� 2 22

� �

�� � � ��2 � 2 2� � �� ��2

� 2 2�

� �

��! � 2

� 2

%2 �2 2 ��2

%2 2 22 2 2%

� � ��

� � � ��

�� � 2�

%2 2 22 2 2% 2

� � � � �

2� � 2�

%2 2 22 2 2% 22

� � � � �

�� � 2%2 2 22 2 2% 2� � � � �

� � 22 %2 2 22 2 2% 2� � � � �

��!2

�2� 2

���

�� �2 ��� 2 2aa �

2��� �2 ��� 2 2a� �

�� � �2� 2 � �� 2 � 2a� �

��� �2� 2 � �� 2 �� 2aa �

�%!�2

� 2 2�

� ��

�� 2 2 2 ��2� 2 2 � 2� �� a � � �� �

2� 2 2 2 ��2� 2 2 � 2� �� � � � �� �

�� 2 2 ��2� 2 2 � 2� �� a � � �� �

� 2 2 ��2� 2 2 � 2� �� � � � �� �

�x! �� 22

��2

# 2�

a�

�� 2

22

# 2�

a2�� 2

� 2! 2

# # 2a �

a

�� 2

� 2! 2

# # 2�

a�� 2

22

# 2

a�

a

� ����K ��K �K ��������K ����K ����

� 2 �2 � 2�� K ��K K �� �K �K �K ���

�� 2�2

� � 2�

��

���� 2��2� � � � � 2� �

2�� 2��2� � � x� � 2� �

��� 2��2� � � � � 2� �

��2�

�2� � � x� � 2

� �

nnnnnnnnnnnn��n��nnnn�nnnnn�nnnn�nnnn�

� 2

2 2

��2

� � � 2�

a ��

��

2

2

� � ��2� 2

� � 2

a�

� 2��

2

2

� � ��2� 2

2 � 2

��

a

��

2

2

� � ��2� 2

� � 2

a�

� ��

2

2

� � ��2� 2

� � 2

a�

� ��K 2�2 %

2 2

�� �K�KKK��K���K�K �

2 2� K�K�

���KK�K�K��K�

���

���

� �� �� �

2����������

������

� �� �� �

���������

Page 45: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

�� ��

��2

2 � 2�

��

���

����2�����2����2 2��

���2��

��

��

2

� 2� �2

���

���2�

��

��

� 2

2

��2 ���

���2�����2����2

�� 2 2

2�2

2 � 2 �

� ��

���

2��2�

2

2

2 �

2

�� ���2

2���

���2��

2

2

2 �

2

�� ���2

���

2��2��

2

2

2

2 �

�� ��2

��2

���2��

2

2

2 �

2

�� ��2

�� � 2 �

��

� � ��

� � ��

���

2� ��

�2�2 2

� ��

� ��

2��

2� 2�

�2�2 �

� ��

� ��

���

22 ��

�2�2 �

� ��

� ��

��

� 2�

�2�2 �

� ��

� ��

�nn��n��n�n�nnnnnn�nnnnnnnnnnn���nn

�� 2

2 ��2

22 �2 2

a�

� ��

��������������� 2� � 22 �

�2� � 22 �2 2 � �2� 2 � 2 2 2

�� � a �

2� 2� � 22 �

�2� � 22 �2 2 � �2� 2 2 2 2

�� � a �

�� 2� � 22 �

�2� � 22 �2 2 � �2� 2 2 2

�� � a �

�� 2� � 22 �

�2� � 22 �2 2 � �2� 2 2 2 2

�� � � �

�� �

2�2

2 ��

a�

�� a � 22��� � �

�����2� aa

� 22��� � �

��� a � 22 �� � �

��� aa

� 22 �� � �

�& 2

2�� 2�2

� 2�� 2�

��

��� 222 2

2�� 22

a � � �� �� �

�2����� 222 2

2�� 22 2

a � � �� �� �

���� 222 2

2�� 22 2

a � �a �� �� �

����� 222 2

2�� 22

a � �a �� �� �

�� ��K ���� �

1�� � 1���� ������ �

�KK�������K���������K���K�K�KK�K��K�

���

$2��� 2��

$2������

���

$2������� ��x2���

����

Page 46: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

......

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

nnnnnnnnnnnn��n�nnn�

... ò 2���� 2� �� ��

x

������ �

� ������������

� x

������ �

�������������

� x

������ �

�������������

� x

������ �

�������������

��. � ò ����2 � ��� �� �

����

� �������������

� ���� ��������������

� �

����� ��������������

� �

����� ��������������

��. � ò 2������ ���

������� ��������� � �

� ������� ������ ������

� ������� ������������

� ������� �����������

�.. ò 2� ���� �� ��

� �

�� �� �

�x ����x

� � � � �

� �� �� �

�x ����x �

� � � �

� � �

�� �� �

�x x���x

� � � � �

� �� �� �

�x x���x �

� � � �

��. ò ��� � �� ��

� � �� �� x�� x � �� x

� � � �� �� � x�� x � �� x

� � �� �� �� x�� x �� x

� � �� �� �� � x�� x �� x

��. ò ������ �� ��

� ���� � � ����� � �

� � ���� �� � ��� �� � �

� � ��� �� � ��� ����

� � ���� �� � ��� �� � �

��. � ò � 2� ����� ��� �

���������� ������� � � �

� �

���������� ������� � � �

� �

���������� ������� � � �

� �

���������� ������� � � �

��. ) )ò ����� �� ��

������� ������� ������� �����

� ������� ������� ������� �����

� ������� ������� ������� �����

� ������� �������� �������� �����

��. ò ����� � ����

�x

����� ��

���

������� ���

� �

����� ������ �

x

���

� ��x �

������ ��

x

���

� ���� ����� ���x

���

Page 47: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��. ò�

2

���� �

� ������

�� ��� x ���� ���

� ������ ���

� �� ��� x ���� ���

� �x

����� �� ��� x ��

�.. ò�

2

���� �

� ������

� �� x ���� ����� � �� � �x � x ��

� � �� x ���� ����� � �� � �x � x ��

� �

��

��� x

� x � ��� � �� � �x � x ��

� �

��

��� x

� x � ��� � �� � �x � x ��

���. ò ����������������.��

�������������� ����x

�����������

� �������������� �������

� �������������� ����x

������

� �������������� ����x

�����������

��. ��������������.�������.����������

����������������������������������

����� � ���� � ���� � ����

�.. ò ��������� �� �� ���������� ��������� ���

� ���������� ��������� ���

� x

���������� ��������� ���

� x

���������� ��������� ���

��. � � ò � �

�����

�����

� ����� x

�� �x � � ��

� � ����� x

�� �x � � ��

� � ����� x

�� �x � � ��

� �

��� �����

x

� �

� �x � � ��

��. ) )ò � 2���� � �����

������ ��� � �

����� ��� ��

� �

�������� ��� ����� ��� ���

� ������ ��� � �

����� ��� ��

� �

�������� ��� �

����� ��� ���

��.�ò

2 �

2

� ��� �

���������������

2�������.��������������������

���� x

�� �

� ����� � �

Page 48: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

......

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��

��� �

��

( ������� �

... � xxxx .������������ ���� ��������� ��������

� ������������������

� ������������������

�������������������

� ������ ��� �����

�nn��n��nnnn�� � x� � x � x �x� ��� ��

.�. ) )� x �� ��xx � ��x x �x ��

� �� ������� � �� �������

�� ������ � ��������� ��

.�.� �� �� ��� �

���

���x x

� x x� �x

� x��

� ��

� ��� �� � �� �

����� �

� � ��

��

��� �� �� �

����� ��

� � ��

.�. ���

x

� �

�� � x�� �x

�� x ���

��

�� �� �

��

� � �

��

�� �� �

� �

�� �

� � ( �

��

��

� �

��

��. �� x

x � �� �x

�x ����

��

� ��

��

��

� ��

���

�� � �

��

� ��� �

� ��

�nnnnnn�nn�n�nnnn�nnnn�nn�nnnnn�n��

��. �

���

� ��� ��

��

� �� ����

��� �� �

� �� �

� �� ����

��� �

� �� �

��� �

�� ������� �

� �� �

��.��� �

����� � ��� �

���

� � ��

� �� ��� ���� � � ��� � � � �

� � ��

� �� ��� ���� � � ��� �� � �

��

�� ��� � ��� � � ��� � � ��

� �

��

� ��� ���� � � ��� � � � �

��.��� �

�� ��� � ���� �

���

� ��

�� ��� ��� � ��� � � � ��� �� � �

� ��

�� ��� ��� � ��� � � � ��� �� � �

� ��

�� ��� ��� � ��� � � � ��� �� � �

Page 49: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

� � �

�� ��� ��� � ��� � � � ��� �� � �

�..��� �

����� � ��� �

���

� �

� ������ ���� �� ��� ��� � �

� � � ��� ����� � ��� �� � �

��� ����� � ��� �� � � � �

� � � � ��� ���� � � ��� �� � �

��. �

���

� ��� � ���� � ��� �� ��

� ����� ����� � � � �

� �

� ����� ������ �� ���

�� �

��� ����� � �� �

� � �� �� �� �

� � �

��� ����� � ��

� � �� �� �� �

�.. � �

���

���� � ��� � ��� � ���� ��

� ��

� � � ��� � ���� �

� � ��� �

��

� � ���� � ���� �

� ��� �

��

� �� �� � ��� �

� � �� � �

��

� � �� �� � ��� �

� � �� � �

��

��.�

����� � ��� �

���

�� ��� �

� ���� ��� � ��� ��

� ��

� �

� ��� �

� ���� �� ��� ��

� ��

� �

( �

�� ���

� ���� ��� � � ����

��

� �

( �( �

�� � ���

� ���� ��� � � ����

� ��

� �

��.��

��� � ��� ��

�� ����������������������

������������

� � ��

� � �

�� �

� ��

� �

��

� ��

� � �

�� �

���

� �

��

�nn��nnnnnnnn���nn

��. �������� � x

��� x �x ��������

���� xxxxx

���

� �

� ��

� �

�� ��

� ��

� ��

� ��

.�. �������� � x

��� x �x ��

� �x��

x����� x�xxxx� ��� x

x ������ ��

� �

��

� ��

� ���

� �

.�. �������� � x

��� x �x ������.��.��

� ��

��� �

� � �����

������ � �

�������

���� �

Page 50: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

.�. � ��� ��� � � �� x �x� � �� ����� � �

�� �

� �

� ������ � ��� �

���� � ����� �

���� � ����� �

������ � ��� �

.�. �������� ���� �xxx�xx�

�xxxxx

� � ����� ��������

������

� � ������� ��� � � ������� ���

� ��������� ��� �

� ��������

� ���

... ���������� ����� ����xx

�xxxxx

���������������

� � �

������ �

������

��

������ �

������

.�. �������� ) )� x

��� x �x ������.���.�

���

� ������ � � ������� �

������ � � ������� �

... ��������� � � x

x ����x� �x ����

�����

� �xx

����x��� ��

� �

� �� � �

!�����

� ��� �

!����

��

� ��� �

!�����

� �� � �

!������

��

%%����'''

%�&�%�&���

� � � � � �

� � � � � � � � �� �

�� �� � � � �� � �� �

�� �� � �� � �� � ��

�� � �� � � �� � �� �

�� �� � �� � �� � �

� � � � � � � � �

� � � � � � �� �

�� � �� � � �� � �� �

�� � �� � �� � �� � �� �

�� �� � � �� � �� �

�� � �� � �� � �� � ��

�� � �� � � �� � �� �

�� � �� � �� � �� � �� �

�� �� � � � �� �� �

�� � �� � �� � �� � ��

�� � �� � � �� � �� �

�� � �� � �� � �� � �� �

�� � �� � � �� �� �

�� � �� �� �� � ���

Page 51: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��� � ��� �� � ��� � ��� �

��� � ��� ��� � ��� � ���

��� � ��� �� � ��� � ��� �

��� ��� � ��� � ��� �

#'#��'''

� � � � � � � � �

� � � � � � � �� �

�� � �� � � �� � �� �

�� � �� � �� �� � �� �

�� � �� � � � �� � ��

�� �� � �� �� � � �

� � � � � � �

� � � � � � � �� �

�� � �� � � �� � �� �

�� �� � �� � �� � �� �

�� � �� � � � �� � �� �

�� � �� � �� � �� � �� �

�� � �� � � �� � ��

��

&&&

Page 52: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

......

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

SSSSS

��������SSS

�� ( �nnn � ��n ��n �n��x� x x x x �x� ����� ( �nnn n��x� x x �� � ��� ( �nnn n��x� x x �� �

� ( �nnn ��nx� x x �� � ��� ( �nnn ��nx� x x �� �

�� S�� ���

x�� ��

� �������

nnn nnn

� nnn

x x�x

x

��� ��� �

��� ( �

��

���n� nnn

x �� �

��� ( �

��

�nnn� nnn

x �� �

�� ( �

��

���n� ��n

x �� �

��� ( �

��

�nnn� ��n

x �� �

���n nnn

nnn �

x x� �x

x

�� �

��� ( ����n� nnn ��nx x �� � �

��� ( ��nnn� nnn ��nx x �� � �

�� ( ��nnn nnn ��nx x �� � �

��� ( ����n nnn ��nx x �� � �

�� ( �� � � ��n ��n ��nx x x �x� � � ��

��� ( ����n� ��n

xx �� �

���

���n ��n��n

x xx �� � �

��

� ��n ��n ��n��n

x x xx �� � � �

���

�� ��n

��n�

xx �� �

�� ���

nnn ��n

�x

x x��

��

�� ��n �

��n

x�

x

� ���

� ����

�� ��n �

��n

x�

x

� ���

� �

����������

�� ��n

��n

x�

x

� ���

� ����

�� ��n �

��n

x�

x

� ���

� �

�� S�� ( �( ��

� �

nnn �

nnn ��n

x�x ��� � x �

x x

�� ��� �

�������

��� ���n x ��� ���n x

�� ���n x ��� ���� x

���S���� �

� �

��n ��nnnn ��n

nnn nnn

x x�x � x � ��x �

x x

�� � �

��

( �� nnn��� x �� � ������������

���� ���� �� ����

�� � n�� x�x� ��

�������n� � ��n

x�� � �� �

� �

��� ( ��� ��n n�� �x �� � �

�� ( ��� ��n� n�� �x �� � �

�������n � ��n

x�� � �� �

� �

�� ( ����� � ���

��

x x

xx

�x �� � � � �

��� � � � �

���

�����������������

����� ���� �� ����

Page 53: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

���nnn

���nnn

x�xx

��

���nnn

�� x��

���� ��n

��n

x�� �

x

��

��� ��n

� ��n

x�� �

x

��

����� ��n

x��� �� � �

� � �

��� S�� ( �� �

�nnn ��n

��n nnn ���n

x x�x

x x x

��

��

���� ( � �

��� x� x ��� �� � � �

� � � �

������

( �( �� ���� x� �

����

� ��n ��

x� �

� � �

����

� ��n �

x� �� � �

���

� ��n �

x� �

� � �

����

� ��n ��

x� �� � �

��� S��

�� �

nnn ����

nnn

x�x x �

x�� �� ������

��� �

���� �

����

� �

�� ��

� �

����

� �

��

� � S�� ( ���n� ��n �nnn �

� ���n

x x�x � x

x

�� �

��nnn� x �� � ����������

����

����

���

�� ���

��

����

x�x

x

��� �

�� ��

��� �� � � nnnx x x x ��� � � � �

��� �� � � nnnx x x x ��� � � � �

�� �� � � ��nx x x x ��� � � � �

��� �� � � nnnx x x x ��� � � � �

��� ��n ���x x �x � �� ��

���� ��n �

� ��n� ��n

x�

x

� �� ��

� �

���� ��n �

� ��n� ��n

x�

x

� �� ��

� �

��� ��n �

��n� ��n

x�

x

� �� ��

� �

���� � ��n

� ��n��n �

x�

x

� � �� �� �

��� � �

��n n���x

x x�

��

��� ( � ( �� ����n � ��n ��n ��n

�x x �� �� �

��� ( � ( �� ����n � ��n ��n ��n

�x x �� �� �

�� ( � ( �� �� ��n � ��n ��n ��nx x �� �� �

��� ( � ( �� �� ��n ��n ��n � ��nx x �� �� �

��� ( �� ��n ��nx x �x�� � ��

���( �n��

��� ���n��

x�

x

��

��

��� ( �n��

��� ���n��

x�

x�

��

Page 54: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��( �n��

��n ���n��

x�

x

��

��

��� ( �n��

��n ���n��

x�

x�

��

��� S��

� � ����

� � �

x�x � �

x x x

� �� �

� � �� �

������

����� ����� ����� ������

��� S�� ( � ( � ( �( �� �

�nnn ��n ���

�� x x x�x � x �

� �� �

�� �

��������

��� � � � �

��n nnn� x � x�

��� � � � �

nnn ��n� x � x�

�� � � � �

nnn nnn� x � x�

��� � � � �

��n nnn� x � x�

���

��n x�x

x

��

���

��n���

x x�

xx

�� �� �

�� �

���

��n���

x x�

x x

�� � � � �� �

�� ( ��

� ��n��� �

xx x �

x

� � � �

��� ( ��

��n���

xx x �

x

� � �

��� � �

nnn ��n�x

x x�

��

���

��� ��n �

��n� � ��n

x�

x

� � ���

� �

���

��� ��n �

��n� � ��n

x�

x

� � ���

� �

��

��� ��n �

��n� � ��n

x�

x

� � ���

� �

���n�n�

���

��n nnn�x

x x�

��

��� ( ����n ��n ���x x �� � �

��� ( ����n ��n ���x x �� � �

�� ( ����n n�� ��nx x �� � �

��� ( ����n n�� ��nx x �� � �

� � ( �

�nnn ��n

x�x

x x x�

��

��� ( ���n

��n nnn ��n

xx �

x x x x� �

��� ( ���n

��n nnn ��n

xx �

x x x x� �

�� ( ���n

��n nnn ��n

xx �

x x x x

�� �

��� ( ���n

��n nnn ��n

xx �

x x x x

�� �

��� ( � ( ���n nnn �nnn �x x x �x� � ��

���( � ( �nnn ��n

� �nnn �

x xx �

�� �

���( � ( �nnn ��n

� �nnn �

x xx �

�� �

Page 55: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

......

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��( � ( �nnn ��n

�nnn �

x xx �

�� �

���( � ( �nnn ��n

�nnn �

x xx �

�� �

��� ( � ( � ��

� �

�x

x x

�� �

���

���� �

x�

x

�� � � �� ����

�� �� �

x�

x

�� � � �� �

��

���� �

x�

x

�� � � �� ����

���� �

x�

x

�� � � �� �

#�#

����� ���� ��� ���� ���

��� ��� ����� ���� ����

����� ����� ��� ���� �����

��� ���� ����� ���� �����

����� ����� ��� ����� �����

S�����SS��S����SSS�SS

�� � ��

�xx

x�

��

�� �xxx

x ������

��

� �

��

����� �x

xxx�� ������

�����

�����

����������������������

����n�����nn����� ����n������nn�����

���������n������������

���n�n�������n����������

�� � ���

�x�xx

� ��n�

���n�

��

� �����

�xx�xx

x��

���n

���n�

nnn��

����������������������

����n�����nn����� ����n������nn�����

���������n������������

���n�n�������n����������

���������� � ��� �xx

�xxx

� n���

��n�����nnnn

��

�������SS���

� �

nnn ��nn�� ��n

nnn ���n

x x�x x ��x �

x x

�� � ��

����������������������

����n�����nn�����

����n������nn�����

���������n������������

���n�n�������n����������

�� ( � ( �� ���

�x��x�x

�x� x

x

x

���n��

��"�

������ ( � ( �� �

n��� ��� � � �

n��� ��n � � n��� ��n �� �

� ��

����������������������

����n�����nn����� ����n������nn�����

���������n������������

���n�n�������n��������������

�� � ���

��

�xxx

�x�

� �����"�

�����"�

������ � �� �x�xxxx

�� $����"���$�������"������

��

����������������������

����n�����nn����� ����n������nn�����

���������n������������

���n�n�������n��������������

���� � ���n"� ��� � � ��n� ��� nnn � �nnn� �

nnn �

�� � ��

������nnn" �

� ��n" ����$ n��" � $ nnn" ���n" �

x ��� �x � � x � x � � �

x �

�� � � � � �

��

Page 56: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

����������������������

����n�����nn����� ����n������nn��������������n������������

���n�n�������n��������������

������ � ���

��

��

��

x

x�xx

������n"

���"��n���

��n�

��

������� � ��

��

� ���

�x

xx

�x��

���n���

nnn��n�

����������������������

����n�����nn����� ����n������nn�����

���������n������������

���n�n�������n��������������

������ � ��

��

���

� ��

x����

��x�x�

�x�

��n�

��nnnn� �

����

��������n �nnn � �

� ���$�nnn ���n $�nnn ���n �� ��

x x x�� �x x x �

x x

�� � � �

������������������������

����n�����nn����� ����n������nn�����

���������n������������

���n�n�������n��������������

�� �xxx�� x ��������"� ���� ����������

�x��xx

xx��� xx ��

��

� �� ���

�����

%�n����%�����%����%nn��nn�����

����n�����nn����� ����n������nn�����

���������n������������

���n�n�������n��������������

�����n nnn

���n nnn

� x � x� �x

� x � x

���

������ � � � ���� ��n nnn

�� �� �� ��x � x � x �

� � � �

� �� � � �

� �

������� � �����

�xx�xxx

xx�� $��nnnn$���

��nnnn

nnn��n�

�����������������������

����n���� ����n�����

���������n���

���n�n�������n��������������

��� � ��

��

���

� �x

x

�x�

nnn

�� �

��

� �xx

x��

�nnn�

��n� � �

x�

��

��

nnnnnn �

�����������������������

����n���� ����n�����

���������n���

���n�n�������n��������������

��� S�������������� � x� ����

������������������������������

����������

��������

���%"����%"����%"�����%"��

���%"�����%"����%"����%"��

��%"����%"����%"����%"���

���%"����%"�����%"����%"��

� � S� � ���� �xx�x��xx��� ��n��n��

����������������������������������

��������� ���������

�������� ���������

��� ���

� �xxx �

� �������������

�����������������������������

��������� ����������������� ���������

�������S��� � ������

�����x�x��

�� x

xx

xx

��"�����

� ��

����������������������������

��������� ��������������� ���������

Page 57: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��� �����������������

S� � ��

�xx��n�

����������������

SS��

�� ��n �

��� ����������������

SSS� � ��

�xxnnn�

�������������������

S�� � ��

�xxnnn�

��������������������

����������� �����������

���������� �����������

��� �����������������

S� � ��xxxnnn

��� x� ��

SS � ��xxx��n

��� �x �nnn�

SSS� �� �x�x

x��� ���n x �� �

���������������������� �������������������

��� �����������������

S� � �xx���� � ���

�� �

x��� x �� �

SS� � x�x���� �����n nn �

� �

xx �� �

SSS � �xx��� �������� nnn� nnn � �

�� �� �

S�� � �xx��� ���� �xx �� ��n�

��n

��

����������� �����������

���������� �����������

��� �����������������

S� � ��

�xx ��

��

� �� nn� �

� �

SS� � ��

�xx ��

�� �

x���� ��

SSS� � ���x

x �

� �� �x

��� ��

� �� ���

�� � �

�� � �

� � �

�� � �

��� �����������������

�S � �� �xx���

�� ���

�� nnn�� � �

x xx ��� � �

SS� � �� �xx���

��� ���

��� � �

x xx ��� ��� � �

SSS� � �� �xx ���

�� �x

����xx

��� �

��

����

��

� �� ���

�� � ��� � �

� � � �� � �

��� ���������������������

� � �xx��n ������������ ( � �xxx �� ��nnnn�

� � ���

�xxx ���

�� �� �

x���� �

��

� ��

���n�

� � �� ���n���n�

xx

x������ � �

x��� �

��

� ��

� �

� ( �( �� ���

�xxx ��

��� �� �

x���x��� �

��

� � ��

��

� ��

Page 58: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

�������������� �x

��� ��

��

� ��

���n�

S�������������������S�������SS

� � ,

"�� � � �"�� � � �

"� � � �"�� � � �

��� ����������������

�����S �����SS

� � ��xx�

x�

�"

�"�

�� �x� ��"�

� � ��xx�

x�

�"

�"�

�� �x� �����""

� � �xx�x� �"�"� � � �x� ��"���

� ( �� ��xx�x��� �"��" �� ( � �x� �

�"

�� ( � �x� ��"����

�����������������S�������SS

� � ,

�� � � ��� � � �� � � ��� � � �

� � �����������������

S� � �� �xxx� x ���n"nnn ������������������

SS� � �� �xxx� x �nnn"��n ���������������������

SSS� � �� �xxx� x �n��"��n �������������

S� � �� �xxx� x �n�����"��n ����������

����������� �����������

���������� �����������

S��������������

S�� ����� ���� ������� S� ��

�������SS�������������������������

�������������������������������

��������������

��S��������S������S�������SS����

�������SS����������������������

�������S

��S�������S������S�������SS����

�������SS�����������������������

����������S

�S��������S������S�������SS�����

��S��������S�������S�������SS�����

��� S��������S��

���� �� �

�� � �

x�x x x �

x x

�� � � �

� ��

S��������SS���" �

��� " �" �

� x�x � x �

� x� ��

��� S��������S��

� � ����n n�� ��n

�x x �x x �� ��

S��������SS��

� � � � �" �

" � �" ��

� � x� x � x �x �

� ���

��� S��������S��

� �nnn�

� ��

x�x �

x x

� �� �

� ��

S��������SS�� ��� � ���� � � ��� � �

����

� �

� �

�x �x ����� ����

��x �x � �� �

� � ���

� � �� �� //

��� S��������S������n nnn

���n � nnn

x x

x x

��� �

�� $���n�$�����

����xx �

�/� x

��

�/�

S��������SS�����n nnn

��n nnn

� x � x�x

� x � x

��

��

����� � � � ���� ��n nnn

�� �� �� ��x � x � x �

� � � �

� �� � � �

� �

Page 59: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

������S��������S��

����������� � ��n" � ��

��� ���n ��n" � ��

x�x �x x

�� �

� ��

S��������SS��

��n

�x�� � �����

� � x� �

��

�������( �( �� �

��n � �����

��n � �

� � � � x�

� � � � x� �

� � ��

� � ��

�������S��������S��

�� � ���n

� ��n �� �

x�x ��� �x

� � �� � � � �

S��������SS��

��n

�x�� � � ����

� � x� �

��

� �

���n

� � x��� �

� �� �

� ��� �

�� � �

���������S��������S��

�� � � � ��n " � ��

� � nnn

x�x ��� �x

� �� �� � � � ��

S��������SS����%�������������n

� � x��

�x

nnn� ��

�� ���n���� �

��

���

�����n"

��

x��/�

������S��������S��

�������� � � ��n" � �� �

���� �nnn � ��n" � �� �

x�x �x x

�� �

� ��

S��������SS��� � ��� � �� � ���n

����� �

� � � �

� ��n " � �����

nnn ��n " � ��

�x � x � � ��

� � x � � � x � � �

� � �� �

� � � � ��

��������S��������S��

������

��n � "��n � �nnn � � �

��

xx �� x �x x x �� � ��

S��������SS��� ��n" ��x� �x � �x� ��

����������� � �� ��n" � nnn" ��

�x�� �x � � �x � �

� �� � � �

� S��������S��

� ���� � ��x

x�xxx� xx ��

"����"��� �

S��������SS���

� �� ��� �x���xx�x�� xx �"�"�" �

������S��������S��

��������

� ��n �" � ��n�

��� � x �x ���� � � x� � ��

S��������SS��� ��n��� x�x� � ����n

��n�

� �

x� �

�� �

�� S��������S��

� ��� �xx�xxx���xx ��� ��n���n��n�"

S��������SS��

� �� ��� �x�x�xx�xx� �"�"�"�

#�#

���� ���� ���� ����� ����

�� ��� ����� ���� ���

���� ����� ��� ���� ����

���� ��� ����� ���� �����

����� ����� ��� ����� �����

���� ���� ����� ����� ����

���� ���� ��� ��� ����

����S��S������S�SS������SSS�SS

�� S������n

��� nnn ���n��n �

x�x x � x x �

x� � � �

��������� ������

���� ������� ���������� �����

Page 60: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

......

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

..4��� � ���x xx xxxò �� ���.��.�

����� ��� ����

�x � x x x �� � � � � � �

���4 ������� ���������� 4���

�.� 4 �

xx

x x�

�ò ���.��.�

����

4 �4

x x� � ���

4 �4

x x� � �

����

4 �4

x xx

� � � 4��

4 �4

x xx

� �

.�

xx

x x�

�ò ���.��.�

��� ���� x x� � �� ���� x x� �

��� �� ��x x x� � 4�� ��� x x� �

.� x � x

xx� x � x

� �� �� �� �� �� �� �

ò ���������.����

�������

xx

� � � �� �� �

������� ��

x� x

� � � �� �� �

��������

xx

� � � �� �� �

���4���� ���

x� x

� � � �� �� �

�. ���

� �

� �

�� ���

� ��� ���

x xxx

x x

��

�ò �����������.����

�� �� x �� ����������

����

�� ���� ���

�4���

�.� ��� 4

��� ���

xxx

x x

��

�ò ����������������������.����

������� 4

4x x� � ���

���� 4

�x x�

������ 4

4x x� 4��

���� 4

�x x� �

�.

� �

��

� �

x xxx � x x � x

x x

�� � � �

� �ò

�����������������.����

���

��

x

x x� ���������������� ���� � x x� �

��� �

� x x� �4�� �

� x x

�� �

�. ��� � � ��������� x x�

��� ���� �x�x��xx � ���x�� ����

� � ���� �x� x � x � x xx�

�ò ������.����

��� ��� x� � ��� �

�� xx

� ��

��� ��� x x� 4�� �� x

x�

��. �� ��� ���x xx x xx � x x � x� � � � �����������.����

�����

x���

� �� �� �

�������

x� �� �� �

�����

x���

� �� �� �

4���

� �

x���

� �� �� �

��.� �� �

� ��� �

xxx xx

x

� ���� ��� �

ò ���.����

��� ���xx x x� � ��� ���xx x x�

��� � ���xx x x� 4�� � ���xx x x� �

�.. ��� ��� � � ���

� � � xx � x�� � �� � � ��.����

��� ��� ���� x x� ��� ���� ��� x x�

Page 61: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��� ��� ���� x x�� 4�� ���� ��� x x��

��.� � 4 �

xx

x x� �ò ����������������������������������.����

����� � 4 ���� x x� � � ������ �� 4 ���� x x� � �

����� �� 4 ���� x x� � � ���4�� �4 4 ���� x x� � �

�. ���� ��

� �� ���

x xx xx � x

x

�� � � �� ��� �ò � ���������

����������� ���.����

��� ����

x xx

� �� �� �

��� ����

x xx� � �

� �� �

��� ����

x xx

� �� � �� �

4�� ����

x xx� � �� � �

� �

�. ��� � ��� �x

� x x xx � � �� �ò �����

��� �� � �� � ���.����

��� � �xx x ��� �x ��� �xx 4�� � �xx x���. ��

��� ���� � � � �x xx x x x xx � x� � �ò ���������

����������� ���.����

��� ���� �xxx ������ �xx x

��� �� ��� � �x� 4�� ���� �xx x

��. ��������������

���

��4

xxx

x � ��� �

� �

ò �#����.����

��� � ���4

x x x � �� � �� �

� �

��� � ���4

x x x � �� � �� �

� �

��� � ��4

x x x � �� � �� �

� �

4�� � ��4

x x x � �� � �� �

� �

��. ����

� ��

ò�

� �$� ���� �

� ����������������.����

��� ��� � �� ��� �� � ��

��� ��� � � �� � 4�� �� � ��

��.� � �

��� $�� �

� ��

�ò ���.����

��� � ������ � � � �

� � � �

��� � ��� ��� � � � �

� � � �

��� � ����� � � � �

� � � �

4�� � ����� � � � �

� � � �

.�.�#�� �����

$��#�� �����

��

�ò ���.����

��� �� � 4�� � ���� � �

�� � �

��� �� � ��� � ���� � �� � �

��� � �� ��� � ���� � �� � �

4�� �� 4�� � ���� � �

�� �

.�.��� � ��

xx

x x�ò ��%���� ���.����

��� � ���� ��

xx

� �� �� �� �

Page 62: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

......

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��� ��� �

x�

p� �� �� �� �

� ���� ���

x�

p� �� �� �� �

� ���� ���

x�

p� �� �� �� �

... � � � �3 3 �

��x

�x � x � � x� x

���.����

� ��

���3

� x

3�

3

����

3� � �� �� �

x

3�

3

����

3�� �� �� �� �

x

� � ��

���3

� � �� �� �

x

.�. � � � �� � � �

� ���x

� x � � xx x

��.����

� ���� � ���� �

� ���� � � � ���� �

.�. ����������������������������������

����

� �� ��

� � �� �� �� �

� ��

x x

x xx

� �x � �x

���� � � � � � �� �� � x� x � �x � x � ���.����

�������������������������������������

� ���� � ��� � ��� ���� ��� � �� ��� ���

������� ������ ��� �

���� � ��� � ��� ���� ��� � �� ��� �������

������ ��� �

� � �� ����� � �� ����� � � �� ������ � �� ����

.!. � �� � � ����

��� � ���

x�x � x � � x

x x �

�� "

���.��!�

� � ���

������

x

x

������

� ���

x

x�

� ���

���� ���

x

x� � � ���

������

x

x

.�.� �

� � � �� � �

��

������

x x�x � x � �

x

�� �

��

���.��!�

� �

��

��

.#. � � � � � �� �

���� ��� �

x�x � x x � � x

x� � � � � � � ��� ��

���.��!�

� ���� ����

� ���� � ����

.$.� �

��� ��

� ���

�� � � ��� �

� ���.��!�

� � �

��� ��

��

� �

��

�� � �

��� �

��� ��

.%. � ��

&� ��

&� &��& � %%��&�&�����������&�&�"

���.����

� ��� �� ���� ��

� � ��� ��� � � � ��� ���� �

Page 63: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��. x�� �

� �� �� ��

.

.

� � �� ��

& .� ����.��&�&����� ��&�&�"

���.����

� �

� �

��

�&. �����

� ������.����

���&�&�����������&�&�"

���.����

� ��� ���

� ��� � ���

�..���� � �� ����

��� ������

x�x �x � x �

x�

� � � �

�� �

������������������&���&��� ���.����

� � ���� ����� �� � ���� ����� �

� � ���� ����� �� � � ���� ����� �

��.��� ���

�x

x x�� ������������ ���.����

� � �

��� ��� �

x�

p� �� �� �� �

��� ���

x�

� � �� �� �

� � �

��� ��� �

x�

p� �� �� �� �

� �

��� ��� �

x�

p� �� �� �� �

��.� � �

� ��

.& � � �

����� & �

���.����

� �

� �

� � ��

� ��

� �(

� � �� � � �� � �� �(

�!. �� � ��&

& ���&& � � &�� ��� ���.����

� �

� � �� �

� � ��

� �� �� � �

�� ��

��. ��&

����# !����

���.��.�

� �� � ��� ���

� �

� � ��� �

� �c

�� � ��� ���

! !

� � ��� �

� �c

� �� ��� ���

"

� � c( �

� �� ��� ���

� � c�

�#.��

&���

& ���� � ������" ���.��.�

� ��� � ���

� c ��� � ���

� c

� ��� � ���

� c � ��� � ���

� c

�$.�

��

�����"

% &���.��.�

� � ��� � � �

����� � �c

� ��� � � � �

����� �

� � ��� � � � �

����� �

� � ��� � � � �

����� �

Page 64: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

�%. ��&

����"�&� %&

���.��&�

� ���� �

� c( � ����

� �

� ��� �� �

� �c

� ����� � c�

�����

� ��� �� �

� �

c

��. �� . �&� && � ����" ���.��&�

� � � � �

� � �� � � ��

�&.

� � �

� ��� � ��� � ���.��&�

� �� �

��� ��� �

� �� �� �

����

� �

��� ��

� �� �� �

����

� �� �

��� ��� �

� �� �� �

����

� � �

��� ��

� �� �� �

����

�.. ��� � �"

�%

�� � ������

!

"

�� ��

���������� �������������������.�&��

� � ��� % �� � � � % �� �

� � ��� % �� � � � � % �� �

��. ��� � �� �

��� ���

�� � � � �

� �� � �

�� �

������&�&��������������

�������������������.�&��

� � � � � � � �

��. �������������

� � �� ��������

�������������������.�&��

� ��� � �� � �

��� � �� � � �

� ��� � �� � � �

� ��� � �� � �

�!. ���������������

���� ����� �

��� ���

x�x � x �

x x

� �

�� ������

���������������������������������������

������������������������������.�&��

� ����! ���! � ��� � ����

��. ��� � � � �� x �x x�� ������� � �� �x � x �x� ���

����������������������.�&��

� � � � �� � � ���

�x x x x �x �� �� ��

� � � �� � ��

�x x x x �x �� �� ��

� � � � �� � � ��

�x x x x �x �� � � �� ��

� � � � �� � ��

�x x x x �x �� � � �� ��

�#. ���

���

x x� x

x

� �� � ��� �� � ��� x�x ����

� ��� ������ � � �������

� ��

p�

p

� �����

p� � ���� ��

�$. ����������������

� �

x x

x x x

�� � �

��.�.���������

Page 65: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

...�..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

� ��� � x �� � �

��� �

� �x �

� �

��� �

� �x � � ��� �x �� �

�%. !

���

�x� x

x � ������������������������

� � �� ��� � �� ���

� � �� ��� � � �� ���

!�. ��� � x ����������������������������� ���� x

����������&�� � x �����������������������

����������p����������.�� ���� x �����������������������

� ��������� � �� ���� � ��������� �� �����

��������� �� ��� ������� �%�������� ��

��������� �

��������� � �� ����� ��������� �� �����

��������� �� ��� ��� ������� �%�������� ��

��������� �

� ��������� � �� ����� ��������� �� �����

� ��������� � �� ������ ��������� �� ����

!&. ���

� ���

x x� �x

x

�� � � ��� �� ���.�&��

� ���x� x �� ���x� x ��� ��� x� x �� � ���x� x ��

!..����

��� ��� ���� ���

x x x x�x x � � �

x

� � � � � � � � � � �� � � � �����.�&��

� � � � �

!�. � �� ���� ��� �

�x �

x x x �

� �����.�&��

� � ��� ����

���

x

x x

��

��� ����

���

x

x

��

� ���

������ �

x

x

�� � � �� ���� ��� � ��� x x� �

!�. � � � ��

�� � �

��� ��� � �

���.�&��

���

���

��� �

���

!!. ��

� �

� � ��

� � � � �

� �� �� �

����������������������������������������"���.�&��

� � � � � �

!�. !���������������� � �������

�� ��� � � .

���� �

� �

�� ��� �� ��� � �

�� � � � ����

�����������������&����&�" ���.�&��

� �

� ��� �

�� ��� ��� � �� �

� ���� � � � �

� ���

�� ��� ��� �!#. ��

� �� � � �

� �� ���� ��

� �

�� �� � �� � �� �� � � � �

��������������������������������"�����.�&��

� � � � � �

>��>��>��>��>�����>��>>�������

� � � � � � �

! � " � � � � � �� �

�� � � � �� � �� � �� �

�! � �" � �� � �� � � �

� � � � � � � � �

Page 66: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��� ���� ����� ���� ����

����� ���� ��� ���� ����

��� �� ���� ���� �����

����� ����� ���� ����� �����

���� ��� ���� ����� �����

����� ����� ���� ����� �����

��� ����

SSSSS��S��S���SS�SS

������S

���SS����#

��� ( �� ���� ��n �x�x �� x �x� �� � � ��� x x �� � �

��� ( �� �n�� ��nx �� x �x��

��( �� �

� �

x x�x

x

� �

��

����������

x��� x ��� �

��� ( �� ���� ���� x x �x� ��

���� ( � ( �� �n�� � n�� � �x �� x �x � � � �� �������� x x �� �

���

��

�nnn

���n

x�x ��� x�xx

�� � ( ��n�� �x �x� ��

��

��

� ��n � �n��

���n � �

x�x x�x �x

x

� ��� �

� �� � �

���������������������� �

� ����x x �� �

��( �� �

� �

��n nnn

��n nnn

x x�x

x x

���

������ ( �� ���n n���� x x �x��

���( �

� �

� nnn� nnn

� nnn ��n

xx�x �xx x

���

�� �

�������

n�� n��x�x x���x �x�� �

���( ��

� ������ ��

xx�x

� �� � �

� ��

xx �

� �x �� � ��

����( ��

� nnn

��n

x�x

x

��

����

� �

x x�x

� ��� �� � �

���

��n�

��� x�x� �

���� ( � ( ��� ��

xx �x �

�� � ��

���

� �

� �� �

� � � �

� �� �

x x�x �x �x

x xx x

� � � �� � � � � � �� �� �� �� �

�������������������������������������� � �nnn� nnnx x �� �� �

����

� �

� �

� �

x x �x

x

� �� �� �

� �� � �

��

������

� �

� �� x �x �x x �x� �

� � � � � �� � �

���������������������������

��

�x x �� � �

����( � ( �

( �� �

� nnn � nnn

� nnn ��n

�x �x�x �x

�x �x

� ��

�� �

������ ( � ( � ( ��n�� n���x �x ��� �x �x� �� �

Page 67: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

������( � ( �n����� �x �x

�� �

� � �

���� �n�� ��n

� �

x x�� �x

� �� � � �� � � � �� �

� �

������� � ���� �

x x��� � �� � �� �� �

/��

��� ( ��x � x � �x

� � � � � �� �� �

�������� ( �( � ( �

� ��

x � x � �

� �

� � � �� �� � �

���������� ����

x��� ��

�n��n��( � ( �

���" �

� x�x � x �

� x� ��

���� ( ��nnn ��n

nnn ��n

x x�x

x x

��

����( �� �

� �

��n nnn

��n nnn

x x�x

x x

��

������

� �

� � � �

��n nnn

��n nnn ��n nnn

x �x x�x

x x x x�� �

�������

� �

�n��

��n nnn�x x �x

x x�� �

������� � � �n�� ��n�� n�� n��x �x x �x x x �x� �� � �

������ ( �� � � �n�� ��n�� � n��x �x x �x ��� x x �x� � �� � �

�����

���

��� x��� x x ��� x �� � � �

����( �( �

( ��

���� x

�x � x �� x

� ��

���� ��n���� x �� x ��

��� ( ���� n�� x ��� x �� �

����( �( �

� �

��n nnn ��n nnn

��n nnn��n nnn

x x x x�x �x

x xx x

� � ��� �� � �

� �

� ��� ��n nnnx x �� �

����( �( �

� �

��n �

nnnnnn

x�xxx

� ��

( �� ���� ��n� x �� x�x�� ����� ( � ( ��nnn ��n nnn nnn��� � � � � � �� � � �

��� � ��

x

x

x

�x � �x

���

� �

��������� ��� �x� �� � �

����������� �

� �

x�x

x x

� ��

�� ��

������� � �

� �

� �

x�x �x

x x x x�

� �� �

���� ( ��� �

x

xx

x

�x � �x

���

���

� �� #��� x� ��

���

( �( � ( �� �n�� n��

n�� �

��� x x x ��� x�x

��� x x

� � �� �

� �� �� ��

Page 68: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

������( �� �n�� � n��

n�� �

x ��� x x ��� x�x

��� x x

� � �

� ��

����� ( �n�� ��nx x �x� ��

��� ( �( �� �

�� �

� � �n��

� ��

x �xx �

x x

�� ��

��������

� x �� �

� �

x �x ���

� �

���

� �

� �� � � � ��

�� ( ��

�� �x

x

�x

��

�� �� � � �

���������� ( ���

x

x

� �x

� �� ��� �x� �� �

�� ( �

x �x

� x

��

��

�n��

�" �� " �

" �

� x�x � x

� x��

������� � ����n �nnnx x �� �

����� � ( �� nnn �x �x ���

������ �� �

��� ���n �nnn� �

��x x �

�� � �� �

��

�n��

� �

x��� x�x

��� x��

������ �� ���� x �� � � ( � �� � n����� x x�x ���

���������� � �

����� x �

�� � �� �

��( �

��

� ��n

� �

x �x��� x ��

������ � ��� x �� � � ��n�� x�x ���

����� �

� � �

� �

���

� �

� �� � � � ��

��

���n

���

�� x�x

x�

�n��( �( �

( ��

�� x

�x � x �� x

� ��

��� ���� x �� �

�������� ��� � x� � �nnn

x�

x�

��������

� � �� �

� ��

x�x x �

x� � �

�� �

����� ���n nnn �

�x

x x ��� x�� n�n�������,��%n��

���n x

�n��

x �x

��� x��

���� ���� x �� �

��������� ��� x �� �

������� � � � ���n nnn nn� x � x � ��� ������� �

���� �� x �� �

������� x ��

��� xx � ��

Page 69: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

���� �nnn ��n ��nx x x�x�

��������� ( �� �nnn � nnn ��nx x x �x�� ���#�� nnn x ��

��� ( ��nnn� ��n��n

��� x��� ��� x �

xx

x

��

���������

�� �x

��� �x

� � ���

� �

�������n nnn nnnx x x �x�

( ����n � ��n nnn ��nx x x �x ��� x �� ��

�����

����

x��� �

x

�� �� �� �

���� �nnn ��nx x �x�

( �� �nnn � nnn ��n nnnx x x�x ��� x �� ��

���� ( ���

x

x

��x

���

������n��� �� �� �� �x x x x� � � ��� ���� ��� � �� � �

���� ����� x �� �

������� �x ��

������n�%�n��n�n

�������� xx ��

��� ���� �x ��

��

� �

� � ��

� � � �

� ��� ��

� �

� �� � � � �� �� �

��� ( �� ��

x x �x ��� x ��

� � ��

( �� �� � ���� � ��

���

�� �� n��� � �

�� �

�xx

x x

� � �� � � �� � � � �

� � � �

��� ( ��� ���

����

x

x

� ��x

���

� ( ���nnn

���

x� ��

� �

�� ( �� �� �

����� ��� x �

�� �

� ��

���� �� �x x x x � � � � � �� �

� ��

� �x

� � � �� � � � �� �

?n���

� �

�nnn

x�x �

�� x

� � �� � � ��

���� �� �x x x x � � � � � �� �

� ��

� �x

� � � �� � � � �� �

?n���

� �

�nnn

x�

�� x

� � �� � � ��

��� � � �

� � �� �

x x x x � � � � �� �� �

�� �

�� �

x � �� � �� � � �� �� �

Page 70: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

� ��

�� �

x � � � �� � �� � � � � �� �� �

?n�� � �

� ����

x ��x �

x � � x �

�� �

� ��

��?n������%������

� � n� x� � x � x�

( �� ���n nnn

�x�� �x � �x �

� �� � �

���?n������%������

n nn� x� � x � x�

( �� �nnn ��n

�x�� �x � �x �

� �� � �

���� ( � ������

x x ��x ��

���� ��n � ��nx �x� x �x ��� ��� � �x �x� �

��� ( �( �� � �

�x �x

x x x x� �

� � � �� �

�������nnn x �� �

( �( � ( � ( �� �

� �

����

� � � �

� �� � � � � �� �

� �

�������nnn x �� �� ( � ��

��

�� ���

� �� �

� �� � �� � �� �

�� � �

� �

� ��x

x x

� �� �

� � � �

��� ( ��@

xx

x x

��x ��� � �

� ��

� ��

��� ��x �� � ( ��

���

� ��

��

����/�� ��x �� � ( �( �� � �� � ���� ��

��� � � �x xx � �x � x x � � � � �� ��

���� ��

� � ������ ���x �� � � � �� � ��

����� � � x� x � �� �

���?n���n������n�n���#���n�%������

���� ( ���� ��n � ��n� x � x� � �n��n���n������n�n

��#���n�%�������

��������?� � � ����� x �� �

�n�� ��� �� ���� �� �

���� ( �� � �nnn � � �nnnx x x� �� � ���n���n������n�n

��#���n�%������

����

�nnn� �

���n�

x xx ���

�xx

� � � �� � � � ��

�����������

n��� � �

x xx ��� �x

� � � �� � � � �� �

��������

� � �� � � �

x x xx ��� ��� �x ��� �x � �� � � �� �� �

� � � �� �� �� �

���� �

�nnn ��n� �

�nnn�

x xx �x

x

� �� � �

� � � �

����n ���

� � �

x xx �� �x �x�� �

Page 71: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

�����

���� � ��� ���� � � �

x x xx �x �x � �� � � �� � �� �

� � � �� �� �� �

���� @ �x xx � �x � x � �� �� ��

?n��� ��

� � ���� � �x �� � � � �� � ��

��� ( ����� � � �� x �� � � ���n�� ��� �� ���� �� �

��� ( ���n ��� ��� � �� �x �x x � x � �x �� � ��

��n ��n� �x� � �� ��� ��� � �x �x� �

���� ( ���n ��n ���x� �� x �� x x �x� � � ��

( ����� �������

���� ( ��

�nnn

x� x �x ����x

� �� �

�� ��

���� ( �( �( �� �

� �

� �

x xxx

� � �xx x

� �� � �

� �� �� �� �

���� �

� � �x x� �x � �x x x

� � �� � � � �� � � ��

���� ( �� �x x� � � �

����� nnn �

n��� ��n �

xx ��� x

x

�� �

���� � nnn � ��n nnnx x x� � �

��� ������� x �� �x �� � � ( ���

��� ��

���

��� ���x x x x� x x x x �x � �� ��

�������� ( �� ���x x x� x x x �x � �� ��

��������?n�� ( � ( � ( ��x x� � x � x �x � � x � � � �� ��

��� ( � ���� �

x� x �xx

� �� ��� ��

���� �

����x� x �x

x

� �� � ��

� � ����x� x �x

x x x

� � �� � � �� � � � � � �� �

?n�� ( � ( � ( �� xx x� � x � �x � � x � � � �� ��

���� ( �( �� � � �� � �x x x x x x� � � � � � �

����� nnn ��

��� � x �x ����� ��

nnn ��n ��

� �

x x �� �

� �

� �� �

��������n ��nx x �x�

( ��� nnn ��n � nnnx x �x ��� x �� ��

������ �

���� x�x ��� � ��� x �x�� ��

��

� �

��� �� �

�� ��

���� n����� x �x� �

n�� �

� �

� �

x��� x �� �

� �

�� �

� �

�����?n� � nnn ��n� �

� �� x x �x ����� �� �

� ��

nnn ��n �� �

� � � �

x x �� �

� � � �

� �

� �� �

� �

S�������#

��

xx �x �� ��

Page 72: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..�...

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��� ( ���� x� �x� ���

x��

� � ���� ���� �

x x�x�x�� �

��

x�x x �� ��

��� ( ��

x��� ���x �x �� � ��

��� ( ��

�� �nnn ��n

�x x �x �x

�� � � �� � � �� �

�x �

�� �

�� ( ��� �x x �x��� ��n���#�n

��x x� �x � �� ��

��� n�� ��n ��n ���x x �x ��x x�x�� �n�� ��nx ��x �� �

��� ( ��� ��n

� ��n� ��n

x�x x �x

x

�� �

�� �

���� ( �x�� �x�

����

��

x

�x �x� �� � �� �

���� ( �x x�x �x x �

�x� ��

��� � � �

��n nnn nnn�x ���x �

x x x� �

� ��

����( �

( �

� �

� �

x x�x

x x

� �� ���

���� ( ����n x �x� ������ �

������ ��n���

x�x

�� � � �� ��

���

�� ��

���

xx

��

��� ( ��

��

� � � �

��

x x�x �x

x xx x

� � � �� � �� � �� �

��� ( � � �� �

� xx �

�x x� � ����

� �� �

x�x x �

x� � ��

����� �� �

�� �

� �

x xx x�x �x

x x x x

���

� �� �

����

� ��

�x �x x �� ��

����� �

n����� �x

x ���x

� � � �� ��

������ ( �� n����� x ���x �x� ��

�������

� �

x��� ��� �x

�� � �� � �� �� �� ���

� �

x�x

�� �� � ��

���� ( ��n�� x ���x �x� ��

������ ( �� �n�� �n��x ��� x x���x �x� � ��

������ ( �� �n�� n�� � �n��x x x���x �x� � � ��������� �n�����x x x �� � �

����( �

( �

���n �

��n ��n �

�� x �x

�� x �� x

�� �

�������( ���n �

��n

�� x�x

�� x

��

������� nnn ��n�x x �x x x �� � � �� �

Page 73: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��� ( ���n nnn nnn ��nx x �x x x �� � � ��

����( �

� ��n

nnn

�x�x

�x

���

������ ( � ( � ( ����n ��n ����� �x �� �x �x �x �� ��

������( � ( ���� ��n�x �� �x

�� �

� � � �

���� � "�

�x � �x ��

� �

�������

�x�

������������������������

��������������������

��

������� ( ��x � � �� ��

�x �x�x � � � �x �

� �� �� � � �� �

� �

��� ( � x� x ��

����x� �x � �x�� �

�����

��

nnnn��

��n

xx�x

x�

�n�� ( � ( � ( � �

�" �

��

�� x

� x � x �x ��

� ���

��� ��/��� ��n x �� �

��� �

� � �x �x x �x x �x�

� �� � �

��� ����

x���� ��� �

� � � � �

��� �nnn x �� �

�� � � x x �� � �

��� �nnn x �� �

���nnn x ��

�� �nnn x �� �

��n�� x ��

��� x x� � ��� �

��� ���� x �� �

�������� � �x x �� � �

����nnn x ��

������/����n x � ��� ���������

��� ����� x ��� x �x �� ��

������� �n����� x x �x�

��������

��� x��

���� � ���� x �� �

���� ( ���� nnn���� x ��

�����n nnn

��n nnn

x x�x

x x

���

������ ��� nnn ��nx x �� �

��� ( � ( ����n ��n ��n ��n� � � � � �� � � �

����� �

x x��� x �x ��� �x

� � � �� � � � � �� �

��������������������������������������� � ��� n���

x�

� � � � �

���� � x�x� � � �x

� x x x �xx

� � �

���� ( � ( �� �

� �x � � �x �� � � ��

Page 74: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

������x � �� �

����( �

� � �

� � � �

�� � �

x �x x�x �x

x x x

�� �

� � �� � �

�������� ��

� � nnn�

x � x ��� � �

����

( �( �

( �� �

��

��

� �

��� xx �x

x

�� ��#���� ( �� ���� x �� �

��� x �� x �� � �� ( ��x �� �x �x ���� �

������ ( �� �x �� � x �x ��� �� � ��� ��

� ��

��������� x� �� �� � �� x�� �x � �� ���� ��

� ��

������������ � ��

� �� x� �� ��

� � �

����( �

( �n�� n��

n��

x x ��� x�x

x ��� x

��

n�� x ��� x �� � �

( �n�� n��x x ��� x �x ��� �

��� x

��x

� ���� ��

x

x

���x

�� �

� ��

������ x x�� � � �� �x ��� �� � � � � ��� ��

� �� �

��� ( ���� ������� x ��

���� nnnx x �� � ( �� ��n x �x ��� � �

������ �

����

� �� � ��

���� ( ����n ��n ������ x �� x x �x�� ��

��n�� x �� � ��n ����� x x �x ��� �

��� � ����n �nnn ��n � �x x x ��� x� � � �

�n��

� � ��n

x�xx�� ����n�#������ x �� �

���( �( �

���� x

��� �� x

� ��

� �

������� ( ���� ��� x ��

�� � x��� � �� �

��� n����� x x ��

��� x ��

�� �x� x x� � �x ��� � ���

����nx x� �

�xx

� �� x��� � ��

��� x��� x � ��

��� ( ��� ������ x �� �

������ x ��

����

x �x

� �

��� ( ����� ��� x �� �

��� ��� x �� �

���

� �

��n n��nnn

���n��n

����� x

�x x x�xx

xx

��� �

�������

��� nnn�

x�xx� �� ( ���� nnn��� �x ��

�� ( �

���� �

��

x x� x �x �x

x

�� �

�� �

Page 75: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..�...

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

� �x �� �

������ �x ��

���?n�� ( �nnn�x� �x � �x�� �%������

������� �� �x �� �

����

� � �

� �

�x � ��x

x �

� ���

���� ( �nnn nnn � ���� x x x� �

���� ( ��

��

� �@

� �

x �x��� x �

x�

��

��� ( ��

��

�@

x�x x �

x

��

���� ( �( ��

� � �nnn �

� �� �

�xx �

x

�� ��

��� ( �( �

��

� �nnn

x �xx �

x

�� ��

�� ( ��� �� �� � x x x� � � � �

?n���

� �

� ���n

x�x �

x � � �

�� ���

���

� � �� �

� �x x x

� �� � � � � � � �

���

� �x

� �� �� � � � � � �

?n���

� �

�nnn

x�x � �

�x �

� � �� � � ��

���� ( ��� � �� � �x x x� � � � �

���� ( �� �� x� � �

�n���

� �

�nnn

x�x � �

�x �

� � �� � � ��

����� �

� ��x

x x

� �� � �� ��

����� �

� � ��x

x x

� �� � �� ��

�����

( � ( �( �( �

� �

� �

� ��

� �

x x�x

x x

� � �� �� ��

���� � ��x xx � �x � x �� � ��

��� ��n nnn nnnx x �x x x x �x� �� �nnn ��nx x x �� � �

���� ��� � �� x � ��� ����� ����� �������� �

��������?� � � ���� x �� � ���n�� ��� �� ���� �� �

��� ( �� ���n � ��nx x x� �� �

��� ( �nnn �nnn ��nx� x x �x� ��#��� nnn� x�

�n��� ��

� � �������x �� � � � �� � � ��

�����##�������%������� ( � ( ��x� � x � x �x �� ��

�����##�������%������ ( � ( ��x� � x � x �x �� ������� ( ���x� ��� x ��� x �x � �� ��

�������� ( ��n��x� ��� x x �x ���� �� ��

����� ( ����� ��n �x� x �� x � �� ��

�������� ( � �� ��� ��nx� x �� x �x � �� ��

( �� ���x� x �� �

Page 76: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

����� ( �� � �x x� � � �

�����

���x� x �xx

�� �� ��

����� ( � ( � ( ��x x��� � � x � x �x � � x � � � �� ��

����� ( ��

xx ��x

x��

�������� ( �� �x x� � �

���� ��� � �� �x � x � �x � ��� � �

� ��� ��� �

� �� �� ��

���� ��n��

��� � x �x ����� ��

��n nnn ��

� �

x �� �

� �

�� �

������ �

���� x�x ��� � ��� x �x�� �

��

� �

��� �� �

�� ��

����� ��n �

�� �� x �x ���� ��

��n ��� ��

� �

� �

�� x x �� �

� �

�� � �

� ��������

���SS����#

��� ( �� ���n � ��n � ���n � ���n �x x� �� � � � �

������ ( �� �� ��n ��nx ��

��� ( � ( �� � � �nnn nnn � ��n � ��nx x� �� � � � �

���� � ���n ��nx �� �

��,n�nnn�������n�,�������n��

( ��

� �

n��

��n � ��n

x �x

x x��

������n����

��� ( � ( ��

nnn nnn�x

x � x ��

� ��

( �( � ( �( � ( �

nnn�

nnn nnn nnn

x � x ��x

� � x � x �

� � � � �� � ��

��� � �

� � ��

� � �

x�x

x x

�� �

� �� �

���

���� $ � $��x x �

x� � �

��

�� �� ���n nnn ��

�� x x�� � � �

� �

��n nnn ��n nnnx x x x� � � �

���

���

x

x�

�x � �x

� �� ��

��� ( �� �

� � �x x x x� �

� � � � � � �

����

� � �

� � �� � � �x x x x� �� �� �

� � � � � � �� �� �

����

�� � ���n� ��n

� ��

nnn nnn� �

xx

�x �xx x

x x

�� � �� ��� �

� �

�����

� ��n � nnn �� ��

x �x x ������ �� � � �� � � � � �

� � � ��

�nnn � ��n

��x ���� �

��� �� � � � � �

Page 77: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

� �nnn � ��n

��x ���� �

�� �� � � � �

�� ��� � �

�� �� �

��� ( � ( �( �

� �

� �

� �

� � �

x x� x �x

x x

� �� ��

� � ��

� �

� �

� ��x �x

x x

�� �

� �� �

� �nnn���� x x� �� � �

( � � ���� �� x ��� x x x� � � � � �� �

�����

� ��n � nnn �� � �

x �x x �� �� � � �� � � �

� � � ��

�nnn �

��x �

�� �� � � � �

���������

��

��� ( �( �( � ( �( �( �

��

� �

� �

� � � �

x xx x �x

x x x x

� � ���

� � � �� � �

���( �

( �

� �

��

� � � � �

��

x x x�x �x �x

x x x xx x

� � � � �� � � � �� � �� � �

���� �x ��� x ��� � �

��� ( ��

��

x� �x

x x

�� �� �

�� �� ��

� � �

� ��

� �

x�x

x x x

� �� � � � �� �� �� ��

������

� � �� � ����

� � � � �

������ ( ��� � �� ��� � �

����� ( ��

���� � �� �� � �� �� � � � � � �� �

( �� � �� �� � �

��� ��n � ����� � ��� � ��� x

��� ���� � nnnx ��

��� ���� ��nx ��� ����������

��� ����x �����

�� ,n�n������n�,��%n�� �x ��n�#��

�x �x

� �

����

��n��

� � �� ��n

�x x�x �x

x

��

� �� � � � � �� � � �

� �

��� ( �

� n��� x �x

� � ���� x

�� �� � � ��

� ��

� � ���� x

� ��� �� � �� �� �

( ��

�� � ���� x

��

�����n nnn ��n nnnx x x x x x x x� � � � �

���� � ���n � nnnx x x x� � � �

���( �( �

x

x

x x

� x �x��� x � �

x � x �

��

��

����( �� � �

x x x�x

x

� � �� ���

( �( � ( �� � �

�� � �

� �

� � �

x x x �x�x

x x x x

� ��

� � � �� �

Page 78: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

( �� � �

��� x ��� x �� �� �

���� ( �� ������� x x � �� � �

��� �� ���� ��� x �� �

������ �

�@ �

��

�x��� �

xx

x

� �� �� � �

���

� �

��

�@ �

xx

�x ��� �x x

� �� � � � ��

�� ���nx ���

��� ��� x ��

��� �x �����

�� �� ��

x � �x � ��x

� �

� ��/nn�� �x ������n�%���������n�,��

( �( �

��

��

� ���

� �� �

xx�x �x

x x x

���

� � � � �� �

����������

x �x

� �

�� x��� � ��

�� ,n%%���n�n��nn���n�����nn�n

��� ���� �nnnx ��

��� ����������� ��� ������

�xx �

x x� ��

��� ���� ��x

��

��( � ( �

( �( �

� � � � � �

� � � � � �

� x � � x � �

� � x � x �

� � �

� � ��

���( � ( �( �( �

� � � �

� � � � �

x � � x�x

� � x � x

� � �� � � �

� �� � �

��� ,n�n������n�,��%n��� �x ��n�nn�#�n%�

������ ( �� �

�� �

�x ���� �x x x �x

�x x� � � �

��

( �� �x � � � � � �� �

( ���� x �� � �

�� nnn ��nx x �� �

���

� �� ��

��

x x�x �x ��� x �

xx

� �� � �

� � �

� �

���� �

x�x

x�� ����������#�����

�x ��

��

x�x

x

�� �

� � �

����� �

� �

��n nnn �

�� ��n

x x �x ��

�x

� ��� �

� � �

� �

� ��nnn ��n

x �� � ��

� � � �

����

��

�x��� �

xx

x

�� �� � �

���� ( � � ���n� ��n ��n nnn���x x x x x� �

Page 79: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

���� � ���n �x ��� x� �

�����n�� ( � ( �( � ( ���x �x� �� x � x �x � � x �� � ��

������� �

� �nnn �nnnx

�x x�x � x�x�� �

�������� ��nnn�x� x�x��

�����( �����

�nnn x

� x �x� �

�##�������%�������%��� �nnn�x� �x �x�

��� �n�� ( ����n�x� �x � �x�� ��n

( �nnn�x� �x � �x��

��

( ���� ��n� ���n

xx x �x � x �x�� �

�n� ���n�x� �x �x�

�� �n�� �nnn�x� �x �x� �n

( �nnn�x� �x � �x��

��� �n�� ( � ( � ( ��x� x � x �x x� x � � � �� ����� ?n���n������n�n���#���n�%������

�� ?n���n������n�n���#���n�%������

�� ?n���n������n�n���#���n�%������

��( �� � �� ��n �

nnn�

xx x �x x �x

��� �

����� �� �

��n �� �x �x x x �x�� �

?n���n������n�n���#���n�%������

� �

���� x �x

x�

��� � �� x �

x

�� �

�� ?n���n������n�n���#���n�%������

�� ���� x �� ��n��n���n������n�n���#���n

%������

� ( � ��n ��

� x x x x�

�� � �

( � ��n � ��n � ��

� x x x x ��� x�

� � �� � � � � � �� �� �Q

����n���#�n�n�n���nn��n��n��

( � ��n� x �x x x �x �� � �� ����� nnn ��nx x x �� � � �

� ?n���n������n�n���#���n�%������

�� ��

���� ���

��� ���

x�x x�x�� �

�� ?n���n������n�n���#���n�%������@

#��� ��x �� �

�� ������� x �� ��n��n����#���n�%�������

�� ����nnn x �� �n����nnn����#���n�%������

���� �

�nnn ��n ��nnn

x x�x x �x

�� �

� ��� � �� �

� �� �

����n

nnn ����x�x x x �x

x�� � ��n�?n����#���n

%�������

�� ���� ��nx ��

�� ?n������%������ ( ��nnn�xx� �x � �x��� ����x �����

� �����

x�� ?nnn����#���n�%������

�� ?n����#���n�%������

�� ?n�� ( � ( �( � ( ��x� x � x �x x� x �� � ����� �##�������%������

Page 80: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

( � ( � ( �� �x x� � x � x �x � � x � � � �� ����� �##�������%������

( � ( � ( �� �x x� � x � x �x � � x � � � �� ��

��� �

� nnn � � nnn �

� ��n � ���n

x x x x�x �x

x x

� ��

�� �

� � �

� �nnn ��n

���n ���n

x x x�x

x x

� �� � ��

� ��nx x ��

�� ����������n��##�������%������

( � ( � ( ��x x� � x � x �x � � x � � � �� ����� ����������n��##�������%������

( � ( � ( ��x x� � x � x �x � � x � � � �� ��

��� ( �

� � �

x x� �xx

� �� � � �� �

( � ( �

� �

� �

� �

x x� �x

x x

�� �� �

� �� �� ��

( ��� �

� �

x x� �xx x

��� �

� �� �� ��

�n��##�������%������

( � ( � ( �� �x x� � x � x �x � � x � � � �� ���� �##�������%������

( � ( � ( �� �x x� � x � x �x � � x � � � �� ���� ������� �x � x �� � � ��n��##������

%������

( � ( � ( �� �x x� � x � x �x � � x � � � �� ��

��� ( ���� �

� �

x x� �x

x x

� � � � �� �

��� ������� x ��

������ �

� � � ���� ���� �� � �� �

� � � �

� � � � � �� � � � � � �� � � � � �� �� �

��� ?n������%������

( � ( � ( ��x x� � x � x �x � � x �� � � � � �� ����� ��� �x � x �� � � ��##��nn�

( � ( � ( ��x x� � x � x �x � � x � � � �� ����� ��n��� ( �� � � �x x� � � �

���?n���

���� �x �x � � �x

�x �x �� � �

� ��

%����� �� �

� ��� � �

� �� � �

���� ( ��� ��

x � x x ��x

� � � �

���� ( �( � �

� �

� � �

x x�x �x

x x x x

� ��

� � � �� �

( ��� ��

x � x x ��x

� � � � �

�� � ��n��� x �� ����#����

x�

�� nnn��� x �� �����#����

x�

��� ���� nnnx ����� nn�#�n%������

� x�

� �

��� ����n#�������n�,��%n��

Page 81: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

�n�� x ��� ��� ���x ��

�##��nn�

� � � �

� � � ��n �� ��n

� nnn � ��n � �

� � �� � � ��

����

� � � �

� �

��n nnn

��x ��� ���x �

� x � x �� �

� � �� � � � ��

����� � �

���n nnn�x

x x�� �##��������%������

����� � � � ����n �nnn ��n �nnn

�x

x x x x� � ��

� ���n �nnn

�x

x x��

����,n�n������n�,��%n��� ���n x �n�#��

���x ��

��������

� �

� ��nnn ���n

� � �

x � ���� � x x

� �

�� � � � � � �� �

���x

��

���������

� �

� ��nnn ���n

� � �

x � ���� � x x

� �

�� � � � � � �� �

���x

��

��������

� �

� ��nnn ���n

� � �

x � ���� � x x

� �

�� � � � � � �� �

���x

��

���

� � ��n

nnn� nnn ��n�

��n

x�x �x �x

x���x x x

x

� �� ��

� � �

?n����n nnn

��n

� x � x�x

� x � ���x

��

��

� � � ���� ��n nnn

�� �� �� ��x � x � x �

� � � �

� �� � � �

� �

������##�������%�������%��

nnn ��n �nnn

��

x x �x �x �

� �

�� � ��

�������##�������%�������%��

��

��

��� x��� x �x �

�� ���

������##�������%�������%��

������

��

xx �x �

�� � ��� �����n��

������##�������%�������%��

n�� �n��

� �

��

x���x �x�x �

� �

�� �

� ��������##�������%�������%��

���� x�x� ��n�����n��

���� �

� �� � � ���� � �

���������n�����nn����������%������

����� ( � ( �nnn nnn � �nnn � ��n�x � x � x x� � � �

���� ( � ( ���n ��n � ���n � ���n�x � x � x x� � � �

����� �xx � �x� ��n�?n����#���n�%������

������

��x�

� �xx� �n�?n����#���n�%������

Page 82: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..�...

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

����� ( ��

����

�x �x

x� �n�?n����#���n�%������

S�������#

��� ( � ( �� �� � � �nnn ��n nnn ��nx x x x� � �

�� ( �( �� � � �nnn ��n nnn ��nx x x x� � �

��� ( �( �� �� �nnn ��n ��n �x x x� �

��� ( � ( �( �

� �

� �

� �

���

x

x �� �x �

� �

� �

� �� ��

����n��� ( ���n ��nx x � �� � � � �

��� ( �nnn nnn �x x x� �

��� ( �� ��� �

��� �

x

x�

�x

��

��( ��

�� �

� x�x x �

x

�� � �

��

� ( � ( � ( �� � ��� �x� � x � x �x �x� � � �� ��x� x �� � �

����

� �� � �

��n�n� ��� � ��n�#��������

�� ( �

� �

� �

� ��

� �

x�x x x �x

x x

�� � � �

� �� �

�����n � ��n �

��n � ��n �nnn nnn

x�x x

x

��

��

� ���

� ( � ( �� �� �nnn � �nnnx �� � � �

( �� �� nnn nnnx �� � �

( � ( �� nnn nnn nnn nnn

nnn nnn

x x

x

� ��

� � ��

��� ( �( �

�� �

�� �

� x��� x �x �x ��� x �

�x x

� �� �

�� �

����

� ��

�x �xx

�� �

��� ( ����� ���� x x �� � �

��� �

x � x � � � �� �

����

����� x �� �

��� � � � � � �x x x x �� � � � �

�� ���� x ��

�� ����� x �� �

��� ���� nnnx ��

��� ���� ( ��� ��x x� � %�� � x �� �

��� �x��� � � ���� ������� ��������� ����

��������

��� ( � � �x x� � � �

( �� �

� �

�x �x

x x�

� �� �

��� ( ���

��x

x x��

���x �x ���

( ��

�� ��

� ��

�� �

x �x

x x��

Page 83: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

�� ( �( �� �

� �

� �

x�x

x x� ��

( � ( �( �( �

� �

� �

� ��

� �

x xx

x x

� � �� ��

� �� �� ��

����?nnn��#���n���%����n�nn�%nn���������n����n

nn�������

���� ( ��� � � ��

x � x x�x

� � � � � �

���

� �

xx �

x

�� �

� � �

�x �x ���

��� ( �� ��

nnn nnn

� ��n � ��n

x �x x �x

x x� � �

� � �� �

������� �x �� �n��##�������%������� nnn�x� �x �x�����?n���n������n�n���#���n�%������

��� ( ���� � � �� x �� � �

?n���n������n�n���#���n�%������

��� ( ����� � �� x �� �

?n���n������n�n���#���n�%������

��� ���� �� x � x� �

?n���n������n�n���#���n�%������

�� nnn x�x x ���

( � �nnn �

�� � �� �x ��

x��

� nnn �� � �� �x � �������?n���n������n�n���#���n�%������

����?n���n������n�n���#���n�%������

��?n���n������n�n���#���n�%������

��?nnn����#���n�%������

������� �nnn x �� � ��n��n����#���n�%������

������� ���� x �� � �n��n����#���n�%������

����?n����#���n�%������

����?n����#���n�%������

������� x �� ��n��nnn����#���n�%������

�������

x�� ?nnn����#���n�%������

�������� �x �� ��n�?n���#���n�%������

�������� ���� x �� � �?n���#���n�%������

���?n����#���n�%������

����##�������%������

( � ( � ( �� �x x� � x � x �x � � x � � � �� ���������� x �����

��� ( � ( ��

� ��� �

� � � �

�� �

x xx x x� �x � �x

xx x

� �� � � �� �� � � ��� �� � � �

� �

�n��##�������%������

( � ( � ( �� �x x� � x � x �x � � x � � � �� ��

��� ( � ( � ( �� �

� �

� � �

x xx� �x � �x

x x x

� �� �� � � �

� � �� � � �� � � �� �

���n��##�������%������

( � ( � ( �� �x x� � x � x �x � � x � � � �� ��

���� � �

���n nnn�x

x x��

Page 84: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

����?n����n nnn

��n nnn

� x � x�x

� x x

���

� � � �� ��� ��n nnn

�� � � ��x � x x �

� �

� �� � � �� � � � � �� � � �

�� ?n����n nnn

��n nnn

� x � x�x

� x x

���

� � � �� ��� ��n nnn

�� � � ��x � x x �

� �

� �� � � �� � � � � �� � � �

����?n����n nnn

��n nnn

� x � x�x

� x x

���

� � � �� ��� ��n nnn

�� � � ��x � x x �

� �

� �� � � �� � � � � �� � � �

����,n�n������n�,��%n��� ���n x �n�#��

���x ��

���,n�n�������n�,��%n��� ���n x �n�#��

���x ��

�������

� �

� ��nnn ���n

� � �

x � ���� � x x

� �

�� � � � � � �� �

���x

��

���������

� �

� ��nnn ���n

� � �

x � ���� � x x

� �

�� � � � � � �� �

���x

��

�����##�������%�������%��

��n nnn ���n

��

x x �x �x �

� �

�� ��

����##�������%�������%��

��n nnn ���n

��

x x �x �x �

� �

�� ��

�� �##�������%�������%��

������

��

xx �x �

�� � ��� �����n��

�� �##�������%�������%��

���������

��n ��� ���n

� �

��

�� x x ��� x�x �

� �

� �� �

� ��

���� ( � ( �nnn nnn � �nnn � ��n�x � x � x x� � � �

��� ( � ( ���n ��n � ���n � ���n�x � x � x x� � � �

�� �##�������%������

( � ( � ���� ��� �� �

�x �x x x � � �� ��

� ( �� �����x x �x� �n�?n���#���n�%������

������

���nnn nnn��n n��x xx � x �x � x��� x �x�� �

( �nnn nnn nnn nnn� n�� n�� ��nx x x xx� � �x � x x� x�x � � �� �� ������ ( �nnn nnn nnn nnn� n��x x x xx � � �x � x � �x� � �� �

( �nnn n��x� x x �� �

���

nnn ��n� nnn ��n

� nnn

x x�xx � x �x ��

x� � �

��

� �

� ��

��

�� �

� � �

� ��nnn

� � �� � �

� � �

Page 85: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..�...

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

��

( �( ����n nnn

nnn ��nnnn ��n �

x x �x��� x x �

x x

�� �

� ��

��� ( � ( �� � �� ���� x ��� x ��� x �x � � �� ��

����� ( �( �� �� ���� x ��� x �x� ��

����� ( �� �� n����� x x �x����������� x ��

��� ���n

�x

��� x x�

�����

n�� x�x

��� x�

�����( �� �

� n����� x x�x

��� x

��

������n����

� ,n�n������n�,��%n��� ���n x

( ��

��

� n��

��� x x�x ��� ��� x �

��� x�

��

��( � ( � ( ��� �

� �

� nnn � nnn

nnn nnn

��� x x x�x

x x

� � �� �� ���

nnn��� x ��

( �� �

� �

� ���

� �

� �

��

� �

� �

���

� �

� �� � �� ��

( ���� ��� � �

�� � �

( ��nnn ���n nnnx �� x ��� x ��� � �

��

�n�� �

n�� �

x�x

x

�� �#��� �n�� �x �� �

�� �x� �� �

( ��

���

� ���

� � �

��� ��� � �

� � ��� � �

���� � ���

x x

x� � �

�� � � � �

��� �

nnn �

nnn �nnn ���n

x�x �x

x x x�

� �� �

n��

n�� �

x �x

x ���

n��

x �x�x ��� ��� x �

��� x�

� ��

���( � �

� n���

���x x�x ���x �

��� x

��

��

���

�� � �� ��

( ����

� �

� �

��� ��

� �

�� �

� �

� ���� �

� �

�� ��� �� � �

� � � � �

( �� ���� �

� �

��� x��� x ��� �� � �

� � � � �

����( �

�nnn ��n

nnn

x x�x

x�

Page 86: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

� �

nnn ��n� �

nnn

x x�x

x�

� �� � nnn ��nx x�x�

��� � ��� nnnx x�x�� ���������������������

��

( � ( � ( ���n� ��n� ��n� ��n� ��n ��n�

� ���n

x x x x x x�x

x

� � � � �

��

��� ���� ���nx ��

����� ( ��� nnn ��n � � ��n ��n�

� ��

� � � � �� � � �� �

���� ( � ���� @��� x x �x ��� x �� ���n�� �x �x � ���

��x ��

��

��( �� � �

� �

�n�� n�� ��n

n�� ��n

x x x�x

x x

� �

��

�� ( �x x� �� � �

( ���n ��n x x� �� � � � �

��� ������ � �� �x � x �x � ��� � � � �

( � ��

� � � � �� ���

� � ��

� �� �� �

� �� �

�� � �

� ��� �

� � ����

� �

x�

x

� �� �

� �@ ����

����,n%%���n�n��nn���n�����nn�n

( �( �( �

� �

�� nnn ��n � nnn ��n

� x� x x � x x

� x� � �

�n������nn���n�����nn�n

��� ����� ���� n��x ��� �� � � � �� � �

�n���� �� � �� �

� ( ���� ��� �� � � �� � �

( ��

��� nnn��� x

x�

� � �

����

x ��� x�

xx

�� �� � �

�� �

��� ,n��������n�,��%n��� ���n x

� nnn �

�x

x���

� �

�n�� �

�n�� � ��n �

x�x

x x�

��

#��� ��n �x ��

��� ( � ( � � �nnn ��n

�x

x x��

� � � �nnn ��n nnn ��n

�x

x x x x� ��

n�n�������n�,����� � �nnn ��nx x

�� ( �

���n

x�x

���x x��

( �( � ( �( �( ��

nnn ��n nnn ��n nnn ��n

nnn ��n

x x x x x x x x x x�x

x x x

� � � ��

��

��n nnn

nnn ��n

� x x x�x

�x x x x

� � � � ��� ��

��n nnn

nnn ��n

x x x

x x x

� ��

��������

Page 87: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

( ���n

��n nnn ��n

xx �

x x x x

�� � �

��� ���n nnn � � nnn �x x � x �� � � �

( ���n nnnx x �x ��� �

( �� �� �

� �� � � �� � � ��

� ���n nnn� �nnn �

x xx �

�� � � � � �

��� ��� ( � ( � ���

� �

� �x

x x

�� �

� ( � � �

��

� �xx

xx

��� � � �� �

������

x�

x

��

������S��S������S�SS������SSS�SS

���nnn

nnn ���n

x�x

x x��

( � ( ��nnn nnn � ��n ��n � nnn�

x � x x � x x�x

� � � �

�� ( �� �n�� � ���x x �x�� ��#������� ��n x

��

�x

xx

��

���#����

�� �

x� �

���

�x

x x�� ��#���� x�

�� �n��n������n�n���( �

� �

� x � x�x

� x

� � �

��

� ��

�x�

� x�

�� �� nnn

x� �

� � �� � � �

� �n��n������n�n��

( �( �� � � �

� �

nnn ��n nnn ��n

� �nnn ��n

x x x x�x

x x

� �

��

( � ( �� �

� �

��n � � �nnn ��n

� �nnn ��n

x x x

x x

� ��

��

nnn �

x�

�� �

� �n��n������n�n�� �

����n �

���� �

x�x

x�

��nnn � ��n �

�x x�x�

�nnn �

�x�x� �

� ��n �

� �

x�

�� �� � � �

�� ����nnn�����n%n���n�n

( ��#�n�n

�� ( �

��

x x

x x

� �

�� ( � ( � ( �( ��

� � �����

�x� x �

x� x � x � x�� ��

���( �

� ��n �

nnn � ��n

x�x �x

x x

��

�� �

��n��

� � �

x x�x ��� �� � ��

��� �

� �nnn ��n

�nnn

x x x� �x

x

� � �� ��

( ����n ���x� �� x x �x � �� ��

Page 88: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

( � ( ��x��� � � x � x �x �� ��

��� nnn��� x �x� �

nnn ��n ��

� �

x x �� �

� �

� �� �� � � �

( � �

�� nnn ��n�

� �� � � � x x��� � � �

�� ( �� �

�x

x x� ��

#��� �� x �� �

��� �

� �nnn ��n� �

�nnn�

x

x x

� �xx

� � � �� � �� � � �� �� �� � � �� �� �

����n ���

� � �

x x x� �� �x

� �� � � �� �� � � � � �� �� �

( � ( ��x��� � � x � x �x �� ��

����� �x

�� x � �x� �

���� �

�x�

� �

� �� x �

� ��� � �� � ��� � �x

� �� � � � x ��� �

��� ( � ( ��� n��x x� x x� �x�� x��� x� ��

��� nnn nnn� �

���� x x� �� �� �� � �

� �� �

��� ( �� �

x x

x x x

� ��x �x

� � ��

� �� �

#��� x� ��

( � ( ���� �

x ��� �x

� �� �

��

( � � ���� �

x� ��� �

� �� � � � ��� �� ��

( � ( � ( ���� � ��� ��� �x x x� � �� � � �

( �� ��� �x� x �� � �

��� ��n��� x ��

���� � �

��n nnn

��n nnn

� x � x �� � ��� �x x

� x x �

� �� �� � � �� ��

( �� ���� ��n nnn

� ��� x x �

�� � � � �� �

��� �

� nnn ��n� �

�x

x x � ��� �

� �� �

�nnn

�x

x�� ��

� �

�����

���n

� �� x �x

�� �� � ��

��� ( �

� ��

x�x ��� x �

� x

��

��� ( �( ��

��

� �

�x��� x �

x

�� � �� ��

���� ( � ( � ( �� � x � x� x � �x � �� ��

���� ��n x ��

( �� �

� �

����

� � � �

� �� � � � �� �� �

����

��

�� � ��

� ��n���

��n

x�

x

�� �

Page 89: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

���

( �( �

( ��� � ��

� ��

���

�����n

�� �

x ��� x�x ��� x �

x

� ��

���� �

�nnn �

x��� x

x

� �� � � �� �

��������� ��� x �x�� �n���n������n�n���#���n�

���� ��� � � �x � x � �x � ��� � �

������

( �( �

��

��

� ���

��

����� ( ��

��

� �

� � �� ��

� �� �� ��� �

����� ( ��� �

� �

� �

� �� ��

� �

� ��� �� �� �

� �n�

����� ( � ( � ( ��x x� � x � x �x � � x � � � �� ������ ������ x �� �

��( �( �

� �

xx

� �xx

� �� �

�� �� ��

( ��� �

� �

x x� �x

x x

��� �

� �� �� ��

������ ( � ( �( � ( ��x x��� � � x � x �x � � x �� � ��

�������

��n���

x�� x �x

x�

������

���n

���

�� x �x

x

���

���( �( �( �

nnn

nnn

x�x

x

� �

� �

��

������( � ( �

( �nnn ��n ��n nnn

nnn

x x�x

x

� � � ��

� � �� �

�� ��

������ ( � ( ���n nnn ����x x �x� � �� �� �

����� ( �( � ( ���n nnn ��� nnnx x �� � �� � �

������ ( � ( �� ��n �nnn� � � ��

��

� �n��

�� ���n

�xx �x

x

��

� �� � � � � �� � �

� �

����

� � ��

x��� �

� �� �� � � � � �

� ���

� ��

x��� �

�� �� � � � �

���� � �

x x x x�x

x x

� � � �� �

� �� ��

������� �

x x x�x

x x

� � �� �� ��

������� ( �

���

x �� �

��

�� �

xxx � �x

x

�� �� �� � � �� �

� �

��

x xx xx� � �x

x

� �� �� �� � � �� �

Page 90: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

�xxx�

��

� ���

� �

� ����n

� � �

x � ����� � x �x

� �

�� � � � � � �� �

� ���

� �

� ����n

� � �

x � ����� � x �x

� �

�� � � � � � �� �

�� ( ��� ���

���

xx

x�

�x ��� ���

�� ���� x ��

��� ( �� � �x� x x �x � �� ��

( �� �x� x �� � �

��� ,n�n����������n�,���� ���n x

� � �

n�� x �x

� ��� x ��� �� ���� x ��

��� ( �

� � � � �� �

� � �� � �

� �� �

��� � �

( ���� � # � �� � �

���

����

xx x� �x

x

�� ���

���� ���� x �� �

��x ��

x

��

( ����� ��� ��� � � ��� � ���� ( ������ �� ���� xx� �

� �

��� ���� � �� x �� �

���

( �( �

� �

���n �� nnn����n����n�� �� �

��n�� nnn�� ��n �� nnn ��

nnn�� ��n��

��

��� �

� �nnn��� ��n�� /

� �� � � ��

�� ( � ( �� x �x x������ x ��

�x �x ���

���n� ( � ( �� �

x � x �x �� � ���� �

( � ( �

( �

���

� � � �� � � �� ��

x x �x ��

� �� �

� �

� � �

�� ( �( � ( �� �

� �

� � nnn �

� ��n

x x� x �x

x x

� �� � � � �� ��

�n��

�x �x

x

� �� � �� ���� ���n ��nx x ��� �

( �� � �� �� � �Q

( �� ��n��

��

� �

��� ( � ( �( �

( �( �

� ��

� � �� � �

� � � � � � �� � � �

��� �

� � � �� �

� ��� ����

����$���/��$�/��

��� ( � ��n� x �� x�x� �

?n��( ��

��n ���� ���n �

� �

�� x x ��� x�x �

� �

� �� �

� ���n���n������ ��n��x ��nn���� ��� x �

��� ( � � � ��� �� �

Page 91: 1. IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N - MT Educaremteducare.com/images/mhtcet_2016_notes/maths/Indefinite Integrat… · IN D EFIN ITE IN TEG R ATIO N Indefinite Integration. ... Indefinite

..��..

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

( ��

���� � ��� �� ��

�� ���� � ����� �

���n����������%��

������ � nn���#��n��%�n��n�n��%�#��n����

��� �

� �nnn ��n

���n

x x x� �x

x

�� � � ��

�� ( ��n�� ��nx� x x �x�� ��� ��nx� x ��

����nnn �

n�� ��n� ��n � � � �

x x x x x�x �x �xx

�� �

�� � �

��n � ��n� �

x xx �x� � �

��n ���� n��� �

x xx �� � �

�� #������� x ��

" ��" �

��

� �� ��

��� ���

��� �

x�

x

�� �

���

� n�� ��

��n � ��n � ��n ��� � ��������n������

��� ���� � ����

�� �n� ( �n � ���n � n�� � � ��� ��n �

n �

���n � �

n �

��� �

�� n�n��n���n����� ��

#�����

� ��

� �

�����