1

제 14장 복소적분.

• 14.1 복소평면에서의 선적분.

• 미분적분학에서와 같이 정적분(definite integral)과 부정적분(indefinite integral), 또는 역도함수(antiderivative)를 서로구분하기로 한다. 부정적분(indefinite integral)은 어떤 영역에서 그것의 도함수가 주어진 해석함수와 같은 함수 이며, 알고 있는 미분공식의 역을 취하면, 많은 부정적분을 구할 수 있다.

• 복소정적분은 (복소)선적분(line integral)이라 불리며, 다음과 같이표시한다.

• 여기서 피적분함수(integrand) f(z)는 적분경로(path of integration)라 부르는 복소평면에서의 곡선 C를 따라 적분된다.

∫C dzzf )(

2

■ 이런 곡선 C를 다음과 같은 매개변수표현법으로 나타낼 수 있다.

)()()()()1( btatiytxtz <<+=

■ 이 때 C에 대하여, t가 증가하는 방향을 양의 방향(positive sense)

이라 부르며, 이런 방식으로 식 (1)은 C의 방향을 준다.

■ 곡선 C의 도함수 (그림 336 참고)가 C의 각

점에서 연속이고, 어디서도 0이 아닐 때, C를 매끄러운 곡선

(smooth curve)이라 부른다. 기하학적으로 이것은 C가 유일하고 연

속적으로 변해가는 접선을 갖고 있음을 의미한다.

dtdzz /=&

3

4

복소선적분의 정의

■ 이것은 미적분에서 사용된 방법과 유사하다. C가 식 (1)의 형태

로 표시되는, z평면에서의 매끄러운 곡선이라고 하자.

또 f(z)가 C의 (적어도) 각 점에서 정의된 연속함수라 하자.

그리고 식 (1)에서의 구간 를 점)( bta <<

)(,,,),( 110 btttat nn == −L

으로 나눈다[분할(partition)].

5

여기서 이다. 이들 각 분할점을 C의 분할점nttt <<< L10

)(,,,, 110 Zzzzz nn =−L (그림 337 참조)

을 대응시킨다. 여기서 이다. 그리고 C가 나누어진 각

부분에 임의의 점, 말하자면 와 사이의 점

)( jj tzz =

0z 1z

)],( ,[ 211101 zztztttt 과때의만족할을가즉 =<< ξξ

사이의 점 등을 선택한 다음에, 그 합 Sn을 만든다.2ξ

m

n

mmn zfS ∆=∑

=1)(ξ)2(

1mmm zzz −−=∆여기서

6

왜냐하면, 그 값은 에서부터 까지 C의 호의 길이보다

클 수는 없다.

매끄러운 곡선 C의 호의 길이는 t의 연속함수 이므로, 따라서

후자의 길이 가 0으로 수렴하

기 때문이다.

. 이 때 각각의 에 대해 완전히 독립적인 방법

으로 그 합을 만들지만, n이 무한히 커질 때 가장 큰

이 0에 접근하도록 한다.

이것은 가장 큰 이 0에 접근하는 것을 의미한다.

L,3,2=n

1−−=∆ mmm ttt

mz∆

1−mz mz

) ( 1 길이호의의까지의에서 Czz mm−

7

이렇게 하여 얻은 복소수열 의 극한을 유향곡선(oriented

curve) C를 따른 f(z)의 선적분(line integral, 또는 단순히 적분)이

라 한다. 이 곡선 C는 적분경로(path of integral)라고 부른다.

Z0

Z1

Z2

Zm-1

Z

Zmmξ

mz∆N N

그림 337. 복소선적분

L,, 32 SS

8

만약 C가 닫힌경로(closed path, Z=z0일 때, 즉 C의 끝점이 시

작점과 일치하는 것, 예를 들면 원 또는 8자 모양의 곡선 등)라면,

선적분을 다음과 같이 표시한다.

∫C )d( zzf∫C zzf d)( , 또는

9

일반적 가정.앞으로 복소선적분에 대한 모든 적분경로는 구분적으로 매끄러운

(piecewise smooth) 곡선의 연결, 즉 끝과 끝이 연결된 유한개의

매끄러운 곡선으로 구성되어 있다고 가정한다.

복소선적분의 세 가지 기본성질

1. 선형성(linearity). 적분은 선형연산자이다. 즉 두(또는 더 이상)함수의 합의적분은 항별로 적분할 수 있고, 상수인자는 적분부호

밖으로 나올 수 있다.

dzzfkdzzfkdzzfkzfkC CzC

)()()]()([ 2112211 ∫ ∫∫ +=+(4)

10

2. 반대방향(sense reversal). 동일한 경로 위의 적분에 대하여 적분의

방향을 거꾸로 하면, 적분값의 부호가 바뀐다.

좌변에서는 에서 까지 적분하고, 우변에서는 에서

까지 적분한다.

3. 경로의 분할(partitioning of path, 그림 338 참조)

∫ ∫−=Z

z

z

Zdzzfdzzf

0

0 )()(

0z Z Z0z

∫∫ ∫ +=21

)()()(CC C

dzzfdzzfdzzf(6)

(5)

11

복소선적분 존재

가 연속이고 C 가 구분적으로 매끄러운 곡선이라는 가정으로

부터, 선적분(3)의 존재가 뒤따른다.

앞 장에서와 같이 로 놓도록 하자. 또한,

으로 놓으면,

)(zf

그림 338 경로의 분할[공식(6)]

)yx,()yx,()( ivuzf +=

mmm iηξξ += 그리고 mmm yixz ∆+∆=∆

12

식(2)는

으로 쓸 수 있다. 여기서 이고, 합은 부터 까지 한다.이제 곱을 하면 을 네 개의 합, 즉

으로 나눌 수 있는데, 각각의 합은 실수가 된다.가 연속이기 때문에, 와 가 연속이다.

∑ ∆+∆+= )yx)(( mmn iivuS

),(),,( mmmm vvuu ηξηξ ==

nS

∑∑∑ ∑ ∆+∆+∆−∆= ]xy[yx mmmmn vuivuS

f u v

(7)

nm =1=m

13

그러므로 앞에서 말한 방식으로 이 무한히 커지면, 가장 큰

과 은 0에 접근하고 우변의 각 합은 실선적분,

가 된다.

이것은 여기의 가정( 가 위에서 연속이고, 가 구분적으로

매끄러운 곡선) 아래서 선적분(3)이 존재하고, 이의 값은 구간을

나누는 방법과 사이점 의 선택에는 무관하다는 것을 보여준다.

n

mx∆my∆

∫ ∫∫∫∫ ++−==∞→ C CCCCnn

vdxudyivdyudxdzzfS ][)(lim

f C C

mξ

(8)

14

적분을 계산하는 방법이 복소적분에는 많이 있다. 먼저 그들 중에 두 개를 고찰해 보고, 나머지는 이장의 뒷부분과 15장

에서 다룬다.

이 방법은 다음에 나오는 방법보다 더욱 간단하지만 덜 일반적이다.이 방법은 해석적(analytic) 함수의 경우로 제한된다.

식(9)(아래)는 미적분학 공식과 유사하다.

)]()('[ xfxF =(9) ∫ −=b

aaFbFdxxf )()()(

15

첫 번째 방법 : 부정적분과 극한의 대체

정리 1.[해석함수의 부정적분]를 단순연결 영역 D 내에서 해석적이라고 하자.

그러면 영역 D 내에서 의 부정적분, 즉 D 내에 를

만족하는 해석함수 가 존재하며, D 내의 두 점 와 을

결합하는 D 내의 모든 경로에 대하여

가 성립한다. ( 에서 까지의 임의의 경로 C 에 대해서 똑같은

적분값을 가지므로, C 대신에 와 을 쓸 수 있음을 주목하라.)

)(zf

)(zF)()(' xfxF =)(zf

0z 1z

∫ −=1

0

)()()( 01

z

zzFzFdzzf )]()('[ zfzF =

0z 1z0z 1z

16

이 정리의 증명은 15.4절에서 하게 될 것이다.( 다음 절에서 설명할Cauchy의 적분정리를 사용함으로써)

단순연결은 정리 1에서 꼭 필요하다. (이것은 예제 5에서 확인)

해석함수가 우리의 주관심사이고, 미분공식은 종종 주어진

에 대하여 를 찾는데 도움을 주므로, 현재의 방법은 실제적으로

매우 중요하다.

)(zF

)()( zFzf ′=

17

만일 가 완전함수(13.5절)이면, 전체 복소평면(확실하게 단순연

결된)을 D 로 취할 수 있다.

예제 1.

예제 2.

)(zf

iizdzzii

32

32)1(

31

31 31

0

31

0

2 | +−=+==++

∫

iiizzdz ii

ii

0972322 .sinhsinsincos | ====−−∫ ππππ

ππ

yxiyxzyxiyxz

sinhcoscoshsinsinsinhsincoshcoscos

+=−=

18

예제 3. 가 주기 인 주기함수이므로

예제 4.

여기서 D 는 0과 음의 실수축( 가 해석적이지 않는)을 제외한

복소평면이며, 명백히 단순연결된 정의역이다.

ze iπ2

∫−

+

+−−

+=−==

i

i

iii

i

zz eeedzeπ

π

πππ

π

38

8

2/42/3438

8

2/2/ 0)(22 |

πππ iiiiiz

dzi

i=−−=−−=∫− )

2(

2)ln(ln

zln

19

두 번째 방법: 경로에 대한 표현식의 사용

정리 2. [경로를 사용한 적분]

C 를 에서 에 의해 표시되는 구분적으로 매끄러

운 경로라 하고, 가 C 위에서 연속인 함수라 하면

이다.

증명.식(10)의 좌변은 식(8)에 의해, 실선적분들의 항으로 주어진다.식(10)의 우변이 또한 식(8)과 같음을 보이도록 하자.

이므로 이다.

bta ≤≤ )(tzz =)(zf

dttztzfdzzfC

b

a)()]([)(∫ ∫

•

= )(dtdzz =

•

iyxz +=•••

+= yixz

(10)

20

여기서 와 를 각각 로 간단히

쓰기로 하자.

또한 와 이다. 결국, 식(10)에서의 우변은dtxdx•

= dtydy•

=

∫ ∫∫∫∫

++−=

++−=

++=•••

C C

C

b

a

b

a

vdxudyivdyudx

vdxudyivdyudx

dtyixivudttztzf

)(

)]([

))(()()([

)](),([ tytxu )](),([ tytxv vu,

21

정리 2를 적용하는 과정

(A) 경로 C를 z ( t ) (a ≤ t ≤ b) 의 형태로 표시된다.

(B) 도함수 를 계산한다.

(C) f(z) 의 모든 z 에 z ( t )를 대입한다.

[따라서 x 에는 x ( t ), y 에는 y ( t )를 대입한다].

(D) 를 t 에 대해 a 에서 b 까지 정적분한다.

dtdztz /)( =•

)()]([ tztzf•

22

예제5. 기본적인 결과 : 단위원 주위의 1/z 의 적분

단위원(반지름 = 1, 중심 0인 원, 13.3절 참조)을 따라 반시계방향으

로 1/z 을 적분하면, 다음을 얻는다.

(11) (C는 단위원, 반시계방향)

(풀이) 단위원 C는

와 같은 형태로 나타낼 수 있고 ( 13.3절의 그림 327 참조 ), 여기서

반시계 방향의 적분은 t가 0에서 2π까지 증가하는 것에 대응된다.

미분에 의해서 (연쇄법칙)이고, 이다.itietz =•

)( itetztzf −== )(/))(( 1

)20(sincos)( π≤≤=+= tetittz it

iz

dzC

π2=∫

23

식(10) 에서 원하는 결과를 얻는다.

Z(t) =cos t+i sin t 를 사용하여 결과를 검증하라.

단순연결성은 정리 1에서 필수적이다.

정리 1의 방정식은 (9)는 모든 닫힌 경로에 대해 0이다.

이므로 즉 이기 때문이다. 이제 1/z 은 z = 0

에서 해석적이지 않다.

idtidtieez

dz itit

Cπ

ππ2

2

0

2

0=== ∫∫∫ −

01 zz = 0)()( 01 =− zFzF

24

그러나 단위원을 포함하는 모든 단순연결영역( simply connected

domain)은 z = 0을 포함해야 하고, 따라서 정리 1은 적용되지 않는

다.

환형(annulus)은 단순연결이 아니므로 환형, 예를 들면

내에서 1/z이 해석적이라는 것은 충분하지 않다

23

21 << z

25

예제6. 정수거듭제곱의 적분

)20( π≤≤ t

dteidzezz itimtmm ρρ ==− , )( 0

∫ ∫ ∫ ++==−C

tmimitimtmm dteidteiedzzzπ π

ρρρ2

0

2

0

)1(10 )(

m이 정수이고 z0가 상수일 때, f(z)=(z-z0)m이라고 하자. 반지름이

ρ이고 중심이 z0인 원 C를 따라 반시계방향으로 f(z)를 적분하라 (그림 339).

풀이)iteztitztz ρρ +=++= 00 )sin(cos)(

C를

와 같은 형태로 표시할 수 있다. 그러면

로 되고, 또한

를 얻는다.

26

와 같아진다.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++∫ ∫+ π π

ρ2

0

2

0

1 )1sin()1cos( tdtmitdtmi m

13.6절의 오일러 공식 (5)에 의해 우변은

일때 ρ m+1 = 1, cos0 = 1, sin0 = 0 이고, 따라서 윗식은 2πi가

된다. 정수 에 대하여, 두 적분은 각각 0이 된다.

1−=m

1−≠m

27

왜냐하면 사인과 코사인의 주기와 동일한 2π의 구간에서 적분

하기 때문이다.

따라서 결과는 다음과 같다.

y

x

z0

ρ

그림 339. 예제 6의 경로

28

경로 의존성.

어떤 함수 를 다른 경로를 따라 점 에서 까지 적분하면,

일반적으로 다른 적분 값을 얻는다.

다른 말로 해서 일반적으로 복소선적분은 경로의 양 끝점에 의존할

뿐 아니라, 경로 그 자체에도 의존한다.

다음 예를 살펴 보자.

( )f z 0z 1z

(12) ∫⎩⎨⎧

=−C

m idzzz

02

)( 0

π (m=-1)

(m≠-1과 정수)

29

<응용 예제> 복소함수 를 그림에 보인 적분경로를 따라 각각 선적분

하여라.

zzf =)(

먼저 경로 위의 점은1C

10 , )1( , )( ≤≤+=+= tdtidzitttz로 나타낼 수 있고, 이므로ittz −=

1 2

)1)(( 1

0

1

01

==

+−=

∫

∫∫dtt

dtiittdzzC

경로 에서는2C

10 , )21( , )( 2 ≤≤+=+= tdttidzitttz

x

y

iz +=11C

2C

22

1

:

:

xyC

xyC

=

=

그림2. 복소선적분의 경로의존성

30

∫ ++=1

0

23 ])2[( dtittt

10

342 ]31)

21

21[( titt ++=

∫ ∫∫ ++−=+−=1

0

1

0

3222

1)22()21)(( dtttiittdttiittdzz

c

i311+=

으로 되어 경로에 따라 복소 선적분의 값이

달라진다.

31

예제7. 비 해석함수의 적분, 경로 의존성

를 0에서 까지 (a) 그림 327에서의 를

따라, (b) 과 로 구성된 를 따라 적분하라.

풀이. (a) 는 로 표시될 수 있고,

따라서 이고, 위에서 이다.

계산하면

가 된다.

( ) Ref z z x= = 1 2 i+ *C

1C 2C C

*C ( ) 2 (0 1)z t t it t= + ≤ ≤

( ) 1 2z t i= +& *[ ( )] ( ) ( )f z t x t t C= =

*

1

0

1 1Re (1 2 ) (1 2 )2 2C

zdz t i dt i i= + = + = +∫ ∫

32

(b) 우선 다음과 같이 구할 수 있다.

식(6)을 사용하여 계산하면

를 얻는다. 이 결과가 (a)에서의

결과와 다르다는 점에 유의하라.

그림340. 예제 7의 경로

1

2

: ( ) , ( ) 1, ( ( )) ( ) (0 1): ( ) 1 , ( ) , ( ( )) ( ) 1 (0 2)

C z t t z t f z t x t t tC z t it z t i f z t x t t

= = = = ≤ ≤= + = = = ≤ ≤

&

&

1 2

1 2

0 0

1Re Re Re 1 22C C C

zdz zdz zdz tdt idt i= + = + ⋅ = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

1

*C

1C2C

1 2z i= +

x

y

33

적분의 절대값에 대한 한계

복소선적분의 절대값을 대락적으로 구할 필요가 자주 있게 된다.이에 대한 기본 식은

이다. 역서 는 의 길이이고, 은 위의 모든 곳에서

을 만족하는 상수이다.

증명. 식 (2)에 의해 주어지는 에 절대값을 씌우면, 13.2절의

일반화된 삼각형부등식(6)에 의해

( 1 3 ) ( )C

f z d z M L≤∫

L C M C( )f z M≤

nS

1 1 1( ) ( )

n n n

n m m m m mm m m

S f z f z M zζ ζ= = =

= ∆ ≤ ∆ ≤ ∆∑ ∑ ∑

34

을 얻는다. 여기서 는 끝점이 과 인 현의 길이이다..(그림 337참조)

그러므로 우변의 합은 끝점이 인 파선으로 된

현들의 전체 길이 을 나타낸다.

14.1절에서처럼 가장 큰 이 0에 접근하도록 을 무한히

크게 하면, 은 곡선 길이의 정의에 의해 속선 의 길이 에

접근한다.

이것으로 부터 부등식(13)이 증명된다.

식 (13)으로부터는 적분의 실제적인 절대값이 얼마나 한계값 에

mz∆

mz∆

*L

n*L C L

ML

)( , , , 10 Zzzz n =L

1−mz mz

35

근접해 있는지 알 수 없지만, 이러한 사실이 식(13)을 적용하는

데에 아무런 어려움을 주지 않는다.

여기서 간단한 예를 들어, 식(13)의 실제적인 용도를 설명해보자.

예제8. 적분의 추정

다음 적분의 절대값에 대한 상계(upper bound)를 하나 구하라.

( 는 0부터 까지의 선분)

풀이. 이고 위에서 이므로, 식(13)에 의해

2

Cz dz∫ C 1 i+

2L = C 2( ) 2f z z= ≤

2 2 2 2 .8 2 8 4C

z d z ≤ =∫

36

를 얻는다.

이 적분의 절대값은 이다.(예제1참조)

2 2 2 2 0 .9 4 2 83 3 3

i− + = =