1. Realne funkcije realne promjenljivepmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/PMF/MatematickaAnalizaI/Funkcije.pdf · trigonometrijske funkcije uzimaju iste vrijednosti za razne uglove i

1. Realne funkcije realne promjenljive

U Teoriji skupova funkcije smo uveli kao specijalnu vrstu relacija. Za zadate skupove A i B, podfunkcijom f podrazumijevamo pravilo ili zakon pridruzivanja koje svakom elementu skupa Apridruzuje tacno jedan element skupa B. Pri tome za skup A kazemo da je domen preslikavanja D f ,a za skup B kazemo da je kodomen preslikavanja. Cinjenicu da elementu x ∈ A pridruzimo elementy ∈ B oznacavat cemo sa y = f (x) i kazemo da je x original ili nezavisna varijabla, a za y kazemoda je slika ili zavisna varijabla.

U daljem sto slijedi podrazumijevat cemo da su domen i kodomen funkcije podskupovi od R iposmatrane funkcije nazivat cemo realna funkcija realne promjenljive. Ovo znaci da je zavisnavarijabla realan broj (”realna funkcija”) i da je nezavisna varijabla takode realan broj (”realnepromjenljive”).

Algebarske operacije nad funkcijama uvodimo na prirodan nacin: neka su f ,g : A → Bproizvoljne funkcije i a ∈ R. Za x ∈ A je,

(a f )(x)de f= a f (x) .

( f ±g)(x)de f= f (x)±g(x) .

( f ·g)(x) de f= f (x) ·g(x) .(

fg

)(x)

de f=

f (x)g(x)

.

1.1 Opste o funkcijamaFunkcija moze biti zadana na razne nacine: eksplicitno, implicitno, parametarski, tablicno, grafickiili cak opisana rijecima. Najcesci nacin zadavanja funkcije jeste u nekoj formi formule, tojest nekimanalitickim izrazom. Naprimjer, f : [0,+∞)→ R, gdje je

y = f (x) =log(2

√x)+3

x2 + x+1.

2 Poglavlje 1. Realne funkcije realne promjenljive

Pri tome funkcija je potpuno odredena ako znamo njen domen, kodomen i analiticki izraz (praviloili zakon) kojim je opisana.

� Primjer 1.1 Funkcije f , g i h definisane su na (−∞,+∞), zadate su sa

f (x) = x2 , g(x) = cosx , h(x) = ex ,

i imaju kodomene respektivno [0,+∞), [−1,1] i (0,+∞). �

Domen (oblast definisanosti, definiciono podrucje, definicioni skup, ulazni skup) funkcijef uobicajeno cemo oznacavati sa D f i u nasim razmatranjima on ce biti neki interval (otvoren,zatvoren, poluotvoren) ili unija istih. Pod domenom realne funkcije realne promjenljive uobicajenopodrazumijevamo najsiri (u smislu inkluzije) podskup skupa R koji analiticki izraz za funkcijudopusta, tojest

D f = {x ∈ R | f (x) ima smisla u R} .Ovakav skup onda nazivamo prirodni domen za funkciju f . Naravno, domen mozemo i ”vjestacki”diktirati. Tako funkcija f (x) = x2 ima prirodni domen (−∞,+∞) ali takode mozemo posmatrati ifunkciju g(x) = x2 definisanu na [−2,2] i pri tome ocigledno f 6= g.

� Primjer 1.2 Analitickim izrazom

( f (x))2 = x , (1.1)

nije definisana funkcija osim na jednoclanom skupu {0}. Zaista, ako je x < 0 ne postoji realan brojkoji zadovoljava jednacinu (1.1), a ako je x > 0 postoje tacno dva realna broja koja tu jednacinuzadovoljavaju. Medutim, uslovi

( f (x))2 = x i f (x)≥ 0 ,

definisu funkciju f na [0,+∞) sa vrijednostima f (x) =√

x. Slicno, uslovi

(g(x))2 = x i g(x)≤ 0 ,

definisu funkciju g na [0,+∞) sa vrijednostima g(x)=−√

x. Kodomeni ovih funkcija su respektivno[0,+∞) i (−∞,0]. �

Veoma je vazno razumjeti da definicija funkcije ukljucuje specifikacuju njenog domena i daprema tome postoji razlika izmedu f , imena funkcije, i f (x), vrijednosti funkcije f u tacki x.Striktna pravila definisanja funkcije nam nalazu ovu dosadnu preopsirnost, naprimjer ”funkcija fdefinisana na (−∞,+∞), zadata sa f (x) = x2”. Ovo cemo izbjegavati na dva nacina: (1) prihvatajucida ako je funkcija f uvedena bez eksplicitnog navodenja njenog domena D f , da se D f sastoji odsvih onih tacaka x za koje izraz f (x) ima smisla, i (2) podrazumijevajuci razliku izmedu f if (x), nenavodeci je da bi izbjegli nepotrebnu preopsirnost. Naprimjer, pisat cemo ”posmatrajmofunkciju f (x) =

√1− x2”, radije nego ”posmatrajmo funkciju f definisanu na [−1,1], zadatu sa

f (x) =√

1− x2”. Ili, ”zadata je funkcija g(x) = 1sinx ” radije nego ”zadata je funkcija g, definisana

za x 6= kπ (k ∈ Z) sa g(x) = 1sinx ”. Cesto cemo pisati i f = c (konstanta) za oznacavanje funkcije f

koja je data sa f (x) = c, za sve x ∈ R.

1.1.1 Parnost funkcijeZa skup A⊆ R kazemo da je simetrican ako ima osobinu da ako x ∈ A onda i −x ∈ A. Ociglednoje da se termin ”simetrican” odnosi na polozaj skupa na realnoj pravoj u odnosu na 0, tojest skupje simetrican ako je ”jednako” rasporeden sa lijeve i sa desne strane oko 0. Naprimjer, skupovi[−2,2], (−∞,−a)∪ (a,+∞), {−5,−3,−1,1,3,5} ili R su simetricni. Skupovi (0,1), (−1,1] iliR\{2} nisu simetricni.

Ponovimo i neke stvari oko simetrija u ravni. Za zadatu tacku (a,b) u ravni (koordinatnomsistemu):

1.1 Opste o funkcijama 3

• tacka (a,−b) je njoj simetricna tacka u odnosu na x-osu.• tacka (−a,b) je njoj simetricna tacka u odnosu na y-osu.• tacka (−a,−b) je njoj simetricna tacka u odnosu na koordinatni pocetak.

x

y

(a,b)

(a,−b)

(−a,b)

(−a,−b)

Definicija 1.1.1 Neka je f : D f → R. Za funkciju f kazemo da je parna ako i samo ako suzadovoljeni uslovi:

1. D f je simetrican skup.2. (∀x ∈ D f ) f (−x) = f (x).

� Primjer 1.3 Funkcija f (x) = x2 na prirodnom domenu (−∞,+∞) je parna funkcija.1. Njen domen (−∞,+∞) je simetrican skup.2. Za proizvoljno x ∈ (−∞,+∞) je f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x).

Funkcija g(x) = cosx je parna funkcija jer je definisana na citavom R (simetrican skup) i zbogosbine cos(−x) = cosx vrijedi g(−x) = g(x), za proizvoljno x ∈ R.

Primjetimo da funkcija h : [0,+∞)→ R, zadata sa h(x) = x2 nije parna jer joj domen nijesimetrican skup! �

Geometrijski gledano, predstavljajuci funkciju pomocu grafa, vidimo da parnost funkcije jeekvivalentna simetricnosti grafa funkcije u odnosu na y-osu. Ovo znaci da ako tacka (a,b) pripadagrafu funkcije, onda i tacka (−a,b) pripada grafu funkcije.

x

y

x−x

f (−x) f (x)x

y

x−x

f (−x) f (x)

Definicija 1.1.2 Neka je f : D f → R. Za funkciju f kazemo da je neparna ako i samo ako suzadovoljeni uslovi:

1. D f je simetrican skup.2. (∀x ∈ D f ) f (−x) =− f (x).

� Primjer 1.4 Funkcija f (x) = x3 na prirodnom domenu (−∞,+∞) je neparna funkcija.1. Njen domen (−∞,+∞) je simetrican skup.2. Za proizvoljno x ∈ (−∞,+∞) je f (−x) = (−x)3 =−x3 =− f (x).

Funkcija g(x) = sinx je neparna funkcija jer je definisana na citavom R (simetrican skup) izbog osbine sin(−x) =−sinx vrijedi g(−x) =−g(x), za proizvoljno x ∈ R.

Primjetimo da funkcija h : [0,+∞)→ R, zadata sa h(x) = x3 nije parna jer joj domen nijesimetrican skup! �

Geometrijski gledano, predstavljajuci funkciju pomocu grafa, vidimo da neparnost funkcije jeekvivalentna simetricnosti grafa funkcije u odnosu na koordinatni pocetak. Ovo znaci da ako tacka(a,b) pripada grafu funkcije, onda i tacka (−a,−b) pripada grafu funkcije.


x

y

x−x

f (x)

f (−x)

x

y

x−x

f (x)

f (−x)

Svaka konstantna funkcija f (x) = c je simetricna u odnosu na y-osu, dakle parna, a specijalnofunkcija f (x) = 0 je i parna i neparna i jedina je takva funkcija!

Dokazi narednih tvrdnji ostavljeni su citaocu za vjezbu!

Lema 1.1.1 1. Zbir i razlika dvije parne funkcije je parna funkcija.2. Zbir i razlika dvije neparne funkcije je neparna funkcija.

Lema 1.1.2 1. Proizvod i kolicnik dvije parne funkcije je parna funkcija.2. Proizvod i kolicnik dvije neparne funkcije je parna funkcija.3. Proizvod i kolicnik jedne parne i jedne neparne funkcije je neparna funkcija.

Lema 1.1.3 1. Kompozicija dvije parne funkcije je parna funkcija.2. Kompozicija dvije neparne funkcije je neparna funkcija.3. Kompozicija jedne parne i jedne neparne funkcije je parna funkcija.

1.1.2 Periodicnost funkcije

U fizici nailazimo na mnoge fenomene koji se ponavljaju nakon nekog intervala vremena, za kojekazemo da su periodicni. U matematici termin periodicnosti ima isto znacenje samo sa mnogoopstijim uslovima. Naime, funkcija moze imati periodicno ponavljanje u zavisnosti od svojenezavisne varijable koja u opstem slucaju funkcija ne mora biti vrijeme. Naprimjer, znamo datrigonometrijske funkcije uzimaju iste vrijednosti za razne uglove i pri tome ponavljanja tih istihvrijednosti dolaze u pravilnim intervalima za vrijednosti nezavisne varijable iz domena funkcije.Periodicnu prirodu funkcije mozemo vizualizovati njenim grafom, u kome primjecujemo da nekimdijelom grafa, ponavljajuci ga, mozemo predstaviti kompletan graf funkcije.

x

y

jedan dio funkcija iz vise dijelova

x

y

jedan dio funkcija iz vise dijelova

x

yjedan dio funkcija iz vise dijelova


Definicija 1.1.3 Za funkciju f : D f →R kazemo da je periodicna ako postoji realan broj T 6= 0takav da je zadovoljeno

1. Za svako x ∈ D f je x+T ∈ D f .2. Za svako x ∈ D f vrijedi f (x+T ) = f (x).

Za ovakav broj T tada kazemo da je period funkcije f .

Ako je funkcija periodicna, tojest postoji bar jedan T 6= 0 koji zadovoljava uslove Definicije1.1.3, tada postoji beskonacno mnogo perioda. Naime, vrijedi

Teorem 1.1.4 Neka je f : D f → R periodicna funkcija sa periodom T . Tada je za proizvoljnon ∈ Z, nT period funkcije f .

Dokaz : Za n = 1 prema pretpostavci je T period funkcije.Za n = 2 imamo da je za proizvoljno x ∈ D f je x+T ∈ D f , a time je i x+2T = (x+T )+T ∈ D f .Kako je f (x + T ) = f (x) za proizvoljno x ∈ D f , to je onda i f (x + 2T ) = f ((x + T ) + T ) =f (x+T ) = f (x). Dakle, 2T je period funkcije.Pretpostavimo da je nT period funkcije f za neko n ∈ N. Tada imamo za proizvoljno x ∈ D f daje x+ nT ∈ D f , a onda je i x+(n+ 1)T = (x+ nT )+T ∈ D f . Osim toga je f (x+T ) = f (x) if (x+nT ) = f (x), a time je f (x+(n+1)T ) = f ((x+nT )+T ) = f (x+nT ) = f (x), te je i (n+1)Tperiod funkcije. Na osnovu principa matematicke indukcije zakljucujemo da je za proizvoljnon ∈ N, nT period funkcije f .

Za n =−1 je f (x) = f ((x−T )+T ) = f (x−T ), te je i −T period funkcije. Na osnovu prvogdijela dokaza tada ce i −nT biti period, za proizvoljno n ∈ N. �

Teorem 1.1.5 Neka je f periodicna funkcija sa osnovnim periodom T i λ 6= 0. Tada je funkcija

g(x) = f (λx) takode periodicna, sa osnovnim periodomT|λ |

.

Dokaz : Neka je f : D f → R periodicna sa osnovnim periodom T . Posmatrajmo funkciju g : D f →R, zadatu sa g(x) = f (λx), gdje je λ 6= 0. Sada za proizvoljno x ∈ D f imamo

g(

x+T|λ |

)= f

(λx+T

λ

|λ |

)= f (λx+T sgn(λ )) = f (λx) = g(x) .

Dakle,T|λ |

je osnovni period funkcije g. �

Za funkcije za koje ne postoji T iz Definicije 1.1.3 kazemo da su neperiodicne, a specijalno akovrijedi f (x+T ) =− f (x) za sve x ∈ D f , za funkciju kazemo da je antiperiodicna.

Ako postoji najmanji pozitivni period funkcije, tada za njega kazemo da je osnovni periodfunkcije. U ispitivanju periodicnosti neke funkcije f krecemo od jednacine f (x+T ) = f (x). Akopostoji T 6= 0 nezavisan o x, koji zadovoljava datu jednacinu, onda je on period funkcije. Biranjemnajmanjeg takvog broja, ako postoji, dobijamo osnovni period funkcije.

� Primjer 1.5 Posmatrajmo funkciju f : R→ R zadatu sa f (x) = sinx. Postavljamo jednacinuf (x + T ) = f (x) tojest, sin(x + T ) = sinx ili ekvivalentno sin(x + T )− sinx = 0. Na osnovuadicione teoreme sinα− sinβ = 2sin α−β

2 cos α+β

2 imamo

2sinT2

cos(

x+T2

)= 0 , x ∈ R .

Gornje ce biti tacno za svako x ∈ R ako je sin T2 = 0, iz cega zakljucujemo da mora biti

T2= kπ , k ∈ Z ,


odnosno, T = 2kπ je period funkcije za proizvoljno k ∈ Z. Najmanji pozitivni period se dobije zak = 1, te je T = 2π osnovni period sinusne funkcije. �

� Primjer 1.6 Neka je f :R→R, f (x)= c, konstantna funkcije. Za proizvoljno T ∈R je f (x+T )=c = f (x), te je konstantna funkcija periodicna.Primjetimo da ne postoji najmanji pozitivan period jer je to ekvivalentno sa postojanjem najmanjegpozitivnog realnog broja, a to znaci da ovakva funkcija nema osnovni period. Ovime opravdavamouvodenje pojma osnovnog perioda kao najmanjeg pozitivnog perioda, ako takav postoji. �

1.1.3 Monotonost funkcijeDefinicija 1.1.4 Neka je f : D f → R i neka je A⊆ D f . Kazemo da je funkcija f neopadajucana skupu A ako za svaki par razlicitih tacaka x1,x2 iz domena funkcije vrijedi implikacija:x1 < x2 ⇒ f (x1)≤ f (x2). Ako vrijedi stroga nejednakost na desnoj strani implikacije, kazemoda je funkcija rastuca na skupu A.

Definicija 1.1.5 Neka je f : D f → R i neka je A ⊆ D f . Kazemo da je funkcija f nerastucana skupu A ako za svaki par razlicitih tacaka x1,x2 iz domena funkcije vrijedi implikacija:x1 < x2 ⇒ f (x1)≥ f (x2). Ako vrijedi stroga nejednakost na desnoj strani implikacije, kazemoda je funkcija opadajuca na skupu A.

Za funkciju koja zadovoljava bilo koji od cetiri termina uvedena sa gornje dvije definicijekazemo da je monotona funkcija na skupu A.

� Primjer 1.7 Posmatrajmo linearnu funkciju f (x) = kx+n definisanu na R. Razmatrajmo dvijesituacije:Neka je k > 0. Tada za x1,x2 ∈ R, ako je x1 < x2, onda je kx1 < kx2, a dodajuci lijevo i desno istuvelicinu imamo kx1 +n < kx2 +n, tojest f (x1)< f (x2). Dakle, f je rastuca funkcija na R.Neka je k < 0. Tada za x1,x2 ∈ R, ako je x1 < x2, onda je kx1 > kx2, a dodajuci lijevo i desno istuvelicinu imamo kx1 +n > kx2 +n, tojest f (x1)> f (x2). Dakle, f je opadajuca funkcija na R. �

� Primjer 1.8 Neka je f : R→ R, zadata sa f (x) = x2.Neka su x1,x2 ∈ [0,+∞), takvi da je x1 < x2. Tada je x2

1 < x22 tojest, f (x1) < f (x2) te je dakle

funkcija rastuca na [0,+∞).Neka su sada x1,x2 ∈ (−∞,0] i neka je x1 < x2. Zbog negativnosti je onda x2

1 > x22, odnosno

f (x1)> f (x2) te je funkcija opadajuca na (−∞,0]. �

Primjetimo da implikacijama x1 < x2 ⇒ f (x1)S f (x2) odgovaraju nejednakosti

(x1− x2)( f (x1)− f (x2))≥ 0 , odnosno (x1− x2)( f (x1)− f (x2))≤ 0 ,

sto nam moze posluziti kao tahnika za ispitivanje monotonosti funkcije.

� Primjer 1.9 Neka je f : (0,+∞)→R zadata sa f (x) = 1x . Za x1,x2 ∈ (0,+∞), takve da je x1 < x2

onda imamo

(x1− x2)

(1x1− 1

x2

)=−(x1− x2)

2

x1x2< 0 ,

te zakljucujemo da je funkcija opadajuca na (0,+∞). �

Dokaze narednih tvrdenja ostavljamo citaocu za vjezbu.

Teorem 1.1.6 Ako je funkcija f neopadajuca, rastuca, nerastuca ili opadajuca na skupu A⊆ D f ,tada je funkcija − f respektivno nerastuca, opadajuca, neopadajuca ili rastuca na A.


Teorem 1.1.7 Neka su funkcije f i g neopadajuce na skupu A⊆D f ∩Dg tada je i funkcija f +gneopadajuca na skupu A.

Teorem 1.1.8 Neka su funkcije f i g nenegativne neopadajuce na skupu A⊆ D f ∩Dg tada je ifunkcija f ·g neopadajuca na skupu A.

Teorem 1.1.9 Neka je funkcija f neopadajuca na skupu A⊆ D f i λ > 0 tada je i funkcija λ fneopadajuca na skupu A.

Teorem 1.1.10 Neka je funkcija f pozitivna i neopadajuca na skupu A⊆ D f tada je funkcija 1f

nerastuca na skupu A.

Kako su pomovi ””rastuci”-”opadajuci” i ”nerastuci”-”neopdajuci” medusobno dualni (nisulogicki suprotni), to bi gornje tvrdnje mogli iskazati i sa dualnim pojmovima, sto ovdje necemonavoditi.

1.1.4 Konveksnost funkcije

Kao prvo uvedimo pojam konveksnog skupa.

Definicija 1.1.6 Za skup D⊂R kazemo da je konveksan ako za proizvoljne x,y∈D i proizvoljnoλ ∈ [0,1] vrijedi z = λx+(1−λ )y ∈ D.Za tacku z = λx+(1−λ )y kazemo da je konveksna kombinacija tacaka x i y.

Za λ = 1 je z = x, a za λ = 0 je z = y. Pri tome je za 0 < λ < 1 tacka z je tacka duzi koja spajatacke x i y.

Definicija 1.1.7 Neka je f : D f → R i A ⊆ D f konveksan skup. Kazemo da je funkcija fkonveksna (ili konveksna na gore) na skupu A ako i samo ako vrijedi,

(∀x,y ∈ A)(∀λ ∈ [0,1]) f (λx+(1−λ )y)≤ λ f (x)+(1−λ ) f (y) .

Ukoliko vrijedi

(∀x,y ∈ A)(∀λ ∈ [0,1]) f (λx+(1−λ )y)≥ λ f (x)+(1−λ ) f (y) ,

kazemo da je funkcija konkavna (ili konveksna na dole) na skupu A.

x

yf (x)

x yz

f (x)

f (y)

λ f (x)+(1−λ ) f (y)f (λx+(1−λ )y)

Slika 1.1: Konveksna funkcija.

x

y

f (x)

x yz

f (x)

f (y)

λ f (x)+(1−λ ) f (y)f (λx+(1−λ )y)

Slika 1.2: Konkavna funkcija.Funkcija je konveksna ako je vrijednost funkcije u konveksnoj kombinaciji dvije tacke manja

ili jednaka od konveksne kombinacije vrijednosti funkcije u tim dvjema tackama. Geometrijskainterpretacija ovoga je da ako dvije tacke na grafu funkcije spojimo pravom linijom (tetiva),odgovarajuci dio grafa funkcije se nalazi ispod te spojnice. Analogno, funkcija je konkavna ako se


odgovarajuci dio grafa nalazi iznad odgovarajuce spojnice.

Teorem 1.1.11 Funkcija f je konveksna na konveksnom skupu A⊆ D f ako i samo ako za bilokoje tri tacke x1,x2,x3 ∈ A, takve da je x1 < x2 < x3, vrijedi

(x3− x2) f (x1)+(x1− x3) f (x2)+(x2− x1) f (x3)≥ 0 .

Dokaz : Neka je f konveksna na konveksnom skupu A⊆ D f , tojest neka vrijedi

f (λx+(1−λ )y)≤ λ f (x)+(1−λ ) f (y) , (1.2)

za bilo koji par x,y ∈ A i bilo koje λ ∈ [0,1]. Pretpostavimo bez umanjenja opstosti da je x < y.Stavimo da je x = x1 i y = x3 u (1.2),

f (λx1 +(1−λ )x3)≤ λ f (x1)+(1−λ ) f (x3) . (1.3)

Zbog gustosti skupa R i konveksnosti skupa A, postoji x2 ∈ A takav da je x1 < x2 < x3. Dakle,

postoji x2 tako da je 0 < x3− x2 < x3− x1 iz cega onda dobijamo da je 0 <x3− x2

x3− x1< 1. Sada

mozemo λ =x3− x2

x3− x1ubaciti u (1.3), cime dobijamo nejednakost

f (x2)≤x3− x2

x3− x1f (x1)+

x2− x1

x3− x1f (x3) .

Mnozenjem posljednje nejednakosti sa x3− x1 i prebacivanjem svega na desnu stranu, dobijamotrazenu nejednakost.

Neka je sada zadovoljen uslov

(x3− x2) f (x1)+(x1− x3) f (x2)+(x2− x1) f (x3)≥ 0 , (1.4)

za proizvoljne x1,x2,x3 ∈ A, takve da je x1 < x2 < x3. Stavljajuci da je x1 = x, x3 = y i x2 =λx+(1−λ )y, pri cemu je x < y i λ ∈ (0,1), dobijamo da vrijedi

x3− x2 = λ (y− x) , x1− x3 =−(y− x) , x2− x1 = (1−λ )(y− x) .

Stavljajuci sve uvedeno u (1.4) dobijamo

(1−λ ) f (y)− f (λx+(1−λ )y)+λ f (x)≥ 0 ,

sto je ekvivalentno konveksnosti funkcije na skupu A. �

1.1.5 Ogranicenost funkcijeDefinicija 1.1.8 Neka f : D f →R. Kazemo da je funkcija f ogranicena odozgo na A⊆D f akoi samo ako vrijedi

(∃M ∈ R)(∀x ∈ A) f (x)≤M .

� Primjer 1.10 Posmatrajmo funkciju f : R→ R, zadatu sa f (x) =1

1+ x2 . Za proizvoljno x ∈ R

je x2 ≥ 0, te je 1+ x2 ≥ 1. Tada je1

1+ x2 ≤ 1. Dakle, postoji M = 1 takav da je za sve x ∈ D f

zadovoljeno f (x)≤ 1, tojest funkcija f je ogranicena odozgo na citavom domenu. �


Definicija 1.1.9 Neka f : D f →R. Kazemo da je funkcija f ogranicena odozdo na A⊆D f akoi samo ako vrijedi

(∃m ∈ R)(∀x ∈ A) f (x)≥ m .

Za funkciju koja je ogranicena i odozgo i odozdo na skupu A kazemo da je ogranicena na tomskupu. Dakle, funkcija je ogranicena na skupu A ⊆ D f ako i samo ako postoji konstanta C ∈ R,takva da za sve x ∈ A vrijedi | f (x)| ≤C.

� Primjer 1.11 �


1.2 Granicna vrijednost funkcije

Neka je f realna funkcija realne promjenljive, definisana na skupu D⊆ R. U ovom dijelu zelimoispitivati ponasanje funkcije f (x) kada se x prolazeci kroz skup D, priblizava nekoj vrijednostia ∈ R, koja nije obavezno iz skupa D.

Za pocetak bi trebali ponoviti neke pojmove iz sekcije ”Topologija realne prave”. To prije svegapodrazumijeva pojam tacke nagomilavanja skupa (Definicija ??), a parafrazirano imamo da je atacka nagomilavanja skupa D ako za svako δ > 0 simetricna okolina (a−δ ,a+δ ) u presjeku saskupom D mora sadrzavati bar jednu tacku iz D, izuzimajuci tacku a,

(D∩ (a−δ ,a+δ ))\{a}= D∩{x ∈ R | 0 < |x−a|< δ} 6=∅ .

Skup (a−δ ,a+δ ) smo zvali simetricna okolina ili δ -okolina tacke a. U daljem cemo cesto zaskup (a−δ ,a+δ )\{a} koristiti oznaku Dδ , tojest

Dδ = {x ∈ R | 0 < |x−a|< δ} .

aa−δ a+δ

Slika 1.3: δ -okolina tacke a.

a−δ a+δa

Slika 1.4: Skup Dδ ili δ -okolina bez tacke a.Sada mozemo reci da je a tacka nagomilavanja skupa D ako i samo ako za proizvoljno δ > 0

skup Dδ sadrzi bar jednu tacku skupa D. Tacku nagomilavanja skupa mozemo okarakterisati i uterminologiji konvergentnih nizova.

Teorem 1.2.1 Tacka a ∈ R je tacka nagomilavanja skupa D ⊆ R ako i samo ako postoji niz(xn)n∈N ⊂ D\{a} takav da xn→ a kada n→ ∞.

Dokaz : Neka je a tacka nagomilavanja skupa D. Birajuci da je δ = 1n (n ∈ N), tada za svako n

postoji xn ∈ Dδ ∩D ili ekvivalentno xn ∈ (a− 1n ,a+

1n)\{a}. Ovo znaci da je 0 < |xn−a|< 1

n , stoznaci da ce za proizvoljan ε > 0, za dovoljno velike n biti zadovoljeno |xn−a|< ε tojest, ovakodobijen niz (xn) ce konvergirati ka tacki a.Suprotno, neka je (xn)⊂ D\{a}, takav da xn→ a (n→ ∞). Tada prema definiciji konvergencijenumerickog niza imamo da ce za proizvoljan δ > 0 postojati n0 ∈N, tako da je |xn−a|< δ , za sven≥ n0. Ovo opet znaci da za n≥ n0 ce biti xn ∈ (a−δ ,a+δ )∩ (D\{a}), za proizvoljno δ > 0, ato ne znaci nista drugo nego da je a tacka nagomilavanja skupa D. �

1.2.1 Granicna vrijednost funkcije je konacna kada x tezi ka aDefinicija 1.2.1 Neka je f realna funkcija definisana na skupu D ⊆ R i neka je a ∈ R tackanagomilavanja skupa D. Kazemo da je tacka b ∈R granicna vrijednost funkcije f (x) kada x tezika tacki a ako i samo ako

(∀ε > 0)(∃δ (ε)> 0)(∀x ∈ D)(0 < |x−a|< δ ⇒ | f (x)−b|< ε) ,

i ovo zapisujemo salimx→a

f (x) = b ,

ili saf (x)→ b kada x→ a .

Izraz limx→a

f (x) = b citamo ”Limes funkcije f od x jednak je b kada se x priblizava vrijednosti

a”. Pod ovim podrazumijevamo da se vrijednost funkcije f (x) priblizava i jednaka je vrijednosti bkada se x priblizava, ali nikad nije jednaka vrijednosti a.

1.2 Granicna vrijednost funkcije 11

Primjedba: limx→a

f (x) = b ako i samo ako za svaki otvoren interval Ib koji sadrzi tacku b, postojiotvoren interval Ia koji sadrzi tacku a, tako da

x ∈ Ia∩ (D\{a} ⇒ f (x) ∈ Ib .

x

y

f (x)

b

a−δ a+δ

b−ε

b+ε

a x

f (x)

Ib

Ia

Slika 1.5: Za proizvoljno ε > 0 postoji δ (ε)> 0.

x

y

f (x)

b

a x

f (x)Ib

Ia

Slika 1.6: Za proizvoljnu okolinu Ib postoji okolina Ia.U daljem sto slijedi, kad god kazemo granicna vrijednost funkcije kada x tezi ka a, podrazumije-

vamo da je funkcija definisana na skupu D⊆ R i da je a tacka nagomilavanja skupa D. isto tako,kad god pricamo o funkciji f (x) podrazumijevamo da je x iz domena funkcije. Naprimjer, kadakazemo ”funkcija f (x) ima osobinu P na nekom intervalu I” podrazumijevamo da funkcija ima tuosobinu za sve x ∈ D∩ I, gdje je D domen funkcije.

� Primjer 1.12 Posmatrajmo funkciju f : R→ R, zadatu sa f (x) = x.

Kako je za proizvoljno x ∈ R i proizvoljno a ∈ R

| f (x)−a|= |x−a| ,

to ce za bilo koje ε > 0 biti | f (x)−a|< ε , cim je |x−a|<δ = ε . Dakle, lim

x→af (x) = lim

x→ax = a, za proizvoljno a ∈ R.

x

y

f (x) = x

b

a−δ a+δ

b−ε

b+ε

a x

f (x)

Slika 1.7: Za proizvoljno ε > 0 postojeciδ (ε) = ε .

�

� Primjer 1.13 Neka je f : R→R, zadata sa f (x) = x2. Uzmimo neko fiksno a ∈R i neka je ε > 0proizvoljan. Tada je

| f (x)−a2|= |(x+a)(x−a)|= |x+a| |x−a| ≤ (|x|+ |a|)|x−a| .

Uz pretpostavku da je |x−a|< 1 imamo da vrijedi |x|= |x−a+a| ≤ |x−a|+ |a|< 1+ |a|. Tada zasvako x ∈D za koga je 0 < |x−a|< 1 vrijedi | f (x)−a2| ≤ (1+2|a|)|x−a|. Dakle, ako izaberemoδ = min{1, ε

1+2|a|}, tada ce za sve x ∈ D, cim je 0 < |x−a|< δ biti zadovoljeno | f (x)−a2|< ε , a

to je ekvivalentno sa limx→a

f (x) = limx→a

x2 = a2. �


Teorem 1.2.2 Ako postoji granicna vrijednost funkcije f (x) kada x tezi ka a, onda je onajedinstvena.

Dokaz : Neka f : D→ R i neka je a tacka nagomilavanja skupa D. Pretpostavimo

limx→a

f (x) = b1 i limx→a

f (x) = b1 ,

gdje su b1,b2 ∈ R. Za proizvoljno ε > 0, prema definiciji granicne vrijednosti, postojat ce δ1 > 0 iδ2 > 0 takvi da je za svako x ∈ D,

0 < |x−a|< δ1 ⇒ | f (x)−b1|<ε

2,

0 < |x−a|< δ2 ⇒ | f (x)−b2|<ε

2.

Oznacimo sa δ = min{δ1,δ2}. Za proizvoljno x ∈ D, za koga je 0 < |x−a|< δ (takav postoji jerje a tacka nagomilavanja skupa D) ce onda vrijediti

|b1−b2|= |b1− f (x)+ f (x)−b2| ≤ | f (x)−b1|+ | f (x)−b2|<ε

2+

ε

2= ε .

Kako gornje vrijedi za proizvoljno ε > 0, zakljucujemo da mora biti b1 = b2. �Prirodno se namece i pitanje, a kada nece postojati granicna vrijednost funkcije f (x) kada

x tezi ka a? Odgovor dobijamo logickom negacijom pojma granicne vrijednosti: Ako za bilokoje b ∈ R, postoji ε0 > 0, tako da za sve δ > 0, postoji bar jedan xδ ∈ (a−δ ,a+δ ) za koga je| f (xδ )−b| ≥ ε0.

(∀b ∈ R)(∃ε0 > 0)(∀δ > 0)(∃xδ ∈ D)(0 < |xδ −a|< δ ∧ | f (xδ −b)| ≥ ε) ⇐⇒ ¬∃ limx→a

f (x) .

Ilustrujmo ovu negaciju primjerom.

� Primjer 1.14 Neka je f : [−1,1]→ R definisana sa

f (x) ={

0 ; −1≤ x≤ 01 ; 0 < x≤ 1

Pokazimo da limx→0

f (x) ne postoji! Posmatrajmo slucajeve:

b = 1 Za 0 < ε < 1 interval (1− ε,1+ ε) ne sadrzi 0, a time za proizvoljno x ∈ [−1,0], f (x) /∈(1− ε,1+ ε) te b = 1 ne moze biti granicna vrijednost funkcije.

b = 0 Za 0 < ε < 1 interval (−ε,ε) ne sadrzi 1, a time za proizvoljno x ∈ (0,1], f (x) /∈ (−ε,ε) teb = 0 ne moze biti granicna vrijednost funkcije.

b 6= 0 i b 6= 1 U ovom slucaju neka je 0 < ε < min{|b|, |b−1|}. tada interval (b− ε,b+ ε) ne sadrzi niti0 niti 1, a time f (x) /∈ (b− ε,b+ ε) niti za jedno x 6= 0. Dakle, ni u ovom slucaju b nijegranicna vrijednost funkcije f (x) kada x tezi ka 0.

Pokazali smo da proizvoljan b ∈ R nije granicna vrijednost funkcije, pa zakljucujemo da limx→0

f (x)

ne postoji. �

Jednu vaznu cinjenicu vezanu za postojanje granicne vrijednosti funkcije dajemo u narednojtvrdnji.

Teorem 1.2.3 Neka postoji limx→a

f (x)= b. Tada postoji Dδ okolina tacke a takva da za proizvoljno

x ∈ D∩Dδ je | f (x)| ≤M, za neko M > 0.


Dokaz : Neka je limx→a

f (x) = b. Po definiciji granicne vrijednosti, za ε = 1, postoji δ > 0 tako da

cim je 0 < |x−a|< δ , onda je | f (x)−b|< 1. Neka je sada x ∈ Dδ ∩D.

| f (x)|= | f (x)−b+b| ≤ | f (x)−b|+ |b|< 1+ |b| .

Stavljajuci da je M = 1+ |b|, imamo

(∀x ∈ Dδ ∩D) | f (x)| ≤M .

�Gornja tvrdnja nam govori da postojanje granicne vrijednosti funkcije u tacki, garantuje da je ta

funkcija u nekoj okolini te tacke ogranicena.

1.2.2 Granicna vrijednost funkcije u terminu nizovaNeka je a tacka nagomilavanja skupa D⊆ R, f : D→ R i neka je lim

x→af (x) = b. Kako je a tacka

nagomilavanja skupa D, postoji niz (xn)n∈N ∈ D \ {a} koji konvergira ka tacki a. Prirodnim sepostavlja pitanje da li ce niz ( f (xn))n∈N konvergirati ka vrijednosti b? Odgovor je ”Da”, sta vise toce se dogoditi za bilo koji niz koji konvergira ka tacki a.

Teorem 1.2.4 Ako je limx→a

f (x) = b, tada ce za svaki niz (xn)n∈N ⊂ D za koga je limn→∞

xn = a,

vrijediti limn→∞

f (xn) = b.


f (x) = b. Za proizvoljno ε > 0 postoji δ > 0 tako da ce za proizvoljan x ∈ Dvrijediti

0 < |x−a|< δ ⇒ | f (x)−b|< ε . (1.5)

Neka je (xn)n∈N niz u D, takav da xn→ a kada n→ ∞. Po definiciji konvergencije niza ce zagore izabrani δ tada postojati n0 ∈N tako da je |xn−a|< δ , za svako n≥ n0. Ali tada ce za ovakven, prema (1.5), vrijediti | f (xn)−b|< ε .Dakle, za proizvoljno ε > 0, postoji n0 ∈ N, tako da za bilo koje n≥ n0 ce biti | f (xn)−b|< ε , aovo nije nista drugo do definicija za lim

n→∞f (xn) = b. �

Cak i suprotna implikacija, tojest obrat gornje tvrdnje je tacan.

Teorem 1.2.5 Ako za svaki niz (xn)n∈N u D, koji konvergira ka tacki a vrijedi limn→∞

f (xn) = b,

tada je limx→a

f (x) = b.

Dokaz : Neka za svaki niz (xn)n∈N koji konvergira ka tacki a, niz ( f (xn))n∈N konvergira ka tackib. Pretpostavimo da granicna vrijednost funkcije f (x) nije b, kada x tezi ka a. Prema negacijidefinicije granicne vrijednosti ovo znaci da postoji ε0 > 0 takav da za svako δ > 0 postoji xδ ∈ Dtakav da

0 < |xδ −a|< δ ∧ | f (xδ )−b| ≥ ε0 .

Ovo specijalno mozemo posmatrati na nacin da za svako n ∈ N, postoji xn ∈ D, takao da je

0 < |xn−a|< 1n∧ | f (xn)−b| ≥ ε .

Ovo znaci da xn→ a i da pri tome f (xn) 6→ b, sto je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom. �Definicija 1.2.1 cesto se naziva Cauchyjeva definicija granicne vrijednosti. Definicija granicne

vrijednosti se moze uvesti i na sljedeci nacin.


Definicija. Kazemo da je b granicna vrijednost funkcije f (x) kada x tezi ka a ako i samo ako zasvaki niz (xn)n∈N u D, koji konvergira ka tacki a vrijedi lim

n→∞f (xn) = b.

Ovu ”drugu” definiciju nazivamo Heineova definicija ili nizovna definicija granicne vrijednostifunkcije. Kako ne mogu postojati dvije definicije istog pojma, mi cemo se drzati prvouvedenedefinicije, a primjetimo da smo sa Teoremom 1.2.4 i Teoremom 1.2.5 pokazali da su ove dvijedefinicije ekvivalentne.

Kontrapozicijom Teorema 1.2.4, kao korisne cinjenice imamo nekoliko situacija. Neka je (xn)niz u D koji konvergira ka tacki a.

(a) Ako niz ( f (xn))n∈N nije konvergentan, onda limx→a

f (x) ne postoji.

(b) Ako niz ( f (xn))n∈N nije konvergentan ka datom b, tada ili limx→a

f (x) ne postoji ili limx→a

f (x) =

c 6= b.(c) Neka je (yn) jos jedan niz u D koji konvergira ka tacki a, tako da nizovi ( f (xn)) i ( f (yn))

konvergiraju ka razlicitim vrijednostima, tada limx→a

f (x) ne postoji.

� Primjer 1.15 Posmatrajmo granicni proces limx→0

f (x), gdje je f : (0,+∞)→ R, f (x) = 1x .

Uzmemo li niz sa opstim clanom xn =1n (n ∈ N), jasno je (xn)n∈N ⊂ (0,+∞) i lim

n→∞

1n= 0. Ali,

limn→∞

f (xn) = limn→∞

11n

= limn→∞

n ,

pa ovaj limes ne postoji. Prema (a) zakljucujemo da ne postoji ni limx→0

1x

. �

� Primjer 1.16 Posmatrajmo funkciju iz Primjera 1.14. Posmatrajmo nizove sa opstim clanovimaxn =

1n i yn =−1

n . Jasno je (xn),(yn)⊂ [−1,1] i limn→∞

xn = limn→∞

yn = 0. Ali tada imamo,

limn→∞

f (xn) = limn→∞

1 = 1 i limn→∞

f (yn) = limn→∞

0 = 0 .

Posljednja dva limesa postoje i razliciti su, a prema (c) to onda znaci da limx→0

f (x) ne postoji. �

� Primjer 1.17 Neka je f : R \ {0} → R, zadata sa f (x) = xsin1x

. Tada je limx→0

f (x) = 0 mada

funkcija nije definisana u tacki 0. Zaista, za proizvoljno ε > 0 izaberimo δ = ε . Tada za proizvoljno0 < |x|< δ ce vrijediti

| f (x)−0|=∣∣∣∣xsin

1x

∣∣∣∣≤ |x|< ε .

Medutim, ako posmatramo funkciju g : R\{0}→ R, zadatu sa g(x) = sin1x

, granicna vrijednost utacki x0 = 0 nece postojati. Da to pokazemo, uzmimo nizove sa opstim clanovima

x′n =1

nπi x′′n =

1π

2 +2nπ.

Tada imamo

limn→∞

f (x′n) = limn→∞

sinnπ = 0 , limn→∞

f (x′′n) = limn→∞

sin(

π

2+2nπ

)= 1 ,

a kako je pri tome limn→∞

x′n = limn→∞

x′′n = 0, jasno granicna vrijednost limx→0

g(x) nece postojati. Grafici

ovih dviju funkcija prikazani su na narednoj slici na kojoj mozemo vidjeti zasto imamo ovakvadogadanja za ove funkcije. �


x

y

x

y

Slika 1.8: Funkcija f (x) = xsin 1x (lijevo) i funkcija g(x) = sin 1

x (desno).

1.2.3 Neke osobine granicne vrijednosti funkcije

Teorem 1.2.6 Neka f ,g : D→ R i neka je a tacka nagomilavanja skupa D. Vrijedi,1. Pravilo sume: Ako je lim

x→af (x) = b i lim

x→ag(x) = c, onda je

limx→a

( f (x)±g(x)) = b± c .

2. Pravilo proizvoda: Ako je limx→a

f (x) = b i limx→a

g(x) = c, onda je

limx→a

f (x)g(x) = bc .

3. Ako je limx→a

f (x) = b i b 6= 0, onda je f (x) 6= 0 u nekoj okolini Dδ tacke a i vrijedi

limx→a

1f (x)

=1b.

Dokaz : 1. Neka je limx→a


g(x) = c. Izaberimo proizvoljan ε > 0. Prema definicijama

limesa, postoje δ1 > 0 i δ2 > 0, takvi da vrijedi

ako x ∈ D i 0 < |x−a|< δ1 ⇒ | f (x)−b|< ε

2,

ako x ∈ D i 0 < |x−a|< δ2 ⇒ |g(x)− c|< ε

2.

Stavimo da je δ = min{δ1,δ2}. Sada za x ∈ D, za koga je 0 < |x−a|< δ vrijedi

| f (x)+g(x)− (b+ c)| ≤ | f (x)−b|+ |g(x)− c|< ε

2+

ε

2= ε ,

cime smo dokazali da je limx→a

( f (x)+g(x)) = limx→a

f (x)+ limx→a

g(x) = b+ c.

Na potpuno analogan nacin se dokazuje limx→a

( f (x)−g(x)) = limx→a

f (x)− limx→a

g(x) = b− c..2. U dokazu pravila proizvoda posluzit cemo se Teoremom 1.2.3, tojest cinjenicom da postojanje

granicne vrijednosti funkcije u tacki povlaci njenu ogranicenost u okolini te tacke. Dakle, postojanjelimx→a

g(x) = c nam obezbjeduje postojanje δ0 > 0 i M > 0 takvih da je |g(x)| ≤M, za sve x ∈ D za

koje je 0 < |x−a|< δ0. Izaberimo sada ε > 0 proizvoljan i neka su δ1 > 0 i δ2 > 0 takvi da vrijedi

ako x ∈ D i 0 < |x−a|< δ1 ⇒ | f (x)−b|< ε

2M,

ako x ∈ D i 0 < |x−a|< δ2 ⇒ |g(x)− c|< ε

2|b|+1.


Neka je sada δ = min{δ0,δ1,δ2}. Za x ∈ D, za koga je 0 < |x−a|< δ onda imamo

| f (x)g(x)−bc|= |( f (x)−b)g(x)+b(g(x)− c)| ≤ | f (x)−b||g(x)|+ |b||g(x)− c|

<ε

2M·M+ |b| · ε

2|b|+1< ε .

3. Neka je limx→a

f (x) = b 6= 0. Bez umanjenja opstosti pretpostavimo da je b > 0. Tada postoji

ε0 > 0 takav da je 0 < b− ε0. Za takav ε0 ce onda postojati δ0 > 0, takav da za svako x ∈ Dza koga je 0 < |x− a| < δ0, ce vrijediti | f (x)− b| < ε0. Ovo znaci da ce za x ∈ Dδ0 vrijeditif (x)> b−ε0 > 0. Stavimo da je m = b−ε0. Iz definicije limesa funkcije imamo da za proizvoljanε > 0 ce postojati δ1 > 0 tako da

ako x ∈ D i 0 < |x−a|< δ1 ⇒ | f (x)−b|< ε ·m|b| .

Neka je sada δ = min{δ0,δ1} i neka je 0 < |x−a|< δ . Tada imamo∣∣∣∣ 1f (x)− 1

b

∣∣∣∣= | f (x)−b|| f (x)||b|

≤ | f (x)−b|m|b|

<ε ·m|b|

m|b|= ε ,

cime je tvrdnja dokazana. �Kao direktnu posljedicu tvrdnje 2. imamo naredne dvije tvrdnje.

Posljedica 1.1. Pravilo mnozenja brojem: Ako je limx→a

f (x) = b i α ∈ R, onda je

limx→a

α f (x) = αb .

Posljedica 1.2. Pravilo stepena: Ako je limx→a

f (x) = b i k ∈ N, onda je

limx→a

( f (x))k = bk .

Kao direktna posljedica tvrdnje 3. imamo narednu tvrdnju.

Posljedica 1.3. Pravilo kolicnika: Ako je limx→a


g(x) = c i c 6= 0, tada je g(x) 6= 0 unekoj Dδ okolini tacke a i vrijedi

limx→a

f (x)g(x)

=bc.

� Primjer 1.18 Izracunati limx→a

(x2 +3x−4).Kako je lim

x→ax = a i lim

x→aC =C, koristeci se gornjim pravilima imamo,

limx→a

(x2 +3x−4) = limx→a

x2 + limx→a

3x− limx→a

4

=(

limx→a

x)2

+4 limx→a

x− limx→a

4

= a2 +3a−4 .

�


� Primjer 1.19 Gornji primjer mozemo i uopstiti. Naime, neka je f proizvoljna polinomijalnafunkcija, f (x) = a0 +a1x+a2x2 + · · ·+anxn. Tada je za proizvoljno a ∈ R zadovoljeno

limx→a

f (x) = f (a) .

Da je to zaista tako, neka je ε > 0 proizvoljan. Za proizvoljan x je

f (x)− f (a) = a1(x−a)+a2(x2−a2)+ · · ·+an(xn−an) . (1.6)

Trebat ce nam i poznata jednakost

xn− yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y+ · · ·+ xyn−2 + yn−1) . (1.7)

Pretpostavimo da je |x−a|< 1, tada je |x|< 1+ |a|, a onda imamo procjenu

|xk− ja j−1|< (1+ |a|)k−1 ,

Raspisana procjena:

|xk− ja j−1|= |xk− j||a j−1| ≤ (1+ |a|)k− j|a| j−1

≤ (1+ |a|)k− j(1+ |a|) j−1 = (1+ |a|)k−1

za proizvoljno k ∈ N, sto nam u (1.7) daje procjenu za k ∈ {1,2, ...,n−1}

|xk−ak|< |x−a|k(1+ |a|)k−1 .

Dakle, pretpostavka |x−a|< 1 nam iz (1.6) daje

| f (x)− f (a)| ≤ |x−a|(|a1|+ |a2|2(1+ |a|)+ · · ·+ |an|n(1+ |a|)n−1) .

Oznacimo sa α = |a1|+ |a2|2(1+ |a|)+ · · ·+ |an|n(1+ |a|)n−1 i izaberimo da je δ = min{1, ε

α}.

Tada ce za svako x ∈ R biti,

|x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|< ε ,

cime je pokazana polazna tvrdnja. �

� Primjer 1.20 Izracunati limx→a

x4 +3x2 +2x3−3x2 +2

.

Slicno malopredasnjem, koristeci pravila kolicnika, sume i proizvoda imamo,

limx→a

x4 +3x2 +2x3−3x2 +2

=limx→a(x4 +3x2 +2)limx→a(x3−3x2 +2)

=limx→a x4 + limx→a 3x2 + limx→a 2limx→a x3− limx→a 3x2 + limx→a 2

=(limx→a x)4 +3(limx→a x)2 + limx→a 2(limx→a)3−3(limx→a x)2 + limx→a 2

=a4 +3a2 +2a3−3a2 +2

.

�

Teorem 1.2.7 Pravilo kompozicije: Neka je limx→a

f (x) = b i limy→b

g(y) = c. Ako su D′ i D′′ redom

domeni funkcija f i g i ako za svako x ∈ D′ \{a} je f (x) ∈ D′′ \{b}, tada vrijedi

limx→a

g( f (x)) = c .


Dokaz : Za dokaz ove tvrdnje koristit cemo se Heineovom definicijom granicne vrijednosti funkcije.U tom cilju, neka je (xn)n∈N proizvoljan niz u D′ \ {a}, takav da xn→ a. Kako je lim

x→af (x) = b,

prema Teoremi 1.2.4 je onda limn→∞

f (xn) = b. Oznacimo sa yn = f (xn) (n ∈N). Po pretpostavci onda

yn ∈ D′′ \{b} za svako n ∈ N. Kako je limy→b

g(y) = c i yn→ b, opet prema Teoremi 1.2.4 imamo da

je limn→∞

g(yn) = c. Dakle, limn→∞

g( f (xn)) = c, a zbog proizvoljnosti niza i na osnovu Teoreme 1.2.5

zakljucujemo da vrijedi limx→a

g( f (x)) = c. �

Dokaz : Alternativni dokaz ε−δ tehnikom.Neka je ε > 0 proizvoljan. Iz pretpostavke lim

y→bg(y) = c i definicije granicne vrijednosti, postoji

δ1 > 0 tako da za sve y ∈ D′′

0 < |y−b|< δ1 ⇒ |g(y)− c|< ε .

Za ovako dobijen δ1, iz pretpostavke limx→a

f (x) = b i definicije granicne vrijednosti, postoji δ2 > 0

tako da za sve x ∈ D′

0 < |x−a|< δ2 ⇒ | f (x)−b|< δ1 .

Iz pretpostavke da za sve x ∈ D′ \{a} je f (x) ∈ D′′ \{b} onda imamo da za proizvoljan x ∈ D′

0 < |x−a|< δ2 ⇒ | f (x)−b|< δ1 ⇒ |g( f (x))− c|< ε ,

cime je dokaz kompletiran. �Iako narednu tvrdnju mozemo posmatrati kao posljedicu gornje tvrdnje, zbog vaznosti iskazujemo

je kao teorem.

Teorem 1.2.8 Ako je limx→a

f (x) = b, onda je limx→a| f (x)|= |b|.

Dokaz : Uputstvo: Koristiti se cinjenicom ||x|− |y|| ≤ |x− y|. �

Teorem 1.2.9 Neka su f ,g : D→R i neka je a tacka nagomilavanja skupa D. Ako je limx→a

f (x) =

b i limx→a

g(x) = c i f (x)≤ g(x) na skupu D, onda je b≤ c.



g(x) = c i neka je za svako x ∈ D, f (x)≤ g(x). Pretpostavimoda je b > c.

Izaberimo ε =12(b− c)> 0. Iz definicije limesa imamo da postoje δ1 > 0 i δ2 > 0 takvi da vrijedi

ako x ∈ D i 0 < |x−a|< δ1 ⇒ | f (x)−b|< ε ,

ako x ∈ D i 0 < |x−a|< δ2 ⇒ |g(x)− c|< ε .

Stavimo sada δ = min{δ1,δ2}. Kako je a tacka nagomilavanja skupa D, postoji bar jedno x ∈ D,takav da je 0 < |x−a|< δ . Za takav x onda vrijedi

f (x)−g(x) = ( f (x)−b)+b− c− (g(x)− c)> b− c−2ε > 0 ,

a ovo je kontradiktorno pretpostavci da je f (x)≤ g(x). �

Teorem 1.2.10 — Teorem o lopovu i dva policiajca. Neka je limx→a


g(x) = b i

neka je h funkcija za koju je f (x)≤ h(x)≤ g(x) u nekoj Dδ okolini tacke a, tada je limx→a

h(x) = b.


Dokaz : Dokaz ostavljen za vjezbu! �Rezultat gornje teoreme cesto koristimo u formi: Ako je

0≤ f (x)≤ g(x) ili | f (x)| ≤ g(x) ,

i ako g(x)→ 0 kada x→ a, tada i f (x)→ 0 kada x→ a.

� Primjer 1.21 Izracunati limx→0

sinx!

Kako za −π

2 < x < 0 vrijedi −sinx < −x, a za 0 < x <π

2 je sinx < x, tada za proizvoljno x ∈(−π

2 ,0)∪(0, π

2

)vrijedi 0 < |sinx|< |x|. Kako je lim

x→00 = 0 i lim

x→0|x|= 0, na

osnovu teorema o lopovu i dva policajca zakljucujemo daje lim

x→0|sinx|= 0. Jasno, tada mora vrijediti i lim

x→0sinx = 0.

x

y

π

2

π

2

y = x

f (x) = sinx

Prema pravilu kompozicije ce vrijediti

limx→0

sinαx = 0 ,

za proizvoljno α ∈ R.Zaista, funkciju sinαx mozemo shvatiti kao kompoziciju funkcije g(x) = sinx i funkcije f (x) = αxjer je g( f (x)) = sin f (x) = sinαx. Sada imamo da je lim

x→0f (x) = 0 i lim

y→0g(y) = 0, te je lim

x→0g( f (x)) =

limx→0

sinαx = 0.

Specijalno, na osonovu gornjega mozemo izracunati i limx→0

cosx jer je cosx = 1−2sin2 x2 . Tada

je

limx→0

cosx = limx→0

(1−2sin2 x

2

)= lim

x→01−2 lim

x→0sin2 x

2

= limx→0

1−2(

limx→0

sinx2

)2

= 1−0 = 1 .

�

� Primjer 1.22 Izracunati limx→0

sinxx

!

Koristeci poznate trigonometrijske nejednakosti vrijedi,

0 < x <π

2⇒ sinx < x < tanx ,

iz cega je onda

0 < x <π

2⇒ cosx <

sinxx

< 1 .

Kako je sin(−x)−x = sinx

x , zakljucujemo

0 < |x|< π

2⇒ cosx <

sinxx

< 1 .

Koristeci sada teorem o lopovu i dva policiajca imamovazan limes,

limx→0

sinxx

= 1 .

x

y

x

x tanx

sin

x

�


1.2.4 Lijeva i desna granicna vrijednost funkcijeDefinicija 1.2.2 Neka je f realna funkcija definisana na skupu D ⊆ R i neka je a tackanagomilavanja skupa D.

(a) Kazemo da f (x) ima lijevi limes b ∈ R kada x tezi ka a ako i samo ako

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D)(a−δ < x < a ⇒ | f (x)−b|< ε) .

Ovo zapisujemo sa limx→a−

f (x) = b ili sa f (x)→ b kada x→ a−.

(b) Kazemo da f (x) ima desni limes b ∈ R kada x tezi ka a ako i samo ako

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D)(a < x < a+δ ⇒ | f (x)−b|< ε) .

Ovo zapisujemo sa limx→a+

f (x) = b ili sa f (x)→ b kada x→ a+.

x

y f (x)

x→ a− a+← x

f (x)↓

f (x)↑b

a

Slika 1.9: Lijevi i desni limes funkcije postoje i jednaki su.

Teorem 1.2.11 Neka je f realna funkcija definisana na skupu D⊆R i neka je a tacka nagomilava-nja skupa D. Granicni proces lim

x→af (x) postoji ako i samo ako postoje lim

x→a−f (x) i lim

x→a+f (x) koji

su jednaki i pri tome vrijedi

limx→a

f (x) = limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) .

Iz gornje tvrdnje vidimo da granicna vrijednost limx→a

f (x) nece postojati u sljedecim situacijama:

• Ako limx→a−

f (x) ne postoji ili limx→a+

f (x) ne postoji. (Slika 1.10 i Slika 1.11)

• Ako limx→a−

f (x) i limx→a+

f (x) postoje i limx→a−

f (x) 6= limx→a+

f (x). (Slika 1.12)

x

y

f (x)

a

b

x→ a− a+← x

f (x)↑

f (x)↑

Slika 1.10: Lijevi limes postoji,desni ne postoji

x

y

f (x)

a

b

x→ a− a+← x

f (x)↑

f (x)↑

Slika 1.11: Desni limes postoji,lijevi ne postoji

x

y f (x)

a

b

c

x→ a− a+← x

f (x)↓

f (x)↑

Slika 1.12: Oba limesa postojei razliciti su


� Primjer 1.23 U ovom primjeru ilustrijemo postojanje i nepostojanje granicne vrijednosti funkcije.

Zadata je funkcija

f (x) =

−x+1 ; 0≤ x < 1

1 ; 1≤ x < 22 ; x = 2

x−1 ; 2 < x≤ 3x+5 ; 3 < x≤ 4 x

y

0 1 2 3 4

1

2

3

4

Za gornju funkciju vrijede sljedeca zapazanja:• U tacki a = 0 je lim

x→0+f (x) = 1.

• U tacki a = 1 je limx→1+

f (x) = 1 i limx→1−

f (x) = 0 cak iako je f (1) = 1. Dakle, limx→1

f (x) ne

postoji.• U tacki a = 2 je lim

x→2−f (x) = 1, lim

x→2+f (x) = 1, pa zakljucujemo da postoji lim

x→2f (x) = 1 iako

je f (2) = 2.• U tacki a = 3 je lim

x→3−f (x) = lim

x→3+f (x) = 2 = f (3) = lim

x→3f (x).

• U tacki a = 4 je limx→4−

f (x) = 1.�

� Primjer 1.24 U narednim primjerima ilustrujemo posljedice gornje tvrdnje.1. Neka je f : R→ R zadata sa

f (x) ={ 1

x ; x > 01 ; x≤ 0

Tada je limx→0−

f (x) = 1 i limx→0+

f (x) ne postoji. Dakle, limx→0

f (x) ne postoji.

2. Neka je f : R→ R zadata sa

f (x) ={ 1

x ; x < 01 ; x≥ 0

Tada je limx→0−

f (x) ne postoji i limx→0+

f (x) = 1. Dakle, limx→0

f (x) ne postoji.

3. Neka je f : R→ R zadata sa

f (x) ={ 1

x ; x 6= 01 ; x = 0

Tada limx→0−

f (x) ne postoji i limx→0+

f (x) ne postoji. Dakle, limx→0

f (x) ne postoji.

4. Neka je f : [−1,1]→ R zadata sa

f (x) ={

0 ; −1≤ x≤ 01 ; 0 < x≤ 1

Tada je limx→0−

f (x) = 0 i limx→0+

f (x) = 1. Lijevi i desni limesi postoje i nisu jednaki dakle,

limx→0

f (x) ne postoji.�

Klasa monotonih funkcija je veoma vazna klasa pa u naredna dva tvrdenja isticemo vezumonotonosti funkcije i granicne vrijednosti funkcije.

Teorem 1.2.12 Neka je f : D f → R monotona funkcija na [a,b]⊆ D f . Tada postoje limx→a+

f (x) i

limx→b−

f (x) i za svako c ∈ (a,b) postoje limx→c−

f (x) i limx→c+

f (x).


Dokaz : Neka je f neopadajuca funkcija na [a,b] (rezonovanje sto slijedi bi bilo slicno za bilo kojudrugu vrstu monotonosti). To znaci da je f (x)≤ f (c), za svako x ∈ [a,c) gdje je c < b. Na osnovudedfinicije supremuma skupa tada imamo

f (x)≤ supa≤x<c

f (x) = M ≤ f (c) , c < b . (1.8)

Sada za proizvoljno ε > 0 postoji xε ∈ [a,c), takav da je

M− ε < f (xε) . (1.9)

Kako je xε < c, stavimo δ = c− xε > 0. Tada ce za svako x ∈ (xε ,c) tojest, x ∈ (c− δ ,c), zbogmonotonosti funkcije vrijediti

f (xε)≤ f (x) . (1.10)

Sada zbog (1.8), (1.9) i (1.10) imamo da za svako x ∈ (c−δ ,c) vrijedi

M− ε < f (xε)≤ f (x)≤M ,

iz cega zakljucujemo da ce postojati liva granicna vrijednost funkcije f u tacki c. Stas vise, vidimoda vrijedi

limx→c−

f (x) = M ≤ supa≤x<c

f (x) .

Na potpuno analogan nacin se pokazuje da ce funkcija imati i desnu granicnu vrijednost u tacki c ida ce pri tome vrijediti

limx→c+

f (x) = m≤ infc<x≤b

f (x) .

Specijalno, stavljajuci da je c = a i c = b u posljednje dvije relacije, dobijamo egzistenciju granicnihvrijednosti lim

x→a+f (x) i lim

x→b−f (x). �

Naredna tvrdnja je direktna posljedica gornje tvrdnje.

Posljedica 1.4. Neka je f monotona funkcija na [a,b]⊆ D f . Ako je funkcija neopadajuca, tada zasvako c ∈ (a,b) vrijedi

limx→c−

f (x)≤ f (c)≤ limx→c+

f (x) ,

odnosno, ako je funkcija nerastuca vrijedi

limx→c−

f (x)≥ f (c)≥ limx→c+

f (x) .

1.2.5 Granicne vrijednosti u +∞ i u −∞

Definicija 1.2.3 Neka je realna funkcija f definisana na skupu oblika (a,+∞) za neko a ∈ R∗.Kazemo da funkcija f (x) ima granicnu vrijednost b ∈ R kada x tezi ka +∞ ako i samo ako zasvako ε > 0, postoji M > a takav da za svako x > M vrijedi | f (x)−b|< ε . Ovo zapisujemo sa

limx→+∞

f (x) = b .

Definicija 1.2.4 Neka je realna funkcija f definisana na skupu oblika (−∞,a) za neko a ∈ R∗.Kazemo da funkcija f (x) ima granicnu vrijednost b ∈ R kada x tezi ka −∞ ako i samo ako zasvako ε > 0, postoji M < a takav da za svako x < M vrijedi | f (x)−b|< ε . Ovo zapisujemo sa

limx→−∞

f (x) = b .


� Primjer 1.25 Pokazati da je limx→+∞

1x= 0!

U posmatranom primjeru je f (x) = 1x za x 6= 0 i b = 0. Neka je ε > 0 proizvoljan. Kako vrijedi

| f (x)−b|=∣∣∣∣1x −0

∣∣∣∣= 1|x|

< ε ⇐⇒ |x|> 1ε,

tada birajuci da je M = 1ε

imamo da za proizvoljno x > M vrijedi | f (x)−b|< ε . Po Definiciji 1.2.3znaci da je

limx→+∞

1x= 0 .

�

x

y

f (x) = 1x

x→+∞0

f (x)↓−∞← x

f (x)↑

� Primjer 1.26 Pokazati da je limx→−∞

1x= 0!

U posmatranom primjeru je f (x) = 1x za x 6= 0 i b = 0. Neka je ε > 0 proizvoljan. Kako vrijedi

| f (x)−b|=∣∣∣∣1x −0

∣∣∣∣= 1|x|

< ε ⇐⇒ |x|> 1ε,

tada birajuci da je M =− 1ε

imamo da za proizvoljno x < M vrijedi | f (x)−b|< ε . Po Definiciji1.2.3 znaci da je

limx→−∞

1x= 0 .

�

Za ove granicne vrijednosti vrijede iste osobine kao kod granicnih vrijednosti iz prethodnesekcije, a to su pravila sume, proizvoda, kolicnika, stepena i mnozenja brojem.

� Primjer 1.27 Pokazati da je limx→+∞

1+ x1+ x2 = 0!

Posmatrana funkcija je f (x) = 1+x1+x2 koja je

definisana za sve x ∈ R. Primjenjujuci pravilai rezultat iz primjera 1.25 imamo,

limx→+∞

1+ x1+ x2 = lim

x→+∞

1x2 +

1x

1x2 +1

=01= 0 . x

y f (x) = 1+x1+x2

x→+∞0

f (x)↓

�


� Primjer 1.28 Izracunati limx→+∞

1+ x1− x

!

Posmatrana funkcija je f (x) = 1+x1−x koja je

definisana za sve x ∈ R \ {1}. Primjenjujucipravila i rezultat iz primjera 1.25 imamo,

limx→+∞

1+ x1− x

= limx→+∞

1x +11x −1

=1−1

=−1 .

x

y

f (x) = 1+x1−x

x→+∞-1

f (x)↑

�

Teorem 1.2.13 Vrijedi:

1. limx→+∞

(1+

1x

)x

= limx→−∞

(1+

1x

)x

= e.

2. limx→0

(1+ x)1x = e.

Dokaz : Za numericki niz sa opstim clanom xn =(1+ 1

n

)n znamo od ranije da je konvergentan kabroju e. Time ce i za svaki podniz (nk)k∈N niza (n)n∈N vrijediti

limnk→∞

(1+

1nk

)nk

= limk→∞

(1+

1nk

)nk

= e .

Neka je sada (xk)k∈N ⊂ R proizvoljan niz pozitivnih brojeva, takav da limk→∞

xk =+∞. Stavimo da je

bxkc= nk. Tada vrijedi nk ≤ xk < nk +1, za svako k ∈ N. Odavde onda imamo

1+1

nk +1< 1+

1xk≤ 1+

1nk

,

a time i (1+

1nk +1

)nk

<

(1+

1xk

)xk

≤(

1+1nk

)nk+1

.

Kako je

limk→∞

(1+

1nk +1

)nk

=limk→∞

(1+ 1

nk+1

)nk+1

limk→∞

(1+ 1

nk+1

) =e1= e ,

i

limk→∞

(1+

1nk

)nk+1

= limk→∞

(1+

1nk

)nk

· limk→∞

(1+

1nk

)= e ·1 = e ,

na osnovu teorema o lopovu i dva policajca zakljucujemo da mora vrijediti i

limk→∞

(1+

1xk

)xk

= e .

Kako gornje vrijedi za proizvoljan niz takav da xk→+∞, to ce na osnovu ekvivalentnosti Heineove

i Cauchyjeve definicije konvergencije vrijediti i limx→+∞

(1+

1x

)x

= e. �


1.2.6 Ostale varijante granicnih procesaDefinicija 1.2.5

limx→a

f (x) = +∞de f⇐⇒ (∀M > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D)(0 < |x−a|< δ ⇒ f (x)> M) .

limx→a

f (x) =−∞de f⇐⇒ (∀M > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D)(0 < |x−a|< δ ⇒ f (x)<−M) .

Definicija 1.2.6

limx→+∞

f (x) = +∞de f⇐⇒ (∀M > 0)(∃N > 0)(∀x ∈ D)(x > N ⇒ f (x)> M) .

limx→+∞

f (x) =−∞de f⇐⇒ (∀M > 0)(∃N > 0)(∀x ∈ D)(x > N ⇒ f (x)<−M) .

Definicija 1.2.7

limx→−∞

f (x) = +∞de f⇐⇒ (∀M > 0)(∃N > 0)(∀x ∈ D)(x <−N ⇒ f (x)> M) .

limx→+∞

f (x) =−∞de f⇐⇒ (∀M > 0)(∃N > 0)(∀x ∈ D)(x <−N ⇒ f (x)<−M) .

� Primjer 1.29 Pokazati da je limx→0

1x2 =+∞!

Posmatrana funkcija je f (x) = 1x2 za x 6= 0. Neka je M > 0

proizvoljno veliki realan broj. Zahtjev da f (x) bude veceod M daje nam uslov

f (x)> M ⇔ 1x2 > M ⇔ x2 <

1M⇔ |x|< 1√

M.

Neka je sada 0 < δ < 1√M

i neka je |x| < δ proizvoljan.Tada je f (x)> M, a prema Definiciji 1.2.5 ovo znaci da je

limx→0

1x2 =+∞ . x

y

f (x) = 1x2

0+← x

f (x)

↑f (x)

↑

x→ 0−

�

� Primjer 1.30 Pokazati da je limx→1

∣∣∣∣1+ x1− x

∣∣∣∣=+∞ !

Posmatrana funkcija f (x) =∣∣∣∣1+ x1− x

∣∣∣∣ je definisana za x 6= 1. Neka je M > 0 proizvoljno. Tada imamo

ekvivalentnost uslova

f (x) =∣∣∣∣1+ x1− x

∣∣∣∣> M ⇐⇒ |1− x|< |1+ x|M

.

Kako je

|1+ x|= |2− (1− x)| ≥ 2−|1− x|= 2−|x−1| ,

jasno je da kad god je |x−1|< 1, onda je |1+ x|> 1.


Dakle, ako je |x−1|< 1 i |x−1|< 1M onda je |1−x|< |1+x|

M ,a ovo znaci da je f (x)> M.Sada, uzimajuci da je δ = min{1, 1

M} imamo da zaproizvoljno x vrijedi

|x−1|< δ ⇒ f (x)> M ,

a to prema Definiciji 1.2.5 znaci

limx→1

∣∣∣∣1+ x1− x

∣∣∣∣=+∞ . x

y

f (x) =∣∣ 1+x

1−x

∣∣

1+← xx→ 1−1

f (x)

↑

�

� Primjer 1.31 Neka je f : R→ R, f (x) = x2. Ispitati ponasanje funkcije f kada x tezi u ±∞.Neka je M > 0 proizvoljno. Izaberimo N =

√M. Tada ce biti

x > N ⇒ x2 > N2 = M ⇒ f (x)> M .

Dakle, prema Definiciji 1.2.6 ovo znaci da je

limx→+∞

x2 =+∞ .

Za isto izabrano N imamo

x <−N ⇒ −x > N ⇒ x2 > N2 = M ⇒ f (x)> M ,

pa prema Definiciji 1.2.7 zakljucujemo

limx→−∞

x2 =+∞ .

�

1.3 Asimptotska notacija 27

1.3 Asimptotska notacijaU ovom dijelu zelimo pokazati da se i funkcije kao i brojevi mogu na odreden nacin porediti.Kriterijumi tog poredenja mogu biti razni i odatle naslov ove sekcije. Mi cemo ovdje dati dvanajcesce koristena kriterija, a to su ”malo o” i ”veliko o” notacija, koju su uveli Bachmann1 iLandau2, po kome ovu notaciju nazivamo Landau simboli.

U daljem sto slijedi uobicajeno cemo podrazumijevati da su funkcije sa kojima radimo definisaneu nekoj okolini U(a) tacke a ∈ R∗.

Definicija 1.3.1 Ako za funkcije f i g postoji konstanta C ∈ R+, takva da je

| f (x)| ≤C|g(x)| , x ∈U(a) , (1.11)

kazemo da je u okolini U(a) funkcija f ogranicena u odnosu na funkciju g i to zapisujemo sa

f (x) = O(g(x)) .

Za procjenu (1.11) kazemo da je O-procjena (”veliko o procjena”) za funkciju f (x). Konstantu Cnazivamo O-konstanta, a podrucje U(a) nazivamo podrucje validnosti O-procjene. Treba primjetitiodma da O-konstanta nije jedinstvena. Naime, ako je C O-konstanta, onda je i svako C′ > Ctakode O-konstanta. Sama vrijednost O-konstante uobicajeno nije vazna, koliko cinjenica da takvakonstanta postoji.O-procjenu (1.11) cesto izrazavamo i notacijom

f (x) = O(g(x)) , x→ a ,

pri cemu oznaka x→ a ne predstavlja granicni proces, vec da je validnost procjene u nekoj okoliniU(a) tacke a.

� Primjer 1.32 Znamo da je |sinx| ≤ |x|= 1 · |x| za x ∈U(0), te je dakle sinx = O(x), x→ 0. �

� Primjer 1.33 Kako je za proizvoljno x ∈U(0) zadovoljeno

1− cosx = 2sin2 x2≤ 2 · x

2

4=

x2

2,

prema definiciji ovo znaci da je 1− cosx = O(x2), x→ 0. �

Znamo da je svaka funkcija koja ima konacnu granicnu vrijednost u tacki i ogranicena u nekojokolini te tacke. Zato ako imamo informaciju da je

limx→a

f (x)g(x)

= λ ,

to postoji okolina U(a) i konstanta M > 0, takvi da je za sve x ∈U(a),∣∣∣∣ f (x)g(x)

∣∣∣∣≤M ⇔ | f (x)| ≤M|g(x)| ,

a prema usvojenoj notaciji ovo znaci da je f (x) = O(g(x)), x→ a. Specijalno, cinjenicu da jelimx→a

f (x) = λ , mozemo tumaciti da je f (x) = O(1), x→ a.

� Primjer 1.34 Kako je limx→1

x2 +1x3 = 2, ovo tumacimo sa x2 +1 = O(x3), x→ 1.

Specijalno, kako je limx→ π

2

sinx = 1, to je onda sinx = O(1) u nekoj okolini U(π

2 ). �

1Paul Gustav Henrich Bachmann (1837-1920), njemacki matematicar2Edmund Georg German Landau (1877-1938), njemacki matematicar


� Primjer 1.35 Slaba forma poznate Stirlinove formule glasi:

logn! =(

n+12

)logn−n+O(1) , n≥ 1 ,

odnosnon! = O(e−nnn+ 1

2 ) .

�

Oznaka f (x) = O(g(x)), x→ a ne predstavlja nikakvu eksplicitnu formu funkcije f vec namdaje informaciju da je funkcija f na nekom skupu U(a) ogranicena funkcijom g. Dakle, ako jef (x) = O(g(x)) i h(x) = O(g(x)), x→ a, ovo ne znaci da je f (x) = h(x), vec da i f i h pripadajuklasi funkcija koje su na nekom skupu ogranicene sa funkcijom g. Ovo mozemo zamisliti na nacinda je O-procjena nekakva ”kutija” u kojoj su nama nepoznate funkcije, ali o kojima znamo da sveone zadovoljavaju nejednakost O-procjene. Zbog toga bi notaciju f (x) = O(g(x)) bilo ispravnijepisati sa f ∈ O(g), medutim ova prva notacija je vec standardno prihvacena pa cemo se nje i drzati.

Navedimo nekoliko pravila u radu sa veliko o notacijom.

Teorem 1.3.1 Ako je f (x) = O(g(x)) i g(x) = O(h(x)) kada x→ a, tada je f (x) = O(h(x)) kadax→ a.

Dokaz :�

Teorem 1.3.2 Neka su funkcije f i g definisane na skupu U(a), gdje je a tacka nagomilavanjadomena ovih funkcija. tada vrijedi:

1. O( f (x))+O( f (x)) = O( f (x)) kada x→ a.2. O( f (x)) ·O(g(x)) = O( f (x)g(x)) kada x→ a.3. O(α f (x)) = |α|O( f (x)) = O( f (x)) kda x→ a, za proizvoljno α ∈ R.

Dokaz :�

Kao sto rekosmo, ako postoji limx→a

f (x)g(x)

= λ , tada je f (x) = O(g(x)) kada x→ a, cak i u slucaju

kada je λ = 0. Naime, ako je limx→a

f (x)g(x)

= 0, tada je

| f (x)| ≤ ε|g(x)| ,

za svako ε > 0, proizvoljno maleno. Medutim, iz ove informacije imamo nesto vise.

Definicija 1.3.2 Neka su f ,g definisane u nekoj okolini U(a), gdje je a tacka nagomilavanjadomena ovih funkcija. Ako je

limx→a

f (x)g(x)

= 0 ,

tada kazemo da je funkcija f beskonacno mala u odnosu na funkciju g, kada x → a, stozapisujemo sa

f (x) = o(g(x)) , x→ a ,

i citamo ” f je malo o od g”.

Dakle, ako je za sve x ∈ U(a) zadovoljeno f (x) = ε(x)g(x), pri cemu je limx→a

ε(x) = 0, tada je

f (x) = o(g(x)) kada x→ a.



x2

x= lim

x→0x = 0, zakljucujemo da je x2 = o(x) kada x→ 0.

Kako je limx→0

sinx− xx

= limx→0

(sinx

x−1)= 0, to je sinx− x = o(x) kada x→ 0.

limx→+∞

x+1x2 = lim

x→+∞

(1x+

1x2

)= 0, imamo da je x+1 = o(x2) kada x→+∞ �

Ako je limx→a

f (x) = 0 tojest, limx→a

f (x)1

= 0, pa ovo zapisujemo sa f (x) = o(1) kada x→ a. Tako

imamo da je limx→0

(1− cosx) = 0, pa je 1− cosx = o(1) kada x→ 0.

Iz notacije f (x) = o(g(x)) kada x→ a imamo informaciju da je f meskonacno mala u odnosuna g u nekoj okolini tacke a. Ali to vrijedi cak i kada je g beskonacno mala tojest lim

x→ag(x) = 0.

Tada kazemo da je funkcija f beskonacno mala viseg reda u odnosu na funkciju g kada x→ a.Kao i kod veliko o notacije iz

f1(x) = o(g(x)) , f2(x) = o(g(x)) , x→ a ,

ne zakljucujemo da je f1(x) = f2(x), vec samo imamo informaciju da su i f1 i f2 beskonacnomale u odnosu na funkciju x kada x→ a, ili da f1 i f2 pripadaju klasi funkcija koje su beskonacnomale u odnosu na g. Tako bi i ovdje bilo ispravnije pisati f ∈ o(g) umjesto f (x) = o(g(x)) ali podogovoru koristit cemo ovu drugu notaciju kao standardno koristenu. Uocimo odma da vrijeditrivijalno

Teorem 1.3.3 Ako je f (x) = o(g(x)) kada x→ a tada je f (x) = O(g(x)) kada x→ a.

Obrat u opstem slucaju ne vrijedi jer naprimjer sinx = O(x) kada x→ 0, ali nije sinx = o(x) kada

x→ 0 jer je limx→0

sinxx

= 1.

Ne4ka je sada f (x) = O(g(x)), kada x→ a ili sto je ekvivalentno sa limx→a

f (x)g(x)

= λ ∈ R. Tada

ocigledno vrijedi

limx→a

f (x)g(x)

−λ = limx→a

(f (x)g(x)

−λ

)= lim

x→a

f (x)−λg(x)g(x)

= 0 ,

a ovo onda tumacimo sa f (x)−λg(x) = o(g(x)), kada x→ a ili sto je ekvivalentno sa

f (x) = λg(x)+o(g(x)) , x→ a .

Specijalno, ako je f (x) = g(x)+o(g(x)), kada x→ a, za funkciju g kazemo da je glavni dio funkcijef kada x→ a.


sinxx

= 1, to prema gornjem imamo da je sinx− x = o(x), kada x→ 0

ili u drugom obliku sinx = x+o(x), kada x→ 0. Pri tome kazemo da je g(x) = x glavni dio funkcijef (x) = sinx u okolini tacke 0. �

� Primjer 1.38 Verijedi,

limx→0

ln(1+ x)x

= limx→0

1x

ln(1+ x) = limx→0

ln(1+ x)1x = lne = 1.

Dakle, ln(1+ x) = x+o(x), kada x→ 0. �


� Primjer 1.39 Kako je

limx→0

cosx−1x

= limx→0

−2sin2 x2

x= lim

x→0

−2xsin2 x2

x2

4

= 0 ,

zakljucujemo da je cosx = 1+o(x), kada x→ 0.Slicno imamo,

limx→0

cosx−1x2 = lim

x→0

−2sin2 x2

x2 = limx→0

−2sin2 x2

4 x2

4

=−12.

Zato je sada

limx→0

cosx−1+ x2

2x2 = 0 ,

pa imamo da je cosx = 1− x2

2 +o(x2), kada x→ 0. �

Za malo o notaciju vrijede sljedece osobine.

Teorem 1.3.4 Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini U(a), gdje je a tacka nagomilavanjadomena funkcije f . Tada imamo,

1. o( f (x))+o( f (x)) = o( f (x)), kada x→ a.2. o( f (x)) ·o( f (x)) = o( f (x)), kada x→ a.3. o(o( f (x))) = o( f (x)), kada x→ a.

U narednim tvrdnjama dat cemo samo neke od osnovnih veza i pravila u radu sa malo o i velikoo notacijom.

Teorem 1.3.5 Neka su funkcija f i g definisana u nekoj okolini U(a), gdje je a tacka nagomilavanjanjihovih domena. Tada vrijedi,

1.O( f (x))

g(x)= O

(f (x)g(x)

).

2.o( f (x))

g(x)= o

(f (x)g(x)

).

Teorem 1.3.6 Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini U(a), gdje je a tacka nagomilavanjadomena funkcije f . Tada vrijedi,

1. O( f (x))+o( f (x)) = O( f (x)), kada x→ a.2. o(O( f (x))) = o( f (x)), kada x→ a.3. O(o( f (x))) = o( f (x)), kada x→ a.

Svaki od naredni zapisa trba provjeriti!1. • (1+ x)α = 1+αx+O(x2), kada x→ 0.

• (1+ x)α = 1+αx+α(α−1)

2x2 +O(x3), kada x→ 0.

2. • ex = 1+ x+O(x2), kada x→ 0.

• ex = 1+ x+12!

x2 +O(x3), kada x→ 0.

3. • sinx = x+O(x3), kada x→ 0.

• sinx = x− 13!

x3 +O(x5), kada x→ 0.

4. • cosx = 1+O(x2), kada x→ 0.

• cosx = 1− 12!

x2 +O(x4), kada x→ 0.


5. • lnx = x+O(x2), kada x→ 0.

• lnx = x− 12

x2 +O(x3), kada x→ 0.

� Primjer 1.40 Izracunati: limx→0

sinx− xx3 .

Kako je sinx = x− 13! x

3 +O(x5) (provjeriti!), to onda imamo

limx→0

sinx− xx3 = lim

x→0

(x− 16 x3 +O(x5))− x

x3 = limx→0

(−1

6+O(x2)

)=−1

6.

�

� Primjer 1.41 Izracunati: limx→+∞

x4

x2 +1

5

√x3−1x3− x

− 2x2 +12x2

.

Napravimo prvo pojedinacne ”procjene” za neke od funkcija koje ucestvuju u kompletnojfunkciji.

x4

x2 +1=

x4

x2(1+ 1

x2

) = x2(

1+1x2

)−1

= x2(

1− 1x2 +O

(1x4

))= x2−1+O

(1x2

), x→+∞ .

x3−1x3− x

=x3(1− 1

x3

)x3(1− 1

x2

) = (1− 1x3

)(1− 1

x2

)−1

=

(1− 1

x3

)(1− 1

x2 +O(

1x4

))= 1− 1

x2 −1x3 +

1x5 +O

(1x4

)+O

(1x6

)= 1− 1

x2 +O(

1x3

), x→+∞ .

5

√x3−1x3− x

=

(x3−1x3− x

) 15

=

(1− 1

x2 +O(

1x3

)) 15

= 1− 15

1x2 +O

(1x3

), x→+∞ .

Sada imamo,

limx→+∞

x4

x2 +1

5

√x3−1x3− x

− 2x2 +12x2

= limx→+∞

(x2−1+O

(1x2

))(1− 1

51x2 +O

(1x3

)−1− 1

21x2

)

= limx→+∞

(x2−1+O

(1x2

))(− 7

101x2 +O

(1x3

))= lim

x→+∞

(− 7

10+O

(1x

)+

710

1x2 +O

(1x3

)+O(1)+O

(1x5

))= lim

x→+∞

(− 7

10+

710

1x2 +O(1)

)=− 7

10.

�

Documents

1. Realne funkcije realne promjenljivepmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/PMF/MatematickaAnalizaI/Funkcije.pdf · trigonometrijske funkcije uzimaju iste vrijednosti za razne uglove i