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H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr

Ch.7 : Géométrie plane Partir d'un bon pied

Exercice n°A page 198 : Multiplication d'un vecteur par un réel Q.C.M. Déterminer la (ou les) bonne(s) réponse(s). On considère les points A, B, C et D placés ci-contre sur l'axe orienté (O ; I). 1) Si

OB = k

OI , alors k est égal à : a) 2 b) 5 c) –5

2) Si

AD = k

OC , alors k est égal à : a) 2 b) –2 c) 5

3) Si

DA = k

BO , alors k est égal à : a) 4

5 b)

–4

5 c)

5

4

4) Si

CX = 3

7

CB , alors le point X est : a) O b) I c) A

1) b .

2) b .

3) a .

4) b .

Exercice n°B page 198 : Milieux et distances Q.C.M. Déterminer la (ou les) bonne(s) réponse(s). Le plan est muni d'un repère orthonormé. Les points A(–2 ; 3) et

B(6 ; 5) sont donnés. K est le milieu de [AB].

1) K est le seul point du plan tel que :

a)

AK +

KB =

AB . b)

AK =

KB . c) AK = KB. d)

AK = 1

2

AB .

2) K a pour coordonnées :

a) (8 ; 2). b) (2 ; 4). c)

x

A + x

B

2 ,

yA

+ yB

2. d)

x

A – x

B

2 ,

yA

– yB

2.

3) a)

AB

8

2. b)

AB

4

8. c) AB = 68. d) AB = 2 17.

1) b et d .

2) b et c .

3) a et d .

Exercice n°C page 198 : Coefficient directeur d'une droite du plan Vrai ou faux ? 1) La droite (BC) a pour coefficient directeur –2.

2) La droite (AC) a pour coefficient directeur 1

4 .

3) La droite (AB) a pour équation y = x + 2.

4) La droite d'équation y = –1

2 x + 4 est parallèle à la droite (BC).

1) Faux .

2) Vrai .

3) Vrai .

4) Vrai .

Exercice n°D page 198 : Relation de Chasles et sommes vectorielles Vrai ou faux ? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1)

AE +

AC =

AG.

2)

AE +

BK =

AK.

3) 3

AE + 1

3

MP =

AN.

4) 2

AE +

AC =

NZ .

5)

AM +

NB =

0

6)

AF –

AE =

AB .

1) Vrai .

2) Faux .



3) Vrai .

4) Vrai .

5) Vrai .

6) Vrai .

Activité n°1 page 200 : Utiliser la colinéarité de vecteurs Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère les points A(–2 ; 2), B(–3; –3),

C(5 ; 1) et D(2 ; 4). Le point E est le milieu du segment [BC]. 1) Calculer les coordonnées des vecteurs

AD et

BC . Justifier que ces vecteurs sont

colinéaires. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2) Démontrer que le quadrilatère ABED est un parallélogramme.

3) Le point O appartient-il à la droite (AE) ? Justifier la réponse.

1) On a

AD

4

2 et

BC

8

4.

Donc

BC = 2

AD, et ces vecteurs sont colinéaires.

Donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles, par suite le quadrilatère ABCD est un trapèze .

2) Le milieu E de [BC] a pour coordonnées :

–3 + 5

2 , –3 + 1

2 = (1 ; –1).

On en déduit que

AB

–1

–5 et

DE

–1

–5, soit

AB =

DE .

Le quadrilatère ABED est un parallélogramme.

3) On a

OA

–2

2 et

OE

1

–1, donc

OA = –2

OE .

En conséquence, le point O appartient à la droite (AE).

Dans l'ensemble du chapitre, on considère un repère (O ; I, J) du plan.

1 COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS DÉFINITION 1

On dit que deux vecteurs non nuls

u et

v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que :

v = k

u .

Autrement dit, leurs coordonnées dans le repère (O ; I, J) sont proportionnelles.

Remarque : Comme 0

u =

0 , par analogie, on dit que

0 est colinéaire à tout vecteur.

PROPRIÉTÉ 1

Soit

u

x

y et

v

x'

y' deux vecteurs du plan.

Les vecteurs

u et

v sont colinéaires si, et seulement si : xy' – yx' = 0.

Démonstration :

Dans le cas où

u (ou

v ) est nul, le résultat est immédiat.

Supposons que

u et

v sont non nuls.

La colinéarité de

u et

v équivaut à la proportionnalité des coordonnées

x

y et

x'

y', c'est-à-dire à l'égalité :

xy' = yx'.

D'où le résultat.

Exemple :

Soit

u

2

1,

v

4

–2 et

w

3

2

3

4

.

u et

v ne sont pas colinéaires, car : 2 (–2) – 1 4 0.

u et

w sont colinéaires, car leurs coordonnées sont proportionnelles : 2 3

4 – 1

3

2 = 0.



Plus précisément, on a :

w = 3

4

u .

Exercice n°19 page 214 Vrai ou faux ? Le plan est muni d'un repère. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1) Les vecteurs

u

–1

2 et

v

1

1 sont colinéaires.

2) Il existe un réel t pour lequel les vecteurs

u

t

2 et

v

–1

1 sont colinéaires.

3) Pour tout réel m, les vecteurs

u

m

2 et

v

–1

m ne sont pas colinéaires.

1) –1 1 – 2 1 = –3 0, donc l’affirmation est fausse .

2) t 1 – 2(–1) = 0 si, et seulement si, t = –2.

L’affirmation est vraie .

3) m m – 2(–1) = 0 si, et seulement si, m2 = –2 ; ce qui est impossible.


Exercice n°20 page 214 Vrai ou faux ? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1) Si

AB = 3

AC , alors les points A, B et C sont alignés.

2) Si

AB = –1

2

CD , alors les points A, B, C et D sont alignés.

3) Si

EF = 3

4

EG , alors le point E appartient au segment [GF].

4) Si 2

MN + 3

MP =

0 , alors le point M appartient à la droite (NP).

1) Vrai .

2) Faux .

3) Faux .

4) Vrai .

Exercice n°23 page 214 Le plan est muni d'un repère. Dans les cas suivants, préciser si les vecteurs

u et

v sont colinéaires. Dans l'affirmative,

préciser la valeur de k tel que

v = k

u .

1)

u

0

1 et

v

2

0. 2)

u

–3

2 et

v

6

–4. 3)

u

1 – 2

3 et

v

–1

3 + 3 2.

1) 0 0 – 1 2 = –2, donc les vecteurs

u et

v ne sont pas colinéaires .

2) Les vecteurs

u et

v sont colinéaires , car

v = –2

u , soit k = –2 .

3) Les vecteurs

u et


v = (1 + 2)

u , soit k = (1 + 2) .

Exercice n°24 page 214 Le plan est muni d'un repère. Dans les cas suivants, préciser si les vecteurs

u et

v sont colinéaires. Dans l'affirmative,

préciser la valeur de k tel que

v = k

u .

1)

u

–1

4 et

v

1,25

–5. 2)

u

3

3 et

v

2

2. 3)

u

1

2 et

v

6

5 + 7.

1) Les vecteurs

u et


v = –5

4

u , soit k = –5

4.

2) Les vecteurs

u et

v ne sont pas colinéaires , car 3 2 – 2 3 = 3 0.

3) Les vecteurs

u et

v ne sont pas colinéaires , car 1( )5 + 7 – 2 6 = 5 + 7 – 2 3 0.

Exercice n°1 page 203

m est un réel quelconque. Existe-t-il des valeurs de m telles que

u

m – 1

2 et

v

12

m + 1 soient colinéaires ?

Les vecteurs

u et

v sont colinéaires si, et seulement si :

(m – 1) (m + 1) – 2 12 = 0

m2 – 25 = 0

m = 5 ou m = –5 .



Exercice n°25 page 214 Le plan est muni d'un repère. Dans chacun des cas suivants, déterminer les valeurs possibles du réel x de sorte que les

vecteurs

u et

v soient colinéaires.

1)

u

x

1 et

v

x + 1

2. 2)

u

x – 1

2 et

v

2

x + 1. 3)

u

x + 1

2 et

v

1

x

1

.

1)

u

x

1 et

v

x + 1

2 sont colinéaires si, et seulement si :

x 2 – 1 (x + 1) = 0 x = 1.

2)

u

x – 1

2 et

v

2

x + 1 sont colinéaires si, et seulement si :

(x – 1) (x + 1) – 2 2 = 0

x2 – 5 = 0

x = – 5 ou x = 5 .

3) Si x 0,

u

x + 1

2 et

v

1

x

1

sont colinéaires si, et seulement si :

(x + 1) 1 – 2 1

x = 0

x2 + x – 2 = 0

x = 1 ou x = –2.


Soit a un réel. On considère dans un repère les points A(–1 ; 2), B(0 ; 3) et C(a2 ; 3a + 1).

1) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles les vecteurs

AB et

AC sont colinéaires.

2) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles les points A, B et C sont alignés.

1)

AB

1

1 et

AC

a2 + +1

3a – 1 sont colinéaires si, et seulement si, a2 + 1 – 3a + 1 = 0 ; soit a2 – 3a + 2 = 0.

= 9 – 8 = 1, il y a admet deux solutions : 3 – 1

2 = 1 et

3 + 1

2 = 2 .

Les points C associés sont C1(1 ; 4) et C

2(4 ; 7).

2) Les points A, B et C sont alignés, si, et seulement si :

AB et

AC sont colinéaires ;

soit a = 1 ou a = 2 (d’après la question 1)).

Exercice n°27 page 214 Le plan est muni d'un repère. Préciser si les points A, B et C sont alignés dans chacun des cas suivants :

a) A(3 ; 4), B(0 ; 2) et C(–2 ; 1) ; b) A(–100 ; 145), B(–50 ; 15) et C(40 ; –219) ;

c) A

5

4 , 3 , B

1

2 , 4 et C

1

4 ,

13

3.

a)

AB

–3

–2 et

AC

–5

–3.

(–3) (–3) – (–2) (–5) = –1 non nul, donc les points A, B et C ne sont pas alignés .

b)

AB

50

–130 et

AC

140

–364.

50 (–364) – (–130) 140 = 0, donc les points A, B et C sont alignés .

c)

AB

–3

4

1

et

AC

–1

4

3.

–3

4

4

3 – 1 (–1) = 0, donc les points A, B et C sont alignés .

Exercice n°28 page 214 Le plan est muni d'un repère. Préciser si les droites (AB) et (CD) sont parallèles dans chacun des cas suivants :

a) A(3; 4), B(–1 ; 5), C(–2 ; 1) et D(2 ; –1) ;

b) A(–4 ; 9), B(5 ; 3), C(2 ; –1) et D(–1 ; 1) ; c) A

1 ,

5

3, B

3

2 , 1 , C(12 ; 45) et D(45 ; 1).

a)

AB

–4

1 et

CD

4

–2.

(–4) (–2) – 1 4 = 4 non nul, donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles .



b)

AB

9

–6 et

CD

–3

2.

9 2 – (–6) (–3) = 0, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles .

c)

AB

1

2

–2

3

et

CD

33

–44.

1

2 (–44) –

–2

3 33 = 0, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles .

Exercice n°29 page 215 Voir les Outils pour l'algorithmique, page 8. Dans un repère (O ; I, J), on souhaite automatiser les calculs permettant d'affirmer si

deux vecteurs

u et

v sont colinéaires ou non.

1) On propose l'algorithme partiel ci-contre : Compléter les pointillés de façon à résoudre le problème.

2) Modifier l'algorithme pour que dans le cas où

u et

v sont colinéaires, la valeur de k

telle que

v = k

u soit affichée. Puis programmer la calculatrice.

3) Utiliser le programme pour résoudre les exercices 23 et 24.

1)

2)

3)

Exercice n°30 page 215 Voir les Outils pour l'algorithmique, page 8. Dans un repère (O ; I, J), on souhaite automatiser les calculs permettant d'affirmer que trois points A, B et C sont

alignés ou non. 1) En s'inspirant de l'algorithme donné à l'exercice 29, construire un algorithme permettant de résoudre le problème.

2) Programmer la calculatrice. Utiliser le programme pour résoudre l'exercice 27.



1)

2)

Exercice n°31 page 215 Dans un repère (O ; I, J), on considère les points : A(–1 ; 4), B(–1 ; –1), C(5 ; 1) et D(8 ; –8). Le point E est le milieu du segment [BC].

1) Calculer les coordonnées du point E.

2) Montrer que le point D appartient à la médiane du triangle ABC issue de A.

3) Le quadrilatère ABDC est-il un parallélogramme ?

1) Le point E a pour coordonnées

–1 + 5

2 , –1 + 1

2, soit E (2 , 0) .

2) La médiane issue de A est la droite (AE).

Or

AE

3

–4,

AD

9

–12, et 3 (–12) – (–4) 9 = 0, donc les points A, D et E sont alignés.

3) Le milieu de [AD] a pour coordonnées

7

2 , –2 .

Les diagonales de ABDC ne se coupent pas en leur milieu, donc le quadrilatère ABCD n’est

pas un parallélogramme .

Exercice n°32 page 215 Dans un repère (O ; I, J), on donne les points A(6 ; 3), B(–3 ; 0), C(5 ; 4) et D(–1 ; 1). 1) Montrer que les droites (OA) et (BC) sont parallèles.

2) Les points B, C et D sont-ils alignés ?

3) Trouver x pour que le point M(25 ; x) appartienne à la droite (AB).

1)

OA

6

3,

BC

8

4, et 6 4 – 3 8 = 0, donc

OA est colinéaire à

BC .

Les droites (OA) et (BC) sont donc parallèles.

2)

BC

8

4,

BD

2

1, et 8 1 – 2 4 = 0, donc

BC est colinéaire à

BD , et les points B, C et D sont alignés .

3)

AM

19

x – 3,

AB

–9

–3.

Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, 19 (–3) – (x – 3) (–9) = 0 ; soit 3x – 28 = 0, c’est-à-dire x =

28

3. Donc M

25 ,

28

3.

Exercice n°33 page 215 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère les points A(–2 ; 5), B(6 ; 1), C(4 ; 3) et D(–4 ; 1).

1) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2) Montrer que le triangle ABD est rectangle en A.

3) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.



Coup de pouce : 2) La distance entre deux points A et B est : AB = (xB – x

A)2 + (y

B – y

A)2.

1)

AB

8

–4,

CD

–8

4. Donc

AB = –

CD .

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Plus précisément le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

2) AD2 = 20, AB2 = 80 et BD2 = 100 ; donc : BD2 = AB2 + AD2,

donc le triangle ABD est rectangle en A.

3) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit ; donc c'est un rectangle.

Activité n°2 page 200 : Décomposer des vecteurs Sur la figure ci-contre : ABCD est un rectangle de centre O ;

les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [BC], [CD], [DA] et [AB] ;

les segments [IJ] et [AC] se coupent au point M.

1) Exprimer chacun des vecteurs

OM et

OD en fonction de

OI et

OJ .


OM et

OD en fonction de

LB et

LJ .


OM et

OD en fonction de

OI et

OC .

1)

OM = 1

2

OC = 1

2 (

OI +

IC ) = 1

2 (

OI +

OJ ) = 1

2

OI + 1

2

OJ .

De même

OD = –

OI +

OJ .

2) Comme

OI =

LB et

OJ = 1

2

LJ , on a :

OM = 1

2

LB + 1

4

LJ .

De même

OD = –

LB + 1

2

LJ .

3)

OM = 1

2

OC . Et

OD =

OC +

CD =

OC – 2

OI = –2

OI +

OC .

Activité n°3 page 200 : Démontrer en utilisant une décomposition Voici l'énoncé d'un exercice : « Dans un triangle ABC, on considère les points E et F tels que :

AE = 2

3

AB et

AF = 1

3

AC .

I est le milieu du segment [AC]. Démontrer que les droites (EF) et (BI) sont parallèles. »

1) Marc propose une démonstration dans laquelle il manque des justifications. Expliquer chaque étape de son raisonnement.

2) On se place dans le repère (A ; B, C).

a) Préciser les coordonnées des points A, B, C, E, I, F dans ce repère.

b) Déterminer les coordonnées des vecteurs

BI et

EF .

c) Démontrer que les droites (EF) et (BI) sont parallèles.

1) Marc utilise la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs

EF et

BI en fonction de vecteurs colinéaires à

AB

et

AC .

On en déduit que

EF = 2

3

BI , donc que les droites (EF) et (BI) sont parallèles, car elles ont des vecteurs directeurs

colinéaires. 2)

a) A (0 , 0) , B (1 , 0) , C (0 , 1) , E

2

3 , 0 , I

0 ,

1

2, F

0 ,

1

3.



b)

BI

–1

1

2,

EF

–2

3

1

3

.

c) On a

EF = 2

3

BI . Les vecteurs

EF et

BI sont colinéaires, donc les droites (EF) et (BI) sont parallèles.

2 EXPRESSION D'UN VECTEUR EN FONCTION DE DEUX VECTEURS NON COLINÉAIRES THÉORÈME 1

Soit

u et

v deux vecteurs non colinéaires du plan.

Alors pour tout vecteur

w du plan, il existe un couple unique de réels (a ; b) tels

que :

w= a

u + b

v .

Le couple (a ; b) est appelé couple des coordonnées du vecteur

w dans la

base (

u ;

v ).

Démonstration :

Existence : Dans un repère (O ; I, J) du plan, soit les points I', J' et M tels que :

u =

OI' ,

v =

OJ' et

w =

OM. Les points O, I' et J' ne sont pas alignés, car

u et

v ne sont pas colinéaires. Ainsi, (O ; I', J' ) est

un repère du plan. Notons (a ; b) les coordonnées de M dans ce repère.

On a alors :

OM = a

OI' + b

OJ' , c'est-à-dire :

w = a

u + b

v .

Unicité : On suppose qu'il existe deux couples (a ; b) et (a' ; b' ) tels que :

w = a

u + b

v = a'

u + b'

v .

Alors (a – a')

u = (b' – b)

v .

Si a – a' 0, on obtient : u = b' – b

a' – a

v . C'est impossible, car

u et

v ne sont pas colinéaires.

On a donc : a – a' = 0, d'où a = a'.

Le même raisonnement conduit à l'égalité b = b'.

On aboutit ainsi à des couples de coordonnées (a ; b) et (a' ; b' ) identiques.

Exemple :

ABCD est un parallélogramme de centre O.

On veut exprimer le vecteur

w =

AB , en fonction de

u =

AO et

v =

AD

On a :

AB = 2

AO –

AD .

Exercice n°3 page 226 Voir le savoir-faire page 203. Soit ABC un triangle.

1) Placer les points E, F et G tels que :

BE = 1

2

AB , 2

FB +

FC =

0 et

AG = 3

5

AC .

2) Démontrer que les points E, F et G sont alignés.

Méthode : Pour placer F, exprimer

BF en fonction de

BC .

On pourra exprimer

GF et

FE en fonction de

AB et

AC .

1) On a 2

FB +

FC =

0 , donc 2

FB + (

FB +

BC ) =

0 ;

soit

BF = 1

3

BC .

2)

GF =

GA +

AF

GF = –3

5

AC +

AB +

BF

GF = –3

5

AC +

AB + 1

3

BC

FE =

FB +

BE

FE = –1

3

BC + 1

2

AB

FE = –1

3 (

BA +

AC ) + 1

2

AB



GF = –3

5

AC +

AB + 1

3 (

BA +

AC)

GF =

1 –

1

3

AB +

–3

5 +

1

3

AC

GF = 2

3

AB – 4

15

AC

FE =

1

3 +

1

2

AB + –1

3

AC

FE = 5

6

AB – 1

3

AC

Donc :

GF = 4

5

FE .

D’où les vecteurs

GF et

FE sont colinéaires, et donc les points E, F et G sont alignés.

Exercice corrigé : Utiliser le calcul vectoriel pour étudier des configurations On considère un triangle AGF non aplati.

1) Placer les points B et C tels que

AB = 2

AG +

AF et

GC = 1

3

GF .

2) Démontrer que les points A, B et C sont alignés :

a) en utilisant le calcul vectoriel ; b) en choisissant un repère du plan.

Solution : Méthode : 1) Voir ci-contre.

Pour démontrer que trois points A,

B et C sont alignés, on montre par

exemple que les vecteurs

AB et

AC sont colinéaires.

2) a) Les vecteurs

AG et

AF ne sont pas

colinéaires : on exprime les vecteurs

AC et

AB en fonction de ces deux seuls vecteurs.

On peut exprimer les vecteurs

AB

et

AC en fonction de deux vecteurs

non colinéaires du plan.

AC =

AG +

GC

AC =

AG + 1

3

GF

AC =

AG + 1

3 (

GA +

AF )

AC = 2

3

AG + 1

3

AF .

Pour cela, on utilise la relation de Chasles.

On sait que

AB = 2

AG + 1

AF . Ainsi

AB = 3

AC .

Donc les vecteurs

AC et

AB sont colinéaires. Ainsi les points A, B et

C sont alignés.

On lit une relation de la forme

AB = k

AC sur les décompositions

des vecteurs

AB et

AC .

b) Les vecteurs

AG et

AF ne sont pas colinéaires.

Donc (A ; G, F) est un repère du plan.

Dans ce repère, on a : A(0 ; 0), G(1 ; 0) et F(0 ; 1).

On note (x ; y) les coordonnées de C. Comme

GC = 1

3

GF , on a :

On peut choisir un repère du plan, dans lequel on détermine les coordonnées des vecteurs

AB et

AC .

x – 1

y – 0 =

1

3

0 – 1

1 – 0. D’où

x – 1 = –1

3

y = 1

3

Donc C

2

3 ,

1

3 et

AC

2

3

1

3

.

AB = 2

AG + 1

AF avec

AG

1

0 et

AF

0

1. Donc

AB

2

1.

2 1

3 – 1

2

3 = 0. Donc les vecteurs

AC et

AB sont colinéaires : les points A, B et C sont alignés.

Pour aller plus loin : utiliser des configurations connues. Que représente C dans le triangle ADF ? En utilisant le quadrilatère ADBF, prouver que (AB) est une

médiane de ce triangle, et conclure.

Exercice n°2 page 203 ABCD est un parallélogramme. I et J sont les points définis par

AI =

CJ =

BD .

Démontrer que [AJ] et [CI] ont le même milieu.

On a

AI =

CJ , donc le quadrilatère ACJI est un parallélogramme.

D’où ses diagonales [AJ] et [CI] se coupent en leur milieu D.



Exercice n°3 page 203 ABC sont trois points non alignés du plan. Démontrer que, quel que soit le point M du plan, la somme

MA +

MB – 2

MC est égale à un vecteur indépendant de M que l'on représentera.

Coupe de pouce : Indiquer ses coordonnées dans la base (

AB,

AC ).

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

MA +

MB – 2

MC =

MA + (

MA +

AB) – 2(

MA +

AC ) =

AB – 2

AC

qui est un vecteur indépendant de M.

Exercice n°4 page 203 ABC est un triangle. Soit M le point tel que : 2

MA + 3

MB = 3

MC.

Démontrer que les droites (AM) et (BC) sont parallèles.

2

MA + 3

MB = 3

MC équivaut aux égalités suivantes :

2

MA + 3(

MA +

AB) = 3(

MA +

AC)

2

MA + 3

MA + 3

AB = 3

MA + 3

AC

2

MA = 3(

BA +

AC )

2

MA = 3

BC .

Les vecteurs

AM et

BC sont colinéaires, donc les droites (AM) et (BC) sont parallèles.

Exercice n°13 page 209 Choisir une décomposition adaptée pour étudier une configuration

ABCD est un parallélogramme non aplati. Les points E et F sont définis par

AE = 1

2

DA et

DF = 2

3

DC .

En utilisant le calcul vectoriel, démontrer que les droites (AF) et (EC) sont parallèles.

On commence par réaliser une figure : les vecteurs

DA et

DC sont non colinéaires.

On choisit d'exprimer les vecteurs

AF et

EC en

fonction de ces deux seuls vecteurs.

AF =

AD +

DF = –

DA + 2

3

DC .

EC =

EA +

AD +

DC . Or

EA = –

AE = –1

2

DA.

Donc

EC = –1

2

DA –

DA +

DC = –3

2

DA +

DC .

Pour démontrer que les droites (AF) et (EC) sont

parallèles, on montre que les vecteurs

AF et

EC sont

colinéaires.

On choisit deux vecteurs non colinéaires « adaptés » pour exprimer les vecteurs

AF et

EC ; pour cela on observe :

- les définitions vectorielles des points E

et F ;

- les possibilités de décomposition par la relation de Chasles.

Ainsi

AF = –1

DA + 2

3

DC et

EC = –3

2 DA + 1

DC .

On en déduit que

EC = 3

2

AF . Donc les vecteurs

AF et

EC sont colinéaires : les

droites (AF) et (EC) sont parallèles.

Exercice n°34 page 215 Sur la figure ci-contre : E est le milieu du segment [AD] ;

F est le symétrique de B par rapport à D ;

le point G est tel que :

AG = 1

3

AB .

1) Déterminer les coordonnées des points de la figure dans le repère (A ; B, D).

2) Démontrer que les points E, F et G sont alignés.

1) A (0 , 0) , B (1 , 0) , C (1 , 1) , D (0 , 1) , G

1

3 , 0 et E

0 ,

1

2.

AF =

AB +

BF =

AB + 2

BD =

AB + 2(

BA +

AD) = –

AB + 2

AD , donc F (–1 , 2) .

2)

EF

–1

3

2,

EG

1

3

–1

2

, et –1 –1

2 –

1

3

3

2 = 0, donc

EF et

EG sont colinéaires, et les points E, F et G sont alignés.




ABCD est un parallélogramme. On considère les points E et F tels que :

AE = 3

4

AD et

BF = –1

4

AB .

1) On munit le plan du repère (A ; B, D).

Déterminer les coordonnées des points B, D, E et F dans ce repère.

2) Démontrer que les droites (EF) et (BD) sont parallèles.

1) Comme (A ; B, D) est le repère, alors B (1 , 0) , D (0 , 1) .

Comme

AE = 3

4

AD , alors E

0 ,

3

4.

Comme

AF = 3

4

AB , alors F

3

4 , 0 .

2) On en déduit que

EF

3

4

–3

4

et

BD

–1

1, donc

EF = –3

4

BD , et, les droites (EF) et (BD) sont parallèles.

Exercice n°41 page 216 Q.C.M. Donner la (ou les) bonne(s) réponse(s). A, B et M sont trois points du plan.

1) Si

AM + 3

BM =

0 , alors :

a) 4

AM = 3

BA. b)

AM = 3

4

AB . c)

BM = 3

4

AB .

2) Si 2

AM – 3

BM =

0 , alors :

a)

AM = 3

AB . b)

MB = 2

AB . c)

BM = 2

AB .

1)

AM + 3

BM =

0 équivaut aux égalités suivantes :

AM + 3 (

BA +

AM) =

0 4

AM + 3

BA =

0

4

AM = 3

AB

AM = 3

4

AB .

Réponse b .

2) 2

AM – 3

BM =


2

AM = 3

BM 2

AM = 3(

BA +

AM)

–

AM = 3

BA

AM = 3

AB .

2

AM – 3

BM =


3

BM = 2

AM 3

BM = 2(

AB +

BM)

BM = 2

AB .

Réponses a et c .

Exercice n°42 page 216 Vrai ou faux ? A, B et C sont trois points du plan non alignés. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1) Si

u = 2

AB +

BC , alors

u =

AB +

AC .

2) Si

v = 3

BC + 4

AC , alors

v = 3

AB + 7

AC .

3) Si

w = 2

AB + 3

AC , alors

w = 3

BC – 5

BA.

1)

u = 2

AB +

BC = 2

AB + (

BA +

BC ) =

AB +

BC .


2)

v = 3

BC + 4

AC = 3(

BA +

AC) + 4

AC = –3

AB + 2

AC

L’affirmation est fausse .

3)

w = 2

AB + 3

AC = 2

AB + 3 (

AB +

BC ) = 3

BC + 5

AB = 3

BC – 5

BA



ABCD est un parallélogramme. Les points E et F sont définis par

CE = 1

3

CD et

AF = 3

2

AE .

1) Faire une figure, puis émettre une conjecture : - sur la position des points B, C et F ;

- sur une relation entre les vecteurs

BF et

BC .

2) Démontrer ces conjectures en choisissant un repère lié à la figure.



1) Conjectures :

les points B, C et F semblent alignés ;

il semble que

BF = 3

2

BC .

2) Dans le repère (D ; C, A), on a : E

2

3 , 0 , A(0 ; 1), B(1 ; 1) et C(1 ; 0).

1re méthode :

DF =

DA +

AF

DF =

DA + 3

2

AE

DF =

DA + 3

2 (

AD +

DE )

DF =

DA + 3

2

AD + 3

2

DE

DF =

DA + 3

2

AD + 3

2

DE

DF =

DA – 3

2

DA + 3

2

2

3

DC

DF = –1

2

DA +

DC

DF = 1

DC + –1

2

DA

2e méthode :

Si F(x ; y), alors

AF

x

y – 1 et

AE

2

3

–1

.

Comme

AF = 3

2

AE , alors

x = 3

2

2

3

y – 1= 3

2 (–1)

, soit

x = 1

y = –1

2 .

Donc F

1 ,

–1

2.

Donc les points B, C et F sont alignés sur la droite d’équation x = 1, et on vérifie immédiatement que

BF = 3

2

BC .

Exercice n°39 page 216 ABCD est un carré et les triangles AEB et BCF sont équilatéraux.

1) Justifier que (A ; B, D) est un repère du plan.

2) Quelles sont les coordonnées des points D, E et F dans ce repère ?

3) Démontrer que les points D, E et F sont alignés.

4) Autre méthode : Démontrer l'alignement des points D, E, F en prouvant que l'angle DEF a

pour mesure 180°.

Coup de pouce : 2) cos 60° = 1

2 et sin 60° =

3

2 .

1) Les points A, B, D ne sont pas alignés , donc (A ; B, D) est un repère du plan.

2) D (0 , 1) .

Soit I le milieu de [AB], alors le triangle AEI est rectangle en I, avec EAI = 60° car le triangle ABE est équilatéral.

D’où sin EAI = EI

AI , soit sin 60° =

EI

1 , puis EI =

3

2 1 =

3

2 .

Donc E

1

2 ,

3

2 et F

1 + 3

2 ,

1

2.

3) On obtient

DE

1

2

3

2 – 1

,

DF

3

2 + 1

–1

2

.

Or 1

2 –1

2 –

3

2 – 1

3

2 + 1 =

–1

4 –

3

2

2

– 12 = –1

4 –

3

4 – 1 =

–1

4 – –1

4 = –1

4 +

1

4 = 0.

Donc les vecteurs

DE et

DF sont colinéaires, et par suite, les points D, E et F sont alignés.

4) Comme le triangle ABE est équilatéral, alors BAE = AEB = 60°. De plus BAD = 90°, alors DAE = 30°.

Comme le triangle AED est isocèle en A, alors AED = 180 – 30

2 = 75°.

Comme le triangle BCF est équilatéral, alors FBC = 60°.



Comme le triangle BEF est isocèle en B, alors BEF = 180 – 90

2 = 45°.

Donc DEF = AED + AEB + BEF = 75 + 60 + 45 = 180°. On en déduit que les points D, E et F sont alignés.

Exercice n°43 page 216 Vrai ou faux ?

u et

v sont deux vecteurs du plan non colinéaires.

A, B, C et D sont des points du plan. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1) Si

AB = 2

u – 3

v et

BC = 1

3

u – 1

2

v , alors les vecteurs

AB et

BC sont colinéaires.

2) Si

AB = 4

u + 5

v et

CD = –2

u – 5

2

v , alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3) Si

CB = –2

u + 5

v et

AD = 3

u – 15

2

v , alors les points A, B, C et D sont alignés.

1)

AB = 6

BC , donc l’affirmation est vraie .

2)

AB = –2

CD , donc l’affirmation est vraie .

3)

CB = –2

3

AD, donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles, et l’affirmation est fausse .

Exercice n°44 page 216 On considère le quadrillage régulier suivant : Exprimer les vecteurs

FS ,

GN et

SP en fonction des vecteurs :

a)

AE et

AB ; b)

AI et

AD ; c)

AF et

BC .

a)

FS =

FR +

RS = 3

AE +

AB .

GN =

GO +

ON = 2

AE –

AB .

SP =

SO +

OP = –

AE +

AB .

b)

FS =

FR +

RS = 3

2

AI + 1

3

AD .

GN =

GO +

ON =

AI – 1

3

AD .

SP =

SO +

OP = –1

2

AI + 1

3

AD .

c)

FS =

FE +

ET +

TS = –

BC + 3

AF –

BC = 3

AF – 2

BC .

GN =

GL +

LI +

IN =

AF – 3

BC +

AF = 2

AF – 3

BC .

SP =

SN +

NP = –

AF + 2

BC .

Exercice n°45 page 217 Sur le triangle ABC ci-contre, les subdivisions sur les côtés sont régulières.

Les points P, Q et R appartiennent respectivement aux droites (AB), (BC) et (AC).

1) Déterminer par lecture graphique les réels x, y et z tels que :

AP = x

AB ;

BQ = y

BC ;

AR = z

AC .

2) Exprimer le vecteur

PR en fonction de

AB et

AC .

3) Vérifier que :

PQ = 9

28

AB + 3

7

AC .

4) En déduire que les points P, Q et R sont alignés.

1)

AP = 1

4

AB ;

BQ = 3

7

BC ;

AR = –1

3

AC .



2) On a

PR =

PA +

AR = –1

4

AB – 1

3

AC .

3)

PQ =

PB +

BQ

PQ = 3

4

AB + 3

7

BC

PQ = 3

4

AB + 3

7 (

BA +

AC )

PQ = 9

28

AB + 3

7

AC .

4) On a

PQ = –9

7

PR . Donc les points P, Q et R sont alignés.

Exercice n°46 page 217 ABC est un triangle.

1) Construire les points I, J, K définis par :

AI = 1

4

AB ;

AJ = 3

4

AC ;

BK = 9

8

BC .


IJ en fonction de

AB et

AC .

3) a) Compléter les pointillés en utilisant la relation de Chasles :

IK =

I… +

AB +

… .

b) Exprimer le vecteur

BK en fonction de

AB et

AC .

c) En déduire que

IK = –3

8

AB + 9

8

AC .

4) Déduire des questions 2) et 3) que les points I, J et K sont alignés.

1)

2)

IJ =

IA +

AJ

IJ = –1

4

AB + 3

4

AC .

3) a)

IK =

IA +

AB +

BK .

b)

BK = 9

8

BC = 9

8 (

BA +

AC ) = –9

8

AB + 9

8

AC .

c)

IK =

IA +

AB +

BK

IK =

–1

4

AB +

AB +

–9

8

AB + 9

8

AC

IK =

–1

4 + 1 –

9

8

AB + 9

8

AC

IK = –3

8

AB + 9

8

AC .


ABCD est un parallélogramme. Les points E et F sont tels que

BE = 3

4

AB et

DF = –1

3

DA.

1) Réaliser une figure. 2) Exprimer les vecteurs

CE et

BF en fonction de

AB et

AD.

3) En déduire que les droites (CE) et (BF) sont parallèles.

1)



2)

CE =

CB +

BE = 3

4

AB –

AD .

BF =

BA +

AD +

DF = –

AB +

AD + –1

3

DA = –

AB +

AD + 1

3

AD = –

AB + 4

3

AD .

3) On en déduit que : –3

4

BF =

CE .

Donc les droites (BF) et (CE) sont parallèles.

Exercice n°48 page 217 On considère un triangle ABC. Soit M le point du plan tel que :

AM +

MB + 2

MC =

0 .

1) En utilisant la relation de Chasles, exprimer le vecteur

AM en fonction de

AB et

AC .

2) Construire le point M.

1) En utilisant la relation de Chasles,

AM +

MB + 2

MC =


AM + (

MA +

AB) + 2(

MA +

AC) =

0

AM +

MA +

AB + 2

MA + 2

AC =

0

AB + 2

MA + 2

AC =

0 2

MA =

BA + 2

CA

MA = 1

2

BA +

CA

AM = 1

2

AB +

AC .

2)


I est le milieu du segment [AB] et J celui de [IC]. Le point K est tel que :

CK = 1

3

CA .

Montrer que les points K, et B sont alignés.

On exprime

BJ et

BK en fonction des vecteurs non colinéaires

BC et

BA.

BJ =

BC +

CJ =

BC + 1

2

CI =

BC + 1

2 (

CB +

BI ) =

BC – 1

2

BC + 1

2

BI = 1

2

BC + 1

4

BA.

BK =

BC +

CK =

BC + 1

3

CA =

BC + 1

3 (

CB +

BA) = 1

3

BC – 1

3

BC + 1

3

BA = 2

3

BC + 1

3

BA .

Donc

BK = 4

3

BJ , et par suite, les vecteurs

BK et

BJ sont colinéaires.

Donc les points B, J et K sont alignés.

Exercice n°49 page 217 Soit ABC un triangle.

On définit les points M, N et P par :

AM = 2

5

AB ;

NA – 2

CN =

0 et

PC = –1

2

BC .

1) À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur

AN en fonction de

AC .

Faire une figure. 2) Exprimer les vecteurs

MN et

MP en fonction des vecteurs

AB et

AC .

3) En déduire que les points M, N, P sont alignés.



1)

NA – 2

CN =

0 équivaut à :

NA – 2(

CA +

AN) =

0 ,

soit : 3

NA – 2

CA =

0 ,

et donc

AN = 2

3

AC .

2)

MN =

MA +

AN = –2

5

AB + 2

3

AC .

MP =

MA +

AC +

CP = –2

5

AB +

AC + 1

2 (

BA +

AC ) = –9

10

AB + 3

2

AC .

3) On a

MP = 9

4

MN. Donc les vecteurs

MP et

MN sont colinéaires.

On en déduit que les points M, N et P sont alignés.

Exercice n°51 page 217 Dans l'espace Sur le tétraèdre ABCD ci-contre :

I est le milieu du segment [BC] ;

A' est le centre de gravité du triangle BCD ;

G est le milieu du segment [AA' ] ;

E est le point tel que

AE = 2

5

AI .

On souhaite démontrer que les points D, G et E sont alignés.


DE en fonction de

DA et

DI .

2) Justifier que

DG = 1

2

DA + 1

3

DI .

3) Résoudre le problème.

Aide : 2) Dans un triangle ABC où K est le milieu du segment [BC], le centre de gravité L est situé sur [AK] avec

AL = 2

3 AK, c'est-à-dire

AL = 2

3

AK.

1)

DE =

DA +

AE

DE =

DA + 2

5

AI

DE =

DA + 2

5 (

AD +

DI ).

DE =

DA + 2

5

AD + 2

5

DI .

Donc

DE = 3

5

DA + 2

5

DI .

2) G est le milieu du segment [AA' ], donc

DG =

DA +

AG =

DA + 1

2

AA' =

DA + 1

2 (

AD +

DA') = 1

2 (

DA' +

DA).

Or A' est le centre de gravité du triangle BCD, donc

DA' = 2

3

DI .

Donc

DG = 1

2

2

3

DI + 1

2

DA = 1

2

DA + 1

3

DI .

3) On a

DG = 5

6

DE . Donc les vecteurs

DE et

DG sont colinéaires. Donc les points D, G, E sont alignés.

Exercice n°52 page 218 Soit ABC un triangle non aplati.

Soit D et E les points vérifiant :

BD = 2

AC + 1

2

AB et

EC = 3

2

BC – 5

2

AB .

1) Réaliser une figure. 2) Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.



1)

2)

DE =

DB +

BC +

CE , soit :

DE =

–2

AC – 1

2

AB +

BC +

3

2

CB + 5

2

AB

DE = 2

CA + 2

AB – 1

2

BC

DE = 2

CB – 1

2

BC

DE = –5

2

BC .

Les vecteurs

DE et

BC sont colinéaires, donc les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Exercice n°53 page 218 ABCD est un parallélogramme.

Les points E, F, G et H sont les symétriques de A, B, C et D respectivement par rapport

aux points B, C, D et A.

Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ?

EF =

EB +

BF = –

AB + 2

AD .

HG =

HD +

DG = –

AB + 2

AD .

Donc

EF =

HG, donc EFGH est un parallélogramme .


Les points I, J et K sont définis par :

AI = 3

5

AB ;

CJ = 3

2

BC et

CK = 2

3

AC .

On munit le plan du repère (B ; C, A).

1) Déterminer les coordonnées des points de la figure. 2) Démontrer que les droites (AJ), (BK) et (CI) sont parallèles.

1) B (0 , 0) , C (1 , 0) , A (0 ; 1) , I

0 ,

2

5, J

5

2 , 0 .

BK =

BC +

CK =

BC + 2

3

AC =

BC + 2

3 (

AB +

BC ) = 5

3

BC – 2

3

BA , donc K

5

3 , –2

3.

2)

AJ

5

2 , –1 ,

IC

1 ,

–2

5,

BK

5

3 , –2

3, donc

AJ = 5

2

IC et

BK = 5

3

IC .

Donc les droites (AJ), (BK) et (CI) sont parallèles.

Exercice n°94 page 222 Soit ABC un triangle et x un réel. On considère les points M et N tels que :

AM = x

AB et

CN = x

CA .

On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [MN]. Montrer que les points I, J et K sont alignés.

On se place dans le repère (A ; B, C).

M(x ; 0), N(0 ; 1 – x), K

x

2 ,

1 – x

2, I

1

2 , 0 et J

0 ,

1

2.

On a

IK

x – 1

2 ,

1 – x

2, donc

IK = x – 1

2

u avec

u

1

–1.



On a

KJ

–x

2

x

2

, donc

KJ = –x

2

u avec

u

1

–1.

Les vecteurs

IK et

KJ sont colinéaires, donc les points I, J, K sont alignés.

Exercice n°100 page 223 Plusieurs méthodes de résolution

ABCD est un rectangle. Soit I le milieu du segment [AB] et K le point défini par

DK = 2

3

DI .

Après avoir fait une figure, démontrer que les points A, K et C sont alignés :

a) en utilisant l'outil vectoriel ; b) en utilisant le repère (A ; B, D) ; c) en utilisant les configurations.

a)

AK =

AD +

DK

AK =

AD + 2

3

DI

AK =

AD + 2

3 (

DA +

AI )

AK = 2

3

AI + 1

3

AD .

Comme

AC = 2

AI +

AD , on a

AC = 3

AK . Donc les points A, K et C sont alignés.

b) Dans le repère (A ; B, D), I

1

2 , 2 .

En utilisant le théorème de Thalès, K

1

3 ,

1

3.

Donc

AK

1

3

1

3

et

AC

1

1, donc

AC = 3

AK.

c) K est le centre de gravité du triangle DAB, car il se trouve au 2

3 de la médiane [DI].

Donc K appartient à la médiane (AO) issue de A, qui n’est autre que la diagonale (AC).

Exercice n°101 page 223 Soit ABC un triangle et x un réel. À chaque valeur de x on associe les points E et F tels que :

AE = 1

3

AB + x

AC et

AF = x

AB + 1

3

AC .

1) Construire E et F pour x = –1.

2) Montrer que, pour tout réel x 1

3 , les droites (EF) et (BC) sont parallèles :

a) en utilisant le calcul vectoriel ; b) en utilisant le repère (A ; B, C).

3) Pour quelles valeurs de x a-t-on :

a) E = F ?

b) BCFE est un parallélogramme ?

1)

2) a)

EF =

EA +

AF .

Donc

EF = –1

3

AB – x

AC = x

AB + 1

3

AC



EF =

x –

1

3(

AB –

AC ) =

x –

1

3

CB =

1

3 – x

BC .

Les vecteurs

EF et

BC sont colinéaires, donc les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

Dans le repère (A ; B, C), on a : B(1 ; 0), C(0 ; 1), E

1

3 , x , F

x ,

1

3.

Donc

EF

x –

1

3

1

3 – x

et

CB

1

–1.

Comme

x –

1

3 (–1) –

1

3 – x 1 = 0, les vecteurs

EF et

CB sont colinéaires, donc les droites (EF) et (BC)

sont parallèles.3)

a) E = F si, et seulement si,

EF =

0 , soit x = 1

3.

b) BCFE est un parallélogramme si, et seulement si,

EF =

BC , c’est-à-dire 1

3 – x = 1, soit x =

–2

3.

Exercice n°109 pages 224-225 On considère un triangle ABC quelconque.

1) Construire les points D, E et G tels que :

AD = –

AB ;

AE = 3

2

AC ;

AG = 1

2

AC .

2) a) Justifier l'égalité :

GB +

GD +

GE = (

GA +

AB) + (

GA +

AD) +

GE .

b) En déduire que :

GC +

GD +

GE =

0 .

Que représente le point G pour le triangle BDE ?

3) En déduire que la droite (BG) coupe la droite (DE) au point F, milieu du segment [DE]. 1)

2) a) En utilisant la relation de Chasles :

GB +

GD +

GE = (

GA +

AB) + (

GA +

AD) +

GE .

b) On a :

GB +

GD +

GE = 2

GA +

GE +

AB +

AD .

Or

GE =

GA +

AE =

GA + 3 1

2

AC =

GA + 3

AG.

Donc

GE = 2

AG.

Ainsi 2

GA +

GE = 0 et

AB +

AD =

0 .

Donc

GB +

GD +

GE =

0 .

Le point G est le centre de gravité du triangle BDE.

3) La droite (BG) est la médiane issue de B du triangle BDE. Donc elle coupe la droite (DE) au point F, le milieu du

segment [DE].

Activité n°4 page 201 : Appartenance à une droite On considère un repère du plan. Soit la droite d'équation y = 2x + 1 dans ce repère, et f la fonction définie sur IR par

f (x) = 2x + 1.

1) Déterminer, parmi les points suivants, lesquels appartiennent à la droite D :

A(0 ; 1) ; B(–2 ; –3) ; C(3 ; 7) ; D(–5 ; –11).

2) On souhaite automatiser les calculs permettant d'examiner si un point appartient à la droite D.

a) À la calculatrice, on a entré la fonction f en Y1, puis on a créé l'un des deux programmes suivants :

Commentaires :

est obtenu par :

est obtenu par :

Voir les fiches Calculatrices, page 394.

Pour chaque programme, repérer :



- la saisie des coordonnées d'un point M ;

- le calcul permettant de savoir si le point M appartient à la droite D ;

- le texte affichant le résultat. b) Programmer la calculatrice, puis vérifier les résultats obtenus à la question 1).

1) Un point appartient à la droite D si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l’équation de la droite D.

2 0 + 1 = 1, donc A D.

De même, B D, C D, D D.

2) a) Si M(x ; y), on compare y avec 2x + 1.

S’il y a égalité, la réponse est « oui » ; dans le cas contraire, c’est « non ». b) On vérifie les résultats du 1).

Activité n°5 page 201 : Caractériser un ensemble de points

Dans un repère (O ; I, J), on considère le point A(–1 ; 1) et le vecteur

u

3

1.

L'objectif de l'activité est d'identifier l'ensemble E des points M tels que

AM = a

u avec a IR, puis d'en donner une équation. 1) a) En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, construire le point A, le

vecteur

u , un réel variable ou curseur a et le point M tel que

AM = a

u .

b) En faisant varier a, conjecturer l'ensemble E.

1) a)

b) On conjecture que l’ensemble E est la droite passant par le point A et de vecteur directeur

u .

2) a) Si le point M appartient à l'ensemble E, que peut-on dire des vecteurs

AM et

u ?

La réciproque est-elle vraie ? b) Recopier et compléter la phrase suivante :

« Le point M appartient à E si, et seulement si, les vecteurs

AM et

u

… » Voir la fiche Geogebra, page 392 2) a) Si M E, alors il existe un réel a tel que

AM = a

u ;

donc les vecteurs

AM et

u sont colinéaires .

Réciproquement si

AM et

u sont colinéaires, alors il existe un réel a tel que

AM = a

u .

b) « Le point M appartient à E si, et seulement si, les vecteurs

AM et

u sont colinéaires ».

3) a) Déterminer les coordonnées du point B tel que

AB =

u .

b) Démontrer que M appartient à la droite (AB) si, et seulement si, les vecteurs

AM et

u sont colinéaires.

c) Conclure sur la nature de E.

3) a) B (2 , 2) .

b) M (AB) si, et seulement si,

AM et

AB sont colinéaires ; donc si, et seulement si,

AM et


c) L’ensemble E est la droite (AB).

4) Démontrer que M(x ; y) appartient à E si, et seulement si, x – 3y + 4 = 0.

4) Si M(x ; y), alors

AM

x + 1

y – 1.

En utilisant la condition analytique de colinéarité,

AM et

u colinéaires équivaut à (x + 1) 1 – 3 (y – 1) = 0 ; donc

M E si, et seulement si, x – 3y + 4 = 0.

3 ÉQUATIONS CARTÉSIENNES D'UNE DROITE

3.1 Vecteurs directeurs d'une droite

DÉFINITION 2

On appelle vecteur directeur

u d'une droite D tout vecteur non nul, colinéaire au

vecteur

AB où A et B sont deux points distincts de D. On dit alors que

u dirige D.

Commentaires :

La direction d'un vecteur directeur de D définit la direction de la droite D.

Deux vecteurs directeurs d'une même droite D sont donc non nuls et colinéaires : ils ont même direction.

On peut définir une droite D par la donnée d'un point A et d'un vecteur directeur

u :

M D équivaut à

AM et




Exemple :

La droite D : y = –2x + 1 passe par les points A(–1 ; 3) et B(1 ; –1).

D admet comme vecteur directeur

AB

2

–4 ou

u

1

–2.

3.2 Équations cartésiennes d'une droite

PROPRIÉTÉ 2

Les coordonnées (x ; y) de tous les points M d'une droite D vérifient une équation de la forme : ax + by + c = 0,

où a, b et c sont des réels avec (a ; b) (0 ; 0).

Une telle équation s'appelle une équation cartésienne de D.

Démonstration : Soit une droite D passant par un point A(x

A ; y

A) et de vecteur directeur (non

nul)

u

.

Pour tout point M(x ; y) du plan, M D équivaut à :

AM

x – x

A

y – yA

et

u

sont colinéaires

(x – xA

) – (y – yA

) = 0

x – y + (–xA

+ yA

) = 0 et ( ; –) (0 ; 0), car

u

0 .

Remarque : Une droite D admet une infinité d'équations cartésiennes, dont les coefficients sont deux à deux proportionnels.

Exemple :

Soit D la droite passant par A(–2 ; 3) et dirigée par

u

2

5. M(x ; y) D équivaut à :

AM

x + 2

y – 3 et

u

2

5 sont colinéaires

5(x + 2) – 2(y – 3) = 0

5x + 10 – 2y + 6 = 0

5x – 2y + 16 = 0.

D admet pour équation cartésienne 5x – 2y + 16 = 0.

PROPRIÉTÉ 3

Soit des réels a, b, c, a', b' et c' avec (a ; b) (0 ; 0) et (a' ; b') (0 ; 0).

L'ensemble des points M(x ; y) vérifiant ax + by + c = 0 est une droite de vecteur directeur

u

–b

a.

Les droites D et D' d'équations respectives : ax + by + c = 0 et a' x + b' y + c' = 0 sont parallèles si, et

seulement si, (a ; b) et (a' ; b') sont proportionnels.

Démonstration : Voir les exercices 77 et 78, page 220.

Exemple :

La droite D d'équation : 3x + 4y – 10 = 0 admet comme vecteur directeur

u

–4

3.

Exemples :

D : 2x – y + 3 = 0 et D' : –4x + 2y + 1 = 0 sont parallèles, car (2 ; –1) et (–4 ; 2) sont proportionnels.

D et D" : 2x + 3y + 2 = 0 ne sont pas parallèles, car (2 ; –1) et (2 ; 3) ne sont pas proportionnels.

Exercice corrigé : Déterminer une équation cartésienne de droite Le plan est rapporté au repère (O ; I, J). On considère les points

A(0 ; 2) et B(3 ; 1), et le vecteur

u

2

1.

Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites suivantes :

a) d1 est la droite passant par le point A et de vecteur directeur

u ;

b) d2 est la droite (AB) ;



c) d3 est la parallèle à l'axe des ordonnées passant par B.

Solution : Méthode : Pour déterminer une équation cartésienne d'une droite d :

a) La droite d1 passe par le point A(0 ; 2) et a pour vecteur directeur

u

2

1. Donc pour tout point M(x ; y) du plan, M d

1 équivaut à :

AM

x

y – 2 et

u

2

1 sont colinéaires

x 1 – (y – 2) 2 = 0.

En développant, on obtient une équation cartésienne de la droite d

1 : x – 2y + 4 = 0.

d est la droite passant par un point

A et de vecteur directeur

u , alors d

est l'ensemble de points M(x ; y)

tels que

AM et


On utilise la condition analytique de colinéarité.

b) La droite d2 a pour vecteur directeur

AB

3

–1. Alors d

2 a une

équation cartésienne du type : –1x – 3y + c = 0.

Comme les coordonnées du point A vérifient cette équation, on

doit avoir : –1 0 – 3 2 + c = 0. Donc c = 6.

La droite d2 a pour équation cartésienne –x – 3y + 6 = 0.

Si la droite d passe par deux points

A et B, alors d a pour vecteur

directeur

AB .

c) La droite d3 passe par le point B(3 ; 1) et a pour vecteur directeur

OJ . Donc pour tout point M(x ; y) du plan, M d3 équivaut à :

BM

x – 3

y – 1 et

OJ

0

1 sont colinéaires

(x – 3) 1 – (y – 1) 0 = 0.

En développant, on obtient une équation cartésienne de la droite d

3 : x – 3 = 0.

Si la droite d est parallèle à l'axe

des ordonnées, alors d a pour

vecteur directeur

OJ .

On peut aussi écrire que si la droite

d a pour vecteur directeur

u

a

b

alors d a une équation cartésienne

du type bx – ay + c = 0.

Exercice n°7 page 205 On considère le triangle ABC ci-contre.

1) Déterminer une équation cartésienne de chaque droite portant un côté du triangle ABC.

2) Si E est le milieu du segment [AB] et F le milieu du segment [BC], déterminer une

équation cartésienne de la droite (EF).

1)

Soit M(x ; y) et A(–2 ; 2), on a

AB

4

2 et

AM

x + 2

y – 2.

Le point M appartient à (AB) équivaut à

AM et

AB sont colinéaires,

c'est-à-dire 4(y – 2) – 2(x + 2) = 0.

La droite (AB) a pour équation : x – 2y + 6 = 0 .

La droite (AC) passe par A(–2 ; 2) et C(2 ; 1), donc son coefficient directeur est : 1 – 2

2 – (–2) = –1

4 ;

donc (AC) a pour équation y = –1

4 x + p. Comme elle passe par A, on a 2 =

–1

4 (–2) + p ; donc p =

3

2 .

La droite (AC) a pour équation y = –1

4 x +

3

2.

La droite (BC) est parallèle à l'axe des ordonnées. Elle admet pour équation est x = 2 .

2) La droite (EF) est parallèle à (AC), donc elle a pour équation y = –1

4 x + p. Comme elle passe par E(0 ; 3), on a

p = 3 ; donc (EF) a pour équation y = –1

4 x + 3 .

Exercice n°17 page 213 Q.C.M. Pour chacune des questions suivantes, déterminer toutes les réponses correctes.

1) ABC est un triangle,

AM = –1

3

AB et a)

MN et

BC sont

non colinéaires b)

MN = 1

3

BC c)

MN = 1

3

CB



AN = 1

3

AC , alors :

2) Les vecteurs

u

a

2 et

v

2

a + 3 sont

colinéaires si, et seulement si

a) a = –4 b) a = –1 c) a {–4 ; 1}

3) A et B sont deux points donnés. Si le

point M vérifie 2

MA +

BM =

0 , alors : a)

AM = –

AB b)

AM = 2

AB c)

MA =

BA

4) La droite a pour équation 2x – y + 4 = 0,

donc : a) A(–2 ; 8) b) B(2 ; –1) c) C(4 ; 12)

5)

a) M(2 ; 2) (AB) b) N(49 ; 33) (AB) c) P(14 ; 12) (AB)

6) La droite d passant par A(2 ; –1) et qui a

pour vecteur directeur

u

1

–1 a pour

équation cartésienne :

a) x – y – 3 = 0 b) x + y – 1 = 0 c) 2x + 2y – 1 = 0

7) La droite d'équation y = –3x + 4 a pour

coefficient directeur : a) –3 b) –3x c) 4

8) Les droites (AB) et

(CD) :

a) sont parallèles

b) se coupent en

M

12 ,

56

3

c) se coupent en

M

12 ,

55

3

1) b .

2) c .

a .

4) c .

5) b .

6) b .

7) a .

8) b .

Exercice n°18 page 213 Vrai ou faux ? Préciser dans chaque cas si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1) Toute droite du plan admet un coefficient directeur.

2) La droite d d'équation 3x + 5y – 10 = 0 admet aussi pour équation y = –3

5 x + 2.

3) La droite tracée ci-contre admet pour vecteur directeur

u

3

2.

4) Le système 2x – 3y = 8

–6x + 9y = 7 admet une solution unique.

1) Faux .

2) Faux .

3) Faux .

4) Vrai .



Exercice n°102 page 223 Le plan est rapporté au repère (O ; I, J).

1) Tracer la droite d d'équation y = 2

3 x + 2.

Préciser son coefficient directeur et donner un de ses vecteurs directeurs

u .

1) Voir le schéma ci-dessous.

Le coefficient directeur de d est 2

3.

Le vecteur

u

3

2 dirige d.

2) Vérifier que les points A(3 ; 4) et B(–3 ; 0) sont des points de d.

2) Pour A : 2

3 x

A + 2 =

2

3 3 + 2 = 2 + 2 = 4 = y

A .

Pour B : 2

3 x

B + 2 =

2

3 (–3) + 2 = –2 + 2 = 0 = y

B .

3) Construire la droite passant par le point D(2 ; –1) et de vecteur directeur

v

–6

–4.

3)

4) Démontrer que les droites d et sont parallèles.

4) Les droites d et ont pour vecteurs directeurs

u

3

2 et

v

–6

–4, qui sont tels que

v = –2

u .

Donc les droites d et sont parallèles.

a) ; Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AD].

b) Construire le symétrique E du point B par rapport à I et déterminer ses coordonnées.

a) ; Le milieu I du segment [AD] a pour coordonnées

3 + 2

2 ,

4 + (–1)

2, soit

5

2 ,

3

2.

b) Si on pose E(xE ; y

E), on a

BI

11

2

3

2

et

IE

x

E –

5

2

yE –

3

2

.

BI =

IE équivaut à :

11

2 = x

E –

5

2

3

2 = y

E –

3

2

, soit à :

x

E = 8

yE = 3

. Donc E (8 , 3) .

5) Démontrer que les droites (BD) et (AE) sont parallèles.

5) Le quadrilatère ABDE a ses diagonales qui se coupent en leur milieu I, donc ABDE est un parallélogramme.

Donc les droites (BD) et (AE) sont parallèles.

Exercice n°5 page 205 Dans un repère du plan (O ; I, J), déterminer une équation cartésienne de :

a) la droite (AB) où A(2 ; –3) et B(–1; 2) ;

b) la droite passant par C(3 ; 4) et de vecteur directeur

u

–2

3.

c) la droite d parallèle à l'axe des abscisses passant par A.



a)

AB

–3

5. Le point M(x ; y) appartient à la droite (AB) si, et seulement si,

AM

x – 2

y + 3 et

AB sont colinéaires ; soit :

(x – 2) 5 – (y + 3) (–3) = 0.

Donc la droite (AB) a pour équation 5x + 3y – 1 = 0 .

b) Le point M(x ; y) appartient à la droite d si, et seulement si,

CM

x – 3

y – 4 et

u sont colinéaires ; soit :

(x – 3) 3 – (y – 4) (–2) = 0.

Donc la droite d a pour équation 3x + 2y – 17 = 0 .

c) La droite d a pour vecteur directeur

OI

1

0. Donc elle a pour équation y = –3 .

Exercice n°6 page 205 On considère la droite d d'équation cartésienne (a – 1)x – 2y + 3 = 0, où a est un réel.

Déterminer le réel a pour que d passe par le point A(–3 ; 5).

Dans ce cas-là, donner un vecteur directeur de d.

La droite d passe par A si, et seulement si, (a – 1) (–3) – 2 5 + 3 = 0 ; soit a = –4

3 .

La droite d a pour équation cartésienne : –7

3 x – 2y + 3 = 0 et a pour vecteur directeur

u

6

–7.

3.3 Lien entre équation réduite et équations cartésiennes

PROPRIÉTÉ 4

Soit D une droite d'équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0).

Si b = 0, alors D est une droite parallèle à l'axe des ordonnées, qui admet une équation réduite de la forme :

x = k, où k est un réel.

Le vecteur de coordonnées

0

1 est alors un vecteur directeur de D.

Si b 0, alors D est une droite qui admet une unique équation réduite de la forme : y = mx + p.

m est le coefficient directeur de D ; p est l'ordonnée à l'origine de D.


1

m est alors un vecteur directeur de D.

Démonstration :

Soit D une droite d'équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0).

Si b = 0 : comme (a ; b) (0 ; 0), alors a 0.

L'équation ax + by + c = 0 est équivalente à : ax + c = 0,

c'est-à-dire : x = –c

a .

On sait que le vecteur de coordonnées

–b

a, donc ici

0

a, est un vecteur directeur de D. Le vecteur de

coordonnées

0

1 est colinéaire à ce vecteur et non nul : donc il dirige D.

Si b 0 : l'équation ax + by + c = 0 est équivalente à : y = –a

b x +

–c

b .

Le coefficient directeur m de D est : m = –a

b .

On sait que le vecteur de coordonnées

–b

a est un vecteur directeur de D. Le vecteur de coordonnées

1

–a

b, c'est-à-dire

1

m est colinéaire à ce vecteur et non nul : donc il dirige D.



Interprétation graphique : Si b = 0 :

Si b 0 :

On retrouve l'interprétation graphique du coefficient directeur : lorsqu'on passe d'un point de à un autre en

augmentant l'abscisse de 1, l'ordonnée varie de m.

3.4 Synthèse

Équation cartésienne Équation réduite

Soit D la droite admettant

pour équation cartésienne : ax + by + c = 0

avec (a ; b) (0 ; 0). Le vecteur de coordonnées

–b

a est un vecteur directeur

de la droite D.

Si b = 0 : x = k (k réel fixé).


0

1 est

un vecteur directeur de la droite D.

Si b 0 : y = mx + p.


1

m est

un vecteur directeur de la droite D.

Exercice corrigé : Utiliser les équations de droites et les vecteurs directeurs pour étudier alignement ou parallélisme

Dans le repère (O ; I, J), on considère les points A(–1 ; 2), B(1 ; 3) et C(195 ; 100).

1) a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).

b) Les points A, B et C sont-ils alignés ?

2) La droite d d'équation y = 1

2 x + 1 est-elle parallèle à la droite (AB) ?

3) Le point C appartient-il à la droite passant par le point J et de coefficient directeur 3

5 ?

Solution : Méthode : La figure ci-contre a été complétée au fur et à mesure des questions.

1) a) La droite (AB) passe par le point A et a pour vecteur directeur

AB

1 – (–1)

3 – 2 =

2

1.

Donc pour tout point M(x ; y) du plan, M (AB) équivaut à :

AM

x + 1

y – 2 et

AB

2

1 sont colinéaires

(x + 1) 1 – (y – 2) 2 = 0.

En développant, on obtient une équation de la droite (AB) : x – 2y + 5 = 0.

b) On a 195 – 2(100) + 5 = 0 ; les coordonnées

du point C vérifient l'équation obtenue pour

la droite (AB). Donc les points A, B et C

sont alignés.

Pour étudier l'alignement de trois points A, B et C,

on peut examiner si les coordonnées du point C

vérifient une équation de la droite (AB).

(Voir d'autres méthodes dans le Savoir-faire, p. 205.)

2) La droite (AB) a pour vecteur directeur

AB

2

1, la droite d a pour vecteur

directeur

u

1

1

2. Comme

AB = 2

u , les vecteurs

AB et

u sont colinéaires ;

ils définissent donc la même direction, et les droites (AB) et d sont

parallèles.

Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on

peut prouver qu'elles ont des vecteurs directeurs colinéaires : le vecteur de

coordonnées

–b

a

dirige la droite

d'équation ax + by + c = 0 ;

le vecteur de

3) La droite a pour coefficient directeur 3

5 . Le vecteur

1

3

5 est donc un

vecteur directeur de . Si C appartient à , J appartenant aussi à , alors le



vecteur

JC dirige et est donc colinéaire à

v .

Le vecteur

JC a pour coordonnées

195 – 0

190 – 1, soit

195

189.

Or 1 189 – 3

5 195 = 72 (non nul).

coordonnées

1

m

dirige la droite d'équation y = mx + p.

Donc les vecteurs

JC et

v ne sont pas colinéaires : le point C n'appartient pas à la droite .

Exercice n°4 page 226 Droite définie par deux points Voir le savoir-faire page 2055. Déterminer une équation de la droite passant par A(1 ; –2) et B(3 ; 2).

Méthode : Considérer la droite (AB) comme la droite passant par A et de vecteur directeur

AB .

La droite passant par A(1 ; –2) et B(3 ; 2) a pour vecteur directeur

AB

2

4.

M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement si,

AB et

AM

x – 1

y + 2 sont colinéaires,

soit (x – 1) 4 – (y + 2) 2 = 0, ou encore 4x – 2y – 8 = 0.

La droite (AB) admet pour équation 2x – y – 4 = 0 .

Exercice n°6 page 226 Droites parallèles Voir le savoir-faire page 207. On considère la droite d d'équation cartésienne 3x – 6y – 6 = 0 et la droite d' passant par A(2 ; 3) et de vecteur directeur

u

–4

–2.

Démontrer que les droites d et d' sont parallèles.

Méthode : On pourra démontrer que les droites d et d' ont des vecteurs directeurs colinéaires.

La droite d d’équation cartésienne 3x – 6y – 6 = 0 a pour vecteur directeur

v

6

3.

Comme (–4) 3 – (–2) 6 = 0, les vecteurs

u et

v sont colinéaires. Donc les droites d et d' sont parallèles.

Exercice n°7 page 226 Des points alignés On considère les points A(–1 ; 2), B(1 ; 3) et C(51 ; 28).

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). 2) Les points A, B et C sont-ils alignés ?

1) La droite (AB) admet pour vecteur directeur

AB

2

1.

M(x ; y) appartient à (AB) si, et seulement si,

AB et

AM

x + 1

y – 2 sont colinéaires,

soit (x + 1) 1 – (y – 2) 2 = 0, ou encore x – 2y + 5 = 0.

Une équation cartésienne de la droite (AB) est x – 2y + 5 = 0 .

2) On a : 51 – 2 28 + 5 = 51 – 56 + 5 = 0. Donc le point C appartient à la droite (AB).

Les points A, B et C sont alignés .

Exercice n°10 page 207 Sur le dessin ci-contre fait à main levée, EAF est un triangle rectangle en A et ABCD un carré.

Les points F, C et E sont-ils alignés ?

Parmi toutes les méthodes possibles, choisissons celle faisant intervenir tes équations de droites. On se place dans un repère orthonormé d'origine A et dont les axes sont portés par (AE) et (AF).

On a E(13 ; 0) et F(0 ; 21).

Pour tout M(x ; y), M appartient à la droite (EF) si, et seulement si,

EF

–13

21 et

EM

x – 13

y sont colinéaires, c'est-à-

dire –13y – 21 (x – 13) = 0.

D'où l'équation de (EF) : –13y – 21x + 273 = 0.

Comme les coordonnées de C(8 ; 8) ne vérifient pas cette équation, les points F, C et E ne sont pas alignés .



Exercice n°11 page 208 Étudier les positions relatives de deux droites On considère les droites D

1 , D

2 et D

3 définies par leurs équations dans un repère (O ; I, J) :

D1 : x + 2y – 1 = 0 ; D

2 : y =

–x

2 + 3 ; D

3 : –2x + 3y + 5 = 0.

1) Les droites D1 et D

2 sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

2) Les droites D1 et D

3 sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

1) La droite D1 a pour équation 1x + 2y – 1 = 0. Donc elle est dirigée par le vecteur

u1 de coordonnées

–2

1.

La droite D2 a pour équation réduite y =

–1

2 x + 3. Donc elle est dirigée par le

vecteur

u2 de coordonnées

1

–1

2.

On a :

u1 = –2

u2 . Les vecteurs

u1 et

u2 sont colinéaires, et donc les droites D

1 et

D2 sont parallèles.

Pour déterminer si deux droites sont parallèles, on examine si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. On utilise le fait que : le vecteur de coordonnées

–b

a dirige la droite

d'équation ax + by + c = 0 ;

le vecteur de coordonnées

1

m dirige la droite

d'équation y = mx + p.

2) La droite D3 a pour équation –2x + 3y + 5 = 0. Donc elle est dirigée par le vecteur

u3 de coordonnées

–3

–2.

Comme –2 (–2) – 1 (–3) = 7 (non nul), les vecteurs

u1 et

u3 ne sont pas

Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites, on résout le système formé des équations des deux droites.

colinéaires : les droites D1 et D

3 sont sécantes en un point.

Les coordonnées (x ; y) du point d'intersection des droites D1 et D

3 vérifient les équations des deux droites.

On résout le système : x + 2y – 1 = 0

–2x + 3y + 5 = 0 ;

x = –2y + 1

–2(–2y + 1) + 3y + 5 = 0 ;

x = –2y + 1

y = –3

7 ;

x = –2

–3

7 + 1

7y + 3 = 0

;

x = 13

7

y = –3

7

.

Donc D1 et D

2 sont sécantes au point de coordonnées

13

7 , –3

7.

Exercice n°12 pages 208-209 Utiliser les équations de droites pour étudier une configuration Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle isocèle rectangle en A.

Les points I et J sont tels que

AI = –2

AB et

CJ = 3

4

CA .

Le point K est le symétrique du point C par rapport à B.

1) Dans le repère (A ; B, C), lire les coordonnées des points de la figure.

2) Démontrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes en un point

dont on précisera les coordonnées.

1) On lit : A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(0 ; 1), I(–2 ; 0), J

0 ,

1

4 et K(2 ; –1).

2) La droite (AK) passe par le point A et a pour vecteur directeur

AK .

Donc pour tout point M de coordonnées (x ; y) :

M (AK) équivaut à :

AM

x

y et

AK

2

–1 sont colinéaires

–1 x – 2 y = 0.

Donc la droite (AK) a pour équation x + 2y = 0.

On détermine par exemple les coordonnées du point d'intersection E des droites

(AK) et (CI).

Il faut pour cela d'abord déterminer des équations de chacune des deux droites (AK)

et (CI).

La droite (CI) passe par le point C et a pour vecteur directeur

CI . Donc pour tout point M de coordonnées

(x ; y) :

M (CI) équivaut à :

CM

x

y – 1 et

CI

–2


–1 x – (–2) (y – 1) = 0.

En développant, on obtient une équation de la droite (CI) : –x + 2y – 2 = 0.

On résout :

x + 2y = 0

–x + 2y – 2 = 0. En ajoutant les deux lignes, le système est

Le couple des coordonnées de E est solution du système formé



équivalent à : x + 2y = 0

4y – 2 = 0 , soit

x = –2y

y = 1

2 , ou encore

x = –1

y = 1

2 .

Ainsi, les droites (AK) et (CI) sont sécantes au point E

–1 ,

1

2.

des équations des droites (AK)

et (CI).

Les vecteurs

BJ et

BE ont respectivement pour coordonnées

–1

1

4 et

–2

1

2.

Comme –1 1

2 –

1

4 (–2) = 0, les vecteurs

BJ et

BE sont colinéaires :

le point E appartient à la droite (BJ).

On montre ensuite que le point E appartient à la droite (BJ),

par exemple en montrant que les vecteurs

BJ et

BE sont

colinéaires.

Conclusion : (AK), (CI) et (BJ) sont concourantes au point E

–1 ,

1

2.

Exercice n°58 page 218 Vrai ou faux ? On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ). Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1) Deux droites d'équations cartésiennes différentes sont distinctes. 2) Toute droite admet un vecteur directeur. 3) Toute droite admet un coefficient directeur.

1) Faux .

2) Vrai .

3) Faux .

Exercice n°8 page 207 Dans un repère, on considère les points A(0 ; 1), B(1,5 ; 2), C(5,5 ; 3) et D(1 ; 0). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

AB

1,5

1 et

CD

–4,5

–3.

Comme 1,5 (–3) – 1 (–4,5) = –4,5 + 4,5 = 0, alors

AB et

CD sont colinéaires.

Les droites (AB) et (CD), qui ont des vecteurs directeurs colinéaires, sont parallèles .

Exercice n°9 page 207 On considère les points A(1 ; –1), B(–2 ; 3), C(5 ; –6) et D(1 297 ; –1 729).

Les quatre points A, B, C et D sont-ils alignés ?

On a

AB

–3

4,

AC

4

–5.

–3(–5) – 4 4 = 15 – 16 = –1 0, donc

AB et

AC ne sont pas colinéaires.

Donc les points A, B, C et D ne sont pas alignés .

Exercice n°10 page 227 Avec un paramètre Soit m un réel quelconque. Dans un repère du plan on considère l'ensemble E

m des points M(x ; y) tels que :

(m – 1)y – (2m + 3)x + 10 = 0.

1) Pourquoi l’ensemble Em est-il toujours une droite du plan ?

2) Parmi les droites Em , y a-t-il des droites parallèles aux axes de coordonnées ? Si oui, les déterminer.

3) Démontrer que toutes les droites Em passent par un point fixe noté K.

4) Combien de droites Em passent par le point A(a ; b) ? Discuter suivant les valeurs des réels a et b.

1) L’équation (m – 1)y – (2m + 3)x + 10 = 0 est du type ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0), c’est donc une équation

cartésienne. D’où l’ensemble E

m est toujours une droite du plan.

2) L’ensemble Em est parallèle à l’axe des ordonnées si, et seulement si, m – 1 = 0, soit m = 1.

L’ensemble Em est alors la droite d’équation x = 2 .

L’ensemble Em est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, –(2m + 3) = 0, soit m =

–3

2 .

L’ensemble Em est alors la droite d’équation y = 4 .

3) Le point commun à toutes les droites Em ne peut être que I(2 ; 4), le point d’intersection de deux droites

précédentes.

Vérifions : (m – 1) 4 – (2m + 3) 2 + 10 = 0 pour tout réel m.



4) Le point A(a ; b) appartient à l’ensemble Em si, et seulement si :

(m – 1)b – (2m + 3)a + 10 = 0 mb – b – 2ma – 3a + 10 = 0

(b – 2a)m = b + 3a – 10.

Si b 2a, alors la droite de paramètre : m = b + 3a – 10

b – 2a passe par le point A(a ; b).

Si b = 2a, alors l’équation de l’ensemble Em s’écrit 0 = b + 3a – 10.

On a alors le système suivant : b = 2a

0 = b + 3a – 10 qui équivaut à :

b = 2a

0 = 2a + 3a – 10 ;

b = 4

a = 2 .

Si a = 2 et b = 4, alors toutes les droites passent par ce point (on retrouve le résultat de la question 3)).

Si a 2 et b = 2a, alors aucune droite ne passe par le point de coordonnées (a ; b).

Exercice n°54 page 218 Q.C.M. Donner la bonne réponse. A, B et C sont trois points distincts du plan.

1) L'ensemble des points M qui vérifient :

CA +

CB = 2

CM est :

a) la droite (AB). b) le milieu du segment [AB]. c) le milieu du segment [BC].

2) L'ensemble des points M du plan qui vérifient

AM =

AC + t

BA (t réel quelconque) est :

a) le point A. b) la droite (BA). c) la droite parallèle à (AB) passant par le point C.

1)

CA +

CB = 2

CM équivaut à :

MC +

CA +

MC +

CB =

0

MA +

MB =

0

MA =

BM.

Réponse b .

2)

AM =

AC + t

BA équivaut à :

CA +

AM = t

BA

CM = t

BA .

Réponse c .

Exercice n°59 page 218 Vrai ou faux ? On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ).

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1) La droite d'équation 4x – 5y + 60 = 0 coupe les axes de coordonnées en A(4 ; 0) et B(0 ; 5).

2) Les deux droites d'équations respectives : 4x – 6y + 10 = 0 et 2x – 3y + 7 = 0 sont parallèles.

3) Les points A(3 ; 2) et B(31 ; 21) sont alignés avec l'origine du repère.

1) Pour y = 0, on a 4x + 60 = 0, soit x = –15.

Pour x = 0, on a –5y + 60 = 0, soit y = 12.

Donc la droite coupe les axes aux points de coordonnées (–15 ; 0) et (0 ; 12).


2) Des vecteurs directeurs ont pour coordonnées respectives

6

4 et

3

2, qui sont colinéaires.


3) Les vecteurs

OA

3

2 et

OB

31

21 ne sont pas colinéaires, car 3 21 – 2 31 = 63 – 62 = 1 0.


Exercice n°57 page 218 Q.C.M. On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ).

Donner toutes les bonnes réponses. 1) La droite d'équation cartésienne x – 2y + 3 = 0 a pour vecteur directeur :

a)

u

1

2 ; b)

u

2

1 ; c)

u

1

0,5.

2) La droite d'équation cartésienne 2x + 3y – 5 = 0 passe par les points :

a) A(3 ; 2) ; b) B(1 ; 1) ; c) C(–2 ; 3).

3) La droite passant par le point A(1 ; 2) et qui a pour vecteur directeur

u

–1

2 a pour équation cartésienne :

a) 2x + y – 4 = 0 ; b) –x + 2y – 3 = 0 ; c) y = –2x + 4.

1) b et c .

2) b et c .



3) a et c .

Exercice n°60 page 219 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ).

Dans un repère, on considère le point A(2 ; 3).

Tracer les droites 1 ,

2 ,

3 et

4 passant par le point A et de vecteur directeur respectif :

u1

2

1 ,

u2

–1

1 ,

u3

3

–4 et

u4

0

3.


On considère les droites d1 , d

2 , d

3 , d

4 et d

5 suivantes :

On propose les vecteurs suivants :

u1

5

2 ,

u2

2

–3 ;

u3

–7

3 ;

u4

–2

5 ;

u5

–7

–3.

Associer droites et vecteurs directeurs.

u1 est associé à d

2 ;


5 ;


1 ;


4 ;


3 .


Dans un repère, on considère la droite d'équation : y = 2x – 3.

1) Donner un vecteur directeur de la droite .

2) Donner le vecteur directeur de ayant pour ordonnée 3.

1)

u

1

2 est un vecteur directeur de la droite .

2)

v

x

3 est un vecteur directeur de équivaut à

u et

v colinéaires, soit 2x – 3 = 0 ; donc x = 3

2 .

Soit

v

3

2

3

.

Exercice n°63 page 219 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ). Soit la droite d d'équation 3x + 2y – 5 = 0.

1) Déterminer les points d'intersection de d avec les axes de coordonnées.

2) Tracer d dans un repère orthonormé.

3) Donner un vecteur directeur de la droite d.



4) Donner le vecteur directeur de d ayant pour abscisse 7.

1) Le point d'intersection A(x ; 0) de d avec l'axe des abscisses est tel que : 3x + 2 0 – 5 = 0, soit x = 5

3 .

Le point d'intersection B(0 ; y) de d avec l'axe des ordonnées est tel que : 3 0 + 2 y – 5 = 0, soit y = 1.

Donc d coupe les axes en A (3 , 0) et en B

0 ,

5

2.

2)

3) La droite d a pour vecteur directeur

u

–2

3.

4) On doit avoir

v = k

u ;

si

v

7

y on doit avoir

7 = –2k

y = 3k , donc k =

–7

2 ,

soit y = 3 –7

2 = –21

2 . Donc

v

7

–21

2.


On considère la droite d'équation : 2x – y + 4 = 0.

Parmi les vecteurs suivants, préciser lesquels dirigent la droite :

u1

–2

4 ,

u2

2

4 ;

u3

2

–1 ;

u4

10

20 ;

u5

–3

6.

La droite d’équation 2x – y + 4 = 0 a pour vecteur directeur

u

1

2, et tout vecteur qui lui est colinéaire.

Les vecteurs

u2 et

u4

sont aussi des vecteurs directeurs de la droite .


Déterminer un vecteur directeur de chaque droite par lecture directe des équations. Préciser un vecteur directeur à coordonnées entières.

a) D1 : 2x – 3y – 5 = 0. b) D

2 : 7x – 3 = 0. c) D

3 : y = –3x + 1. d) D

4 :

2x + y – 3

2 = 0.

a) D1 a pour vecteur directeur

u

3

2.

b) D2 a pour vecteur directeur

u

0

7.

c) y = –3x + 1 équivaut à : 3x + y – 1 = 0.

D3 a pour vecteur directeur

u

–1

3.

d) 2x + y – 3

2 = 0 équivaut à : x +

1

2 y –

3

2 = 0, ou encore à : 2x + y – 3 = 0.


u

–1

2.

Exercice n°66 page 219 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ). Déterminer un vecteur directeur de chaque droite par lecture directe des équations. Préciser un vecteur directeur à coordonnées entières.

a) D1 : 2y – 5 = 0. b) D

2 :

x

2 –

y

5 + 1 = 0. c) D

3 : ( )1 – 3 x –

y

1 + 3 = 0. d) D

4 : y =

2

3 x – 5.

a) D1 a pour vecteur directeur

u

1

0.



b) x

2 –

y

5 + 1 = 0 équivaut à : 5x – 2y + 10 = 0.


u

2

5.

c) ( )1 – 3 x – y

1 + 3 = 0 équivaut à : ( )1 – 3 ( )1 + 3 x – y = 0, ou encore à : –2x – y = 0.


u

1

–2.

d) y = 2

3 x – 5 équivaut à : 2x – 3y – 15 = 0.


u

3

2.


On considère les droites et d d'équations respectives : 2x + 3y + 5 = 0 et 2

5 x +

1

5 y + 1 = 0.

1) Pour chacune des droites, déterminer un vecteur directeur et un point de la droite.

2) Construire les droites et d dans un repère orthonormé.

1) passe par A (–1 , –1) et a pour vecteur directeur

u

–3

2.

2

5 x +

1

5 y + 1 = 0 équivaut à : 2x + y + 5 = 0.

d passe par B (–2 , –1) et a pour vecteur directeur

v

–1

2.

2)


Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par le point A et de vecteur directeur

u .

a) A(1 ; 2) et

u

–1

3 ; b) A(–2 ; 3) et

u

0

3.

a) La droite D a une équation du type : 3x + y + c = 0.

Et comme A est un point de la droite, alors 3 1 + 2 + c = 0, soit c = –5.

La droite D a pour équation 3x + y – 5 = 0 .

b) M(x ; y) appartient à D si et seulement si :

AM

x + 2

y – 3 et

u

0

3 sont colinéaires

(x + 2) 3 – (y – 3) 0 = 0

3x + 6 = 0

x = –2.

Une équation de D est x = –2 .



u .

a) A(–2 ; 3) et

u

1

0 ; b) A(1 ; 1) et

u

2 – 1

1

2 + 1

.

a) La droite D a une équation du type : 0x – y + c = 0, soit y = c.

Et comme A est un point de la droite, alors 3 = c.

La droite D a pour équation y = 3 .



b) Un vecteur directeur est ( )2 + 1

u de coordonnées

1

1.

Donc la droite D a une équation du type : x – y + c = 0.

Et comme A est un point de la droite, alors 1 – 1 + c = 0, soit c = 0.

La droite D a pour équation x – y = 0 .

Exercice n°71 page 219 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ). Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).

a) A(–3 ; 1), B(1 ; 9) ; b) A(0 ; 5), B(3 ; –15).

a) La droite (AB) passe par A(–3 ; 1) et a pour vecteur directeur 1

4

AB

1

2.

Donc la droite (AB) a une équation du type : 2x – y + c = 0.

Et comme A est un point de la droite, alors 2 (–3) – 1 + c = 0, soit c = 7.

Une équation est 2x – y + 7 = 0 .

b) La droite (AB) passe par A(0 ; 5) et a pour vecteur directeur

AB

3

–20.

Donc la droite (AB) a une équation du type : –20x – 3y + c = 0.

Et comme A est un point de la droite, alors –20 0 – 3 5 + c = 0, soit c = 15.

Une équation est –20x – 3y + 15 = 0, ou aussi 20x + 3y – 15 = 0 .


Reproduire et compléter le tableau suivant :

Point A Point B Vecteur directeur de (AB) Équation cartésienne de (AB) Coefficient directeur de (AB)

(2 ; 5) (1 ; 0)

2x – 3y + 2 = 0

(0 ; 0) –3

4

y = –2x + 5

(3 ; 5)

2

3

Point A Point B Vecteur directeur de (AB) Équation cartésienne de (AB) Coefficient directeur de (AB)

(2 ; 5) (1 ; 0)

1

5 5x – y – 5 = 0 5

(–1 , 0) (2 , 2)

3

2 2x – 3y + 2 = 0

2

3

(4 , –3) (0 ; 0)

–4

3 3x + 4y = 0

–3

4

(2 , 1) (0 , 5)

1

–2 y = –2x + 5 –2

(3 ; 5) (1 , 2)

2

3 3x – 2y + 1 = 0

3

2


Parmi les droites ayant les équations suivantes, préciser celles qui sont parallèles : d

1 : x – y + 5 = 0 ;

d2 : y = –x ;

d3 : 2(x + 1) = –2(y – 1) ;

d4 : y = x – 3 ;

d5 : 3x + 3y + 1 = 0 ;

d6 : x + y = 10.

d1 a pour équation réduite y = x + 5 et pour coefficient directeur 1.

d2 a pour équation réduite y = –x et pour coefficient directeur –1.

d3 a pour équation réduite y = –x et pour coefficient directeur –1.

d4 a pour équation réduite y = x – 3 et pour coefficient directeur 1.

d5 a pour équation réduite y = –x –

1

3 et pour coefficient directeur –1.

d6 a pour équation réduite y = –x + 10 et pour coefficient directeur –1.



Donc d1 // d

4 et d

2 // d

3 // d

5 // d

6.



u .

a) A(0 ; 0) et

u

1

1 ; b) A(–5 ; –2) et

u

1

–4.

a) La droite a une équation du type –x + y + c = 0.

Et comme A est un point de la droite, alors –0 + 0 + c = 0, soit c = 0.

La droite D a pour équation –x + y = 0 .

b) M(x ; y) D si, et seulement si :

AM

x + 5

y + 2 et

u

1


(x + 5)(–4) – (y + 2) 1 = 0.

Une équation de D est 4x + y + 22 = 0 .


Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). a) A(–5 ; 2), B(9 ; 2) ; b) A(–2 ; –5), B(2 ; –3).

a) La droite (AB) a pour vecteur directeur

AB

14

0.

La droite (AB) est parallèle à l'axe des abscisses, donc elle a pour équation y = 2 .

b) La droite (AB) a pour vecteur directeur

AB

4

2.

M(x ; y) (AB) équivaut à :

AM

x + 2

y + 5 et

AB

4

2 sont colinéaires

2x – 4y – 16 = 0.

Donc (AB) a pour équation x – 2y – 8 = 0 .

Exercice n°80 page 220 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

(AB) et (CD) ont pour vecteurs directeurs

AB

7

6 et

CD

6

5, et 7 5 – 6 6 = –1 (non nul).

Donc les deux droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles .


La droite D' est la parallèle à la droite D passant par le point A. Dans chaque cas, déterminer une équation de la droite

D'.

a) A(–2 ; 1) et D : 2x + 3y – 1 = 0 ; b) A(–5 ; 2) et D : y = x ; c) A(2 ; 4) et D : 4x – 5y + 1 = 0.

a) D' a pour équation 2x + 3y + c = 0.

Et comme elle passe par A(–2 ; 1), on a –4 + 3 + c = 0, donc c = 1.

On obtient 2x + 3y + 1 = 0 .

b) D' : x – y + 7 = 0 .

c) D' : 4x – 5y + 12 = 0 .




Dans chaque cas, préciser si les droites et d sont sécantes. Si oui, déterminer les coordonnées de leur point

d'intersection.

1) : 2x + y + 3 = 0 et d : y = –x

2 + 1.

2) : 2x + 3y = 4 et d : –2x + 3y = 8.

3) : x – 2y = 2 et d : 3x + y = 20.

1) a pour vecteur directeur

u

–1

2, et d a pour vecteur directeur

ud

1

–1

2.

Comme (–1) –1

2 – 2 1 =

–3

2 (non nul), alors les droites sont sécantes .

Les coordonnées du point d’intersection de et d sont les solutions du système

2x + y + 3 = 0

y = –x

2 + 1

.

Par substitution de y, on obtient 2x + –x

2 + 1 + 3 = 0, soit 4x – x + 8 = 0, ou encore x =

–8

3 .

D’où y =

–

–8

3

2 + 1 =

4

3 + 1 =

7

3 . On obtient le point d’intersection de coordonnées

–8

3 ,

7

3.

2) De même on a

u

–3

2,

ud

–3

–2. Comme –3(–2) – 2(–3) = 12 0, alors ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

Les droites et d sont sécantes .

On résout le système 2x + 3y = 4

–2x + 3y = 8 .

Par addition membre à membre, on obtient 6y = 12, soit y = 2.

Et en remplaçant dans 2x + 3y = 4, on obtient 2x + 3 2 = 4, soit x = –1.

Donc et d sont sécantes en B (–1 , 2) .

3) De même on a

u

2

1,

ud

1

–3. Comme 2(–3) – 1 1 = –7 0, alors ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

Les droites et d sont sécantes .

On résout le système x – 2y = 2

3x + y = 20 .

La première équation s’écrit : x = 2y + 2. En substituant dans la deuxième : 3(2y + 2) + y = 20, soit y = 2.

D’où x = 2 2 + 2 = 6. Donc et d sont sécantes en C (6 , 2) .

Exercice n°85 page 221 Dans un repère (O ; I, J), on considère les points : A(–2 ; 5), B(4 ; 2), C(–3 ; 1) et D(7 ; 5).

1) Justifier que les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

2) Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites (AB) et (CD).

1) On a

AB

6

–3 et

CD

10

4,

comme 6 4 – (–3) 10 = 54, les vecteurs

AB et

CD ne sont pas colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) sont

sécantes. 2) La droite (AB) a pour équation cartésienne x + 2y – 8 = 0 et la droite (CD) a pour équation cartésienne

2x – 5y + 11 = 0.

Les coordonnées (x ; y) du point d'intersection des deux droites, vérifient les équations de ces droites :

x + 2y = 8

12x – 5y = –11 qui a pour solution (2 ; 3).

Le point d'intersection est le point de coordonnées (2 , 3) .

Exercice n°88 page 221 Dans un repère (O ; I, J), on considère les points A(2 ; 3), B(–2 ; 5) et C(3 ; –2). 1) Déterminer les coordonnées du milieu E du segment [BC].

2) Déterminer une équation cartésienne de la médiane du triangle ABC issue du sommet A.

3) Justifier que le point G(1 ; 2) est le centre de gravité du triangle ABC.

1) Le milieu E du segment [BC] a pour coordonnées

1

2 ,

3

2.



2) La médiane du triangle ABC issue du sommet A est la droite passant par A et de vecteur directeur

AE .

M(x ; y) (AE) si, et seulement si :

AM

x – 2

y – 3 et

–2

3

AE

1

1 sont colinéaires

(x – 2) 1 – (y – 3) 1 = 0 x – 2 – y + 3 = 0

x – y + 1 = 0.

Une équation de (AE) est x – y + 1 = 0 .

3) Le milieu F de [AB] a pour coordonnées (0 ; 4).

En procédant comme ci-dessus, la médiane (CF) a pour équation 2x + y – 4 = 0.

Comme 1 – 2 + 1 = 0 et 2 1 + 2 – 4 = 0, alors le point G appartient aux médianes (AE) et (CF). Donc G est le centre de gravité du triangle ABC.

Exercice n°89 page 221 Dans un repère, on donne les points A(–2 ; 3), B(4 ; 6), C(–3 ; 1) et D(6 ; 4).

La parallèle à (AC) passant par le point D coupe la droite (AB) en E.

1) Déterminer une équation de la droite (DE).

2) Déterminer par le calcul les coordonnées du point E.

3) Réaliser une figure et vérifier les résultats obtenus à la question 2).

1) La droite (DE) passe par D(6 ; 4) et a pour vecteur directeur

AC

–1

–2.

M(x ; y) appartient à (DE) si, et seulement si :

DM

x – 6

y – 4 et

AC

–1


(x – 6) (–2) – (y – 4) (–1) = 0 –2x + 12 + y – 4 = 0

–2x + y + 8 = 0.

Une équation de (DE) est –2x + y + 8 = 0 .

2) La droite (AB) passe par A(–2 ; 3) et a pour vecteur directeur

AB

6

3.

En procédant comme ci-dessus, (AB ) admet donc pour équation x – 2y + 8 = 0.

Le point E est l’intersection de (DE) et (AC), ses coordonnées sont solution du système –2x + y + 8 = 0

x – 2y + 8 = 0 .

La deuxième équation s’écrit x = 2y – 8. En substituant dans la première : –2(2y – 8) + y + 8 = 0, soit y = 8.

D’où x = 2 8 – 8 = 8. Donc le point E a pour coordonnées (8 , 8) .

3)

Exercice n°92 page 222 Le dessin ci-contre représente trois carrés ABGH, BCFG et CDEF.

I est le milieu de [AG]. Les droites (AE) et (BG) sont sécantes en J. 1) On considère le repère (A ; B, H).

Déterminer les coordonnées du point J.

2) Prouver que les points I, J et C sont alignés.

1)

AE

3

1, donc la droite (AE) a pour équation x – 3y + c = 0.

Comme A(0 ; 0) appartient à (AE), alors 0 – 3 0 + c = 0, soit c = 0.

Une équation de (AE) est donc x – 3y = 0.

Comme xB = x

G = 1, alors une équation de (BG) est x

E = 1.



Comme J appartient à (AE), alors 1 – 3yE = 0, soit y

E =

1

3 .

Donc J

1 ,

1

3.

2) A(0 ; 0), G(1 ; 1), donc I

1

2 ,

1

2. De plus C(2 ; 0).

D’où

IC

3

2

–1

2

,

IJ

1

2

–1

6

. Donc 3

IJ =

IC . Les points I, J et C sont alignés.

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