1.1 变化率与导数

一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数 , 求物体在任意时刻的速度与加速度等 ; 二、求曲线的切线 ; 三、求已知函数的最大值与最小值 ; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

姚明身高变化曲线图 ( 部分 )

2.26

2.12

● ● ● ● ● ●

年龄

身高

4 7 10 13 16●

19 22

0.8

1.61

●

●

●

●

●

●

●

气球膨胀率问题1

,):

(:,

3

34rrVdm

rLV

之间的函数关系是位

单与半径单位气球的体积我们知道

.

,

3

43V

Vr

Vr

那么的函数表示为体积如果把半径

在吹气球的过程中 , 可发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加得越来越慢 . 从数学的角度 , 如何描述这种现象呢 ?

,.

,

cmrr

LV

6200110

气球半径增加了时增加到从当空气容积

./. Ldmrr

62001

01

气球的平均膨胀率为

,.

,,

dmrr

LL

1601221

增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地

./. Ldmrr

16012

12

气球的平均膨胀率为

.

,,

胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出

?

,

均膨胀率是多少气球的平时增加到当空气的容量从思考 21 VV

2 1

2 1

r V r Vr

V V V

高台跳水问题2

...

::

,,

105694 2 ttth

stmh

存在函数关系单位与起跳后的时间单位面的高度

运动员相对于水在高台跳水运动中人们发现

那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段

,

v

;/..

.

,.

smhh

v

t

054050

050500

这段时间里在

./.

,

smhh

v

t

2812

1221

这段时间里在

播放 暂停 停止

2 1

2 1

h t h thv

t t t

650

49, :

1 ?

2

?

t 探究 计算运动员在 这段时间

里的平均速度并思考下面的问题

运动员在这段时间里是静止的吗

你认为用平均速度描述运动员运动

状态有什么问题吗

探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，所以，

)0()49

65( hh

)/(00

49

65

)0()49

65(

mshh

v

虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

49

650 t

)/(0 ms

t

h

O 65

49

65

98t

,,

.

,

,

1212

21

12

12

xxxxxx

changeofrateaverage

xxxfxx

xfxf

xf

即表示用习惯上的到从数我们把这个式子称为函示

表式子那么问题中变化率可用

表示函数关系用如果上述两个问题中的

平均变化率

., 相乘与而不是是一个整体符号 xx

1 1

2 2 1

" ",

; , .

x x x

x x y f x f x

可把 看作是相对于 的一个 增量 可用

代替 类似地

, .y

x

于是 平均变化率可表示为

?

,1.1.1

12

12

表示什么

变化率平均图的图象

观察函数思考

xx

xfxf

x

y

xf

O x

y

1xf

2xf

xfy

12 xfxf

12 xx

1x 2x

111 .图

直线 AB 的斜率

A

B

例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1 在区间 [ –3 , –1] 上的平均变化率 ；

(2) 求函数 f (x) = x2 +1 的平均变化率。

(1) 解：△y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2

42

2

y

x

(2) 解：△y=f (x+△x)- f (x) =2△x ·x+(△x )2

22 ( )

2

y x x x

x xx x

练习1. 已知函数 f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2) 及

临近一点 B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( )

A . 3 B . 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx

D

3.求 y=x2在 x=x0 附近的平均变化率 .

2.

t

2质点运动规律s=t +3,则在时间(3, 3+ t)中相应的平均速度为( )

9A. 6+ t B. 6+ t+ C. 3+ t D. 9+ t

A

小结：

• 1. 函数的平均变化率

2. 求函数的平均变化率的步骤 :

(1) 求函数的增量： Δy=f(x2)-f(x1);

(2) 计算平均变化率：

12

12 )()(

y

xx

xfxf

x

12

12 )()(

y

xx

xfxf

x