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第二章多速率信号处理与小波变换

郑宝玉2007.3.21

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三、三、多分辨率信号处理基础多分辨率信号处理基础 FourierFourier 分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法

小波变换与滤波器组

FourierFourier 分析局限性 Gabor 变换与测不准原理 小波变换 STFT 与 WT 的比较

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FourierFourier 分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法 FourierFourier 分析局限性

特点 - 定义了频率概念 - 分析了信号能量在各频率成分中的分布 局限 - 只能获得信号的整体频谱特性， 不能获得信号的局部频谱特性 - 不能描述和分析非平稳信号 典型例子 傅立叶变换常用于进行谐波分析。但当傅立叶变换结 果谐波幅度很小，甚至可能被淹没时，利用传统的傅 立叶变换就很难获得可靠的结果，为此有必要研究信 号的局部特性，故引入小波变换。

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FourierFourier 分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法Gabor变换与测不准原理 为研究信号的局部特性 , 引入 Gabor 变换 (STFT) 定义： Gx(f, t) = F{x(τ)g(τ-t)}

作用 : 将一维信号 x(t) 映射为时 - 频平面 (t,f) 的二维函数。 含义 - 把 STFT 看作是加窗付氏变换 ; 在时刻 t, 计算其“所有频率”分量 - 将 STFT 看作频率为 f 的 BPFB; 在频率 f, 在“所有时间” 对信号滤波 优缺点 - 优点：研究信号的局部特性 - 缺点：局部分辨率都一样 ; 时间频率分辨率相矛盾 ( 测不准 )

- 原因：使用单一的窗口 ( 基函数 ) ，即基函数不变

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FourierFourier 分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法 小波变换 小波变换的引入 为了为克服 STFT 的缺点，我们希望构造“可变”基函数 , 即 构造 : - 持续时间很短的高频基函数 - 持续时间很长的低频基函数 做到： - 在高频区，频率窗口很宽，而时间窗口很窄； - 在低频区，频率窗口很窄，而时间窗口很宽。 这时，信号分析滤波器相当于一个相对带宽恒定 ( 常 Q) 的滤波器组。小波变换就是利用这一思想构造出来的。

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FourierFourier 分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法 小波变换 小波基函数 在小波变换中，小波基函数由某函数伸缩平移得到：

)(1

)(, a

bth

ath ba

式中 a 为标度因子 (scaling factor) 起着类似于频率的作用 h(t) —— 小波母函数，简称母函数

ha,b(t)—— 小波基函数，简称基函数易见，基函数与标度因子有着密切关系：- 对于大的 a, 基函数是母函数的展宽型，是一低频函数- 对于小的 a, 基函数是母函数的缩小型，是一高频函数

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FourierFourier 分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法 小波变换 小波变换 (WT) 的定义 用小波基 ha,b(t) 取代富氏变换中的复指数基，即构成WT dttx

a

bth

abaWTx )()(

1),( *

如图所示。由图看见， WT 的时 - 频分辨率是变化的，即在高频区， WT 的持续时间较短在低频区， WT 的频率宽度较窄在中频区， WT 与 STFT 具有相同的时 - 频分辨率

8

9

FourierFourier 分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法 STFT 与 WT 的比较

共同点： STFT 与 WT 都可解释为：对每一分析频率 f ，用

中心频率为 f 的带通滤波器 ( 组 ) 对信号 x(t) 滤波的结果 不同点

- 在 STFT 中 , 带宽 Δf 与中心频率 f 无关 ,Δf =c ( 带宽恒定 )

- 在 WT 中 , 带宽 Δf 与中心频率 f 有关 ,Δf/f =c ( 相对带宽恒定 )

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如何理解小波变换如何理解小波变换 波变换 傅立叶变换（正弦波）、沃尔什变换（方波） 窗口变换 短时傅立叶变换 波变换和窗口变换都是固定基的变换 小波变换（任意）

典型例子： 音乐－ >无线谱：小波变换 五线谱－ >音乐：小波反变换

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小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组 预备知识 小波变换定义的进一步讨论 为便于后面讨论，将小波变换定义式写为

)2()(1

)(, a

bt

atba

)1()()(1

),( , dttxta

baWT bax

其中小波基函数为其母函数的伸缩平移：

式中标度因子 a 的大小直接关系母波的展宽和缩小

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小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组 预备知识（续）

)3(0,)2(2)( 2/, mntt mmnm

如令 则上式变为

1,2; 00000 babnabaa mm 且

或

式中 - 2m 是 t 的标度因子 - 2-mn 是 t 的平移 - 2m/2 是归一化因子，以保证 1)(, tnm

')3(0,)2(2)( 2/, mntt mmnm

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小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组多分辨率分析在多分辨率分析中 , Mallat 引入尺度函数 ( 小波“父”函数 )

（双尺度差分方程 ,基本递归方程） (4a)

)2( )(2 (t) t -nnh

和小波函数 (小波“母”函数 )：(4b) )- (2 )(2 (t) ntng

)5()},2(2)({ 2/, aZnnttSpan jjnjj V

)5()},2(2)({ 2/, bZnnttSpan jjnjj W

构成绝对可积平方空间 的正交基zjnnj ,, }{ )(2 RL

构成向量空间 的正交基znnj }{ , jV

其中 或

)1()1()( nhng n )1()1()( nNhng n

则

构成向量空间 的正交基 ( 为 的正交补空间 )且

znnj }{ , jVjWjW

设

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小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组

1) 1 jj VV

2) )(},0{ 2 RVV Ljj

3) 1)2()( jj xx VV

具有如下性质znj }{V

与 之间存在如下关系：jWjV

4) 且1 jjj VWV jj VW

5) )(2 RW Ljj

多分辨率分析 ( 续 )

小波函数 的重要价值 : 它的伸缩平移生成 中的 一 组正交基 , 从而可将给定函数 进行小波分解：

)(t )(2 RL

)(tf}{ ,nj

)6()( ,njjndtf 其中 Znjfd njjn ,,, ,

存在 和 和 分别构成 和 的正交基0)( Vt ,)( 0Wt )( nt )( nt 0V 0W

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小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组 子波变换与滤波器组 在实际应用中 , 不必涉及尺度函数或子波函数 , 而只需考虑 其系数 和 以及 等 , 且其可看作 数字信号 ( 滤波器 ) 。 分析 (Analysis) 或分解 (Decomposition) 为了直接对子波变换进行工作 , 下面导出低尺度级 ( 低分辨率 级 ) 与高尺度级 ( 高分辨率级 ) 之间的关系 . 由尺度方程：

)(ng )(nhjnd

)7()2()(2)( ntnht

令 , 有

kxt j 2

))2(2()(2

))2(2()(2)2(

1 nkxnh

nkxnhkx

j

jj

再令 m=2k+n, 则上式变为)8()2()2(2)2( 12/1 mxkmhkx j

m

j

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小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组)9()2(2)()( 12/)1(

1

k

jjj ktkctf

根据 , 上式变为 jjj WVV 1

')9()2(2)()2(2)()( 2/2/ k

jjj

k

jjj ktkdktkctf

k

kjjk

kjj tkdtkctf )()()()()( ,,

设 , 则 1)( jtf V

或

dtmttfkmh

dtmtkmhtf

dtkttf

kttfkc

jj

m

j

m

j

jj

jjj

)2(2)()2(

)]8([])]2()2(2[2)(

)2(2)(

)2(2),()(

12/)1(

2/12/

2/

2/

利用式

其中

即 )10()()2()( 1 amckmhkc jmj

同理 )10()()2()( 1 bmckmgkd jmj

17

)(0 nh

)(1 nh

↓2

↓2

1jc

jd

jc

式 (10) 的分解如下图所示：

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)12()()2()()2()(1 mdmkgmcmkhkc jmjmj

子波变换与滤波器组 综合 (synthesis) 或合成 (composition)

小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组

设 , 则 1)( jtf V

')9()2(2)()2(2)()( 2/2/ k

jjj

k

jjj ktkdktkctf

)9()2(2)()( 12/)1(1

k

jjj ktkctf

或

将 (4a) 和 (4b) 代入上式，得

)11()22(2)()(

)22(2)()()(

12/)1(

12/)1(

k n

jjj

k n

jjj

nktngkd

nktnhkctf

利用类似于上面的方法计算式 (9) 和 (11) 的系数，得

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式 (11) 的合成过程如下图所示：

jc )(0 ng

)(1 ng

↑2

↑2jd

1＋jc

20

)(0 ng

)(1 ng

↑2

↑21jd

1jc

jc)(0 ng

)(1 ng

↑2

↑2jd

1＋jc

)(0 nh

)(1 nh

↓2

↓2

1jc

jd

jc

)(0 nh

)(1 nh

↓2

↓2

1jc

1jd

两级分解 / 合成的情况如下图所示：

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完全重构条件• 由此可见：小波变换可通过滤波器组来实现• 假如信号 x(n) 或 X(z) 经小波或子带分解（分析滤波器组）

后又经综合滤波器组合成为 x’(n) 或 X’(z) 。则 X’(z) 可能出现三种失真：混叠失真、相位失真和幅度失真。

- 要使整个系统输出没有混叠失真，须使 G0(z)H0(-z)+ G1(z)H1(-z)=o (a)

- 要使整个系统输出没有相位失真和幅度失真，须使 G0(z)H0(z)+ G1(z)H1(z)=z-k (b)

结论：满足 (a)和 (b)的滤波器组称为无混叠、无失真滤波器组或完全重构滤波器组、式 (a)和 (b)称为完全重构条件。只满足 (a)或 (b)的滤波器组称为无混叠或无失真的滤波器组。

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与小波滤波器设计有关的若干问题 尺度函数与尺度系数 ( 尺度系数参数化 )

正则性与消失矩

(regularity&vannishing moments)

M 倍 (M 带 ) 尺度函数与小波

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与小波滤波器设计有关的若干问题 尺度函数与尺度系数 工具与定义• 三类信号

KdttfLf

EdttfLf

KdttfLf

pp )()(

)()()(

)()()(

22

1

R

R

R

最基本信号类

最基本信号类

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与小波滤波器设计有关的若干问题 尺度函数与尺度系数 工具与定义• 傅氏变换 已知

nj

tj

enhH

dtet

)()(

)()(

)()2()(2)( antnht

定义

)()0()2

(2

1)(

1

bHk

k

则 (a) 变为 )2

()2

(2

1)(

H

迭代后变为

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与小波滤波器设计有关的若干问题 尺度函数与尺度系数

定理 2:如果 是基本递归方程的解 ,且 及

1)( Lt

1)( dtt

)13(2)( n

nh 定理 1:如果 是基本递归方程的解 ,且 ,则

1)( Lt 0)( dtt

)14(1)()( ll

llt

则当 时 , 有

0)2( k

)15()12()2( nn

nhnh

定理 3: 若 是基本递归方程的解 ,且)16(

0

0)()()(

其他kE

kEdtktt

则)17(

0

01)()2()(

n

kkknhnh

其他

基本定理 考虑 有如下结论：

)2()(2)( ntnht

满足 (17) 的滤波器称为正交镜像滤波器 (QMF) 。

1)( Lt

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与小波滤波器设计有关的若干问题 尺度函数与尺度系数 尺度系数的参数化 (N=2时 )由定理 1 和 3, 即式 (13) 和 (17), 有

)0(1)1()0(

2)1()0(22

khh

hh

解得

2

1,

2

1)1(),0(2 hhhD

其结果就是 Haar 尺度函数系数，也叫做长度为 2 的Dauberchies 系数 [Dau92] 。

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与小波滤波器设计有关的若干问题 尺度函数与尺度系数 尺度系数的参数化 (N=4时 )由定理 1 和 3, 即式 (13) 和 (17), 有

)0(1)3()2()1()0(

2)3()2()1()0(2222

khhhh

hhhh

解得

22/)sincos1()3(

22/)sincos1()2(

22/)sincos1()1(

22/)sincos1()0(

h

h

h

h

当 时 , 即得长度为 4 的 Dauberchie

s 系数：3/

24

31,

24

33,

24

33,

24

31)3(),2(),1(),0(4 hhhhhD

当 时 , 则退化为 Haar

尺度函数系数。 ,2/3,2/,0

和 )1()3()1()2()0( khhhh

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与小波滤波器设计有关的若干问题 尺度函数与尺度系数 尺度系数的参数化 (N=6时 ) 由定理 1 和 3, 即式 (13) 和 (17), 可得

)3()1(2/1)5(

)2()0(2/1)4(

22/)]sin()cos(1[)3(

22/)]sin()cos(1[)2(

24/]cossin2)sincos1)(sincos1[()1(

24/]cossin2)sincos1)(sincos1[()0(

hhh

hhh

h

h

h

h

当 , 即得长度为 6 的 Daubechies 系数。当 , 则退化为长度为 4 的 Daubechies 系数 ; 而当 , 则得 Haar 系数。

4447821063847.0,4183598037324.1 0,3/

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与小波滤波器设计有关的若干问题 尺度函数与尺度系数 尺度系数的参数化 (N 为一般时 )当 N 更大时，尺度系数 h(n) 的参数化更难。一种比较有效的方法是采用 P.P.Viadyanathan 提出的格型分解方法 ( 见 Multirate Systems & Filter Banks, 1992) 来计算。

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与小波滤波器设计有关的若干问题 尺度函数与尺度系数 ( 尺度系数参数化 )

正则性与消失矩

(regularity&vanishing moments)

M 倍 (M 带 ) 尺度函数与小波

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与小波滤波器设计有关的若干问题 正则性与消失矩 K- 正则性尺度滤波器 尺度滤波器 : 由基本递归方程 ( 尺度方程 ) 得到系数 h

(n) 的滤波器，也就是系数 h(n) 满足定理 1 和 3 的，即满足：

)()2()(2)( mmkhkhnhkn

和

)()2

1()(

1

zQz

zH K

K- 正则性：如果尺度滤波器的 z 变换在 处具有 K

个零点 , 就说该尺度滤波器是 K- 正则性的。此时 , 有

jez

注意 : 这里我们定义了 h(n) 的正则性，而不是尺度函数 和小波函数的的正则性

其中 是尺度系数 h(n) 的 z变换 , 而 Q(z) 在 处没有零点和极点。

jez

nn znhzH )()(

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与小波滤波器设计有关的若干问题 正则性与消失矩 ( 续 ) K- 正则性尺度滤波器( 续 )正则性由尺度系数 组成的 FIR滤波器传递函数 或其频率响应 来定义。)(H

)(zH)(nh

而尺度函数 的傅氏变换 与系数为 FIR滤波器的频 率响应 之间的关系为

)(t )(

)(H

)()0()2

(2

1)(

1

bHk

k

由此可以可以推断，因为 是一个低通滤波器 ,如 果它在 处有高阶零点 ,则 迅速衰减 , 从而 是平滑的。这正是我们所希望的。

)(zH

).,.(1 eiz )(t)(t

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与小波滤波器设计有关的若干问题 正则性与消失矩（续） k 阶矩

dtttkmdtttkm kk )()(,)()(

离散 k阶矩： h(n) 和 g(n) 的离散 k 阶矩分别定义为

k 阶矩： 的 k 阶矩分别定义为

)()( tt 和

)()(,)()( ngnknhnkn

kg

n

kh

k 阶矩的计算

)()(2)12(

1)(

)()(2)12(

1)(

1

1

lkmll

kkm

lkmll

kkm

g

k

lk

h

k

lk

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与小波滤波器设计有关的若干问题 正则性与消失矩（续） 消失矩 一般要求小波具有消失矩性质：

0)( dttt k

当 k=0 时 , 有

0)( dtt

这表明 是一个迅速衰减的波 , 由此将 Wavelets 译为小波 , 以强调其波幅小的一面 ; 其实具有消失矩性质的波不一定 是幅值很小的波 , 而是持续时间很短的波 , 因此 , 有人认为， 子波比小波更符合“ Wavelets” 一词的含义。

)(t