11 клас. Математика.

Тема уроку: «Найбільше та найменше значення функції на відрізку».

Погиба Т.Б., вчитель математики Козелецької ЗОШ І-ІІІ ступенів № 3

«Щоб дійти до мети треба перш за все йти»

Оноре де Бальзак

Історія виникнення похідної

До відкриття похідної незалежно один від одного прийшли два відомих учених – І.Ньютон і Г. Лейбніц наприкінці ХVII століття. Проте, ще задовго до цього Архімед розв’язав задачу на побудову дотичної до кривої та знайшов максимум функції Архімед

Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц

І.Ньютон сформулював і розв’язав основну проблему математичного аналізу: «За даною довжиною шляху в будь-який момент часу знайти швидкість руху у вказаний час». І якщо він виходив із задач механіки, то

Г. Лейбніц – із геометричних

задач. У Лейбніца первісним поняттям для похідної була дотична, а у І.Ньютона – швидкість.

Ісаак Ньютон

Позначення похідної ввів французький математик Жозеф-Луї Лагранж.

Жозеф-Луї Лагранж

Теоретичне повторення

Запитання• Що називають похідною функції?• Що називається диференціюванням?• Чому дорівнюють похідні: а) б)

в) г)

ґ) д)

е) є)

ж)

• Які точки називаються критичними?• За якої умови функція зростає на деякому проміжку?• За якої умови функція спадає на деякому проміжку?• Що таке точки максимуму функції?• Що таке точки мінімуму функції?• Що таке точки екстремуму?• Що означає дослідити функцію?

Встановити відповідність між функцією та її похідною

• А)

• Б)

• В)

• Г)

• Д)

• Е)

Відповідь:

1→Е, 2→В, 3→А, 4→Д, 5→Г, 6→Б

Теорема Вейєрштрасса

Якщо функція неперервна на відрізку, то на цьому відрізку вона набуває найменшого та найбільшого значення.

Карл Вейєрштрасс

Найбільше та найменше значення функції на відрізку

• Розглянемо рисунки, на яких зображено графіки функції у = f(x) і у = g(x), заданих на відрізку [а; b]. Функція у = f(x) зростає, а функція у = g(x) спадає. На відрізку [а; b] найменше значення функції у = f(х) дорівнює f(a), а найменше значення функції у = g(x) дорівнює g(b). Відповідно найбільші значення цих функцій на даному відрізку дорівнюють f(b) та g(a). Отже, якщо функція неперервна і зростає (спадає) на деякому відрізку, то найбільше і найменше значення функція набуває на кінцях цього відрізка.

Найбільше та найменше значення функції на відрізку

• Розглянемо рисунок, на якому зображено графіки трьох функцій. Аналіз цих графіків свідчить, що найбільше і найменше значення функцій неперервних і диференційованих на проміжку [а; b] досягаються цими функціями або на кінцях відрізка, або в стаціонарних точках.

• Отже, неперервна і диференційована функція на заданому відрізку приймає найбільше і найменше значення в стаціонарних точках або на кінцях відрізка.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення функції на

відрізку • Таким чином, якщо функція у = f(x) неперервна на

відрізку [а; b] і має похідну в кожній внутрішній точці цього відрізку, то для знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку [а; b] треба:

• знайти значення функції на кінцях проміжку, тобто числа f(a) і f(b);

• знайти значення функції в тих стаціонарних точках, які на лежать інтервалу (а; b);

• із знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

№ 388.

Знайти найбільше та найменше значення функції

f(x) = x2 – 4x на проміжку [ -3; 3 ]

Розв′язання

Знайдемо значення функції на кінцях відрізка:• f(-3) = (-3)2 – 4(-3) = 9+12 = 21• f(3) = 32 - 4×3 = 9 – 12 = -3 • Знаходимо критичні точки:• f′(x) = 2x – 4• 2x – 4 = 0 2x = 4 x=2

x =2 входить до проміжку [ -3; 3 ],

то f(2) = 22 - 4×2 = 4 – 8 = -4

Отже, max f(x) = 21,

min f(x) = -4

[ -3; 3 ] [ -3; 3 ]

Відповідь: max f(x) = 21,

min f(x) = -4

[ -3; 3 ] [ -3; 3 ]

В – І • Знайти область визначення функції: • f(x) = • Обчислити похідну функції: y= sin (3x + 5)• Знайти найбільше та найменше значення

функції y= x4 – 8x2 0 3 на проміжку • Число 20 подати у вигляді суми двох додатних

доданків так, щоб їх добуток був найбільшим.

В – ІІ • Знайти область визначення функції: • f(x) = • Обчислити похідну функції: y= • Знайти найбільше та найменше значення

функції y=1 0 3x2 ̶ x на проміжку • Число 36 подати у вигляді суми двох додатних

доданків так, щоб їх добуток був найбільшим.•  

A Б В Г Д

y′= e -2x y′=-2e-2x y′=-2xe-2x-1 y′=2e-2x y′=-e-2x

Завдання у форматі ЗНО.Тестування 2013 року. Завдання 18.Знайдіть похідну функції : y=e-2x

Домашнє завдання

• Вивчити § 11, повторити §9,10 • (Підручник Г.П. Бевз, В.Г. Бевз)• Виконати вправи :• Рівні А № 390

Б № 394

В № 399• На повторення № 408.