11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO

7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO

1/66

1

Kinematika krutog tijela

11. dio


2/66

2

Kod krutog tijela udaljenost

u bilo kojihdviju toaka tijela ostaje tijekom gibanjanepromijenjena.

Kinematika gibanja: a) krutog tapab) krute ploe

c) krutog tijela.

Razlikujemo: a) slobodno tijelob) neslobodno tijelo


3/66

3

Slobodno gibanje krutog tijela Prinudno gibanje krutog tijela mogunostgibanja ograniena je vanjskim vezama.

Gibanje mehanizama sustava sastavljenihod vie meusobno vezanih krutih tijela.

Ravninski mehanizmi kod kojih se svilanovi gibaju u ravninama paralelnim s

jednom nepominom, referentnom ravninom.


4/66

4

Kinematikakrutog tijela

1. Translacija 2. Rotacija

Krivocrtna Pravocrtna


5/66

5

1. Translacija krutog tijela

a) Krivocrtna b) Pravocrtna


6/66

6

2. Rotacija krutog tijela

a) oko nepomine osi

b) oko trenutne osi

c) oko nepomine toke O slobodne osi


7/66

7

2. Rotacija krutog tijela

a) oko nepomine osi

b) oko trenutne osi


8/66

8

c) Rotacija krutog tijela oko nepomine toke O

Gibanje zvrka - sferno gibanje

r i p imaju isti smjer rotacije


9/66

9

c) Rotacija krutog tijela oko nepomine toke O

Gibanje Zemlje oko Sunca retrogradna precesija

r i p imaju suprotan smjer rotacije


10/66

10

1. Translacijsko gibanje

=

=

=

+=

+=

AB

AB

AB

AB

AB

aa:slijedi

dt

)v(d

dt

)v(d

vv:slijedi

dt

)AB(d

dt

)r(d

dt

)r(d

ABrr

duina A1B1 = AB = konst.

0dt

)AB(d=


11/66

11

1. Translacijsko gibanje

==

==

aaa:brzanjeU

vvv:rzinaB

AB

AB

Sve toke krutog tijela pri translacijskom gibanjuopisuju kongruentne putanje i imaju u svakomtrenutku vremena jednake brzine i ubrzanja popravcu, smjeru i intenzitetu. Dovoljno je poznavatizakon gibanja samo jedne toke tijela.


12/66

12

Kruna translacija je poseban sluajkrivocrtne translacije


13/66

13

Duina BCizvodi

.gibanje

Duina ABizvodi

..gibanje


14/66

14

Primjer translacijskog gibanja:

Gibanje klipa ubenzinskom ilidizel-motoru

Gibanje vagonana ravnom dijelu

puta


15/66

15

2. Rotacijsko gibanje

a) oko nepomine osi

b) oko trenutne osi

a) Rotacijsko gibanje oko nepomine osi

gibanja zupanika, remenica, zamanjaka, krunih pila itd.

Zakon rotacijskog gibanja:

)t(=


16/66

16

Rotacija oko nepomine osiGibanje tijela pri

kojemu sve toke

tijela du osi rotacijeAB ostaju nepomine.

Sve ostale toke tijelaopisuju krunice okonepomine osi u

ravninama okomitimna os rotacije i sasreditem na toj osi.


17/66

17

dt

d

tlim)lim(

0t0t

sr=

==

=

s

1

tsr

Srednja kutna brzina:

Trenutna kutna brzina:


18/66

18

Kutna brzina Prema kutnoj brzini razlikujemo slijedeagibanja:Promjenljivo = f (t)Jednoliko = konst.

(Smjer: Pravilo desne ruke)


19/66

19

Kutno ubrzanje

Promjenljiva rotacija:

Srednje kutno ubrzanje:

Kutno ubrzanje:

=

==

20tsr

0t s

1

td

d

tlimlim

t

sr

=


20/66

20

Sluajevi rotacijskih gibanja:

1. >0 jednoliko ubrzano gibanje

(d = .dt >0)

2.


21/66

21

1. Jednoliko ubrzano rotacijsko gibanje

200

0

t2

1t

:gibanjaZakon

t

:brzinaKutna

.konst0;:ubrzanjeKutno

++=

+=

=>

Vektori i istog su smjera


22/66

22

2. Jednoliko usporeno rotacijsko gibanje

200

0

t2

1t

:gibanjaZakon

t

:brzinaKutna

.konst0;:ubrzanjeKutno

+=

=

=


23/66

23

3. Jednoliko rotacijsko gibanje

t:gibanjaZakon

.konst:brzinaKutna0:ubrzanjeKutno

0 +=

==


24/66

24

Broj okreta u minuti n

Veza izmeu kutne brzine (1/s ili rad/s) i brojaokreta tijela n (okr./min):

60n2 =


25/66

25

Brzina v toaka tijela pri rotaciji

=

===

=

rv

rdtdr

dtdsv

drds

Obodne brzine toakatijela v proporcionalne sunjihovim udaljenostima od

osi rotacije.

Obodna brzina v

= rv


26/66

26


27/66

27

Ubrzanje a toaka tijela pri rotaciji

2n

t

ra

rdt

dv

a

=

==

422

n

2

t

raaa +=+=

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

2n

t

a

atg

==


28/66

28

Odredite karakter rotacijskog gibanjakrutog tijela oko nepomine osi:

a) = 5 rad/s2

b) = 0

c) = 150 (rad/s)

d) = 20 . t (rad/s)


29/66

29

Primjer 1: Vratilo elektromotora okree se konstantnim brojem okretajan = 1400 okr./min. Ako promjer vratila iznosi 100 mm odredite:

a) kutnu brzinu vratila (=?)b) obodnu brzinu toke na obodu vratila (v=?)c) ubrzanje toke na obodu vratila (a=?).

Zadano: n = 1400 okr./min.d = 100 mm; r = d/2=50 mm=0,050 m


30/66


31/66

31

Ravninsko ili planarno gibanjekrutog tijela


32/66

32

Svaka toka tijela Mi giba se u ravnini paralelnoj s

nekom nepominom (referentnom) ravninom 0.

aaa

vvv

21

21

==

==


33/66

33

Sve to

ke na okomici opisuju identi

nemeusobno paralelne putanje i usvakom trenutku imaju jednake vektore

brzina i ubrzanja

Ravninsko gibanje krutog tijela moemosvesti na prouavanje gibanja krutefigure t.j. presjeka S u ravnini.


34/66

34

Poloaj presjeka S u ravnini Oxy moese odrediti ako je poznat poloaj neketoke A presjeka S i kut


35/66

35

Poloaj presjeka S u ravnini Oxy moese odrediti ako je poznat poloaj neketoke A presjeka S i kut

Gibanje ravne krute figure S u ravniniodreeno je jednadbama:

)t(

)t(yy

)t(xx

A

A

=

=

=


36/66

36

.konstAB =

To su ujedno kinematske jednadbe ravninskog gibanja

krutog tijela:

)t(

)t(yy

)t(xx

A

A

=

=

=


37/66

37

Svako gibanje presjeka S moe se razloiti na:a) translacijsko gibanje ib) rotacijsko gibanje oko toke A

proizvoljno odabranog pola


38/66

38

(ili oko toke B)


39/66

39

Odreivanje putanja toaka tijela

Toka A (xA; yA )

)sin(dyy

)cos(dxx

A

A

++=

++=

+= jyixr AAA

Jednadbe gibanja toke M:

Toka M (x; y )


40/66

40

Odre

ivanje brzina to

aka tijela

+= AMA rrr

dt

rd

dt

rd

dt

rdv AMAM

+==

+= jyixr AAA


41/66

41

Odreivanje brzina toaka tijela

= AA vdtrd

= MAAM vdtrd

+= MAAM vvv

dt

rd

dt

rd

dt

rdv AMA

M

+==


42/66

42

MAvMA

AMvMA =

+= MAAM vvv

AMvv AM +=


43/66

43

Brzina toke M krutog tijela vM kod ravninskog

gibanja jednaka je vektorskom zbroju brzinetoke A vA i brzine toke M pri rotaciji tijelaoko toke - pola A vMA.

AMvv AM +=

+= MAAM vvv


44/66

44

Teorem o projekcijama brzina

Ortogonalne projekcije vektora brzina naspojnicu toaka A i B meusobno su jednake.

PNv

.konst'v'vv

N

BAN

=

===


45/66

45

NBB

NAA

vPNcosPBcosv'vvPNcosPAcosv'v

========


46/66

46

Kotrljanje

vrv

vr2

22rv

45cosvv

AOCspojnicunaojekcijePr

2rPCv

2rPAv

rPOvv:Brzine

C'

A'

AA'

C

A

O

==

===

=

==

==

===

+= OPPO vvv

Toka P trenutni pol brzina vP= 0


47/66

47

Trenutni pol brzina P Trenutni pol brzina je toka P u presjeku S

krutog tijela ija je brzina u odreenomtrenutku jednaka nuli.

Za odreivanje trenutnog pola brzina Ppotrebno je poznavati pravce i smjerove

brzina bilo kojih dviju toaka krutog tijela kojese nalaze na presjeku S na pr. vA i vB


48/66

48

PAvA

poznato-viv BA

PBvB

Trenutni pol P nalazi se u sjecitu okomica povuenih na

brzine vA i vB (sjecitu pravaca a i b)

0vP =


49/66

49

Brzina bilo koje toke

krutog tijela koja lei upresjeku S jednaka jenjenoj obodnoj brzini pri

rotaciji oko trenutnog polabrzina P.

Brzine pojedinih toaka

tijela proporcionalne sunjihovim udaljenostima odtrenutnog pola brzina.

PBv

PAv

B

A

=

=

PBv

PAv BA ==


50/66

50

=

+=

=

+=

BPB

BPPB

APA

APPA

vv

vvv

vv

vvv

0vP =


51/66

51

Odreivanje brzina toaka tijela pomou

trenutnog pola P

Za odreivanje brzine bilo koje toke krutogtijela na presjeku S potrebno je poznavatiintenzitet i pravac brzine jedne toke vA i

pravac brzine druge toke tijela vB.

Zadano: Intenzitet i pravac brzine vA i samo pravac vB


52/66

52

intenzitetseTrai

PA

vPAv

PBv?v

AA

BB

==

==

Zadano: Intenzitet i pravac brzine vA i samo pravac vB


53/66

53

PAv

rvrv

PCv

?v

A

A

AAA

C

C

===

==

Sluajevi odreivanja trenutnog pola brzina


54/66

54

Sluajevi odreivanja trenutnog pola brzina

0vP =

Trenutnatranslacija: Trenutni pol:

P


55/66

55

Primjer ravninskog gibanja

krutog tijela:Kotrljanje bez klizanjavaljkastog tijela po povrini

drugog tijela


56/66

56

Translacija + Rotacija = Kotrljanje

Kotrljanje rotacija oko trenutne osi

- trenutni pol

Ubrzanje a toaka tijela


57/66

57

Ubrzanje a toaka tijela

2

AM2

2

A2

M

2

2

M

AMA

dt

rd

dt

rd

a

dtrda

rrr

+=

=

+=

= A2A

2

adt

rdMA2

AM2

a

dt

rd

=

+= MAAM aaa


58/66

58

+= MAAM aaa

Podsjetnik: Ubrzanje a toaka kod krunog gibanja


59/66

59

j j g g j

2

dt

dv

=

==

ra

ra

n

t

422n

2t raaa +=+=

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

2n

t

a

a

tg

==

Ubrzanje aMA toke M pri rotaciji tijela oko pola A:


60/66

60

=

AMa tMA

2

n

MA AMa =

Tangencijalna komponenta ubrzanja: ( r = AM )

Normalna komponenta ubrzanja:

n

MA

t

MAMA aaa

+

=


61/66

61

( ) ( ) 422nMA2tMAMA AMaaa +=+=

2tg =

+= MAAM aaa

Ubrzana rotacija


62/66

62

Usporena rotacijaUbrzana rotacija

Primjer 1: tap AB duine 2 m izvodi planarno gibanje.


63/66

63

U jednom trenutku brzina toke A zatvara s ositapa kut od 30 i iznosi 5 m/s. U istom trenutkubrzina toke B zatvara s osi tapa kut od 60.Odredite:

a) iznos brzine toke B (grafiki i analitiki)b) poloaj trenutnog pola P (grafiki)

c) kutnu brzinu .

a) vB=? - grafiki (vBAje okomito na spojnicu AB)


64/66

64

b) Trenutni pol P

a) vB=? Teorem o jednakosti projekcija brzina


65/66

65

) B j p j j

)s/m(66,8

2

12

3

5

60cos

30cosvv

60cosv30cosv

AB

BA

===

=

c) = ?


66/66

66

)

(1/s)51

5

AP

vAPv

(m)15,0230sinABAP

AA ====

===

Domaa zadaa:

Odredite brzinu sredita tapa toke C (grafiki i analitiki).

Documents

11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO