If you can't read please download the document
Upload
lamkhuong
View
252
Download
14
Embed Size (px)
Citation preview
2012
TOLGA YAVAN
Matematik retmeni
11. SINIF MATEMATK
KONU ZET
11. SINIF MATEMATK KONU ZET
1
1.NTE: KARMAIK SAYILAR
x2+3=0 gibi denklemlerin gerek saylarda zm
olmadndan bu denklemlerin bo kmeden farkl
zm kmeleri iin yeni bir say kmesine ihtiya
vardr.
Negatif saylarn karekkleri sz konusu olduunda
karlalan ortak arpanna sanal say birimi denir. Matematiki Euler (yler), bu sanal say
birimini i ile gstermitir. Yaps gz nne
alndnda, olduu grlr.
a>0 olmak zere, olarak ifade edilir. Negatif saylarn karekklerine sanal saylar denir.
kN iin; {
( )
( )
( )
( )
eklindedir.
a, b R ve sanal say birimi olmak zere a+bi biimindeki saylara karmak saylar denir.
Bu saylarn oluturduu kmeye karmak
(kompleks) saylar kmesi ad verilir ve C ile
gsterilir.
Baka bir deyile, C={z | z=a+bi, a, bR, } kmesi karmak saylar kmesi olarak adlandrlr.
Bu kmesinin elemanlar standart biimde z=a+bi
olarak gsterilir.
Bu saylara karmak saylar denir.
aR saysna z nin gerek ksm Re(z), bR saysna da z nin sanal ksm Im(z) denir. Re(z)=a ve Im(z)=b biiminde gsterilir.
KARMAIK SAYILARIN ETL
a, b, c, d R, z1 = a + bi ve z2 = c + d i olmak zere, z1 = z2 a = c ve b = d dir.
KARMAIK DZLEM
Gerek ve sanal eksenlerin balang noktasnda dik
kesimeleri ile oluan sisteme karmak saylar
dzlemi ya da ksaca karmak dzlem ad verilir.
a, b R olmak zere, z=a+bi karmak says karmak dzlemde,
biiminde gsterilir.
BR KARMAIK SAYININ ELEN VE
MODL
a, b R olmak zere, a+bi ve a-bi karmak saylarna birbirinin elenii denir. Bir karmak
say ile eleniinin karlk geldii noktalar gerek
eksene gre simetriktir.
Herhangi bir z karmak saysnn elenii ile gsterilir. z = a + bi karmak saysnn elenii
karmak saysdr.
Karmak dzlemde bir z karmak saysna karlk
gelen noktann balang noktasna olan uzaklna
bu karmak saynn modl denir ve |z| biiminde
gsterilir.
a, b R ve z = a + b i olmak zere z karmak saysnn modl karmak dzlemde,
|z|=|a+bi|= dr.
Bir z karmak saysnn modl ile elenii
olan karmak saysnn modl birbirine eittir. |z| = | | dr.
KARMAIK SAYILARDA TOPLAMA VE
IKARMA LEMLER
Karmak saylar toplanrken veya karlrken
gerek ksmlar kendi aralarnda ve sanal ksmlar
kendi aralarnda toplanr veya karlr.
Karmak dzlemde ardk kesi
z1, 0 + 0i ve z2 karmak saylar olan paralelkenarn
drdnc kesi z1 + z2 karmak says;
z1, 0 + 0i ve z2 karmak saylar olan
paralelkenarn drdnc kesi z1 z2 karmak
saysdr.
11. SINIF MATEMATK KONU ZET
2
TOPLAMA LEMNN ZELLKLER
z1, z2, z3 C iin, 1. (z1 + z2) C olduundan toplama ileminin
kapallk zellii vardr.
2. z1 + z2 = z2 + z1 olduundan toplama ileminin deime zellii vardr.
3. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) olduundan toplama ileminin birleme zellii vardr.
4. z1 + 0 + 0 i = 0 + 0 i + z1 = z1 olduundan (0+0i) toplama ileminin etkisiz elemandr.
5. z1 + (z1) = (z1) + z1 = 0 + 0 i olduundan z1=a+bi karmak saysnn toplama ilemine
gre tersi z1 = a bi dir.
KARMAIK SAYILARDA ARPMA VE
BLME LEMLER
a, b, c, d R ve z1 = a + b i, z2 = c + d i karmak saylar iin,
z1.z2= (ac bd) + (ad + bc)i dir.
ileminde pay ve payda z2 nin elenii ile
arplarak payda gerek sayya dntrlr.
Payda elde edilen karmak saynn gerek ve sanal
ksm, paydadaki gerek sayya blnr.
ARPMA LEMNN ZELLKLER
z, z1, z2, z3 karmak saylar iin, 1. z1.z2 C olduundan karmak saylar
kmesi arpma ilemine gre kapaldr.
2. z.1 = 1.z = z olduundan 1 says karmak saylar kmesinde arpma ilemine gre
etkisiz elemandr.
3.
olduundan karmak saylar
kmesinde arpma ilemine gre sfr hari
her karmak saynn tersi vardr.
z karmak saysnn arpma ilemine gre
tersi z-1
ile gsterilir.
biiminde
yazlr.
4. z1.z2 = z2.z1 olduundan karmak saylar kmesinde arpma ileminin deime
zellii vardr.
5. (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) olduundan karmak saylar kmesinde arpma ileminin
birleme zellii vardr.
6. z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3 olduundan karmak saylar kmesinde arpma
ileminin toplama ilemi zerine dalma
zellii vardr.
ELENK VE MODL ZELLKLER
z, z1, z2 karmak saylar iin,
1. ( ) 2. 3.
4. (
)
; (z2 0)
5. ( ) ( ) dr. z1, z2 karmak saylar iin,
1. | z1.z2 | = | z1 |.| z2 |
2. |
|
| |
| | ; (z2 0 + 0 i)
3. | | 4. | | | | 5. || | | || | | | | | | dir.
KARMAIK SAYILARDA KNC
DERECEDEN BR BLNMEYENL
DENKLEMLER
a, b, c R, a 0 olmak zere ax2 + bx + c=0 biimindeki ikinci dereceden gerek katsayl bir
denklemin kklerinden biri m + ni ise dieri m ni
dir. (m, n R)
K KARMAIK SAYI ARASINDAK
UZAKLIK
z1, z2 C, z1 = a + b i, z2 = c + d i olmak zere, z1 ile z2 karmak saylar arasndaki uzaklk, bu
saylarn farknn modlne eittir. Buna gre z1 ile
z2 arasndaki uzaklk | z1 - z2 | ile gsterilir.
Karmak dzlemde z0 karmak saysndan r birim
uzaklkta bulunan z karmak saylar | z zo | = r
eitliini salar ve merkezi z0, yarap r olan
emberi belirtir. emberi oluturan z karmak
saylarnn kmesi { z: | z zo | = r, z C } biiminde gsterilir.
z = x + y i, z0 = a + b i ve r R+ olmak zere;
1. |z z0| gsterimi z saysnn z0 saysna uzakln belirtir.
2. |z z0| = r eitlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan bir emberi belirtir.
11. SINIF MATEMATK KONU ZET
3
3. |z z0| < r eitsizlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan emberin i blgesini
belirtir.
4. |z z0| r eitsizlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan daire belirtir.
5. |z z0| > r eitsizlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan emberin d blgesini
belirtir.
6. |z z0| r eitsizlii merkezi (a, b) ve yarap r birim olan emberin kendisi ve d
blgesini belirtir.
7. |z z1| =|z z2| kouluna uyan z karmak saylarnn kmesi, z1 ve z2 saylarna eit
uzaklkta bulunan noktalarn kmesidir. Bu
ise z1 ve z2 yi birletiren doru parasnn
orta dikmesidir. 8. |z z1| + |z z2| =k kouluna uyan z
karmak saylarnn kmesi, z1 ve z2
saylarna uzaklklar toplam sabit olan
noktalarn kmesidir. Bu ise odaklar z1 ve
z2 olan elipsdir.
9. |z z1| |z z2| =k kouluna uyan z karmak saylarnn kmesi, z1 ve z2
saylarna uzaklklar toplam sabit olan
noktalarn kmesidir. Bu ise odaklar z1 ve
z2 olan hiperboldr.
10. |z z1| =k.|z z2|, (k1) kouluna uyan z karmak saylarnn kmesi, z1 ve z2
saylarna uzaklklar oran sabit olan
noktalarn kmesidir. Bu noktalar bir
ember zerindedir. (Apolyanus emberi)
KARMAIK SAYILARIN KUTUPSAL BM
Yatay eksene kutupsal eksen diyelim ve bu eksen
zerinde bir balang noktas (merkez noktas)
alalm. Bir B noktasnn balang noktasna olan
uzakl r, kutupsal eksen ile yapt pozitif ynl
ann ls olmak zere oluturulan (r, )
ikilisine B noktasnn kutupsal koordinatlar denir
ve B(r, ) biiminde ifade edilir.
Kartezyen koordinatlar (x, y) olan A noktas
kutupsal koordinatlarla (r, ) olarak ifade
edildiinde, x = r.cos , y = r.sin ve
olur.
Genel olarak z = x + i y biiminde gsterilen
karmak say kutupsal koordinatlar (r, ) alnarak,
z = x + i y = r.cos + i.r.sin = r.(cos + i.sin )
biiminde yazlr.
Bu gsterime z nin kutupsal biimi denir ve z=rcis
eklinde de gsterilir.
Kutupsal biimdeki z = r.cis ( + k.360o), (k Z)
karmak saylar da z = r.cis ile temsil edilir.
Kutupsal biimde yazlan z = r cis karmak
saysnda ya z nin argmenti ad verilir.
0 < 360o (0 < 2) ise ya z nin esas
argmenti denir. Arg(z) = biiminde gsterilir.
z0 = a + bi karmak saysnn karmak dzlemdeki
grnts A(a, b) olmak zere,
arg(z z0) = koulunu salayan z karmak
saylarnn grnts AK yar dorusudur.
KUTUPSAL BMDE VERLEN KARMAIK
SAYILARDA TOPLAMA, IKARMA,
ARPMA VE BLME LEMLER
Kutupsal biimde verilen karmak saylarn
toplam veya fark; standart biiminde yazlabilenler
standart biimde yazlarak, modlleri eit olanlar ise
trigonometrideki toplam ve fark formllerinden
faydalanlarak bulunur.
z1 = r1.cis ve z2 = r2.cis olmak zere,
z1.z2=r1.r2.cis ( + ) dir.
Arg (z1) = , Arg (z2) = ve Arg (z1.z2) = +
olduundan,
Arg (z1.z2) = Arg (z1) + Arg (z2) olur.
z1 = r1.cis ve z2 = r2.cis olmak zere,
( ) dr.
Arg (z1) = , Arg (z2) = ve (
)
olduundan (
) ( ) ( ) olur.
11. SINIF MATEMATK KONU ZET
4
Bir Karmak Saynn Orijin Etrafnda Pozitif
Ynde As Kadar Dndrlmesi z = r.cis saysnn orjin etrafnda kadar
dnmesiyle oluan z1 saysn z1=z.cis formlyle
buluruz.
O halde bir karmak say cis ile arplnca bu
saynn elendii noktann orijin etrafnda kadar
dndrlmesiyle varlan noktaya elenen karmak
say elde edilmektedir.
KARMAIK SAYININ KUVVETLER
z = r.cis ve n N+ olmak zere, z karmak saynn n kuvveti,
zn = r
n.cis (n.) = r
n.[cos (n.) + i .sin (n.)] dir. Bu
kural De Moivre Kural olarak adlandrlr.