Analitik Geometri Özeti

Analitik Geometri zeti

David Pierce

Nisan , :Matematik Blm

Mimar Sinan Gzel Sanatlar niversitesistanbul

[email protected]

http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

indekiler

Denklik bantlar

Uzunluklar

Alanlar

Koni kesitleri ve paraboller

Hacimler

Hiperboller

aretli uzunluklar ve elipsler


Eksenler

Dik eksenler

Uzaklk

Dik eksenlere gre koni kesitleri

ekil Listesi

Benzer dik genler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralellik ve orantllk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dikdrtgenlerin eitlii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralellik ve orantllk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koninin eksen geni ve taban . . . . . . . . . . . . . . Bir koni kesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koninin eksen geni ve tabanlar . . . . . . . . . . . . . ki orta orantl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konide hiperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2ay2 = 2ax+ x2 hiperbol . . . . . . . . . . . . . . . . 2ay2 = 2ax x2 elipsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kinci dal ile 2ay2 = 2ax+ x2 hiperbol . . . . . . . . Paraboln yeni ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboln yeni ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboln benzer genleri . . . . . . . . . . . . . . . . Kosins tanm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosins Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y2 = x x2/2a koni kesitleri . . . . . . . . . . . . . . . x2/4 y2 = 1 koni kesitleri . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboln odaklar ve dorultmanlar . . . . . . . . . . Elipsin odaklar ve dorultmanlar . . . . . . . . . . . . Odak ve dorultman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nisan , :

Dmerkezlilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Denklik bantlar

Tanm . Doal saylar, 1, 2, 3, . . . . Bunlar N kmesini oluturur:

N = {1, 2, 3, . . . }.

(Bu ifadede = iareti aynl gsterir, yani N ve {1, 2, 3, . . . } ayn k-medir.)

Sz . lkokuldan bildiimiz gibi iki doal say toplanabilir ve arpla-bilir, ve doal saylar sralanr.

Tanm . Sral ikililer,

(a, b) = (x, y) a = x & b = y

zelliini salar. Tm A ve B kmeleri iin

AB = {(x, y) : x A & y B}.

Tanm . Bir A kmesinin yansmal, simetrik, ve geili iki-konumluR bants, A kmesinin denklik bantsdr. A kmesinin b elema-nnn R bantsna gre denklik snf veya R-snf,

{x A : x R b}

kmesidir. Bu denklik snf iin

[b]

ksaltmas kullanlabilir (ama Teorem ten sonra kullanlmayacak).

Bu kmeye denklik snf demek, bir gelenektir. Kmeler kuramnda her kmebir snftr, ama her snf kme deildir. rnein {x : x / x} snf, kme olamaz.


Teorem . R, A kmesinin denklik bants olsun, ve b A, c Aolsun. Ya

[b] = [c]

ya da[b] [c] = .

Tanm . N N kmesinin bants,

(k, ) (x, y) ky = x

tanmn salasn.

Teorem . N N kmesinin bants, denklik bantsdr.Tanm . N N kmesinin (k, ) elemannn -snf,

k

veya k/ pozitif kesirli saysdr. Pozitif kesirli saylar,

Q+

kmesini oluturur.

Teorem . Aadaki eitlikler, Q+ kmesinin toplama ve arpma i-lemleri iin iyi tanmdr:

k

+

m

n=

kn+ m

n,

k

mn

=am

n.

Yani

k

=

k

&

m

n=

m

n= kn+ m

n=

kn + m

n&

km

n=

km

n.

Ayrca Q+ aadaki tanma gre sralanr:

k

0 ve a > 0 ise

2ay2 = 2ax x2

denklemi, dikey kenarnn uzunluu olan, yanlamasna kenar-nn uzunluu 2a olan elipsi ( eksiklik) tanmlar (ama or-dinatlarn apa asn seilmeli). ekil e bakn. Hiperboldeki gibi

b

b

b

2a

x

y

ekil : 2ay2 = 2ax x2 elipsi

elipsin merkezi, yanlamasna kenarnn orta noktasdr. Hiperbol veelips, merkezli koni kesitidir.


Teorem . Teorem de koni kesitinin GF ap F noktasnn te-sine uzatlrsa ve AB dorusunun uzatlmasn keserse, hiperboln ye-rine elips kar.

Sz . imdi her koni kesiti ya parabol ya hiperbol ya da elipstir.Pergeli Apollonius bu adlar vermitir. Parabol olmayan her koni kesitimerkezlidir.

Eksenler

Tanm . Dzlemde iki doru bir O noktasnda kesisin. Dorularnbirine x ekseni, dierine y ekseni densin, ve O noktasna balangnoktas densin.

Teorem . Dzlemde her A noktas iin x ekseninde bir ve tek birB iin, y ekseninde bir ve tek bir C iin, ABOC paralelkenardr. Tamtersine b ve c iaretli uzunluk olmak zere, herhangi bir (b, c) sralikilisi iin, x ekseninde bir ve tek bir B iin, y ekseninde bir ve tek birC iin, dzlemde bir ve tek bir A iin

OB = b,

OC = c,

ve ABOC paralelkenardr.

Tanm . Teorem te b, A noktasnn x koordinatdr, ve c, Anoktasnn y koordinatdr. ekil deki gibi B noktasna b yazlabi-lir, ve C noktasna c yazlabilir.

Sz . ekil teki koordinatlar (b, c) olan nokta hiperboldeyse, ko-ordinatlar (b,c), (2a b, c), ve (2a b,c) olan noktalar dahiperboldedir.

Teorem . Denklemi 2ay2 = 2ax+ x2 olan hiperbol verilsin, amayeni st eksenleri seilsin. Eer

s ekseni, x eksenidir, ve

Nisan , :

A Cc

B

b O

x

y

ekil : Koordinatlar

t ekseni, hiperboln merkezinden geer ve y eksenine paralel ise,o zaman yeni st eksenlerine gre hiperboln denklemi,

2at2 = s2 a2.

Teorem . aretli uzunluklarn oran

a : b :: c : d ad = bc

kuralna gre tanmlanabilir. Oranlarn toplam

(a : c) + (b : c) :: (a+ b) : c

kuralna gre tanmlanabilir.

Sz . imdi oranlar saylar gibi kullanabiliriz.

Tanm . a : a oran1

olarak yazlsn, ve a : b orana

b

veya a/b biiminde yazlsn. O zaman hiperboln 2ay2 = 2ax + x2

denklemi

y2 = x+

2ax2


x

y

bb

2aO

bb

b

b

b2a b

c

c

ekil : kinci dal ile 2ay2 = 2ax+ x2 hiperbol

biiminde yazlabilir. Bu denkleme Apollonius denklemi diyelim. Te-orem e gre, farkl eksenlere gre, hiperboln 2ay2 = x2a2 denk-lemi de vardr; bu denklem

x2

a2 y

2

a/2= 1

biiminde yazlabilir. Bu denkleme merkez denklemi diyelim.

Dik eksenler

Teorem . Parabolde apa paralel olan her doru, yeni bir aptr.ekil teki gibi

) ABC erisi, ap FE ve kesi A olan parabol,) BD ve CE ordinat,) FA = AD, ve

Nisan , :

A

B

C

D EF

H

G

a a x a

c b b

s x a st

y b

ekil : Paraboln yeni ap

) BG FE, CH BFolsun. Aadaki iaretli uzunluklar tanmlansn:

AD = a,DB = b,

AE = x,EC = y,

BH = s,HC = t,

FB = c.

Paraboln dikey kenarnn uzunluu ise

m

=

c2

b2

olsun. O zamany2 = x

olduundant2 = ms.

Teorem . Paraboln bir (ve tek bir) ap iin ordinatlar apa diktir(yani Tanm deki gibi paraboln ekseni ve tek bir ekseni vardr).


Teorem . Hiperboln merkezinden geen ve hiperbol kesen herdoru, hiperboln yeni bir apdr. ekil teki gibi

A

B

C

D E FG

H K

L

ekil : Hiperboln yeni ap

) ABC erisi, merkezi D olan ve ap DF olan hiperbol,) BE ve CF ordinat,) DG : DA :: DA : DE,) CH BG, HK DA, HL BE

olsun. Aadaki iaretli uzunluklar tanmlansn:

DF = x,FC = y,

DH = s,HC = t,

DE = c,EB = d,

DA = a,GE = e,

DB = f,GB = g.

Nisan , :

(ekil ya bakn.) Hiperboln dikey kenarnn uzunluu ve 2b2 = a

df

sd

fs

cc

fs

dg

t

e

e

gt

d

gt

ekil : Hiperboln benzer genleri

isex2

a2 y

2

b2= 1

olduundans2

f2 t

2

g2c/e= 1.

Teorem . Hiperboln bir (ve tek bir) ap iin ordinatlar apa diktir,yani hiperboln bir (ve tek bir) ekseni vardr.


Uzaklk

Sz . Dik genle x2 = a2 + b2 denkleminin zm bulunabilir.

Tanm . x2 = a2 + b2 denkleminin (pozitif) zm

a2 + b2.

Tanm . Eksenler verilirse, koordinatlar (a, b) olan nokta ifadesi-nin yerine (a, b) noktas diyebiliriz.

Teorem . Eksenler dik ise (a, b) noktasnn (c, d) noktasndan uzak-l

(a c)2 + (b d)2.Tanm . Eksenler dik ve a 6= c ise ucu (a, b) ve (c, d) olan dorununeimi

b da c .

Sz . Tanm te eksenlerin dik olmas gerekmez ama normaldir.

Teorem . Paralel dorularn eimleri ayndr. Dik eksene gre, a 6=c ise (a, b) ve (c, d) noktalarndan geen usuz dorunun noktalar,

y =d bc a (x a) + b

denklemini salayan noktalardr. Eimi e/f olan ve (a, b) noktasndangeen usuz dorunun noktalar,

y =e

f (x a) + b

denklemini salayan noktalardr. y eksenine paralel olan ve (a, b) nok-tasndan geen usuz dorunun noktalar,

x = a

denklemini salayan noktalardr.

Nisan , :

Sz . u anda Descartesn ortaya koyduu uylam uygundur:

Tanm . Bir birim uzunluu seilirse,

1

olarak yazlabilir. Eer a b = c 1 ise, o zaman ab alan c olarakanlalabilir. Bu ekilde alan, hacim, oranher ey bir uzunluk olur.zel olarak eim, bir harf ile yazlabilir.

Teorem . Dik eksenlere ve birim uzunluuna gre y eksenine paralelolmayan dorunun denklii

y = mx+ b

biiminde yazlabilir, ve bunun gibi her denklem, eimi m olan ve (0, b)noktasndan geen doruyu tanmlar. Benzer ekilde a 6= 0 veya b 6= 0ise (yani a2 + b2 6= 0 ise)

ax+ by + c = 0

denklemi bir doru tanmlar, ve her dorunun denklemi bu ekilde ya-zlabilir.

Tanm . ekil de BAC dik ise

cos =b

c.

Burada , BAC asnn eitlik snf olarak anlalabilir, ve cos,ann kosinsdr. Dik ann ls

2.

O zamancos

2= 0,

ve geni a isecos = cos( ).


A c B

C

ab

ekil : Kosins tanm

Teorem (Kosins Teoremi). ekil de

a2 = b2 + c2 2bc cos.

A c B

C

a

b

A c B

C

ab

A c B

C

ab

ekil : Kosins Teoremi

Tanm . Dik eksenlere gre

(a, b) (c, d) = ac+ bd,(a, b) =

(a, b) (a, b) =

a2 + b2.

(a, b) noktas, (0, 0) balang noktasndan (a, b) noktasna giden ynldoru olarak anlalabilir.

Teorem . Dik eksenlere gre (a, b) ve (c, d) arasndaki a ise

(a, b) (c, d) = (a, b) (c, d) cos .

Nisan , :

Teorem (CauchySchwartz Eitsizlii).

(ac+ bd)2 6 (a2 + b2) (c2 + d2).

Tanm (mutlak deer). |a| ={

a, eer a > 0 ise,

a, eer a < 0 ise.

Teorem . Dik eksenlere ve birim uzunluuna gre (s, t) noktasnnax+ by + c = 0 dorusuna uzakl

|as+ bt+ c|a2 + b2

.

Dik eksenlere gre koni kesitleri

Tanm . a 6= 0 isea

= 0.

Sz . imdi > 0 ve a 6= 0 ise, dik eksenlere gre,

y2 = x 2a

x2

Apollonius denklemi, ekseni x ekseni olan ve kesi balang noktasolan

a < 0 durumunda hiperbol,

a = durumunda parabol,

a > 0 durumunda elipsi

tanmlar. ekil a bakn.

Sz . > 0 ve a 6= 0 (ve a 6= ) olsun, ve

b > 0, 2b2 = a


a = 1/2a = 1

a =

a = 1

a = 1/2

ekil : y2 = x x2/2a koni kesitleri

olsun. O zaman dikey kenar olan, yanlamasna kenar 2|a| olan mer-kezli koni kesitlerinin merkez denklemi

x2

a2 y

2

b2= 1.

ekil ye bakn.

Tanm . x2/a2y2/b2 = 0 denklemi, x2/a2y2/b2 = 1 hiperbolnasimptotlarn tanmlar. Yani hiperboln asimptotlar, y = (b/a)xdorulardr.

Nisan , :

a

a

b

b

ekil : x2/4 y2 = 1 koni kesitleri

Teorem . y2 = x+(/2a)x2 hiperboln asimptotlarnn denklemi

y =

2a (x a).

Tanm . Denklemi y2 = x olan paraboln odak noktas(

4, 0

)

ve dorultman dorusu

x+

4= 0.

Teorem . Denklemi y2 = x olan paraboln noktalar, odak nok-tasna ve dorultmana uzakl ayn olan noktalardr.

Tanm . Denklemi x2/a2 y2/b2 = 1 olan hiperboln odak nok-talar

(

a2 + b2, 0),


(srasyla) dorultman dorular

x = a2

a2 + b2

,

ve dmerkezlilii a2 + b2

a.

ekil e bakn. Ayrca 0 < b < a ise denklemi x2/a2 + y2/b2 = 1 olan

bb bb

b

b

aa

b

b

a2 + b2

a2 + b2

ekil : Hiperboln odaklar ve dorultmanlar

elipsin odak noktalar

(

a2 b2, 0),

Nisan , :

(srasyla) dorultman dorular

x = a2

a2 b2

,

ve dmerkezlilii a2 b2a

.

ekil ye bakn.

bb

b

b

bb bb b2 a2

a

b2 a2

a

b

b

aa2b2

aa2b2

ekil : Elipsin odaklar ve dorultmanlar

Sz . ekil teki gibi merkezli koni kesitinin merkezi A, ve (mer-kezin ayn tarafnda olan) kesi B, ve oda C ise, ve dorultman,koni kesitinin eksenini D noktasnda keserse, tanma gre koni kesiti-nin dmerkezlilii AC : AB, ama

AC : AB :: AB : AD,

dolaysylaBC : BD :: AC : AB,

ve sonu olarak koni kesitinin dmerkezlilii BC : BD.


A B CDbb AB CD

b b

ekil : Odak ve dorultman

Teorem . Merkezli koni kesitinin noktalar, bir odak noktasna veona karlk gelen dorultman dorusuna uzaklklarnn orannn d-merkezlilik olduu noktalardr. Yani ekil te (CB = C B ve BD =BD olduundan) aadaki koullar denktir:

E noktas koni kesitinde,

CE : EF :: CB : BD,

C E : EF :: CB : BD.

Sz . BC : BD :: AB : AD :: BB : DD olduundan merkezli konikesitinin E noktalar iin (ve sadece bu noktalar iin)

C E CE : EF EF :: BB : DD.

Elipste EF + EF = FF = DD, dolaysyla

CE + C E = BB.

Hiperbolde E, soldaki daldaysa EF EF = DD, dolaysyla

C E CE = BB.

Nisan , :

bb b

AB BC C

D D

E

FF

bb b

AB BC C D D

EF F

ekil : Dmerkezlilik

Documents

Analitik Geometri Özeti