დისკრეტული_11_10_12

წიგნი დაწერილია საქართველოს ტექნიკურ უნივერსიტეტში დისკრეტული მათემატი-კის მოქმედი სილაბუსის მიხედვით და შედგება შემდეგი ნაწილებისაგან: სიმრავლეთა თეორია, კომბინატორიკა, გრაფთა თეორია, ბულის ალგებრა, მათემატიკური ლოგიკა, ალბათობის თეო-რია, ალგებრული სტრუქტურები და რიცხვთა თეორია.

დისკრეტული მათემატიკის წარმოდგენილი სახელმძღვანელო განკუთვნილია ინფორმა-ტიკისა და მართვის სისტემების ფაკულტეტის სტუდენტებისათვის.

ფიზიკა-მათემატიკურ მეცნიერებათა დოქტორის, სრული პროფესორის l. mZinariSvilis რედაქციით

რ ე ც ე ნ ზ ე ნ ტ ე ბ ი: სრული პროფესორი vladimer balaZe

სრული პროფესორი giorgi gogiCaiSvili

© საგამომცემლო სახლი „ტექნიკური უნივერსიტეტი“, 2012 ISBN 978-9941-20-100-4 http://www.gtu.ge/publishinghouse/

ყველა უფლება დაცულია. ამ წიგნის ნებისმიერი ნაწილის (ტექსტი, ფოტო, ილუსტრაცია თუ სხვა) გამოყენება არც ერთი ფორმითა და საშუალებით (ელექტრონული თუ მექანიკური) არ შეიძლება გამომცემლის წერილობითი ნებარ-თვის გარეშე.

საავტორო უფლებების დარღვევა ისჯება კანონით

წინასიტყვაობა

დისკრეტული მათემატიკა აერთიანებს მათემატიკის რამდენიმე დამოუკიდებელ მიმარ-თულებას. ესენია: სიმრავლეთა თეორია, გრაფთა თეორია, ბულის ალგებრები, მათემატიკური ლოგიკა, ალბათობის თეორია, ალგებრული სტრუქტურები და რიცხვთა თეორია. ჩამოთვლილი მიმართულებებიდან თითოეული თანამედროვე მათემატიკის ღრმად და ფართოდ განვითარე-ბული დარგია. როგორც წესი, დისკრეტული მათემატიკის არსებულ სახელმძღვანელოებში გა-მოკვეთილად არ ჩანს მათ შორის კავშირები. მაგალითად, როგორც წესი, წიგნი იწყება მათემა-ტიკური ლოგიკით. სახელმძღვანელო ჩვენ მიერ ისეა აგებული, რომ მთელი წიგნის საფუძვე-ლია სიმრავლეთა თეორია, რომელიც წარმოდგენილია სიმრავლეების და მათი თვისებების, მიმართებების, ასახვების, ალგებრული ოპერაციების სახით. წიგნის პირველ თავში შემოტანი-ლი ყველა ცნება, თვისება და დებულება არსებითად გამოიყენება დანარჩენ თავებში: კომბინა-ტორიკა აგებულია სიმრავლეთა თეორიის და სპეციალური ასახვების (ბიექცია, ინექცია) გამოყე-ნებით. გრაფთა თეორია არსებულ სახელმძღვანელოებში, როგორც წესი, აღწერითი ფორმით არ-ის გადმოცემული. ჩვენთან, გრაფთა თეორიის ყველა ცნება მკაცრად არის განსაზღვრული სი-მრავლეთა თეორიის ცნებების (სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე, სიმრავლეთა დეკარტუ-ლი ნამრავლი) და სპეციალური ასახვების (ბიექცია, ინექცია, დიაგონალური ასახვა და მისი ხა-რისხები) გამოყენებით. ბულის ალგებრის აგებისას გამოყენებულია პირველი თავის ცნებები და დებულებები (სიმრავლეები და მათი თვისებები, ალგებრული ოპერაციები). მათემატიკური ლოგიკა აგებულია სიმრავლეთა თეორიის და ბულის ალგებრის საშუალებით. ალბათობის თეო-რია აგებულია სიმრავლეთა თეორიის ცნებების (სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე), ასახვე-ბის და ასახვათა სიმრავლეზე განსაზღვრული ალგებრული ოპერაციების გამოყენებით. ალგებ-რული სტრუქტურები ასევე აგებულია პირველი თავის საფუძველზე (ალგებრული ოპერაციები და მათი თვისებები). რიცხვთა თეორიის აგებისას ასევე არსებითად გამოყენებულია პირველი თავის მასალა (მიმართებები, ფაქტორსიმრავლე, ალგებრული ოპერაციები). ყველა თავში, ყველა პარაგრაფში თეორიული მასალა უხვად არის ილუსტრირებული ამოცანებით და მაგალითებით. გარდა ამისა, ყველა თავის ბოლოს მოყვანილია სავარჯიშოები დამოუკიდებელი სამუშაოსა-თვის, წიგნის ბოლოში კი − ამ სავარჯიშოთა უმეტესობის პასუხები და ამოხსნები.

ჩვენი აზრით, ერთიან იდეაზე დაყრდნობით აგებული დისკრეტული მათემატიკის წარ-მოდგენილი სახელმძღვანელო საინტერესო იქნება არა მხოლოდ სტუდენტებისათვის, არამედ დისკრეტული მათემატიკის შესწავლით დაინტერესებული ყველა პირისათვის.

ლ. მძინარიშვილი, ნ. კაჭახიძე დ. უგულავა, ნ. ხომერიკი

სახელმძღვანელოს სტრუქტურა

სიმრავლეები, მიმართებები,

ასახვები

გრაფთა თეორია

კომბინატორიკა ბულის ალგებრა

მათ. ლოგიკა ალბათობის თეორია

ალგებრული სტრუქტურები რიცხვთა თეორია

5

სარჩევი

თავი I. სიმრავლეები, მიმართებები, ასახვები .. . .………………………...………….....… 7

§1. სიმრავლეები ……………………………………………………………….......…………………… 7

§2. მიმართებები …………………………………………………………………....…………….……… 16

§3. ასახვები ………………………………………………………………………....…………….…..….. 21

§4. ალგებრული ოპერაცია …………………………………………………....……………………….. 30

სავარჯიშოები I თავისათვის …………………………………………....…………………………..…. 37

თავი II. კომბინატორიკის ელემენტები ……………………….………………….………… 43

§1. ძირითადი ამოცანები …………………………………...………………………………………….. 43

§2. ზოგიერთი სხვა ამოცანის შესახებ ………………………………...…………………….………… 48

სავარჯიშოები II თავისათვის ………………………………………...………………….…………….. 50

თავი III. გრაფთა თეორიის ელემენტები …………………….…………………………. ..... 54

§1. გრაფი ………………………………………………………………....……………….…………….. 54

§2. ოპერაციები გრაფებზე …………………………………………....…………………………………. 63

§3. გრაფის მატრიცული წარმოდგენა ……………………………....…………………………………. 67

სავარჯიშოები III თავისათვის ……………………………………....…………………………………. 70

თავი IV. ბულის ალგებრა ……………………………………...…………………….………… 78

§1. ბულის ალგებრის ცნება ……………………………………………....………………….……..…… 78

§2. ბულის ფუნქციები ……………………………………………....………………………...…………. 84

§3. ბულის ფუნქციების გამოყენება რელე კონტაქტურ სქემებში …...………………….…………. 87

სავარჯიშოები IV თავისათვის …………………………………………...…………………………….. 90

თავი V. მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები ………………..………………………….. 94

§1. გამონათქვამთა ალგებრა …………………………………………...………………………………. 94

§2. მათემატიკური დებულებების დასაბუთების მეთოდები ………...……………….………… 101

სავარჯიშოები V თავისათვის ……………………………………………...…………….………….. 110

თავი VI. ალბათობის თეორიის ელემენტები ………………………..…….…………… 121

§1. ალბათობის ცნება. ძირითადი ამოცანები ……………………………...…………….………….. 121

§2. შემთხვევითი სიდიდე …………………………………………………...…………….…………. 144

სავარჯიშოები VI თავისათვის ………………………………………………………...………….….. 153

თავი VII. ალგებრული სტრუქტურები ……………………………………..…….……… 157

6

§1. ალგებრული ოპერაცია. ჯგუფი ………………………………...………………………….…….. 157

§2. რგოლი. ველი …………………………………………………...…………………………..………. 172

§3. კომპლექსურ რიცხვთა ველი …………………………………...…………………………………. 185

სავარჯიშოები VII თავისათვის ……………………………………...……………………………..… 194

თავი VIII. რიცხვთა თეორიის ელემენტები …………………..……………….................. 198

§1. გაყოფადობის თეორია ……………………………………………...………………………...…...... 198

§2. სასრული ველები ……………………………………………………………………...................… 209

§3. კოდირების თეორიისა და კრიპტოგრაფიის ელემენტები ……………………….…................. 214

სავარჯიშოები VIII თავისათვის …………………………………………………………………...….. 223

ლიტერატურა ........................................................................................................................ ............. 225

სავარჯიშოების პასუხები ........................................................................................................................ 226

7

თავი I. სიმრავლეები, მიმართებები, ასახვები

§1. სიმრავლეები

1. ზოგიერთი ძირითადი ცნება. სიმრავლე მათემატიკის ერთ-ერთი პირველადი ცნებაა. სიმრავლე წარმოადგენს რაიმე ნიშნის მიხედვით გაერთიანებული ობიექტების ერთობლიობას. ამ ცნების უკეთ გააზრების მიზნით განვიხილოთ მაგალითები.

𝑀1: სიმრავლე რიცხვებისა 2, 3, 7;

𝑀2: ყველა მარტივ რიცხვთა სიმრავლე;

𝑀3: ყველა იმ რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე, რომლებიც 5𝑥 + 3 = −0,5 განტოლების ამონახსნებია;

𝑀4: ყველა იმ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე, რომლებიც 𝑥2 + 9 = 0 განტოლების ამო-ნახსნებია;

𝑀5: საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის ფაკულტეტების სიმრავლე;

𝑀6: სიმრავლე, რომელიც შედგება მხოლოდ სიტყვისაგან „სიმრავლე“;

𝑀7: 24-ის ყველა გამყოფთა სიმრავლე;

𝑀8: სიბრტყის ყველა იმ წრფეთა სიმრავლე, რომლებიც თავისი თავის მართობულია;

იმ ფორმულირებებისაგან განსხვავებით, სადაც სიტყვა „სიმრავლეში“ იგულისხმება „ბევრი“, მოყვანილ მაგალითებში შეიძლება პასუხი გაეცეს კითხვას: ეკუთვნის თუ არა რაიმე ობიექტი მოცემულ სიმრავლეს. სიმრავლეში შემავალ ობიექტს ეწოდება სიმრავლის ელემენტი. სიმრავლეებს დიდი ლათინური ასოებით აღნიშნავენ, ხოლო ელემენტებს − მცირეთი. თუ 𝑥 ეკუთვნის 𝑀 სიმრავლეს, წერენ 𝑥 ∈ 𝑀, თუ არ ეკუთვნის − 𝑥 ∉ 𝑀.

მოყვანილი მაგალითებიდან ჩანს, როგორ შეიძლება სიმრავლის აღწერა. ზოგიერთ შემ-თხვევაში ჩამოთვლილია სიმრავლის ელემენტები: 𝑀1 = {2, 3, 7}, 𝑀6 = {სიმრავლე}. 𝑀5 სიმრა-ვლის ელემენტები ტექნიკური უნივერსიტეტის ფაკულტეტებია. სიმრავლის ელემენტთა ჩამო-თვლის მეთოდი გამოუსადეგარია ისეთი სიმრავლის აღსაწერად, რომელიც შეიცავს ელემენტე-ბის უსასრულო რაოდენობას, მაგალითად 𝑀2 (ამ მაგალითებს შემდგომშიც გამოვიყენებთ შემო-ტანილი ცნებების ილუსტრაციის მიზნით).

სიმრავლის აღწერის სხვა, უნივერსალური შესაძლებლობაა რაიმე თვისების დასახელება, რომელიც მხოლოდ მოცემული სიმრავლის ელემენტებს გააჩნია. ვთქვათ, 𝑀 სიმრავლის ელე-მენტები რაიმე ფიქსირებულ 𝐸 სიმრავლეში შემავალი ისეთი 𝑥 ობიექტებია, რომელთაც აქვს

გარკვეული 𝑃 თვისება. ამ შემთხვევაში წერენ: 𝑀 = � 𝑥 ∈ 𝐸 ∣∣ 𝑥-ს აქვს 𝑃 თვისება �. მაგალითად: 𝑀2 = { 𝑥 ∈ ℕ ∣∣ 𝑥 მარტივია }, 𝑀3 = {𝑥 ∈ ℚ ∣∣ 5𝑥 + 3 = −0,5 }, 𝑀4 = { 𝑥 ∈ ℝ ∣∣ 𝑥2 + 9 = 0 }.

იმ თვისების არჩევისას, რომლის მიხედვითაც რაიმე სიმრავლიდან ობიექტების შერჩევა ხდება, გარკვეული სიფრთხილეა საჭირო. შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ რაიმე თვისების საფუ-ძველზე შერჩეული ობიექტთა ერთობლიობა არ იყოს სიმრავლე. ამასთან დაკავშირებით განვი-ხილოთ შემდეგი მაგალითი, რომელიც რასელის ცნობილი პარადოქსის პოპულარულ ვარიანტს წარმოადგენს.

ერთ-ერთმა სოფლის საბჭომ პარიკმახერის მოვალეობა შემდეგნაირად განსაზღვრა: სო-ფლის ყველა იმ და მხოლოდ იმ მამაკაცთა გაპარსვა, რომლებიც თვითონ არ იპარსავენ წვერს.

სიმრავლეები, მიმართებები, ასახვები

8

უნდა გაპარსოს თუ არა პარიკმახერმა საკუთარი თავი? თუ კი, მაშინ ის მიეკუთვნება მათ, ვინც თავისით იპარსავენ წვერს, ხოლო მათ, ვინც თვითონ იპარსავენ წვერს, ის არ უნდა პარსავდეს. თუ არა, მაშინ ის აღმოჩნდებოდა მათ შორის, ვინც თვითონ არ იპარსავს წვერს და ე. ი. მან უნდა გაპარსოს საკუთარი თავი. ამრიგად, არჩეული თვისებიდან გამომდინარე შეუძლებელია და-დგენა, ეკუთვნის თუ არა პარიკმახერი ამ თვისებით შერჩეულ ობიექტთა ერთობლიობას.

𝐴 და 𝐵 სიმრავლეებს უწოდებენ ტოლს, თუ ისინი ერთი და იმავე ელემენტებისაგან შე-დგება. ამ შემთხვევაში წერენ: 𝐴 = 𝐵. თუ 𝐴 და 𝐵 არ არის ტოლი სიმრავლეები, წერენ: 𝐴 ≠ 𝐵. ამ განსაზღვრიდან გამომდინარე, 𝐴 და 𝐵 სიმრავლეთა ტოლობის დასადგენად უნდა შევამოწ-მოთ, რომ 𝐴 სიმრავლის ყოველი ელემენტი ეკუთვნის 𝐵 სიმრავლეს და პირიქით.

სიმრავლეს, რომელიც არცერთ ელემენტს არ შეიცავს, ცარიელი სიმრავლე ეწოდება და ∅ სიმბოლოთი აღინიშნება. მაგალითად, 𝑀4 = ∅, 𝑀8 = ∅.

𝐴 სიმრავლეს ეწოდება 𝐵 სიმრავლის ქვესიმრავლე, თუ 𝐴 სიმრავლის ყოველი ელემენ-ტი ეკუთვნის 𝐵 სიმრავლეს. ამ შემთხვევაში წერენ: 𝐴 ⊆ 𝐵. 𝐴 სიმრავლეს ეწოდება 𝐵 სიმრავლის საკუთრივი ქვესიმრავლე, თუ 𝐴 ⊆ 𝐵 და 𝐴 ≠ 𝐵. ამ შემთხვევაში წერენ: 𝐴 ⊂ 𝐵. ⊆ და ⊂ სიმბო-ლოებს ჩართვის სიმბოლოები ეწოდება.

მაგალითი 1.1. 𝑀1 ⊂ 𝑀2 , რადგან 𝑀1 სიმრავლის ყოველი ელემენტი ეკუთვნის 𝑀2 სიმრავლეს და 𝑀1 ≠ 𝑀2.

გარკვეული ცნებების და თვისებების თვალსაჩინოდ წარმოდგენის მიზნით, იყენებენ ეილერ-ვენის დიაგრამებს. მაგალითად, ის ფაქტი, რომ 𝐴 სიმრავლე წარმოადგენს 𝐵 სიმრავლის საკუთრივ ქვესიმრავლეს, შემდეგნაირად წარმოიდგინება:

ნახ. 1 შევნიშნოთ, რომ

ა) ნებისმიერი 𝐴 სიმრავლისათვის ∅ ⊆ 𝐴, რადგან ცარიელ სიმრავლეში არ არის არცერ-თი ისეთი ელემენტი, რომელიც არ ეკუთვნის 𝐴 სიმრავლეს;

ბ) ნებისმიერი 𝐴 სიმრავლისათვის 𝐴 ⊆ 𝐴;

გ) ნებისმიერი 𝐴,𝐵 და 𝐶 სიმრავლეებისათვის, თუ 𝐴 ⊆ 𝐵 და 𝐵 ⊆ 𝐶, მაშინ 𝐴 ⊆ 𝐶.

ბოლო თვისება ეილერ-ვენის დიაგრამით შემდეგნაირად წარმოიდგინება:

ნახ. 2

დებულება 1.1. ნებისმიერი 𝐴 და 𝐵 სიმრავლეებისათვის, 𝐴 = 𝐵 მაშინ და მხოლოდ მა-შინ, როცა 𝐴 ⊆ 𝐵 და 𝐵 ⊆ 𝐴.

დამტკიცება პირდაპირ მიიღება სიმრავლეთა ტოლობის და ქვესიმრავლის ცნებებიდან. □


9

ვთქვათ, 𝑋 ნებისმიერი სიმრავლეა. 𝑋 სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლეთა სიმრავლეს უწო-დებენ ბორელის სიმრავლეს და აღნიშნავენ ასე: 2𝑋 = {𝐴 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑋 }.

მაგალითი 1.2. 2𝑀1 = �∅, {2}, {3}, {7}, {2, 3}, {2, 7}, {3, 7}, {2, 3, 7}�.

ვთქვათ, 𝐴, 𝐵 და 𝐶 რაიმე ნებისმიერი სიმრავლეებია.

2. მოქმედებანი სიმრავლეებზე. 𝐴 და 𝐵 სიმრავლეთა თანაკვეთას უწოდებენ სიმრავლეს, შედგენილს იმ და მხოლოდ იმ ელემენტებისაგან, რომლებიც ორივე მოცემულ სიმრავლეს ეკუ-თვნის და 𝐴 ∩ 𝐵 სიმბოლოთი აღნიშნავენ. ამრიგად, 𝐴 ∩ 𝐵 = � 𝑥 ∣∣ 𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∈ 𝐵 �. ეილერ-ვენის დიაგრამაზე თანაკვეთას შემდეგნაირად გამოსახავენ:

ნახ. 3

მაგალითი 1.3. 𝑀1 ∩𝑀7 = {2, 3}; 𝑀1 ∩𝑀2 = 𝑀1; 𝑀1 ∩ 𝑀3 = ∅; ] −∞; 7] ∩]4; +∞[=]4; 7].

სიმრავლეთა თანაკვეთას აქვს შემდეგი თვისებები:

ა) 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 (ასოციაციურობის თვისება);

ბ) 𝐴 ∩ ∅ = ∅;

გ) 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 (იდემპოტენტურობის თვისება);

დ) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (კომუტაციურობის თვისება).

კვლავ, მოვიყვანოთ ასოციაციურობის თვისების დასაბუთება ეილერ-ვენის დიაგრამებით:

𝐵 ∩ 𝐶 𝐴 ∩ 𝐵

ნახ. 4

𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶

𝐴 და 𝐵 სიმრავლეთა გაერთიანებას უწოდებენ სიმრავლეს, შედგენილს იმ და მხოლოდ იმ ელემენტებისაგან, რომლებიც ამ სიმრავლეთაგან ერთ-ერთს მაინც ეკუთვნის და 𝐴 ∪ 𝐵 სიმ-ბოლოთი აღნიშნავენ. ამრიგად, 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ან 𝑥 ∈ 𝐵 }. ეილერ-ვენის დიაგრამაზე გაერ-თიანებას შემდეგნაირად გამოსახავენ:

ნახ. 5


10

მაგალითი 1.4. ა) 𝑀1 ∪ 𝑀3 = {2, 3, 7,−0.7}; ბ) ] −∞; 3[ ∪ [3; +∞[= ℝ .

სიმრავლეთა გაერთიანებას აქვს შემდეგი თვისებები:

ა) 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 (ასოციაციურობის თვისება); ბ) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴; გ) 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 (იდემპოტენტურობის თვისება); დ) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 (კომუტაციურობის თვისება).

ასოციაციურობის თვისების დასაბუთება ეილერ-ვენის დიაგრამებით შემდეგნაირად შეიძლება:

ნახ. 6

გაერთიანება და თანაკვეთა შეგვიძლია განვიხილოთ ნებისმიერი რაოდენობის სიმრავ-ლეთა შემთხვევაშიც.

სიმრავლეთა თანაკვეთის და გაერთიანების დისტრიბუციულობის თვისება:

ა) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) თანაკვეთა დისტრიბუციულია გაერთიანებასთან;

ბ) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) გაერთიანება დისტრიბუციულია თანაკვეთასთან.

დავასაბუთოთ პირველი თვისება ეილერ-ვენის დიაგრამებით.

ანალოგიურად დგინდება მეორე თვისებაც.

ქვესიმრავლის ცნებასთან დაკავშირებით, თანაკვეთას აქვს შემდეგი თვისებები:


11

ა) 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴; ბ) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 𝐴 ⊆ 𝐵; გ) თუ 𝐶 ⊆ 𝐴 და 𝐶 ⊆ 𝐵, მაშინ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∩ 𝐵.

ქვესიმრავლის ცნებასთან დაკავშირებით, გაერთიანებას აქვს შემდეგი თვისებები:

ა) 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵; ბ) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 𝐵 ⊆ 𝐴; გ) თუ 𝐴 ⊆ 𝐶 და 𝐵 ⊆ 𝐶, მაშინ 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐶.

იმ კერძო შემთხვევაში, როცა 𝐴 = 𝐶, დისტრიბუციულობის თვისებიდან, თანაკვეთისა და გაერთიანების შესაბამისი თვისებებიდან ვღებულობთ თვისებას, რომელსაც შთანთქმის კანონს უწოდებენ:

ა) 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴; ბ) 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴.

სიმრავლეს, შედგენილს 𝐴 სიმრავლის ყველა იმ ელემენტებისაგან, რომლებიც არ ეკუთ-ვნის 𝐵 სიმრავლეს, უწოდებენ 𝐴 და 𝐵 სიმრავლეების სხვაობას და 𝐴 ∖ 𝐵 სიმბოლოთი აღნიშ-ნავენ. ამრიგად, 𝐴 ∖ 𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∉ 𝐵 }.

ეილერ-ვენის დიაგრამაზე 𝐴 ∖ 𝐵 და 𝐵 ∖ 𝐴 სიმრავლეები შემდეგნაირად გამოისახება:

ნახ. 8 𝐴 ∖ 𝐵 𝐵 ∖ 𝐴

მაგალითი 1.5. 𝑀7 ∖ 𝑀1 = {1, 4, 6, 8, 12, 24}; 𝑀1 ∖ 𝑀7 = {7}; 𝑀1 ∖ 𝑀3 = 𝑀1; 𝑀1 ∖ 𝑀2 = ∅.

სიმრავლეთა სხვაობას, თანაკვეთას და გაერთიანებას აქვს შემდეგი თვისებები:

ა) (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐶 = (𝐴 ∖ 𝐶) ∩ (𝐵 ∖ 𝐶); ბ) (𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐶 = (𝐴 ∖ 𝐶) ∪ (𝐵 ∖ 𝐶); გ) 𝐶 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐴) ∪ (𝐶 ∖ 𝐵); დ) 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐴) ∩ (𝐶 ∖ 𝐵).

სანიმუშოდ, დავამტკიცოთ დ) თვისება. ამისათვის უნდა ვაჩვენოთ, რომ

1) 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∖ 𝐴) ∩ (𝐶 ∖ 𝐵); 2) (𝐶 ∖ 𝐴) ∩ (𝐶 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵).

ჯერ დავამტკიცოთ 1). ვთქვათ, 𝑥 ∈ 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵). მაშინ, განსაზღვრის თანახმად, 𝑥 ∈ 𝐶 და 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵. გაერთიანების განსაზღვრის თანახმად, 𝑥 ∉ 𝐴 და 𝑥 ∉ 𝐵. სხვაობის განსაზღვრის თანახ-მად, რადგან 𝑥 ∈ 𝐶 და 𝑥 ∉ 𝐴, ამიტომ 𝑥 ∈ 𝐶 ∖ 𝐴. ანალოგიურად, რადგან 𝑥 ∈ 𝐶 და 𝑥 ∉ 𝐵, ამიტომ 𝑥 ∈ 𝐶 ∖ 𝐵. რადგან 𝑥 ∈ 𝐶 ∖ 𝐴 და 𝑥 ∈ 𝐶 ∖ 𝐵, ამიტომ 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) ∩ (𝐶 ∖ 𝐵). 𝑥 იყო 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵) სი-მრავლის ნებისმიერი ელემენტი, ამიტომ ქვესიმრავლის განსაზღვრის თანახმად, 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆(𝐶 ∖ 𝐴) ∩ (𝐶 ∖ 𝐵).

ახლა დავამტკიცოთ 2). ვთქვათ, 𝑥 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) ∩ (𝐶 ∖ 𝐵). მაშინ, თანაკვეთის განსაზღვრის თანახმად, 𝑥 ∈ 𝐶 ∖ 𝐴 და 𝑥 ∈ 𝐶 ∖ 𝐵. სხვაობის განსაზღვრის თანახმად, 𝑥 ∈ 𝐶, 𝑥 ∉ 𝐴 და 𝑥 ∉ 𝐵. გა-ერთიანების განსაზღვრის თანახმად, 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵. მაშინ, კვლავ, სხვაობის განსაზღვრის თანახმად, 𝑥 ∈ 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵). ამრიგად, (𝐶 ∖ 𝐴) ∩ (𝐶 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵) და დ) თვისება დამტკიცებულია. □


12

(𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴) სიმრავლეს, უწოდებენ 𝐴 და 𝐵 სიმრავლეების სიმეტრიულ სხვაობას და 𝐴Δ𝐵 სიმბოლოთი აღნიშნავენ. ეილერ-ვენის დიაგრამაზე სიმრავლეთა სიმეტრიული სხვაო-ბა შემდეგნაირად გამოისახება:

ნახ. 9

იოლი შესამოწმებელია, რომ (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵).

ვთქვათ, 𝐸 რაიმე ფიქსირებული სიმრავლეა, 𝐴 ⊆ 𝐸 და 𝐵 ⊆ 𝐸.

𝐸 ∖ 𝐴 სიმრავლეს უწოდებენ 𝐴 სიმრავლის დამატებას 𝐸 სიმრავლეში და C𝐸𝐴 სიმბო-ლოთი აღნიშნავენ.

თუ სიმრავლეთა სხვაობის გ) და დ) თვისებებში ვიგულისხმებთ, რომ 𝐶 = 𝐸, მივი-ღებთ დამატების თვისებებს, რომლებსაც დე მორგანის კანონებს უწოდებენ:

ა) C𝐸(𝐴 ∪ 𝐵) = C𝐸𝐴 ∩ C𝐸𝐵; ბ) C𝐸(𝐴 ∩ 𝐵) = C𝐸𝐴 ∪ C𝐸𝐵.

3. დეკარტული ნამრავლი. ვთქვათ, 𝐴 და 𝐵 არაცარიელი სიმრავლეებია. (𝑥,𝑦) წყვილს, სა-დაც 𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑦 ∈ 𝐵, ეწოდება 𝐴 და 𝐵 სიმრავლეთა ელემენტების დალაგებული წყვილი.

ორ (𝑥1,𝑦1) და (𝑥2, 𝑦2) დალაგებულ წყვილს ვუწოდებთ ტოლს, თუ 𝑥1 = 𝑥2 და 𝑦1 = 𝑦2.

ყველა დალაგებულ (𝑥,𝑦) წყვილთა სიმრავლეს, სადაც 𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑦 ∈ 𝐵, ეწოდება 𝐴 და 𝐵 სიმრავლეთა დეკარტული ნამრავლი და 𝐴 × 𝐵 სიმბოლოთი აღინიშნება. ამრიგად, 𝐴 × 𝐵 =� (𝑥,𝑦) ∣∣ 𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑦 ∈ 𝐵 �.

მაგალითი 1.6. 𝑀1 × 𝑀3 = {(2,−0.7), (3,−0.7), (7,−0.7)};

იმ შემთხვევაში, როცა 𝐴 და 𝐵 ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის ქვესიმრავლეებია, მათ დეკარტულ ნამრავლს აქვს შემდეგი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: როგორც ვიცით, როცა სი-ბრტყეზე მოცემულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, მაშინ სიბრტყის ყოველ წერტილს შეესაბამება ნამდვილ რიცხვთა წყვილი − ამ წერტილის კოორდინატები და ეს შესაბამისობა ურ-თიერთცალსახაა, რის გამოც ხშირად, სიბრტყის წერტილებს აიგივებენ ნამდვილ რიცხვთა წყვი-ლების სიმრავლესთან. თუ 𝐴 სიმრავლის ელემენტებს გავაიგივებთ 𝑜𝑥 ღერძის წერტილებთან, ხოლო 𝐵-ს ელემენტებს 𝑜𝑦 ღერძის წერტილებთან, მაშინ 𝐴 × 𝐵 სიბრტყის ქვესიმრავლე იქნება.

მაგალითი 1.7. თუ 𝐴 = [1; 4[ და 𝐵 = [2; 3], მაშინ 𝐴 × 𝐵 სიბრტყეზე შეგვიძლია გამოვ-სახოთ მართკუთხედის სახით:

ნახ. 10


13

ამ ნახაზზე გამოსახულ სიმრავლეს არ ეკუთვნის მართკუთხედის მარჯვენა გვერდის წერტილები, რადგან 4 ∉ 𝐴 და ამიტომ 𝐴 × 𝐵 ნამრავლი არ შეიცავს (4, 𝑏) სახის წყვილებს.

მაგალითი 1.8. თუ 𝐴 = ℤ და 𝐵 = ℤ, მაშინ 𝐴 × 𝐵 = ℤ2 სიბრტყეზე შეგვიძლია გამოვსა-ხოთ „მთელ წერტილთა ბადის სახით“ (წერტილები მთელი კოორდინატებით):

ნახ. 11

ანალოგიურად, თუ 𝐴 სიბრტყის წერტილთა რაიმე ქვესიმრავლეა, ხოლო 𝐵 ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის ქვესიმრავლე, 𝐴 × 𝐵 დეკარტული ნამრავლი შეგვიძლია გამოვსახოთ, რო-გორც სამგანზომილებიანი სივრცის გარკვეული ქვესიმრავლე.

მაგალითი 1.9. ვთქვათ, 𝐴 = { (𝑥,𝑦) ∣∣ (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 4 } და 𝐵 = [0; 3]. როგორც ჩვენ-თვის ცნობილია 𝐴 სიმრავლე წარმოადგენს წრეწირს, რომლის ცენტრია (3, 2) წერტილი და რა-დიუსია 2. ამიტომ ვღებულობთ შემდეგ გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას:

ნახ. 12

დეკარტული ნამრავლის ცნება შეიძლება განვაზოგადოთ სასრული რაოდენობის სიმრავ-ლეთა შემთხვევაშიც. კერძოდ, ვთქვათ 𝐴1,𝐴2, … ,𝐴𝑛 რაიმე არაცარიელი სიმრავლეებია. 𝑛-ეულს (𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛), ეწოდება 𝐴1,𝐴2, … ,𝐴𝑛 სიმრავლეთა ელემენტების დალაგებული 𝑛-ეული, თუ 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … ,𝑛. ორ დალაგებულ 𝑛-ეულს ეწოდება ტოლი, თუ მათი შესაბამისი კომპო-


14

ნენტები ტოლია. ყველა დალაგებულ 𝑛-ეულთა სიმრავლეს ეწოდება 𝐴1,𝐴2, … ,𝐴𝑛 სიმრავლეთა დეკარტული ნამრავლი და 𝐴1 × 𝐴2 × ⋯× 𝐴𝑛 სიმბოლოთი აღინიშნება. კერძოდ, თუ 𝐴1 = 𝐴2 =⋯ = 𝐴𝑛 = 𝐴, მაშინ 𝐴 × 𝐴 × ⋯× 𝐴 დეკარტულ ნამრავლს უწოდებენ 𝐴 სიმრავლის დეკარტულ 𝑛-ურ ხარისხს და მოკლედ წერენ 𝐴𝑛. თუ ჩავთვლით, რომ 𝐴1 = 𝐴, მაშინ 𝐴𝑛 განსაზღვრული იქნება ყველა ნატურალური 𝑛 რიცხვისათვის. ვიგულისხმოთ ასევე, რომ 𝐴 × ∅ = ∅ და ∅ × 𝐴 =∅. მაშინ დეკარტული ნამრავლი განსაზღვრული იქნება ნებისმიერი სიმრავლეებისათვის.

დალაგებული წყვილის განსაზღვრიდან ჩანს, რომ საზოგადოდ 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 და ასევე 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) ≠ (𝐴 × 𝐵) × 𝐶.

დეკარტული ნამრავლის თვისებები:

ა) 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶), (𝐴 ∩ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ∩ (𝐵 × 𝐶);

ბ) 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶), (𝐴 ∪ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ∪ (𝐵 × 𝐶);

გ) 𝐴 × (𝐵 ∖ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∖ (𝐴 × 𝐶), (𝐴 ∖ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐵 × 𝐶);

დ) თუ 𝐴 ⊆ 𝐵, მაშინ 𝐴 × 𝐶 ⊆ 𝐵 × 𝐶, ხოლო თუ 𝐶 ≠ ∅, მაშინ იმისათვის, რომ 𝐴 ⊆ 𝐵, აუცილებელია და საკმარისი მართებული იყოს 𝐴 × 𝐶 ⊆ 𝐵 × 𝐶 პირობა.

ე) თუ 𝐴 ⊆ 𝐵 და 𝐶 ⊆ 𝐷, მაშინ 𝐴 × 𝐶 ⊆ 𝐵 × 𝐷.

დეკარტული ნამრავლის ა) თვისების მეორე ტოლობის დასაბუთების მიზნით, შეგვი-ძლია გამოვიყენოთ შემდეგი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია:

ნახ. 13

4. სიმრავლის დაყოფა. ვთქვათ, 𝑀 რაიმე სიმრავლეა, ხოლო 𝐾𝑖 (𝑖 = 0, 1, 2, … ) მისი ქვე-სიმრავლეები. 𝑃 = {𝐾𝑖 ∣ 𝑖 = 0, 1, 2, … } სიმრავლეს ეწოდება 𝑀 სიმრავლის დაყოფა, თუ სრულ-დება შემდეგი პირობები:

1) 𝐾𝑖 ≠ ∅ ( 𝑖 = 0, 1, 2, … );

2) ∪ 𝐾𝑖 = 𝑀;

3) თუ 𝑖 ≠ 𝑗, მაშინ 𝐾𝑖 ∩ 𝐾𝑗 = ∅, (𝑖, 𝑗 = 0, 1, 2, … ).

𝑃 სიმრავლის 𝐾𝑖 ელემენტს ეწოდება 𝑀 სიმრავლის 𝑃 დაყოფის კლასი.

მაგალითი 1.10. ა) ვთქვათ, 𝐴 არის ტექნიკური უნივერსიტეტის ბაკალავრიატის სტუ-დენტთა სიმრავლე. ერთ ქვესიმრავლეში მოვათავსოთ ბაკალავრიატის ყველა ის სტუდენტი,


15

რომლებიც ერთსა და იმავე ფაკულტეტზე სწავლობენ. მიღებული ქვესიმრავლეები ყოფს 𝐴 სი-მრავლეს კლასებად.

ბ) დავყოთ მთელ რიცხვთა ℤ სიმრავლე 𝐾0 და 𝐾1 კლასებად შემდეგნაირად. ვთქვათ, 𝐾0 შედგება მხოლოდ ლუწი რიცხვებისაგან (ე. ი. იმ მთელი რიცხვებისაგან, რომლებიც უნაშ-თოდ იყოფიან 2-ზე), ხოლო 𝐾1 მხოლოდ კენტი რიცხვებისაგან (ე. ი. იმ მთელი რიცხვებისაგან, რომლებიც 2-ზე გაყოფისას ნაშთში იძლევიან 1-ს). ცხადია,

𝐾0 = {… ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, … } = { 2𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℤ },

𝐾1 = {… ,−5,−3,−1, 1, 3, 5, 7, … } = { 2𝑛 + 1 ∣ 𝑛 ∈ ℤ }.

აქედან ნათლად ჩანს, რომ სრულდება დაყოფის სამივე პირობა, ამიტომ 𝑃 = {𝐾0,𝐾1} არის ℤ სიმრავლის დაყოფა. 𝐾0 და 𝐾1 კლასებს უწოდებენ ნაშთთა კლასებს მოდულით 2 და მიღებულ დაყოფას ℤ2 სიმბოლოთი აღნიშნავენ.

სიმრავლეს, რომლის ყველა ელემენტი რიცხვია, რიცხვით სიმრავლეს უწოდებენ.

16

§2. მიმართებები

1. მიმართების ცნება. მიმართება სიმრავლეში, ეს არის გარკვეული კავშირი სიმრავლის ელემენტებს შორის.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები:

• გიორგი და დავითი ძმებია; • ალუმინის წინაღობის ტემპერატურული კოეფიციენტი ნაკლებია, ვიდრე რკინის; • 4 არის გამყოფი 16-ის (სიმბოლურად, 4 ∣ 16); • გორი არაუმეტეს 100 კილომეტრითაა დაშორებული თბილისიდან; • მარტივ რიცხვთა სიმრავლე მთელ რიცხვთა სიმრავლის ქვესიმრავლეა; • 36 არის ჯერადი 9-ის; • 215-ს და 116-ს ერთი და იგივე ციფრთა ჯამი აქვთ;

• წილადი 23

ტოლია წილადის 1827

�სიმბოლურად, 23 = 18

27�;

• 4 ნაკლებია 7-ზე (სიმბოლურად, 4 < 7); • 𝑎 წრფე პარალელურია 𝑏 წრფის; • 2 არის მარტივ რიცხვთა სიმრავლის ელემენტი.

თუ დავუკვირდებით მოყვანილ მაგალითებს, შევამჩნევთ, რომ საზოგადოდ, გარკვეული 𝑀 სიმრავლის რაიმე ორი ელემენტი (მაგალითად: ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის; ქიმიურ ელემენტთა სიმრავლის; საქართველოს ქალაქთა სიმრავლის; რაციონალურ რიცხვთა სიმრავ-ლის; ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლის) კავშირშია ერთმანეთთან (მა-გალითად: არის გამყოფი; წინაღობის ტემპერატურული კოეფიციენტი ნაკლებია, ვიდრე; არაუ-მეტეს 100 კილომეტრითაა დაშორებული; ქვესიმრავლეა; ტოლია; არის ჯერადი). ამ შემთხვევა-ში ამბობენ, რომ 𝑀 სიმრავლის მითითებულ ელემენტებს შორის არსებობს მიმართება. ასე, მა-გალითად, ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის ორი ელემენტი, 4 და 16, „არის გამყოფი“ მიმარ-თებაშია. ზოგადად, მიმართებაში მნიშვნელობა აქვს ელემენტთა თანმიმდევრობას. მაგალითად, 16 და 4 არ არის მიმართებაში „არის გამყოფი“. ამრიგად, რაიმე 𝑀 სიმრავლის გარკვეულ 𝑅 მიმართებაში მყოფი 𝑥 და 𝑦 ელემენტები შეგვიძლია განვიხილოთ, როგორც (𝑥,𝑦) დალაგებუ-ლი წყვილი, ხოლო 𝑅 მიმართება 𝑀 სიმრავლეში შეიძლება დავახასიათოთ, როგორც 𝑀 × 𝑀 დეკარტული ნამრავლის ისეთი ქვესიმრავლე, რომელიც მხოლოდ იმ (𝑥,𝑦) წყვილებისაგან შე-დგება, რომელთათვისაც 𝑥 ელემენტი 𝑅 მიმართებაშია 𝑦 ელემენტთან. თუ 𝑥 ელემენტი 𝑅 მი-მართებაშია 𝑦 ელემენტთან, წერენ, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ან მოკლედ 𝑥𝑅𝑦. პირიქით, 𝑀 × 𝑀 სიმრავლის ყო-ველი 𝑅 ქვესიმრავლე განსაზღვრავს გარკვეულ მიმართებას 𝑀 სიმრავლეში. კერძოდ, 𝑥𝑅𝑦 მხო-ლოდ მაშინ, თუ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅.

განსაზღვრა 2.1. მიმართება 𝑀 სიმრავლეში ეწოდება 𝑀 × 𝑀 დეკარტული ნამრავლის ნე-ბისმიერ ქვესიმრავლეს.

მაგალითი 2.1. ვთქვათ, 𝑀 = {1, 2, 3, 4}. 𝑅1 არის მიმართება „ნაკლებია“, 𝑅2 კი − „არის გამყოფი“. მაშინ განსაზღვრის თანახმად,

𝑅1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}; 𝑅2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)}.

მიმართებები გარკვეული თვისებებით ხასიათდება. განვიხილოთ ეს თვისებები. ვთქვათ, 𝑀 რაიმე სიმრავლეა, ხოლო 𝑅 მიმართებაა ამ სიმრავლეში.


17

ამბობენ, რომ 𝑅 მიმართება რეფლექსურია (არა რეფლექსურია), თუ ყოველი 𝑥 ∈ 𝑀 ელე-მენტისათვის, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅 �(𝑥, 𝑥) ∉ 𝑅�;

ამბობენ, რომ 𝑅 მიმართება სიმეტრიულია (ასიმეტრიულია), თუ ნებისმიერი 𝑥,𝑦 ∈ 𝑀 ელემენტებისათვის, როცა (𝑥,𝑦) ∈ 𝑅, მაშინ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 �(𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅�.

ამბობენ, რომ 𝑅 მიმართება ანტისიმეტრიულია, თუ ნებისმიერი 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 ელემენტებისა-თვის, როცა (𝑥,𝑦) ∈ 𝑅 და (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅, მაშინ 𝑥 = 𝑦.

ამბობენ, რომ 𝑅 მიმართება ტრანზიტულია, თუ ნებისმიერი 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑀 ელემენტებისა-თვის, როცა (𝑥,𝑦) ∈ 𝑅 და (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅, მაშინ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅.

ზემოგანხილულ მაგალითში, 𝑅1 მიმართება არა რეფლექსური, ასიმეტრიული და ტრან-ზიტულია, ხოლო 𝑅2 კი − რეფლექსური, ანტისიმეტრიული და ტრანზიტულია.

წილადების სიმრავლეში მიმართება „ტოლია“, არის რეფლექსური, სიმეტრიული და ტრანზიტული.

2. ეკვივალენტობის მიმართება.

განსაზღვრა 2.2. რეფლექსურ, სიმეტრიულ და ტრანზიტულ მიმართებას უწოდებენ ეკვი-ვალენტობის მიმართებას და ~ სიმბოლოთი აღნიშნავენ.

ზემოთქმულის თანახმად, წილადების სიმრავლეში მიმართება „ტოლია“, ეკვივალენტო-ბის მიმართებაა. ამ მიმართებას ტოლობის მიმართებას უწოდებენ.

ვთქვათ, 𝑥,𝑦 ∈ ℤ. ჩავთვალოთ, რომ 𝑥~𝑦, თუ 𝑥 − 𝑦 ლუწია. ვაჩვენოთ, რომ ასე განსაზ-ღვრული მიმართება, ეკვივალენტობის მიმართებაა. მართლაც,

1) ცხადია, 𝑥 − 𝑥 = 0 ლუწი რიცხვია, ამიტომ ნებისმიერი 𝑥 ∈ ℤ რიცხვისათვის, 𝑥~𝑥, ე. ი. მიმართება რეფლექსურია;

2) თუ 𝑥~𝑦, ე. ი. 𝑥 − 𝑦 ლუწია, ცხადია, −(𝑥 − 𝑦) = 𝑦 − 𝑥 ასევე ლუწი რიცხვია და ამი-ტომ 𝑦~𝑥, რაც ნიშნავს, რომ მიმართება სიმეტრიულია.

3) ვთქვათ, 𝑥~𝑦 და 𝑦~𝑧, ე. ი. 𝑥 − 𝑦 და 𝑦 − 𝑧 ლუწი რიცხვებია. ლუწი რიცხვების ჯამი ლუწია, ამიტომ (𝑥 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑧) = 𝑥 − 𝑧 ლუწია, ე. ი. 𝑥~𝑧. ამრიგად, მიმართება ტრანზიტუ-ლია.

განსაზღვრის თანახმად, ჩვენ მიერ ℤ სიმრავლეში შემოღებული მიმართება, ეკვივალენ-ტობის მიმართებაა.

ვთქვათ, 𝑃 = {𝐾𝑖 ∣∣ 𝑖 = 0, 1, 2, … } არის 𝑀 სიმრავლის რაიმე დაყოფა. შემოვიღოთ ~ მიმარ-თება 𝑀 სიმრავლეში შემდეგნაირად: ვთქვათ, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀. დაყოფის განსაზღვრის თანახმად, 𝑥 ეკუთვნის ერთადერთ 𝐾𝑖 სიმრავლეს. ჩავთვალოთ, რომ 𝑥~𝑦, თუ 𝑦 ეკუთვნის იმავე 𝐾𝑖 სიმრავ-ლეს. იოლი შესამოწმებელია, რომ შემოღებული მიმართება, ეკვივალენტობის მიმართებაა. ამ-რიგად, სიმრავლის ყოველი დაყოფა, ბუნებრივად წარმოშობს ეკვივალენტობის მიმართებას ამ სიმრავლეში.

პირიქით, ვთქვათ, ~ რაიმე ეკვივალენტობის მიმართება 𝑀 სიმრავლეში. 𝑥 ∈ 𝑀 ელემენ-ტისათვის შემოვიღოთ აღნიშვნა: [𝑥] = { 𝑦 ∈ 𝑀 ∣∣ 𝑥~𝑦 }. ამ სიმრავლეს, 𝑥 ელემენტის ეკვივალენ-ტობის კლასი ეწოდება. ცხადია, [𝑥] ⊆ 𝑀 და ის შედგება 𝑥 ელემენტის ეკვივალენტური ყველა ელემენტისაგან. ასევე ცხადია, რომ 𝑥 ∈ [𝑥], ამიტომ [𝑥] ≠ ∅ და ამასთანავე, ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝑀 ელემენტი ერთ კლასს მაინც ეკუთვნის. თუ 𝑡 ∈ [𝑥] ∩ [𝑦] ≠ ∅, მაშინ 𝑡 ∈ [𝑥] და 𝑡 ∈ [𝑦], ე. ი. 𝑥~𝑡


18

და 𝑦~𝑡. ეკვივალენტობის მიმართების განსაზღვრიდან გამომდინარე, 𝑡~𝑦 და ამიტომ 𝑥~𝑦. ამრიგად, თუ [𝑥] ∩ [𝑦] ≠ ∅, მაშინ 𝑥~𝑦. ვაჩვენოთ, რომ ამ შემთხვევაში, [𝑥] = [𝑦]. ვთქვათ, 𝑧 ∈ [𝑥]. მაშინ გვექნება 𝑥~𝑦 და 𝑥~𝑧, სიდანაც მივიღებთ, რომ 𝑦~𝑧, ე. ი. 𝑧 ∈ [𝑦]. რადგან 𝑧 ნებისმიერი ელემენტი იყო, ეს ნიშნავს, რომ [𝑥] ⊆ [𝑦]. ზუსტად ანალოგიურად ვაჩვენებთ, რომ [𝑦] ⊆ [𝑥], რაც ამტკიცებს, რომ [𝑥] = [𝑦]. ამრიგად, ეკვივალენტობის კლასები ან ერთმანეთს ემთხვევა, ან მათი თანაკვეთა ცარიელია. თუ განსხვავებული ეკვივალენტობის კლასებით შევადგენთ 𝑃 სიმრავლეს, მივიღებთ 𝑀 სიმრავლის დაყოფას.

ზემომოყვანილი მსჯელობით, ჩვენ დავამტკიცეთ

დებულება 2.1. სიმრავლის ყოველი დაყოფა წარმოშობს ეკვივალენტობის მიმართებას ამ სიმრავლეში და პირიქით, ეკვივალენტობის მიმართება წარმოშობს მოცემული სიმრავლის და-ყოფას.

განსაზღვრა 2.3. ვთქვათ, ~ რაიმე ეკვივალენტობის მიმართება 𝑀 სიმრავლეში. 𝑀 სი-მრავლის ეკვივალენტობის კლასების სიმრავლეს, უწოდებენ 𝑀 სიმრავლის ფაქტორსიმრავლეს და 𝑀/~ სიმბოლოთი აღნიშნავენ.

დავუბრუნდეთ ზემოთ განხილულ მაგალითს. ℤ სიმრავლეში განვიხილოთ ეკვივალენ-ტობის მიმართება: 𝑥~𝑦, თუ 𝑥 − 𝑦 ლუწია, 𝑥,𝑦 ∈ ℤ. დავუშვათ,

𝐾0 = {0, ±2, ±4, … }, 𝐾1 = {±1, ±3, ±5, … }.

ცხადია, რომ 𝐾0 ∩ 𝐾1 = ∅ და 𝐾0 ∪ 𝐾1 = ℤ. რადგან ორი ლუწი (კენტი) რიცხვის სხვაობა ლუწია, ამიტომ 𝐾0 (𝐾1) სიმრავლის ნებისმიერი ორი ელემენტი ერთმანეთის ეკვივალენტუ-რია. ამრიგად, {𝐾0 , 𝐾1}, ეკვივალენტობის კლასთა სიმრავლეა ~ ეკვივალენტობის მიმართ და ამიტომ ℤ/~ = {𝐾0, 𝐾1} = ℤ2.

მაგალითი 2.2. მთელ რიცხვთა წყვილს ვუწოდოთ წილადი, თუ 𝑏 ≠ 0. 𝑎-ს ვუწოდოთ მრიცხველი, ხოლო 𝑏-ს − მნიშვნელი. შემოვიღოთ მიმართება: (𝑎, 𝑏)~(𝑐,𝑑), თუ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐. ვაჩვე-ნოთ, რომ ეს ეკვივალენტობის მიმართებაა. შევამოწმოთ მიმართების თვისებები:

1) (𝑎, 𝑏)~(𝑎, 𝑏), რადგან 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎, ე. ი. მიმართება რეფლექსურია;

2) თუ (𝑎, 𝑏)~(𝑐,𝑑), მაშინ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐, ანუ 𝑐𝑏 = 𝑑𝑎 და ამიტომ (𝑐,𝑑)~(𝑎, 𝑏), ე. ი. მიმართება სიმეტრიულია;

3) თუ (𝑎, 𝑏)~(𝑐,𝑑) და (𝑐,𝑑)~(𝑒,𝑓), მაშინ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 და 𝑐𝑓 = 𝑑𝑒. გავამრავლოთ პირველი ტოლობა 𝑓-ზე, ხოლო მეორე ტოლობა 𝑏-ზე. მივიღებთ: 𝑎𝑑𝑓 = 𝑏𝑐𝑓 და 𝑏𝑐𝑓 = 𝑏𝑑𝑒. ამ ორი ტო-ლობიდან ვღებულობთ: 𝑎𝑑𝑓 = 𝑏𝑑𝑒. რადგან 𝑑 ≠ 0, ამიტომ 𝑎𝑓 = 𝑏𝑒, რის გამოც (𝑎, 𝑏)~(𝑒, 𝑓). ე. ი. მიმართება ტრანზიტულია.

განსაზღვრის თანახმად, ეს ეკვივალენტობის მიმართებაა. თითოეულ წილადს შევუსაბა-

მოთ 𝑎𝑏

ნამდვილი რიცხვი. ცხადია, ორი წილადი მხოლოდ მაშინ არის ეკვივალენტური, როცა

მათი შესაბამისი ნამდვილი რიცხვები ტოლია. ეკვივალენტობის კლასები ამ მიმართებისას ისე-თი ნამდვილი რიცხვებია, რომლებიც ორი მთელი რიცხვის შეფარდებით წარმოიდგინება.

განხილული მაგალითების საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეკვივალენტობის მიმართება სიმრავლეში გარკვეული ელემენტების რაიმე ნიშნით „გაიგივებაა“.


19

3. დალაგების მიმართება.

განსაზღვრა 2.4. რეფლექსურ, ანტისიმეტრიულ და ტრანზიტულ მიმართებას უწოდებენ დალაგების მიმართებას.

მაგალითი 2.3. ა) ვთქვათ, „არის გამყოფი“ ნატურალურ რიცხვთა ℕ სიმრავლეში 𝑅 მი-მართებაა. ცხადია, ნებისმიერი 𝑎 ∈ ℕ რიცხვისათვის, 𝑎 ∣ 𝑎, ე. ი. მიმართება რეფლექსურია. თუ 𝑎 ∣ 𝑏 და 𝑏 ∣ 𝑎, მაშინ 𝑎 = 𝑏, ე. ი. მიმართება ანტისიმეტრიულია. ბოლოს, თუ 𝑎 ∣ 𝑏 და 𝑏 ∣ 𝑐, მა-შინ 𝑎 ∣ 𝑐, ე. ი. მიმართება ტრანზიტულია. ამგვარად, შემოღებული მიმართება, დალაგების მი-მართებაა ℕ სიმრავლეში. ეს მაგალითი იმითაა საინტერესო, რომ ℕ სიმრავლეში არსებობს ელემენტები, მაგალითად 2 და 3, რომლებიც არ იმყოფებიან 𝑅 მიმართებაში. ამ შემთხვევაში ამბობენ, რომ 2 და 3 არასადარი ელემენტებია 𝑅 დალაგების მიმართ, ხოლო თვით სიმრავლეს უწოდებენ ნაწილობრივად დალაგებულს ან უბრალოდ დალაგებულს.

ბ) ვთქვათ, 𝑀 რაიმე სიმრავლეა. 2𝑀 სიმრავლეში შემოვიღოთ 𝑅 მიმართება შემდეგნაი-რად: (𝐴,𝐵) ∈ 𝑅, თუ 𝐴 ⊆ 𝐵, 𝐴,𝐵 ∈ 2𝑀 . თუ გავიხსენებთ ქვესიმრავლის ცნების თვისებებს: 1) 𝐴 ⊆ 𝐴 (რეფლექსურობა); 2) თუ 𝐴 ⊆ 𝐵 და 𝐵 ⊆ 𝐴, მაშინ 𝐴 = 𝐵 (ანტისიმეტრიულობა); 3) თუ 𝐴 ⊆ 𝐵 და 𝐵 ⊆ 𝐶, მაშინ 𝐴 ⊆ 𝐶 (ტრანზიტულობა), იოლად დავასკვნით, რომ 𝑅 − დალაგების მიმართებაა, ხოლო 2𝑀 ნაწილობრივად დალაგებული სიმრავლეა 𝑅 დალაგების მიმართ.

გ) ვთქვათ, ℤ სიმრავლეში 𝑅 მიმართებაა „ ≤ “. იოლი შესამოწმებელია, რომ 𝑅 − დალა-გების მიმართებაა და ამავე დროს, ნებისმიერი 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ რიცხვებისათვის, 𝑎 ≤ 𝑏 ან 𝑏 ≤ 𝑎. ასეთ სიმრავლეს, წრფივად დალაგებულს უწოდებენ.

განსაზღვრა 2.5. არა რეფლექსურ, ასიმეტრიულ და ტრანზიტულ მიმართებას, მკაცრი დალაგების მიმართებას უწოდებენ.

მაგალითი 2.4. ა) ნამდვილ რიცხვთა ℝ სიმრავლეში „ < “ მიმართება მკაცრი დალაგების მიმართებაა და ℝ წრფივად დალაგებული სიმრავლეა.

ბ) თუ 𝑀 რაიმე სიმრავლეა, 2𝑀 სიმრავლეში „ ⊂ “ მიმართება მკაცრი დალაგების მიმარ-თებაა და 2𝑀 ნაწილობრივად დალაგებული სიმრავლეა.

მიღებულია დალაგების მიმართების „ ≤ “ (ან „ ≥ “) სიმბოლოთი აღნიშვნა, ხოლო მკაც-რი დალაგებისა „ < “ (ან „ > “) სიმბოლოთი.

განსაზღვრა 2.6. ვთქვათ, 𝐴 რაიმე დალაგებული სიმრავლეა. 𝑎 ელემენტს ეწოდება უდი-დესი (უმცირესი) ელემენტი, თუ ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝐴 ელემენტისათვის, 𝑥 ≤ 𝑎 (𝑎 ≤ 𝑥).

შეიძლება დალაგებულ სიმრავლეში უდიდესი ან/და უმცირესი ელემენტი არ არსებობ-დეს.

მაგალითი 2.5. ა) ვთქვათ, 𝑀 რაიმე სიმრავლეა და 2𝑀 სიმრავლეში დალაგების მიმართე-ბაა „ ⊆ “. მაშინ ∅ უმცირესი ელემენტია, რადგან ნებისმიერი 𝐴 ∈ 2𝑀 სიმრავლისთვის ∅ ⊆ 𝐴, ხო-ლო 𝑀− უდიდესი ელემენტია, რადგან ნებისმიერი 𝐴 ∈ 2𝑀 სიმრავლისთვის, 𝐴 ⊆ 𝑀.

ბ) ℕ სიმრავლეში „ ≤ “ დალაგების მიმართებით, უმცირესი ელემენტია 1, ხოლო უდი-დესი ელემენტი არ არსებობს.

გ) ℝ სიმრავლეში „ ≤ “ დალაგების მიმართებით, არ არსებობს არც უმცირესი ელემენტი და არც უდიდესი.


20

დ) თუ 𝐴 ⊂ ℝ რაიმე სასრული ქვესიმრავლეა „ ≤ “ დალაგების მიმართებით, მაშინ მასში არსებობს უმცირესი ელემენტიც და უდიდესიც.

ე) [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ სიმრავლეში „ ≤ “ დალაგების მიმართებით, უმცირესი ელემენტია 𝑎, ხოლო უდიდესი ელემენტია 𝑏.

21

§3. ასახვები

1. ძირითადი ცნებები. ვთქვათ, მოცემულია ორი არაცარიელი 𝐴 და 𝐵 სიმრავლე. თუ გარკვეული წესით 𝐴 სიმრავლის ყოველ 𝑎 ელემენტს, ცალსახად შეესაბამება 𝐵 სიმრავლის რაი-მე 𝑏 ელემენტი, მაშინ ამბობენ, რომ მოცემულია ასახვა 𝐴 სიმრავლიდან 𝐵 სიმრავლეში. ასახვას, ჩვეულებრივ, მცირე ლათინური ასოთი აღნიშნავენ. მაგალითად: 𝑓,𝑔,ℎ, … თუ 𝐵 = ℝ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა, ასახვას ფუნქციას უწოდებენ.

ამგვარად, იმისათვის, რომ განვსაზღვროთ რაიმე 𝑓 ასახვა, საჭიროა:

1) დავასახელოთ ორი სიმრავლე 𝐴 და 𝐵;

2) ჩამოვაყალიბოთ გარკვეული წესი, რომლის მიხედვითაც, 𝐴 სიმრავლის ყოველ 𝑎 ელე-მენტს შეესაბამება ერთი გარკვეული 𝑏 ელემენტი 𝐵 სიმრავლიდან.

ამ შემთხვევაში, 𝐴 სიმრავლეს უწოდებენ 𝑓 ასახვის განსაზღვრის არეს, ხოლო 𝐵 სიმრავ-ლეს კი − ცვლილების არეს. ის ფაქტი, რომ 𝑓 ასახვაა 𝐴 სიმრავლიდან 𝐵 სიმრავლეში, სიმბო-

ლურად შემდეგნაირად ჩაიწერება: 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ან 𝐴𝑓→ 𝐵. 𝑎 ელემენტის შესაბამის 𝑏 ელემენტს,

𝑓(𝑎) სიმბოლოთი აღნიშნავენ და მას 𝑎 ელემენტის სახეს, ხოლო 𝑎 ელემენტს, 𝑏 ელემენტის წინარე სახეს უწოდებენ.

ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 რაიმე ასახვაა. 𝑓 ასახვის საშუალებით, 𝐴 სიმრავლეზე შემოვიღოთ ~ მიმართება შემდეგი წესით: 𝑎1~𝑎2, თუ 𝑓(𝑎1) = 𝑓(𝑎2) = 𝑏, 𝑎1,𝑎2 ∈ 𝐴. იოლი შესამოწმებელია, რომ ეს ეკვივალენტობის მიმართებაა 𝐴 სიმრავლეში და ამიტომ ის დაიყოფა ეკვივალენტობის კლასებად. 𝑏 ელემენტით განსაზღვრულ კლასს, უწოდებენ ამ ელემენტის სრულ წინარე სახეს და 𝑓−1(𝑏) სიმბოლოთი აღნიშნავენ. ამრიგად, 𝑓−1(𝑏) = {𝑎 ∈ 𝐴 ∣∣ 𝑓(𝑎) = 𝑏 }. ყველა სრულ წინარე სახეთა სიმრავლე, წარმოადგენს 𝐴 სიმრავლის ფაქტორსიმრავლეს და მას 𝐴/𝑓~ სიმბოლოთი აღვნიშნავთ. თუ 𝑏 ∈ 𝐵 ელემენტია, რომლისთვისაც არ მოიძებნება 𝑎 ∈ 𝐴 ისეთი, რომ 𝑓(𝑎) = 𝑏, მაშინ ჩავთვლით, რომ 𝑓−1(𝑏) = ∅.

𝑓(𝐴) = { 𝑏 ∈ 𝐵 ∣∣ არსებობს 𝑎 ∈ 𝐴 ისეთი, რომ 𝑏 = 𝑓(𝑎) } სიმრავლეს ეწოდება 𝑓 ასახვის ანასახი და მას Im𝑓 სიმბოლოთი აღნიშნავენ.

მაგალითი 3.1. ვთქვათ, 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ტოლობით. მაშინ

𝑓(0) = 02 = 0, 𝑓(−1) = (−1)2 = 1, 𝑓(1) = 12 = 1;

𝑓−1(0) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣∣ 𝑥2 = 0 } = {0}, 𝑓−1(1) = {𝑥 ∈ ℝ ∣∣ 𝑥2 = 1 } = {−1, 1},

𝑓−1(−1) = {𝑥 ∈ ℝ ∣∣ 𝑥2 = −1 } = ∅.

ვიპოვოთ Im𝑓. თუ 𝑏 ∈ Im𝑓, მაშინ არსებობს 𝑥 ∈ ℝ ისეთი, რომ 𝑓(𝑥) = 𝑏, ე. ი. 𝑥2 = 𝑏,

ამიტომ 𝑏 ≥ 0. მეორეს მხრივ, თუ 𝑏 ≥ 0, მაშინ 𝑓�√𝑏� = �√𝑏�2

= 𝑏, ამიტომ 𝑏 ∈ Im𝑓. ამრიგად,

Im𝑓 = {𝑏 ∈ ℝ ∣ 𝑏 ≥ 0 } = [0; +∞[.

განსაზღვრა 3.1. ვთქვათ, მოცემულია ორი ასახვა: 𝑓,𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵. ვიტყვით რომ 𝑓 და 𝑔 ასახვები ტოლია და დავწერთ 𝑓 = 𝑔, თუ ყოველი 𝑎 ∈ 𝐴 ელემენტისათვის სრულდება 𝑓(𝑎) =𝑔(𝑎) ტოლობა.

ცხადია, 𝑓 ≠ 𝑔 ნიშნავს, რომ არსებობს ერთი მაინც ისეთი 𝑎 ∈ 𝐴, რომ 𝑓(𝑎) ≠ 𝑔(𝑎).


22

ვთქვათ, მოცემულია ორი სხვადასხვა ასახვა: 𝑓,𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵. მაშინ შეიძლება ავაგოთ ახალი (𝑓,𝑔) ∶ 𝐴 × 𝐴 → 𝐵 × 𝐵 ასახვა შემდეგი წესით: (𝑓,𝑔)(𝑎1,𝑎2) = �𝑓(𝑎1), 𝑔(𝑎2)�.

მაგალითი 3.2. ვთქვათ, 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(𝑎) = 𝑎2 ტოლობით, ხოლო 𝑔 ∶ ℝ → ℝ ასახვა განსაზღვრულია 𝑔(𝑎) = 𝑎 + 1 ტოლობით, მაშინ (𝑓,𝑔)(𝑎1,𝑎2) = (𝑎12, 𝑎2 + 1).

(𝑓,𝑔)(1,−1) = (12 ,−1 + 1) = (1, 0); (𝑓,𝑔)(0, 1) = (02, 1 + 1) = (0, 2);

(𝑓,𝑔)(0, 0) = (02, 0 + 1) = (0, 1).

ვიპოვოთ (𝑓,𝑔)−1(4,−3). განსაზღვრის თანახმად,

(𝑓,𝑔)−1(4,−3) = { (𝑥,𝑦) ∈ ℝ2 ∣∣ (𝑥2 ,𝑦 + 1) = (4,−3) }.

აქედან ვღებულობთ განტოლებათა სისტემას:

�𝑥2 = 4, 𝑦 + 1 = −3.

ამ სისტემის ამონახსნებია (−2,−4) და (2,−4) წყვილები. ამიტომ საძიებელი სრული წინარე სა-ხე (𝑓,𝑔)−1(4,−3) = {(−2,−4), (2,−4)}.

ახლა ვიპოვოთ Im(𝑓,𝑔). განსაზღვრის თანახმად, (𝑎, 𝑏) ∈ Im(𝑓,𝑔), თუ არსებობს (𝑥,𝑦) ∈ℝ2 წყვილი ისეთი, რომ (𝑓,𝑔)(𝑥,𝑦) = (𝑎, 𝑏), ე. ი. (𝑥2 ,𝑦 + 1) = (𝑎, 𝑏). კვლავ ვღებულობთ სისტე-მას:

�𝑥2 = 𝑎, 𝑦 + 1 = 𝑏.

ამ სისტემის პირველ განტოლებას ამონახსნი აქვს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 𝑎 ≥ 0 და პირველი განტოლების ყოველ ამონახსნს შეესაბამება მეორე განტოლებიდან ცალსახად გან-საზღვრული 𝑦. ამიტომ Im(𝑓,𝑔) = { (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 ∣∣ 𝑎 ≥ 0 } = [0; +∞[ × ℝ.

ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐵 → 𝐶 რაიმე ასახვაა და 𝐴 ⊂ 𝐵. მაშინ 𝑓 ასახვის საშუალებით შეიძლება ავა-გოთ ასახვა 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐶 შემდეგი წესით: 𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎), 𝑎 ∈ 𝐴. ამ შემთხვევაში 𝑔 ასახვას, 𝑔 = 𝑓|𝐴 სიმბოლოთი აღნიშნავენ და 𝐴 სიმრავლეზე 𝑓 ასახვის შეზღუდვას უწოდებენ.

თუ მოცემულია 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐶 ასახვა და არსებობს 𝑓 ∶ 𝐵 → 𝐶 ასახვა ისეთი, რომ 𝑓|𝐴 = 𝑔, მა-შინ 𝑓 ასახვას უწოდებენ 𝑔 ასახვის გავრცელებას.

მაგალითი 3.3. ვთქვათ, 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(𝑥) = 2𝑥 ტოლობით და ℤ ⊂ ℝ მთელ რიცხვთა სიმრავლეა. მაშინ 𝑔 ∶ ℤ → ℝ ასახვა, რომელიც განსაზღვრულია 𝑔(𝑛) = 2𝑛 ტო-ლობით, წარმოადგენს 𝑓 ასახვის შეზღუდვას ℤ სიმრავლეზე, 𝑔 = 𝑓|ℤ.

პირიქით, თუ 𝑔 ∶ ℤ → ℝ ასახვა განსაზღვრულია 𝑔(𝑛) = 2𝑛 ტოლობით, მაშინ 𝑓(𝑥) =2𝑥 ტოლობით განსაზღვრული 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვა, წარმოადგენს 𝑔 ასახვის გავრცელებას.

2. ზოგიერთი სპეციალური სახის ასახვა. ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 რაიმე ასახვაა. თუ ნებისმიე-რი 𝑎1,𝑎2 ∈ 𝐴 ელემენტებისათვის, 𝑎1 ≠ 𝑎2 იწვევს 𝑓(𝑎1) ≠ 𝑓(𝑎2) პირობის შესრულებას, ამბობენ, რომ 𝑓 არის 𝐴 სიმრავლის ჩადგმა 𝐵 სიმრავლეში (𝑓 ჩადგმაა ან 𝑓 ინექციაა).

მაგალითი 3.4. ა) ვთქვათ, 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3}, 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4} და 𝑓,𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვები განსაზღვრულია შესაბამისად, შემდეგი ტოლობებით: 𝑓(𝑎1) = 𝑏4, 𝑓(𝑎2) = 𝑏1,𝑓(𝑎3) = 𝑏3;𝑔(𝑎1) =𝑏1, 𝑔(𝑎2) = 𝑏1, 𝑔(𝑎3) = 𝑏4. მაშინ 𝑓 ჩადგმაა, რადგან მისთვის შესრულებულია განსაზღვრით მო-თხოვნილი პირობები, ხოლო 𝑔 არ არის ჩადგმა, რადგან 𝑔(𝑎1) = 𝑔(𝑎2).


23

ბ) ვთქვათ, 𝑓,𝑔 ∶ ℤ → ℝ ასახვები განსაზღვრულია შესაბამისად, შემდეგი ტოლობებით: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 , 𝑥 ∈ ℤ. ცხადია, თუ 𝑥1 ≠ 𝑥2, მაშინ 𝑥1 + 1 ≠ 𝑥2 + 1, ამიტომ 𝑓(𝑥1) ≠𝑓(𝑥2) და ე. ი. 𝑓 ჩადგმაა, ხოლო რადგან 𝑔(−1) = (−1)2 = 1 და 𝑔(1) = 12 = 1, ამიტომ 𝑔 არ არის ჩადგმა.

ვთქვათ, 𝐴 რაიმე სიმრავლეა და 𝐴 ⊆ 𝐵. განვიხილოთ 𝑖 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვა, რომელიც ყოველ 𝑎 ∈ 𝐴 ელემენტს, შეუსაბამებს იმავე ელემენტს 𝐵-ში, 𝑖(𝑎) = 𝑎. ამ ასახვას ეწოდება 𝐴 სიმრავლის იგივური ჩადგმა 𝐵-ში. იმ კერძო შემთხვევაში, როცა 𝐵 = 𝐴, ასახვას იგივური ან ერთეულოვანი ასახვა ეწოდება და 1𝐴 სიმბოლოთი აღინიშნება. ამრიგად, ასახვა 1𝐴 ∶ 𝐴 → 𝐴 განსაზღვრულია ტო-ლობით: 1𝐴(𝑎) = 𝑎, ნებისმიერი 𝑎 ∈ 𝐴 ელემენტისათვის.

მაგალითი 3.5. 𝑓 ∶ ℤ → ℤ ასახვა, რომელიც 𝑓(𝑛) = 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ ტოლობითაა განსაზღვრული, იგივური ასახვაა 𝑓 = 1ℤ, ხოლო 𝑓|ℕ ∶ ℕ → ℤ შეზღუდვა იგივური ჩადგმაა ℕ სიმრავლისა ℤ სი-მრავლეში.

ვთქვათ, 𝐴 და 𝐵 ნებისმიერი არაცარიელი სიმრავლეებია და 𝑏 ∈ 𝐵. თუ 𝐴 სიმრავლის ყო-ველ 𝑎 ∈ 𝐴 ელემენტს შევუსაბამებთ ერთსა და იმავე 𝑏 ელემენტს, მაშინ მიღებულ ასახვას ეწო-დება მუდმივი ასახვა და 𝑏� სიმბოლოთი აღინიშნება.

ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 რაიმე ასახვაა. როგორც ვიცით, 𝑓 ასახვა წარმოშობს 𝐴/𝑓~ ფაქტორ-სიმრავლეს. ავაგოთ 𝑓̅ ასახვა 𝐴/𝑓~ სიმრავლიდან 𝐵 სიმრავლეში შემდეგი წესით: თუ 𝑎 ∈ 𝐴 და 𝑓(𝑎) = 𝑏, მაშინ ვთქვათ, 𝑓(̅[𝑎]) = 𝑏. რადგან 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎′), 𝑎,𝑎′ ∈ [𝑎], ამიტომ 𝑓̅ ასახვა კო-რექტულად არის განსაზღვრული. რადგან განსხვავებული ეკვივალენტობის კლასების თანაკვე-თა ცარიელია, ამიტომ ეს ასახვა ჩადგმაა.

ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 რაიმე ასახვაა. თუ ყოველი 𝑏 ∈ 𝐵 ელემენტისათვის 𝐴 სიმრავლეში მო-იძებნება ერთი მაინც 𝑎 ელემენტი ისეთი, რომ 𝑓(𝑎) = 𝑏, მაშინ ამბობენ, რომ 𝑓 არის ასახვა 𝐴 სიმრავლიდან 𝐵 სიმრავლეზე (ან ამბობენ, რომ 𝑓 არის „ზე“ ასახვა). სხვა სიტყვებით, 𝑓 არის ასახვა 𝐴 სიმრავლიდან 𝐵 სიმრავლეზე, თუ ნებისმიერი 𝑏 ∈ 𝐵 ელემენტისათვის, 𝑓−1(𝑏) ≠ ∅ ან თუ Im𝑓 = 𝐵.

𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვას ეწოდება ბიექცია, თუ ის ერთდროულად არის ჩადგმა და „ზე“ ასახვა. ბიექციისათვის იყენებენ 𝑓 ∶ 𝐴 →� 𝐵 აღნიშვნას.

მაგალითი 3.6. იგივური ასახვა 1𝐴 ∶ 𝐴 → 𝐴 ბიექციაა.

იოლი შესამოწმებელია, რომ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ბიექციაა მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ნებისმი-ერი 𝑏 ∈ 𝐵 ელემენტისათვის, 𝑓−1(𝑏) ერთელემენტიანი სიმრავლეა.

3. ასახვათა კომპოზიცია. ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 და 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 რაიმე ასახვებია. მაშინ 𝑓 და 𝑔 ასახვების საშუალებით, შეგვიძლია ავაგოთ ასახვა ℎ ∶ 𝐴 → 𝐶 შემდეგი წესით: ყოველი 𝑎 ∈ 𝐴 ელემენტისათვის, ℎ(𝑎) = 𝑔�𝑓(𝑎)�. ამ ასახვას, 𝑓 და 𝑔 ასახვების კომპოზიციას უწოდებენ და აღ-ნიშნავენ ასე: ℎ = 𝑔𝑓.

კომპოზიციების თვალსაჩინოდ წარმოდგენის მიზნით, იყენებენ ასახვათა დიაგრამებს. მაგალითად, ზემომოყვანილ კომპოზიციას შემდეგნაირად წარმოადგენენ:


24

განვიხილოთ 𝐴 სიმრავლიდან 𝐴 სიმრავლეში ყველა შესაძლო ასახვათა სიმრავლე, რომე-ლიც 𝑀(𝐴,𝐴) სიმბოლოთი აღვნიშნოთ. ამრიგად, 𝑀(𝐴,𝐴) = { 𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐴 }. ამ სიმრავლეში ბუნე-

ბრივად შეგვიძლია განვიხილოთ კომპოზიციები. თუ 𝑓,𝑔 ∈ 𝑀(𝐴,𝐴), გვექნება 𝐴 𝑓→ 𝐴

𝑔→ 𝐴 ან

𝐴 𝑔→ 𝐴

𝑓→ 𝐴. ამიტომ შეგვიძლია შევადგინოთ 𝑔𝑓 და 𝑓𝑔 კომპოზიციები. ცხადია, რომ 𝑔𝑓,𝑓𝑔 ∈

𝑀(𝐴,𝐴). საზოგადოდ, 𝑔𝑓 ≠ 𝑓𝑔.

მაგალითი 3.7. ვთქვათ, ℝ 𝑓→ ℝ

𝑔→ℝ ასახვები განსაზღვრულია ტოლობებით: 𝑓(𝑥) = 𝑥2,

𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)2, 𝑥 ∈ ℝ . მაშინ

(𝑔𝑓)(𝑥) = 𝑔�𝑓(𝑥)� = 𝑔(𝑥2) = (𝑥2 + 1)2, 𝑥 ∈ ℝ;

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓�𝑔(𝑥)� = 𝑓((𝑥 + 1)2) = ((𝑥 + 1)2)2 = (𝑥 + 1)4 , 𝑥 ∈ ℝ.

როგორც ვხედავთ, 𝑔𝑓 ≠ 𝑓𝑔.

ასახვათა კომპოზიციის ასოციაციურობის თვისება. განვიხილოთ 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 სიმრავლეები

და 𝑓,𝑔,ℎ ასახვები, რომლებიც შემდეგნაირად მოიცემა: 𝐴 𝑓→ 𝐵

𝑔→ 𝐶

ℎ→ 𝐷. თუ შევადგენთ 𝑔𝑓

კომპოზიციას, მაშინ გვექნება: 𝐴 𝑔𝑓��𝐶

ℎ→𝐷. შეგვიძლია შევადგინოთ ამ ორი ასახვის კომპოზიცი-

აც: 𝐴 ℎ(𝑔𝑓)�⎯⎯� 𝐷. დავუბრუნდეთ თავდაპირველ სიტუაციას და შევადგინოთ ℎ𝑔 კომპოზიცია. გვე-

ქნება 𝐴 𝑓→ 𝐵

ℎ𝑔��𝐷. ახლა შეგვიძლია 𝑓 და ℎ𝑔 ასახვების კომპოზიციის შედგენა: 𝐴

(ℎ𝑔)𝑓�⎯⎯�𝐷. ამგვა-

რად, მივიღეთ ორი ასახვა 𝐴-დან 𝐷-ში. ვაჩვენოთ, რომ (ℎ𝑔)𝑓 = ℎ(𝑔𝑓). მართლაც, კომპოზიციის განსაზღვრის გამოყენებით, ნებისმიერი 𝑎 ∈ 𝐴 ელემენტისათვის, გვექნება:

�ℎ(𝑔𝑓)�(𝑎) = ℎ�(𝑔𝑓)�(𝑎) = ℎ �𝑔�𝑓(𝑎)��

და

�(ℎ𝑔)𝑓�(𝑎) = (ℎ𝑔)�𝑓(𝑎)� = ℎ �𝑔�𝑓(𝑎)��.

ასახვათა ტოლობის განსაზღვრის თანახმად, (ℎ𝑔)𝑓 = ℎ(𝑔𝑓).

დადგენილი თვისებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვიყენოთ გამარტივებული აღ-ნიშვნა: ℎ𝑔𝑓.

თუ მოცემულია ორი 𝑓,ℎ ∶ 𝐴 → 𝐵 ტოლი ასახვა, სადაც ℎ = 𝜑𝜓 კომპოზიციაა 𝐴𝜓→𝐶

𝜑→𝐵,

მაშინ ამბობენ, რომ შესაბამისი

დიაგრამა კომუტაციურია.

თუ მოცემულია ორი ℎ,ℎ′ ∶ 𝐴 → 𝐵 ტოლი ასახვა, სადაც ℎ = 𝜑𝜓, ℎ′ = 𝜑′𝜓′ კომპოზიციე-

ბია 𝐴𝜓→ 𝐶

𝜑→ 𝐵, 𝐴

𝜓′→ 𝐶′

𝜑′��𝐵, მაშინ ამბობენ, რომ შესაბამისი დიაგრამა კომუტაციურია.

თეორემა 3.1. ნებისმიერი 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვა ინდუცირებს


25

(1)

კომუტაციურ დიაგრამას, სადაც 𝜑 ∶ 𝐴 → 𝐴/𝑓~ განსაზღვრულია 𝜑(𝑎) = [𝑎] ∈ 𝐴/𝑓~ ტოლობით, ხოლო 𝑓̅ ∶ 𝐴/𝑓~ → 𝐵 ასახვა განსაზღვრულია 𝑓̅([𝑎]) = 𝑓(𝑎) ტოლობით. 𝑓 ̅ასახვა ინექციაა.

დამტკიცება. ვთქვათ, 𝑎 ∈ 𝐴 ნებისმიერი ელემენტია. მაშინ კომპოზიციის განსაზღვრისა და თეორემის პირობების გამოყენებით, გვექნება: �𝑓̅𝜑�(𝑎) = 𝑓�̅𝜑(𝑎)� = 𝑓(̅[𝑎]) = 𝑓(𝑎). ასახვათა ტოლობის განსაზღვრის თანახმად, გვაქვს 𝑓̅𝜑 = 𝑓 ტოლობა. ეს უკანასკნელი კი ნიშნავს, რომ (1) დიაგრამა კომუტაციურია. ვაჩვენოთ, რომ თუ [𝑎1] ≠ [𝑎2], მაშინ 𝑓̅([𝑎1]) ≠ 𝑓̅([𝑎2]). რადგანაც [𝑎1] ≠ [𝑎2], ამიტომ 𝑎1 ≠ 𝑎2 და 𝑓(𝑎1) ≠ 𝑓(𝑎2). ვინაიდან 𝑓̅([𝑎1]) = �𝑓�̅��(𝑎1) = 𝑓(𝑎1) ≠ 𝑓(𝑎2) =�𝑓�̅��(𝑎2) = 𝑓̅([𝑎2]), ამიტომ 𝑓 ̅ინექციაა. □

მაგალითი 3.8. ვთქვათ, 𝐴 = ℤ, 𝐵 = {0, 1} და 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვა განსაზღვრულია შემდეგი წესით:

𝑓(𝑛) = �0, თუ 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ, 1, თუ 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℤ.

მაშინ 𝑓−1(0) = { 2𝑘 ∣ 𝑘 ∈ ℤ }, 𝑓−1(1) = { 2𝑘 + 1 ∣ 𝑘 ∈ ℤ }, ამიტომ 𝐶 = 𝐴/𝑓~ = ℤ2 = {[2𝑘], [2𝑘 + 1]}. თეორემა 3.1-ის ძალით,

დიაგრამა, სადაც 𝜓(𝑛) = [𝑛], 𝑛 ∈ ℤ და 𝜑([𝑛]) = �0, თუ 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ, 1, თუ 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℤ, კომუტაციურია.

თეორემა 3.2. ვთქვათ, მოცემულია

კომუტაციური დიაგრამა.

ა) თუ 𝑓 ჩადგმაა, მაშინ 𝜓 იქნება ჩადგმა; ბ) თუ 𝑓 არის „ზე“ ასახვა, მაშინ 𝜑 იქნება „ზე“ ასახვა.

დამტკიცება. ა) პირობის თანახმად, 𝑓 = 𝜑𝜓 და თუ 𝑎1,𝑎2 ∈ 𝐴, მაშინ (𝜑𝜓)(𝑎1) = 𝑓(𝑎1), (𝜑𝜓)(𝑎2) = 𝑓(𝑎2). თუ 𝑎1 ≠ 𝑎2, მაშინ 𝑓(𝑎1) ≠ 𝑓(𝑎2), ამიტომ (𝜑𝜓)(𝑎1) ≠ (𝜑𝜓)(𝑎2). ვაჩვენოთ, რომ 𝜓(𝑎1) ≠ 𝜓(𝑎2). დავუშვათ საწინააღმდეგო, ვთქვათ, 𝜓(𝑎1) = 𝜓(𝑎2). მაშინ (𝜑𝜓)(𝑎1) = 𝜑�𝜓(𝑎1)� =𝜑�𝜓(𝑎2)� = (𝜑𝜓)(𝑎2), რაც წინააღმდეგობაა.

ბ) დაამტკიცეთ დამოუკიდებლად. □

შედეგი 3.1. თუ


26

კომუტაციურ დიაგრამაში 𝑓 „ზე“ ასახვაა, მაშინ 𝑓̅ ასახვა ბიექციაა.

დამტკიცება. თეორემა 3.1-ის თანახმად, 𝑓̅ ∶ 𝐴/𝑓~ → 𝐵 ასახვა ჩადგმაა. თეორემა 3.2-ის ძა-ლით, რადგან 𝑓 „ზე“ ასახვაა, ამიტომ 𝑓̅ ასევე „ზე“ ასახვაა. მაშინ, განსაზღვრის თანახმად, 𝑓̅ ასახვა ბიექციაა. □

ვთქვათ, მოცემულია 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 და 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐴 ასახვები. განვიხილოთ ორი დიაგრამა:

(2) (3)

თუ ეს ორი დიაგრამა ერთდროულად კომუტაციურია, მაშინ ვიტყვით, რომ 𝑔 ასახვა 𝑓

ასახვის შექცეულია, 𝑓 ასახვა კი 𝑔 ასახვის შექცეული და გამოვიყენებთ აღნიშვნებს 𝑔 = 𝑓−1 ან 𝑓 = 𝑔−1 . ამ შემთხვევაში 𝑓 და 𝑔 ასახვებს ურთიერთშექცეულ ასახვებს უწოდებენ.

განსაზღვრიდან გამომდინარე, (𝑓−1)−1 = 𝑓.

თეორემა 3.3. თუ 𝑓 და 𝑔 ურთიერთშექცეული ასახვებია, მაშინ 𝑓 და 𝑔 ბიექციებია.

დამტკიცება. რადგან 1𝐴 , 1𝐵 ბიექციებია და (2), (3) დიაგრამები კომუტაციურია, ამიტომ თეორემა 3.2-ის ძალით, 𝑓 (ასევე 𝑔) ჩადგმაა და ამავე დროს „ზე“ ასახვაა, რაც ნიშნავს, რომ 𝑓 (ასევე 𝑔) ბიექციაა. □

მაგალითი 3.9. ვთქვათ, 𝐴 = {0, 1}, 𝐵 = ℤ და მოცემულია ორი ასახვა:

𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵, 𝑓(0) = 0, 𝑓(1) = 1;

𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐴, 𝑔(𝑛) = �0, თუ 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ, 1, თუ 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℤ.

მაშინ (2) დიაგრამა კომუტაციურია, ხოლო (3) დიაგრამა არ არის კომუტაციური.

მაგალითი 3.10. ვთქვათ, 𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 ≠ 0. განვიხილოთ 𝑓 ∶ ℝ → ℝ და 𝑔 ∶ ℝ → ℝ ასახვები, რომლებიც შემდეგი ტოლობებით მოიცემა:

𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 და 𝑔(𝑥) =𝑥𝑘

, 𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 ≠ 0.

ვიპოვოთ 𝑓𝑔 და 𝑔𝑓 კომპოზიციები. განსაზღვრის თანახმად,

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓�𝑔(𝑥)� = 𝑓 �𝑥𝑘� = 𝑘 ⋅

𝑥𝑘

= 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ,

(𝑔𝑓)(𝑥) = 𝑔�𝑓(𝑥)� = 𝑔(𝑘𝑥) =𝑘𝑥𝑘

= 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ.

ამრიგად, 𝑓𝑔 = 1ℝ და 𝑔𝑓 = 1ℝ, ამიტომ (2) და (3) დიაგრამები, სადაც 𝐴 = ℝ და 𝐵 = ℝ, კომუტაციურია, რაც განსაზღვრის თანახმად ნიშნავს, რომ 𝑔 = 𝑓−1, ხოლო თეორემა 3.3-ის ძა-ლით 𝑓 და 𝑔 ასახვები ბიექციებია.

ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ბიექციაა. ავაგოთ 𝑓−1 ∶ 𝐵 → 𝐴 ასახვა შემდეგნაირად: ვთქვათ, 𝑏 ∈ 𝐵. რადგან 𝑓 ბიექციაა, არსებობს ერთადერთი 𝑎 ∈ 𝐴 ელემენტი ისეთი, რომ 𝑓(𝑎) = 𝑏. მაშინ 𝑓−1 ასა-ხვა განვსაზღვროთ ტოლობით: 𝑓−1(𝑏) = 𝑎. მიღებული ასახვა იქნება 𝑓 ასახვის შექცეული. მარ-თლაც, (𝑓−1𝑓)(𝑎) = 𝑓−1�𝑓(𝑎)� = 𝑓−1(𝑏) = 𝑎, ე. ი. 𝑓−1𝑓 = 1𝐴 და (𝑓𝑓−1)(𝑏) = 𝑓�𝑓−1(𝑏)� = 𝑓(𝑎) =𝑏, ე. ი. 𝑓𝑓−1 = 1𝐵 , ამიტომ (2) და (3) დიაგრამები, სადაც 𝑔 = 𝑓−1, კომუტაციურია, რაც განსაზ-ღვრის თანახმად ნიშნავს, რომ 𝑓−1 ასახვა 𝑓 ასახვის შექცეულია.


27

ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 რაიმე ასახვაა. განვიხილოთ დიაგრამა:

(4)

იოლი შესამოწმებელია, რომ 𝑓1𝐴 = 𝑓 და 1𝐵𝑓 = 𝑓. ამიტომ დიაგრამა კომუტაციურია.

განვიხილოთ რამდენიმე მნიშვნელოვანი ასახვა, რომლებსაც შემდგომში გამოვიყენებთ:

3.1. ნებისმიერი 𝐴 სიმრავლისათვის ბუნებრივად განისაზღვრება ორი 𝑝, 𝑞 ∶ 𝐴 × 𝐴 → 𝐴 ასახვა, რომლებსაც შესაბამისად პირველ და მეორე პროექციას უწოდებენ და რომლებიც შემ-დეგი ტოლობებით განისაზღვრება: 𝑝(𝑎1,𝑎2) = 𝑎1, 𝑞(𝑎1,𝑎2) = 𝑎2.

თუ მოცემულია ნებისმიერი 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვა, მაშინ

დიაგრამები კომუტაციურია.

3.2. ვთქვათ, 𝐴 ნებისმიერი სიმრავლეა და 𝑛 ≥ 2, 𝑛 ∈ ℕ. არსებობს 𝑝𝑖 ∶ 𝐴𝑛 → 𝐴 ასახვა, გან-საზღვრული 𝑝𝑖(𝑎1, … ,𝑎𝑖 , … ,𝑎𝑛) = 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1,2, …𝑛 ტოლობით და მას 𝒊-ური პროექცია ეწოდება.

3.3. ვთქვათ, 𝐴 რაიმე სიმრავლეა. განვიხილოთ 𝑑 ∶ 𝐴 → 𝐴 × 𝐴 ასახვა, რომელიც განსაზ-ღვრულია შემდეგი წესით: 𝑑(𝑎) = (𝑎,𝑎), ნებისმიერი 𝑎 ∈ 𝐴 ელემენტისათვის. ასე განსაზღვრულ ასახვას დიაგონალურს უწოდებენ. Im 𝑑 სიმრავლეს დიაგონალს უწოდებენ და 𝑑(𝐴) სიმბოლო-თი აღნიშნავენ. იოლი შესამოწმებელია, რომ ეს ჩადგმაა. ეს ცნება შეიძლება განვაზოგადოთ. 𝑑𝑛 ∶ 𝐴 → 𝐴𝑛+1, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2 ასახვას, რომელიც 𝑑𝑛(𝑎) = (𝑎,𝑎, … ,𝑎) ∈ 𝐴𝑛+1 ტოლობით განისაზ-ღვრება, კვლავ დიაგონალურს უწოდებენ. 𝑑𝑛 ასახვა ასევე ჩადგმაა. Im 𝑑𝑛 სიმრავლეს დიაგო-ნალს უწოდებენ და 𝑑𝑛(𝐴) სიმბოლოთი აღნიშნავენ. შემდგომში ვიგულისხმებთ, რომ 𝑑1 = 𝑑 და 𝑑0 = 1𝐴. მაშინ 𝑑𝑛 ასახვა განსაზღვრული იქნება ყველა 𝑛 ∈ ℤ+ = ℕ ∪ {0} რიცხვისათვის.

3.4. ვთქვათ, 𝐴,𝐵 რაიმე სიმრავლეებია და 𝑀(𝐴,𝐵) = {𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 }. ავაგოთ 𝐵ℎ→𝑀(𝐴,𝐵)

ასახვა შემდეგი წესით: ℎ(𝑏) = 𝑏�. იოლი შესამოწმებელია, რომ ℎ ჩადგმაა.

3.5. ნებისმიერი 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 ასახვა ინდუცირებს 𝑓̅ ∶ 2𝑋 → 2𝑌 ასახვას, რომელიც განისაზ-ღვრება ტოლობით: 𝑓(̅𝐴) = 𝑓(𝐴), ნებისმიერი 𝐴 ∈ 2𝑋 ქვესიმრავლისათვის. თუ 𝑓 ასახვა ბიექ-ციაა, მაშინ 𝑓̅ ასევე ბიექციაა.

3.6. ვთქვათ, მოცემულია 𝑀(𝐴,𝐵) = {𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 } და 𝑀(𝐴,𝐶) = {𝑔 ∣∣ 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐶 } სიმრა-

ვლეები. ნებისმიერი ℎ ∶ 𝐵 → 𝐶 ასახვა ინდუცირებს 𝑀(𝐴,𝐵)ℎ�→𝑀(𝐴,𝐶) ასახვას, რომელიც ℎ�(𝑓) =

ℎ𝑓 ტოლობით განისაზღვრება.

3.7. ვთქვათ, მოცემულია 𝑀(𝐴,𝐵) = {𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 } და 𝑀(𝐶,𝐵) = {𝑔 ∣∣ 𝑔 ∶ 𝐶 → 𝐵 } სიმრა-

ვლეები. ნებისმიერი ℎ ∶ 𝐴 → 𝐶 ასახვა ინდუცირებს 𝑀(𝐶,𝐵)ℎ�→𝑀(𝐴,𝐵) ასახვას, რომელიც ℎ�(𝑔) =

𝑔ℎ ტოლობით განისაზღვრება.


28

3.8. ვთქვათ, მოცემულია ორი 𝑓,𝑔 ∶ 𝑋 → 𝑌 ასახვა და არსებობს 𝐻 ∶ 𝐼 × 𝑋 → 𝑌 ასახვა ისე-თი, რომ 𝐻(0,𝑋) = 𝑓(𝑥), 𝐻(1,𝑋) = 𝑔(𝑥), სადაც 𝐼 = [0; 1] მონაკვეთია. რა ასახვები შეგვიძლია

ავაგოთ 𝑋𝑗𝑘→ 𝐼 × 𝑋, 𝑘 = 1, 2 ისე, რომ გვქონდეს 𝐻𝑗1 = 𝑓, 𝐻𝑗2 = 𝑔?

პასუხი: 𝑗1(𝑥) = (0, 𝑥), 𝑗2(𝑥) = (1, 𝑥).

3.9. ნებისმიერი 𝑋 და 𝑌 სიმრავლეებისათვის არსებობს ორი 𝑝 ∶ 𝑋 × 𝑌 → 𝑋 და 𝑞 ∶ 𝑋 ×𝑌 → 𝑌 ასახვა, რომლებსაც შესაბამისად პირველ და მეორე პროექციას უწოდებენ. ეს ასახვები გა-ნისაზღვრება 𝑝(𝑥,𝑦) = 𝑥, 𝑞(𝑥,𝑦) = 𝑦 ტოლობებით. პროექციები ინდუცირებენ ასახვებს:

�̅� ∶ 𝑀(𝑍,𝑋 × 𝑌) → 𝑀(𝑍,𝑋), 𝑞� ∶ 𝑀(𝑍,𝑋 × 𝑌) → 𝑀(𝑍,𝑌).

3.10. თუ მოცემულია ორი 𝑓 ∶ 𝑍 → 𝑋 და 𝑔 ∶ 𝑍 → 𝑌 ასახვა, მაშინ ისინი ინდუცირებენ (𝑓,𝑔) ∶ 𝑍 → 𝑋 × 𝑌 ასახვას, რომელიც (𝑓,𝑔)(𝑧) = �𝑓(𝑧),𝑔(𝑧)� ტოლობით განისაზღვრება.

მაგალითი 3.11. თუ ℝ𝑓→ℝ და ℝ

𝑔→ℝ ასახვები განსაზღვრულია 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 და 𝑔(𝑥) =

sin𝑥 ტოლობებით, მაშინ (𝑓,𝑔) ∶ ℝ → ℝ × ℝ ასახვისათვის, რომელიც (𝑓,𝑔)(𝑥) = (cos 𝑥 , sin𝑥) ტოლობით განისაზღვრება, გვაქვს: Im𝑓 = { (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ ∣∣ 𝑎2 + 𝑏2 = 1 } = 𝑆1 , სადაც 𝑆1 − წრეწირია ცენტრით (0,0) წერტილში და რადიუსით 1.

3.11. თუ მოცემულია 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვა, მაშინ შეიძლება ავაგოთ (𝑓,𝑓) ∶ 𝐴 × 𝐴 → 𝐵 × 𝐵 ასახვა შემდეგი წესით: (𝑓,𝑓)(𝑎1,𝑎2) = �𝑓(𝑎1),𝑓(𝑎2)�. თუ 𝑓 ბიექციაა, მაშინ (𝑓,𝑓) ასევე ბიექ-ციაა.

მაგალითი 3.12. ვთქვათ, 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ტოლობით. მაშინ (𝑓,𝑓)(𝑎1,𝑎2) = (𝑎12,𝑎22).

არსებობს 𝜃 ∶ 𝑀(𝑋,𝑌 × 𝑍) → 𝑀(𝑋,𝑌) × 𝑀(𝑋,𝑍) ასახვა, განსაზღვრული 𝜃(𝜑) = (𝑝𝜑, 𝑞𝜑) ტოლობით.

თეორემა 3.4. 𝜃 ასახვა არის ბიექცია

𝜃 ∶ 𝑀(𝑋,𝑌 × 𝑍) →� 𝑀(𝑋,𝑌) × 𝑀(𝑋,𝑍).

მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი 3.13. ვთქვათ, 𝑋 = 𝑌 = 𝑍 = ℝ. განვიხილოთ 𝑑 ∶ ℝ → ℝ × ℝ დიაგონალური ასა-ხვა, 𝑑(𝑎) = (𝑎,𝑎). მაშინ 𝜃(𝑑) = (𝑝𝑑, 𝑞𝑑) = (1ℝ, 1ℝ). მართლაც,

𝑝𝑑 ∶ ℝ𝑑→ ℝ × ℝ

𝑝→ℝ, 𝑝𝑑(𝑎) = 𝑝(𝑎,𝑎) = 𝑎, ე. ი. 𝑝𝑑 = 1ℝ;

𝑞𝑑 ∶ ℝ𝑑→ ℝ × ℝ

𝑞→ ℝ, 𝑞𝑑(𝑎) = 𝑞(𝑎,𝑎) = 𝑎, ე. ი. 𝑞𝑑 = 1ℝ.

მაგალითი 3.14. ვთქვათ, 𝑦0 ∈ 𝑌, 𝑧0 ∈ 𝑍 ფიქსირებული ელემენტებია. განვიხილოთ ასახვა 𝜑 ∶ 𝑋 → 𝑌 × 𝑍, განსაზღვრული 𝜑(𝑥) = (𝑦0,𝑧0) ტოლობით. მაშინ 𝜃(𝜑) = (𝑝𝜑, 𝑞𝜑), სადაც 𝑝𝜑(𝑥) =𝑦0, 𝑞𝜑(𝑥) = 𝑧0 მუდმივი ასახვებია, 𝑝𝜑 ∶ 𝑋 → 𝑌, 𝑞𝜑 ∶ 𝑋 → 𝑍.

მაგალითი 3.15. ვთქვათ, 𝑋 = 𝑌 = 𝑍 = ℝ. განვიხილოთ 𝜑 ∶ ℝ → ℝ × ℝ დიაგონალური ასა-ხვა, მოცემული 𝜑(𝑥) = (𝑥,−𝑥) ტოლობით. მაშინ 𝜃(𝜑) = (𝑝𝜑, 𝑞𝜑) ასახვაა, სადაც 𝑝𝜑 = 1ℝ, ხოლო 𝑞𝜑 = −1ℝ.

მაგალითი 3.16. ვთქვათ, 𝑋 = 𝑌 = 𝑍 = ℝ. განვიხილოთ 𝜑 ∶ ℝ → ℝ × ℝ დიაგონალური ასა-ხვა, მოცემული 𝜑(𝑥) = (𝑥2 , 2𝑥) ტოლობით. მაშინ 𝜃(𝜑) = (𝑝𝜑, 𝑞𝜑) ასახვაა, სადაც 𝑝𝜑(𝑥) = 𝑥2 , ხოლო 𝑞𝜑(𝑥) = 2𝑥.


29

არსებობს 𝜃 ∶ 𝑀(𝑋 × 𝑌,𝑍) → 𝑀�𝑋,𝑀(𝑌,𝑍)� ასახვა, განსაზღვრული 𝜃(𝜑)(𝑥)(𝑦) = 𝜑(𝑥,𝑦) ტოლობით.

თეორემა 3.5. (ექსპონენციალური კანონი). 𝜃 ასახვა არის ბიექცია

𝜃 ∶ 𝑀(𝑋 × 𝑌,𝑍) →� 𝑀�𝑋,𝑀(𝑌,𝑍)�.

განვიხილოთ რამდენიმე კონკრეტული 𝜑 ასახვა და ვნახოთ, რა ასახვაა 𝜃(𝜑).

მაგალითი 3.17. ავიღოთ 𝑧0 ∈ 𝑍 ნებისმიერი ელემენტი. ჩვენ შეგვიძლია ავაგოთ მუდმივი 𝜑 ასახვა 𝜑(𝑥,𝑦) = 𝑧0 ტოლობით. აგრეთვე, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ მუდმივი 𝑧0� ∶ 𝑌 → 𝑍 ასახვა 𝑧0� (𝑦) = 𝑧0. მაშინ 𝜃(𝜑) ∶ 𝑋 → 𝑀(𝑌,𝑍) ასახვა განსაზღვრულია ტოლობით 𝜃(𝜑)(𝑥) = 𝑧0� . ცხადია, 𝜃(𝜑) ასევე მუდმივი ასახვა იქნება.

მაგალითი 3.18. ვთქვათ, 𝑋 = 𝑌 = 𝑍 = ℝ. ა) 𝜑 ∶ ℝ × ℝ → ℝ განსაზღვრულია 𝜑(𝑎,𝑦) =𝑎 + 𝑦 ტოლობით. სანამ ავაგებთ 𝜃(𝜑) ∶ ℝ → 𝑀(ℝ,ℝ) ასახვას, განვიხილოთ 𝑓 ∶ ℝ → ℝ წრფივი ასახვა, განსაზღვრული 𝑓(𝑦) = 𝑎 + 𝑦 ტოლობით. 𝜃(𝜑)(𝑎) = 𝑓, 𝜃(𝜑)(𝑎)(𝑦) = 𝑓(𝑦) = 𝑎 + 𝑦 =𝜑(𝑎,𝑦). ე. ი. 𝜃(𝜑) არის ისეთი ასახვა, რომელიც ყოველ 𝑎-ს შეუსაბამებს 𝑓 ასახვას, 𝑓(𝑦) = 𝑎 +𝑦.

ბ) ვთქვათ, 𝜑 ასახვა განსაზღვრულია 𝜑(𝑎,𝑦) = 𝑎𝑦 ტოლობით. ჩვენ შეგვიძლია განვიხი-ლოთ 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვა, 𝑓(𝑦) = 𝑎𝑦. მაშინ 𝜃(𝜑) ∶ ℝ → 𝑀(ℝ,ℝ) ასახვა განსაზღვრულია ტოლობით: 𝜃(𝜑)(𝑎) = 𝑓, 𝜃(𝜑)(𝑎)(𝑦) = 𝑓(𝑦) = 𝑎𝑦 = 𝜑(𝑎,𝑦).

გ) ვთქვათ, 𝜑 ასახვა განსაზღვრულია 𝜑(𝑎,𝑦) = 𝑎2 + 𝑦2 ტოლობით. ავაგოთ 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვა ტოლობით 𝑓(𝑦) = 𝑎2 + 𝑦2. მაშინ 𝜃(𝜑) ∶ ℝ → 𝑀(ℝ,ℝ) ასახვა განსაზღვრულია ტოლობით: 𝜃(𝜑)(𝑎) = 𝑓, 𝜃(𝜑)(𝑎)(𝑦) = 𝑓(𝑦) = 𝑎2 + 𝑦2 = 𝜑(𝑎,𝑦).

30

§4. ალგებრული ოპერაცია

მათემატიკის სასკოლო კურსში თქვენ ისწავლეთ რიცხვთა შეკრება, გამრავლება. ეს მოქ-მედებანი ალგებრული ოპერაციის მაგალითებია. მსგავსი ოპერაციები თქვენ იცით არა მხოლოდ რიცხვებზე, არამედ სხვა ობიექტებზეც. მაგალითად, ვექტორებზე, მატრიცებზე, ასახვებზე, სი-მრავლეებზე. ისმის კითხვა: რა არის საზოგადოდ ალგებრული ოპერაცია?

განსაზღვრა 4.1. ვიტყვით, რომ 𝐴 სიმრავლეზე მოცემული გვაქვს 𝜔 ალგებრული ოპერა-ცია, თუ 𝜔 არის 𝐴 × 𝐴 = 𝐴2 სიმრავლის ასახვა 𝐴 სიმრავლეში: 𝜔 ∶ 𝐴2 → 𝐴.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 𝜔 არის წესი, რომელიც 𝐴 სიმრავლის ყოველ დალაგე-ბულ (𝑎, 𝑏) წყვილს უთანადებს 𝐴 სიმრავლის ერთ 𝜔(𝑎, 𝑏) ელემენტს, რომელიც შეგვიძლია აღვ-ნიშნოთ 𝜔(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∘ 𝑏 სიმბოლოთი.

მაგალითად, მთელ რიცხვთა შეკრება არის ალგებრული ოპერაცია 𝜔 ∶ ℤ2 → ℤ, რომელიც განისაზღვრება 𝜔(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ ტოლობით.

ასევე, მთელ რიცხვთა გამრავლება არის ალგებრული ოპერაცია 𝜔 ∶ ℤ2 → ℤ, რომელიც განისაზღვრება 𝜔(𝑚,𝑛) = 𝑚 ⋅ 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ ტოლობით.

მაგრამ, მთელ რიცხვთა გაყოფა არ არის ალგებრული ოპერაცია მთელ რიცხვთა სიმრა-

ვლეზე, რადგან 𝜔(𝑚,𝑛) = 𝑚𝑛

ტოლობა არ განსაზღვრავს ასახვას 𝜔 ∶ ℤ2 → ℤ. მაგალითად,

𝜔(2,3) = 23

არ არის ℤ სიმრავლის ელემენტი ან 𝜔(2,0) = 20

, რადგან ასეთი რიცხვი არ არსებობს.

მაგალითი 4.1. ვთქვათ, 𝐴 = ℚ+ დადებითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეა. არსე-ბობს ალგებრული ოპერაცია 𝜔 ∶ ℚ+ × ℚ+ → ℚ+ , განსაზღვრული 𝜔(𝑟1, 𝑟2) = 𝑟1 ⋅ 𝑟2 ტოლობით.

განვიხილოთ სხვა მაგალითები.

მაგალითი 4.2. ვთქვათ, 𝑋 ნებისმიერი სიმრავლეა, ხოლო 2𝑋 არის 𝑋 სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლეთა სიმრავლე: 2𝑋 = {𝐴 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑋 }. ამ სიმრავლეზე განვიხილოთ სამი ალგებრული ოპერაცია:

𝜔1 ∶ 2𝑋 × 2𝑋 → 2𝑋 , 𝜔1(𝐴,𝐵) = 𝐴 ∪ 𝐵,

𝜔2 ∶ 2𝑋 × 2𝑋 → 2𝑋 , 𝜔2(𝐴,𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵,

𝜔3 ∶ 2𝑋 × 2𝑋 → 2𝑋 , 𝜔3(𝐴,𝐵) = 𝐴 ∖ 𝐵.

ცხადია, რომ სამივე ალგებრული ოპერაცია განსაზღვრულია კორექტულად, რადგან 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 2𝑋 , 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 2𝑋 , 𝐴 ∖ 𝐵 ⊆ 2𝑋 .

მაგალითი 4.3. ვთქვათ, 𝐴 ნებისმიერი სიმრავლეა, ხოლო 𝑀(𝐴,𝐴) = { 𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐴 }. განვ-საზღვროთ ალგებრული ოპერაცია

𝜔 ∶ 𝑀(𝐴,𝐴) × 𝑀(𝐴,𝐴) →𝑀(𝐴,𝐴),

ტოლობით 𝜔(𝑓,𝑔) = 𝑔𝑓, სადაც 𝑔𝑓 არის 𝑓 და 𝑔 ასახვების კომპოზიცია, 𝐴𝑓→ 𝐴

𝑔→ 𝐴.

მაგალითი 4.4. ვთქვათ, მოცემულია 𝜔 ∶ 𝐴2 → 𝐴 ალგებრული ოპერაცია და 𝑋 ნებისმიერი სიმრავლეა. განვსაზღვროთ 𝜔� ∶ 𝑀(𝑋,𝐴) × 𝑀(𝑋,𝐴) → 𝑀(𝑋,𝐴) ალგებრული ოპერაცია ტოლობით: 𝜔�(𝑓,𝑔)(𝑥) = 𝜔�𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)�, 𝑓,𝑔 ∈ 𝑀(𝑋,𝐴).


31

განვიხილოთ კონკრეტული მაგალითი: 𝑋 = ℝ, 𝐴 = ℝ, 𝜔 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏. მაშინ 𝜔� ∶ 𝑀(ℝ,ℝ) × 𝑀(ℝ,ℝ) → 𝑀(ℝ,ℝ) განსაზღვრულია 𝜔�(𝑓,𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ტოლობით და ამი-ტომ 𝜔�(𝑓,𝑔) = 𝑓 + 𝑔.

განსაზღვრა 4.2. ვთქვათ, 𝜔 არის ალგებრული ოპერაცია 𝐴 სიმრავლეზე. 𝜔 ოპერაციას ეწოდება ასოციაციური, თუ როგორიც არ უნდა იყოს 𝐴 სიმრავლის 𝑎, 𝑏, 𝑐 ელემენტები, სრულ-დება ტოლობა:

𝜔�𝑎,𝜔(𝑏, 𝑐)� = 𝜔(𝜔(𝑎, 𝑏), 𝑐).

ეს ტოლობა ნიშნავს, რომ არსებობს შემდეგი კომუტაციური დიაგრამა:

(5)

სადაც (𝜔, 1)(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝜔(𝑎, 𝑏), 𝑐); (1,𝜔)(𝑎, 𝑏, 𝑐) = �𝑎,𝜔(𝑏, 𝑐)�.

მაგალითი 4.5. ვთქვათ, 𝐴 = ℝ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა. მაშინ ოპერაციები შეკრე-ბა და გამრავლება ასოციაციური ოპერაციებია.

თუ განვიხილავთ ალგებრულ ოპერაციას 𝜔 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔(𝑥,𝑦) = 𝑥 − 𝑦, ეს ალგებრული ოპერაცია არ არის ასოციაციური. მართლაც,

𝜔�𝑎,𝜔(𝑏, 𝑐)� = 𝜔(𝑎, 𝑏 − 𝑐) = 𝑎 − (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐,

𝜔(𝜔(𝑎, 𝑏), 𝑐) = 𝜔(𝑎 − 𝑏, 𝑐) = (𝑎 − 𝑏) − 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 − 𝑐,

რის გამოც, 𝜔�𝑎,𝜔(𝑏, 𝑐)� ≠ 𝜔(𝜔(𝑎, 𝑏), 𝑐).

მაგალითი 4.6. თუ 𝑋 ნებისმიერი სიმრავლეა, მაშინ ალგებრული ოპერაციები გაერთია-ნება და თანაკვეთა 𝜔1 ,𝜔2 ∶ 2𝑋 × 2𝑋 → 2𝑋 , ასოციაციურია (იხ. §1.2, გაერთიანების და თანაკვე-თის თვისებები), ხოლო სხვაობა 𝜔3 არ არის ასოციაციური. მართლაც, (𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝐶 ≠ 𝐴 ∖ (𝐵 ∖ 𝐶).

ნახ. 14 (𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝐶 𝐴 ∖ (𝐵 ∖ 𝐶)

მაგალითი 4.7. ვთქვათ, 𝑉 − სამგანზომილებიანი სივრცის ვექტორთა სიმრავლეა. ალგე-ბრული ოპერაცია 𝜔 ∶ 𝑉2 → 𝑉, ვექტორული ნამრავლია. ვაჩვენოთ, რომ ეს ოპერაცია არ არის

ასოციაციური. განვიხილოთ ისეთი სამი ვექტორი �⃗�, 𝚥,𝑘�⃗ , რომ |𝚤| = | 𝚥| = � 𝑘�⃗ � = 1 და 𝜔(𝚤, 𝚥) = 𝑘�⃗ ,

𝜔�𝚥,𝑘�⃗ � = 𝚤, 𝜔�𝚤,𝑘�⃗ � = −𝚥, 𝜔(𝚤, 𝚤) = 0�⃗ , 𝜔(𝚥, 𝚥 ) = 0�⃗ , 𝜔�𝑘�⃗ ,𝑘�⃗ � = 0�⃗ . მაშინ 𝜔�𝚤,𝜔(𝚤, 𝚥)� = 𝜔�𝚤,𝑘�⃗ � = −𝚥, ხოლო 𝜔(𝜔(𝚤, 𝚤), 𝚥) = 𝜔�0�⃗ , 𝚥� = 0�⃗ . ე. ი. 𝜔�𝑎,𝜔(𝑏, 𝑐)� = 𝜔(𝜔(𝑎, 𝑏), 𝑐) ტოლობა არ სრულდება.

მაგალითი 4.8. 𝜔 ∶ 𝑀(𝐴,𝐴) × 𝑀(𝐴,𝐴) →𝑀(𝐴,𝐴) ოპერაცია, განსაზღვრული მაგალით 4.3-ში, ასოციაციურია (იხ. §3.3, ასახვათა კომპოზიციის ასოციაციურობის თვისება).

განსაზღვრა 4.3. 𝜔 ∶ 𝐴2 → 𝐴 ალგებრული ოპერაციას ეწოდება კომუტაციური, თუ 𝐴 სი-მრავლის ყოველი 𝑎 და 𝑏 ელემენტებისათვის, სრულდება ტოლობა:


32

𝜔(𝑎, 𝑏) = 𝜔(𝑏,𝑎).

ეს ტოლობა ნიშნავს, რომ არსებობს შემდეგი კომუტაციური დიაგრამა:

(6)

სადაც 𝑓(𝑎, 𝑏) = (𝑏, 𝑎). ცხადია, 𝑓 ასახვა ბიექციაა.

ნამდვილ რიცხვთა შეკრება და გამრავლება, აგრეთვე სიმრავლეთა გაერთიანება და თანა-კვეთა კომუტაციური ოპერაციებია, ხოლო რიცხვთა სხვაობა ან სიმრავლეთა სხვაობა, არ არის კომუტაციური ოპერაციები (იხ. §1.2 გაერთიანების და თანაკვეთის თვისებები).

მოვიყვანოთ სხვა მაგალითები.

მაგალითი 4.9. ცნობილია, რომ ვექტორულ ნამრავლს აქვს თვისება: �⃗� × 𝑏�⃗ = −𝑏�⃗ × �⃗�. ამი-ტომ, ვექტორული ნამრავლი არ არის კომუტაციური.

მაგალითი 4.10. განვიხილოთ 𝑀𝑛×𝑛 სიმრავლე, რომლის ელემენტებია 𝑛-ური რიგის კვა-დრატული მატრიცები. ამ სიმრავლეზე შეიძლება განვიხილოთ ორი ალგებრული ოპერაცია:

𝜔1 ∶ 𝑀𝑛×𝑛 × 𝑀𝑛×𝑛 → 𝑀𝑛×𝑛, 𝜔1(𝐴,𝐵) = 𝐴 + 𝐵, 𝐴,𝐵 ∈ 𝑀𝑛×𝑛, 𝜔2 ∶ 𝑀𝑛×𝑛 × 𝑀𝑛×𝑛 → 𝑀𝑛×𝑛, 𝜔2(𝐴,𝐵) = 𝐴 ⋅ 𝐵, 𝐴,𝐵 ∈ 𝑀𝑛×𝑛.

პირველი ოპერაცია ასოციაციური და კომუტაციურია, ხოლო მეორე ოპერაცია ასოციაცი-ურია, მაგრამ არ არის კომუტაციური.

თუ 𝐴,𝐵 ∈ 𝑀𝑛×𝑛, საზოგადოდ 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 ტოლობა არ არის მართებული. მაგალითად, თუ

𝐴 = �1 10 1� , 𝐵 = �0 0

1 1� , მაშინ 𝐴 ⋅ 𝐵 = �1 11 1� , 𝐵 ⋅ 𝐴 = �0 0

1 2� და 𝐴 ∙ 𝐵 ≠ 𝐵 ∙ 𝐴.

მაგალითი 4.11. 𝜔 ∶ 𝑀(𝐴,𝐴) × 𝑀(𝐴,𝐴) →𝑀(𝐴,𝐴) ოპერაცია, განსაზღვრული მაგალით 4.3-ში, არ არის კომუტაციური (იხ. მაგალითი 3.7).

მოყვანილი მაგალითები გვიჩვენებენ, რომ ერთდროულად, ოპერაცია შეიძლება იყოს ასოციაციურიც და კომუტაციურიც.

მოვიყვანოთ კიდევ ერთი მაგალითი, როცა ოპერაცია ასოციაციურია, მაგრამ არ არის კო-მუტაციური.

მაგალითი 4.12. ვთქვათ, 𝐴 ნებისმიერი სიმრავლეა, ხოლო 𝑆(𝐴) არის 𝐴 →� 𝐴 ბიექციების სიმრავლე. ასახვათა კომპოზიცია 𝑆(𝐴) სიმრავლეზე ალგებრული ოპერაციაა:

𝜔 ∶ 𝑆(𝐴) × 𝑆(𝐴) → 𝑆(𝐴), 𝜔(𝑓,𝑔) = 𝑔𝑓, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑆(𝐴).

რადგან 𝑆(𝐴) ⊂ 𝑀(𝐴,𝐴), მაგალით 4.8-ის თანახმად, 𝜔 ოპერაცია ასოციაციურია. ვაჩვე-ნოთ, რომ 𝜔 ოპერაცია არ არის კომუტაციური. ვთქვათ 𝐴 = {1, 2, 3}, 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐴, 𝑓(1) = 1,𝑓(2) = 3,𝑓(3) = 2, ხოლო 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐴, 𝑔(1) = 2, 𝑔(2) = 3, 𝑔(3) = 1. მაშინ

(𝑔𝑓)(1) = 𝑔�𝑓(1)� = 𝑔(1) = 2 და (𝑓𝑔)(1) = 𝑓�𝑔(1)� = 𝑓(2) = 3,

რის გამოც, 𝑔𝑓 ≠ 𝑓𝑔 და 𝜔 ოპერაცია არ არის კომუტაციური.


33

განსაზღვრა 4.4. ვთქვათ, 𝐴 რაიმე არაცარიელი სიმრავლეა, რომელზეც განსაზღვრულია ორი ალგებრული ოპერაცია: 𝜔1 ∶ 𝐴2 → 𝐴 და 𝜔2 ∶ 𝐴2 → 𝐴. ვიტყვით, რომ 𝜔2 ოპერაცია შეთან-ხმებულია 𝜔1 ოპერაციასთან (ან 𝜔2 ოპერაცია დისტრიბუციულია 𝜔1 ოპერაციის მიმართ), თუ ნებისმიერი 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 ელემენტებისათვის მართებულია ტოლობები:

ა) 𝜔2�𝑎,𝜔1(𝑏, 𝑐)� = 𝜔1�𝜔2(𝑎, 𝑏),𝜔2(𝑎, 𝑐)�,

ბ) 𝜔2(𝜔1(𝑎, 𝑏), 𝑐) = 𝜔1�𝜔2(𝑎, 𝑐),𝜔2(𝑏, 𝑐)�.

ეს ტოლობები ნიშნავს, რომ არსებობს შემდეგი კომუტაციური დიაგრამა:

(7)

სადაც 𝜃1(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎, 𝑏,𝑎, 𝑐), (1,𝜔1)(𝑎, 𝑏, 𝑐) = �𝑎,𝜔1(𝑏, 𝑐)�; 𝜃2(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎, 𝑐, 𝑏, 𝑐), (𝜔1, 1)(𝑎, 𝑏, 𝑐) =(𝜔1(𝑎, 𝑏), 𝑐), 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴.

ვიტყვით, რომ 𝜔1 და 𝜔2 ოპერაციები ურთიერთშეთანხმებულია, თუ (7) კომუტაციურ დიაგრამასთან ერთად, არსებობს შემდეგი კომუტაციური დიაგრამა:

(8)

სადაც 𝜃1(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎, 𝑏,𝑎, 𝑐), (1,𝜔2)(𝑎, 𝑏, 𝑐) = �𝑎,𝜔2(𝑏, 𝑐)�; 𝜃2(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎, 𝑐, 𝑏, 𝑐), (𝜔2 , 1)(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝜔2(𝑎, 𝑏), 𝑐), 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴.

მაგალითი 4.13. განვიხილოთ 𝑀(ℤ,ℤ) სიმრავლე. განვსაზღვროთ ამ სიმრავლეში შეკრე-ბის ოპერაცია (𝑓 + 𝑔)(𝑛) = 𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛) ტოლობით, სადაც 𝑛 ∈ ℤ, 𝑓,𝑔 ∈ 𝑀(ℤ,ℤ).

ა) განვსაზღვროთ 𝑀(ℤ,ℤ) სიმრავლეში გამრავლების ოპერაცია (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑛) = 𝑓𝑔(𝑛) ტოლო-ბით, სადაც 𝑛 ∈ ℤ, 𝑓,𝑔 ∈ 𝑀(ℤ,ℤ) და 𝑓𝑔 კომპოზიციაა. არის თუ არა გამრავლების ოპერაცია შე-თანხმებული შეკრების ოპერაციასთან? პასუხი: არა.

კონტრმაგალითი. ვთქვათ, 𝑓(𝑛) = 𝑛 + 1, 𝑔(𝑛) = 𝑛 + 2, ℎ(𝑛) = 𝑛 + 3, 𝑛 ∈ ℤ. მაშინ

�𝑓 ⋅ (𝑔 + ℎ)�(𝑛) = 𝑓�(𝑔 + ℎ)(𝑛)� = 𝑓�𝑔(𝑛) + ℎ(𝑛)� = 𝑓(𝑛 + 2 + 𝑛 + 3)

= 𝑓(2𝑛 + 5) = 2𝑛 + 5 + 1 = 2𝑛 + 6,

(𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ ℎ)(𝑛) = 𝑓𝑔(𝑛) + 𝑓ℎ(𝑛) = 𝑓�𝑔(𝑛)� + 𝑓�ℎ(𝑛)� = 𝑓(𝑛 + 2) + 𝑓(𝑛 + 3)

= 𝑛 + 3 + 𝑛 + 4 = 2𝑛 + 7.

ამრიგად, 𝑓 ⋅ (𝑔 + ℎ) ≠ 𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ ℎ და განსაზღვრის თანახმად, გამრავლების ოპერაცია არ არის შეთანხმებული შეკრების ოპერაციასთან.


34

ბ) განვსაზღვროთ 𝑀(ℤ,ℤ) სიმრავლეში გამრავლების ოპერაცია (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑛) = 𝑓(𝑛) ∙ 𝑔(𝑛) ტოლობით, სადაც 𝑛 ∈ ℤ, 𝑓,𝑔 ∈ 𝑀(ℤ,ℤ). არის თუ არა გამრავლების ოპერაცია შეთანხმებული შეკრების ოპერაციასთან? პასუხი: კი. მართლაც,

�𝑓 ⋅ (𝑔 + ℎ)�(𝑛) = 𝑓(𝑛)(𝑔 + ℎ)(𝑛) = 𝑓(𝑛)�𝑔(𝑛) + ℎ(𝑛)� = 𝑓(𝑛)𝑔(𝑛) + 𝑓(𝑛)ℎ(𝑛)

= (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑛) + (𝑓 ∙ ℎ)(𝑛) = (𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ ℎ)(𝑛),

ე. ი. 𝑓 ⋅ (𝑔 + ℎ) = 𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ ℎ;

�(𝑓 + 𝑔) ⋅ ℎ�(𝑛) = (𝑓 + 𝑔)(𝑛)ℎ(𝑛) = �𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛)� ∙ ℎ(𝑛) = 𝑓(𝑛)ℎ(𝑛) + 𝑔(𝑛)ℎ(𝑛)

= (𝑓 ∙ ℎ)(𝑛) + (𝑔 ∙ ℎ)(𝑛) = (𝑓 ∙ ℎ + 𝑔 ∙ ℎ)(𝑛),

ე. ი. (𝑓 + 𝑔) ⋅ ℎ = 𝑓 ∙ ℎ + 𝑔 ∙ ℎ.

ამრიგად, შესრულებულია განსაზღვრა 4.4-ის ორივე პირობა და ამ შემთხვევაში გამრა-ვლება შეთანხმებულია შეკრებასთან.

მაგალითი 4.14. განვიხილოთ მაგალით 4.10-ში შემოღებული 𝑀𝑛×𝑛 სიმრავლე, მასში გან-საზღვრული შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებით. ვთქვათ, 𝐴,𝐵, 𝐶 ∈ 𝑀𝑛×𝑛. თუ გავიხსენებთ მატრიცებზე მოქმედებების შესაბამის თვისებებს, გვექნება:

ა) 𝜔2�𝐴,𝜔1(𝐵,𝐶)� = 𝜔2(𝐴,𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 = 𝜔2(𝐴,𝐵) +𝜔2(𝐴,𝐶)

= 𝜔1�𝜔2(𝐴,𝐵),𝜔2(𝐴,𝐶)�,

ბ) 𝜔2(𝜔1(𝐵,𝐶),𝐴) = 𝜔2(𝐵 + 𝐶,𝐴) = (𝐵 + 𝐶) ∙ 𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐴 + 𝐶 ∙ 𝐴 = 𝜔2(𝐵,𝐴) +𝜔2(𝐶,𝐴)

= 𝜔1�𝜔2(𝐵,𝐴),𝜔2(𝐶,𝐴)�,

ე. ი. მატრიცთა გამრავლება შეთანხმებულია შეკრებასთან.

მაგალითი 4.15. ვთქვათ, 𝑋 ნებისმიერი სიმრავლეა, ხოლო 2𝑋 არის 𝑋 სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლეთა სიმრავლე. განვიხილოთ მაგალით 4.2-ში მოყვანილი ოპერაციები. ვთქვათ, 𝐴,𝐵,𝐶 ⊆ 𝑋. მაშინ სიმრავლეთა გაერთიანების, თანაკვეთისა და სხვაობის შესაბამისი თვისებების გამოყენებით (იხ. §1.2), გვექნება:

1. ა) 𝜔1�𝐴,𝜔2(𝐵,𝐶)� = 𝜔1(𝐴,𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

= 𝜔1(𝐴,𝐵) ∩𝜔1(𝐴,𝐶) = 𝜔2�𝜔1(𝐴,𝐵),𝜔1(𝐴,𝐶)�,

ბ) 𝜔1(𝜔2(𝐵,𝐶),𝐴) = 𝜔1(𝐵 ∩ 𝐶,𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ 𝐴 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

= (𝐵 ∪ 𝐴) ∩ (𝐶 ∪ 𝐴) = 𝜔1(𝐵,𝐴) ∩ 𝜔1(𝐶,𝐴) = 𝜔2�𝜔1(𝐵,𝐴),𝜔1(𝐶,𝐴)�,

ე. ი. სიმრავლეთა გაერთიანება შეთანხმებულია თანაკვეთასთან;

2. ა) 𝜔2�𝐴,𝜔1(𝐵,𝐶)� = 𝜔2(𝐴,𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

= 𝜔2(𝐴,𝐵) ∪𝜔2(𝐴,𝐶) = 𝜔1�𝜔2(𝐴,𝐵),𝜔2(𝐴,𝐶)�,

ბ) 𝜔2(𝜔1(𝐵,𝐶),𝐴) = 𝜔2(𝐵 ∪ 𝐶,𝐴) = (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ 𝐴 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

= (𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐶 ∩ 𝐴) = 𝜔2(𝐵,𝐴) ∪𝜔2(𝐶,𝐴) = 𝜔1�𝜔2(𝐵,𝐴),𝜔2(𝐶,𝐴)�,

ე. ი. სიმრავლეთა თანაკვეთა შეთანხმებულია გაერთიანებასთან.

1 და 2 პუნქტებიდან გამომდინარე, განსაზღვრის თანახმად, სიმრავლეთა თანაკვეთა და გაერთიანება ურთიერთშეთანხმებულია.


35

3. ა) 𝜔1�𝐴,𝜔3(𝐵,𝐶)� = 𝜔1(𝐴,𝐵 ∖ 𝐶) = 𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶),

𝜔3�𝜔1(𝐴,𝐵),𝜔1(𝐴,𝐶)� = 𝜔3(𝐴 ∪ 𝐵,𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∪ 𝐶).

ის ფაქტი, რომ 𝜔1�𝐴,𝜔3(𝐵,𝐶)� ≠ 𝜔3�𝜔1(𝐴,𝐵),𝜔1(𝐴,𝐶)�, ცხადად ჩანს ქვემოთ მოყვანილ ეილერ-ვენის დიაგრამებზე:

𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∪ 𝐶)

ნახ. 15

ე. ი. სიმრავლეთა გაერთიანება არ არის შეთანხმებული სხვაობასთან;

4. ა) 𝜔3�𝐴,𝜔1(𝐵,𝐶)� = 𝜔3(𝐴,𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐶),

𝜔1�𝜔3(𝐴,𝐵),𝜔3(𝐴,𝐶)� = 𝜔1(𝐴 ∖ 𝐵,𝐴 ∖ 𝐶) = (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐶).

ამ ორი ტოლობიდან ცხადია, რომ 𝜔3�𝐴,𝜔1(𝐵,𝐶)� ≠ 𝜔1�𝜔3(𝐴,𝐵),𝜔3(𝐴,𝐶)�, მაგრამ

𝜔3(𝜔1(𝐵,𝐶),𝐴) = 𝜔3(𝐵 ∪ 𝐶,𝐴) = (𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐴 = (𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐶 ∖ 𝐴),

𝜔1�𝜔3(𝐵,𝐴),𝜔3(𝐶,𝐴)� = 𝜔1(𝐵 ∖ 𝐴,𝐶 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ 𝐴) ∪ (𝐶 ∖ 𝐴),

ამიტომ 𝜔3(𝜔1(𝐵, 𝐶),𝐴) = 𝜔1�𝜔3(𝐵,𝐴),𝜔3(𝐶,𝐴)�. ამრიგად, განსაზღვრა 4.4-ის ბ) პირობა შესრუ-ლებულია, ხოლო ა) არ სრულდება, ამიტომ სიმრავლეთა სხვაობა არ არის შეთანხმებული გაერ-თიანებასთან.

განსაზღვრა 4.5. ვთქვათ, 𝐴 სიმრავლეზე განსაზღვრულია 𝜔1 ,𝜔2 ალგებრული ოპერაცი-ები და მოცემულია 𝑓 ∶ 𝐴𝑛 → 𝐴 ასახვა. ვიტყვით, რომ 𝑓 ასახვა არის ფორმულა, თუ 𝑓 არის კომპოზიცია ისეთი, რომ ამ კომპოზიციაში თითოეული წევრი არის 𝜔1 ან 𝜔2 , ან 𝑝𝑖 პროექციებით აგებული ასახვები.

მაგალითი 4.16. 𝐴 = ℤ, 𝑛 = 5, 𝜔1 = "+" , 𝜔2 = " ∙ "; 𝑓 ∶ ℤ5 → ℤ ასახვა კომპოზიციაა:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑛1 ,𝑛2,𝑛3 ,𝑛4,𝑛5) = 𝜔1�𝑝1(𝑥),𝑝5(𝑥)� = 𝜔1(𝑛1 ,𝑛5) = 𝑛1 + 𝑛5;

2) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑛1 ,𝑛2,𝑛3 ,𝑛4,𝑛5) = 𝜔2�𝑝3(𝑥),𝑝4(𝑥)� = 𝜔2(𝑛3 ,𝑛4) = 𝑛3 ∙ 𝑛4;

3) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑛1 ,𝑛2,𝑛3 ,𝑛4,𝑛5) = 𝜔2 �𝜔1�𝑝1(𝑥),𝑝2(𝑥)�,𝑝4(𝑥)� = 𝜔2(𝜔1(𝑛1,𝑛2),𝑛4)

= 𝜔2(𝑛1 + 𝑛2,𝑛4) = (𝑛1 + 𝑛2) ∙ 𝑛4;

4) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑛1 ,𝑛2,𝑛3 ,𝑛4,𝑛5) = 𝜔1 �𝜔2�𝑝2(𝑥),𝑝3(𝑥)�,𝜔2�𝑝1(𝑥),𝑝5(𝑥)��

= 𝜔1�𝜔2(𝑛2,𝑛3),𝜔2(𝑛1 ,𝑛5)� = 𝜔1(𝑛2 ∙ 𝑛3, 𝑛1 ∙ 𝑛5) = 𝑛2 ∙ 𝑛3 + 𝑛2 ∙ 𝑛3;

5) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑛1 ,𝑛2,𝑛3 ,𝑛4,𝑛5) = 𝜔2 �𝜔1 �𝜔2�𝑝2(𝑥),𝑝3(𝑥)�,𝜔2�𝑝1(𝑥),𝑝5(𝑥)�� ,𝑝4(𝑥)�

= 𝜔2�𝜔1�𝜔2(𝑛2,𝑛3),𝜔2(𝑛1 ,𝑛5)�,𝑛4� = 𝜔2(𝜔1(𝑛2 ∙ 𝑛3,𝑛1 ∙ 𝑛5),𝑛4)

= 𝜔2(𝑛2 ∙ 𝑛3 + 𝑛1 ∙ 𝑛5 ,𝑛4) = (𝑛2 ∙ 𝑛3 + 𝑛1 ∙ 𝑛5) ∙ 𝑛4.


36

აღვნიშნოთ Φ(𝐴𝑛 ,𝐴) სიმბოლოთი 𝐴𝑛 → 𝐴 ასახვათა სიმრავლე, რომლის ყოველი 𝑓 ელე-მენტი არის ფორმულა. Φ(𝐴𝑛 ,𝐴) სიმრავლეზე შეგვიძლია განვსაზღვროთ ორი, 𝜔�1 და 𝜔�2 ალგე-ბრული ოპერაცია შემდეგნაირად:

𝜔�1 ∶ Φ(𝐴𝑛,𝐴)2 → Φ(𝐴𝑛 ,𝐴) განვსაზღვროთ 𝜔�1(𝑓,𝑔)(𝑥) = 𝜔1�𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)� ტოლობით;

𝜔�2 ∶ Φ(𝐴𝑛,𝐴)2 → Φ(𝐴𝑛 ,𝐴) განვსაზღვროთ 𝜔�2(𝑓,𝑔)(𝑥) = 𝜔2�𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)� ტოლობით.

მაგალითი 4.17. 𝐴 = ℤ, 𝑛 = 5, 𝜔1 = "+" , 𝜔2 = " ∙ "; ვთქვათ, 𝑓 ∶ ℤ5 → ℤ ასახვა განსაზ-

ღვრულია 𝑓(𝑥) = 𝜔2 �𝜔1�𝑝1(𝑥),𝑝2(𝑥)�,𝑝4(𝑥)� ტოლობით, ხოლო 𝑔 ∶ ℤ5 → ℤ ასახვა განსაზღვრუ-

ლია 𝑔(𝑥) = 𝜔1 �𝜔2�𝑝2(𝑥),𝑝3(𝑥)�,𝜔2�𝑝1(𝑥),𝑝5(𝑥)��.

ა) მაშინ 𝜔�1(𝑓,𝑔)(𝑥) ∶ ℤ5 → ℤ ასახვა განსაზღვრულია ტოლობით:

𝜔�1(𝑓,𝑔)(𝑥) = 𝜔1�𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)�

= 𝜔1 �𝜔2 �𝜔1�𝑝1(𝑥),𝑝2(𝑥)�,𝑝4(𝑥)� ,𝜔1 �𝜔2�𝑝2(𝑥),𝑝3(𝑥)�,𝜔2�𝑝1(𝑥),𝑝5(𝑥)��.

მაგალით 4.16-ის 3) ასახვა არის 𝑓 ასახვა, ხოლო 4) − 𝑔 ასახვა. ამიტომ

𝑓(𝑥) = (𝑛1 + 𝑛2) ∙ 𝑛4 , 𝑔(𝑥) = 𝑛2 ∙ 𝑛3 + 𝑛2 ∙ 𝑛3 , 𝜔�1(𝑓,𝑔)(𝑥) = (𝑛1 + 𝑛2) ∙ 𝑛4 + 𝑛2 ∙ 𝑛3 + 𝑛2 ∙ 𝑛3 .

ბ) მაშინ 𝜔�2(𝑓,𝑔)(𝑥) = (𝑛1 + 𝑛2) ∙ 𝑛4 ∙ (𝑛2 ∙ 𝑛3 + 𝑛2 ∙ 𝑛3).

ალგებრულ ოპერაციებს კვლავ დავუბრუნდებით მაშინ, როცა შევუდგებით ალგებრული სტრუქტურების შესწავლას.

37

სავარჯიშოები I თავისათვის


მოცემულია სიმრავლეები: 𝐴 = {−4, 0, 1, 5},𝐵 = {−4, 1, 3},𝐷 = {2, 6},𝐸 = {−7,−4, 0, 1, 2, 3, 5, 6, 10}. იპოვეთ (𝟏.𝟏 − 𝟏.𝟑𝟒):

𝟏.𝟏. 2𝐴; 𝟏.𝟐. 2𝐵; 𝟏.𝟑. 𝐴 ∩ 𝐵; 𝟏.𝟒. 𝐵 ∩ 𝐷; 𝟏.𝟓. 𝐴 ∪ 𝐷; 𝟏.𝟔. 𝐴 ∪ 𝐵; 𝟏.𝟕. 𝐴 ∖ 𝐵; 𝟏.𝟖. 𝐵 ∖ 𝐷;

𝟏.𝟗. (𝐴 ∪ 𝐷) ∩ 𝐵; 𝟏.𝟏𝟎. (𝐵 ∪ 𝐷) ∩ 𝐴; 𝟏.𝟏𝟏. 𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐷); 𝟏.𝟏𝟐. 𝐵 ∖ (𝐴 ∪ 𝐷); 𝟏.𝟏𝟑. C𝐸𝐴; 𝟏.𝟏𝟒. C𝐸𝐵;

𝟏.𝟏𝟓. C𝐸(𝐵 ∪ 𝐷); 𝟏.𝟏𝟔. C𝐸(𝐴 ∩ 𝐵); 𝟏.𝟏𝟕. C𝐸𝐵 ∩ C𝐸𝐷; 𝟏.𝟏𝟖. C𝐸𝐴 ∪ C𝐸𝐵; 𝟏.𝟏𝟗. 𝐴 × 𝐵;𝟏.𝟐𝟎. 𝐴 × 𝐷;

𝟏.𝟐𝟏. 𝐵 × 𝐷; 𝟏.𝟐𝟐. 𝐷2; 𝟏.𝟐𝟑. 𝐵 × 𝐴; 𝟏.𝟐𝟒. 𝐷 × 𝐴; 𝟏.𝟐𝟓. (𝐴 × 𝐵) × 𝐷; 𝟏.𝟐𝟔. 𝐴 × (𝐵 × 𝐷);

𝟏.𝟐𝟕. (𝐴 ∩ 𝐵) × 𝐷; 𝟏.𝟐𝟖. (𝐴 × 𝐷) ∩ (𝐵 × 𝐷); 𝟏.𝟐𝟗. 𝐴 × (𝐵 ∖ 𝐴); 𝟏.𝟑𝟎. (𝐴 × 𝐵) ∖ 𝐴2;

𝟏.𝟑𝟏. 𝐴∆𝐷; 𝟏.𝟑𝟐. 𝐵∆𝐷; 𝟏.𝟑𝟑. C𝐸(𝐴∆𝐵); 𝟏.𝟑𝟒. C𝐸(𝐴∆𝐷).

მოცემულია სიმრავლეები: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ −3 ≤ 𝑥 < 2}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ −2 ≤ 𝑥 ≤ 4}, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ −2 <𝑥 < 3}, 𝐸 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ −5 < 𝑥 ≤ 6}. იპოვეთ (𝟏.𝟑𝟓 − 𝟏.𝟒𝟔):

𝟏.𝟑𝟓. 2𝐴∩𝐵; 𝟏.𝟑𝟔. 2𝐴∩𝐷; 𝟏.𝟑𝟕. (𝐴 ∩ 𝐷) ∪ 𝐵;𝟏.𝟑𝟖. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐷); 𝟏.𝟑𝟗.𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐷);𝟏.𝟒𝟎. 𝐴 ∖ (𝐴 ∪ 𝐷);

𝟏.𝟒𝟏. C𝐸(𝐴 ∪ 𝐷); 𝟏.𝟒𝟐. C𝐸(𝐵 ∩ 𝐷); 𝟏.𝟒𝟑. 𝐵 × (𝐴 ∖ 𝐵); 𝟏.𝟒𝟒. 𝐴× (𝐷 ∖ 𝐴); 𝟏.𝟒𝟓. 𝐴∆𝐵; 𝟏.𝟒𝟔. 𝐴∆𝐷.

𝟏.𝟒𝟕. სამზე გაყოფადობის ნიშნის მიხედვით, მთელ რიცხვთა სიმრავლე დაყავით კლასებად;

𝟏.𝟒𝟖. ხუთზე გაყოფადობის ნიშნის მიხედვით, მთელ რიცხვთა სიმრავლე დაყავით კლასებად.

მოცემულია სიმრავლეები: 𝐴 = ]0; 5], 𝐵 = ]1; 7[, 𝐷 = [−2, 3]. იპოვეთ (𝟏.𝟒𝟗 − 𝟏.𝟔𝟒):

𝟏.𝟒𝟗. 𝐴 ∪ 𝐵; 𝟏.𝟓𝟎. 𝐵 ∪ 𝐷; 𝟏.𝟓𝟏. 𝐴 ∩ 𝐷; 𝟏.𝟓𝟐. 𝐴 ∩ 𝐵; 𝟏.𝟓𝟑. (𝐴 ∪ 𝐷) ∩ 𝐵; 𝟏.𝟓𝟒. (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐷;

𝟏.𝟓𝟓. Cℝ𝐴; 𝟏.𝟓𝟔. Cℝ𝐷; 𝟏.𝟓𝟕. Cℝ(𝐴 ∪ 𝐵); 𝟏.𝟓𝟖. Cℝ(𝐵 ∩ 𝐷); 𝟏.𝟓𝟗. 𝐴 × 𝐵, გამოსახეთ გეომეტრიუ-ლად სიბრტყეზე; 𝟏.𝟔𝟎. 𝐵 × 𝐷, გამოსახეთ გეომეტრიულად სიბრტყეზე; 𝟏.𝟔𝟏. 𝐴∆𝐷; 𝟏.𝟔𝟐. 𝐵∆𝐷; 𝟏.𝟔𝟑. Cℝ(𝐴∆𝐵); 𝟏.𝟔𝟒. Cℝ(𝐵∆𝐷).

დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი 𝐴, 𝐵 და 𝐶 სიმრავლეებისათვის მართებულია ტოლობები:

𝟏.𝟔𝟓. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶); 𝟏.𝟔𝟔. 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶);

𝟏.𝟔𝟕. (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐶 = (𝐴 ∖ 𝐶) ∩ (𝐵 ∖ 𝐶); 𝟏.𝟔𝟖. (𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐶 = (𝐴 ∖ 𝐶) ∪ (𝐵 ∖ 𝐶);

𝟏.𝟔𝟗. 𝐶 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐴) ∪ (𝐶 ∖ 𝐵); 𝟏.𝟕𝟎. 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐴) ∩ (𝐶 ∖ 𝐵);

𝟏.𝟕𝟏. 𝐴 ∖ (𝐵 ∖ 𝐶) = (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶); 𝟏.𝟕𝟐. (𝐴 ∖ 𝐵) ∖ 𝐶 = (𝐴 ∖ 𝐶) ∖ (𝐵 ∖ 𝐶);

𝟏.𝟕𝟑. 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶); 𝟏.𝟕𝟒. (𝐴 ∩ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ∩ (𝐵 × 𝐶);

𝟏.𝟕𝟓. 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶); 𝟏.𝟕𝟔. (𝐴 ∪ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ∪ (𝐵 × 𝐶);

𝟏.𝟕𝟕. 𝐴 × (𝐵 ∖ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∖ (𝐴 × 𝐶); 𝟏.𝟕𝟖. (𝐴 ∖ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐵 × 𝐶);

𝟏.𝟕𝟗. (𝐴∆𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐶)∆(𝐵 ∩ 𝐶); 𝟏.𝟖𝟎. (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵).


38


მოცემულია 𝐴 = {−5,−3,−2, 0, 1, 7, 8} სიმრავლე. შეადგინეთ ამ სიმრავლის ელემენტებს შორის შემდეგი მიმართებანი:

𝟐.𝟏. 𝐴1 − „ჯამი ლუწია“; 𝟐.𝟐. 𝐴2 − „სხვაობა ერთია“; 𝟐.𝟑. 𝐴3 − „ჯერადია“;

𝟐.𝟒. 𝐴4 − „გამყოფია“; 𝟐.𝟓. 𝐴5 − „მეტია“; 𝟐.𝟔. 𝐴6 − „ნაკლებია“.

𝟐.𝟕. აჩვენეთ, რომ 𝐴 სიმრავლეში მიმართება 𝐴1 − „ჯამი ლუწია“ არის რეფლექსური, სიმეტრი-ული და ტრანზიტული.

𝟐.𝟖. აჩვენეთ, რომ 𝐴 სიმრავლეში მიმართება 𝐴2 − „სხვაობა ერთია“ არის არა რეფლექსური, ასი-მეტრიული და არ არის ტრანზიტული.

𝟐.𝟗. აჩვენეთ, რომ 𝐴 სიმრავლეში მიმართება 𝐴3 − „ჯერადია“ არის არა რეფლექსური, ანტისიმე-ტრიული და ტრანზიტული, ხოლო 𝐴 ∖ {0} სიმრავლეში ეს მიმართება იქნება რეფლექსური, ანტისიმეტრიული და ტრანზიტული.

𝟐.𝟏𝟎. აჩვენეთ, რომ 𝐴 სიმრავლეში მიმართება 𝐴4 − „გამყოფია“ არის არა რეფლექსური, ანტისი-მეტრიული და ტრანზიტული, ხოლო 𝐴 ∖ {0} სიმრავლეში ეს მიმართება იქნება რეფლექსური, ანტისიმეტრიული და ტრანზიტული.

𝟐.𝟏𝟏. აჩვენეთ, რომ 𝐴 სიმრავლეში მიმართება 𝐴5 − „მეტია“ არის არა რეფლექსური, ასიმეტრი-ული და ტრანზიტული.

𝟐.𝟏𝟐. აჩვენეთ, რომ 𝐴 სიმრავლეში მიმართება 𝐴6 − „ნაკლებია“ არის არა რეფლექსური, ასიმე-ტრიული და ტრანზიტული.

𝟐.𝟏𝟑. აჩვენეთ, რომ ℤ სიმრავლეში მიმართება 𝐵1 − „𝑥 − 𝑦 იყოფა 3-ზე“, ეკვივალენტობის მი-მართებაა.

𝟐.𝟏𝟒. აჩვენეთ, რომ ℤ სიმრავლეში მიმართება 𝐵2 − „𝑥 − 𝑦 იყოფა 5-ზე“, ეკვივალენტობის მი-მართებაა.


𝟑.𝟏. ასახვა 𝑓 ∶ ℝ → ℝ განსაზღვრულია ტოლობით: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1. იპოვეთ

𝑓(0), 𝑓(−2), 𝑓(2), 𝑓−1(0), 𝑓−1(3), 𝑓−1(−3).

𝟑.𝟐. ასახვა 𝑓 ∶ ℝ → ℝ განსაზღვრულია ტოლობით: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 1. იპოვეთ

𝑓(0), 𝑓(−3), 𝑓(2), 𝑓−1(0), 𝑓−1(−2), 𝑓−1(19).

𝟑.𝟑. ასახვა 𝑓 ∶ ℝ → ℝ განსაზღვრულია ტოლობით: 𝑓(𝑥) = sin𝑥. იპოვეთ

𝑓(0), 𝑓 �−𝜋2� , 𝑓 �

𝜋2� , 𝑓−1(0), 𝑓−1(−1), 𝑓−1(1).

𝟑.𝟒. ასახვა 𝑓 ∶ ℝ → ℝ განსაზღვრულია ტოლობით: 𝑓(𝑥) = cos 𝑥. იპოვეთ

𝑓(0), 𝑓 �3𝜋2� , 𝑓(𝜋), 𝑓−1(0), 𝑓−1 �−

12� , 𝑓−1(1).

𝟑.𝟓. მოცემულია 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 9 ფუნქცია. იპოვეთ მისი განსაზღვრის არე და ანასახი.

𝟑.𝟔. მოცემულია 𝑓(𝑥) = 11 − 𝑥2 ფუნქცია. იპოვეთ მისი განსაზღვრის არე და ანასახი.

სავარჯიშოები

39

𝟑.𝟕. მოცემულია 𝑓(𝑥) =5

2 − 𝑥 ფუნქცია. იპოვეთ მისი განსაზღვრის არე და ანასახი.

𝟑.𝟖. მოცემულია 𝑓(𝑥) =𝑥 − 13 + 𝑥

ფუნქცია. იპოვეთ მისი განსაზღვრის არე და ანასახი.

𝟑.𝟗. მოცემულია 𝑓(𝑥) = √15 − 5𝑥 + 13 ფუნქცია. იპოვეთ მისი განსაზღვრის არე და ანასახი.

𝟑.𝟏𝟎. მოცემულია 𝑓(𝑥) = 5− √4 + 2𝑥 ფუნქცია. იპოვეთ მისი განსაზღვრის არე და ანასახი.

𝟑.𝟏𝟏. მოცემულია (𝑓,𝑓) ∶ ℝ2 → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = 1− 𝑥2. იპოვეთ

(𝑓,𝑓)(1,−2), (𝑓,𝑓)(2,−3), (𝑓,𝑓)(0,−1), (𝑓, 𝑓)−1(1,0), (𝑓,𝑓)−1(0,1), (𝑓,𝑓)−1(−3,−8).

𝟑.𝟏𝟐. მოცემულია (𝑓,𝑓) ∶ ℝ2 → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2. იპოვეთ

(𝑓,𝑓)(−2,−1), (𝑓,𝑓)(0,1), (𝑓,𝑓)(2,1), (𝑓,𝑓)−1(0,2), (𝑓,𝑓)−1(6,12), (𝑓,𝑓)−1(2,2).

𝟑.𝟏𝟑. მოცემულია (𝑓,𝑓) ∶ ℝ2 → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 5. იპოვეთ Im (𝑓,𝑓).

𝟑.𝟏𝟒. მოცემულია (𝑓,𝑓) ∶ ℝ2 → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 11. იპოვეთ Im (𝑓,𝑓).

𝟑.𝟏𝟓. მოცემულია (𝑓,𝑔) ∶ ℝ2 → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = 2−𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = |𝑥| − 3. იპოვეთ

(𝑓,𝑔)(−1,−2), (𝑓,𝑔)−1 �54

, 1� , Im (𝑓,𝑔).

𝟑.𝟏𝟔. მოცემულია (𝑓,𝑔) ∶ ℝ2 → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = 3−𝑥 + 2, 𝑔(𝑥) = 1 − |𝑥|. იპოვეთ

(𝑓,𝑔)(1,−2), (𝑓,𝑔)−1 �73

,−2� , Im (𝑓,𝑔).

𝟑.𝟏𝟕. მოცემულია (𝑓,𝑔) ∶ ℝ ×ℝ+ → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| − 1, 𝑔(𝑥) = log3 𝑥 − 2. იპო-ვეთ

(𝑓,𝑔) �−3,13� , (𝑓,𝑔)−1(3,−4), Im (𝑓,𝑔).

𝟑.𝟏𝟖. მოცემულია (𝑓,𝑔) ∶ ℝ+ × ℝ → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 − 3, 𝑔(𝑥) = 2 − |𝑥 − 1|. იპო-ვეთ

(𝑓,𝑔) �14

,−3� , (𝑓,𝑔)−1(−1,−2), Im (𝑓,𝑔).

𝟑.𝟏𝟗. მოცემულია ორი (𝑓,𝑔) ∶ ℝ+ → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = log5 𝑥 − 2, 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 2| − 3. იპო-ვეთ

(𝑓,𝑔)(1), (𝑓,𝑔)−1(−3), Im (𝑓,𝑔).

𝟑.𝟐𝟎. მოცემულია ორი (𝑓,𝑔) ∶ ℝ+ → ℝ2 ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = 2 − |𝑥 − 3|, 𝑔(𝑥) = 1 − log2 𝑥. იპო-ვეთ

(𝑓,𝑔)(4), (𝑓,𝑔)−1(1,0), Im (𝑓,𝑔).

𝟑.𝟐𝟏. მოცემულია ორი 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3. იპოვეთ

(𝑔𝑓)(𝑥), (𝑓𝑔)(𝑥), (𝑔𝑓)(1), (𝑓𝑔)(1).

𝟑.𝟐𝟐. მოცემულია ორი 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥2 , 𝑔(𝑥) = 1− 5𝑥. იპოვეთ

(𝑔𝑓)(𝑥), (𝑓𝑔)(𝑥), (𝑔𝑓)(0), (𝑓𝑔)(0).

𝟑.𝟐𝟑. მოცემულია ორი 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = sin𝑥 + 2, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1. იპოვეთ

(𝑔𝑓)(𝑥), (𝑓𝑔)(𝑥), (𝑔𝑓) �𝜋2� , (𝑓𝑔)(−1).


40

𝟑.𝟐𝟒. მოცემულია ორი 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ასახვა, სადაც 𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥2 , 𝑔(𝑥) = 3 cos𝑥 − 1. იპოვეთ

(𝑔𝑓)(𝑥), (𝑓𝑔)(𝑥), (𝑔𝑓) �1√2� , (𝑓𝑔) �

𝜋3�.

𝟑.𝟐𝟓. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ 𝐴 = {−3,−1, 0, 2} → 𝐵 = {3, 5, 6, 8, 10}, რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 5− 𝑥, არის ჩადგმა და არ არის „ზე“ ასახვა.

𝟑.𝟐𝟔. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ 𝐴 = {−5,−2,−1, 1} → 𝐵 = {−2, 1, 2, 4, 5}, რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3, არის ჩადგმა და არ არის „ზე“ ასახვა.

𝟑.𝟐𝟕. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ 𝐴 = {−2,−1, 0, 1, 2} → 𝐵 = {−3, 0, 1}, რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 1− 𝑥2 , არის „ზე“ ასახვა და არ არის ჩადგმა.

𝟑.𝟐𝟖. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ 𝐴 = {−3,−1, 0, 1, 3} → 𝐵 = {2, 3, 11}, რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2, არის „ზე“ ასახვა და არ არის ჩადგმა.

𝟑.𝟐𝟗. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ 𝐴 = {−3,−2,−1, 1} → 𝐵 = {2, 4, 5, 6}, რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 3− 𝑥, არის ბიექცია.

𝟑.𝟑𝟎. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ 𝐴 = {−1, 0, 2, 4, 5} → 𝐵 = {−3,−1, 3, 7, 9}, რომელიც განსაზღვრუ-ლია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, არის ბიექცია.

𝟑.𝟑𝟏. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ 𝐴 = {−4,−3, 0, 1, 2} → 𝐵 = {−11,−9,−3, 7, 21}, რომელიც განსაზ-ღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 11, არის ბიექცია.

𝟑.𝟑𝟐. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ 𝐴 = {−2,−1, 0, 3} → 𝐵 = {−26,−11,−2, 1}, რომელიც განსაზღვრუ-ლია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 1− 3𝑥2 , არის ბიექცია.

𝟑.𝟑𝟑. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ ℝ → [−1, 1], რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) = sin𝑥, არის „ზე“ ასახვა და არ არის ბიექცია.

𝟑.𝟑𝟒. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ ℝ → [−2, 2], რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) =−2 cos 𝑥, არის „ზე“ ასახვა და არ არის ბიექცია.

𝟑.𝟑𝟓. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ [−2, 1] → [−5, 10], რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) =2 − 3𝑥, არის ჩადგმა და არ არის „ზე“ ასახვა.

𝟑.𝟑𝟔. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ [2, 5] → [−5, 3], რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 2𝑥 −7, არის ჩადგმა და არ არის „ზე“ ასახვა.

𝟑.𝟑𝟕. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ [−3, 1] → [−5,−2], რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) =|𝑥| − 5, არის „ზე“ ასახვა და არ არის ჩადგმა.

𝟑.𝟑𝟖. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ [−5, 2] → [−2, 3], რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) = 3 −|𝑥|, არის „ზე“ ასახვა და არ არის ჩადგმა.

𝟑.𝟑𝟗. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ [−3, 1] → [−9, 7], რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) =𝑥2 + 6𝑥, არის ბიექცია.

𝟑.𝟒𝟎. აჩვენეთ, რომ ასახვა 𝑓 ∶ [−2, 2] → [−12, 4], რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑥) =−𝑥2 + 4𝑥, არის ბიექცია.

𝟑.𝟒𝟏. მოცემულია 𝐴 = {−2, 1, 3} სიმრავლე. იპოვეთ 𝑑(−2), 𝑑2(−2), 𝑑�𝑑(−2)�.

𝟑.𝟒𝟐. მოცემულია 𝐴 = {0, 1, 4, 5} სიმრავლე. იპოვეთ 𝑑(4), 𝑑3(4), 𝑑2�𝑑(4)�.

𝟑.𝟒𝟑. მოცემულია 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} სიმრავლე. იპოვეთ 𝑑(𝐴), 𝑑�𝑑(𝐴)�, 𝑑2(𝐴).


41

𝟑.𝟒𝟒. მოცემულია 𝐴 = {𝑥,𝑦, 𝑧} სიმრავლე. იპოვეთ 𝑑(𝐴), 𝑑2�𝑑(𝐴)�, 𝑑3(𝐴).

𝟑.𝟒𝟓. მოცემულია ℎ(𝑥) = (5𝑥 − 1)3 ფუნქცია. წარმოადგინეთ ეს ფუნქცია ორი ფუნქციის კომპო-ზიციის სახით.

𝟑.𝟒𝟔. მოცემულია ℎ(𝑥) = √3𝑥 + 1 ფუნქცია. წარმოადგინეთ ეს ფუნქცია ორი ფუნქციის კომპო-ზიციის სახით.

𝟑.𝟒𝟕. მოცემულია ℎ(𝑥) = sin(3𝑥 + 2)2 ფუნქცია. წარმოადგინეთ ეს ფუნქცია: ა) ორი; ბ) სამი ფუნქციის კომპოზიციის სახით.

𝟑.𝟒𝟖. მოცემულია ℎ(𝑥) = cos2(7𝑥 − 1) ფუნქცია. წარმოადგინეთ ეს ფუნქცია: ა) ორი; ბ) სამი ფუნქციის კომპოზიციის სახით.

𝟑.𝟒𝟗. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 𝑥2 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1. იპოვეთ 𝑑𝜔1(𝑓,𝑔) ∶ℝ → ℝ × ℝ, სადაც 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟓𝟎. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , 𝑔(𝑥) = sin𝑥. იპოვეთ 𝑑𝜔2(𝑓,𝑔) ∶ℝ → ℝ × ℝ, სადაც 𝜔2 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟓𝟏. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥2 . იპოვეთ 𝑑𝑓𝑔 ∶ ℝ →ℝ × ℝ .

𝟑.𝟓𝟐. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = sin𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1. იპოვეთ 𝑑𝑔𝑓 ∶ ℝ →ℝ × ℝ .

𝟑.𝟓𝟑. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 𝑥2 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1. იპოვეთ 𝜔1(𝑓,𝑔)𝑝 ∶ℝ × ℝ → ℝ, სადაც 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟓𝟒. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 3𝑥 , 𝑔(𝑥) = cos 𝑥. იპოვეთ 𝜔1(𝑓,𝑔)𝑞 ∶ℝ × ℝ → ℝ, სადაც 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟓𝟓. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = sin𝑥 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 . იპოვეთ 𝜔2(𝑓,𝑔)𝑝 ∶ℝ × ℝ → ℝ, სადაც 𝜔2 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟓𝟔. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 𝑥3 , 𝑔(𝑥) = √𝑥2 + 4. იპოვეთ 𝜔2(𝑓,𝑔)𝑞 ∶ℝ × ℝ → ℝ, სადაც 𝜔2 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟓𝟕. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ,𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1. იპოვეთ (𝜔1(𝑓,𝑔),𝑑) ∶ℝ2 → ℝ3 , სადაც 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟓𝟖. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 𝑥3 ,𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 3. იპოვეთ �𝑑,𝜔2(𝑓,𝑔)� ∶ℝ2 → ℝ3 , სადაც 𝜔2 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟓𝟗. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = sin𝑥 ,𝑔(𝑥) = 5𝑥 . იპოვეთ �𝑑𝑓,𝜔1(𝑓,𝑔)� ∶ℝ2 → ℝ3 , სადაც 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟔𝟎. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , 𝑔(𝑥) = cos 𝑥. იპოვეთ (𝜔1(𝑓,𝑔),𝑑𝑔) ∶ℝ2 → ℝ3 , სადაც 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟔𝟏. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, 𝑔(𝑥) = 1 − 2𝑥. იპოვეთ (𝑓,𝑔)𝑝1 ∶ℝ3 → ℝ2 . 𝟑.𝟔𝟐. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = 𝑥3 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1. იპოვეთ 𝑑𝜔1(𝑓,𝑔)𝑝2 ∶ℝ3 → ℝ2 , სადაც 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ.

𝟑.𝟔𝟑. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = sin𝑥 , 𝑔(𝑥) = √𝑥2 + 5. იპოვეთ 𝑑𝑓𝑔𝑝3 ∶ℝ3 → ℝ2 .


42

𝟑.𝟔𝟒. მოცემულია 𝑓,𝑔 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, სადაც 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 7𝑥 . იპოვეთ 𝑑𝑔𝑓𝑝1 ∶ ℝ3 →ℝ2.


𝟒.𝟏. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ3 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “, 𝜔2 =„ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს 𝑎(𝑏 + 𝑐) ფორმულას.

𝟒.𝟐. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ3 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “, 𝜔2 =„ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს 𝑏(𝑎 + 𝑐) ფორმულას.

𝟒.𝟑. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ3 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “, 𝜔2 =„ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 ფორმულას.

𝟒.𝟒. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ3 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “, 𝜔2 =„ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 ფორმულას.

𝟒.𝟓. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “, 𝜔2 =„ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს (𝑎 + 𝑏)2 ფორმულას.

𝟒.𝟔. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “, 𝜔2 =„ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს (𝑎 − 𝑏)2 ფორმულას.

𝟒.𝟕. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “, 𝜔2 =„ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს (𝑎 + 𝑏)3 ფორმულას.

𝟒.𝟖. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “, 𝜔2 =„ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს (𝑎 − 𝑏)3 ფორმულას.

𝟒.𝟗. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ4 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “, 𝜔2 =„ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ფორმულას.

𝟒.𝟏𝟎. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ4 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “,𝜔2 = „ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) ფორმულას.

𝟒.𝟏𝟏. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ4 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “,𝜔2 = „ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს (𝑎 + 𝑑)𝑐 + (𝑎 + 𝑏)2 ფორმულას.

𝟒.𝟏𝟐. იპოვეთ ისეთი 𝑓 ∶ ℝ4 → ℝ კომპოზიცია, რომლის თითოეული წევრი არის 𝜔1 = „ + “,𝜔2 = „ ∙ “ ან 𝑝𝑖 პროექციები და რომელიც მოგვცემს (𝑎 − 𝑏)𝑑 + (𝑑 − 𝑐)2 ფორმულას.

43

თავი II. კომბინატორიკის ელემენტები

§1. ძირითადი ამოცანები

კომბინატორიკა − მათემატიკის ნაწილია, რომელიც შეისწავლის სასრულ სიმრავლეებს, ასახვებს − რომლებიც ძირითადად ჩადგმები (ინექციები) ან ბიექციებია და ადგენს, რამდენი ასეთი ასახვა არსებობს.

შემდგომში, ყველგან ამ პარაგრაფში, განვიხილავთ მხოლოდ სასრულ სიმრავლეებს. 𝐴 სიმრავლეში ელემენტთა რაოდენობას 𝑛(𝐴) სიმბოლოთი აღვნიშნავთ.

1. ძირითადი ფორმულები. განვიხილოთ კომბინატორიკის სამი ძირითადი ამოცანა:

1. ვთქვათ, 𝐴 და 𝐵 რაიმე სიმრავლეებია. რამდენი 𝐴 →� 𝐵 ბიექცია არსებობს? (ცხადია, 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐵)).

2. ვთქვათ, 𝐴 და 𝐵 რაიმე სიმრავლეებია. 𝑛(𝐴) = 𝑘, 𝑛(𝐵) = 𝑚, 𝑘 ≤ 𝑚. რამდენი 𝐴 → 𝐵 ჩადგმა არსებობს?

3. ვთქვათ, 𝐴 და 𝐵 რაიმე სიმრავლეებია. 𝑛(𝐴) = 𝑘, 𝑛(𝐵) = 𝑚, 𝑘 ≤ 𝑚. განვიხილოთ სი-მრავლე 𝐸(𝐴,𝐵) = � 𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ჩადგმაა �. შემოვიღოთ ~ მიმართება 𝐸(𝐴,𝐵) სიმრავლეზე შემ-დეგი წესით: 𝑓1~𝑓2, თუ Im𝑓1 = Im𝑓2, 𝑓1, 𝑓2 ∈ 𝐸(𝐴,𝐵). იოლი შესამოწმებელია, რომ ეს ეკვივა-ლენტობის მიმართებაა და ამიტომ 𝐸(𝐴,𝐵) სიმრავლე დაიყოფა ეკვივალენტობის კლასებად. რამ-დენი ელემენტია 𝐸(𝐴,𝐵)/~ სიმრავლეში?

𝐸(𝐴,𝐵)/~ სიმრავლის ელემენტთა რაოდენობა ემთხვევა 𝐵 სიმრავლის 𝑘 ელემენტიან ქვე-სიმრავლეთა რაოდენობას.

ახლა განვიხილოთ კონკრეტული მაგალითები და დავადგინოთ, რომელი მათგანი რო-მელ ტიპს მიეკუთვნება.

ა) რამდენნაირად შეიძლება დავსვათ 3 სტუდენტი 3 სკამზე?

ბ) რამდენნაირად შეიძლება დავსვათ 3 სტუდენტი 5 სკამზე?

გ) რამდენნაირად შეიძლება ავირჩიოთ 3 სკამი 5-დან, რომ დავსვათ 3 სტუდენტი?

განვიხილოთ ორი სიმრავლე: 𝐴 იყოს სტუდენტების სიმრავლე, ხოლო 𝐵 − სკამების სი-მრავლე. მაშინ, დავსვათ სტუდენტები სკამებზე, ნიშნავს დავამყაროთ შესაბამისობა 𝐴 და 𝐵 სიმრავლეებს შორის. რადგან ერთი სტუდენტი ორ სკამზე ვერ დაჯდება, ეს შესაბამისობა ასახვა იქნება, ხოლო რადგან ორი სტუდენტი ერთ სკამზე ვერ დაჯდება, ეს ასახვა ჩადგმა იქნება. ამრი-გად, დავსვათ სტუდენტები სკამებზე, ნიშნავს ავაგოთ 𝐴 → 𝐵 ჩადგმა. რადგან ა) მაგალითში 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐵), აგებული 𝐴 → 𝐵 ჩადგმა იქნება ამავე დროს „ზე“ ასახვაც, რაც ნიშნავს, რომ ეს ასახვა ბიექციაა. ამგვარად, ა) მაგალითში ჩვენ გვაინტერესებს 𝐴 →� 𝐵 ბიექციების რაოდენობა, ე. ი. ეს მაგალითი პირველი ტიპის ამოცანაა. ზემომოყვანილი მსჯელობიდან უკვე ნათელია, რომ ბ) მაგალითი მეორე ტიპის ამოცანაა. რაც შეეხება გ) მაგალითს, ამოცანის ფორმულირებიდან გა-მომდინარე, ჩვენ ის კი არ გვაინტერესებს, როგორ დავსვამთ 3 სტუდენტს არჩეულ 3 სკამზე, არამედ რამდენნაირად შეგვიძლია ავირჩიოთ ეს 3 სკამი 5-დან, ე. ი. გვაინტერესებს, რამდენი 3 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა 5 ელემენტიან სიმრავლეში და აქედან გამომდინარე, ეს მაგალითი მესამე ტიპის ამოცანაა.

კომბინატორიკის ელემენტები

44

ამრიგად, კომბინატორიკის ამოცანების ამოსახსნელად უნდა ვიცოდეთ ძირითადი ამო-ცანების ამოხსნა და უნდა დავადგინოთ, კონკრეტული ამოცანა რომელ ძირითად ტიპს მიე-კუთვნება.

იმისათვის, რომ ამოვხსნათ ზემომოყვანილი 3 ძირითადი ამოცანა, გვჭირდება გარკვეუ-ლი დებულებები, რომლებსაც ქვემოთ მოვიყვანთ.

დებულება 1.1. 𝑛(𝐴 × 𝐵) = 𝑛(𝐴) × 𝑛(𝐵).

დამტკიცება. ვთქვათ, 𝐴 = {𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑘}, 𝐵 = {𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑚}. როგორც ვიცით, 𝐴 × 𝐵 ={ (𝑎, 𝑏) ∣ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 }. შევადგინოთ ყველა შესაძლო წყვილი და განვალაგოთ ისე, რომ მათი რაოდენობა იოლად დავთვალოთ:

(𝑎1,𝑏1), (𝑎1,𝑏2), … , (𝑎1, 𝑏𝑚), (𝑎2,𝑏1), (𝑎2,𝑏2), … , (𝑎2, 𝑏𝑚), ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (𝑎𝑘 ,𝑏1), (𝑎𝑘 , 𝑏2), … , (𝑎𝑘 ,𝑏𝑚).

რადგან თითოეულ სტრიქონში 𝑚 წყვილია, ხოლო სტრიქონთა რაოდენობაა 𝑘, ამიტომ წყვილ-თა რაოდენობაა 𝑘𝑚 = 𝑛(𝐴)𝑛(𝐵). □

შევნიშნოთ, რომ დებულება 1.1 მართებულია ნებისმიერი სასრული რაოდენობა სიმრავ-ლეებისათვის. კერძოდ,

𝑛(𝐴1 × 𝐴2 × ⋯× 𝐴𝑡) = 𝑛(𝐴1)𝑛(𝐴2)⋯𝑛(𝐴𝑡). (1)

დებულება 1.2. ა) თუ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, მაშინ 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵).

ბ) თუ 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅, მაშინ 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵).

დამტკიცება პირდაპირ მიიღება გაერთიანებისა და თანაკვეთის განსაზღვრებიდან. □

აქაც, დებულება 1.2 შეიძლება განვაზოგადოთ სასრული რაოდენობა სიმრავლეებისა-თვის. კერძოდ, თუ 𝐴1,𝐴2, … ,𝐴𝑡 წყვილ-წყვილად თანაუკვეთი სიმრავლეებია (ე. ი. 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, როცა 𝑖 ≠ 𝑗), მაშინ

𝑛(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑡) = 𝑛(𝐴1) + 𝑛(𝐴2) + ⋯+ 𝑛(𝐴𝑡). (2)

იმ შემთხვევაში, როცა 𝑛 = 3 და სიმრავლეები არ არის წყვილ-წყვილად თანაუკვეთი, ფორმულას შემდეგი სახე აქვს:

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶). (3)

დებულება 1.3. თუ 𝑛(𝐴) = 𝑘, 𝑛(𝐵) = 𝑚, მაშინ 𝑛�𝑀(𝐴,𝐵)� = 𝑚𝑘 .

დამტკიცება. ვთქვათ, 𝐴 = {𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑘}, 𝐵 = {𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑚}. მაშინ ნებისმიერი 𝑓 ∈ 𝑀(𝐴,𝐵) ასახვა განსაზღვრულია, თუ ცნობილია 𝑓(𝑎1),𝑓(𝑎2), … , 𝑓(𝑎𝑘) ∈ 𝐵. ამიტომ ნებისმიერი 𝑓 ასახვა შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ, როგორც �𝑓(𝑎1),𝑓(𝑎2), … ,𝑓(𝑎𝑘)� = �𝑏𝑖1 ,𝑏𝑖2 , … , 𝑏𝑖𝑘� სტრიქონი, რო-მელიც 𝐵𝑘 სიმრავლის ელემენტია, ე. ი. არსებობს ბიექცია 𝑀(𝐴,𝐵) →� 𝐵𝑘 , ამიტომ (1) ფორმუ-

ლის თანახმად, 𝑛�𝑀(𝐴,𝐵)� = 𝑛�𝐵𝑘� = �𝑛(𝐵)�𝑘 = 𝑚𝑘 . □

ახლა ამოვხსნათ ძირითადი ამოცანები. ჯერ განვიხილოთ მეორე ამოცანა.

ვთქვათ, 𝐴 = {𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑘}, 𝐵 = {𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑚} და 𝑘 ≤ 𝑚. ავაგოთ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ჩადგმა. 𝑓(𝑎1) ელემენტი შეგვიძლია ავირჩიოთ ნებისმიერად 𝐵 = 𝐵0 სიმრავლიდან. ვთქვათ, 𝑓(𝑎1) = 𝑏𝑖1 . რად-


45

გან 𝑓 ჩადგმაა 𝑓(𝑎2) ≠ 𝑓(𝑎1), ამიტომ 𝑓(𝑎2) შეგვიძლია ავირჩიოთ 𝐵0 ∖ �𝑏𝑖1� = 𝐵1 სიმრავლიდან. ვთქვათ, 𝑓(𝑎2) = 𝑏𝑖2 . ზუსტად ასევე, რადგან 𝑓 ჩადგმაა 𝑓(𝑎3) ≠ 𝑓(𝑎1), 𝑓(𝑎3) ≠ 𝑓(𝑎2), ამიტომ 𝑓(𝑎3) შეგვიძლია ავირჩიოთ 𝐵1 ∖ �𝑏𝑖2� = 𝐵0 ∖ �𝑏𝑖1 , 𝑏𝑖2� = 𝐵2 სიმრავლიდან და ა. შ. თუ 𝑓(𝑎𝑘−1) =𝑏𝑖𝑘−1 , მაშინ 𝑓(𝑎𝑘) შეგვიძლია ავირჩიოთ 𝐵𝑘−2 ∖ �𝑏𝑖𝑘−1� = 𝐵0 ∖ �𝑏𝑖1 ,𝑏𝑖2 , … , 𝑏𝑖𝑘−1� = 𝐵𝑘−1 სიმრავლი-დან. ახლა ისევე, როგორც დებულება 1.3-ის დამტკიცების დროს, ჩვენ შეგვიძლია ავაგოთ ბიექ-ცია 𝐸(𝐴,𝐵) →� 𝐵0 × 𝐵1 × ⋯× 𝐵𝑘−1 და ამიტომ 𝑛�𝐸(𝐴,𝐵)� = 𝑛(𝐵0 × 𝐵1 × ⋯× 𝐵𝑘−1). იოლი შესამ-ჩნევია, რომ 𝑛(𝐵𝑡) = 𝑚− 𝑡, 𝑡 = 0,1, … ,𝑘 − 1. ამ ფაქტის გათვალისწინებით, (1) ფორმულიდან მი-ვიღებთ 𝑛�𝐸(𝐴,𝐵)� = 𝑚(𝑚− 1)⋯ (𝑚− 𝑘 + 1).

კომბინატორიკაში როცა 𝐴 ⊆ 𝐵, ნებისმიერ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ჩადგმას უწოდებენ 𝒎 ელემენტიდან 𝒌 ელემენტიან წყობას. ასეთ წყობათა რაოდენობას 𝐴𝑚𝑘 სიმბოლოთი აღნიშნავენ. ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ ფორმულა:

𝑨𝒎𝒌 = 𝒎(𝒎−𝟏)⋯ (𝒎−𝒌 + 𝟏). (4)

მიღებულია 𝐴𝑚𝑘 სიდიდისათვის ფორმულის სხვა ფორმით ჩაწერა. კერძოდ

𝐴𝑚𝑘 = 𝑚(𝑚 − 1)⋯ (𝑚− 𝑘 + 1) =𝑚(𝑚 − 1)⋯ (𝑚 − 𝑘 + 1)(𝑚− 𝑘)⋯2 ⋅ 1

(𝑚− 𝑘)⋯2 ⋅ 1=

𝑚!(𝑚 − 𝑘)!

.

პირველი ამოცანა წარმოადგენს მეორე ამოცანის კერძო შემთხვევას და შეესაბამება ვარი-ანტს, როცა 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐵). ამიტომ თუ 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐵) = 𝑚, მაშინ (4) ფორმულიდან მივიღებთ, რომ 𝐴 →� 𝐵 ბიექციათა რაოდენობაა 𝐴𝑚𝑚 = 𝑚(𝑚 − 1)⋯2 ⋅ 1 = 𝑚!.

თუ 𝐵 = 𝐴, კომბინატორიკაში 𝐴 →� 𝐴 ბიექციას 𝐴 სიმრავლის ელემენტთა გადანაცვლებას, ან უბრალოდ გადანაცვლებას უწოდებენ. გადანაცვლებათა რაოდენობას 𝑃𝑚 სიმბოლოთი აღ-ნიშნავენ. ამრიგად, გვაქვს ფორმულა:

𝑷𝒎 = 𝒎!. (5)

ახლა განვიხილოთ მესამე ამოცანა. ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 რაიმე ჩადგმაა. განვიხილოთ ასა-ხვა: 𝑓̅ ∶ 𝐴 → Im𝑓, რომელიც 𝑓̅(𝑎) = 𝑓(𝑎), 𝑎 ∈ 𝐴 ტოლობით განისაზღვრება. რადგან 𝑛(𝐴) = 𝑘 =𝑛(Im𝑓), ამიტომ 𝑓̅ ბიექციაა. ცხადია, თუ 𝑓~𝑓1, მაშინ 𝑓1̅ ასევე 𝐴 →� Im𝑓 ბიექცია იქნება. ამი-ტომ [𝑓] კლასში ელემენტთა რაოდენობა იგივეა, რაც 𝐴 →� Im𝑓 ბიექციათა რაოდენობა. პირველი ამოცანის თანახმად, [𝑓] კლასში იქნება 𝑃𝑘 = 𝑘! ელემენტი. ცხადია, ყველა ეკვივალენტობის კლასში ელემენტთა რაოდენობები ერთნაირია. მეორე ამოცანის თანახმად, 𝑛�𝐸(𝐴,𝐵)� = 𝐴𝑚𝑘 . ეკ-ვივალენტობის კლასები წყვილ-წყვილად თანაუკვეთი სიმრავლეებია. ამიტომ (2) ფორმულის თანახმად,

�𝑛�𝐸(𝐴,𝐵)� = 𝑛(𝐸(𝐴,𝐵)/~) ⋅ 𝑘!� ⇒ �𝑛(𝐸(𝐴,𝐵)/~) =𝑛�𝐸(𝐴,𝐵)�

𝑘!=𝐴𝑚𝑘

𝑘!=

𝑚!𝑘! (𝑚− 𝑘)!

�.

კომბინატორიკაში 𝑚 ელემენტიანი სიმრავლის ნებისმიერ 𝑘 ელემენტიან ქვესიმრავლეს, 𝒎 ელემენტიდან 𝒌 ელემენტიან ჯუფთებას უწოდებენ. ჯუფთებათა რაოდენობას 𝐶𝑚𝑘 სიმბოლო-თი აღნიშნავენ. ამრიგად, გვაქვს ფორმულა:

𝑪𝒎𝒌 =𝒎!

𝒌! (𝒎− 𝒌)! . (6)

ახლა დავუბრუნდეთ თავის დასაწყისში მოყვანილ მაგალითებს.


46

ა) (5) ფორმულის თანახმად, 3 სტუდენტი 3 სკამზე შეიძლება დავსვათ 𝑃3 = 6 გზით.

ბ) (4) ფორმულის თანახმად, 3 სტუდენტი 5 სკამზე შეიძლება დავსვათ 𝐴53 = 60 გზით.

გ) (6) ფორმულის თანახმად, 3 სკამი 5-დან შეიძლება ავირჩიოთ 𝐶53 = 10 გზით.

განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1.1. რამდენი სამ ციფრიანი რიცხვი შეიძლება შევადგინოთ 1,2,3,4,5,6 ციფრე-ბით, თუ რიცხვის ციფრები განსხვავებულია?

ვთქვათ, 𝑎𝑏𝑐�� სამ ციფრიანი რიცხვია. პირობის თანახმად, 𝑎, 𝑏 და 𝑐 წყვილ-წყვილად გან-სხვავებულია. ცხადია, კონკრეტული რიცხვის დასაწერად, უნდა ავაგოთ ჩადგმა 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} სი-მრავლისა 𝐵 = {1,2,3,4,5,6} სიმრავლეში. ამიტომ ეს მაგალითი მეორე ტიპის ამოცანაა და საძიე-ბელი რიცხვების რაოდენობა იქნება 𝐴63 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120.

მაგალითი 1.2. რამდენი გზით შეიძლება დავაყენოთ ოთხი ადამიანი მწკრივში?

აქ ცხადია, საქმე გვაქვს ოთხ ელემენტიანი სიმრავლის გადანაცვლებებთან, ამიტომ საძი-ებელი რაოდენობაა: 𝑃4 = 24.

მაგალითი 1.3. პარტიის ყრილობას ესწრება 100 დელეგატი. რამდენი გზით შეიძლება აირჩიონ პარტიის კომიტეტი, რომელიც 5 წევრისაგან შედგება?

ამ შემთხვევაში უნდა ავირჩიოთ 100 ელემენტიანი სიმრავლის რაიმე 5 ელემენტიანი ქვესიმრავლე. ე. ი. საქმე გვაქვს მესამე ტიპის ამოცანასთან და შესაბამისად, გვექნება 𝐶1005 =75 287 520 არჩევანი.

ჯუფთებათა რაოდენობას აქვს ორი მარტივი თვისება, რომლებიც პირდაპირ მიიღება (6) ფორმულიდან. კერძოდ

ა) 𝐶𝑚𝑘 = 𝐶𝑚𝑚−𝑘; ბ) 𝐶𝑚+1𝑘+1 = 𝐶𝑚𝑘 + 𝐶𝑚𝑘+1. (7)

2. ნიუტონის ბინომი. პასკალის სამკუთხედი. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

მაგალითი 1.4. ვიპოვოთ (𝑎 + 𝑏)4 გაშლა.

განსაზღვრის თანახმად, (𝑎 + 𝑏)4 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏). გადამრავლების შედე-გად მიღებულ გამოსახულებაში თითოეული ერთწევრი მიიღება (𝑎 + 𝑏) თანამამრავლში 𝑎 ან 𝑏 წევრის არჩევით და არჩეული წევრების გადამრავლებით. მაგალითად, 𝑏4 მიიღება ყველა თანა-მამრავლში 𝑏 წევრის არჩევით. თუ პირველი თანამამრავლიდან ავირჩევთ 𝑎 წევრს, ხოლო და-ნარჩენებიდან 𝑏 წევრს, მივიღებთ 𝑎𝑏3-ს. იმისათვის, რომ დავადგინოთ 𝑎𝑏3 ერთწევრის კოე-ფიციენტი, საჭიროა გავიგოთ, რამდენი გზით შეიძლება ოთხი თანამამრავლიდან ერთი 𝑎 წევ-რის და სამი 𝑏 წევრის არჩევა. მაგრამ ეს 4 ელემენტიანი სიმრავლის 3 ელემენტიან ჯუფთებათა რაოდენობაა. ე. ი. 𝑎𝑏3 ერთწევრის კოეფიციენტია 𝐶43. ჩატარებული მსჯელობის შედეგად შეგვი-ძლია დავწეროთ:

(𝑎 + 𝑏)4 = 𝐶40𝑎4 + 𝐶41𝑎3𝑏 + 𝐶42𝑎2𝑏2 + 𝐶43𝑎𝑏3 + 𝐶44𝑏4.

ამ ფორმულის განზოგადებით ვღებულობთ:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝐶𝑛0𝑎𝑛 + 𝐶𝑛1𝑎𝑛−1𝑏 + 𝐶𝑛2𝑎𝑛−2𝑏2 + ⋯+ 𝐶𝑛𝑛𝑏𝑛. (8)

(8) ფორმულას ნიუტონს ბინომს უწოდებენ, მის მარჯვენა მხარეს ბინომურ გაშლას, ხო-ლო კოეფიციენტებს − ბინომურ კოეფიციენტებს.


47

მაგალითი 1.5. ვიპოვოთ (2𝑥 − 3𝑦)5 გაშლაში 𝑥2𝑦3 ერთწევრის კოეფიციენტი.

(8) ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:

𝐶52(2𝑥)2(−3𝑦)3 =5!

2! 3!⋅ 22 ⋅ (−3)3 ⋅ 𝑥2𝑦3 = −1080𝑥2𝑦3,

ამიტომ 𝑥2𝑦3 ერთწევრის კოეფიციენტია −1080.

შევადგინოთ შემდეგი დიაგრამა:

𝐶00 𝐶10 𝐶11 𝐶20 𝐶21 𝐶22 𝐶30 𝐶31 𝐶32 𝐶33 𝐶40 𝐶41 𝐶42 𝐶43 𝐶44 ⋮ ⋯ 𝐶𝑚𝑘 𝐶𝑚𝑘+1 ⋯ ⋯ 𝐶𝑚+1

𝑘+1 ⋯

ამ დიაგრამას, პასკალის სამკუთხედს უწოდებენ. თუ გავითვალისწინებთ (7) ბ) ფორმუ-ლას, იოლად დავადგენთ, რომ დიაგრამის ნებისმიერ სტრიქონში, დაწყებული მესამედან, სტრიქონის თითოეული ელემენტი, კიდურა ელემენტების გარდა, წარმოადგენს უშუალოდ მის ზემოთ მდგომი ორი ელემენტის ჯამს. მაგალითად, 𝐶21 = 𝐶10 + 𝐶11, 𝐶43 = 𝐶32 + 𝐶33 . გარდა ამისა (𝑛 + 1)-ე სტრიქონის ელემენტები წარმოადგენენ (𝑎 + 𝑏)𝑛-ის ბინომური გაშლის კოეფიციენ-ტებს. მაგალითად, (𝑎 + 𝑏)3 = 𝐶30𝑎3 + 𝐶31𝑎2𝑏 + 𝐶32𝑎𝑏2 + 𝐶33𝑏3, ხოლო შესაბამისი კოეფიციენტები მეოთხე სტრიქონშია განლაგებული.

პასკალის სამკუთხედს, გამოთვლილი ელემენტებით, შემდეგი სახე აქვს:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ⋯⋯⋯

48

§2. ზოგიერთი სხვა ამოცანის შესახებ

1. ვთქვათ, 𝐴 და 𝐵 რაიმე სიმრავლეებია. 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐵) = 𝑚 და 𝑃 = {𝐴1,𝐴2, … ,𝐴𝑘} არის 𝐴 სიმრავლის რაიმე დაყოფა. ყველა 𝐴 →� 𝐵 ბიექციათა სიმრავლეზე შემოვიღოთ ~ მიმართება შემდეგი წესით: 𝑓1~𝑓2, თუ 𝑓1(𝐴𝑖) = 𝑓2(𝐴𝑖), 𝑖 = 1, 2, … ,𝑘. იოლად დავრწმუნდებით, რომ ეს ეკვივალენტობის მიმართებაა, ამიტომ 𝐴 →� 𝐵 ბიექციათა სიმრავლე დაიყოფა ეკვივალენტობის კლასებად. რამდენი ეკვივალენტობის კლასი მიიღება?

ნებისმიერი 𝑓 ∶ 𝐴 →� 𝐵 ბიექცია შეიძლება ჩავწეროთ 𝑓 = �𝑓|𝐴1 ,𝑓|𝐴2 , … ,𝑓|𝐴𝑘� სტრიქონის სახით, სადაც თითოეული 𝑓|𝐴𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,𝑘, ასევე ბიექციაა. ამიტომ [𝑓] ეკვივალენტობის კლას-ში შემავალი თითოეული ელემენტი შეგვიძლია განვიხილოთ, როგორც 𝑋1 × 𝑋2 × ⋯× 𝑋𝑘 სი-მრავლის ელემენტი, სადაც 𝑋𝑖 არის 𝐴𝑖 →� Im�𝑓|𝐴𝑖�, 𝑖 = 1,2, … ,𝑘 ბიექციათა სიმრავლე. თუ 𝑛(𝐴𝑖) = 𝑚𝑖 , მაშინ (5) ფორმულის თანახმად, 𝑛(𝑋𝑖) = 𝑚𝑖!, ხოლო (1) ფორმულის თანახმად, 𝑛(𝑋1 × 𝑋2 × ⋯× 𝑋𝑘) = 𝑚1!𝑚2!⋯𝑚𝑘!. ამრიგად, თითოეული ეკვივალენტობის კლასი შედგება 𝑚1!𝑚2!⋯𝑚𝑘! ელემენტისაგან. ეკვივალენტობის კლასები წყვილ-წყვილად თანაუკვეთი სიმრა-ვლეებია. 𝐴 →� 𝐵 ბიექციათა რაოდენობა, კვლავ (5) ფორმულის თანახმად, 𝑚! იქნება. თუ ეკვი-ვალენტობის კლასთა რაოდენობაა 𝑥, მაშინ (2) ფორმულის თანახმად, 𝑥 ⋅ 𝑚1!𝑚2!⋯𝑚𝑘! = 𝑚!,

𝑥 =𝑚!

𝑚1!𝑚2!⋯𝑚𝑘! . (9)

ეს ამოცანა ეკვივალენტურია შემდეგის: რამდენნაირად შეიძლება დავყოთ 𝑚 ელემენტი-ანი სიმრავლე 𝑘 კლასად ისე, რომ დაყოფის შედეგად მიღებული კლასები შეიცავდნენ შესაბამი-სად, 𝑚1,𝑚2, … ,𝑚𝑘 ელემენტს?

მაგალითი 2.1. რამდენნაირად შეიძლება გავანაწილოთ 12 სტუდენტი 3 ჯგუფში ისე, რომ ერთ ჯგუფში იყოს 6, ხოლო დანარჩენებში სამ-სამი სტუდენტი?

(9) ფორმულის გამოყენებით, გვექნება:

12!

6! 3! 3!= 18480.

მაგალითი 2.2. რა იქნება (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥𝑘)𝑚-ის გაშლაში 𝑥1𝑚1𝑥2

𝑚2 ⋯𝑥𝑘𝑚𝑘 ერთწევრის კო-

ეფიციენტი?

ხარისხის განსაზღვრის თანახმად, გვაქვს:

(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥𝑘)𝑚 = (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥𝑘)(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥𝑘)⋯ (𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑘)��𝑚-ჯერ

.

𝑥1𝑚1𝑥2

𝑚2 ⋯𝑥𝑘𝑚𝑘 ერთწევრი მიიღება, თუ 𝑚1 რაოდენობის თანამამრავლში ავირჩევთ 𝑥1

წევრს, 𝑚2 რაოდენობის თანამამრავლში ავირჩევთ 𝑥2 წევრს და ა. შ. ე. ი. 𝑚 ელემენტიანი სიმრა-ვლე უნდა დავყოთ ისე, რომ დაყოფის შედეგად მიღებული სიმრავლეები შეიცავდნენ შესაბამი-სად, 𝑚1,𝑚2, … ,𝑚𝑘 ელემენტს. ამიტომ (9) ფორმულის თანახმად, საძიებელი კოეფიციენტია:

𝑚!

𝑚1!𝑚2!⋯𝑚𝑘! .

2. ვთქვათ, 𝐴 = {𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚}, 𝐵 = {𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑘}. 𝑀(𝐴,𝐵) სიმრავლეზე შემოვიღოთ ~ მი-

მართება შემდეგი წესით: 𝑓1~𝑓2, თუ 𝑛�𝑓1−1(𝑏𝑖)� = 𝑛 �𝑓2−1(𝑏𝑖)� , 𝑖 = 1, 2, … ,𝑘. ადვილი შესამოწმე-

§2. ზოგიერთი სხვა ამოცანის შესახებ

49

ბელია, რომ ეს ეკვივალენტობის მიმართებაა, ამიტომ 𝑀(𝐴,𝐵) სიმრავლე დაიყოფა ეკვივალენ-ტობის კლასებად. რამდენი ეკვივალენტობის კლასი მიიღება?

მივიღებთ იმდენ კლასს, რამდენი გზითაც შეიძლება 𝐴 სიმრავლე წარმოვადგინოთ 𝑘 წყვილ-წყვილად თანაუკვეთი სიმრავლის გაერთიანების სახით. ამასთან ∅ შეიძლება რამდენი-მეჯერ გავიმეოროთ.

𝐴 სიმრავლის ელემენტები ჩავწეროთ 𝑎𝑖1 ,𝑎𝑖2 , … ,𝑎𝑖𝑚 სტრიქონის სახით. პირობის თანა-ხმად, ეს სტრიქონი უნდა დავყოთ 𝑘 ნაწილად ისე, რომ პირველ ნაწილში იყოს 𝑓−1(𝑏1) სიმრავ-ლის ელემენტები, მეორეში 𝑓−1(𝑏2) სიმრავლის და ა. შ. კონკრეტულად რომელი ელემენტებია, არ გვაინტერესებს. გვაინტერესებს მათი რაოდენობები. დაყოფისათვის გამოვიყენოთ „ | “ სიმ-ბოლოები. ცხადია, დაგვჭირდება 𝑘 − 1 ასეთი სიმბოლო. მაშინ, სტრიქონი მიიღებს შემდეგ სა-ხეს: 𝑎… |𝑎… | … | …𝑎. ეს ნიშნავს, რომ 𝑚 + 𝑘 − 1 ადგილიდან უნდა შევარჩიოთ 𝑘 − 1 ადგილი „ | “ სიმბოლოების განსათავსებლად. ანუ უნდა ავარჩიოთ 𝑚 + 𝑘 − 1 ელემენტიანი სიმრავლის 𝑘 − 1 ელემენტიანი ქვესიმრავლე. ეს კი 𝑚 + 𝑘 − 1 ელემენტიდან 𝑘 − 1 ელემენტიანი ჯუფთებაა და მათი რაოდენობაა

𝐶𝑚+𝑘−1𝑘−1 = 𝐶𝑚+𝑘−1

𝑚 . (10)

მაგალითი 2.3. თევზის მაღაზიაში იყიდება 5 სხვადასხვა სახეობის თევზი. რამდენნაი-რად შეიძლება ვიყიდოთ 2 თევზი?

ამოცანის პირობის თანახმად, ორელემენტიანი სიმრავლე უნდა წარმოვადგინოთ წყვილ-წყვილად თანაუკვეთი 𝟓 სიმრავლის გაერთიანების სახით. თითოეულ სიმრავლეში იმდენი ელემენტი იქნება რამდენ შესაბამისი სახეობის თევზსაც ავირჩევთ. ცხადია, მათ შორის ცარიე-ლი სიმრავლეებიც იქნება. (10) ფორმულის თანახმად, არჩევანთა რაოდენობაა 𝐶64 = 15.

მაგალითი 2.4. ყუთში მოთავსებულია 15 წითელი, 15 შავი და 15 მწვანე ბურთი. რამ-დენნაირად შეიძლება ავარჩიოთ ყუთიდან 10 ბურთი?

ყუთში სულ სამი სხვადასხვა ფერის ბურთია. ამიტომ ამოცანის პირობის მიხედვით, ათ ელემენტიანი სიმრავლე უნდა წარმოვადგინოთ სამი სიმრავლის გაერთიანების სახით და გვაინ-ტერესებს რამდენი გზით შეგვიძლია ამის გაკეთება. (10) ფორმულის თანახმად, არჩევანთა რაო-დენობაა 𝐶122 = 66.

50

სავარჯიშოები II თავისათვის

𝟏.𝟏. 50 სტუდენტიდან 39 სწავლობს ინგლისურს, 24 − გერმანულს, 7 სტუდენტი არ სწავ-ლობს არცერთს ამ ენებიდან. რამდენი სტუდენტი სწავლობს ორივე ენას?

𝟏.𝟐. საქართველოს ერთ-ერთი ქალაქის მცხოვრებთა 87%-მა იცის ქართული ენა, რუსული − 36%-მა, ორივე ეს ენა იცის 32%-მა. დაადგინეთ ამ ქალაქის მცხოვრებთა რამდენმა პროცენტმა არ იცის არცერთი ეს ენა.

𝟏.𝟑. 120 სტუდენტიდან ინგლისური ენა იცის 67-მა, გერმანული ენა − 35-მა, ფრანგული ენა − 33-მა. ერთდროულად ინგლისური და გერმანული ენები იცის 15-მა, გერმანული და ფრანგული ენები იცის 7-მა, სამივე ენა იცის 4-მა. არცერთი ამ ენებიდან არ იცის 17-მა. დაადგინეთ რამდენ-მა სტუდენტმა იცის ინგლისური და ფრანგული ენები.

𝟏.𝟒. 110 სტუდენტიდან 26 ჩართულია მათემატიკის სამეცნიერო წრის მუშაობაში, 28 − ფიზი-კის, 55 − ინფორმატიკის. მათემატიკისა და ფიზიკის სამეცნიერო წრის მუშაობაში ჩართულია 11 სტუდენტი, მათემატიკისა და ინფორმატიკის − 17, ფიზიკისა და ინფორმატიკის − 8. სამივე წრის მუშაობაში ჩართულია 2 სტუდენტი. დაადგინეთ რამდენი სტუდენტი არ არის ჩართული არცერთი წრის მუშაობაში.

𝟏.𝟓. რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება შევადგინოთ სია 10 სტუდენტისაგან?

𝟏.𝟔. სამშაბათობით სტუდენტს ლექცია აქვს 3 საგანში. ცხრილის შედგენის რამდენი ვარიანტი არსებობს სამშაბათისათვის.

𝟏.𝟕. რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება დავსვათ ერთმანეთის გვერდით 9 ადამიანი ა) გრძელი მაგიდის ერთ მხარეს? ბ) მრგვალ მაგიდასთან?

𝟏.𝟖. აზარტული თამაშების მრგვალ მაგიდასთან 7 დანომრილი ადგილია. რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება დავსვათ 7 ადამიანი ამ მაგიდასთან?

𝟏.𝟗. იპოვეთ ციფრთა ჯამი ყველა იმ ოთხნიშნა რიცხვისა, რომლებიც შედგენილია ციფრებით 1, 2, 3, 4 და რიცხვებში ციფრები არ მეორდება.

𝟏.𝟏𝟎. რამდენი სხვადასხვა ხუთნიშნა რიცხვის შედგენა შეიძლება 0, 1, 2, 3, 4 ციფრების საშუა-ლებით, თუ რიცხვებში ციფრები არ მეორდება?

𝟏.𝟏𝟏. მრგვალი მაგიდის გარშემო 10 ადგილია. რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება დავსვათ 3 ადამიანი ამ მაგიდასთან?

𝟏.𝟏𝟐. ტურისტულ ფირმას აქვს მხოლოდ 3 ერთმანეთისაგან განსხვავებული საგზური, ხოლო მსურველთა რიცხვი კი შვიდია. საგზურების განაწილების რამდენი ვარიანტია?

𝟏.𝟏𝟑. რამდენი ხერხით შეიძლება ოთხი კაცის არჩევა ოთხ სხვადასხვა თანამდებობაზე, თუ ამ თანამდებობების კანდიდატთა რიცხვია 9?

𝟏.𝟏𝟒. აკადემიური ჯგუფი სწავლობს 8 საგანს. ერთი დღის სასწავლო ცხრილის შედგენის რამ-დენი ვარიანტი არსებობს, თუ დღეში სამი სხვადასხვა საგანი ისწავლება?

𝟏.𝟏𝟓. სტუდენტმა უნდა ჩააბაროს 4 გამოცდა 7 დღეში. რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება შევადგინოთ გამოცდების ცხრილი, თუ ერთ დღეს ინიშნება მხოლოდ ერთი გამოცდა?


51

𝟏.𝟏𝟔. სტუდენტმა 7 დღეში უნდა ჩააბაროს 4 გამოცდა: ინგლისურში, ინფორმატიკაში, ფილო-სოფიასა და მათემატიკაში. გამოცდა მათემატიკაში უნდა დაინიშნოს ბოლო დღეს. რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება შევადგინოთ გამოცდების ცხრილი, თუ ერთ დღეს ინიშნება მხო-ლოდ ერთი გამოცდა?

𝟏.𝟏𝟕. სტუდენტმა უნდა ჩააბაროს 5 გამოცდა 9 დღეში. რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება შევადგინოთ გამოცდების ცხრილი, თუ ერთ-ერთი გამოცდა უნდა დაინიშნოს მეშვიდე დღეს და ერთ დღეს ინიშნება მხოლოდ ერთი გამოცდა?

𝟏.𝟏𝟖. სტუდენტმა უნდა ჩააბაროს 3 გამოცდა 7 დღეში. რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება შევადგინოთ გამოცდების ცხრილი, თუ ერთ-ერთი გამოცდა უნდა დაინიშნოს მეხუთე დღეს და ერთ დღეს ინიშნება მხოლოდ ერთი გამოცდა?

𝟏.𝟏𝟗. რამდენი ხერხით შეიძლება მოჭადრაკეთა გუნდისათვის 5 კანდიდატიდან 3-ის შერჩევა?

𝟏.𝟐𝟎. რამდენი ხერხით შეიძლება 8 კანდიდატიდან 3 კაციანი კომისიის შედგენა?

𝟏.𝟐𝟏. პურის ქარხანა აცხობს 7 სახეობის პურს და დამზადებულ პროდუქტს ყოველდღიურად აწვდის მაღაზიას. მაღაზია ყოველდღიურად იღებს მხოლოდ 4 სხვადასხვა სახეობის პურს. რამდენი ხერხით შეიძლება ამის გაკეთება?

𝟏.𝟐𝟐. ღვინის ქარხანა აწარმოებს 10 სახის ღვინოს და ყოველთვიურად აწვდის მაღაზიას. რამ-დენი ხერხით შეიძლება მიეწოდოს ღვინო მაღაზიას, თუ სავაჭრო ობიექტი იღებს მხოლოდ 3 სახის ღვინოს?

𝟏.𝟐𝟑. რამდენი ელემენტისაგან შეიძლება შევადგინოთ: ა) 72 ორელემენტიანი წყობა; ბ) 55 ორელემენტიანი ჯუფთება?

𝟏.𝟐𝟒. რამდენი ელემენტისაგან შეიძლება შევადგინოთ: ა) 56 ორელემენტიანი წყობა; ბ) 45 ორელემენტიანი ჯუფთება?

𝟏.𝟐𝟓. ტურისტულ ფირმას აქვს მხოლოდ 3 ერთნაირი ტიპის საგზური, ხოლო მსურველია 9. სა-გზურების განაწილების რამდენი ვარიანტი არსებობს?

𝟏.𝟐𝟔. დაწესებულებაში არის ვაკანსია ოთხ ერთნაირ თანამდებობაზე, ხოლო მსურველთა რი-ცხვია 10. მსურველთა მიერ თანამდებობათა დაკავების რამდენი ვარიანტი არსებობს?

𝟏.𝟐𝟕. რამდენი ხერხით შეიძლება 17 სტუდენტისაგან შედგენილი ჯგუფის ორ ჯგუფად გაყოფა ისე, რომ ერთ-ერთ ჯგუფში ექვსი სტუდენტი იყოს?

𝟏.𝟐𝟖. რამდენი ხერხით შეიძლება 11 ადამიანისაგან შედგენილი ჯგუფის ორ ჯგუფად გაყოფა ისე, რომ ერთ-ერთ ჯგუფში ხუთი ადამიანი იყოს?

𝟏.𝟐𝟗. წრეწირზე მოცემულია 10 წერტილი. რამდენი ისეთი სამკუთხედი არსებობს, რომელთა წვეროები ამ წერტილებს ემთხვევა?

𝟏.𝟑𝟎. წრეწირზე აღებულია 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐸 და 𝐹 წერტილები. რამდენი ისეთი სამკუთხედი არსე-ბობს, რომელთა ერთ-ერთი წვერო 𝐵 წერტილია, ხოლო ორი წვერო მოცემულ წერტილთაგა-ნია?

𝟏.𝟑𝟏. რამდენი განსხვავებული წყვილის შედგენა შეიძლება 10 ვაჟისა და 7 გოგონასაგან სპორ-ტული ცეკვების კონკურსისათვის?


52

𝟏.𝟑𝟐. საგამოცდო კომისიაში 8 მათემატიკოსი, 7 ფიზიკოსი და 5 ქიმიკოსია. რამდენი სამკაციანი ჯგუფი შეიძლება შეიქმნას მათგან ისე, რომ თითოეულ ჯგუფში იყოს 1 მათემატიკოსი, 1 ფიზი-კოსი და 1 ქიმიკოსი?

𝟏.𝟑𝟑. ქვეგანაყოფში 12 ჯარისკაცი და 4 ოფიცერია. რამდენი ხერხით შეიძლება 5 ჯარისკაცისა და 2 ოფიცრისაგან შედგენილი რაზმის გამოყოფა?

𝟏.𝟑𝟒. მოციგურავეთა სექციაში 9 ბიჭი და 6 გოგო ვარჯიშობს. რამდენი ხერხით შეიძლება მათგან 4 ბიჭისა და 4 გოგოსგან შედგენილი გუნდის გამოყოფა?

𝟏.𝟑𝟓. იპოვეთ იმ ორნიშნა რიცხვების რაოდენობა, რომელთა ორივე ციფრი ლუწია.

𝟏.𝟑𝟔. იპოვეთ იმ ორნიშნა რიცხვების რაოდენობა, რომელთა ორივე ციფრი კენტია.

𝟏.𝟑𝟕. 115 სტუდენტიდან თითოეულმა იცის ინგლისური, გერმანული და ფრანგული ენებიდან ერთი მაინც. ინგლისური ან გერმანული იცის 87 სტუდენტმა, ინგლისური ან ფრანგული − 75-მა, ხოლო გერმანული ან ფრანგული − 78-მა. რამდენი სამკაციანი ჯგუფის შედგენა შეიძლება ისე, რომ თითოეულ ჯგუფში: ა) ერთმა სტუდენტმა იცოდეს მხოლოდ ინგლისური, ერთმა მხო-ლოდ გერმანული და ერთმა მხოლოდ ფრანგული? ბ) ერთმა სტუდენტმა იცოდეს მხოლოდ ინ-გლისური და ორმა მხოლოდ გერმანული? გ) სამივემ იცოდეს მხოლოდ ფრანგული?

𝟏.𝟑𝟖. სპორტულ შეჯიბრებებში მონაწილე 60 სტუდენტიდან ფეხბურთის თამაში შეუძლია 40-ს, კალათბურთის − 27-ს, ფრენბურთის − 22-ს. ფეხბურთისა და კალათბურთის თამაში შეუძლია 15 სტუდენტს, ფეხბურთისა და ფრენბურთის − 9-ს, ხოლო კალათბურთისა და ფრენბურთის − 10-ს. რამდენი სამკაციანი ჯგუფის შედგენა შეიძლება ამ სტუდენტებისაგან ისე, რომ თითოე-ულ ჯგუფში იყოს: ა) ერთი სტუდენტი, რომელიც თამაშობს ფეხბურთსაც და კალათბურთსაც, ერთი სტუდენტი − კალათბურთსაც და ფრენბურთსაც და ერთი სტუდენტი − ფეხბურთსაც და ფრენბურთსაც? ბ) ერთი თამაშობს მხოლოდ ფეხბურთს და დანარჩენი ორი − კალათბურთსაც და ფრენბურთსაც? გ) ერთი თამაშობს მხოლოდ ფეხბურთს, ერთი თამაშობს მხოლოდ კალათ-ბურთს და ერთი თამაშობს მხოლოდ ფრენბურთს?

𝟏.𝟑𝟗. ბანკში ორი სხვადასხვა სახის კრედიტია. რამდენი ვარიანტია ამ კრედიტების 5 ადამიან-ზე განაწილების?

𝟏.𝟒𝟎. ბანკში სამი სხვადასხვა სახის კრედიტია. რამდენი ვარიანტია ამ კრედიტების 7 ადამიან-ზე განაწილების?

𝟏.𝟒𝟏. წიგნების თაროზე დევს ექვსტომეული. რამდენი გზით შეიძლება ამ წიგნთა განთავსება თაროზე ისე, რომ მე-2 და მე-3 ტომები ერთმანეთის გვერდით არ აღმოჩნდნენ?

𝟏.𝟒𝟐. 5 მეგობარს, რომელთა შორის 3 ვაჟია და 2 გოგონა, აქვს კინოთეატრის ბილეთები პარტე-რის ერთ რიგში. რამდენნაირად შეუძლიათ განლაგდნენ ისინი ამ რიგში ისე, რომ გოგონები ერთმანეთის გვერდით არ აღმოჩნდნენ?

𝟏.𝟒𝟑. ორმა ფოსტალიონმა უნდა დაურიგოს 12 წერილი 12 ადრესატს. რამდენი გზით შეიძ-ლება გაინაწილონ მათ ეს სამუშაო? (დასაშვებია ის ვარიანტიც, რომ ერთ-ერთმა დაარიგოს ყველა წერილი).

𝟏.𝟒𝟒. ორ მუშას დავალებული აქვს 9 ნერგის დარგვა. რამდენი გზით შეიძლება გაინაწილონ მათ ეს სამუშაო? (დასაშვებია ის ვარიანტიც, რომ მთელი სამუშაო შეასრულოს ერთ-ერთმა მუშამ).

𝟏.𝟒𝟓. 8 გოგონა და 6 ვაჟი ჩოგბურთელისაგან უნდა შედგეს 4 შერეული წყვილი (ყოველი წყვი-ლი შედგება 1 ვაჟისა და 1 გოგონასაგან). რამდენი გზით არის შესაძლებელი ამის განხორციე-ლება?


53

𝟏.𝟒𝟔. ჭადრაკის სექციაში მეცადინეობს 6 გოგონა და 5 ვაჟი. მწვრთნელმა 3 სხვადასხვა შეჯიბრე-ბაზე უნდა გააგზავნოს 1 ვაჟისა და 1 გოგონასაგან შედგენილი თითო გუნდი. რამდენი გზით შეუძლია მას ასეთი გუნდების შედგენა?

𝟏.𝟒𝟕. 10 ადამიანისაგან შემდგარმა კრებამ უნდა აირჩიოს 5 კაციანი გუნდი, რომელიც შედგება 1 ხელმძღვანელის, 1 მდივნის და 3 დელეგატისაგან უცხოეთში გასამართ კონფერენციაზე დასა-სწრებად. რამდენნაირად შეიძლება ასეთი არჩევანის გაკეთება?

𝟏.𝟒𝟖. 10 ადამიანისაგან შედგენილ ჯგუფში უნდა გამოიყოს 6 წევრიანი ჯგუფი, რომელსაც ეყო-ლება ხელმძღვანელი, ხელმძღვანელის მოადგილე და 4 რიგითი წევრი. რამდენნაირად არის შე-საძლებელი ასეთი ჯგუფის შედგენა?

𝟏.𝟒𝟗. ჰოკეის გუნდი შედგება 2 მეკარის, 6 მცველის და 8 თავდამსხმელისაგან. რამდენი გზით შეუძლია მწვრთნელს სასტარტო ხუთეულის შედგენა, რომელიც შედგება მეკარის, ორი მცველის და სამი თავდამსხმელისაგან?

𝟏.𝟓𝟎. 5 ვარდის, 6 ტიტასა და 9 ყაყაჩოსაგან უნდა შედგეს თაიგული, რომელშიც იქნება 3 ვარდი, 4 ტიტა და 5 ყაყაჩო. რამდენი ასეთი თაიგულის შედგენა შეიძლება?

𝟏.𝟓𝟏. წიგნების თაროზე ძევს 7 თეთრყდიანი და 5 ცისფერყდიანი წიგნი. რამდენი გზით შეიძ-ლება მათი განლაგება თაროზე ისე, რომ თეთრყდიანი წიგნები ერთმანეთის გვერდით აღ-მოჩნდნენ?

𝟏.𝟓𝟐. მეგობრები, რომელთა შორის 5 ვაჟია და 4 გოგონა, უნდა განვათავსოთ თეატრის პარტერ-ში ისე, რომ გოგონები ერთმანეთის გვერდით აღმოჩნდნენ. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკე-თება?

54

თავი III. გრაფთა თეორიის ელემენტები

§1. გრაფი

1. შესავალი. განვიხილოთ ორი ამოცანა.

ამოცანა 1 (უ. ჰამილტონი). მოგზაურმა გადაწყვიტა 20 ქალაქის მონახულება და შეად-გინა სქემა, სადაც ყოველი წერტილი აღნიშნავდა ქალაქს, რომლის ნახვაც უნდოდა, ხოლო მონა-კვეთი კი გზას ორ ქალაქს შორის.

ნახ. 1

რომელი ქალაქიდან (წერტილიდან) უნდა გამოვიდეს მოგზაური, რომ მან ნახოს ყველა ქალაქი მხოლოდ ერთხელ და დაბრუნდეს იმავე ქალაქში, საიდანაც დაიწყო მოგზაურობა?

ამოცანა 2. მოცემულია ოთხი ქალაქის და მათ შორის გზების სქემა:

ნახ. 2

შეიძლება თუ არა მოვნახოთ ისეთი ქალაქი (წერტილი) და ისეთი მარშრუტი, რომ ყველა გზა გავიაროთ მხოლოდ ერთხელ და მოგზაურობა დავამთავროთ იმ ქალაქში საიდანაც დავიწ-ყეთ?

პირველი ამოცანის პასუხი დადებითია და მოცემულია შემდეგ ნახაზზე:


55

ნახ. 3

1 − აღნიშნავს ქალაქს, საიდანაც იწყება მარშრუტი, 2 − შემდეგი ქალაქია ამ მარშრუტში, ხოლო (1,2) − გზა, რომელიც უნდა გამოიყენოს მოგზაურმა და ა. შ.

მეორე ამოცანის პასუხი უარყოფითია. რატომ? ამას თქვენ გაიგებთ მოგვიანებით (თეო-რემა 1.3).

მოყვანილი სქემები გრაფების მაგალითებია.

2. ძირითადი ცნებები. ვთქვათ, მოცემულია არაცარიელი სასრული 𝑉 სიმრავლე და

𝑉2 = {𝑥 ∈ 2𝑉 ∣∣ 𝑥 = {𝑣, 𝑢} − ორელემენტიანი სიმრავლეა, 𝑣,𝑢 ∈ 𝑉 }.

განსაზღვრა 1.1. 𝐺 = (𝑉,𝑋) წყვილს, სადაც 𝑋 ⊆ 𝑉2, ეწოდება გრაფი. 𝑉 სიმრავლის 𝑣 ელე-მენტს ეწოდება წვერო, ხოლო 𝑥 ∈ 𝑋 ელემენტს კი წიბო.

გეომეტრიულად წვეროს გამოვსახავთ წერტილის სახით, ხოლო წიბოს − ორი წვეროს შე-მაერთებელი წირის სახით. ძირითადად ეს წირი მონაკვეთია.

ა) ვიტყვით, რომ 𝑣 და 𝑢 წვეროები მომიჯნავეა, თუ არსებობს ისეთი 𝑥 ∈ 𝑋, რომ 𝑥 ={𝑣,𝑢}.

ბ) ვიტყვით, რომ 𝑥 და 𝑦 წიბოები მომიჯნავეა, თუ არსებობს ისეთი 𝑣 ∈ 𝑉 წვერო, რომ 𝑣 ∈ 𝑥 და 𝑣 ∈ 𝑦.

გ) ვიტყვით, რომ 𝑣 წვერო და 𝑥 წიბო ინციდენტურია, თუ 𝑣 ∈ 𝑥.

დ) ვიტყვით, რომ 𝑣 წვერო იზოლირებულია, თუ არ არსებობს 𝑥 წიბო ისეთი, რომ 𝑣 ∈ 𝑥.

თუ 𝐺 გრაფში წვეროების რაოდენობაა 𝑝, ხოლო წიბოებისა კი 𝑞, მაშინ ამბობენ, რომ 𝐺 არის (𝑝, 𝑞) გრაფი. (1, 0) გრაფს ტრივიალურ გრაფს უწოდებენ.

თუ 𝑋 = 𝑉2, მაშინ 𝐺 = �𝑉, 𝑉2� გრაფს ეწოდება სრული გრაფი და 𝐾𝑝 სიმბოლოთი აღი-ნიშნება.

გრაფთა თეორიის ელემენტები

56

𝑋 = 𝑉2 ტოლობა ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ორი 𝑣,𝑢 ∈ 𝑉 წვერო მომიჯნავეა.

ვიტყვით, რომ ორი 𝐺 = (𝑉,𝑋) და 𝐺′ = (𝑊,𝑌) გრაფი იზომორფულია, თუ არსებობს ისე-თი ბიექცია 𝑓 ∶ 𝑉 → 𝑊, რომ 𝑓̅(𝑋) = 𝑌, სადაც 𝑓̅ ∶ 2𝑉 → 2𝑊 ბიექციაა (იხ. თავი I, 3.5).

𝐺1 = (𝑉1,𝑋1) გრაფი არის 𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფის ქვეგრაფი, თუ

1) 𝑉1 ⊆ 𝑉; 2) 𝑋1 ⊂ 𝑋.

𝐺 − 𝑣 გრაფი არის 𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფის ქვეგრაფი ისეთი, რომ

1) 𝑉1 = 𝑉 ∖ 𝑣; 2) 𝑋1 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑣 ∉ 𝑥}.

მაგალითი 1.1.

ნახ. 4

ულამის ჰიპოთეზა. ვთქვათ, 𝐺 = (𝑉,𝑋) და 𝐺′ = (𝑊,𝑌) ისეთი გრაფებია, რომ 𝑝 ≥ 3, ამას-

თან არსებობს 𝑓 ∶ 𝑉 → 𝑊 ბიექცია და ყოველი 𝑣 ∈ 𝑉 წვეროსათვის 𝐺 − 𝑣 და 𝐺′ − 𝑓(𝑣) გრაფები იზომორფულია. მაშინ 𝐺 და 𝐺′ გრაფები იზომორფულია.

გრაფის ინვარიანტი ისეთი რიცხვია, რომელიც ერთი და იგივეა ამ გრაფის იზომორფუ-ლი ყველა გრაფისათვის. 𝑝 და 𝑞 რიცხვები გრაფის ინვარიანტებია.

ინვარიანტების სრული სისტემა ცალსახად განსაზღვრავს გრაფს იზომორფიზმამდე სი-ზუსტით. მაგალითად, 𝑝 და 𝑞 რიცხვები ქმნიან ინვარიანტების სრულ სისტემას ყველა გრაფი-სათვის, როცა 𝑝 < 4. როცა 𝑝 ≥ 4, მაშინ არ არის ცნობილი ინვარიანტების არც ერთი სრული სის-ტემა.

განსაზღვრა 1.1. ვთქვათ, მოცემულია არაცარიელი სასრული 𝑉 სიმრავლე. ორიენტირე-ბული გრაფი ეწოდება Γ = (𝑉,𝑋) წყვილს, თუ

1) 𝑋 ⊂ 𝑉 × 𝑉; 2) 𝑋 ∩ 𝑑𝑉 = ∅; 3) თუ (𝑣,𝑢) ∈ 𝑋, მაშინ (𝑢, 𝑣) ∉ 𝑋.

𝑥 ∈ 𝑋 ელემენტს ეწოდება რკალი.

ა) ბ) ნახ. 5

ა) 𝑋 = {(𝑣1,𝑣2), (𝑣2, 𝑣3), (𝑣3, 𝑣1)}; ბ) 𝑋 = {(𝑣1,𝑣2), (𝑣2, 𝑣3), (𝑣1, 𝑣3)}.

ვთქვათ, Γ = (𝑉,𝑋) ორიენტირებული გრაფია. ვიტყვით, რომ 𝑣 და 𝑢 წვეროები მომიჯნა-ვეა, თუ არსებობს 𝑥 ∈ 𝑋 ისეთი, რომ 𝑝1(𝑥) = 𝑣, 𝑝2(𝑥) = 𝑢 ან 𝑝1(𝑥) = 𝑢, 𝑝2(𝑥) = 𝑣 (𝑝1 და 𝑝2 პროექციებია, იხ. თავი I, 3.2).

გრაფს ეწოდება მონიშნული, თუ მისი ყველა წვერო რაიმე სიმბოლოთია აღნიშნული.


57

ნახ. 6

𝐺1 გრაფი მონიშნულია, ხოლო 𝐺2 − არა.

ვთქვათ, მოცემულია ორი 𝐺 = (𝑉,𝑋) და 𝐺1 = (𝑉1,𝑋1) გრაფი. ვიტყვით, რომ 𝐺1 გრაფი 𝐺 გრაფის ჩონჩხია, თუ

1) 𝑉1 = 𝑉; 2) 𝑋1 ⊆ 𝑋. განსაზღვრა 1.2. 𝐺 = (𝑉,𝑋′) წყვილს ეწოდება მულტიგრაფი, თუ

𝑋′ ⊆�𝑑𝑛�𝑉2�𝑚

𝑛=0

, 𝑋′ ≠ ∅, თუ 𝑥1′ , 𝑥2′ ∈ 𝑋′ და 𝑥1′ ≠ 𝑥2′ , მაშინ 𝑝1(𝑥1′ ) ≠ 𝑝1(𝑥2′ ).

(𝑝1 პროექციაა, იხ. თავი I, 3.2).

ნახ. 7

ნახ. 7-ზე მოცემულია მულტიგრაფის ნიმუში. მულტიგრაფში რომელიმე ორი წვერო მაინც ერთ-ზე მეტი წიბოთია შეერთებული.

განსაზღვრა 1.3. 𝐺 = (𝑉,𝑋′′) წყვილს ეწოდება ფსევდოგრაფი, თუ 𝑋′′ = 𝑋′ ∪ 𝑋0, სადაც

𝑋0 ⊆�𝑑𝑘�𝑑(𝑉)�𝑛

𝑘=0

, 𝑛 ≥ 0, 𝑋0 ≠ ∅, თუ 𝑥10 , 𝑥20 ∈ 𝑋0 და 𝑥10 ≠ 𝑥20 , მაშინ 𝑝1(𝑥10) ≠ 𝑝1(𝑥20),

ხოლო (𝑉,𝑋′) მულტიგრაფი ან გრაფია (𝑝1 პროექციაა, იხ. თავი I, 3.2). 𝑑(𝑉) სიმრავლის ელემენ-ტებს მარყუჟებს უწოდებენ.

ნახ. 8

ნახ. 8-ზე მოცემულია ფსევდოგრაფის ნიმუში.

აღვნიშნოთ [𝑛] სიმბოლოთი {1, 2, … ,𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ სასრული სიმრავლე.

ვთქვათ, მოცემულია 𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფი და ორი ასახვა: 𝑓 ∶ [𝑛] → 𝑉 და 𝑓̅ ∶ [𝑛 − 1] → 𝑋. ვიტყვით, რომ 𝑓 და 𝑓 ̅ ასახვები შეთანხმებულია, თუ ყოველი 𝑘 ∈ [𝑛 − 1] რიცხვისათვის მართე-ბულია 𝑓(̅𝑘) = {𝑓(𝑘),𝑓(𝑘 + 1)} ტოლობა.

�𝑓,𝑓�̅ შეთანხმებულ წყვილს ეწოდება მარშრუტი 𝐺 გრაფში.


58


ნახ. 9

ა) ვთქვათ, 𝑓 ∶ [2] → 𝑉 ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(1) = 𝑣, 𝑓(2) = 𝑢 ტოლობებით, ხოლო 𝑓̅ ∶ [1] → 𝑋 ასახვა 𝑓̅(1) = {𝑤,𝑢′} ტოლობით. ცხადია, რომ �𝑓,𝑓̅� წყვილი არ ქმნის მარშრუტს, რადგან, 𝑓̅(1) ≠ {𝑣,𝑢}.

ბ) ვთქვათ, 𝑓 ∶ [4] → 𝑉 ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(1) = 𝑣, 𝑓(2) = 𝑢,𝑓(3) = 𝑤,𝑓(4) = 𝑢′ ტო-ლობებით, ხოლო 𝑓̅ ∶ [3] → 𝑋 ასახვა 𝑓(̅1) = {𝑣,𝑢}, 𝑓(̅2) = {𝑢,𝑤}, 𝑓̅(3) = {𝑤,𝑢′} ტოლობებით. ამ შემთხვევაში �𝑓,𝑓�̅ წყვილი წარმოადგენს მარშრუტს.

ნახაზის მიხედვით ააგეთ სხვა მარშრუტები.

�𝑓,𝑓�̅ მარშრუტს ეწოდება ჩაკეტილი, თუ 𝑓(𝑛) = 𝑓(1).

მაგალითი 1.3. ნახ. 9-ზე მოცემული გრაფისათვის, ვთქვათ, 𝑓 ∶ [7] → 𝑉 ასახვა განსაზ-ღვრულია 𝑓(1) = 𝑣,𝑓(2) = 𝑢,𝑓(3) = 𝑤,𝑓(4) = 𝑢′, 𝑓(5) = 𝑣′,𝑓(6) = 𝑢,𝑓(7) = 𝑣 ტოლობებით, ხო-ლო 𝑓̅ ∶ [6] → 𝑋 ასახვა 𝑓(̅1) = {𝑣,𝑢}, 𝑓(̅2) = {𝑢,𝑤}, 𝑓̅(3) = {𝑤,𝑢′}, 𝑓̅(4) = {𝑢′, 𝑣′}, 𝑓̅(5) = {𝑣′,𝑢},𝑓̅(6) = {𝑢, 𝑣} ტოლობებით. განსაზღვრის თანახმად, �𝑓,𝑓̅� ჩაკეტილი მარშრუტია.

�𝑓,𝑓�̅ მარშრუტს ეწოდება ჯაჭვი, თუ 𝑓̅ ასახვა ინექციაა.


ნახ. 10

ვთქვათ, 𝑓 ∶ [5] → 𝑉 ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(1) = 𝑣, 𝑓(2) = 𝑢, 𝑓(3) = 𝑢′,𝑓(4) = 𝑣′, 𝑓(5) = 𝑢 ტოლობებით, ხოლო 𝑓̅ ∶ [4] → 𝑋 ასახვა 𝑓̅(1) = {𝑣,𝑢}, 𝑓̅(2) = {𝑢,𝑢′}, 𝑓̅(3) = {𝑢′, 𝑣′}, 𝑓(̅4) = {𝑣′,𝑢} ტოლობებით. იოლი შესამოწმებელია, რომ �𝑓,𝑓�̅ მარშრუტი ჯაჭვია.

შევნიშნოთ, რომ მაგალით 1.3-ში მოყვანილი მარშრუტი არ არის ჯაჭვი, რადგან 𝑓̅ ასახ-

ვა არ არის ინექცია �𝑓(̅1) = 𝑓̅(6)�.

�𝑓,𝑓�̅ ჯაჭვს ეწოდება მარტივი, თუ 𝑓 ასახვა ინექციაა.

მაგალით 1.4-ში მოყვანილი ჯაჭვი არ არის მარტივი, რადგან 𝑓(2) = 𝑓(5) = 𝑢.


ნახ. 11


59

ვთქვათ, 𝑓 ∶ [4] → 𝑉 ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(1) = 𝑣, 𝑓(2) = 𝑢, 𝑓(3) = 𝑤,𝑓(4) = 𝑢′ ტო-ლობებით, ხოლო 𝑓̅ ∶ [3] → 𝑋 ასახვა 𝑓(̅1) = {𝑣,𝑢}, 𝑓(̅2) = {𝑢,𝑤}, 𝑓̅(3) = {𝑤,𝑢′} ტოლობებით. გან-საზღვრის თანახმად, �𝑓,𝑓�̅ მარშრუტი მარტივი ჯაჭვია.

ჩაკეტილ ჯაჭვს ეწოდება ციკლი.


ნახ. 12

ვთქვათ, 𝑓 ∶ [5] → 𝑉 ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(1) = 𝑣, 𝑓(2) = 𝑢, 𝑓(3) = 𝑤,𝑓(4) = 𝑢′, 𝑓(5) = 𝑢 ტოლობებით, ხოლო 𝑓̅ ∶ [4] → 𝑋 ასახვა 𝑓̅(1) = {𝑣,𝑢}, 𝑓̅(2) = {𝑢,𝑤}, 𝑓̅(3) = {𝑤,𝑢′}, 𝑓̅(4) = {𝑢′,𝑢} ტოლობებით. იოლი შესამოწმებელია, რომ �𝑓,𝑓�̅ მარშრუტი ჯაჭვია, მაგრამ არ არის ცი-კლი, რადგან ჯაჭვი არ არის ჩაკეტილი.

ვთქვათ, 𝑓 ∶ [4] → 𝑉 ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(1) = 𝑢, 𝑓(2) = 𝑤,𝑓(3) = 𝑢′, 𝑓(4) = 𝑢 ტო-ლობებით, ხოლო 𝑓̅ ∶ [3] → 𝑋 ასახვა 𝑓(̅1) = {𝑢,𝑤}, 𝑓(̅2) = {𝑤, 𝑢′}, 𝑓(̅3) = {𝑢′,𝑢} ტოლობებით. იო-ლი შესამოწმებელია, რომ �𝑓,𝑓̅� მარშრუტი ციკლია.

�𝑓,𝑓�̅ ციკლს ეწოდება მარტივი, თუ 𝑓|[𝑛−1] შეზღუდვა ინექციაა.


ნახ. 13

ვთქვათ, 𝑓 ∶ [4] → 𝑉 ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(1) = 𝑢, 𝑓(2) = 𝑤,𝑓(3) = 𝑢′, 𝑓(4) = 𝑢 ტო-ლობებით, ხოლო 𝑓̅ ∶ [3] → 𝑋 ასახვა, 𝑓̅(1) = {𝑢,𝑤},𝑓̅(2) = {𝑤,𝑢′},𝑓(̅3) = {𝑢′,𝑢} ტოლობებით. გან-საზღვრის თანახმად, �𝑓,𝑓�̅ მარშრუტი მარტივი ციკლია.

ვთქვათ, მოცემულია 𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფი და მარშრუტი �𝑓,𝑓�̅, 𝑓 ∶ [𝑛] → 𝑉, 𝑓̅ ∶ [𝑛 − 1] → 𝑋. მარშრუტის სიგრძე იმ წიბოების რაოდენობაა, რომლებიც ამ მარშრუტში მონაწილეობენ, ე. ი. მარშრუტის სიგრძეა 𝑛 − 1.

𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფს ეწოდება ბმული, თუ ნებისმიერი 𝑣, 𝑢 ∈ 𝑉 წყვილისათვის მოიძებნება მარტივი �𝑓,𝑓̅� ჯაჭვი ისეთი, რომ 𝑣 ∈ 𝑓̅(1) და 𝑢 ∈ 𝑓(̅𝑛 − 1).


ნახ. 14


60

ნახ. 14-ზე გამოსახული გრაფი ბმულია.

𝐺 გრაფის მაქსიმალურ ბმულ ქვეგრაფს (ანუ ისეთ ბმულ ქვეგრაფს, რომლის მომცველი ბმული ქვეგრაფი მოცემულ გრაფში არ არის) ეწოდება ბმულობის კომპონენტი.

არაბმულ გრაფს გააჩნია არანაკლებ ორი კომპონენტი.


ნახ. 15

ნახ. 15-ზე გამოსახული გრაფი შვიდ კომპონენტიანია.

𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფს ეწოდება ხე, თუ ნებისმიერი ორი 𝑣,𝑢 ∈ 𝑉 წვეროსათვის მოიძებნება ერ-თადერთი მარტივი �𝑓,𝑓̅� ჯაჭვი ისეთი, რომ 𝑣 ∈ 𝑓(̅1) და 𝑢 ∈ 𝑓̅(𝑛 − 1). სხვა სიტყვებით, ხე არ-ის ბმული გრაფი ციკლების გარეშე.


ა) ბ) ნახ. 16

ნახ. 16-ზე ა) და ბ) გრაფები ხეებია.

𝐺 გრაფს ეწოდება ტყე, თუ მისი ბმულობის კომპონენტები ხეებია.


ნახ. 17

ნახ. 17-ზე გამოსახული გრაფი ტყეა.

თეორემა 1.1. თუ 𝐺 არის ხე, მაშინ 𝐺 ბმული გრაფია და 𝑝 = 𝑞 + 1.

ვთქვათ, მოცემულია 𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფი (ან 𝐺 = (𝑉,𝑋′) მულტიგრაფი). ნებისმიერ 𝑣 ∈ 𝑉 წვეროს შევუსაბამოთ არაუარყოფითი რიცხვი, რომელსაც deg𝑣 სიმბოლოთი აღვნიშნავთ და რომელიც გვიჩვენებს რამდენ წიბოსთანაა მოცემული წვერო ინციდენტური, ე. ი. რამდენი წიბოს ელემენტია. ამ რიცხვს 𝑣 წვეროს ხარისხი ეწოდება.

თეორემა 1.2 (ეილერი). თუ 𝐺 = (𝑉,𝑋) (ან 𝐺 = (𝑉,𝑋′)) არის (𝑝, 𝑞) გრაფი (მულტიგრაფი), მაშინ მართებულია ტოლობა:

� deg𝑣𝑣∈𝑉

= 2𝑞.


61


ნახ. 18

ამ გრაფში გვაქვს: deg𝑣1 = 2, deg𝑣2 = 4, deg𝑣3 = 4, deg𝑣4 = 2, deg𝑣5 = 2, 𝑞 = 7,

� deg𝑣𝑖𝑣𝑖∈𝑉

= 2 + 4 + 4 + 2 + 2 = 14 = 2 ⋅ 7.

შედეგი 1.1. ნებისმიერ 𝐺 გრაფში (მულტიგრაფში) იმ წვეროთა რაოდენობა, რომელთა ხარისხი კენტი რიცხვია, არის ლუწი.


ნახ. 19

ამ გრაფში გვაქვს: deg𝑣1 = 2, deg𝑣2 = 4, deg𝑣3 = 3, deg𝑣4 = 3, deg𝑣5 = 2, 𝑞 = 7,


= 2 + 4 + 3 + 3 + 2 = 14 = 2 ⋅ 7.

𝑣3 და 𝑣4 წვეროების ხარისხები კენტი რიცხვებია და ასეთი წვეროების რაოდენობა კი ორია.

თუ 𝐺 = (𝑉,𝑋) (ან 𝐺 = (𝑉,𝑋′)) არის (𝑝, 𝑞) გრაფი (მულტიგრაფი), მაშინ ნებისმიერი 𝑣 ∈𝑉 წვეროსათვის მართებულია ორმაგი უტოლობა: 0 ≤ deg𝑣 ≤ 𝑝 − 1.

შემოვიღოთ აღნიშვნები:

𝛿(𝐺) = min deg𝐺 = min{deg𝑣}𝑣∈𝑉 , ∆(𝐺) = max deg𝐺 = max{deg𝑣}𝑣∈𝑉 .

თუ 𝛿(𝐺) = ∆(𝐺) = 𝑟, მაშინ ყველა 𝑣 ∈ 𝑉 წვეროს აქვს ერთი და იგივე ხარისხი. ასეთ გრაფს უწოდებენ რეგულარულს (ან ერთგვაროვანს) და წერენ deg𝐺 = 𝑟.


ნახ. 20

ნახ. 20-ზე გამოსახული გრაფისათვის, deg𝑣𝑖 = 3, 𝑖 = 1, 2, 3, 4,


62


= 4 ⋅ 3 = 12,

𝑥 წიბოების რაოდენობაა 6. ამიტომ ეილერის თეორემის თანახმად,


= 12 = 2 ⋅ 6 = 12.

ეს არის მაგალითი ერთგვაროვანი 𝐺 გრაფისა, რომლისთვისაც deg𝐺 = 3.

სრულ 𝐾𝑝 გრაფში ეილერის თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია ვიპოვოთ წიბოების 𝑞 რაოდენობა შემდეგნაირად: სრულ 𝐾𝑝 გრაფში ყოველი 𝑣 ∈ 𝑉 წვეროსათვის, deg𝑣 = 𝑝 − 1, ამი-ტომ

�� deg𝑣𝑖𝑣𝑖∈𝑉

= 𝑝(𝑝 − 1) = 2𝑞� ⇒ �𝑞 =𝑝(𝑝 − 1)

2�.

ნებისმიერი სრული 𝐾𝑝 გრაფი ერთგვაროვანია.

ვთქვათ, მოცემულია 𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფი (ან 𝐺 = (𝑉,𝑋′) მულტიგრაფი). თუ 𝐺 გრაფში (მულ-ტიგრაფში) მოიძებნება ციკლი ისეთი, რომ ის შეიცავს ყველა წვეროს და ყველა წიბოს, მაშინ ასეთ გრაფს (მულტიგრაფს) ეილერის გრაფი ეწოდება.

თეორემა 1.3. ა) თუ 𝐺 გრაფი (მულტიგრაფი) ბმულია და ყოველი წვეროს ხარისხი ლუწი რიცხვია, მაშინ 𝐺 ეილერის გრაფია.

ბ) თუ 𝐺 ეილერის ბმული გრაფია, მაშინ ყოველი წვეროს ხარისხი ლუწი რიცხვია.

სწორედ ეს თეორემა გვაძლევს უარყოფით პასუხს იმ მეორე ამოცანის კითხვაზე, რომე-ლიც შესავალში იყო მოყვანილი, რადგან თითოეული წვეროს ხარისხი ამ ამოცანის შესაბამის გრაფში კენტი რიცხვია.

63

§2. ოპერაციები გრაფებზე

დავსვათ ბუნებრივი კითხვა: შეიძლება თუ არა მოცემული გრაფის სტრუქტურა გამოვსა-ხოთ სხვა, უფრო მარტივი სტრუქტურების მქონე გრაფების საშუალებით?

განვიხილოთ მხოლოდ ისეთი 𝐺1 = (𝑉,𝑋) და 𝐺2 = (𝑈,𝑌) გრაფები, რომლებიც აკმაყო-ფილებენ ორ პირობას:

ა) 𝑉 ∩ 𝑈 = ∅; ბ) 𝑋 ∩ 𝑌 = ∅.

1) 𝐺1 ∪ 𝐺2 გაერთიანება არის ისეთი 𝐺 = (𝑊,𝑍) გრაფი, სადაც 𝑊 = 𝑉 ∪ 𝑈 და 𝑍 = 𝑋 ∪ 𝑌.


ნახ. 21

თუ 𝐺 ბმული გრაფია, მაშინ 𝑛𝐺 გრაფია, რომელსაც გააჩნია 𝑛 კომპონენტი და თითოე-ული მათგანი 𝐺 გრაფის იზომორფულია.


ნახ. 22

ნახ. 22-ზე გამოსახული გრაფი შეიძლება შემდეგნაირად ჩავწეროთ: 𝐺 = 4𝐾1 ∪ 2𝐾2 ∪ 𝐾3 .

2) 𝐺1 + 𝐺2 შეერთება არის ისეთი 𝐺 = (𝑊,𝑍) გრაფი, სადაც 𝑊 = 𝑉 ∪ 𝑈 და 𝑍 = 𝑋 ∪ 𝑌 ∪𝑊0, სადაც 𝑊0 = { 𝑧 ∈ 2𝑊 ∣∣ 𝑧 = {𝑣,𝑢}, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑢 ∈ 𝑈 }.


ნახ. 23

3) 𝐺1 × 𝐺2 ნამრავლი არის ისეთი 𝐺 = (𝑊,𝑍) გრაფი, სადაც 𝑊 = 𝑉 × 𝑈, ხოლო

𝑍 = � 𝑧 ∈ 2𝑊 ∣∣ 𝑧 = {(𝑣,𝑢), (𝑣′,𝑢′)}, სადაც 𝑣 = 𝑣′ და {𝑢,𝑢′} ∈ 𝑌 ან {𝑣, 𝑣′} ∈ 𝑋 და 𝑢 = 𝑢′ �.


ნახ. 24

4) 𝐺1[𝐺2] კომპოზიცია არის ისეთი 𝐺 = (𝑊,𝑍) გრაფი, სადაც 𝑊 = 𝑉 × 𝑈, ხოლო

𝑍 = � 𝑧 ∈ 2𝑊 ∣∣ 𝑧 = {(𝑣,𝑢), (𝑣′,𝑢′)}, სადაც {𝑣, 𝑣′} ∈ 𝑋 ან 𝑣 = 𝑣′ და {𝑢,𝑢′} ∈ 𝑌 �.


64


ნახ. 25


ნახ. 26

ამ ორი მაგალითიდან ჩანს, რომ 𝐺1[𝐺2] და 𝐺2[𝐺1] გრაფები არ არის იზომორფული.

თუ 𝐺1 და 𝐺2 გრაფები შესაბამისად, (𝑝1,𝑞1) და (𝑝2,𝑞2) გრაფებია, მაშინ განსაზღვრუ-ლი ოპერაციებისათვის შეგვიძლია დავადგინოთ, რამდენი წვერო და რამდენი წიბო იქნება მი-ღებულ გრაფში.

შედეგები მოვიყვანოთ ცხრილის სახით:

ოპერაცია წვეროების რიცხვი წიბოების რიცხვი

გაერთიანება 𝐺1 ∪ 𝐺2

შეერთება 𝐺1 + 𝐺2

ნამრავლი 𝐺1 × 𝐺2

კომპოზიცია 𝐺1[𝐺2]

𝑝1 + 𝑝2

𝑝1 + 𝑝2

𝑝1𝑝2

𝑝1𝑝2

𝑞1 + 𝑞2

𝑞1 + 𝑞2 + 𝑝1𝑝2

𝑝1𝑞2 + 𝑝2𝑞1

𝑝1𝑞2 + 𝑝22𝑞1

ვთქვათ, მოცემულია 𝐺1 = (𝑉1,𝑋1), 𝐺2 = (𝑉2,𝑋2), … , 𝐺𝑛 = (𝑉𝑛,𝑋𝑛) გრაფთა ოჯახი ისეთი,

რომ

1) ყოველი გრაფი არის ხე;

2) 𝑋𝑖 ∩ 𝑋𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1,2, … ,𝑛.

მაშინ 𝐺 = 𝐺1 ∪ 𝐺2 ∪ ⋯∪ 𝐺𝑛 გაერთიანება იქნება ტყე.

ვთქვათ, მოცემულია იზოლირებული 𝑣 წერტილი, ე. ი. deg𝑣 = 0 და 𝐺 არის (𝑝, 𝑞) გრა-ფი. განვიხილოთ 𝑣 × 𝐺 ნამრავლი. ორი გრაფის ნამრავლის განსაზღვრის თანახმად, 𝑣 × 𝐺 გრაფ-ში წვეროების რაოდენობაა 1 ⋅ 𝑝 = 𝑝, ხოლო წიბოების რაოდენობა კი ცხრილის მიხედვით, 1 ⋅ 𝑞 + 𝑝 ⋅ 0 = 𝑞. ცხადია, რომ 𝐺 და 𝑣 × 𝐺 გრაფები იზომორფულია.

განვიხილოთ ორი 𝐺1 = (𝑉,𝑋) და 𝐺2 = (𝑈,𝑌). გრაფი, რომლებიც შესაბამისად, (𝑝1, 𝑞1) და (𝑝2,𝑞2) გრაფებია. ავაგოთ ⋃ 𝑣 × 𝐺2𝑣∈𝑉 = 𝐺�2 = �𝑈�,𝑌��, რომელიც გაერთიანებაა. ამ გრაფში

§2. ოპერაციები გრაფებზე

65

წვეროების რაოდენობა იქნება 𝑝1𝑝2, ხოლო წიბოების რაოდენობა კი 𝑝1𝑞2. ანალოგიურად ავა-გოთ ⋃ 𝐺1 × 𝑢𝑢∈𝑈 = 𝐺�1 = �𝑉� ,𝑋��. ამ გრაფში წვეროების რაოდენობა იქნება 𝑝1𝑝2, ხოლო წიბოების რაოდენობა კი 𝑝2𝑞1. ცხადია, რომ ამ ორ გაერთიანებაში არა მხოლოდ წვეროების რაოდენობა ემ-თხვევა, არამედ წვეროთა სიმრავლეები ტოლია. განვიხილოთ 𝐺�1 ∪ 𝐺�2 = (𝑊,𝑍) გაერთიანება. ამ გრაფში წვეროების სიმრავლეა 𝑊 = 𝑈� ∪ 𝑉� = 𝑈� = 𝑉� , ხოლო წიბოების სიმრავლე კი 𝑍 = 𝑋� ∪ 𝑌� . წიბოების რაოდენობა 𝑍 სიმრავლეში იქნება 𝑝1𝑞2 + 𝑝2𝑞1.

თეორემა 2.1. ვთქვათ, 𝐺1 = (𝑉,𝑋) და 𝐺2 = (𝑈,𝑌). მაშინ მართებულია ტოლობა: 𝐺1 ×𝐺2 = 𝐺�1 ∪ 𝐺�2, სადაც 𝐺1 × 𝐺2 = (𝑊,𝑍) და 𝐺�1 ∪ 𝐺�2 = (𝑊1,𝑍1).

დამტკიცება. 𝐺1 × 𝐺2 გრაფის წვეროების სიმრავლეა 𝑊 = 𝑉 × 𝑈, ხოლო 𝐺�1 ∪ 𝐺�2 გრაფის წვეროების სიმრავლეა 𝑊1 = ⋃ 𝐺1 × 𝑢𝑢∈𝑈 = ⋃ 𝑣 × 𝐺2𝑣∈𝑉 = 𝑉 × 𝑈. ე. ი. ამ გრაფების წვეროების სი-მრავლეები ემთხვევა ერთმანეთს. ვაჩვენოთ, რომ 𝑍 = 𝑍1. ვთქვათ, 𝑧 ∈ 𝑍. 𝐺1 × 𝐺2 გრაფის განსაზ-ღვრის თანახმად, 𝑧 = �{𝑣,𝑢}, {𝑣′,𝑢′}� ∈ 2𝑊 ისეთი ელემენტია, რომ 𝑣 = 𝑣′ და {𝑢,𝑢′} ∈ 𝑌 ან {𝑣, 𝑣′} ∈ 𝑋 და 𝑢 = 𝑢′. ამიტომ 𝑧 ∈ 𝑌� ან 𝑧 ∈ 𝑋� , ე. ი. 𝑧 ∈ 𝑋� ∪ 𝑌� . ახლა, ვთქვათ, 𝑧 ∈ 𝑍1 = 𝑋� ∪ 𝑌� , ე. ი. 𝑧 ∈ 𝑋� ან 𝑧 ∈ 𝑌� . თუ 𝑧 ∈ 𝑋� , მაშინ 𝑧 = �{𝑣,𝑢}, {𝑣′,𝑢}� და 𝑧 ∈ 𝑍. თუ 𝑧 ∈ 𝑌� , მაშინ 𝑧 = �{𝑣,𝑢}, {𝑣,𝑢′}� და 𝑧 ∈ 𝑍. ამიტომ 𝑧 ∈ 𝑍. □

ვიტყვით, რომ ბმული 𝐺 გრაფი განთავსდება 𝑆 ზედაპირზე, თუ ის შეიძლება ისე დავ-ხატოთ 𝑆 ზედაპირზე, რომ მისი ნებისმიერი ორი წიბოს თანაკვეთა ცარიელი იყოს. გრაფს ეწო-დება პლანარული, თუ ეს გრაფი განთავსდება სიბრტყეზე. გრაფს ეწოდება ბრტყელი, თუ ეს გრაფი უკვე განთავსებულია სიბრტყეზე.

არეებს, რომლებიც განისაზღვრება ბრტყელი გრაფით, ეწოდება წახნაგები (ან შიდა წახ-ნაგები), ხოლო სიბრტყის ნაწილს, მოთავსებულს ბრტყელი გრაფის გარეთ, ეწოდება გარე წახნა-გი.

მაგალითი 2.7. ა) პლანარული გრაფი

ნახ. 27

ბ) ბრტყელი გრაფი

ნახ. 28

ვთქვათ, მოცემულია 𝐺 ბრტყელი (𝑝, 𝑞) გრაფი. წახნაგთა რაოდენობა აღვნიშნოთ 𝑟-ით.

თეორემა 2.2 (ეილერის ფორმულა). ნებისმიერი 𝐺 ბმული ბრტყელი (𝑝, 𝑞) გრაფისათვის მართებულია ტოლობა:

𝑝 − 𝑞 + 𝑟 = 2.


66


ნახ. 29

ნახ. 29-ზე გამოსახულია ბრტყელი გრაფი, სადაც 𝑝 = 6, 𝑞 = 7, 𝑟 = 3.

ცხადია, თუ გრაფი არ არის ბმული, მაშინ ეილერის ფორმულა არ არის მართებული.


ნახ. 30

ნახ. 30-ზე გამოსახული გრაფი შედგება ორი სამკუთხედისაგან. ეს გრაფი არ არის ბმული. 𝑝 = 6, 𝑞 = 6, 𝑟 = 3. ამიტომ ეილერის ფორმულა არ არის მართებული.


ნახ. 31

ნახ. 31-ზე გამოსახულ გრაფში 𝑝 = 5, 𝑞 = 7, 𝑟 = 4.

67

§3. გრაფის მატრიცული წარმოდგენა

ვთქვათ, მოცემულია მონიშნული (𝑝, 𝑞) გრაფი 𝐺, რომლის წვეროებია �𝑣1,𝑣2, … , 𝑣𝑝�. ჩვენ შეგვიძლია 𝐺 გრაფის საშუალებით შევადგინოთ 𝑝 რიგის მატრიცა 𝐴 = �𝑎𝑖𝑗�, სადაც 𝑎𝑖𝑗 = 1, თუ 𝑣𝑖 და 𝑣𝑗 წვეროები მომიჯნავეა, ხოლო 𝑎𝑖𝑗 = 0, თუ ისინი არ არიან მომიჯნავე. ამ 𝐴 მატრიცას ეწოდება მონიშნული 𝐺 გრაფის მომიჯნავეობის მატრიცა.

მაგალითი 3.1. თუ მოცემულია გრაფი

ნახ. 32

მაშინ მისი მომიჯნავეობის მატრიცა იქნება

𝐴 =

⎝

⎜⎛

0 1 0 0 11 0 1 0 00 1 0 1 10 0 1 0 11 0 1 1 0⎠

⎟⎞

.

თუ მოცემულია მონიშნული გრაფის 𝐴 მატრიცა, მაშინ ამ მატრიცის საშუალებით ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ ყოველი წვეროს ხარისხი. ამისათვის საკმარისია ავიღოთ სტრიქონი, რომელიც შეიცავს მოცემული წვეროს შესაბამის ელემენტს და ვიპოვოთ ამ სტრიქონის ელე-მენტთა ჯამი.

მაგალითი 3.1-ში deg𝑣1 = 2, deg𝑣2 = 2, deg𝑣3 = 3, deg𝑣4 = 2, deg𝑣5 = 3.

თეორემა 3.1. ვთქვათ, 𝐺 მონიშნული გრაფია და 𝐴 მისი მატრიცაა. მაშინ 𝐴𝑛 მატრიცის (𝑖, 𝑗) ელემენტი უდრის 𝑣𝑖 და 𝑣𝑗 წვეროების შემაერთებელი 𝑛 სიგრძის მარშრუტების რაოდენობას.

თუ 𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფში მონიშნულია როგორც წვეროები �𝑣1,𝑣2, … , 𝑣𝑝�, ასევე წიბოებიც �𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑞�, მაშინ შეიძლება შევადგინოთ 𝑝 × 𝑞 რიგის მატრიცა 𝐵 = �𝑏𝑖𝑗�, სადაც 𝑏𝑖𝑗 = 1, თუ 𝑣𝑖 წვერო და 𝑥𝑗 წიბო ინციდენტურია და 𝑏𝑖𝑗 = 0 წინააღმდეგ შემთხვევაში. 𝐵 მატრიცას ეწოდე-ბა 𝐺 გრაფის ინციდენტურობის მატრიცა.


ნახ. 33

მაშინ მისი ინციდენტურობის მატრიცა იქნება


68

𝐵 = �

1 0 1 01 1 0 00 1 1 10 0 0 1

�.

თეორემა 3.2. 𝑝 წვეროს მქონე მონიშნული ხეების რაოდენობაა 𝑝𝑝−2.

ვთქვათ, 𝐺 გრაფია, სადაც მონიშნულია წიბოები და მარტივი ციკლები. შევადგინოთ მა-ტრიცა 𝐶 = �𝑐𝑖𝑗�, 𝑐𝑖𝑗 = 1, თუ 𝑖-ური ციკლი შეიცავს 𝑥𝑗 წიბოს და 𝑐𝑖𝑗 = 0, თუ ეს ასე არ არის. ამ 𝐶 მატრიცას ეწოდება 𝐺 გრაფის ციკლების მატრიცა.

ანალოგიური მატრიცები განისაზღვრება ორიენტირებული გრაფებისთვისაც.

ვთქვათ, მოცემულია მონიშნული ორიენტირებული (𝑝, 𝑞) გრაფი Γ = (𝑉,𝑋), რომლის წვეროებია �𝑣1,𝑣2, … , 𝑣𝑝�. ჩვენ შეგვიძლია Γ გრაფის საშუალებით შევადგინოთ 𝑝 რიგის მატრი-ცა 𝐴 = �𝑎𝑖𝑗�, სადაც 𝑎𝑖𝑗 = 1, თუ არსებობს 𝑥 ∈ 𝑋 რკალი ისეთი, რომ 𝑥 = �𝑣𝑖 ,𝑣𝑗� და 𝑎𝑖𝑗 = 0, წინა-აღმდეგ შემთხვევაში. ამ 𝐴 მატრიცას ეწოდება მონიშნული ორიენტირებული Γ გრაფის მომი-ჯნავეობის მატრიცა.

მაგალითი 3.3. ნახ. 5 ა) გრაფისათვის მომიჯნავეობის მატრიცას შემდეგი სახე აქვს:

𝐴 = �0 1 00 0 11 0 0

�.

თუ Γ ორიენტირებულ გრაფში მონიშნულია როგორც წვეროები �𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑝�, ასევე რკა-ლებიც �𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑞�. მაშინ შეიძლება შევადგინოთ 𝑝 × 𝑞 რიგის მატრიცა 𝐵 = �𝑏𝑖𝑗�, სადაც 𝑏𝑖𝑗 = 1, თუ 𝑥𝑗 = (𝑣𝑖 ,𝑣); 𝑏𝑖𝑗 = −1, თუ 𝑥𝑗 = (𝑣, 𝑣𝑖) და 𝑏𝑖𝑗 = 0 სხვა შემთხვევაში, 𝑣 ∈ 𝑉. 𝐵 მატრიცას ეწოდება Γ ორიენტირებული გრაფის ინციდენტურობის მატრიცა.


ნახ. 34

მაშინ მისი ინციდენტურობის მატრიცა იქნება

𝐵 = �

−1 1 0 0 01 0 −1 −1 00 −1 1 0 −10 0 0 1 1

�.

ახლა განვსაზღვროთ ფსევდოგრაფის მომიჯნავეობის მატრიცა. ვთქვათ, მოცემულია მო-ნიშნული 𝐺 = (𝑉,𝑋′′) ფსევდოგრაფი. 𝑉 = �𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑝�, წვეროების სიმრავლეა, 𝑋′′ = 𝑋′ ∪ 𝑋0. მაშინ ჩვენ შეგვიძლია შევადგინოთ 𝑝 რიგის მომიჯნავეობის 𝐴 = �𝑎𝑖𝑗� მატრიცა შემდეგნაირად

ა) 𝑎𝑖𝑖 = 2(𝑛 + 1), თუ არსებობს 𝑥0 ∈ 𝑋0 ისეთი, რომ 𝑥0 = �(𝑣𝑖 ,𝑣𝑖), … , (𝑣𝑖 ,𝑣𝑖)� ∈ 𝑑𝑛�𝑑(𝑉)�;

ბ) 𝑎𝑖𝑗 = �0, თუ არ არსებობს 𝑥′ ∈ 𝑋′ ისეთი, რომ 𝑝1(𝑥′) = {𝑣𝑖 ,𝑣},

1 + 𝑛, თუ არსებობს 𝑥′ ∈ 𝑑𝑛�𝑉2� ისეთი, რომ 𝑝1(𝑥′) = {𝑣𝑖 ,𝑣}.

§3. გრაფის მატრიცული წარმოდგენა

69

განსაზღვრის თანახმად, მატრიცის დიაგონალზე მდებარე რიცხვი გვიჩვენებს შესაბამის წვეროსთან მარყუჟების გაორმაგებულ რაოდენობას. ეს ფაქტი განპირობებულია შემდეგი მიზე-ზით. როგორც ვიცით, გრაფის მომიჯნავეობის მატრიცაში სტრიქონი ელემენტების ჯამი გვა-ძლევს შესაბამისი წვეროს ხარისხს. იმისდა მიხედვით, ეს რიცხვი კენტია, თუ ლუწი, შესაბამის წვეროსაც უწოდებენ კენტს ან ლუწს. რაიმე წვეროსთან მარყუჟის დამატებამ არ უნდა შეცვალოს მისი ლუწობა ან კენტობა. ამ შემთხვევაში, თეორემა 1.3 ძალაშია ფსევდოგრაფისთვისაც.


ნახ. 35

მაშინ მისი მომიჯნავეობის მატრიცა იქნება

𝐴 = �0 2 12 6 11 1 2

�.

70

სავარჯიშოები III თავისათვის

𝟏.𝟏. დახაზეთ 𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფი, რომლის წვეროთა სიმრავლეა 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑, 𝑒}, ხოლო წიბოთა სიმრავლეა 𝑋 = �{𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑒}, {𝑏, 𝑐}, {𝑏,𝑑}, {𝑐, 𝑒}, {𝑑, 𝑒}�.

𝟏.𝟐. დახაზეთ 𝐺 = (𝑉,𝑋) გრაფი, რომლის წვეროთა სიმრავლეა 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑, 𝑒, 𝑓}, ხოლო წიბო-თა სიმრავლეა 𝑋 = �{𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑎,𝑑}, {𝑏, 𝑐}, {𝑐,𝑑}, {𝑐, 𝑒}, {𝑑, 𝑒}, {𝑒,𝑓}�.

𝟏.𝟑. 𝐺 არის (5, 𝑞) სრული გრაფი. იპოვეთ 𝑞 და დახაზეთ ეს გრაფი.

𝟏.𝟒. 𝐺 არის (6, 𝑞) სრული გრაფი. იპოვეთ 𝑞 და დახაზეთ ეს გრაფი.

𝟏.𝟓. 𝐺 არის (𝑝, 6) სრული გრაფი. იპოვეთ 𝑝 და დახაზეთ ეს გრაფი.

𝟏.𝟔. 𝐺 არის (𝑝, 10) სრული გრაფი. იპოვეთ 𝑝 და დახაზეთ ეს გრაფი.

𝟏.𝟕. ააგეთ რომელიმე გრაფი, რომელიც შეიცავს არანაკლებ 4-ის ტოლი სიგრძის მარტივ ციკლს.

𝟏.𝟖. მოცემულია სიმრავლე 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3,𝑣4, 𝑣5, 𝑣6}. ააგეთ რომელიმე გრაფი, რომლის წვეროთა სიმრავლეა 𝑉 და რომელიც შეიცავს არანაკლებ 5-ის ტოლი სიგრძის მარტივ ციკლს.

𝟏.𝟗. მოცემულია ორი 𝐺1 და 𝐺2 გრაფი:

ააგეთ: ა) 𝐺1 + 𝐺2 (შეერთება); ბ) 𝐺1 × 𝐺2 (ნამრავლი); გ) 𝐺1[𝐺2] და 𝐺2[𝐺1] (კომპოზიციები).

𝟏.𝟏𝟎. მოცემულია ორი 𝐺1 და 𝐺2 გრაფი:

ააგეთ: ა) 𝐺1 + 𝐺2 (შეერთება); ბ) 𝐺1 × 𝐺2 (ნამრავლი); გ) 𝐺1[𝐺2] და 𝐺2[𝐺1] (კომპოზიციები).

𝟏.𝟏𝟏. მოცემულია 𝐺 გრაფი:

იპოვეთ უდიდესი სიგრძის მარტივი ციკლი, რომელიც იწყება ა) 𝑣1 წვეროდან; ბ) 𝑣7 წვეროდან.


71

𝟏.𝟏𝟐. მოცემულია 𝐺 გრაფი:

იპოვეთ უდიდესი სიგრძის მარტივი ციკლი, რომელიც იწყება ა) 𝑣7 წვეროდან; ბ) 𝑣8 წვეროდან.

𝟏.𝟏𝟑. მოცემულია 𝐺 მონიშნული გრაფი და 𝑄,𝑅, 𝐿 გრაფები:

ა) 𝑄,𝑅, 𝐿 გრაფებიდან რომელი არ არის 𝐺 გრაფის ქვეგრაფი? პასუხი დაასაბუთეთ.

ბ) 𝐺 გრაფის ქვეგრაფებიდან თითოეულში მონიშნეთ 𝐺 გრაფის წვეროების შესაბამისი წვერო-ები.

𝟏.𝟏𝟒. მოცემულია 𝐺 მონიშნული გრაფი და 𝑅, 𝐿,𝑄 გრაფები:

ა) 𝑅, 𝐿,𝑄 გრაფებიდან რომელი არ არის 𝐺 გრაფის ქვეგრაფი? პასუხი დაასაბუთეთ.

ბ) 𝐺 გრაფის ქვეგრაფებიდან თითოეულში მონიშნეთ 𝐺 გრაფის წვეროების შესაბამისი წვერო-ები.

𝟏.𝟏𝟓. მოცემულია 𝐺 მონიშნული გრაფი:

ააგეთ მოცემული გრაფის მომიჯნავეობის 𝐴 მატრიცა.

𝟏.𝟏𝟔. მოცემულია 𝐺 მონიშნული გრაფი:


72

ააგეთ მოცემული გრაფის მომიჯნავეობის 𝐴 მატრიცა.

𝟏.𝟏𝟕. მოცემულია მატრიცა:

𝐴 =

⎝

⎜⎛

0 1 1 1 11 0 1 0 11 1 0 1 01 0 1 0 11 1 0 1 0⎠

⎟⎞

.

ააგეთ გრაფი, რომლის მომიჯნავეობის მატრიცა არის 𝐴.

𝟏.𝟏𝟖. მოცემულია მატრიცა:

𝐴 =

⎝

⎜⎛

0 0 1 1 10 0 1 0 01 1 0 1 11 0 1 0 01 0 1 0 0⎠

⎟⎞

.

ააგეთ გრაფი, რომლის მომიჯნავეობის მატრიცა არის 𝐴.

𝟏.𝟏𝟗. მოცემულია 𝐺 მონიშნული გრაფი:

ააგეთ მოცემული გრაფის ინციდენტურობის 𝐵 მატრიცა.

𝟏.𝟐𝟎. მოცემულია 𝐺 მონიშნული გრაფი:

ააგეთ მოცემული გრაფის ინციდენტურობის 𝐵 მატრიცა.

𝟏.𝟐𝟏. მოცემულია მატრიცა:


73

𝐵 =

⎝

⎜⎛

1 0 0 0 01 1 1 0 00 0 1 1 10 1 0 1 00 0 0 0 1⎠

⎟⎞

.

ააგეთ მონიშნული გრაფი, რომლის ინციდენტურობის მატრიცა არის 𝐵.

𝟏.𝟐𝟐. მოცემულია მატრიცა:

𝐵 = �

1 0 1 0 01 1 0 0 10 1 1 1 00 0 0 1 1

�.

ააგეთ მონიშნული გრაფი, რომლის ინციდენტურობის მატრიცა არის 𝐵.

𝟏.𝟐𝟑. მოცემულია 𝐺 მონიშნული გრაფი:

რომლის მონიშნული მარტივი ციკლებია:

ააგეთ 𝐺 გრაფის ციკლების 𝐶 მატრიცა.

𝟏.𝟐𝟒. მოცემულია 𝐺 მონიშნული გრაფი:

რომლის მონიშნული მარტივი ციკლებია:

ააგეთ 𝐺 გრაფის ციკლების 𝐶 მატრიცა.

𝟏.𝟐𝟓. მოცემულია ორიენტირებული გრაფი:


74

ააგეთ მისი მომიჯნავეობის 𝐴 მატრიცა.

𝟏.𝟐𝟔. მოცემულია ორიენტირებული გრაფი:


𝟏.𝟐𝟕. მოცემულია მატრიცა:

𝐴 =

⎝

⎜⎛

0 0 1 0 11 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0⎠

⎟⎞

.

ააგეთ ორიენტირებული გრაფი, რომლის მომიჯნავეობის მატრიცა არის 𝐴.

𝟏.𝟐𝟖. მოცემულია მატრიცა:

𝐴 =

⎝

⎜⎛

0 0 1 0 01 0 1 0 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 0 1 0⎠

⎟⎞

.

ააგეთ ორიენტირებული გრაფი, რომლის მომიჯნავეობის მატრიცა არის 𝐴.

𝟏.𝟐𝟗. მოცემულია მონიშნული ორიენტირებული გრაფი:

ააგეთ მისი ინციდენტურობის 𝐵 მატრიცა.

𝟏.𝟑𝟎. მოცემულია მონიშნული ორიენტირებული გრაფი:

ააგეთ მისი ინციდენტურობის 𝐵 მატრიცა.

𝟏.𝟑𝟏. მოცემულია მატრიცა:


75

𝐵 = �

1 −1 0 0 00 1 1 0 −1−1 0 −1 1 00 0 0 −1 1

�.

ააგეთ მონიშნული ორიენტირებული გრაფი, რომლის ინციდენტურობის მატრიცა არის 𝐵.

𝟏.𝟑𝟐. მოცემულია მატრიცა:

𝐵 =

⎝

⎜⎛−1 1 0 0 00 −1 1 0 01 0 0 −1 10 0 −1 1 00 0 0 0 −1⎠

⎟⎞

.

ააგეთ მონიშნული ორიენტირებული გრაფი, რომლის ინციდენტურობის მატრიცა არის 𝐵.

𝟏.𝟑𝟑. მოცემულია ფსევდოგრაფი:


𝟏.𝟑𝟒. მოცემულია ფსევდოგრაფი:


𝟏.𝟑𝟓. მოცემულია მატრიცა:

𝐴 = �4 3 13 4 11 1 2

�.

ააგეთ ფსევდოგრაფი, რომლის მომიჯნავეობის მატრიცა არის 𝐴.

𝟏.𝟑𝟔. მოცემულია მატრიცა:

𝐴 = �

4 1 1 21 2 0 01 0 6 12 0 1 0

�.


76

ააგეთ ფსევდოგრაფი, რომლის მომიჯნავეობის მატრიცა არის 𝐴.

𝟏.𝟑𝟕. მოცემულია გრაფი:

ა) იპოვეთ მოცემული გრაფის 5-ის ტოლი სიგრძის ციკლები, რომლებიც გამოდიან წვეროდან 1.

ბ) იპოვეთ მოცემული გრაფის 4-ის ტოლი სიგრძის ციკლები, რომლებიც გამოდიან წვეროდან 1.

გ) იპოვეთ მოცემული გრაფის 3-ის ტოლი სიგრძის ციკლები, რომლებიც გამოდიან წვეროდან 1.

𝟏.𝟑𝟖. მოცემულია გრაფი:

ა) იპოვეთ მოცემული გრაფის 4-ის ტოლი სიგრძის ციკლები, რომლებიც გამოდიან წვეროდან 1.

ბ) იპოვეთ მოცემული გრაფის 3-ის ტოლი სიგრძის ციკლები, რომლებიც გამოდიან წვეროდან 1.

𝟏.𝟑𝟗. (კენიგსბერგის ხიდების ამოცანა). ქალაქი კენიგსბერგი გაშენებულია მდინარე პრეგელის ნაპირებზე და ორ კუნძულზე. ქალაქის სხვადასხვა ნაწილები ერთმანეთთან დაკავშირებულია შვიდი ხიდით. მოიძებნება თუ არა ქალაქში ისეთი ადგილი, რომლიდანაც გამოსულმა ადამიან-მა შეიძლება ისე გაისეირნოს ქალაქში და დაბრუნდეს იმავე ადგილას, რომ ყოველ ხიდზე მხო-ლოდ ერთჯერ გადავიდეს?

ეს ამოცანა ეკვივალენტურია შემდეგის: ქვემომოყვანილ ნახაზზე გამოსახული გრაფი არის თუ არა ეილერის გრაფი?

დადებითი პასუხის შემთხვევაში ააგეთ რომელიმე საძიებელი ციკლი.

𝟏.𝟒𝟎. მოცემულია გრაფი:


77

არის თუ არა ეს ეილერის გრაფი? დადებითი პასუხის შემთხვევაში ააგეთ რომელიმე საძიებელი ციკლი.

78

თავი IV. ბულის ალგებრა

§1. ბულის ალგებრის ცნება

მოცემულია არაცარიელი 𝑋 სიმრავლე და ამ სიმრავლეზე განსაზღვრულია ორი ალგე-ბრული ოპერაცია 𝜔1 და 𝜔2, 𝜔1 ∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑋, 𝜔2 ∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑋. ვთქვათ,

1) ორივე ოპერაცია ასოციაციურია:

1ა) 𝜔1�𝑥,𝜔1(𝑦, 𝑧)� = 𝜔1(𝜔1(𝑥,𝑦), 𝑧);

1ბ) 𝜔2�𝑥,𝜔2(𝑦, 𝑧)� = 𝜔2(𝜔2(𝑥,𝑦),𝑧).

2) ორივე ოპერაცია კომუტაციურია:

2ა) 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝜔1( 𝑦, 𝑥);

2ბ) 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝜔2( 𝑦, 𝑥).

3) 𝜔1 და 𝜔2 ოპერაციები ურთიერთშეთანხმებულია:

3ა) 𝜔1�𝑥,𝜔2(𝑦, 𝑧)� = 𝜔2�𝜔1(𝑥,𝑦),𝜔1(𝑥, 𝑧)�;

3ბ) 𝜔2�𝑥,𝜔1(𝑦, 𝑧)� = 𝜔1�𝜔2(𝑥,𝑦),𝜔2(𝑥, 𝑧)�.

4) მართებულია შემდეგი ტოლობები:

4ა) 𝜔1(𝜔2(𝑥,𝑦),𝑦) = 𝑦;

4ბ) 𝜔2(𝜔1(𝑥,𝑦),𝑦) = 𝑦.

5) არსებობს 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑋 ასახვა ისეთი, რომ მართებულია შემდეგი ტოლობები:

5ა) 𝜔1�𝜔2�𝑥, 𝑓(𝑥)�,𝑦� = 𝑦;

5ბ) 𝜔2�𝜔1�𝑥,𝑓(𝑥)�,𝑦� = 𝑦.

თუ 𝑋 სიმრავლეზე განსაზღვრულია ორი ალგებრული ოპერაცია და მოცემულია 𝑓 ასახვა ისე, რომ ნებისმიერი 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 ელემენტებისათვის სრულდება ზემოთ ჩამოთვლილი ხუთივე პირობა, მაშინ ამ 𝑋 სიმრავლეს ეწოდება ბულის ალგებრა.

𝑓 ასახვას მეხუთე პირობიდან, ეწოდება დამატება და C სიმბოლოთი აღინიშნება. შე-მდგომში C(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 ელემენტს �̅� სიმბოლოთი აღვნიშნავთ.

𝜔1 ოპერაციას ეწოდება დიზიუნქცია და აღინიშნება ⋁ სიმბოლოთი.

𝜔2 ოპერაციას ეწოდება კონიუნქცია და აღინიშნება ⋀ სიმბოლოთი.

ჩავწეროთ ბულის ალგებრის პირობები ახალი აღნიშვნების გამოყენებით:

1ა) 𝑥 ⋁(𝑦⋁𝑧) = (𝑥 ⋁𝑦)⋁ 𝑧, 1ბ) 𝑥 ⋀(𝑦⋀𝑧) = (𝑥 ⋀𝑦)⋀𝑧,

2ა) 𝑥 ⋁ 𝑦 = 𝑦⋁𝑥, 2ბ) 𝑥 ⋀𝑦 = 𝑦⋀ 𝑥,

3ა) 𝑥 ⋁(𝑦⋀𝑧) = (𝑥 ⋁𝑦)⋀(𝑥 ⋁ 𝑧), 3ბ) 𝑥 ⋀(𝑦⋁𝑧) = (𝑥 ⋀𝑦)⋁(𝑥 ⋀ 𝑧),

4ა) (𝑥 ⋀ 𝑦)⋁𝑦 = 𝑦, 4ბ) (𝑥 ⋁𝑦)⋀𝑦 = 𝑦,

5ა) (𝑥 ⋀ �̅�)⋁𝑦 = 𝑦, 5ბ) (𝑥 ⋁ �̅�)⋀𝑦 = 𝑦.

1ა) და 1ბ) პირობების გამო, თუ გამოსახულება შეიცავს მხოლოდ დიზიუნქციებს ან მხო-ლოდ კონიუნქციებს, მაშინ ფრჩხილები შეგვიძლია არ გამოვიყენოთ.


79

ყველა ეს პირობა შეგვიძლია ჩავწეროთ დიაგრამების ენაზე. პირველი სამი პირობა ჩვენ უკვე განვიხილეთ ალგებრულ ოპერაციებში (იხ. თავი I, §4, დიაგრამები (5), (6), (7), (8)).

4ა) და 4ბ) პირობები ჩაიწერება ერთად, როგორც შემდეგი კომუტაციური დიაგრამა:

(1)

სადაც

1) 𝑞 ∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 პროექციაა, 𝑞(𝑥,𝑦) = 𝑦;

2) (1,𝑑) ∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 × 𝑋 × 𝑋 ასახვა მოცემულია (1,𝑑)(𝑥,𝑦) = (𝑥,𝑦,𝑦) ტოლობით;

3) (𝜔1 , 1) ∶ 𝑋 × 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 × 𝑋 ასახვა მოცემულია (𝜔1 , 1)(𝑥,𝑦, 𝑧) = (𝜔1(𝑥,𝑦), 𝑧) ტოლობით;

4) (𝜔2, 1) ∶ 𝑋 × 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 × 𝑋 ასახვა მოცემულია (𝜔2, 1)(𝑥,𝑦, 𝑧) = (𝜔2(𝑥,𝑦),𝑧) ტოლო-ბით.

5ა) და 5ბ) პირობები ჩაიწერება ერთად, როგორც შემდეგი კომუტაციური დიაგრამა:

(2)

სადაც

1) 𝑞 ∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 პროექციაა, 𝑞(𝑥,𝑦) = 𝑦;

2) (𝑑, 1) ∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 × 𝑋 × 𝑋 ასახვა მოცემულია (𝑑, 1)(𝑥,𝑦) = (𝑥, 𝑥,𝑦) ტოლობით;

3) (1, C, 1) ∶ 𝑋 × 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 × 𝑋 × 𝑋 ასახვა მოცემულია (1, C, 1)(𝑥,𝑦, 𝑧) = (𝑥,𝑦�,𝑧) ტოლო-ბით;

(𝜔1, 1) და (𝜔2, 1) ასახვები იგივეა, რაც (1) დიაგრამაზე.

დიზიუნქციას, კონიუნქციას და დამატებას აქვთ გარკვეული თვისებები, რომელთაგან ზოგიერთს სპეციალური სახელით მოიხსენიებენ.

დებულება 1.1 (დიზიუნქციისა და კონიუნქციის იდემპოტენტურობის თვისება). ნების-მიერი 𝑥 ∈ 𝑋 ელემენტისათვის,

ა) 𝑥 ∨ 𝑥 = 𝑥; ბ) 𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑥.

დამტკიცება. ა) გამოვიყენოთ 5ა), 2ა), 3ა) და 5ბ) პირობები. 5ა)-ში 𝑦-ის ნაცვლად ავიღოთ 𝑥. გვექნება:

𝑥 = (𝑥 ∧ �̅�) ∨ 𝑥 = 𝑥 ∨ (𝑥 ∧ �̅�) = (𝑥 ∨ 𝑥) ∧ (𝑥 ∨ �̅�) = (𝑥 ∨ �̅�) ∧ (𝑥 ∨ 𝑥) = 𝑥 ∨ 𝑥.

ბულის ალგებრა

80

ბ) გამოვიყენოთ 5ბ), 2ბ), 3ბ) და 5ა) პირობები. 5ბ)-ში 𝑦-ის ნაცვლად ავიღოთ 𝑥. გვექნება:

𝑥 = (𝑥 ∨ �̅�) ∧ 𝑥 = 𝑥 ∧ (𝑥 ∨ �̅�) = (𝑥 ∧ 𝑥) ∨ (𝑥 ∧ �̅�) = (𝑥 ∧ �̅�) ∨ (𝑥 ∧ 𝑥) = 𝑥 ∧ 𝑥. □

დებულება 1.2. ნებისმიერი 𝑥,𝑦 ∈ 𝑋 ელემენტებისათვის,

ა) 𝑥 ∨ �̅� = 𝑦 ∨ 𝑦�; ბ) 𝑥 ∧ �̅� = 𝑦 ∧ 𝑦�.

დამტკიცება. ა) თუ 5ბ) პირობაში 𝑦-ის ნაცვლად ავიღებთ 𝑦 ∨ 𝑦� ელემენტს და გამოვიყე-ნებთ 2ა) პირობას, გვექნება:

𝑦 ∨ 𝑦� = (𝑥 ∨ �̅�) ∧ (𝑦 ∨ 𝑦�) = (𝑦 ∨ 𝑦�) ∧ (𝑥 ∨ �̅�) = 𝑥 ∨ �̅�.

ბ) თუ 5ა) პირობაში 𝑦-ის ნაცვლად ავიღებთ 𝑦 ∧ 𝑦� ელემენტს და გამოვიყენებთ 2ა) პი-რობას, გვექნება:

𝑦 ∧ 𝑦� = (𝑥 ∧ �̅�) ∨ (𝑦 ∧ 𝑦�) = (𝑦 ∧ 𝑦�) ∨ (𝑥 ∧ �̅�) = 𝑥 ∧ �̅�. □

დებულება 1.2-ის თანახმად, ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝑋 ელემენტისათვის, 𝑥 ∨ �̅� არის 𝑋 სიმრავ-ლის ერთი და იგივე ელემენტი და ამ ელემენტს 1-ით აღნიშნავენ. ასევე, ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝑋 ელე-მენტისათვის, 𝑥 ∧ �̅� არის 𝑋 სიმრავლის ერთი და იგივე ელემენტი და ამ ელემენტს 0-ით აღნიშნავენ.

დებულება 1.3. ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝑋 ელემენტისათვის,

ა) 𝑥 ∨ 1 = 1, 𝑥 ∧ 1 = 𝑥; ბ) 𝑥 ∨ 0 = 𝑥, 𝑥 ∧ 0 = 0.

დამტკიცება. ა) თუ გამოვიყენებთ 1-ის განსაზღვრას, 1ა) პირობას და დებულება 1.1-ს გვექნება:

𝑥 ∨ 1 = 𝑥 ∨ (𝑥 ∨ �̅�) = (𝑥 ∨ 𝑥) ∨ �̅� = 𝑥 ∨ �̅� = 1;

რაც შეეხება მეორე ტოლობას, გამოვიყენოთ 1-ის განსაზღვრა, 2ბ) და 5ბ) პირობები:

𝑥 ∧ 1 = 𝑥 ∧ (𝑥 ∨ �̅�) = (𝑥 ∨ �̅�) ∧ 𝑥 = 𝑥.

ბ) გამოვიყენოთ 0-ის განსაზღვრა, 2ა) და 5ა) პირობები:

𝑥 ∨ 0 = 𝑥 ∨ (𝑥 ∧ �̅�) = (𝑥 ∧ �̅�) ∨ 𝑥 = 𝑥;

მეორე ტოლობის დასამტკიცებლად, გამოვიყენოთ 0-ის განსაზღვრა, 1ა) პირობა და დე-ბულება 1.1:

𝑥 ∧ 0 = 𝑥 ∧ (𝑥 ∧ �̅�) = (𝑥 ∧ 𝑥) ∧ �̅� = 𝑥 ∧ �̅� = 0. □

დებულება 1.4. თუ 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑧 და 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧, 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, მაშინ 𝑦 = 𝑧.

დამტკიცება. გამოვიყენოთ 4ბ), 2ბ), 1ბ) პირობები და მოცემულობა. გვექნება:

𝑦 = (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑦 = 𝑦 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∧ 𝑥) ∨ (𝑦 ∧ 𝑧) = (𝑥 ∧ 𝑧) ∨ (𝑦 ∧ 𝑧)

= (𝑧 ∧ 𝑥) ∨ (𝑧 ∧ 𝑦) = 𝑧 ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) = (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 = (𝑥 ∨ 𝑧) ∧ 𝑧 = 𝑧. □

შედეგი 1.1. თუ 𝑥 ∨ 𝑦 = 1 და 𝑥 ∧ 𝑦 = 0, მაშინ 𝑦 = �̅�.

დამტკიცება. თუ გავითვალისწინებთ, რომ 𝑥 ∨ �̅� = 1 და 𝑥 ∧ �̅� = 0, პირობის თანახმად გვაქვს: 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥 ∨ �̅� და 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑥 ∧ �̅�. მაშინ დებულება 1.4-ის თანახმად, 𝑦 = �̅�. □

დებულება 1.5. ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝑋 ელემენტისათვის, მართებულია ტოლობები:

ა) �̿� = 𝑥 (ორმაგი უარყოფის კანონი);


81

ბ) 𝑥 ∨ 𝑦�� = �̅� ∧ 𝑦�, 𝑥 ∧ 𝑦�� = �̅� ∨ 𝑦� (დე მორგანის კანონები).

დამტკიცება. ა) 1 და 0-ის განსაზღვრებიდან, 2ა) და 2ბ) პირობების გათვალისწინებით, გვექნება:

(�̅� ∨ 𝑥 = 𝑥 ∨ �̅� = 1, �̅� ∧ 𝑥 = 𝑥 ∧ �̅� = 0, �̅� ∨ �̿� = 1, �̅� ∧ �̿� = 0) ⇒ (�̅� ∨ 𝑥 = �̅� ∨ �̿�, �̅� ∧ 𝑥 = �̅� ∧ �̿�).

ამიტომ, დებულება 1.4-ის თანახმად, �̿� = 𝑥.

ბ) ვაჩვენოთ, რომ (𝑥 ∨ 𝑦) ∨ (�̅� ∧ 𝑦�) = 1 და (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (�̅� ∧ 𝑦�) = 0. გამოვიყენოთ 3ა), 2ა), 1ა), 3ბ), 2ბ), 1ბ) და დებულება 1.3:

(𝑥 ∨ 𝑦) ∨ (�̅� ∧ 𝑦�) = �(𝑥 ∨ 𝑦) ∨ �̅�� ∧ �(𝑥 ∨ 𝑦) ∨ 𝑦�� = �(𝑦 ∨ 𝑥) ∨ �̅�� ∧ �𝑥 ∨ (𝑦 ∨ 𝑦�)�

= �𝑦 ∨ (𝑥 ∨ �̅�)� ∧ (𝑥 ∨ 1) = (𝑦 ∨ 1) ∧ (𝑥 ∨ 1) = 1 ∧ 1 = 1; (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (�̅� ∧ 𝑦�) = (�̅� ∧ 𝑦�) ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) = �(�̅� ∧ 𝑦�) ∧ 𝑥� ∨ �(�̅� ∧ 𝑦�) ∧ 𝑦� = �(𝑦� ∧ �̅�) ∧ 𝑥� ∨ ��̅� ∧ (𝑦� ∧ 𝑦)�

= �𝑦� ∧ (�̅� ∧ 𝑥)� ∨ (�̅� ∧ 0) = (𝑦� ∧ 0) ∨ (�̅� ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0.

ახლა, თუ გამოვიყენებთ შედეგი 1.1-ს მივიღებთ პირველ ტოლობას.

მეორე ტოლობის დასამტკიცებლად გამოვიყენოთ უკვე დამტკიცებული პირველი ტო-ლობა და ა) პუნქტი. ავიღოთ პირველ ტოლობაში 𝑥 და 𝑦-ის ნაცვლად შესაბამისად, �̅� და 𝑦�:

(�̿� ∧ 𝑦� = �̅� ∨ 𝑦��) ⇒ (𝑥 ∧ 𝑦 = �̅� ∨ 𝑦��) ⇒ �𝑥 ∧ 𝑦�� = �̅� ∨ 𝑦�� ⇒ (𝑥 ∧ 𝑦�� = �̅� ∨ 𝑦�). □

მაგალითი 1.1. ვთქვათ, 𝑋 ნებისმიერი არაცარიელი სიმრავლეა. ვაჩვენოთ, რომ 2𝑋 სი-მრავლე არის ბულის ალგებრა. 2𝑋 სიმრავლეზე ჩვენ განვსაზღვრეთ სამი ოპერაცია (იხ. თავი I, მაგალითი 4.2):

1) 𝜔1 ∶ 2𝑋 × 2𝑋 → 2𝑋 , 𝜔1(𝐴,𝐵) = 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴,𝐵 ∈ 2𝑋 ;

2) 𝜔2 ∶ 2𝑋 × 2𝑋 → 2𝑋 , 𝜔2(𝐴,𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴,𝐵 ∈ 2𝑋 ;

3) 𝜔3 ∶ 2𝑋 × 2𝑋 → 2𝑋 , 𝜔3(𝐴,𝐵) = 𝐴 ∖ 𝐵, 𝐴,𝐵 ∈ 2𝑋 .

𝜔1 ოპერაცია ასოციაციური და კომუტაციურია (იხ. თავი I, §1.2 გაერთიანების თვისებე-ბი). 𝜔2 ოპერაცია ასოციაციური და კომუტაციურია (იხ. თავი I, §1.2 თანაკვეთის თვისებები). ჩვენ შევამოწმეთ, რომ 𝜔1 და 𝜔2 ოპერაციები ურთიერთშეთანხმებულია (იხ. თავი I, მაგალითი 4.15).

C ∶ 2𝑋 → 2𝑋 ასახვა განსაზღვრულია C(𝐴) = �̅� = 𝑋 ∖ 𝐴 ტოლობით.

იოლი შესამოწმებელია, რომ სრულდება ბულის ალგებრის განსაზღვრაში მოთხოვნილი მეოთხე და მეხუთე პირობები:

4ა) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐵 = 𝐵, 4ბ) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐵 = 𝐵;

5ა) (𝐴 ∩ �̅�) ∪ 𝐵 = ∅ ∪ 𝐵 = 𝐵, 5ბ) (𝐴 ∪ �̅�) ∩ 𝐵 = 𝑋 ∩ 𝐵 = 𝐵.

ამრიგად, 2𝑋 სიმრავლე, შემოღებული ოპერაციებისა და C ასახვის მიმართ, ბულის ალ-გებრაა.

მაგალითი 1.2. ვთქვათ, ℱ = {𝐹 ⊂ 2ℤ ∣∣ 𝐹 სასრული ქვესიმრავლეა }. ცხადია, ℱ სიმრავლე-ზე შეგვიძლია განვსაზღვროთ „∪“ შეკრების და „∩“ გამრავლების ოპერაციები, რადგან თუ 𝐹1,𝐹2 ∈ ℱ, მაშინ 𝐹1 ∪ 𝐹2 და 𝐹1 ∩ 𝐹2 არიან ℤ სიმრავლის სასრული ქვესიმრავლეები, მაგრამ C ასა-ხვა არ განისაზღვრება, რადგან C(𝐹) = ℤ ∖ 𝐹 არ არის ℤ სიმრავლის სასრული ქვესიმრავლე. ამი-ტომ ℱ სიმრავლე არ იქნება ბულის ალგებრა.


82

მაგალითი 1.3. ვთქვათ, 𝒜 = � 𝐴 ⊂ 2ℝ ∣∣ 𝐴 თვლადი ქვესიმრავლეა �. ცხადია, 𝒜 სიმრავლე-ზე შეგვიძლია განვსაზღვროთ „∪“ შეკრების და „∩“ გამრავლების ოპერაციები, რადგან თუ 𝐴1,𝐴2 ∈ 𝒜, მაშინ 𝐴1 ∪ 𝐴2 და 𝐴1 ∩ 𝐴2 არიან ℝ სიმრავლის თვლადი ქვესიმრავლეები, მაგრამ C ასახვა არ განისაზღვრება, რადგან C(𝐴) = ℝ ∖ 𝐴 არ არის ℝ სიმრავლის თვლადი ქვესიმრავლე. ამიტომ 𝒜 სიმრავლე არ იქნება ბულის ალგებრა.

მაგალითი 1.4. ვთქვათ, 𝑋 = {0,1} ორელემენტიანი სიმრავლეა.

ა) განვსაზღვროთ 𝜔1 ∶ 𝑋2 → 𝑋 ოპერაცია შემდეგნაირად:

𝜔1(0,0) = 0, 𝜔1(0,1) = 1, 𝜔1(1,0) = 1, 𝜔1(1,1) = 1.

ბ) განვსაზღვროთ 𝜔2 ∶ 𝑋2 → 𝑋 ოპერაცია შემდეგნაირად:

𝜔2(0,0) = 0, 𝜔2(0,1) = 0, 𝜔2(1,0) = 0, 𝜔2(1,1) = 1.

გ) C ∶ 𝑋 → 𝑋 ასახვა განვსაზღვროთ შემდეგნაირად:

C(0) = 1, C(1) = 0.

ვაჩვენოთ, რომ სრულდება ბულის ალგებრის განსაზღვრაში მოთხოვნილი ხუთივე პი-რობა:

1ა) 𝜔1�0,𝜔1(0,0)� = 𝜔1(0,0) = 0, 𝜔1(𝜔1(0,0), 0) = 𝜔1(0,0) = 0;

𝜔1�0,𝜔1(0,1)� = 𝜔1(0,1) = 1, 𝜔1(𝜔1(0,0), 1) = 𝜔1(0,1) = 1;

დანარჩენი ტოლობების შემოწმება ანალოგიურია.

1ბ) 𝜔2�0,𝜔2(0,0)� = 𝜔2(0,0) = 0, 𝜔2(𝜔2(0,0), 0) = 𝜔2(0,0) = 0;

𝜔2�0,𝜔2(0,1)� = 𝜔2(0,0) = 0, 𝜔2(𝜔2(0,0), 1) = 𝜔2(0,1) = 0;


2ა) და 2ბ) პირობების შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან ეს თვისებები პირდაპირ 𝜔1 და 𝜔2 ოპერაციების განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს.

3ა) 𝜔1�0,𝜔2(0,0)� = 𝜔1(0,0) = 0, 𝜔2�𝜔1(0,0),𝜔1(0,0)� = 𝜔2(0,0) = 0;

𝜔1�0,𝜔2(0,1)� = 𝜔1(0,0) = 0, 𝜔2�𝜔1(0,0),𝜔1(0,1)� = 𝜔2(0,1) = 0;


3ბ) 𝜔2�0,𝜔1(0,0)� = 𝜔2(0,0) = 0, 𝜔1�𝜔2(0,0),𝜔2(0,0)� = 𝜔1(0,0) = 0;

𝜔2�0,𝜔1(0,1)� = 𝜔2(0,1) = 0, 𝜔1�𝜔2(0,0),𝜔2(0,1)� = 𝜔1(0,0) = 0;


4ა) 𝜔1(𝜔2(0,0), 0) = 𝜔1(0,0) = 0,

𝜔1(𝜔2(0,1), 1) = 𝜔1(0,1) = 1;


4ბ) 𝜔2(𝜔1(0,0), 0) = 𝜔2(0,0) = 0,

𝜔2(𝜔1(0,1), 1) = 𝜔2(1,1) = 1;



83

5ა) 𝜔1(𝜔2(0,1), 0) = 𝜔1(0,0) = 0,

𝜔1(𝜔2(0,1), 1) = 𝜔1(0,1) = 1;


5ბ) 𝜔2(𝜔1(0,1), 0) = 𝜔2(1,0) = 0,

𝜔2(𝜔1(0,1), 1) = 𝜔2(1,1) = 1;


ე. ი. 𝑋 = {0,1} სიმრავლე, განსაზღვრული 𝜔1 და 𝜔2 ოპერაციებისა და C ასახვის მიმართ, ბულის ალგებრაა.

ვთქვათ, მოცემულია 𝑋, 𝑌 ბულის ალგებრები და 𝜆 ∶ 𝑋 → 𝑌 ასახვა. ვიტყვით, რომ 𝜆 არის ბულის ჰომომორფიზმი, თუ სრულდება პირობები:

1) 𝜆�𝜔𝑖(𝑥, 𝑥′)� = 𝜔𝑖�𝜆(𝑥), 𝜆(𝑥′)�, 𝑖 = 1, 2, 𝑥, 𝑥′ ∈ 𝑋;

2) 𝜆C(𝑥) = C𝜆(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋.

თუ ამავე დროს 𝜆 არის ბიექცია, მაშინ მას ეწოდება ბულის იზომორფიზმი.

84

§2. ბულის ფუნქციები

როგორც უკვე ვიცით (იხ. მაგალითი 1.2), 𝑋 = {0, 1} სიმრავლე, მასზე განსაზღვრული 𝜔1 = „⋁“, 𝜔2 = „⋀“ ოპერაციების და C ∶ 𝑋 → 𝑋 ასახვის მიმართ, წარმოადგენს ბულის ალგებრას.

განსაზღვრა 2.1. 𝑓 ∶ 𝑋𝑚 → 𝑋 ასახვას, რომელიც წარმოადგენს კომპოზიციას, შედგენილს 𝜔1,𝜔2 , დამატებით და პროექციებით, ეწოდება 𝑚 ცვლადის ბულის ფუნქცია.

მაგალითი 2.1. 𝑚 = 4, 𝑓 ∶ 𝑋4 → 𝑋 ასახვა კომპოზიციაა:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) = 𝜔1(C𝑝2,𝑝3)(𝑥) = 𝜔1�C𝑝2(𝑥),𝑝3(𝑥)� = 𝑥2�� ⋁𝑥3 ;

2) 𝑓(𝑥) = 𝜔2�𝑝1,𝜔1(𝑝2, C𝑝4)�(𝑥) = 𝜔2 �𝑝1(𝑥),𝜔1�𝑝2(𝑥), C𝑝4(𝑥)�� = 𝑥1 ⋀(𝑥2 ⋁ 𝑥4��) ;

3) 𝑓(𝑥) = 𝜔2�𝜔1�𝜔2(𝑝1,𝑝2),𝜔2(C𝑝2,𝑝3)�, C𝑝5�(𝑥) = 𝜔2(𝜔1(𝑥1 ⋀𝑥2 , 𝑥2��⋀ 𝑥3), 𝑥5��)

= 𝜔2�(𝑥1 ⋀𝑥2)⋁(𝑥2��⋀𝑥3) , 𝑥5�� = �(𝑥1 ⋀𝑥2)⋁(𝑥2�� ⋀𝑥3)� ⋀𝑥5�� ;

4) 𝑓(𝑥) = 𝜔2�C𝜔1(𝑝1,𝑝3),𝜔1(𝑝2,𝑝4)�(𝑥) = 𝜔2 �C𝜔1�𝑝1(𝑥),𝑝3(𝑥)�,𝜔1�𝑝2(𝑥),𝑝4(𝑥)��

= 𝜔2(𝑥1 ⋁ 𝑥3�� , 𝑥2 ⋁𝑥4) = (𝑥1 ⋁𝑥3��)⋀(𝑥2 ⋁𝑥4).

რამდენი არსებობს სულ 𝑚 ცვლადის ბულის ფუნქცია?

დებულება 2.1. ა) ნებისმიერი 𝑓 ∶ 𝑋𝑚 → 𝑋 ასახვა ბულის ფუნქციაა.

ბ) 𝑚 ცვლადის ბულის ფუნქციათა რაოდენობაა 22𝑚.

დამტკიცება. ა) ცხადია, ნებისმიერი 𝑓 ∶ 𝑋𝑚 → 𝑋 ასახვა შემდეგი წესით განისაზღვრება: ყოველ (𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) ∈ 𝑋𝑚 ელემენტს, სადაც 𝛽𝑖 = 0 ან 1, 𝑓 ასახვა შეუსაბამებს 0-ს ან 1-ს. შე-მოვიღოთ აღნიშვნა: 𝐴𝑓 = { (𝛼1,𝛼2, … ,𝛼𝑚) ∣∣ 𝑓(𝛼1,𝛼2, … ,𝛼𝑚) = 1 }. განვიხილოთ ორი შემთხვევა:

1) 𝐴𝑓 = ∅. ვთქვათ, ℎ(𝑥) = ℎ(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑚) = 𝜔2�𝑝1(𝑥), C𝑝1(𝑥)� = 𝑥1 ⋀𝑥1��. შევამოწმოთ, რომ ნებისმიერი (𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) ∈ 𝑋𝑚 ელემენტისათვის, ℎ(𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) = 0. მართლაც,

ℎ(𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) = 𝛽1 ⋀𝛽1�� = �0⋀0� = 0⋀1 = 0, თუ 𝛽1 = 0,1⋀1� = 1⋀0 = 0, თუ 𝛽1 = 1.

ცხადია, ℎ ბულის ფუნქციაა და ℎ = 𝑓.

2) 𝐴𝑓 ≠ ∅. შემოვიღოთ აღნიშვნა:

𝑥𝑖𝛼𝑖 = �

𝑥𝑖 , თუ 𝛼𝑖 = 1,𝑥𝚤� , თუ 𝛼𝑖 = 0,

𝑖 = 1,2, … ,𝑚. განვიხილოთ შემთხვევები:

თუ 𝑥𝑖 = 0 და 𝛼𝑖 = 0, მაშინ 𝑥𝑖𝛼𝑖 = �̅�𝑖 = 0� = 1,

თუ 𝑥𝑖 = 0 და 𝛼𝑖 = 1, მაშინ 𝑥𝑖𝛼𝑖 = 𝑥𝑖 = 0,

თუ 𝑥𝑖 = 1 და 𝛼𝑖 = 0, მაშინ 𝑥𝑖𝛼𝑖 = �̅�𝑖 = 1� = 0,

თუ 𝑥𝑖 = 1 და 𝛼𝑖 = 1, მაშინ 𝑥𝑖𝛼𝑖 = 𝑥𝑖 = 1.

ამრიგად,

𝑥𝑖𝛼𝑖 = �

0, თუ 𝑥𝑖 = 𝛼𝑖 ,1, თუ 𝑥𝑖 ≠ 𝛼𝑖 .

§2. ბულის ფუნქციები

85

ახლა განვიხილოთ შემდეგი ფუნქცია:

ℎ(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑚) = � �𝑥1𝛼1⋀𝑥2

𝛼2⋀⋯⋀𝑥𝑚𝛼𝑚�

(𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑚)∈𝐴𝑓

. (3)

ცხადია, ფრჩხილებში მდგომი გამოსახულება წარმოადგენს 𝜔2, C და 𝑝𝑖 პროექციების კომპოზიციებს, ამიტომ ℎ არის 𝑚 ცვლადის ბულის ფუნქცია. ვაჩვენოთ, რომ ℎ = 𝑓. ამისა-თვის უნდა ვაჩვენოთ, რომ ℎ(𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) = 1, თუ (𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) ∈ 𝐴𝑓 და ℎ(𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) = 0, თუ (𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) ∉ 𝐴𝑓 . განსაზღვრის თანახმად,

ℎ(𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) = � �𝛽1𝛼1⋀𝛽2

𝛼2⋀⋯⋀𝛽𝑚𝛼𝑚�

(𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑚)∈𝐴𝑓

. (4)

თუ (𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) ∈ 𝐴𝑓, მაშინ (4)-ის ფრჩხილებში მოთავსებულ გამოსახულებათაგან მხოლოდ ერთში გვექნება 𝛽𝑖 = 𝛼𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,𝑚, ამიტომ ამ გამოსახულების მნიშვნელობა იქნე-ბა 1 და მაშასადამე ℎ(𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) = 1. ხოლო თუ (𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) ∉ 𝐴𝑓 , მაშინ (4)-ის ყოველ, ფრჩხილებში მოთავსებულ გამოსახულებაში, არსებობს ერთი მაინც 𝑖 ∈ {1,2, … ,𝑚} ისეთი, რომ 𝛽𝑖 ≠ 𝛼𝑖 . განსაზღვრის თანახმად, ამ შემთხვევაში 𝛽𝑖

𝛼𝑖 = 0, ამიტომ ფრჩხილებში მოთავსებული ყველა გამოსახულება ნულის ტოლია და მაშასადამე, ℎ(𝛽1,𝛽2, … ,𝛽𝑚) = 0.

ბ) 𝑋 = {0, 1}, 𝑛(𝑋) = 2, ამიტომ 𝑛(𝑋𝑚) = 2𝑚 (იხ. თავი II, (1)). მაშინ 𝑓 ∶ 𝑋𝑚 → 𝑋 ასახვა-თა რაოდენობაა 𝑛(𝑋)𝑛(𝑋𝑚) = 22𝑚 (იხ. თავი II, დებულება 1.3). □

(3) ფორმულა შეგვიძლია გამოვიყენოთ ცხრილის სახით მოცემული ბულის ფუნქციის ფორმულის სახით ჩასაწერად.

მაგალითი 2.2. ბულის ფუნქცია მოცემულია შემდეგი ცხრილის სახით:

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

ჩავწეროთ მოცემული ფუნქცია ფორმულის სახით.

გვაქვს: 𝐴𝑓 = {(0,0,0), (0,1,1), (1,0,0)}. (3) ფორმულის თანახმად, ვღებულობთ:

𝑓(𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3) = (𝑥10 ⋀𝑥20 ⋀𝑥30)⋁(𝑥10 ⋀𝑥21 ⋀𝑥31)⋁(𝑥11 ⋀𝑥20 ⋀𝑥30)

= (𝑥1�� ⋀𝑥2�� ⋀𝑥3��)⋁(𝑥1�� ⋀𝑥2 ⋀𝑥3)⋁(𝑥1 ⋀𝑥2�� ⋀𝑥3��).

ერთი ცვლადის ბულის ფუნქციები სულ ოთხი არსებობს. წარმოვადგინოთ ისინი შემდე-გი ცხრილის სახით:


86

𝑥 𝑓0 𝑓1 𝑓2 𝑓3

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

𝑓0 ფუნქციას იგივურ ნულს უწოდებენ;

𝑓1 − იგივური ფუნქციაა 𝑓1 = 1𝑋;

𝑓2 − ფუნქცია დამატებაა, 𝑓2 = C;

𝑓3 ფუნქციას იგივურ ერთს უწოდებენ.

ბულის ფუნქციებს შორის მნიშვნელოვანია ორი ცვლადის ფუნქციები. წარმოვადგინოთ ზოგიერთი მათგანი ცხრილის სახით, რომლის პირველ სტრიქონში მითითებულია შესაბამისი სიმბოლო, ხოლო მეორე სტრიქონში ფუნქციის აღნიშვნა:

∧ + ∨ ↔ →

𝑥1 𝑥2 𝑔1 𝑔6 𝑔7 𝑔9 𝑔13

0 0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 1 1

ამ ფუნქციათა აღნიშვნებში ინდექსები მიანიშნებს იმ ფაქტზე, რომ მაგალითად, ფუნქცი-

ის მნიშვნელობების მიმდევრობა 0001 წარმოადგენს რიცხვი 1-ის ჩანაწერს ორობით სისტემა-ში, ხოლო 0111 კი რიცხვი 7-ის ჩანაწერია ორობით სისტემაში.

𝑔1(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 ⋀𝑥2 ფუნქციას კონიუნქცია ეწოდება; 𝑔6(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + 𝑥2 ფუნქციას − შე-კრება მოდულით 2; 𝑔7(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 ⋁𝑥2 ფუნქციას − დიზიუნქცია; 𝑔9(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 ↔ 𝑥2 ფუნქ-ციას − ეკვივალენტობა; 𝑔13(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 → 𝑥2 ფუნქციას − იმპლიკაცია.

შენიშვნა 2.1. განსაზღვრა 2.1 და დებულება 2.1-ის თანახმად, ნებისმიერი 𝑓 ∶ 𝑋𝑚 → 𝑋 ასა-ხვა წარმოადგენს დიზიუნქციების, კონიუნქციების, დამატების და პროექციების კომპოზიციებს. კერძოდ,

𝑔6(𝑥1, 𝑥2) = (𝑥1�� ∧ 𝑥2) ∨ (𝑥1 ∧ 𝑥2��), 𝑔9(𝑥1, 𝑥2) = (𝑥1�� ∧ 𝑥2��) ∨ (𝑥1 ∧ 𝑥2), 𝑔13(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1�� ∨ 𝑥2.

87

§3. ბულის ფუნქციების გამოყენება რელე კონტაქტურ სქემებში

ბულის ფუნქციები ფართოდ გამოიყენება დისკრეტული მმართველი სისტემების აღწე-რისას (კონტაქტური სქემები, ფუნქციური ელემენტებისაგან შედგენილი სქემები, ლოგიკური ქსელები და ა.შ.), ზოგიერთი ელექტრული ქსელის გამოკვლევისას, ე.წ. რელე კონტაქტურ სქე-მებში.

გამოყენების იდეა. რელე კონტაქტური სქემა ეს არის მოწყობილობა, რომელიც შედგება გამტარებისაგან და ორი პოზიციის მქონე კონტაქტებისაგან. ის შეიძლება განკუთვნილი იყოს, მაგალითად, მომხმარებლის დენის წყაროსთან შესაერთებლად (ან გასათიშად). რელე კონტაქ-ტური სქემის კონტაქტები შეიძლება იყოს ორი ტიპის: ჩამკეტი და გამხსნელი. ყოველი კონტაქ-ტი მიერთებულია გარკვეულ რელეზე (გადამრთველზე). ერთ რელეზე შეიძლება მიერთებული იყოს რამდენიმე კონტაქტი, როგორც ჩამკეტი, ასევე გამხსნელი. ტექნიკურად რელე წარმოად-გენს ლითონის გულარის მქონე კოჭას, რომლის სიახლოვეს იმყოფება შესაბამისი კონტაქტი.

როცა კოჭაში გაივლის ელექტროდენი, ლითონის გულარი დამაგნიტდება და ჩაკეტავს ყველა მასთან მყოფ ჩამკეტ კონტაქტს. ამავდროულად მოცემულ რელესთან დაკავშირებული ყველა გამხსნელი კონტაქტი გაიხსნება. რადგან ელექტროდენის არარსებობის შემთხვევაში ჩამ-კეტი კონტაქტები ღიაა, მათ უწოდებენ ასევე ნორმალურად ღიას. ანალოგიურად, გამხსნელ კონტაქტებს უწოდებენ ნორმალურად ჩაკეტილს. თუ რელეს ხვეულებში დენი შეწყდება, ყველა ჩამკეტი კონტაქტი კვლავ გაიხსნება, ხოლო ყველა გამხსნელი კონტაქტი ჩაიკეტება.

ყოველ რელეს შეუსაბამებენ თავის ბულის ცვლადს 𝑥1-ს, ან 𝑥2-ს,..., ან 𝑥𝑛-ს, რომელიც იღებს მნიშვნელობას 1, როცა რელე მუშაობს და მნიშვნელობას 0, როცა რელე გამოირთვება. ნახაზზე ყველა ჩამკეტ კონტაქტს, რომელიც 𝑥 რელეზეა მიერთებული, ასევე 𝑥-ით აღნიშნავენ, ხოლო ყველა გამხსნელ კონტაქტს, რომელიც 𝑥 რელეზეა მიერთებული, �̅�-ით აღნიშნავენ. ეს ნიშნავს, რომ როცა 𝑥 რელე ამუშავდება, ყველა ჩამკეტი კონტაქტი 𝑥 ატარებს დენს და მათ შეე-საბამება მნიშვნელობა 1, ხოლო არცერთი გამხსნელი კონტაქტი �̅� არ ატარებს დენს და მათ შეე-საბამება მნიშვნელობა 0. გამორთული 𝑥 რელეს შემთხვევაში იქმნება საპირისპირო სურათი: ყველა მისი ჩამკეტი კონტაქტი ღიაა, ე.ი. ამ დროს მათ შეესაბამება მნიშვნელობა 0, ხოლო ყველა მისი გამხსნელი კონტაქტი �̅� ჩაკეტილია, ე.ი. ამ დროს მათ შეესაბამება მნიშვნელობა 1. მაშინ მთელს რელე კონტაქტურ სქემას შეესაბამება ბულის ცვლადი 𝑦, დამოკიდებული 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ცვლადებზე, რომლებიც სქემაში შემავალ რელეებს შეესაბამებიან. თუ რელეების მდგომარეობა-თა მოცემული 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ერთობლიობისათვის (ზოგიერთი რელე მუშა მდგომარეობაშია, და-ნარჩენები გამორთული) მთელი რელე კონტაქტური სქემა ატარებს (არ ატარებს) ელექტროდენს, მაშინ 𝑦 ცვლადს შეესაბამება მნიშვნელობა 1 (შესაბამისად 0). ვინაიდან რელეების მდგომარეო-ბათა ყოველი 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ერთობლიობა ხასიათდება 𝑛 სიგრძის მქონე ნულებისა და ერთიანე-ბის ერთობლიობით, ამიტომ მოცემული რელე კონტაქტური სქემა განსაზღვრავს გარკვეულ წესს, რომლის მიხედვითაც ყოველ ასეთ 𝑛 სიგრძის ერთობლიობას, შედგენილს ნულებისა და ერთიანებისაგან, შეესაბამება ან 0, ან 1. ამრიგად, ყოველი რელე კონტაქტური სქემა, რომელიც შეიცავს 𝑛 დამოუკიდებელ რელეს (მასში კონტაქტები შეიძლება იყოს 𝑛 ან მეტი), განსაზ-ღვრავს გარკვეულ, 𝑛 არგუმენტის 𝑦 ბულის ფუნქციას. ის იღებს მნიშვნელობას 1, მისი 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 არგუმენტების მნიშვნელობათა იმ და მხოლოდ იმ ერთობლიობებზე, რომლების-თვისაც მოცემული სქემა ატარებს დენს. ასეთ 𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ბულის ფუნქციას უწოდებენ მოცემული რელე კონტაქტური სქემის გამტარობის ფუნქციას.


88

ამრიგად, ბულის ფუნქციათა თეორია გვაძლევს რეალური ფიზიკური რელე კონტაქტუ-რი სქემების მათემატიკურ მოდელებს.

განვიხილოთ ზოგიერთი რელე კონტაქტური სქემა და ვიპოვოთ მათი გამტარობის ფუნქ-ციები. პირველი სქემა შედგება ორი, თანმიმდევრობით შეერთებული 𝑥 და 𝑦 კონტაქტისაგან, ე.ი. კონტაქტებისაგან, რომლებიც დაკავშირებულია 𝑥 და 𝑦 ორ დამოუკიდებელ რელესთან, რომელთაგან თითოეული მეორისაგან დამოუკიდებლად ირთვება:

ცხადია, რომ მოცემული სქემა ელექტროდენს ატარებს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ორივე 𝑥 და 𝑦 კონტაქტი ჩაკეტილია, ე.ი. მხოლოდ მაშინ, როცა ორივე 𝑥 და 𝑦 ცვლადი იღებს მნიშვნელობას 1. ბულის ფუნქცია, რომელიც ამ პირობებს აკმაყოფილებს კარგადაა ცნობილი. ეს არის კონიუნქცია 𝑥 ⋀𝑦. ამრიგად, ორი, თანმიმდევრობით შეერთებული 𝑥 და 𝑦 კონტაქტისაგან შედგენილი რელე კონტაქტური სქემის გამტარობის ფუნქციაა კონიუნქცია 𝑥 ⋀𝑦. ამბობენ, რომ ორი კონტაქტის თანმიმდევრული შეერთებით რეალიზდება ამ კონტაქტების შესაბამისი ბულის ცვლადების კონიუნქცია.

მეორე სქემა შედგება ორი, პარალელურად შეერთებული 𝑥 და 𝑦 კონტაქტისაგან:

ცხადია, რომ მოცემული სქემა ელექტროდენს ატარებს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა კონტაქტებიდან (𝑥 ან 𝑦) ერთი მაინც ჩაკეტილია, ე.ი. ბულის ცვლადებიდან (𝑥 ან 𝑦) ერთი მაინც იღებს მნიშვნელობას 1. ბულის ფუნქცია, რომელიც ამ პირობებს აკმაყოფილებს ჩვენთვის ასევე კარგადაა ცნობილი. ესაა დიზიუნქცია 𝑥 ⋁𝑦. ამრიგად, ორი, პარალელურად შეერთებული 𝑥 და 𝑦 კონტაქტისაგან შედგენილი რელე კონტაქტური სქემის გამტარობის ფუნქციაა დიზიუნქცია 𝑥 ⋁𝑦. ამბობენ, რომ ორი კონტაქტის პარალელური შეერთებით რეალიზდება ამ კონტაქტების შესაბამისი ბულის ცვლადების დიზიუნქცია.

ამრიგად, რელე კონტაქტური სქემებით შეიძლება ბულის ფუნქციების რეალიზება: კონი-უნქციის, დიზიუნქციის და დამატების. შეიძლება თუ არა ბულის სხვა ფუნქციების ანალოგი-ური რეალიზება? ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა შენიშვნა 2.1, რადგან ამ შენიშვნის თანახმად, ბულის ყოველი ფუნქცია წარმოიდგინება კონიუნქციის, დიზიუნქციის და დამატების სახით, ხოლო ახლახან კი ვაჩვენეთ, რომ კონიუნქცია, დიზიუნქცია და დამატება რეალიზდება რელე კონტაქტური სქემებით. აქედან გამომდინარე, ბულის ნებისმიერი ფუნქცია რეალიზდება რელე კონტაქტური სქემით, ანუ შეიძლება აიგოს რელე კონტაქტური სქემა, რომლისთვისაც ბულის მოცემული ფუნქცია გამტარობის ფუნქცია იქნება.

რელე კონტაქტური სქემების ორი ძირითადი ამოცანა. მუშაობის მოცემული პირობებით რელე კონტაქტური სქემის შედგენას, ეწოდება რელე კონტაქტური სქემების სინთეზის ამოცანა და წარმოადგენს პირველ მნიშვნელოვან ამოცანას. ამოცანა შემდეგია: უნდა აიგოს სქემა, რომე-ლიც დენს გაატარებს მხოლოდ განსაზღვრულ, წინასწარ დადგენილ პირობებში.

§3. ბულის ფუნქციების გამოყენება რელე კონტაქტურ სქემებში

89

ბულის ყოველი ფუნქციისათვის ბუნებრივი იქნებოდა აგვერჩია უმარტივესი ან ერთ-ერთი უმარტივესი რელე კონტაქტური სქემა, რომლითაც ეს ფუნქცია რეალიზდება. ამიტომ რე-ლე კონტაქტური სქემების გამარტივებას უწოდებენ ასეთი სქემების ანალიზის ამოცანას და ეს არის რელე კონტაქტური სქემების თეორიის მეორე მნიშვნელოვანი ამოცანა. ორ რელე კონტაქ-ტურ სქემას, რომლებიც ერთი და იმავე რელეებისაგან შედგება, ეწოდება ტოლფასი, თუ ერთ-ერთი მათგანი დენს ატარებს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა მეორე მათგანიც ატარებს. სხვა სი-ტყვებით, ორი რელე კონტაქტური სქემა, რომლებიც ერთი და იმავე რელეებისაგან შედგება, ტოლფასია, თუ მათ აქვთ ერთი და იმავე ცვლადების ერთნაირი გამტარობის ფუნქციები. ორი ტოლფასი სქემიდან მარტივად ითვლება ის, რომელიც შეიცავს კონტაქტების ნაკლებ რაოდენო-ბას. რელე კონტაქტური სქემის გამარტივება ნიშნავს მისი ტოლფასი უფრო მარტივი სქემის პოვ-ნას. ჩვეულებრივ ეს ამოცანა შემდეგნაირად იხსნება: ა) მოცემული რელე კონტაქტური სქემისა-თვის ჩაწერენ მის გამტარობის ფუნქციას; ბ) შემდეგ ამ ფუნქციას ამარტივებენ ტოლფასი გარდა-ქმნებით (იყენებენ რა ბულის ალგებრის ცნობილ თვისებებს, ე.ი. დაიყვანენ ფუნქციაზე, რომე-ლიც ცვლადების გამეორებებს უფრო ნაკლები რაოდენობით შეიცავს, ვიდრე საწყისი ფუნქცია); გ) ბოლოს, აგებენ რელე კონტაქტურ სქემას, რომლიც ბულის გამარტივებულ ფუნქციას შეესაბა-მება.

90

სავარჯიშოები IV თავისათვის

1. ბულის ფუნქციები.

1.1. არგუმენტთა მნიშვნელობების რამდენ ერთობლიობაზე იღებს 1-ის ტოლ მნიშვნე-ლობას 𝑛 არგუმენტის შემდეგი ბულის ფუნქცია:

ა) (𝑥1 ∧ 𝑥2 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑛) + 1; ე) (𝑥1 ∧ 𝑥2 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑛−1) + 𝑥𝑛 ;

ბ) (𝑥1 ∧ 𝑥2 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑛) + 𝑥1; ვ) (𝑥1 ∧ 𝑥2) + (𝑥3 ∧ 𝑥4 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑛) + 1

გ) 𝑥1 + (𝑥2 ∧ 𝑥3 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑛) ; ზ) (𝑥1 ∧ 𝑥2 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑘) + (𝑥𝑘+1 ∧ 𝑥𝑘+2 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑛);

დ) 1 + 𝑥1 + (𝑥2 ∧ 𝑥3 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑛) ; თ) (𝑥1 ∧ 𝑥2 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑘)⋁(𝑥𝑘+1 ∧ 𝑥𝑘+2 ∧ ⋯∧ 𝑥𝑛).

1.2. ააგეთ ბულის შემდეგი ფუნქციების მნიშვნელობათა ცხრილები:

ა) 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = �(𝑥 → 𝑧) ∧ 𝑦�� → �̅�;

ბ) 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = �(𝑥 ⋁𝑦�) → 𝑧� ∧ �(�̅� ⋁ 𝑦�) ↔ 𝑧̅�;

გ) 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = �̅� → �𝑥 ↔ �𝑦 + (𝑥 ∧ 𝑧)��;

დ) 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = (�̅� ∧ 𝑦�) + (𝑦 ∧ 𝑧̅) + (𝑥 ∧ 𝑦).

1.3. მნიშვნელობათა ცხრილების აგებით დაადგინეთ, ტოლია თუ არა ბულის შემდეგი ფუნქციები:

ა) 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = �(𝑥 ⋁𝑦)⋁𝑧� → �(𝑥 ⋁ 𝑦) ∧ (𝑥 ⋁𝑧)�, 𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥 ⋁(𝑦 ↔ 𝑧);

ბ) 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = (�̅� ⋁ 𝑦)⋁(𝑥 ⋁𝑧) , 𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = (𝑥 ⋁𝑦⋁ 𝑧) ∧ (�̅� ⋁ 𝑦 ⋁ 𝑧) ∧ (�̅� ⋁ 𝑦 ⋁ 𝑧̅);

გ) 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = (𝑥 → 𝑦) → 𝑧 , 𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥 → (𝑦 → 𝑧);

დ) 𝑓(𝑥,𝑦) = �(𝑥 + 𝑦) → (𝑥 ⋁𝑦)� ∧ �(�̅� → 𝑦) → (𝑥 + 𝑦)�, 𝑔(𝑥,𝑦) = �̅� ⋁ 𝑦� .

1.4. დაამტკიცეთ, რომ ბულის ფუნქციები შემდეგნაირად გამოისახება დამატებით და დიზიუნქციით:

ა) 𝑥 ∧ 𝑦 = �̅� ⋁ 𝑦��;

ბ) 𝑥 → 𝑦 = �̅� ⋁ 𝑦;

გ) 𝑥 ↔ 𝑦 = (�̅� ⋁ 𝑦) ∧ (𝑥 ⋁𝑦�);

დ) 𝑥 + 𝑦 = �̅� ⋁ 𝑦�� ⋁𝑥 ⋁𝑦��.

1.5. დაამტკიცეთ, რომ ბულის ფუნქციები შემდეგნაირად გამოისახება შეკრებით მოდუ-ლით 2 და იგივური ერთით:

ა) �̅� = 𝑥 + 1;

ბ) 𝑥 → 𝑦 = (𝑥 ∧ 𝑦) + 𝑥 + 1;

გ) 𝑥 ↔ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 1;

დ) (�̅� ∧ 𝑦)⋁(𝑥 ∧ 𝑦�) = 𝑥 + 𝑦;

ე) 𝑥 ⋁𝑦 = (𝑥 ∧ 𝑦) + 𝑥 + 𝑦.


91

2. ბულის ფუნქციების გამოყენება.

2.1. იპოვეთ შემდეგი რელე კონტაქტური სქემების გამტარობის ფუნქციები:

ა)

ბ)

გ)

დ)

ე)

ვ)

ზ)

თ)

2.2. ააგეთ მოცემული გამტარობის ფუნქციის შესაბამისი რელე კონტაქტური სქემა:

ა) �(𝑥 ∧ 𝑦)⋁𝑧̅ ⋁ �̅�� ∧ (�̅� ⋁ 𝑦);

ბ) �(�̅� ⋁ 𝑦) ∧ �(𝑦 ∧ 𝑧)⋁𝑥��⋁(𝑢 ∧ 𝑧);

გ) �𝑥�(𝑦 ∧ 𝑧)⋁(𝑦� ∧ 𝑧̅)��⋁ ��̅� ∧ �(𝑦� ∧ 𝑧)⋁(𝑦 ∧ 𝑧̅)��;

დ) �̅� ∧ �(𝑦� ∧ 𝑧)⋁𝑥⋁𝑦�;

ე) �(𝑥 ∧ 𝑦) → (�̅� ∧ 𝑦)� ∧ (𝑥 ⋁(𝑦 ∧ 𝑧));

ვ) (𝑥 → 𝑦) → ��̅� ∧ (𝑦⋁ 𝑧)�.


92

2.3. შეამოწმეთ შემდეგი რელე-კონტაქტური სქემების ტოლფასობა:

ა)

ბ)

გ)

დ)

ე)

ვ)

ზ)

თ)

2.4. ააგეთ ოთხი კონტაქტის შემცველი უმარტივესი რელე კონტაქტური სქემა, რომელიც დენს გაატარებს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა შესრულდება შემდეგი პირობებიდან ერთი მა-ინც: ა) კონტაქტი 𝑥 ჩაკეტილია, ხოლო 𝑦 და 𝑧 კონტაქტებიდან მხოლოდ ერთია ჩაკეტილი; ბ)


93

კონტაქტი 𝑡 გახსნილია და დანარჩენი კონტაქტებიდან მხოლოდ ორია გახსნილი; გ) მხოლოდ ორი კონტაქტია ჩაკეტილი, მაგრამ არა კონტაქტები 𝑦 და 𝑡.

2.5. ააგეთ ოთხი კონტაქტის შემცველი რელე კონტაქტური სქემა, რომელიც დენს გაატა-რებს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ჩაკეტილია ზოგიერთი, მაგრამ არა ყველა კონტაქტი.

2.6. ააგეთ ხუთი კონტაქტის შემცველი რელე კონტაქტური სქემა, რომელიც დენს გაატა-რებს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ჩაკეტილია კონტაქტების ნაკლები რაოდენობა, მაგრამ თუ ბოლო კონტაქტი ჩაკეტილია, მაშინ სქემა ატარებს დენს დანარჩენი კონტაქტებისაგან დამოუკი-დებლად.

94

თავი V. მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები

§1. გამონათქვამთა ალგებრა

1. ლოგიკური ოპერაციები. ვთქვათ, 𝑋 სიმრავლეა, რომლის ელემენტებია გამონათქვამე-ბი. გამონათქვამში ჩვენ ვგულისხმობთ ისეთ წინადადებას, რომელზედაც შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის ჭეშმარიტია ან მცდარი. გამონათქვამი არ შეიძლება იყოს ერთდროულად ჭეშმარიტიც და მცდარიც. განვიხილოთ რამდენიმე წინადადება:

1) „თბილისი საქართველოს დედაქალაქია“.

ეს წინადადება არის გამონათქვამი, რადგან მასზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის ჭეშმარიტია.

2) „4 > 9“.

ეს წინადადება ასევე გამონათქვამია, რადგან მასზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის მცდარია.

3) „დღეს კარგი ამინდია“.

ეს წინადადება არ არის გამონათქვამი, რადგან ცალსახად ვერ ვიტყვით, ის ჭეშმარიტია თუ მცდარი. ზოგიერთისათვის წვიმა კარგი ამინდია, ზოგიერთისათვის კი არა.

4) „როდის წავიდეთ კინოში?“

ეს წინადადება არ არის გამონათქვამი, რადგან კითხვაზე ჭეშმარიტია ის თუ მცდარი, პასუხი არ არსებობს.

𝑥 ∈ 𝑋 ნიშნავს, რომ 𝑥 არის გამონათქვამი, ხოლო 𝑥 ∉ 𝑋 ნიშნავს, რომ 𝑥 არ არის გამონა-თქვამი. 𝑋 სიმრავლეზე განვიხილოთ ორი ალგებრული ოპერაცია 𝜔1 ∶ 𝑋2 → 𝑋 და 𝜔2 ∶ 𝑋2 → 𝑋, განსაზღვრული შემდეგი წესით:

1) 𝜔1(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 ∨ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋, სადაც 𝑥1 ∨ 𝑥2 არის გამონათქვამი, რომელიც მიიღება 𝑥1 და 𝑥2 გამონათქვამების „ან“ კავშირით შეერთების შედეგად (𝑥1 ∨ 𝑥2 ჩანაწერს წავიკითხავთ, როგორც „𝑥1 ან 𝑥2“). 𝑥1 ∨ 𝑥2 გამონათქვამს უწოდებენ 𝑥1 და 𝑥2 გამონათქვამების დიზიუნ-ქციას.

მაგალითი 1.1. ა) თუ 𝑥1 =„თბილისი საქართველოს დედაქალაქია“, 𝑥2 =„დედამიწა ბრუ-ნავს მზის გარშემო“, მაშინ 𝑥1 ∨ 𝑥2 =„თბილისი საქართველოს დედაქალაქია ან დედამიწა ბრუ-ნავს მზის გარშემო“.

ბ) თუ 𝑥1 =„4 > 9“, 𝑥2 =„თბილისი საქართველოს დედაქალაქია“, მაშინ 𝑥1 ∨ 𝑥2 =„4 > 9 ან თბილისი საქართველოს დედაქალაქია“.

2) 𝜔2(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 ∧ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋, სადაც 𝑥1 ∧ 𝑥2 არის გამონათქვამი, რომელიც მიიღება 𝑥1 და 𝑥2 გამონათქვამების „და“ კავშირით შეერთების შედეგად (𝑥1 ∧ 𝑥2 ჩანაწერს წავიკითხავთ, როგორც „𝑥1 და 𝑥2“). 𝑥1 ∧ 𝑥2 გამონათქვამს უწოდებენ 𝑥1 და 𝑥2 გამონათქვამების კონიუნქცი-ას.

მაგალითი 1.2. ა) თუ 𝑥1 =„თბილისი საქართველოს დედაქალაქია“, 𝑥2 =„4 > 9“, მაშინ 𝑥1 ∧ 𝑥2 =„თბილისი საქართველოს დედაქალაქია და 4 > 9“.

ბ) თუ 𝑥1 =„4 ≤ 9“, 𝑥2 =„თბილისი საქართველოს დედაქალაქია“, მაშინ 𝑥1 ∧ 𝑥2 =„4 ≤ 9 და თბილისი საქართველოს დედაქალაქია“.


95

განვიხილოთ აგრეთვე C ∶ 𝑋 → 𝑋 ასახვა, რომელიც განსაზღვრულია C(𝑥) = �̅�, 𝑥 ∈ 𝑋, ტო-ლობით, სადაც �̅� არის 𝑥 გამონათქვამის საწინააღმდეგო გამონათქვამი. �̅� გამონათქვამს უწო-დებენ 𝑥 გამონათქვამის უარყოფას.

მაგალითი 1.3. ა) თუ 𝑥 =„თბილისი საქართველოს დედაქალაქია“, მაშინ �̅� =„თბილისი არ არის საქართველოს დედაქალაქი“.

ბ) თუ 𝑥 =„4 > 9“, მაშინ �̅� =„4 ≤ 9“.

𝜔1,𝜔2 ოპერაციებსა და C ასახვას, ლოგიკურ ოპერაციებს უწოდებენ. ამრიგად, გამონა-თქვამთა 𝑋 სიმრავლეზე განვსაზღვრეთ გარკვეული სტრუქტურა, რომელსაც გამონათქვამთა ალგებრას უწოდებენ.

ავაგოთ 𝜆 ∶ 𝑋 → 𝐴 = {0, 1} ასახვა შემდეგნაირად: 𝜆(𝑥) = 1, თუ 𝑥 ჭეშმარიტი გამონა-თქვამია და 𝜆(𝑥) = 0, თუ 𝑥 მცდარი გამონათქვამია (შემდგომში ყველგან 𝜆 ასოთი ამ ასახვას აღვნიშნავთ). როგორც ვიცით (იხ. თავი I, თეორემა 3.1), 𝜆 ასახვა ინდუცირებს

ნახ. 1

კომუტაციურ დიაგრამას, სადაც 𝜑(𝑥) = [𝑥], ხოლო �̅�([𝑥]) = 𝜆(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋, [𝑥] ∈ 𝑋/𝜆~. ცხადია, 𝜆 არის „ზე“ ასახვა, ამიტომ �̅� ასახვა ბიექციაა (იხ. თავი I, შედეგი 3.1). 𝑋/𝜆~ ფაქტორსიმრავლე შედგება ორი კლასისაგან. ერთი მათგანი შეიცავს ყველა ჭეშმარიტ გამონათქვამს და ამ კლასს [1]-ით აღვნიშნავთ, ხოლო მეორე შეიცავს ყველა მცდარ გამონათქვამს და მას [0]-ით აღვნიშ-ნავთ. ამრიგად, 𝑋/𝜆~ = {[0], [1]}. 𝜔1,𝜔2 ოპერაციები და C ასახვა 𝑋 სიმრავლეზე, ინდუცირებენ 𝜔�1,𝜔�2 ოპერაციებსა და C� ასახვას 𝑋/𝜆~ სიმრავლეზე. როგორც ვიცით (იხ. თავი IV, მაგალითი 1.4), 𝐴 = {0, 1} სიმრავლე, ბულის ალგებრაა 𝜔1′ , 𝜔2

′ ოპერაციებისა და C′ ასახვის მიმართ. რად-

გან 𝜆 ბიექციაა, 𝑋/𝜆~ არის ბულის ალგებრა 𝜔�1,𝜔�2 ოპერაციებისა და C� ასახვის მიმართ (𝑋/𝜆~ სიმრავლეს აგრეთვე გამონათქვამთა ალგებრას ვუწოდებთ და შემდგომში ამ ტერმინში სწორედ მას ვიგულისხმებთ). ასევე შეიძლება ჩვენება, რომ გამონათქვამთა 𝑋 სიმრავლე, 𝜔1 ,𝜔2 ოპერა-ციებისა და C ასახვის მიმართ, იქნება ბულის ალგებრა.

განვსაზღვროთ 𝜆𝜔1, 𝜆𝜔2 და 𝜆C კომპოზიციები შემდეგნაირად:

1) 𝜆𝜔1(𝑥1 , 𝑥2) = 𝜔1′ �𝜆(𝑥1), 𝜆(𝑥2)�;

2) 𝜆𝜔2(𝑥1, 𝑥2) = 𝜔2′ �𝜆(𝑥1), 𝜆(𝑥2)�;

3) 𝜆C(𝑥) = C′�𝜆(𝑥)�,

სადაც 𝜔1′ ,𝜔2′ ოპერაციები და C′ ასახვა, შესაბამისად, 𝐴 = {0, 1} ბულის ალგებრაზე განსაზღვრუ-

ლი დიზიუნქციის, კონიუნქციის ოპერაციები და დამატების ასახვაა (იხ. თავი IV, მაგალითი 1.4). განსაზღვრის მიხედვით, 𝜆 ასახვა ბულის ჰომომორფიზმია (ცხადია, 𝜑 ასახვა ასევე ბულის ჰომომორფიზმია, ხოლო �̅� ასახვა კი − ბულის იზომორფიზმი).

ვნახოთ, რა ინფორმაციას გვაწვდის 𝜆 ასახვა.

განვიხილოთ მაგალითებზე:

1) ვთქვათ, 𝜆(𝑥1) = 0, 𝜆(𝑥2) = 0, მაშინ

მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები

96

ა) 𝜆𝜔1(𝑥1, 𝑥2) = 𝜆(𝑥1 ∨ 𝑥2) = 𝜆(𝑥1) ∨ 𝜆(𝑥2) = 0 ∨ 0 = 0;

ბ) 𝜆𝜔2(𝑥1, 𝑥2) = 𝜆(𝑥1 ∧ 𝑥2) = 𝜆(𝑥1) ∧ 𝜆(𝑥2) = 0 ∧ 0 = 0.


ა) 𝜆𝜔1(𝑥1, 𝑥2) = 𝜆(𝑥1 ∨ 𝑥2) = 𝜆(𝑥1) ∨ 𝜆(𝑥2) = 0 ∨ 1 = 1;

ბ) 𝜆𝜔2(𝑥1, 𝑥2) = 𝜆(𝑥1 ∧ 𝑥2) = 𝜆(𝑥1) ∧ 𝜆(𝑥2) = 0 ∧ 1 = 0.


ა) 𝜆𝜔1(𝑥1, 𝑥2) = 𝜆(𝑥1 ∨ 𝑥2) = 𝜆(𝑥1) ∨ 𝜆(𝑥2) = 1 ∨ 0 = 1;

ბ) 𝜆𝜔2(𝑥1, 𝑥2) = 𝜆(𝑥1 ∧ 𝑥2) = 𝜆(𝑥1) ∧ 𝜆(𝑥2) = 1 ∧ 0 = 0.


ა) 𝜆𝜔1(𝑥1, 𝑥2) = 𝜆(𝑥1 ∨ 𝑥2) = 𝜆(𝑥1) ∨ 𝜆(𝑥2) = 1 ∨ 1 = 1;

ბ) 𝜆𝜔2(𝑥1, 𝑥2) = 𝜆(𝑥1 ∧ 𝑥2) = 𝜆(𝑥1) ∧ 𝜆(𝑥2) = 1 ∧ 1 = 1.

5) ვთქვათ, 𝜆(𝑥1) = 0, მაშინ 𝜆C(𝑥1) = C′�𝜆(𝑥1)� = C′(0) = 1.

6) ვთქვათ, 𝜆(𝑥1) = 1, მაშინ 𝜆C(𝑥1) = C′�𝜆(𝑥1)� = C′(1) = 0.

მიღებული შედეგები წარმოვადგინოთ ცხრილის სახით, რომელსაც ლოგიკურ ოპერაცია-თა ჭეშმარიტობის ცხრილს უწოდებენ:

𝜆(𝑥1) 𝜆(𝑥2) 𝜆(𝑥1 ∨ 𝑥2) 𝜆(𝑥1 ∧ 𝑥2) 𝜆(𝑥1)��

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

0 0 0 1

1 1 0 0

2. გამონათქვამთა ალგებრის ფორმულა. განვიხილოთ 𝐹 ∶ 𝑋𝑚 → 𝑋 ასახვა, სადაც 𝑋 არის

გამონათქვამთა ალგებრა. რადგან 𝑋 არის ბულის ალგებრა, ამიტომ 𝐹 ასახვა არის 𝑚 ცვლადის ბულის ფუნქცია (იხ. თავი IV, დებულება 2.1 და განსაზღვრა 2.1) და მას გამონათქვამთა ალგებ-რის ფორმულას უწოდებენ. ისევე, როგორც ნებისმიერი ბულის ფუნქცია, გამონათქვამთა ალ-გებრის ნებისმიერი ფორმულა, წარმოადგენს დიზიუნქციების, კონიუნქციების, უარყოფის და პროექციების კომპოზიციებს (იხ. თავი IV, შენიშვნა 2.1). ამრიგად, თუ 𝑋 არის გამონათქვამთა ალგებრა, მაშინ ნებისმიერი 𝐹 ∶ 𝑋𝑚 → 𝑋 ასახვა არის გამონათქვამთა ალგებრის ფორმულა, ამი-ტომ ასახვათა 𝑀(𝑋𝑚 ,𝑋) სიმრავლე არის გამონათქვამთა ალგებრის ფორმულათა სიმრავლე, რო-მელსაც Φ(𝑋𝑚 ,𝑋) სიმბოლოთი აღვნიშნავთ. გამონათქვამთა ალგებრის ნებისმიერი ორი 𝐹 და 𝐺 ფორმულისათვის არსებობს 𝑚 ∈ ℕ ისეთი, რომ 𝐹,𝐺 ∈ Φ(𝑋𝑚 ,𝑋).

მაგალითი 1.4. განვიხილოთ კონკრეტული ფორმულები:

1) 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝜔1(𝑝1,𝑝3)(𝑥) = 𝜔1�𝑝1(𝑥),𝑝3(𝑥)� = 𝜔1(𝑥1, 𝑥3) = 𝑥1 ∨ 𝑥3;

2) 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, … , 𝑥5) = 𝜔2(𝑝2,𝑝5)(𝑥) = 𝜔2�𝑝2(𝑥),𝑝5(𝑥)� = 𝜔2(𝑥2 , 𝑥5) = 𝑥2 ∧ 𝑥5;

3) 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, … , 𝑥4) = 𝜔2(C𝑝3, C𝑝4)(𝑥) = 𝜔2�C𝑝3(𝑥), C𝑝4(𝑥)� = 𝜔2(𝑥3��, 𝑥4��) = 𝑥3�� ∧ 𝑥4��;

4) 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, … , 𝑥5) = 𝜔2�𝜔1(𝑝3,𝑝2),𝜔2(𝑝1,𝑝5)�(𝑥)


97

= 𝜔2 �𝜔1�𝑝3(𝑥),𝑝2(𝑥)�,𝜔2�𝑝1(𝑥),𝑝5(𝑥)�� = 𝜔2�𝜔1(𝑥3, 𝑥2),𝜔2(𝑥1, 𝑥5)�

= 𝜔2(𝑥3 ∨ 𝑥2, 𝑥1 ∧ 𝑥5) = (𝑥3 ∨ 𝑥2) ∧ (𝑥1 ∧ 𝑥5);

5) 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, … , 𝑥6) = 𝜔2�𝜔1�𝜔2(𝑝1,𝑝5),𝜔2(𝑝3,𝑝4)�,𝑝6�(𝑥)

= 𝜔2 �𝜔1 �𝜔2�𝑝1(𝑥),𝑝5(𝑥)�,𝜔2�𝑝3(𝑥),𝑝4(𝑥)�� ,𝑝6(𝑥)�

= 𝜔2�𝜔1�𝜔2(𝑥1, 𝑥5),𝜔2(𝑥3, 𝑥4)�, 𝑥6� = �(𝑥1 ∧ 𝑥5) ∨ (𝑥3 ∧ 𝑥4)� ∧ 𝑥6;

6) 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, … , 𝑥6) = 𝜔1�𝜔1�𝜔2(𝑝3,𝑝1),𝜔2(𝑝5,𝑝6)�, C𝑝2�(𝑥)

= 𝜔1 �𝜔1 �𝜔2�𝑝3(𝑥),𝑝1(𝑥)�,𝜔2�𝑝5(𝑥),𝑝6(𝑥)�� , C𝑝2(𝑥)�

= 𝜔1�𝜔1�𝜔2(𝑥3, 𝑥1),𝜔2(𝑥5, 𝑥6)�, 𝑥2�� = �(𝑥3 ∧ 𝑥1) ∨ (𝑥5 ∧ 𝑥6)� ∨ 𝑥2��.

ვთქვათ, 𝐹 ∈ Φ(𝑋𝑚 ,𝑋), ხოლო 𝜆 ∶ 𝑋 → 𝐴 = {0, 1} კი − ბულის ჰომომორფიზმია. მაშინ შე-გვიძლია შევადგინოთ 𝜆𝐹 ∶ 𝑋𝑚 → 𝐴 კომპოზიცია. რადგან 𝑋𝑚 და 𝐴 სასრული სიმრავლეებია, ამიტომ 𝜆𝐹 ფუნქცია შეიძლება წარმოვადგინოთ ცხრილის სახით, რომელსაც გამონათქვამთა ალგებრის 𝐹 ფორმულის ჭეშმარიტობის ცხრილს უწოდებენ.

მაგალითი 1.5. შევადგინოთ ფორმულის ჭეშმარიტობის ცხრილი:

ა) 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, 𝑥2) = (𝑥1�� ∨ 𝑥2) ∧ (𝑥1 ∨ 𝑥2��);

ბ) 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1 ∨ 𝑥2��) ∧ 𝑥3.

პასუხი: ა) მოცემული ფორმულა ჩავწეროთ შემდეგი სახით:

𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, 𝑥2) = 𝜔2�𝜔1(C𝑥1, 𝑥2),𝜔1(𝑥1, C𝑥2)�.

მაშინ

𝜆𝐹(𝑥) = 𝜆𝜔2�𝜔1(C𝑥1, 𝑥2),𝜔1(𝑥1, C𝑥2)� = 𝜔2′ �𝜆𝜔1(C𝑥1, 𝑥2), 𝜆𝜔1(𝑥1, C𝑥2)�

= 𝜔2′ �𝜔1′ �𝜆C𝑥1,𝜆(𝑥2)�,𝜔1′ (𝜆(𝑥1), 𝜆C𝑥2)� = 𝜔2

′ �𝜔1′ �C′𝜆(𝑥1), 𝜆(𝑥2)�,𝜔1′ �𝜆(𝑥1), C′𝜆(𝑥2)��

= �𝜆(𝑥1)�� ∨ 𝜆(𝑥2)� ∧ �𝜆(𝑥1) ∨ 𝜆(𝑥2)��.

ცხრილს ექნება შემდეგი სახე:

𝜆(𝑥1) 𝜆(𝑥2) 𝜆(𝑥1)�� 𝜆(𝑥2)�� 𝜆(𝑥1)�� ∨ 𝜆(𝑥2) 𝜆(𝑥1) ∨ 𝜆(𝑥2)�� 𝜆𝐹

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1

მოყვანილ ცხრილში 3 − 6 დამხმარე სვეტებია.

ბ) მოვიქცეთ ზუსტად ისე, როგორც წინა მაგალითში. გვექნება:

𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝜔2(𝜔1(𝑥1,𝐶𝑥2), 𝑥3);

𝜆𝐹(𝑥) = 𝜆𝜔2(𝜔1(𝑥1,𝐶𝑥2), 𝑥3) = 𝜔2′ �𝜆𝜔1(𝑥1,𝐶𝑥2), 𝜆(𝑥3)� = 𝜔2

′ �𝜔1′ (𝜆(𝑥1), 𝜆𝐶𝑥2), 𝜆(𝑥3)�

= 𝜔2′ �𝜔1′ �𝜆(𝑥1),𝐶′𝜆(𝑥2)�,𝜆(𝑥3)� = �𝜆(𝑥1) ∨ 𝜆(𝑥2)�� ∧ 𝜆(𝑥3).


98

ცხრილს ექნება შემდეგი სახე:

𝜆(𝑥1) 𝜆(𝑥2) 𝜆(𝑥3) 𝜆(𝑥2)�� 𝜆(𝑥1) ∨ 𝜆(𝑥2)�� 𝜆𝐹

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1 1 1

0 1 0 0 0 1 0 1

ბულის ორი ცვლადის ფუნქციებს შორის, ჩვენ განვიხილეთ იმპლიკაცია და ეკვივალენ-

ტობა (იხ. თავი IV, §2). ცხადია, როგორც 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 ასახვები, ისინი ამავე დროს ალგებრული ოპერაციებია 𝑋 გამონათქვამთა ალგებრაზე (იხ. თავი I, განსაზღვრა 4.1) და მათ, შესაბამისად, იმპლიკაციისა და ეკვივალენტობის ლოგიკურ ოპერაციებს უწოდებენ. თუ გამოვიყენებთ იმ-პლიკაციისა და ეკვივალენტობის გამოსახვას დიზიუნქციით, კონიუნქციით და უარყოფით (იხ. თავი IV, შენიშვნა 2.1), შეგვიძლია შევადგინოთ ამ ოპერაციათა ჭეშმარიტობის ცხრილი:

𝜆(𝑥1) 𝜆(𝑥2) 𝜆(𝑥1 → 𝑥2) 𝜆(𝑥1 ↔ 𝑥2)

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 1

1 0 0 1

𝑥1 → 𝑥2 ჩანაწერი წაიკითხება ასე: „თუ 𝑥1, მაშინ 𝑥2“. 𝑥1-ს უწოდებენ იმპლიკაციის წა-

ნამძღვარს, ხოლო 𝑥2-ს − დასკვნას. 𝑥1 ↔ 𝑥2 ჩანაწერი წაიკითხება ასე: „𝑥1 აუცილებელი და საკმარისია 𝑥2-სათვის“ ან „𝑥1 მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 𝑥2“.

რადგან 𝑋 გამონათქვამთა ალგებრაზე არსებობს ორი, 𝜔1,𝜔2 ოპერაცია და C ასახვა, ამი-ტომ Φ(𝑋𝑚 ,𝑋) სიმრავლეში, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ორი ალგებრული ოპერაცია 𝜔�1,𝜔�2 და C� ასახვა, შესაბამისად, (𝐹 ∨ 𝐺)(𝑥) = 𝐹(𝑥) ∨ 𝐺(𝑥), (𝐹 ∧ 𝐺)(𝑥) = 𝐹(𝑥) ∧ 𝐺(𝑥), C�𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥)��, ტო-ლობებით. საკმარისია ვაჩვენოთ, რომ თუ 𝐹,𝐺 ∈ Φ(𝑋𝑚 ,𝑋), მაშინ 𝐹 ∨ 𝐺, 𝐹 ∧ 𝐺, C�𝐹 ∈ Φ(𝑋𝑚 ,𝑋).

გვექნება: �𝐹,𝐺 ∈ Φ(𝑋𝑚 ,𝑋)� ⇒ (𝐹 ∶ 𝑋𝑚 → 𝑋, 𝐺 ∶ 𝑋𝑚 → 𝑋), ხოლო 𝐹 ∨ 𝐺 არის 𝑋𝑚(𝐹,𝐺)�⎯⎯� 𝑋 × 𝑋

𝜔1 �⎯⎯� 𝑋

ასახვების კომპოზიცია 𝜔1(𝐹,𝐺) = 𝐹 ∨ 𝐺 და რადგან 𝐹 და 𝐺 ფორმულებია, განსაზღვრის თანახ-

მად, 𝐹 ∨ 𝐺 ასევე ფორმულაა. ანალოგიურად, 𝐹 ∧ 𝐺 არის 𝑋𝑚(𝐹,𝐺)�⎯⎯� 𝑋 × 𝑋

𝜔2 �⎯⎯� 𝑋 ასახვების კომპო-

ზიცია 𝜔2(𝐹,𝐺) = 𝐹 ∧ 𝐺 და ასევე ფორმულაა. ხოლო ის ფაქტი, რომ C�𝐹 ფორმულაა, პირდაპირ ფორმულის განსაზღვრიდან მიიღება.

რადგან იმპლიკაციისა და ეკვივალენტობის ოპერაციები დიზიუნქციით, კონიუნქციით და უარყოფით გამოისახება, 𝐹 → 𝐺 და 𝐹 ↔ 𝐺 ასევე ფორმულებია, თუ 𝐹,𝐺 ∈ Φ(𝑋𝑚 ,𝑋).

მაგალითი 1.6. ვთქვათ, მოცემულია 𝐹 ∶ 𝑋6 → 𝑋 არის 5) ფორმულა მაგალით 1.4-დან, ხო-ლო 𝐺 ∶ 𝑋6 → 𝑋 არის 6) ფორმულა მაგალით 1.4-დან. მაშინ 𝐹 ∨ 𝐺 ∶ 𝑋6 → 𝑋 ფორმულას ექნება შე-მდეგი სახე:


99

(𝐹 ∨ 𝐺)(𝑥) = ��(𝑥1 ∧ 𝑥5) ∨ (𝑥3 ∧ 𝑥4)� ∧ 𝑥6� ∨ ��(𝑥3 ∧ 𝑥1) ∨ (𝑥5 ∧ 𝑥6)� ∨ 𝑥2��,

𝐹 ∧ 𝐺 ∶ 𝑋6 → 𝑋 ფორმულას ექნება შემდეგი სახე:

(𝐹 ∧ 𝐺)(𝑥) = ��(𝑥1 ∧ 𝑥5) ∨ (𝑥3 ∧ 𝑥4)� ∧ 𝑥6� ∧ ��(𝑥3 ∧ 𝑥1) ∨ (𝑥5 ∧ 𝑥6)� ∨ 𝑥2��,

ხოლო C�𝐹 ∶ 𝑋6 → 𝑋 ფორმულას კი − შემდეგი სახე:

C�𝐹(𝑥) = �(𝑥1 ∧ 𝑥5) ∨ (𝑥3 ∧ 𝑥4)� ∧ 𝑥6�� .

შემდგომში, გამონათქვამთა ალგებრის ფორმულებში დიზიუნქციის, კონიუნქციისა და უარყოფის ოპერაციებთან ერთად, გამოვიყენებთ იმპლიკაციისა და ეკვივალენტობის ოპერაცი-ებსაც.

განსაზღვრა 1.1. გამონათქვამთა ალგებრის 𝐹 ფორმულას ეწოდება ტავტოლოგია, თუ Im 𝜆𝐹 = {1}.

ტავტოლოგიებს განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვთ მათემატიკურ ლოგიკაში. ერთის მხრივ ისინი წარმოადგენენ ჭეშმარიტი გამონათქვამების ასაგებ სქემებს, იმის მიუხედავად, თუ რა შინაარსისაა ან ჭეშმარიტია თუ მცდარი შემადგენელი გამონათქვამები. მაგრამ მათი მთავარი დანიშნულება ეს არ არის. ტავტოლოგიათა ძირითადი დანიშნულება ისაა, რომ ზოგიერთი მათ-განი გვაძლევს დასკვნების გამოტანის სწორ მეთოდებს, ე.ი. ისეთ მეთოდებს, რომლებსაც ჭეშმა-რიტი წანამძღვრებიდან ყოველთვის ჭეშმარიტ დასკვნამდე მივყავართ. სწორედ ასეთი მსჯელო-ბები აღრმავებენ ჩვენს ცოდნას და ამდიდრებენ მას ჭეშმარიტი მონაცემებით. კერძოდ, გამონა-თქვამთა ალგებრის 𝐹 → 𝐺 სახის ყოველი ტავტოლოგია შეესაბამება ლოგიკური მსჯელობის გარკვეულ ზოგად სქემას. ავხსნათ ზემოთქმული შემდეგი ტავტოლოგიის მაგალითზე: �(�̅� →𝑦) ∧ (�̅� → 𝑦�)� → 𝑥. შევეცადოთ დავადგინოთ ლოგიკური მსჯელობის რა სქემას შეესაბამება ეს ფორმულა. ამ ტავტოლოგიით აღწერილი ლოგიკური მსჯელობის სქემა ხშირად გამოიყენება მა-თემატიკურ დამტკიცებებში. ვთქვათ, დასამტკიცებელია, რომ 𝑎 დებულება ჭეშმარიტია. ვუ-შვებთ, რომ ჭეშმარიტია 𝑎�. შემდეგ მტკიცდება, რომ არსებობს გარკვეული დებულება 𝑏, რომ-ლისთვისაც ჭეშმარიტია 𝑎� → 𝑏 და 𝑎� → 𝑏� დებულებები. დამტკიცება იმისა, რომ ეს იმპლიკაცი-ები ჭეშმარიტია, დამოკიდებულია 𝑎 და 𝑏 გამონათქვამების შინაარსზე და დგინდება იმ მათე-მატიკური თეორიის მეთოდებისა და კანონების საფუძველზე, რომელსაც ისინი ეკუთვნიან. ვთვლით, დადგენილია, რომ 𝑎� → 𝑏 და 𝑎� → 𝑏� დებულებები ჭეშმარიტია. 𝑏 და 𝑏� დებულებე-ბის ერთდროული მიღება წინააღმდეგობაა, აბსურდია. მაშინ ვამტკიცებთ, რომ ჭეშმარიტია 𝑎 გამონათქვამი. დამტკიცების ამ მეთოდს უწოდებენ წინააღმდეგობამდე მიყვანის მეთოდს.

მოვიყვანოთ ზოგიერთი ძირითადი ტავტოლოგია, რომლებიც გამოხატავენ ლოგიკურ ოპერაციათა თვისებებს, აგრეთვე ტავტოლოგიები, რომლებზეც დაფუძნებულია მათემატიკურ დამტკიცებათა ზოგიერთი სქემა. ამ ტავტოლოგიებს ლოგიკურ კანონებს უწოდებენ.

დებულება 1.1. გამონათქვამთა ალგებრის შემდეგი ფორმულები ტავტოლოგიებია:

1) გამორიცხული მესამის კანონი 𝑥 ⋁ �̅� ;

2) წინააღმდეგობის უარყოფის კანონი 𝑥 ⋀ �̅�� ;

3) ორმაგი უარყოფის კანონი �̿� ↔ 𝑥;

4) იგივეობის კანონი 𝑥 → 𝑥;

5) კონტრაპოზიციის კანონი (𝑥 → 𝑦) ↔ (𝑦� → �̅�);

6) სილოგიზმის კანონი (ჯაჭვური დასკვნის წესი)


100

�(𝑥 → 𝑦)⋀(𝑦 → 𝑧)� → (𝑥 → 𝑧);

7) საწინააღმდეგოს კანონი (𝑥 ↔ 𝑦) ↔ (�̅� ↔ 𝑦�);

8) ანტეცედენტის დამატების კანონი (ჭეშმარიტება საიდანაც გვსურს) 𝑥 → (𝑦 → 𝑥);

9) წესი “მცდარიდან რაც გვსურს” �̅� → (𝑥 → 𝑦);

10) წესი „𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠“ (𝑥 ⋀(𝑥 → 𝑦)) → 𝑦;

11) წესი „𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑡𝑜𝑙𝑙𝑒𝑛𝑠“ �(𝑥 → 𝑦)⋀𝑦�� → �̅�;

12) წანამძღვართა გადანაცვლების წესი

�𝑥 → (𝑦 → 𝑧)� ↔ �𝑦 → (𝑥 → 𝑧)�;

13) წანამძღვართა გაერთიანების (და განცალების) წესი

�𝑥 → (𝑦 → 𝑧)� ↔ �(𝑥 ⋀𝑦) → 𝑧�;

14) შემთხვევათა ანალიზის წესი

�(𝑥 → 𝑧)⋀(𝑦 → 𝑧)� ↔ �(𝑥 ⋁𝑦) → 𝑧�;

15) წინააღმდეგობამდე მიყვანის წესი

ა) �(�̅� → 𝑦)⋀(�̅� → 𝑦�)� → 𝑥, ბ) ��̅� → (𝑦⋀𝑦�)� → 𝑥.

16) დე მორგანის კანონები

ა) (𝑥 ⋀𝑦��) ↔ (�̅� ⋁ 𝑦�), ბ) (𝑥 ⋁ 𝑦��) ↔ (�̅� ⋀ 𝑦�). დამტკიცება. ყველა ეს ტავტოლოგია მარტივად მტკიცდება ჭეშმარიტობის ცხრილების

შედგენით. □

განსაზღვრა 1.2. გამონათქვამთა ალგებრის 𝐹 და 𝐺 ფორმულებს ეწოდება ტოლფასი, თუ მათი შესაბამისი ბულის ფუნქციები ტოლია. ამ ფაქტს შემდეგნაირად ჩავწერთ: 𝐹 ≅ 𝐺.

სხვა სიტყვებით, ფორმულათა ტოლფასობა ნიშნავს, რომ მათი ჭეშმარიტობის ცხრილები ერთნაირია. ფორმულის ან მისი ნაწილის შეცვლას ტოლფასი ფორმულით, უწოდებენ ტოლფას გარდაქმნას. იოლი შესამოწმებელია, რომ Φ(𝑋𝑚 ,𝑋) სიმრავლეში ფორმულათა ტოლფასობა არის ეკვივალენტობის მიმართება.

101

§2. მათემატიკური დებულებების დასაბუთების მეთოდები

1. ლოგიკური გამომდინარეობის ცნება. როცა ამბობენ, რომ ერთი ან რამდენიმე 𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚 წინადადებიდან გამომდინარეობს 𝑏 წინადადება, გულისხმობენ შემდეგს: ყოველ-თვის, როცა ჭეშმარიტი იქნება ყველა 𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚 წინადადება, ჭეშმარიტი იქნება 𝑏 წინადადე-ბაც. ასეთი გამომდინარეობის ნიმუშებია: „თუ მე ზაფხულში დროებით სამუშაოზე მოვეწყობი (წინადადება 𝑎), მაშინ მე მექნება გამომუშავებული ფული (წინადადება 𝑏)“, „თუ მე მექნება გა-მომუშავებული ფული (წინადადება 𝑏), მაშინ მე შევიძენ კომპიუტერს (წინადადება 𝑐)“, „თუ დღისით არ მოვამზადებ ხვალის გაკვეთილებს (წინადადება 𝑎1), და თუ საღამოს წავალ კინოში (წინადადება 𝑎2), მაშინ ხვალ მე არ ვიქნები მზად მეცადინეობებისათვის (წინადადება 𝑑)“. მო-ყვანილ მსჯელობათა ჭეშმარიტობის დადგენა არ წარმოადგენს მათემატიკური ლოგიკის კომპე-ტენციას. ეს ხდება მათი შინაარსისა და აზრის ანალიზის საფუძველზე.

მათემატიკური ლოგიკის (კერძოდ, გამონათქვამთა ალგებრის) ამოცანა ლოგიკური გამო-მდინარეობის საკითხებში ისაა, რომ მიუთითოს 𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚 ,𝑏 გამონათქვამთა ისეთი ფორმე-ბი, რომ ბოლო გამონათქვამი უცილობლად იყოს პირველი 𝑚 გამონათქვამის შედეგი, მიუხედა-ვად ყველა მათგანის კონკრეტული შინაარსისა. როგორც ჩვენთვის ცნობილია, გამონათქვამთა ფორმები გამონათქვამთა ალგებრის ფორმულებით გამოისახება. ამრიგად, ლოგიკური გამო-მდინარეობის თეორიამ (გამონათქვამთა ალგებრის ფარგლებში) უნდა შეისწავლოს 𝐹1,𝐹2, … ,𝐹𝑚 ,𝐻 ფორმულათა წარმოქმნის კანონზომიერებები, რომელთა მიხედვითაც პირველი 𝑚 მათ-განი ბოლოსთან დაკავშირებულია ლოგიკური გამომდინარეობის მიმართებით.

დავუბრუნდეთ პუნქტის დასაწყისში მოყვანილ მსჯელობებს: 𝑎 → 𝑏 და 𝑏 → 𝑐. მათ შესა-ხებ შეგვიძლია გამოვიტანოთ დასკვნა: „თუ 𝑎 → 𝑏 და 𝑏 → 𝑐, მაშინ 𝑎 → 𝑐“. ამ მსჯელობის ფორ-მულირება მათემატიკური სიმბოლიკის გარეშე, ცხადია მოუხერხებელია. ამიტომ ის ასე ჩამოვა-ყალიბოთ: „თუ 𝑎 → 𝑏 გამონათქვამი ჭეშმარიტია და 𝑏 → 𝑐 გამონათქვამი ჭეშმარიტია, მაშინ ჭეშმარიტია 𝑎 → 𝑐 გამონათქვამიც“. არავითარი ეჭვი არ გვიჩნდება, რომ ზემომოყვანილი მსჯე-ლობა სწორია. მეტიც, ჩვენ მის სისწორეს ვგრძნობთ მიუხედავად იმისა, რომ 𝑎, 𝑏 და 𝑐 გამონა-თქვამების შინაარსით არც ვინტერესდებით. მაშასადამე, 𝑥 → 𝑧 ფორმის მქონე გამონათქვამი გა-მომდინარეობს 𝑥 → 𝑦 და 𝑦 → 𝑧 ფორმათა მქონე გამონათქვამებიდან, მიუხედავად იმისა, რო-გორია 𝑥,𝑦 და 𝑧 გამონათქვამები.

ახლა მოვიყვანოთ ლოგიკური გამომდინარეობის ზუსტი ცნება.

განსაზღვრა 2.1. 𝐻(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ფორმულას 𝐹1(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛), … ,𝐹𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ფორმუ-ლების ლოგიკური შედეგი ეწოდება, თუ ∩𝑘=1𝑚 �(𝜆𝐹𝑘)−1(1)� ⊆ (𝜆𝐻)−1(1).

ის, რომ 𝐻 ფორმულა 𝐹1, … ,𝐹𝑚 ფორმულების ლოგიკური შედეგია, ჩაიწერება შემდეგნაი-რად: 𝐹1, … ,𝐹𝑚 ⊨ 𝐻. ფორმულებს 𝐹1, … ,𝐹𝑚 , უწოდებენ წანამძღვრებს 𝐻 ლოგიკური შედეგისა-თვის.

სხვა სიტყვებით 𝐹1, … ,𝐹𝑚 ⊨ 𝐻, თუ ნებისმიერი 𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛 გამონათქვამებისათვის, გვაქვს: (𝜆𝐹1(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 1, … , 𝜆𝐹𝑚(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 1) ⇒ (𝜆𝐻(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 1).

მაგალითი 2.1. რამდენიმე ფორმულის ჭეშმარიტობის ცხრილის საფუძველზე შევეცა-დოთ დავადგინოთ, რომელი ფორმულები რომლებიდან გამომდინარეობენ:


102

𝜆(𝑥) 𝜆(𝑦) 𝜆(𝑧) 𝜆(𝑦�) 𝜆((𝑥 ∧ 𝑦) → 𝑧̅) 𝜆(𝑥 → 𝑧) 𝜆(𝑥 ∧ 𝑦��)

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 0 0

განვიხილოთ ფორმულები:

𝐹1(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥, 𝐹2(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑦, 𝐹3(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑧, 𝐹4(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑦�, 𝐹5(𝑥,𝑦, 𝑧) = (𝑥 ∧ 𝑦) → 𝑧̅,

𝐹6(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥 → 𝑧, 𝐹7(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥 ∧ 𝑦��.

როგორც მოცემული ცხრილიდან ჩანს,

(𝜆𝐹1)−1(1) = {(1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}, (𝜆𝐹2)−1(1) = {(0,1,0), (0,1,1), (1,1,0), (1,1,1)}, (𝜆𝐹3)−1(1) = {(0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)}, (𝜆𝐹4)−1(1) = {(0,0,0), (0,0,1), (1,0,0), (1,0,1)}, (𝜆𝐹5)−1(1) = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0)}, (𝜆𝐹6)−1(1) = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1)}, (𝜆𝐹7)−1(1) = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1)}.

მიღებული მონაცემებიდან ჩანს, რომ

1) (𝜆𝐹1)−1(1) ∩ (𝜆𝐹3)−1(1) ∩ (𝜆𝐹5)−1(1) = {(1,0,1)},

(1,0,1) ∈ (𝜆𝐹4)−1(1), (1,0,1) ∈ (𝜆𝐹6)−1(1), (1,0,1) ∈ (𝜆𝐹7)−1(1),

ამიტომ 𝐹1,𝐹3,𝐹5 ⊨ 𝐹4, 𝐹1,𝐹3,𝐹5 ⊨ 𝐹6, 𝐹1,𝐹3,𝐹5 ⊨ 𝐹7;

2) (𝜆𝐹5)−1(1) ∩ (𝜆𝐹6)−1(1) = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,1)},

{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,1)} ⊂ (𝜆𝐹7)−1(1),

ამიტომ 𝐹5,𝐹6 ⊨ 𝐹7.

დებულება 2.2 (ლოგიკური გამომდინარეობის ნიშანი). H ფორმულა მაშინ და მხოლოდ მაშინ არის 𝐹 ფორმულის ლოგიკური შედეგი, როცა 𝐹 → 𝐻 ფორმულა არის ტავტოლოგია.

დამტკიცება. აუცილებლობა. მოცემულია: 𝐹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ⊨ 𝐻(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). განსაზღვრის თანახმად, (𝜆𝐹)−1(1) ⊆ (𝜆𝐻)−1(1). ეს ნიშნავს, რომ თუ რაიმე 𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛 გამონათქვამებისა-თვის 𝜆𝐹(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 1, მაშინ 𝜆𝐻(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 1. იმპლიკაციის ჭეშმარიტობის ცხრილიდან გამომდინარე, 𝜆(𝐹 → 𝐻)(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 0 მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა 𝜆𝐹(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 1 და 𝜆𝐻(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 0. ასეთი რამ კი მოცემულობის თანახმად, შეუძლებელია. ამრიგად, ნე-ბისმიერი 𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛 გამონათქვამებისათვის, 𝜆(𝐹 → 𝐻)(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 1, რაც განსაზღვრის თა-ნახმად ნიშნავს, რომ 𝐹 → 𝐻 ფორმულა არის ტავტოლოგია.

საკმარისობა. მოცემულია: 𝐹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) → 𝐻(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) არის ტავტოლოგია. ტავტო-ლოგიის განსაზღვრის თანახმად, ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი 𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛 გამონათქვამებისა-


103

თვის 𝜆(𝐹 → 𝐻)(𝑎1,𝑎2, … , 𝑎𝑛) = 1. იმპლიკაციის ჭეშმარიტობის ცხრილიდან გამომდინარე, ეს ნიშნავს: არ არსებობს 𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛 გამონათქვამთა ერთობლიობა ისეთი, რომ 𝜆𝐹(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) =1 და 𝜆𝐻(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛) = 0. ეს კი თავის მხრივ ნიშნავს, რომ (𝜆𝐹)−1(1) ⊆ (𝜆𝐻)−1(1). მაშინ, გან-საზღვრის თანახმად, 𝐹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ⊨ 𝐻(𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛). □

შედეგი 2.1. ნებისმიერი 𝐹1,𝐹2, … , 𝐹𝑚 ,𝐻 (𝑚 ≥ 2) ფორმულებისათვის, შემდეგი დებულე-ბები ტოლფასია:

ა) 𝐹1,𝐹2, … ,𝐹𝑚 ⊨ 𝐻;

ბ) 𝐹1 ∧ 𝐹2 ∧ ⋯∧ 𝐹𝑚 ⊨ 𝐻;

გ) (𝐹1 ∧ 𝐹2 ∧ ⋯∧ 𝐹𝑚) → 𝐻 ფორმულა არის ტავტოლოგია.

დამტკიცება. ბ) და გ) დებულებების ტოლფასობა პირდაპირ მიიღება დებულება 2.2-დან. დავამტკიცოთ ა) და ბ) დებულებების ტოლფასობა.

კონიუნქციის ჭეშმარიტობის ცხრილიდან პირდაპირ მიიღება, რომ

�𝜆(𝐹1 ∧ 𝐹2 ∧ ⋯∧ 𝐹𝑚)�−1(1) = ∩𝑘=1𝑚 �(𝜆𝐹𝑘)−1(1)�,

ამიტომ განსაზღვრის ძალით, ა) და ბ) დებულებები ტოლფასია. □

მაგალითი 2.2. ვაჩვენოთ, რომ ა) 𝑥, 𝑥 → 𝑦 ⊨ 𝑦; ბ) 𝑥 → 𝑦, 𝑦� ⊨ �̅�; გ) 𝑥 → 𝑦, 𝑦 → 𝑧 ⊨ 𝑥 → 𝑧; დ) �̅� → 𝑦, �̅� → 𝑦� ⊨ 𝑥.

ა) დებულება 1.1 10)-ის თანახმად, (𝑥 ⋀(𝑥 → 𝑦)) → 𝑦 არის ტავტოლოგია, ამიტომ შედეგი 2.1-ის ძალით, 𝑥, 𝑥 → 𝑦 ⊨ 𝑦;

ბ) დებულება 1.1 11)-ის თანახმად, �(𝑥 → 𝑦)⋀𝑦�� → �̅� არის ტავტოლოგია, ამიტომ შედეგი 2.1-ის ძალით, 𝑥 → 𝑦, 𝑦� ⊨ �̅�;

გ) დებულება 1.1 6)-ის თანახმად, �(𝑥 → 𝑦)⋀(𝑦 → 𝑧)� → (𝑥 → 𝑧) არის ტავტოლოგია, ამი-ტომ შედეგი 2.1-ის ძალით, 𝑥 → 𝑦, 𝑦 → 𝑧 ⊨ 𝑥 → 𝑧;

დ) დებულება 1.1 15)-ის თანახმად, �(�̅� → 𝑦)⋀(�̅� → 𝑦�)� → 𝑥 არის ტავტოლოგია, ამიტომ შედეგი 2.1-ის ძალით, �̅� → 𝑦, �̅� → 𝑦� ⊨ 𝑥.

2. მათემატიკურ თეორემათა ტიპები. მრავალ მათემატიკურ თეორემას აქვს სტრუქტურა, რომელიც 𝑥 → 𝑦 ფორმულით გამოისახება. 𝑥 დებულებას თეორემის პირობა ეწოდება, ხოლო 𝑦 დებულებას − მისი დასკვნა.

მაგალითი 2.3. „თუ ოთხკუთხედში ყველა გვერდი ერთმანეთის ტოლია (𝑎1), მაშინ მისი დიაგონალები ურთიერთმართობულია (𝑏1)“. ამ თეორემის სიმბოლური ჩანაწერია: 𝑎1 → 𝑏1.

მაგალითი 2.4. „თუ ოთხკუთხედში ყველა გვერდი ერთმანეთის ტოლია (𝑎1), მაშინ მისი დიაგონალები გადაკვეთის წერტილით შუაზე იყოფიან (𝑏1′ )“. სიმბოლურად: 𝑎1 → 𝑏1′ .

მაგალითი 2.5. „თუ ოთხკუთხედში ყველა გვერდი ერთმანეთის ტოლია (𝑎1), მაშინ მისი დიაგონალები შესაბამის კუთხეებს შუაზე ყოფენ (𝑏1′′)“. სიმბოლური ჩანაწერია: 𝑎1 → 𝑏1′′.

მაგალითი 2.6. „თუ სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხე მართია (𝑎2), მაშინ ამ სამკუთ-ხედის ერთ-ერთი გვერდის სიგრძის კვადრატი დანარჩენი გვერდების სიგრძეთა კვადრატების ჯამია (𝑏2)“. სიმბოლურად: 𝑎2 → 𝑏2. ამ უკანასკნელი თეორემის ანალიზით, მისი შედარებით რთული სტრუქტურა ვლინდება: 𝑎2 პირობა სამი დებულების დიზიუნქციაა (𝑎2′ ⋁ 𝑎2′′ ⋁ 𝑎2′′′), სა-


104

დაც გამონათქვამი 𝑎2′ არის «𝛼 = 90°», გამონათქვამი 𝑎2′′ არის «𝛽 = 90°» და გამონათქვამი 𝑎2′′′ არის «𝛾 = 90°» (𝛼,𝛽 და 𝛾 სიმბოლოებით სამკუთხედის კუთხეებია აღნიშნული). ანალოგი-ურად, 𝑏2 დასკვნაც სამი დებულების დიზიუნქციაა 𝑏2′ ⋁ 𝑏2′′ ⋁ 𝑏2′′′, სადაც 𝑏2′ ეს არის გამონათქვა-მი «𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2», 𝑏2′′ − გამონათქვამი «𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2», 𝑏2′′′ − გამონათქვამი «𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2» (𝑎, 𝑏 და 𝑐 სიმბოლოებით აღნიშნულია სიგრძეები სამკუთხედის გვერდებისა, რომლებიც შესაბამი-სად, 𝛼,𝛽 და 𝛾 კუთხეების პირდაპირ მდებარეობენ). ამრიგად, 𝑎2 → 𝑏2 თეორემას, უფრო ღრმა განხილვის შედეგად, აქვს შემდეგი სახე: (𝑎2′ ⋁𝑎2′′ ⋁ 𝑎2′′′) → (𝑏2′ ⋁ 𝑏2′′ ⋁ 𝑏2′′′).

თუ რაიმე თეორემას აქვს 𝑥 → 𝑦 ფორმა, მაშინ 𝑦 → 𝑥 დებულებას მოცემული თეორემის შებრუნებული ეწოდება. ეს დებულება შეიძლება ჭეშმარიტი აღმოჩნდეს და მაშინ მას 𝑥 → 𝑦 თე-ორემის შებრუნებული თეორემა ეწოდება, ხოლო 𝑥 → 𝑦 თეორემას თავის მხრივ პირდაპირი თეორემა ეწოდება.

მაგალითი 2.7. 𝑎1 → 𝑏1 თეორემისათვის მაგალით 2.3-დან, შებრუნებული დებულება მცდარია, ხოლო 𝑎2 → 𝑏2 თეორემისათვის მაგალით 2.6-დან, მისი შებრუნებული დებულება 𝑏2 → 𝑎2, ჭეშმარიტია, ე. ი. თეორემაა.

პირდაპირი და შებრუნებული თეორემების ცნებებთან მჭიდროდაა დაკავშირებული აუცილებელი და საკმარისი პირობების საკითხი. თუ რაიმე მათემატიკურ თეორემას აქვს 𝑥 → 𝑦 ფორმულით გამოსახული სტრუქტურა, მაშინ 𝑦 გამონათქვამს ეწოდება 𝑥 გამონათქვამის აუცილებელი პირობა (სხვა სიტყვებით, თუ 𝑥 ჭეშმარიტია, მაშინ 𝑦 აუცილებლად უნდა იყოს ჭეშმარიტი), ხოლო 𝑥 გამონათქვამს ეწოდება 𝑦 გამონათქვამის საკმარისი პირობა (სხვა სი-ტყვებით, იმისათვის რომ ჭეშმარიტი იყოს 𝑦 გამონათქვამი, საკმარისია, ჭეშმარიტი იყოს 𝑥 გამონათქვამი). შევხედოთ ამ თვალსაზრისით 𝑎1 → 𝑏1 თეორემას მაგალით 2.3-დან. ოთხკუთ-ხედში ყველა გვერდის ტოლობისათვის, აუცილებელი პირობაა მისი დიაგონალების მართობუ-ლობა. სხვა სიტყვებით, ოთხკუთხედის დიაგონალების მართობულობისათვის საკმარისი პი-რობაა მისი ოთხივე გვერდის ტოლობა.

ერთსა და იმავე მტკიცებას შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე აუცილებელი პირობა. მაგალი-თად, ზემოაღნიშნულის გარდა, ოთხკუთხედის ყველა გვერდის ტოლობის აუცილებელი პირო-ბებია: მათი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილით შუაზე გაყოფა (𝑏1′ ) (მაგალითი 2.4), დიაგო-ნალების მიერ შესაბამისი კუთხეების შუაზე გაყოფა (𝑏1′′) (მაგალითი 2.5) და ა.შ. ანალოგიურად, ერთსა და იმავე მტკიცებას შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე საკმარისი პირობა. მაგალითად, ოთხ-კუთხედის დიაგონალების მართობულობისათვის ასევე საკმარისია, რომ მასში იყოს ორი წყვი-ლი ტოლი მეზობელი გვერდები.

მას შემდეგ რაც დამტკიცდება 𝑥 → 𝑦 თეორემა, ისმის კითხვა, იქნება თუ არა ნაპოვნი აუცილებელი პირობა საკმარისი ან საკმარისი − აუცილებელი. სხვა სიტყვებით, იქნება თუ არა ჭეშმარიტი 𝑦 → 𝑥 დებულება. ცნობილია, რომ ოთხკუთხედის დიაგონალების მართობულობის პირობა 𝑏1, რომელიც აუცილებელია მისი ყველა გვერდის ტოლობისათვის 𝑎1, არ არის საკმა-რისი ამ ტოლობისათვის (მაგალითი 2.3). ამის შესამოწმებლად საკმარისია ისეთი ოთხკუთხედის მაგალითის მოყვანა, რომლის დიაგონალები მართობულია და ყველა გვერდი ტოლი არ არის. ასეთ მაგალითს კონტრმაგალითს უწოდებენ. კონტრმაგალითის აგების მეთოდი ხშირად გამოიყენება დებულების გაბათილების მიზნით.

თუ ჭეშმარიტია 𝑥 → 𝑦 და 𝑦 → 𝑥 დებულებები, ანუ ჭეშმარიტია 𝑥 ↔ 𝑦, მაშინ თვლიან, რომ 𝑥 აუცილებელი და საკმარისი პირობაა 𝑦-სთვის და პირიქით, 𝑦 აუცილებელი და საკმა-


105

რისი პირობაა 𝑥-სთვის, ანდა რომ 𝑦 არის კრიტერიუმი 𝑥-სთვის. მათემატიკურ მეცნიერებაში მრავლად არის 𝑥 ↔ 𝑦 სახის დებულებები, რომლებიც აუცილებელ და საკმარის პირობებს წარმოადგენენ და მათ ეძებენ მათემატიკის სხვადასხვა დარგებში. ეს დაახლოებით შემდეგნაი-რად ხდება. ვთქვათ, საჭიროა რაიმე 𝑥 მტკიცებისათვის აუცილებელი და საკმარისი პირობის დადგენა. იწყებენ მისთვის რიგი აუცილებელი პირობების, ე.ი. 𝑥-დან გამომდინარე 𝑦1,𝑦2,𝑦3, … მტკიცებების, მოძებნით: 𝑥 → 𝑦1, 𝑥 → 𝑦2, 𝑥 → 𝑦3, … ამავე დროს ცდილობენ გარკვევას, ხომ არ იქნება რომელიმე მათგანი ან მათი რაიმე ერთობლიობა (კონიუნქცია) საკმარისი პირობა 𝑥-სთვის, ანუ იქნება თუ არა ჭეშმარიტი შემდეგი იმპლიკაციებიდან რომელიმე: 𝑦1 → 𝑥, 𝑦2 → 𝑥,𝑦3 → 𝑥, (𝑦1 ⋀ 𝑦2) → 𝑥, (𝑦1 ⋀𝑦3) → 𝑥, (𝑦2 ⋀𝑦3) → 𝑥, (𝑦1 ⋀𝑦2 ⋀𝑦3) → 𝑥, …

მაგალითი 2.8. ვთქვათ, საჭიროა ვიპოვოთ აუცილებელი და საკმარისი პირობა იმისა, რომ ამოზნექილი ოთხკუთხედი იყოს კვადრატი (𝑎). ჯერ ვპოულობთ ამ მტკიცების აუცილე-ბელ პირობებს:

𝑏1: „ოთხკუთხედის დიაგონალები მართობულია“; 𝑏2: „ოთხკუთხედის დიაგონალები ტოლია“; 𝑏3: „ოთხკუთხედის დიაგონალები გადაკვეთის წერტილით შუაზე იყოფა“.

ცხადია, რომ 𝑎 → 𝑏1, 𝑎 → 𝑏2, 𝑎 → 𝑏3 გამონათქვამთაგან თითოეული ჭეშმარიტია. გავაა-ნალიზოთ შებრუნებული დებულებები. ცხადია, მცდარია მათგან შემდეგი:

მტკიცება კონტრმაგალითი

𝑏1 → 𝑎 რომბი, რომელიც არა არის კვადრატი

𝑏2 → 𝑎 მართკუთხედი, რომელიც არ არის კვადრატი

𝑏3 → 𝑎 პარალელოგრამი, რომელიც არ არის კვადრატი

ასევე მცდარია შემდეგი დებულებებიც:

მტკიცება კონტრმაგალითი

(𝑏1 ∧ 𝑏2) → 𝑎 ტოლფერდა ტრაპეცია

(𝑏1 ∧ 𝑏2) → 𝑎 რომბი, რომელიც არა არის კვადრატი

(𝑏2 ∧ 𝑏2) → 𝑎 მართკუთხედი, რომელიც არ არის კვადრატი

მხოლოდ 𝑏1,𝑏2 და 𝑏3 აუცილებელი პირობების კონიუნქცია გვაძლევს 𝑎 მტკიცების საკმა-

რის პირობას. 𝑏1 ⋀𝑏2 ⋀𝑏3 ეს არის: „ოთხკუთხედის დიაგონალები მართობულია, ტოლია და გა-დაკვეთის წერტილით შუაზე იყოფა“. ამრიგად, ჭეშმარიტია დებულება: (𝑏1 ⋀𝑏2 ⋀𝑏3) → 𝑎. გარ-და ამისა, 𝑎 → 𝑏1, 𝑎 → 𝑏2, 𝑎 → 𝑏3 დებულებების ჭეშმარიტებიდან გამომდინარეობს, რომ ჭეშმა-რიტია 𝑎 → (𝑏1 ⋀𝑏2 ⋀𝑏3) დებულება. ამგვარად, 𝑎-სთვის აუცილებელი და საკმარისია პირობა: 𝑏1 ⋀𝑏2 ⋀𝑏3.

𝑥 → 𝑦 იმპლიკაციის სახით ჩამოყალიბებული თეორემისათვის, გარდა შებრუნებული 𝑦 → 𝑥 დებულებისა, შეიძლება ჩამოვაყალიბოთ საწინააღმდეგო დებულებაც. ასე ეწოდება �̅� → 𝑦� სახის დებულებას. მოცემული თეორემის საწინააღმდეგო დებულება შეიძლება აგრეთვე თეორე-


106

მა იყოს, ე.ი. იყოს ჭეშმარიტი გამონათქვამი და შეიძლება ასეთი არ იყოს. ეს იქიდან გამომდინა-რეობს, რომ 𝑥 → 𝑦 და �̅� → 𝑦� ფორმულები ტოლფასი არ არის, რაშიც ადვილად დავრწმუნდე-ბით, თუ შევადგენთ ამ ფორმულების ჭეშმარიტობის ცხრილებს. ამაში შეიძლება დავრწმუნდეთ მაგალითების განხილვითაც. ავიღოთ მაგალით 2.3-ის 𝑎1 → 𝑏1 თეორემა: „თუ ოთხკუთხედში ყველა გვერდი ტოლია, მისი დიაგონალები ურთიერთმართობულია“. შევადგინოთ საწინააღმ-დეგო დებულება 𝑎1�� → 𝑏1��: „თუ ოთხკუთხედში ყველა გვერდი ტოლი არ არის, მისი დიაგონალე-ბი ურთიერთმართობული არ არის“. ეს უკანასკნელი დებულება მცდარია, ე.ი. არ არის თეორე-მა. განვიხილოთ კიდევ ერთი თეორემა: „თუ ნატურალური რიცხვის ციფრთა ჯამი იყოფა სამ-ზე, მაშინ თვით რიცხვიც იყოფა სამზე“. ამ თეორემის საწინააღმდეგო დებულება ასევე ჭეშმარი-ტია, ე.ი. მოცემული თეორემის საწინააღმდეგო თეორემაა: „თუ ნატურალური რიცხვის ციფრთა ჯამი არ იყოფა სამზე, მაშინ არც ეს რიცხვი იყოფა სამზე“. ამრიგად, იმ შემთხვევაში, როცა 𝑥 → 𝑦 დებულება ჭეშმარიტია, �̅� → 𝑦� დებულება შეიძლება იყოს როგორც მცდარი, ასევე ჭეშმარიტიც. ეს ნიშნავს, რომ დამტკიცებული თეორემის საწინააღმდეგო დებულება თავის მხრივ საჭიროებს დამტკიცებას ან გაბათილებას.

იმ თეორემების საწინააღმდეგო დებულებების შესადგენად, რომელთა პირობები და და-სკვნები წარმოადგენენ რამდენიმე გამონათქვამის კონიუნქციას ან დიზიუნქციას, საჭიროა დე მორგანის კანონების გამოყენება (დებულება 1.1 16)). გავიხსენოთ, მაგალითად თეორემა 𝑎2 → 𝑏2 (მაგალითი 2.6), რომლის გავრცობილი ჩანაწერი (𝑎2′ ⋁𝑎2′′ ⋁ 𝑎2′′′) → (𝑏2′ ⋁ 𝑏2′′ ⋁ 𝑏2′′′) სახისაა:

(𝛼 = 90°⋁𝛽 = 90°⋁𝛾 = 90°) → �(𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2)⋁(𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2)⋁(𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2)�.

ამ თეორემის საწინააღმდეგო დებულება შემდეგნაირად ჩამოყალიბდება:

(𝛼 ≠ 90°⋀𝛽 ≠ 90°⋀𝛾 ≠ 90°) → �(𝑎2 ≠ 𝑏2 + 𝑐2)⋀(𝑏2 ≠ 𝑎2 + 𝑐2)⋀(𝑐2 ≠ 𝑎2 + 𝑏2)�.

ადვილი შესამოწმებელია, რომ ეს დებულება ჭეშმარიტია.

განსახილველი დაგვრჩა 𝑥 → 𝑦 სახის პირდაპირ თეორემებთან დაკავშირებული თეორე-მათა კიდევ ერთი სახე და მათ შორის მიმართების დამყარება. კერძოდ, ვგულისხმობთ საწინა-აღმდეგოს შებრუნებულს, ანუ 𝑦� → �̅� სახის თეორემას. ჩვენ შემთხვევით არ გვიწოდებია ამ დე-ბულებისათვის თეორემა. ის ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ჭეშმარიტია საწყისი დებულება, რაც 𝑥 → 𝑦 ≅ 𝑦� → �̅� ტოლფასობიდან გამომდინარეობს. ამ ტოლფასობას კონტრაპო-ზიციის კანონს უწოდებენ. ამრიგად, კონტრაპოზიციის კანონის ძალით, რაიმე თეორემის სა-წინააღმდეგოს შებრუნებული დებულება თავადაც თეორემაა და პირდაპირი თეორემის და-მტკიცების ნაცვლად, შეიძლება დავამტკიცოთ საწინააღმდეგოს შებრუნებული.

3. დამტკიცების მეთოდები. საწინააღმდეგოს დაშვების მეთოდი, ეჭვგარეშეა, თეორემათა დამტკიცების ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული მეთოდია. მისი არსი შემდეგია: იმისათვის, რომ დავამტკიცოთ 𝑥 → 𝑦 დებულება (თეორემა), ე.ი. „თუ 𝑥, მაშინ 𝑦“, ვგულის-ხმობთ, რომ ჭეშმარიტია 𝑥 დებულება და აქედან გამომდინარე ლოგიკური მსჯელობით უნდა მივიდეთ 𝑦 დებულებაზე. ამის ნაცვლად, დავუშვებთ, რომ ჭეშმარიტია საწინააღმდეგო იმისა, რის დამტკიცებაც გვინდა, ე.ი. 𝑦�. შემდეგ, ამ დაშვების საფუძველზე, მივდივართ აბსურდულ დასკვნამდე 𝑥.� დასკვნის აბსურდულობა ისაა, რომ ეწინააღმდეგება საწყის 𝑥 დებულებას. ამ დასკვნის მიღება გვაიძულებს უკუვაგდოთ დაშვება 𝑦� და მივიღოთ ის, რის დამტკიცებაც გვინდოდა − 𝑦.

რა ხდება ამ მსჯელობების დროს (მათემატიკური) ლოგიკის თვალსაზრისით? ხდება ის, რომ 𝑥 → 𝑦 თეორემის დამტკიცება ფაქტიურად ჩანაცვლდება 𝑦� → �̅� მოცემული თეორემის შე-


107

ბრუნებულის საწინააღმდეგო (ან საწინააღმდეგოს შებრუნებული) თეორემის დამტკიცებით. რა-ტომ არის ეს შესაძლებელი? იმიტომ, რომ სწორედ ეს არის კონტრაპოზიციის ლოგიკური კანონი 𝑥 → 𝑦 ≅ 𝑦� → �̅�, რომელიც ამ დებულებათა ტოლფასობას ამტკიცებს. ამრიგად, საწინააღმდეგოს დაშვების მეთოდი კონტრაპოზიციის ლოგიკურ კანონს ეფუძნება.

საწინააღმდეგოს დაშვების მეთოდი სხვა ფორმებითაც გამოიყენება. მაგალითად, 𝑥 → 𝑦 იმპლიკაციის ნაცვლად, ამტკიცებენ მის ტოლფას (𝑥 ⋀𝑦�) → �̅� იმპლიკაციას, ე.ი. უშვებენ რა, რომ ჭეშმარიტია 𝑥 და 𝑦� დებულებები, ღებულობენ �̅� დებულების ჭეშმარიტობას, რაც დაშვებას ეწინააღმდეგება. 𝑥 → 𝑦 ≅ (𝑥 ⋀ 𝑦�) → �̅� ტოლფასობის საფუძველზე კეთდება დასკვნა 𝑥 → 𝑦 იმ-პლიკაციის ჭეშმარიტობის შესახებ. მეორე ტოლფასობა 𝑥 → 𝑦 ≅ (𝑥 ⋀𝑦�) → 𝑦 საშუალებას იძლე-ვა, 𝑥 → 𝑦 იმპლიკაციის დამტკიცება შეიცვალოს (𝑥 ⋀ 𝑦�) → 𝑦 იმპლიკაციით, ე.ი. დავუშვებთ რა, რომ ჭეშმარიტია 𝑥 და 𝑦� დებულებები, ვადგენთ 𝑦 დებულების ჭეშმარიტობას, რაც დაშვებას ეწინააღმდეგება. დაბოლოს, ამ მეთოდის კიდევ ერთი ფორმა, აბსურდამდე მიყვანის მეთოდი 𝑥 → 𝑦 ≅ (𝑥 ⋀𝑦�) → (𝑧⋀ 𝑧̅) ტოლფასობას ეფუძნება. დავუშვებთ რა, რომ ჭეშმარიტია 𝑥 და 𝑦� დე-ბულებები, ვადგენთ რაიმე დებულებისა და მისი უარყოფის ჭეშმარიტობას.

აბსურდამდე (წინააღმდეგობამდე) მიყვანის მეთოდს აქვს ორი მოდიფიკაცია, რომლებიც არსებითად განსხვავებულია როგორც ფორმით, ასევე არსით, ე.ი. მისი ლოგიკური (დედუქციუ-რი) ძალით. ეს არის − საწინააღმდეგო დებულების აბსურდამდე მიყვანა და მოცემული დებუ-ლების აბსურდამდე მიყვანა.

საწინააღმდეგო დებულების აბსურდამდე მიყვანის მეთოდის შინაარსი შემდეგია: ვთქვათ, დასამტკიცებელია 𝑥 დებულება. იღებენ მის საწინააღმდეგო �̅� დებულებას და მისგან გამოიყვანენ ორ ურთიერთსაწინააღმდეგო დებულებას (ანუ რაიმე დებულებას და მის უარყო-ფას) �̅� → 𝑦 და �̅� → 𝑦�. აქედან გამომდინარე კეთდება დასკვნა, რომ ჭეშმარიტია საწყისი დებუ-ლება 𝑥. ეს მეთოდი შემდეგ ტავტოლოგიას ეყრდნობა: �(�̅� → 𝑦)⋀(�̅� → 𝑦�)� → 𝑥 (დებულება 1.1 15) ა)).

მოცემული დებულების აბსურდამდე მიყვანის მეთოდი შემდეგია: ვთქვათ, საჭიროა 𝑥 დებულების გაბათილება, ე.ი. �̅� დებულების დამტკიცება. ამ შემთხვევაში ორი ურთიერთსაწი-ნააღმდეგო 𝑦 და 𝑦� დებულება გამოიყვანება არა �̅� დებულებიდან, არამედ თვით მოცემული 𝑥 დებულებიდან: 𝑥 → 𝑦 და 𝑥 → 𝑦�. აქედან გამომდინარე კეთდება დასკვნა, რომ ჭეშმარიტია დე-ბულება �̅�, ე.ი. მოცემული 𝑥 დებულება გაბათილებულია. ეს მეთოდი �(𝑥 → 𝑦) ∧ (𝑥 → 𝑦�)� → �̅� ფორმულას ეყრდნობა (დებულება 1.1 15) ა)-ში 𝑥-ის ნაცვლად ვიღებთ �̅�-ს), რომელიც ასევე ტავ-ტოლოგიაა. მოვიყვანოთ ამ მეთოდის გამოყენების ნიმუში.

მაგალითი 2.9. დავამტკიცოთ, რომ არ არსებობს 𝑀 სიმრავლის ბიექცია მის ყველა ქვე-სიმრავლეთა 2𝑀 სიმრავლეზე.

სხვა სიტყვებით, უნდა გავაბათილოთ შემდეგი 𝑎 დებულება: „არსებობს 𝑀 სიმრავლის ბიექცია მის ყველა ქვესიმრავლეთა 2𝑀 სიმრავლეზე“. აღვნიშნოთ ეს ბიექცია 𝜑 სიმბოლოთი. ახლა, ჩვენ უნდა მოვიყვანოთ რაიმე 𝑏 დებულება ისეთი, რომ ის და მისი უარყოფა 𝑏�, მიიღე-ბოდეს 𝑎 დებულებიდან. წინასწარ განვიხილოთ შემდეგი სიმრავლე: 𝑀0 = {𝑥 ∈ 𝑀 | 𝑥 ∉ 𝜑(𝑥)} − სიმრავლე ისეთი ელემენტებისა 𝑀 სიმრავლიდან, რომლებიც თავის სახეს არ ეკუთვნიან (ეს 𝑀 სიმრავლის გარკვეული ქვესიმრავლეა) 𝜑 ასახვისას. ვინაიდან 𝑀0 ⊆ 𝑀, ხოლო 𝜑 არის ბიექცია 𝑀 სიმრავლისა 2𝑀 სიმრავლეზე, არსებობს ისეთი 𝑥0 ∈ 𝑀 ელემენტი, რომ 𝑀0 = 𝜑(𝑥0).


108

ახლა განვიხილოთ შემდეგი 𝑏 გამონათქვამი: „𝑥0 ∈ 𝑀0“. დავამტკიცოთ, რომ 𝑏 ჭეშმა-რიტია. დავუშვათ საწინააღმდეგო, ე.ი. ჭეშმარიტია 𝑏�. მაშინ 𝑥0 ∉ 𝑀0. მაგრამ 𝑀0 = 𝜑(𝑥0), ამი-ტომ 𝑥0 ∉ 𝜑(𝑥0). გამომდინარე 𝑀0 სიმრავლის განსაზღვრიდან ვასკვნით, რომ 𝑥0 ∈ 𝑀0 . მივი-ღეთ წინააღმდეგობა, საიდანაც ვასკვნით, დაშვება იმისა, რომ 𝑏� ჭეშმარიტია, არასწორია. აქედან გამომდინარე, ჭეშმარიტია 𝑏. (მაგრამ მაშინ ჭეშმარიტია აგრეთვე 𝑎 → 𝑏 გამონათქვამი).

ახლა დავამტკიცოთ, რომ ჭეშმარიტია 𝑏� გამონათქვამი. დავუშვათ საწინააღმდეგო, ე.ი. ჭეშმარიტია 𝑏, ანუ 𝑥0 ∈ 𝑀0. 𝑀0 სიმრავლის განსაზღვრიდან ვასკვნით, რომ 𝑥0 ∉ 𝜑(𝑥0). მაგრამ 𝜑(𝑥0) = 𝑀0. მაშასადამე, 𝑥0 ∉ 𝑀0. ვღებულობთ წინააღმდეგობას, საიდანაც ვასკვნით, დაშვება იმისა, რომ 𝑏 ჭეშმარიტია, არასწორია. აქედან გამომდინარე, ჭეშმარიტია 𝑏�, მაგრამ მაშინ ჭეშმა-რიტია აგრეთვე 𝑎 → 𝑏� გამონათქვამიც.

ამრიგად, მივედით აბსურდამდე, წინააღმდეგობამდე: მოცემული 𝑎 დებულებიდან მი-ვიღეთ ურთიერთსაწინააღმდეგო 𝑏 და 𝑏� დებულებების ჭეშმარიტობა. ამიტომ მოცემული 𝑎 დებულება მცდარია, ხოლო მისი უარყოფა 𝑎� ჭეშმარიტია.

აბსურდამდე მიყვანის მეთოდით დამტკიცება შეიძლება ეფუძნებოდეს ��̅� → (𝑦 ⋀𝑦�)� → 𝑥 ტავტოლოგიას (დებულება 1.1 15) ბ)). ამ მეთოდის შინაარსი შემდეგია. დავუშვათ, დასამტკიცე-ბელია რაიმე 𝑥 დებულება. დავუშვებთ, რომ ჭეშმარიტია მისი უარყოფა �̅� და მისგან გამოვი-ყვანთ რაიმე 𝑦 დებულებას და მის 𝑦� უარყოფას. შედეგად ვასკვნით, რომ ჭეშმარიტია 𝑥.

არცთუ იშვიათად, მათემატიკურ დამტკიცებებში გამოიყენება ჯაჭვური დასკვნის წესი ანუ სილოგიზმის კანონი (დებულება 1.1 6)). ვთქვათ, დასამტკიცებელია 𝑥 → 𝑦 დებულება. ვპო-ულობთ ისეთ 𝑧 დებულებას, რომლისთვისაც შეგვიძლია დავამტკიცოთ 𝑥 → 𝑧 და 𝑧 → 𝑦 დებულებების ჭეშმარიტობა. მაშინ სილოგიზმის წესის საფუძველზე ვასკვნით, რომ ჭეშმარიტია 𝑥 → 𝑦 დებულება. მაგალითად, შემდეგი ორი თეორემიდან, „თუ სამკუთხედი ტოლგვერდაა, მისი ყველა კუთხე ტოლია“ და „თუ სამკუთხედში ყველა კუთხე ტოლია, მაშინ ყოველი მათგანის სიდიდეა 60°“, სილოგიზმის კანონის საფუძველზე ვღებულობთ თეორემას: „თუ სამკუთხედი ტოლგვერდაა, მისი ყველა კუთხის სიდიდე 60°-ის ტოლია“.

დამტკიცების კიდევ ერთი, ფართოდ გავრცელებული მეთოდია მათემატიკური ინდუქ-ცია. ამ მეთოდის არსი შემდეგია: ვთქვათ, 𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛,𝑎𝑛+1, … დებულებათა რაიმე უსასრულო მიმდევრობაა. თუ

1) 𝑎1 ჭეშმარიტია (ამ დებულებას ინდუქციის ბაზას უწოდებენ);

2) ყოველი 𝑛 ∈ ℕ ნატურალური რიცხვისათვის, 𝑎𝑛 დებულების ჭეშმარიტობიდან გამო-მდინარეობს 𝑎𝑛+1 დებულების ჭეშმარიტობა (ამ დებულებას ინდუქციურ ბიჯს უწოდებენ).

მაშინ 𝑎𝑛 დებულება ჭეშმარიტია ნებისმიერი 𝑛 ∈ ℕ რიცხვისათვის.

მაგალითი 2.10. დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი 𝑛 ∈ ℕ ნატურალური რიცხვისათვის და ნებისმიერი 𝑞 ∈ ℝ, 𝑞 ≠ 1 ნამდვილი რიცხვისათვის მართებულია ტოლობა:

1 + 𝑞 + 𝑞2 +⋯+ 𝑞𝑛 =1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞 . (1)

გამოვიყენოთ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი.

1) 𝑛 = 1: 1 + 𝑞 =(1− 𝑞)(1 + 𝑞)

1− 𝑞=

1− 𝑞2

1 − 𝑞=

1− 𝑞1+1

1− 𝑞;


109

2) დავუშვათ, 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯+ 𝑞𝑛 =1 − 𝑞𝑛+1

1− 𝑞 . მაშინ

1 + 𝑞 + 𝑞2 +⋯+ 𝑞𝑛 + 𝑞𝑛+1 =1− 𝑞𝑛+1

1− 𝑞+ 𝑞𝑛+1 =

1− 𝑞𝑛+1 + 𝑞𝑛+1 − 𝑞(𝑛+1)+1

1− 𝑞

=1 − 𝑞(𝑛+1)+1

1 − 𝑞 .

მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის ძალით, (1) ტოლობა მართებულია ნებისმიერი 𝑛 ∈ ℕ რი-ცხვისათვის.

110

სავარჯიშოები V თავისათვის


1.1. ქვემომოყვანილი წინადადებებიდან რომლებია გამონათქვამები?

1) „ბერლინი − გერმანიის დედაქალაქია“;

2) „უნივერსიტეტის ინფორმატიკის ფაკულტეტის სტუდენტი“;

3) „𝐴𝐵𝐶 სამკუთხედი 𝐴1𝐵1𝐶1 სამკუთხედის მსგავსია“;

4) „მთვარე მარსის თანამგზავრია“;

5) „2 + 2 − 5“;

6) „ჟანგბადი არის აირი“.

1.2. მიუთითეთ, წინა სავარჯიშოს რომელი გამონათქვამებია მცდარი და რომელი ჭეშმა-რიტი.

1.3. ჩამოაყალიბეთ შემდეგი გამონათქვამების უარყოფა. მიუთითეთ მოცემული გამონა-თქვამების და მათი უარყოფების ჭეშმარიტობის მნიშვნელობები:

1) „მდინარე მტკვარი ერთვის კასპიის ზღვას“;

2) „რიცხვი 28 არ იყოფა 7-ზე“;

3) „6 > 3“;

4) „4 ≤ 5“;

5) „ყველა მარტივი რიცხვი კენტია“;

6) „√2 − რაციონალური რიცხვია“.

1.4. დაადგინეთ, შემდეგ წყვილებში რომელი გამონათქვამებია ერთმანეთის უარყოფები და რომელი არა:

1) „4 < 5“, „5 < 4“;

2) „6 < 9“, „6 ≥ 9“;

3) „𝐴𝐵𝐶 სამკუთხედი მართკუთხაა“, „𝐴𝐵𝐶 სამკუთხედი ბლაგვკუთხაა“;

4) „ნატურალური რიცხვი 𝑛 ლუწია“, „ნატურალური რიცხვი 𝑛 კენტია“;

5) „ყველა მარტივი რიცხვი კენტია“, „ყველა მარტივი რიცხვი ლუწია“;

6) „ადამიანისათვის ცნობილია დედამიწაზე მცხოვრებ ცხოველთა ყველა სახეობა“, „დე-დამიწაზე არსებობს ცხოველთა სახეობები, რომლებიც უცნობია ადამიანისათვის“.

1.5. დაადგინეთ შემდეგ გამონათქვამთა ჭეშმარიტობის მნიშვნელობები:

1) „მდინარე მტკვარი ერთვის კასპიის ზღვას და 2 + 3 = 5“;

2) „7 − მარტივი რიცხვია და 9 − მარტივი რიცხვია“;

3) „7 − მარტივი რიცხვია ან 9 − მარტივი რიცხვია“;

4) „რიცხვი 2 ლუწია ან ეს რიცხვი მარტივია“.

1.6. დაადგინეთ 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑, 𝑒,𝑓,𝑔,ℎ გამონათქვამთა ჭეშმარიტობის მნიშვნელობები, თუ 1)-4) გამონათქვამები ჭეშმარიტია, ხოლო 5)-8) გამონათქვამები მცდარია:

1) 𝑎⋀(2 ∙ 2 = 4); 5) 𝑒 ⋀(2 ∙ 2 = 4);


111

2) 𝑏⋁(2 ∙ 2 = 5); 6) 𝑓 ⋁(2 ∙ 2 = 5);

3) 𝑐̅ ⋁(2 ∙ 2 = 5); 7) �̅� ⋁(2 ∙ 2 = 5);

4) �̅� ⋀(2 ∙ 2 = 4); 8) ℎ� ⋀(2 ∙ 2 = 4).

1.7. ჩამოაყალიბეთ და ჩაწერეთ კონიუნქციის ან დიზიუნქციის სახით შემდეგი წინადა-დებების ჭეშმარიტობის პირობები (𝑎, 𝑏 − ნამდვილი რიცხვებია):

1) 𝑎 ∙ 𝑏 ≠ 0; 5) |𝑎| = 3;

2) 𝑎 ∙ 𝑏 = 0; 6) 𝑎 𝑏⁄ ≠ 0;

3) 𝑎2 + 𝑏2 = 0; 7) 𝑎𝑏 > 0;

4) 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0; 8) 𝑎𝑏 ≤ 0.

1.8. დაადგინეთ 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑, 𝑒,𝑓,𝑔,ℎ გამონათქვამთა ჭეშმარიტობის მნიშვნელობები, თუ 1)-4) გამონათქვამები მცდარია, ხოლო 5)-8) გამონათქვამები ჭეშმარიტია:

1) „თუ 4 − ლუწი რიცხვია, მაშინ 𝑎“; 5) „თუ 𝑒, მაშინ 4 − კენტი რიცხვია“;

2) „თუ 𝑏, მაშინ 6 − კენტი რიცხვია“; 6) „თუ 3 ∙ 2 = 6, მაშინ 𝑓“;

3) „თუ 2 ∙ 2 = 4, მაშინ 𝑐̅“; 7) „თუ 6 − ლუწი რიცხვია, მაშინ �̅�“;

4) „თუ �̅�, მაშინ 2 ∙ 2 = 5“; 8) „თუ ℎ�, მაშინ 2 ∙ 2 = 5“.

1.9. დაადგინეთ შემდეგ გამონათქვამთა ჭეშმარიტობის მნიშვნელობები:

1) „თუ 9 იყოფა 3-ზე, მაშინ 4 იყოფა 2-ზე“;

2) „თუ 11 იყოფა 6-ზე, მაშინ 11 იყოფა 3-ზე“;

3) „12 იყოფა 6-ზე მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 12 იყოფა 3-ზე“;

4) „15 იყოფა 6-ზე მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 15 იყოფა 3-ზე“.

1.10. ვთქვათ, 𝑎 აღნიშნავს გამონათქვამს „9 იყოფა 3-ზე“, ხოლო 𝑏 − გამონათქვამს „8 იყოფა 3-ზე“. დაადგინეთ შემდეგ გამონათქვამთა ჭეშმარიტობის მნიშვნელობები:

1) 𝑎 → 𝑏; 5) �𝑎 ⋁𝑏�� → �𝑎⋀𝑏��;

2) 𝑏 → 𝑎; 6) �𝑎 ⋀𝑏�� → 𝑎�;

3) 𝑎� → 𝑏; 7) (𝑎⋁𝑏) ↔ 𝑎;

4) 𝑏� → 𝑎; 8) �𝑎 ⋀𝑏�� ↔ 𝑏�.

1.11. სამი მოცემული 𝑎, 𝑏, 𝑐 გამონათქვამით ააგეთ ისეთი შედგენილი გამონათქვამი, რო-მელიც:

1) ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ყველა მოცემული გამონათქვამი ჭეშმარი-ტია;

2) მცდარია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ყველა მოცემული გამონათქვამი მცდარია;

3) ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ყველა მოცემული გამონათქვამი მცდარია;

4) მცდარია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ყველა მოცემული გამონათქვამი ჭეშმარიტია;

5) ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ჭეშმარიტია 𝑎 და 𝑏 გამონათქვამები;

6) ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა მცდარია 𝑎 და 𝑏 გამონათქვამები;

7) ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ყველა მოცემული გამონათქვამი ან ჭეშმა-რიტია, ან მცდარია;


112

8) მცდარია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ყველა მოცემული გამონათქვამი ან ჭეშმარი-ტია, ან მცდარია.

1.12. ქვემომოყვანილი გამონათქვამებისათვის განსაზღვრეთ, საკმარისია თუ არა მოყვა-ნილი ინფორმაცია, რომ დავადგინოთ მისი ჭეშმარიტობის მნიშვნელობა (თუ საკმარისია, მიუ-თითეთ ეს მნიშვნელობა, თუ არ არის საკმარისი აჩვენეთ მაგალითებზე, რომ მას შეიძლება ჰქონდეს ჭეშმარიტობის ორივე მნიშვნელობა):

1) 𝑎⋀(𝑏 → 𝑐) , 𝜆(𝑏 → 𝑐) = 0; 5) (𝑎 ⋀𝑏) → (𝑎 ⋁ 𝑐), 𝜆(𝑎) = 0;

2) 𝑎⋁(𝑏 → 𝑐) , 𝜆(𝑏) = 0; 6) �𝑏 → 𝑎�� ↔ (𝑎⋁ 𝑐��), 𝜆(𝑎) = 1;

3) �𝑎⋁ 𝑏�� ↔ �𝑏� ⋀ 𝑎��, 𝜆(𝑎) = 1; 7) (𝑎 ↔ 𝑏)⋁(𝑎⋀ 𝑐) , 𝜆(𝑎) = 0;

4) (𝑎 → 𝑏) → �𝑎� → 𝑏��, 𝜆(𝑏) = 1; 8) ��𝑎 → 𝑏�� → �𝑎⋀𝑏��⋁ 𝑐 , 𝜆(𝑎 → 𝑏) = 0.

1.13. არსებობს თუ არა სამი ისეთი გამონათქვამი 𝑎, 𝑏, 𝑐, რომ მათთვის ერთდროულად სრულდებოდეს შემდეგი პირობები:

1) 𝜆(𝑎⋀𝑏) = 1, 𝜆(𝑎⋀ 𝑐) = 0, 𝜆(𝑎⋀𝑏 ⋀𝑐̅) = 0;

2) 𝜆(𝑏 → 𝑎) = 1, 𝜆(𝑎 ⋁ 𝑐) = 0, 𝜆�𝑎 ↔ (𝑏⋀ 𝑐̅)� = 0;

3) 𝜆(𝑎⋁𝑏) = 0, 𝜆�𝑏� ⋀ 𝑐� = 1, 𝜆 �(𝑎⋁ 𝑐̅) ↔ �𝑏� → 𝑐̅�� = 1;

4) 𝜆�𝑎 ⋀𝑏�� = 1, 𝜆(𝑏⋁ 𝑐) = 1, 𝜆 ��𝑏 → 𝑎��⋁ 𝑐� = 0;

5) 𝜆(𝑎� ⋀𝑏) = 0, 𝜆(𝑎⋁ 𝑐) = 0, 𝜆�(𝑎⋁𝑏)⋀ 𝑐̅� = 1;

6) 𝜆(𝑎⋁𝑏) = 0, 𝜆(𝑏⋁ 𝑐) = 1, 𝜆�(𝑐 → 𝑎)⋁(𝑐 → 𝑏)� = 1;

7) 𝜆(𝑎 → 𝑏) = 0, 𝜆(𝑎 → 𝑐) = 1, 𝜆�(𝑐 → 𝑎) → (𝑐 → 𝑏)� = 1;

8) 𝜆(𝑎⋁ 𝑐) = 1, 𝜆(𝑎⋁𝑏) = 0, 𝜆�𝑐 → (𝑎⋁𝑏)� = 1.

1.14. შემდეგი ფორმულებისათვის შეადგინეთ ჭეშმარიტობის ცხრილები და მიუთითეთ რომელი ფორმულებია ტავტოლოგიები:

1) (𝑥 → 𝑦) → �(𝑥 → 𝑦�) → �̅��; 5) 𝑥 ⋀(𝑦⋀(�̅� ⋁ 𝑦�));

2) �(𝑥 → 𝑦) → 𝑥� → 𝑦; 6) ��(𝑥 → 𝑦) → 𝑦� → 𝑦� → 𝑦;

3) (𝑥 ⋀(𝑦 ⋁ �̅�))⋀�(𝑦� → 𝑥)⋁𝑦�; 7) ��(𝑥 ⋁𝑦�)⋀(𝑦 ⋁𝑧)�⋁ 𝑧̅� ⋁𝑦;

4) �(𝑥 ⋀𝑦�) → 𝑦� → (𝑥 → 𝑦); 8) �(𝑥 ⋁𝑦�) → 𝑦�⋀(�̅� ⋁ 𝑦).

1.15. ჭეშმარიტობის ცხრილების შედგენით დაამტკიცეთ, რომ შემდეგი ფორმულები ტავ-ტოლოგიებია:

1) 𝑥 ⋁ �̅� (გამორიცხული მესამის კანონი);

2) 𝑥 ⋀ �̅�� (წინააღმდეგობის უარყოფის კანონი);

3) �̿� ↔ 𝑥 (ორმაგი უარყოფის კანონი);

4) 𝑥 → 𝑥 (იგივეობის კანონი);

5) (𝑥 → 𝑦) ↔ (𝑦� → �̅�) (კონტრაპოზიციის კანონი);

6) �(𝑥 → 𝑦)⋀(𝑦 → 𝑧)� → (𝑥 → 𝑧) (ჯაჭვური დასკვნის წესი);

7) (𝑥 ↔ 𝑦) ↔ (�̅� ↔ 𝑦�) (საწინააღმდეგოს კანონი);

8) (𝑥 ⋀𝑦) ↔ (𝑦⋀𝑥) (კონიუნქციის კომუტაციურობა);


113

9) (𝑥 ⋁𝑦) ↔ (𝑦⋁𝑥) (დიზიუნქციის კომუტაციურობა);

10) (𝑥 ⋀(𝑦⋀ 𝑧)) ↔ �(𝑥 ⋀𝑦)⋀ 𝑧� (კონიუნქციის ასოციაციურობა);

11) (𝑥 ⋁(𝑦⋁𝑧)) ↔ �(𝑥 ⋁𝑦)⋁𝑧� (დიზიუნქციის ასოციაციურობა);

12) (𝑥 ⋀(𝑦⋁𝑧)) ↔ �(𝑥 ⋀𝑦)⋁(𝑥 ⋀𝑧)� (კონიუნქციის დისტრიბუციულობა დიზიუნქციის მიმართ);

13) (𝑥 ⋁(𝑦⋀𝑧)) ↔ �(𝑥 ⋁𝑦)⋀(𝑥 ⋁𝑧)� (დიზიუნქციის დისტრიბუციულობა კონიუნქციის მიმართ);

14) (𝑥 ⋀ 𝑥) ↔ 𝑥 (კონიუნქციის იდემპოტენტურობა);

15) (𝑥 ⋁𝑥) ↔ 𝑥 (დიზიუნქციის იდემპოტენტურობა);

16) (𝑥 → 𝑦) ↔ (�̅� ⋁ 𝑦);

17) (𝑥 ↔ 𝑦) ↔ �(𝑥 → 𝑦)⋀(𝑦 → 𝑥)�;

18) (𝑥 ⋀(𝑥 ⋁𝑦)) ↔ 𝑥 (შთანთქმის პირველი კანონი);

19) (𝑥 ⋁(𝑥 ⋀𝑦)) ↔ 𝑥 (შთანთქმის მეორე კანონი);

20) (𝑥 ⋀ 𝑦��) ↔ (�̅� ⋁ 𝑦�) (დე მორგანის პირველი კანონი);

21) (𝑥 ⋁ 𝑦��) ↔ (�̅� ⋀ 𝑦�) (დე მორგანის მეორე კანონი);

22) (𝑥 ⋁𝑦) ↔ (�̅� → 𝑦).

1.16. დაამტკიცეთ, რომ 𝐹 და 𝐺 ფორმულები ტოლფასია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 𝐹 ↔ 𝐺 ფორმულა ტავტოლოგიაა.

1.17. წინა ამოცანის და 1.15 ამოცანის ტავტოლოგიების გამოყენებით დაამტკიცეთ შემ-დეგი ტოლფასობები:

1) 𝑥 ⋁ �̅� ≅ 1, 𝑥 ⋀ �̅� ≅ 0; 10) 𝑥 ⋁(𝑦⋀𝑧) ≅ (𝑥 ⋁𝑦)⋀(𝑥 ⋁ 𝑧) ;

2) 𝑥 ⋁ 0 ≅ 𝑥, 𝑥 ⋁1 ≅ 1; 11) 𝑥 ⋀ 𝑥 ≅ 𝑥;

3) 𝑥 ⋀0 ≅ 0, 𝑥 ⋀1 ≅ 𝑃; 12) 𝑥 ⋁ 𝑥 ≅ 𝑥;

4) �̿� ≅ 𝑥; 13) 𝑥 ⋀(𝑥 ⋁𝑦) ≅ 𝑥;

5) 𝑥 ⋀ 𝑦 ≅ 𝑦⋀𝑥 ; 14) 𝑥 ⋁(𝑥 ⋀𝑦) ≅ 𝑥;

6) 𝑥 ⋁ 𝑦 ≅ 𝑦⋁𝑥 ; 15) 𝑥 → 𝑦 ≅ �̅� ⋁𝑦 ;

7) 𝑥 ⋀(𝑦⋀𝑧) ≅ (𝑥 ⋀𝑦)⋀ 𝑧 ; 16) 𝑥 ↔ 𝑦 ≅ (𝑥 → 𝑦)⋀(𝑦 → 𝑥) ;

8) 𝑥 ⋁(𝑦⋁𝑧) ≅ (𝑥 ⋁𝑦)⋁ 𝑧 ; 17) 𝑥 ⋀𝑦�� ≅ �̅� ⋁𝑦�;

9) 𝑥 ⋀(𝑦⋁𝑧) ≅ (𝑥 ⋀𝑦)⋁(𝑥 ⋀𝑧) ; 18) 𝑥 ⋁𝑦�� ≅ �̅� ⋀𝑦�.

1.18. მოცემული (𝜆𝐹)−1(1) სიმრავლის საშუალებით იპოვეთ ფორმულა:

1) {(0, 0), (1, 1)}; 2) {(0, 1), (1, 0), (1, 1)}; 3) {(0, 1, 1), (1, 1, 0)}; 4) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}; 5) {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}; 6) {(0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0)}.

1.19. მოცემული (𝜆𝐹)−1(0) სიმრავლის საშუალებით იპოვეთ ფორმულა:

1) {(0, 1), (1, 1)};


114

2) {(0, 1), (1, 0), (1, 1)}; 3) {(0, 1, 1), (1, 1, 1)}; 4) {(1, 0, 0), (1, 0, 1)}; 5) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1)}; 6) {(0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}.


2.1. სამი ცვლადის 𝐹𝑖(𝑥,𝑦, 𝑧) და 𝐺𝑖(𝑥,𝑦, 𝑧) (𝑖 = 1, 2, 3; 𝑗 = 1, 2, … ,11) ფორმულები მოცე-მულია ჭეშმარიტობის შემდეგი ცხრილით:

𝑥 𝑦 𝑧 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4 𝐺5 𝐺6 𝐺7 𝐺8 𝐺9 𝐺10 𝐺11 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1

გამოარკვიეთ, 𝐺𝑖 (𝑗 = 1, 2, … ,11) ფორმულებიდან რომლები წარმოადგენენ 𝐹1,𝐹2 და 𝐹3

ფორმულების ლოგიკურ შედეგებს.

2.2. განსაზღვრიდან გამომდინარე აჩვენეთ, რომ მართებულია შემდეგი ლოგიკური გამო-მდინარეობები. გამოარკვიეთ, იქნება თუ არა მართებული შებრუნებული გამომდინარეობები.

1) 𝑥 ↔ 𝑦 ⊨ 𝑥 → 𝑦; 4) �(𝑥 ⋀𝑦) → (𝑥 ⋁𝑦)� → 𝑥 ⊨ 𝑥⋁ 𝑦;

2) 𝑥 ↔ 𝑦� ⊨ 𝑥⋁𝑦; 5) (𝑥 ⋁𝑦) → (𝑥 ⋀ 𝑦) ⊨ 𝑥 → 𝑦;

3) 𝑥 ⋀𝑦 ⊨ 𝑥⋁𝑦; 6) 𝑥 ⋀𝑦� ⊨ (�̅� ⋁ 𝑦) → 𝑦�.

2.3. გამოარკვიეთ, შემდეგი ფორმულებიდან რომელი მათგანია მეორე ფორმულის ლოგიკური შედეგი:

1) (𝑥 → 𝑦) → 𝑧, 𝑥 ⋁𝑦⋁𝑧; 4) 𝑥 ⋁(𝑦 → 𝑧)⋁𝑦 , (𝑥 ⋁𝑦) ↔ 𝑧;

2) 𝑥 → (𝑦 → 𝑧), (𝑥 → 𝑦) → 𝑧; 5) (𝑥 ↔ 𝑦) → (𝑦 ↔ 𝑧), 𝑥 → (𝑦 → 𝑧);

3) 𝑧 → (𝑦⋁ �̅�), 𝑥 → (𝑦⋀𝑧); 6) 𝑥 → 𝑦, (𝑥 → 𝑧)⋁𝑦 .

2.4. განსაზღვრიდან გამომდინარე გამოარკვიეთ, მართებულია თუ არა შემდეგი ლოგი-კური გამომდინარეობები.

1) 𝑥 → 𝑦, 𝑥 → 𝑦� ⊨ �̅�; 4) (𝑥 → 𝑦) → 𝑧, �̅�, 𝑦� ⊨ 𝑧;

2) 𝑥 → 𝑦, 𝑦 → �̅� ⊨ �̅�; 5) 𝑥 → 𝑦, 𝑥 ⋁𝑧 ⊨ (𝑥 ⋁𝑧) → (𝑥 ⋀𝑦);

3) �̅� → 𝑦�, 𝑥 ⊨ 𝑦; 6) 𝑥 ⋁𝑧 , 𝑧 → 𝑦 ⊨ 𝑥 ⋁𝑦.


115

2.5. დაალაგეთ ფორმულები ისე, რომ თითოეული ფორმულიდან ლოგიკურად გამომდი-ნარეობდეს მის შემდეგ მდგომი ყველა ფორმულა:

1) 𝑥 ⋁𝑦 , 𝑥 → (𝑦 → 𝑥)��, �̅� ⋀ 𝑦�� , �̅� ↔ 𝑦, �̅� ⋀ 𝑦;

2) 𝑥 → 𝑦, �̅� ⋀ 𝑦� , 𝑥 → �𝑦 → (𝑥 ⋀𝑦)�, 𝑦⋁ �̅� , 𝑥 ↔ 𝑦;

3) (𝑥 → 𝑦)⋁𝑥 , 𝑥 → 𝑦�� ⋀𝑦 → 𝑥�� , 𝑥 ↔ 𝑦��, 𝑥 ⋀𝑦�� , �̅� ⋀ 𝑦;

4) 𝑥 ↔ 𝑦, 𝑥 ⋁𝑦�� , 𝑥 → (�̅� → 𝑦)��, �̅� → (𝑥 → 𝑦), 𝑦 → (𝑥 ⋁𝑦�);

5) (�̅� ⋀ 𝑦) → 𝑥, 𝑥 ⋁𝑦� , (𝑥 ⋁𝑦)⋀(𝑥 ⋀𝑦) , 𝑥 ↔ 𝑦, (𝑥 → 𝑦)⋁(𝑦 → 𝑥);

6) (𝑥 ⋁𝑦) ↔ 𝑥, 𝑦� ⋁𝑥 , (�̅� → 𝑦) ↔ (𝑦⋁𝑥), 𝑥 ⋀𝑦 , 𝑦 → (𝑦 → 𝑥).

2.6. ჩამოაყალიბეთ შემდეგი თეორემების შებრუნებული დებულებები:

1) თუ რაციონალურ რიცხვთა მიმდევრობა კრებადია, მაშინ ის ფუნდამენტურია (ე.ი. კოშის მიმდევრობაა);

2) თუ მიმდევრობა კრებადია, მაშინ ის შემოსაზღვრულია;

3) თუ სამკუთხედი ტოლფერდაა, მისი ფუძესთან მდებარე კუთხეები ტოლია;

4) თუ ოთხკუთხედი რომბია, მაშინ მისი დიაგონალები ურთიერთმართობულია;

5) თუ პარალელოგრამი რომბია, მაშინ მისი დიაგონალები ურთიერთმართობულია;

6) პარალელოგრამის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი მისი სიმეტრიის ცენტრია;

7) მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი კათეტების სიგრძეთა კვადრატების ჯამს უდრის;

8) თუ მიმდევრობა მონოტონურია და შემოსაზღვრული, მას გააჩნია ზღვარი.

შებრუნებული დებულებებიდან რომლებია მართებული, ე.ი. თეორემები?

2.7. ჩამოაყალიბეთ 2.6 ამოცანაში მოყვანილი თეორემების საწინააღმდეგო დებულებე-ბი. ამ დებულებებიდან რომლებია მართებული, ე.ი. თეორემები?

2.8. ჩამოაყალიბეთ 2.6 ამოცანაში მოყვანილი თითოეული თეორემის, საწინააღმდეგოს შებრუნებული თეორემა.

2.9. კონტრაპოზიციის კანონის გამოყენებით, დაამტკიცეთ თეორემები:

1) თუ 𝑚𝑛 − კენტი რიცხვია, მაშინ 𝑚 და 𝑛 კენტებია (𝑚,𝑛 − მთელი რიცხვებია);

2) თუ 𝑡 (𝑡2 + 1)⁄ გამოსახულების მნიშვნელობა ირაციონალური რიცხვია, მაშინ 𝑡 ირა-ციონალურია;

3) თუ 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0, მაშინ 𝑎 ≠ 0 ან 𝑏 ≠ 0;

4) თუ ორი წრფე ცალ-ცალკე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი ურთიერთპარა-ლელურია.

2.10. შემდეგი თეორემებისათვის მოძებნეთ ყველა თეორემა, ე.ი. მისი შებრუნებული და საწინააღმდეგო (თუ ისინი არსებობენ) მართებული დებულებები და შებრუნებულის საწი-ნააღმდეგო თეორემა:

1) თუ 𝑎 = 0 და 𝑏 = 0, მაშინ 𝑎2 + 𝑏2 = 0 (𝑎, 𝑏 − ნამდვილი რიცხვებია);

2) თუ 𝑎 იყოფა 𝑏-ზე და 𝑏 იყოფა 𝑐-ზე, მაშინ 𝑎 იყოფა 𝑐-ზე (𝑎, 𝑏, 𝑐 − მთელი რიცხვე-ბია);


116

3) თუ 𝑎𝑏 იყოფა 𝑐-ზე და 𝑎 არ იყოფა 𝑐-ზე, მაშინ 𝑏 იყოფა 𝑐-ზე (𝑎, 𝑏, 𝑐 − მთელი რი-ცხვებია);

4) თუ 𝑎 იყოფა 𝑐-ზე და 𝑏 იყოფა 𝑐-ზე, მაშინ 𝑎 + 𝑏 იყოფა 𝑐-ზე (𝑎, 𝑏, 𝑐 − მთელი რი-ცხვებია);

5) თუ წრეწირში ჩახაზული ორი კუთხე ეყრდნობა ერთი და იმავე რკალს, მაშინ ისინი ტოლია;

6) თუ ოთხკუთხედის ორი მოპირდაპირე გვერდი ტოლია და პარალელური, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია;

7) თუ ორი ქორდა ეკუთვნის ტოლ წრეებს და ერთმანეთის ტოლია, მაშინ ისინი თანაბრა-დაა დაშორებული ამ წრეთა ცენტრებიდან;

8) თუ სიბრტყე მართობულია ორი პარალელური წრფიდან ერთ-ერთის, მაშინ ის მართო-ბულია მეორისაც.

2.11. შემდეგ გამონათქვამებში, მრავალწერტილის ნაცვლად ჩასვით, „აუცილებელია, მაგრამ არასაკმარისი“, „საკმარისია, მაგრამ არა აუცილებელი“, „აუცილებელია და საკმარისი“, გამონათქვამთაგან ერთ-ერთი, რომ მიიღოთ ჭეშმარიტი გამონათქვამი:

1) 𝑎 − ლუწი რიცხვია … იმისათვის, რომ 3𝑎 იყოს ლუწი რიცხვი (𝑎 − მთელი რიცხვია);

2) 𝑎 იყოფოდეს 𝑐-ზე … იმისათვის, რომ 𝑎𝑏 იყოფოდეს 𝑐-ზე (𝑎, 𝑏, 𝑐 − მთელი რიცხვე-ბია);

3) 𝑎 და 𝑏 იყოფოდეს 𝑐-ზე … იმისათვის, რომ 𝑎 + 𝑏 იყოფოდეს 𝑐-ზე (𝑎, 𝑏, 𝑐 − მთელი რიცხვებია);

4) 𝑥 > 1 … იმისათვის, რომ 𝑥2 − 1 > 0;

5) 𝑎 ∥ 𝑏 და 𝑏 ∥ 𝑐 … იმისათვის, რომ 𝑎 ∥ 𝑐 (𝑎, 𝑏, 𝑐 − წრფეებია);

6) 𝛼 = 𝛽 … იმისათვის, რომ sin𝛼 = sin𝛽;

7) იმისათვის, რომ ოთხკუთხედი იყოს მართკუთხედი, … , რომ მისი დიაგონალები იყოს ტოლი;

8) იმისათვის, რომ ოთხკუთხედი იყოს პარალელოგრამი, … , რომ მისი დიაგონალები გა-დაკვეთის წერტილით შუაზე იყოფოდნენ.

2.12. გამონათქვამთა ალგებრის ძირითადი კანონების (ტავტოლოგიების) გამოყენებით დაამტკიცეთ, რომ შემდეგი შედგენილი გამონათქვამები, ჭეშმარიტია:

1) ნამდვილი 𝑎 რიცხვი მეტია 2-ზე ან ნაკლებია −1-ზე იმ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა იქიდან, რომ 𝑎 არ არის 2-ზე მეტი, გამომდინარეობს, რომ 𝑎 < −1;

2) თუ მართებულია დებულება, რომ ნამდვილკოეფიციენტებიან, კენტი ხარისხის მქონე ყოველ ალგებრულ განტოლებას გააჩნია ერთი მაინც ნამდვილი ფესვი, მაშინ მართებულია დე-ბულება, რომ ნამდვილი ფესვების არმქონე ყოველი ნამდვილკოეფიციენტებიანი ალგებრული განტოლება, ლუწი ხარისხისაა;

3) ორი დებულება: „𝑛 წრფივ, ერთგვაროვან განტოლებათა სისტემას 𝑛 უცნობით, გააჩნია ერთადერთი ამონახსნი მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა სისტემის დეტერმინანტი ნუ-ლისაგან განსხვავებულია“ და „𝑛 წრფივ, ერთგვაროვან განტოლებათა სისტემას 𝑛 უცნობით,


117

გააჩნია ორი მაინც ამონახსნი მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა სისტემის დეტერმინანტი ნულის ტოლია“, ერთდროულად ჭეშმარიტია ან ერთდროულად მცდარია;

4) თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია უწყვეტია, მაშინ შეუძლებელია, რომ ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი და წყვეტილი.

2.13. მე წავალ კინოში ახალი კინოკომედიის საყურებლად (𝑎) ან მათემატიკური ლოგი-კის მეცადინეობაზე (𝑏). თუ მე წავალ კინოში ახალი კინოკომედიის საყურებლად, მაშინ მე მთელი გულით ვიცინებ (𝑐). თუ მე წავალ მათემატიკური ლოგიკის მეცადინეობაზე, მაშინ დიდ სიამოვნებას მივიღებ ლოგიკურ მსჯელობათა ბილიკებზე სიარულით (𝐷). მაშასადამე, მე ან მთელი გულით ვიცინებ ან დიდ სიამოვნებას მივიღებ ლოგიკურ მსჯელობათა ბილიკებზე სიარულით.

მართებულია თუ არა ჩატარებული მსჯელობა?

2.14. თუ II საამქრო არ მიიღებს მონაწილეობას პროდუქციის ახალი ნიმუშის გამოშვება-ში, მაშინ I საამქროც არ მიიღებს მონაწილეობას. თუკი II საამქრო მიიღებს მონაწილეობას ახა-ლი ნიმუშის გამოშვებაში, მაშინ ამ საქმიანობაში აუცილებლად უნდა იყოს ჩართული I და III საამქროები. აუცილებელია თუ არა III საამქროს მონაწილეობა, თუ ახალი ნიმუშის გამოშვება-ში მონაწილეობას მიიღებს I საამქრო?

2.15. თუ გიორგი დღეს გვიან დაწვება დასაძინებლად (𝑎), მაშინ ის დილით არასამუშაო მდგომარეობაში იქნება (𝑏). თუ ის ადრე დაწვება დასაძინებლად, მაშინ მას მოეჩვენება, რომ ის ბევრ დროს უქმად კარგავს (𝑐). მაშასადამე, გიორგი ხვალ ან არასამუშაო მდგომარეობაში იქნება ან მას მოეჩვენება, რომ ის ბევრ დროს უქმად კარგავს.

მართებულია თუ არა ასეთი დასკვნა?

2.16. თუ მე ხვალ პირველ მეცადინეობაზე წავალ (𝑎), მაშინ ადრე უნდა ავდგე (𝑏), ხოლო თუ საღამოს დისკოთეკაზე წავალ (𝑐), მაშინ გვიან დავიძინებ (𝑑). თუ გვიან დავიძინებ და ადრე ავდგები, მაშინ იძულებული ვიქნები ხუთ საათიანი ძილით დავკმაყოფილდე. გამომ-დინარეობს თუ არა აქედან, რომ მე ხვალ ან მეცადინეობა უნდა გავაცდინო ან საღამოს დისკოთეკაზე არ უნდა წავიდე?

2.17. თუ სიცივე იქნება (𝑎), მაშინ მე თბილ პალტოს ჩავიცვამ (𝑏), თუ სახელო გამოიკე-რება (𝑐). ხვალ სიცივე იქნება, ხოლო სახელო არ გამოიკერება. გამომდინარეობს თუ არა აქედან, რომ მე არ ჩავიცვამ თბილ პალტოს?

2.18. პაატა ან ძალიან გადაიღალა (𝑎) ან ავადაა (𝑏). თუ ის გადაიღალა, მაშინ ის ღიზიან-დება (𝑐). ის არ ღიზიანდება. გამომდინარეობს თუ არა აქედან, რომ ის არ არის ავად?

2.19. თუ 2 − მარტივი რიცხვია (𝑎), მაშინ 2 − უმცირესი მარტივი რიცხვია (𝑏). თუ 2 − უმცირესი მარტივი რიცხვია, მაშინ 1 არ არის მარტივი რიცხვი (𝑐). გამომდინარეობს თუ არა აქედან, რომ 2 − უმცირესი მარტივი რიცხვია? გამომდინარეობს თუ არა აქედან, რომ 2 − მარ-ტივი რიცხვია?

2.20. თუ მოიგებს თბილისის „დინამო“ (𝑎), მაშინ თბილისი იდღესასწაულებს (𝑏). თუკი მოიგებს ქუთაისის „ტორპედო“ (𝑐), მაშინ ქუთაისი იდღესასწაულებს (𝑑). მოიგებს ან „დინამო“ ან „ტორპედო“. მაგრამ, თუ მოიგებს „დინამო“, მაშინ ქუთაისი არ იდღესასწაულებს, ხოლო თუ


118

მოიგებს „ტორპედო“, მაშინ თბილისი არ იდღესასწაულებს. გამომდინარეობს თუ არა აქედან, რომ თბილისი იდღესასწაულებს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ქუთაისი არ იდღესასწაულებს?

2.21. ანა და ლევანი ან ერთი ასაკის არიან (𝑎), ან ანა ლევანზე უფროსია (𝑏). თუ ანა და ლევანი ერთი ასაკის არიან, მაშინ ნინო და ლევანი ერთი ასაკის არ არიან (𝑐). თუ ანა ლევანზე უფროსია, მაშინ ლევანი ნიკაზე უფროსია (𝑑). გამომდინარეობს თუ არა აქედან, რომ ან ნინო და ლევანი ერთი ასაკის არ არიან ან ლევანი ნიკაზე უფროსია?

2.22. თუ 6 − შედგენილი რიცხვია (𝑎), მაშინ 12 ასევე შედგენილი რიცხვია (𝑏). თუ 12 − შედგენილი რიცხვია, მაშინ არსებობს 12-ზე დიდი მარტივი რიცხვი (𝑐). თუ არსებობს 12-ზე დიდი მარტივი რიცხვი, მაშინ არსებობს 12-ზე დიდი შედგენილი რიცხვი (𝑑). თუ 6 იყოფა 2-ზე (𝑒), მაშინ 6 − შედგენილი რიცხვია. რიცხვი 12 შედგენილია. გამომდინარეობს თუ არა აქე-დან, რომ 6 − შედგენილი რიცხვია?

2.23. თუ მე ვიმგზავრებ ავტობუსით (𝑎), ავტობუსი კი დაიგვიანებს (𝑏), მაშინ მე გავაც-დენ დანიშნულ პაემანს (𝑐). თუ მე გავაცდენ დანიშნულ პაემანს და დავიწყებ განაწყენებას (𝑑), მაშინ მე სახლში არ უნდა წავიდე (𝑒). თუ მე არ მივიღებ სამუშაოს (𝑓), მაშინ მე დავიწყებ განა-წყენებას და მე უნდა წავიდე სახლში. გამომდინარეობს თუ არა აქედან, რომ თუ მე ვიმგზავრებ ავტობუსით და ავტობუსი დაიგვიანებს, მაშინ მე მივიღებ სამუშაოს?

2.24. თუ გივი მოიგებს ჩოგბურთის ტურნირს (𝑎), მაშინ ის კმაყოფილი იქნება (𝑏), ხო-ლო თუ ის კმაყოფილი იქნება, მაშინ ის შემდგომ ტურნირებში ცუდი მებრძოლია (𝑐). მაგრამ თუ ის წააგებს ამ ტურნირს, მაშინ დაკარგავს თავისი გულშემატკივრების მხარდაჭერას (𝑑). ის ცუდი მებრძოლია შემდგომ ტურნირებში, თუ ის დაკარგავს თავისი გულშემატკივრების მხარ-დაჭერას. თუ ის ცუდი მებრძოლია შემდგომ ტურნირებში, მაშინ მან თავი უნდა დაანებოს ჩოგ-ბურთს (𝑒). გივი მოიგებს ან წააგებს ამ ტურნირს. მაშასადამე, მან თავი უნდა დაანებოს ჩოგ-ბურთს.

მართებულია თუ არა მოყვანილი მსჯელობა ლოგიკის თვალსაზრისით?

2.25. გივი, ლაშა და ნიკა ძმები არიან. მათგან ერთ-ერთმა გატეხა ფანჯარა. საუბარში მო-ნაწილეობს კიდევ ორი ძმა − მამუკა და ზაზა.

− ეს შეეძლო ექნა მხოლოდ გივის ან ლაშას − თქვა მამუკამ.

− მე ფანჯარა არ გამიტეხია,− შეეპასუხა გივი, − და ასევე ნიკაც.

− თქვენ ორივე ცრუობთ, − განაცხადა ლაშამ.

− არა, ლაშა, ერთმა მათგანმა სიმართლე თქვა, ხოლო მეორემ იცრუა, − შეეპასუხა ზაზა.

− შენ, ზაზა, არ ხარ მართალი, − ჩაერია ნიკა.

მათი მამა, რომელსაც ცხადია, დაეჯერება, დარწმუნებულია, რომ სამმა ძმამ სიმართლე თქვა. ვინ გატეხა ფანჯარა?

2.26. სამი ძმიდან ერთ-ერთმა ხალიჩა დაალაქავა.

− გივის არ დაულაქავებია ხალიჩა, − თქვა ლაშამ. − ეს გააკეთა ნიკამ.

− შენ რას იტყვი? − შეეკითხა ბებია ნიკას.

− ეს გივიმ გააკეთა, − თქვა ნიკამ. − ლაშას ეს არ გაუკეთებია.


119

− მე ვიცი, რომ ნიკას არ შეეძლო ამის გაკეთება. მე კი დღეს გაკვეთილები არ მომიმზადე-ბია, − თქვა გივიმ.

აღმოჩნდა, რომ ორმა ბიჭმა ორივეჯერ სიმართლე თქვა, ხოლო ერთმა ორივეჯერ იცრუა. ვინ დაალაქავა ხალიჩა?

2.27. ოთხი ბიჭიდან ერთ-ერთმა გააფუჭა ჩამრთველი. კითხვაზე „ვინ გააკეთა ეს?“, მიღე-ბულ იქნა შემდეგი პასუხები: 1) „ეს გააკეთა გიამ ან ბაკურმა“; 2) „ეს გააკეთა აკაკიმ ან ბაკურმა“; 3) „ეს არ შეეძლო გაეკეთებინა არც დათოს, არც გიას“; 4) „ეს გააკეთა გიამ ან აკაკიმ“. შეიძლება თუ არა ამ მონაცემებით დავადგინოთ ვინაა დამნაშავე ჩამრთველის გაფუჭებაში, თუ ცნობი-ლია, რომ ამ ოთხი გამონათქვამიდან სამი ჭეშმარიტია?

2.28. ოთხმა მეგობარმა − ავალიშვილმა (𝑎), ბალაძემ (𝑏), ცაგურიამ (𝑐) და დავითა-შვილმა (𝑑) − გადაწყვიტეს შვებულება გაეტარებინათ ოთხ სხვადასხვა ქალაქში − რომში, პა-რიზში, ლონდონში და ბერლინში. რომელი მათგანი რომელ ქალაქში უნდა გაემგზავროს, თუ არსებობს შემდეგი შეზღუდვები:

1) თუ (𝑎) არ მიდის რომში, მაშინ (𝑐) არ მიდის პარიზში;

2) თუ (𝑏) არ მიდის არც რომში და არც ბერლინში, მაშინ (𝑎) მიდის რომში;

3) თუ (𝑐) არ მიდის ბერლინში, მაშინ (𝑏) მიდის ლონდონში;

4) თუ (𝑑) არ მიდის რომში, მაშინ (𝑏) მიდის რომში;

5) თუ (𝑑) არ მიდის პარიზში, მაშინ (𝑏) არ მიდის რომში.

2.29. ექვსმა სპორტსმენმა − ალავიძემ, ბერიძემ, ცაავამ, დაუშვილმა, ერაძემ, ფრუიძემ − მიმდინარე შეჯიბრზე დაიკავა პირველი ექვსი ადგილი. ამასთან მათ შორის არცერთი ადგილი არ გაყოფილა. იმის შესახებ, თუ ვინ რომელი ადგილი დაიკავა, მიღებულ იქნა ასეთი გამონა-თქვამები: 1) „მგონი პირველი იყო ალავიძე, ხოლო მეორე − ერაძე“; 2) „არა, პირველ ადგილზე იყო ფრუიძე, ხოლო მეორეზე − დაუშვილი“; 3) „აი გულშემატკივრები! დაუშვილი ხომ მესამე ადგილზე იყო, ხოლო ბერიძე − მეოთხეზე“; 4) „სრულიადაც არა: ბერიძე იყო მეხუთე, ხოლო ალავიძე − მეორე“; 5) „თქვენ ყველაფერი აურიეთ: მეხუთე იყო ერაძე, მის წინ კი − ცაავა“. ცნო-ბილია, რომ თითოეული გულშემატკივრის გამონათქვამში ერთი მტკიცება ჭეშმარიტია, ხოლო მეორე მცდარი. დაადგინეთ, ვინ რომელი ადგილი დაიკავა.

2.30. დაცვის ოთხი მოსამსახურისათვის, რომელთა გვარები იწყება ასოებზე 𝑎, 𝑒,𝑝, 𝑐, უნ-და შედგეს მორიგეობის გრაფიკი ოთხი დღისათვის მიყოლებით, იმის გათვალისწინებით, რომ 1) 𝑐 და 𝑝-ს არ შეუძლიათ პირველ დღეს მორიგეობა მივლინების გამო; 2) თუ 𝑐 გამოვა მეორე საღამოს ან 𝑝 − მესამე საღამოს, მაშინ 𝑒 შეძლებს მეოთხე საღამოს მორიგეობას; 3) თუ 𝑎 არ იმო-რიგევებს მესამე საღამოს, მაშინ 𝑒 თანახმაა იმორიგეოს მეორე საღამოს; 4) თუ 𝑎 ან 𝑝 იმორიგე-ვებს მეორე საღამოს, მაშინ 𝑐 შეძლებს მეოთხე საღამოს მორიგეობას; 5) თუ 𝑝 მეოთხე საღამოს გაემგზავრება კონფერენციაზე, მაშინ 𝑎-ს მოუწევს მორიგეობა პირველ საღამოს, ხოლო 𝑐-ს მესამე საღამოს.

2.31. ერთი დღის გაკვეთილების ცხრილის შედგენისას მათემატიკის, ისტორიის და ლი-ტერატურის მასწავლებლებმა გამოთქვეს შემდეგი სურვილები: მათემატიკოსმა ითხოვა მის-თვის ჩაესვათ პირველი ან მეორე გაკვეთილი; ისტორიკოსმა − პირველი ან მესამე; ლიტერატუ-რის მასწავლებელმა − მეორე ან მესამე. როგორ უნდა შევადგინოთ ცხრილი, რომ ყველა სურ-ვილი გავითვალისწინოთ?


120

2.32. პოლარული ექსპედიციისათვის რვა პრეტენდენტიდან 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑, 𝑒,𝑓,𝑔 და ℎ, უნდა შეირჩეს ექვსი სპეციალისტი: ბიოლოგი, ჰიდროლოგი, სინოპტიკოსი, რადისტი, მექანიკოსი და ექიმი. ბიოლოგის მოვალეობების შესრულება შეუძლიათ 𝑒 და 𝑔-ს, ჰიდროლოგის − 𝑏 და 𝑓-ს, სინოპტიკოსის − 𝑓 და 𝑔-ს, რადისტის − 𝑐 და 𝑑-ს, მექანიკოსის − 𝑐 და ℎ-ს, ექიმის − 𝑎 და 𝑑-ს. მიუხედავად იმისა, რომ ზოგიერთი პრეტენდენტი ორ სპეციალობას ფლობს, ექსპედიციაში მათ მხოლოდ ერთი სპეციალობით შეუძლიათ მუშაობა. ვინ და რა სამუშაოზე უნდა იქნან აყვანილი ექსპედიციაში, თუ 𝑓-ს არ შეუძლია გამგზავრება 𝑏-ს გარეშე, 𝑑-ს − ℎ და 𝑐-ს გარეშე, 𝑐-ს არ შეუ-ძლია 𝑔-სთან ერთად გამგზავრება, ხოლო 𝑎-ს არ შეუძლია 𝑏-სთან ერთად გამგზავრება?

2.33. გარკვეული კუნძულის მცხოვრებთაგან ზოგიერთი ან ყოველთვის სიმართლეს ამ-ბობს ან ყოველთვის ცრუობს. ყველა მცხოვრები შეკითხვებზე პასუხობს: „კი“ ან „არა“. გზაგასა-ყარს, უახლოვდება მოგზაური. გზებიდან მხოლოდ ერთი მიდის კუნძულის დედაქალაქამდე. გზაგასაყარზე არ არის არანაირი ნიშანი, რომელიც უჩვენებდა თუ რომელ გზას საით მივყა-ვართ. მაგრამ აქ დგას ადგილობრივი მცხოვრები, ვიღაც 𝑁. როგორი კითხვა, რომლის პასუხი იქნება „კი“ ან „არა“, უნდა დაუსვას მას მოგზაურმა, რომ დაადგინოს, რომელი გზა მიდის დედაქალაქისაკენ?

121

თავი VI. ალბათობის თეორიის ელემენტები

§1. ალბათობის ცნება. ძირითადი ამოცანები

რა არის ალბათობის ელემენტარული თეორია? რა არის მისი ინტერესების ობიექტები?

ამ კითხვებზე ჩვენ ამ თავში გავცემთ პასუხს.

ვთქვათ, Ω ნებისმიერი სიმრავლეა, ხოლო 2Ω − სიმრავლე, რომლის ელემენტებია Ω სი-მრავლის ქვესიმრავლეები. ცხადია, Ω ∈ 2Ω და ∅ ∈ 2Ω . 𝐼 = [0; 1] არის ℝ ნამდვილ რიცხვთა სი-მრავლის ჩაკეტილი მონაკვეთი, ხოლო 𝐼0 = ]0; 1]. განვიხილოთ 𝑝 ∶ Ω → 𝐼 ასახვა, რომელიც შემ-დეგ პირობებს აკმაყოფილებს:

ა) 𝐴 = 𝑝−1(𝐼0) ⊆ Ω სასრული ქვესიმრავლეა;

ბ) 𝑝 ასახვა ინდუცირებს 𝑃 ∶ 2Ω → 𝐼 ასახვას, განსაზღვრულს

𝑃(𝐵) = � 𝑝(𝜔)𝜔∈𝐵

, 𝐵 ∈ 2Ω

ტოლობით. კერძოდ,

𝑃(𝐴) = �𝑝(𝜔)𝜔∈𝐴

= 1; 𝑃(Ω) = � 𝑝(𝜔)𝜔∈Ω

= 1.

გ) თუ 𝐵,𝐶 ∈ 2Ω და 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅, მაშინ

𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶).

�Ω, 2Ω ,𝑝,𝑃� ერთობლიობას, რომელიც ამ პირობებს აკმაყოფილებს, ეწოდება ალბათობა-თა ველი.

ჩვენ შეგვიძლია 2Ω სიმრავლის ნაცვლად განვიხილოთ მისი ℱ ქვესიმრავლე, რომელიც ჩაკეტილია 𝜔1,𝜔2 ,𝜔3 ოპერაციების მიმართ (𝜔1 ,𝜔2,𝜔3 ოპერაციების განსაზღვრა იხ. თავი I, მა-გალითი 4.2). (Ω,ℱ,𝑝,𝑃) ერთობლიობას, რომელიც შესაბამის ა), ბ), გ) პირობებს აკმაყოფილებს, აგრეთვე ეწოდება ალბათობათა ველი.

შენიშვნა. არსებობს ალბათობათა ველის უფრო ზოგადი განსაზღვრა, რომლის კერძო შემთხვევაა ზემომოყვანილი განსაზღვრა. მაგრამ ამ შემთხვევაში საჭიროა ისეთი ცნებები (რი-ცხვითი მწკრივი, განსაზღვრული ინტეგრალი, არასაკუთრივი ინტეგრალი) რომლებსაც ჩვენ არ გამოვიყენებთ. ამიტომ, შემდგომში ზემომოყვანილი განსაზღვრით დავკმაყოფილდებით.

მაგალითი 1.1. ვთქვათ, Ω = {𝜔} ერთელემენტიანი სიმრავლეა. მაშინ 2Ω = {Ω,∅}. 𝑝 ∶ Ω →𝐼 ასახვა განსაზღვრულია 𝑝(𝜔) = 1 ტოლობით. მაშინ 𝑃(Ω) = 1, 𝑃(∅) = 0.

მაგალითი 1.2. ვთქვათ, Ω = {𝜔1,𝜔2, … ,𝜔𝑛} ნებისმიერი სასრული სიმრავლეა. 𝑝 ∶ Ω → 𝐼 ასახვა განსაზღვრულია 𝑝(𝜔𝑘) = 𝑝𝑘 ტოლობით და სრულდება შემდეგი პირობა:

� 𝑝(𝜔𝑘)𝜔𝑘∈Ω

= �𝑝𝑘

𝑛

𝑖=1

= 1.

𝑝 ასახვა ინდუცირებს 𝑃 ∶ 2Ω → 𝐼 ასახვას, განსაზღვრულს

𝑃(𝐵) = � 𝑝(𝜔𝑘)𝜔𝑘∈𝐵

, 𝐵 ∈ 2Ω

ალბათობის თეორიის ელემენტები

122

ტოლობით.

თუ 𝐵,𝐶 ∈ 2Ω და 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅, მაშინ

𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) = � 𝑝(𝜔𝑘)𝜔𝑘∈𝐵∪𝐶

= � 𝑝(𝜔𝑘)𝜔𝑘∈𝐵

+ � 𝑝(𝜔𝑘)𝜔𝑘∈𝐶

= 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶). (1)

ამ გზით ჩვენ შეგვიძლია ავაგოთ ყველა სასრული ალბათობათა ველი.

საინტერესოა სასრული ალბათობათა ველების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

ვთქვათ, Ω = {𝜔1 ,𝜔2, … ,𝜔𝑛} ნებისმიერი სასრული სიმრავლეა. განვიხილოთ Ω∗ =��Ω, 2Ω,𝑝,𝑃�� ალბათობათა ველების ოჯახი, სადაც Ω ფიქსირებული სიმრავლეა, ხოლო 𝑃∗ ⊂𝑀(Ω, 𝐼) ისეთი ქვესიმრავლეა, რომ თუ 𝑝 ∈ 𝑃∗, მაშინ 𝑝 ∶ Ω → I ასახვა წარმოშობს ალბათობათა ველს.

განვიხილოთ ℝ𝑛 = ℝ × ⋯× ℝ��𝑛-ჯერ

ნამრავლი. ჩვენ შეგვიძლია ავაგოთ 𝐹 ∶ 𝑃∗ → ℝ𝑛 ასახვა,

განსაზღვრული 𝐹(𝑝) = �𝑝(𝜔1), … ,𝑝(𝜔𝑛)�, 𝑝 ∈ 𝑃∗ ტოლობით. თუ 𝑝 ≠ 𝑝′, მაშინ არსებობს 𝜔𝑘 ∈ Ω ისეთი, რომ 𝑝(𝜔𝑘) ≠ 𝑝′(𝜔𝑘). ამიტომ 𝐹(𝑝) = �𝑝(𝜔1), … ,𝑝(𝜔𝑛)� ≠ �𝑝′(𝜔1), … ,𝑝′(𝜔𝑛)� = 𝐹(𝑝′), ე. ი. 𝐹 ასახვა არის ინექცია.

მაგალითი 1.3. ვთქვათ, Ω = {𝜔1,𝜔2} ორელემენტიანი სიმრავლეა. მაშინ 𝐹 ∶ 𝑃∗ → ℝ2 ასა-ხვა ისეთია, რომ Im 𝐹 = ��𝑝(𝜔1),𝑝(𝜔2)� ∣ 𝑝 ∈ 𝑃∗� და გეომეტრიულად ეს არის მონაკვეთი:

ნახ. 1

მაგალითი 1.4. ვთქვათ, Ω = {𝜔1,𝜔2 ,𝜔3} სამელემენტიანი სიმრავლეა. მაშინ 𝐹 ∶ 𝑃∗ → ℝ3

ასახვა ისეთია, რომ Im 𝐹 = ��𝑝(𝜔1),𝑝(𝜔2),𝑝(𝜔3)� ∣ 𝑝 ∈ 𝑃∗� და გეომეტრიულად ეს არის სამკუთ-ხედი:

ნახ. 2

მაგალითი 1.5. განვიხილოთ სასრული ალბათობათა ველის კერძო შემთხვევა. ვთქვათ,

Ω = {𝜔1,𝜔2, … ,𝜔𝑛} სასრული სიმრავლეა. 𝑝 ∶ Ω → 𝐼 ასახვა განსაზღვრულია 𝑝(𝜔𝑘) = 1𝑚

ტოლო-

ბით. ცხადია

� 𝑝(𝜔𝑘)𝜔𝑘∈Ω

= �1𝑚

𝜔𝑘∈Ω

= 𝑚 ⋅1𝑚

= 1.


123

ვთქვათ, 𝐵 ∈ 2Ω , 𝑛(𝐵) = 𝑠, 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑚. 𝑝 ასახვა ინდუცირებს 𝑃 ∶ 2Ω → 𝐼 ასახვას, განსაზ-ღვრულს

𝑃(𝐵) =𝑠𝑚

(2)


თუ 𝐵,𝐶 ∈ 2Ω და 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅, სადაც 𝑛(𝐵) = 𝑠, 𝑛(𝐶) = 𝑡. მაშინ

𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) =𝑠𝑚

+𝑡𝑚

=𝑠 + 𝑡𝑚

,

რადგან 𝑛(𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) = 𝑠 + 𝑡.

ამრიგად, �Ω, 2Ω ,𝑝,𝑃� ერთობლიობა აკმაყოფილებს ალბათობათა ველის განსაზღვრის ყველა პირობას.

ვთქვათ, �Ω, 2Ω ,𝑝,𝑃� ალბათობათა ველია. 2Ω სიმრავლის ქვესიმრავლეებს უწოდებენ ხდომილობებს, 𝜔 ∈ Ω ელემენტებს − ელემენტარულ ხდომილობებს. 𝑃(𝐵), 𝐵 ∈ 2Ω რიცხვს უწო-დებენ 𝐵 ხდომილობის (ან სიმრავლის) ალბათობას, ხოლო 𝑝(𝜔), 𝜔 ∈ Ω რიცხვს − 𝜔 ელემენ-ტარული ხდომილობის (𝜔 ელემენტის) ალბათობას.

შემდგომში განვიხილავთ ძირითადად ისეთ �Ω, 2Ω ,𝑝,𝑃� ალბათობათა ველებს, სადაც Ω სასრული სიმრავლეა, ხოლო 𝑝 ∶ Ω → 𝐼 ასახვა განსაზღვრულია ისე, როგორც მაგალით 1.5-ში.

მაგალითი 1.6. ლატარიაში გამოშვებულია 100 ბილეთი. თამაშდება ერთი 100 ლარიანი მოგება, სამი 50 ლარიანი მოგება და თხუთმეტი 10 ლარიანი მოგება. ა) რა არის ალბათობა იმი-სა, რომ ერთი ბილეთით ვინმე მოიგებს 100 ლარს? ბ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ ერთი ბი-ლეთით ვინმე მოიგებს 50 ლარს? გ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ ერთი ბილეთით ვინმე მოი-გებს 10 ლარს? დ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ ერთი ბილეთის მყიდველს შეხვდება არამომ-გებიანი ბილეთი?

პასუხი: ა) რადგან 100 ლარიანი მოგება მხოლოდ ერთია, ამიტომ ალბათობა იმისა, რომ ერთი ბილეთით ვინმე მოიგებს 100 ლარს იქნება 0,01.

ბ) რადგან 50 ლარიანი მოგება სამია, ამიტომ ალბათობა იმისა, რომ ერთი ბილეთით ვინ-მე მოიგებს 50 ლარს იქნება 3 ⋅ 0,01 = 0,03.

გ) რადგან 10 ლარიანი მოგება თხუთმეტია, ამიტომ ალბათობა იმისა, რომ ერთი ბილე-თით ვინმე მოიგებს 10 ლარს იქნება 15 ⋅ 0,01 = 0,15.

დ) რადგან მომგებიანი ბილეთების რაოდენობა არის 1 + 3 + 15 = 19, ამიტომ არამომგე-ბიანი ბილეთი არის 81 და ალბათობა იმისა, რომ ერთი ბილეთის მყიდველს შეხვდება არამომ-გებიანი ბილეთი, იქნება 81 ⋅ 0,01 = 0,81.

ვთქვათ, მოცემულია 𝐴1 და 𝐴2 სიმრავლეები, 𝑛(𝐴1) = 𝑚, 𝑛(𝐴2) = 𝑝, 𝑚,𝑝 ∈ ℕ. განვიხი-ლოთ მათი 𝐴1 × 𝐴2 ნამრავლი. რადგან 𝑛(𝐴1 × 𝐴2) = 𝑛(𝐴1)𝑛(𝐴2), ამიტომ 𝐴1 × 𝐴2 სიმრავლეში ელემენტთა რაოდენობა იქნება 𝑛(𝐴1 × 𝐴2) = 𝑚𝑝. მაშინ (𝑎1,𝑎2) ∈ 𝐴1 × 𝐴2 ელემენტის 𝑝(𝑎1,𝑎2) ალბათობა იქნება

𝑝(𝑎1,𝑎2) =1𝑚𝑝

.

თუ დავაფიქსირებთ 𝐴1 × 𝐴2 სიმრავლეს და განვიხილავთ მის 𝐵 ქვესიმრავლეს, 𝑛(𝐵) =𝑘 ∈ ℕ, მაშინ 𝐵 სიმრავლის ალბათობა იქნება


124

𝑃(𝐵) =𝑘𝑚𝑝

.

ამოცანა 1.1. ვთქვათ, 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴 = {1, … ,6}. განვიხილოთ 𝐴2 = 𝐴 × 𝐴 ნამრავლი, 𝑛(𝐴2) =𝑛(𝐴)𝑛(𝐴) = 6 ∙ 6 = 36.

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია მოყვანილია ნახაზზე:

ნახ. 3

დავყოთ 𝐴 × 𝐴 სიმრავლე კლასებად: 𝐴𝑘 = { (𝑛1,𝑛2) ∣∣ 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑘 + 1 }, 𝑘 = 1,2, … ,11. ცხა-დია, რომ სრულდება დაყოფის პირობები: 1) 𝐴𝑘 ≠ ∅; 2) ⋃ 𝐴𝑘11

𝑘=1 = 𝐴 × 𝐴; 3) 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗,𝑖, 𝑗 = 1, … ,11.

ა) რომელ კლასში იქნება ელემენტთა უდიდესი რაოდენობა?

ბ) ვთქვათ, 𝑞 რიცხვი აკმაყოფილებს პირობას: 2 ≤ 𝑞 ≤ 12. რომელი კლასების ელემენ-ტები აკმაყოფილებენ პირობას: თუ (𝑛1,𝑛2) ∈ 𝐴𝑘 , მაშინ 𝑛1 + 𝑛2 ≤ 𝑞?

გ) შეიძლება თუ არა ბ) ამოცანაში იყოს პირობა 𝑞 ≤ 1?

დ) რომელი კლასების ელემენტები აკმაყოფილებენ პირობას 𝑛1 + 𝑛2 ≤ 12?

ე) ვთქვათ, 𝑞1 და 𝑞2 ისეთი რიცხვებია, რომ სრულდება პირობები: 1) 2 ≤ 𝑞1 ≤ 11, 2 ≤𝑞2 ≤ 12; 2) 𝑞1 < 𝑞2. რომელი კლასების ელემენტები აკმაყოფილებენ პირობას 𝑞1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 ≤𝑞2?

ეს ამოცანა გავარჩიოთ დაწვრილებით.

𝐴1 = {(1,1)}, 𝑛(𝐴1) = 1; 𝐴2 = {(1,2), (2,1)}, 𝑛(𝐴2) = 2; 𝐴3 = {(1,3), (2,2), (3,1)}, 𝑛(𝐴3) = 3; 𝐴4 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}, 𝑛(𝐴4) = 4; 𝐴5 = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}, 𝑛(𝐴5) = 5; 𝐴6 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}, 𝑛(𝐴6) = 6; 𝐴7 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}, 𝑛(𝐴7) = 5; 𝐴8 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}, 𝑛(𝐴8) = 4; 𝐴9 = {(4,6), (5,5), (6,4)}, 𝑛(𝐴9) = 3; 𝐴10 = {(5,6), (6,5)},𝑛(𝐴10) = 2; 𝐴11 = {(6,6)}, 𝑛(𝐴11) = 1.

ა) პასუხი: 𝐴6 კლასში, რადგან 𝑛(𝐴6) = 6.

ბ) გვაქვს პირობები: 2 ≤ 𝑞 ≤ 12 და 𝑛1 + 𝑛2 ≤ 𝑞. რადგან 𝐴𝑘 = { (𝑛1 ,𝑛2) ∣∣ 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑘 + 1 }, ამიტომ 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑘 + 1 და (𝑛1 + 𝑛2 = 𝑘 + 1 ≤ 𝑞) ⇒ (𝑘 ≤ 𝑞 − 1).

პასუხი: 𝐴1,𝐴2, … ,𝐴𝑞−1 კლასების.


125

გ) პასუხი: არა, რადგან ბ) ამოცანაში გვაქვს პირობა 𝑛1 + 𝑛2 ≤ 𝑞. თუ 𝑞 ≤ 1, მაშინ 𝑛1 +𝑛2 ≤ 1 უტოლობა არ სრულდება 𝐴𝑘 სიმრავლის არცერთი ელემენტისათვის, 𝑘 = 1, … ,11.

დ) პასუხი: ყველა 𝐴𝑘 კლასის ელემენტები აკმაყოფილებენ ამ პირობას, რადგან 𝑛1 + 𝑛2 ≤12 უტოლობა სრულდება ნებისმიერი (𝑛1 ,𝑛2) წყვილისათვის (1 ≤ 𝑛1 ≤ 6, 1 ≤ 𝑛2 ≤ 6).

ე) პირობის თანახმად, გვაქვს:

1) 𝑞1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2, ამიტომ (𝑛1 + 𝑛2 = 𝑘 + 1 ≥ 𝑞1) ⇒ (𝑘 ≥ 𝑞1 − 1);

2) 𝑛1 + 𝑛2 ≤ 𝑞2, ამიტომ (𝑛1 + 𝑛2 = 𝑘 + 1 ≤ 𝑞2) ⇒ (𝑘 ≤ 𝑞2 − 1).

პასუხი: ყველა ის 𝐴𝑘 კლასი, რომელიც აკმაყოფილებს 𝑞1 − 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑞2 − 1 პირობას.

ამოცანა 1.2. ვთქვათ, სრულდება ამოცანა 1.1-ის პირობები.

1) რამდენი (𝑛1, 𝑛2) ელემენტია 𝐴2 = 𝐴 × 𝐴 სიმრავლეში 𝑛1 + 𝑛2 = 2 პირობით?

2) რამდენი (𝑛1, 𝑛2) ელემენტია 𝐴2 = 𝐴 × 𝐴 სიმრავლეში 𝑛1 + 𝑛2 ≤ 𝑞 პირობით?

3) რამდენი (𝑛1, 𝑛2) ელემენტია 𝐴2 = 𝐴 × 𝐴 სიმრავლეში 𝑞1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 ≤ 𝑞2 პირობით?

პასუხი: 1) მხოლოდ ერთი (1,1) ელემენტია.

2) �𝑛(𝐴𝑘)𝑞−1

𝑘=1

= 𝑛(𝐴1) + 𝑛(𝐴2) +⋯+ 𝑛�𝐴𝑞−1�.

3) � 𝑛(𝐴𝑘)𝑞2−1

𝑘=𝑞1−1

= 𝑛�𝐴𝑞1−1�+ 𝑛�𝐴𝑞1�+ ⋯+ 𝑛�𝐴𝑞2−1�.

ამოცანა 1.3. ვთქვათ, სრულდება ამოცანა 1.1-ის პირობები.

1) რა არის 𝐴1 კლასის 𝑃(𝐴1) ალბათობა?

2) რა არის 𝐴𝑘 , 2 ≤ 𝑘 ≤ 11 კლასის 𝑃(𝐴𝑘) ალბათობა?

3) რა არის �𝐴𝑘

𝑞

𝑘=1

გაერთიანების 𝑃��𝐴𝑘

𝑞

𝑘=1

� ალბათობა?

4) რა არის � 𝐴𝑘

𝑞2−1

𝑘=𝑞1−1

, 2 ≤ 𝑞1 < 𝑞2 ≤ 12 გაერთიანების 𝑃� � 𝐴𝑘

𝑞2−1

𝑘=𝑞1−1

� ალბათობა?

5) რა არის 𝐴2 სიმრავლის 𝑃(𝐴2) ალბათობა?

პასუხი: 1) 𝑃(𝐴1) =1

36;

2) 𝑃(𝐴𝑘) =𝑛(𝐴𝑘)

36;

3) 𝑃��𝐴𝑘

𝑞

𝑘=1

� =𝑛(𝐴1) + 𝑛(𝐴2) +⋯+ 𝑛�𝐴𝑞�

36;

4) 𝑃� � 𝐴𝑘

𝑞2−1

𝑘=𝑞1−1

� =𝑛�𝐴𝑞1−1�+ 𝑛�𝐴𝑞1�+ ⋯+ 𝑛�𝐴𝑞2−1�

36;


126

5) 𝑃(𝐴2) = 1.

მაგალითი 1.7. ორ კამათელს აგორებენ ერთჯერ. რა არის ალბათობა იმისა, რომ

1) კამათლებზე მოვა რიცხვები, რომელთა ჯამია 9?

2) კამათლებზე მოვა რიცხვები, რომელთა ჯამი მეტია 8-ზე?

3) კამათლებზე მოვა რიცხვები, რომელთა ჯამი ნაკლებია 6-ზე?

პასუხი: ცხადია, შესრულებულია ამოცანა 1.1-ის პირობები.

1) გამოვიყენოთ ამოცანა 1.3-ის 2) და ამოცანა 1.1. გვექნება:

𝑃(𝐴8) =𝑛(𝐴8)

36=

436

=19

;


𝑃(𝐴8 ∪ 𝐴9 ∪ 𝐴10 ∪ 𝐴11) =𝑛(𝐴8) + 𝑛(𝐴9) + 𝑛(𝐴10) + 𝑛(𝐴11)

36=

4 + 3 + 2 + 136

=5

18;


𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ 𝐴4) =𝑛(𝐴1) + 𝑛(𝐴2) + 𝑛(𝐴3) + 𝑛(𝐴4)

36=

1 + 2 + 3 + 436

=5

18 .

ამოცანა 1.4. ვთქვათ, მოცემულია 𝐴 = {0,1} სიმრავლე. განვიხილოთ 𝐴𝑚 = 𝐴 × 𝐴 × ⋯× 𝐴��𝑚-ჯერ

ნამრავლი 𝑚 ≥ 2. 𝑎 = (𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚) არის 𝐴𝑚 სიმრავლის ნებისმიერი ელემენტი, სადაც 𝑎𝑖 = 0 ან 1, 𝑖 = 1,2, … ,𝑚. რადგან 𝑛(𝐴) = 2, ამიტომ 𝑛(𝐴𝑚) = 2𝑚 (იხ. თავი II, (1)).

1) რა არის 𝐴𝑚 სიმრავლის ნებისმიერი 𝑎 ელემენტის 𝑝(𝑎) ალბათობა?

2) რა არის 𝑎 = (1,1, … ,1) ელემენტის 𝑝(𝑎) ალბათობა?

3) რამდენი 𝑎 = (𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚) ელემენტი არსებობს 𝐴𝑚 სიმრავლეში ისეთი, რომ 𝑎𝑖 = 1 მხოლოდ ორი კოორდინატისათვის? რა არის იმ 𝐵2 სიმრავლის 𝑃(𝐵2) ალბათობა, რომლის ელე-მენტები ამ პირობას აკმაყოფილებენ?

4) რამდენი 𝑎 = (𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚) ელემენტი არსებობს 𝐴𝑚 სიმრავლეში ისეთი, რომ ზუს-ტად 𝑚 − 1 კოორდინატისათვის 𝑎𝑖 = 1? რა არის იმ 𝐵𝑚−1 სიმრავლის 𝑃(𝐵𝑚−1) ალბათობა, რომ-ლის ელემენტები ამ პირობას აკმაყოფილებენ?

5) რამდენი 𝑎 = (𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚) ელემენტი არსებობს 𝐴𝑚 სიმრავლეში ისეთი, რომ ზუს-ტად 𝑞, 2 ≤ 𝑞 ≤ 𝑚− 1 კოორდინატისათვის 𝑎𝑖 = 1? რა არის იმ 𝐵𝑞 სიმრავლის 𝑃�𝐵𝑞� ალბათო-ბა, რომლის ელემენტები ამ პირობას აკმაყოფილებენ?

პასუხი: 1) რადგან 𝐴𝑚 სიმრავლის ელემენტთა რაოდენობაა 𝑛(𝐴𝑚) = 2𝑚 , ამიტომ

𝑝(𝑎) =1

2𝑚.

2) რადგან 𝑎 = (1,1, … ,1) ელემენტის კოორდინატებია მხოლოდ 𝑎𝑖 = 1, ამიტომ 𝑎 ერ-თადერთი ელემენტია 𝐴𝑚 სიმრავლეში, ე. ი.

𝑝(𝑎) =1

2𝑚.


127

3) იმისათვის, რომ ვუპასუხოთ მესამე კითხვას, ჯერ უნდა გამოვიყენოთ კომბინატორიკა. კერძოდ, უნდა დავადგინოთ, რამდენი ორელემენტიანი ქვესიმრავლეა 𝑚 ელემენტიან სიმრავ-ლეში, რადგან თითოეულ 𝑎 = (𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚) ელემენტში 𝑚 კოორდინატია. ე. ი. უნდა გამოვი-ყენოთ ჯუფთების ფორმულა:

𝐶𝑚2 =𝑚!

2! (𝑚− 2)!=𝑚(𝑚− 1)

2 .

თუ 𝐵2 არის 𝐴𝑚 სიმრავლის ქვესიმრავლე, რომლის 𝑎 = (𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚) ელემენტები აკმაყოფი-ლებენ პირობას, რომ 𝑎𝑖 = 1 ზუსტად ორი კოორდინატისათვის, მაშინ

𝑃(𝐵2) =𝐶𝑚2

2𝑚=𝑚(𝑚− 1)

2𝑚+1 .

4) უნდა ჩავატაროთ იგივე მსჯელობა, რაც მესამე კითხვის პასუხში. თუ 𝐵𝑚−1 არის 𝐴𝑚 სიმრავლის ქვესიმრავლე, რომლის 𝑎 = (𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚) ელემენტები აკმაყოფილებენ პირობას, რომ 𝑎𝑖 = 1 ზუსტად 𝑚− 1 კოორდინატისათვის, მაშინ მათი რაოდენობაა

𝐶𝑚𝑚−1 =𝑚!

(𝑚 − 1)! �𝑚 − (𝑚− 1)�!=

𝑚!(𝑚 − 1)! 1!

= 𝑚,

ხოლო

𝑃(𝐵𝑚−1) =𝑚2𝑚

.

5) უნდა ჩავატაროთ იგივე მსჯელობა, რაც მესამე და მეოთხე კითხვების პასუხებში. თუ 𝐵𝑞 არის 𝐴𝑚 სიმრავლის ქვესიმრავლე, რომლის 𝑎 = (𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑚) ელემენტები აკმაყოფილებენ პირობას, რომ 𝑎𝑖 = 1 ზუსტად 𝑞 კოორდინატისათვის, მაშინ მათი რაოდენობაა

𝐶𝑚𝑞 =

𝑚!𝑞! (𝑚 − 𝑞)!

,

ხოლო

𝑃�𝐵𝑞� =𝐶𝑚𝑞

2𝑚 .

მაგალითი 1.8 ვთქვათ, 𝐴 = {0,1} და 𝑚 = 5. მაშინ 𝐴5 სიმრავლის ელემენტია 𝑎 =(𝑎1,𝑎2, … ,𝑎5) სადაც 𝑎𝑖 = 0 ან 1, 𝑖 = 1, … ,5. 𝑛(𝐴5) = 32.

1) რა არის იმ 𝐵2 სიმრავლის 𝑃(𝐵2) ალბათობა, რომლის ყოველ ელემენტში ზუსტად ორი კოორდინატია 1-ის ტოლი?

პასუხი: ამოცანა 1.4-3)-ის თანახმად,

𝑃(𝐵2) =𝐶52

25=

5 ∙ (5 − 1)25+1

=2064

=5

16 .

2) რა არის იმ 𝐵4 სიმრავლის 𝑃(𝐵4) ალბათობა, რომლის ყოველ ელემენტში ზუსტად ოთ-ხი კოორდინატია 1-ის ტოლი?


𝑃(𝐵4) =𝐶54

25=

5!4! ∙ 1! ∙ 25

=5

32 .


128

3) რა არის იმ 𝐵𝑞 , 1 ≤ 𝑞 ≤ 5, სიმრავლის 𝑃�𝐵𝑞� ალბათობა, რომლის ყოველ ელემენტში ზუსტად 𝑞 კოორდინატია 1-ის ტოლი?


𝑃�𝐵𝑞� =𝐶5𝑞

25=

5!𝑞! ∙ (5 − 𝑞)! ∙ 25

.

მაგალითი 1.9. წესიერ მონეტას აგდებენ რვაჯერ. რა არის ალბათობა იმისა, რომ

ა) ყოველთვის მოვა გერბი?

ბ) ხუთჯერ მოვა გერბი?

პასუხი: თუ ჩავთვლით, რომ გერბის მოსვლა ეს არის ელემენტი 1, ხოლო საფასურის მოსვლა − ელემენტი 0, ცხადია, შესრულებულია ამოცანა 1.4-ის პირობები, სადაც 𝑚 = 8.

1) გამოვიყენოთ ამოცანა 1.4-ის 2). გვექნება:

𝑝(𝑎) =1

28=

1256

.

2) გამოვიყენოთ ამოცანა 1.4-ის 5), სადაც 𝑞 = 5. გვექნება:

𝑃(𝐵5) =𝐶85

28=

6 ∙ 7 ∙ 86 ∙ 256

=7

32 .

ვთქვათ, 𝐴1 და 𝐴2 არიან 𝐴 სიმრავლის ქვესიმრავლეები და 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ∅, 𝑛(𝐴1) = 𝑚1,𝑛(𝐴2) = 𝑚2, 𝑛(𝐴) = 𝑚. რადგან 𝐴1 ⊂ 𝐴, 𝐴2 ⊂ 𝐴, ამიტომ

𝑃(𝐴1) =𝑚1

𝑚, 𝑃(𝐴2) =

𝑚2

𝑚 .

განვიხილოთ 𝐴2 = 𝐴 × 𝐴 სიმრავლე და 𝐴1 × 𝐴2 ქვესიმრავლე. მაშინ 𝑛(𝐴2) = 𝑚2 და 𝑛(𝐴1 × 𝐴2) = 𝑚1𝑚2. 𝐴1 × 𝐴2 ნამრავლი შეგვიძლია შემდეგნაირად წარმოვადგინოთ:

𝐴1 × 𝐴2 = �𝑎𝑖 × 𝐴2.𝑚1

𝑖=1

𝑎𝑖 × 𝐴2 ქვესიმრავლეში ელემენტების რაოდენობა იქნება: 𝑛(𝑎𝑖 × 𝐴2) = 𝑚2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚1.

ამიტომ 𝑃(𝑎𝑖 × 𝐴2) =𝑚2

𝑚2 , 𝑖 = 1, … ,𝑚, ხოლო 𝑃(𝐴1 × 𝐴2) = 𝑃��𝑎𝑖 × 𝐴2

𝑚1

𝑖=1

�

= 𝑃(𝑎1 × 𝐴2) +⋯+

𝑃�𝑎𝑚1 × 𝐴2� =𝑚2

𝑚2 +𝑚2

𝑚2 + ⋯+𝑚2

𝑚2��𝑚1-ჯერ

= 𝑚1 ∙𝑚2

𝑚2 =𝑚1

𝑚∙𝑚2

𝑚= 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2).

𝑃(𝐴1 × 𝐴2) ალბათობას აღნიშნავენ 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2) სიმბოლოთი. ე. ი. მივიღეთ 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2) =𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2) ტოლობა. ამ ფორმულას ეწოდება ალბათობების გამრავლების ფორმულა.

ამოცანა 1.5. ვთქვათ, 𝐴1 და 𝐴2 არიან 𝐴 სიმრავლის ისეთი ქვესიმრავლეები, რომ 𝐴 =𝐴1 ∪ 𝐴2 და 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ∅,𝑛(𝐴1) = 𝑚1, 𝑛(𝐴2) = 𝑚2, 𝑛(𝐴) = 𝑚 = 𝑚1 + 𝑚2. განვიხილოთ 𝐴2 = 𝐴 ×𝐴 = (𝐴1 ∪ 𝐴2) × (𝐴1 ∪ 𝐴2) ნამრავლი. ეს ნამრავლი შეგვიძლია ნამრავლის თვისებების გამოყე-ნებით (იხ. თავი I, §1.3) წარმოვადგინოთ ასეთი სახით:

𝐴2 = 𝐴12 ∪ (𝐴1 × 𝐴2) ∪ 𝐴22 ∪ (𝐴2 × 𝐴1).


129

მაშინ

𝑛(𝐴2) = 𝑚2 = (𝑚1 +𝑚2)2 = 𝑚12 + 2𝑚1𝑚2 + 𝑚2

2,

სადაც

𝑛(𝐴12) = 𝑚12, 𝑛(𝐴22) = 𝑚2

2, 𝑛(𝐴1 × 𝐴2) = 𝑚1𝑚2, 𝑛(𝐴2 × 𝐴1) = 𝑚2𝑚1 = 𝑚1𝑚2.

1) ვთქვათ, 𝑎 ∈ 𝐴2, 𝑎 = (𝑎′,𝑎′′), 𝑎′,𝑎′′ ∈ 𝐴. რა არის 𝑎 ელემენტის 𝑝(𝑎) ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴2) = 𝑚2, ამიტომ 𝑝(𝑎) =1𝑚2 .

2) რა არის 𝐴12 ქვესიმრავლის 𝑃(𝐴12) ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴12) = 𝑚12, ამიტომ 𝑃(𝐴12) =

𝑚12

𝑚2 .


პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴22) = 𝑚22, ამიტომ 𝑃(𝐴22) =

𝑚22

𝑚2 .

4) რა არის 𝐴1 × 𝐴2 ქვესიმრავლის 𝑃(𝐴1 × 𝐴2) ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴1 × 𝐴2) = 𝑚1𝑚2, ამიტომ 𝑃(𝐴1 × 𝐴2) =𝑚1𝑚2

𝑚2 .

5) 𝐵𝑞(𝐴12) ქვესიმრავლეა, რომლის ელემენტებია 𝐴12 სიმრავლიდან და მათი რაოდენობა არის 𝑞, 𝐵𝑞(𝐴22) ქვესიმრავლეა, რომლის ელემენტებია 𝐴22 სიმრავლიდან და მათი რაოდენობა არ-ის 𝑞, 𝐵𝑞(𝐴1 × 𝐴2) ქვესიმრავლეა, რომლის ელემენტებია 𝐴1 × 𝐴2 სიმრავლიდან და მათი რაო-დენობა არის 𝑞.

ა) რა არის 𝐵𝑞(𝐴12) ქვესიმრავლის 𝑃 �𝐵𝑞(𝐴12)� ალბათობა?

პასუხი: 𝑃�𝐵𝑞(𝐴12)� =𝑞𝑚2 .

ბ) რა არის 𝐵𝑞(𝐴22) ქვესიმრავლის 𝑃 �𝐵𝑞(𝐴22)� ალბათობა?

პასუხი: 𝑃�𝐵𝑞(𝐴22)� =𝑞𝑚2 .

გ) რა არის 𝐵𝑞(𝐴1 × 𝐴2) ქვესიმრავლის 𝑃 �𝐵𝑞(𝐴1 × 𝐴2)� ალბათობა?

პასუხი: 𝑃�𝐵𝑞(𝐴1 × 𝐴2)� =𝑞𝑚2 .

ამოცანა 1.6. ვთქვათ, 𝐴1,𝐴2 და 𝐴3 სიმრავლეები 𝐴 სიმრავლის ქვესიმრავლეებია და სრულდება შემდეგი პირობები: 1) 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3; 2) 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ∅, 𝐴1 ∩ 𝐴3 = ∅, 𝐴2 ∩ 𝐴3 = ∅,𝑛(𝐴1) = 𝑚1, 𝑛(𝐴2) = 𝑚2, 𝑛(𝐴3) = 𝑚3, 𝑛(𝐴) = 𝑚 = 𝑚1 +𝑚2 +𝑚3. განვიხილოთ 𝐴2 = 𝐴 × 𝐴 =(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3) × (𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3) ნამრავლი. თუ გამოვიყენებთ ნამრავლის თვისებებს (იხ. თავი I, §1.3), მაშინ მივიღებთ

𝐴2 = 𝐴12 ∪ (𝐴1 × 𝐴2) ∪ (𝐴2 × 𝐴1) ∪ (𝐴1 × 𝐴3) ∪ (𝐴3 × 𝐴1) ∪ (𝐴2 × 𝐴3) ∪ (𝐴3 × 𝐴2) ∪ 𝐴22 ∪ 𝐴32

დაშლას ქვესიმრავლეების საშუალებით. რადგან 𝑛(𝐴) = 𝑚 = 𝑚1 +𝑚2 +𝑚3, ამიტომ გვექნება

𝑛(𝐴2) = 𝑚2 = 𝑚12 + 2𝑚1𝑚2 + 2𝑚1𝑚3 + 2𝑚2𝑚3 +𝑚2

2 +𝑚32

ტოლობა.

1) ვთქვათ, 𝑎 ∈ 𝐴2, 𝑎 = (𝑎′,𝑎′′), 𝑎′,𝑎′′ ∈ 𝐴. რა არის 𝑎 ელემენტის 𝑝(𝑎) ალბათობა?


130


2) რა არის 𝐴𝑖2 (𝑖 = 1,2,3) ქვესიმრავლის 𝑃�𝐴𝑖2� ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛�𝐴𝑖2� = 𝑚𝑖2, ამიტომ 𝑃�𝐴𝑖2� =

𝑚𝑖2

𝑚2 , 𝑖 = 1,2,3.

3) რა არის 𝐴𝑖 × 𝐴𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖 = 1,2,3, 𝑗 = 1,2,3) ქვესიმრავლის 𝑃�𝐴𝑖 × 𝐴𝑗� ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛�𝐴𝑖 × 𝐴𝑗� = 𝑛(𝐴𝑖)𝑛�𝐴𝑗� = 𝑚𝑖𝑚𝑗, ამიტომ 𝑃�𝐴𝑖 × 𝐴𝑗� =𝑚𝑖𝑚𝑗

𝑚2 , 𝑖 = 1,2,3,

𝑗 = 1,2,3.

4) რა არის (𝐴1 × 𝐴2) ∪ (𝐴2 × 𝐴3) ქვესიმრავლის 𝑃�(𝐴1 × 𝐴2) ∪ (𝐴2 × 𝐴3)� ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴1 × 𝐴2) = 𝑚1𝑚2 და 𝑛(𝐴2 × 𝐴3) = 𝑚2𝑚3, ამიტომ

𝑃�(𝐴1 × 𝐴2) ∪ (𝐴2 × 𝐴3)� =𝑚1𝑚2

𝑚2 +𝑚2𝑚3

𝑚2 =𝑚2(𝑚1 +𝑚3)

𝑚2 .

ამოცანა 1.7. ვთქვათ, 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 და სრულდება პირობა: 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖 = 1,2,3,𝑗 = 1,2,3. 𝑛(𝐴1) = 𝑚1, 𝑛(𝐴2) = 𝑚2, 𝑛(𝐴3) = 𝑚3, 𝑛(𝐴) = 𝑚 = 𝑚1 +𝑚2 +𝑚3. განვიხილოთ 𝐴3 = 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 ნამრავლი. თუ გამოვიყენებთ ნამრავლის თვისებებს (იხ. თავი I, §1.3), მაშინ გვექნება:

𝐴3 = 𝐴13 ∪ (𝐴12 × 𝐴2) ∪ (𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴1) ∪ (𝐴2 × 𝐴12) ∪ (𝐴1 × 𝐴22) ∪ (𝐴2 × 𝐴1 × 𝐴2) ∪ (𝐴22 × 𝐴1)

∪ (𝐴12 × 𝐴3) ∪ (𝐴1 × 𝐴3 × 𝐴1) ∪ (𝐴3 × 𝐴12) ∪ (𝐴1 × 𝐴32) ∪ (𝐴3 × 𝐴1 × 𝐴3) ∪ (𝐴32 × 𝐴1)

∪ (𝐴22 × 𝐴3) ∪ (𝐴2 × 𝐴3 × 𝐴2) ∪ (𝐴3 × 𝐴22) ∪ (𝐴2 × 𝐴32) ∪ (𝐴3 × 𝐴2 × 𝐴3) ∪ (𝐴32 × 𝐴2)

∪ (𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3) ∪ (𝐴1 × 𝐴3 × 𝐴2) ∪ (𝐴2 × 𝐴1 × 𝐴3) ∪ (𝐴2 × 𝐴3 × 𝐴1) ∪ (𝐴3 × 𝐴1 × 𝐴2)

∪ (𝐴3 × 𝐴2 × 𝐴1) ∪ 𝐴23 ∪ 𝐴33 .

რადგან 𝑛(𝐴) = 𝑚 = 𝑚1 +𝑚2 +𝑚3, ამიტომ

𝑛(𝐴3) = 𝑚3 = (𝑚1 +𝑚2 + 𝑚3)3 = 𝑚13 + 3𝑚1

2𝑚2 + 3𝑚1𝑚22 + 3𝑚1

2𝑚3 + 3𝑚1𝑚32 + 3𝑚2

2𝑚3 + 3𝑚2𝑚32

+6𝑚1𝑚2𝑚3 +𝑚23 +𝑚3

3.

1) ვთქვათ, 𝑎 ∈ 𝐴3, 𝑎 = (𝑎′,𝑎′′,𝑎′′′), 𝑎′,𝑎′′,𝑎′′′ ∈ 𝐴. რა არის 𝑎 ელემენტის 𝑝(𝑎) ალბათო-ბა?


2) რა არის 𝐴𝑖3 (𝑖 = 1,2,3) ქვესიმრავლის 𝑃�𝐴𝑖3� ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛�𝐴𝑖3� = 𝑚𝑖3, ამიტომ 𝑃�𝐴𝑖3� =

𝑚𝑖3

𝑚3 , 𝑖 = 1,2,3.

3) რა არის 𝐴𝑖2 × 𝐴𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖 = 1,2,3, 𝑗 = 1,2,3) ქვესიმრავლის 𝑃�𝐴𝑖2 × 𝐴𝑗� ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛�𝐴𝑖2 × 𝐴𝑗� = 𝑚𝑖2𝑚𝑗, ამიტომ 𝑃�𝐴𝑖2 × 𝐴𝑗� =

𝑚𝑖2𝑚𝑗

𝑚3 , 𝑖 = 1,2,3, 𝑗 = 1,2,3.

4) რა არის 𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3 ქვესიმრავლის 𝑃(𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3) ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3) = 𝑚1𝑚2𝑚3, ამიტომ 𝑃(𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3) =𝑚1𝑚2𝑚3

𝑚3 .

მაგალითი 1.10. ვთქვათ, 𝑛(𝐴1) = 2, 𝑛(𝐴2) = 3, 𝑛(𝐴3) = 1. მაშინ 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐴1) + 𝑛(𝐴2) +𝑛(𝐴3) = 2 + 3 + 1 = 6. განვიხილოთ 𝐴3 ნამრავლი, მაშინ 𝑛(𝐴3) = 63 = 216.

1) რა არის 𝑎 ∈ 𝐴3 ელემენტის 𝑝(𝑎) ალბათობა?


131

პასუხი: 𝑝(𝑎) =1

216 .


პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴23) = 33 = 27, ამიტომ 𝑃(𝐴23) =27

216=

18

.

3) რა არის 𝐴12 × 𝐴3 ქვესიმრავლის 𝑃(𝐴12 × 𝐴3) ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴12 × 𝐴3) = 22 ∙ 1, ამიტომ 𝑃(𝐴12 × 𝐴3) =4

216=

154

.


პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3) = 2 ∙ 3 ∙ 1 = 6, ამიტომ 𝑃(𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3) =6

216=

136

.

მაგალითი 1.11. ვთქვათ, 𝑛(𝐴1) = 5, 𝑛(𝐴2) = 5, 𝑛(𝐴3) = 5, 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖 = 1,2,3, 𝑗 =1,2,3. მაშინ 𝑛(𝐴) = 5 + 5 + 5 = 15, სადაც 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 . განვიხილოთ 𝐴3 ნამრავლი, მაშინ 𝑛(𝐴3) = 153 = 3375.


პასუხი: რადგან 𝑛(𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3) = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125, ამიტომ 𝑃(𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3) =125

3375=

127

.

მაგალითი 1.12. ვთქვათ, მოცემულია 𝐴 სიმრავლე, 𝑛(𝐴) = 5. განვიხილოთ 𝐴3 ნამრავლი. მაშინ 𝑛(𝐴3) = 125. ავიღოთ 𝐴3 სიმრავლეში 𝑑2(𝐴) დიაგონალი. თუ 𝐴 = {𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5}, მაშინ 𝑑2(𝑎𝑖) = (𝑎𝑖 ,𝑎𝑖 ,𝑎𝑖), 𝑖 = 1, … ,5. ცხადია, რომ 𝑛�𝑑2(𝐴)� = 5. რა არის 𝑑2(𝐴) დიაგონალის 𝑃�𝑑2(𝐴)� ალბათობა?

პასუხი: 𝑛�𝑑2(𝐴)� = 5, ამიტომ 𝑃�𝑑2(𝐴)� =5

125=

125

.

მაგალითი 1.13. ვთქვათ,

𝐴1 = {𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5}, 𝐴2 = {𝑎1′ ,𝑎2′ ,𝑎3′ ,𝑎4′ ,𝑎5′ }, 𝐴3 = {𝑎1′′,𝑎2′′,𝑎3′′,𝑎4′′,𝑎5′′},

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖 = 1,2,3, 𝑗 = 1,2,3.

მაშინ 𝑛(𝐴𝑖) = 5, 𝑖 = 1,2,3. თუ 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3, მაშინ 𝑛(𝐴) = 15. განვიხილოთ 𝐴3 ნამრავლი. მა-შინ 𝑛(𝐴3) = 3375. ავიღოთ 𝐵 = { (𝑎𝑖 ,𝑎𝑖′,𝑎𝑖′′) ∣∣ 𝑖 = 1, … ,5 } ქვესიმრავლე. ცხადია, რომ 𝑛(𝐵) = 5. რა არის 𝐵 ქვესიმრავლის 𝑃(𝐵) ალბათობა?

პასუხი: რადგან 𝑛(𝐵) = 5, ამიტომ 𝑃(𝐵) =5

3375=

1675

.

ამოცანა 1.8. ვთქვათ, მოცემულია ორი 𝐴 და 𝐵 სიმრავლე, 𝑛(𝐴) = 𝑚1, 𝑛(𝐵) = 𝑚2 და 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. მაშინ 𝑛(𝐸) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) = 𝑚1 +𝑚2 = 𝑚, სადაც 𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵. ვთქვათ,

1) 𝐴𝑘 = { 𝑥 ∈ 2𝐴 ∣∣ 𝑥 = {𝑎1, … ,𝑎𝑘} − 𝑘 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑖 = 1, … ,𝑘 },

სადაც 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚1;

2) 𝐵𝑠 = {𝑥 ∈ 2𝐵 ∣∣ 𝑥 = {𝑏1, … , 𝑏𝑠}− 𝑠 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑏𝑖 ∈ 𝐵, 𝑖 = 1, … , 𝑠 },

სადაც 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑚2;

3) 𝐸𝑡 = {𝑥 ∈ 2𝐸 ∣∣ 𝑥 = {𝑒1, … , 𝑒𝑡}− 𝑡 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑒𝑖 ∈ 𝐸, 𝑖 = 1, … , 𝑡 },

სადაც 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚.


132

კომბინატორიკიდან (იხ. თავი II, (6)) ცნობილია, რომ

1′) 𝑛�𝐴𝑘� = 𝐶𝑚1𝑘 =

𝑚1!𝑘! (𝑚1 − 𝑘)!

;

2′) 𝑛�𝐵𝑠� = 𝐶𝑚2𝑠 =

𝑚2!𝑠! (𝑚2 − 𝑠)!

;

3′) 𝑛�𝐸𝑡� = 𝐶𝑚𝑡 =𝑚!

𝑡! (𝑚 − 𝑡)! .

რადგან 𝐴𝑘 არის 𝐸𝑘 სიმრავლის ქვესიმრავლე, ამიტომ

𝑃�𝐴𝑘� =𝑛�𝐴𝑘�𝑛�𝐸𝑘�

=𝐶𝑚1𝑘

𝐶𝑚𝑘=𝑚1! (𝑚 − 𝑘)!(𝑚1 − 𝑘)!𝑚!

;

რადგან 𝐵𝑠 არის 𝐸𝑠 სიმრავლის ქვესიმრავლე, ამიტომ

𝑃�𝐵𝑠� =𝑛�𝐵𝑠�𝑛�𝐸𝑠�

=𝐶𝑚2𝑠

𝐶𝑚𝑠=𝑚2! (𝑚− 𝑠)!(𝑚2 − 𝑠)!𝑚!

.

ა) ვთქვათ, 𝑚1 < 𝑚2 და 𝑘 = 𝑠, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚1. მაშინ 𝐴𝑘 და 𝐵𝑘 სიმრავლეები არიან 𝐸𝑘 სი-მრავლის ქვესიმრავლეები, ამიტომ (1) ფორმულის თანახმად,

𝑃�𝐴𝑘 ∪ 𝐵𝑘� = 𝑃�𝐴𝑘� + 𝑃�𝐵𝑘� =𝐶𝑚1𝑘

𝐶𝑚𝑘+𝐶𝑚2𝑘

𝐶𝑚𝑘=𝐶𝑚1𝑘 + 𝐶𝑚2

𝑘

𝐶𝑚𝑘 .

ბ) განვიხილოთ 𝐴𝑘 × 𝐵𝑠 ნამრავლი, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚1, 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑚2. მაშინ

𝑛�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠� = 𝑛�𝐴𝑘�𝑛�𝐵𝑠� = 𝐶𝑚1𝑘 𝐶𝑚2

𝑠 , 𝑛�𝐸𝑘+𝑠� = 𝐶𝑚𝑘+𝑠 .

თუ ჩვენ გვაინტერესებს, რამდენი {𝑒1, … , 𝑒𝑘+𝑠} ელემენტია 𝐸𝑘+𝑠 სიმრავლეში ისეთი, რომ 𝑒𝑖 ∈ 𝐴, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, ხოლო 𝑒𝑗 ∈ 𝐵, 𝑘 + 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 + 𝑠, მაშინ ეს იქნება 𝑛�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠� = 𝐶𝑚1

𝑘 𝐶𝑚2𝑠 . ამი-

ტომ

𝑃�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠� =𝑛�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠�𝑛�𝐸𝑘+𝑠�

=𝐶𝑚1𝑘 𝐶𝑚2

𝑠

𝐶𝑚𝑘+𝑠 .

ამოცანა 1.9. ვთქვათ, მოცემულია 𝐴,𝐵 და 𝐶 სიმრავლეები, 𝑛(𝐴) = 𝑚1, 𝑛(𝐵) = 𝑚2, 𝑛(𝐶) =𝑚3 და 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅, 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅. მაშინ 𝑛(𝐸) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) = 𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 = 𝑚, სადაც 𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶. ვთქვათ,


სადაც 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚1. მაშინ 𝑛�𝐴𝑘� = 𝐶𝑚1𝑘 ;


სადაც 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑚2. მაშინ 𝑛�𝐵𝑠� = 𝐶𝑚2𝑠 ;

3) 𝐶𝑡 = { 𝑥 ∈ 2𝐶 ∣∣ 𝑥 = {𝑐1, … , 𝑐𝑡}− 𝑡 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑐𝑖 ∈ 𝐶, 𝑖 = 1, … , 𝑡 },

სადაც 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚3. მაშინ 𝑛�𝐶𝑡� = 𝐶𝑚3𝑡 ;

4) 𝐸𝑟 = {𝑥 ∈ 2𝐸 ∣∣ 𝑥 = {𝑒1, … , 𝑒𝑟} − 𝑟 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑒𝑖 ∈ 𝐸, 𝑖 = 1, … , 𝑟 },

სადაც 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑚. მაშინ 𝑛�𝐸𝑟� = 𝐶𝑚𝑟 .


133

1′) რადგან 𝐴𝑘 არის 𝐸𝑘 სიმრავლის ქვესიმრავლე, ამიტომ (2) ფორმულის თანახმად,


=𝐶𝑚1𝑘

𝐶𝑚𝑘;

2′) რადგან 𝐵𝑠 არის 𝐸𝑠 სიმრავლის ქვესიმრავლე, ამიტომ (2) ფორმულის თანახმად,


=𝐶𝑚2𝑠

𝐶𝑚𝑠;

3′) რადგან 𝐶𝑡 არის 𝐸𝑡 სიმრავლის ქვესიმრავლე, ამიტომ (2) ფორმულის თანახმად,

𝑃�𝐶𝑡� =𝑛�𝐶𝑡�𝑛�𝐸𝑡�

=𝐶𝑚3𝑡

𝐶𝑚𝑡 .

ა) ვთქვათ, 𝑚1 < 𝑚2 < 𝑚3 და 𝑘 = 𝑠 = 𝑡, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚1. მაშინ 𝐴𝑘 , 𝐵𝑘 და 𝐶𝑘 სიმრავლეები არიან 𝐸𝑘 სიმრავლის ქვესიმრავლეები. თუ 𝐾1,𝐾2 ∈ �𝐴𝑘 , 𝐵𝑘 , 𝐶𝑘� და 𝐾1 ≠ 𝐾2 , მაშინ (1) ფორმუ-ლის თანახმად,

𝑃(𝐾1 ∪ 𝐾2) = 𝑃(𝐾1) + 𝑃(𝐾2).

ა1) 𝐾1 = 𝐴𝑘 , 𝐾2 = 𝐶𝑘 . მაშინ

𝑃�𝐴𝑘 ∪ 𝐶𝑘� = 𝑃�𝐴𝑘�+ 𝑃�𝐶𝑘� =𝐶𝑚1𝑘



𝑘

𝐶𝑚𝑘;

ა2) 𝐾1 = 𝐵𝑘 , 𝐾2 = 𝐶𝑘 . მაშინ

𝑃�𝐵𝑘 ∪ 𝐶𝑘� = 𝑃�𝐵𝑘�+ 𝑃�𝐶𝑘� =𝐶𝑚2𝑘



𝑘

𝐶𝑚𝑘;

ბ) ვთქვათ, 𝐾1,𝐾2 ∈ �𝐴𝑘 , 𝐵𝑠 , 𝐶𝑡� და 𝐾1 ≠ 𝐾2 . 𝑛�𝐸𝑘+𝑠� = 𝐶𝑚𝑘+𝑠 , 𝑛�𝐸𝑘+𝑡� = 𝐶𝑚𝑘+𝑡 , 𝑛�𝐸𝑠+𝑡� =𝐶𝑚𝑠+𝑡 .

თუ ჩვენ გვაინტერესებს, რამდენი {𝑒1, … , 𝑒𝑘+𝑠} ელემენტია 𝐸𝑘+𝑠 სიმრავლეში ისეთი, რომ 𝑒𝑖 ∈ 𝐴, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, ხოლო 𝑒𝑗 ∈ 𝐵, 𝑘 + 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 + 𝑠, მაშინ ეს იქნება 𝑛�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠� = 𝐶𝑚1

𝑘 𝐶𝑚2𝑠 .

ამიტომ

𝑃�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠� =𝑛�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠�𝑛�𝐸𝑘+𝑠�


𝑠

𝐶𝑚𝑘+𝑠 .

ანალოგიურად,

𝑃�𝐴𝑘 × 𝐶𝑡� =𝐶𝑚1𝑘 𝐶𝑚3

𝑡

𝐶𝑚𝑘+𝑡 , 𝑃�𝐵𝑠 × 𝐶𝑡� =

𝐶𝑚2𝑠 𝐶𝑚3

𝑡

𝐶𝑚𝑠+𝑡 .

გ) განვიხილოთ 𝐸𝑘+𝑠+𝑡 სიმრავლე, 𝑛�𝐸𝑘+𝑠+𝑡� = 𝐶𝑚𝑘+𝑠+𝑡 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚1, 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑚2, 1 ≤ 𝑡 ≤𝑚3, 𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 = 𝑚.

თუ ჩვენ გვაინტერესებს, რამდენი {𝑒1, … , 𝑒𝑘+𝑠+𝑡} ელემენტია 𝐸𝑘+𝑠+𝑡 სიმრავლეში ისეთი, რომ 𝑒𝑖 ∈ 𝐴, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑒𝑗 ∈ 𝐵, 𝑘 + 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 + 𝑠, ხოლო 𝑒𝑟 ∈ 𝐶, 𝑘 + 𝑠 + 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑘 + 𝑠 + 𝑡, მაშინ ეს იქნება 𝑛�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠 × 𝐶𝑡� = 𝐶𝑚1

𝑘 𝐶𝑚2𝑠 𝐶𝑚3

𝑡 . ამიტომ

𝑃�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠 × 𝐶𝑡� =𝑛�𝐴𝑘 × 𝐵𝑠 × 𝐶𝑡�𝑛�𝐸𝑘+𝑠+𝑡�


𝑠 𝐶𝑚3𝑡

𝐶𝑚𝑘+𝑠+𝑡 .


134

ვთქვათ, მოცემულია 𝐴 და 𝐵 სასრული სიმრავლეები ისეთი, რომ 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅. თუ 𝑛(𝐴) =𝑚1, 𝑛(𝐵) = 𝑚2, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑟, მაშინ 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑚1 +𝑚2 − 𝑟 (იხ. თავი II, (3)).

1) თუ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵, მაშინ 𝑝(𝑥) =1

𝑚1 + 𝑚2 − 𝑟;

2) 𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) =𝑚1

𝑚1 +𝑚2 − 𝑟;

3) 𝑃(𝐵) =𝑛(𝐵)

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) =𝑚2

𝑚1 +𝑚2 − 𝑟;

4) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) =

𝑟𝑚1 +𝑚2 − 𝑟

;

5) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵); (3)

6) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1.

თუ 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅, შეგვიძლია განვსაზღვროთ 𝐵 სიმრავლის ალბათობა 𝐴 სიმრავლის მი-მართ:

𝑃𝐴(𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)𝑃(𝐴) =

𝑟𝑚1

და ამ ალბათობას უწოდებენ 𝐵 სიმრავლის პირობით ალბათობას 𝐴 სიმრავლის მიმართ.

ანალოგიურად განისაზღვრება 𝐴 სიმრავლის პირობითი ალბათობა 𝐵 სიმრავლის მი-მართ:

𝑃𝐵(𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)𝑃(𝐵) =

𝑟𝑚2

.

ცხადია, რომ თუ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, მაშინ 𝑃𝐴(𝐵) = 0 და 𝑃𝐵(𝐴) = 0, რადგან 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.

ამოცანა 1.10. ვთქვათ, მოცემულია 𝐴 და 𝐵 სასრული სიმრავლეები, 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅, 𝑛(𝐴) = 𝑚1,𝑛(𝐵) = 𝑚2, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑟. განვიხილოთ 𝐸2 = 𝐸 × 𝐸, სადაც 𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵. რადგან 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑚1 +𝑚2 − 𝑟, ამიტომ 𝑛(𝐸2) = (𝑚1 +𝑚2 − 𝑟)2 .

მართებულია შემდეგი ტოლობა:

𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∖ 𝐴).

გვაქვს: 𝑛(𝐴 ∖ 𝐵) = 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑚1 − 𝑟; 𝑛(𝐵 ∖ 𝐴) = 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑚2 − 𝑟.

ვთქვათ, 𝐾1,𝐾2 ∈ {𝐴 ∖ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐵 ∖ 𝐴} და 𝐾1 ≠ 𝐾2. მაშინ 𝑃( 𝐾1 × 𝐾2) = 𝑃( 𝐾1)𝑃(𝐾2).

ა) თუ 𝐾1 = 𝐴 ∖ 𝐵, 𝐾2 = 𝐵 ∖ 𝐴, მაშინ

𝑃� (𝐴 ∖ 𝐵) × (𝐵 ∖ 𝐴)� = 𝑃(𝐴 ∖ 𝐵)𝑃(𝐵 ∖ 𝐴) =𝑛(𝐴 ∖ 𝐵)𝑛(𝐸) ∙

𝑛(𝐵 ∖ 𝐴)𝑛(𝐸) =

𝑚1 − 𝑟𝑚1 + 𝑚2 − 𝑟

∙𝑚2 − 𝑟

𝑚1 + 𝑚2 − 𝑟;

ბ) თუ 𝐾1 = 𝐴 ∖ 𝐵, 𝐾2 = 𝐴 ∩ 𝐵, მაშინ

𝑃� (𝐴 ∖ 𝐵) × (𝐴 ∩ 𝐵)� =𝑛(𝐴 ∖ 𝐵)𝑛(𝐸) ∙

𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)𝑛(𝐸) =

𝑚1 − 𝑟𝑚1 +𝑚2 − 𝑟

∙𝑟

𝑚1 +𝑚2 − 𝑟;

გ) თუ 𝐾1 = 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐾2 = 𝐵 ∖ 𝐴, მაშინ

𝑃� (𝐴 ∩ 𝐵) × (𝐵 ∖ 𝐴)� =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)𝑛(𝐸) ∙

𝑛(𝐵 ∖ 𝐴)𝑛(𝐸) =

𝑟𝑚1 +𝑚2 − 𝑟

∙𝑚2 − 𝑟

𝑚1 +𝑚2 − 𝑟 .


135

ამოცანა 1.11. ვთქვათ, მოცემულია 𝐴, 𝐵 და 𝐶 სიმრავლეები ისეთები, რომ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, 𝐴 ∩𝐶 ≠ ∅, 𝐵 ∩ 𝐶 ≠ ∅. ეილერ-ვენის დიაგრამაზე ეს პირობა შემდეგნაირად გამოიყურება:

ნახ. 4

თუ 𝑛(𝐴) = 𝑚1, 𝑛(𝐵) = 𝑚2, 𝑛(𝐶) = 𝑚3, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑘1, 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑘2 და 𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶, 𝑛(𝐸) = 𝑚, მაშინ (იხ. თავი II, (3)) 𝑛(𝐸) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 − 𝑘1 − 𝑘2 . განვსაზღვროთ შესაბამისი ქვესიმრავლეების ალბათობები:

1) თუ 𝑥 ∈ 𝐸, მაშინ 𝑝(𝑥) =1𝑚

;

2) 𝑃(𝐴) =𝑚1

𝑚; 3) 𝑃(𝐵) =

𝑚2

𝑚; 4) 𝑃(𝐶) =

𝑚3

𝑚;

5) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) =𝑘1𝑚

; 6) 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) =𝑘2𝑚

; 7) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0;

8) 𝑃𝐴(𝐶) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐶)𝑃(𝐴) =

𝑘1𝑚1

; 9) 𝑃𝐵(𝐶) =𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)𝑃(𝐴) =

𝑘2𝑚2

;

10) 𝑃𝐴∪𝐵(𝐶) =𝑃�(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶�

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =𝑘1 + 𝑘2𝑚1 +𝑚2

.

ამოცანა 1.12. ვთქვათ, 𝐴, 𝐵 და 𝐶 სიმრავლეები აკმაყოფილებენ ამოცანა 1.11-ის პირობებს. მაშინ

1) 𝑃(𝐴2) =𝑛(𝐴2)𝑛(𝐸2) =

𝑚12

𝑚2 ; 2) 𝑃(𝐵2) =𝑚22

𝑚2 ; 3) 𝑃(𝐶2) =𝑚32

𝑚2 ;

4) 𝑃(𝐴 × 𝐶) =𝑛(𝐴 × 𝐶)𝑛(𝐸2) =

𝑚1𝑚3

𝑚2 ; 5) 𝑃(𝐵 × 𝐶) =𝑚2𝑚3

𝑚2 ; 6) 𝑃(𝐴 × 𝐵) =𝑚1𝑚2

𝑚2 .

𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 გაერთიანება შეიძლება წარმოვადგინოთ შემდეგი სახით:

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∖ 𝐶) ∪ (𝐵 ∖ 𝐶) ∪ �𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵)� ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶).

პირობის თანახმად, 1) 𝑛(𝐴 ∖ 𝐶) = 𝑚1 − 𝑘1; 2) 𝑛(𝐵 ∖ 𝐶) = 𝑚2 − 𝑘2; 3) 𝑛�𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵)� =𝑚3 − (𝑘1 + 𝑘2). თუ 𝐾1,𝐾2 ∈ {𝐴 ∖ 𝐶, 𝐵 ∖ 𝐶, 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐴 ∩ 𝐶, 𝐵 ∩ 𝐶} და 𝐾1 ≠ 𝐾2, მაშინ

𝑃( 𝐾1 × 𝐾2) =𝑛( 𝐾1)𝑛(𝐾2)

𝑚2 = 𝑃( 𝐾1)𝑃(𝐾2).

მაგალითი 1.14. ა) თუ 𝐾1 = 𝐴 ∖ 𝐶, 𝐾2 = 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵), მაშინ

𝑃 � (𝐴 ∖ 𝐶) × �𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵)�� =(𝑚1 − 𝑘1)(𝑚3 − (𝑘1 + 𝑘2))

𝑚2 ;

ბ) თუ 𝐾1 = 𝐴 ∩ 𝐶, 𝐾2 = 𝐵 ∩ 𝐶, მაშინ

𝑃� (𝐴 ∩ 𝐶) × (𝐵 ∩ 𝐶)� =𝑘1𝑘2𝑚2 ;

გ) თუ 𝐾1 = 𝐵 ∖ 𝐶, 𝐾2 = 𝐵 ∩ 𝐶, მაშინ

𝑃� (𝐵 ∖ 𝐶) × (𝐵 ∩ 𝐶)� =(𝑚2 − 𝑘2)𝑘2

𝑚2 .


136

ამოცანა 1.13. ვთქვათ, მოცემულია 𝐴,𝐵 და 𝐶 სიმრავლეები ისეთი, რომ 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ≠ ∅. ეი-ლერ-ვენის დიაგრამაზე ეს პირობა შემდეგნაირად გამოიყურება:

ნახ. 5

თუ 𝑛(𝐴) = 𝑚1, 𝑛(𝐵) = 𝑚2, 𝑛(𝐶) = 𝑚3, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑟, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑘1 , 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑘2,𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑘3 და 𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶, 𝑛(𝐸) = 𝑚, მაშინ (იხ. თავი II, (3)) 𝑛(𝐸) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 − (𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3) + 𝑟. ვთქვათ,


სადაც 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚1. მაშინ 𝑛�𝐴𝑘� = 𝐶𝑚1𝑘 ;


სადაც 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑚2. მაშინ 𝑛�𝐵𝑠� = 𝐶𝑚2𝑠 ;

3) 𝐶𝑡 = { 𝑥 ∈ 2𝐶 ∣∣ 𝑥 = {𝑐1, … , 𝑐𝑡}− 𝑡 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑐𝑖 ∈ 𝐶, 𝑖 = 1, … , 𝑡 },

სადაც 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚3. მაშინ 𝑛�𝐶𝑡� = 𝐶𝑚3𝑡 ;

4) 𝐸𝑟 = {𝑥 ∈ 2𝐸 ∣∣ 𝑥 = {𝑒1, … , 𝑒𝑟} − 𝑟 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑒𝑖 ∈ 𝐸, 𝑖 = 1, … , 𝑟 },

სადაც 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑚. მაშინ 𝑛�𝐸𝑟� = 𝐶𝑚𝑟 .

1′) რადგან 𝐴𝑘 არის 𝐸𝑘 სიმრავლის ქვესიმრავლე, ამიტომ (2) ფორმულის თანახმად,


=𝐶𝑚1𝑘

𝐶𝑚𝑘;

2′) რადგან 𝐵𝑠 არის 𝐸𝑠 სიმრავლის ქვესიმრავლე, ამიტომ (2) ფორმულის თანახმად,


=𝐶𝑚2𝑠

𝐶𝑚𝑠;

3′) რადგან 𝐶𝑡 არის 𝐸𝑡 სიმრავლის ქვესიმრავლე, ამიტომ (2) ფორმულის თანახმად,

𝑃�𝐶𝑡� =𝑛�𝐶𝑡�𝑛�𝐸𝑡�

=𝐶𝑚3𝑡

𝐶𝑚𝑡 .

I. ვთქვათ, 𝑚1 < 𝑚2 < 𝑚3, 𝑘 = 𝑠 = 𝑡, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚1. მაშინ 𝐴𝑘 , 𝐵𝑘 და 𝐶𝑘 სიმრავლეები არი-ან 𝐸𝑘 სიმრავლის ქვესიმრავლეები. თუ 𝐾1,𝐾2 ∈ �𝐴𝑘 , 𝐵𝑘 , 𝐶𝑘� და 𝐾1 ≠ 𝐾2 , მაშინ (3) ფორმულის თანახმად, 𝑛(𝐾1 ∪ 𝐾2) = 𝑛(𝐾1) + 𝑛(𝐾2) − 𝑛(𝐾1 ∩ 𝐾2), რადგან 𝐾1 ∩ 𝐾2 ≠ ∅.

ა1) რადგან 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅, ამიტომ 𝐴𝑘 ∩ 𝐵𝑘 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑘;

ბ1) რადგან 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅, ამიტომ 𝐴𝑘 ∩ 𝐶𝑘 = 𝐴 ∩ 𝐶𝑘;

გ1) რადგან 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅, ამიტომ 𝐵𝑘 ∩ 𝐶𝑘 = 𝐵 ∩ 𝐶𝑘;

დ1) რადგან 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅, ამიტომ 𝐴𝑘 ∩ 𝐵𝑘 ∩ 𝐶𝑘 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶𝑘;

ა2) 𝑛�𝐴𝑘 ∪ 𝐵𝑘� = 𝑛�𝐴𝑘�+ 𝑛� 𝐵𝑘� − 𝑛�𝐴 ∩ 𝐵𝑘� = 𝐶𝑚1𝑘 + 𝐶𝑚2

𝑘 − 𝐶𝑘1𝑘 ;


137

ბ2) 𝑛�𝐴𝑘 ∪ 𝐶𝑘� = 𝑛�𝐴𝑘� + 𝑛� 𝐶𝑘� − 𝑛�𝐴 ∩ 𝐶𝑘� = 𝐶𝑚1𝑘 + 𝐶𝑚3


გ2) 𝑛�𝐵𝑘 ∪ 𝐶𝑘� = 𝑛�𝐵𝑘�+ 𝑛� 𝐶𝑘� − 𝑛�𝐵 ∩ 𝐶𝑘� = 𝐶𝑚2𝑘 + 𝐶𝑚3


დ2) 𝑛�𝐸𝑘� = 𝑛�𝐴𝑘 ∪ 𝐵𝑘 ∪ 𝐶𝑘�

= 𝑛�𝐴𝑘�+ 𝑛� 𝐵𝑘� + 𝑛� 𝐶𝑘� − 𝑛�𝐴 ∩ 𝐵𝑘� − 𝑛�𝐴 ∩ 𝐶𝑘� − 𝑛�𝐵 ∩ 𝐶𝑘� + 𝑛�𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶𝑘�

= 𝐶𝑚1𝑘 + 𝐶𝑚2

𝑘 + 𝐶𝑚3𝑘 − 𝐶𝑘1

𝑘 − 𝐶𝑘2𝑘 − 𝐶𝑘3

𝑘 + 𝐶𝑟𝑘 = 𝐶𝑚𝑘 ;

ა3) 𝑃�𝐴𝑘 ∪ 𝐵𝑘� =𝑛�𝐴𝑘 ∪ 𝐵𝑘�𝑛�𝐸𝑘�

=𝐶𝑚1𝑘 + 𝐶𝑚2

𝑘 − 𝐶𝑘1𝑘

𝐶𝑚𝑘;

ბ3) 𝑃�𝐴𝑘 ∪ 𝐶𝑘� =𝑛�𝐴𝑘 ∪ 𝐶𝑘�𝑛�𝐸𝑘�



𝐶𝑚𝑘;

გ3) 𝑃�𝐵𝑘 ∪ 𝐶𝑘� =𝑛�𝐵𝑘 ∪ 𝐶𝑘�𝑛�𝐸𝑘�



𝐶𝑚𝑘;

დ3) 𝑃�𝐴𝑘 ∩ 𝐵𝑘� =𝑛�𝐴𝑘 ∩ 𝐵𝑘�𝑛�𝐸𝑘�

=𝐶𝑘1𝑘

𝐶𝑚𝑘;

ე3) 𝑃�𝐴𝑘 ∩ 𝐶𝑘� =𝑛�𝐴𝑘 ∩ 𝐶𝑘�𝑛�𝐸𝑘�

=𝐶𝑘2𝑘

𝐶𝑚𝑘;

ვ3) 𝑃�𝐵𝑘 ∩ 𝐶𝑘� =𝑛�𝐵𝑘 ∩ 𝐶𝑘�𝑛�𝐸𝑘�

=𝐶𝑘3𝑘

𝐶𝑚𝑘 .

II. 𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 გაერთიანება შეიძლება წარმოვადგინოთ შემდეგი სახით:

𝐸 = �𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)� ∪ �𝐵 ∖ (𝐴 ∪ 𝐶)� ∪ �𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵)� ∪ �(𝐴 ∩ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)� ∪ �(𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)� ∪ �(𝐵 ∩ 𝐶) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)� ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).

ვთქვათ, 𝐾1,𝐾2 ∈ {𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶), 𝐵 ∖ (𝐴 ∪ 𝐶), 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵), (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶), (𝐴 ∩ 𝐶)\(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶), (𝐵 ∩ 𝐶) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶), 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶}.

თუ 𝐾1 ≠ 𝐾2, მაშინ 𝐾1 ∩ 𝐾2 ≠ ∅. ამიტომ ამოცანა 1.9-ის საშუალებით, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ მსგავსი ამოცანები 𝐾1 და 𝐾2 სიმრავლეებისათვის.

II ა). 𝐾1 = 𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶), 𝐾2 = 𝐵 ∖ (𝐴 ∪ 𝐶). ვთქვათ,

𝐾1,𝑠 = {𝑥 ∈ 2𝐾1 ∣∣ 𝑥 = {𝑘1, … ,𝑘𝑠} − 𝑠 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑘𝑖 ∈ 𝐾1 , 𝑖 = 1, … , 𝑠 };

𝐾2,𝑠 = {𝑥 ∈ 2𝐾2 ∣∣ 𝑥 = {𝑘1, … ,𝑘𝑠} − 𝑠 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑘𝑖 ∈ 𝐾2 , 𝑖 = 1, … , 𝑠 }.

მაშინ 𝑃�𝐾1,𝑠 ∪ 𝐾2,𝑠� = 𝑃�𝐾1,𝑠� + 𝑃�𝐾2,𝑠�. 𝑛(𝐾1) = 𝑛�𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)� = 𝑛(𝐴) − �𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) −𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)� = 𝑚1 − (𝑘1 + 𝑘2 − 𝑟) = 𝑞1; 𝑛(𝐾2) = 𝑛�𝐵 ∖ (𝐴 ∪ 𝐶)� = 𝑛(𝐵) − �𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) −𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)� = 𝑚2 − (𝑘1 + 𝑘3 − 𝑟) = 𝑞2. ამიტომ

𝑃�𝐾1,𝑠 ∪ 𝐾2,𝑠� =𝐶𝑞1𝑠

𝐶𝑚𝑠+𝐶𝑞2𝑠

𝐶𝑚𝑠=𝐶𝑞1𝑠 + 𝐶𝑞2

𝑠

𝐶𝑚𝑠 .

II ბ). 𝐾1 = 𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶), 𝐾2 = 𝐵 ∖ (𝐴 ∪ 𝐶). ვთქვათ,

𝐾1,𝑠 = {𝑥 ∈ 2𝐾1 ∣∣ 𝑥 = {𝑘1, … ,𝑘𝑠} − 𝑠 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑘𝑖 ∈ 𝐾1 , 𝑖 = 1, … , 𝑠 };

𝐾2,𝑡 = { 𝑥 ∈ 2𝐾2 ∣∣ 𝑥 = {𝑘1 , … ,𝑘𝑡} − 𝑡 ელემენტიანი ქვესიმრავლეა, 𝑘𝑖 ∈ 𝐾2, 𝑖 = 1, … , 𝑡 }.

გვაქვს: 𝑛�𝐾1,𝑠� = 𝐶𝑞1𝑠 , 𝑛�𝐾2,𝑡� = 𝐶𝑞2

𝑡 , 𝑛�𝐸𝑠+𝑡� = 𝐶𝑚𝑠+𝑡 . ამიტომ


138

𝑃�𝐾1,𝑠 × 𝐾2,𝑡� =𝑛�𝐾1,𝑠�𝑛�𝐾2,𝑡�

𝑛�𝐸𝑠+𝑡�=𝐶𝑞1𝑠 𝐶𝑞2

𝑡

𝐶𝑚𝑠+𝑡 .

III. ვთქვათ, მოცემულია 𝐾1,𝐾2 ,𝐾3 ∈ {𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶), 𝐵 ∖ (𝐴 ∪ 𝐶), 𝐶 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵), (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶), (𝐴 ∩ 𝐶)\(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶), (𝐵 ∩ 𝐶) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶), 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶} და 𝐾1 ≠ 𝐾2 ≠ 𝐾3. მაშინ

𝐾1 ∩ 𝐾2 = ∅, 𝐾1 ∩ 𝐾3 = ∅, 𝐾2 ∩ 𝐾3 = ∅.

თუ 𝐾1,𝑟 , 𝐾2,𝑠 , 𝐾3,𝑡 შესაბამისი სიმრავლეებია, მაშინ

𝑃�𝐾1,𝑟 × 𝐾2,𝑠 × 𝐾3,𝑡� =𝑛�𝐾1,𝑟�𝑛�𝐾2,𝑠�𝑛�𝐾3,𝑡�

𝑛�𝐸𝑘+𝑠+𝑡� .

ამოცანა 1.14. ვთქვათ, მოცემულია 𝐴1,𝐴2 , … ,𝐴𝑘 სიმრავლეთა ოჯახი ისეთი, რომ 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 =∅, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1,2, … ,𝑘, 𝐴 =∪𝑖=1𝑘 𝐴𝑖 და 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑘) = 1. ვთქვათ, მოცემულია 𝐵 სიმრავლე ისეთი, რომ 𝐵 =∪𝑖=1𝑘 (𝐵 ∩ 𝐴𝑖). გვაქვს პირობითი ალბათობა

𝑃𝐴𝑖(𝐵) =𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐵)𝑃(𝐴𝑖)

, 𝑖 = 1,2, … ,𝑘.

ამიტომ 𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐵) = 𝑃𝐴𝑖(𝐵)𝑃(𝐴𝑖), 𝑖 = 1,2, … ,𝑘. რადგან (𝐵 ∩ 𝐴𝑖) ∩ �𝐵 ∩ 𝐴𝑗� = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1,2, … ,𝑘, გვექნება:

𝑃(𝐵) = �𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐵)𝑘

𝑖=1

= �𝑃𝐴𝑖(𝐵)𝑃(𝐴𝑖)𝑘

𝑖=1

. (4)

მიღებულ ტოლობას ეწოდება სრული ალბათობის ფორმულა.

ნახ. 6

თუ 𝑛(𝐴) = 𝑚 და 𝑛(𝐴𝑖) = 𝑚𝑖 , მაშინ

𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐴1) + 𝑛(𝐴2) + ⋯+ 𝑛(𝐴𝑘) = 𝑚1 +𝑚2 +⋯+ 𝑚𝑘 .

თუ 𝑛(𝐵) = 𝑡 და 𝑛(𝐵 ∩ 𝐴𝑖) = 𝑡𝑖 , მაშინ

𝑛(𝐵) = 𝑛(𝐵 ∩ 𝐴1) + 𝑛(𝐵 ∩ 𝐴2) + ⋯+ 𝑛(𝐵 ∩ 𝐴𝑘) = 𝑡1 + 𝑡2 +⋯+ 𝑡𝑘 .

რადგან 𝐵 სიმრავლე არის 𝐴 სიმრავლის ქვესიმრავლე, გვაქვს

𝑃(𝐵) =𝑡𝑚

, 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑖) =𝑡𝑖𝑚

, 𝑖 = 1,2, … ,𝑘.

ამიტომ

𝑃(𝐵) = �𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐵)𝑘

𝑖=1

ტოლობიდან ვღებულობთ:

𝑃(𝐵) = �𝑡𝑖𝑚

𝑘

𝑖=1

=𝑡1 + 𝑡2 +⋯+ 𝑡𝑘

𝑚=𝑡𝑚

.


139

მაგალითი 1.15. 1) თბილისში უნდა ჩატარდეს პიანისტთა საერთაშორისო კონკურსი. მო-ნაწილეთა რაოდენობა არის 30. ამ კონკურსში საქართველოდან 6 პიანისტი მონაწილეობს, ამე-რიკიდან − 10, ევროპიდან − 8.

1ა) რა არის ალბათობა იმისა, რომ კონკურსში გაიმარჯვებს საქართველოს წარმომადგენე-ლი?

1ბ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ კონკურსში გაიმარჯვებს ამერიკელი პიანისტი?

1გ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ კონკურსში გაიმარჯვებს პიანისტი, რომელიც არ არის არც საქართველოს, არც ამერიკის და არც ევროპის წარმომადგენელი?

პასუხი: 1ა) ვთქვათ, 𝐸 სიმრავლის ელემენტებია კონკურსში მონაწილე პიანისტები. რად-გან მონაწილეთა რაოდენობა არის 30, ამიტომ ცალკეული 𝑒 ∈ 𝐸 პიანისტის კონკურსში გამარ-ჯვების ალბათობა იქნება

𝑝(𝑒) =1

30 .

რადგან საქართველოდან კონკურსში 6 პიანისტი მონაწილეობს, ამიტომ

𝑃(𝐴) =6

30=

15

,

სადაც 𝐴 ქართველი პიანისტების სიმრავლეა.

1ბ) რადგან ამერიკიდან კონკურსში 10 პიანისტი მონაწილეობს, ამიტომ

𝑃(𝐵) =1030

=13

,

სადაც 𝐵 ამერიკელი პიანისტების სიმრავლეა.

1გ) ვთქვათ, 𝐷 იმ პიანისტთა სიმრავლეა, რომლებიც არ არიან არც საქართველოს, არც ამერიკის და არც ევროპის წარმომადგენლები. მაშინ 𝑛(𝐷) = 𝑛(𝐸) − 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐶) = 30 −6 − 10 − 8 = 6, სადაც 𝐶 − ევროპელ პიანისტთა სიმრავლეა და

𝑃(𝐷) =6

30=

15

.

2) ვთქვათ ზემოთ აღნიშნულ კონკურსში გათვალისწინებულია სამი ფულადი პრემია.

2ა) რა არის ალბათობა იმისა, რომ ფულად პრემიას მიიღებს საქართველოს წარმომადგე-ნელი?

2ბ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ ფულად პრემიას მიიღებს პიანისტი ან ამერიკიდან ან ევროპიდან?

2გ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ ფულად პრემიას მიიღებს პიანისტი ევროპიდან?

პასუხი: 2ა) რადგან 𝑛(𝐴) = 6, 𝑛(𝐸) = 30, ამიტომ 𝑛(𝐸 ∖ 𝐴) = 24. ფულადი პრემია არის სამი, ამიტომ საძიებელი ალბათობაა

𝑃 �𝐸3 ∖ �𝐸 ∖ 𝐴3��.

რადგან 𝐸 ∖ 𝐴3 ⊂ 𝐸3, ამიტომ

𝑃 �𝐸3 ∖ �𝐸 ∖ 𝐴3�� = 𝑃�𝐸3� − 𝑃 �𝐸 ∖ 𝐴3� = 1− 𝑃 �𝐸 ∖ 𝐴3�.


140

მაშინ უნდა გამოვიყენოთ ამოცანა 1.9-ის 1′), როცა 𝑘 = 3, 𝑚 = 30, 𝑚1 = 24 გვექნება:

𝑃 �𝐸3 ∖ �𝐸 ∖ 𝐴3�� = 1 −𝐶243

𝐶303= 1−

22 ∙ 23 ∙ 2428 ∙ 29 ∙ 30

= 1 −506

1015=

5091015

;

2ბ) რადგან 𝑛(𝐵) = 10, 𝑛(𝐶) = 8, 𝑛(𝐸) = 30, 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅, ამიტომ 𝑛�𝐸 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)� = 12. ფუ-ლადი პრემია არის სამი, ამიტომ საძიებელი ალბათობაა

𝑃 �𝐸3 ∖ �𝐸 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)3��.

რადგან 𝐸 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)3 ⊂ 𝐸3, ამიტომ

𝑃 �𝐸3 ∖ �𝐸 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)3�� = 𝑃�𝐸3� − 𝑃 �𝐸 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)3� = 1− 𝑃 �𝐸 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)3�.


𝑃 �𝐸3 ∖ �𝐸 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)3�� = 1 −𝐶123

𝐶303= 1 −

10 ∙ 11 ∙ 1228 ∙ 29 ∙ 30

= 1−11

203=

192203

;

2გ) რადგან 𝑛(𝐶) = 8, 𝑛(𝐸) = 30, ამიტომ 𝑛(𝐸 ∖ 𝐶) = 22. ფულადი პრემია არის სამი, ამი-ტომ საძიებელი ალბათობაა

𝑃 �𝐸3 ∖ �𝐸 ∖ 𝐶3��.

რადგან 𝐸 ∖ 𝐶3 ⊂ 𝐸3, ამიტომ

𝑃 �𝐸3 ∖ �𝐸 ∖ 𝐶3�� = 𝑃�𝐸3� − 𝑃 �𝐸 ∖ 𝐶3� = 1 − 𝑃 �𝐸 ∖ 𝐶3�.


𝑃 �𝐸3 ∖ �𝐸 ∖ 𝐶3�� = 1−𝐶223

𝐶303= 1 −

20 ∙ 21 ∙ 2228 ∙ 29 ∙ 30

= 1−1129

=1829

;

მაგალითი 1.16. 2011-2012 წლებში ჩატარდა ევროპის პირველობა ფეხბურთში. ამ შეჯი-ბრებაში მონაწილეობა მიიღო 53 ქვეყნის ეროვნულმა გუნდმა. შეჯიბრება ჩატარდა რამდენიმე ეტაპად. ვთქვათ, 𝐴 სიმრავლის ელემენტებია ევროპის პირველობაზე მონაწილე გუნდები.

ა) რა ალბათობა ჰქონდა თითოეულ ეროვნულ გუნდს, რომ ევროპის ჩემპიონი გამხდარი-ყო?

პასუხი: 𝑃(𝑎) =1

53 .

ბ) პირველი ეტაპის შემდეგ, მეორე ეტაპზე დარჩა მხოლოდ 16 გუნდი. ვთქვათ, 𝐵 სი-მრავლის ელემენტებია მეორე ეტაპზე გასული გუნდები. რა ალბათობა ჰქონდა თითოეულ ამ გუნდს ამ ეტაპზე, რომ ევროპის ჩემპიონი გამხდარიყო?

პასუხი: 𝑃(𝑏) =1

16 .

გ) რა ალბათობა ჰქონდა თითოეულ იმ ეროვნულ გუნდს, რომელიც ვერ გავიდა მეორე ეტაპზე, რომ ევროპის ჩემპიონი გამხდარიყო?

პასუხი: 𝑃(𝑥) = 0, 𝑥 ∈ 𝐴 ∖ 𝐵.

დ) მეორე ეტაპის შემდეგ, მესამე ეტაპზე დარჩა მხოლოდ 8 გუნდი. ვთქვათ, ამ გუნდე-ბის სიმრავლეა 𝐶.


141

1) რა ალბათობა ჰქონდა თითოეულ ამ გუნდს ამ ეტაპზე, რომ ევროპის ჩემპიონი გამხდა-რიყო?

პასუხი: 𝑃(𝑐) =18

.

2) ვთქვათ, შემდეგ ეტაპზე გასული გუნდების სიმრავლეა 𝐷. რა ალბათობა ჰქონდა თი-თოეულ იმ ეროვნულ გუნდს 𝐶 სიმრავლიდან, რომელიც ვერ გავიდა შემდეგ ეტაპზე, რომ ევ-როპის ჩემპიონი გამხდარიყო?

პასუხი: 𝑃(𝑥) = 0, 𝑥 ∈ 𝐶 ∖ 𝐷.

მაგალითი 1.17. საგანგებო სიტუაციების რაიონულ განყოფილებაში არიან 8 მეხანძრე, 6 ექიმი და 4 მაშველი. რა არის ალბათობა იმისა, რომ სამკაციან ჯგუფში იქნება

ა) ერთი მეხანძრე, ერთი ექიმი და ერთი მაშველი?

ბ) ორი მაშველი, ხოლო მესამე ექიმი?

გ) სამი მეხანძრე?

დ) ერთი ექიმი და ორი მეხანძრე?

პასუხი: ეს მაგალითი რომ ამოვხსნათ, უნდა გამოვიყენოთ ამოცანა 1.9, რადგან სრულდე-ბა ამ ამოცანის ყველა პირობა. ვთქვათ, 𝐴 სიმრავლის ელემენტებია მეხანძრეები, 𝐵 სიმრავლის − ექიმები, ხოლო 𝐶 სიმრავლის − მაშველები.

ა) პირობა ემთხვევა ამოცანა 1.9-ის გ) პირობას, როცა 𝑘 = 𝑠 = 𝑡 = 1, ამიტომ

𝑃�𝐴1 × 𝐵1 × 𝐶1� =𝐶𝑚11 𝐶𝑚2

1 𝐶𝑚31

𝐶𝑚3=𝐶81𝐶61𝐶41

𝐶183=

8 ∙ 6 ∙ 418!

3! ∙ 15!=

8 ∙ 6 ∙ 416 ∙ 17 ∙ 18

2 ∙ 3=

8 ∙ 6 ∙ 416 ∙ 17 ∙ 3

=4

17;

ბ) პირობა ემთხვევა ამოცანა 1.9-ის ბ) პირობას, როცა 𝑠 = 1, 𝑡 = 2, ამიტომ

𝑃�𝐵1 × 𝐶2� =𝐶𝑚21 𝐶𝑚3

2

𝐶𝑚3=𝐶61𝐶42

𝐶183=

6 ∙ 4!2! ∙ 2!

16 ∙ 17 ∙ 3=

6 ∙ 616 ∙ 17 ∙ 3

=3

68;

გ) პირობა ემთხვევა ამოცანა 1.9-ის 1) პირობას, როცა 𝑘 = 3, ამიტომ

𝑃�𝐴3� =𝐶𝑚13

𝐶𝑚3=𝐶83

𝐶183=

8!3! ∙ 5!

16 ∙ 17 ∙ 3=

7 ∙ 816 ∙ 17 ∙ 3

=7

102;

დ) პირობა ემთხვევა ამოცანა 1.9-ის ბ) პირობას, როცა 𝑘 = 2, 𝑠 = 1, ამიტომ

𝑃�𝐴2 × 𝐵1� =𝐶𝑚12 𝐶𝑚2

1

𝐶𝑚3=𝐶82𝐶61

𝐶183=

8!2! ∙ 6! ∙ 6

16 ∙ 17 ∙ 3=

4 ∙ 7 ∙ 616 ∙ 17 ∙ 3

=7

34 .

მაგალითი 1.18. ვთქვათ, 103 სტუდენტიდან ინგლისური იცის 67-მა, გერმანული − 35-მა, ფრანგული − 33-მა. ერთდროულად ინგლისური და გერმანული ენები იცის − 15-მა, გერ-მანული და ფრანგული − 7-მა, ინგლისური და ფრანგული − 14-მა, სამივე ენა იცის − 4-მა.

რა არის ალბათობა იმისა, რომ ორკაციან ჯგუფში:

ა) ერთმა იცოდეს მხოლოდ ინგლისური, ხოლო მეორემ მხოლოდ გერმანული?

ბ) ერთმა იცოდეს მხოლოდ გერმანული, ხოლო მეორემ მხოლოდ ფრანგული?


142

გ) ერთმა იცოდეს მხოლოდ ინგლისური, ხოლო მეორემ მხოლოდ ფრანგული?

დ) ერთმა იცოდეს მხოლოდ ინგლისური და გერმანული, ხოლო მეორემ მხოლოდ გერმა-ნული და ფრანგული?

ე) ერთმა იცოდეს მხოლოდ ინგლისური და ფრანგული, ხოლო მეორემ მხოლოდ გერმა-ნული?

ვ) ორივემ იცოდეს სამივე ენა?

პასუხი: ვთქვათ, 𝐴 სიმრავლის ელემენტებია ინგლისურის მცოდნე სტუდენტები, 𝐵 სი-მრავლის − გერმანულის მცოდნე სტუდენტები, 𝐶 სიმრავლის − ფრანგულის მცოდნე სტუდენ-ტები, 𝐴′ სიმრავლის − მხოლოდ ინგლისურის მცოდნე სტუდენტები, 𝐵′ სიმრავლის − მხოლოდ გერმანულის მცოდნე სტუდენტები, 𝐶′ სიმრავლის − მხოლოდ ფრანგულის მცოდნე სტუდენტე-ბი. მაშინ 𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 სიმრავლის ელემენტებია ის სტუდენტები, რომლებმაც იციან ერთი ენა მაინც. პირობის თანახმად, 𝑛(𝐸) = 103, ამიტომ იმ სტუდენტთა რაოდენობა, რომლებმაც იციან მხოლოდ ინგლისური, იქნება

𝑛(𝐴′) = 𝑛(𝐴) − �𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)� = 67 − (15 + 14 − 4) = 42. სტუდენტთა რაოდენობა, რომლებმაც იციან მხოლოდ გერმანული, იქნება

𝑛(𝐵′) = 𝑛(𝐵) − �𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)� = 35 − (15 + 7− 4) = 17.

ა) პირობა ემთხვევა ამოცანა 1.13 II ბ)-ს, როცა 𝑠 = 1, 𝑡 = 1. უნდა გამოვიყენოთ ამოცანა 1.9 ბ)-ს შესაბამისი ფორმულა:

𝑃�𝐾1,1 × 𝐾2,1� = 𝑃�𝐴1′ × 𝐵1′� =𝐶421 𝐶171

𝐶1032 =42 ∙ 17

103!2! ∙ 101!

=42 ∙ 17

51 ∙ 103=

14103

;

ბ) სტუდენტთა რაოდენობა, რომლებმაც იციან მხოლოდ ფრანგული, იქნება

𝑛(𝐶′) = 𝑛(𝐶) − �𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)� = 33 − (14 + 7− 4) = 16.

გამოვიყენოთ ამოცანა 1.9 ბ)-ს შესაბამისი ფორმულა:

𝑃�𝐵1′ × 𝐶1′� =𝐶171 𝐶161

𝐶1032 =17 ∙ 16

51 ∙ 103=

16309

;

გ) გამოვიყენოთ ამოცანა 1.9 ბ)-ს შესაბამისი ფორმულა:

𝑃�𝐴1′ × 𝐶1′� =𝐶421 𝐶161

𝐶1032 =42 ∙ 16

51 ∙ 103=

2241751

;

დ) ვთქვათ, 𝐴′′ სიმრავლის ელემენტებია ის სტუდენტები, რომლებმაც იციან მხოლოდ ინგლისური და გერმანული. მაშინ 𝑛(𝐴′′) = 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 15 − 4 = 11.

ვთქვათ, 𝐵′′ სიმრავლის ელემენტებია ის სტუდენტები, რომლებმაც იციან მხოლოდ გერ-მანული და ფრანგული. მაშინ 𝑛(𝐵′′) = 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 7− 4 = 3.

გამოვიყენოთ ამოცანა 1.9 ბ)-ს შესაბამისი ფორმულა:

𝑃�𝐴1′′ × 𝐵1′′� =𝐶111 𝐶31

𝐶1032 =11 ∙ 3

51 ∙ 103=

111751

;

ე) ვთქვათ, 𝐶′′ სიმრავლის ელემენტებია ის სტუდენტები, რომლებმაც იციან მხოლოდ ინ-გლისური და ფრანგული. მაშინ 𝑛(𝐶′′) = 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 14 − 4 = 10. რადგან იმ სტუ-


143

დენტთა რაოდენობა, რომლებმაც იციან მხოლოდ გერმანული ენა არის 𝑛(𝐵′) = 17, ამიტომ ამო-ცანა 1.9 ბ)-ს შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით, ვღებულობთ:

𝑃�𝐶1′′ × 𝐵1′� =𝐶101 𝐶171

𝐶1032 =10 ∙ 17

51 ∙ 103=

10309

;

ვ) რადგან ორივე სტუდენტმა უნდა იცოდეს სამივე ენა, ამიტომ ამოცანა 1.13-ის გამოყე-ნებით, როცა 𝑘 = 2, გვექნება:

𝑃�𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶2� =𝐶42

𝐶1032 =3 ∙ 2

51 ∙ 103=

21751

.

მაგალითი 1.19. ვთქვათ, მონაცემები იგივეა, რაც მაგალით 1.18-ში.

რა არის ალბათობა იმისა, რომ სამკაციან ჯგუფში:

ა) ერთმა იცოდეს მხოლოდ ინგლისური, მეორემ მხოლოდ გერმანული, ხოლო მესამემ მხოლოდ ფრანგული?

ბ) ერთმა იცოდეს მხოლოდ ინგლისური, ხოლო მეორემ და მესამემ მხოლოდ გერმანუ-ლი?

გ) სამივემ იცოდეს მხოლოდ ფრანგული?

დ) ერთმა იცოდეს მხოლოდ ინგლისური და გერმანული, მეორემ მხოლოდ ინგლისური და ფრანგული, ხოლო მესამემ მხოლოდ ფრანგული და გერმანული?

ე) ერთმა იცოდეს მხოლოდ ინგლისური და გერმანული, მეორემ მხოლოდ ფრანგული, მესამემ კი სამივე ენა?

პასუხი: ა) მაგალით 1.18-ის თანახმად, 𝑛(𝐴′) = 42, 𝑛(𝐵′) = 17, 𝑛(𝐶′) = 16. თუ გამოვიყე-ნებთ ამოცანა 1.13 III-ის შესაბამის ფორმულას, მივიღებთ:

𝑃�𝐴1′ × 𝐵1′ × 𝐶1′� =𝑛�𝐴1′ � ∙ 𝑛�𝐵1′� ∙ 𝑛�𝐶1′�

𝐶1033 =42 ∙ 17 ∙ 16

101 ∙ 102 ∙ 1032 ∙ 3

=42 ∙ 16

101 ∙ 103=

67210403

;

ბ) 𝑃�𝐴1′ × 𝐵2′ � =𝑛�𝐴1′ � ∙ 𝑛�𝐵2′ �

𝐶1033 =42 ∙ 8 ∙ 17

101 ∙ 17 ∙ 103=

33610403

;

გ) 𝑃�𝐶3′� =𝑛�𝐶3′�𝐶1033 =

7 ∙ 5 ∙ 16101 ∙ 17 ∙ 103

=560

176851;

დ) რადგან მაგალით 1.18-ის თანახმად, 𝑛(𝐴′′) = 11, 𝑛(𝐵′′) = 3, 𝑛(𝐶′′) = 10, ამიტომ

𝑃�𝐴1′′ × 𝐵1′′ × 𝐶1′′� =𝑛�𝐴1′′� ∙ 𝑛�𝐵1′′� ∙ 𝑛�𝐶1′′�

𝐶1033 =11 ∙ 3 ∙ 10

101 ∙ 17 ∙ 103=

330176851

;

ე) მაგალით 1.18-ის თანახმად, 𝑛(𝐴′′) = 11, 𝑛(𝐶′) = 16, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 4, ამიტომ

𝑃�𝐴1′′ × 𝐶1′ × 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶1� =𝑛�𝐴1′′� ∙ 𝑛�𝐶1′� ∙ 𝑛�𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶1�

𝐶1033 =11 ∙ 16 ∙ 4

101 ∙ 17 ∙ 103=

704176851

.

144

§2. შემთხვევითი სიდიდე

ვთქვათ, მოცემულია (Ω,ℱ,𝑝,𝑃) ალბათობათა ველი. განვიხილოთ 𝑔 ∶ Ω → ℝ ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას:

𝑔−1�𝑔(𝜔)� ∈ ℱ.

შემოვიღოთ აღნიშვნა

𝑋 = Im 𝑔.

𝑔 ფუნქციას ეწოდება შემთხვევითი სიდიდე, ხოლო 𝑥𝑖 ∈ 𝑋-ს − შემთხვევითი სიდიდის მნიშვნელობა.

მაგალითი 2.1. ამოცანა 1.1-ში, Ω = 𝐴 × 𝐴, სადაც 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ამ სიმრავლის ნების-მიერი 𝜔 ელემენტი არის (𝑖, 𝑗) წყვილი, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5, 6. ავაგოთ 𝑔 შემთხვევითი სიდიდე შემ-დეგი წესით: 𝑔(𝜔) = 𝑔�(𝑖, 𝑗)� = 𝑖 + 𝑗. მაშინ 𝑋 = { 𝑘 ∈ ℕ ∣ 2 ≤ 𝑘 ≤ 12 }, ხოლო 𝑥𝑖 = 𝑖 + 1, სადაც 𝑖 = 1, 2, … , 11, ℱ = 2Ω. ცხადია, რომ 𝑔−1(𝑥𝑖) = 𝐴𝑖 ∈ ℱ. ამიტომ ასე აგებული ფუნქცია არის შემ-თხვევითი სიდიდე.

რადგან გვაქვს 𝑝 ∶ Ω → 𝐼 და 𝑃 ∶ ℱ → 𝐼 ასახვები და Ω/𝑔~ ფაქტორსიმრავლე არის ℱ სი-მრავლის ქვესიმრავლე, ამიტომ არსებობს 𝑃|Ω/𝑔~ ∶ Ω/𝑔~ → 𝐼 ასახვა, სადაც 𝑃|Ω/𝑔~ არის 𝑃 ასახ-

ვის შეზღუდვა. მაშინ 𝑗 ∶ Ω/𝑔~ → Im 𝑔 = 𝑋 ასახვა, განსაზღვრული 𝑗([𝜔]) = 𝑔(𝜔), [𝜔] ∈ Ω/𝑔~ ტოლობით, არის ბიექცია (იხ. თავი I, თეორემა 3.1).

𝑃|Ω/𝑔~ ასახვა და 𝑗 ბიექცია საშუალებას გვაძლევს, რომ ავაგოთ 𝑝′ ∶ 𝑋 → 𝐼 ასახვა შემდე-

გი წესით:

𝑝′(𝑥) = 𝑃�𝑔−1(𝑥)� = � 𝑝(𝜔)𝜔∈𝑔−1(𝑥)

, (5)

სადაც 𝑔−1(𝑥) არის Ω/𝑔~ ფაქტორსიმრავლის ელემენტი, ხოლო

𝑃|Ω/𝑔~�𝑔−1(𝑥)� = 𝑃�𝑔−1(𝑥)�.

რადგან Ω =∪ 𝑔−1(𝑥) და

𝑃(Ω) = 𝑃�∪ 𝑔−1(𝑥)� = �𝑃�𝑔−1(𝑥)�𝑥∈𝑋

= 1,

ამიტომ

𝑝′(𝑋) = �𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

= �𝑃�𝑔−1(𝑥)�𝑥∈𝑋

= 1. (6)

ამ 𝑝′ ∶ 𝑋 → 𝐼 ასახვას ეწოდება შემთხვევითი სიდიდის განაწილების კანონი.

მაგალითი 2.2. განვიხილოთ მაგალით 2.1-ში აგებული შემთხვევითი სიდიდე. რა იქნება მისი 𝑝′ ∶ 𝑋 → 𝐼 განაწილების კანონი? რადგან 𝑛(𝐴𝑖) = 𝑖, როცა 𝑖 = 1, 2, … ,6, ხოლო 𝑛(𝐴𝑖) = 12 −𝑖, როცა 𝑖 = 7, 8, … ,11, ამიტომ ამოცანა 1.3-ის თანახმად,


145

𝑃(𝐴𝑖) =𝑛(𝐴𝑖)𝑛(Ω) , 𝑖 = 1,2, … ,11

და

𝑝′(𝑥𝑖) = 𝑃�𝑔−1(𝑥𝑖)� = 𝑃(𝐴𝑖) =𝑛(𝐴𝑖)𝑛(Ω) , 𝑖 = 1,2, … ,11.

ჩავწეროთ მიღებული განაწილების კანონი შემდეგი ცხრილის სახით:

𝑋 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

𝑝′ 1

36

236

3

36

436

5

36

636

5

36

436

3

36

236

1

36

ცხადია, რომ

𝑝′(𝑋) = � 𝑝′(𝑥𝑖)𝑥𝑖∈𝑋

=1

36+

236

+3

36+

436

+5

36+

636

+5

36+

436

+3

36+

236

+1

36= 1.

მაგალითი 2.3. მაგალით 1.6-ში, Ω = {𝜔1,𝜔2 , … ,𝜔100}. 𝑝 ∶ Ω → 𝐼 ასახვა განსაზღვრულია 𝑝(𝜔𝑖) = 0,01, 𝑖 = 1,2, … ,100 ტოლობით. 𝐴 = {𝜔1}, 𝐵 = {𝜔2 ,𝜔3,𝜔4}, 𝐶 = {𝜔𝑖 ∈ Ω ∣∣ 𝑖 = 5,6, … ,19 }, 𝐷 = {𝜔𝑖 ∈ Ω ∣∣ 𝑖 = 20,21, … ,100 }. 𝑃(𝐴) = 0,01, 𝑃(𝐵) = 0,03, 𝑃(𝐶) = 0,15, 𝑃(𝐷) = 0,81.

ავაგოთ 𝑔 ∶ Ω → ℝ შემთხვევითი სიდიდე: 𝑔(𝜔1) = 100; 𝑔(𝜔2) = 50, 𝑔(𝜔3) = 50, 𝑔(𝜔4) =50, 𝑔(𝜔𝑖) = 10, 𝑖 = 5, … ,19; 𝑔(𝜔𝑖) = 0, 𝑖 = 20, … ,100. ე. ი. 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4} = {100, 50, 10, 0}.

განვსაზღვროთ განაწილების კანონი:

𝑝′(𝑥1) = 𝑃(𝐴) = 0,01, 𝑝′(𝑥2) = 𝑃(𝐵) = 0,03, 𝑝′(𝑥3) = 𝑃(𝐶) = 0,15, 𝑝′(𝑥4) = 𝑃(𝐷) = 0,81.

ცხადია, რომ 𝑝′(𝑋) = 1, რადგან

𝑝′(𝑋) = 𝑝′(𝑥1) + 𝑝′(𝑥2) + 𝑝′(𝑥3) + 𝑝′(𝑥4) = 0,01 + 0,03 + 0,15 + 0,81 = 1.

შესაბამისი ცხრილი იქნება:

𝑋 100 50 10 0

𝑝′ 0,01 0,03 0,15 0,81

მაგალითი 2.4. ვთქვათ, 𝑔 ∶ Ω → ℝ მუდმივი ფუნქციაა, 𝑔(𝜔) = 𝑐̅(𝜔) = 𝑐, 𝜔 ∈ Ω, Ω ∈ ℱ.

ცხადია, 𝑔−1(𝑐) = Ω, ამიტომ 𝑔 შემთხვევითი სიდიდეა. 𝑝′ ∶ Im 𝑐̅ = {𝑐} → 𝐼 ასახვა, განსაზღვრული 𝑝′(𝑐) = 1 ტოლობით, იქნება მისი განაწილების კანონი.

ვთქვათ, მოცემულია 𝑔 ∶ Ω → ℝ შემთხვევითი სიდიდე და მისი 𝑝′ ∶ 𝑔(Ω) = 𝑋 → 𝐼 განაწი-ლების კანონი. შეიძლება თუ არა 𝑔 და 𝑝′ ფუნქციების საშუალებით 𝑝 ∶ Ω → 𝐼 და 𝑃 ∶ ℱ → 𝐼 ასახვების აგება ისე, რომ (Ω,ℱ,𝑝,𝑃) იყოს ალბათობათა ველი?

პასუხი: კი. ვაჩვენოთ არსებობა, როცა Ω სასრული სიმრავლეა.

1) რადგან მოცემულია 𝑔 ∶ Ω → ℝ ფუნქცია, ამიტომ (იხ. თავი I, პუნქტი 3.1) Ω =∪ 𝐴𝑖 , სადაც 𝐴𝑖 ეკვივალენტობის კლასია 𝑔 ასახვის მიმართ: 𝜔,𝜔′ ∈ 𝐴𝑖 , თუ 𝑔(𝜔) = 𝑔(𝜔′).

2) თუ 𝑛(𝐴𝑖) = 𝑚𝑖 და 𝜔 ∈ 𝐴𝑖 , მაშინ 𝑝(𝜔) =𝑝′�𝑔(𝐴𝑖)�

𝑚𝑖=𝑝′(𝑥𝑖)𝑚𝑖

.


146

ამრიგად, გვაქვს 𝑝 ∶ Ω → 𝐼 ასახვა, განსაზღვრული 𝑝(𝜔) =𝑝′�𝑔(𝐴𝑖)�

𝑚𝑖=𝑝′(𝑥𝑖)𝑚𝑖


3) ვთქვათ, ℱ ⊂ 2Ω ქვესიმრავლის ელემენტებია 𝐴𝑖 ∈ Ω/𝑔~ ეკვივალენტობის კლასები და მათი სასრული გაერთიანებები. ავაგოთ 𝑃 ∶ ℱ → 𝐼 ასახვა შემდეგნაირად:

ა) 𝑃(𝐴𝑖) = 𝑝′�𝑔(𝐴𝑖)� = 𝑝′(𝑥𝑖);

ბ) 𝑃�𝐴𝑖 ∪ 𝐴𝑗� = 𝑝′�𝑔(𝐴𝑖)�+ 𝑝′ �𝑔�𝐴𝑗�� , 𝑖 ≠ 𝑗.

4) რადგან Ω =∪ 𝐴𝑖 და 𝑝′ განაწილების კანონია, ამიტომ

𝑃(Ω) = 𝑃(∪ 𝐴𝑖) = � 𝑝′�𝑔(𝐴𝑖)�𝐴𝑖∈Ω/𝑔~

= � 𝑝′(𝑥𝑖)𝑥𝑖∈𝑋

= 1.

ე. ი. (Ω,ℱ,𝑝,𝑃) ალბათობათა ველია.

ვთქვათ, მოცემულია (Ω,ℱ,𝑝,𝑃) ალბათობათა ველი და ℛ(Ω,ℝ) შემთხვევით სიდიდეთა სიმრავლე. განვსაზღვროთ ამ სიმრავლეზე 𝜔�1 = „ + “ შეკრების და 𝜔�2 = „ ∙ “ გამრავლების ალ-გებრული ოპერაციები.

ა) თუ 𝑔1 ,𝑔2 ∈ ℛ(Ω,ℝ), მაშინ შეკრების ოპერაცია განვსაზღვროთ შემდეგნაირად:

(𝑔1 + 𝑔2)(𝜔) = 𝑔1(𝜔) + 𝑔2(𝜔), 𝜔 ∈ Ω (იხ. თავი I, მაგალითი 4.4).

ვაჩვენოთ, რომ 𝑔1 + 𝑔2 შემთხვევითი სიდიდეა. ამისათვის უნდა ვაჩვენოთ, რომ თუ 𝑧 ∈ Im (𝑔1 + 𝑔2) = 𝑍, მაშინ (𝑔1 + 𝑔2)−1(𝑧) ∈ ℱ. ვთქვათ, 𝑋 = Im 𝑔1 , 𝑌 = Im 𝑔2. შეკრების ოპერაცი-ის განსაზღვრის თანახმად,

(𝑔1 + 𝑔2)−1(𝑧) = � �𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌𝑥+𝑦=𝑧

.

რადგან 𝑔1 და 𝑔2 შემთხვევითი სიდიდეებია, განსაზღვრის თანახმად, 𝑔1−1(𝑥), 𝑔2−1(𝑦) ∈ℱ, ხოლო რადგან ℱ სიმრავლე ჩაკეტილია თანაკვეთის და გაერთიანების ოპერაციების მიმართ (იხ. §1, დასაწყისი), ამიტომ (𝑔1 + 𝑔2)−1(𝑧) ∈ ℱ.

ამრიგად, 𝑔1 + 𝑔2 შემთხვევითი სიდიდეა და შეკრების ოპერაცია კორექტულად არის გან-საზღვრული.

ავაგოთ 𝑔1 + 𝑔2 შემთხვევითი სიდიდის 𝑝′ ∶ Im (𝑔1 + 𝑔2) = 𝑍 → 𝐼 განაწილების კანონი შემდეგი წესით:

თუ 𝑧 ∈ 𝑍, მაშინ 𝑔1 + 𝑔2 შემთხვევითი სიდიდის განსაზღვრის თანახმად, არსებობს 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 რიცხვები ისეთი, რომ 𝑧 = 𝑥 + 𝑦. განვსაზღვროთ 𝑝′ ფუნქცია შემდეგი ტოლობით:

𝑝′(𝑧) = � 𝑝′(𝑥 + 𝑦)𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌𝑥+𝑦=𝑧

= � 𝑃�𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌𝑥+𝑦=𝑧

= � � 𝑝(𝜔)𝜔∈𝑔1−1(𝑥)∩𝑔2−1(𝑦)𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌

𝑥+𝑦=𝑧

. (7)

რადგან ⋃ �𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋𝑦∈𝑌

= Ω და

𝑃(Ω) = 𝑃��𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋𝑦∈𝑌

� = �𝑃�𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋𝑦∈𝑌

= 1,


147

ამიტომ

𝑝′(𝑍) = �𝑝′(𝑧)𝑧∈𝑍

= �𝑃�𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋𝑦∈𝑌

= 1.

ბ) თუ 𝑔1 ,𝑔2 ∈ ℛ(Ω,ℝ), მაშინ გამრავლების ოპერაცია განვსაზღვროთ შემდეგნაირად:

(𝑔1𝑔2)(𝜔) = 𝑔1(𝜔) ∙ 𝑔2(𝜔), 𝜔 ∈ Ω. (იხ. თავი I, მაგალითი 4.4).

ზუსტად ისევე, როგორც შეკრების ოპერაციის შემთხვევაში, ვადგენთ, რომ 𝑔1𝑔2 შემ-თხვევითი სიდიდეა და გამრავლების ოპერაცია კორექტულად არის განსაზღვრული.

ავაგოთ 𝑔1𝑔2 შემთხვევითი სიდიდის 𝑝′ ∶ Im (𝑔1𝑔2) = 𝑍 → 𝐼 განაწილების კანონი შემ-დეგი წესით:

თუ 𝑧 ∈ 𝑍, მაშინ 𝑔1𝑔2 შემთხვევითი სიდიდის განსაზღვრის თანახმად, არსებობს 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 რიცხვები ისეთი, რომ 𝑧 = 𝑥𝑦. განვსაზღვროთ 𝑝′ ფუნქცია შემდეგი ტოლობით:

𝑝′(𝑧) = � 𝑝′(𝑥𝑦)𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌𝑥𝑦=𝑧

= � 𝑃�𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌𝑥𝑦=𝑧

= � � 𝑝(𝜔)𝜔∈𝑔1−1(𝑥)∩𝑔2−1(𝑦)𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌

𝑥𝑦=𝑧

. (8)

ისევე, როგორც შეკრების დროს, 𝑝′ ამ შემთხვევაშიც განაწილების ფუნქციაა.

ვთქვათ, მოცემულია (Ω,ℱ,𝑝,𝑃) ალბათობათა ველი და ორი 𝑔1 ∶ Ω → ℝ, 𝑔2 ∶ Ω → ℝ შე-მთხვევითი სიდიდე. 𝑔1 და 𝑔2 შემთხვევით სიდიდეებს ეწოდება დამოუკიდებელი, თუ ნების-მიერი (𝑥,𝑦) წყვილისათვის, სადაც 𝑥 ∈ Im 𝑔1 = 𝑋 და 𝑦 ∈ Im 𝑔2 = 𝑌, გვაქვს:

𝑃 �𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)� = 𝑃�𝑔1−1(𝑥)�𝑃 �𝑔2−1(𝑦)�. (9)

მაგალითი 2.5. ვთქვათ, 𝑔1 ∶ Ω → ℝ მუდმივი ფუნქციაა 𝑔1(𝜔) = 𝑐̅(𝜔) = 𝑐, 𝜔 ∈ Ω, ხოლო 𝑔2 ∶ Ω → ℝ ნებისმიერი შემთხვევითი სიდიდეა. მაშინ 𝑔1 და 𝑔2 დამოუკიდებელი შემთხვევითი სიდიდეებია. მაგალით 2.4-ის თანახმად, 𝑔1 შემთხვევითი სიდიდეა, Im 𝑔1 = {𝑐}, 𝑔1−1(𝑐) = Ω. ამიტომ ნებისმიერი (𝑥,𝑦) წყვილისათვის, სადაც 𝑥 ∈ Im 𝑔1 და 𝑦 ∈ Im 𝑔2 = 𝑌, გვაქვს:

𝑃 �𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)� = 𝑃 �𝑔1−1(𝑐) ∩ 𝑔2−1(𝑦)� = 𝑃 �Ω ∩ 𝑔2−1(𝑦)� = 𝑃 �𝑔2−1(𝑦)�

= 1 ∙ 𝑃 �𝑔2−1(𝑦)� = 𝑃(Ω) ∙ 𝑃 �𝑔2−1(𝑦)� = 𝑃�𝑔1−1(𝑐)� ∙ 𝑃 �𝑔2−1(𝑦)�

= 𝑃�𝑔1−1(𝑥)�𝑃 �𝑔2−1(𝑦)�,

ამიტომ, განსაზღვრის თანახმად, 𝑔1 და 𝑔2 დამოუკიდებელი შემთხვევითი სიდიდეებია.

ვთქვათ, მოცემულია 𝑔 ∶ Ω → ℝ შემთხვევითი სიდიდე და მისი 𝑝′ ∶ 𝑔(Ω) = 𝑋 → 𝐼 განაწი-ლების კანონი. ჩვენ შეგვიძლია ამ (𝑔,𝑝′) წყვილს ცალსახად შევუსაბამოთ რიცხვი:

𝑀(𝑔,𝑝′) = �𝑥 ∙ 𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

. (10)

ამ რიცხვს ეწოდება 𝑔 შემთხვევითი სიდიდის მათემატიკური ლოდინი.

მათემატიკური ლოდინის თვისებები:

1) ვთქვათ, 𝑔 ∶ Ω → ℝ მუდმივი ფუნქციაა, 𝑔(𝜔) = 𝑐̅(𝜔) = 𝑐, 𝜔 ∈ Ω და 𝑝′ ∶ Im 𝑐̅ = {𝑐} → 𝐼 ასახვა განსაზღვრული 𝑝′(𝑐) = 1 ტოლობით არის განაწილების კანონი. მაშინ გვაქვს შემდეგი ტოლობა: 𝑀(𝑐̅,𝑝′) = 𝑐. მართლაც, 𝑀(𝑐̅,𝑝′) = 𝑐𝑝′(𝑐) = 𝑐 ⋅ 1 = 𝑐.


148

2) ვთქვათ, მოცემულია ორი (𝑔1 ,𝑝1′ ) და (𝑔2 ,𝑝2′ ) წყვილი, სადაც თითოეული წარმოად-გენს შემთხვევით სიდიდეს და შესაბამის განაწილების კანონს. თუ 𝑔1 და 𝑔2 დამოუკიდებელი შემთხვევითი სიდიდეებია, მაშინ

𝑀(𝑔1𝑔2 ,𝑝′) = 𝑀(𝑔1 ,𝑝1′ )𝑀(𝑔2 ,𝑝2′ ).

ვთქვათ, Im 𝑔1 = 𝑋, Im 𝑔2 = 𝑌, Im 𝑔1𝑔2 = 𝑍. შემთხვევითი სიდიდეების ნამრავლის განსაზღვრი-სა და (5), (8) − (10) ტოლობების გამოყენებით, გვაქვს:

𝑀(𝑔1𝑔2,𝑝′) = �𝑧𝑝′(𝑧)𝑧∈𝑍

= � � 𝑥𝑦𝑃 �𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌𝑥𝑦=𝑧

𝑧∈𝑍

= �𝑥𝑦𝑃 �𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋𝑦∈𝑌

= �𝑥𝑦𝑃�𝑔1−1(𝑥)�𝑃 �𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋𝑦∈𝑌

= �𝑥𝑃�𝑔1−1(𝑥)�𝑥∈𝑋

∙� 𝑦𝑃 �𝑔2−1(𝑦)�𝑦∈𝑌

= �𝑥𝑝1′ (𝑥)𝑥∈𝑋

∙ � 𝑦𝑝2′ (𝑦)𝑦∈𝑌

= 𝑀(𝑔1 ,𝑝1′ )𝑀(𝑔2 ,𝑝2′ ).

შედეგი. 2.1. ვთქვათ, მოცემულია 𝑔1 ∶ Ω → ℝ მუდმივი ფუნქცია 𝑔1(𝜔) = 𝑐̅(𝜔) = 𝑐, 𝜔 ∈Ω, 𝑝1′ (𝑐) = 1− მისი განაწილების კანონია და (𝑔,𝑝′) წყვილი, სადაც 𝑔 შემთხვევითი სიდიდეა, ხოლო 𝑝′ − მისი განაწილების კანონი. მაშინ 𝑔1𝑔 = 𝑐̅𝑔 = 𝑐𝑔 ნამრავლი შემთხვევითი სიდიდეა. ვთქვათ, მისი განაწილების კანონია 𝑝′′. მაშინ

𝑀(𝑐𝑔,𝑝′′) = 𝑐𝑀(𝑔,𝑝′).

მაგალით 2.5-ის თანახმად, 𝑔1 და 𝑔 დამოუკიდებელი შემთხვევითი სიდიდეებია, ამი-ტომ მათემატიკური ლოდინის 2) და 1) თვისებების გამოყენებით, გვაქვს:

𝑀(𝑐𝑔,𝑝′′) = 𝑀(𝑔1 ,𝑝1′ )𝑀(𝑔,𝑝′) = 𝑐𝑀(𝑔,𝑝′).

3) ვთქვათ, მოცემულია ორი (𝑔1 ,𝑝1′ ) და (𝑔2 ,𝑝2′ ) წყვილი, სადაც თითოეული წარმოად-გენს შემთხვევით სიდიდეს და შესაბამის განაწილების კანონს. ვაჩვენოთ, რომ მართებულია შემდეგი ტოლობა:

𝑀(𝑔1 + 𝑔2 ,𝑝′) = 𝑀(𝑔1 ,𝑝1′ ) + 𝑀(𝑔2, 𝑝2′ ).

ვთქვათ, Im 𝑔1 = 𝑋, Im 𝑔2 = 𝑌, Im (𝑔1 + 𝑔2) = 𝑍. შემთხვევითი სიდიდეების ჯამის განსაზღვრი-სა და (5), (7), (10) ტოლობების გამოყენებით, გვაქვს:

𝑀(𝑔1 + 𝑔2 ,𝑝′) = �𝑧𝑝′(𝑧)𝑧∈𝑍

= � � (𝑥 + 𝑦)𝑃 �𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑌𝑥+𝑦=𝑧

𝑧∈𝑍

= �(𝑥 + 𝑦)𝑃�𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋𝑦∈𝑌

= �𝑥𝑥∈𝑋

∙�𝑃 �𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑦∈𝑌

+ �𝑦𝑦∈𝑌

∙ �𝑃 �𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋

.

თუ გამოვიყენებთ სრული ალბათობის ფორმულას (იხ. (4)), მივიღებთ:

�𝑃�𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑦∈𝑌

= 𝑃�𝑔1−1(𝑥)� და �𝑃�𝑔1−1(𝑥) ∩ 𝑔2−1(𝑦)�𝑥∈𝑋

= 𝑃 �𝑔2−1(𝑦)�,


149

ამიტომ

𝑀(𝑔1 + 𝑔2 ,𝑝′) = �𝑥𝑃�𝑔1−1(𝑥)�𝑥∈𝑋

+ �𝑦𝑃�𝑔2−1(𝑦)�𝑦∈𝑌

= �𝑥𝑝1′ (𝑥)𝑥∈𝑋

+ �𝑦𝑝2′ (𝑦)𝑦∈𝑌

= 𝑀(𝑔1,𝑝1′ ) +𝑀(𝑔2 ,𝑝2′ ).

მაგალითი 2.5. გამოვიყენოთ მაგალით 2.2-ის მონაცემები. გვაქვს 𝑝′ ∶ 𝑋 → 𝐼 განაწილების კანონი, განსაზღვრული შემდეგი წესით:

ა) 𝑝′(𝑥𝑖) =𝑛(𝐴𝑖)𝑛(Ω) =

𝑖36

, 𝑖 = 1, … 6;

ბ) 𝑝′(𝑥𝑖) =𝑛(𝐴𝑖)𝑛(Ω) =

12 − 𝑖36

, 𝑖 = 7, … 11.

ამიტომ

𝑀(𝑔,𝑝′) = � 𝑥𝑖𝑝′(𝑥𝑖)𝑥𝑖∈𝑋

= �(𝑖 + 1) ∙6

𝑖=1

𝑖36

+�(𝑖 + 1) ∙11

𝑖=7

12 − 𝑖36

= 2 ∙1

36+ 3 ∙

236

+ 4 ∙3

36

+5 ∙4

36+ 6 ∙

536

+ 7 ∙6

36+ 8 ∙

536

+ 9 ∙4

36+ 10 ∙

336

+ 11 ∙2

36+ 12 ∙

136

= 7.

განვიხილოთ (𝑔,𝑝′) წყვილი, სადაც 𝑔 შემთხვევითი სიდიდეა, ხოლო 𝑝′ − მისი განაწილების კანონი. ჩვენ განვსაზღვრეთ 𝑀(𝑔, 𝑝′) მათემატიკური ლოდინი (10) ტოლობით. ვთქვათ, 𝑚� ∶ Ω →ℝ არის მუდმივი ასახვა, 𝑚�(𝜔) = 𝑀(𝑔,𝑝′).

𝑔 −𝑚� ∶ Ω → ℝ ასახვას განსაზღვრულს (𝑔 −𝑚�)(𝜔) = 𝑔(𝜔) −𝑀(𝑔,𝑝′) ტოლობით, ეწოდე-ბა შემთხვევითი სიდიდის გადახრა. შემთხვევითი სიდიდის გადახრა ასევე შემთხვევითი სიდი-დეა.

ავაგოთ �̅�′ ∶ Im (𝑔 − 𝑚�) → 𝐼 ასახვა შემდეგი წესით: �̅�′�(𝑔 − 𝑚�)(𝜔)� = 𝑝′�𝑔(𝜔)�. მაშინ �̅�′ ასახვა იქნება შემთხვევითი სიდიდის გადახრის განაწილების კანონი.

მართებულია ტოლობა: 𝑀(𝑔 − 𝑚� , �̅�′) = 0. მართლაც,

𝑀(𝑔 − 𝑚� , �̅�′) = ��𝑥 −𝑀(𝑔,𝑝′)��̅�′�𝑥 −𝑀(𝑔,𝑝′)�𝑥∈𝑋

= ��𝑥 −𝑀(𝑔,𝑝′)�𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

= ��𝑥𝑝′(𝑥𝑖)−𝑀(𝑔, 𝑝′)𝑝′(𝑥)�𝑥∈𝑋

= �𝑥𝑝′(𝑥) −𝑥∈𝑋

�𝑀(𝑔,𝑝′)𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

= 𝑀(𝑔,𝑝′)−𝑀(𝑔,𝑝′)�𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

= 𝑀(𝑔,𝑝′) −𝑀(𝑔,𝑝′) ∙ 1 = 0. (11)

ვთქვათ, მოცემულია (𝑔,𝑝′) წყვილი, სადაც 𝑔 შემთხვევითი სიდიდეა, ხოლო 𝑝′ − მისი განაწილების კანონი. რადგან 𝑀(𝑔,𝑝′) მათემატიკური ლოდინი არის ნამდვილი რიცხვი, ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ: 𝑀(𝑔,𝑝′) = 𝑚.

განვიხილოთ 𝑔 შემთხვევითი სიდიდე და 𝑚� მუდმივი ასახვა, 𝑚�(𝜔) = 𝑚. მაშინ 𝜔�1 და 𝜔�2 ოპერაციების საშუალებით, ჩვენ შეგვიძლია ავაგოთ (𝑔 −𝑚�) ∙ (𝑔 − 𝑚�) = (𝑔 −𝑚�)2 ∶ Ω → ℝ შე-მთხვევითი სიდიდე. ვთქვათ, 𝑋� = Im (𝑔 −𝑚�)2 ამ ფუნქციის ანასახია. განვსაზღვროთ �̿�′ ∶ 𝑋� →𝐼 განაწილების კანონი შემდეგი ტოლობით: �̿�′(�̅�) = 𝑝′(𝑥), სადაც 𝑥 = 𝑔(𝜔), ხოლო


150

�̅� = (𝑔 − 𝑚�)2(𝜔) = �𝑔(𝜔) −𝑚�(𝜔)�2 = (𝑥 − 𝑚)2.

მაშინ შეგვიძლია ((𝑔 −𝑚�)2, �̿�′) წყვილისათვის განვსაზღვროთ 𝑀((𝑔 −𝑚�)2, �̿�′) მათემა-ტიკური ლოდინი. ამ რიცხვს ეწოდება 𝑔 შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია და 𝐷(𝑔,𝑝′) სიმბო-ლოთი აღინიშნება. ე. ი.

𝐷(𝑔,𝑝′) = 𝑀((𝑔 −𝑚�)2, �̿�′) = ��̅��̿�′(�̅�)𝑥∈𝑋

= �(𝑥 − 𝑚)2𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

, (12)

სადაც 𝑚 = 𝑀(𝑔,𝑝′).

დისპერსიის თვისებები:

1) ვთქვათ, 𝑔 ∶ Ω → ℝ შემთხვევითი სიდიდეა, ხოლო 𝑝′ − მისი განაწილების კანონი. გან-ვიხილოთ 𝑔2 = 𝑔 ∙ 𝑔 ∶ Ω → ℝ ასახვა. მაშინ, ℛ(Ω,ℝ) სიმრავლეში გამრავლების ოპერაციის გან-საზღვრის თანახმად Im 𝑔2 = 𝑍 = { 𝑧 ∣∣ 𝑧 = 𝑥2 , 𝑥 ∈ 𝑋 }, ხოლო მისი 𝑝′′ ∶ 𝑍 → 𝐼 განაწილების კანო-ნისათვის (8)-ის გათვალისწინებით, გვექნება:

𝑝′′(𝑧) = 𝑝′′(𝑥2) = 𝑃�𝑔−1(𝑥) ∩ 𝑔−1(𝑥)� = 𝑃�𝑔−1(𝑥)� = 𝑝′(𝑥).

ვაჩვენოთ, რომ მართებულია შემდეგი ტოლობა:

𝐷(𝑔,𝑝′) = 𝑀(𝑔2,𝑝′′)−𝑀2(𝑔,𝑝′). (13)

მართლაც, (10), (12) და (6) ტოლობების გათვალისწინებით, გვექნება:

𝐷(𝑔,𝑝′) = 𝑀((𝑔 − 𝑚�)2, �̿�′) = ��̅��̿�′(�̅�)𝑥∈𝑋

= �(𝑥 −𝑚)2𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

= �(𝑥2 − 2𝑥𝑚 +𝑚2)𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

= �𝑥2𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

− 2𝑚�𝑥𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

+𝑚2�𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

= 𝑀(𝑔2,𝑝′′)− 2𝑀2(𝑔,𝑝′) +𝑀2(𝑔,𝑝′) ∙ 1 = 𝑀(𝑔2,𝑝′′)−𝑀2(𝑔,𝑝′).

მაგალითი 2.6. 𝑔 ∶ Ω → ℝ შემთხვევითი სიდიდე და მისი 𝑝′ ∶ 𝑋 → 𝐼 განაწილების კანონი მოცემულია შემდეგი ცხრილით:

𝑋 −2 1 2

𝑝′ 0,1 0,6 0,3

ვიპოვოთ დისპერსია.

ჯერ ვიპოვოთ 𝑔2 ∶ Ω → ℝ შემთხვევითი სიდიდე და მისი 𝑝′′ ∶ 𝑋 → 𝐼 განაწილების კანო-ნი. განსაზღვრიდან გამომდინარე, გვექნება შემდეგი ცხრილი:

𝑍 4 1 4

𝑝′′ 0,1 0,6 0,3

(10) ფორმულის გამოყენებით, შეგვიძლია დავწეროთ:

𝑀(𝑔,𝑝′) = −2 ∙ 0,1 + 1 ∙ 0,6 + 2 ∙ 0,3 = 1; 𝑀(𝑔2,𝑝′′) = 4 ∙ 0,1 + 1 ∙ 0,6 + 4 ∙ 0,3 = 2,2.

ახლა გამოვიყენოთ (13) ფორმულა:


151

𝐷(𝑔,𝑝′) = 𝑀(𝑔2,𝑝′′)−𝑀2(𝑔,𝑝′) = 2,2− 12 = 1,2.

2) ვთქვათ, 𝑔 ∶ Ω → ℝ შემთხვევითი სიდიდე არის მუდმივი ასახვა 𝑔(𝜔) = 𝑐̅(𝜔) = 𝑐. მა-შინ მისი განაწილების კანონი იქნება 𝑝′ ∶ Im 𝑔 = Im 𝑐̅ = {𝑐} → 𝐼 ასახვა, 𝑝′(𝑐) = 1, ხოლო მათემა-ტიკური ლოდინის 1) თვისების თანახმად, 𝑀( 𝑐̅,𝑝′) = 𝑐. მაშინ (12)-ის თანახმად, გვექნება:

𝐷(𝑐̅,𝑝′) = 𝑀((𝑐̅ − 𝑚�)2, �̿�′) = 0,

რადგან 𝑚� = 𝑐̅.

3) ვთქვათ, მოცემულია (𝑔,𝑝′) წყვილი, სადაც 𝑔 შემთხვევითი სიდიდეა, ხოლო 𝑝′ − მისი განაწილების კანონი. განვიხილოთ 𝑐𝑔 ∶ Ω → ℝ, 𝑐 ∈ ℝ ასახვა, განსაზღვრული შემდეგი ტოლო-ბით: (𝑐𝑔)(𝜔) = 𝑐 ∙ 𝑔(𝜔). ცხადია, 𝑐𝑔 შემთხვევითი სიდიდეა. 𝑝′′ ∶ 𝑐 Im 𝑔 → 𝐼 განაწილების კა-ნონი განვსაზღვროთ 𝑝′′�(𝑐𝑔)(𝜔)� = 𝑝′(𝜔) ტოლობით. მაშინ შედეგი 2.1-ის თანახმად, გვაქვს: 𝑀(𝑐𝑔,𝑝′′) = 𝑐𝑀(𝑔,𝑝′). განვიხილოთ 𝐷(𝑐𝑔,𝑝′′) დისპერსია. (12)-ის თანახმად, გვექნება:

𝐷(𝑐𝑔,𝑝′′) = 𝑀((𝑐𝑔 − 𝑐𝑚�)2, �̿�′′) = 𝑀(𝑐2(𝑔 − 𝑚�)2, �̿�′′)

= 𝑐2𝑀((𝑔 −𝑚�)2, �̿�′) = 𝑐2𝐷(𝑔,𝑝′).

4) ვთქვათ, მოცემულია ორი (𝑔1 ,𝑝1′ ) და (𝑔2 ,𝑝2′ ) წყვილი, სადაც თითოეული წარმოად-გენს შემთხვევით სიდიდეს და შესაბამის განაწილების კანონს, 𝑋 = Im 𝑔1, 𝑌 = Im 𝑔2. განვიხი-ლოთ ორი (𝑋�,𝑝1′′) და (𝑌� ,𝑝2′′) წყვილი, სადაც 𝑋� = Im (𝑔1 − 𝑚�1)2, 𝑌� = Im (𝑔2 −𝑚�2)2; 𝑚�1(𝜔) =𝑀(𝑔1 ,𝑝1′ ), 𝑚�2(𝜔) = 𝑀(𝑔2,𝑝2′ ) − მუდმივი ასახვებია, ხოლო 𝑝1′′(�̅�) = 𝑝1′ (𝑥), 𝑝2′′(𝑦�) = 𝑝1′ (𝑦), �̅� ∈𝑋�, 𝑦� ∈ 𝑌� , �̅� = (𝑔1 − 𝑚�1)2(𝜔), 𝑦� = (𝑔2 −𝑚�2)2(𝜔′). ვთქვათ, 𝑔1 + 𝑔2 შემთხვევითი სიდიდის განა-წილების კანონია 𝑝′. ვაჩვენოთ, რომ თუ 𝑔1 და 𝑔2 შემთხვევითი სიდიდეები დამოუკიდებელია, მაშინ მართებულია შემდეგი ტოლობა:

𝐷(𝑔1 + 𝑔2,𝑝′) = 𝐷(𝑔1,𝑝1′ ) + 𝐷(𝑔2 ,𝑝2′ ).

თუ 𝑔1 და 𝑔2 შემთხვევითი სიდიდეები დამოუკიდებელია, მაშინ ასევე დამოუკიდებელია შე-მთხვევითი სიდიდეები 𝑔1 −𝑚�1 და 𝑔2 − 𝑚�2. (12)-ის, მათემატიკური ლოდინის 3) და 2) თვი-სებების გათვალისწინებით, გვექნება:

𝐷(𝑔1 + 𝑔2 ,𝑝′) = 𝑀��(𝑔1 + 𝑔2) − (𝑚�1 +𝑚�2)�2, �̿�′� = 𝑀��(𝑔1 −𝑚�1) + (𝑔2 − 𝑚�2)�2, �̿�′�

= 𝑀�((𝑔1 −𝑚�1)2 + 2(𝑔1 −𝑚�1)(𝑔2 −𝑚�2) + (𝑔2 − 𝑚�2)2), �̿�′�

= 𝑀((𝑔1 − 𝑚�1)2,𝑝1′′) + 2𝑀�(𝑔1 − 𝑚�1), �̅�1′ �𝑀�(𝑔2 −𝑚�2), �̅�2′ �+𝑀((𝑔2 − 𝑚�2)2,𝑝2′′).

თუ გავითვალისწინებთ შემთხვევითი სიდიდის გადახრის თვისებას (იხ. (11)), მივიღებთ, რომ

𝑀�(𝑔1 −𝑚�1), �̅�1′ � = 𝑀�(𝑔2 −𝑚�2), �̅�2′ � = 0, ამიტომ

𝐷(𝑔1 + 𝑔2 ,𝑝′) = 𝑀((𝑔1 −𝑚�1)2, �̿�1′ ) + 𝑀((𝑔2 −𝑚�2)2, �̿�2′ ) = 𝐷(𝑔1 ,𝑝1′ ) + 𝐷(𝑔2 ,𝑝2′ ).

შედეგი 2.2. 𝐷(𝑐̅ + 𝑔,𝑝′) = 𝐷(𝑔,𝑝2′ ).

შედეგი 2.3. 𝐷(𝑔1 − 𝑔2 ,𝑝′) = 𝐷(𝑔1 ,𝑝1′ ) + 𝐷(𝑔2,𝑝2′ ).

შემთხვევითი სიდიდის მათემატიკური ლოდინი მიახლოებით შემთხვევითი სიდიდის შესაძლო მნიშვნელობათა საშუალო არითმეტიკულის ტოლია. ვთქვათ, 𝑔 შემთხვევითი სიდი-დე ღებულობს იმ რიცხვით მნიშვნელობებს, რომლებიც მიიღება კამათლის გაგორებისას მის ზედა წახნაგზე. ცხადია, გვექნება შემდეგი ცხრილი:


152

𝑋 1 2 3 4 5 6

𝑝′ 16

16

16

16

16

16

მაშინ

𝑀(𝑔,𝑝′) = �𝑥𝑝′(𝑥)𝑥∈𝑋

= �𝑘 ∙6

𝑘=1

16

=16

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5.

ეს იმაზე მიგვითითებს, რომ კამათლის ერთჯერ გაგორებისას მის ზედა წახნაგზე საშუალოდ 3,5 ქულაა მოსალოდნელი.

მათემატიკური ლოდინი არ წარმოადგენს შემთხვევითი სიდიდის სრულყოფილ მახასია-თებელს. სახელდობრ, იგი არ გამოდგება შემთხვევითი სიდიდის შესაძლო მნიშვნელობების და მათი მათემატიკური ლოდინიდან გადახრის მახასიათებლად. მაგალითისათვის, განვიხილოთ 𝑔1 და 𝑔2 შემთხვევითი სიდიდეები, რომლებიც მოცემულია, შესაბამისად, შემდეგი ცხრილებით:

𝑋 −0,001 0,001 𝑌 −10000 10000

𝑝1′ 0,5 0,5 𝑝2′ 0,5 0,5

იოლი შესამოწმებელია, რომ 𝑀(𝑔1 ,𝑝1′ ) = 𝑀(𝑔2, 𝑝2′ ) = 0, ამასთან 𝑔1 მცირედაა გადახრილი

ნულიდან, 𝑔2-ის გადახრა კი საკმარისად დიდია.

ასევე იოლი შესამოწმებელია, რომ 𝐷(𝑔1,𝑝1′ ) = 10−6, 𝐷(𝑔2 ,𝑝2′ ) = 108 . ამბობენ, რომ დის-პერსია არის შემთხვევითი სიდიდის მნიშვნელობათა, მისი მათემატიკური ლოდინის მიმართ გაბნევის მახასიათებელი. თუ დისპერსია მცირეა, ეს იმის მაჩვენებელია, რომ შემთხვევით სი-დიდეს გააჩნია ისეთი მნიშვნელობების მიღების ტენდენცია, რომლებიც ახლოს არიან მის მათე-მატიკურ ლოდინთან. თუ დისპერსია უდრის ნულს, ეს იმას ნიშნავს, რომ შემთხვევითი სიდი-დე 1-ის ტოლი ალბათობით ღებულობს გარკვეულ მნიშვნელობას (რომელიც, ცხადია მისი მა-თემატიკური ლოდინის ტოლია). თუ დისპერსიის მნიშვნელობა დიდია, ეს იმის მაჩვენებელია, რომ შემთხვევითი სიდიდის მიერ მიღებულ მნიშვნელობათა გაბნევა მისი მათემატიკური ლო-დინისაგან დიდია, ე. ი. ასეთი შემთხვევითი სიდიდის მიერ მისი მათემატიკური ლოდინისაგან არსებითად განსხვავებულ მნიშვნელობათა მიღების ალბათობა მცირე არ არის.

153

სავარჯიშოები VI თავისათვის

𝟏.𝟏. ყუთში 6 წითელი და 15 ლურჯი ბურთულაა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ (ყუთში ჩაუ-ხედავად) ამოღებული ერთი ბურთულა

ა) იქნება წითელი; ბ) იქნება ლურჯი; გ) არ იქნება ლურჯი.

𝟏.𝟐. კრებას ესწრება 14 კაცი და 7 ქალი. ირჩევენ კრების თავმჯდომარეს. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ამ თანამდებობაზე არჩეული

ა) იქნება ქალი; ბ) იქნება კაცი; გ) არ იქნება ქალი.

𝟏.𝟑. კამათელს ერთხელ აგორებენ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ

ა) მოვა 5; ბ) მოვა ლუწი რიცხვი; გ) მოვა კენტი რიცხვი; დ) მოვა 4-ზე ნაკლები რიცხვი;

ე) მოვა 10-ის გამყოფი; ვ) მოვა 3-ის ჯერადი.

𝟏.𝟒. მოცეკვავეთა 6 წყვილიდან, რომელთაც მინიჭებული აქვთ ერთი ნომერი 1-დან 6-მდე, თითოეულს კენჭისყრით იწვევენ საკონკურსო გამოსვლაზე. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ

ა) პირველად გამოიწვევენ N4 წყვილს; ბ) მეოთხედ გამოიწვევენ N1 წყვილს;

გ) პირველად გამოიწვევენ ან N2 ან N6 წყვილს;

დ) პირველად გამოიწვევენ წყვილს, რომლის ნომერი 2-ის ჯერადია.

ე) პირველად გამოიწვევენ წყვილს, რომლის ნომერი 15-ის გამყოფია;

ვ) პირველად გამოიწვევენ წყვილს, რომლის ნომერი მარტივი რიცხვია.

𝟏.𝟓. ყუთში 8 შავი და 10 წითელი ბურთულაა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ (ყუთში ჩაუხე-დავად) ამოღებული ორი ბურთულიდან

ა) ორივე შავია; ბ) ორივე წითელია; გ) ერთი შავი და ერთი წითელია; დ) ორივე ერთი ფე-რისაა.

𝟏.𝟔. სტუდენტთა ჯგუფიდან, რომელიც 15 ბიჭისა და 12 გოგოსგან შედგება, უნდა აირჩიონ 2 დელეგატი კონფერენციისათვის. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ არჩეული იქნება

ა) ორივე ბიჭი; ბ) ორივე გოგო; გ) ერთი ბიჭი და ერთი გოგო; დ) ორივე ბიჭი ან ორივე გოგო.

𝟏.𝟕. ყუთში 12 წითელი და 8 თეთრი ბურთულაა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ (ყუთში ჩაუ-ხედავად) ამოღებული სამი ბურთულიდან

ა) სამივე წითელია; ბ) სამივე თეთრია; გ) ერთი წითელი და ორი თეთრია; დ) სამივე ერთი ფერისაა.

𝟏.𝟖. 9 ინგლისელისა და 11 გერმანელისაგან შეადგინეს ყველა შესაძლო სამკაციანი ჯგუფი. იპო-ვეთ ალბათობა იმისა, რომ არჩეულ ჯგუფში იქნება

ა) სამი ინგლისელი; ბ) სამი გერმანელი; გ) ერთი ინგლისელი და ორი გერმანელი; დ) სამივე ინგლისელი ან სამივე გერმანელი.

𝟏.𝟗. ყუთში 9 ყვითელი, 8 ლურჯი და 7 თეთრი ბურთულაა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ (ყუთში ჩაუხედავად)


154

ა) ამოღებული ორი ბურთულიდან ორივე იქნება ყვითელი; ბ) ამოღებული ორი ბურთული-დან ერთი იქნება ლურჯი და ერთი თეთრი; გ) ამოღებული ორი ბურთულიდან ორივე იქნება ერთი ფერის; დ) ამოღებული ორი ბურთულიდან არცერთი არ იქნება თეთრი; ე) ამოღებული სამი ბურთულიდან სამივე იქნება ლურჯი; ვ) ამოღებული სამი ბურთულიდან სამივე იქნება ერთი ფერის; ზ) ამოღებული სამი ბურთულიდან ყველა იქნება სხვადასხვა ფერის; თ) ამოღე-ბული სამი ბურთულიდან ერთი იქნება ლურჯი და ორი თეთრი.

𝟏.𝟏𝟎. 12 მათემატიკოსის, 8 ფიზიკოსის და 5 ფილოლოგისაგან ადგენენ სხვადასხვა სახის სა-გამოცდო ჯგუფებს. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ

ა) შერჩეული ორიდან ორივე ფილოლოგია; ბ) შერჩეული ორიდან ერთი იქნება მათემატიკოსი და ერთი ფიზიკოსი; გ) შერჩეული ორიდან ორივე იქნება ერთი სპეციალობის; დ) შერჩეული ორიდან არცერთი არ იქნება ფიზიკოსი; ე) შერჩეული სამიდან სამივე იქნება მათემატიკოსი; ვ) შერჩეული სამიდან სამივე იქნება ერთი სპეციალობის; ზ) შერჩეული სამიდან სამივე იქნება სხვადასხვა სპეციალობის; თ) შერჩეული სამიდან ერთი იქნება მათემატიკოსი და ორი ფილო-ლოგი.

𝟏.𝟏𝟏. ორ კამათელს აგორებენ ერთჯერ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ

ა) მოვა ორი ხუთიანი; ბ) მოვა ერთნაირი რიცხვები; გ) მოვა ერთი მაინც ოთხიანი; დ) მოვა ორივე კენტი რიცხვი; ე) მოვა ორივე ლუწი რიცხვი; ვ) მოვა ერთი კენტი და ერთი ლუწი რი-ცხვი; ზ) მოვა რიცხვები, რომელთა ჯამი ათია; თ) მოვა რიცხვები, რომელთა ჯამი ნაკლებია რვაზე; ი) მოვა რიცხვები, რომელთა ჯამი მეტია ცხრაზე; კ) მოვა რიცხვები, რომელთა ჯამი თოთხმეტია; ლ) მოვა რიცხვები, რომელთა ჯამი ნაკლებია თოთხმეტზე; მ) არ მოვა სამიანი; ნ) არ მოვა ორი ერთნაირი რიცხვი; ო) მოვა რიცხვები, რომელთა ჯამი არ უდრის რვას.

𝟏.𝟏𝟐. ყუთში 7 ბურთულაა, რომლებიც გადანომრილია რიცხვებით: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ყუთიდან, მასში ჩაუხედავად, ვიღებთ ერთ ბურთულას, ვინიშნავთ მის ნომერს და ვაბრუნებთ უკან ყუთ-ში. შემდეგ, ყუთიდან ისევ ვიღებთ ერთ ბურთულას. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ

ა) ორივე ნომერი ოთხიანია; ბ) ორივე ნომერი ერთნაირი რიცხვებია; გ) ერთ-ერთი ნომერი მა-ინც სამიანია; დ) ორივე ნომერი კენტი რიცხვია; ე) ორივე ნომერი ლუწი რიცხვია; ვ) ერთი ნო-მერი კენტი რიცხვია, ხოლო მეორე ლუწი; ზ) ნომერთა ჯამია 11; თ) ნომერთა ჯამი ნაკლებია 7-ზე; ი) ნომერთა ჯამი მეტია 8-ზე; კ) ნომერთა ჯამია 15; ლ) ნომერთა ჯამი ნაკლებია 15-ზე; მ) არცერთი ნომერი არ იქნება 5; ნ) ნომრები არ იქნება ერთნაირი რიცხვები; ო) ნომერთა ჯამი არ იქნება 9-ის ტოლი.

𝟏.𝟏𝟑. ერთი მათემატიკოსის, ერთი ფიზიკოსის, ერთი ქიმიკოსის, ერთი ფილოლოგის და ერთი გეოგრაფისაგან ადგენენ სხვადასხვა საგამოცდო ჯგუფებს. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ

ა) ორკაციან ჯგუფში იქნება მათემატიკოსი; ბ) სამკაციან ჯგუფში იქნება ფილოლოგი; გ) ოთხ-კაციან ჯგუფში იქნება გეოგრაფი.

𝟏.𝟏𝟒. ყუთში ექვსი ბურთულაა, რომლებიც გადანომრილია რიცხვებით: 1, 2, 3, 4, 5, 6. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ

ა) ამოღებულ ორ ბურთულას შორის იქნება N3; ბ) ამოღებულ სამ ბურთულას შორის იქნება N1; გ) ამოღებულ ოთხ ბურთულას შორის იქნება N5.


155

𝟏.𝟏𝟓. ჯგუფში 15 სტუდენტია. მათ შორის მხოლოდ ოთხმა იცის გერმანული ენა. იპოვეთ ალ-ბათობა იმისა, რომ შერჩეული 6 სტუდენტიდან

ა) ოთხმა იცის გერმანული ენა; ბ) მხოლოდ სამმა იცის გერმანული ენა; გ) ერთმა მაინც იცის გერმანული ენა; დ) არცერთმა არ იცის გერმანული ენა.

𝟏.𝟏𝟔. ჯგუფში 12 სტუდენტია. მათ შორის მხოლოდ სამმა იცის ფრანგული ენა. იპოვეთ ალბა-თობა იმისა, რომ შერჩეული 4 სტუდენტიდან

ა) სამმა იცის ფრანგული ენა; ბ) მხოლოდ ერთმა იცის ფრანგული ენა; გ) ერთმა მაინც იცის ფრანგული ენა; დ) არცერთმა არ იცის ფრანგული ენა.

𝟏.𝟏𝟕. 30 ნაკეთობიდან 16 შეღებილია. შემთხვევით იღებენ 7 ნაკეთობას. იპოვეთ შემდეგი ალბათობები:

ა) 7 ნაკეთობიდან 4 შეღებილია; ბ) 7 ნაკეთობიდან 1 შეღებილია; გ) არცერთი არ არის შე-ღებილი; დ) 5 შეღებილია, 2 კი არ არის შეღებილი.

𝟏.𝟏𝟖. 15 დეტალიდან 9 სტანდარტულია. შემთხვევით იღებენ 5 დეტალს. იპოვეთ შემდეგი ალბათობები:

ა) ხუთივე სტანდარტულია; ბ) ხუთივე არასტანდარტულია; გ) 2 სტანდარტულია, 3 კი არა-სტანდარტული.

𝟏.𝟏𝟗. სტუდენტთა ჯგუფიდან თითოეულმა იცის ინგლისური ენა ალბათობით 0,6, ხოლო ინ-გლისური და გერმანული ენები ერთად ალბათობით 0,28. ირჩევენ ერთ სტუდენტს. აღმოჩნდა, რომ მან იცის ინგლისური. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მან იცის გერმანული ენაც.

𝟏.𝟐𝟎. 25 სტუდენტიდან თითოეულმა იცის ინგლისური და გერმანული ენებიდან ერთი მაინც. გერმანული იცის 12-მა სტუდენტმა, ხოლო ორივე ენა იცის 8 სტუდენტმა. ირჩევენ ერთ სტუ-დენტს. აღმოჩნდა, რომ მან იცის გერმანული ენა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მან იცის ინ-გლისური ენაც.

𝟏.𝟐𝟏. 50 სტუდენტიდან თითოეულმა იცის ინგლისური, გერმანული და ფრანგული ენებიდან ერთი მაინც. ინგლისური ან გერმანული იცის 42-მა სტუდენტმა, ინგლისური ან ფრანგული 38-მა, გერმანული და ფრანგული 30-მა. ადგენენ სტუდენტთა სხვადასხვა სახის ჯგუფებს. იპოვეთ შემდეგი ალბათობები:

ა) ორკაციან ჯგუფში ერთმა იცის მხოლოდ ინგლისური და მეორემ მხოლოდ ფრანგული;

ბ) ორკაციან ჯგუფში ერთმა იცის მხოლოდ გერმანული და მეორემ ინგლისური ან ფრანგული;

გ) სამკაციან ჯგუფში ერთმა იცის მხოლოდ ინგლისური, ერთმა იცის მხოლოდ გერმანული და ერთმა მხოლოდ ფრანგული;

დ) სამკაციან ჯგუფში ორმა იცის მხოლოდ ინგლისური და მესამემ გერმანული ან ფრანგული.

𝟏.𝟐𝟐. შეჯიბრებაში მონაწილე 20 სტუდენტიდან ჭადრაკის თამაში იცის 15-მა, შაშის − 11-მა, ხოლო ბილიარდის − 9-მ. ჭადრაკისა და შაშის თამაში იცის 8 სტუდენტმა, ჭადრაკისა და ბი-ლიარდის − 5-მა, ხოლო შაშისა და ბილიარდის − 4-მა. ადგენენ სტუდენტთა სხვადასხვა სახის ჯგუფებს. იპოვეთ შემდეგი ალბათობები:

ა) ორკაციან ჯგუფში ერთმა იცის ჭადრაკისა და შაშის თამაში, ხოლო მეორემ ჭადრაკისა და ბი-ლიარდის.


156

ბ) ორკაციან ჯგუფში ერთმა იცის მხოლოდ ბილიარდის თამაში, ხოლო მეორემ ჭადრაკისა და შაშის.

გ) სამკაციან ჯგუფში თითოეულმა იცის მხოლოდ ერთი თამაში;

დ) სამკაციან ჯგუფში ერთმა იცის მხოლოდ ჭადრაკის თამაში, ხოლო ორმა შაშისა და ბილიარ-დის;

ე) ჭადრაკის მცოდნე სტუდენტმა იცის შაშის თამაშიც;

ვ) შაშის მცოდნე სტუდენტმა იცის ბილიარდის თამაშიც.

𝟏.𝟐𝟑. წიგნების თაროზე დევს 6 ტომეული. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მე-2 და მე-3 ტომები ერთმანეთის გვერდით აღმოჩნდებიან?

𝟏.𝟐𝟒. 5 მეგობარი, რომელთა შორის 3 ვაჟია და 2 გოგონა, სხედან კინოთეატრის პარტერის ერთ რიგში. რა არის იმის ალბათობა, რომ გოგონები ერთმანეთის გვერდით აღმოჩნდებიან?

𝟏.𝟐𝟓. ორ ფოსტალიონს ურიგებენ 12 წერილს 12 ადრესატთან მისატანად. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ერთ-ერთ მათგანს მოუწევს 5 წერილის მიტანა?

𝟏.𝟐𝟔. ორ მუშას უნდა დაევალოს 9 ნერგის დარგვა. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ერთ-ერთ მათგანს მოუწევს 5 ნერგის დარგვა?

𝟏.𝟐𝟕. გიორგი და ნინო არიან 8 გოგონასა და 6 ვაჟისაგან შედგენილი ჩოგბურთელთა გუნდის წევრები. სხვადასხვა შეჯიბრებისათვის საჭიროა 4 შერეული წყვილი (ყოველი წყვილი შედგება 1 ვაჟისა და 1 გოგონასაგან). რა არის ალბათობა იმისა, რომ გიორგი და ნინო ერთ-ერთ არჩეულ წყვილს შეადგენენ?

𝟏.𝟐𝟖. ლია და რეზო მეცადინეობენ 6 გოგონასა და 5 ვაჟისაგან შედგენილ საჭადრაკო სექციაში. მწვრთნელმა 3 სხვადასხვა შეჯიბრებაზე უნდა გააგზავნოს 1 ვაჟისა და 1 გოგონასაგან შედგენილი თითო გუნდი. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ერთ-ერთ შეჯიბრებაში ლიასა და რეზოსგან შედგენილი წყვილი მიიღებს მონაწილეობას?

𝟏.𝟐𝟗. სანდრო არის 10 ადამიანისაგან შედგენილი კრების მონაწილე. კრებამ უნდა აირჩიოს 5 კაციანი გუნდი, რომელიც შედგება 1 ხელმძღვანელის, 1 მდივნის და 3 დელეგატისგან უცხოეთ-ში გასამართ კონფერენციაზე დასასწრებად. რა არის ალბათობა იმისა, რომ სანდრო არჩეულ იქ-ნება ერთ-ერთ დელეგატად?

𝟏.𝟑𝟎. 10 ადამიანისაგან შედგენილ ჯგუფში, რომლის ერთ-ერთი წევრი არის გიორგი, უნდა გა-მოიყოს 6 წევრიანი ჯგუფი, რომელსაც ეყოლება ხელმძღვანელი, ხელმძღვანელის მოადგილე და 4 რიგითი წევრი. რა არის ალბათობა იმისა, რომ გიორგი არჩეული იქნება ჯგუფის ხელ-მძღვანელად ან მის მოადგილედ?

𝟏.𝟑𝟏. წიგნების თაროზე განლაგებულია 7 თეთრყდიანი და 5 ცისფერყდიანი წიგნი. რა არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით განლაგებულ წიგნებში თეთრყდიანი წიგნები ერთმანეთის გვერდით აღმოჩნდებიან?

𝟏.𝟑𝟐. მეგობრები, რომელთა შორის 5 ვაჟია და 4 გოგონა, სხედან თეატრის პარტერის ერთ რიგ-ში. რა არის ალბათობა იმისა, რომ გოგონები ერთმანეთის გვერდით სხედან?

157

თავი VII. ალგებრული სტრუქტურები

§1. ალგებრული ოპერაცია. ჯგუფი

პირველ თავში ჩვენ შემოვიღეთ ალგებრული ოპერაციის ცნება. გავეცანით მის მნიშვნე-ლოვან თვისებებს (კერძოდ, ასოციაციურობის, კომუტაციურობის, დისტრიბუციულობის თვი-სებებს). განვიხილეთ შესაბამისი მაგალითები. შემდგომ თავებში ჩვენ გავეცანით ოპერაციებს სხვადასხვა ტიპის ობიექტებზე (კერძოდ, გრაფებზე, გამონათქვამებზე, ალბათობის თეორიაში). ახლა განვაგრძობთ ალგებრული ოპერაციების შესწავლას.

განსაზღვრა 1.1. ვიტყვით, რომ 𝑒 ∈ 𝐴 არის 𝜔 ∶ 𝐴2 → 𝐴 ალგებრული ოპერაციის ნეიტრა-ლური ელემენტი, თუკი 𝐴 სიმრავლის ყოველი 𝑎 ელემენტისათვის, მართებულია ტოლობები:

𝜔(𝑎, 𝑒) = 𝑎, 𝜔(𝑒,𝑎) = 𝑎.

დებულება 1.1. ალგებრულ ოპერაციას არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ნეიტრალური ელემენტი.

დამტკიცება. ვთქვათ, 𝑒1 და 𝑒2 არიან 𝜔 ∶ 𝐴2 → 𝐴 ოპერაციის ნეიტრალური ელემენტები. რადგან 𝑒1 ნეიტრალური ელემენტია, ამიტომ 𝜔(𝑒1,𝑒2) = 𝑒2. ხოლო რადგან 𝑒2 ასევე ნეიტრალუ-რი ელემენტია, ამიტომ 𝜔(𝑒1,𝑒2) = 𝑒1. ამ ორი ტოლობიდან ვასკვნით, რომ 𝑒1 = 𝑒2. □

ვთქვათ, 𝜔 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦 რიცხვთა შეკრებაა. მაშინ მისი ნეიტრალური ელე-მენტია 0, ხოლო თუ 𝜔 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦 რიცხვთა გამრავლებაა, მაშინ მისი ნეიტრალუ-რი ელემენტია 1.

მაგალითი 1.1. თუ 𝜔1 ∶ 2𝑋 × 2𝑋 → 2𝑋 გაერთიანების ოპერაციაა 𝜔1(𝐴,𝐵) = 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴,𝐵 ∈2𝑋 , მაშინ ∅ ∈ 2𝑋 ცარიელი სიმრავლე ამ ოპერაციის მიმართ ნეიტრალური ელემენტია 𝜔1(𝐴,∅) =𝐴 ∪ ∅ = 𝐴. თუ 𝜔2 ∶ 2𝑋 × 2𝑋 → 2𝑋 არის თანაკვეთის ოპერაცია, 𝜔2(𝐴,𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴,𝐵 ∈ 2𝑋 , მაშინ 𝑋 ∈ 2𝑋 სიმრავლე ამ ოპერაციის მიმართ ნეიტრალური ელემენტია 𝜔2(𝐴,𝑋) = 𝐴 ∩ 𝑋 = 𝐴.

მაგალითი 1.2. ვთქვათ, 𝐴 ნებისმიერი სიმრავლეა, ხოლო 𝑀(𝐴,𝐴) = {𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐴 }. თუ 𝜔 ოპერაცია 𝑀(𝐴,𝐴) სიმრავლეზე არის ასახვათა კომპოზიცია, მაშინ 1𝐴 ∶ 𝐴 → 𝐴 იგივური ასახვა (იხ. თავი I, §3.3, დიაგრამა (4)), ნეიტრალური ელემენტი იქნება ამ 𝜔 ოპერაციის მიმართ, რადგან 𝑓1𝐴 = 𝑓, 1𝐴𝑓 = 𝑓 ნებისმიერი 𝑓 ∈ 𝑀(𝐴,𝐴) ასახვისათვის.

მაგალითი 1.3. ვთქვათ, 𝑉 − სამგანზომილებიან ვექტორთა სიმრავლეა. თუ 𝜔 ∶ 𝑉2 → 𝑉 არის ვექტორული ნამრავლი, მაშინ ამ ოპერაციას არ გააჩნია ნეიტრალური ელემენტი, ხოლო თუ ალგებრული ოპერაცია 𝜔 ∶ 𝑉2 → 𝑉 არის შეკრება, მაშინ ამ ოპერაციის ნეიტრალური ელე-

მენტია 0�⃗ − ნულოვანი ვექტორი.

მაგალითი 1.4. ვთქვათ, 𝑀𝑛×𝑛 მატრიცთა სიმრავლეა (იხ. თავი I, მაგალითი 4.10). თუ ალ-გებრული ოპერაცია 𝜔1 ∶ 𝑀𝑛×𝑛

2 → 𝑀𝑛×𝑛 არის შეკრება, მაშინ 𝑂 = �𝑎𝑖𝑗�, 𝑎𝑖𝑗 = 0 ნულოვანი მა-ტრიცა ნეიტრალური ელემენტია 𝜔1 ოპერაციის მიმართ.

თუ ალგებრული ოპერაცია 𝜔2 ∶ 𝑀𝑛×𝑛2 → 𝑀𝑛×𝑛 არის გამრავლება, მაშინ მატრიცა 𝐸 =

�𝑎𝑖𝑗�, სადაც 𝑎𝑖𝑖 = 1, ხოლო 𝑎𝑖𝑗 = 0, თუ 𝑖 ≠ 𝑗, ნეიტრალური ელემენტია 𝜔2 ოპერაციის მიმართ. 𝐸 მატრიცას, ერთეულოვანი მატრიცა ეწოდება.

განსაზღვრა 1.2. ვთქვათ, 𝑒 არის 𝜔 ∶ 𝐴2 → 𝐴 ალგებრული ოპერაციის ნეიტრალური ელე-მენტი და 𝑥 ∈ 𝐴. 𝑦 ∈ 𝐴 ელემენტს ეწოდება 𝑥 ელემენტის მოპირდაპირე ელემენტი 𝜔 ოპერაცი-ის მიმართ, თუ მართებულია ტოლობები:

ალგებრული სტრუქტურები

158

𝜔(𝑥,𝑦) = 𝑒, 𝜔(𝑦, 𝑥) = 𝑒.

დებულება 1.2. ვთქვათ, 𝜔 ∶ 𝐴2 → 𝐴 ასოციაციური ოპერაციაა და 𝑒 ∈ 𝐴 მისი ნეიტრალუ-რი ელემენტია. თუ 𝑥 ∈ 𝐴, მაშინ 𝑥 ელემენტს არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი მოპირდაპირე ელემენტი.

დამტკიცება. დავუშვათ, 𝑦 და 𝑧, ორივე 𝑥 ელემენტის მოპირდაპირე ელემენტებია. მა-შინ

(𝜔(𝑥,𝑦) = 𝑒, 𝜔(𝑧, 𝑥) = 𝑒) ⇒ (𝑦 = 𝜔(𝑒,𝑦) = 𝜔(𝜔(𝑧, 𝑥),𝑦) = 𝜔�𝑧,𝜔(𝑥,𝑦)� = 𝜔(𝑧, 𝑒) = 𝑧. □

თუ ნამდვილ რიცხვთა ℝ სიმრავლეზე განვიხილავთ შეკრების ოპერაციას, მაშინ ყოველ 𝑎 ∈ ℝ ელემენტს გააჩნია მოპირდაპირე ელემენტი −𝑎, ხოლო თუ ℝ ∖ {0} სიმრავლეზე განვი-ხილავთ გამრავლების ოპერაციას, მაშინ 𝑎 ∈ ℝ ∖ {0} ელემენტის მოპირდაპირე ელემენტი 𝑎−1 იქნება.

თუ 𝑋 რაიმე სიმრავლეა, მაშინ 2𝑋 სიმრავლეში თანაკვეთის ოპერაციის მიმართ მხოლოდ 𝑋 ∈ 2𝑋 ელემენტს აქვს მოპირდაპირე − თვით 𝑋, ხოლო გაერთიანების ოპერაციის მიმართ მხო-ლოდ ∅-ს აქვს მოპირდაპირე − თვით ∅.

მაგალითი 1.5. ვთქვათ, 𝑀𝑛×𝑛 მატრიცთა სიმრავლეა (იხ. თავი I, მაგალითი 4.10). თუ ალ-გებრული ოპერაცია 𝜔1 ∶ 𝑀𝑛×𝑛

2 → 𝑀𝑛×𝑛 არის შეკრება, მაშინ ნებისმიერი 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) მატრიცისა-თვის არსებობს მოპირდაპირე −𝐴 = (−𝑎𝑖𝑗) მატრიცა.

თუ 𝒜 ⊂ 𝑀𝑛×𝑛 მატრიცთა სიმრავლეა, რომლის ყოველი 𝐴 = �𝑎𝑖𝑗� მატრიცისათვის det𝐴 ≠ 0, მაშინ 𝜔2 ∶ 𝒜2 → 𝒜 გამრავლების ოპერაციის მიმართ, ნებისმიერი 𝐴 მატრიცისათვის არსებობს მოპირდაპირე ელემენტი 𝐴−1.

მაგალითი 1.6. ვთქვათ, 𝑉 − სამგანზომილებიან ვექტორთა სიმრავლეა. მაშინ 𝜔1 ∶ 𝑉2 → 𝑉 შეკრების ოპერაციის მიმართ, ნებისმიერი �⃗� ვექტორისათვის არსებობს მოპირდაპირე ელემენტი −�⃗�.

მაგალითი 1.7. ვთქვათ, 𝑆(𝐴) არის 𝐴 →� 𝐴 ბიექციათა სიმრავლე ალგებრული ოპერაციით 𝜔 ∶ 𝑆(𝐴) × 𝑆(𝐴) → 𝑆(𝐴), 𝜔(𝑓,𝑔) = 𝑓𝑔, 𝑓,𝑔 ∈ 𝑆(𝐴). ნებისმიერი 𝑓 ∈ 𝑆(𝐴) ბიექციისათვის არსე-ბობს მისი შექცეული ასახვა 𝑓−1, რომელიც 𝑓 ასახვის მოპირდაპირე ელემენტია 𝜔 ოპერაციის მიმართ.

განსაზღვრა 1.3. ვთქვათ, 𝜔1 ალგებრული ოპერაციაა 𝐴 სიმრავლეზე, ხოლო 𝜔2 ალგე-ბრული ოპერაციაა 𝐵 სიმრავლეზე. 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვას ეწოდება ჰომომორფიზმი, თუ ნებისმიერი 𝑎1,𝑎2 ∈ 𝐴 ელემენტებისათვის მართებულია ტოლობა

𝑓�𝜔1(𝑎1,𝑎2)� = 𝜔2�𝑓(𝑎1),𝑓(𝑎2)�. ეს ტოლობა ნიშნავს, რომ

(1)

დიაგრამა კომუტაციურია ((𝑓,𝑓) განსაზღვრა იხ. თავი I, 3.11).

თუ დამატებით, 𝑓 ასახვა ბიექციაა, მაშინ მას იზომორფიზმი ეწოდება.

მაგალითი 1.8. ვთქვათ, 𝐴 = ℤ − მთელ რიცხვთა სიმრავლეა, 𝜔1 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔1(𝑚,𝑛) = 𝑚 +

𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ, ხოლო 𝐵 = ℚ+ − დადებით რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეა, 𝜔2 ∶ ℚ+2 → ℚ+,


159

𝜔2(𝑟1, 𝑟2) = 𝑟1 ∙ 𝑟2, 𝑟1, 𝑟2 ∈ ℚ+ . ასახვაა 𝑓 ∶ ℤ → ℚ+, 𝑓(𝑚) = 2𝑚 , 𝑚 ∈ ℤ. მაშინ ნებისმიერი 𝑚,𝑛 ∈ ℤ ელემენტებისათვის,

𝑓�𝜔1(𝑚,𝑛)� = 𝑓(𝑚 + 𝑛) = 2𝑚+𝑛 = 2𝑚 ∙ 2𝑛 = 𝑓(𝑚) ∙ 𝑓(𝑛) = 𝜔2�𝑓(𝑚),𝑓(𝑛)�,

ე. ი. 𝑓 ასახვა ჰომომორფიზმია.

მაგალითი 1.9. ვთქვათ, 𝐴 = ℤ, 𝐵 = ℤ, 𝜔1(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝜔2(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ, ხო-ლო ასახვაა 𝑓 ∶ ℤ → ℤ, 𝑓(𝑛) = 3𝑛, 𝑛 ∈ ℤ. მაშინ ნებისმიერი 𝑚,𝑛 ∈ ℤ ელემენტებისათვის,

𝑓�𝜔1(𝑚,𝑛)� = 𝑓(𝑚 + 𝑛) = 3(𝑚 + 𝑛) = 3𝑚 + 3𝑛 = 𝑓(𝑚) + 𝑓(𝑛) = 𝜔2�𝑓(𝑚),𝑓(𝑛)�,

ე. ი. 𝑓 ასახვა ჰომომორფიზმია.

მაგალითი 1.10. ვთქვათ, 𝐴 = ℤ, 𝐵 = ℤ, 𝜔1(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝜔2(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ, ხოლო ასახვაა 𝑓 ∶ ℤ → ℤ, 𝑓(𝑛) = 𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ. არის თუ არა ეს ასახვა ჰომომორფიზმი? პასუხი: არა. კონტრმაგალითი: თუ 𝑚 = 3, 𝑛 = 2, მაშინ 𝜔1(3, 2) = 5, 𝑓�𝜔1(3, 2)� = 𝑓(5) = 5 + 1 = 6, ხო-ლო 𝜔2�𝑓(3),𝑓(2)� = 𝜔2(4, 3) = 7.

მაგალითი 1.11. ვთქვათ, 𝐴 = ℝ, 𝐵 = ℝ, 𝜔1(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏, 𝜔2(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, ხო-ლო ასახვაა 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, 𝑓(𝑎) = 𝑎2, 𝑎 ∈ ℝ. არის თუ არა ეს ასახვა ჰომომორფიზმი? პასუხი: არა. კონტრმაგალითი: თუ 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, მაშინ 𝜔1(2, 3) = 5, 𝑓�𝜔1(2, 3)� = 𝑓(5) = 52 = 25, ხოლო 𝜔2�𝑓(2),𝑓(3)� = 𝜔2(4, 9) = 13.

მაგალითი 1.12. ვთქვათ, 𝐴 = ℝ, 𝐵 = ℝ, 𝜔1(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑏, 𝜔2(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, ხოლო ასახვაა 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, 𝑓(𝑎) = 𝑎2, 𝑎 ∈ ℝ. არის თუ არა ეს ასახვა ჰომომორფიზმი? პასუხი: კი.

𝑓�𝜔1(𝑎, 𝑏)� = 𝑓(𝑎 ∙ 𝑏) = (𝑎 ∙ 𝑏)2 = 𝑎2 ∙ 𝑏2 = 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) = 𝜔2�𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)�.

მაგალითი 1.13. ვთქვათ, 𝐴 = 2𝑋 , 𝜔1(𝑋1,𝑋2) = 𝑋1 ∪ 𝑋2, 𝑋1,𝑋2 ∈ 2𝑋; 𝐵 = 2𝑌 , 𝜔2(𝑌1,𝑌2) =𝑌1 ∪ 𝑌2, 𝑌1,𝑌2 ∈ 2𝑌 . 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ნებისმიერი ასახვაა. მაშინ

𝑓�𝜔1(𝑋1,𝑋2)� = 𝑓(𝑋1 ∪ 𝑋2), 𝜔2�𝑓(𝑋1),𝑓(𝑋2)� = 𝑓(𝑋1) ∪ 𝑓(𝑋2).

მართებულია თუ არა 𝑓(𝑋1 ∪ 𝑋2) = 𝑓(𝑋1) ∪ 𝑓(𝑋2) ტოლობა? პასუხი: კი. ვაჩვენოთ, რომ ეს ტო-ლობა მართებულია. ვთქვათ, 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1 ∪ 𝑋2). მაშინ არსებობს 𝑥 ∈ 𝑋1 ∪ 𝑋2 ისეთი, რომ 𝑓(𝑥) = 𝑦. რადგან 𝑥 ∈ 𝑋1 ∪ 𝑋2, ამიტომ

(𝑥 ∈ 𝑋1 ან 𝑥 ∈ 𝑋2) ⇒ �𝑓(𝑥) = 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1) ან 𝑓(𝑥) = 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋2)� ⇒ �𝑓(𝑥) = 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1) ∪ 𝑓(𝑋2)�.

ე. ი. 𝑓(𝑋1 ∪ 𝑋2) ⊆ 𝑓(𝑋1) ∪ 𝑓(𝑋2).

ვთქვათ, 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1)∪ 𝑓(𝑋2), მაშინ 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1) ან 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋2). თუ 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1), მაშინ არსებობს 𝑥 ∈ 𝑋1 ისეთი, რომ 𝑓(𝑥) = 𝑦, ხოლო თუ 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋2), მაშინ არსებობს 𝑥 ∈ 𝑋2 ისეთი, რომ 𝑓(𝑥) = 𝑦. ამიტომ 𝑥 ∈ 𝑋1 ∪ 𝑋2 და 𝑓(𝑥) = 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1 ∪ 𝑋2). ე. ი. 𝑓(𝑋1) ∪ 𝑓(𝑋2) ⊆ 𝑓(𝑋1 ∪ 𝑋2) და ამით ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ ნებისმიერი 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვა ჰომომორფიზმია.

მაგალითი 1.14. ვთქვათ, 𝐴 = 2𝑋 , 𝜔1(𝑋1,𝑋2) = 𝑋1 ∩ 𝑋2, 𝑋1,𝑋2 ∈ 2𝑋; 𝐵 = 2𝑌 , 𝜔2(𝑌1,𝑌2) =𝑌1 ∩ 𝑌2, 𝑌1,𝑌2 ∈ 2𝑌 . 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ნებისმიერი ასახვაა. მაშინ

𝑓�𝜔1(𝑋1,𝑋2)� = 𝑓(𝑋1 ∩ 𝑋2), 𝜔2�𝑓(𝑋1),𝑓(𝑋2)� = 𝑓(𝑋1) ∩ 𝑓(𝑋2).

მართებულია თუ არა

𝑓(𝑋1 ∩ 𝑋2) = 𝑓(𝑋1)∩ 𝑓(𝑋2) (2)

ტოლობა? პასუხი: არა.


160

კონტრმაგალითი. ვთქვათ, 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 . 𝐴 = 2ℝ, 𝜔1(𝑋1,𝑋2) = 𝑋1 ∩ 𝑋2, 𝑋1,𝑋2 ∈2ℝ; 𝐵 = 2ℝ, 𝜔2(𝑌1,𝑌2) = 𝑌1 ∩ 𝑌2, 𝑌1,𝑌2 ∈ 2ℝ. 𝑓̅ ∶ 𝐴 → 𝐵 არის 𝑓 ასახვით ინდუცირებული ასახვა. თუ 𝑋1 = [−1; 0], 𝑋2 = [0; 1], მაშინ

𝜔1(𝑋1,𝑋2) = 𝑋1 ∩ 𝑋2 = {0}, 𝑓(̅𝑋1) = [0; 1], 𝑓̅(𝑋2) = [0; 1], 𝑓̅�𝜔1(𝑋1,𝑋2)� = 𝑓(̅{0}) = 0

და

𝜔2 �𝑓(̅𝑋1),𝑓(̅𝑋2)� = 𝑓̅(𝑋1) ∩ 𝑓(̅𝑋2) = [0; 1] ∩ [0; 1] = [0; 1].

დავსვათ კითხვა: როგორი უნდა იყოს 𝑓 ასახვა, რომ (2) ტოლობა იყოს მართებული?

პასუხი: თუ 𝑓 ასახვა ინექციაა, მაშინ (2) ტოლობა მართებულია. ვაჩვენოთ ეს.

ვთქვათ, 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1 ∩ 𝑋2). მაშინ არსებობს 𝑥 ∈ 𝑋1 ∩ 𝑋2 ისეთი, რომ 𝑓(𝑥) = 𝑦. რადგან 𝑥 ∈ 𝑋1 ∩ 𝑋2, ამიტომ

�𝑥 ∈ 𝑋1 და 𝑥 ∈ 𝑋2� ⇒ �𝑓(𝑥) = 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1) და 𝑓(𝑥) = 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋2)� ⇒ �𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1) ∩ 𝑓(𝑋2)�.

ვთქვათ, 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1)∩ 𝑓(𝑋2), მაშინ 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1) და 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋2). რადგან 𝑓 ასახვა ინექციაა, არ-სებობს ერთადერთი 𝑥 ∈ 𝑋 ისეთი რომ 𝑓(𝑥) = 𝑦 და 𝑥 ∈ 𝑋1, 𝑥 ∈ 𝑋2. ამიტომ 𝑥 ∈ 𝑋1 ∩ 𝑋2 და 𝑓(𝑥) = 𝑦 ∈ 𝑓(𝑋1 ∩ 𝑋2). ამით, (2) ტოლობა დამტკიცებულია.

მაგალითი 1.15. ვთქვათ, 𝜔1 არის გამრავლების ოპერაცია 𝐴 =]0; +∞[ სიმრავლეზე, ე. ი. 𝜔1 ∶ 𝐴2 → 𝐴, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 ⋅ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ 𝐴, ხოლო 𝜔2 არის შეკრების ოპერაცია 𝐵 = ℝ სიმრავლეზე, 𝜔2 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ. ვთქვათ, 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ ასახვა განსაზღვრულია ტოლობით: 𝑓(𝑥) = log𝑐 𝑥, სადაც 𝑐 > 0, 𝑐 ≠ 1. მაშინ 𝑓 იზომორფიზმია. მართლაც, ცხადია, რომ 𝑓 ბიექციაა; მისი შექცეული ასახვა 𝑔:ℝ → 𝐴, მოიცემა ტოლობით: 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ და

𝑓�𝜔1(𝑎, 𝑏)� = 𝑓(𝑎𝑏) = log𝑐(𝑎𝑏) = log𝑐 𝑎 + log𝑐 𝑏 = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) = 𝜔2�𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)�,

რაც ამტკიცებს, რომ 𝑓 იზომორფიზმია.

დებულება 1.3. თუ 𝐴,𝐵,𝐶 სიმრავლეებია, შესაბამისად მათზე განსაზღვრული 𝜔,𝜔′,𝜔′′ ალგებრული ოპერაციებით, ხოლო 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵, 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 ჰომომორფიზმებია, მაშინ 𝑔𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐶 კომპოზიცია ჰომომორფიზმია.

დამტკიცება. თუ გავითვალისწინებთ, რომ 𝑓 და 𝑔 ჰომომორფიზმებია, 𝑎1,𝑎2 ∈ 𝐴 ელე-მენტებისათვის, გვექნება:

𝑔𝑓�𝜔(𝑎1,𝑎2)� = 𝑔 �𝑓�𝜔(𝑎1,𝑎2)�� = 𝑔 �𝜔′�𝑓(𝑎1),𝑓(𝑎2)�� = 𝜔′′ �𝑔�𝑓(𝑎1)�,𝑔�𝑓(𝑎2)��

= 𝜔′′�𝑔𝑓(𝑎1),𝑔𝑓(𝑎2)�,

რაც განსაზღვრის თანახმად ნიშნავს, რომ 𝑔𝑓 კომპოზიცია ჰომომორფიზმია. □

თეორემა 1.1. იზომორფიზმის შექცეული ასახვა კვლავ იზომორფიზმია.

დამტკიცება. ვთქვათ, 𝜔1 არის ოპერაცია 𝐴 სიმრავლეზე, 𝜔2 − ოპერაცია 𝐵 სიმრავლე-ზე, ხოლო 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვა იზომორფიზმია. დავუშვათ, 𝑔 არის 𝑓 ასახვის შექცეული ასახვა. ცხადია, 𝑔 ბიექციაა, ამიტომ უნდა ვაჩვენოთ, რომ 𝑔 ჰომომორფიზმია, ე. ი. აკმაყოფილებს ტო-ლობას:

𝑔�𝜔2(𝑏1,𝑏2)� = 𝜔1�𝑔(𝑏1),𝑔(𝑏2)�, სადაც 𝑏1,𝑏2 ∈ 𝐵. (3)


161

რადგან 𝑓 ბიექციაა, მას განსხვავებული ელემენტები განსხვავებულებში გადაჰყავს, ამი-ტომ (3) ტოლობის დასამტკიცებლად საკმარისია ვაჩვენოთ, რომ 𝑓 ასახვა ტოლობის ორივე მხა-რეს ერთსა და იმავე ელემენტში ასახავს. გვაქვს:

𝑓 �𝑔�𝜔2(𝑏1, 𝑏2)�� = (𝑓𝑔)�𝜔2(𝑏1,𝑏2)� = 𝜔2(𝑏1,𝑏2),

რადგან 𝑓𝑔 = 1𝐵 , ხოლო

𝑓 �𝜔1�𝑔(𝑏1),𝑔(𝑏2)�� = 𝜔2 �𝑓�𝑔(𝑏1)�,𝑓�𝑔(𝑏2)�� = 𝜔2(𝑏1,𝑏2),

რადგან 𝑓 ასახვა ჰომომორფიზმია. □

განსაზღვრა 1.4. სიმრავლეს ეწოდება ჯგუფი, თუ არსებობს 𝜔 ∶ 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 ალგებრული ოპერაცია ისეთი, რომ

ა) 𝜔 არის ასოციაციური;

ბ) არსებობს 𝑒 ნეიტრალური ელემენტი 𝜔 ოპერაციის მიმართ;

გ) ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝐺 ელემენტისათვის, არსებობს მოპირდაპირე ელემენტი 𝜔 ოპერაციის მიმართ.

თუ 𝐺 ჯგუფი ისეთია, რომ 𝜔 ალგებრული ოპერაცია კომუტაციურია, მაშინ 𝐺 ჯგუფს ეწოდება კომუტაციური ან აბელური.

შევნიშნოთ, რომ დებულება 1.1-ის ძალით, ჯგუფში არსებობს ერთადერთი ნეიტრალური ელემენტი, ხოლო დებულება 1.2-ის ძალით, ჯგუფის ნებისმიერი ელემენტისათვის, არსებობს ერთადერთი მოპირდაპირე ელემენტი. მიღებულია, რომ თუ ჯგუფში ალგებრული ოპერაციაა შეკრება, მაშინ ნეიტრალურ ელემენტს 0-ით აღნიშნავენ, ხოლო 𝑎 ელემენტის მოპირდაპირეს კი −𝑎-თი, ხოლო თუ ჯგუფში ალგებრული ოპერაციაა გამრავლება, მაშინ ნეიტრალურ ელე-მენტს 1-ით აღნიშნავენ, ხოლო 𝑎 ელემენტის მოპირდაპირეს კი 𝑎−1-ით.

მაგალითი 1.16. განვიხილოთ 𝑆(𝐴) სიმრავლე (იხ. მაგალითი 1.7), რომლის ელემენტები 𝐴 →� 𝐴 ბიექციებია და 𝜔 ∶ 𝑆(𝐴)2 → 𝑆(𝐴) ალგებრული ოპერაცია განსაზღვრულია როგორც ნების-მიერი ორი 𝑓 და 𝑔 ბიექციის კომპოზიცია 𝑓𝑔. ასე განსაზღვრული 𝜔 ოპერაცია ასოციაციურია (იხ. თავი I, მაგალითი 4.8), რადგან 𝑆(𝐴) ⊂ 𝑀(𝐴,𝐴). 𝑒 ნეიტრალური ელემენტი არის 1𝐴 იგივური ასახვა (იხ. მაგალითი 1.2), რადგან 𝑆(𝐴) ⊂ 𝑀(𝐴,𝐴). დაბოლოს, ნებისმიერი 𝑓 ასახვისათვის, არსებობს მოპირდაპირე ელემენტი (იხ. მაგალითი 1.7), რომელიც მისი შექცეული ასახვაა. ამრი-გად, 𝑆(𝐴) ჯგუფია, განხილული ოპერაციის მიმართ. 𝑆(𝐴) არ არის კომუტაციური ჯგუფი (იხ. თავი I, მაგალითი 4.12).

მაგალითი 1.17. თუ 𝒜 ⊂ 𝑀𝑛×𝑛 მატრიცთა სიმრავლეა, რომლის ყოველი 𝐴 = �𝑎𝑖𝑗� მატრი-ცისათვის det𝐴 ≠ 0, მაშინ 𝜔2 ∶ 𝒜2 → 𝒜 გამრავლების ოპერაციის მიმართ, 𝒜 არაკომუტაციური ჯგუფია (იხ. თავი I, მაგალითი 4.10; მაგალითი 1.4 და 1.5).

მაგალითი 1.18. თუ 𝐺 = ℤ მთელ რიცხვთა სიმრავლეა და 𝜔1 ∶ ℤ2 → ℤ ალგებრული ოპე-რაცია არის შეკრება, მაშინ ℤ იქნება აბელური ჯგუფი. შეამოწმეთ აბელური ჯგუფის პირობები.

მაგალითი 1.19. თუ 𝐺 = ℚ+ დადებით რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეა და 𝜔1 ∶ ℚ+2 →ℚ+ ალგებრული ოპერაცია არის გამრავლება, მაშინ ℚ+ იქნება აბელური ჯგუფი. შეამოწმეთ აბე-ლური ჯგუფის პირობები.


162

მაგალითი 1.20. თუ 𝐺 = 𝑀𝑛×𝑛 მატრიცთა სიმრავლეა, რომლის ელემენტები 𝑛-ური რი-გის კვადრატული მატრიცებია და 𝜔1 ∶ 𝑀𝑛×𝑛

2 → 𝑀𝑛×𝑛 ალგებრული ოპერაცია არის შეკრება, მაშინ 𝑀𝑛×𝑛 იქნება აბელური ჯგუფი. შეამოწმეთ აბელური ჯგუფის პირობები.

დებულება 1.4. ვთქვათ, 𝐺1 და 𝐺2 ჯგუფებია შესაბამისად 𝜔 და 𝜔′ ოპერაციების მიმართ, 𝑒1 და 𝑒2 შესაბამისი ნეიტრალური ელემენტებია, ხოლო 𝑓 ∶ 𝐺1 → 𝐺2 ჰომომორფიზმია. ვთქვათ, 𝑎 ელემენტისათვის 𝑎′ აღნიშნავს მოპირდაპირე ელემენტს შესაბამისი ოპერაციის მიმართ. მაშინ

ა) 𝑓(𝑒1) = 𝑒2; ბ) 𝑓(𝑎′) = 𝑓(𝑎)′.

დამტკიცება. ა) რადგან 𝑓 ჰომომორფიზმია, გვაქვს:

𝜔′�𝑓(𝑎),𝑓(𝑒1)� = 𝑓�𝜔(𝑎, 𝑒1)� = 𝑓(𝑎),

𝜔′�𝑓(𝑒1),𝑓(𝑎)� = 𝑓�𝜔(𝑒1,𝑎)� = 𝑓(𝑎), 𝑎 ∈ 𝐺1,

ე. ი. 𝑓(𝑒1) ნეიტრალური ელემენტია 𝜔′ ოპერაციის მიმართ და რადგან ნეიტრალური ელემენტი ჯგუფში ერთადერთია, ამიტომ 𝑓(𝑒1) = 𝑒2.

ბ) კვლავ, იმის გამო, რომ 𝑓 ჰომომორფიზმია, ა) პუნქტის გამოყენებით, გვექნება:

𝜔′�𝑓(𝑎′),𝑓(𝑎)� = 𝑓�𝜔(𝑎′,𝑎)� = 𝑓(𝑒1) = 𝑒2,

𝜔′�𝑓(𝑎),𝑓(𝑎′)� = 𝑓�𝜔(𝑎′,𝑎)� = 𝑓(𝑒1) = 𝑒2, 𝑎 ∈ 𝐺1,

ე. ი. 𝑓(𝑎′) არის 𝑓(𝑎) ელემენტის მოპირდაპირე ელემენტი 𝜔′ ოპერაციის მიმართ და რადგან მო-პირდაპირე ელემენტი ჯგუფში ერთადერთია, ამიტომ 𝑓(𝑎′) = 𝑓(𝑎)′.

დებულება 1.5. ვთქვათ, 𝐺 ჯგუფია 𝜔 ალგებრული ოპერაციის მიმართ და 𝑒 − ნეიტრა-ლური ელემენტია. თუ რაიმე 𝑎 ∈ 𝐺 ელემენტისათვის 𝜔(𝑎,𝑎) = 𝑎, მაშინ 𝑎 = 𝑒.

დამტკიცება. ვთქვათ, 𝑎′ არის 𝑎 ელემენტის მოპირდაპირე 𝜔 ოპერაციის მიმართ. თუ გა-მოვიყენებთ პირობას 𝜔(𝑎,𝑎) = 𝑎, მაშინ

𝜔�𝑎′,𝜔(𝑎,𝑎)� = 𝜔(𝑎′,𝑎) = 𝑒.

მეორეს მხრივ, რადგან 𝜔 ოპერაცია ასოციაციურია, ამიტომ

𝜔�𝑎′,𝜔(𝑎,𝑎)� = 𝜔(𝜔(𝑎′,𝑎),𝑎) = 𝜔(𝑒,𝑎) = 𝑎.

ამ ორი ტოლობიდან ვღებულობთ, რომ 𝑎 = 𝑒. □

დებულება 1.6. ვთქვათ, 𝐺 აბელური ჯგუფია 𝜔 ოპერაციის მიმართ, ნებისმიერი 𝑎 ∈ 𝐺 ელემენტისათვის, 𝑎′ აღნიშნავს მოპირდაპირე ელემენტს და 𝑒 − ნეიტრალური ელემენტია. მაშინ �𝜔(𝑎, 𝑏)�′ = 𝜔(𝑎′,𝑏′), 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.

დამტკიცება. 𝜔 ოპერაციის ასოციაციურობის და კომუტაციურობის თვისებების გამოყე-ნებით, ნებისმიერი 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ელემენტებისათვის, გვექნება:

𝜔�𝜔(𝑎, 𝑏),𝜔(𝑎′,𝑏′)� = 𝜔(𝜔(𝜔(𝑏,𝑎),𝑎′),𝑏′) = 𝜔�𝜔�𝑏,𝜔(𝑎,𝑎′)�,𝑏′� = 𝜔(𝜔(𝑏, 𝑒), 𝑏′) = 𝜔(𝑏, 𝑏′) = 𝑒,

𝜔�𝜔(𝑎′,𝑏′),𝜔(𝑎, 𝑏)� = 𝜔(𝜔(𝜔(𝑏′,𝑎′),𝑎),𝑏) = 𝜔�𝜔�𝑏′,𝜔(𝑎′,𝑎)�, 𝑏� = 𝜔(𝜔(𝑏′, 𝑒), 𝑏) = 𝜔(𝑏′, 𝑏) = 𝑒.

დებულება 1.2-ის თანახმად, ნებისმიერ ელემენტს არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი

მოპირდაპირე ელემენტი, ამიტომ �𝜔(𝑎, 𝑏)�′ = 𝜔(𝑎′,𝑏′). □

ვთქვათ, მოცემულია ორი 𝐺 და 𝐺′ აბელური ჯგუფი. განვიხილოთ მათი 𝐺 × 𝐺′ ნამრავ-ლი.

დებულება 1.7. 𝐺 × 𝐺′ აბელური ჯგუფია.


163

დამტკიცება. განვსაზღვროთ 𝜔� ∶ (𝐺 × 𝐺′)2 → 𝐺 × 𝐺′ ალგებრული ოპერაცია შემდეგი ტო-ლობით: 𝜔��(𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)� = �𝜔(𝑎1,𝑎2),𝜔′(𝑏1,𝑏2)�, სადაც 𝜔 და 𝜔′ შესაბამისად, 𝐺 და 𝐺′ ჯგუ-ფებში ალგებრული ოპერაციებია.

1) ვაჩვენოთ, რომ მართებულია ტოლობა:

𝜔� �(𝑎1,𝑏1),𝜔�(𝑎2,𝑏2), (𝑎3, 𝑏3)�� = 𝜔� �𝜔��(𝑎1,𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)�, (𝑎3,𝑏3)�.

(4)

გვაქვს:

𝜔� �(𝑎1,𝑏1),𝜔��(𝑎2,𝑏2), (𝑎3, 𝑏3)�� = 𝜔� �(𝑎1, 𝑏1), �𝜔(𝑎2,𝑎3),𝜔′(𝑏2, 𝑏3)��

= �ვ�𝑎1,𝜔(𝑎2,𝑎3)�,𝜔′�𝑏1,𝜔′(𝑏2, 𝑏3)�� = �𝜔(𝜔(𝑎1,𝑎2),𝑎3),𝜔′(𝜔′(𝑏1,𝑏2), 𝑏3)�.

მეორეს მხრივ,

𝜔� �𝜔��(𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)�, (𝑎3, 𝑏3)� = 𝜔� ��𝜔(𝑎1,𝑎2),𝜔′(𝑏1, 𝑏2)�, (𝑎3, 𝑏3)�

= �𝜔(𝜔(𝑎1,𝑎2),𝑎3),𝜔′(𝜔′(𝑏1, 𝑏2),𝑏3)�.

ამრიგად, (4) ტოლობა მართებულია, რაც ნიშნავს, რომ 𝜔 ოპერაცია ასოციაციურია.

2) თუ 𝑒 და 𝑒′ შესაბამისად, 𝐺 და 𝐺′ ჯგუფების ნეიტრალური ელემენტებია, მაშინ (𝑒, 𝑒′) იქნება ნეიტრალური ელემენტი 𝜔 ოპერაციის მიმართ. მართლაც,

𝜔��(𝑒, 𝑒′), (𝑎, 𝑏)� = �𝜔(𝑒,𝑎),𝜔′(𝑒′, 𝑏)� = (𝑎, 𝑏), 𝜔��(𝑎, 𝑏), (𝑒, 𝑒′)� = �𝜔(𝑎, 𝑒),𝜔′(𝑏, 𝑒′)� = (𝑎, 𝑏).

3) თუ 𝑎′ და 𝑏′ შესაბამისად, 𝑎 და 𝑏 ელემენტების მოპირდაპირე ელემენტებია, მაშინ (𝑎′,𝑏′) იქნება (𝑎, 𝑏) ელემენტის მოპირდაპირე ელემენტი 𝜔� ოპერაციის მიმართ. მართლაც,

𝜔��(𝑎′,𝑏′), (𝑎, 𝑏)� = �𝜔(𝑎′,𝑎),𝜔′(𝑏′,𝑏)� = (𝑒, 𝑒′), 𝜔��(𝑎, 𝑏), (𝑎′, 𝑏′)� = �𝜔(𝑎,𝑎′),𝜔′(𝑏, 𝑏′)� = (𝑒, 𝑒′).

4) ვაჩვენოთ, რომ 𝜔��(𝑎1,𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)� = 𝜔��(𝑎2,𝑏2), (𝑎1, 𝑏1)�. გვაქვს:

𝜔��(𝑎1,𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)� = �𝜔(𝑎1,𝑎2),𝜔′(𝑏1,𝑏2)� = �𝜔(𝑎2,𝑎1),𝜔′(𝑏2, 𝑏1)� = 𝜔��(𝑎2, 𝑏2), (𝑎1, 𝑏1)�. □

რადგან ℤ აბელური ჯგუფია შეკრების მიმართ (მაგალითი 1.18), ამიტომ ℤ2 = ℤ × ℤ, დე-ბულება 1.6-ის თანახმად, იქნება აბელური ჯგუფი.

რადგან ℝ აბელური ჯგუფია შეკრების მიმართ, ამიტომ ℝ2 = ℝ × ℝ, დებულება 1.6-ის თანახმად, იქნება აბელური ჯგუფი.

დებულება 1.8. თუ 𝐺 და 𝐺′ აბელური ჯგუფებია, მაშინ 𝑝 ∶ 𝐺 × 𝐺′ → 𝐺 და 𝑞 ∶ 𝐺 × 𝐺′ →𝐺′ პროექციები ჰომომორფიზმები იქნება.

დამტკიცება. როგორც ვიცით, 𝑝(𝑎, 𝑏) = 𝑎, 𝑞(𝑎, 𝑏) = 𝑏, 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑏 ∈ 𝐺′. შევამოწმოთ ჰომო-მორფიზმის განსაზღვრაში მოთხოვნილი პირობა. უნდა ვაჩვენოთ, რომ

𝑝 �𝜔��(𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)�� = 𝜔�𝑝(𝑎1, 𝑏1),𝑝(𝑎2, 𝑏2)�

და

𝑞 �𝜔��(𝑎1,𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)�� = 𝜔′�𝑞(𝑎1,𝑏1), 𝑞(𝑎2, 𝑏2)�,


164

სადაც 𝜔�,𝜔 და 𝜔′, ალგებრული ოპერაციებია შესაბამისად, 𝐺 × 𝐺′, 𝐺 და 𝐺′ ჯგუფებში. გვაქვს:

𝑝 �𝜔��(𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)�� = 𝑝�𝜔(𝑎1,𝑎2),𝜔2(𝑏1,𝑏2)� = 𝜔(𝑎1,𝑎2) = 𝜔�𝑝(𝑎1,𝑏1),𝑝(𝑎2, 𝑏2)�;

𝑞 �𝜔��(𝑎1,𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)�� = 𝑞�𝜔(𝑎1,𝑎2),𝜔′(𝑏1, 𝑏2)� = 𝜔′(𝑏1,𝑏2) = 𝜔′�𝑞(𝑎1, 𝑏1),𝑞(𝑎2, 𝑏2)�. □

დებულება 1.9. თუ 𝐺 აბელური ჯგუფია 𝜔 ოპერაციის მიმართ, მაშინ 𝑑 ∶ 𝐺 → 𝐺 × 𝐺 დი-აგონალური ასახვა ჰომომორფიზმია.

დამტკიცება. უნდა ვაჩვენოთ, რომ 𝑑�𝜔(𝑎1,𝑎2)� = 𝜔��𝑑(𝑎1),𝑑(𝑎2)�, სადაც 𝜔� ალგებრული ოპერაციაა 𝐺 × 𝐺′ ჯგუფში. გვაქვს:

𝑑�𝜔(𝑎1,𝑎2)� = �𝜔(𝑎1,𝑎2),𝜔(𝑎1,𝑎2)� = 𝜔��(𝑎1,𝑎1), (𝑎2,𝑎2)� = 𝜔��𝑑(𝑎1),𝑑(𝑎2)�. □

თეორემა 1.2. ვთქვათ, 𝐺 აბელური ჯგუფია 𝜔 ოპერაციის მიმართ, 𝐴 − ნებისმიერი სი-მრავლე, ხოლო ან 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐴 ან 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐺 ბიექციაა. მაშინ 𝐴 სიმრავლეზე არსებობს 𝜔′ ალგე-ბრული ოპერაცია ისეთი, რომ 𝐴 იქნება აბელური ჯგუფი, ხოლო 𝑓 ასახვა იზომორფიზმი.

დამტკიცება. ვთქვათ, მოცემულია 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐴 ბიექცია. მაშინ (𝑓,𝑓) ∶ 𝐺 × 𝐺 → 𝐴 × 𝐴 ასევე ბიექციაა (იხ. თავი I, 3.11). განვიხილოთ შემდეგი დიაგრამა:

(5)

სადაც 𝜔′ ასახვა უნდა ავაგოთ ისე, რომ დიაგრამა კომუტაციური იყოს.

ავიღოთ ნებისმიერი (𝑎1,𝑎2) ∈ 𝐴 × 𝐴 წყვილი. რადგან (𝑓, 𝑓) ასახვა ბიექციაა, ამიტომ არ-სებობს ერთადერთი (𝑏1,𝑏2) ∈ 𝐺 × 𝐺 წყვილი ისეთი, რომ (𝑓,𝑓)(𝑏1,𝑏2) = (𝑎1,𝑎2). 𝜔′ ასახვა განვ-საზღვროთ 𝜔′(𝑎1,𝑎2) = 𝑓�𝜔(𝑏1,𝑏2)� ტოლობით. რადგან

𝜔′(𝑓,𝑓)(𝑏1,𝑏2) = 𝜔′(𝑎1,𝑎2) = 𝑓�𝜔(𝑏1, 𝑏2)�,

ამიტომ (5) დიაგრამა კომუტაციურია. ვაჩვენოთ, რომ ასე განსაზღვრული 𝜔′ ოპერაციის მიმართ 𝐴 იქნება აბელური ჯგუფი.

1) 𝜔′�𝑎1,𝜔′(𝑎2,𝑎3)� = 𝜔′ �𝑎1,𝑓�𝜔(𝑏2, 𝑏3)�� = 𝑓 �𝜔�𝑏1,𝜔(𝑏2,𝑏3)��,

𝜔′(𝜔′(𝑎1,𝑎2),𝑎3) = 𝜔′�𝑓�𝜔(𝑏1, 𝑏2)�,𝑎3� = 𝑓�𝜔(𝜔(𝑏1,𝑏2), 𝑏3)�,

სადაც 𝑎1 = 𝑓(𝑏1), 𝑎2 = 𝑓(𝑏2), 𝑎3 = 𝑓(𝑏3). რადგან 𝜔�𝑏1,𝜔(𝑏2,𝑏3)� = 𝜔(𝜔(𝑏1, 𝑏2),𝑏3), ამიტომ გვე-ქნება 𝜔′�𝑎1,𝜔′(𝑎2,𝑎3)� = 𝜔′(𝜔′(𝑎1,𝑎2),𝑎3), ე. ი. 𝜔′ ოპერაცია ასოციაციურია;

2) თუ 𝑒 არის 𝐺 ჯგუფის ნეიტრალური ელემენტი, მაშინ 𝑓(𝑒) ∈ 𝐴 იქნება ნეიტრალური ელემენტი 𝜔′ ოპერაციის მიმართ. მართლაც, თუ 𝑎 = 𝑓(𝑏), მაშინ

𝜔′�𝑎,𝑓(𝑒)� = 𝑓�𝜔(𝑏, 𝑒)� = 𝑓(𝑏) = 𝑎 და 𝜔′(𝑓(𝑒),𝑎) = 𝑓�𝜔(𝑒, 𝑏)� = 𝑓(𝑏) = 𝑎.

3) ნებისმიერი 𝑎 ∈ 𝐴 ელემენტისათვის, არსებობს მისი მოპირდაპირე 𝑎′ ელემენტი 𝜔′ ოპე-რაციის მიმართ. რადგან 𝑓 ასახვა ბიექციაა, ამიტომ არსებობს 𝑏 ელემენტი ისეთი, რომ 𝑎 = 𝑓(𝑏). რადგან 𝐺 აბელური ჯგუფია, ამიტომ 𝑏 ელემენტისათვის არსებობს მოპირდაპირე 𝑏′ ელემენტი 𝜔 ოპერაციის მიმართ. ვაჩვენოთ, რომ 𝑎′ = 𝑓(𝑏′) ელემენტი იქნება 𝑎 ელემენტისათვის მოპირ-დაპირე 𝜔′ ოპერაციის მიმართ. მართლაც,


165

𝜔′(𝑎,𝑎′) = 𝑓�𝜔(𝑏, 𝑏′)� = 𝑓(𝑒) და 𝜔′(𝑎′,𝑎) = 𝑓�𝜔(𝑏′,𝑏)� = 𝑓(𝑒).

4) ნებისმიერი 𝑎1,𝑎2 ∈ 𝐴 ელემენტებისათვის, მართებულია 𝜔′(𝑎1,𝑎2) = 𝜔′(𝑎2,𝑎1) ტოლო-ბა. მართლაც,

𝜔′(𝑎1,𝑎2) = 𝑓�𝜔(𝑏1, 𝑏2)� = 𝑓�𝜔(𝑏2,𝑏1)� = 𝜔′(𝑎2,𝑎1).

რადგან (5) დიაგრამა კომუტაციურია, ამიტომ 𝑓 ასახვა იზომორფიზმია.

დამტკიცება ანალოგიურია, როცა მოცემულია 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐺 ბიექცია. □

დებულება 1.10. თუ 𝑋 ნებისმიერი სიმრავლეა და 𝐺 აბელური ჯგუფი, მაშინ 𝑀(𝑋,𝐺) ={𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝐺 } სიმრავლე აბელური ჯგუფია.

დამტკიცება. ვთქვათ, 𝜔 ალგებრული ოპერაციაა 𝐺 ჯგუფზე. განვსაზღვროთ 𝜔′ ალგე-ბრული ოპერაცია 𝑀(𝑋,𝐺) სიმრავლეზე 𝜔′(𝑓,𝑔)(𝑥) = 𝜔�𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)� ტოლობით.

1) ვაჩვენოთ, რომ

𝜔′�𝑓,𝜔′(𝑔,ℎ)� = 𝜔′(𝜔′(𝑓,𝑔),ℎ). (6)

რადგან

𝜔′�𝑓,𝜔′(𝑔,ℎ)�(𝑥) = 𝜔�𝑓(𝑥),𝜔′(𝑔,ℎ)(𝑥)� = 𝜔 �𝑓(𝑥),𝜔�𝑔(𝑥),ℎ(𝑥)�� = 𝜔 �𝜔�𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)�,ℎ(𝑥)�,

𝜔′(𝜔′(𝑓,𝑔),ℎ)(𝑥) = 𝜔�𝜔′(𝑓,𝑔)(𝑥),ℎ(𝑥)� = 𝜔 �𝜔�𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)�,ℎ(𝑥)�,

ამიტომ (6) ტოლობა მართებულია.

2) ნეიტრალური ელემენტი 𝜔′ ოპერაციის მიმართ იქნება მუდმივი ასახვა �̅� ∶ 𝑋 → 𝐺 ისე-თი, რომ �̅�(𝑋) = 𝑒, სადაც 𝑒 ნეიტრალური ელემენტია 𝜔 ოპერაციის მიმართ. მართლაც,

𝜔′(𝑓, �̅�)(𝑥) = 𝜔�𝑓(𝑥), �̅�(𝑥)� = 𝜔(𝑓(𝑥), 𝑒) = 𝑓(𝑥),

𝜔′(�̅�,𝑓)(𝑥) = 𝜔��̅�(𝑥),𝑓(𝑥)� = 𝜔�𝑒,𝑓(𝑥)� = 𝑓(𝑥).

3) რადგან 𝐺 აბელური ჯგუფია, ნებისმიერი 𝑎 ელემენტისათვის არსებობს ერთადერთი მოპირდაპირე 𝑎′ ელემენტი ისეთი, რომ 𝜔(𝑎,𝑎′) = 𝑒. ვთქვათ, 𝑓 ∈ 𝑀(𝑋,𝐺). ავაგოთ 𝑓-ის მოპირ-დაპირე 𝑓′ ელემენტი შემდეგნაირად: 𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥)′. მაშინ

𝜔′(𝑓,𝑓′)(𝑥) = 𝜔�𝑓(𝑥),𝑓′(𝑥)� = 𝜔(𝑓(𝑥),𝑓(𝑥)′) = 𝑒,

𝜔′(𝑓′ ,𝑓)(𝑥) = 𝜔�𝑓′(𝑥),𝑓(𝑥)� = 𝜔�𝑓(𝑥)′,𝑓(𝑥)� = 𝑒,

ე. ი. 𝜔′(𝑓′ ,𝑓) = �̅�.

4) 𝜔′(𝑓,𝑔)(𝑥) = 𝜔�𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)� = 𝜔�𝑔(𝑥),𝑓(𝑥)� = 𝜔′(𝑔,𝑓)(𝑥), ე. ი. 𝑀(𝑋,𝐺) აბელური ჯგუფია. □

აღვნიშნოთ Hom(𝐺1,𝐺2) სიმბოლოთი სიმრავლე, რომლის ელემენტებია 𝑓 ∶ 𝐺1 → 𝐺2 ჰომომორფიზმები, სადაც 𝐺1 და 𝐺2 აბელური ჯგუფებია.

დებულება 1.11. თუ 𝑓,𝑔 ∈ Hom(𝐺1,𝐺2), მაშინ შეკრება 𝑓 + 𝑔 განვსაზღვროთ ტოლობით: (𝑓 + 𝑔)(𝑎) = 𝜔′�𝑓(𝑎),𝑔(𝑎)�, 𝑎 ∈ 𝐺1, სადაც 𝜔′ ალგებრული ოპერაციაა 𝐺2 ჯგუფზე. Hom(𝐺1,𝐺2) აბელური ჯგუფია შეკრების მიმართ.

დამტკიცება. 1) ვაჩვენოთ, რომ თუ 𝑓,𝑔 ∈ Hom(𝐺1,𝐺2), მაშინ 𝑓 + 𝑔 ∈ Hom(𝐺1,𝐺2). მართ-ლაც, ვთქვათ, 𝜔 ალგებრული ოპერაციაა 𝐺1 ჯგუფზე. რადგან 𝑓 და 𝑔 ჰომომორფიზმებია, ამი-


166

ტომ ნებისმიერი 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺1 ელემენტებისათვის, გვაქვს: 𝑓�𝜔(𝑎, 𝑏)� = 𝜔′�𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)�, 𝑔�𝜔(𝑎, 𝑏)� =𝜔′�𝑔(𝑎),𝑔(𝑏)�. ამ ტოლობების, შეკრების განსაზღვრის, აგრეთვე 𝜔′ ოპერაციის ასოციაციურო-ბის და კომუტაციურობის თვისებების გამოყენებით გვექნება:

(𝑓 + 𝑔)�𝜔(𝑎, 𝑏)� = 𝜔′ �𝑓�𝜔(𝑎, 𝑏)�,𝑔�𝜔(𝑎, 𝑏)�� = 𝜔′ �𝜔′�𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)�,𝜔′�𝑔(𝑎),𝑔(𝑏)��

= 𝜔′ �𝜔′ �𝜔′�𝑓(𝑏),𝑓(𝑎)�,𝑔(𝑎)� ,𝑔(𝑏)� = 𝜔′ �𝜔′ �𝑓(𝑏),𝜔′�𝑓(𝑎),𝑔(𝑎)�� ,𝑔(𝑏)�

= 𝜔′ �𝜔′ �𝜔′�𝑓(𝑎),𝑔(𝑎)�,𝑓(𝑏)� ,𝑔(𝑏)� = 𝜔′ �𝜔′�𝑓(𝑎),𝑔(𝑎)�,𝜔′�𝑓(𝑏),𝑔(𝑏)��

= 𝜔′�(𝑓 + 𝑔)(𝑎), (𝑓 + 𝑔)(𝑏)�, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺,

ე. ი. 𝑓 + 𝑔 ჰომომორფიზმია და 𝑓 + 𝑔 ∈ Hom(𝐺1,𝐺2) ამრიგად, შეკრების ოპერაცია Hom(𝐺1,𝐺2) სიმრავლეზე კორექტულად არის განსაზღვრული.

2) რადგან Hom(𝐺1,𝐺2) ⊂ 𝑀(𝐺1,𝐺2), დებულება 1.10-ის დამტკიცების 1) პუნქტის ძალით, შეკრების ოპერაცია Hom(𝐺1,𝐺2) სიმრავლეზე ასოციაციურია.

3) განვიხილოთ მუდმივი ასახვა �̅� ∶ 𝐺1 → 𝐺2 ისეთი, რომ �̅�(𝐺1) = 𝑒2, სადაც 𝑒2 ნეიტრა-ლური ელემენტია 𝜔′ ოპერაციის მიმართ. ვაჩვენოთ, რომ �̅� ∈ Hom(𝐺1,𝐺2). მართლაც,

�̅��𝜔(𝑎, 𝑏)� = 𝑒2 = 𝜔′(𝑒2, 𝑒2) = 𝜔′��̅�(𝑎), �̅�(𝑏)�.

მაშინ, დებულება 1.10-ის დამტკიცების 2) პუნქტის თანახმად, �̅� ნეიტრალური ელემენტია Hom(𝐺1,𝐺2) სიმრავლეში შეკრების მიმართ.

4) ნებისმიერი 𝑓 ∈ Hom(𝐺1,𝐺2) ასახვისათვის, განვსაზღვროთ 𝑓′ ∶ 𝐺1 → 𝐺2 ასახვა შემდე-გი ტოლობით: 𝑓′(𝑎) = 𝑓(𝑎)′, სადაც 𝑓(𝑎)′ არის 𝑓(𝑎) ∈ 𝐺2 ელემენტის მოპირდაპირე 𝜔′ ოპერა-ციის მიმართ. ვაჩვენოთ, რომ 𝑓′ ∈ Hom(𝐺1,𝐺2). განსაზღვრისა და დებულება 1.6-ის გამოყენე-ბით გვექნება:

𝑓′�𝜔(𝑎, 𝑏)� = �𝑓�𝜔(𝑎, 𝑏)��′

= �𝜔′�𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)��′

= 𝜔′(𝑓(𝑎)′,𝑓(𝑏)′) = 𝜔′�𝑓′(𝑎),𝑓′(𝑏)�,

ე. ი. 𝑓′ ∈ Hom(𝐺1,𝐺2). მაშინ, დებულება 1.10-ის დამტკიცების 3) პუნქტის თანახმად, 𝑓′ არის 𝑓-ის მოპირდაპირე ელემენტი Hom(𝐺1,𝐺2) სიმრავლეში შეკრების მიმართ.

5) დებულება 1.10-ის დამტკიცების 4) პუნქტის ძალით, შეკრების ოპერაცია Hom(𝐺1,𝐺2) სიმრავლეზე კომუტაციურია.

ამრიგად, Hom(𝐺1,𝐺2) აბელური ჯგუფია. □

დებულება 1.12. თუ 𝐺 აბელური ჯგუფია 𝜔 ოპერაციის მიმართ, მაშინ არსებობს

𝜃 ∶ Hom(ℤ,𝐺) →� 𝐺

იზომორფიზმი.

დამტკიცება. რადგან ℤ აბელური ჯგუფია (იხ. მაგალითი 1.18), ამიტომ დებულება 1.11-ის ძალით, Hom(ℤ,𝐺) აბელური ჯგუფია შეკრების მიმართ.

ა) ვთქვათ, 𝐺 აბელურ ჯგუფში 𝜔 შეკრების ოპერაციაა. ავიღოთ ნებისმიერი 𝑓 ∶ ℤ → 𝐺 ჰო-მომორფიზმი და აღვნიშნოთ 𝑓(1) = 𝑎. რადგან 𝑓 ჰომომორფიზმია, ამიტომ

1) 𝑓(0) = 𝑒 − ნეიტრალური ელემენტია 𝐺 ჯგუფში (იხ. დებულება 1.4 ა));


167

2) თუ 𝑛 > 0, მაშინ 𝑛 = 1 +⋯+ 1��𝑛-ჯერ

და 𝑓(𝑛) = 𝑓(1) + ⋯+ 𝑓(1)��𝑛-ჯერ

= 𝑎 +⋯+ 𝑎��𝑛-ჯერ

= 𝑛𝑎;

3) 𝑓(−1) = −𝑎 არის 𝑎 ელემენტის მოპირდაპირე (იხ. დებულება 1.4 ბ));

4) თუ −𝑛 < 0, მაშინ

−𝑛 = −1 +⋯+ (−1)��𝑛-ჯერ

და 𝑓(−𝑛) = 𝑓(−1) + ⋯+ 𝑓(−1)��𝑛-ჯერ

= −𝑎 + ⋯+ (−𝑎)��𝑛-ჯერ

= −𝑛𝑎.

ამიტომ, ნებისმიერი 𝑓 ჰომომორფიზმი შეიძლება განხილულ იქნას, როგორც 𝑓(𝑛) = 𝑛𝑓(1) =𝑛𝑎, 𝑛 ∈ ℤ ასახვა.

განვსაზღვროთ 𝜃 ∶ Hom(ℤ,𝐺) → 𝐺 ასახვა 𝜃(𝑓) = 𝑓(1) = 𝑎 ტოლობით.

ა1) 𝜃 − ჩადგმაა. ვთქვათ, 𝑓 ≠ 𝑔; 𝑓,𝑔 ∈ Hom(ℤ,𝐺), ე. ი. არსებობს 𝑛 ∈ ℤ ისეთი, რომ 𝑓(𝑛) ≠ 𝑔(𝑛). რადგან 𝑓(𝑛) = 𝑛𝑓(1), 𝑔(𝑛) = 𝑛𝑔(1) და 𝑓(𝑛) ≠ 𝑔(𝑛), ამიტომ 𝑓(1) ≠ 𝑔(1) და

𝜃(𝑓) = 𝑓(1) ≠ 𝑔(1) = 𝜃(𝑔).

ა2) 𝜃 − „ზე“ ასახვაა. ვთქვათ, 𝑎 ∈ 𝐺. განვსაზღვროთ 𝑓 ∶ ℤ → 𝐺 ასახვა 𝑓(𝑛) = 𝑛𝑓(1) = 𝑛𝑎,𝑛 ∈ ℤ ტოლობით. ცხადია, 𝑓 ჰომომორფიზმია და 𝜃(𝑓) = 𝑓(1) = 𝑎.

ა3) 𝜃 − ჰომომორფიზმია. მართლაც, 𝜃(𝑓 + 𝑔) = (𝑓 + 𝑔)(1) = 𝑓(1) + 𝑔(1) = 𝜃(𝑓) + 𝜃(𝑔).

ა1) ა2) პუნქტების ძალით 𝜃 ბიექციაა, ამიტომ 𝜃 იზომორფიზმია.

ბ) ვთქვათ, 𝐺 აბელურ ჯგუფში 𝜔 გამრავლების ოპერაციაა. ავიღოთ ნებისმიერი 𝑓 ∶ ℤ → 𝐺 ჰომომორფიზმი და აღვნიშნოთ 𝑓(1) = 𝑎. რადგან 𝑓 ჰომომორფიზმია, ამიტომ

1) 𝑓(0) = 𝑒 − ნეიტრალური ელემენტია 𝐺 ჯგუფში (იხ. დებულება 1.4 ა));

2) თუ 𝑛 > 0, მაშინ 𝑛 = 1 +⋯+ 1��𝑛-ჯერ

და 𝑓(𝑛) = 𝑓(1) ∙ 𝑓(1)⋯𝑓(1)��𝑛-ჯერ

= 𝑎 ∙ 𝑎 ⋯𝑎��𝑛-ჯერ

= 𝑎𝑛;

3) 𝑓(−1) = 𝑎−1 არის 𝑎 ელემენტის მოპირდაპირე (იხ. დებულება 1.4 ბ));

4) თუ −𝑛 < 0, მაშინ

−𝑛 = −1 +⋯+ (−1)��𝑛-ჯერ

და 𝑓(−𝑛) = 𝑓(−1) ∙ 𝑓(−1)⋯𝑓(−1)��𝑛-ჯერ

= 𝑎−1 ∙ 𝑎−1 ⋯𝑎−1��𝑛-ჯერ

= (𝑎−1)𝑛 = 𝑎−𝑛.

ამიტომ, ნებისმიერი 𝑓 ჰომომორფიზმი შეიძლება განხილულ იქნას, როგორც 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛, 𝑛 ∈ ℤ ასახვა.

ბ1), ბ2) და ბ3) პუნქტები ა1), ა2) და ა3) პუნქტების ანალოგიურად მტკიცდება. □

განსაზღვრა 1.5. ვთქვათ, 𝐺 ჯგუფია 𝜔 ∶ 𝐺2 → 𝐺 ოპერაციის მიმართ და 𝐴 ⊂ 𝐺 რაიმე ქვე-სიმრავლეა. ვიტყვით, რომ 𝐴 სიმრავლე არის 𝐺 ჯგუფის ქვეჯგუფი, თუ 1) 𝜔|𝐴2 = 𝜔� ∶ 𝐴2 → 𝐺 შე-ზღუდვა 𝐴2-ზე ისეთია, რომ წარმოადგენს 𝜔� ∶ 𝐴2 → 𝐴 ალგებრულ ოპერაციას; 2) 𝜔� ოპერაციის მიმართ სრულდება ჯგუფის თვისებები.

თუ 𝐺 აბელური ჯგუფია, მისი ნებისმიერი ქვეჯგუფი აბელურია.

მაგალითი 1.21. ვთქვათ, 𝐺 = ℤ ჯგუფია 𝜔 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛 შეკრების ოპერაცი-ის მიმართ, ხოლო 𝐴 = { 2𝑛 + 1 ∣ 𝑛 ∈ ℤ } − კენტი რიცხვების სიმრავლე. მაშინ 𝜔� ∶ 𝐴2 → ℤ შეზ-ღუდვა არ არის ალგებრული ოპერაცია 𝜔� ∶ 𝐴2 → 𝐴, რადგან 𝜔�(2𝑚 + 1,2𝑛 + 1) = 2(𝑚 + 𝑛 + 1) ლუწი რიცხვია.


168

მაგალითი 1.22. ვთქვათ, 𝐺 = ℤ, 𝜔 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛 ოპერაციით, ხოლო 𝐴 =ℤ+ = ℕ ∪ {0} სიმრავლე, რომლის ელემენტებია ნატურალური რიცხვები ან 0. მაშინ 𝜔� ∶ 𝐴2 → ℤ შეზღუდვა არის ალგებრული ოპერაცია 𝜔� ∶ 𝐴2 → 𝐴. ამ ოპერაციის მიმართ სრულდება ასოცია-ციურობა და არსებობს ნეიტრალური ელემენტი 0, მაგრამ არცერთი ნატურალური რიცხვისა-თვის არ არსებობს ამ რიცხვის მოპირდაპირე 𝐴 სიმრავლეში.

მაგალითი 1.23. ვთქვათ, 𝐺 = ℤ, 𝜔 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛 ოპერაციით, ხოლო 𝐴 ={ 2𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℤ } = 2ℤ − ლუწი რიცხვების სიმრავლე. მაშინ 𝜔� ∶ 𝐴2 → ℤ შეზღუდვა არის ალგებრუ-ლი ოპერაცია 𝜔� ∶ 𝐴2 → 𝐴 და 𝜔� ოპერაციის მიმართ სრულდება ჯგუფის ყველა თვისება. ამი-ტომ 2ℤ სიმრავლე არის ℤ ჯგუფის ქვეჯგუფი.

მაგალითი 1.24. ვთქვათ, 𝐺 = ℚ ∖ {0}, სადაც ℚ რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეა და 𝜔 ∶ 𝐺2 → 𝐺 ნამრავლის ოპერაციაა. იოლი შესამოწმებელია, რომ 𝐺 აბელური ჯგუფია. ვთქვათ, 𝐴 = ℚ+ დადებითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეა. ცხადია, 𝐴 ⊂ 𝐺 და 𝜔� შეზღუდვა ალ-გებრული ოპერაციაა 𝐴-ზე. ამ ოპერაციის მიმართ, ℚ+ არის 𝐺 ჯგუფის ქვეჯგუფი.

ვთქვათ, 𝐺 აბელური ჯგუფია, 𝐺′ ჯგუფია, 𝑒1 და 𝑒2 შესაბამისად, მათი ნეიტრალური ელემენტებია, ხოლო 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐺′ ჰომომორფიზმი. 𝐾 = 𝑓−1(𝑒2) ⊆ 𝐺 ქვესიმრავლეს ეწოდება 𝑓 ასახვის ბირთვი. ბირთვის აღსანიშნავად იყენებენ ker 𝑓 სიმბოლოს.

თეორემა 1.3. ა) 𝑓(𝐺) ანასახი 𝐺′ ჯგუფის აბელური ქვეჯგუფია;

ბ) 𝐾 = 𝑓−1(𝑒2) არის 𝐺 ჯგუფის აბელური ქვეჯგუფი.

დამტკიცება. რადგან 𝑓 ჰომომორფიზმია, ამიტომ (1) დიაგრამა კომუტაციურია და 𝑓(𝐺) × 𝑓(𝐺) ⊆ 𝐺′ × 𝐺′ ისეთი ქვესიმრავლეა, რომ 𝜔2 ∶ 𝐺′

2 → 𝐺′ ოპერაციის შეზღუდვა 𝑓(𝐺) ×𝑓(𝐺) ქვესიმრავლეზე არის 𝜔�2 ∶ 𝑓(𝐺) × 𝑓(𝐺) → 𝑓(𝐺) ოპერაცია.

დებულება 1.4-ის ა) პუნქტის ძალით, 𝑓(𝑒1) = 𝑒2 ∈ 𝑓(𝐺). დებულება 1.4-ის ბ) პუნქტის ძა-ლით, თუ 𝑎′ ∈ 𝐺 არის 𝑎 ∈ 𝐺 ელემენტის მოპირდაპირე, მაშინ 𝑓(𝑎′) ∈ 𝑓(𝐺) არის 𝑓(𝑎) ელემენ-ტის მოპირდაპირე.

რადგან 𝜔1�𝑎,𝜔1(𝑏, 𝑐)� = 𝜔1(𝜔1(𝑎, 𝑏), 𝑐), ამიტომ

ა1) 𝑓𝜔1�𝑎,𝜔1(𝑏, 𝑐)� = 𝜔2�𝑓(𝑎),𝑓𝜔1(𝑏, 𝑐)� = 𝜔2 �𝑓(𝑎),𝜔2�𝑓(𝑏),𝑓(𝑐)��

= 𝜔2 �𝜔2�𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)�,𝑓(𝑐)�,

ა2) 𝑓𝜔1(𝜔1(𝑎, 𝑏), 𝑐) = 𝜔2�𝑓𝜔1(𝑎, 𝑏),𝑓(𝑐)� = 𝜔2 �𝜔2�𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)�,𝑓(𝑐)�,

ე. ი. 𝜔�2 ოპერაცია ასოციაციურია.

რადგან 𝜔1(𝑎, 𝑏) = 𝜔1(𝑏,𝑎), ამიტომ

ა3) 𝑓𝜔1(𝑎, 𝑏) = 𝜔2�𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)�, ა4) 𝑓𝜔1(𝑏,𝑎) = 𝜔2�𝑓(𝑏),𝑓(𝑎)�,

ე. ი. 𝜔�2 ოპერაცია კომუტაციურია.

ამრიგად, 𝑓(𝐺) არის 𝐺′ ჯგუფის აბელური ქვეჯგუფი.

ბ) ვთქვათ, 𝑎1,𝑎2 ∈ 𝐾. გვაქვს: 𝑓𝜔1(𝑎1,𝑎2) = 𝜔2�𝑓(𝑎1),𝑓(𝑎2)� = 𝜔2(𝑒2,𝑒2) = 𝑒2, ამიტომ 𝜔1(𝑎1,𝑎2) ∈ 𝐾 და 𝐾 ⊆ 𝐺 ისეთი ქვესიმრავლეა, რომ 𝜔1 ∶ 𝐺2 → 𝐺 ოპერაციის შეზღუდვა 𝐾 × 𝐾 ქვე-სიმრავლეზე არის 𝜔�1 ∶ 𝐾 × 𝐾 → 𝐾 ოპერაცია. რადგან 𝑓(𝑒1) = 𝑒2, ამიტომ 𝑒1 ∈ 𝐾. რადგან 𝐺 ჯგუ-


169

ფია, ნებისმიერი 𝑎 ∈ 𝐺 ელემენტისათვის არსებობს მისი მოპირდაპირე 𝑎′ ელემენტი. ვთქვათ, 𝑎 ∈ 𝐾. ვაჩვენოთ, რომ 𝑎′ ∈ 𝐾. რადგან 𝑓 ჰომომორფიზმია, ამიტომ დებულება 1.4 ბ)-ს თანახმად, 𝑓(𝑎′) = 𝑓(𝑎)′. მაგრამ 𝑓(𝑎) = 𝑒2, ამიტომ 𝑓(𝑎)′ = 𝑒2′ = 𝑒2. ე. ი. 𝑓(𝑎′) = 𝑒2 და 𝑎′ ∈ 𝐾. რადგან 𝐾 ⊆ 𝐺, 𝜔�1 ოპერაციისათვის სრულდება ასოციაციურობის და კომუტაციურობის თვისებები. ამრიგად, 𝐾 ბირთვი აბელური ქვეჯგუფია. □

მაგალითი 1.25. ვთქვათ, 𝐺 = ℤ, 𝐺′ = ℤ. 𝑓 ∶ ℤ → ℤ ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(𝑛) = 2𝑛 ტოლობით. ცხადია, რომ 𝑓 ჰომომორფიზმია, 𝑓(𝑛 + 𝑚) = 2(𝑛 + 𝑚) = 2𝑛 + 2𝑚 = 𝑓(𝑛) + 𝑓(𝑚). მა-შინ Im 𝑓 = 2ℤ ლუწი რიცხვების სიმრავლე, თეორემა 1.3-ის ძალით, არის ℤ ჯგუფის ქვეჯგუფი. ამ ჯგუფს ციკლურ ჯგუფს უწოდებენ, ხოლო 2-ს − მის წარმომქმნელს.

ზოგადად, ვთქვათ, 𝑓 ∶ ℤ → ℤ ასახვა განსაზღვრულია 𝑓(𝑛) = 𝑚𝑛 ტოლობით, სადაც 𝑚,𝑛 ∈ ℤ. რადგან 𝑓 ასახვა ჰომომორფიზმია, ამიტომ თეორემა 1.3-ის ძალით, Im 𝑓 = 𝑚ℤ არის აბე-ლური ციკლური ჯგუფი და 𝑚 მისი წარმომქმნელია.

მაგალითი 1.26. ვთქვათ, 𝐺 = ℤ, ხოლო 𝐺′ = ℚ+ . 𝑓 ∶ ℤ → ℚ+ ასახვა განსაზღვრულია ტოლობით 𝑓(𝑛) = 2𝑛 . მაგალით 1.8-ის თანახმად, ეს ასახვა ჰომომორფიზმია. Im 𝑓 = { 2𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℤ } არის ℚ+ აბელური ჯგუფის ქვეჯგუფი და ამ ჯგუფს ასევე ციკლურს უწოდებენ და 2-ს − მის წარმომქმნელს.

ვთქვათ, 𝐺 აბელური ჯგუფია 𝜔 ოპერაციის მიმართ, ხოლო 𝑁 − მისი ქვეჯგუფი. განვ-საზღვროთ ~ მიმართება 𝐺 ჯგუფში: 𝑎~𝑏, თუ 𝜔(𝑎, 𝑏′) ∈ 𝑁, სადაც 𝑏′ აღნიშნავს 𝑏 ელემენტის მოპირდაპირეს, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺. ვაჩვენოთ, რომ ეს ეკვივალენტობის მიმართებაა (იხ. თავი I, §2.2):

1) 𝑎~𝑎, რადგან 𝜔(𝑎,𝑎′) = 𝑒 ∈ 𝑁 (მიმართება რეფლექსურია);

2) თუ 𝑎~𝑏, განსაზღვრის თანახმად, 𝜔(𝑎, 𝑏′) ∈ 𝑁. რადგან 𝑁 ჯგუფია, ამიტომ 𝜔(𝑎, 𝑏′)′ ∈𝑁. დებულება 1.6-ის ძალით, 𝜔(𝑎, 𝑏′)′ = 𝜔(𝑎′, (𝑏′)′). მოპირდაპირე ელემენტის განსაზღვრიდან პირდაპირ მიიღება, რომ (𝑏′)′ = 𝑏. გარდა ამისა, 𝑁 აბელური ჯგუფია, ამიტომ 𝜔(𝑎, 𝑏′)′ = 𝜔(𝑏,𝑎′). ე. ი. 𝜔(𝑏,𝑎′) ∈ 𝑁, რაც ნიშნავს, რომ 𝑏~𝑎 (მიმართება სიმეტრიულია);

3) ვთქვათ, 𝑎~𝑏 და 𝑏~𝑐. განსაზღვრის თანახმად, 𝜔(𝑎, 𝑏′),𝜔(𝑏, 𝑐′) ∈ 𝑁. რადგან 𝑁 ჯგუ-

ფია, ამიტომ 𝜔�𝜔(𝑎, 𝑏′),𝜔(𝑏, 𝑐′)� = 𝜔 �𝑎,𝜔�𝑏′,𝜔(𝑏, 𝑐′)�� = 𝜔�𝑎,𝜔(𝜔(𝑏′, 𝑏), 𝑐′)� = 𝜔�𝑎,𝜔(𝑒, 𝑐′)� =

𝜔(𝑎, 𝑐′) ∈ 𝑁, რაც ნიშნავს, რომ 𝑎~𝑐 (მიმართება ტრანზიტულია).

ამრიგად, შემოღებული მიმართება ეკვივალენტობის მიმართებაა. ამ მიმართების შედე-გად მიღებული 𝐺/~ ფაქტორსიმრავლე აღვნიშნოთ 𝐺/𝑁 სიმბოლოთი. ამ სიმრავლეში შეგვი-ძლია განვსაზღვროთ ალგებრული ოპერაცია შემდეგნაირად: თუ ([𝑎], [𝑏]) ∈ 𝐺/𝑁 × 𝐺/𝑁 მაშინ ვთქვათ, 𝜔�([𝑎], [𝑏]) = [𝜔(𝑎, 𝑏)]. ვაჩვენოთ, რომ 𝜔� ალგებრული ოპერაცია კორექტულად არის განსაზღვრული. ვთქვათ, 𝑎1 ∈ [𝑎], 𝑏1 ∈ [𝑏]. უნდა ვაჩვენოთ, რომ [𝜔(𝑎1, 𝑏1)] = [𝜔(𝑎, 𝑏)]. დებუ-ლება 1.6-ის, 𝜔 ოპერაციის ასოციაციურობის და კომუტაციურობის თვისებების გამოყენებით, გვაქვს:

𝜔(𝜔(𝑎1, 𝑏1),𝜔(𝑎, 𝑏)′) = 𝜔�𝜔(𝑎1,𝑏1),𝜔(𝑎′, 𝑏′)� = 𝜔 �𝑎1,𝜔�𝑏1,𝜔(𝑎′,𝑏′)��

= 𝜔 �𝑎1,𝜔�𝑏1,𝜔(𝑏′,𝑎′)�� = 𝜔�𝑎1,𝜔(𝜔(𝑏1,𝑏′),𝑎′)�

= 𝜔 �𝑎1,𝜔�𝑎′,𝜔(𝑏1, 𝑏′)�� = 𝜔�𝜔(𝑎1,𝑎′),𝜔(𝑏1, 𝑏′)�.

რადგან 𝜔(𝑎1,𝑎′), 𝜔(𝑏1, 𝑏′) ∈ 𝑁 და 𝑁 ჯგუფია, ამიტომ 𝜔�𝜔(𝑎1,𝑎′),𝜔(𝑏1, 𝑏′)� ∈ 𝑁, ე. ი.


170

(𝜔(𝜔(𝑎1, 𝑏1),𝜔(𝑎, 𝑏)′) ∈ 𝑁) ⇒ (𝜔(𝑎1, 𝑏1)~𝜔(𝑎, 𝑏)′) ⇒ ([𝜔(𝑎1, 𝑏1)] = [𝜔(𝑎, 𝑏)]).

მართებულია შემდეგი დებულება:

თეორემა 1.4. თუ 𝐺 აბელური ჯგუფია 𝜔 ოპერაციის მიმართ, ხოლო 𝑁 − მისი ქვეჯგუფი, მაშინ 𝐺/𝑁 ფაქტორსიმრავლე 𝜔� ალგებრული ოპერაციის მიმართ აბელური ჯგუფია.

𝐺/𝑁 ჯგუფს ფაქტორჯგუფი ეწოდება.

მაგალითი 1.27. მაგალით 1.18-ის თანახმად, ℤ აბელური ჯგუფია შეკრების მიმართ, ხო-ლო მაგალით 1.25-ის თანახმად, 𝑚ℤ არის ℤ ჯგუფის ქვეჯგუფი. ამიტომ ყოველი 𝑚 ∈ ℤ,𝑚 ≥ 2 რიცხვისათვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ ℤ/𝑚ℤ = ℤ𝑚 ფაქტორჯგუფი, რომელიც არის აბელუ-რი ჯგუფი.

მაგალითი 1.28. ℝ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე აბელური ჯგუფია შეკრების მიმართ, ხოლო ℤ მისი ქვეჯგუფია. ამიტომ ℝ/ℤ ფაქტორჯგუფი აბელური ჯგუფია.

დებულება 1.13. ვთქვათ, 𝐺 აბელური ჯგუფია, ხოლო 𝑁 − მისი ქვეჯგუფი. თუ 𝐴 სიმრავ-ლე ისეთია, რომ არსებობს 𝑓 ∶ 𝐺/𝑁 → 𝐴 ბიექცია, მაშინ 𝐴 აბელური ჯგუფია, ხოლო 𝑓 იზომორფიზმია.

დამტკიცება. თეორემა 1.4-ის ძალით, 𝐺/𝑁 აბელური ჯგუფია. მაშინ თეორემა 1.2-ის თანახმად, 𝐴 აბელური ჯგუფია, ხოლო 𝑓 იზომორფიზმია. □

შედეგი 1.1. ვთქვათ, ℤ/𝑚ℤ = ℤ𝑚 , ხოლო 𝐴 = {0,1, … ,𝑚 − 1} სასრული სიმრავლეა. ℤ𝑚 აბე-ლური ჯგუფია და მისი ნებისმიერი ელემენტია [𝑎] = �𝑚𝑛𝑗 + 𝑗 ∣∣ 𝑛𝑗 ∈ ℤ �, 𝑗 ∈ {0,1, … ,𝑚}. ამიტომ არსებობს 𝑓 ∶ ℤ𝑚 → 𝐴 ბიექცია, განსაზღვრული 𝑓��𝑚𝑛𝑗 + 𝑗�� = 𝑗 ტოლობით. დებულება 1.13-ის გამოყენებით ვღებულობთ, რომ 𝐴 აბელური ჯგუფია და 𝑓 იზომორფიზმი.

შედეგი 1.2. თუ 𝐵 ნებისმიერი სასრული სიმრავლეა, 𝑛(𝐵) = 𝑚, მაშინ 𝐴 = {0,1, … ,𝑚− 1} და 𝐵 სიმრავლეებს შორის არსებობს ბიექცია და 𝐵 იქნება აბელური ჯგუფი.

მაგალითი 1.29. ვთქვათ, 𝑚 = 2, მაშინ დებულება 1.13-ის თანახმად, გვექნება 𝑓 ∶ ℤ/2ℤ →𝐴 = {0,1} იზომორფიზმი და 𝐴 = {0,1} იქნება აბელური ჯგუფი, სადაც 1) 0 + 0 = 0, 2) 1 + 0 =1 = 0 + 1, 3) 1 + 1 = 0.

მაგალითი 1.30. ვთქვათ, მოცემულია ℝ სიმრავლის 𝑋 = [𝑎;𝑏] მონაკვეთი. 𝐶(𝑋) სიმრავ-ლის ელემენტებია ყველა უწყვეტი 𝑓 ∶ 𝑋 → ℝ ფუნქცია. 𝐶1(𝑋) სიმრავლის ელემენტებია ყველა უწყვეტად წარმოებადი 𝐹 ∶ 𝑋 → ℝ ფუნქცია, ე. ი. უწყვეტი 𝐹 ფუნქციის 𝐹′ წარმოებული უწ-ყვეტი ფუნქციაა. დებულება 1.10-ის თანახმად, 𝐶(𝑋) და 𝐶1(𝑋) სიმრავლეები აბელური ჯგუფებია შეკრების ოპერაციის მიმართ. ავაგოთ 𝐿 ∶ 𝐶1(𝑋) → 𝐶(𝑋) ასახვა 𝐿(𝐹) = 𝐹′ ტოლობით. როგორც მათემატიკური ანალიზიდან ვიცით, მართებულია (𝐹 + 𝐺)′ = 𝐹′ + 𝐺′ ტოლობა. ამიტომ 𝐿 ასა-ხვა ჰომომორფიზმია. გარდა ამისა, მათემატიკური ანალიზიდან ცნობილია, რომ ნებისმიერი უწყვეტი 𝑓 ∈ 𝐶(𝑋) ფუნქციისათვის, არსებობს პირველადი ფუნქცია 𝐹, ე. ი. 𝐹′ = 𝑓. ამრიგად, 𝐿 ჰომომორფიზმი არის „ზე“ ასახვა, რადგან ნებისმიერი 𝑓 ∈ 𝐶(𝑋) ფუნქციისათვის არსებობს 𝐹 ∈ 𝐶1(𝑋) ფუნქცია ისეთი, რომ 𝐿(𝐹) = 𝐹′ = 𝑓. 𝐶(𝑋) აბელურ ჯგუფში ნეიტრალური ელემენტი შეკრების მიმართ არის მუდმივი ასახვა 𝑒 ∶ 𝑋 → ℝ ისეთი, რომ 𝑒(𝑥) = 0, 𝑥 ∈ 𝑋.

თეორემა 1.3-ის თანახმად, 𝐿 ჰომომორფიზმის 𝐾 ბირთვი არის ქვეჯგუფი, რომლის ელემენტებია მხოლოდ მუდმივი 𝑐̅ ასახვები, 𝑐̅ ∶ 𝑋 → ℝ, 𝑐̅(𝑥) = 𝑐, სადაც 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑐 ∈ ℝ, რადგან 𝑐̅′ = 𝑒 = 0. თეორემა 1.4-ის თანახმად, 𝐶1(𝑋)/𝐾 ფაქტორჯგუფია, რომლის ყოველი ელემენტი [𝐹]


171

კლასია. ცხადია, რომ თუ 𝐺 ∈ [𝐹], მაშინ 𝐹 − 𝐺 ∈ 𝐾, ე. ი. 𝐹 − 𝐺 მუდმივი ასახვაა. განვსაზღვროთ

𝐶1(𝑋)/𝐾 𝐿�~ �� 𝐶(𝑋) ასახვა 𝐿�[𝐹] = 𝐿(𝐹) = 𝐹′ = 𝑓 ტოლობით. 𝐿� ასახვა ინექციაა (იხ. თავი I, თეორე-

მა 3.1). ამავე დროს ის „ზე“ ასახვაა, რადგან 𝐿 „ზე“ ასახვაა. ამრიგად, 𝐿� ასახვა ბიექციაა და ამი-ტომ, დებულება 1.13-ის თანახმად, 𝐿� იზომორფიზმია.

ამ იზომორფიზმის თანახმად, ყოველი 𝑓 ∈ 𝐶(𝑋) ასახვისათვის არსებობს ერთადერთი [𝐹] კლასი, ამ კლასს ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრალი 𝑓 ფუნქციიდან და ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 სიმბო-ლოთი აღინიშნება.

მაგალითი 1.31. 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვას ეწოდება უწყვეტი ჰომომორფიზმი, თუ 𝑓 უწყვეტი ფუნქცია და ჰომომორფიზმია ერთდროულად. აღვნიშნოთ Hom(ℝ,ℝ) სიმბოლოთი სიმრავლე, რომლის ელემენტებია უწყვეტი ჰომომორფიზმები. განვიხილოთ მხოლოდ წრფივი 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ფუნქციები, მოცემულნი 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥, 𝑘, 𝑥 ∈ ℝ ტოლობით. ცხადია, რომ ასეთი ასახვები უწყვეტი ჰომომორფიზმებია. აღვნიშნოთ 𝐿(ℝ,ℝ) სიმბოლოთი სიმრავლე, რომლის ელემენტებია 𝑓(𝑥) =𝑘𝑥 წრფივი ჰომომორფიზმები. ცხადია, რომ Hom(ℝ,ℝ) და 𝐿(ℝ,ℝ) აბელური ჯგუფებია შეკრე-ბის ოპერაციის მიმართ.

მტკიცდება (იხ. [14], §3.5, გვ. 120), რომ ეს ორი აბელური ჯგუფი ტოლია

Hom(ℝ,ℝ) = 𝐿(ℝ,ℝ).

172

§2. რგოლი. ველი

ამ პარაგრაფში ჩვენ გავეცნობით ალგებრულ სტრუქტურებს, რომლებზეც განსაზღვრუ-ლია ერთდროულად ორი ალგებრული ოპერაცია.

განსაზღვრა 2.1. ვთქვათ, მოცემულია 𝑅 სიმრავლე და ორი ალგებრული ოპერაცია ამ სი-

მრავლეზე: 𝜔1 = „+“ შეკრება და 𝜔2 = „ ∙ “ გამრავლება: 𝑅 × 𝑅𝜔1�� 𝑅, 𝑅 × 𝑅

𝜔2�� 𝑅, სადაც

𝜔1(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏, 𝜔2(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑏.

ვიტყვით, რომ 𝑅 სიმრავლე არის რგოლი, თუ

1) 𝜔1 ოპერაციის მიმართ 𝑅 აბელური ჯგუფია;

2) 𝜔2 ოპერაცია შეთანხმებულია 𝜔1 ოპერაციასთან: თუ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 მაშინ

2ა) 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐,

2ბ) (𝑏 + 𝑐) ∙ 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑎.

დებულება 2.1. თუ 𝑅რგოლია, მაშინ 0 ⋅ 𝑎 = 𝑎 ⋅ 0 = 0, ნებისმიერი 𝑎 ∈ 𝑅 ელემენტისა-თვის.

დამტკიცება. თუ გამოვიყენებთ რგოლის განსაზღვრის 1) და 2ბ) პირობებს, გვექნება:

0 ⋅ 𝑎 = (0 + 0) ⋅ 𝑎 = 0 ⋅ 𝑎 + 0 ⋅ 𝑎; (0 ⋅ 𝑎 + 0 ⋅ 𝑎 = 0 ⋅ 𝑎) ⇒ (−0 ⋅ 𝑎 + (0 ⋅ 𝑎 + 0 ⋅ 𝑎) = −0 ⋅ 𝑎 + 0 ⋅ 𝑎)

⇒ �(−0 ⋅ 𝑎 + 0 ⋅ 𝑎) + 0 ⋅ 𝑎 = 0� ⇒ (0 + 0 ⋅ 𝑎 = 0) ⇒ (0 ⋅ 𝑎 = 0).

𝑎 ⋅ 0 = 0 ტოლობა ანალოგიურად მტკიცდება. □

მაგალითი 2.1. ვთქვათ, 𝑅 = ℤ, 𝜔1 = „+“, 𝜔2 = „ ∙ “ , მაშინ მაგალით 1.18-ის თანახმად, ℤ აბელური ჯგუფია შეკრების მიმართ. ℤ სიმრავლეზე არსებობს მეორე ალგებრული ოპერაცია, გამრავლება. გამრავლება შეთანხმებულია შეკრებასთან, რადგან მართებულია შემდეგი ორი ტო-ლობა:

𝑚 ∙ (𝑛 + 𝑝) = 𝑚 ∙ 𝑛 + 𝑚 ∙ 𝑝, (𝑛 + 𝑝) ∙ 𝑚 = 𝑛 ∙ 𝑚 + 𝑝 ∙ 𝑚, 𝑚,𝑛,𝑝 ∈ ℤ.

ამიტომ, ℤ რგოლია.

მაგალითი 2.2. ვთქვათ, 𝑅 = ℝ, 𝜔1 = „+“, 𝜔2 = „ ∙ “ , მაშინ ცხადია, ℝ აბელური ჯგუფია 𝜔1 ოპერაციის მიმართ (მაგალითი 1.28). 𝜔2 ოპერაცია შეთანხმებულია 𝜔1 ოპერაციასთან, რად-გან სრულდება ორი პირობა: 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ,

𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐, (𝑏 + 𝑐) ∙ 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑎.

ამიტომ, ℝ რგოლია.

მოვიყვანოთ მაგალითი, როცა 𝐴 სიმრავლეზე განსაზღვრული იქნება ორი ოპერაცია 𝜔1 და 𝜔2 ისე, რომ 𝜔1 ოპერაციის მიმართ 𝐴 იქნება აბელური ჯგუფი, მაგრამ რგოლის განსაზ-ღვრის მეორე პირობა, რომ 𝜔2 ოპერაცია შეთანხმებულია 𝜔1 ოპერაციასთან, არ სრულდება.

მაგალითი 2.3. ვთქვათ, 𝐴 = 𝑀(𝐺,𝐺) = { 𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐺 }, სადაც 𝐺 აბელური ჯგუფია, ხო-ლო 𝑓 ნებისმიერი ასახვა. დებულება 1.10-ის თანახმად, 𝑀(𝐺,𝐺) იქნება აბელური ჯგუფი. მეორე


173

𝜔2 ოპერაცია განვსაზღვროთ შემდეგნაირად: 𝜔2(𝑓,𝑔) = 𝑔𝑓, სადაც 𝑔𝑓 კომპოზიციაა. ვაჩვენოთ, რომ რგოლის განსაზღვრის მეორე პირობა არ სრულდება. ვთქვათ, 𝑓,𝑔,ℎ ∈ 𝑀(𝐺,𝐺).

2ა) ℎ(𝑓 + 𝑔) = ℎ𝑓 + ℎ𝑔 პირობა არ სრულდება:

�ℎ(𝑓 + 𝑔)�(𝑥) = ℎ�𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)�, (ℎ𝑓 + ℎ𝑔)(𝑥) = ℎ𝑓(𝑥) + ℎ𝑔(𝑥).

იმისათვის, რომ პირობა შესრულდეს, ℎ ასახვა უნდა იყოს ჰომომორფიზმი.

2ბ) (𝑓 + 𝑔)ℎ = 𝑓ℎ + 𝑔ℎ პირობა სრულდება, რადგან

�(𝑓 + 𝑔)ℎ�(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)�ℎ(𝑥)� = 𝑓ℎ(𝑥) + 𝑔ℎ(𝑥) = (𝑓ℎ + 𝑔ℎ)(𝑥).

ამრიგად, 𝑀(𝐺,𝐺) სიმრავლე არ არის რგოლი.

მაგალითი 2.4. ვთქვათ, 𝐴 = 𝑀(𝑅,𝑅) = { 𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 }, სადაც, 𝑅 რგოლია. 𝜔1(𝑓,𝑔) = 𝑓 +𝑔 ოპერაციის მიმართ 𝑀(𝑅,𝑅) აბელური ჯგუფია, დებულება 1.10-ის თანახმად. მეორე 𝜔2 ოპე-რაცია განვსაზღვროთ შემდეგნაირად: 𝜔2(𝑓,𝑔) = 𝑓 ∙ 𝑔, სადაც (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), რადგან 𝑅 რგოლია. ვაჩვენოთ, რომ 𝐴 სიმრავლისათვის სრულდება რგოლის განსაზღვრის მეორე პირობა. ვთქვათ, 𝑓,𝑔,ℎ ∈ 𝑀(𝑅,𝑅).

2ა) ℎ ∙ (𝑓 + 𝑔) = ℎ ∙ 𝑓 + ℎ ∙ 𝑔,

�ℎ ∙ (𝑓 + 𝑔)�(𝑥) = ℎ(𝑥) ∙ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = ℎ(𝑥) ∙ �𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)� = ℎ(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = (ℎ ∙ 𝑓)(𝑥) + (ℎ ∙ 𝑔)(𝑥) = (ℎ ∙ 𝑓 + ℎ ∙ 𝑔)(𝑥); 2ბ) (𝑓 + 𝑔) ∙ ℎ = 𝑓 ∙ ℎ + 𝑔 ∙ ℎ,

�(𝑓 + 𝑔) ∙ ℎ�(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) = �𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)� ∙ ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) = (𝑓 ∙ ℎ)(𝑥) + (𝑔 ∙ ℎ)(𝑥) = (𝑓 ∙ ℎ + 𝑔 ∙ ℎ)(𝑥).

მაგალითი 2.5. თუ 𝑀𝑛×𝑛 მატრიცთა სიმრავლეა, რომლის ყოველი ელემენტი 𝑛-ური რი-გის კვადრატული 𝐴 = �𝑎𝑖𝑗� მატრიცაა, მაგალით 1.20-ის თანახმად, 𝜔1 შეკრების ოპერაციის მიმართ 𝑀𝑛×𝑛 აბელური ჯგუფია. 𝑀𝑛×𝑛 სიმრავლეზე არსებობს 𝜔2 გამრავლების ოპერაცია. მატ-რიცთა თეორიის შესწავლის დროს ჩვენ შემოწმებული გვაქვს, რომ სრულდება რგოლის განსაზ-ღვრის მეორე პირობა: 𝐴,𝐵,𝐶 ∈ 𝑀𝑛×𝑛

2ა) 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶,

2ბ) (𝐵 + 𝐶) ∙ 𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐴 + 𝐶 ∙ 𝐴.

ამრიგად, 𝑀𝑛×𝑛 მატრიცთა სიმრავლე არის რგოლი.

მაგალითი 2.6. თუ 𝑉 − ვექტორთა სიმრავლეა მაგალით 1.6-დან. მაშინ 𝜔1 შეკრების ოპერაციის მიმართ 𝑉 აბელური ჯგუფია. 𝑉 სიმრავლეზე 𝜔2 ოპერაცია ვექტორული ნამრავლია. ვექტორთა თეორიის შესწავლის დროს ჩვენ შემოწმებული გვაქვს, რომ სრულდება რგოლის გან-

საზღვრის მეორე პირობა: �⃗�, 𝑏�⃗ , 𝑐 ∈ 𝑉

2ა) �⃗� × �𝑏�⃗ + 𝑐� = �⃗� × 𝑏�⃗ + �⃗� × 𝑐,

2ბ) �𝑏�⃗ + 𝑐�× �⃗� = 𝑏�⃗ × �⃗� + 𝑐 × �⃗�.

ამრიგად, 𝑉 ვექტორთა სიმრავლე არის რგოლი.

განსაზღვრა 2.2. ა) თუ 𝑅 რგოლში გამრავლების ოპერაციის მიმართ სრულდება პირობა: ნებისმიერი 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 ელემენტებისათვის,

𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐,


174

მაშინ 𝑅-ს ეწოდება ასოციაციური რგოლი.

ბ) თუ 𝑅 რგოლში გამრავლების ოპერაციის მიმართ სრულდება პირობა: ნებისმიერი 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ელემენტებისათვის,

𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎,

მაშინ 𝑅-ს ეწოდება კომუტაციური რგოლი.

გ) თუ 𝑅 რგოლში გამრავლების ოპერაციის მიმართ არსებობს 𝑒2 ნეიტრალური ელემენ-ტი, ე. ი. ნებისმიერი 𝑎 ∈ 𝑅 ელემენტისათვის სრულდება პირობა:

𝑎 ∙ 𝑒2 = 𝑎; 𝑒2 ∙ 𝑎 = 𝑎,

მაშინ 𝑅-ს ეწოდება რგოლი ერთეულით.

დ) თუ 𝑅 ასოციაციურია და არსებობს ნეიტრალური ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ, მაშინ 𝑅-ს ეწოდება ასოციაციური რგოლი ერთეულით.

ე) თუ 𝑅 რგოლი ისეთია, რომ 𝑅 ∖ {𝑒1}, სადაც 𝑒1 ნეიტრალური ელემენტია შეკრების მი-მართ, არის ჯგუფი 𝜔2 ოპერაციის მიმართ, მაშინ 𝑅-ს ეწოდება ტანი.

ვ) თუ 𝑅 რგოლი ისეთია, რომ 𝑅 ∖ {𝑒1} არის აბელური ჯგუფი 𝜔2 ოპერაციის მიმართ, მა-შინ 𝑅-ს ეწოდება ველი.

მაგალითი 2.7. ვთქვათ, 𝑅 = ℤ მთელ რიცხვთა სიმრავლეა. როგორც ვიცით მაგალით 2.1-დან, ℤ რგოლია. ცხადია, რომ ℤ ასოციაციური რგოლია, რადგან გამრავლების ოპერაციით მი-მართ სრულდება ტოლობა: 𝑚 ∙ (𝑛 ∙ 𝑝) = (𝑚 ∙ 𝑛) ∙ 𝑝. გარდა ამისა, არსებობს ნეიტრალური ელემენ-ტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ, ეს არის რიცხვი 1, რადგან 𝑚 ∙ 1 = 𝑚 და 1 ∙ 𝑚 = 𝑚. გა-მრავლების ოპერაცია კომუტაციურია, რადგან 𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑚. მაგრამ ℤ არ არის ტანი, რადგან ყოველი 𝑚 რიცხვისათვის არ არსებობს მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მი-მართ. ამიტომ ℤ ასოციაციური, კომუტაციური რგოლია ერთეულით.

მაგალითი 2.8. ვთქვათ, 𝑅 = ℚ რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეა. ცხადია, რომ ℚ შე-კრების მიმართ არის აბელური ჯგუფი. მაგალით 1.24-ის თანახმად, ℚ ∖ {0} სიმრავლე აბელური ჯგუფია გამრავლების ოპერაციის მიმართ. ამიტომ ℚ ველია.

მაგალითი 2.9. ვთქვათ, 𝑅 = ℝ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა. ცხადია, რომ ℝ შეკრების მიმართ არის აბელური ჯგუფი, ხოლო ℝ ∖ {0} სიმრავლე აბელური ჯგუფია გამრავლების ოპე-რაციის მიმართ. ამიტომ ℝ ველია.

მაგალითი 2.10. ვთქვათ 𝑉 ვექტორთა სიმრავლეა მაგალით 2.6-დან. 𝑉 რგოლია. 𝑉 არ არის ასოციაციური რგოლი (იხ. თავი I, მაგალითი 4.7) და არ არსებობს ნეიტრალური ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ (მაგალითი 1.3). გარდა ამისა ვექტორული ნამრავლი არ არის

კომუტაციური, �⃗� × 𝑏�⃗ = −𝑏�⃗ × �⃗�.

მაგალითი 2.11. ვთქვათ, 𝐺 აბელური ჯგუფია 𝜔 ოპერაციის მიმართ, ხოლო Hom(𝐺,𝐺) ={𝑓 ∣∣ 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐺 } სიმრავლე, რომლის ელემენტებია 𝑓 ჰომომორფიზმები. დებულება 1.11-ის თა-ნახმად, Hom(𝐺,𝐺) აბელური ჯგუფია 𝜔1 = „+“ ოპერაციის მიმართ, რომელიც შემდეგნაირად განისაზღვრება: თუ 𝑓,𝑔 ∈ Hom(𝐺,𝐺), მაშინ (𝑓 + 𝑔)(𝑎) = 𝜔�𝑓(𝑎),𝑔(𝑎)�. 𝜔2 = „ ∙ “ ოპერაცია გან-ვსაზღვროთ შემდეგნაირად: თუ 𝑓,𝑔 ∈ Hom(𝐺,𝐺), მაშინ (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑎) = 𝑔𝑓(𝑎), სადაც 𝑔𝑓 კომპო-ზიციაა. დებულება 1.3-ის თანახმად, 𝜔2 ოპერაცია კორექტულად არის განსაზღვრული, რადგან 𝑔𝑓 კომპოზიცია ჰომომორფიზმია. Hom(𝐺,𝐺) სიმრავლე 𝜔2 ოპერაციის მიმართ არ არის ჯგუფი,


175

რადგან ნებისმიერი 𝑓 ჰომომორფიზმისათვის არ არსებობს მოპირდაპირე ელემენტი 𝜔2 ოპერა-ციის მიმართ (მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა 𝑓 იზომორფიზმია, მისი მოპირდაპირე იქნება 𝑓−1 შექცეული იზომორფიზმი). მაგრამ 𝜔2 ოპერაცია ასოციაციურია (იხ. თავი I, §3.3) და არსე-ბობს �̅�′ ნეიტრალური ელემენტი �̅�′ = 1𝐺 − იგივური ჰომომორფიზმი (იხ. მაგალითი 1.2). გარ-და ამისა 𝜔2 ოპერაცია შეთანხმებულია 𝜔1 ოპერაციასთან (იხ. მაგალითი 2.3). ამიტომ Hom(𝐺,𝐺) არის ასოციაციური რგოლი ერთეულით.

მაგალითი 2.12. ვთქვათ, 𝒰 სიმრავლეთა არაცარიელი სისტემაა, რომელიც ჩაკეტილია სიმეტრიული სხვაობის და თანაკვეთის მიმართ, ე. ი.

1) თუ 𝐴,𝐵 ∈ 𝒰, მაშინ 𝐴∆𝐵 ∈ 𝒰;

2) თუ 𝐴,𝐵 ∈ 𝒰, მაშინ 𝐴 ∩ 𝐵 ∈ 𝒰.

ა) ვაჩვენოთ, რომ 𝒰 სისტემა ∆ ∶ 𝒰 × 𝒰 → 𝒰 ოპერაციის მიმართ იქნება აბელური ჯგუფი.

ა1) 𝐴∆(𝐵∆𝐶) = (𝐴∆𝐵)∆𝐶.

𝐴∆(𝐵∆𝐶) = �𝐴 ∪ �(𝐵 ∪ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)�� ∖ �𝐴 ∩ �(𝐵 ∪ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)��,

(𝐴∆𝐵)∆𝐶 = ��(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)� ∪ 𝐶� ∖ ��(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)� ∩ 𝐶�.

ვაჩვენოთ ეს ტოლობა ეილერ-ვენის დიაგრამების საშუალებით:

𝐴 ∪ �(𝐵 ∪ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)� 𝐴 ∩ �(𝐵 ∪ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)�

𝐴∆(𝐵∆𝐶)

(𝐴∆𝐵)∆𝐶

�(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)� ∪ 𝐶 �(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)� ∩ 𝐶

ა2) ∅ სიმრავლე არის ნეიტრალური ელემენტი ∆ ოპერაციის მიმართ:

𝐴∆∅ = (𝐴 ∪ ∅) ∖ (𝐴 ∩ ∅) = 𝐴 ∖ ∅ = 𝐴,

∅∆𝐴 = (∅ ∪ 𝐴) ∖ (∅ ∩ 𝐴) = 𝐴 ∖ ∅ = 𝐴.

ა3) ნებისმიერი 𝐴 ∈ 𝒰 ელემენტისათვის არსებობს მისი მოპირდაპირე ელემენტი ∆ ოპე-რაციის მიმართ. ეს მოპირდაპირე ელემენტი თვით 𝐴 სიმრავლეა

𝐴∆𝐴 = (𝐴 ∪ 𝐴) ∖ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴 ∖ 𝐴 = ∅.

ა4) 𝐴∆𝐵 = 𝐵∆𝐴 სრულდება, რადგან

𝐴∆𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴) ∖ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐵∆𝐴.


176

ბ) ვაჩვენოთ, რომ თანაკვეთა შეთანხმებულია სიმეტრიულ სხვაობასთან (თანაკვეთა დისტრიბუციულია სიმეტრიული სხვაობის მიმართ). ვთქვათ, 𝐴,𝐵,𝐶 ∈ 𝒰. ვაჩვენოთ, რომ მარ-თებულია ტოლობები:

1) 𝐴 ∩ (𝐵∆𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵)∆(𝐴 ∩ 𝐶),

2) (𝐴∆𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐶)∆(𝐵 ∩ 𝐶).

ბ1) 𝐴 ∩ (𝐵∆𝐶) = 𝐴 ∩ �(𝐵 ∪ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)� = �𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)� ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

= �(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)� ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).

(𝐴 ∩ 𝐵)∆(𝐴 ∩ 𝐶) = �(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)� ∖ �(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐶)�

= �(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)� ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).

ამ ორი ტოლობიდან ვღებულობთ 1) ტოლობას.

ბ2) (𝐴∆𝐵) ∩ 𝐶 = �(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)� ∩ 𝐶 = �(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶� ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

= �(𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)� ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).

(𝐴 ∩ 𝐶)∆(𝐵 ∩ 𝐶) = �(𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)� ∖ �(𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)�

= �(𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)� ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).

ამ ორი ტოლობიდან ვღებულობთ 2) ტოლობას.

ბ3) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) (იხ. თავი I, §1.2, თანაკვეთის ასოციაციურობის თვისება).

ბ4) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (იხ. თავი I, §1.2, თანაკვეთის კომუტაციურობის თვისება).

ამრიგად, 𝒰 სისტემა ასოციაციური და კომუტაციური რგოლია.

მაგალითი 2.13. ვთქვათ, 𝒰 = 2𝑋 , სადაც 𝑋 ნებისმიერი არაცარიელი სიმრავლეა. მაშინ 𝒰 არის ასოციაციური და კომუტაციური რგოლი ერთეულით, სადაც 𝑋 ნეიტრალური ელემენტია გამრავლების მიმართ, რადგან 𝐴 ∩ 𝑋 = 𝐴.

მაგალითი 2.14. ვთქვათ, 𝑋 ნებისმიერი არაცარიელი სიმრავლეა, ხოლო 𝒰 სისტემა 𝑋-ის ყველა სასრული ქვესიმრავლეებისა. მაშინ 𝒰 სისტემა ასოციაციური და კომუტაციური რგოლია. თუ 𝑋 სასრული სიმრავლეა, მაშინ 𝒰 არის ასოციაციური და კომუტაციური რგოლი ერთეულით, სადაც 𝑋 ნეიტრალური ელემენტია გამრავლების მიმართ.

მაგალითი 2.15. ვთქვათ, 𝑋 ნებისმიერი უსასრულო სიმრავლეა, ხოლო 𝒰 სისტემა 𝑋-ის ყველა თვლადი ქვესიმრავლეებისა. მაშინ 𝒰 სისტემა ასოციაციური და კომუტაციური რგოლია. თუ 𝑋 თვლადი სიმრავლეა, მაშინ 𝒰 არის ასოციაციური და კომუტაციური რგოლი ერთეულით, სადაც 𝑋 ნეიტრალური ელემენტია გამრავლების მიმართ.

მაგალითი 2.16. მაგალით 1.27-ში ჩვენ განვიხილეთ ℤ𝑚 = ℤ/𝑚ℤ, 𝑚 ≥ 2, 𝑚 ∈ ℕ, აბელუ-რი ჯგუფი. რადგან ℤ არის ასოციაციური, კომუტაციური რგოლი ერთეულით (მაგალითი 2.7), ამიტომ ℤ𝑚-ზე შეიძლება განვსაზღვროთ მეორე ოპერაცია − გამრავლების ოპერაცია. მართლაც, თუ [𝑎], [𝑏] ∈ ℤ𝑚 , მაშინ მათი ნამრავლი განვსაზღვროთ [𝑎] ∙ [𝑏] = [𝑎𝑏] ტოლობით. ვაჩვენოთ, რომ ასე განსაზღვრული გამრავლების ოპერაცია კორექტულია. ვთქვათ, 𝑎′ ∈ [𝑎], 𝑏′ ∈ [𝑏] და 𝑎 ≠ 𝑎′, 𝑏 ≠ 𝑏′. მაშინ [𝑎′𝑏′] = [𝑎𝑏]. მართლაც, რადგან 𝑎′ ∈ [𝑎], ამიტომ 𝑎 − 𝑎′ = 𝑚𝑛, ხოლო რად-გან 𝑏′ ∈ [𝑏], ამიტომ 𝑏 − 𝑏′ = 𝑚𝑝, სადაც 𝑛,𝑝 ∈ ℤ. გვაქვს: 𝑎𝑏 = (𝑚𝑛 + 𝑎′)(𝑚𝑝 + 𝑏′) = 𝑚(𝑚𝑛𝑝 +𝑛𝑏′ + 𝑝𝑎′) + 𝑎′𝑏′. ე. ი. 𝑎𝑏 − 𝑎′𝑏′ = 𝑚(𝑚𝑛𝑝 + 𝑛𝑏′ + 𝑝𝑎′), ამიტომ [𝑎𝑏] = [𝑎′𝑏′].


177

ვაჩვენოთ, რომ მართებულია შემდეგი ტოლობები:

ა) [𝑎]([𝑏] + [𝑐]) = [𝑎][𝑏] + [𝑎][𝑐],

ბ) ([𝑏] + [𝑐])[𝑎] = [𝑏][𝑎] + [𝑐][𝑎].

ა) [𝑎]([𝑏] + [𝑐]) = [𝑎][𝑏 + 𝑐] = [𝑎(𝑏 + 𝑐)],

[𝑎][𝑏] + [𝑎][𝑐] = [𝑎𝑏] + [𝑎𝑐] = [𝑎𝑏 + 𝑎𝑐] = [𝑎(𝑏 + 𝑐)],

ამრიგად, პირველი ტოლობა დამტკიცებულია.

ბ) ([𝑏] + [𝑐])[𝑎] = [𝑏 + 𝑐][𝑎] = [(𝑏 + 𝑐)𝑎] = [𝑏𝑎 + 𝑐𝑎] = [𝑏𝑎] + [𝑐𝑎] = [𝑏][𝑎] + [𝑐][𝑎].

მეორე ტოლობაც დამტკიცებულია.

ვაჩვენოთ, რომ ℤ𝑚 ასოციაციური რგოლია:

[𝑎]([𝑏][𝑐]) = ([𝑎][𝑏])[𝑐].

[𝑎]([𝑏][𝑐]) = [𝑎][𝑏𝑐] = [𝑎(𝑏𝑐)] = [(𝑎𝑏)𝑐] = [𝑎𝑏][𝑐] = ([𝑎][𝑏])[𝑐].

ვაჩვენოთ, რომ ℤ𝑚 კომუტაციური რგოლია:

[𝑎][𝑏] = [𝑎𝑏] = [𝑏𝑎] = [𝑏][𝑎].

ვაჩვენოთ, რომ ℤ𝑚 სიმრავლეში არსებობს ნეიტრალური ელემენტი გამრავლების მი-მართ. [𝑚𝑛+ 1] კლასი ნეიტრალური ელემენტია. მართლაც,

[𝑎][𝑚𝑛+ 1] = [𝑎(𝑚𝑛 + 1)] = [𝑚𝑛𝑎 + 𝑎] = [𝑎].

ამრიგად, ნებისმიერი ℤ𝑚 ასოციაციური, კომუტაციური რგოლია ერთეულით.

თუ 𝑚 = 𝑝, სადაც 𝑝 მარტივი რიცხვია, მაშინ ℤ𝑝 არის ველი. ამ ფაქტს ჩვენ შემდგომში დავამტკიცებთ რიცხვთა თეორიის გამოყენებით.

მაგალითი 2.17. განვიხილოთ 𝐶(ℝ,ℝ) სიმრავლე, რომლის ელემენტებია უწყვეტი ფუნქ-ციები. როგორც მათემატიკური ანალიზიდანაა ცნობილი, ნებისმიერი ორი უწყვეტი ფუნქციის კომპოზიცია, უწყვეტი ფუნქციაა. ამიტომ ამ სიმრავლეში შეიძლება განხილულ იქნას გამრავლე-ბის ოპერაცია კომპოზიციის სახით. მაშინ გამრავლების ეს ოპერაცია ასოციაციურია (იხ. თავი I, §3.3). არსებობს ნეიტრალური ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ. ეს არის იგივური ასახვა (იხ. თავი I, §3.3, დიაგრამა (4)), რომელიც ცხადია, უწყვეტია. მაგრამ უწყვეტი ფუნქციისა-თვის არ არსებობს შესაბამისი მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ, თუ ის არ არის ბიექცია. გამრავლების ეს ოპერაცია არ არის კომუტაციური (იხ. თავი I, §3.3, მაგალითი 3.7).

იმავე 𝐶(ℝ,ℝ) სიმრავლეზე შეგვიძლია განვსაზღვროთ გამრავლების ოპერაცია სხვა წე-სით: თუ 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶(ℝ,ℝ), მაშინ 𝑓 ∙ 𝑔 განისაზღვრება (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ ტოლობით. მათემატიკური ანალიზიდან ცნობილია, რომ 𝑓 ∙ 𝑔 ფუნქცია უწყვეტია. მართებულია შემდეგი ტოლობები:

(𝑓 + 𝑔) ∙ ℎ = 𝑓 ∙ ℎ + 𝑔 ∙ ℎ,

ℎ ∙ (𝑓 + 𝑔) = ℎ ∙ 𝑓 + ℎ ∙ 𝑔,

ამიტომ 𝐶(ℝ,ℝ) სიმრავლე შეკრების და ასეთი გამრავლების ოპერაციის მიმართ არის ასოციაციური, კომუტაციური რგოლი ერთეულით.


178

1.30, 1.31 და 2.17 მაგალითებიდან ჩანს, რომ მათემატიკური ანალიზი და ალგებრა ერთ-მანეთთან მჭიდრო კავშირშია.

განსაზღვრა 2.3. ვთქვათ, 𝑅 და 𝑅′ რგოლებია, შესაბამისად, 𝜔1 ,𝜔2 და 𝜔1′ ,𝜔2′

ოპერაციების მიმართ. 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅′ ასახვას ეწოდება რგოლების ჰომომორფიზმი, თუ ნებისმიერი 𝑎1,𝑎2 ∈ 𝑅 ელემენტებისათვის მართებულია შემდეგი ორი ტოლობა:

ა) 𝑓�𝜔1(𝑎1,𝑎2)� = 𝜔2�𝑓(𝑎1),𝑓(𝑎2)�; ბ) 𝑓�𝜔2(𝑎1,𝑎2)� = 𝜔2�𝑓(𝑎1),𝑓(𝑎2)�. ეს ტოლობები ნიშნავს, რომ

(7) თუ დამატებით, 𝑓 ასახვა ბიექციაა, მაშინ მას რგოლების იზომორფიზმი ეწოდება.

ვთქვათ, მოცემულია 𝐹 ველი 𝜔1 ,𝜔2 ოპერაციების მიმართ და 𝑋 ნებისმიერი არაცარიე-ლი სიმრავლე. განვიხილოთ 𝑀(𝑋,𝐹) სიმრავლე, რომლის ელემენტებია 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝐹 ასახვები. შე-იძლება თუ არა 𝑀(𝑋,𝐹) სიმრავლეზე ავაგოთ ველის სტრუქტურა?

ამისათვის, პირველ რიგში 𝑀(𝑋,𝐹) სიმრავლეზე უნდა განვსაზღვროთ ორი ოპერაცია, შეკრებისა და გამრავლების ოპერაცია.

1) 𝜔�1 შეკრების ოპერაცია განვსაზღვროთ

𝜔�1(𝑓,𝑔)(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝜔1�𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)�, 𝑥 ∈ 𝑋


2) 𝜔�2 გამრავლების ოპერაცია განვსაზღვროთ

𝜔�2(𝑓,𝑔)(𝑥) = (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 𝜔2�𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)�, 𝑥 ∈ 𝑋


3) ამის შემდეგ უნდა ვაჩვენოთ, რომ 𝜔�1 ოპერაციის მიმართ, 𝑀(𝑋,𝐹) აბელური ჯგუფია. ეს მართლაც ასეა. რადგან 𝐹 ველი, განსაზღვრის თანახმად, აბელური ჯგუფია 𝜔1 ოპერაციის მიმართ, დებულება 1.10-ის ძალით, 𝑀(𝑋,𝐹) აბელური ჯგუფია 𝜔�1 ოპერაციის მიმართ:

3ა) 𝜔�1 ოპერაცია ასოციაციურია;

3ბ) 𝑀(𝑋, 𝐹) სიმრავლეში მუდმივი �̅�1 ∶ 𝑋 → 𝐹 ასახვა, �̅�1(𝑥) = 𝑒1, 𝑥 ∈ 𝑋, სადაც 𝑒1 ნეიტრა-ლური ელემენტია 𝜔1 ოპერაციის მიმართ 𝐹 ველზე, არის ნეიტრალური ელემენტი 𝜔�1 ოპერაცი-ის მიმართ;

3გ) ნებისმიერი 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝐹 ასახვისათვის არსებობს მოპირდაპირე 𝑓′ ასახვა 𝜔�1 ოპერაციის მიმართ, რომელიც 𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥)′, 𝑥 ∈ 𝑋 ტოლობით განისაზღვრება, სადაც 𝑓(𝑥)′ არის 𝑓(𝑥) ელე-მენტის მოპირდაპირე ელემენტი 𝜔1 ოპერაციის მიმართ 𝐹 ველზე;

3დ) 𝜔�1 ოპერაცია კომუტაციურია.

4) უნდა შევამოწმოთ, რომ 𝜔�2 ოპერაცია შეთანხმებულია 𝜔�1 ოპერაციასთან:

ა) 𝜔�2�𝑓,𝜔�1(𝑔,ℎ)� = 𝜔�1�𝜔�2(𝑓,𝑔),𝜔�2(𝑓,ℎ)�,


179

ბ) 𝜔�2(𝜔�1(𝑓,𝑔),ℎ) = 𝜔�1�𝜔�2(𝑓,ℎ),𝜔�2(𝑔,ℎ)�.

გვაქვს:

ა) 𝜔�2�𝑓,𝜔�1(𝑔,ℎ)�(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝜔�1(𝑔,ℎ)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ �𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)� = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥)

= 𝜔�2(𝑓,𝑔)(𝑥) + 𝜔�2(𝑓,ℎ)(𝑥) = 𝜔�1�𝜔�2(𝑓,𝑔),𝜔�2(𝑓,ℎ)�(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋.

ბ) 𝜔�2(𝜔�1(𝑓,𝑔),ℎ)(𝑥) = 𝜔�1(𝑓,𝑔)(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) = �𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)� ⋅ ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥)

= 𝜔�2(𝑓,ℎ)(𝑥) +𝜔�2(𝑔,ℎ)(𝑥) = 𝜔�1�𝜔�2(𝑓,ℎ),𝜔�2(𝑔,ℎ)�(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋.

5) უნდა შევამოწმოთ, არის თუ არა 𝜔�2 ოპერაციის მიმართ, 𝑀(𝑋,𝐹) ∖ {�̅�1} აბელური ჯგუ-ფი. 𝜔�2 ოპერაციის განსაზღვრიდან გამომდინარე, დებულება 1.10-ის დამტკიცების 1), 2) და 4) პუნქტებიდან იოლად ვღებულობთ, რომ

5ა) 𝜔�2 ოპერაცია ასოციაციურია;

5ბ) 𝑀(𝑋, 𝐹) სიმრავლეში მუდმივი �̅�2 ∶ 𝑋 → 𝐹 ასახვა, �̅�2(𝑥) = 𝑒2, 𝑥 ∈ 𝑋, სადაც 𝑒2 ნეიტრა-ლური ელემენტია 𝜔2 ოპერაციის მიმართ 𝐹 ველზე, არის ნეიტრალური ელემენტი 𝜔�2 ოპერაცი-ის მიმართ;

5გ) 𝜔�2 ოპერაცია კომუტაციურია;

5დ) შეგვიძლია თუ არა ნებისმიერი 𝑓 ∈ 𝑀(𝑋,𝐹) ∖ {�̅�1} ასახვისათვის ავაგოთ მისი მოპირ-დაპირე 𝑓′′ ელემენტი 𝜔�2 ოპერაციის მიმართ? ე. ი. შესრულდება თუ არა 𝜔�2(𝑓,𝑓′′) = �̅�2 პირო-ბა? პასუხი: არა.

ვაჩვენოთ ეს მაგალითზე. ვთქვათ, 𝑓 ∈ 𝑀(𝑋,𝐹) ასახვა ისეთია, რომ 𝑓(𝑋 ∖ {𝑥1}) = {𝑒1}, ხო-ლო 𝑓(𝑥1) = 𝑒2. ცხადია, რომ 𝑓 ∈ 𝑀(𝑋,𝐹) ∖ {�̅�1}. მაშინ ნებისმიერი 𝑓′′ ∶ 𝑋 → 𝐹 ასახვისათვის, დე-ბულება 2.1-ის გათვალისწინებით, გვექნება:

𝜔�2(𝑓,𝑓′′)(𝑥) = (𝑓 ⋅ 𝑓′′)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑓′′(𝑥) = �𝑒1 ⋅ 𝑓′′(𝑥) = 𝑒1, თუ 𝑥 ∈ 𝑋 ∖ 𝑥1,𝑒2 ⋅ 𝑓′′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥), თუ 𝑥 = 𝑥1,

ამიტომ ასეთი 𝑓 ასახვისათვის არ არსებობს მოპირდაპირე ელემენტი 𝜔�2 ოპერაციის მი-მართ.

მივიღეთ შემდეგი შედეგი:

თეორემა 2.1. თუ 𝐹 ველია, ხოლო 𝑋 ნებისმიერი არაცარიელი სიმრავლე, მაშინ 𝑀(𝑋,𝐹) ასოციაციური, კომუტაციური რგოლია ერთეულით.

მაგალითი 2.18. განვიხილოთ 𝐶(ℝ) უწყვეტი ფუნქციების სიმრავლე, სადაც 𝑓 ∈ 𝐶(ℝ),𝑓 ∶ ℝ → ℝ უწყვეტი ფუნქციაა. 𝐶(ℝ) არის ქვესიმრავლე 𝑀(ℝ,ℝ) სიმრავლისა, რომელიც ასოცი-აციური, კომუტაციური რგოლია ერთეულით. განვიხილოთ 𝜔�1 |𝐶(ℝ) და 𝜔�2 |𝐶(ℝ) შეზღუდვები:

𝜔�1 |𝐶(ℝ) ∶ 𝐶(ℝ)2 → 𝑀(ℝ,ℝ), 𝜔�2 |𝐶(ℝ) ∶ 𝐶(ℝ)2 → 𝑀(ℝ,ℝ).

მათემატიკური ანალიზიდან ცნობილია, რომ თუ 𝑓 და 𝑔 უწყვეტი ფუნქციებია, მაშინ 𝑓 + 𝑔 და 𝑓 ⋅ 𝑔 ასევე უწყვეტია. ამიტომ გვაქვს ორი ალგებრული ოპერაცია:

𝜔�1 |𝐶(ℝ) ∶ 𝐶(ℝ)2 → 𝐶(ℝ), 𝜔�2 |𝐶(ℝ) ∶ 𝐶(ℝ)2 → 𝐶(ℝ).

რადგან ნებისმიერი მუდმივი 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვა უწყვეტი ფუნქციაა, ამიტომ �̅�1 და �̅�2 მუდმივი ასახვები, �̅�1(𝑥) = 0, �̅�2(𝑥) = 1 არიან 𝐶(ℝ) სიმრავლის ელემენტები და წარმოადგენენ


180

ნეიტრალურ ელემენტებს, შესაბამისად, შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციების მიმართ. ამი-ტომ 𝐶(ℝ) სიმრავლე ასოციაციური, კომუტაციური რგოლია ერთეულით.

თეორემა 2.2. ვთქვათ, 𝑅 რგოლია 𝜔1 ,𝜔2 ოპერაციების მიმართ, 𝐴 − ნებისმიერი სიმრა-ვლე, ხოლო ან 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝐴 ან 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝑅 ბიექციაა. მაშინ

ა) 𝐴 სიმრავლეზე არსებობს 𝜔1′ ,𝜔2′ ალგებრული ოპერაციები ისეთი, რომ 𝐴 იქნება რგო-

ლი, ხოლო 𝑓 ასახვა რგოლების იზომორფიზმი;

ბ) თუ 𝑅 ასოციაციური რგოლია, მაშინ 𝐴 სიმრავლეც იქნება ასოციაციური რგოლი;

გ) თუ 𝑅 კომუტაციური რგოლია, მაშინ 𝐴 სიმრავლეც იქნება კომუტაციური რგოლი;

დ) თუ 𝑅 რგოლია ერთეულით, მაშინ 𝐴 სიმრავლეც იქნება რგოლი ერთეულით.

ე) თუ 𝑅 ველია, მაშინ 𝐴 სიმრავლეც იქნება ველი.

დამტკიცება. ა) 𝐴 სიმრავლეზე განვსაზღვროთ ω1′ , ω2

′ ალგებრული ოპერაციები ისე, რო-გორც თეორემა 1.2-ში. მაშინ ამავე თეორემის ძალით, 𝐴 სიმრავლე აბელური ჯგუფი იქნება ω1

′ ოპერაციის მიმართ. შევამოწმოთ, რომ ω2

′ ოპერაცია შეთანხმებულია ω1′ ოპერაციასთან. ვთქვათ,

𝑎1,𝑎2,𝑎3 ∈ 𝐴. რადგან 𝑓 ბიექციაა, ამიტომ არსებობს ცალსახად განსაზღვრული 𝑏1,𝑏2, 𝑏3 ∈ 𝑅 ელე-მენტები ისეთი, რომ 𝑓(𝑏1) = 𝑎1,𝑓(𝑏2) = 𝑎2,𝑓(𝑏3) = 𝑎3. უნდა ვაჩვენოთ, რომ

1) 𝜔2′ �𝑎1,𝜔1′ (𝑎2,𝑎3)� = 𝜔1′ �𝜔2

′ (𝑎1,𝑎2),𝜔2′ (𝑎1,𝑎3)�;

2) 𝜔2′ (𝜔1′ (𝑎1,𝑎2),𝑎3) = 𝜔1′ �𝜔2

′ (𝑎1,𝑎3),𝜔2′ (𝑎2,𝑎3)�,

ან რაც იგივეა

1′) 𝜔2′ �𝑓(𝑏1),𝜔1′ �𝑓(𝑏2),𝑓(𝑏3)�� = 𝜔1′ �𝜔2

′ �𝑓(𝑏1),𝑓(𝑏2)�,𝜔2′ �𝑓(𝑏1),𝑓(𝑏3)�� ;

2′) 𝜔2′ �𝜔1′ �𝑓(𝑏1),𝑓(𝑏2)�,𝑓(𝑏3)� = 𝜔1′ �𝜔2

′ �𝑓(𝑏1),𝑓(𝑏3)�,𝜔2′ �𝑓(𝑏2),𝑓(𝑏3)��.

თუ გავითვალისწინებთ, რომ 𝜔2 ოპერაცია შეთანხმებულია 𝜔1 ოპერაციასთან, 𝜔1′ და 𝜔2′ ოპერაციების განსაზღვრების (იხ. თეორემა 1.2) გამოყენებით გვექნება:

1′) 𝜔2′ �𝑓(𝑏1),𝜔1′ �𝑓(𝑏2),𝑓(𝑏3)�� = 𝜔2

′ �𝑓(𝑏1),𝑓�𝜔1(𝑏2, 𝑏3)�� = 𝑓 �𝜔2�𝑏1,𝜔1(𝑏2,𝑏3)��

= 𝑓 �𝜔1�𝜔2(𝑏1,𝑏2),𝜔2(𝑏1, 𝑏3)�� = 𝜔1′ �𝑓�𝜔2(𝑏1, 𝑏2)�,𝑓�𝜔2(𝑏1, 𝑏3)��

= 𝜔1′ �𝜔2′ �𝑓(𝑏1),𝑓(𝑏2)�,𝜔2

′ �𝑓(𝑏1),𝑓(𝑏3)��.

2′) ტოლობა ანალოგიურად მტკიცდება.

ამრიგად, 𝐴 სიმრავლე რგოლია ω1′ ,ω2

′ ალგებრული ოპერაციების მიმართ, ხოლო რად-გან სათანადო დიაგრამები კომუტაციურია (იხ. თეორემა 1.2), 𝑓 ასახვა რგოლების იზომორფიზ-მია.

თეორემის ბ), გ) და დ) პუნქტები, ასევე თეორემა 1.2-ის დამტკიცების, შესაბამისად, 1), 4) და 2) პუნქტებიდან მიიღება.

ე) ვთქვათ, 𝑒1 არის ნეიტრალური ელემენტი 𝜔1 ოპერაციის მიმართ 𝑅 რგოლში. რგოლის განსაზღვრის თანახმად, 𝑅 აბელური ჯგუფია 𝜔1 ოპერაციის მიმართ, ხოლო უკვე დამტკიცებუ-ლის თანახმად 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝐴 ასახვა ჰომომორფიზმია, ამიტომ დებულება 1.4-ის თანახმად, 𝑒1′ =


181

𝑓(𝑒1) არის ნეიტრალური ელემენტი 𝜔1′ ოპერაციის მიმართ 𝐴 რგოლში. განვიხილოთ 𝑅 ∖ {𝑒1},𝐴 ∖ {𝑒1′} სიმრავლეები და 𝑓|𝑅∖{𝑒1} ∶ 𝑅 ∖ {𝑒1} → 𝐴 ∖ {𝑒1′} შეზღუდვა. ცხადია, 𝑓|𝑅∖{𝑒1} ასახვა კვლავ არის ბიექცია. ველის განსაზღვრის თანახმად, 𝑅 ∖ {𝑒1} აბელური ჯგუფია 𝜔2 ოპერაციის მიმართ. მაშინ თეორემა 1.2-ის ძალით, 𝐴 ∖ {𝑒1′} აბელური ჯგუფია ω2

′ ოპერაციის მიმართ, რაც ველის განსაზღვრის თანახმად ნიშნავს, რომ 𝐴 ველია. □

მაგალითი 2.19. ვთქვათ, 𝐴 = {0,1, … ,𝑚− 1} სასრული სიმრავლეა. ვაჩვენოთ როგორ შე-გვიძლია ავაგოთ 𝐴 სიმრავლეზე ალგებრული სტრუქტურა ისე, რომ 𝐴 სიმრავლე გახდება ასო-ციაციური, კომუტაციური რგოლი ერთეულით. თუ განვიხილავთ ℤ𝑚 ასოციაციურ, კომუტაცი-ურ რგოლს ერთეულით (იხ. მაგალითი 2.16), მაშინ შეგვიძლია ავაგოთ 𝑓 ∶ ℤ𝑚 → 𝐴 ბიექცია შემ-დეგნაირად: 𝑓([𝑎]) = 𝑓��𝑚𝑘𝑗 + 𝑗�� = 𝑗, სადაც 𝑗 = 0,1, … ,𝑚− 1. თეორემა 2.2-ის ძალით, 𝐴 სი-მრავლეზე შეგვიძლია ავაგოთ ალგებრული სტრუქტურა ისე, რომ 𝐴 სიმრავლე გახდება ასოცი-აციური, კომუტაციური რგოლი ერთეულით.

მაგალითი 2.20. ვთქვათ, 𝐵 = {𝑏0,𝑏1, … , 𝑏𝑚−1} ნებისმიერი სასრული სიმრავლეა. შეგვიძ-ლია თუ არა 𝐵 სიმრავლეზე ავაგოთ ალგებრული სტრუქტურა ისე, რომ 𝐵 იყოს ასოციაციური, კომუტაციური რგოლი ერთეულით? პასუხი: კი. პროცედურა შემდეგია:

1) ჯერ ავაგოთ 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვა, სადაც 𝐴 = {0,1, … ,𝑚 − 1} სასრული სიმრავლეა, შემდე-გი ტოლობით: 𝑔(𝑗) = 𝑏𝑗, 𝑗 = 0,1, … ,𝑚 − 1. ცხადია, 𝑔 ასახვა ბიექციაა. წინა მაგალითის თანახ-მად, 𝐴 სიმრავლე არის ასოციაციური, კომუტაციური რგოლი ერთეულით.

2) 𝑔 ბიექციის მიმართ კვლავ გამოვიყენოთ თეორემა 2.2. მაშინ 𝐵 სიმრავლე გახდება ასოციაციური, კომუტაციური რგოლი ერთეულით.

მაგალითი 2.21. ვთქვათ, 𝐹 ველია, ხოლო 𝐴 რაიმე სიმრავლეა. განვიხილოთ 𝐴 სიმრა-ვლიდან 𝐹 სიმრავლეში მუდმივ ასახვათა 𝒞(𝐴,𝐹) სიმრავლე. ცხადია, 𝒞(𝐴,𝐹) ⊂ 𝑀(𝐴,𝐹), ამი-

ტომ ასახვა 𝐹ℎ→ 𝒞(𝐴,𝐹), განსაზღვრული ℎ(𝑐) = 𝑐̅, 𝑐 ∈ 𝐹, 𝑐̅ ∈ 𝒞(𝐴,𝐹) ტოლობით, არის ბიექცია

(იხ. თავი I, ასახვა 3.4). მაშინ, თეორემა 2.2-ის ძალით, 𝒞(𝐴,𝐹) ველია.

მეოთხე თავში ჩვენ გავეცანით ბულის ალგებრას, სიმრავლეს, რომელზეც განსაზღვრუ-ლი იყო ორი ალგებრული ოპერაცია. ამ თავში ჩვენ გავეცანით რგოლებს და ველებს, სიმრავლე-ებს, რომლებზეც ასევე განსაზღვრულია ორი ალგებრული ოპერაცია. რა კავშირი არსებობს მათ შორის?

შევადაროთ ეს კავშირი ჯერ მაგალითებზე:

1) 𝑋 = {0, 1} სიმრავლეზე ბულის ალგებრის სტრუქტურის განსაზღვრისას (იხ. თავი IV, მაგალითი 1.4), ჩვენ განვიხილეთ ორი ოპერაცია: „ ∨ “ შეკრების, „ ∧ “ გამრავლების და C ∶ 𝑋 → 𝑋 ასახვა − დამატება.

ა) შეკრების ოპერაციისათვის გვაქვს:

0 ∨ 0 = 0, 0 ∨ 1 = 1 ∨ 0 = 1, 1 ∨ 1 = 1;

ბ) გამრავლების ოპერაციისათვის გვაქვს:

0 ∧ 0 = 0, 0 ∧ 1 = 1 ∧ 0 = 0, 1 ∧ 1 = 1;

გ) C ∶ 𝑋 → 𝑋 ასახვისათვის გვაქვს:

C(0) = 1, C(1) = 0.


182

2) 𝐴 = {0, 1} სიმრავლეზე რგოლის ალგებრული სტრუქტურის განსაზღვრისას (იხ. მაგა-ლითი 2.19), ჩვენ აგრეთვე განვიხილეთ ორი ოპერაცია: „ + “ შეკრების, „ ∙ “ გამრავლების.

ა) შეკრების ოპერაციისათვის გვაქვს:

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0;

ბ) გამრავლების ოპერაციისათვის გვაქვს:

0 ∙ 0 = 0, 0 ∙ 1 = 1 ∙ 0 = 0, 1 ∙ 1 = 1;

თუ შევადარებთ ამ ორ სტრუქტურაში შესაბამის ოპერაციებს, მაშინ დავინახავთ, რომ ისინი განსხვავდებიან მხოლოდ შეკრების ოპერაციით. კერძოდ, ბულის ალგებრაში 1 ∨ 1 = 1, ხოლო რგოლში 1 + 1 = 0.

შეგვიძლია თუ არა, ბულის ალგებრიდან მივიღოთ რგოლი? პასუხი: კი.

ვაჩვენოთ ეს გადასვლა.

𝑋 ბულის ალგებრაში განსაზღვრულია ორი ოპერაცია „ ∨ “ შეკრების, „ ∧ “ გამრავლების და C ∶ 𝑋 → 𝑋 ასახვა − დამატება. განვსაზღვროთ ახალი შეკრების ოპერაცია „∆“ შემდეგნაირად: თუ 𝑥,𝑦 ბულის ალგებრის ნებისმიერი ელემენტებია, მაშინ

𝑥∆𝑦 = (�̅� ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑦�).

𝑋 სიმრავლეზე ასე განსაზღვრული „∆“ შეკრების ოპერაცია და „ ∧ “ გამრავლების ოპერა-ცია გვაძლევს ასოციაციურ, კომუტაციურ 𝐾 რგოლს ერთეულით, რომელსაც აქვს შემდეგი ორი თვისება:

1) ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝐾 ელემენტისათვის, სრულდება 𝑥∆𝑥 = 0 ტოლობა;

2) ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝐾 ელემენტისათვის, სრულდება 𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑥 ტოლობა.

ახლა პირიქით. შეგვიძლია თუ არა რგოლიდან მივიღოთ ბულის ალგებრა? პასუხი: კი.

ვაჩვენოთ ეს გადასვლა.

ასოციაციურ 𝐾 რგოლს ეწოდება ბულის რგოლი, თუ 𝑥 ⋅ 𝑥 = 𝑥 ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝐾 ელე-მენტისათვის.

დებულება 2.2. თუ 𝐾 ბულის რგოლია, მაშინ

ა) 𝐾 კომუტაციური რგოლია;

ბ) 𝑥 + 𝑥 = 0 ნებისმიერი 𝑥 ∈ 𝐾 ელემენტისათვის.

დამტკიცება. ა) განსაზღვრის თანახმად, გვაქვს:

(𝑥 + 𝑥 = (𝑥 + 𝑥) ⋅ (𝑥 + 𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥) ⇒ (𝑥 + 𝑥 = 0).

ბ) კვლავ, განსაზღვრის თანახმად, გვაქვს:

(𝑥 + 𝑦 = (𝑥 + 𝑦) ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 ⋅ 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑦 ⋅ 𝑥 + 𝑦 ⋅ 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑦 ⋅ 𝑥 + 𝑏)

⇒ (𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑦 ⋅ 𝑥 = 0).

ა) პუნქტის, ასოციაციურობის და შემდეგ მიღებული ტოლობის გამოყენებით, გვექნება:

𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑥 ⋅ 𝑦 + (𝑦 ⋅ 𝑥 + 𝑦 ⋅ 𝑥) = (𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑦 ⋅ 𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝑥 = 𝑦 ⋅ 𝑥,

რაც განსაზღვრის თანახმად ნიშნავს, რომ 𝐾 რგოლი კომუტაციურია. □


183

ვთქვათ, 𝐾 არის ბულის რგოლი ერთეულით. განვსაზღვროთ ახალი ოპერაციები შემდეგ-ნაირად:

1) 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑦;

2) 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑥 ⋅ 𝑦;

3) �̅� = 1 + 𝑥.

ამ ოპერაციების მიმართ, 𝐾 ბულის რგოლი იქნება ბულის ალგებრა.

განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 2.22. 1) 𝑋 = {0, 1} სიმრავლეზე ბულის ალგებრა განსაზღვრული იყო ორი ოპე-რაციით, „ ∨ “ შეკრების, „ ∧ “ გამრავლების და C ∶ 𝑋 → 𝑋 ასახვით. იმისათვის, რომ ბულის ალგე-ბრიდან მივიღოთ ბულის რგოლი ერთეულით, შეკრების ოპერაცია „∆“ უნდა განვსაზღვროთ შემდეგნაირად: 𝑥∆𝑦 = (�̅� ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑦�). მაშინ გვექნება:

ა) 0∆0 = (0� ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0�) = (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) = 0 ∨ 0 = 0;

ბ) 0∆1 = (0� ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1�) = (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 0) = 1 ∨ 0 = 1;

გ) 1∆0 = (1� ∧ 0) ∨ (1 ∧ 0�) = (0 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) = 0 ∨ 1 = 1;

დ) 1∆1 = (1� ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1�) = (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0.

როგორც ვხედავთ, მივიღეთ ბულის რგოლი ერთეულით.

2) ვთქვათ, 𝐴 = {0, 1} სიმრავლე ასოციაციური, კომუტაციური რგოლია ერთეულით (იხ. მაგალითი 2.19). ჩვენ გვინდა მივიღოთ ბულის ალგებრა. ამისათვის, უნდა განვსაზღვროთ „ ∨ “ შეკრების, „ ∧ “ გამრავლების ოპერაციები და C ∶ 𝐴 → 𝐴 ასახვა შემდეგნაირად:

1) 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑦:

ა) 0 ∨ 0 = 0 + 0 + 0 ⋅ 0 = 0; ბ) 0 ∨ 1 = 0 + 1 + 0 ⋅ 1 = 1 + 0 = 1;

გ) 1 ∨ 0 = 1 + 0 + 1 ⋅ 0 = 1 + 0 = 1; დ) 1 ∨ 1 = 1 + 1 + 1 ⋅ 1 = 0 + 1 = 1.

2) 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑥 ⋅ 𝑦 გამრავლების ოპერაციები ემთხვევა ერთმანეთს;

3) �̅� = 1 + 𝑥:

ა) 0� = 1 + 0 = 1; ბ) 1� = 1 + 1 = 0.

ამით, ჩვენ შევამოწმეთ, რომ 𝐴 სიმრავლეზე მივიღეთ ბულის ალგებრა.

მაგალითი 2.23. ვთქვათ, 𝑋 ნებისმიერი არაცარიელი სიმრავლეა. ჩვენ ვაჩვენეთ (იხ. თავი IV, მაგალითი 1.1), რომ 2𝑋 სიმრავლეზე არსებობს ბულის ალგებრის სტრუქტურა, ხოლო მაგა-ლით 2.12-ში ჩვენ განვიხილეთ „∆“ შეკრების ოპერაცია და მაგალით 2.13-ში ვაჩვენეთ, რომ 2𝑋 სიმრავლეზე არსებობს ალგებრული სტრუქტურა − ასოციაციური კომუტაციური რგოლი ერთე-ულით. ახლა ვაჩვენოთ, რომ თუ 2𝑋 სიმრავლეზე გვაქვს რგოლის სტრუქტურა „∆“ შეკრების ოპერაციის გამოყენებით, მაშინ „ ∨ “, „ ∧ “ ოპერაციების და C ∶ 2𝑋 → 2𝑋 ასახვის საშუალებით, ჩვენ შეგვიძლია 2𝑋 სიმრავლეზე ავაგოთ ბულის ალგებრა.

1) 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴∆𝐵∆𝐴 ∩ 𝐵.

განვიხილოთ ამ ტოლობის მარჯვენა მხარე:


184

𝐴∆𝐵∆𝐴 ∩ 𝐵 = �(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)�∆𝐴 ∩ 𝐵

= ��(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)� ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)� ∖ ��(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)� ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)�

= (𝐴 ∪ 𝐵) ∖ ∅ = 𝐴 ∪ 𝐵,

ე. ი. „ ∨ “ ოპერაცია ემთხვევა იმ „ ∪ “ ოპერაციას, რომელსაც ვიხილავდით 2𝑋 სიმრავლეზე, რო-გორც ბულის ალგებრაზე (იხ. თავი IV, მაგალითი 1.1).

2) 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵.

„ ∧ “ ოპერაცია ასევე ემთხვევა „∩ “ ოპერაციას.

3) �̅� = 1∆𝑥.

2𝑋 სიმრავლეში ელემენტი 1 არის 𝑋 სიმრავლე (იხ. მაგალითი 2.13). ამიტომ

�̅� = 𝑋∆𝐴 = (𝑋 ∪ 𝐴) ∖ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝑋 ∖ 𝐴,

ე. ი. განსაზღვრული C ∶ 2𝑋 → 2𝑋 ასახვა, ემთხვევა იმ C ∶ 2𝑋 → 2𝑋 ასახვას, რომელსაც ვიხილავ-დით 2𝑋 სიმრავლეზე, როგორც ბულის ალგებრაზე (იხ. თავი IV, მაგალითი 1.1).

ამით, ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ 2𝑋 სიმრავლეზე, როგორც ასოციაციურ, კომუტაციურ რგოლზე ერთეულით, „ ∨ “, „ ∧ “ ოპერაციების და C ∶ 2𝑋 → 2𝑋 ასახვის საშუალებით, ჩვენ შეგვიძლია ავა-გოთ ბულის ალგებრის სტრუქტურა.

185

§3. კომპლექსურ რიცხვთა ველი

მოვიყვანოთ ველის საინტერესო და მნიშვნელოვანი მაგალითი.

განვიხილოთ ℝ2 = ℝ × ℝ სიმრავლე, სადაც ℝ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა. ამ სიმრა-ვლეზე განვსაზღვროთ ორი ალგებრული ოპერაცია:

1) 𝜔1 ∶ ℝ2 × ℝ2 → ℝ2, 𝜔1�(𝑎1,𝑏1), (𝑎2,𝑏2)� = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2), სადაც 𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2 ∈ ℝ. 𝜔1 შეკრების ოპერაციაა.

2) 𝜔2 ∶ ℝ2 × ℝ2 → ℝ2, 𝜔2�(𝑎1,𝑏1), (𝑎2, 𝑏2)� = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2,𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2), სადაც 𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2,𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2 ∈ ℝ. 𝜔2 გამრავლების ოპერაციაა.

ვაჩვენოთ, რომ ამ ორი ოპერაციის მიმართ ℝ2 სიმრავლე აკმაყოფილებს ველის ყველა პი-რობას. ამ სიმრავლეს ეწოდება კომპლექსურ რიცხვთა ველი და აღინიშნება ℂ სიმბოლოთი, ხო-ლო ℂ ველის ელემენტებს კომპლექსური რიცხვები ჰქვიათ.

გამოთვლების გამარტივების მიზნით, 𝜔1 ოპერაციისათვის გამოვიყენებთ " + " სიმბო-ლოს, ხოლო 𝜔2 ოპერაციისათვის " ∙ " სიმბოლოს.

1) ℝ აბელური ჯგუფია შეკრების მიმართ (იხ. მაგალითი 2.9) ამიტომ ℝ × ℝ სიმრავლე, დებულება 1.7-ის თანახმად, აბელური ჯგუფია 𝜔1 ოპერაციის მიმართ. ნეიტრალური ელემენ-ტია (0,0), ხოლო (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ × ℝ ელემენტის მოპირდაპირეა (−𝑎,−𝑏) ∈ ℝ × ℝ ელემენტი.

2ა) 𝜔2 ოპერაცია შეთანხმებულია 𝜔1 ოპერაციასთან (𝜔2 ოპერაცია დისტრიბუციულია 𝜔1 ოპერაციის მიმართ). ვთქვათ, 𝑧1 = (𝑎1, 𝑏1), 𝑧2 = (𝑎2,𝑏2), 𝑧3 = (𝑎3, 𝑏3), მაშინ

𝑧1 ∙ (𝑧2 + 𝑧3) = 𝑧1 ∙ 𝑧2 + 𝑧1 ∙ 𝑧3 ,

(𝑧1 + 𝑧2) ∙ 𝑧3 = 𝑧1 ∙ 𝑧3 + 𝑧1 ∙ 𝑧3 .

𝑧1 ∙ (𝑧2 + 𝑧3) = 𝑧1 ∙ (𝑎2 + 𝑎3, 𝑏2 + 𝑏3) = �𝑎1(𝑎2 + 𝑎3) − 𝑏1(𝑏2 + 𝑏3), 𝑎1(𝑏2 + 𝑏3) + 𝑏1(𝑎2 + 𝑎3)�

= (𝑎1𝑎2 + 𝑎1𝑎3 − 𝑏1𝑏2 − 𝑏1𝑏3,𝑎1𝑏2 + 𝑎1𝑏3 + 𝑏1𝑎2 + 𝑏1𝑎3),

𝑧1 ∙ 𝑧2 + 𝑧1 ∙ 𝑧3 = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2,𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) + (𝑎1𝑎3 − 𝑏1𝑏3,𝑎1𝑏3 + 𝑏1𝑎3)

= (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 + 𝑎1𝑎3 − 𝑏1𝑏3,𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2 + 𝑎1𝑏3 + 𝑏1𝑎3).

რადგან ℝ სიმრავლეზე შეკრების ოპერაცია კომუტაციურია, ამიტომ მიღებული წყვილე-ბი ტოლია. მეორე ტოლობა მოწმდება ანალოგიურად.

2ბ) 𝜔2 ოპერაცია ასოციაციურია.

𝑧1 ∙ (𝑧2 ∙ 𝑧3) = (𝑧1 ∙ 𝑧2) ∙ 𝑧3.

𝑧1 ∙ (𝑧2 ∙ 𝑧3) = 𝑧1 ∙ (𝑎2𝑎3 − 𝑏2𝑏3,𝑎2𝑏3 + 𝑏2𝑎3)

= �𝑎1(𝑎2𝑎3 − 𝑏2𝑏3)− 𝑏1(𝑎2𝑏3 + 𝑏2𝑎3), 𝑎1(𝑎2𝑏3 + 𝑏2𝑎3) + 𝑏1(𝑎2𝑎3 − 𝑏2𝑏3)�

= (𝑎1𝑎2𝑎3 − 𝑎1𝑏2𝑏3 − 𝑏1𝑎2𝑏3 − 𝑏1𝑏2𝑎3, 𝑎1𝑎2𝑏3 + 𝑎1𝑏2𝑎3 + 𝑏1𝑎2𝑎3 − 𝑏1𝑏2𝑏3), (𝑧1 ∙ 𝑧2) ∙ 𝑧3 = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2,𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) ∙ 𝑧3

= �(𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2)𝑎3 − (𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2)𝑏3, (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2)𝑏3 + (𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2)𝑎3�

= (𝑎1𝑎2𝑎3 − 𝑏1𝑏2𝑎3 − 𝑎1𝑏2𝑏3 − 𝑏1𝑎2𝑏3, 𝑎1𝑎2𝑏3 − 𝑏1𝑏2𝑏3 + 𝑎1𝑏2𝑎3 + 𝑏1𝑎2𝑎3).

რადგან ℝ სიმრავლეზე შეკრების ოპერაცია კომუტაციურია, ამიტომ მიღებული წყვილე-ბი ტოლია.


186

2გ) ნეიტრალური ელემენტი 𝜔2 ოპერაციის მიმართ არის (1, 0) წყვილი.

(𝑎, 𝑏) ∙ (1,0) = (𝑎 ∙ 1 − 𝑏 ∙ 0,𝑎 ∙ 0 + 𝑏 ∙ 1) = (𝑎, 𝑏),

(1,0) ∙ (𝑎, 𝑏) = (1 ∙ 𝑎 − 0 ∙ 𝑏, 1 ∙ 𝑏 + 0 ∙ 𝑎) = (𝑎, 𝑏).

2დ) ვაჩვენოთ, რომ ნებისმიერი 𝑧 = (𝑎, 𝑏) ≠ (0,0) ∈ ℂ ელემენტისათვის არსებობს მისი მოპირდაპირე ელემენტი 𝜔2 ოპერაციის მიმართ. ვთქვათ, (𝑥,𝑦)− საძიებელი მოპირდაპირე ელემენტია. მაშინ უნდა სრულდებოდეს

𝑧 ∙ (𝑥,𝑦) = (1,0), (8)

(𝑥,𝑦) ∙ 𝑧 = (1,0). (9)

ტოლობები.

�(𝑎, 𝑏) ∙ (𝑥,𝑦) = (1,0)� ⇒ �(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦,𝑎𝑦 + 𝑏𝑥) = (1,0)� ⇒ �𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1,𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 0.

მივიღეთ ორ უცნობიან წრფივ განტოლებათა სისტემა. ამოვხსნათ ეს სისტემა:

Δ = �𝑎 −𝑏𝑏 𝑎

� = 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0,

Δ𝑥 = �1 −𝑏0 𝑎

� = 𝑎, Δ𝑥 = �𝑎 1𝑏 0� = −𝑏,

𝑥 =𝑎

𝑎2 + 𝑏2, 𝑦 =

−𝑏𝑎2 + 𝑏2

.

მაშინ

(𝑥,𝑦) = �𝑎

𝑎2 + 𝑏2,

−𝑏𝑎2 + 𝑏2

�.

ცხადია, რომ (8) და (9) ტოლობები სრულდება. აღვნიშნოთ 𝑧 = (𝑎, 𝑏) ელემენტის მოპირ-დაპირე ელემენტი 𝑧−1 სიმბოლოთი. მაშინ

𝑧−1 = �𝑎

𝑎2 + 𝑏2,

−𝑏𝑎2 + 𝑏2

�.

2ე) 𝜔2 ოპერაცია კომუტაციურია.

𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧2 ∙ 𝑧1.

(𝑎1, 𝑏1) ∙ (𝑎2, 𝑏2) = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2,𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2),

(𝑎2, 𝑏2) ∙ (𝑎1, 𝑏1) = (𝑎2𝑎1 − 𝑏2𝑏1,𝑎2𝑏1 + 𝑏2𝑎1).

რადგან ℝ სიმრავლეზე გამრავლების ოპერაცია კომუტაციურია, ამიტომ მიღებული წყვილები ტოლია.

ამით ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ℂ კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე არის ველი.

განვიხილოთ ასახვა 𝑓 ∶ ℝ → ℂ, განსაზღვრული 𝑓(𝑎) = (𝑎, 0) ტოლობით. ეს ასახვა ჰომო-მორფიზმია ორი ოპერაციის მიმართ:

1) 𝑓(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏, 0) = (𝑎, 0) + (𝑏, 0) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏),

2) 𝑓(𝑎𝑏) = (𝑎𝑏, 0) = (𝑎, 0) ∙ (𝑏, 0) = 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏),

3) 𝑓(0) = (0,0),


187

4) 𝑓(1) = (1,0).

ამიტომ ℝ და მისი Im𝑓 ანასახი არიან იზომორფულნი და ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ℝ ველი, როგორც ℂ ველის ქვეველი.

ავიღოთ ნებისმიერი 𝑧 = (𝑎, 𝑏) კომპლექსური რიცხვი. მაშინ

𝑧 = (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (0, 𝑏) = (𝑎, 0) + (𝑏, 0) ∙ (0,1) = 𝑎 + 𝑏𝑖, სადაც 𝑖 = (0,1).

განვიხილოთ 𝑖 = (0,1) ელემენტის თვისებები:

ა) 𝑖2 = (0,1) ∙ (0,1) = (−1,0) = −1;

ბ) 𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖 = (−1,0) ∙ (0,1) = (0,−1) = −𝑖;

გ) 𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = −1 ∙ (−1) = 1;

ამ თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ ახლა ჩვენ შეგვიძლია ამოვხსნათ 𝑥2 + 1 = 0 გან-ტოლება. განტოლების ამონახსნები იქნება 𝑥1 = 𝑖, 𝑥2 = −𝑖. ამ განტოლების ამოხსნა ℝ ველში შეუძლებელი იყო.

პირველ თავში ჩვენ განვიხილეთ ასეთი ასახვა (იხ. თავი I, 3.10):

ვთქვათ, მოცემულია ორი 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 და 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵 ასახვა. ავაგოთ (𝑓,𝑔) ∶ 𝐴 → 𝐵 × 𝐶 ასახ-ვა, რომელიც განსაზღვრულია ტოლობით: (𝑓,𝑔)(𝑎) = �𝑓(𝑎),𝑔(𝑎)�.

განვიხილოთ ეს ასახვა კონკრეტულ მაგალითზე.

ვთქვათ, 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ასახვა მოცემულია 𝑓(𝑥) = cos 2𝜋𝑥 ტოლობით, ხოლო 𝑔 ∶ ℝ → ℝ ასა-ხვა მოცემულია 𝑔(𝑥) = sin 2𝜋𝑥 ტოლობით. ავაგოთ (𝑓, 𝑔) ∶ ℝ → ℝ × ℝ ასახვა, განსაზღვრული ტოლობით: (𝑓, 𝑔)(𝑥) = (cos 2𝜋𝑥 , sin 2𝜋𝑥). ვნახოთ, რა იქნება Im(𝑓,𝑔). ყოველი 𝑥 ∈ ℝ რიცხვისა-თვის, მიღებული (cos 2𝜋𝑥 , sin 2𝜋𝑥) წყვილი ეკუთვნის 𝑆1 წრეწირს, რომლის რადიუსია 1, ხო-ლო ცენტრი არის (0,0) წერტილი. მართლაც, ნებისმიერი (𝑎, 𝑏) წყვილი ეკუთვნის ამ წრეწირს, თუ სრულდება პირობა 𝑎2 + 𝑏2 = 1. ჩვენი (cos 2𝜋𝑥 , sin 2𝜋𝑥) წყვილი ამ პირობას აკმაყოფილებს, რადგან cos2 2𝜋𝑥 + sin2 2𝜋𝑥 = 1.

თუ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆1 , მაშინ

(𝑓,𝑔)(𝑥) = (cos 2𝜋𝑥 , sin 2𝜋𝑥) = (𝑎, 𝑏).

𝑥 განისაზღვრება შემდეგი სისტემიდან

�cos 2𝜋𝑥 = 𝑎, sin 2𝜋𝑥 = ±�1− 𝑎2.

ამ სისტემის ამონახსნია

𝑥 = ±arccos 𝑎

2𝜋+ 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ.

საინტერესო შემთხვევა: არც 𝑓 და არც 𝑔 არ არის ჰომომორფიზმები, მაგრამ თუ ℝ-ს განვიხილავთ, როგორც ჯგუფს შეკრების ოპერაციის მიმართ (იხ. მაგალითი 2.9), ხოლო ℝ × ℝ ∖{(0,0)} სიმრავლეს, როგორც ჯგუფს გამრავლების მიმართ, მაშინ (𝑓,𝑔) ასახვა ჰომომორფიზმია. ვაჩვენოთ, რომ სრულდება ტოლობა

(𝑓,𝑔)(𝑥 + 𝑦) = (𝑓,𝑔)(𝑥) ∙ (𝑓,𝑔)(𝑦). (10)


188

გვაქვს 𝑓(𝑥) = cos 2𝜋𝑥 , 𝑔(𝑥) = sin 2𝜋𝑥.

(𝑓,𝑔)(𝑥 + 𝑦) = (cos 2𝜋(𝑥 + 𝑦) , sin 2𝜋(𝑥 + 𝑦))

= (cos 2𝜋𝑥 cos 2𝜋𝑦 − sin 2𝜋𝑥 sin 2𝜋𝑦 , sin 2𝜋𝑥 cos 2𝜋𝑦 + sin 2𝜋𝑦 cos 2𝜋𝑥).

(𝑓,𝑔)(𝑥) ∙ (𝑓,𝑔)(𝑦) = (cos 2𝜋𝑥 , sin 2𝜋𝑥) ∙ (cos 2𝜋𝑦 , sin 2𝜋𝑦)

= (cos 2𝜋𝑥 cos 2𝜋𝑦 − sin 2𝜋𝑥 sin 2𝜋𝑦 , sin 2𝜋𝑥 cos 2𝜋𝑦 + sin 2𝜋𝑦 cos 2𝜋𝑥).

ე. ი. (10) ტოლობა სრულდება და (𝑓,𝑔) ჰომომორფიზმია.

რადგან, როგორც ზემოთ ვნახეთ, ℝ და ℝ × ℝ ∖ {(0,0)} აბელური ჯგუფებია, პირველი შე-კრების მიმართ, ხოლო მეორე გამრავლების მიმართ, თეორემა 1.3-ის თანახმად, Im(𝑓,𝑔) = 𝑆1 აბელური ჯგუფია გამრავლების ოპერაციის მიმართ.

აღვნიშნოთ (𝑓,𝑔) ასახვა 𝑝 სიმბოლოთი. ვნახოთ, რა იქნება ამ 𝑝 ჰომომორფიზმის 𝐾 ბირთვი.

𝑝(𝑥) = (cos 2𝜋𝑥 , sin 2𝜋𝑥) = (1,0),

ე. ი. (cos 2𝜋𝑥 = 1) ⇒ (𝑥 ∈ ℤ) და (sin 2𝜋𝑥 = 0) ⇒ (𝑥 ∈ ℤ). ამიტომ 𝐾 = ker 𝑝 = ℤ.

იმავე გზით, როგორც მაგალით 1.30-ში, შეიძლება ვაჩვენოთ, რომ გვაქვს იზომორფიზმი:

ℝ/ℤ →� 𝑆1 .

ავიღოთ ნებისმიერი 𝑧 = (𝑎, 𝑏) კომპლექსური რიცხვი და 𝑛 ნატურალური რიცხვი. განვ-საზღვროთ ხარისხი 𝑧𝑛 = 𝑧 ∙ 𝑧⋯𝑧��

𝑛-ჯერ

ტოლობით. მაშინ შეგვიძლია განვიხილოთ 𝑓 ∶ 𝑆1 → 𝑆1 ასა-

ხვა, მოცემული 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑛 ტოლობით. ცხადია, რომ 𝑓 ჰომომორფიზმია გამრავლების ოპერაცი-ის მიმართ, რადგან (𝑧1 ∙ 𝑧2)𝑛 = 𝑧1𝑛 ∙ 𝑧2𝑛. რა იქნება ამ ჰომომორფიზმის 𝐾 = ker 𝑓 ბირთვი?

რადგან 𝑧 ∈ 𝑆1 , ამიტომ 𝑧 = (cos 2𝜋𝑥 , sin 2𝜋𝑥).

მართებულია შემდეგი ტოლობა:

𝑧𝑛 = (cos 𝑛2𝜋𝑥 , sin𝑛2𝜋𝑥).

ამ ფორმულას მუავრის ფორმულა ეწოდება.

იმისათვის , რომ ვიპოვოთ 𝐾 = ker 𝑓 ბირთვის ელემენტები, უნდა განვიხილოთ განტო-ლება:

𝑧𝑛 = (1,0),

ანუ

(cos 𝑛2𝜋𝑥 , sin𝑛2𝜋𝑥) = (1,0).

ვღებულობთ სისტემას:

�cos 𝑛2𝜋𝑥 = 1sin𝑛2𝜋𝑥 = 0 ⇒ �𝑛2𝜋𝑥 = 2𝜋𝑘

𝑛2𝜋𝑥 = 𝜋𝑚 ⇒ 𝑥 =𝑘𝑛

, 𝑘 = 0,1, … ,𝑛 − 1.

ე. ი.

𝑧𝑘 = �cos2𝜋(𝑘 − 1)

𝑛, sin

2𝜋(𝑘 − 1)𝑛

� (11)

კომპლექსური რიცხვები, სადაც 𝑘 = 1,2, … ,𝑛, 𝐾 ბირთვის ელემენტებია.


189

გეომეტრიულად ეს წერტილები 𝑆1 წრეწირში ჩახაზული წესიერი 𝑛-კუთხედის წვერო-ებია.

მაგალითი 3.1. ვთქვათ, 𝑛 = 3. მაშინ 𝑧3 = (1,0) = 1 განტოლებას გააჩნია სამი ფესვი:

𝑧1 = (cos 0 , sin 0) = (1,0);

𝑧2 = �cos2𝜋3

, sin2𝜋3� = �−

12

,√32� ;

𝑧3 = �cos4𝜋3

, sin4𝜋3� = �−

12

,−√32�

და ეს ფესვები წრეწირში ჩახაზული წესიერი სამკუთხედის წვეროებია (იხ. ნახ. 1):

ნახ. 1

მაგალითი 3.2. ვთქვათ, 𝐴 = {𝑎1, … ,𝑎𝑛} სასრული სიმრავლეა. ზემოთქმულის თანახმად, თუ განვიხილავთ 𝑓 ∶ 𝑆1 → 𝑆1 ჰომომორფიზმს, განსაზღვრულს 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑛 ტოლობით, მაშინ ამ ჰომომორფიზმის 𝐾 = ker 𝑓 ბირთვი, არის სასრული {𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛} სიმრავლე და თეორემა 1.3-ის ძალით, წარმოადგენს აბელურ ჯგუფს გამრავლების მიმართ.

ავაგოთ 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐾 ასახვა, განსაზღვრული 𝑔�𝑎𝑗� = 𝑧𝑗 , 𝑗 = 1,2, … ,𝑛 ტოლობით. ცხადია, 𝑔 ასახვა ბიექციაა, ამიტომ თეორემა 1.2-ის ძალით, 𝐴 სიმრავლეზე შეგვიძლია განვსაზღვროთ ალ-გებრული სტრუქტურა ისე, რომ 𝐴 იქნება აბელური ჯგუფი გამრავლების მიმართ.

ვთქვათ, მოცემულია 𝑓 ∶ 𝑆1 → 𝑆1 ასახვა, განსაზღვრული 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑛 ტოლობით და მისი ბირთვია 𝐾 = ker 𝑓. ავაგოთ ახალი სიმრავლე 𝐾𝑛+1 = 𝐾 ∪ {𝑧0}, სადაც 𝑧0 = (0,0) ∈ ℂ. განვსაზ-ღვროთ 𝐾𝑛+1 სიმრავლეზე გამრავლების ოპერაცია შემდეგნაირად:

1) თუ 𝑧′, 𝑧′′ ∈ 𝐾, მაშინ 𝑧′ ⋅ 𝑧′′ ∈ 𝐾;

2) თუ 𝑧′ = 𝑧0, ხოლო 𝑧′′ ∈ 𝐾, მაშინ 𝑧0 ⋅ 𝑧′′ = 𝑧0;

3) თუ 𝑧′ ∈ 𝐾, ხოლო 𝑧′′ = 𝑧0, მაშინ 𝑧′ ⋅ 𝑧0 = 𝑧0;

4) თუ 𝑧′ = 𝑧′′ = 𝑧0, მაშინ 𝑧0 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0 .

განვიხილოთ ℤ𝑛+1 = { [(𝑛 + 1)𝑘𝑟 + 𝑗𝑟] ∣∣ 𝑘𝑟 ∈ ℤ, 𝑗𝑟 = 0,1, … ,𝑛 } და 𝐾𝑛+1 = {𝑧0, 𝑧1 , … , 𝑧𝑛} სი-მრავლეები. როგორც ვხედავთ, ამ ორ სიმრავლეს გააჩნია ელემენტთა ერთი და იგივე რაოდენო-ბა, 𝑛(ℤ𝑛+1) = 𝑛(𝐾𝑛+1). შეგვიძლია ავაგოთ 𝑓 ∶ ℤ𝑛+1 → 𝐾𝑛+1 ბიექცია, განსაზღვრული 𝑓([(𝑛 +1)𝑘𝑟 + 𝑗𝑟]) = 𝑧𝑗 ტოლობით. გავარჩიოთ შემდეგი საკითხები:

ა) ℤ𝑛+1 სიმრავლეში არსებობს გამრავლების ოპერაცია. ასევე 𝐾𝑛+1 სიმრავლეშიც არსე-ბობს გამრავლების ოპერაცია. იქნება თუ არა 𝑓 ბიექცია ჰომომორფიზმი? პასუხი: არა. ვაჩვენოთ ეს.


190

მაგალითი 3.3. ვთქვათ, 𝑛 = 3, ე. ი. გვაქვს ℤ4 და 𝐾4 = {𝑧0, 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3} სიმრავლეები. იმისა-თვის, რომ 𝑓 იყოს ჰომომორფიზმი, უნდა სრულდებოდეს პირობა:

𝑓([4𝑘1 + 𝑗1] ⋅ [4𝑘2 + 𝑗2]) = 𝑓([4𝑘1 + 𝑗1]) ⋅ 𝑓([4𝑘2 + 𝑗2]) = 𝑧𝑗1 ⋅ 𝑧𝑗2 .

გვაქვს:

[4𝑘1 + 𝑗1] ⋅ [4𝑘2 + 𝑗2] = [(4𝑘1 + 𝑗1)(4𝑘2 + 𝑗2)] = [4(𝑘1𝑘2 + 𝑘1𝑗2 + 𝑘2𝑗1) + 𝑗1𝑗2].

თუ 𝑗1𝑗2 ≥ 4, მაშინ 𝑗1𝑗2 = 4𝑘 + 𝑗, სადაც 0 ≤ 𝑗 < 4 და

[4𝑘1 + 𝑗1] ⋅ [4𝑘2 + 𝑗2] = [4(𝑘1𝑘2 + 𝑘1𝑗2 + 𝑘2𝑗1 + 𝑘) + 𝑗].

ამიტომ

1) თუ 𝑗1𝑗2 < 4, მაშინ 𝑓([4𝑘1 + 𝑗1] ⋅ [4𝑘2 + 𝑗2]) = 𝑓(4(𝑘1𝑘2 + 𝑘1𝑗2 + 𝑘2𝑗1) + 𝑗1𝑗2) = 𝑧𝑗1𝑗2 ;

2) თუ 𝑗1𝑗2 ≥ 4, მაშინ 𝑓([4𝑘1 + 𝑗1] ⋅ [4𝑘2 + 𝑗2]) = 𝑓(4(𝑘1𝑘2 + 𝑘1𝑗2 + 𝑘2𝑗1 + 𝑘) + 𝑗) = 𝑧𝑗 .

ე. ი. ჩვენ უნდა ვაჩვენოთ, რომ

1) თუ 𝑗1𝑗2 < 4, მაშინ 𝑧𝑗1𝑗2 = 𝑧𝑗1 ⋅ 𝑧𝑗2 ;

2) თუ 𝑗1𝑗2 ≥ 4, მაშინ 𝑧𝑗 = 𝑧𝑗1 ⋅ 𝑧𝑗2 .

ვთქვათ, 𝑗1 = 2, 𝑗2 = 2. მაშინ 𝑗1𝑗2 = 2 ∙ 2 = 4 და

[4𝑘1 + 2] ⋅ [4𝑘2 + 2] = [4(𝑘1𝑘2 + 2𝑘1 + 2𝑘2) + 4] = [4(𝑘1𝑘2 + 2𝑘1 + 2𝑘2 + 1) + 0].

ე. ი. 𝑗 = 0 და 𝑓([4𝑘1 + 2] ⋅ [4𝑘2 + 2]) = 𝑓(4(𝑘1𝑘2 + 2𝑘1 + 2𝑘2 + 1) + 0) = 𝑧0 .

მეორე მხრივ, 𝑓([4𝑘1 + 2]) = 𝑧2 , 𝑓([4𝑘2 + 2]) = 𝑧2 და 𝑧2 ∙ 𝑧2 ≠ 𝑧0, რადგან 𝑧2 ∈ 𝐾, ხოლო 𝐾 აბელური ჯგუფია გამრავლების მიმართ და ამიტომ 𝑧2 ∙ 𝑧2 ∈ 𝐾.

ბ) რადგან ℤ𝑛+1 სიმრავლეში არსებობს შეკრების ოპერაცია ისეთი, რომ ℤ𝑛+1 სიმრავლე აბელური ჯგუფია ამ ოპერაციის მიმართ, თეორემა 1.2-ის ძალით, 𝐾𝑛+1 სიმრავლეში შეგვიძლია განვსაზღვროთ შეკრების ოპერაცია ისე, რომ 𝐾𝑛+1 აბელური ჯგუფი იქნება ამ ოპერაციის მი-მართ. აღვნიშნოთ ასე მიღებული შეკრების ოპერაცია 𝐾𝑛+1 სიმრავლეზე ⨁ სიმბოლოთი.

ამრიგად, 𝐾𝑛+1 სიმრავლეზე განსაზღვრულია ორი ოპერაცია, შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციები, 𝐾𝑛+1 აბელური ჯგუფია შეკრების ოპერაციის მიმართ, ხოლო 𝐾 = 𝐾𝑛+1 ∖ {𝑧0} − აბე-ლური ჯგუფია გამრავლების ოპერაციის მიმართ. არის თუ არა გამრავლების ოპერაცია შეთან-ხმებული შეკრების ოპერაციასთან? ე. ი. არის თუ არა გამრავლება დისტრიბუციული შეკრების მიმართ (იხ. თავი I, განსაზღვრა 4.4):

1) 𝑧𝑗 ∙ �𝑧𝑗′ ⨁ 𝑧𝑗′′� = 𝑧𝑗 ⋅ 𝑧𝑗′ ⨁ 𝑧𝑗 ∙ 𝑧𝑗′′ ;

2) �𝑧𝑗 ⨁ 𝑧𝑗′� ⋅ 𝑧𝑗′′ = 𝑧𝑗 ⋅ 𝑧𝑗′′ ⨁ 𝑧𝑗′ ∙ 𝑧𝑗′′ ,

სადაც 𝑗, 𝑗′, 𝑗′′ = 0,1, … ,𝑛. ცხადია, რადგან 𝐾𝑛+1 სიმრავლეში გამრავლების ოპერაცია კომუტაცი-ურია, ამიტომ თუ მართებულია 1) ტოლობა, მაშინ მართებული იქნება 2) ტოლობაც.

პასუხი: საზოგადოდ არა. განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 3.4. ვთქვათ, 𝑛 = 5. მაშინ ℤ6 = { [6𝑘𝑟 + 𝑗𝑟] ∣∣ 𝑘𝑟 ∈ ℤ, 𝑗𝑟 = 0,1, … ,5 }, ხოლო 𝐾6 = {𝑧0, 𝑧1, 𝑧2 , 𝑧3, 𝑧4, 𝑧5}. 𝑓 ∶ ℤ6 → 𝐾6 ბიექცია განსაზღვრულია 𝑓([6𝑘𝑟 + 𝑗𝑟]) = 𝑧𝑗𝑟 , 𝑗𝑟 = 0,1, … ,5


191

ტოლობით. შევამოწმოთ, სწორია თუ არა 𝑧2 ∙ (𝑧2 ⨁𝑧2) = 𝑧2 ⋅ 𝑧2 ⨁𝑧2 ∙ 𝑧2 ტოლობა. (11)-ის გათვა-ლისწინებით, გვექნება:

𝑧𝑘 = �cos2𝜋(𝑘 − 1)

5, sin

2𝜋(𝑘 − 1)5

�,

სადაც 𝑘 = 1, … ,5. ამიტომ 𝑧2 = �cos 2𝜋5

, sin 2𝜋5� . რა იქნება 𝑧2⨁ 𝑧2 ჯამი? რადგან 𝑓 ჰომომორფიზ-

მია, ამიტომ 𝑧2 ⨁ 𝑧2 = 𝑓([6𝑘 + 2] + [6𝑘 + 2]) = 𝑓([6(2𝑘) + 4]) = 𝑧4 = �cos 6𝜋5

, sin 6𝜋5�.

მაშინ 𝑧2 ∙ (𝑧2 ⊕ 𝑧2) = 𝑧2 ∙ 𝑧4 = �cos2𝜋5

, sin2𝜋5� ∙ �cos

6𝜋5

, sin6𝜋5� = �cos

8𝜋5

, sin8𝜋5� = 𝑧5.

მეორე მხრივ,

𝑧2 ⋅ 𝑧2 ⊕ 𝑧2 ⋅ 𝑧2 = �cos2𝜋5


2𝜋5

, sin2𝜋5�⊕ �cos

2𝜋5


2𝜋5

, sin2𝜋5�

= �cos4𝜋5

, sin4𝜋5�⊕ �cos

4𝜋5

, sin4𝜋5� = 𝑧3 ⊕ 𝑧3.

რადგან 𝑧3 = 𝑓([6𝑘 + 3]), ამიტომ 𝑧3 ⊕ 𝑧3 = 𝑓([6𝑘 + 3] + [6𝑘 + 3]) = 𝑓([6(2𝑘 + 1)]) = 𝑧0. ამრიგად, 𝑧2 ∙ (𝑧2⨁ 𝑧2) = 𝑧5, ხოლო 𝑧2 ⋅ 𝑧2 ⊕ 𝑧2 ⋅ 𝑧2 = 𝑧0. ამიტომ დისტრიბუციულობის პირობა არ სრულდება.

მაგალითი 3.5. ვთქვათ, 𝑛 = 1. მაშინ ℤ2 = {[2𝑘1], [2𝑘2 + 1]}, ხოლო 𝐾2 = {𝑧0, 𝑧1}. 𝑓 ∶ ℤ2 → 𝐾2 ბიექცია განსაზღვრულია 𝑓([2𝑘𝑟 + 𝑗𝑟]) = 𝑧𝑗𝑟 , 𝑗𝑟 = 0,1 ტოლობით. შევამოწმოთ, სრულდება თუ არა დისტრიბუციულობის პირობა. ე. ი. სწორია თუ არა 𝑧𝑗 ∙ �𝑧𝑗′ ⨁ 𝑧𝑗′′� = 𝑧𝑗 ⋅ 𝑧𝑗′ ⨁ 𝑧𝑗 ∙ 𝑧𝑗′′ ტოლო-ბა, სადაც 𝑗, 𝑗′, 𝑗′′ = 0, 1.

გვაქვს:

1) 𝑧0 ∙ (𝑧0 ⊕ 𝑧0) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([2𝑘1] + [2𝑘1]) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([2(2𝑘1)]) = 𝑧0 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0 ,

𝑧0 ⋅ 𝑧0 ⊕ 𝑧0 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

2) 𝑧0 ∙ (𝑧0 ⊕ 𝑧1) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([2𝑘1] + [2𝑘2 + 1]) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([2(𝑘1 + 𝑘2) + 1]) = 𝑧0 ⋅ 𝑧1 = 𝑧0,

𝑧0 ⋅ 𝑧0 ⊕ 𝑧0 ⋅ 𝑧1 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

3) 𝑧0 ∙ (𝑧1 ⊕ 𝑧0) = 𝑧0 ⋅ 𝑧1 = 𝑧0, 𝑧0 ⋅ 𝑧1 ⊕ 𝑧0 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

4) 𝑧1 ∙ (𝑧0 ⊕ 𝑧0) = 𝑧1 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0, 𝑧1 ⋅ 𝑧0 ⊕ 𝑧1 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

5) 𝑧1 ∙ (𝑧1 ⊕ 𝑧0) = 𝑧1 ⋅ 𝑧1 = 𝑧1, 𝑧1 ⋅ 𝑧1 ⊕ 𝑧1 ⋅ 𝑧0 = 𝑧1 ⊕ 𝑧0 = 𝑧1;

6) 𝑧1 ∙ (𝑧0 ⊕ 𝑧1) = 𝑧1 ⋅ 𝑧1 = 𝑧1, 𝑧1 ⋅ 𝑧0 ⊕ 𝑧1 ⋅ 𝑧1 = 𝑧0 ⊕ 𝑧1 = 𝑧1;

7) 𝑧0 ∙ (𝑧1 ⊕ 𝑧1) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([2𝑘2 + 1] + [2𝑘2 + 1]) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([2(2𝑘2 + 1)]) = 𝑧0 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0 ,

𝑧0 ⋅ 𝑧1 ⊕ 𝑧0 ⋅ 𝑧1 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

8) 𝑧1 ∙ (𝑧1 ⊕ 𝑧1) = 𝑧1 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0, 𝑧1 ⋅ 𝑧1 ⊕ 𝑧1 ⋅ 𝑧1 = 𝑧1 ⊕ 𝑧1 = 𝑧0.

1)-8)-დან ვასკვნით, რომ 𝐾2 = {𝑧0, 𝑧1} სიმრავლეზე გამრავლების ოპერაცია შეთანხმებუ-ლია შეკრების ოპერაციასთან.

მაგალითი 3.6. ვთქვათ, 𝑛 = 2. მაშინ ℤ3 = {[2𝑘1], [2𝑘2 + 1], [2𝑘3 + 2]}, 𝐾3 = {𝑧0, 𝑧1, 𝑧2}. 𝑓 ∶ ℤ3 → 𝐾3 ბიექცია განსაზღვრულია 𝑓([2𝑘𝑟 + 𝑗𝑟]) = 𝑧𝑗𝑟 , 𝑗𝑟 = 0,1,2 ტოლობით. შევამოწმოთ,


192

სრულდება თუ არა დისტრიბუციულობის პირობა. ე. ი. სწორია თუ არა 𝑧𝑗 ∙ �𝑧𝑗′ ⨁ 𝑧𝑗′′� = 𝑧𝑗 ⋅𝑧𝑗′ ⨁ 𝑧𝑗 ∙ 𝑧𝑗′′ ტოლობა, სადაც 𝑗, 𝑗′, 𝑗′′ = 0, 1, 2. კომბინატორიკის გამოყენებით (იხ. თავი II, ფორ-მულა (1)) ვადგენთ, რომ უნდა შემოწმდეს 27 ტოლობა. თუ გავითვალისწინებთ, რომ ⊕ ოპერა-ცია კომუტაციურია, საკმარისია 18 ტოლობის შემოწმება. ჩვენ შევამოწმებთ ზოგიერთ მათგანს. დანარჩენები ანალოგიურად განიხილება.

1) 𝑧0 ∙ (𝑧0 ⊕ 𝑧0) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3𝑘1] + [3𝑘1]) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3(2𝑘1)]) = 𝑧0 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0 ,

𝑧0 ⋅ 𝑧0 ⊕ 𝑧0 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

2) 𝑧0 ∙ (𝑧0 ⊕ 𝑧1) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3𝑘1] + [3𝑘2 + 1]) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3(𝑘1 + 𝑘2) + 1]) = 𝑧0 ⋅ 𝑧1 = 𝑧0,

𝑧0 ⋅ 𝑧0 ⊕ 𝑧0 ⋅ 𝑧1 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

3) 𝑧0 ∙ (𝑧0 ⊕ 𝑧2) = 𝑧0 ⋅ 𝑧2 = 𝑧0, 𝑧0 ⋅ 𝑧0 ⊕ 𝑧0 ⋅ 𝑧2 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

4) 𝑧0 ∙ (𝑧1 ⊕ 𝑧1) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3𝑘2 + 1] + [3𝑘2 + 1]) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3(2𝑘2) + 2]) = 𝑧0 ⋅ 𝑧2 = 𝑧0 ,

𝑧0 ⋅ 𝑧1 ⊕ 𝑧0 ⋅ 𝑧1 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

5) 𝑧0 ∙ (𝑧1 ⊕ 𝑧2) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3𝑘2 + 1] + [3𝑘3 + 2]) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3(𝑘2 + 𝑘3 + 1)]) = 𝑧0 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0,

𝑧0 ⋅ 𝑧1 ⊕ 𝑧0 ⋅ 𝑧2 = 𝑧0 ⊕ 𝑧0 = 𝑧0;

6) 𝑧0 ∙ (𝑧2 ⊕ 𝑧2) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3𝑘3 + 2] + [3𝑘3 + 2]) = 𝑧0 ⋅ 𝑓([3(2𝑘3 + 1) + 1]) = 𝑧1 ⋅ 𝑧1 = 𝑧1 ,

𝑧1 ⋅ 𝑧1 ⊕ 𝑧1 ⋅ 𝑧0 = 𝑧1 ⊕ 𝑧0 = 𝑧1;

7) 𝑧1 ∙ (𝑧0 ⊕ 𝑧1) = 𝑧1 ⋅ 𝑧1 = 𝑧1, 𝑧1 ⋅ 𝑧0 ⊕ 𝑧1 ⋅ 𝑧1 = 𝑧0 ⊕ 𝑧1 = 𝑧1;

8) 𝑧1 ∙ (𝑧0 ⊕ 𝑧2) = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑧2, 𝑧1 ⋅ 𝑧0 ⊕ 𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑧0 ⊕ 𝑧2 = 𝑧2;

9) 𝑧1 ∙ (𝑧1 ⊕ 𝑧1) = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑧2, 𝑧1 ⋅ 𝑧1 ⊕ 𝑧1 ⋅ 𝑧1 = 𝑧1 ⊕ 𝑧1 = 𝑧2.

1)-9) და ზემოთქმულიდან ვასკვნით, რომ 𝐾3 = {𝑧0, 𝑧1, 𝑧2} სიმრავლეზე გამრავლების ოპე-რაცია შეთანხმებულია შეკრების ოპერაციასთან.

მაგალითი 3.7. ვთქვათ, 𝑛 = 3. მაშინ ℤ4 = { [4𝑘𝑟 + 𝑗𝑟] ∣∣ 𝑘𝑟 ∈ ℤ, 𝑗𝑟 = 0,1,2,3 }, ხოლო 𝐾4 = {𝑧0, 𝑧1, 𝑧2 , 𝑧3}. განვიხილოთ 𝑓 ∶ ℤ4 → 𝐾4 ბიექცია, განსაზღვრული 𝑓([4𝑘𝑟 + 𝑗𝑟]) = 𝑧𝑗𝑟 , 𝑗𝑟 =0,1,2,3 ტოლობით. შევამოწმოთ, სრულდება თუ არა დისტრიბუციულობის პირობა:

𝑧𝑗 ∙ �𝑧𝑗′ ⊕ 𝑧𝑗′′� = 𝑧𝑗 ⋅ 𝑧𝑗′ ⊕ 𝑧𝑗 ∙ 𝑧𝑗′′ , 𝑗, 𝑗′, 𝑗′′ = 0, 1, 2, 3.

ვთქვათ, 𝑗 = 2, 𝑗′ = 𝑗′′ = 1. მაშინ გვექნება

𝑧2 ∙ (𝑧1 ⊕ 𝑧1) = 𝑧2 ⋅ 𝑧2 = �cos2𝜋3


2𝜋3


4𝜋3

, sin4𝜋3� = 𝑧3 ,

𝑧2 ⋅ 𝑧1 ⊕ 𝑧2 ∙ 𝑧1 = 𝑧2 ⊕ 𝑧2 = 𝑧0,

ე. ი. დისტრიბუციულობის პირობა არ სრულდება, რადგან 𝑧3 ≠ 𝑧0 .

მაგალითი 3.8. ვთქვათ, 𝑛 = 4. მაშინ ℤ5 = { [5𝑘𝑟 + 𝑗𝑟] ∣∣ 𝑘𝑟 ∈ ℤ, 𝑗𝑟 = 0,1,2,3,4 }, ხოლო 𝐾5 = {𝑧0, 𝑧1, 𝑧2 , 𝑧3, 𝑧4}. განვიხილოთ 𝑓 ∶ ℤ5 → 𝐾5 ბიექცია, განსაზღვრული 𝑓([5𝑘𝑟 + 𝑗𝑟]) = 𝑧𝑗𝑟 , 𝑗𝑟 =0,1,2,3,4 ტოლობით. შევამოწმოთ, სრულდება თუ არა დისტრიბუციულობის პირობა:

𝑧𝑗 ∙ �𝑧𝑗′ ⊕ 𝑧𝑗′′� = 𝑧𝑗 ⋅ 𝑧𝑗′ ⊕ 𝑧𝑗 ∙ 𝑧𝑗′′ , 𝑗, 𝑗′, 𝑗′′ = 0, 1, 2, 3, 4.

ვთქვათ, 𝑗 = 2, 𝑗′ = 2, 𝑗′′ = 3. მაშინ გვექნება


193

𝑧2 ∙ (𝑧2 ⊕ 𝑧3) = 𝑧2 ⋅ 𝑧0 = 𝑧0,

𝑧2 ⋅ 𝑧2 ⊕ 𝑧2 ∙ 𝑧3 = 𝑧3 ⊕ 𝑧4 = 𝑧2,

რადგან

𝑧2 ⋅ 𝑧2 = �cos2𝜋4


2𝜋4


4𝜋4

, sin4𝜋4� = 𝑧3,

𝑧2 ∙ 𝑧3 = �cos2𝜋4


4𝜋4


6𝜋4

, sin6𝜋4� = 𝑧4 .

ამიტომ, დისტრიბუციულობის პირობა არ სრულდება.

შევაჯამოთ განხილული მაგალითები.

ა) მაგალითებში 3.5 და 3.6, როცა 𝑛 = 1 ან 2, დასმულ კითხვაზე ჩვენ მივიღეთ დადები-თი პასუხი. 𝐾2 და 𝐾3 სიმრავლეებზე განსაზღვრული „ ⊕ “ შეკრების ოპერაცია შეთანხმებულია „ ∙ “ გამრავლების ოპერაციასთან, ე. ი. სრულდება დისტრიბუციულობის პირობა. რადგან „ ⊕ “ შეკრების ოპერაციის მიმართ, 𝐾2 და 𝐾3 არიან აბელური ჯგუფები, ხოლო 𝐾2 ∖ {𝑧0} და 𝐾3 ∖{𝑧0} სიმრავლეები „ ∙ “ გამრავლების ოპერაციის მიმართ არიან აბელური ჯგუფები, ამიტომ 𝐾2 და 𝐾3 არიან სასრული ველები.

ბ) მაგალითებში 3.4, 3.7 და 3.8, როცა 𝑛 = 3, 4, 5, დასმულ კითხვაზე ჩვენ მივიღეთ უარ-ყოფითი პასუხი. 𝐾4, 𝐾5 და 𝐾6 სიმრავლეებზე განსაზღვრული „ ⊕ “ შეკრების ოპერაცია არ არის შეთანხმებული „ ∙ “ გამრავლების ოპერაციასთან, ე. ი. არ სრულდება დისტრიბუციულობის პი-რობა, მიუხედავად იმისა, რომ ორივე ოპერაციის მიმართ ისინი აბელური ჯგუფებია.

ამიტომ საინტერესოა შემდეგი კითხვა: შეიძლება თუ არა, 𝐾𝑛+1 სიმრავლეზე, როცა 𝑛 ≥ 3, განვსაზღვროთ ისეთი შეკრების ოპერაცია, რომ გამრავლება შეთანხმებული იქნება შეკრების ოპერაციასთან და 𝐾𝑛+1 სიმრავლე იქნება აბელური ჯგუფი შეკრების ოპერაციის მი-მართ?

პასუხს ამ კითხვაზე თქვენ მიიღებთ შემდეგ თავში (რიცხვთა თეორიის ელემენტები). დადებითი პასუხის შემთხვევაში 𝐾𝑛+1 სიმრავლეები იქნება სასრული ველები.

194

სავარჯიშოები VII თავისათვის

𝟏.𝟏. მოცემულია 𝜔1 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔1(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ; 𝜔1′ ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔1′ (𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ℤ და 𝑓 ∶ ℤ → ℤ, 𝑓(𝑚) = 5𝑚, 𝑚 ∈ ℤ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა ჰომომორფიზმია.

𝟏.𝟐. მოცემულია 𝜔1 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔1(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ; 𝜔1′ ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔1′ (𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ℤ და 𝑓 ∶ ℤ → ℤ, 𝑓(𝑚) = 2𝑚 − 1, 𝑚 ∈ ℤ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა არ არის ჰომომორფიზმი.

𝟏.𝟑. მოცემულია 𝜔2 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔2(𝑚,𝑛) = 𝑚 ∙ 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ, 𝜔2′ ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔2

′ (𝑚,𝑛) = 𝑚 ∙ 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ და 𝑓 ∶ ℤ → ℤ, 𝑓(𝑚) = 𝑚, 𝑚 ∈ ℤ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა ჰომომორფიზმია.

𝟏.𝟒. მოცემულია 𝜔2 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔2(𝑚,𝑛) = 𝑚 ∙ 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ; 𝜔2′ ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔2

′ (𝑚,𝑛) = 𝑚 ∙ 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ და 𝑓 ∶ ℤ → ℤ, 𝑓(𝑚) = −4𝑚 + 3, 𝑚 ∈ ℤ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა არ არის ჰომომორფიზმი.

𝟏.𝟓. მოცემულია 𝜔2 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔2(𝑚,𝑛) = 𝑚 ∙ 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ; 𝜔2′ ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔2

′ (𝑚,𝑛) = 𝑚 ∙ 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ და 𝑓 ∶ ℤ → ℤ, 𝑓(𝑚) = 𝑚2, 𝑚 ∈ ℤ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა ჰომომორფიზმია.

𝟏.𝟔. მოცემულია 𝜔1 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔1(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ; 𝜔1′ ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔1′ (𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ℤ და 𝑓 ∶ ℤ → ℤ, 𝑓(𝑚) = 𝑚2, 𝑚 ∈ ℤ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა არ არის ჰომომორფიზმი.

𝟏.𝟕. მოცემულია 𝜔1 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔1(𝑚,𝑛) = 𝑚 + 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ; 𝜔2 ∶ ℚ+2 → ℚ+, 𝜔2(𝑝, 𝑞) = 𝑝 ∙ 𝑞, 𝑝, 𝑞 ∈ℚ+ და 𝑓 ∶ ℤ → ℚ+, 𝑓(𝑚) = 3−𝑚 , 𝑚 ∈ ℤ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა ჰომომორფიზმია.

𝟏.𝟖. მოცემულია 𝜔2 ∶ ℤ2 → ℤ, 𝜔2(𝑚,𝑛) = 𝑚 ∙ 𝑛, 𝑚,𝑛 ∈ ℤ; 𝜔1 ∶ ℚ+2 → ℚ+, 𝜔1(𝑝, 𝑞) = 𝑝 + 𝑞, 𝑝, 𝑞 ∈ℚ+ და 𝑓 ∶ ℤ → ℚ+, 𝑓(𝑚) = 5𝑚 , 𝑚 ∈ ℤ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა არ არის ჰომომორფიზმი.

𝟏.𝟗. მოცემულია 𝜔2 ∶ ℝ+2 → ℝ+, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ+; 𝜔2′ ∶ ℝ+2 → ℝ+, 𝜔2

′ (𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ+ და 𝑓 ∶ ℝ+ → ℝ+, 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥 ∈ ℝ+ . აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა იზომორფიზმია.

𝟏.𝟏𝟎. მოცემულია 𝜔1 ∶ ℝ+2 → ℝ+, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ+; 𝜔2 ∶ ℝ+2 → ℝ+, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ+ და 𝑓 ∶ ℝ+ → ℝ+, 𝑓(𝑥) = √𝑥4 , 𝑥 ∈ ℝ+. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა არ არის ჰომომორფიზმი.

𝟏.𝟏𝟏. მოცემულია 𝜔2 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ; 𝜔2′ ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2

′ (𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ და 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = √𝑥3 , 𝑥 ∈ ℝ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა იზომორფიზმია.

𝟏.𝟏𝟐. მოცემულია 𝜔2 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ; 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ℝ და 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 25 , 𝑥 ∈ ℝ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა არ არის ჰომომორფიზმი.

𝟏.𝟏𝟑. მოცემულია 𝜔2 ∶ ℝ+2 → ℝ+ , 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ+; 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ და 𝑓 ∶ ℝ+ → ℝ, 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ+. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა იზომორფიზმია.

𝟏.𝟏𝟒. მოცემულია 𝜔1 ∶ ℝ+2 → ℝ+, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ+; 𝜔2 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ და 𝑓 ∶ ℝ+ → ℝ, 𝑓(𝑥) = log5 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ+. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა არ არის ჰომომორფიზმი.

𝟏.𝟏𝟓. მოცემულია 𝜔1 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ; 𝜔2 ∶ ℝ+2 → ℝ+ , 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ+ და 𝑓 ∶ ℝ → ℝ+, 𝑓(𝑥) = 7𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა იზომორფიზმია.

𝟏.𝟏𝟔. მოცემულია 𝜔2 ∶ ℝ2 → ℝ, 𝜔2(𝑥,𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ ℝ; 𝜔1 ∶ ℝ+2 → ℝ+, 𝜔1(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦, 𝑥,𝑦 ∈ℝ+ და 𝑓 ∶ ℝ → ℝ+ , 𝑓(𝑥) = 11𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ. აჩვენეთ, რომ 𝑓 ასახვა არ არის ჰომომორფიზმი.

𝟏.𝟏𝟕. მოცემულია ℤ4. იპოვეთ: ა) [1] + [3]; ბ) [1] ∙ [2].

𝟏.𝟏𝟖. მოცემულია ℤ5. იპოვეთ: ა) [1] + [2]; ბ) [2] ∙ [3].


195

𝟏.𝟏𝟗. მოცემულია ℤ6. იპოვეთ: ა) 2[2] + [5]; ბ) [3] ∙ [4].

𝟏.𝟐𝟎. მოცემულია ℤ7. იპოვეთ: ა) [3] + 2[4]; ბ) [4] ∙ [5].

𝟏.𝟐𝟏. მოცემულია ℤ8. იპოვეთ: ა) [3] − [4]; ბ) [3] ∙ [6].

𝟏.𝟐𝟐. მოცემულია ℤ4. იპოვეთ: ა) [1] − [3]; ბ) [2]2.

𝟏.𝟐𝟑. მოცემულია ℤ5. იპოვეთ: ა) [2] − [4]; ბ) [3]2.

𝟏.𝟐𝟒. მოცემულია ℤ6. იპოვეთ: ა) [3] − [5]; ბ) [3] ∙ [5].

𝟏.𝟐𝟓. მოცემულია ℤ4. იპოვეთ: ა) 2[3] − 3[2]; ბ) 3[1] ∙ [3].

𝟏.𝟐𝟔. მოცემულია ℤ5. იპოვეთ: ა) [1] − 4[3]; ბ) 2[2] ∙ [3].

𝟏.𝟐𝟕. მოცემულია ℤ7. იპოვეთ: ა) 2[2] − 5[6]; ბ) 4[3] ∙ [5].

𝟏.𝟐𝟖. მოცემულია ℤ6. იპოვეთ: ა) 3[1] − 7[4]; ბ) 5[2] ∙ [5].

𝟏.𝟐𝟗. მოცემულია ℤ5. არსებობს თუ არა ისეთი [𝑥] (0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 𝑥 ∈ ℤ), რომელიც აკმაყოფი-ლებს ტოლობას: [2] ∙ [𝑥] = [1]? არსებობის შემთხვევაში იპოვეთ [𝑥].

𝟏.𝟑𝟎. მოცემულია ℤ6. არსებობს თუ არა ისეთი [𝑥] (0 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ ℤ), რომელიც აკმაყოფი-ლებს ტოლობას: [3] ∙ [𝑥] = [2]? არსებობის შემთხვევაში იპოვეთ [𝑥].

𝟏.𝟑𝟏. მოცემულია ℤ7. არსებობს თუ არა ისეთი [𝑥] (0 ≤ 𝑥 ≤ 6, 𝑥 ∈ ℤ), რომელიც აკმაყოფი-ლებს ტოლობას: [𝑥] ∙ [4] = [5]? არსებობის შემთხვევაში იპოვეთ [𝑥].

𝟏.𝟑𝟐. მოცემულია ℤ8. არსებობს თუ არა ისეთი [𝑥] (0 ≤ 𝑥 ≤ 7, 𝑥 ∈ ℤ), რომელიც აკმაყოფი-ლებს ტოლობას: [𝑥] ∙ [5] = [3]? არსებობის შემთხვევაში იპოვეთ [𝑥].

𝟏.𝟑𝟑. ℝ2 სიმრავლეში სათავის გარშემო 𝜑 კუთხით მობრუნება არის გარდაქმნა, რომელიც (𝑥,𝑦) ∈ ℝ2 წყვილს შეუსაბამებს (𝑥′ ,𝑦′) ∈ ℝ2 წყვილს შემდეგი ფორმულებით:

�𝑥′ = 𝑥 cos𝜑 − 𝑦 sin𝜑 ,

𝑦′ = 𝑥 sin𝜑 + 𝑦 cos𝜑 .

აჩვენეთ, რომ ℝ2 სიმრავლეში ყველა შესაძლო მობრუნებების სიმრავლე არის ჯგუფი 𝜑 ∘ 𝜓 =𝜑 + 𝜓 ოპერაციის მიმართ. ეს ჯგუფი 𝑆𝑂(2) სიმბოლოთი აღინიშნება.

𝟏.𝟑𝟒. არის თუ არა მაგალით 1.33-ში განხილული 𝑆𝑂(2) ჯგუფი კომუტაციური? პასუხი დაასა-ბუთეთ.

𝟏.𝟑𝟓. ქვემოთ ჩამოთვლილი სიმრავლეებიდან რომელია ჯგუფი? პასუხი დაასაბუთეთ:

ა) ყველა არანულოვან კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე გამრავლების ოპერაციის მიმართ;

ბ) ყველა, ნულისაგან განსხვავებული დეტერმინანტის მქონე, 𝑛-ური რიგის კვადრატულ მატ-რიცთა სიმრავლე მატრიცთა გამრავლების ოპერაციის მიმართ;

გ) დადებით მთელ რიცხვთა სიმრავლე გამრავლების ოპერაციის მიმართ;

დ) დადებით რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე გამრავლების ოპერაციის მიმართ;

ე) დადებით ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე გამრავლების ოპერაციის მიმართ;

ვ) მთელ რიცხვთა {1, 2, … ,𝑝 − 1} სიმრავლე 𝑝 მოდულით გამრავლების ოპერაციის მიმართ, როცა 𝑝 მარტივი რიცხვია;

ზ) მთელ რიცხვთა {1, 2, … ,𝑚− 1} სიმრავლე 𝑚 მოდულით გამრავლების ოპერაციის მიმართ, როცა 𝑚 შედგენილი რიცხვია;


196

თ) 𝑧 კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე, თუ |𝑧| = 1, კომპლექსურ რიცხვთა გამრავლების ოპე-რაციის მიმართ;

ი) ℝ3-ის ყველა ვექტორთა სიმრავლე ვექტორების შეკრების ოპერაციის მიმართ;

კ) ℝ3-ის ყველა არანულოვან ვექტორთა სიმრავლე ვექტორული გამრავლების ოპერაციის მი-მართ.

𝟏.𝟑𝟔. განვიხილოთ პირველი 𝑛 ნატურალური რიცხვისაგან შედგენილი 𝐴 = {1, 2, … ,𝑛} სიმრა-ვლე. აჩვენეთ, რომ 𝐴 →� 𝐴 ბიექციათა 𝑆(𝐴) სიმრავლე კომპოზიციის ოპერაციის მიმართ ჯგუფია. ამ ჯგუფს სიმეტრიული ჯგუფი ეწოდება.

𝟏.𝟑𝟕. არის თუ არა სიმეტრიული ჯგუფი კომუტაციური? პასუხი დაასაბუთეთ.

𝟏.𝟑𝟖. ℝ2𝑛+1 სივრცის ყოველი 𝐴(𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1, … , 𝑥2𝑛) წერტილი ჩავწეროთ 𝐴(𝑥0, 𝑥′ , 𝑥′′) სა-ხით, სადაც 𝑥′ = (𝑥1, … , 𝑥𝑛), 𝑥′′ = (𝑥𝑛+1, … , 𝑥2𝑛) და მას შევუსაბამოთ შემდეგი მატრიცა:

[𝐴] = �1 𝑥′ 𝜏0 𝐸𝑛 (𝑥′′)𝑇0 0 1

� =

⎝

⎜⎛

1 𝑥1 𝑥2 ⋯ 𝑥𝑛 𝜏0 1 0 ⋯ 0 𝑥𝑛+1⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 0 1 𝑥2𝑛0 0 0 0 0 1 ⎠

⎟⎞

,

სადაც 𝜏 = 𝑥0 +12𝑥′ ⋅ 𝑥′′, ხოლო „ ∙ “ აღნიშნავს ვექტორთა სკალარულ ნამრავლს, ე. ი.

𝑥′ ∙ 𝑥′′ = 𝑥1𝑥𝑛+1 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑥2𝑛.

აჩვენეთ, რომ ასეთ მატრიცთა სიმრავლე ქმნის არა აბელურ ჯგუფს მატრიცთა გამრავლების ოპერაციის მიმართ.

𝟏.𝟑𝟗. ℝ2𝑛+1 სივრცის ყოველი 𝐴(𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1, … , 𝑥2𝑛) წერტილი ჩავწეროთ 𝐴(𝑥0, 𝑥′ , 𝑥′′) სა-ხით, სადაც 𝑥′ = (𝑥1, … , 𝑥𝑛), 𝑥′′ = (𝑥𝑛+1, … , 𝑥2𝑛).

ვთქვათ, 𝐵(𝑦0,𝑦1, … ,𝑦𝑛,𝑦𝑛+1, … ,𝑦2𝑛) = 𝐵(𝑦0,𝑦′,𝑦′′) ∈ ℝ2𝑛+1. განვსაზღვროთ ოპერაცია:

𝐴 ∘ 𝐵 = �𝑥0 + 𝑦0 +12

(𝑥′ ⋅ 𝑦′′ − 𝑥′′ ⋅ 𝑦′),𝑥′ + 𝑦′,𝑥′ + 𝑦′′�,

სადაც, „ ∙ “ აღნიშნავს ვექტორთა სკალარულ ნამრავლს. აჩვენეთ, რომ ასეთი ოპერაციის მიმართ ℝ2𝑛+1 არა აბელური ჯგუფია.

1.38 და 1.39 მაგალითებში განხილულ ჯგუფებს ჰაიზენბერგის ჯგუფები ეწოდება.

𝟏.𝟒𝟎. {𝑒,𝑎, 𝑏, 𝑐} სიმრავლეში განვსაზღვროთ „ ∘ “ ოპერაცია შემდეგი ცხრილის შესაბამისად:

∘ 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐

𝑎 𝑎 𝑒 𝑐 𝑏

𝑏 𝑏 𝑐 𝑒 𝑎

𝑐 𝑐 𝑏 𝑎 𝑒

მაგალითად, 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑐. აჩვენეთ, რომ ეს სიმრავლე „ ∘ “ ოპერაციის მიმართ ჯგუფია (მას კლაინის ჯგუფს უწოდებენ).

𝟏.𝟒𝟏. იქნება თუ არა კლაინის ჯგუფი (მაგალითი 1.40) კომუტაციური? პასუხი დაასაბუთეთ.


197

𝟏.𝟒𝟐. განვიხილოთ [−1; 1] შუალედზე განსაზღვრული ყველა უწყვეტ ფუნქციათა სიმრავლე. აჩვენეთ, რომ ის არის რგოლი ფუნქციათა შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციების მიმართ.

𝟏.𝟒𝟑. რგოლს ეწოდება ნულგამყოფებიანი, თუ მასში რაიმე ორი არანულოვანი ელემენტის ნა-მრავლი შეიძლება ნულოვანი ელემენტი აღმოჩნდეს.

განვიხილოთ [−1; 1] შუალედზე განსაზღვრული ყველა უწყვეტი ფუნქციებისგან შედგენილი რგოლი. არის თუ არა ეს რგოლი ნულგამყოფებიანი? პასუხი დაასაბუთეთ.

𝟏.𝟒𝟒. ℝ2 სიმრავლეში შემოვიღოთ:

ა) შეკრების ოპერაცია

(𝑎1,𝑎2) + (𝑏1,𝑏2) = (𝑎1 + 𝑏1,𝑎2 + 𝑏2);

ბ) გამრავლების ოპერაცია

(𝑎1,𝑎2) ∙ (𝑏1,𝑏2) = (𝑎1𝑏1,𝑎2𝑏2);

აჩვენეთ, რომ ამ ოპერაციების მიმართ განხილული ℝ2 სიმრავლე იქნება ნულგამყოფებიანი რგოლი.

𝟏.𝟒𝟓. აჩვენეთ, რომ 𝑎 + √2𝑏 სახის რიცხვთა სიმრავლე, სადაც 𝑎 და 𝑏 რაციონალური რიცხვე-ბია, ქმნის ველს.

𝟏.𝟒𝟔. აჩვენეთ, რომ 𝑎 + √3𝑏 სახის რიცხვთა სიმრავლე, სადაც 𝑎 და 𝑏 რაციონალური რიცხვე-ბია, ქმნის ველს.

198

თავი VIII. რიცხვთა თეორიის ელემენტები

§1. გაყოფადობის თეორია

ამ თავში ჩვენ ძირითად საქმე გვექნება ℤ და ℤ𝑚 სიმრავლეებთან. ჩვენთვის როგორც უკ-ვე ცნობილია, ℤ და ℤ𝑚 სიმრავლეები, მათზე განსაზღვრული შეკრებისა და გამრავლების ოპე-რაციების მიმართ (იხ. თავი VII, მაგალითი 2.7, 2.16), კომუტაციური, ასოციაციური, ერთეულის მქონე რგოლებია. ამიტომ ყველა ის თვისება, რომელიც ასეთ რგოლში განსაზღვრულ ოპერაცი-ებს გააჩნიათ, მართებულია ამ სიმრავლეებშიც.

1. გაყოფადობა მთელ რიცხვთა სიმრავლეში და მისი ძირითადი თვისებები.

ამბობენ რომ 𝑎 ∈ ℤ რიცხვი იყოფა ნულისაგან განსხვავებულ 𝑏 ∈ ℤ რიცხვზე, თუ არსე-ბობს 𝑞 ∈ ℤ ისეთი, რომ 𝑎 = 𝑏𝑞.

ამ შემთხვევაში ამბობენ აგრეთვე, რომ 𝑎 რიცხვი არის 𝑏 რიცხვის ჯერადი ან 𝑏 რიცხვი არის 𝑎 რიცხვის გამყოფი. 𝑎 რიცხვის 𝑏 რიცხვზე გაყოფადობას აღნიშნავენ ასე: 𝑏 | 𝑎. ხოლო იმ ფაქტს, რომ 𝑎 რიცხვი 𝑏 რიცხვზე არ იყოფა, აღნიშნავენ ასე: 𝑏 ∤ 𝑎.

მაგალითი 𝟏.𝟏. 3 ∣ 12, რადგან 12 = 3 ∙ 4, 4 ∈ ℤ; 3 ∤ 11, რადგან 11 = 3 ∙113

, 113∉ ℤ.

დებულება 1.1. თუ 𝑎 ≠ 0 და 𝑏 | 𝑎, მაშინ 0 < |𝑏| ≤ |𝑎|.

დამტკიცება. რადგან 𝑏 | 𝑎, განსაზღვრის თანახმად, არსებობს 𝑞 ∈ ℤ ისეთი, რომ 𝑎 = 𝑏𝑞. ცხადია, 𝑞 ≠ 0, ამიტომ |𝑞| ≥ 1, |𝑎| = |𝑏||𝑞| ≥ |𝑏| > 0. □

შედეგი 1.1. ყოველი ნულისაგან განსხვავებული რიცხვის გამყოფთა რაოდენობა სასრუ-ლია.

დამტკიცება. პირდაპირ მიიღება დებულებიდან, რადგან ნებისმიერი სასრული შუალე-დი შეიცავს მთელ რიცხვთა მხოლოდ სასრულ რაოდენობას.

გაყოფადობის ცნებიდან უშუალოდ მიიღება მისი შემდეგი თვისებები:

1) თუ მართებულია შემდეგი ოთხი დამოკიდებულებიდან ნებისმიერი ერთი: 𝑏 | 𝑎,−𝑏 | 𝑎,𝑏 |− 𝑎, −𝑏 | − 𝑎, მაშინ მართებულია დანარჩენი სამიც;

2) 1 | 𝑎, ე. ი. ნებისმიერი მთელი რიცხვი იყოფა ერთზე;

3) 𝑏 | 0, ე. ი. ნული იყოფა ნებისმიერ არანულოვან მთელ რიცხვზე;

4) 𝑎 | 𝑎, (გაყოფადობის რეფლექსურობის თვისება);

5) თუ 𝑏 | 𝑎 და 𝑎 | 𝑐, მაშინ 𝑏 | 𝑐 (გაყოფადობის ტრანზიტულობის თვისება);

6) თუ 𝑏𝑐 | 𝑎𝑐 და 𝑐 ≠ 0, მაშინ 𝑏 | 𝑎; პირიქით, თუ 𝑏 ∣ 𝑎, მაშინ 𝑏𝑐 ∣ 𝑎𝑐;

7) ნებისმიერი 𝑥,𝑦 ∈ ℤ რიცხვებისათვის, თუ 𝑏 | 𝑎1, 𝑏 | 𝑎2, მაშინ 𝑏 | (𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦);

8) თუ 𝑏 ∣ (𝑎1 + 𝑎2) და 𝑏 ∣ 𝑎1, მაშინ 𝑏 ∣ 𝑎2;

9) თუ 𝑏 | 𝑎, 𝑎 | 𝑏, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, მაშინ 𝑎 = 𝑏.

გაყოფადობის თვისებებიდან ჩანს, რომ გაყოფადობის ფაქტი არ არის დამოკიდებული გამყოფის ნიშანზე, რის გამოც შემდგომში განვიხილავთ მხოლოდ დადებით გამყოფებს.


199

თეორემა 1.1. (გაყოფადობის ალგორითმი). თუ 𝑎 ∈ ℤ და 𝑏 ∈ ℕ, მაშინ არსებობს ერთად-ერთი წყვილი 𝑞 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ ℤ+ რიცხვებისა ისეთი, რომ 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 და 0 ≤ 𝑟 < 𝑏.

დამტკიცება. არსებობა. განვიხილოთ 𝑏 რიცხვის ჯერადთა მიმდევრობა:

… ,−3𝑏,−2𝑏,−𝑏, 0, 𝑏, 2𝑏, 3𝑏, …

ცხადია, რომ 𝑎 რიცხვი ან ემთხვევა ამ მიმდევრობის რომელიმე წევრს, ან მოთავსებუ-ლია მის ორ მეზობელ წევრს შორის, ე. ი. არსებობს 𝑞 ∈ ℤ ისეთი, რომ

(𝑞𝑏 ≤ 𝑎 < (𝑞 + 1)𝑏) ⇒ (0 ≤ 𝑎 − 𝑏𝑞 < 𝑏). (1)

შემოვიღოთ აღნიშვნა: 𝑎 − 𝑏𝑞 = 𝑟. ამ ტოლობის და (1)-ის ძალით გვაქვს:

𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 და 0 ≤ 𝑟 < 𝑏.

ერთადერთობა. დავუშვათ, არსებობს ორი 𝑞1, 𝑟1 და 𝑞2, 𝑟2 წყვილი ისეთი, რომ

𝑎 = 𝑏𝑞1 + 𝑟1, 0 ≤ 𝑟1 < 𝑏

და

𝑎 = 𝑏𝑞2 + 𝑟2, 0 ≤ 𝑟2 < 𝑏.

ზოგადობის შეუზღუდავად შეგვიძლია ვიგულისხმოთ, რომ 𝑟1 ≥ 𝑟2. მაშინ, ზემომოყვა-ნილი ტოლობებიდან და უტოლობებიდან გვექნება:

𝑟1 − 𝑟2 = 𝑏(𝑞2 − 𝑞1), 𝑏 | 𝑟1 − 𝑟2, 0 ≤ 𝑟1 − 𝑟2 < 𝑏.

𝑏 | 𝑟1 − 𝑟2 და 0 ≤ 𝑟1 − 𝑟2 < 𝑏 შესაძლებელია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 𝑟1 − 𝑟2 = 0, ე. ი. 𝑟1 = 𝑟2. მაშინ 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑏(𝑞2 − 𝑞1) ტოლობიდან ვღებულობთ, რომ 𝑞1 = 𝑞2. □

𝑎 და 𝑏 რიცხვებით ცალსახად განსაზღვრულ 𝑟 რიცხვს, უწოდებენ 𝑎 რიცხვის 𝑏 რიცხვზე გაყოფით მიღებული ნაშთს, ხოლო 𝑞 რიცხვს − განაყოფს.

მაგალითი 1.2. ა) რიცხვებისათვის 𝑎 = 25, 𝑏 = 7, გვაქვს: 25 = 7 ∙ 3 + 4, ე. ი. 𝑞 = 3, 𝑟 =4;

ბ) რიცხვებისათვის 𝑎 = −19, 𝑏 = 4, გვაქვს: −19 = 4 ∙ (−5) + 1, ე. ი. 𝑞 = −5, 𝑟 = 1;

გ) რიცხვებისათვის 𝑎 = 30, 𝑏 = 15, გვაქვს: 30 = 15 ∙ 2, ე. ი. 𝑞 = 2, 𝑟 = 0.

დ) რიცხვებისათვის 𝑎 = 7, 𝑏 = 10, გვაქვს: 7 = 10 ∙ 0 + 7, ე. ი. 𝑞 = 0, 𝑟 = 7.

2. უდიდესი საერთო გამყოფი.

𝑑 რიცხვს უწოდებენ 𝑎 და 𝑏 რიცხვების საერთო გამყოფს, თუ თითოეული ამ რიცხვთა-გან იყოფა 𝑑 რიცხვზე.

𝑎 და 𝑏 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება მათ საერთო გამყოფთა შორის უდიდესს.

უდიდესი საერთო გამყოფისათვის იყენებენ (𝑎, 𝑏) აღნიშვნას.

დებულება 1.2. თუ 𝑎 და 𝑏 რიცხვებს შორის ერთი მაინც არ არის ნული, მაშინ მათ აქვთ ერთადერთი უდიდესი საერთო გამყოფი.

დამტკიცება. რადგან 𝑎 და 𝑏 რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნული, მათი საერთო გამ-ყოფთა რაოდენობა სასრულია შედეგი 1.1-ის ძალით, ხოლო სასრული რაოდენობის რიცხვთა შორის არსებობს უდიდესი. □

რიცხვთა თეორიის ელემენტები

200

დებულება 1.3. თუ 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑐, მაშინ 𝑎 და 𝑏 რიცხვების საერთო გამყოფთა ერთობლი-ობა ემთხვევა 𝑏 და 𝑐 რიცხვების საერთო გამყოფთა ერთობლიობას. კერძოდ, (𝑎, 𝑏) = (𝑏, 𝑐).

დამტკიცება. 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑐, 𝑐 = 𝑎 − 𝑏𝑞 ტოლობებიდან და გაყოფადობის 7) თვისებიდან გა-მომდინარეობს, რომ 𝑎 და 𝑏 რიცხვების ყოველი საერთო გამყოფი იქნება 𝑐 რიცხვის გამყო-ფიც, ე. ი. წარმოადგენს 𝑏 და 𝑐 რიცხვების საერთო გამყოფს და პირიქით, 𝑏 და 𝑐 რიცხვების საერთო გამყოფი წარმოადგენს 𝑎 და 𝑏 რიცხვების საერთო გამყოფს. ამრიგად, 𝑎 და 𝑏 რი-ცხვების საერთო გამყოფთა ერთობლიობა ემთხვევა 𝑏 და 𝑐 რიცხვების საერთო გამყოფთა ერ-თობლიობას. კერძოდ, მათ შორის უდიდესებიც ტოლია. □

შედეგი 1.2. თუ 𝑏 > 0 და 𝑏 | 𝑎, მაშინ (𝑎, 𝑏) = 𝑏.

თეორემა 1.2 (ევკლიდეს ალგორითმი). ნებისმიერი 𝑎 და 𝑏 > 0 მთელი რიცხვებისათვის, თუ 𝑏 ∤ 𝑎, გარკვეული 𝑠 რიცხვისათვის არსებობენ 𝑞0, 𝑞1, … , 𝑞𝑠 და 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑠 მთელი რიცხვები ისეთი, რომ 𝑏 > 𝑟1 > 𝑟2 > ⋯ > 𝑟𝑠 > 0,

𝑎 = 𝑏𝑞0 + 𝑟1 𝑏 = 𝑟1𝑞1 + 𝑟2 𝑟1 = 𝑟2𝑞2 + 𝑟3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 𝑟𝑠−2 = 𝑟𝑠−1𝑞𝑠−1 + 𝑟𝑠𝑟𝑠−1 = 𝑟𝑠𝑞𝑠 ⎭

⎪⎬

⎪⎫

(2)

და (𝑎, 𝑏) = 𝑟𝑠.

დამტკიცება. თეორემა 1.1-ის ძალით, 𝑎 და 𝑏 > 0 მთელი რიცხვებისათვის, თუ 𝑏 ∤ 𝑎, მოიძებნება 𝑞0 და 𝑟1 რიცხვები ისეთი, რომ 𝑎 = 𝑏𝑞0 + 𝑟1 და 0 < 𝑟1 < 𝑏. 𝑏 და 𝑟1 რიცხვებისა-თვის მოიძებნება 𝑞1 და 𝑟2 რიცხვები ისეთი, რომ 𝑏 = 𝑟1𝑞1 + 𝑟2 და 0 ≤ 𝑟2 < 𝑟1. თუ 𝑟2 = 0, მაშინ პროცესს ვასრულებთ, ხოლო თუკი 𝑟2 > 0, მაშინ 𝑟1 და 𝑟2 რიცხვებისათვის ვპოულობთ 𝑞2 და 𝑟3 რიცხვებს ისეთს, რომ 𝑟1 = 𝑟2𝑞2 + 𝑟3 და 0 ≤ 𝑟3 < 𝑟2 და ა. შ.

ამრიგად, 𝑟𝑘−1 და 𝑟𝑘 ( 0 < 𝑟𝑘 < 𝑟𝑘−1) რიცხვებისათვის ვპოულობთ 𝑞𝑘 და 𝑟𝑘+1 რი-ცხვებს ისეთს, რომ 𝑟𝑘−1 = 𝑟𝑘𝑞𝑘 + 𝑟𝑘+1 და 0 ≤ 𝑟𝑘+1 < 𝑟𝑘 და თუ 𝑟𝑘+1 = 0, მაშინ პროცესი სრულ-დება, ხოლო თუ 𝑟𝑘+1 ≠ 0, პროცესი გრძელდება იმავე გზით. ვღებულობთ შემდეგი სახის თა-ნაფარდობებს:

𝑎 = 𝑏𝑞0 + 𝑟1 𝑏 = 𝑟1𝑞1 + 𝑟2 𝑟1 = 𝑟2𝑞2 + 𝑟3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 𝑏 > 𝑟1 > 𝑟2 > ⋯ > 0 ⎭

⎪⎬

⎪⎫

. (3)

(3) სახის ტოლობების აგება არ შეიძლება უსასრულოდ გაგრძელდეს, რადგან ამ შემ-თხვევაში 0 და 𝑏 რიცხვებს შორის მოთავსებული იქნებოდა განსხვავებული ნატურალური რიცხვების უსასრულო რაოდენობა. ამასთან ერთად, აგებიდან გამომდინარე, პროცესი სრულ-დება, თუ რაიმე 𝑟𝑠+1 = 0. ამგვარად, არსებობს 𝑠 ისეთი, რომ 𝑟𝑠+1 = 0 და (3) მთავრდება 𝑟𝑠−1 = 𝑟𝑠𝑞𝑠 ტოლობით, ამასთან 𝑏 > 𝑟1 > 𝑟2 > ⋯ > 𝑟𝑠 > 0. ამით, დამტკიცებულია (2). დებულე-ბა 1.3 და შედეგი 1.2-ის გამოყენებით ვღებულობთ:

(𝑎, 𝑏) = (𝑏, 𝑟1) = (𝑟1, 𝑟2) = ⋯ = (𝑟𝑠−1, 𝑟𝑠) = 𝑟𝑠 . □


201

თუ 𝑏 < 0, მაშინ შეგვიძლია გამოვიყენოთ თვალსაჩინო ფაქტი: (𝑎, 𝑏) = (𝑎,−𝑏). ასე, რომ თეორემა 1.2 და შედეგი 1.2 გვაძლევს ალგორითმს, რომლის საშუალებით შეგვიძლია ვიპოვოთ ნებისმიერი ორი მთელი რიცხვის (რომელთაგან ერთი მაინც განსხვავდება ნულისაგან) უდიდე-სი საერთო გამყოფი.

მაგალითი 1.3. ვიპოვოთ (432,120).

გამოვიყენოთ ევკლიდეს ალგორითმი. გვექნება:

432 = 120 ∙ 3 + 72,

120 = 72 ∙ 1 + 48,

72 = 48 ∙ 1 + 24,

48 = 24 ∙ 2.

თეორემა 1.2-ის თანახმად, (432,120) = 24.

თეორემა 1.3. (ევკლიდეს განვრცობილი ალგორითმი). თუ 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 და 𝑑 = (𝑎, 𝑏), მა-შინ არსებობს 𝑥 და 𝑦 მთელი რიცხვები ისეთი, რომ 𝑑 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦.

დამტკიცება. ევკლიდეს ალგორითმის თანახმად, 𝑑 = 𝑟𝑠 და ის წრფივად გამოისახება 𝑟𝑠−1 და 𝑟𝑠−2 რიცხვებით (იხ. (2)):

𝑑 = 𝑟𝑠 = 𝑟𝑠−2 − 𝑟𝑠−1𝑞𝑠−1 = 𝑥1(1)𝑟𝑠−2 + 𝑥2

(1)𝑟𝑠−1.

იმავე ევკლიდეს ალგორითმიდან, 𝑟𝑠−1 წრფივად გამოისახება 𝑟𝑠−2 და 𝑟𝑠−3 რიცხვებით, ამიტომ წინა ტოლობიდან მივიღებთ:

𝑑 = 𝑟𝑠 = 𝑥1(2)𝑟𝑠−2 + 𝑥2

(2)𝑟𝑠−3.

თუ ამ პროცესს განვაგრძობთ, მივიღებთ 𝑑 = 𝑟𝑠 რიცხვის წარმოდგენას 𝑎 და 𝑏 რიცხვე-ბის წრფივი კომბინაციის სახით:

𝑑 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, (4)

სადაც, 𝑥 და 𝑦 სათანადო მთელი რიცხვებია. □

შედეგი 1.3. ორი რიცხვის საერთო გამყოფთა ერთობლიობა ემთხვევა ამავე რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის გამყოფთა ერთობლიობას.

დამტკიცება პირდაპირ მიიღება (4) ტოლობიდან და გაყოფადობის 7) და 5) თვისებები-დან. □

მაგალითი 1.4. ჩავწეროთ 432-ის და 120-ის უდიდესი საერთო გამყოფი ამ რიცხვების წრფივი კომბინაციის სახით.

გამოვიყენოთ მაგალითი 1.3:

(432,120) = 24; 24 = 72 − 48 ∙ 1; 48 = 120 − 72 ∙ 1; 24 = 72 − (120 − 72 ∙ 1) ∙ 1 = 120 ∙ (−1) + 72 ∙ 2;

72 = 432 − 120 ∙ 3;


202

24 = 120 ∙ (−1) + (432 − 120 ∙ 3) ∙ 2 = 432 ∙ 2 + 120 ∙ (−7).

ამრიგად, 24 = 432 ∙ 2 + 120 ∙ (−7).

დებულება 1.4. თუ 𝑘 ∈ ℕ მაშინ (𝑘𝑎,𝑘𝑏) = 𝑘(𝑎, 𝑏).

დამტკიცება. (2)-ში ყველა ტოლობა გავამრავლოთ 𝑘 რიცხვზე. მაშინ, თეორემა 1.2-ის თანახმად, გვექნება:

(𝑘𝑎,𝑘𝑏) = 𝑘𝑟𝑠 = 𝑘(𝑎, 𝑏). □

შედეგი 𝟏.𝟒. თუ 𝑑 ∣ 𝑎 და 𝑑 ∣ 𝑏, მაშინ �𝑎𝑑

,𝑏𝑑� =

(𝑎, 𝑏)𝑑

.

კერძოდ, თუ 𝑑 = (𝑎, 𝑏), მაშინ �𝑎𝑑

,𝑏𝑑� = 1.

დამტკიცება. დებულება 1.4-ის თანახმად,

𝑑 �𝑎𝑑

,𝑏𝑑� = (𝑎, 𝑏),

საიდანაც პირდაპირ მიიღება დასამტკიცებელი ტოლობა. □

3. ურთიერთმარტივი რიცხვები.

𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛 რიცხვებს ეწოდებათ ურთიერთმარტივი, თუ მათი უდიდესი საერთო გამყო-ფი ერთის ტოლია.

𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛 რიცხვებს ეწოდებათ წყვილ-წყვილად ურთიერთმარტივი, თუ ნებისმიერი ორი მათგანი ურთიერთმარტივია.

იოლი შესამოწმებელია, რომ რიცხვთა ერთობლიობის წყვილ-წყვილად ურთიერთმარ-ტივობიდან გამომდინარეობს მათივე ურთიერთმარტივობა, ხოლო ურთიერთმარტივ რიცხვთა ერთობლიობა ყოველთვის არ არის წყვილ-წყვილად ურთიერთმარტივი. მაგალითად: 3, 12, 7 ურთიერთმარტივი რიცხვებია, მაგრამ წყვილ-წყვილად ურთიერთმარტივი არ არის, რადგან (3, 12) = 3.

დებულება 1.5. თუ (𝑎, 𝑏) = 1, მაშინ (𝑎𝑐, 𝑏) = (𝑐, 𝑏).

დამტკიცება. ერთის მხრივ, (𝑎𝑐, 𝑏) | 𝑏, ამიტომ (𝑎𝑐, 𝑏) | 𝑏𝑐. გარდა ამისა (𝑎𝑐, 𝑏) | 𝑎𝑐, ამიტომ შედეგი 1.3-ის და დებულება 1.4-ის ძალით, (𝑎𝑐, 𝑏) | (𝑎𝑐, 𝑏𝑐) = 𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑐. ამრიგად, (𝑎𝑐, 𝑏) | 𝑏 და (𝑎𝑐, 𝑏) | 𝑐, ამიტომ, კვლავ შედეგი 1.3-ის ძალით, (𝑎𝑐, 𝑏) | (𝑐, 𝑏). მეორეს მხრივ, (𝑐, 𝑏) | 𝑐, ამიტომ (𝑐, 𝑏) | 𝑎𝑐. გარდა ამისა (𝑐, 𝑏) | 𝑏, ამიტომ შედეგი 1.3-ის ძალით, (𝑐, 𝑏) | (𝑎𝑐, 𝑏). საბოლოოდ, გვაქვს:

�(𝑎𝑐, 𝑏) | (𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑏) | (𝑎𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑏) > 0, (𝑎𝑐, 𝑏) > 0� ⇒ �(𝑎𝑐, 𝑏) = (𝑐, 𝑏)�. □

თეორემა 1.4. თუ (𝑎1, 𝑏) = 1, (𝑎2, 𝑏) = 1, … , (𝑎𝑛, 𝑏) = 1, მაშინ (𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛, 𝑏) = 1.

დამტკიცება. გამოვიყენოთ მათემატიკური ინდუქცია:

1) 𝑛 = 2. ვაჩვენოთ, რომ თუ (𝑎1, 𝑏) = 1 და (𝑎2, 𝑏) = 1, მაშინ (𝑎1𝑎2,𝑏) = 1. მართლაც, დე-ბულება 1.5-ის თანახმად, (𝑎1𝑎2, 𝑏) = (𝑎2, 𝑏) = 1.

2) დავუშვათ, დებულება მართებულია ნებისმიერი 𝑛 ≥ 2 რიცხვისათვის.

3) შემოვიღოთ აღნიშვნა: 𝑎 = 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛. მაშინ, ინდუქციის დაშვების ძალით, (𝑎, 𝑏) = 1. გარდა ამისა, (𝑎𝑛+1, 𝑏) = 1. ამიტომ 1) პუნქტის ძალით, (𝑎𝑎𝑛+1, 𝑏) = 1, ე. ი. (𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛+1, 𝑏) =1, რაც, ინდუქციის პრინციპის თანახმად, ამტკიცებს თეორემას. □


203

დებულება 1.6. თუ (𝑎, 𝑏) = 1, 𝑑 | 𝑎𝑘 და 𝑑 | 𝑏, მაშინ 𝑑 | 𝑘.

დამტკიცება. რადგან (𝑎, 𝑏) = 1, თეორემა 1.3-ის ძალით, არსებობს 𝑥,𝑦 ∈ ℤ რიცხვები ისეთი, რომ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 1. მაშინ 𝑎𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑦 = 𝑘, საიდანაც გაყოფადობის 7) თვისების გამოყენე-ბით, მიიღება დასამტკიცებელი დებულება. □

შედეგი 1.5. თუ (𝑎, 𝑏) = 1 და 𝑏 | 𝑎𝑘, მაშინ 𝑏 | 𝑘.

დამტკიცება. პირდაპირ მიიღება დებულება 1.6-დან. □

4. მარტივი რიცხვები.

რიცხვს 1, აქვს ერთადერთი დადებითი გამყოფი, კერძოდ 1. ყოველ 𝑎 > 1 რიცხვს აქვს ორი მაინც დადებითი გამყოფი, კერძოდ 1 და 𝑎.

𝑎 > 1 რიცხვს ეწოდება მარტივი, თუ მას მხოლოდ ორი დადებითი გამყოფი (კერძოდ 1 და 𝑎) აქვს.

მაგალითი 1.5. მარტივი რიცხვებია: 2, 3, 5, 7, ...

მარტივი რიცხვების აღსანიშნავად გამოვიყენებთ 𝑝 ასოს. კერძოდ, 𝑝1,𝑝2, … ასევე მარტივ რიცხვებს აღნიშნავენ.

𝑎 > 1 რიცხვს ეწოდება შედგენილი, თუ მას ორზე მეტი დადებითი გამყოფი აქვს.

დებულება 1.7. 𝑝 ∤ 𝑎 მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა (𝑝,𝑎) = 1.

დამტკიცება. განსაზღვრის თანახმად, 𝑝 რიცხვის დადებითი გამყოფებია მხოლოდ 1 და 𝑝. ამრიგად, (𝑝,𝑎) = 1 ან (𝑝,𝑎) = 𝑝. რადგან 𝑝 ∤ 𝑎, ამიტომ (𝑝,𝑎) = 1 და თუ (𝑝,𝑎) = 1 მაშინ 𝑝 ∤ 𝑎. □

დებულება 1.8. თუ 𝑝 | 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛, მაშინ არსებობს 𝑖 ∈ ℕ ისეთი, რომ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 და 𝑝 | 𝑎𝑖.

დამტკიცება. დავუშვათ საწინააღმდეგო. ვთქვათ, 𝑝 ∤ 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,𝑛. მაშინ დებულება 1.7-ის ძალით, (𝑝,𝑎𝑖) = 1, 𝑖 = 1,2, … ,𝑛, ხოლო თეორემა 1.4-ის ძალით, (𝑝, 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛) = 1, რაც ასევე დებულება 1.7-ის ძალით, ნიშნავს, რომ 𝑝 ∤ 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛 და ეს კი პირობას ეწინააღმდეგება. □

თეორემა 1.5 (არითმეტიკის ძირითადი თეორემა). ერთზე მეტი ყოველი ნატურალური რიცხვი (დალაგებამდე სიზუსტით) ერთადერთი სახით იშლება მარტივ რიცხვთა ნამრავლად.

დამტკიცება. არსებობა. ვთქვათ, 𝑎 > 1 უმცირესი ნატურალური რიცხვია, რომელიც არ იშლება მარტივ რიცხვთა ნამრავლის სახით. ცხადია ის არ შეიძლება იყოს მარტივი რიცხვი. თუ 𝑎 შედგენილი რიცხვია, მაშინ ის წარმოადგენს 𝑎-ზე ნაკლები ორი ნატურალური რიცხვის ნა-მრავლს. თითოეული მათგანი, ჩვენი დაშვების თანახმად, იშლება მარტივ რიცხვთა ნამრავლად და ამიტომ 𝑎 რიცხვიც იშლება მარტივ რიცხვთა ნამრავლად, რაც წინააღმდეგობაა.

ერთადერთობა. ვთქვათ, 𝑎 > 1 უმცირესი ნატურალური რიცხვია, რომლისთვისაც არსე-ბობს ორი სხვადასხვა დაშლა მარტივ მამრავლებად და 𝑝 ნებისმიერი თანამამრავლია ერთ-ერთ მათგანში. თუ 𝑝 შედის მეორე დაშლაში, ჩვენ შეგვიძლია ორივე დაშლა შევკვეცოთ 𝑝-ზე და

მივიღოთ 𝑎𝑝

რიცხვის ორი სხვადასხვა დაშლა, რაც ჩვენი დაშვებით შეუძლებელია. ხოლო თუ 𝑝

არ შედის მეორე დაშლაში, მაშინ ტოლობის ერთი მხარე იყოფა 𝑝-ზე, ხოლო მეორე, დებულება 1.8-ის ძალით, არ იყოფა, რაც მათ ტოლობას ეწინააღმდეგება. □


204

რიცხვის მარტივ რიცხვთა ნამრავლის სახით წარმოდგენაში შესაძლოა ზოგიერთი მარ-ტივი თანამამრავლი რამდენჯერმე განმეორდეს. თუ ამ წარმოდგენაში 𝑎 რიცხვის ერთმანეთი-საგან წყვილ-წყვილად განსხვავებული მარტივი თანამამრავლებია 𝑝1,𝑝2, … ,𝑝𝑘 და ერთნაირ თა-ნამამრავლებს გავაერთიანებთ სათანადო ხარისხებში, მივიღებთ:

𝑎 = 𝑝1𝑙1𝑝2

𝑙2 ⋯ 𝑝𝑘𝑙𝑘 = �𝑝𝑖

𝑙𝑖𝑘

𝑖=1

= �𝑝𝑙𝑝 | 𝑎

. (5)

ნატურალური რიცხვის წარმოდგენას (5) სახით, ეწოდება მისი კანონიკური დაშლა, სა-დაც 𝑝1,𝑝2, … ,𝑝𝑘 რიცხვები, 𝑎 რიცხვის ერთმანეთისაგან წყვილ-წყვილად განსხვავებული მარ-ტივი თანამამრავლებია, ხოლო 𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑘 , შესაბამისად, ამ მარტივ თანამამრავლთა ჯერადობე-ბია.

მაგალითი 1.6. 48 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 ∙ 3; 1800 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 = 23 ∙ 32 ∙ 52.

5. რიცხვითი შედარებები, ნაშთთა სისტემები

ორ რიცხვს ეწოდება ურთიერთსადარი მოდულით 𝑚 ∈ ℕ, თუ მათი სხვაობა იყოფა 𝑚-ზე.

თუ 𝑎 და 𝑏 რიცხვები ურთიერთსადარია მოდულით 𝑚, წერენ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) და ამ-ბობენ, 𝑎 რიცხვი სადარია 𝑏 რიცხვის მოდულით 𝑚. 𝑎 რიცხვს უწოდებენ შედარების მარცხენა მხარეს, 𝑏 რიცხვს მარჯვენა მხარეს, ხოლო 𝑚 რიცხვს − მოდულს.

იმ ფაქტს, რომ 𝑎 და 𝑏 რიცხვები არ არიან ურთიერთსადარი მოდულით 𝑚, ე. ი. რომ მათი სხვაობა არ იყოფა 𝑚 რიცხვზე, ჩაწერენ შემდეგნაირად: 𝑎 ≢ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚).

მაგალითი 1.7. 16 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 3), 12 ≢ 5(𝑚𝑜𝑑 4).

დებულება 1.9. 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 𝑎 და 𝑏 რიცხვები 𝑚 რიცხვზე გაყოფისას ერთსა და იმავე ნაშთს იძლევიან.

დამტკიცება. აუცილებლობა. ვაჩვენოთ, რომ თუ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚), მაშინ 𝑎 და 𝑏 რიცხვები 𝑚 რიცხვზე გაყოფისას ერთსა და იმავე ნაშთს იძლევიან. ვთქვათ, 𝑎 = 𝑚𝑞1 + 𝑟1, 𝑏 = 𝑚𝑞2 + 𝑟2,0 ≤ 𝑟1, 𝑟2 < 𝑚. მაშინ გაყოფადობის 8) თვისების გათვალისწინებით, გვექნება:

(𝑚 | 𝑎 − 𝑏, 𝑎 = 𝑚𝑞1 + 𝑟1, 𝑏 = 𝑚𝑞2 + 𝑟2, 0 ≤ 𝑟1, 𝑟2 < 𝑚 )

⇒ (𝑚 | (𝑚(𝑞1 − 𝑞2) + 𝑟1 − 𝑟2), 0 ≤ 𝑟1, 𝑟2 < 𝑚)

⇒ (𝑚 | 𝑟1 − 𝑟2, 0 ≤ 𝑟1, 𝑟2 < 𝑚) ⇒ (𝑟1 − 𝑟2 = 0) ⇒ (𝑟1 = 𝑟2).

საკმარისობა. ვაჩვენოთ, რომ თუ 𝑎 და 𝑏 რიცხვები 𝑚 რიცხვზე გაყოფისას ერთსა და იმავე ნაშთს იძლევიან, მაშინ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚). ვთქვათ, 𝑎 = 𝑚𝑞1 + 𝑟, 𝑏 = 𝑚𝑞2 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < 𝑚. მა-შინ

(𝑎 − 𝑏 = 𝑚(𝑞1 − 𝑞2) = 𝑞𝑚) ⇒ (𝑚 | 𝑎 − 𝑏). □

მაგალითი 1.8. 45 = 13 ∙ 3 + 6, 97 = 13 ∙ 7 + 6, ამიტომ 45 ≡ 97(𝑚𝑜𝑑 13).

განსაზღვრიდან გამომდინარე, შედარების ცნებას ახასიათებს შემდეგი სამი ძირითადი თვისება:

1) 𝑎 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚) (რეფლექსურობა);


205

2) თუ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚), მაშინ 𝑏 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚) (სიმეტრიულობა);

3) თუ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) და 𝑏 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑚), მაშინ 𝑎 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑚) (ტრანზიტულობა).

ამრიგად, მიმართება „სადარია“, არის ეკვივალენტობის მიმართება ℤ სიმრავლეში. მაშინ როგორც ვიცით (იხ. თავი I, დებულება 2.1), ℤ სიმრავლე იყოფა ეკვივალენტობის თანაუკვეთ კლასებად და ამ ეკვივალენტობის კლასებით შედგენილი ფაქტორსიმრავლე, ჩვენთვის უკვე ცნობილი ℤ𝑚 სიმრავლეა (იხ. თავი VII, მაგალითი 2.16). ℤ𝑚 სიმრავლის ელემენტებს ვუწოდებთ ნაშთთა კლასებს მოდულით 𝑚. ამრიგად, თუ [𝑎] ∈ ℤ𝑚 , მაშინ

[𝑎] = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚) }. (6)

ქვემოთ მოყვანილია შედარებათა ზოგიერთი სხვა თვისება, რომლებიც იოლად მტკიც-დება განსაზღვრის გამოყენებით:

4) თუ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) და 𝑘 ∈ ℤ, მაშინ 𝑎𝑘 ≡ 𝑏𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑚);

5) თუ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) და 𝑘 ∈ ℤ, მაშინ 𝑎𝑘 ≡ 𝑏𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑘);

6) თუ 𝑎𝑘 ≡ 𝑏𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑚) და (𝑘,𝑚) = 1, მაშინ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚);

დამტკიცება მიიღება შედარების განსაზღვრიდან და შედეგი 1.5-დან.

7) თუ 𝑎1 ≡ 𝑏1, 𝑎2 ≡ 𝑏2, … ,𝑎𝑛 ≡ 𝑏𝑛(𝑚𝑜𝑑 𝑚), მაშინ 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛 ≡ 𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛(𝑚𝑜𝑑 𝑚).

ℤ𝑚 სიმრავლის ყოველი კლასიდან სათითაოდ აღებული ნებისმიერი წარმომადგენლე-ბით შედგენილ სიმრავლეს, ეწოდება ნაშთთა სრული სისტემა მოდულით 𝑚.

მაგალითი 1.9. {0, 1, 2, 3} სიმრავლე არის ნაშთთა სრული სისტემა მოდულით 4.

დებულება 1.10. ნაშთთა კლასის ყველა წარმომადგენელს აქვს ერთი და იგივე უდიდესი საერთო გამყოფი მოდულთან.

დამტკიცება. (6)-ის და შედარების ტრანზიტულობის თვისების თანახმად, თუ 𝑎1 და 𝑎2 არიან [𝑎] ∈ ℤ𝑚 კლასის წარმომადგენლები, მაშინ 𝑎1 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑚), ე. ი. 𝑎1 = 𝑎2 +𝑚𝑞, 𝑞 ∈ ℤ. მა-შინ, დებულება 1.3-ის ძალით, (𝑎1,𝑚) = (𝑎2,𝑚).□

ამ დებულების თანახმად, თუ კლასის ერთი რომელიმე წარმომადგენელი ურთიერთმარ-ტივია მოდულთან, მაშინ ამ კლასის ყველა წარმომადგენელი ურთიერთმარტივი იქნება მო-დულთან.

კლასს, რომელიც შედგება მოდულთან ურთიერთმარტივი რიცხვებისაგან, ეწოდება და-ყვანილი კლასი ამ მოდულით.

ℤ𝑚 სიმრავლის ყოველი დაყვანილი კლასიდან სათითაოდ აღებული ნებისმიერი წარმო-მადგენლებით შედგენილ სიმრავლეს, ეწოდება ნაშთთა დაყვანილი სისტემა მოდულით 𝑚.

მაგალითი 1.10. {1, 3} სიმრავლე არის ნაშთთა დაყვანილი სისტემა მოდულით 4.

𝑛 ∈ ℕ რიცხვისათვის 𝜑(𝑛) აღნიშნავს იმ ნატურალურ რიცხვთა რაოდენობას, რომლებიც არ აღემატება 𝑛-ს და მასთან ურთიერთმარტივია. 𝜑 ფუნქციას − ეილერის ფუნქციას უწოდებენ.

ცნობილია, რომ თუ 𝑛 = 𝑝1𝑙1𝑝2

𝑙2 ⋯𝑝𝑘𝑙𝑘 არის კანონიკური დაშლა, მაშინ

𝜑(𝑛) = 𝑛��1−1𝑝𝑖�

𝑘

𝑖=1

,


206

კერძოდ

𝜑(𝑝) = 𝑝 − 1, 𝜑�𝑝𝑙� = 𝑝𝑙−1(𝑝 − 1).

მაგალითი 1.11. 𝜑(13) = 13 − 1 = 12; 𝜑(81) = 𝜑(34) = 34−1(3 − 1) = 27 ∙ 2 = 54;

𝜑(56) = 𝜑(8 ∙ 7) = 𝜑(23 ∙ 7) = 56 ∙ �1−12� ∙ �1−

17� = 56 ∙

12∙

67

= 24.

დებულება 1.11. ℤ𝑚 სიმრავლის დაყვანილ კლასთა რაოდენობა არის 𝜑(𝑚), სადაც 𝜑 არის ეილერის ფუნქცია.

დამტკიცება. დებულება 1.10-ის ძალით, ℤ𝑚 სიმრავლის დაყვანილ კლასთა რაოდენობა უდრის 1, 2, … ,𝑚 ნაშთთა სრულ სისტემაში 𝑚 მოდულთან ურთიერთმარტივ რიცხვთა რაოდე-ნობას, რაც განსაზღვრის თანახმად, არის 𝜑(𝑚).□

დებულება 1.12. თუ 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝜑(𝑚) არის ნაშთთა დაყვანილი სისტემა მოდულით 𝑚 და (𝑎,𝑚) = 1, მაშინ 𝑎𝑥1,𝑎𝑥2, … ,𝑎𝑥𝜑(𝑚) ასევე ნაშთთა დაყვანილი სისტემაა მოდულით 𝑚.

დამტკიცება. დებულების დასამტკიცებლად საკმარისია ვაჩვენოთ, რომ

1) (𝑎𝑥𝑖 ,𝑚) = 1, 𝑖 = 1, 2, … ,𝜑(𝑚);

2) 𝑎𝑥𝑖 ≢ 𝑎𝑥𝑗 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) თუ 𝑖 ≠ 𝑗.

1) რადგან 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝜑(𝑚) ნაშთთა დაყვანილი სისტემაა მოდულით 𝑚, განსაზღვრის თა-ნახმად, (𝑥𝑖 ,𝑚) = 1, 𝑖 = 1, 2, … ,𝜑(𝑚). დებულების პირობის თანახმად, (𝑎,𝑚) = 1, ამიტომ თეო-რემა 1.4-ის ძალით, (𝑎𝑥𝑖 ,𝑚) = 1, 𝑖 = 1, 2, … ,𝜑(𝑚).

2) თუ დავუშვებთ, რომ 𝑎𝑥𝑖 ≡ 𝑎𝑥𝑗 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) როცა 𝑖 ≠ 𝑗, მაშინ (𝑎,𝑚) = 1 პირობით შედა-რებათა 6) თვისებიდან მივიღებთ, რომ 𝑥𝑖 ≡ 𝑥𝑗 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) როცა 𝑖 ≠ 𝑗. ეს კი დებულების პირობას ეწინააღმდეგება. □

თეორემა 1.6 (ეილერი). თუ 𝑚 ∈ ℕ და (𝑎,𝑚) = 1, მაშინ 𝑎𝜑(𝑚) ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚).

დამტკიცება. ვთქვათ,

𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝜑(𝑚) (7) არის ნაშთთა დაყვანილი სისტემა მოდულით 𝑚. რადგან (𝑎,𝑚) = 1, დებულება 1.12-ის ძალით,

𝑎𝑥1, 𝑎𝑥2, … ,𝑎𝑥𝜑(𝑚) (8) რიცხვები ასევე ქმნიან ნაშთთა დაყვანილ სისტემას მოდულით 𝑚. რადგან (7) და (8) ნაშთთა დაყვანილი სისტემებია ერთი და იმავე მოდულით, ამიტომ თითოეული რიცხვი (7) სისტემი-დან სადარია მხოლოდ ერთი რიცხვისა (8) სისტემიდან მოდულით 𝑚 და პირიქით. ამიტომ გვექნება:

𝑎𝑥1 ≡ 𝑥𝑖1(𝑚𝑜𝑑 𝑚),

𝑎𝑥2 ≡ 𝑥𝑖2(𝑚𝑜𝑑 𝑚),

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

𝑎𝑥𝜑(𝑚) ≡ 𝑥𝑖𝜑(𝑚)(𝑚𝑜𝑑 𝑚),

სადაც, 𝑥𝑖1 , 𝑥𝑖2 , … , 𝑥𝑖𝜑(𝑚) წარმოადგენენ (7) სისტემის რიცხვებს, აღებულს გარკვეული თანმიმ-

დევრობით. შედარებათა 7) თვისების ძალით, შეგვიძლია დავწეროთ:


207

�𝑎𝜑(𝑚)𝑥1𝑥2 ⋯𝑥𝜑(𝑚) ≡ 𝑥𝑖1𝑥𝑖2 ⋯𝑥𝑖𝜑(𝑚)(𝑚𝑜𝑑 𝑚)� ⇒ �𝑎𝜑(𝑚)𝐴 ≡ 𝐴(𝑚𝑜𝑑 𝑚), სადაც 𝐴 = 𝑥1𝑥2 ⋯𝑥𝜑(𝑚)�.

რადგან 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝜑(𝑚) რიცხვები ქნიან ნაშთთა დაყვანილ სისტემას მოდულით 𝑚, ამი-ტომ (𝑥𝑖 ,𝑚) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝜑(𝑚). თეორემა 1.4-ის ძალით, �𝑥1𝑥2 ⋯𝑥𝜑(𝑚),𝑚� = 1, ე. ი. (𝐴,𝑚) = 1. მაშინ, შედარებათა 6) თვისების თანახმად, 𝑎𝜑(𝑚) ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚). □

დებულება 1.13. [𝑎] ∈ ℤ𝑚 ელემენტს გააჩნია მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპე-რაციის მიმართ მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა [𝑎] ნაშთთა დაყვანილი კლასია მოდულით 𝑚.

დამტკიცება. აუცილებლობა. ვთქვათ, [𝑎] ∈ ℤ𝑚 ელემენტს გააჩნია მოპირდაპირე ელემენ-ტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ და ეს ელემენტია [𝑎′]. მაშინ [𝑎] ∙ [𝑎′] = [𝑎𝑎′] = [1]. (6)-ის თანახმად,

�𝑎𝑎′ ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚)� ⇒ (𝑚 ∣ 𝑎𝑎′ − 1 ) ⇒ (𝑎𝑎′ − 1 = 𝑚𝑞, 𝑞 ∈ ℤ) ⇒ (𝑎𝑎′ − 𝑚𝑞 = 1). (9)

ვთქვათ, 𝑑 = (𝑎,𝑚). განსაზღვრის თანახმად, 𝑑 ∣ 𝑎, 𝑑 ∣ 𝑚, ამიტომ გაყოფადობის 7) თვი-სების ძალით, 𝑑 ∣ (𝑎𝑎′ −𝑚𝑞). მაშინ (9)-ის თანახმად, 𝑑 ∣ 1. ამავე დროს 𝑑 > 0, ამიტომ გაყოფა-დობის 2) და 9) თვისებების თანახმად, 𝑑 = 1. ამრიგად, (𝑎,𝑚) = 1, რაც დებულება 1.10-ის და განსაზღვრის თანხმად ნიშნავს, რომ [𝑎] ნაშთთა დაყვანილი კლასია მოდულით 𝑚.

საკმარისობა. ვთქვათ, [𝑎] ნაშთთა დაყვანილი კლასია მოდულით 𝑚. განსაზღვრის თა-ნახმად ეს ნიშნავს, რომ (𝑎,𝑚) = 1. მაშინ ეილერის თეორემის თანახმად, 𝑎𝜑(𝑚) ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚), რაც (6)-ის თანახმად ნიშნავს, რომ �𝑎𝜑(𝑚)� = �𝑎 ∙ 𝑎𝜑(𝑚)−1� = [𝑎] ∙ �𝑎𝜑(𝑚)−1� = [1]. განსაზღვრის თა-ნახმად, �𝑎𝜑(𝑚)−1� არის [𝑎] ელემენტის მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მი-მართ. □

ამრიგად, დებულება 1.13 გვაძლევს საშუალებას დავადგინოთ, გააჩნია თუ არა [𝑎] ∈ ℤ𝑚 ელემენტს მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ, ხოლო მისი არსებობის შემთხვევაში, ეს ელემენტი შეიძლება ვიპოვოთ ეილერის თეორემის გამოყენებით.

მაგალითი 1.12. ა) დავადგინოთ, არსებობს თუ არა [8] ∈ ℤ12 ელემენტის მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ. არსებობის შემთხვევაში ვიპოვოთ ეს ელემენტი.

ბ) დავადგინოთ, არსებობს თუ არა [8] ∈ ℤ9 ელემენტის მოპირდაპირე ელემენტი გამრა-ვლების ოპერაციის მიმართ. არსებობის შემთხვევაში ვიპოვოთ ეს ელემენტი.

პასუხი: ა) რადგან (8, 12) = 4, განსაზღვრის თანახმად, [8] არ არის ნაშთთა დაყვანილი კლასი მოდულით 12 და ამიტომ დებულება 1.13-ის თანხმად, ℤ12 სიმრავლეში არ არსებობს [8]-ის მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ.

ბ) რადგან (8, 9) = 1, განსაზღვრის თანახმად, [8] არის ნაშთთა დაყვანილი კლასი მოდუ-ლით 9 და ამიტომ დებულება 1.13-ის თანხმად, ℤ9 სიმრავლეში არსებობს [8]-ის მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ. მის მოსაძებნად, გამოვიყენოთ ეილერის თეორემა:

8𝜑(9)−1 = 8𝜑�32�−1 = 83(3−1)−1 = 85 = 9 ∙ 3640 + 8 ≡ 8(𝑚𝑜𝑑 9),

ამიტომ [8]-ის მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ არის [8].

დებულება 1.14. ℤ𝑚 , 𝑚 ≥ 2, არის ველი მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 𝑚 მარტივი რი-ცხვია.

დამტკიცება. აუცილებლობა. ვაჩვენოთ, რომ თუ ℤ𝑚 არის ველი, მაშინ 𝑚 მარტივი რი-ცხვია. კონტრაპოზიციის კანონის თანახმად (იხ. თავი V, დებულება 1.1 5)), ეს ტოლფასია შემ-


208

დეგის: თუ 𝑚 არ არის მარტივი რიცხვი, მაშინ ℤ𝑚 არ არის ველი. თუ 𝑚 არ არის მარტივი რი-ცხვი და 𝑚 ≥ 2, მაშინ ის შედგენილი რიცხვია, ე. ი. 𝑚 = 𝑎𝑏, 1 < 𝑎 < 𝑚, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ. გაყოფადობის განსაზღვრის თანახმად, 𝑎 ∣ 𝑚, 𝑎 > 0, ამიტომ შედეგი 1.2-ის თანახმად, (𝑎,𝑚) = 𝑎 > 1. განვიხი-ლოთ [𝑎] ∈ ℤ𝑚 ელემენტი. ცხადია, [𝑎] ≠ [0]. განსაზღვრის თანახმად, [𝑎] არ არის ნაშთთა დაყვა-ნილი კლასი მოდულით 𝑚, ამიტომ დებულება 1.13-ის ძალით, მას არ გააჩნია მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ, რაც ველის განსაზღვრის (იხ. თავი VII, განსაზღვრა 2.2) თანახმად ნიშნავს, რომ ℤ𝑚 არ არის ველი.

საკმარისობა. ვაჩვენოთ, რომ თუ 𝑚 = 𝑝 მარტივი რიცხვია, მაშინ ℤ𝑝 არის ველი. განვიხი-ლოთ ℤ𝑝 ∖ {[0]} = {[1], [2], … , [𝑝 − 1]}. რადგან 𝑝 ∤ 𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1, ამიტომ დებულება 1.7-ის თა-ნახმად (𝑝,𝑘) = 1, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1, რაც განსაზღვრის თანახმად ნიშნავს, რომ {[1], [2], … , [𝑝 − 1]} არის ნაშთთა დაყვანილი სისტემა მოდულით 𝑝. მაშინ დებულება 1.13-ის თანახმად, ნებისმიერ ელემენტს ℤ𝑝 ∖ {[0]} სიმრავლიდან, გააჩნია მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ, რაც ველის განსაზღვრის თანახმად ნიშნავს, რომ ℤ𝑝 არის ველი. □

თეორემა 1.7 (ფერმა). თუ 𝑝 ∤ 𝑎, მაშინ 𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝).

დამტკიცება. პირდაპირ მიიღება ეილერის თეორემიდან, თუ ავიღებთ 𝑚 = 𝑝 და გავითვა-ლისწინებთ, რომ 𝜑(𝑝) = 𝑝 − 1. □

შედეგი 1.7. თუ 𝑝 მარტივი რიცხვია, ხოლო 𝑎 ∈ ℤ, მაშინ 𝑎𝑝 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑝).

დამტკიცება. პირდაპირ მიიღება ფერმას თეორემიდან და შედარებათა 4) თვისებიდან. □

მაგალითი 1.13. ვიპოვოთ, [2] ∈ ℤ5 ელემენტის მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ.

პასუხი: გამოვიყენოთ ფერმას თეორემა: 25−2 = 23 = 8 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 5), ამიტომ საძიებელი ელემენტია [3].

209

§2. სასრული ველები

ამ პარაგრაფში განვიხილავთ სასრულ ველებს, ე. ი. ველებს, რომელთა ელემენტების რა-ოდენობა სასრულია. სასრულ ველს გალუას ველს უწოდებენ. ეს სახელი დაკავშირებულია ევა-რისტ გალუასთან, რომელმაც პირველმა შეისწავლა სასრული ველები. სასრულ ველს, რომლის ელემენტთა რაოდენობაა 𝑞, აღნიშნავენ 𝐺𝐹(𝑞) სიმბოლოთი. გალუამ დაამტკიცა, რომ 𝑞 = 𝑝𝑚 , სადაც 𝑚 ∈ ℕ, ხოლო 𝑝 მარტივი რიცხვია. როცა 𝑚 = 1, ჩვენთვის უკვე ცნობილია ასეთი ველის მაგალითი. კერძოდ, 𝐺𝐹(𝑝) = ℤ𝑝. როცა 𝑛 > 1, გალუას 𝐺𝐹(𝑝𝑚) ველის ასაგებად დაგვჭირდება გარკვეული ცნებები. მოვიყვანოთ ისინი (აღნიშვნების გამარტივების მიზნით, შემდგომში ვიგუ-ლისხმებთ, რომ ℤ𝑝 = {0, 1, 2, … ,𝑝 − 1}).

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ+, 𝑎𝑘 ∈ ℤ𝑝, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛,

გამოსახულებას ეწოდება მრავალწევრი, კოეფიციენტებით ℤ𝒑 ველიდან. ვგულისხმობთ, რომ 0𝑥𝑘 = 0, 1𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 . 𝑛 რიცხვს ვუწოდებთ 𝑓(𝑥) მრავალწევრის ხარისხს და მას deg𝑓 სიმბოლოთი აღვნიშნავთ, თუ 𝑎𝑛 ≠ 0. 𝑓(𝑥) = 0 მრავალწევრის ხარისხი არ განისაზღვრება. ყველა ასეთი მრა-ვალწევრების სიმრავლე აღვნიშნოთ ℤ𝑝[𝑥] სიმბოლოთი.

განვსაზღვროთ ℤ𝑝[𝑥] სიმრავლეზე შეკრების და გამრავლების ალგებრული ოპერაციები. თუ 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ ℤ𝑝[𝑥], deg𝑓 = 𝑛, deg𝑔 = 𝑚, 𝑚 ≤ 𝑛, მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ:

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 ,

𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚+1𝑥𝑚+1 +⋯+ 𝑏𝑛𝑥𝑛,

სადაც 𝑏𝑚+1 = ⋯ = 𝑏𝑛 = 0. 𝑓(𝑥) და 𝑔(𝑥) მრავალწევრების 𝑓(𝑥) ⊕𝑔(𝑥) ჯამი განვსაზღვროთ შემ-დეგნაირად:

𝑓(𝑥) ⊕𝑔(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 +⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛 , სადაც 𝑐𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ∈ ℤ𝑝, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛,

ხოლო 𝑓(𝑥)⨂𝑔(𝑥) ნამრავლი კი შემდეგნაირად:

𝑓(𝑥)⨂𝑔(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1𝑥 + 𝑑2𝑥2 + ⋯+ 𝑑𝑛+𝑚𝑥𝑛+𝑚 , სადაც 𝑑𝑘 = � 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑖+𝑗=𝑘

∈ ℤ𝑝, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 + 𝑚.

თუ deg𝑔 = 0, ე. ი. 𝑔(𝑥) = 𝑏0, მაშინ

𝑓(𝑥)⨂𝑔(𝑥) = 𝑏0𝑎0 + 𝑏0𝑎1𝑥 + 𝑏0𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑏0𝑎𝑛𝑥𝑛.

განსაზღვრიდან გამომდინარე, იოლი დასანახია, რომ

deg𝑓 ⊕𝑔 ≤ 𝑛, deg𝑓⨂𝑔 = 𝑛 +𝑚.

თუ გავითვალისწინებთ შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციების თვისებებს ℤ𝑝 ველში, შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ ℤ𝑝[𝑥] სიმრავლე, მასზე განსაზღვრული შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციების მიმართ, არის ასოციაციური, კომუტაციური, უნულგამყოფო რგოლი ერთეულით. 𝑓(𝑥) = 0 მრავალწევრი არის ნეიტრალური ელემენტი შეკრების ოპერაციის მიმართ, ხოლო 𝑔(𝑥) = 1 მრავალწევრი არის ნეიტრალური ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ. მაგა-ლითისათვის, ვაჩვენოთ გამრავლების ოპერაციის ასოციაციურობის თვისება. ვთქვათ,

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 , 𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑚𝑥𝑚 , ℎ(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑘𝑥𝑘 .

მაშინ, გამრავლების ოპერაციის განსაზღვრის თანახმად, �𝑓(𝑥)⨂𝑔(𝑥)�⨂ℎ(𝑥) ნამრავლში 𝑥𝑙 , 𝑙 =0, 1, … ,𝑛 + 𝑚 + 𝑘 წევრის კოეფიციენტი იქნება


210

� � � 𝑎𝑟𝑏𝑠𝑟+𝑠=𝑖

�𝑖+𝑗=𝑙

𝑐𝑗 = � 𝑎𝑟𝑏𝑠𝑐𝑗𝑟+𝑠+𝑗=𝑙

, (1)

ხოლო 𝑓(𝑥)⨂�𝑔(𝑥)⨂ℎ(𝑥)� ნამრავლში კი

� 𝑎𝑟 � � 𝑏𝑠𝑠+𝑗=𝑖

𝑐𝑗�𝑟+𝑖=𝑙

= � 𝑎𝑟𝑏𝑠𝑐𝑗𝑟+𝑠+𝑗=𝑙

. (2)

(1) და (2)-დან ვღებულობთ, რომ �𝑓(𝑥)⨂𝑔(𝑥)�⨂ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)⨂�𝑔(𝑥)⨂ℎ(𝑥)�.

მაგალითი 2.1. მოცემულია 𝑓(𝑥) = 1 + 2𝑥 + 2𝑥3 ,𝑔(𝑥) = 2 + 𝑥 + 2𝑥2 ∈ ℤ3[𝑥]. ვიპოვოთ:

ა) 𝑓(𝑥) ⊕𝑔(𝑥); ბ) 𝑓(𝑥)⨂𝑔(𝑥).

პასუხი: განსაზღვრის თანახმად, გვაქვს:

ა) 𝑓(𝑥) ⊕𝑔(𝑥) = (1 + 2) + (2 + 1)𝑥 + (0 + 2)𝑥2 + (2 + 0)𝑥3

= 0 + 0𝑥 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 2𝑥2 + 2𝑥3;

ბ) 𝑓(𝑥)⨂𝑔(𝑥) = (1 ∙ 2) + (1 ∙ 1 + 2 ∙ 2)𝑥 + (1 ∙ 2 + 2 ∙ 1 + 0 ∙ 2)𝑥2

+(2 ∙ 2 + 0 ∙ 1 + 2 ∙ 2)𝑥3 + (0 ∙ 2 + 2 ∙ 1)𝑥4 + (2 ∙ 2)𝑥5

= 2 + 2𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 + 𝑥5 .

ვთქვათ, 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ ℤ𝑝[𝑥]. ვიტყვით, რომ 𝑓(𝑥) მრავალწევრი იყოფა 𝑔(𝑥) ≠ 0 მრავალ-წევრზე, თუ არსებობს ℎ(𝑥) ∈ ℤ𝑝[𝑥] მრავალწევრი ისეთი, რომ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)⨂ℎ(𝑥). გაყოფადობას ℤ𝑝[𝑥] რგოლში აქვს ℤ რგოლში გაყოფადობის ანალოგიური თვისებები. კერძოდ,

1) თუ 𝑓(𝑥) მრავალწევრი იყოფა 𝑔(𝑥) მრავალწევრზე და 𝑔(𝑥) იყოფა ℎ(𝑥) მრავალწევრ-ზე, მაშინ 𝑓(𝑥) იყოფა ℎ(𝑥) მრავალწევრზე;

2) თუ 𝑓(𝑥) და 𝑔(𝑥) მრავალწევრები იყოფა ℎ(𝑥) მრავალწევრზე, მაშინ 𝑓(𝑥) ⊕𝑔(𝑥) მრა-ვალწევრი იყოფა ℎ(𝑥) მრავალწევრზე;

3) თუ 𝑓(𝑥) მრავალწევრი იყოფა 𝑔(𝑥) მრავალწევრზე და ℎ(𝑥) ნებისმიერი მრავალწევ-რია, მაშინ 𝑓(𝑥)⨂ℎ(𝑥) მრავალწევრი იყოფა 𝑔(𝑥) მრავალწევრზე;

4) ნებისმიერი მრავალწევრი იყოფა ნული ხარისხის ნებისმიერ მრავალწევრზე;

5) თუ 𝑓(𝑥) მრავალწევრი იყოფა 𝑔(𝑥) მრავალწევრზე, მაშინ 𝑓(𝑥) იყოფა 𝑐⨂𝑔(𝑥) მრა-ვალწევრზე ნებისმიერი 𝑐 ∈ ℤ𝑝, 𝑐 ≠ 0 ელემენტისათვის.

6) 𝑐⨂𝑓(𝑥), 𝑐 ≠ 0 სახის მრავალწევრები და მხოლოდ ისინი წარმოადგენენ 𝑓(𝑥) მრავალ-წევრის გამყოფ ისეთ მრავალწევრებს, რომლებსაც იგივე ხარისხი აქვთ რაც 𝑓(𝑥) მრავალწევრს.

ℤ𝑝[𝑥] რგოლში მართებულია აგრეთვე გაყოფადობის ალგორითმის ანალოგი.

თეორემა 2.1. ნებისმიერი 𝑓(𝑥) და 𝑔(𝑥) მრავალწევრებისათვის მოიძებნება ცალსახად განსაზღვრული 𝑞(𝑥) და 𝑟(𝑥) მრავალწევრები ისეთი, რომ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)⨂𝑞(𝑥) ⊕ 𝑟(𝑥), ამასთან 𝑑𝑒𝑔 𝑟 < 𝑑𝑒𝑔𝑔 ან 𝑟(𝑥) = 0.

𝑞(𝑥) მრავალწევრს უწოდებენ განაყოფს, ხოლო 𝑟(𝑥) მრავალწევრს კი ნაშთს.

ვთქვათ, 𝑔(𝑥) ∈ ℤ𝑝[𝑥], 𝑔(𝑥) ≠ 0 ნებისმიერი მრავალწევრია. ℤ𝑝[𝑥] სიმრავლეზე განვიხი-ლოთ ~ მიმართება, რომელიც განსაზღვრულია შემდეგი წესით: 𝑓1(𝑥)~𝑓2(𝑥), თუ 𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)


211

იყოფა 𝑔(𝑥) მრავალწევრზე. გაყოფადობის განსაზღვრისა და თვისებების გამოყენებით, იოლი შესამოწმებელია, რომ ~ მიმართება არის ეკვივალენტობის მიმართება ℤ𝑝[𝑥] სიმრავლეზე, ამი-ტომ ℤ𝑝[𝑥] სიმრავლე იყოფა ეკვივალენტობის თანაუკვეთ კლასებად (იხ. თავი I, დებულება 2.1). ეკვივალენტობის კლასთა ფაქტორსიმრავლე აღვნიშნოთ ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმბოლოთი. ℤ𝑝[𝑥] სიმრა-ვლეზე განსაზღვრული შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლეზე განვსაზღვროთ შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციები ზუსტად ისე, როგორც ეს გავაკეთეთ ℤ სიმრავლეზე განსაზღვრული ოპერაციების გამოყენებით ℤ𝑚 სიმრავ-ლეზე (იხ. თავი VII, მაგალითი 2.16). შემდეგ, ისევე როგორც ℤ𝑚-ის შემთხვევაში, შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ განსაზღვრული ოპერაციების მიმართ, ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლე იქნება ასოციაციუ-რი, კომუტაციური რგოლი ერთეულით. შეკრების ოპერაციის მიმართ ნეიტრალური ელემენტი იქნება [𝑔(𝑥)] = [0] კლასი, ანუ ყველა იმ მრავალწევრების კლასი ℤ𝑝[𝑥] სიმრავლიდან, რომლე-ბიც იყოფა 𝑔(𝑥) მრავალწევრზე, ხოლო გამრავლების ოპერაციის მიმართ ნეიტრალური ელემენ-ტი იქნება [1] კლასი. რა ელემენტებისაგან შედგება ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლე? ვთქვათ, deg𝑔 = 𝑚. მაშინ ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლის ყოველი კლასი შეიცავს მრავალწევრს, რომლის ხარისხი ნაკლე-ბია 𝑚-ზე და ასეთი მრავალწევრი ყოველ კლასში, თეორემა 2.1-ის თანახმად, ერთადერთია. ამრიგად, ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლე შედგება [𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚−1𝑥𝑚−1], 𝑎𝑘 ∈ ℤ𝑝, 0 ≤ 𝑘 ≤𝑚− 1 სახის კლასებისაგან. რამდენი ელემენტია ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლეში? იოლი შესამოწმებე-ლია, რომ 𝑗 ∶ ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ → ℤ𝑝𝑚 ასახვა, განსაზღვრული 𝑗([𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚−1𝑥𝑚−1]) =(𝑎0,𝑎1, … ,𝑎𝑚−1) ტოლობით, არის ბიექცია, ამიტომ ელემენტთა რაოდენობა ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრა-

ვლეში იქნება 𝑛�ℤ𝑝𝑚� = �𝑛�ℤ𝑝��𝑚

= 𝑝𝑚 (იხ. თავი I, (1)). არის თუ არა ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლე

ველი? პასუხი: საზოგადოდ არა.

მაგალითი 2.2. განვიხილოთ ℤ2[𝑥]. ვთქვათ, 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥2 . მაშინ

ℤ2[𝑥]|𝑔(𝑥)~ = {[0], [1], [𝑥], [1 + 𝑥]}.

სასრული სიმრავლეების შემთხვევაში მოსახერხებელია ოპერაციების წარმოდგენა ცხრი-ლების საშუალებით. მოვიყვანოთ ℤ2[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლეში შეკრებისა და გამრავლების ოპერა-ციების ცხრილები:

მეორე ცხრილიდან ჩანს, რომ [1 + 𝑥] ელემენტს არ გააჩნია მოპირდაპირე ელემენტი გა-მრავლების ოპერაციის მიმართ, ამიტომ ℤ2[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლე არ არის ველი.

⊕�� [0] [1] [𝑥] [1 + 𝑥] [0] [0] [1] [𝑥] [1 + 𝑥]

[1] [1] [0] [1 + 𝑥] [𝑥] [𝑥] [𝑥] [1 + 𝑥] [0] [1]

[1 + 𝑥] [1 + 𝑥] [𝑥] [1] [0]

⨂� [0] [1] [𝑥] [1 + 𝑥] [0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [𝑥] [1 + 𝑥] [𝑥] [0] [𝑥] [1] [1 + 𝑥]

[1 + 𝑥] [0] [1 + 𝑥] [1 + 𝑥] [0]


212

მაგალითი 2.3. განვიხილოთ ℤ2[𝑥]. ვთქვათ, 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥2 . მაშინ

ℤ2[𝑥]|𝑔(𝑥)~ = {[0], [1], [𝑥], [1 + 𝑥]}.

მოვიყვანოთ ℤ2[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლეში შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციების ცხრი-ლები:

მეორე ცხრილიდან ჩანს, რომ ამჯერად, ℤ2[𝑥]|𝑔(𝑥)~ ∖ {[0]} სიმრავლის ყველა ელემენტს გააჩნია მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ, ამიტომ ℤ2[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავ-ლე არის ველი.

ზემოთ აღვნიშნეთ, რომ არსებობს გარკვეული ანალოგია ℤ, ℤ𝑚 სიმრავლეებსა და ℤ𝑝[𝑥], ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლეებს შორის. როგორც ვიცით (იხ. დებულება 1.14), როცა 𝑚 შედგე-ნილი რიცხვია, ℤ𝑚 არ არის ველი, ხოლო როცა 𝑚 = 𝑝 მარტივი რიცხვია, ℤ𝑝 ველია. ℤ𝑝[𝑥] სი-მრავლეში არსებობს მარტივი რიცხვების ანალოგები. ვთქვათ, 𝑔(𝑥) ∈ ℤ𝑝[𝑥], deg𝑔 = 𝑛 ∈ ℕ. ვიტყვით, რომ 𝑔(𝑥) დაუყვანადი მრავალწევრია ℤ𝑝 ველის მიმართ, თუ 𝑔(𝑥) არ იყოფა არცერთ ისეთ ℎ(𝑥) ∈ ℤ𝑝[𝑥] მრავალწევრზე, რომლისთვისაც სრულდება პირობა: 0 < degℎ < 𝑚. წინააღმ-დეგ შემთხვევაში, 𝑔(𝑥) მრავალწევრს ეწოდება დაყვანადი ℤ𝑝 ველის მიმართ. მართებულია შემ-დეგი

თეორემა 2.2. ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლე არის ველი მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა 𝑔(𝑥) მრავალწევრი დაუყვანადია ℤ𝑝 ველის მიმართ.

ამრიგად, თუ 𝑔(𝑥) დაუყვანადი მრავალწევრია ℤ𝑝 ველის მიმართ, და deg𝑔 = 𝑚, მაშინ ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ = 𝐺𝐹(𝑝𝑚).

მაგალით 2.2-ში განხილული 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥2 მრავალწევრი დაყვანადია ℤ2 ველის მიმართ, რადგან 𝑔(𝑥) = (1 + 𝑥)⨂(1 + 𝑥). სწორედ ამიტომ არ არის ℤ2[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლე ველი, ხოლო მაგალით 2.3-ში განხილული 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥2 მრავალწევრი დაუყვანადია ℤ2 ველის მიმართ, ამიტომ ამ შემთხვევაში ℤ2[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლე არის ველი.

ℤ𝑝[𝑥] სიმრავლეში ℤ𝑝 ველის მიმართ დაუყვანადი მრავალწევრების მოძებნის რაიმე წე-სი არ არსებობს. გარკვეული 𝑝 მარტივი რიცხვებისათვის შედგენილია დაუყვანადი მრავალწევ-რების ცხრილები, რადგან როგორც ვნახეთ, დაუყვანადი მრავალწევრების საშუალებით აიგება

⊕�� [0] [1] [𝑥] [1 + 𝑥] [0] [0] [1] [𝑥] [1 + 𝑥]

[1] [1] [0] [1 + 𝑥] [𝑥] [𝑥] [𝑥] [1 + 𝑥] [0] [1]

[1 + 𝑥] [1 + 𝑥] [𝑥] [1] [0]

⨂� [0] [1] [𝑥] [1 + 𝑥] [0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [𝑥] [1 + 𝑥] [𝑥] [0] [𝑥] [1 + 𝑥] [1]

[1 + 𝑥] [0] [1 + 𝑥] [1] [𝑥]


213

სასრული ველები, ხოლო ამ ველებს დიდი პრაქტიკული გამოყენება აქვთ კოდირების თეორი-აში და კრიპტოგრაფიაში. ამ გამოყენებებს შემდეგ პარაგრაფში გავეცნობით.

ვთქვათ, ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ ველია, deg𝑔 = 𝑚. როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~𝑗→ ℤ𝑝𝑚 ასა-

ხვა, რომელიც განსაზღვრულია 𝑗([𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚−1𝑥𝑚−1]) = (𝑎0,𝑎1, … ,𝑎𝑚−1) ტოლო-ბით არის ბიექცია. მაშინ ℤ𝑝𝑚 სიმრავლეზე შეგვიძლია განვსაზღვროთ შეკრებისა და გამრავლე-ბის ალგებრული ოპერაციები ისე, რომ ℤ𝑝𝑚 იქნება ველი, ხოლო 𝑗 ასახვა იზომორფიზმი (იხ, თავი VII, თეორემა 2.2). ℤ𝑝𝑚 სიმრავლის (𝑎0,𝑎1, … ,𝑎𝑚−1) ელემენტი უნდა განვიხილოთ, რო-გორც მრავალწევრის კოეფიციენტები ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლეში და შეკრება და გამრავლება ვა-წარმოოთ ისე, როგორც ℤ𝑝[𝑥]|𝑔(𝑥)~ სიმრავლის მრავალწევრებზე.

მაგალითი 2.4. შევადგინოთ ℤ23 ველის ოპერაციათა ცხრილები.

შეკრების ცხრილი იოლი შესადგენია. სტრიქონების შესაბამისი ელემენტები უნდა შევ-კრიბოთ მოდულით 2.

⊕ (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)

(0,0,0) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)

(1,0,0) (1,0,0) (0,0,0) (1,1,0) (0,1,0) (1,0,1) (0,0,1) (1,1,1) (0,1,1)

(0,1,0) (0,1,0) (1,1,0) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,1) (1,1,1) (0,0,1) (1,0,1)

(1,1,0) (1,1,0) (0,1,0) (1,0,0) (0,0,0) (1,1,1) (0,1,1) (1,0,1) (0,0,1)

(0,0,1) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0)

(1,0,1) (1,0,1) (0,0,1) (1,1,1) (0,1,1) (1,0,0) (0,0,0) (1,1,0) (0,1,0)

(0,1,1) (0,1,1) (1,1,1) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,0) (1,1,0) (0,0,0) (1,0,0)

(1,1,1) (1,1,1) (0,1,1) (1,0,1) (0,0,1) (1,1,0) (0,1,0) (1,0,0) (0,0,0)

რაც შეეხება გამრავლების ოპერაციის ცხრილს, გვჭირდება მესამე ხარისხის დაუყვანადი

მრავალწევრი ℤ2 ველის მიმართ. ასეთი მრავალწევრია 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥3 . იმისათვის, რომ გადა-ვამრავლოთ ორი სტრიქონი, ვიქცევით შემდეგნაირად: სტრიქონებს ჩავწერთ როგორც მრავალ-წევრებს. გადავამრავლებთ ამ მრავალწევრებს და ვიპოვით 𝑔(𝑥) მრავალწევრზე გაყოფის შედე-გად მიღებულ ნაშთს. მიღებული მრავალწევრის კოეფიციენტებისაგან ვადგენთ შესაბამის სტრიქონს. სწორედ ეს სტრიქონი იქნება საწყისი სტრიქონების ნამრავლი.

⨂ (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)

(0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0)

(1,0,0) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)

(0,1,0) (0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,0) (1,0,0) (1,1,1) (1,0,1)

(1,1,0) (0,0,0) (1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,1) (0,0,1) (1,0,0) (0,1,0)

(0,0,1) (0,0,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,1,1) (0,1,1) (0,1,0) (1,0,1) (1,0,0)

(1,0,1) (0,0,0) (1,0,1) (1,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (1,1,1) (1,1,0) (0,1,1)

(0,1,1) (0,0,0) (0,1,1) (1,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (0,1,0) (0,0,1)

(1,1,1) (0,0,0) (1,1,1) (1,0,1) (0,1,0) (1,0,0) (0,1,1) (0,0,1) (1,1,0)

214

§3. კოდირების თეორიისა და კრიპტოგრაფიის ელემენტები

1. კოდირების თეორიის ელემენტები.

ინფორმაციის რომელიმე არხის საშუალებით გადაცემას, როგორც წესი, თან ახლავს მისი დამახინჯება არხის გარკვეული დეფექტების გამო, რასაც ”ხმაურს” უწოდებენ. გადასაცემი ინ-ფორმაცია წარმოიდგინება გარკვეული სტანდარტული, უმეტესად ორობითი მიმდევრობის სა-ხით, რომელიც აღიწერება ორი რიცხვის, 0-ის და 1-ის საშუალებით. ხმაურის არსებობის გამო, ზოგიერთი გადაცემული ერთიანი არხის ბოლოს შესაძლებელია ინტერპრეტირებული იქნას როგორც ნული და პირიქით, გადაცემული ნული არხის ბოლოს შეიძლება გახდეს ერთიანი. სწორედ ასეთი არასასურველი შეცდომების რიცხვის მაქსიმალურად შემცირება არის კოდირე-ბის თეორიის ძირითადი მიზანი. შეცდომათა აცილების იდეა მარტივია. თუ გასაგზავნი ინ-ფორმაცია შეიცავს 𝑘 ორობით სიმბოლოს, მას ემატება 𝑟 რაოდენობა შემმოწმებელი ორობითი სიმბოლო და გადაიცემა 𝑛 = 𝑘 + 𝑟 ორობითი სიმბოლოსაგან შედგენილი ბლოკი. თუ არხის ხმაური დაამახინჯებს ამ 𝑛 გადასაცემი სიმბოლოსაგან შედგენილი ბლოკის საკმარისად მცირე ნაწილს, მაშინ შემმოწმებელ სიმბოლოთა 𝑟 რაოდენობა, ძირითადად, ინფორმაციის მიმღებს აძ-ლევს შეცდომათა აღმოჩენისა და მათი შესწორების შესაძლებლობას. კოდირების ამოცანა 𝑟 რაოდენობა შემმოწმებელ სიმბოლოთა არჩევის წესების დადგენაში მდგომარეობს. ნებისმიერ კონკრეტულ მიმდევრობას, რომელიც შეიძლება გადაცემულ იქნას ინფორმაციის გამგზავნის მი-ერ, ეწოდება კოდური სიტყვა. 𝑛 სიგრძის 2𝑛 რაოდენობა ორობით მიმდევრობათა სიმრავლეში მხოლოდ 2𝑘 რაოდენობა ქმნის კოდურ სიტყვათა სიმრავლეს. ამ 2𝑘 რაოდენობა 𝑛 სიგრძის კოდური სიტყვისაგან შედგენილ სიმრავლეს ჰქვია კოდი. გასაგზავნ ინფორმაციაში შემავალ 𝑘 რაოდენობა სიმბოლოს საინფორმაციო, ხოლო დანარჩენ 𝑟 = 𝑛 − 𝑘-ს კი შემმოწმებელი სიმბო-ლო ჰქვია. უმეტესად, კოდური სიტყვა იწყება საინფორმაციო და მთავრდება შემმოწმებელი სიმ-ბოლოებით. ხმაურიანი არხის ბოლოს მიღებული ინფორმაციიდან გაგზავნილი ინფორმაციის აღდგენა შეადგენს ე. წ. დეკოდირების ამოცანას. დეკოდირების პროცესის განმახორციელებელ პირს ან მოწყობილობას დავარქვათ დეკოდერი.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ინფორმაციის გადაცემისას, მნიშვნელოვანია შეცდომების არსე-ბობის დადგენა, რაც ინფორმაციის თავიდან გადაცემის საბაბი ხდება. კოდებს, რომელთა სა-შუალებით შესაძლებელია ამ ამოცანის გადაწყვეტა, შეცდომათა აღმომჩენი კოდები ჰქვიათ. თუკი მონაცემთა ხელახლა გაგზავნის შესაძლებლობა არ არსებობს, საჭიროა დამატებითი ინ-ფორმაცია შეცდომათა არა მარტო არსებობის დასადგენად, არამედ მათი გასწორებისათვისაც. ასეთი შესაძლებლობების მქონე კოდებს შეცდომების გამსწორებელი კოდები ეწოდებათ. სამწუხაროდ, ასეთი კოდების გამოყენება არ იძლევა იმის აბსოლუტურ გარანტიას, რომ შეცდო-მები აუცილებლად იქნებიან გასწორებული ან შემჩნეული. პრობლემა მდგომარეობს ბევრი შეცდომის არსებობაში. თუ შეცდომა ერთია, მისი აღმოჩენა და შესწორება შესაძლებელია, მაგრამ უფრო რთულ შემთხვევებში ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ იმის ალბათობის შემცირება, რომ შეცდომები შეუმჩნეველი და შეუსწორებელი დარჩებიან.

ორობითი კოდირების უმარტივეს მაგალითად შეგვიძლია განვიხილოთ ე.წ. განმეორე-ბიანი კოდები. ეს არის შემთხვევა, როდესაც 𝑘 = 1, ანუ როდესაც გადასაცემი ინფორმაცია შედგება ერთი ორობითი სიმბოლოსაგან და რომელიღაც 𝑟 ≥ 1 სიგრძის შემმოწმებელი ბლო-კისაგან. ასეთ შემთხვევაში კოდური სიტყვის სიგრძეა 𝑛 = 1 + 𝑟 და კოდს ადგენენ ორი კოდური სიტყვისაგან: ერთი სიტყვა შედგება 𝑛 რაოდენობა ნულის, ხოლო მეორე კი 𝑛 რაოდენობა ერთი-ანისაგან. მიღებულ ინფორმაციაში დეკოდერი ითვლის ნულებისა და ერთიანების რაოდენობას. თუ ნულების რაოდენობა ერთიანებისაზე მეტია, დეკოდერი ღებულობს გადაწყვეტილებას, რომ გამოგზავნილი კოდური სიტყვა შედგება ნულებისაგან. თუკი მიღებულ ბლოკში ერთიანების რაოდენობა ნულებისას აღემატება, მაშინ ითვლება, რომ გამოგზავნილი სიტყვა შედგება ერთიანებისაგან. თუკი ერთიანებისა და ნულების რაოდენობა ტოლი აღმოჩნდა, დეკოდერი


215

გადაწყვეტილებას არ ღებულობს. გადაწყვეტილება აუცილებლად იქნება მიღებული, თუ ბლოკის სიგრძე 𝑛 კენტია. ასეთ დეკოდირებას სრული ეწოდება. განმეორებიანი კოდების უარყოფითი მხარე არის ინფორმაციის გადაცემის დაბალი სიჩქარე. მაღალი სიჩქარის მქონე კოდების მნიშვნელოვანი მაგალითია ე.წ. ლუწობაზე ერთჯერ შემმოწმებელი კოდები, რომლებიც შეიცავენ მხოლოდ ერთ შემმოწმებელ სიმბოლოს. ეს სიმბოლო არის 𝑛 − 1 საინფორ-მაციო სიმბოლოთა ჯამი ორის მოდულით. სხვა სიტყვებით, ის არის 1, თუ გასაგზავნი ინფორმაცია შეიცავს ერთიანთა კენტ რაოდენობას და არის 0, თუ ეს რაოდენობა ლუწია. თუ მიღებულ სიტყვაში ერთიანების რაოდენობა ლუწია, ეს იმის მანიშნებელი იქნება, რომ გადასაცემი ინფორმაცია ან არ დამახინჯებულა, ან დამახინჯებათა რაოდენობა ლუწია. ასეთ დამახინჯებათა აღმოჩენა დეკოდერისათვის შეუძლებელია და ის მიღებული სიტყვის შესწო-რებას არ ახდენს. თუ მიღებულ სიტყვაში ერთიანების რაოდენობა კენტი აღმოჩნდა, მაშინ შეიძლება იმის თქმა, რომ ინფორმაცია დამახინჯებულია და სიტყვის დეკოდირება არ ხდება. ლუწობაზე ერთჯერ შემმოწმებელ კოდებს გადაცემის მაღალი სიჩქარე აქვთ, მაგრამ რადგან ყოველ ბლოკში არის მხოლოდ ერთი შემმოწმებელი სიმბოლო, ისინი კენტ რაოდენობა შეცდომათა აღმოჩენის გარდა, არაფრის გარანტიას არ იძლევიან. მაღალი სიჩქარეებისა და მი-საღები მაკორექტირებელი შესაძლებლობების კოდების მაგალითს წარმოადგენენ ე.წ. წრფივი კოდები. ორობით ვექტორთა რომელიღაც სიმრავლეს ეწოდება წრფივი კოდი მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც ის წარმოადგენს 𝑛 სიგრძის ყველა ორობით ვექტორთა მიმდევრობების სივრცის ქვესივრცეს. ეს კოდები, საზოგადოდ, შეიცავენ რამოდენიმე საინფორმაციო და შემმოწმებელ სიმბოლოს და ყოველი შემმოწმებელი სიმბოლო წარმოადგენს საინფორმაციოთა გარკვეულ ფუნქციას. მაგალითად, წრფივი კოდის შესაქმნელად შეიძლება შემმოწმებელი სიმბოლოები წარმოვადგინოთ საინფორმაციოთა გარკვეული ქვესიმრავლეების ორობითი ჯამების სახით. საილუსტრაციოდ განვიხილოთ წრფივი კოდი, რომლის კოდურ სიტყვათა სიგრძე 𝑛 = 6, ხოლო საინფორმაციო და შემმოწმებელ სიმბოლოთა რიცხვი 3-ის ტოლია. ვთქვათ საინფორმაციო სიმბოლოებია 𝑎1,𝑎2,𝑎3, ხოლო შემმოწმებელი კი 𝑎4,𝑎5,𝑎6 და ამასთან, 𝑎4 = 𝑎1 + 𝑎2 , 𝑎5 = 𝑎1 +𝑎3, 𝑎6 = 𝑎2 + 𝑎3. თუ გადასაცემ კოდირებულ ინფორმაციას 𝑎 = (𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5,𝑎6) ვექტორის სახით წარმოვადგენთ, მისი ტრანსპონირებული ვექტორი 𝑎′ დააკმაყოფილებს პირობას 𝐻𝑎′ =0, სადაც

𝐻 = �1 1 0 1 0 01 0 1 0 1 00 1 1 0 0 1

�.

𝐻 მატრიცას კოდის შემმოწმებელი მატრიცა ჰქვია (თუ კოდური სიტყვის სიგრძეა 𝑛, ხოლო შემმოწმებელ სიმბოლოთა რაოდენობაა 𝑟, მაშინ 𝐻 მატრიცის განზომილებაა 𝑟 × 𝑛). ჩვენს მაგალითში გვაქვს 23 = 8 შესაძლო კოდური სიტყვა, რომელთაც შემდეგი სახე აქვთ:

000000, 001011, 010101, 011110, 100110, 101101, 110011, 111010.

ინფორმაციის გადაცემის შემდეგ, არხის ხმაურის გამო, კოდურ სიტყვას, საზოგადოდ, ემატება ე.წ. შეცდომათა ვექტორი 𝑏 = (𝑏1,𝑏2, 𝑏3,𝑏4, 𝑏5,𝑏6), სადაც 𝑏𝑖 = 0, თუ არხი არ ცვლის 𝑖-ურ სიმბოლოს და 𝑏𝑖 = 1, თუ არხი ცვლის 𝑖-ურ სიმბოლოს. არხის ბოლოს მიღებულ სიტყვას ექნება სახე 𝑐 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4, 𝑐5, 𝑐6), სადაც 𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 (𝑚𝑜𝑑 2). დეკოდირების ამოცანაა 𝑏 ვექტო-რის დადგენა და ამ მიზნით, უპირველესად ყოვლისა, ხდება ე.წ. სიმბოლოთა სინდრომის გამოთვლა. ასე უწოდებენ ისეთ 𝑑 ვექტორს, რომლის ტრანსპონირებულ 𝑑′ ვექტორს აქვს სახე 𝑑′ = 𝐻𝑐′. შეცდომათა 𝑏 ვექტორები ქმნიან სიმრავლეს, რომელთაც იგივე სინდრომი აქვთ, როგორიც 𝑐-ს. მართლაც, თუ 𝐻𝑐′ ≠ 𝐻𝑏′, მაშინ 𝐻(𝑐 − 𝑏)′ ≠ 0, რაც იმას ნიშნავს, რომ 𝑐 − 𝑏 არ არის გადაცემული სიტყვა. პირიქით, თუ 𝐻𝑐′ = 𝐻𝑏′, მაშინ 𝐻(𝑐 − 𝑏)′ = 0 და შეცდომათა ვექტო-რი შესაძლოა დაემთხვას გადაცემულ 𝑎 = 𝑐 − 𝑏 სიტყვას.

ერთნაირ სინდრომიან ვექტორთა სიმრავლეს ეწოდება მოსაზღვრე კლასი კოდურ სი-ტყვათა სიმრავლის მიმართ. შეცდომათა ყველა შესაძლო ვექტორები წარმოადგენენ იმ მოსაზ-


216

ღვრე კლასის სიტყვებს, რომელსაც მიეკუთვნება მიღებული სიტყვა. დეკოდერმა უნდა განიხი-ლოს ყველა შესაძლო შეცდომათა ვექტორი, რომელიც აღნიშნულ მოსაზღვრე კლასს მიეკუთვნე-ბა. რადგან, საზოგადოდ, არხში შეცდომები არაა ხშირი, ლოგიკურია, რომ შეცდომათა ვექტო-რების სიმრავლიდან ამორჩეულ იქნას ისეთი ვექტორი, რომლის ერთიანების რაოდენობა მცირეა. თუ ორობითი ვექტორის წონაში ვიგულისხმებთ ამ ვექტორში შემავალი ერთიანების რაოდენობას, მიზანშეწონილია, რომ შეცდომათა ვექტორად არჩეულ იქნას მოცემულ მოსაზ-ღვრე კლასში შემავალი უმცირესი წონის მქონე ვექტორი. თუ ასეთნაირად შერჩეულ შეცდომათა ვექტორს გამოვაკლებთ მიღებული სიტყვისაგან, მივიღებთ ყველაზე უფრო მოსალოდნელ კოდურ სიტყვას.

წრფივი კოდების განხილვისას გვიხდება შემდეგი ორი ამოცანის შესწავლა: ა) როგორ უნდა იქნას არჩეული შემმოწმებელი 𝐻 მატრიცა და ბ) მოცემული სინდრომის მქონე მოსაზღვრე კლასიდან როგორ უნდა იქნას არჩეული უმცირესი წონის მქონე სიტყვა? თუ კოდური სიტყვის სიგრძე 𝑛 შედარებით მცირეა, ამ კითხვებზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია ყველა შესაძლო შემთხვევათა განხილვის საფუძველზე. დიდი 𝑛,𝑘 და 𝑟-ის შემთხვევისათვის ეს ამოცანები, საზოგადოდ, არაა ამოხსნილი. ჩვენ მიერ ზემოთ განხილულ განმეორებიანი და ლუწობაზე ერთჯერ შემმოწმებელი კოდები წარმოადგენენ წრფივი კოდების უმარტივეს შემთხვევებს. თუ კოდური სიტყვის სიგრძეა 𝑛, პირველი კოდის შემმოწმებელი მატრიცის რიგია (𝑛 − 1) × 𝑛 და აქვს სახე

𝐻 = �1 1 0 ⋯ 01 0 1 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮1 0 0 ⋯ 1

�,

ლუწობაზე ერთჯერ შემმოწმებელი კოდების შემთხვევაში კი 𝐻 მატრიცას აქვს სახე 𝐻 = (1 1 ⋯ 1).

ჰემინგის მიერ აგებული იყო ერთი შეცდომის გამსწორებელი და ერთზე მეტი შეცდომის აღმომჩენი წრფივი ორობითი კოდები. ჰემინგის ორობითი კოდი შეიძლება აღიწეროს მისი შემმოწმებელი მატრიცის საშუალებით. განვიხილოთ 𝐻 ორობითი მატრიცა, რომელიც შედგება 𝑚 სტრიქონისა და 2𝑚 − 1 სვეტისაგან, ამასთან, სვეტები შედგებიან 𝑚 სიგრძის ყველა შესა-ძლო არანულოვანი ორობითი მიმდევრობებისაგან. ცხადია, რომ 𝐻-ის არცერთი ორი სვეტის ჯამი არ არის ნულოვანი ვექტორი და, ამრიგად, არ არსებობს მისი ორი სვეტის არანულოვანი წრფივი კომბინაცია. კოდური სიტყვის სიგრძეა 2𝑚 − 1, შემმოწმებელ სიმბოლოთა რაოდენობაა m , ხოლო საინფორმაციოთა რიცხვია 2𝑚 − 1−𝑚. თუ ცნობილია, რომ 𝑎 კოდური სიტყვის გადაცემისას მოხდა მხოლოდ ერთი შეცდომა, მაშინ შეცდომის 𝑏 ვექტორში 1-იანი შეგვხვდება მხოლოდ ისეთ 𝑖-ნომრიან ადგილზე, რომელიც არასწორად იქნა გადაცემული. მიღებული 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 ვექტორის სინდრომი, 𝐻𝑐′ = 𝐻𝑎′ + 𝐻𝑏′ = 𝐻𝑏′ ტოლობის გამო, დაემთხვევა 𝐻-ის 𝑖-ურ სვეტს. ეს იმას გვეუბნება, რომ კოდური სიტყვის გადაცემისას შეცდომა დაშვებული იქნა 𝑖-ურ თანრიგში და გვეძლევა მისი შესწორების საშუალება. ჩატარებული მსჯელობის საფუძველზე შეიძლება დავასკვნათ, რომ წრფივი კოდი იძლევა ყველა ერთჯერადი შეცდომის გასწორების შესაძლებლობას მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც მისი 𝐻 მატრიცის ყველა სვეტი განსხვავე-ბულია ნულისაგან და ერთმანეთისაგან.

ჰემინგის კოდის საილუსტრაციოდ განვიხილოთ მაგალითი, როდესაც 𝑚 = 3, 𝑛 = 23 −1 = 7, ხოლო შემმოწმებელ მატრიცას აქვს სახე:

𝐻 = �0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 1

�.

შემმოწმებელი სიმბოლოები მიზანშეწონილია დავსვათ კოდური სიტყვის პირველ, მეორე და მეოთხე ადგილას (რომლებიც 2-ის ხარისხებია). შემმოწმებელი სიმბოლოების ასეთი


217

განაწილების გამო, თითოეული მათგანი შევა მხოლოდ ერთ-ერთ იმ შემმოწმებელ თანაფარდო-ბაში, რომელიც აგებულ კოდურ სიტყვას გადააქცევს 𝐻 მატრიცის ნულ ვექტორად. თუ გადასა-გზავნი ინფორმაცია არის 1100, მაშინ 𝑎1𝑎21𝑎3100 კოდურ სიტყვაში 𝑎1,𝑎2,𝑎3 შემმოწმებელი სიმ-ბოლოების განსასაზღვრავად ვღებულობთ სისტემას:

�𝑎3 + 1 = 0, 𝑎2 + 1 = 0, 𝑎1 + 1 + 1 = 0,

საიდანაც 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 𝑎3 = 1. ამრიგად, კოდური სიტყვა იქნება 0111100. დავუშვათ, გადაცემი-სას დაშვებულ იქნა 1 შეცდომა და არხის ბოლოს მიღებული სიტყვაა 0111110. მიღებული ვექ-ტორის სინდრომი იქნება (1,1,0) ვექტორი, რომელიც 𝐻-ის მეექვსე სვეტ-ვექტორს ემთხვევა. ეს იმის მაჩვენებელია, რომ შეცდომა დაშვებული იქნა სიტყვის მეექვსე სიმბოლოში და გადასაცე-მი კოდური სიტყვა ყოფილა 0111100.

ჰემინგის აღწერილი კოდით შეუძლებელია ორზე მეტი ან ტოლი წონის შეცდომათა აღ-მოჩენა და მათი გასწორება. ორი შეცდომის აღმოჩენისათვის გამოიყენება ჰემინგის გაფართო-ებული კოდი, რომლის შემმოწმებელი მატრიცა მიიღება ჰემინგის კოდის შემმოწმებელი მა-ტრიცისაგან პირველი ნულოვანი სვეტისა და ერთიანებისაგან შედგენილი ბოლო სტრიქონის დამატებით. ბოლო მაგალითის შემთხვევაში ჰემინგის გაფართოებული შემმოწმებელი მატრიცა იქნება:

𝐻 = �0 0 0 0 1 1 1 10 0 1 1 0 0 1 10 1 0 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1

�.

კოდური სიტყვის პირველ სიმბოლოდ ვწერთ ლუწობაზე შემმოწმებელ სიმბოლოს, რო-მელიც ნულია ლუწ წონიანი, ხოლო ერთი კი კენტ წონიანი კოდებისათვის. თუ ჰემინგის კო-დით განსაზღვრული გასაგზავნი კოდური სიტყვა იყო 0111100, ასეთი ერთი სიმბოლოს დამა-ტებით ის ჩაიწერება როგორც 00111100. თუ გადაცემისას დაშვებულია ერთი შეცდომა და მი-ღებული სიტყვაა 00111110, მაშინ მისი სინდრომი იქნება (1 1 0 1) ვექტორი ანუ გაფართო-ებული შემმოწმებელი 𝐻 მატრიცის მეშვიდე სვეტი. ეს იმის მანიშნებელია, რომ შეცდომა დაშვე-ბულია მეშვიდე თანრიგში და საჭიროა მისი შესწორება. ახლა დავუშვათ, რომ მიღებული სი-ტყვაა 10111110. მისი სინდრომი იქნება (1 1 0 0) ვექტორი და ის არ ემთხვევა H -ის არცერთ სვეტს. ეს იმის მანიშნებელია, დაშვებულ შეცდომათა რაოდენობა ≥ 2. ამრიგად, ჰემინგის გა-ფართოებული კოდი ასწორებს ყველა ერთჯერად შეცდომას და ამჩნევს ყველა შეცდომას, როცა მათი რაოდენობა ≥ 2.

აღწერილ ორობით კოდებში გამოყენებული ორობითი რიცხვები, 0 და 1, განხილული არიან როგორც გალუას 𝐺𝐹(2) = ℤ2 ველის ელემენტები. ორობითი კოდირების მსგავსად შეიძ-ლება კოდირების თეორიის აგება, რომელშიც კოდური სიტყვების ასაგებად სიმბოლოებად გა-მოყენებული იქნებიან გალუას 𝐺𝐹(𝑞) ველის ელემენტები, სადაც 𝑞 = 𝑝𝑚, 𝑝 მარტივი, ხოლო 𝑚 ნატურალური რიცხვია. ამ საკითხს აქ არ განვიხილავთ.


218

2. კრიპტოგრაფიის ელემენტები.

კრიპტოგრაფია (წარმოიშვა ბერძნული სიტყვებიდან „კრიპტოს“-ფარული და „გრაფოს“-წერა, ანუ ფარული წერა) არის მეცნიერება ინფორმაციის დაფარვის შესახებ. იგი მჭიდროდაა დაკავშირებული მეცნიერების ისეთ დარგებთან, როგორიცაა ინფორმაციის თეორია და კომპიუ-ტერული უსაფრთხოება. ამჟამად იგი გამოიყენება ტექნოლოგიურად განვითარებულ ისეთ სფე-როებში, როგორიცაა: საკრედიტო ბარათები, კომპიუტერული პაროლები, ელექტრონული კო-მერცია და მრავალი სხვა.

კრიპტოგრაფია სწავლობს ინფორმაციის შენიღბული სახით გადაგზავნის ისეთ მეთო-დებს, რომელთა გამოყენებისას მხოლოდ გამგზავნის მიერ მონიშნულ პირებს გააჩნიათ გაგზავ-ნილი ინფორმაციის აღდგენის შესაძლებლობა, სხვებისათვის კი ასეთი ამოცანის გადაჭრა პრაქ-ტიკულად განუხორციელებელია. გადასაგზავნ შეტყობინებას ღია ტექსტი ჰქვია, ხოლო შენიღ-ბულს კი დაშიფრული ან მოკლედ შიფრტექსტი. ღია ტექსტის შიფრტექსტად გარდაქმნის პრო-ცესს დაშიფვრას უწოდებენ, მის უკუპროცესს კი გაშიფვრას. ღია ტექსტის დაშიფრული სახით გადაცემა ხორციელდება ე. წ. გასაღების საშუალებით. ტექსტი იწერება გარკვეული ალფაბეტე-ბის საშუალებით, რომლებიც ხშირად, მაგრამ არა ყოველთვის, ერთმანეთს ემთხვევიან და შედგება ასოთა რაღაც რაოდენობისაგან. ტერმინი „ასო“ (ან „სიმბოლო“) შეიძლება ეხებოდეს არა მხოლოდ ჩვეულებრივ ასოებს, არამედ აგრეთვე რიცხვებს, პუნქტუაციის ნიშნებს, შუალედებს და სხვა სახის სიმბოლოებს, რომლებიც გამოიყენებიან ინფორმაციის ჩასაწერად. ღია და დაში-ფრული ტექსტები იყოფიან ელემენტარულ შეტყობინებებად, რომლებსაც „ელემენტებს“ უწო-დებენ. ელემენტი შეიძლება იყოს ცალკეული ასო, ასოთა წყვილი (ბიგრამა), ან ასოთა რაღაც 𝑁 რაოდენობისაგან შედგენილი ბლოკი. დამშიფრავი გარდაქმნა წარმოადგენს ფუნქციას, რომე-ლიც ღია ტექსტთა ელემენტს უთანადებს შიფრტექსტის ელემენტს. სხვა სიტყვებით, ეს არის რომელიღაც ბიექცია, რომელიც ღია ტექსტის სიმრავლიდან მოქმედებს შიფრტექსტთა ყველა შესაძლო სიმრავლეში. გამშიფრავი გარდაქმნა არის შიფრტექსტის ღია ტექსტად გარდამქმნელი

ფუნქცია. მთელი ეს სიტუაცია სქემატურად შეგვიძლია გავიაზროთ 𝑃𝑓→ 𝐶

𝑓−1�⎯� 𝑃 დიაგრამის სა-

ხით. ნებისმიერ ასეთ კონსტრუქციას კრიპტოსისტემა ეწოდება.

კლასიკური კრიპტოსისტემებიდან უმარტივესია ე. წ. წანაცვლების შიფრი, რომელსაც იულიუს კეისარის სახელს უკავშირებენ. მისი ილუსტრირების მიზნით ვისარგებლოთ 26-ასო-იანი ლათინური 𝐴 − 𝑍 ალფაბეტითა და მისი შესაბამისი რიცხვითი 0 − 25 ეკვივალენტით. დავუშვათ ასო 𝑃 ∈ {0, 1, … ,25} წარმოადგენს ღია ტექსტის ელემენტს. განვიხილოთ {0, 1, … ,25} სიმრავლეზე განსაზღვრული ფუნქცია

𝑓(𝑃) = � 𝑃 + 3, 𝑃 < 23,𝑃 − 23, 𝑃 ≥ 23.

(სხვა სიტყვებით, 𝑓(𝑃) ≡ 𝑃 + 3 (𝑚𝑜𝑑 26) ). ასეთ სისტემაში „𝑌𝐸𝑆“ ტექსტის დასაშიფრად, ჯერ ვნახულობთ მის რიცხვით ჩანაწერს, რომელიც არის 24 4 18, შემდეგ კი თითოეულ მიღებულ რიცხვს ემატება 3 მოდულით 26. ეს მოგვცემს რიცხვებს 1 7 21, რაც იქნება „𝐵𝐻𝑉“ ტექსტის რიცხვითი ეკვივალენტი. გაშიფვრისათვის 1 7 21 რიცხვებს, ცხადია, უნდა დავაკლოთ 3 მოდულით 26 და აღვადგინოთ მიღებული რიცხვითი სამეულის ასოითი ეკვივალენტი.

წანაცვლების შიფრი, ცხადია, ძალიან მარტივია. მისი გართულება შესაძლებელია ე. წ. აფინური 𝐶 ≡ 𝑎𝑃 + 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑁) გარდაქმნების საშუალებით, სადაც 𝑎 და 𝑏 ფიქსირებული მთელი რიცხვებია და (𝑎, 𝑏) წყვილი შიფრის გასაღებს წარმოადგენს. ასეთი სახით გადაცემული ტექს-ტის გაშიფვრისათვის საჭიროა 𝑃-ს გამოსახვა 𝐶-თი: 𝑃 ≡ 𝑎′𝐶 + 𝑏′ (𝑚𝑜𝑑 𝑁), სადაც 𝑎′ = 𝑎−1 არის 𝑎-ს მოპირდაპირე ℤ𝑁 რგოლში, ხოლო 𝑏′ = −𝑎−1𝑏. 𝑎′-ის მოძებნა შესაძლებელია ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით და ეს პროცესი განხორციელებადია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც 𝑎 და 𝑁 ურთიერთმარტივები არიან: (𝑎,𝑁) = 1. წინააღმდეგ შემთხვევაში 𝑃 -ს 𝐶 -თი გამოსახვა შეუძლებელია. სახელდობრ, თუ (𝑎,𝑁) ≠ 1, მაშინ შიფრტექსტის ერთ ასოს ეთანადება ღია ტექსტის რამოდენიმე ასო და ამიტომ, ღია ტექსტის ცალსახად აღდგენა არ ხერხდება.


219

აფინური კრიპტოსისტემის კერძო შემთხვევაში, როცა 𝑎 = 1, მიიღება წანაცვლების გარ-დაქმნა, რომლის მაგალითი 𝑁 = 26 და 𝑏 = 3 შემთხვევაში ზემოთ გვქონდა განხილული.

აღწერილი კრიპტოსისტემების გაშიფვრა, თანამედროვე ტექნიკური შესაძლებლობების პირობებში, არ წარმოადგენს დიდ სიძნელეს. მაგალითად, ვთქვათ საჭიროა 𝑎 და 𝑏 გასაღებიანი აფინური 𝐶 ≡ 𝑎𝑃 + 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑁) კრიპტოსისტემის გაშიფვრა. დავუშვათ, 𝑁 = 26 და გასაშიფრად მიღებულ ტექსტში ყველაზე ხშირად შემხვედრი ასოა „𝐾“, ხოლო სიხშირით მეორე ასოა „𝐷“. ბუნებრივია ვიგულისხმოთ, რომ ამ ასოებით დაშიფრულია ინგლისურ ენაში ყველაზე ხშირად შემხვედრი ასოები „𝐸“ და „𝑇“. თუ ასოებს შევცვლით მათი რიცხვითი ეკვივალენტებით და ჩავსვამთ მათ 𝑃 ≡ 𝑎′𝐶 + 𝑏′ (𝑚𝑜𝑑 26), ფორმულაში, მივიღებთ სისტემას

�10𝑎′ + 𝑏′ ≡ 43𝑎′ + 𝑏′ ≡ 19 (𝑚𝑜𝑑 26).

ამ სისტემიდან 𝑏′-ის გამორიცხვა გვაძლევს, რომ 7𝑎′ ≡ 11 (𝑚𝑜𝑑 26) და ამიტომ 𝑎′ ≡ 7−1 ×11 ≡ 9 (𝑚𝑜𝑑 26). 𝑏′-სათვის ვღებულობთ, რომ 𝑏′ ≡ 4− 10𝑎′ (𝑚𝑜𝑑 26). ამრიგად, შიფრტექსტის გაშიფვრა ხერხდება 𝑃 ≡ 9𝐶 + 18 (𝑚𝑜𝑑 26) ფორმულის მიხედვით.

დაშიფვრის შემდგომი გართულების მიზნით გასაგზავნი ინფორმაციის ელემენტებად გამოყოფენ ორასოიან ბლოკებს, ე. წ. ბიგრამებს. ეს ნიშნავს, რომ ღია ტექსტი იყოფა ორასოიან სეგმენტებად. თუ ღია ტექსტი შეიცავს ასოთა კენტ რაოდენობას, მაშინ, ბიგრამების მთელი რაოდენობის მისაღებად, ბოლოში შეგვიძლია დავუმატოთ კიდევ ერთი ასო. ეს დამატებული ასო ისე უნდა შეირჩეს, რომ აზრი არ დამახინჯდეს. ამ მიზნით შეიძლება დავამატოთ ტირე, თუ ის მონაწილეობს მოცემულ ალფაბეტში და „𝑋“ ან „𝑄“, თუ საქმე გვაქვს 26-ასოიან ალფაბეტთან. ყოველ ბიგრამას რიცხვითი ეკვივალენტის სახით შევუსაბამოთ 𝑥𝑁 + 𝑦, სადაც 𝑥 და 𝑦 შესა-ბამისად არიან ბიგრამის პირველი და მეორე ასოების რიცხვითი ეკვივალენტები, 𝑁 კი ალფა-ბეტში შემავალ ასოთა რაოდენობაა. ამით აიგება ბიექცია 𝑁 ასოიანი ალფაბეტის ყველა შესაძლო ბიგრამათა და 𝑁2-ზე ნაკლებ არაუარყოფით მთელ რიცხვთა სიმრავლეს შორის. 𝑃 = �

𝑥𝑦� სახით

წარმოდგენილი ბიგრამის დაშიფვრის ზოგადი მეთოდი მდგომარეობს მის

𝐶 ≡ 𝐴𝑃 + 𝐵 (𝑚𝑜𝑑 𝑁)

სახით წარმოდგენაში, სადაც 𝐴 = �𝑎 𝑏𝑐 𝑑

� არის 2 × 2, ხოლო 𝐵 = �𝑒𝑓� კი 2 × 1

განზომილებებიანი მატრიცები, რომელთა კოეფიციენტები აღებული არიან ℤ𝑁-დან. ამ კრიპტოსისტემის გასაღებს სწორედ 𝐴 და 𝐵 მატრიცათა წყვილი წარმოადგენს. გაშიფვრის ფორმულაა 𝑃 ≡ 𝐴−1𝐶 − 𝐴−1𝐵 (𝑚𝑜𝑑 𝑁), სადაც 𝐴−1 არის 𝐴 -ს შებრუნებული მატრიცა მოდულით 𝑁 და მას აქვს სახე:

𝐴−1 = � 𝐷−1 −𝐷−1𝑏−𝐷−1𝑐 𝐷−1𝑎

�,

სადაც 𝐷 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 არის 𝐴 მატრიცის დეტერმინანტი. ცხადია, გასაღები ისე უნდა იყოს შერჩეული, რომ 𝐷 ∈ ℤ𝑁 ელემენტს გააჩნდეს მოპირდაპირე ელემენტი გამრავლების ოპერაციის მიმართ.

ბიგრამების დაშიფვრასთან დაკავშირებით ამ მოკლე ინფორმაციით დავკმაყოფილდე-ბით და აღვნიშნავთ, რომ თანამედროვე პირობებში, ასეთი წესით დაშიფრული ტექსტის გა-შიფვრაც არ არის დაკავშირებული დიდ სიძნელეებთან. შეიძლება ისიც კი ითქვას, რომ აღწე-რილი კლასიკური კრიპტოსქემების დაშიფვრისა და გაშიფვრის სიძნელეები, არსებითად, ეკვივალენტურია.

კრიპტოგრაფიაში არსებითი წინსვლა განხორციელდა 1976 წელს. დიფმა და ჰელმანმა (W. Diffie and M. Hellman) მიაგნეს კრიპტოსისტემების პრინციპულად ახალი ტიპის შექმნის იდეას და მისცეს დასაბამი ე. წ. „ღია გასაღებიან“ კრიპტოგრაფიას. განსაზღვრის თანახმად, ღია


220

გასაღებიანი კრიპტოსისტემა იმითაა გამორჩეული, რომ უაღრესად რთული გამოთვლების ჩატარების გარეშე, დამშიფრავი გარდაქმნის ცოდნა არ იძლევა შიფრის გასაღების საშუალებით, გაშიფვრის გასაღების მოძებნის შესაძლებლობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დამშიფრავი ფუნქცია 𝑓 ∶ 𝑃 → 𝐶 მარტივად ითვლება, თუ დამშიფრავი 𝐾𝐸 გასაღები ცნობილია, მაგრამ შექ-ცეული 𝑓−1 ∶ 𝐶 → 𝑃 ფუნქციის მნიშვნელობათა გამოთვლა კი ძალიან რთულია. პრაქტიკული გამოთვლების თვალსაზრისით ეს ნიშნავს, რომ 𝑓 ფუნქცია, გაშიფვრის 𝐾𝐷 გასაღების ცოდნის გარეშე, არაშექცევადია. ყოველ ასეთი სახის ფუნქციას დაერქვა „trapdoor function“ (ქართულად შეიძლება ვთქვათ „საძრომი ფუნქცია“). ცხადია, თუ დამატებით არსებობს ინფორმაცია 𝐾𝐷 გასაღების შესახებ, მაშინ 𝑓−1 შექცეული ფუნქცია იოლად გამოთვლადი უნდა იყოს.

დიფისა და ჰელმანის იდეებზე დაფუძნებული პირველი ღია გასაღებიანი კრიპტოსისტე-მა აგებულ იქნა რივესტის, შამირის და ადლემანის (R. Rivest, A. Shamir and L. Adleman) მიერ და ის ცნობილია RSA კრიპტოსისტემის სახელწოდებით.

RSA ალგორითმი. ყოველი ღია გასაღებიანი კრიპტოსისტემის მსგავსად, RSA-ც ისეთნაირადაა კონსტრუი-

რებული, რომ დაშიფრული ინფორმაციის გაშიფვრა რეალურად შეუძლებელია გაშიფვრის საი-დუმლო გასაღების ცოდნის გარეშე.

RSA კრიპტოსისტემის საშუალებით 𝐴 მომხმარებელს ეძლევა ისეთი ინფორმაციის გა-შიფვრის შესაძლებლობა, რომლის დაშიფვრა თვით 𝐴-ს მიერ შემუშავებული დაშიფვრის კოდი-თაა განხორციელებული.

აღვწეროთ RSA კრიპტოსისტემის ღია და საიდუმლო გასაღებების შექმნის ალგორითმი. 1. 𝐴 მომხმარებელი, რომლის ამოცანაა მისთვის სასურველი მხარეებისაგან საიდუმლო

ინფორმაციის მიღება, ირჩევს დადგენილი სიდიდის (მაგალითად 1024 ბიტი) ორ მარტივ 𝑝 და 𝑞 რიცხვს, რომლებსაც საიდუმლოდ ინახავს.

2. 𝐴 ითვლის 𝑝 და 𝑞 რიცხვების 𝑛 = 𝑝𝑞 ნამრავლს, რომელსაც ალგორითმის მოდული ეწოდება.

3. გამოითვლება 𝑛 მოდულის ეილერის 𝜑 ფუნქცია: 𝜑(𝑛) = (𝑝 − 1)(𝑞 − 1) = 𝑛 + 1 − 𝑝 −𝑞.

4. 𝐴 ირჩევს 𝜑(𝑛)-თან ურთიერთმარტივ რომელიმე ისეთ ნატურალურ შემთხვევით 𝑒 რიცხვს, რომელიც ნაკლებია 𝜑(𝑛)-ზე. პრაქტიკაში 𝑒 რიცხვის მნიშვნელობად იღებენ ფერმას მარტივ რიცხვებს: 17, 257 ან 65537-ს. 𝑒 რიცხვს ალგორითმის ღია ექსპონენტა ჰქვია.

5. ითვლება გამრავლების ოპერაციის მიმართ 𝜑(𝑛) მოდულით 𝑒-ს მოპირდაპირე 𝑑 რი-ცხვი, ე. ი. 𝑒𝑑 ≡ 1 �𝑚𝑜𝑑 𝜑(𝑛)�.

6. 𝑃 = (𝑛, 𝑒) წყვილი ღიადაა გამოცხადებული და ის არის RSA კრიპტოსისტემის და-შიფვრის, ანუ ღია გასაღები.

7. 𝑆 = (𝑛,𝑑) წყვილი არის გაშიფვრის საიდუმლო გასაღები. ახლა გადავიდეთ დაშიფვრისა და გაშიფვრის პროცედურების აღწერაზე. ღიად გამოცხადებული და ე. ი. ყველა მსურველისათვის მისაწვდომი 𝑃 = (𝑛, 𝑒) წყვილის

გამოყენებით ნებისმიერ 𝐵 მსურველს ექმნება 𝐴-სათვის საიდუმლო ინფორმაციის მიწოდების საშუალება [0;𝑛 − 1] შუალედში მოთავსებული რომელიღაც 𝑀 რიცხვის სახით. ეს პროცედუ-რა შემდეგნაირად ხორციელდება:

1. 𝐵 უგზავნის 𝐴 -ს დაშიფრულ შეტყობინებას შემდეგი სახით 𝐶 = 𝑃(𝑀) ≡ 𝑀𝑒 (𝑚𝑜𝑑 𝑛). (1)

2. მიღებული 𝐶 დაშიფრული შეტყობინების გასაშიფრად 𝐴 მომხმარებელი იყენებს თავის საიდუმლო 𝑆 = (𝑛,𝑑) გასაღებს და ითვლის

𝑆(𝐶) ≡ 𝐶𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) (2)


221

რიცხვს, რომელიც, როგორც მალე დავრწმუნდებით, 𝑀-ის ტოლია.

ეს ორი პროცედურა შეიძლება თვალსაჩინოდ აღვწეროთ შემდეგი სქემის საშუალებით

ბოლოს, აღწერილი ალგორითმის კორექტულობაში დასარწმუნებლად, საჭიროა დავა-მტკიცოთ შემდეგი

თეორემა 3.1. (1) და (2) განტოლებები, რომლებსაც ემყარება RSA სქემა, განსაზღვრავენ ℤ𝑛 სიმრავლის ურთიერთშექცეულ გარდაქმნებს.

დამტკიცება. (1) და (2) განტოლებებიდან გვაქვს, რომ თუ 𝑀 ∈ ℤ𝑛, მაშინ

𝑃�𝑆(𝑀)� = 𝑆�𝑃(𝑀)� ≡ 𝑀𝑑𝑒 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

დავამტკიცოთ, რომ ყოველი ასეთი 𝑀-სთვის

𝑀𝑑𝑒 ≡ 𝑀 (𝑚𝑜𝑑 𝑛). (3)

ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც 𝑀 და 𝑛 ურთიერთმარტივებია, ე. ი. (𝑀,𝑛) = 1. რადგან ეილერის თეორემის თანახმად, 𝑀𝜑(𝑛) ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), ხოლო მოცემულობის მიხედვით 𝑑𝑒 ≡ 1 �𝑚𝑜𝑑 𝜑(𝑛)�, ვღებულობთ, რომ რომელიღაც 𝑘 ∈ ℕ-სთვის

𝑀𝑑𝑒 = 𝑀1+𝑘𝜑(𝑛) = 𝑀�𝑀𝜑(𝑛)�𝑘≡ 𝑀 ∙ 1 ≡ 𝑀 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)

და (3) ნაჩვენებია.

ახლა ვთქვათ, რომ (𝑀,𝑛) ≠ 1. გვექნება შემდეგი სამი შემთხვევა:

1. 𝑀 = 0. ამ შემთხვევაში (3) ცხადია, რადგან 𝑀𝑑𝑒 = 0.

2. 𝑀 ≠ 0 და 𝑝 ∣ 𝑀. მაშინ ცხადია, რომ

𝑀𝑑𝑒 ≡ 𝑀 (𝑚𝑜𝑑 𝑝).

(𝑝, 𝑞) = 1 და 𝑀 < 𝑝𝑞 პირობების გამო (𝑀, 𝑞) = 1 და ფერმას თეორემის საფუძველზე შე-გვიძლია დავწეროთ, რომ

𝑀𝑑𝑒 = 𝑀1+𝑘𝜑(𝑛) = 𝑀�𝑀𝜑(𝑛)�𝑘

= 𝑀�𝑀(𝑝−1)(𝑞−1)�𝑘

= 𝑀(𝑀𝑞−1)𝑘(𝑝−1) ≡ 𝑀 ∙ 1 ≡ 𝑀 (𝑚𝑜𝑑 𝑞).

ამრიგად, ვაჩვენეთ, რომ განხილულ შემთხვევაში, (3) შედარება მართებულია ერთდრო-ულად 𝑝-სა და 𝑞-ს მოდულებით და, ამიტომ ის შესრულდება 𝑛 = 𝑝𝑞 მოდულითაც.

3. 𝑀 ≠ 0 და 𝑞 ∣ 𝑀. ეს შემთხვევა შეგვიძლია განვიხილოთ წინას ანალოგიურად და ამით დავასრულოთ (3)-ის დამტკიცება.

აღწერილი RSA ალგორითმის გაშიფვრის სირთულე დაკავშირებულია დროის გარკვე-ულ შუალედში საკმარისად დიდი ნატურალური რიცხვის ფაქტორიზაციის ანუ მარტივი მამ-რავლების მოძებნის მეტად რთულ ამოცანასთან.

RSA ალგორითმის უკეთ გააზრებისათვის მოვიყვანთ ერთ მაგალითს. იმ მიზნით, რომ მკითხველს გავუადვილოთ ჩატარებული გამოთვლების ანალიზი, ჩვენ გადავუხვევთ რეალო-ბიდან და გამოვიყენებთ შედარებით პატარა მთელ რიცხვებს.


222

ეტაპი ოპერაციის აღწერა ოპერაციის შედეგი

1

ორი მარტივი რიცხვის არჩევა 𝑝 = 3943, 𝑞 = 1949

მოდულის გამოთვლა 𝑛 = 𝑝𝑞 = 3943 ⋅ 1949 = 7 684 907

ეილერის ფუნქციის გამოთვლა

𝜑(𝑛) = (𝑝 − 1)(𝑞 − 1) = 7 679 016

2

ღია ექსპონენტის არჩევა 𝑒 = 17

საიდუმლო ექსპონენტის

გამოთვლა 𝑑 = 2 710 241 (𝑘 = 6)

ღია გასაღების გამოქვეყნება

(𝑒,𝑛) = (17, 7 684 907)

საიდუმლო გასაღების შენახვა

(𝑑,𝑛) = (2 710 241, 7 684 907)

3

დასაშიფრი ტექსტის

რიცხვითი ეკვივალენტი

𝑀 = 111001

4 დაშიფვრა 𝑃(𝑀) = 𝑀𝑒(𝑚𝑜𝑑 𝑛) = 11100117(𝑚𝑜𝑑 7 684 907) = 4 767 043

5 გაშიფვრა 𝑆(𝐶) = 𝐶𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑛) = 4 767 0432 710 241(𝑚𝑜𝑑 7 684 907)= 111001

დასასრულს შევნიშნოთ, რომ 𝐴 მომხმარებლის მიერ გამოცხადებული (𝑛, 𝑒) გასაღები

შეიძლება გამოიყენოს ნებისმიერმა მხარემ და მას შესაძლოა გადაეგზავნოს მისთვის არასასურ-ველი ინფორმაციები. ამიტომ მნიშვნელოვანია, რომ 𝐴-ს შეეძლოს მისთვის ინფორმაციის გა-მომგზავნის ვინაობის უტყუარობის დადასტურება (აუთენტიკაცია). მაგალითად, გზავნილის სინამდვილე შეიძლება დადასტურებულ იქნას ხელის მოწერის საშუალებით. აუთენტიკაციის ჩატარება შესაძლებელია ღია გასაღებიანი კრიპტოსისტემის გამოყენებითაც, მაგრამ ამ საკითხს აქ არ განვიხილავთ.

223

სავარჯიშოები VIII თავისათვის

𝟏.𝟏. ა) იპოვეთ უდიდესი რიცხვი, რომელიც 13-ზე გაყოფისას განაყოფში გვაძლევს 9-ს.

ბ) იპოვეთ უმცირესი რიცხვი, რომელიც 11-ზე გაყოფისას განაყოფში გვაძლევს 8-ს.

𝟏.𝟐. დაამტკიცეთ, რომ კენტი რიცხვის კვადრატის 8-ზე გაყოფისას მიიღება ნაშთი 1.

𝟏.𝟑. დაამტკიცეთ, რომ ორი მომდევნო მთელი რიცხვის კვადრატების ჯამის 4-ზე გაყოფისას მი-იღება ნაშთი 1.

𝟏.𝟒. დაამტკიცეთ, რომ 3𝑛 + 2, 𝑛 ∈ ℕ არ შეიძლება იყოს მთელი რიცხვის კვადრატი.

𝟏.𝟓. დაამტკიცეთ, რომ 3 მომდევნო მთელ რიცხვს შორის ერთი იყოფა 3-ზე.

𝟏.𝟔. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი 𝑚 ∈ ℕ რიცხვისათვის,

ა) 5 ∣ 𝑚5 −𝑚; ბ) 6 ∣ 𝑚3 + 5𝑚 გ) 6 ∣ 𝑚(𝑚 + 1)(2𝑚 + 1).

𝟏.𝟕. ნებისმიერი 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, 𝑎 > 𝑏 რიცხვებისათვის, 𝑎2 − 𝑏2 , 2𝑎𝑏, 𝑎2 + 𝑏2 პითაგორას სამეულია (ე. ი. იმ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებია, რომლის სამივე გვერდის სიგრძეები ნატურალუ-რი რიცხვებია). დაამტკიცეთ, რომ

ა) ერთ-ერთი კათეტი იყოფა 3-ზე; ბ) ერთ-ერთი გვერდი იყოფა 5-ზე.

𝟏.𝟖. დაამტკიცეთ, რომ 𝑝 > 3 მარტივი რიცხვის კვადრატი 24-ზე გაყოფისას იძლევა ნაშთს 1.

𝟏.𝟗. დაამტკიცეთ, რომ 𝑝 > 5 მარტივი რიცხვის კვადრატი 6-ზე გაყოფისას იძლევა ნაშთს 1 ან 5.

𝟏.𝟏𝟎. იპოვეთ 𝑛(𝑛 + 1)

2 სახის ყველა მარტივი რიცხვი.

𝟏.𝟏𝟏. დაამტკიცეთ, რომ 𝑛4 + 4 შედგენილი რიცხვია, როცა 𝑛 > 1.

𝟏.𝟏𝟐. დაამტკიცეთ, რომ თუ 𝑎 − 𝑏 ∣ 𝑎𝑚 + 𝑏𝑛, მაშინ 𝑎 − 𝑏 ∣ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑚.

𝟏.𝟏𝟑. იპოვეთ ყველა მთელი 𝑛 ≠ 1 რიცხვი, რომელთათვისაც 𝑛 − 1 ∣ 𝑛3 + 2.

𝟏.𝟏𝟒. იპოვეთ ყველა მთელი 𝑛 ≠ −1 რიცხვი, რომელთათვისაც 𝑛 + 1 ∣ 𝑛2 + 1.

𝟏.𝟏𝟓. დაამტკიცეთ, რომ არსებობს უსასრულო რაოდენობა 𝑛 ∈ ℕ რიცხვებისა, რომელთათვისაც 5 ∣ 4𝑛2 + 1 და 13 ∣ 4𝑛2 + 1.

𝟏.𝟏𝟔. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი 𝑛 ∈ ℕ რიცხვისათვის,

ა) 169 ∣ 33𝑛+3 − 26𝑛 − 27; ბ) 9 ∣ 4𝑛 + 15𝑛 − 1;

გ) 𝑛2 ∣ (𝑛 + 1)𝑛 − 1; დ) (2𝑛 − 1)2 ∣ 2(2𝑛−1)𝑛 − 1.

𝟏.𝟏𝟕. ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით იპოვეთ

ა) (539, 143) ბ) (1683, 275).

𝟏.𝟏𝟖. იპოვეთ მოცემული რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი და ჩაწერეთ ის მოცემული რი-ცხვების წრფივი კომბინაციის სახით:

ა) 252 და 154; ბ) 120 და 168.

𝟏.𝟏𝟗. დაადგინეთ, ℤ6 სიმრავლეში რომელ ელემენტებს გააჩნიათ მოპირდაპირე ელემენტები გამრავლების ოპერაციის მიმართ და იპოვეთ ისინი.

224

𝟏.𝟐𝟎. დაადგინეთ, ℤ10 სიმრავლეში რომელ ელემენტებს გააჩნიათ მოპირდაპირე ელემენტები გამრავლების ოპერაციის მიმართ და იპოვეთ ისინი.

𝟏.𝟐𝟏. დაამტკიცეთ, რომ [𝑎]𝑥 = [𝑏] განტოლებას ℤ𝑚 რგოლში ამონახსნი აქვს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა (𝑎,𝑚) ∣ 𝑏.

𝟏.𝟐𝟐. ამოხსენით შემდეგი განტოლებები ℤ10 რგოლში:

ა) [3]𝑥 = [7]; ბ) [9]𝑥 = [5].

𝟏.𝟐𝟑. იპოვეთ 𝑛, თუ

ა) 𝜑(3𝑛) = 162; ბ) 𝜑(5𝑛) = 500.

𝟏.𝟐𝟒. იპოვეთ 𝑚 და 𝑛, თუ

ა) 𝜑(2𝑚3𝑛) = 108; ბ) 𝜑(2𝑚5𝑛) = 400.

𝟏.𝟐𝟓. იპოვეთ 691571-ის 13-ზე გაყოფისას მიღებული ნაშთი.

𝟏.𝟐𝟔. იპოვეთ 852897-ის 26-ზე გაყოფისას მიღებული ნაშთი.

𝟏.𝟐𝟕. შეადგინეთ ℤ32 ველის ოპერაციათა ცხრილები, თუ ცნობილია, რომ ℤ3 ველის მიმართ მე-ორე ხარისხის დაუყვანადი მრავალწევრია 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥2 .

225

ლიტერატურა

1. J. A. Anderson. Discrete Mathematics with Combinatorics, Prentice Hall, N. J., 2001.

2. E. R. Berlekamp. Algebraic Coding Theory, McGraw-Hill, N.Y., 1968.

3. L. Childs. A Concrete Introduction to Higher Algebra, Springer-Verlag, 1988.

4. R. Haggarty. Discrete Mathematics for Computing, Addison-Wesley, Harlow, England, 2001.

5. F. Harary. Graph Theory, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969.

6. K. Ireland, M. Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, 2nd ed., 2003.

7. N. Koblitz. A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, 2nd ed., 1994.

8. W.W. Peterson and E.J. Weldon. Jr., Error-Correcting Codes, 2nd edition, MIT Press: Cambridge, Mass., 1972.

9. Г. Г. Гогичаишвили. Дискретная математика, конспект лекций, части 1,2,3. ГПИ, Тбилиси, 1982.

10. Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей, УРСС, М., 2004.

11. В. И. Игошин. Математическая логика и теория алгоритмов. Издательский центр Академия, М., 2004.

12. А. Н. Колмогоров. Основные вопросы теории вероятностей, М., 1974 .

13. А. Г. Курош. Лекции по общей алгебре, “Наука”, М., 1973.

14. ნ. ჩეჩელაშვილი, ლ. ჩეჩელაშვილი. მათემატიკა საინჟინრო სპეციალობებისათვის. II ნაწილი, საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი, თბილისი, 2008.

226

სავარჯიშოების პასუხები

თავი I.

𝟏.𝟏. 2𝐴 = {∅, {−4}, {0}, {1}, {5}, {−4, 0}, {−4, 1}, {−4, 5}, {0, 1}, {0, 5}, {1, 5}, {−4, 0, 1}, {−4, 0, 5},

{−4, 1, 5}, {0,1,5}, {−4,0,1,5}�. 𝟏.𝟐. 2𝐵 = �∅, {−4}, {1}, {3}, {−4, 1}, {−4, 3}, {1, 3}, {−4, 1, 3}�.

𝟏.𝟑. 𝐴 ∩ 𝐵 = {−4, 1}. 𝟏.𝟒.𝐵 ∩ 𝐷 = ∅. 𝟏.𝟓. 𝐴 ∪ 𝐷 = {−4, 0, 1, 2, 5, 6}. 𝟏.𝟔. 𝐴 ∪ 𝐵 = {−4, 0, 1, 3, 5}.

𝟏.𝟕. 𝐴 ∖ 𝐵 = {0, 5}.𝟏.𝟖.𝐵 ∖ 𝐷 = {−4, 1 3}.𝟏.𝟗. (𝐴 ∪ 𝐷) ∩ 𝐵 = {−4, 1}. 𝟏.𝟏𝟎. (𝐵 ∪ 𝐷) ∩ 𝐴 = {−4, 1}.

𝟏.𝟏𝟏. 𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐷) = {0, 5}. 𝟏.𝟏𝟐. 𝐵 ∖ (𝐴 ∪ 𝐷) = {3}. 𝟏.𝟏𝟑. C𝐸𝐴 = {−7, 2, 3, 6, 10}.

𝟏.𝟏𝟒. C𝐸𝐵 = {−7, 0, 2, 5, 6, 10}. 𝟏.𝟏𝟓. C𝐸(𝐵 ∪ 𝐷) = {−7, 0, 5, 10}.

𝟏.𝟏𝟔. C𝐸(𝐴 ∩ 𝐵) = {−7, 0, 2, 3, 5, 6, 10}. 𝟏.𝟏𝟕. C𝐸𝐵 ∩ C𝐸𝐷 = {−7, 0, 5, 10}.

𝟏.𝟏𝟖. C𝐸𝐴 ∪ C𝐸𝐵 = {−7, 0, 2, 3, 5, 6, 10}.𝟏.𝟏𝟗.𝐴 × 𝐵 = {(−4,−4), (−4, 1), (−4, 3), (0,−4), (0, 1), (0, 3), (1,−4), (1, 1), (1, 3), (5,−4), (5, 1), (5, 3)}.𝟏.𝟐𝟎. 𝐴 × 𝐷 = {(−4, 2), (−4, 6), (0, 2), (0, 6),

(1, 2), (1, 6), (5, 2), (5, 6)}. 𝟏.𝟐𝟏. 𝐵 × 𝐷 = {(−4, 2), (−4, 6), (1, 2), (1, 6), (3, 2), (3, 6)}. 𝟏.𝟐𝟐. 𝐷2 =

{(2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6)}. 𝟏.𝟐𝟑. 𝐵 × 𝐴 = {(−4,−4), (−4, 0), (−4, 1), (−4, 5), (1,−4), (1, 0), (1, 1), (1, 5), (3,−4), (3, 0), (3, 1), (3, 5)}. 𝟏.𝟐𝟒. 𝐷 × 𝐴 = {(2,−4), (2, 0), (2, 1), (2, 5), (6,−4), (6, 0), (6, 1),

6, 5}. 𝟏.𝟐𝟓. (𝐴 × 𝐵) × 𝐷 = ��(−4,−4), 2�, �(−4, 1), 2�, �(−4, 3), 2�, �(0,−4), 2�, �(0, 1), 2�, �(0, 3), 2�,

�(1,−4), 2�, �(1, 1), 2�, �(1, 3), 2�, �(5,−4), 2�, �(5, 1), 2�, �(5, 3), 2�, �(−4, 4), 6�, �(−4, 1), 6�, �(−4, 3), 6�,

�(0,−4), 6�, �(0, 1), 6�, �(0, 3), 6�, �(1,−4), 6�, �(1, 1), 6�, �(1, 3), 6�, �(5,−4), 6�, �(5, 1), 6�, �(5, 3), 6��.

𝟏.𝟐𝟔. 𝐴 × (𝐵 × 𝐷) = ��−4, (−4, 2)�, �−4, (1, 2)�, �−4, (3, 2)�, �0, (−4, 2)�, �0, (1, 2)�, �0, (3, 2)�,

�1, (−4, 2)�, �1, (1, 2)�, �1, (3, 2)�, �5, (−4, 2)�, �5, (1, 2)�, �5, (3, 2)�, �−4, (−4, 6)�, �−4, (1,6)�, �−4, (3,6)�,

�0, (−4, 6)�, �0, (1, 6)�, �0, (3, 6)�, �1, (−4, 6)�, �1, (1, 6)�, �1, (3, 6)�, �5, (−4, 6)�, �5, (1, 6)�, �5, (3, 6)��.

𝟏.𝟐𝟕. (𝐴 ∩ 𝐵) × 𝐷 = {(−4, 2), (−4, 6), (1, 2), (1, 6)}.𝟏.𝟐𝟖. (𝐴 × 𝐷) ∩ (𝐵 × 𝐷) = {(−4, 2), (−4, 6), (1, 2), (1, 6)}. 𝟏.𝟐𝟗. 𝐴 × (𝐵 ∖ 𝐴) = {(−4, 3), (0, 3), (1, 3), (5, 3)}.𝟏.𝟑𝟎. (𝐴 × 𝐵) ∖ 𝐴2 = {(−4, 3), (0, 3), (1, 3),

5, 3}.𝟏.𝟑𝟏.𝐴∆𝐷 = {−4, 0, 1, 2, 5, 6}.𝟏.𝟑𝟐. 𝐵∆𝐷 = {−4, 1, 2, 3, 6}.𝟏.𝟑𝟑. C𝐸(𝐴∆𝐵) = {−7,−4, 1, 2, 6, 10}.

𝟏.𝟑𝟒. C𝐸(𝐴∆𝐷) = {−7, 3, 10}. 𝟏.𝟑𝟓. 2𝐴∩𝐵 = {∅, {−2}, {−1}, {0}, {1}, {−2,−1}, {−2, 0}, {−2, 1}, {−1, 0},

{−1, 1}, {0, 1}, {−2,−1, 0}, {−2, 0, 1}, {−2,−1, 1}, {−1, 0, 1}, {−2,−1, 0, 1}�. 𝟏.𝟑𝟔. 2𝐴∩𝐷 = {∅, {−1}, {0},

{1}, {−1, 0}, {−1, 1}, {0, 1}, {−1, 0, 1}�. 𝟏.𝟑𝟕. (𝐴 ∩ 𝐷) ∪ 𝐵 = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4}. 𝟏.𝟑𝟖. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐷)

= {−2,−1, 0, 1}. 𝟏.𝟑𝟗. 𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐷) = {−2, 2, 3, 4}. 𝟏.𝟒𝟎. 𝐴 ∖ (𝐴 ∪ 𝐷) = ∅. 𝟏.𝟒𝟏. C𝐸(𝐴 ∪ 𝐷) = {−4, 3,

4, 5, 6}. 𝟏.𝟒𝟐. C𝐸(𝐵 ∩ 𝐷) = {−4,−3,−2, 3, 4, 5, 6}. 𝟏.𝟒𝟑. 𝐵 × (𝐴 ∖ 𝐵) = {(−2,−3), (−1,−3), (0,−3),

(1,−3), (2,−3), (3,−3), (4,−3)}. 𝟏.𝟒𝟒. 𝐴 × (𝐷 ∖ 𝐴) = {(−3, 2), (−2, 2), (−1, 2), (0, 2), (1, 2)}.

𝟏.𝟒𝟓. 𝐴∆𝐵 = {−3, 2, 3, 4}. 𝟏.𝟒𝟔. 𝐴∆𝐷 = {−3,−2, 2}. 𝟏.𝟒𝟕. 𝐴0 = { 3𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ℤ },𝐴1 = {3𝑥 + 1 ∣ 𝑥 ∈ ℤ},

𝐴2 = {3𝑥 + 2 ∣ 𝑥 ∈ ℤ}. 𝟏.𝟒𝟖. 𝐴0 = { 5𝑦 ∣∣ 𝑦 ∈ ℤ }, 𝐴1 = {5𝑦 + 1 ∣ 𝑦 ∈ ℤ}, 𝐴2 = {5𝑦 + 2 ∣ 𝑦 ∈ ℤ},

𝐴3 = {5𝑦 + 3 ∣ 𝑦 ∈ ℤ}, 𝐴4 = {5𝑦 + 4 ∣ 𝑦 ∈ ℤ}. 𝟏.𝟒𝟗. 𝐴 ∪ 𝐵 = ]0; 7[. 𝟏.𝟓𝟎. 𝐵 ∪ 𝐷 = [−2; 7[.𝟏.𝟓𝟏.

𝐴 ∩ 𝐷 = ]0; 3]. 𝟏.𝟓𝟐. 𝐴 ∩ 𝐵 = ]1; 5]. 𝟏.𝟓𝟑. (𝐴 ∪ 𝐷) ∩ 𝐵 = ]1; 5]. 𝟏.𝟓𝟒. (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐷 = ]−2; 5].

𝟏.𝟓𝟓. Cℝ𝐴 = ]−∞; 0] ∪ ]5;∞[. 𝟏.𝟓𝟔. Cℝ𝐷 = ]−∞;−2[ ∪ ]3;∞[. 𝟏.𝟓𝟕. Cℝ(𝐴 ∪ 𝐵) = ]−∞; 0] ∪ [7;∞[.

𝟏.𝟓𝟖. Cℝ(𝐵 ∩ 𝐷) = ]−∞; 1] ∪ ]3;∞[. 𝟏.𝟓𝟗. 𝐴 × 𝐵 = �(𝑥,𝑦) ∣ 𝑥 ∈ ]0; 5] და 𝑦 ∈ ]1; 7[ �,

227

𝟏.𝟔𝟎. 𝐵 × 𝐷 = �(𝑥,𝑦) ∣ 𝑥 ∈ ]1; 7[ და 𝑦 ∈ [−2; 3] �,

𝟏.𝟔𝟏. 𝐴∆𝐷 = [−2; 0] ∪ ]3; 5]. 𝟏.𝟔𝟐. 𝐵∆𝐷 = [−2; 1] ∪ ]3; 7[.

𝟏.𝟔𝟑. Cℝ(𝐴∆𝐵) = ]−∞; 0] ∪ ]1; 5] ∪ [7;∞[. 𝟏.𝟔𝟒. Cℝ(𝐵∆𝐷) = ]−∞;−2[ ∪ ]1; 3] ∪ [7;∞[.

𝟏.𝟔𝟓. �𝑥 ∈ 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)� ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∈ 𝐵 ∪ 𝐶� ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 და (𝑥 ∈ 𝐵 ან 𝑥 ∈ 𝐶)� ⇔

��𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∈ 𝐵� ან �𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∈ 𝐶�� ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ან 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶) ⇔ �𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)�.

განსაზღვრის თანახმად, 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) და (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶), ამი-ტომ დებულება 1.1-ის თანახმად 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶).

𝟏.𝟔𝟕. (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐶) ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 და 𝑥 ∉ 𝐶� ⇔ ��𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∈ 𝐵� და 𝑥 ∉ 𝐶� ⇔

��𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∉ 𝐶� და �𝑥 ∈ 𝐵 და 𝑥 ∉ 𝐶�� ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 ∖ 𝐶 და 𝑥 ∈ 𝐵 ∖ 𝐶� ⇔ �𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶) ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)�.

განსაზღვრის თანახმად, (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∖ 𝐶) ∩ (𝐵 ∖ 𝐶) და (𝐴 ∖ 𝐶) ∩ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐶, ამი-ტომ დებულება 1.1-ის თანახმად (𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐶 = (𝐴 ∖ 𝐶) ∩ (𝐵 ∖ 𝐶).

𝟏.𝟕𝟏. �𝑥 ∈ 𝐴 ∖ (𝐵 ∖ 𝐶)� ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∉ 𝐵 ∖ 𝐶� ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 და (𝑥 ∉ 𝐵 ან 𝑥 ∈ 𝐶)� ⇔

��𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∉ 𝐵� ან �𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∈ 𝐶�� ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∖ 𝐵 ან 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶) ⇔ �𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)�.

განსაზღვრის თანახმად, 𝐴 ∖ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) და (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ∖ (𝐵 ∖ 𝐶), ამი-ტომ დებულება 1.1-ის თანახმად 𝐴 ∖ (𝐵 ∖ 𝐶) = (𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶).

𝟏.𝟕𝟑. �(𝑥,𝑦) ∈ 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶)� ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑦 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶� ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 და �𝑦 ∈ 𝐵 და 𝑦 ∈ 𝐶�� ⇔

228

��𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑦 ∈ 𝐵� და �𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑦 ∈ 𝐶�� ⇔ �(𝑥,𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 და (𝑥,𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐶� ⇔ �(𝑥,𝑦) ∈ (𝐴 × 𝐵)

∩ (𝐴 × 𝐶)�. განსაზღვრის თანახმად, 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶) და (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴 ×(𝐵 ∩ 𝐶), ამიტომ დებულება 1.1-ის თანახმად 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶).

𝟏.𝟕𝟕. �(𝑥,𝑦) ∈ 𝐴 × (𝐵 ∖ 𝐶)� ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑦 ∈ 𝐵 ∖ 𝐶� ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴 და �𝑦 ∈ 𝐵 და 𝑦 ∉ 𝐶�� ⇔

��𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑦 ∈ 𝐵� და �𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑦 ∉ 𝐶�� ⇔ �(𝑥,𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 და (𝑥,𝑦) ∉ 𝐴 × 𝐶� ⇔ �(𝑥,𝑦) ∈ (𝐴 × 𝐵)

∖ (𝐴 × 𝐶)�. განსაზღვრის თანახმად, 𝐴 × (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∖ (𝐴 × 𝐶) და (𝐴 × 𝐵) ∖ (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴 ×(𝐵 ∖ 𝐶), ამიტომ დებულება 1.1-ის თანახმად 𝐴 × (𝐵 ∖ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∖ (𝐴 × 𝐶).

𝟏.𝟕𝟗. (𝑥 ∈ (𝐴∆𝐵) ∩ 𝐶) ⇔ �𝑥 ∈ 𝐴∆𝐵 და 𝑥 ∈ 𝐶� ⇔ ��𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∉ 𝐵� ან �𝑥 ∈ 𝐵 და 𝑥 ∉ 𝐴��

და 𝑥 ∈ 𝐶� ⇔ ��𝑥 ∈ 𝐴 და 𝑥 ∉ 𝐵 და 𝑥 ∈ 𝐶� ან �𝑥 ∈ 𝐵 და 𝑥 ∉ 𝐴 და 𝑥 ∈ 𝐶�� ⇔

��𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶 და 𝑥 ∉ 𝐵� ან �𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 და 𝑥 ∉ 𝐴�� ⇔ ��𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶 და 𝑥 ∉ 𝐵 ∩ 𝐶� ან �𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 და

𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐶)) ⇔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶) ან 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∖ (𝐴 ∩ 𝐶) ) ⇔ �𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)∆(𝐵 ∩ 𝐶)�.

განსაზღვრის თანახმად, (𝐴∆𝐵) ∩ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)∆(𝐵 ∩ 𝐶) და (𝐴 ∩ 𝐶)∆(𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴∆𝐵) ∩ 𝐶, ამიტომ დებულება 1.1-ის თანახმად (𝐴∆𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐶)∆(𝐵 ∩ 𝐶).

𝟐.𝟏. 𝐴1 = {(−5,−5), (−3,−3), (−2,−2), (0,0), (1,1), (7,7), (8,8), (−5,−3), (−5,1), (−5,7), (−3,−5),

(−3,1), (−3,7), (−2,0), (−2,8), (0,−2), (0,8), (1,−5), (1,−3), (1,7), (7,−5), (7,−3), (7,1), (8,−2), (8,0)}.

𝟐.𝟐. 𝐴2 = {(−2,−3), (1,0), (8,7)}.

𝟐.𝟑. 𝐴3 = {(−5,−5), (−3,−3), (−2,−2), (1,1), (7,7), (8,8), (−5,1), (−3,1), (−2,1), (0,1), (7,1), (8,1),

𝟐.𝟒. 𝐴4 = {(−5,−5), (−3,−3), (−2,−2), (1,1), (7,7), (8,8), (1,−5), (1,−3), (1,−2), (1,0), (1,7), (1,8),

(−5,0), (−3,0), (−2,0), (7,0), (8,0), (−2,8)}.

𝟐.𝟓. 𝐴5 = {(−3,−5), (−3,−5), (0,−5), (1,−5), (7,−5), (8,−5), (−2,−3), (0,−3), (1,−3), (7,−3),

(8,−3), (0,−2), (1,−2), (7,−2), (8,−2), (1,0), (7,0), (8,0), (7,1), (8,1), (8,7)}.

𝟐.𝟔. 𝐴1 = {(−5,−3), (−5,−2), (−5,0), (−5,1), (−5,7), (−5,8), (−3,−2), (−3,0), (−3,1), (−3,7),

(−3,8), (−2,0), (−2,1), (−2,7), (−2,8), (0,1), (0,7), (0,8), (1,7), (1,8), (7,8)}.

𝟐.𝟏𝟑. ა) (ნებისმიერი 𝑥 ∈ ℤ რიცხვისათვის, 𝑥 − 𝑥 = 0) ⇒ (𝑥 − 𝑥 იყოფა 3-ზე) ⇒ �(𝑥, 𝑥) ∈ 𝐵1� ⇒

(𝐵1 მიმართება რეფლექსურია);

ბ) �(𝑥,𝑦) ∈ 𝐵1� ⇒ �𝑥 − 𝑦 იყოფა 3-ზე� ⇒ �𝑦 − 𝑥 იყოფა 3-ზე� ⇒ �(𝑦, 𝑥) ∈ 𝐵1�

⇒ (𝐵1მიმართება სიმეტრიულია);

გ) �(𝑥,𝑦), (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐵1� ⇒ �𝑥 − 𝑦 და 𝑦 − 𝑧 იყოფიან 3-ზე�

⇒ �(𝑥 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑧) = 𝑥 − 𝑧 იყოფა 3-ზე� ⇒ (𝐵1 მიმართება ტრანზიტულია).

ამრიგად, 𝐵1 მიმართება ℤ სიმრავლეში რეფლექსური, სიმეტრიული და ტრანზიტულია.

229

𝟑.𝟏. 𝑓(0) = −1, 𝑓(−2) = 3, 𝑓(2) = 3, 𝑓−1(0) = {−1, 1}, 𝑓−1(3) = {−2, 2}, 𝑓−1(−3) = ∅.

𝟑.𝟐. 𝑓(0) = 1, 𝑓(−3) = 19, 𝑓(2) = 9, 𝑓−1(0) = ∅, 𝑓−1(−2) = ∅, 𝑓−1(19) = {−3, 3}.

𝟑.𝟑. 𝑓(0) = 0, 𝑓 �−𝜋2� = −1, 𝑓 �

𝜋2� = 1, 𝑓−1(0) = {𝜋𝑘 ∣ 𝑘 ∈ ℤ }, 𝑓−1(−1) = �−

𝜋2

+ 2𝜋𝑘 ∣∣∣ 𝑘 ∈ ℤ �,

𝑓−1(1) = �𝜋2

+ 2𝜋𝑘 ∣∣∣ 𝑘 ∈ ℤ �.

𝟑.𝟒. 𝑓(0) = 1, 𝑓 �3𝜋2� = 0, 𝑓(𝜋) = −1, 𝑓−1(0) = �

𝜋2

+ 𝜋𝑘 ∣∣∣ 𝑘 ∈ ℤ �,

𝑓−1 �−12� = �±

2𝜋3

+ 2𝜋𝑘 ∣∣∣ 𝑘 ∈ ℤ � , 𝑓−1(1) = { 2𝜋𝑘 ∣ 𝑘 ∈ ℤ }.

𝟑.𝟓. 𝐷(𝑓) = ]−∞,∞[ , Im 𝑓 = [−9,∞[ . 𝟑.𝟔. 𝐷(𝑓) = ]−∞,∞[ , Im 𝑓 = ]−∞, 11].

𝟑.𝟕. 𝐷(𝑓) = ]−∞, 2[ ∪ ]2,∞[ , Im 𝑓 = ]−∞, 0[ ∪ ]0,∞[ .

𝟑.𝟖. 𝐷(𝑓) = ]−∞,−3[ ∪ ]−3,∞[ , Im 𝑓 = ]−∞, 1[ ∪ ]1,∞[ .

𝟑.𝟗. 𝐷(𝑓) = ]−∞, 3] , Im 𝑓 = [13,∞[ . 𝟑.𝟏𝟎. 𝐷(𝑓) = [−2,∞[, Im 𝑓 = ]−∞, 5].

𝟑.𝟏𝟏. (𝑓,𝑓)(1,−2) = (0,−3), (𝑓,𝑓)(2,−3) = (−3,−8), (𝑓,𝑓)(0,−1) = (1, 0),

(𝑓,𝑓)−1(1, 0) = {(0,−1), (0, 1)}, (𝑓,𝑓)−1(0,1) = {(−1, 0), (1, 0)},

(𝑓,𝑓)−1(−3,−8) = {(−2,−3), (−2, 3), (2,−3), (2, 3)}.

𝟑.𝟏𝟐. (𝑓,𝑓)(−2,−1) = (0, 0), (𝑓,𝑓)(0, 1) = (2, 6), (𝑓,𝑓)(2, 1) = (12, 6),

(𝑓,𝑓)−1(0, 2) = {(−2, 0), (−1, 0), (−2,−3), (−1,−3)},

(𝑓,𝑓)−1(6, 12) = {(−4,−5), (−4, 2), (1,−5), (1, 2)},

(𝑓,𝑓)−1(2, 2) = {(0, 0), (0,−3), (−3, 0), (−3,−3)}.

𝟑.𝟏𝟑. Im (𝑓,𝑓) = [4,∞[ × [4,∞[ . 𝟑.𝟏𝟒. Im (𝑓,𝑓) = ]−∞,−7] × ]−∞,−7].

𝟑.𝟏𝟓. (𝑓,𝑔)(−1,−2) = (3,−1), (𝑓,𝑔)−1 �54

, 1� = {(2,−4), (2, 4)}, Im (𝑓,𝑔) = ]1,∞[ × [−3,∞[.

𝟑.𝟏𝟔. (𝑓,𝑔)(1,−2) = �213

,−1� , (𝑓,𝑔)−1 �73

,−2� = {(1,−3), (1, 3)}, Im (𝑓,𝑔) = ]2,∞[ × ]−∞, 1].

𝟑.𝟏𝟕. (𝑓,𝑔) �−3,13� = (0,−3), (𝑓,𝑔)−1(3,−4) = ��−6,

19� , �2,

19�� , Im (𝑓,𝑔) = [−1,∞[ × ]−∞,∞[ .

𝟑.𝟏𝟖. (𝑓,𝑔) �14

,−3� = (−5,−2), (𝑓,𝑔)−1(−1,−2) = {(4,−3), (4, 5)}, Im (𝑓,𝑔)

= ]−∞,∞[ × ]−∞, 2].

𝟑.𝟏𝟗. (𝑓,𝑔)(1) = (−2,−2), (𝑓,𝑔)−1(−1,0) = {5}, Im (𝑓,𝑔) = ]−∞,∞[ × [−3,∞[ .

𝟑.𝟐𝟎. (𝑓,𝑔)(4) = (1,−1), (𝑓,𝑔)−1(1, 0) = {2}, Im (𝑓,𝑔) = ]−∞, 2] × ]−∞,∞[ .

𝟑.𝟐𝟏. (𝑔𝑓)(𝑥) = 9𝑥2 − 12𝑥 + 7, (𝑓𝑔)(𝑥) = 3𝑥2 + 7, (𝑔𝑓)(1) = 4, (𝑓𝑔)(1) = 10.

𝟑.𝟐𝟐. (𝑔𝑓)(𝑥) = 15𝑥2 − 9, (𝑓𝑔)(𝑥) = −75𝑥2 + 30𝑥 − 1, (𝑔𝑓)(0) = −9, (𝑓𝑔)(0) = −1.

𝟑.𝟐𝟑. (𝑔𝑓)(𝑥) = sin2 𝑥 + 4 sin𝑥 + 3, (𝑓𝑔)(𝑥) = sin(𝑥2 − 1) + 2, (𝑔𝑓) �𝜋2� = 8, (𝑓𝑔)(−1) = 2.

𝟑.𝟐𝟒. (𝑔𝑓)(𝑥) = 3 cos(1 − 2𝑥2) − 1, (𝑓𝑔)(𝑥) = −18 cos2 𝑥 + 12 cos 𝑥 − 1,

(𝑔𝑓) �1√2� = 2, (𝑓𝑔) �

𝜋3� =

12

.

230

𝟑.𝟒𝟏. 𝑑(−2) = (−2,−2), 𝑑2(−2) = (−2,−2,−2), 𝑑�𝑑(−2)� = �(−2,−2), (−2,−2)�.

𝟑.𝟒𝟐. 𝑑(4) = (4, 4), 𝑑3(4) = (4, 4, 4, 4), 𝑑2�𝑑(4)� = �(4, 4), (4, 4), (4, 4)�.

𝟑.𝟒𝟑. 𝑑(𝐴) = {(𝑎,𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐)}, 𝑑2(𝐴) = {(𝑎,𝑎,𝑎), (𝑏, 𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐, 𝑐)},

𝑑�𝑑(𝐴)� = ��(𝑎,𝑎), (𝑎,𝑎)�, �(𝑏, 𝑏), (𝑏, 𝑏)�, �(𝑐, 𝑐), (𝑐, 𝑐)��.

𝟑.𝟒𝟒. 𝑑(𝐴) = {(𝑥, 𝑥), (𝑦,𝑦), (𝑧, 𝑧)}, 𝑑3(𝐴) = {(𝑥, 𝑥, 𝑥, 𝑥), (𝑦,𝑦,𝑦,𝑦), (𝑧, 𝑧, 𝑧, 𝑧)},

𝑑2�𝑑(𝐴)� = ��(𝑥, 𝑥), (𝑥, 𝑥), (𝑥, 𝑥)�, �(𝑦,𝑦), (𝑦,𝑦), (𝑦,𝑦)�, �(𝑧, 𝑧), (𝑧, 𝑧), (𝑧, 𝑧)��.

𝟑.𝟒𝟓. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥3 , ℎ = 𝑔𝑓. 𝟑.𝟒𝟔. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = √𝑥, ℎ = 𝑔𝑓.

𝟑.𝟒𝟕. ა) 𝑓(𝑥) = sin𝑥 , 𝑔(𝑥) = (3𝑥 + 2)2, ℎ = 𝑓𝑔;

ბ) 𝑓(𝑥) = sin𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥2 , 𝜑(𝑥) = 3𝑥 + 2, ℎ = 𝑓𝑔𝜑. 𝟑.𝟒𝟖. ა) 𝑓(𝑥) = cos2 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 7𝑥 − 1, ℎ = 𝑓𝑔;

ბ) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 7𝑥 − 1, 𝜑(𝑥) = 𝑥2 , ℎ = 𝜑𝑓𝑔.

𝟑.𝟒𝟗. (𝑥2 + 3𝑥 + 1, 𝑥2 + 3𝑥 + 1). 𝟑.𝟓𝟎. (2𝑥 sin𝑥 , 2𝑥 sin𝑥). 𝟑.𝟓𝟏. (cos𝑥2 , cos 𝑥2).

𝟑.𝟓𝟐. (sin2 𝑥 + 1, sin2 𝑥 + 1). 𝟑.𝟓𝟑. 𝑥2 + 3𝑥 + 1. 𝟑.𝟓𝟒. 3𝑦 + cos 𝑦 . 𝟑.𝟓𝟓. 5𝑥 sin𝑥.

𝟑.𝟓𝟔. 𝑦3�𝑦2 + 4. 𝟑.𝟓𝟕. (𝑥2 + 3𝑥 + 1,𝑦,𝑦). 𝟑.𝟓𝟖. �𝑥, 𝑥,𝑦3(2𝑦 − 3)�.

𝟑.𝟓𝟗. (sin𝑥 , sin𝑥 , sin𝑦 + 5𝑦). 𝟑.𝟔𝟎. (2𝑥 + cos 𝑥 , cos 𝑦 , cos 𝑦). 𝟑.𝟔𝟏. (𝑥2 − 1, 1− 2𝑥).

𝟑.𝟔𝟐. (𝑦2 + 3𝑦 + 1, 𝑦2 + 3𝑦 + 1). 𝟑.𝟔𝟑. �sin�𝑧2 + 5 , sin�𝑧2 + 5� . 𝟑.𝟔𝟒. (7cos 𝑥 , 7cos𝑥).

𝟒.𝟏. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝜔2�𝑝1,𝜔1(𝑝2,𝑝3)�(𝑥). 𝟒.𝟐. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝜔2�𝑝2,𝜔1(𝑝1,𝑝3)�(𝑥).

𝟒.𝟑. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝜔1�𝜔2(𝑝1,𝑝2),𝜔2(𝑝1,𝑝3)�(𝑥).

𝟒.𝟒. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝜔1�𝜔2(𝑝1,𝑝2),𝜔2(𝑝2,𝑝3)�(𝑥).

𝟒.𝟓. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝜔2�𝜔1(𝑝1,𝑝2),𝜔1(𝑝1,𝑝2)�(𝑥).

𝟒.𝟔. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝜔2�𝜔1(𝑝1,−𝑝2),𝜔1(𝑝1,−𝑝2)�(𝑥).

𝟒.𝟕. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝜔2 �𝜔2�𝜔1(𝑝1,𝑝2),𝜔1(𝑝1,𝑝2)�,𝜔1(𝑝1,𝑝2)� (𝑥).

𝟒.𝟖. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝜔2 �𝜔2�𝜔1(𝑝1,−𝑝2),𝜔1(𝑝1,−𝑝2)�,𝜔1(𝑝1,−𝑝2)� (𝑥).

𝟒.𝟗. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑) = 𝜔1�𝜔2(𝑝1,𝑝4),𝜔2(𝑝2,𝑝3)�(𝑥).

𝟒.𝟏𝟎. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑) = 𝜔2�𝜔1(𝑝1,𝑝2),𝜔1(𝑝3,𝑝4)�(𝑥).

𝟒.𝟏𝟏. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑) = 𝜔1 �𝜔2(𝜔1(𝑝1,𝑝4),𝑝3),𝜔2�𝜔1(𝑝1,𝑝2),𝜔1(𝑝1,𝑝2)�� (𝑥).

𝟒.𝟏𝟐. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑) = 𝜔1 �𝜔2(𝜔1(𝑝1,−𝑝2),𝑝4),𝜔2�𝜔1(𝑝4,−𝑝3),𝜔1(𝑝4,−𝑝3)�� (𝑥).

თავი II.

𝟏.𝟏. 20. 𝟏.𝟐. 9%. 𝟏.𝟑. 14. 𝟏.𝟒. 35. 𝟏.𝟓. 3628800. 𝟏.𝟔. 6. 𝟏.𝟕. ა) 362880. ბ) 40320. 𝟏.𝟖. 5040.

𝟏.𝟗. 240. 𝟏.𝟏𝟎. 96. 𝟏.𝟏𝟏. 720. 𝟏.𝟏𝟐. 210. 𝟏.𝟏𝟑. 3024. 𝟏.𝟏𝟒. 336. 𝟏.𝟏𝟓. 840. 𝟏.𝟏𝟔. 120.

𝟏.𝟏𝟕. 8400. 𝟏.𝟏𝟖. 90. 𝟏.𝟏𝟗. 10. 𝟏.𝟐𝟎. 56. 𝟏.𝟐𝟏. 35. 𝟏.𝟐𝟐. 120. 𝟏.𝟐𝟑. ა) 9. ბ) 11. 𝟏.𝟐𝟒. ა) 8.

ბ) 10. 𝟏.𝟐𝟓. 84. 𝟏.𝟐𝟔. 210. 𝟏.𝟐𝟕. 12376. 𝟏.𝟐𝟖. 462. 𝟏.𝟐𝟗. 120. 𝟏.𝟑𝟎. 10. 𝟏.𝟑𝟏. 70. 𝟏.𝟑𝟐. 280.

231

𝟏.𝟑𝟑. 4752. 𝟏.𝟑𝟒. 1890. 𝟏.𝟑𝟓. 20. 𝟏.𝟑𝟔. 25. 𝟏.𝟑𝟕. ა) 41440. ბ) 28860. გ) 3276 𝟏.𝟑𝟖. ა) 1350.

ბ) 945. გ) 1176. 𝟏.𝟑𝟗. 32. 𝟏.𝟒𝟎. 2187. 𝟏.𝟒𝟏. 480. 𝟏.𝟒𝟐. 72. 𝟏.𝟒𝟑. 212 . 𝟏.𝟒𝟒. 29. 𝟏.𝟒𝟓. 15200.

𝟏.𝟒𝟔. 1350. 𝟏.𝟒𝟕. 504. 𝟏.𝟒𝟖. 70. 𝟏.𝟒𝟗. 1680. 𝟏.𝟓𝟎. 18900. 𝟏.𝟓𝟏. 3628800. 𝟏.𝟓𝟐. 17280.

თავი III.

𝟏.𝟏. 𝟏.𝟐

𝟏.𝟑. 𝑞 = 10; 𝟏.𝟒. 𝑞 = 15; 𝐺:

𝟏.𝟓. 𝑝 = 4; 𝟏.𝟔. 𝑝 = 5;

𝟏.𝟕. 𝟏.𝟖.

𝟏.𝟗. ა) ბ)

232

გ)

𝟏.𝟏𝟎. ა) ბ)

გ)

𝟏.𝟏𝟏. ა) 𝑣1𝑣2𝑣3𝑣7𝑣4𝑣5𝑣6𝑣1. ბ) 𝑣7𝑣4𝑣5𝑣6𝑣1𝑣2𝑣3𝑣7.

𝟏.𝟏𝟐. ა) 𝑣7𝑣1𝑣8𝑣2𝑣3𝑣4𝑣5𝑣6𝑣7. ბ) 𝑣8𝑣2𝑣3𝑣4𝑣5𝑣6𝑣7𝑣1 𝑣8.

𝟏.𝟏𝟑. ა) 𝐿 არ არის 𝐺 გრაფის ქვეგრაფი, რადგან მისი ერთ-ერთი წვეროს რიგი არის 4, ასეთი რიგის წვერო კი 𝐺 გრაფს არ გააჩნია.

ბ) 𝐺 გრაფის ქვეგრაფებია 𝑄 და 𝑅, ამასთან 𝐺 გრაფის წვეროების შესაბამისი წვეროებია:

233

𝟏.𝟏𝟒. ა) 𝑅 არ არის 𝐺 გრაფის ქვეგრაფი, რადგან მისი ერთ-ერთი წვეროს რიგი არის 4, ასეთი რიგის წვერო კი 𝐺 გრაფს არ გააჩნია.

ბ) 𝐺 გრაფის ქვეგრაფებია 𝐿 და 𝑄, ამასთან 𝐺 გრაფის წვეროების შესაბამისი წვეროებია:

𝟏.𝟏𝟓. 𝐴 =

⎝

⎜⎛

0 1 0 1 11 0 1 1 00 1 0 1 01 1 1 0 11 0 0 1 0⎠

⎟⎞

. 𝟏.𝟏𝟔. 𝐴 =

⎝

⎜⎜⎛

0 1 1 0 1 11 0 1 1 0 01 1 0 1 0 00 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 0 0 0 1 0⎠

⎟⎟⎞

.

𝟏.𝟏𝟕. 𝟏.𝟏𝟖.

𝟏.𝟏𝟗. 𝐵 =

⎝

⎜⎛

1 0 0 0 11 1 0 0 00 1 1 1 00 0 0 1 00 0 1 0 1⎠

⎟⎞

. 𝟏.𝟐𝟎. 𝐵 =

⎝

⎜⎛

1 0 1 0 1 01 1 0 0 0 10 1 1 1 0 00 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1⎠

⎟⎞

.

𝟏.𝟐𝟏. 𝟏.𝟐𝟐.

𝟏.𝟐𝟑. 𝐶 = �0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 1 1 1� . 𝟏.𝟐𝟒. 𝐶 = �

1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 1 1

�.

𝟏.𝟐𝟓. 𝐴 =

⎝

⎜⎛

0 0 1 0 01 0 0 0 00 1 0 0 10 0 0 0 10 1 0 0 0⎠

⎟⎞

. 𝟏.𝟐𝟔. 𝐴 =

⎝

⎜⎛

0 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 0 10 0 1 0 00 1 0 0 0⎠

⎟⎞

.

234

𝟏.𝟐𝟕. 𝟏.𝟐𝟖.

𝟏.𝟐𝟗. 𝐵 = �

−1 −1 0 0 00 1 1 −1 00 0 −1 0 11 0 0 1 −1

� . 𝟏.𝟑𝟎. 𝐵 = �

−1 0 0 0 1 10 1 0 1 0 −11 −1 −1 0 0 00 0 1 −1 −1 0

�.

𝟏.𝟑𝟏. 𝟏.𝟑𝟐.

𝟏.𝟑𝟑. 𝐵 = �

0 1 1 21 4 0 01 0 6 12 0 1 0

� . 𝟏.𝟑𝟒. 𝐵 = �2 3 13 0 11 1 4

�.

𝟏.𝟑𝟓. 𝟏.𝟑𝟔.

𝟏.𝟑𝟕. ა) 1 3 2 5 4 1, 1 2 5 4 3 1. ბ) 1 2 5 4 1, 1 2 3 4 1. გ) 1 2 3 1, 1 3 4 1.

𝟏.𝟑𝟖. ა) 1 2 3 4 1, 1 2 3 5 1, 1 4 3 5 1. ბ) 1 2 3 1, 1 4 3 1, 1 3 5 1.

𝟏.𝟑𝟗. არ არის. თეორემა 1.3-ის თანახმად, ამისათვის საჭიროა ყველა წვეროს ხარისხი იყოს ლუწი რიცხვი.

𝟏.𝟒𝟎. არის. საჭირო თვისების მქონე ციკლია: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.

თავი IV.

𝟏.𝟏. ა) 2𝑛 − 1; ბ) 2𝑛−1 − 1; გ) 2𝑛−1; დ) 2𝑛−1; ე) 2𝑛−2 − 2; ვ) 2𝑘 + 2𝑛−𝑘 − 2; ზ) 2𝑘 + 2𝑛−𝑘 − 1.

𝟐.𝟏. ა) (𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧 ∨ 𝑡; ბ) 𝑥 ∧ 𝑦 ∧ 𝑧; გ) (𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑧 ∧ �̅�); დ) (�̅� ∧ 𝑦�) ∨ (𝑦 ∧ 𝑧 ∧ 𝑡); ე) 𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ 𝑡;

ვ) (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ (𝑧 ∨ 𝑡); ზ) (𝑥 ∨ 𝑦�) ∧ (𝑧 ∨ 𝑡) ∧ �(�̅� ∧ 𝑡) ∨ 𝑧̅�; თ) �(�̅� ∧ 𝑦) ∨ 𝑧� ∧ 𝑢 ∧ (𝑥 ∨ 𝑦).

235

თავი V

𝟏.𝟏. 1) არის; 2) არ არის; 3) არ არის; 4) არის; 5) არ არის; 6) არის.

𝟏.𝟐. 1) ჭეშმარიტია; 4) მცდარია; 6) ჭეშმარიტია.

𝟏.𝟑. 1) „მდინარე მტკვარი არ ერთვის კასპიის ზღვას“. მოცემული გამონათქვამი ჭეშმარიტია, მიღებული კი მცდარი; 2) „რიცხვი 28 იყოფა 7-ზე“. მოცემული გამონათქვამი მცდარია, მიღე-ბული კი ჭეშმარიტი; 3) „6 ≤ 3“. მოცემული გამონათქვამი ჭეშმარიტია, მიღებული კი მცდარი; 4) „4 > 5“. მოცემული გამონათქვამი ჭეშმარიტია, მიღებული კი მცდარი; 5) „ყველა მარტივი რიცხვი კენტი არ არის“. მოცემული გამონათქვამი მცდარია, მიღებული კი ჭეშმარიტი; 6) „√2 − რაციონალური რიცხვი არ არის“. მოცემული გამონათქვამი მცდარია, მიღებული კი ჭეშმარიტი.

𝟏.𝟒. 1) არ არის; 2) არის; 3) არ არის; 4) არის; 5) არ არის; 6) არის.

𝟏.𝟓. 1) ჭეშმარიტია; 2) მცდარია; 3) ჭეშმარიტია; 4) ჭეშმარიტია.

𝟏.𝟔. 1) 𝑎 ჭეშმარიტია; 2) 𝑏 ჭეშმარიტია; 3) 𝑐 მცდარია; 4) 𝑑 მცდარია, 5) 𝑒 მცდარია; 6) 𝑓 მცდარია; 7) 𝑔 ჭეშმარიტია; 8) ℎ ჭეშმარიტია.

𝟏.𝟕. 1) (𝑎 ≠ 0)⋀(𝑏 ≠ 0) ; 2) (𝑎 = 0)⋁(𝑏 = 0) ; 3) (𝑎 = 0)⋀(𝑏 = 0) ; 4) (𝑎 ≠ 0)⋁(𝑏 ≠ 0) ; 5) (𝑎 = 3)⋁(𝑎 = −3) ; 6) (𝑎 ≠ 0)⋀(𝑏 ≠ 0) ; 7) �(𝑎 > 0)⋀(𝑏 > 0)� ∨ �(𝑎 < 0)⋀(𝑏 < 0)�; 8) �(𝑎 ≤ 0)⋀(𝑏 ≥ 0)� ∨ �(𝑎 ≥ 0)⋀(𝑏 ≤ 0)�.

𝟏.𝟖. 1) 𝑎 მცდარია; 2) 𝑏 ჭეშმარიტია; 3) 𝑐 ჭეშმარიტია; 4) 𝑑 მცდარია, 5) 𝑒 მცდარია; 6) 𝑓 ჭეშმარიტია; 7) 𝑔 მცდარია; 8) ℎ ჭეშმარიტია.

𝟏.𝟗. 1) ჭეშმარიტია; 2) ჭეშმარიტია; 3) ჭეშმარიტია; 4) მცდარია.

𝟏.𝟏𝟎. 1) მცდარია; 2) ჭეშმარიტია; 3) ჭეშმარიტია; 4) ჭეშმარიტია; 5) ჭეშმარიტია; 6) მცდარია; 7) ჭეშმარიტია; 8) ჭეშმარიტია.

𝟏.𝟏𝟏. 1) 𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐; 2) 𝑎 ∨ 𝑏 ∨ 𝑐; 3) 𝑎� ∧ 𝑏� ∧ 𝑐̅; 4) 𝑎� ∨ 𝑏� ∨ 𝑐̅; 5) (𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐) ∨ (𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐̅) ; 6) �𝑎� ∧ 𝑏� ∧ 𝑐̅� ∨ �𝑎� ∧ 𝑏� ∧ 𝑐̅� ; 7) (𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐) ∨ �𝑎� ∧ 𝑏� ∧ 𝑐̅�; 8) (𝑎 ∨ 𝑏 ∨ 𝑐) ∧ �𝑎� ∨ 𝑏� ∨ 𝑐̅�.

𝟏.𝟏𝟐. 1) მცდარია; 2) ჭეშმარიტია; 3) მცდარია; 4) არ არის საკმარისი ინფორმაცია. თუ 𝑎 მცდარია მიიღება მცდარი გამონათქვამი, თუ 𝑎 ჭეშმარიტია მიიღება ჭეშმარიტი გამონათქვამი; 5) ჭეშმარიტია; 6) მცდარია; 7) ) არ არის საკმარისი ინფორმაცია. თუ 𝑏 მცდარია მიიღება ჭეშმარიტი გამონათქვამი, თუ 𝑏 ჭეშმარიტია მიიღება მცდარი გამონათქვამი; 8) ჭეშმარიტია.

𝟏.𝟏𝟑. 1) არ არსებობს; 2) არ არსებობს; 3) 𝜆(𝑎) = 0, 𝜆(𝑏) = 0, 𝜆(𝑐) = 1; 4) არ არსებობს; 5) არ არსებობს; 6) არ არსებობს; 7) არ არსებობს; 8) არ არსებობს.

𝟏.𝟏𝟒. 1) არის ტავტოლოგია; 2) არ არის ტავტოლოგია; 3) არ არის ტავტოლოგია; 4) არის ტავ-ტოლოგია; 5) არ არის ტავტოლოგია; 6) არის ტავტოლოგია; 7) არ არის ტავტოლოგია; 8) არ არის ტავტოლოგია.

𝟏.𝟏𝟖. 1) (𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (�̅� ∧ 𝑦�); 2) (𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (�̅� ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑦�); 3) (�̅� ∧ 𝑦 ∧ 𝑧) ∨ (𝑥 ∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅); 4) (𝑥 ∧ 𝑦� ∧ 𝑧̅) ∨ (�̅� ∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅) ∨ (�̅� ∧ 𝑦� ∧ 𝑧); 5) (𝑥 ∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅ ∧ 𝑡̅) ∨ (�̅� ∧ 𝑦� ∧ 𝑧 ∧ 𝑡); 6) (�̅� ∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅ ∧ 𝑡) ∨ (𝑥 ∧ 𝑦� ∧ 𝑧 ∧ 𝑡̅) ∨ (𝑥 ∧ 𝑦� ∧ 𝑧̅ ∧ 𝑡̅) ∨ (𝑥 ∧ 𝑦 ∧ 𝑧 ∧ 𝑡̅).

236

𝟏.𝟏𝟗. 1) (𝑥 ∨ 𝑦�) ∧ (�̅� ∨ 𝑦�); 2) (𝑥 ∨ 𝑦�) ∧ (�̅� ∨ 𝑦) ∧ (�̅� ∨ 𝑦�); 3) (𝑥 ∨ 𝑦� ∨ 𝑧̅) ∧ (�̅� ∨ 𝑦� ∨ 𝑧̅); 4) (�̅� ∨ 𝑦 ∨ 𝑧) ∧ (�̅� ∨ 𝑦 ∨ 𝑧̅); 5) (�̅� ∨ 𝑦 ∨ 𝑧 ∨ 𝑡) ∧ (𝑥 ∨ 𝑦� ∨ 𝑧̅ ∨ 𝑡̅); 6) (𝑥 ∨ 𝑦� ∨ 𝑧 ∨ 𝑡̅) ∧ (�̅� ∨ 𝑦 ∨ 𝑧̅ ∨ 𝑡) ∧ (�̅� ∨ 𝑦 ∨ 𝑧 ∨ 𝑡̅) ∧ (𝑥 ∨ 𝑦� ∨ 𝑧̅ ∨ 𝑡).

𝟐.𝟏. 𝐺2,𝐺4,𝐺6,𝐺7,𝐺9. 𝟐.𝟐. ყველა შებრუნებული გამომდინარეობა არამართებულია.

𝟐.𝟑. 1) მეორე გამომდინარეობს პირველიდან; 2) პირველი გამომდინარეობს მეორედან; 3) პირველი გამომდინარეობს მეორედან; 4) პირველი გამომდინარეობს მეორედან; 5) მეორე გამომდინარეობს პირველიდან; 6) მეორე გამომდინარეობს პირველიდან.

𝟐.𝟒. 1) კი; 2) არა; 3) არა; 4) კი; 5) არა; 6) კი.

𝟐.𝟓. 1) 2, 5, 4, 3, 1; 2) 2, 5, 1, 4, 3; 3) 2, 5, 3, 4, 1; 4) 3, 2, 1, 5, 4; 5) 3, 4, 2, 1, 5; 6) 4, 1, 5, 2, 3.

𝟐.𝟔. 1) თუ რაციონალურ რიცხვთა მიმდევრობა ფუნდამენტურია, მაშინ ის კრებადია. არამარ-თებულია. 2) თუ მიმდევრობა შემოსაზღვრულია, მაშინ ის კრებადია. არამართებულია. 3) თუ სამკუთხედის ერთ-ერთ გვერდთან მდებარე კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს სამკუთხე-დი ტოლფერდაა. მართებულია. 4) თუ ოთხკუთხედის დიაგონალები ურთიერთმართობულია, მაშინ ეს ოთხკუთხედი რომბია. არამართებულია. 5) თუ პარალელოგრამის დიაგონალები ურთიერთმართობულია, მაშინ ეს პარალელოგრა-მი რომბია. მართებულია. 6) თუ რაიმე წერტილი პარალელოგრამის სიმეტრიის ცენტრია, მაშინ ეს წერტილი დიაგო-ნალების გადაკვეთის წერტილია. მართებულია. 7) თუ რაიმე სამკუთხედში ერთ-ერთი გვერდის სიგრძის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძეთა კვადრატების ჯამს, მაშინ ეს სამკუთხედი მართკუთხაა. მართებულია. 8) თუ მიმდევრობა კრებადია, მაშინ ის მონოტონური და შემოსაზღვრულია. არამართებუ-ლია. 𝟐.𝟏𝟑. კი. 𝟐.𝟏𝟒. კი. 𝟐.𝟏𝟓. კი. 𝟐.𝟏𝟔. კი. 𝟐.𝟏𝟕. არა. 𝟐.𝟏𝟖. არა. 𝟐.𝟏𝟗. არა; არა. 𝟐.𝟐𝟎. კი. 𝟐.𝟐𝟏. კი. 𝟐.𝟐𝟐. არა. 𝟐.𝟐𝟑. არა. 𝟐.𝟐𝟒. კი. 𝟐.𝟐𝟓. ლაშამ. 𝟐.𝟐𝟔. გივიმ. 𝟐.𝟐𝟕. არა. ამოცანის პირობებს აკმაყოფილებენ ბაკური და აკაკი. 𝟐.𝟐𝟖. ავალიშვილი მიდის პარიზში, ბალაძე − რომ-ში, ცაგურია − ბერლინში და დავითაშვილი − ლონდონში. 𝟐.𝟐𝟗. ფრუიძე, ერაძე, დაუშვილი, ცაავა, ბერიძე, ალავიძე. 𝟐.𝟑𝟎. 𝑎, 𝑒, 𝑐,𝑝. 𝟐.𝟑𝟏. არსებობს ცხრილის ორი ვარიანტი: 1) მათემატიკა, ლიტერატურა, ისტორია; 2) ისტორია, მათემატიკა, ლიტერატურა. 𝟐.𝟑𝟐. 𝑒 − ბიოლოგად, 𝑏 − ჰი-დროლოგად, 𝑐 − რადისტად, 𝑑 − ექიმად, 𝑓 − სინოპტიკოსად, ℎ − მექანიკოსად. 𝟐.𝟑𝟑. მოგზა-ურმა საკმარისია იკითხოს: მართალია თუ არა, რომ 𝑁 ყოველთვის სიმართლეს ამბობს და მარცხნივ მიმავალი გზა მიდის დედაქალაქისაკენ ან 𝑁 ყოველთვის ცრუობს და მარცხნივ მიმა-ვალი გზა არ მიდის დედაქალაქისაკენ?

237

თავი VI.

𝟏.𝟏. ა) 27

; ბ) 57

; გ) 27

. 𝟏.𝟐. ა) 13

; ბ) 23

; გ) 23

. 𝟏.𝟑. ა) 16

; ბ) 12

; გ) 12

; დ) 12

; ე) 12

; ვ) 13

.

𝟏.𝟒. ა) 16

; ბ) 16

; გ) 13

; დ) 12

; ე) 12

; ვ) 12

. 𝟏.𝟓. ა) 28

153; ბ)

517

; გ) 80

153; დ)

73153

.

𝟏.𝟔. ა) 35

117; ბ)

22117

; გ) 2039

; დ) 1939

. 𝟏.𝟕. ა) 1157

; ბ) 14

285; გ)

2895

; დ) 69

285.

𝟏.𝟖. ა) 7

95; ბ)

1176

; გ) 3376

; დ) 83

380. 𝟏.𝟗. ა)

323

; ბ) 1469

; გ) 85

276; დ)

3469

; ე) 7

253; ვ)

1752024

;

ზ) 63

253; თ)

21253

. 𝟏.𝟏𝟎. ა) 1

30; ბ)

825

; გ) 2675

; დ) 3475

; ე) 11

115; ვ)

1431150

; ზ) 24

115; თ)

6115

.

𝟏.𝟏𝟏. ა) 1

36; ბ)

16

; გ) 1136

; დ) 14

; ე) 14

; ვ) 12

; ზ) 1

12; თ)

712

; ი) 19

; კ) 0; ლ) 1; მ) 2536

;

ნ) 56

; ო) 3136

. 𝟏.𝟏𝟐. ა) 1

49; ბ)

17

; გ) 1349

; დ) 1649

; ე) 9

49; ვ)

2449

; ზ) 4

49; თ)

1549

; ი) 37

; კ) 0;

ლ) 1; მ) 3649

; ნ) 67

; ო) 4349

. 𝟏.𝟏𝟑. ა) 25

; ბ) 35

; გ) 45

. 𝟏.𝟏𝟒. ა) 13

; ბ) 12

; გ) 23

.

𝟏.𝟏𝟓. ა) 1

91; ბ)

1291

; გ) 5965

; დ) 6

65. 𝟏.𝟏𝟔. ა)

155

; ბ) 2855

; გ) 4155

; დ) 1455

.

𝟏.𝟏𝟕. ა) 12743915

; ბ) 154

6525; გ)

116525

; დ) 12746525

. 𝟏.𝟏𝟖. ა) 60

143; ბ)

6143

; გ) 2

1001; დ)

2401001

.

𝟏.𝟏𝟗. 7

15. 𝟏.𝟐𝟎.

23

. 𝟏.𝟐𝟏. ა) 32

245; ბ)

4561225

; გ) 24

245; დ)

57196

.

𝟏.𝟐𝟐. ა) 4

19; ბ)

119

; გ) 2

285; დ)

295

; ე) 8

15; ვ)

411

. 𝟏.𝟐𝟑. 13

. 𝟏.𝟐𝟒. 25

. 𝟏.𝟐𝟓. 99

512.

𝟏.𝟐𝟔. 63

256. 𝟏.𝟐𝟕.

112

. 𝟏.𝟐𝟖. 1

10. 𝟏.𝟐𝟗.

63100

. 𝟏.𝟑𝟎. 15

. 𝟏.𝟑𝟏. 1

132. 𝟏.𝟑𝟐.

121

.

თავი VII.

𝟏.𝟏𝟕. ა) [0]; ბ) [2]. 𝟏.𝟏𝟖. ა) [3]; ბ) [1]. 𝟏.𝟏𝟗. ა) [3]; ბ) [0]. 𝟏.𝟐𝟎. ა) [4]; ბ) [6].

𝟏.𝟐𝟏. ა) [7]; ბ) [2]. 𝟏.𝟐𝟐. ა) [2]; ბ) [0]. 𝟏.𝟐𝟑. ა) [3]; ბ) [4]. 𝟏.𝟐𝟒. ა) [4]; ბ) [3].

𝟏.𝟐𝟓. ა) [0]; ბ) [1]. 𝟏.𝟐𝟔. ა) [4]; ბ) [2]. 𝟏.𝟐𝟕. ა) [2]; ბ) [4]. 𝟏.𝟐𝟖. ა) [5]; ბ) [2].

𝟏.𝟐𝟗. არსებობს [𝑥] = [3]. 𝟏.𝟑𝟎. არ არსებობს. 𝟏.𝟑𝟏. არსებობს [𝑥] = [3].

𝟏.𝟑𝟐. არსებობს [𝑥] = [7]. 𝟏.𝟑𝟓. ა) კი. ბ) კი. გ) არა. დ) კი. ე) კი. ვ) კი. ზ) არა. თ) კი. ი) კი. კ) არა.

238

თავი VIII.

𝟏.𝟏. ა) 129; ბ) 88. 𝟏.𝟏𝟎. 3. 𝟏.𝟏𝟑. − 2, 0, 2, 4. 𝟏.𝟏𝟒. − 3,−2, 0, 1.

𝟏.𝟏𝟓. ასეთია მაგალითად, 65𝑘 + 56 სახის რიცხვები. 𝟏.𝟏𝟕. ა) 11; ბ) 11.

𝟏.𝟏𝟖. ა) (252,154) = 14 = 252 ∙ (−3) + 154 ∙ 5; ბ) (120,168) = 24 = 120 ⋅ 3 + 168 ⋅ (−2).

𝟏.𝟏𝟗. [1]−1 = [1], [5]−1 = [5]. 𝟏.𝟐𝟎. [1]−1 = [1], [3]−1 = [7], [7]−1 = [3], [9]−1 = [9].

𝟏.𝟐𝟐. ა) [9]; ბ) [5]. 𝟏.𝟐𝟑. ა) 5; ბ) 4. 𝟏.𝟐𝟒. ა) 𝑚 = 2, 𝑛 = 4 ბ) 𝑚 = 3, 𝑛 = 3.

𝟏.𝟐𝟓. 10. 𝟏.𝟐𝟔. 11. 𝟏.𝟐𝟕.

⊕ (0,0) (1,0) (2,0) (0,1) (1,1) (2,1) (0,2) (1,2) (2,2)

(0,0) (0,0) (1,0) (2,0) (0,1) (1,1) (2,1) (0,2) (1,2) (2,2)

(1,0) (1,0) (2,0) (0,0) (1,1) (2,1) (0,1) (1,2) (2,2) (0,2)

(2,0) (2,0) (0,0) (1,0) (2,1) (0,1) (1,1) (2,2) (0,2) (1,2)

(0,1) (0,1) (1,1) (2,1) (0,2) (1,2) (2,2) (0,0) (1,0) (2,0)

(1,1) (1,1) (2,1) (0,1) (1,2) (2,2) (0,2) (1,0) (2,0) (0,0)

(2,1) (2,1) (0,1) (1,1) (2,2) (0,2) (1,2) (2,0) (0,0) (1,0)

(0,2) (0,2) (1,2) (2,2) (0,0) (1,0) (2,0) (0,1) (1,1) (2,1)

(1,2) (1,2) (2,2) (0,2) (1,0) (2,0) (0,0) (1,1) (2,1) (0,1)

(2,2) (2,2) (0,2) (1,2) (2,0) (0,0) (1,0) (2,1) (0,1) (1,1)

⊗ (0,0) (1,0) (2,0) (0,1) (1,1) (2,1) (0,2) (1,2) (2,2)

(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)

(1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (0,1) (1,1) (2,1) (0,2) (1,2) (2,2)

(2,0) (0,0) (2,0) (1,0) (0,2) (2,2) (1,2) (0,1) (2,1) (1,1)

(0,1) (0,0) (0,1) (0,2) (2,0) (2,1) (2,2) (1,0) (1,1) (1,2)

(1,1) (0,0) (1,1) (2,2) (2,1) (0,2) (1,0) (1,2) (2,0) (0,1)

(2,1) (0,0) (2,1) (1,2) (2,2) (1,0) (0,1) (1,1) (0,2) (2,0)

(0,2) (0,0) (0,2) (0,1) (1,0) (1,2) (1,1) (2,0) (2,2) (2,1)

(1,2) (0,0) (1,2) (2,1) (1,1) (2,0) (0,2) (2,2) (0,1) (1,0)

(2,2) (0,0) (2,2) (1,1) (1,2) (0,1) (2,0) (2,1) (1,0) (0,2)

ლეონარდ მძინარიშვილი − ფიზიკა-მათემატიკურ მეცნიერებათა დოქტორი, საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის მათემატიკის დეპარტამენტის სრული პროფესორი. გამოქვეყნებუ-ლი აქვს 60 სამეცნიერო ნაშრომი. არის 6 სახელმძღვანელოს ავტორი, 8 საკანდიდატო დისერტა-ციის ხელმძღვანელი.

ნიკოლოზ კაჭახიძე − ფიზიკა-მათემატიკურ მეცნიერებათა კანდიდატი, საქართველოს ტექნი-კური უნივერსიტეტის მათემატიკის დეპარტამენტის ასოცირებული პროფესორი. გამოქვეყნე-ბული აქვს 19 სამეცნიერო ნაშრომი. არის 1 სახელმძღვანელოს ავტორი.

დუგლას უგულავა − ფიზიკა-მათემატიკურ მეცნიერებათა დოქტორი, საქართველოს ტექნიკუ-რი უნივერსიტეტის მათემატიკის დეპარტამენტის ასოცირებული პროფესორი. გამოქვეყნებუ-ლი აქვს 60 სამეცნიერო ნაშრომი. 1 სადოქტორო და 2 საკანდიდატო დისერტაციის ხელმძღვანე-ლი.

ნოდარ ხომერიკი − პედაგოგიურ მეცნიერებათა კანდიდატი, საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის მათემატიკის დეპარტამენტის ასოცირებული პროფესორი. გამოქვეყნებული აქვს 35 სამეცნიერო ნაშრომი. არის 10 სახელმძღვანელოს ავტორი.

იბეჭდება ავტორთა მიერ წარმოდგენილი სახით

გადაეცა წარმოებას 08.06.2012. ხელმოწერილია დასაბეჭდად 06.09.2012. ქაღალდის ზომა 60X84 1/8. პირობითი ნაბეჭდი თაბახი 15,5. ტირაჟი 200 ეგზ.

საგამომცემლო სახლი „ტექნიკური უნივერსიტეტი“, თბილისი, კოსტავას 77

Documents

დისკრეტული_11_10_12