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CONVERTISSEURS ÉLECTRONIQUES DE PUISSANCE

I-Le schéma ci-dessous représente un hacheur dévolteur élémentaire. Une source de tensiondont la force électromotrice est U fournit l'énergie électrique.L'entité électrique susceptible de recevoir de l'énergie est unmoteur à courant continu que l'on modélise ici par la mise ensérie de sa force contre-électromotrice E (supposée constante)et d'une inductance L destinée à limiter les variations ducourant que le moteur absorbe. La résistance équivalente auxpertes Joule du moteur est ici négligée. Les interrupteurs duconvertisseur sont supposés idéaux. (K1) est un transistor, (K2) est une diode. La diode se bloque dèsque le courant conventionnel qui la traverse cesse d'être positif. On note T la période de découpage.Entre les instants 0 et α.T modulo [T], (K1) est fermé, et entre les instants αT et T modulo [T], (K1)est ouvert. α est le rapport cyclique de fonctionnement du hacheur, compris entre 0 et 1. Onsuppose en outre que la valeur E de la force contre-électromotrice du moteur est toujours inférieureà la valeur U de la tension d'alimentation, et on pose λ = E/U.

1) On suppose que le moteur est parcouru par un courant nul à l’instant initial de l’étude.

a) Déterminer l'expression caractéristique de l'évolution du courant iC entre lesinstants 0 et α.T. En déduire iC(αT).

b) Déterminer (évolution du courant iC entre les instants αT et T (En admettant que ladiode est passante).

c) À quelle condition le courant iC s'annule-t-il avant la fin de la période ? Exprimercette condition en fonction de α et λ

Lorsque cette condition est observée, on dit que le convertisseur fonctionne en conductiondiscontinue. Dans le cas contraire, on dit que le convertisseur fonctionne en conduction continue.Lorsque le courant iC s'annule exactement à la fin de la période, on dit que le convertisseurfonctionne à la limite entre les deux modes de conduction.

2-a) Représenter les formes d'ondes de la tension uC et du courant iC lorsque le convertisseurfonctionne en conduction discontinue.

b) Calculer la valeur moyenne <uC> de la tension uC en fonction de U et λ.

c) Calculer la valeur moyenne <iC> du courant iC en fonction de U, T, L, α et λ.

3-a) Représenter les formes d'ondes de la tension uC°et du courant iC lorsque le convertisseurfonctionne en conduction continue. (On remarquera que le courant iC(t) est non périodique engénéral).

b) Quelle relation doit exister entre E, U et α pour qu'un régime périodique soitpossible ?

c) Calculer la valeur moyenne <uC> de la tension uC en fonction de U et α. Montrerque celle-ci est indépendante de la valeur moyenne <iC> du courant iC.

II-On étudie l’interrupteur commandé d’un hacheur dévolteur qui « découpe » une tensioncontinue E = 1000V pour alimenter un récepteur. Il est commandé par un signal périodique depériode T = 1 ms et de rapport cyclique α = 0,8. Quand il est fermé, le courant qui traversel’interrupteur est I = 50A mais la tension U0 à ses bornes n’est pas nulle.

De plus, on admet que pendant la durée τ0 des commutations, la tension et l’intensité dansl’interrupteur varient linéairement en fonction du temps.

L uC

E

iC

iK2

K2

K1 i

U

U0 = 2Vτ0 = 10 µs

i(t)

I0

0 T αT αT+ τ0

τ0 t 0 τ0 αT α T+ τ0

T t

E

U0

u(t)

u

i

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1) Calculer l’énergie dissipée pendant la phase de commutation.

2) Calculer l’énergie dissipée pendant la phase de conduction.

3) Quelle est la puissance moyenne dissipée par le commutateur et le rendement duhacheur ?

III-On considère un hacheur à stockage inductif dont le schéma est le suivant :

De t = 0 à t = αT, l’interrupteur commandé est fermé et ladiode bloquée. De t = αT à t = T, l’interrupteur commandé estouvert et la diode passante.

On suppose que l’intensité dans la bobine ne s’annule jamaiset l’on néglige les ondulations de la tension vS devant sa valeurmoyenne que l’on notera VS.

1) En étudiant la valeur moyenne de la tension vL, établir la relation entre VS et E. Conclure.

2) Exprimer l’ondulation du courant dans la bobine en fonction de α, L, E et la fréquence dehachage f.

3) Tracer les chronogrammes des fonctions iE(t), iL(t) et iD(t). Quelle est la relation entre lesvaleurs moyennes sur une période des intensités iL(t) et iD(t) ? En déduire l’expression de IL enfonction de α, VS et R.

4) On prend maintenant en compte la résistance de la bobine en la modélisant parl’association série d’une bobine parfaite d’inductance propre L et d’un résistor de résistance r.

a) Montrer que, compte tenu de l’ordre de grandeur prévisible de r, leschronogrammes tracés à la question 3 ne sont pas modifiés. En déduire la relation entre les valeursmoyennes sur une période des intensités iL(t) et iE(t) ainsi qu’entre les valeurs moyennes sur unepériode des intensités iL(t) et iD(t) .

b) Exprimer rIL en fonction de α, E et VS et en déduire l’expression de VS en fonctionde R, r, α et E. Conclure.

c) Exprimer le rendement η de la conversion.

IV-La figure représente le schéma d’un hacheur de tension :

• E est une source de tension continue pouvant fonctionner aussi bien en générateur (iS > 0)qu’en récepteur (iS < 0).

• D1 et D2 sont deux diodes supposées parfaites ;

• K1 et K2 sont des thyristors qui seront assimilés à des interrupteurs parfaits et ne seront pasétudiés. K1 et K2 sont commandés de façon synchrone par un générateur de signaux rectangulairesde période T0 et de rapport cyclique α : ils sont fermés pour 0< t < αT0 et ouverts le restant de lapériode. On fera varier α ;

• L est une bobine d’inductance L ;

• La charge est une machine à courant continu modélisée par une résistance R et une forcecontre-électromotrice (f.c.é.m) E’ en série

On suppose que le courant iC(t) ne s’annule jamais (iC(t) > 0 quel que soit t).

On donne : E = 100 V ; L = 140 mH ; T0 = 1ms

iC

iS

L

iL

E

iE

R C vS

iD

vL

uC

L

E’

K2

D2

D1

iCiKK1

iD

E

i

S

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1) K1 et K2 sont fermés (0 < t < αT0).

a) Établir l’équation différentielle régissant l’évolution de iK(t).

b) Donner la solution générale de cette équation. Linéariser cette solution après avoirjustifié qu’elle est bien linéarisable.

2) K1 et K2 sont ouverts (αT0 < t < T0).

a) Quel est le sens du courant iC(t) juste après l’ouverture des interrupteurs ?

b) En déduire le schéma équivalent du montage pour t > αT0.

c) Montrer que l’équation différentielle régissant l’évolution de iD(t) est analogue àcelle vue précédemment.

3) Représenter graphiquement l’évolution de la tension uC(t) et des courants iC(t), iD(t) etiK(t).

4-a) Établir deux expressions de l’ondulation (différence entre les valeurs maximale etminimale) ∆iC du courant dans la charge.

b) En déduire l’expression de E’.

c) Calculer E’ et ∆iC pour α = 0,79.

5) Calculer

a) La valeur moyenne UC de la tension uC(t) en fonction de α et E. Cette valeur est-elle compatible l’expression de E’ ?

b) Le courant moyen ΙC dans la charge.

c) La puissance moyenne P’ reçue par la f.c.é.m. E’ en fonction de E’ et ΙC.

d) La puissance moyenne P fournie par le générateur en fonction de ΙC, α et E.

e) La puissance moyenne PU reçue globalement par la charge.

f) Quelle serait, si la charge était un moteur, la puissance mécanique Pm de celui-ci,en supposant négligeables les pertes mécaniques ?