127496886 Makalah Sistem Kendali Iqbal Fasya

8/13/2019 127496886 Makalah Sistem Kendali Iqbal Fasya

1/49

MAKALAH

SISTEM KENDALI CLOSE LOOP

DISUSUN OLEH :

IQBAL FASYA

2212122002

PROGRAM STUDI S-1 TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS JENDRAL AHMAD YANI

BANDUNG

2012


2/49


3/49

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Sistem kendali atau sistem kontrol merupakan hal yang penting di era

teknologi informasi maupun di dunia industri yang modern ini. Proses produksi

dan manufacturing dituntut kestabilannya dan setiap perubahan dapat direspon

secara cepat dan real time. Di dalam dunia industri, dituntut suatu proses kerja

yang aman dan berefisiensi tinggi untuk menghasilkan produk dengan kualitas

dan kuantitas yang baik serta dengan waktu yang telah ditentukan.

Kegiatan pengontrolan dan monitoring yang biasa dilakukan manusia bisa

digantikan perannya dengan menerapkan prinsip otomasi. Kegiatan kontrol yang

dilakukan secara berulang-ulang, kekurang-presisi-an manusia dalam membaca

data, serta resiko yang mungkin timbul dari sistem yang dikontrol semakin

menguatkan kedudukan alat/mesin untuk melakukan pengontrolan secara

otomatis.

Piranti-piranti pengontrol otomatis ini sangat berguna bagi manusia. Apalagi

jika ditambah dengan suatu kecerdasan melalui program yang ditanamkan dalam

sistem tersebut akan semakin meringankan tugas-tugas manusia. Akan tetapi

secerdas apapun sebuah mesin tentu masih membutuhkan peranan manusia

untuk mengatur dan mengontrol piranti-piranti ini. Otomasi kontrol bukan untuk

menggantikan sepenuhnya peranan manusia, tetapi mengurangi peranan dan

meringankan tugas-tugas manusia dalam pengontrolan suatu proses.

Dengan adanya perkembangan teknologi, maka mata kuliah Analisis Sistem

Teknik Kendali (control automatic)memberikan kemudahan dalam :

1. Mendapatkan performansi dari sistem Dinamik,

2. Dapat mempertinggi kualitas produksi

3. Menurunkan biaya produksi,

4. Mempertinggi laju produksi,

5. Dan meniadakan pekerjaan- pekerjaan rutin yang membosankan, yang harus

dilakukan oleh manusia.


4/49

BAB II

PEMBAHASAN

II.1. Sistem Kontrol

Sejarah Perkembangan Teknik Kendali :

Perkembangan teknik kendali begitu sangat pesat dimulai dari :

1. Karya pertama dimulai abad 18, control automatic, governor sentrifugal, sebagai

pengatur kecepatan mesin uap oleh James Watt

2. Pada tahun 1922, control automatic pengemudi kapal laut oleh Minosky

3. Pada tahun 1932, Kestablilan system loop tertutupdan terbuka terhadap

masukkan tunak( steady state) sinusoidal

4. Pada tahun 1934, Diperkenalkan istilah servomekanis untuk system control

posisi, dalam hal ini membicarakan desain servo mekanis relay dengan

masukkan yang berubah-ubah.

5. Selama dasawarsa 40 tahun hingga 50 tahun kemudian, metoda dalam system

desain system control linear berumpan balik benar-benar telah berkembang.

6. Pada tahun 1960 an, kemudian dikembangkan kedalam bentuk multimasukkan

/keluaran karena kompleknya Plant modern dan persyaratan yang keras pada

tingkat ketelitian.

Sistem kontrol adalah proses pengaturan ataupun pengendalian terhadap

satu atau beberapa besaran (variabel, parameter) sehingga berada pada suatu

harga atau dalam suatu rangkuman harga (range) tertentu. Di dalam dunia industri,

dituntut suatu proses kerja yang aman dan berefisiensi tinggi untuk menghasilkan

produk dengan kualitas dan kuantitas yang baik serta dengan waktu yang telah

ditentukan. Otomatisasi sangat membantu dalam hal kelancaran operasional,

keamanan (investasi, lingkungan), ekonomi (biaya produksi), mutu produk, dll.

Ada banyak proses yang harus dilakukan untuk menghasilkan suatu produk

sesuai standar, sehingga terdapat parameter yang harus dikontrol atau di kendalikan

antara lain tekanan (pressure), aliran (flow), suhu (temperature), ketinggian (level),

kerapatan (intensity),dll. Gabungan kerja dari berbagai alat-alat kontrol dalam proses


5/49

produksi dinamakan sistem pengontrolan proses (process control system).

Sedangkan semua peralatan yang membentuk sistem pengontrolan disebut

pengontrolan instrumentasi proses (process control instrumentation). Dalam istilah

ilmu kendali, kedua hal tersebut berhubungan erat, namun keduanya sangat

berbeda hakikatnya. Pembahasan disiplin ilmu Process Control Instrumentation lebih

kepada pemahaman tentang kerja alat instrumentasi, sedangkan disiplin ilmu

Process Control System mengenai sistem kerja suatu proses produksi.

II.2. Prinsip Pengontrolan Proses

Ada 3 parameter yang harus diperhatikan sebagai tinjauan pada suatu sistem

kontrol proses yaitu :

- cara kerja sistem kontrol

- keterbatasan pengetahuan operator dalam pengontrolan proses

- peran instrumentasi dalam membantu operator pada pengontrolan proses

Empat langkah yang harus dikerjakan operator yaitu mengukur, membandingkan,

menghitung, mengkoreksi. Pada waktu operator mengamati ketinggian level, yang

dikerjakan sebenarnya adalah mengukur process variable (besaran parameter

proses yang dikendalikan).

Contohnya proses pengontrolan temperatur line fuel gas secara manual, proses

variabelnya adalah suhu. Lalu operator membandingkan apakah hasil pengukuran

tersebut sesuai dengan apa yang diinginkan. Besar proses variabel yang diinginkan

tadi disebut desired set point. Perbedaan antara process variabel dan desired set

point disebut error.

Dalam sistem kontrol suhu di atas dapat dirumuskan secara matematis:

Error = Set Point Process Variabel

Process variabel bisa lebih besar atau bisa juga lebih kecil daripada desired

set point. Oleh karena itu error bisa diartikan negatif dan juga bisa positif.

II.3. Sistem Kontrol Otomatis

Suatu sistem kontrol otomatis dalam suatu proses kerja berfungsi

mengendalikan proses tanpa adanya campur tangan manusia (otomatis). Ada dua

sistem kontrol pada sistem kendali/kontrol otomatis yaitu :


6/49

A. Open Loop (Loop Terbuka)

Suatu sistem kontrol yang keluarannya tidak berpengaruh terhadap aksi

pengontrolan. Dengan demikian pada sistem kontrol ini, nilai keluaran tidak di

umpan-balikkan ke parameter pengendalian.

Gambar II.3.1. Diagram Blok Sistem Pengendalian Loop Terbuka

Adapun keunggulan dan kerugiannya pada open loop adalah :

Keunggulannya:

- Konstruksinya sederhana

- Lebih murah dari system tertutup

- Tidak ada masalah dengan ketidakstabilan

- Ketelitian kerjanya ditentukan oleh kaliberasi

Kerugiannya:

- Gangguan dan perubahan kaliberasi, akan menimbulkan kesalahan,

sehingga keluaran tidak seperti yang dikehendaki.

- Untuk menjaga kualitas yang diperlukan pada keluaran diperlukan

kaliberasi ulang pada setiap waktu tertentu.

Contoh dari sistem loop terbuka adalah operasi mesin cuci. Penggilingan

pakaian, pemberian sabun, dan pengeringan yang bekerja sebagai operasi mesin

cuci tidak akan berubah (hanya sesuai dengan yang diinginkan seperti semula)

walaupun tingkat kebersihan pakaian (sebagai keluaran sistem) kurang baik akibat

adanya faktor-faktor yang kemungkinan tidak diprediksikan sebelumnya.. Diagram

kotak pada Gambar II.3.2 memberikan gambaran proses ini.


7/49

Gambar II.3.2 Operasi mesin cuci

B. Close Loop (Loop Tertutup)

Suatu sistem kontrol yang sinyal keluarannya memiliki pengaruh langsung

terhadap aksi pengendalian yang dilakukan. Sinyal error yang merupakan selisih

dari sinyal masukan dan sinyal umpan balik (feedback), lalu diumpankan pada

komponen pengendalian (controller) untuk memperkecil kesalahan sehingga nilai

keluaran sistem semakin mendekati harga yang diinginkan.

Adapun keunggulan dan kerugiannya pada close loop adalah :

Keunggulannya:

- Mampu untuk meningkatkan ketelitian, sehingga dapat terus

menghasilkan kembali inputnya.

- Dapat mengurangi kepekaan perbandingan keluaran terhadap

masukkan untuk perubahan cirri-ciri system.

- Mengurangi akibat ketidaklinearan dan distorsi.

Kerugiannya:

- Tidak dapat mengambil aksi perbaikan terhadap suatu gangguan

sebelum gangguan tersebut mempengaruhi nilai prosesnya.


8/49

Gambar II.3.3. Diagram Blok Sistem Pengendalian Loop Tertutup

Input ( Masukkan ) :Rangsangan atau perangsangan yang diterapkan

ke suatu sistem pengendalian dari sumber energi,

biasanya agar menghasilkan tanggapan tertentu

dari system yang dikendalikan.

Output (keluaran) :Tanggapan sebenarnya yang diperoleh dari

sebuah sIstem pengendalian.

Plant ( Proses ) :Seperangkat peralatan yang terdiri dari atau

sebagian mesin yang bekerja secara bersama-sama dan digunakan untuk suatu Proses.

Proses :Merupakan suatu bagian operasi atau

perkembangan alamiah, yang berlangsung secara

kontinyu ( Continue ), yang ditandai oleh suatu

deretan perubahan kecil yang berurutan, dengan

cara yang relative tetap, untuk mendapatkan suatu

ahkiran yang dikehendaki.

Gangguan :gangguan bila ada, memungkinkan suatu sinyal

yang cendearung mempunyai pengaruh yang

merugiakan pada harga keluaran system.

PROSES

"PLANT"

ELEMENT

PENGUKUR

PENGONTROL

INPUT OUTPUT

GANGGUAN


9/49

Didalam analisis biasanya digambarkan sebagaimana diagram bolk /kotak sbb:

Gambar II.3.4 diagram bolk

Dimana :

R(s) = Input Laplace transform

C(s) = Output Laplace transform

G(s) = Transfer function forword element

H(s) = TF. Feedback element

E(s) = Error sinyal

II.4. Definisi Istilah

Ada beberapa definisi istilah yang sering dipakai antara lain :

a. Sistem (system) adalah kombinasi dari komponen-komponen yang bekerja

bersama-sama membentuk suatu obyek tertentu.

b. Variabel terkontrol (controlled variable) adalah suatu besaran (quantity) atau

kondisi (condition) yang terukur dan terkontrol. Pada keadaan normal merupakankeluaran dari sistem.

c. Variabel termanipulasi (manipulated variable) adalah suatu besaran atau

kondisiyang divariasi oleh kontroler sehingga mempengaruhi nilai dari variabel

terkontrol.

d. Kontrol (control) mengatur, artinya mengukur nilai dari variabel terkontrol dari

sistem dan mengaplikasikan variabel termanipulasi pada sistem untuk

mengoreksi atau mengurangi deviasi yang terjadi terhadap nilai keluaran yangdituju.

G(s

H(s)

R(s) E(s) C(s)

+ -


10/49

e. Plant (Plant) adalah sesuatu obyek fisik yang dikontrol.

f. Proses (process) adalah sesuatu operasi yang dikontrol. Contoh : proses kimia,

proses ekonomi, proses biologi, dll.

g. Gangguan (disturbance) adalah sinyal yang mempengaruhi terhadap nilai

keluaran sistem.

h. Kontrol umpan balik (feedback control) adalah operasi untuk mengurangi

perbedaan antara keluaran sistem dengan referensi masukan.

i. Kontroler (controller) adalah suatu alat atau cara untuk modifikasi sehingga

karakteristik sistem dinamik (dynamic system) yang dihasilkan sesuai dengan

yang kita kehendaki.

j. Sensor adalah peralatan yang digunakan untuk mengukur keluaran sistem dan

menyetarakannya dengan sinyal masukan sehingga bisa dilakukan suatu operasi

hitung antara keluaran dan masukan.

k. Aksi kontrol (control action) adalah besaran atau nilai yang dihasilkan oleh

perhitungan kontroler untuk diberikan pada plant (pada kondisi normal

merupakan variabel termanipulasi).

l. Aktuator (actuator), adalah suatu peralatan atau kumpulan komponen yang

menggerakkan plant.

Gambar II.4.1. memberikan penjelasan terhadap beberapa definisi istilah di atas.

Gambar II.4.1. Sistem Kontrol Secara Lengkap


11/49

Contoh dari system close loop banyak sekali, salah satu contohnya adalah

operasi pendinginan udara (AC). Masukan dari sistem AC adalah derajat suhu yang

diinginkan si pemakai. Keluarannya berupa udara dingin yang akan mempengaruhi

suhu ruangan sehingga suhu ruangan diharapkan akan sama dengan suhu yang

diinginkan. Dengan memberikan umpan balik berupa derajat suhu ruangan setelah

diberikan aksi udara dingin, maka akan didapatkan kesalahan (error) dari derajat

suhu aktual dengan derajat suhu yang diinginkan. Adanya kesalahan ini membuat

kontroler berusaha memperbaikinya sehingga didapatkan kesalahan yang semakin

lama semakin mengecil. Gambar II.4.2 memberikan penjelasan mengenai proses

umpan balik sistem AC ini.

Gambar II.4.2 Proses Umpan Balik Pendingin Udara (AC)

II.5. perancangan sistem kontrol umpan balik

Ada tiga hal yang diperlukan dalam perancangan sistem kontrol umpan balik :

Respon transien

respon transien yaitu setiap system pengendalian/pengaturan diharapkan

mempunyai transient time (waktu untuk gejala peralihan ) sekecil mungkin,

artinya dapat proses sesingkat-singkatnya, sehingga harga keluarannya


12/49

sesuai dengan yuang diinginkan. Tetapim dengan transient time yang kecil,

keluaran dakan mempunyai simpangan dan atau osilasi yang besar dalam

menuju harga yana lebih besar ( semakin meningkat ).

Stabilitas

Stabilitas merupakan spesifikasi sistem yang paling penting. Jika suatu sistem

tidak stabil, kinerja transien dan steady-state errors menjadi inti masalah.

Sistem yang tidak stabil tidak dapat didisain agar memiliki respon-transien

dan steady-state errorstertentu.

steady-state error ( setelah wahtu gejala peralihan dianggap selesai ), disini

ada 2 hal yang sangat penting yaitu:

Adanya kesalahan (steady state error ) ialah output yag sebenarnya

tidak sama dengan output yang diinginkan.

Besarnya kesalahan steady state error dari kedua system tersebut

sangat dipengaruhi oleh type system dan macam input

II.6. Analisis dan Disain Sistem Umpan-BalikUmpan balik (feedback) membentuk topologi sistem kontrol seperti

ditunjukkan oleh gambar II.6.1. yang kemudian disederhanakan menjadi gambar

II.6.2.

Gambar II.6.1. Bentuk umpan balik pada topologi sistem control

Untuk sistem yang disederhanakan


13/49

gambar II.6.2. Topologi sistem kontrol umpan balik yang disederhanakan

dibawah ini adalah diagram blok sistem kontrol "closed loop" tereduksi.

gambar II.6.2. Sistem kontrol umpan balik tereduksi.

1. Interpretasi fungsi transfer closed-looptergeneralisasi

Komponen persamaan (1) diinterpretasikan sebagai berikut :

Fungsi transfer G(s)H(s) dinamakan "fungsi transfer loop"


14/49

1 + G(s)H(s) = 0 dinamakan "persamaan karakteristik closed-loop" /

"closed

loop characteristic equation" (CLCE)

Gc(s) dinamakan "fungsi transfer closed-loop"2. Umpan balik unity-gain

Bentuk kanonik dari "umpan balik unity-gain" ditunjukkan oleh gambar 2.1

gambar 2.1 Bentuk kanonik umpan balik unity-gain

Go(s) dinamakan "fungsi transfer open-loop".

Bandingkan dengan model terdahulu, H(s) =1, sehingga dari persamaan (1)

diperoleh :

3. Kinerja transien closed-loop

Gambar 3.1 berikut menunjukkan contoh mekanisme servo.

Gambar 3.1 contoh mekanisme servo


15/49

Untuk sistem diatas :

Terlihat bahwa fungsi transfer order-dua, yang dapat memiliki

beberapa bentuk peredaman, bergantung pada nilai K. Jika Kberubah, pole

closed-loop bergerak menuju tiga bentuk perilaku, dari respon overdamped,

ke critically-damped, hingga underdamped.

Pada K = 0, pole-pole akan sama seperti open-loop, yaitu p1,2 = 0,-a

(ditandai dengan s1pada gambar 4.1)

gambar 4.1 Lokasipoleuntuk sistem contoh

Untuk 0 < K< a2/4,pole-poleterletak pada (ditandai dengan s2pada gbr 4.1)

Jika K naik, pole bergerak saling men-dekati di sepanjang sumbu-real dan

responnya adalah overdamped(meskipun rise-dan settling-timeber-kurang),

hingga kedua polesampai pada p1,,2 = -a/2, ketika K = a2/4 dan responnya

adalah critically-damped (s3pada gambar 4.1)

Jika Kterus naik,polemenjadi bilangan kompleks, dengan bagian real


16/49

d= -a/2 dan bagian imajiner :

yang akan meningkat dari sisi ukuran, pada saat Knaik (s4pada gambar 6).

Bagian real akan bernilai konstan sementara rasio peredaman berkurang.

Jadi, %OS akan meningkat sementara nilai settling-time tidak mengalami

perubahan.

Hasil-hasil ini terangkum pada tabel berikut ini:

Contoh soal 1

Hitung Tp, %OSdan Tsuntuk sistem kontrol umpan-balik pada gambar berikut

ini.

Jawab :


17/49

2n= 5,

n=K , sehingga

Untuk overshootsebesar 10%,

Contoh soal 2

Untuk sistem pada gambar di bawah ini, tentukan gainKyang diperlukan

untuk menghasilkan %OSsebesar 10%.

Jawab :

Catatan :

Untuk sistem ini, settling-timeadalah Ts= 4/() = 4/(2.5) = 1.6 detik. Sistem

dengan settling-timeyang lebih kecil tidak dapat didisain, karena bagian real

daripolebernilai tetap dantidak dapat diatur melalui gain K. Diperlukankomponen tambahan untuk memperoleh settling-timekurang dari 2 detik

4. Root-Locus

Kembali pada sistem di gambar 3.1. Sistem tersebut memiliki fungsi transfer

closed-loop :


18/49

Pada gambar 4.1 di bawah ini, diperlihatkan hasil plot dua "kurva" kontinu

melalui pole-pole untuk menunjukkan gerakan pole yang merupakan fungsi

kontinu dari K

gambar 4.1 Gerakanpoleclosed-looppada system kontrol dengan fungsi

transfer : Go(s) = K/ (s(s+ a))

Kurva-kurva ini menggambarkan "locus" daripole-poleclosed-loop

pada saat Kmengalami kenaikan. "Root Locus" ini dapat dibuat untuk semua

sistem yang fungsi transfer open-loop-nya diketahui.

Pembuatan root locusdengan menggunakan Matlab untuk sistem yang

memiliki fungsi transfer Go(s) = 1/s(s+ 5) dan umpan balik unity-gainadalah

sbb. :

>> Go = tf([1],[1. 5. 0]) % Go(s) = 1/(s^2 + 5s) !

>> rlocus(Go)

Gambar 4.2 Hasil eksekusi pada Matlab.


19/49

II.7. Stabilitas closed-loop

Sistem kontrol closed-loopadalah stabil jika seluruhpoleberada pada

bidang kiri

Contoh :

Tentukan stabilitas sistem kontrol closed-loopseperti pada gambar berikut ini.

Jawab :Fungsi transfer closed-loop

Pole-poledan zeros(akar-akar) dari persamaan karakteristik closed-loop

Jadi


20/49

Jawab :

Fungsi transfer closed-loopsistem:

Pole-n a sekaran adalah : s = -3.087, +0.0434 1.505

Karena terdapat duapole pada bidang kanan, maka respon sistem instabil.

Jika terdapat dua atu tigapoledi sumbu imajiner, bentuk respon adalah :

Atncos(t + ); n= 1,2, ... . Respon seperti ini juga terus membesar, karena

tnjika t

1. Instabilitas

Sistem dapat dinyatakan tidak stabil (instabil) jika fungsi transfernya paling

tidak memiliki satu pole di bidang kanan dan/atau pole dengan nilai > 1 pada

sumbuimajiner.

Contoh 1.1

Hitung kestabilan sistem kontrol closed-looppada gambar berikut ini :


21/49

1.2. Stabilitas Marginal

Sistem yang memiliki sepasangpolepada sumbu imaginer, ataupoletunggal

pada titik origin, disebut sebagai sistem stabil marginal. Sistem ini memiliki

respons natural yang terdiri dari osilasi tanpa redaman atau nilai konstan pada

t

2. Uji Stabilitas

Dalam sekilas, pengujian stabilitas sistem terlihat mudah, yaitu cukup melalui

pencarian lokasipolefungsi transfer. Namun, kenyataannya tidak selalu mudah.

Contoh 2.1

Tentukan kestabilan sistem closed-looppada gambar di bawah ini :

Menemukan lokasipolesistem open-loopdi sini bukan merupakan masalah.

Tapi tidak demikian denganpolesistem closed-loop. Tidak ada cara analitis

yang bisa digunakan untuk mencari akar CLCE. Salah satu cara untuk

menyelesaikannya adalah dengan menggunakan algoritma "roots" yang ada

di Matlab. Cara lain untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan

menggunakan metode yang dinamakan "tes Hurwitz".

Jawab :Fungsi transfer closed-loop


22/49

3. Kriteria Hurwitz

Jika terdapat polinom karakteristik closed-loopdalam bentuk terfaktorisasi sbb

denganpiadalah zero P(s) (yaitu akar CLCE). Jika seluruh poleberada di LHP

(left-half plane), maka faktornya akan memiliki bentuk (s+ pi) (karena setiap pi

akan memiliki bagian real yang negatif). Dengan demikian, koefisien polinom

terekspansi hanya akan memiliki tanda positif. Hal ini tetap berlaku, walaupun

beberapa faktorpimerupakan bilangan kompleks.

Karena faktor kompleks selalu muncul dalam bentuk pasangan konyugasi, maka:

yang juga memiliki koefisien positif. Di sini tidak boleh ada koefisien yang hilang,

karena akan mengubah akar positif dan negatif, atau akar-akar pada sumbu

imajiner. Jadi, hal yang penting bagi suatu sistem untuk menjadi stabil adalah

seluruh koefisien CLCE-nya dalam bentuk sn,sn-1,...,s0ada dan bernilai positif.

Dalam bentuk yang lebih formal :

Kriteria Hurwitz

Kriteria Hurwitz menyatakan bahwa sebuah sistem disebut instabil jika

terdapat banyak koefisien negatif atau koefisien hilang pada persamaan

karakteristik closed-loop. Uji stabilitas yang dinamakan Tes Hurwitz ini sangat

mudah untuk digunakan :

s3 + 27s2 - 26s + 24 bersifat instabil karena koefisien salah satu sukunya

negatif.

s3 + 27s2 + 26s bersifat instabilkarena suku s0nya hilang, tetapi

s3 + 27s2 + 26s + 24 bisa jadi stabil


23/49


24/49

Langkah selanjutnya adalah menginsialisasi Routh arraydengan mengisi dua

baris

pertama dengan koefisien polinom karakteristik sbb. :

1. Untuk baris s4, elemen pertamanya adalah a4, yaitu koefisien s4. Elemen

berikutnya adalah a2dan elemen terakhir adalah a0. Jadi, baris pertama

adalah :

s4: a4 a2 a0

Perhatikan bahwa pada langkah ini, s4 hanya diisi oleh koefisien genap,

karena n= 4 (genap). Jika nganjil, maka baris diisi dengan koefisien ganjil.

2. Untuk baris ke dua (s3),dilakukan pengisian elemen yang tersisa. Jadi

s3: a3 a1 0

Angka 0 digunakal untuk menyamakan jumlah kolom.

Setelah inisialisasi selesai, diperoleh

matriks seperti di samping ini.


25/49

1. Dimulai dengan pembentukan matriks 2 x 2 dengan mengambil elemen kiri-

atas dari matriks. Matriks 2 x2 ini dinamakan matriks R1.

Elemen pertama dari baris ke-3 Routh Arraydinamakan b1, dimana

b1= -det(R1)/R1(1,2)

dengan kata lain :

2. Elemen ke-2 dari baris ke-3, b2, dihitung dengan cara yang sama. R2dibuat

dengan mengganti elemen kolom-2 dengan elemen kolom-3, sementara

elemen kolom-1 dibiarkan tetap.

3. Langkah ini diteruskan hingga determinan bernilai nol, dimana selanjutnya

elemen baris-3 diisi dengan nilai 0.

4. Seluruh proses diulangi hingga seluruh matriks terisi. Tabel berikut

menunjukkan keseluruhan perhitungan elemen matriks Routh array


26/49

Routh Arrayyang sudah terisi lengkap

4.2 Tes Routh-Hurwitz

Dengan kriteria Routh-Rouwitz dapat dilakukan pengujian terhadap

sistem, yang karakteristik closed-loop-nya telah lulus uji kriteria Hurwitz.

Kriteria Routh-Hurwitz :

Jumlah akar polinom karakteristik yang berada pada right-half-planesama

dengan jumlah perubahan signpada kolom pertama Routh Array

Contoh 4.2.1

Akan dilakukan uji kestabilan untuk sistem tergambar di bawah ini.

Jawab :

Karena koefisien persamaan sudah lengkap, maka sistem lulus tes Hurwitz.

Dilakukan pengujian lebih lanjut dengan kriteria Routh-Hurwitz. Hasil

inisialisasi adalah sbb. :


27/49

Routh Array tidak akan berubah karena perkalian suatu baris dengan

suatu konstanta. Ini bisa digunakan untuk menyederhanakan langkah.

Sebagai contoh, pada baris ke-dua terlihat bahwa baris bisa disederhanakan

dengan mengalikannya dengan 1/10. Jadi :

Kemudian dilakukan langkah-langkah untuk melengkapi isi tabel. Hasilnya

sbb. :

Jadi matriksnya adalah


28/49

dan isi kolom ke-1 adalah

Pada kolom-1 terjadi dua kali perubahan sign(dari 1 ke -72 dan dari -72 ke

103). Dengan demikian, sistem tidak stabil dan memiliki duapolepada RHP.

5. Kasus-kasus khusus

Dua kasus khusus dapat terjadi pada saat pembuatan Routh array

Nilai nol bisa muncul pada kolom pertama array.

Seluruh elemen pada satu baris bernilai nol.

5.1 Nilai nol di kolom pertama

Jika kolom pertama memiliki elemen bernilai nol, maka akan terjadi

operasi "pembagian dengan nol" pada langkah pencarian elemen untuk baris

berikutnya. Untuk menghindari-nya, digunakan satu nilai kecil e(epsilon)

sebagai pengganti nilai nol di kolom pertama.

Contoh 5.1

Diketahui sebuah sistem kontrol memiliki fungsi transfer closed-loopsebagai

berikut.

Buatlah Routh-arraysistem tersebut dan interpretasikan kestabilan sistem

tersebut.

Jawab :

Polinom karakteristiknya adalah

sehingga Routh array-nya menjadi seperti yang terlihat pada tabel kiri. Pada

tabel kanan, terlihat hasil analisis perubahan sign.


29/49

Jika e dipilih bernilai +, akan terdapat dua perubahan sign. Jika e dipilih

bernilai - ,juga terdapat dua perubahan sign. Jadi, tidak jadi masalah apakah

e dipilih bernilai+ atau -. Hasil analisis adalah : sistem di atas memiliki dua

polepada RHP.

5.2 Seluruh elemen pada baris bernilai nol

Hal ini bisa terjadi untuk polinom genap

Contoh 5.2

Buat Routh arrayuntuk sistem dengan fungsi transfer closed-loop sbb. :

Jawab :

Routh arraydari sistem adalah:


30/49

Perhitungan tidak bisa dilanjutkan dengan cara biasa karena seluruh elemen

baris ke-3 bernilai nol. Agar perhitungan bisa berlanjut, digunakanpolinom

auksiliari Q(s), yang dibentuk dari baris sebelum baris nol, Q(s) = s4+ 6s2 + 8

Selanjutnya, dilakukan diferensiasi Q(s) terhadap s:

dan baris ke-3 diganti dengan koefisien hasil derivatif (setelah

disederhanakan melalui pembagian dengan 4), seperti terlihat pada tabel kiri

di bawah ini.

Baris-baris lain dibuat dengan cara biasa, yang hasilnya terlihat di atas pada

tabel kanan.

Terlihat tidak adanya perubahan signpada Routh array. Jadi, sistem stabil.

5.2 Interpretasi baris nol

Baris nol akan muncul pada Routh arrayjika polinom genap murni merupakan

factor dari polinom karakteristik. Sebagai contoh, polinom s4+ 5s2+ 7 adalah

polinom genap murni, yang hanya memiliki pangkat genap untuk s. Polinom


31/49

genap memiliki akar-akar simetris terhadap sumbu imajiner. Beberapa kondisi

simetri dapat terjadi :

Adalah polinom genap yang menimbulkan baris nol pada Routh array.

Dengan demikian, baris nol mengindikasikan adanya akar-akar simetris

terhadap origin.Beberapa akar dapat berada pada sumbu imajiner (simetri

jenis B). Sebaliknya,jika kita tidak mendapatkan baris nol, kemungkinan kita

tidak memiliki akar padasumbuj.

Karakteristik lain dari Routh array untuk kasus di atas yang masih perlu

diperta-nyakan adalah apakah baris sebelum baris nol mengandung polinom

genap, yangmerupakan faktor polinom asalnya. Pada contoh yang lalu,

polinom s4+ 6s2+ 8 adalah faktor dari polinom asal. Akhirnya, uji Routh, dari

baris yang mengan-dung polinom genap hingga baris terakhir, hanya menguji

polepada polinom genap.Contoh berikut dapat menjelaskan hal ini.

Contoh 5.2

Hitung berapa pole yang berada pada RHP, LHP, dan di sumbu j untuk

sistem dengan fungsi transfer closed-loopsebagai berikut :

1. akar-akar real dan simetris terhadap

sumbu imajiner (A)2. akar-akar imajiner dan simetristerhadap sumbu real (B), atau

3. akar-akar bersifat kuadrantal (C)

Ketiga kondisi di atas dapat meng-hasilkan polinom genap.


32/49

Jawab :

Dari persamaan dapat dibuat Routh arraysbb.

Untuk mempermudah, baris s6dikalikan dengan 1/10 dan baris s4dikali 1/20.

Terdapat baris nol pada baris s3. Kembali ke baris s4, ekstraksi polinom genap

dan dibuat derivatifnya.

Baris nol diganti dengan 4, 6, 0 = 2, 3, 0 dan Routh arraydapat dilengkapi :


33/49


34/49

Jika K= 1386, maka baris s1menjadi baris nol. Baris sebelumnya adalah

Q(s) = 18s2 + 1386 dan derivatifnya adalah 36s, sehingga Routh array

barunya adalah :

Untuk polinom Q(s) tidak terdapat perubahan signdari s1hingga s0,

sehingga pasti ada dua akar imajiner dan sistem bersifat stabil marginal.

Untuk kontrol azimuth antena pada gambar di samping ini, fungsi trans-

fernya adalah :

Hitung gain pre-amplifierKdimana sistem closed-loop stabil.

Jawab:0 < K < 2623.29

7. Stabilitas Relatif

Pengujian stabilitas sistem kontrol berdasarkan sejumlah parameter adalah

hal yang sangat penting. Namun dalam perancangan sistem kontrol,

stabilitas absolut bukan- lah sesuatu yang menarik. Pada contoh

sebelumnya, gain Kmaksimum yang diperoleh adalah 2623.29. Jika kita

menginginkan "margin of safety" (margin aman) untuk memastikan bahwa

sistem tidak akan pernah instabil. Sebagai contoh, untuk kasus di atas kita

bisa batasi gain K maksimum sebesar 2620.29, yang berarti kita

memberikan marginuntuk gain sebesar 3. Gain margin(GM) adalah

contoh parameter disain yang memastikan telah tercapainya "stabilitasrelatif" dalam disain.


35/49

II.8 Steady-state erro rs

Kesalahan sistem (system error) :

untuk sistem kontrol umpan-balik didefinisikan sebagai selish antara

keluaran yang diharapkan (r(t)) dan keluaran aktuan (c(t)).

Steady-state error:

didefinisikan sebagai selisih antara keluaran yang diharapkan dan keluaran

actual pada t

Dari sejumlah sinyal uji (test input) untuk analisis sistem kontrol, yang telah

dibahas sebelumnya, yaitu impuls, step, ramp, parabola, dan sinusoidal,

akan digunakan tiga sinyal uji untuk menilai kinerja steady-state sistem

kontrol dan hubungannya dengan steady-state error. Ketiga sinyal input

tersebut adalah

input step

input ramp, dan

input parabolik

Input Step

Sinyal input ini merepresentasikan kebutuhan akan posisi yang konstan

dan sangat berguna untuk melihat kemampuan sistem kontrol dalam

memposisikan dirinya relatif terhadap "target" stasioner, seperti satelit

geostasioner.


36/49

Input Ramp

Sinyal input ini merepresentasikan kebutuhan akan kecepatan dan sangat

berguna untuk melihat kemampuan sistem kontrol dalam melacak target

yangbergerak dengan kecepatan konstan. Sebagai contoh, pesawat ruang

angkasa yang bergerak dengan kecepatan konstan di orbit.

Input Parabolik

Sinyal input ini merepresentasikan kebutuhan akan akselerasi dan

pengujian kemampuan sistem kontrol untuk melacak obyek yang bergerak

dengan kece-patan berubah-ubah. Sebagai contoh, pelacakan peluru

kendali yang sedang terbang.


37/49

Karena yang menjadi perhatian di sini adalah selisih antara keluaran aktual

dan keluaran yang diharapkan setelah kondisi steady-statetercapai, kita

hanya dapat menghitung steady-state errorsistem yang respon naturalnya

mencapai zeropada t

8.1 Bentuk-bentuk Steady-State Error s

Berikut ini akan diuraikan bentuk-bentuk steady-state erroruntuk input step

danramp.

Step Error

Observasi step error

Pada kasus 1, e1() = 0 karena output 1 = input pada t= . Steady-

state errorbernilai nol.

Pada kasus 1, e2() 0 karena output 2 = input pada t. Steady

state errorbernilai tidak nol.

Ramp Error


38/49

Observasi ramp error

Pada kasus 1, e1() = 0. Steady-state error bernilai nol.

Pada kasus 2, respon memiliki gradien yang sama, tetapi e2() 0

Pada kasus 3, selisih berubah pada saat input berubah. Respon memiliki

gradient berbeda sehingga e3()

8.2 Perspektif diagram blok

Dengan definisi error sistem, kita dapa mengekspresikan error sistem

dalam bentuk varaiabel ter-transformasi (berguna dalam diagram blok) :

Untuk sistem kontrol umum, dimana fungsi transfernya adalah Gc(s), error

harus di-dapatkan melalui diagram blok seperti pada gambar berikut.

Gambar 1. Erroruntuk sistem closed-loopumum

Untuk sistem umpan-balik unity-gain (gambar 2), keluaran dari blok

penjumlah jelas merupakan error sistem E(s). Selanjutnya konsentrasi

akan diarahkan padapenurunan steady-state erroruntuk kasus khusus ini,

tetapi ini juga bersifat umum, karena bisa diaplikasikan pada rancangan

sistem lain Jika dalam steady-statec= r, maka errore() = 0.

Gambar 2. Erroruntuk sistem umpan-balik dengan unity-gain


39/49

Contoh 8.1

Gambar 3 menunjukkan sistem dengan gainpada forward loop.

Bagaimana steady- stateerror-nya untuk input step.

Gambar 3. Sistem closed-loopdengan gaindalam forward-loop

Jawab :

Digunakan input step r(t) = u(t), c(t) = Kc(t), sehingga steady-state error0

jika c(t) 0. Semakin besar nilai K, semakin kecil steady-state error (1/(1 +

K)), tetapi tidak pernah menjadi nol. Dengan demikian, untuk system

dengan gainmurni pada arah maju (forward), steady-state-errortidak nol

untuk input step.

Contoh 8.2

Integrator dalam forward-loop terlihat pada gambar 4. Tentukan steady-

state error-nya.

Gambar 4. Sistem closed-loopdengan integrator dalam forward loop

Jawab :

Digunakan input step. Steady-state-errorsekarang bernilai nol. Ini karena

keluaranblok, c(t) = Ke(t) dt, dapat bernilai bukan nol, meskipun inputnya

bernilai nol.Jika c(t) naik, c(t) = r(t) - c(t) turun. Jika c(t) = 0, masih bisa

terdapat ouput untukc(t) (K0 dt = 0+ bil.konstan). Sebaliknya, jika tidak

ada error, integrator akanmembentuk lerengan naik dan turun (Kadt = at

+ bil. konstan), meningkatkan c(t) yang kembali akan menurunkan e(t)

hingga nol.


40/49

Model motor yang paling sederhana adalah integrator. Jika diberikan

tegangan konstanakan terjadi perubahan posisi - dengan kecepatan

konstan. Jika tegangan dihilangkan, motor berhenti, tapi posisi akhirnya

tidak harus nol ! Meskipun demikian, jika sebuahmotor digunakan dalam

sistem closed-loop, ia akan berhenti pada nilai yang sama dengan

inputnya. Dengan demikian, sistem kontrol dengan integrator dalam

forward loop akan selalu memiliki steady-state error bernilai nol untuk

posisi.

8.3 Steady-State Error untuk sistem dengan umpan balik unity-gain

Di sini digunakan kembali sistem kanonik seperti pada gambar 1 di bawah

ini.

Untuk sistem ini :

Teorema Nilai-Akhir(final value theorem)menyatakan bahwa

sehin a


41/49

8.3.1Inputstep

Dari persamaan 3, lims 0G0(s) adalah steady-state gain dari fungsi

transfer open-loop.Untuk mendapatkan steady-state step errorsebesar

nol, diperlukan lims 0G0(s) = . Dengan demikian G0(s) harus memiliki

bentuk sbb.:

dimana jika s 0, penyebut akan bernilai nol sehingga G0(s) = .

Dengan demikian, untuk mendapatkan steady-state step error sebesarnol, paling tidak harus ada satu pole pada origin s = 0 (yaitu n > 1).

Faktor s pada penyebut dari fungsi transfer open-loop

merepresentasikan integrator pada arah maju. Dengan demikian, untuk

mendapatkan steady-state step errorsebesar nol, paling tidak kita harus

memiliki satu integrator di dalam fungsi transfer open-loop.

Jika tidak ada penyebut dengan faktor snberarti n= 0 dan diperoleh

Untuk input step satuan (unity step input) r(t) = u(t),dimana :

u(t) = 1 untuk t> 0= 0 di tem at lain


42/49

yang bersifat terhingga (finite) dan menghasilkan steady-state step error

terhingga.

Untuk mendapatkan steady-state ramp error bernilai nol, lims 0sG(s) = .

Untuk itu, n > 2, sehingga paling tidak harus ada dua integrator di dalam

fungsi transfer open-loop. Jika hanya ada satu integrator, n= 1, maka

yang bersifat terhingga dan oleh karena itu akan terdapat steady-state ramp

erroryang terhingga.

Jika tidak ada integrator, maka n= 0 dan akan diperoleh :

8.3.2 In ut

Untuk input r(t) = tu(t) dengantu(t) = tuntuk t> 0

= 0 di tempat lain

sehingga


43/49

Sehingga kita mendapatkan steady-state velocity errortak terhingga

8.3.3 Input Parabolik

Untuk input parabolic dimana.

Agar steady-state parabolic errorbernilai nol, lims0s2G0(s) = . Untuk itu, n

> 3.Berarti harus ada tiga integrator di dalam fungsi transfer open-loop. Jika

hanya ada dua integrator, n = 2, terdapat steady-state parabolic error

terhingga. Jika n< 2, terdapat steady-state parabolic errortak hingga.


44/49

8.4 Definisi Konstanta Galat Statik dan Jenis Sistem

8.4.1 Konstanta Galat Statik (Stat ic Error Constants)Dari perhitungan-

perhitungan di atas, kita dapatkan definisi steady-state error

untukgalat step, ramp, dan parabolik, sbb. :

Konstanta-konstanta di atas dapat bernilai nol, terhingga, atau tak

terhingga, tergantungpada sifat G0(s). Dalam kenyataannya, mereka

bergantung pada jumlah faktor spadapenyebut G0(s) atau jumlah integrator

pada alur maju. Berikut ini adalah konstantagalat statis (static error

constants).


45/49

8.4.2 Nomor jenis system

Perhatikan gambar di atas. Nomor jenis sistem didefinisikan berdasarkan

nilai n, yang berarti menurut jumlah integrator di dalam G0(s).

Sistem dengan n= 0 dinamakanjenis 0 Sistem dengan n= 1 dinamakanjenis 1 Sistem dengan n= 2 dinamakanjenis 2 dst.Jelas bahwa nilai konstanta galat statis berhubungan dengan nomor jenis

sistem. Hubungan ini secara eksplisit digambarkan pada bagian berikut.

Nomor jenis sistem dan konstanta galat statisnya

Jenis sistem dan steady -state error


46/49

8.5 Spesifikasi Steady-State Erro r

Contoh 8.1

Tentukan spesifikasi Kv= 1000. Apa yang ditunjukkannya mengenai

sistem kontrol ?

Jawab :

1. Sistem stabil

2. Sistem tipe 1

3. Input sistem adalah ramp

4. Steady-state error-nya adalah 1/Kvper unit gradien ramp

Contoh 8.2

Untuk sistem kontrol azimuth antena berikut ini

1. Carilah steady-state errordalam Kuntuk input step, ramp, danparabolik

2. Cari nilai Kyang menghasilkan steady-state error10%. Apakah sistem

stabil ?

Jawab :

1.

Sistem tipe 1, berarti

2. Galat 10% berlaku untuk ramp. Jadi untuk galat 10% :


47/49

K= 257,9. Nilai ini berada dalam rentangan 0


48/49

BAB III

Penutup

A. Kesimpulan

Dalam perancangan sistem kontrol, langkah pertama yang harus dilakukan

adalah menganalisa sistem yang akan dikontrol terlebih dahulu. Pembuatan

model yang lebih sederhana akan mempermudah kita dalam menganalisa sistem

tersebut. Kemudian pemodelan tersebut dapat kita nyatakan dalam suatu

persamaan matematis, sehingga aplikasi perhitungan matematis akan sangat

memungkinkan dalam menganalisa sistem tersebut.

Dalam perancangan sistem kontrol umpan balikAda tiga hal yang diperlukan

dalam perancangan sistem kontrol umpan balik diantaranya :

Respon transien

Stabilitas

steady-state eror


49/49

Daftar Pustaka

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2042/Bab4_part3_Lec09.ppt

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2040/Bab4_Part1_Eval_o_Sist_R

es_lec050607.ppt

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2043/Bab5_Lec10.ppt

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2044/Bab6_Lec11.ppt




http://kk.mercubuana.ac.id/files/14021-1-973447051328.doc

http://202.91.15.14/upload/files/4616_Pendahuluan.doc
http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2042/Bab4_part3_Lec09.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2042/Bab4_part3_Lec09.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2040/Bab4_Part1_Eval_o_Sist_Res_lec050607.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2040/Bab4_Part1_Eval_o_Sist_Res_lec050607.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2040/Bab4_Part1_Eval_o_Sist_Res_lec050607.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2043/Bab5_Lec10.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2043/Bab5_Lec10.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2044/Bab6_Lec11.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2044/Bab6_Lec11.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2045/Bab6_part2_Lec12.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2045/Bab6_part2_Lec12.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2046/Bab7_part1_Lec13.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2046/Bab7_part1_Lec13.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2047/Bab7_part2_Lec14.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2047/Bab7_part2_Lec14.ppthttp://kk.mercubuana.ac.id/files/14021-1-973447051328.dochttp://kk.mercubuana.ac.id/files/14021-1-973447051328.dochttp://202.91.15.14/upload/files/4616_Pendahuluan.dochttp://202.91.15.14/upload/files/4616_Pendahuluan.dochttp://202.91.15.14/upload/files/4616_Pendahuluan.dochttp://kk.mercubuana.ac.id/files/14021-1-973447051328.dochttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2047/Bab7_part2_Lec14.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2046/Bab7_part1_Lec13.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2045/Bab6_part2_Lec12.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2044/Bab6_Lec11.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2043/Bab5_Lec10.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2040/Bab4_Part1_Eval_o_Sist_Res_lec050607.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2040/Bab4_Part1_Eval_o_Sist_Res_lec050607.ppthttp://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2042/Bab4_part3_Lec09.ppt

Documents

127496886 Makalah Sistem Kendali Iqbal Fasya