Mehanika II Sedmica 2

1.3. Krivolinijsko kretanje materijalne tačke

Krivolinijsko kretanje je kretanje kod kojeg je putanja kriva linija. Za krivolinijsko

kretanje se put s(t) sad opisuje kao dužina luka između dva položaja materijalne tačke na

krivolinijskoj putanji.

Slika 10. Krivolinijsko kretanje

Trenutni položaj materijalne tačke se u odnosu na neku referentnu tačku (najčešće

koordinatni početak) može se prikazati radijus vektorom 𝑟, koji se još naziva i vektor

položaja. Ako materijalna tačka promjeni položaj u novi položaj koji je označen radijus

vektorom 𝑟′⃗⃗⃗, vektor ∆𝑟 koji nastaje spajanjem ta dva položaja se naziva vektorom pomaka.

Vektorski zbir radijus vektora i vektora pomaka daje radijus vektor novog položaja na

krivolinijskoj putanji.

𝑟′⃗⃗⃗ = 𝑟 + ∆𝑟

Pređeni put tokom vremenskog intervala Δt se može zapisati kao Δs. Ako se kretanje odvija

tokom nekog malog vremenskog intervala Δt, onda su intenzitet vektora pomaka i pređeni

put približno jednaki. Onda se vektor srednje brzine na vremenskom intervalu Δt može

zapisati kao

�⃗�𝑠𝑟 =∆𝑟

∆𝑡

Ukoliko se u razmatranje uzme mali interval vremena Δt, toliko mali da je približno jednak

nuli (Δt 0), onda vektor pomaka teži da zauzme pravac tangente na krivolinijsku

putanju. U tom slučaju i vektor trenutne brzine će da zauzme pravac tangente na

krivolinijsku putanju.

�⃗� = limΔ𝑡→0

∆𝑟

∆𝑡=

𝑑𝑟

𝑑𝑡

Slika 11. Vektor trenutne brzine

Mehanika II Sedmica 2

Kako Δt 0, u tom slučaju vektor pomaka priblično odgovara pravcu tangente, te također

vektor pomaka odgovara i pređenom putu. Prema tome, onda se intenzitet trenutne brzine

može dobiti i sa izvodom pređenog puta po vremenu t.

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡

U dva uzastopna položaja vektori brzine se mogu označiti kao �⃗� i 𝑣′⃗⃗⃗ ⃗.

Slika 12. Vektori brzine dva uzastopna položaja putanje

Razlika vektora brzina uzastopnih položaja putanje daje vektor promjene brzine ∆�⃗�.

∆�⃗� = 𝑣′⃗⃗⃗ ⃗ − �⃗�

Ako se za vremenski interval Δt vektor brzine promjeni za ∆�⃗�, onda se vektor srednjeg

ubrzanja dobije kao odnos vektora promjene brzine i vremenskog intervala.

�⃗�𝑠𝑟 =∆�⃗�

∆𝑡

Trenutno ubrzanje dobije se ako se uzme mali djelić vremena Δt 0, pri čemu vektor

trenutnog ubrzanja jednak derivaciji vektora trenutne brzine po vremenu i teži da se

poklopi sa pravcem tangente u toj tački.

�⃗� = lim∆𝑡→0

∆�⃗�

∆𝑡=

𝑑�⃗�

𝑑𝑡

Ako se vektori brzina u više uzastopnih položaja dovedu u takav položaj da im početci leže

u jednoj tački, onda spajanjem krajeva (vrhova) vektora brzina nastaje kriva linija koja se

naziva hodograf brzine.

Slika 13. Hodograf brzine

Kako je vektor promjene brzine veoma mali za Δt 0, onda se i vektor promjene brzine

smanjuje i približava se pravcu tangente na hodograf brzine. Prema tome, vektor

trenutnog ubrzanja zauzima pravac tangente na hodografu brzine za odgovarajući vektor

trenutne brzine.

Mehanika II Sedmica 2

Slika 14. Vektor trenutnog ubrzanja

Kao što se može zaključiti, vektor trenutne brzine leži na pravcu tangente na putanju u

trenutnom položaju materijalne tačke, dok vektor ubrzanja leži na pravcu tangente na

hodograf brzine u tački na kraju odgovarajućeg vektora trenutne brzine.

1.3.1. Krivolinijsko kretanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

Najčešće korišteni koordinatni za opisivanje kretanja je Dekartov (Decsartes) pravougaoni

koordinatni sistem. Dekartov koordinatni sistem se sastoji od tri brojevne prave čiji početci

leže u istoj tački, a koje su međusobno okomite. Trenutni položaj u ovom koordinatnom

sistemu se definiše preko udaljenosti trenutnog položaja od koordinatnog početka po

pojedinim koordinatnim osama kao odgovarajuća funkcija vremena.

𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦(𝑡)

𝑧 = 𝑧(𝑡)

Koordinatne ose su raspoređene tako da njihovi jedinični vektori čine desni triedar.

Slika 15. Dekartov (pravougli) koordinatni sistem

Radijus vektor se može prikazati preko trenutnih koordinata položaja materijalne tačke

koja se kreće po krivolinijskoj putanji.

𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�

U prethodnoj jednačini radijus vektra veličine x, y i z predstavljaju funkcije vremena t.

Mehanika II Sedmica 2

Intenzitet radijus vektora se može izračunati preko trenutnih koordinata pravouglog

koordinatnog sistema. Intenzitet radijus vektora predstavlja udaljenost materijalne tačke

od koordinatnog početka.

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Ranije je rečeno da vektor trenutne brzine predstavlja derivaciju radijus vektora po

vremenu t.

�⃗� =𝑑𝑟

𝑑𝑡=

𝑑(𝑥𝑖)

𝑑𝑡+

𝑑(𝑦𝑗)

𝑑𝑡+

𝑑(𝑧�⃗⃗�)

𝑑𝑡

Kako je derivacija koordinate po vremenu t jednaka intenzitetu projekcije vektora brzine

na odgovarajuću koordinatu, onda se vektor brzine može zapisati i kao zbir projekcija

vektora brzine po odgovarajućim koordinatnim osama. Vektor trenutne brzine imat će

pravac tangente na putanju u tački koja je jednaka trenutnom položaju.

�⃗� = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧�⃗⃗�

U prethodnom izrazu intenzitet projekcija brzine po pojedinim koordinatnim osama

jednak je izvodu odgovarajuće koordinate po vremenu t.

𝑣𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡= �̇�, 𝑣𝑦 =

𝑑𝑦

𝑑𝑡= �̇�, 𝑣𝑧 =

𝑑𝑧

𝑑𝑡= �̇�

Trenutna brzina se može izračunati kao intenzitet vektora trenutne brzine.

𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2+𝑣𝑧2

Vektor trenutnog ubrzanja se sličnim slijedom dobije derivacijom vektora brzine po

vremenu t.

�⃗� =𝑑�⃗�

𝑑𝑡= 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧 �⃗⃗�

Projekcije ubrzanja po koordinatnim osama predstavljaju derivaciju odgovarajuće brzine

po vremenu t.

𝑎𝑥 =𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡= �̇�𝑥 = �̈�, 𝑎𝑦 =

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡= �̇�𝑦 = �̈�, 𝑎𝑧 =

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡= �̇�𝑧 = �̈�

Trenutno ubrzanje se može izračunati kao intenzitet vektora trenutnog ubrzanja.

𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2+𝑎𝑧2

Ako se kretanje vrši u jednoj ravni, onda se može pojednostaviti pravougli koordinatni

sistem tako da se iz analize izbaci jedna od koordinata (npr. z = 0). Preostale dvije

koordinatne ose čine pravougli ravanski koordinatni sistem za kojeg vrijede sve navedene

relacije, s tim da se iz tih relacija izbace veličine koje se vežu za izbačenu koordinatnu osu.

Mehanika II Sedmica 2

1.3.1.1. Kosi hitac

Ravansko kretanje je svoju posebnu primjenu našlo u opisivanju i analizi kosog hica. Kosi

hitac je slobodan let objekta bačenog pod nekim uglom u odnosu na horizontalnu površinu

Zemlje pri čijoj analizi kretanja se zanemaruje otpor zraka.

Slika 16. Kosi hitac

Prilikom kosog hica se javlja ubrzanje zemljine teže (gravitaciono ubrzanje) koje je

konstantno (g = 9,81 m/s2) i uvijek je usmjereno prema dole. Obzirom da se za analizu

kosog hica koordinatni sistem uglavnom postavlja tako da je jedna od osa postavljena

vertikalno sa pozitivnim smjerom prema gore, to znači da će gravitaciono ubrzanje imati

negativan predznak i da će se naći samo u jednačinama za osu sa kojom je paralelno. Kako

kod kosog hica nema horizontalnog ubrzanja, to znači da će horizontalno kretanje biti

jednoliko. Prema ranije izvedenim izrazima za jednakoubrzano (jednakousporeno)

kretanje i jednoliko kretanje, uz već navedene napomene se mogu izdvojiti jednačine koje

se koriste za analizu kosog hica.

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 −𝑔𝑡2

2

U prethodnim izrazima x0 i y0 predstavljaju početne koordinate kosog hica, dok x i y

predstavljaju koordinate putanje kosog hica u trenutku t.

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥

𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡

U prethodnim izrazima 𝑣0𝑥 i 𝑣0𝑦 predstavljaju projekcije početne brzine kosog hica, dok vx

i vy predstavljaju komponente brzine u pravcima osa x i y u trenutku t.

Jedna od bitnih značajki kosog hica je ta da u trenutku kada kosi hitac dostigne svoj

maksimum putanje, vertikalna komponenta brzine (vy) jednaka je nuli.

Kao specijalni slučajevi kosog hica su horizontalni hitac (početna brzina horizontalna) i

vertikalni hitac (početna brzina vertikalna).

Mehanika II Sedmica 2

1.3.2. Krivolinijsko kretanje u cilindričnom koordinatnom sistemu

Pojedina kretanja je dosta složeno opisati u pravouglom koordinatnom sistemu. Za opis

trodimenzionalnog kretanja se pored pravouglog koordinatnog sistema može koristiti i

cilindrični koordinatni sistem.

Slika 17. Cilindrični koordinatni sistem

Koordinate koje u cilindričnom koordinatnom sistemu opisuju kretanje su radijus vektor

projekcije materijalne tačke na ravan xOy, ugao zakretanja radijus vektora u odnosu na

koordinatnu osu x i visina z. Sve navedene koordinate se mogu definisati kao funkcije

vremena t.

𝑟 = 𝑟(𝑡)

𝜑 = 𝜑(𝑡)

𝑧 = 𝑧(𝑡)

Veza između pravouglih i cilindričnih koordinata se može odrediti sa slike 16.

𝑥 = 𝑟 cos 𝜑

𝑦 = 𝑟 sin 𝜑

𝑧 = 𝑧(𝑡)

Brzina u dekartovom (pravouglom) koordinatnom sistemu se preko cilindričnih

koordinata može prikazati preko derivacije koordinate po vremenu t.

𝑣𝑥 = �̇� = �̇� cos 𝜑 − 𝑟�̇� sin 𝜑

𝑣𝑦 = �̇� = �̇� sin 𝜑 + 𝑟 �̇� cos 𝜑

𝑣𝑧 = �̇�

Ukupna brzina se dobija preko intenziteta vektora ukupne trenutne brzine.

𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2+𝑣𝑧2

Mehanika II Sedmica 2

Uvrštavanjem izraza za brzine u pravouglom koordinatnom sistemu preko cilindričnih

koordinata u prethodnu jednačinu dobija se izraz za ukupnu brzinu izražen preko

cilindričnih komponenti.

𝑣 = √�̇�2 + (𝑟𝜑)̇ 2 + �̇�2

Brzinu u cilindričnom sistemu čine također tri komponente: jedna komponenta paralelna

sa radijus vektorom 𝑟 koja se naziva radijalna brzina, druga komponenta paralelna sa

ravni xOy te okomita na radijus vektor koja se naziva poprečna ili cirkularna brzina i treća

komponenta u pravcu z ose.

𝑣𝑟 = �̇�

𝑣𝜑 = 𝑟�̇�

𝑣𝑧 = �̇�

Do ubrzanja u cilindričnom koordinatnom sistemu se može doći diferenciranjem jednačina

brzina u pravcima odgovarajućih osa.

𝑎𝑥 = �̇�𝑥 = �̈� cos 𝜑 − 2 �̇��̇� sin 𝜑 − 𝑟�̈� sin 𝜑 − 𝑟�̇�2 cos 𝜑

𝑎𝑦 = �̇�𝑦 = �̈� sin 𝜑 + 2 �̇��̇� cos 𝜑 + 𝑟�̈� sin 𝜑 − 𝑟�̇�2 sin 𝜑

𝑎𝑧 = �̈�

Ukupno trenutno ubrzanje se dobije kao intenzitet vektora trenutnog ubrzanja dobijen

preko komponenti ubrzanja u pravcima pravougaonih osa.

𝑎 = √(�̈� − 𝑟�̇�2)2 + (𝑟�̈� + 2 �̇��̇�)2 + �̈�2

Kao i brzina, ubrzanje se sastoji od tri komponente u cilindričnom koordinatnom sistemu:

radijalna, poprečna i komponenta u pravcu ose z.

𝑎𝑟 = �̈� − 𝑟�̇�2

𝑎𝑝 = 𝑟�̈� + 2 �̇��̇�

𝑎𝑧 = �̈�

Cilindrični koordinatni sistem je našao veoma čestu primjenu u industrijskoj robotici, te

je neizostavna njegova primjena pri kontroli polijetanja/slijetanja aviona na aerodrom.

U slučaju kada se kretanje vrši samo u ravni xOy (z = 0), takav se cilindrični koordinatni

sistem naziva polarni koordinatni sistem. Za polarni koordinatni sistem vrijede sve

prethodno izvedene jednačine, uz eliminisanje veličina vezanih za z osu.

Mehanika II Sedmica 2

1.3.3. Krivolinijsko kretanje u sfernom koordinatnom sistemu

Sferni koordinatni sistem za opisivanje položaja koristi tri koordinate: radijus vektor

tačke, ugao projekcije radijus vektora na xOy ravan u odnosu na x osu (azimutni ugao) te

ugao radijus vektora u odnosu na osu z (polarni ugao). Ove koordinate se mogu dati kao

funkcije vremena t.

𝑟 = 𝑟(𝑡)

𝜑 = 𝜑(𝑡)

𝜃 = 𝜃(𝑡)

Sferne koordinate se mogu prikazati u vezi sa pravouglim koordinatama kao što je

prikazano na slici 17.

Slika 18. Sferni koordinatni sistem

Veza između pravouglih i sfernih koordinata se može zapisati kao

𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃

Brzina se može dobiti kao prvi izvod koordinata po vremenu t.

𝑣𝑥 = �̇� = �̇� sin 𝜃 cos 𝜑 + 𝑟�̇� cos 𝜃 cos 𝜑 − 𝑟�̇� sin 𝜃 sin 𝜑

𝑣𝑦 = �̇� = �̇� sin 𝜃 sin 𝜑 + 𝑟�̇� cos 𝜃 sin 𝜑 + 𝑟�̇� sin 𝜃 cos 𝜑

𝑣𝑧 = �̇� cos 𝜃 − 𝑟�̇� sin 𝜃

Ukupna brzina se dobija preko intenziteta vektora ukupne trenutne brzine.

𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2+𝑣𝑧2 = √�̇�2 + (𝑟�̇� sin 𝜃)2 + (𝑟�̇�)2

U sfernom koordinatnom sistemu se brzina može izraziti preko tri komponente:

komponenta brzine u pravcu radijusa (vr), komponenta brzine paralelna sa ravni xOy a

Mehanika II Sedmica 2

okomita na radijus vektor (vφ) te komponenta brzine koja leži u ravni koju čine radijus

vektor i osa z a okomita je na radijus vektor (vθ).

𝑣𝑟 = �̇�

𝑣𝜑 = 𝑟�̇� sin 𝜃

𝑣𝜃 = 𝑟�̇�

Derivacijom komponenti brzina u pravcima osa se dobijaju komponente ubrzanja u

pravcima osa preko kojih se može izračunati ukupno ubrzanje materijalne tačke u sfernom

koordinatnom sistemu.

𝑎 = √𝑎𝑟2 + 𝑎𝜑

2 + 𝑎𝜃2

U prethodnom izrazu komponente ubrzanja predstavljaju ubrzanja čiji pravci su jednaki

sa odgovarajućim brzinama.

𝑎𝑟 = �̈� − 𝑟�̇�2 sin2 𝜃 − 𝑟�̇�2

𝑎𝜑 = 𝑟�̈� sin 𝜃 + 2�̇��̇� sin 𝜃 + 2𝑟�̇��̇� cos 𝜃

𝑎𝜃 = 𝑟�̈� + 2�̇��̇� − 𝑟�̇�2 sin 𝜃 cos 𝜃

Sferni koordinatni sistem je našao svoju najveću primjenu u opisivanju geografskog

položaja na Zemlji, gdje radijus predstavlja nadmorsku visinu, azimutni ugao geografsku

dužinu te polarni ugao geografsku širinu.

1.3.4. Krivolinijsko kretanje : normalna i tangencijalna komponenta

Krivolinijska putanja kretanja se može podijeliti na veliki broj malih dijelova putanje ds.

Svaki od tih malih dijelova putanje približno je jednak malom isječku kruga koji ima svoj

radijus ρ.

Slika 19. Poluprečnik krivine u tački

Za neku tačku na putanji se mogu povući tangencijalni i normalni pravac. Vektor brzine

kod krivolinijskog kretanja ima pravac tangente na putanju u datoj tački i može se iskazati

kao intenzitet brzine pomnožen sa jediničnim vektorom tangente �⃗⃗�𝑡.

�⃗� = 𝑣 �⃗⃗�𝑡

Gdje je trenutna brzina v data kao izvod puta po vremenu t.

Mehanika II Sedmica 2

Vektor ubrzanja se može dobiti kao izvod vektora brzine po vremenu t.

�⃗� =𝑑�⃗�

𝑑𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡�⃗⃗�𝑡 + 𝑣

𝑑�⃗⃗�𝑡

𝑑𝑡

Vektor ubrzanja se sastoji od dvije komponente. Prva komponenta 𝑑𝑣

𝑑𝑡�⃗⃗�𝑡 leži na pravcu

tangente i naziva se tangencijalno ubrzanje. U izrazu za tangencijalno ubrzanje izvod

brzine po vremenu predstavlja intenzitet vektora tangencijalnog ubrzanja, te direktno

zavisi od trenutne brzine sa kojom ima zajednički pravac (tangenta).

Kako se u dva susjedna položaja na putanju koja materijalna tačka pređe za vrijeme dt

pravac tangente promijeni, onda upravo promjena ugla tangente se ogleda u promjeni i

samog jediničnog vektora tangente.

Slika 20. Promjena jediničnog vektora tangente

Vidi se da je promjena vektora tangente za mali interval vremena dt paralelna sa pravcem

normale. Jedinični vektor novog položaja zakrenut je za mali ugao dθ. Kako je intenzitet

vektora ut jedan (1), onda promjena jediničnog vektora tangete odgovara vektoru koji je po

intenzitetu jednak promjeni ugla θ i leži na pravcu normale. Kako se promjena ugla može

prikazati kao odnos pređenog puta u djeliću vremena dt i radijusa krivine ρ, promjena

jediničnog vektora tangente se može zapisati kao odnos trenutne brzine i radijusa krivine

putanje u pravcu normale na putanju.

𝑑�⃗⃗�𝑡

𝑑𝑡=

𝑑𝜃

𝑑𝑡�⃗⃗�𝑛 =

𝑑𝑠

𝑑𝑡

�⃗⃗�𝑛

𝜌=

𝑣

𝜌�⃗⃗�𝑛

Sada se konačno vektor ubrzanja može zapisati kao vektorski zbir dvije komponente

ubrzanja u pravcu tangente i normale na putanju.

�⃗� = 𝑎𝑡 �⃗⃗�𝑡 + 𝑎𝑛 �⃗⃗�𝑛

U prethodnom izrazu vrijednosti tangencijalnog i normalnog ubrzanja su

𝑎𝑡 = �̇�

𝑎𝑛 =𝑣2

𝜌

Pošto su tangencijalna i normalna komponenta ubrzanja međusobno okomite, ukupno

ubrzanje jednako je intenzitetu vektora ukupnog ubrzanja.

𝑎 = √𝑎𝑡2 + 𝑎𝑛

2

Mehanika II Sedmica 2

Generalno, tangencijalna komponenta ubrzanja predstavlja promjenu brzine u jedinici

vremena. U slučaju kada je putanja prava linija, radijus putanje je beskonačan. U tom

slučaju nema normalne komponente ubrzanja, te je ukupno ubrzanje jednako

tangencijalnom ubrzanju.

Ako se materijalna tačka kreće konstantnom brzinom po krivolinijskoj putanji, to znači da

je tangencijalno ubrzanje jednako nuli. Ukupno ubrzanje u tom slučaju će biti jednako

normalnom ubrzanju. Prema tome, normalna komponenta ubrzanja predstavlja

vremensku promjenu pravca vektora brzine. Vektor normalnog ubrzanja je uvijek

usmjeren unutar krivine putanje kretanja prema centru radijusa krivine, te se nekad ovo

ubrzanje naziva i centripetalno ubrzanje.

Slika 21. Vektori tangencijalnog, normalnog i ukupnog trenutnog ubrzanja

Ako je putanja kretanja kriva linija u prostoru, onda se na nju mogu povući samo jedna

tangenta u jednoj tački. Na tu tangentu se može povući samo jedna normala usmjerena

prema centru radijusa krivine. Ravan na kojoj leže tangencijalni i normalni pravac naziva

se oskulatorna ravan. Okomito na ovu ravan se može povući pravac b koji sa

tangencijalnim i normalnim pravcem čine desni triedar. Ovaj pravac naziva se binormalni

pravac. Ravan koju zaklapa normala sa pravcem b se naziva normalna ravan, a ravan

koju zaklapa tangenta sa pravcem b se naziva rektifikaciona ravan.

Slika 22. Krivolinijsko kretanje u prostoru

Mehanika II Sedmica 2

1.3.5. Kružno kretanje

Kružno kretanje je specifičan slučaj krivolinijskog kretanja kod kojeg je radijus putanje

konstantan (ρ = const.). U slučaju konstantnog radijusa, radijalna brzina i ubrzanje su

jednaki nuli.

�̇� = �̈� = 0

Put koji pređe materijalna tačka po kružnoj putanji jednak je dijelu obima kružnice kojeg

odsijecaju radijus vektori početnog i krajnjeg položaja, a koji zavisi od ugla između ova dva

radijus vektora.

𝑠 = 𝑟𝜑

Trenutna brzina leži na pravcu tangente i ima intenzitet jednak poprečnoj brzini.

𝑣 = 𝑣𝑝 = 𝑟�̇� = 𝑟𝜔

Prvi izvod ugla φ po vremenu t se naziva ugaona brzina i najčešće se označava grčkim

slovom ω.

Ubrzanje kod kružnog kretanja sastoji se od dvije komponente, tangencijalne i normalne.

Tangencijalna komponenta odgovara poprečnoj komponenti, dok normalna komponenta

odgovara radijalnoj komponenti ubrzanja usmjerenoj prema centru kružnice.

𝑎 = √𝑎𝑡 + 𝑎𝑛

𝑎𝑡 = 𝑟�̈� = 𝑟𝜀

𝑎𝑛 = 𝑟�̇�2 = 𝑟𝜔2 =𝑣2

𝑟

U prethodnim izrazima dvostruki izvod ugla po vremenu t predstavlja ugaono ubrzanje,

koje se najčešće označava grčkim slovom ε.

Slika 23. Komponente ubrzanja kod kružnog kretanja

Ugao φ se sa odgovarajućom ugaonom brzinom i ugaonim ubrzanjem može povezati

sličnim jednakostima kao i pravolinijsko kretanje, gdje pravolinijski put, brzinu i ubrzanje

zamjenjuju ugao, ugaona brzina i ugaono ubrzanje.

𝜑 = 𝜑(𝑡)

𝜔 =𝑑𝜑

𝑑𝑡= �̇�

𝜀 =𝑑𝜔

𝑑𝑡= �̇� = �̈�