第一课时 : 单调性

教学目标 : 知识教学目标： 1.理解函数的单调性概念 . 2.会判定函数的单调性 . 能力训练目标： 1.培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力 . 2.加强化归转化能力的训练 . 情感渗透目标：1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规律、归纳概括的能力 .2.培养学生辨证思维、求异思维等能力 .

观察下列函数图象 , 体会它们的特点 :

在上面的六幅函数图象中 , 有的图象由左至右是上升的 ; 有的图象是下降的 ; 还有的图象有的部分是下降的 , 有的部分是上升的 .函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性 .如何描述函数图象的“上升”“下降”呢 ?以二次函数 f(x)=x2 为例 , 列出 x,y 的对应值表 :

x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …

f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …

对比左图和上表 , 可以发现什么规律 ?

图象在 y 轴左侧“下降” , 也就是 , 在区间 (-∞,0]上随着 x 的增大 , 相应的 f(x) 反而随着减小 ;图象在 y 轴右侧“上升” , 也就是 , 在区间 (0,+∞)上随着 x 的增大 , 相应的 f(x) 也随着增大 .

练习 :利用刚才的方法描述一下左侧四个函数图象的“上升”“下降”的情况 .

思考如何利用函数解析式 f(x)=x2 描述“随着 x 的增大 ,相应的 f(x) 反而随着减小 .”“ 随着 x 的增大 , 相应的f(x) 也随着增大 .”?

有同学认为可以这样描述 : 在区间 (0,+∞) 上 , x1 ＜ x2 时 ,有 f(x1) ＜ f(x2). 他并且画出了如下示意图 , 你认为他的说法对吗 ?

对于二次函数 f(x)=x2 , 我们可以这样来描述“在区间 (0,+∞) 上随着 x 的增大 , 相应的 f(x) 也随着增大 .”:

试一试 :你能仿照这样的描述 , 说明函数

f(x)=x2 在区间 (-∞,0] 上是减函数吗 ?

定义 :如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2, 当 x1 ＜ x2 时 , 都有 f(x1) ＜ f(x2), 那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数 (increasing function).

如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2, 当 x1 ＜ x2 时 , 都有 f(x1) ＞ f(x2), 那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是减函数 (decreasing function).

注意比较这两句话的不同之处和共同之处 . 想一想为了说明一个函数在某个区间上是增函数还是减函数 , 我们应该重点说明哪些要素 ?

练习 :例 1 下图是定义在区间 [-5,5] 的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间 , 以及在每一单调区间上 , 它是增函数还是减函数 ?

解 :函数 y=f(x) 的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x) 在区间 [-5,-2) ,[1,3) 上是减函数 , 在区间 [-2,1), [3,5] 上是增函数 .

例 2: 物理学中的波意耳定律 p=k/V(k 为正常数 ) 告述我们 , 对于一定量的气体 , 当其体积 V 减小时 , 压强 p 将增大 . 试用函数的单调性证明之 .

证明 :

12

3

4

1. 设 ( 自变量 );

2. 比 ( 函数值 );

3. 判 ( 函数值大小关系 );

4. 结 ( 论 )

小结 : 1.函数的单调性概念 ; 2.增 (减 )函数的定义 ; 3.增 (减 )函数的图象特征 ; 4.增 (减 )函数的判定 ; 5.增 (减 )函数的证明 .

作业 : 课本 45 页第 3,4 题