Toro

1.0 Introduo

- Clculo das tenses cisalhantes.

Diz-se que uma pea est solicitada toro simples quando o nico esforo

solicitante que se manifesta na seo um momento de toro, i.e., um momento atuando

no prprio plano da seo.

Figura 1 Distribuio das tenses cisalhantes.

Facilmente conclumos, pela condio de equilbrio da seo, que os esforos

resistentes que a se manifestam, devem estar contidos na prpria seo gerando tenses

cisalhantes, cuja resultante ser nula e cujo momento dever ser igual a T.

A distribuio destas tenses cisalhantes, cuja intensidade proporcional ao esforo

T, depende da forma da seo, no cabendo aqui a formulao de hipteses simplificadoras,

hiptese da seo plana, a no ser para casos especiais de sees, como s acontece com as

sees circulares e as sees em coroas circulares.

Para as demais sees, o problema teria que ser resolvido pela aplicao da teoria

matemtica da elasticidade ou pela adoo de uma inrcia de toro a ser calculada

2

empiricamente. Para ns interessa, em particular, o estudo de seo no homognea, como

o caso das estruturas de concreto armado.

A toro pode ser classificada em:

Toro de compatibilidade so aquelas em que os momentos torsores resultam freqentemente do efeito de coao, isto , atravs de um

impedimento deformao;

Figura 2 Toro de compatibilidade

Toro de equilbrio os momentos torores so necessrios para satisfazer s condies de equilbrio.

Figura 3 Toro de equilbrio

2.0 - Estudo das tenses cisalhantes nas sees vazadas (celulares).

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he e

T

Espessura das paredes que constituem as clulas

so pequenas, para que se possa admitir a tenso

cisalhante constante ao longo desta espessura.

f =fluxo de tenses cisalhantes

e he = cte e

Frmula de Bredt.

fora elementar: he ds = f ds

R = he ds = he ds = 0

momento elementar: he ds = f ds

T = he ds = he 2 Am

Am = rea mdia ds = 2 Am

Logo, a tenso cisalhante no estado

T = he 2 Am

he = f = T/(2 . Ae) limite ltimo:

4

d = heAe

Td..2

on

Para uma faceta inclinada de 45 o de tenso com somente trao e

compresso.

Figura - Tenses inclinadas 45 .

3.0 - Estuda da toro aplicado ao concreto armado.

A tenso obtida pela frmula : td = heAmTd

..2 - no deve ultrapassar

ao valor limite da Norma (item 5.3.1.2)

td tu tu = 0,22 fcd 50 kgf/cm quando temos a armadura paralela e normal ao eixo da pea

tu = 0,27 fcd 50 kgf/cm com armadura inclinada a 45. Verificada a tenso, a armadura ser calculada da seguinte forma:

b

b1

h1

2. f. b1.h1 = Td

112 hbTf d=

112 hbTf

sA d

ydst

=

yd

dst

fTA

h

hbs 112

=de Td = f T

temos um estad5

Armadura longitudinal

( )11112

2. hbhb

TfA dydsl += yd 4350 Kgf/cm

( ) yddsl

fhbT

hbA

1111 22=+ u = permetro da rea mdia

Para armadura helicoidal

s s

22 ydedst

fAT

sA =

Seo vazada

he/2 he/2

Se he for maior que a espessura de uma parede fictcia da seo cheia, usar esta ltima.

Seo cheia: calcular como seo vazada.

he

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Parede fictcia

1 caso: bs > 5/6 b

hs = b/6

2 caso: bs 5/6 b

Exemplo 1:

b=30 5/6 b = 5/6 x 30 = 25 > bs

bs/5 = 24/5 = 4,8 cm 5 cm h=50

bs=24

hs=44

7

Exemplo 2:

b = 50

h = 80

bs = 44

hs = 74

5/6 b = 5/6 x 50 = 41,7 < bs

b/6 = 50/6 = 8,3 cm

TORO E FLEXO

Neste caso podemos determinar as armaduras separadamente para a toro e a

flexo e depois som-las. Devemos notar que no caso da soma de armaduras ser menor que

a mnima no usaremos duas vezes a armadura mnima.

Verificao do conceito: (equao de compatibilidade)

td

tu

wd

wu+ 1

onde: td = tenso de toro de clculo; tu= tenso de toro ltima; wd = tenso de cisalhamento de clculo; wu= tenso de cisalhamento ltima;

No CEB, para limitar as aberturas de fissuras e deformaes, este limite foi reduzido

para 0,7.

Detalhamento das armaduras para atender a concomitncia de solicitaes de toro e flexo :

As armaduras necessrias para resistir aos esforos de toro e flexo a somas das

armaduras transversais e longitudinais, da seguinte forma:

I. Armaduras em estribos a 90 :

Armadura de estribo = Asw + As90 = Astotal

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onde: Asw = armadura em estribo para combater ao cisalhamento;

As90 = armadura em estribo para combater a toro.

II. Armaduras em ferros longitudinais:

Armadura em ferros longitudinais = As + Asl = Astotal onde: As = armadura de flexo ( na face superior ou na face inferior);

Asl = armadura longitudinal para combater a toro.

Armaduras mnimas: No caso do estudo da toro devero ser satisfeita as seguintes condies quanto as

armaduras mnimas:

1. ferros longitudinais

Asl 0,14% . Ac para CA50

onde Ac = rea no trecho de paredes

fictcias

2. ferros transversais - estribos

rea no trecho de paredes fictcias

As90 0,14% . he x s (CA50) como se fossem vigas de espessura igual a he.

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Disposies construtivas:

armadura longitudinal

1) para b e d < 60 cm concentrar a armadura no canto

l > estribo NB1 10 mm

2) Para b e d > 60 armadura longitudinal distribuda.

Dimetro do ferro longitudinal (l) > dimetro do estribo(t)

Armadura de estribos

1- Os ensaios mostram que os estribos comuns satisfazem desde que o gancho seja

aumentado de 5 para 10.

10

2- Os estribos traspassados so desnecessrios e dificultam a concretagem.

10

1) Podem ser usadas malhas.

Espaamento entre estribos

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RECOMENDAES DO CEB

Para tenses

1) wd 0,6 wu s u/8 com u = 2(bs + hs) l s/6

Exemplo:

bs = 30

hs = 40

u = 140 cm

s 140/8 = 17,5 cm l 17,5/6 = 2,9 cm (bitola grande)!? Podemos reduzir. Usar s = 12,5 p.ex.

l = 12,6/6 = 2cm = 20mm

2) wd < 0,3 tu s 1,3 u/8 , l 1/16 s

3) No trecho intermedirio interpolar, assim temos o grfico espaamento estribos:

Bitola longitudinal no canto

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Exemplo

Seja calcular a viga abaixo:

l = 4m

ck = 15 MPa

CA50B

q = ? m = ?

1 tentativa:

Viga b=30cm

h=40cm

Laje pp=0,08 x 2500 = 200 kgf/m2

Imperm + sc = 100 kgf/m2

300 kgf/m2

Viga pp=0,30 x 0,40 x 2,5 = 0,30 tf/m2

qtotal 1,4 x 0,30 = 0,42 tf/m2

... = 0,30 tf/m2

alv. = 0,60 tf/m2

1,32 tf/m2

Momento de toro por metro:

m = 0,42 x (0,70 + 0,15) = 0,36 tf.m/m

Diagramas:

V = 1,32 x 2 = 2,64 tf

Toror:

T = 0,36 x 2 = 0,72 tf/m

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Tenses cisalhantes

wd = 2640 x 1,4 = 3,3 kgf/cm 30 x 37

Toro

bs = 24 cm < 5/6 b = 5/6 x 30 = 25

bs = 24/5 = 4,8 5 5

t = T 2Aehe

Ae = 24 x 34 = 816 cm

he = 5 cm

t = 72000 = 8,8 kgf/cm 2x816x5

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td = 8,8 x 1,4 = 12,3 kgf/cm

Conceito ck = 150 kgf/cm

wd + td < 1,0 wu tu

wu = 0,25 x 150 = 26,8 kgf/cm 1,4

45 kgf/cm

tu = 0,22 x 150 = 23,6 kgf/cm 1,4

40 kgf/cm

3,3 + 12,3 = 0,6 < 0,7 ok! (CEB)

26,0 23,6

Armadura com estribo:

Toro: Asq0 = Ase = Td

s u 2Aeyd

Td = 1,4 x 70000 = 98000 kgf/cm

Ae = 24 x 34 = 816 cm yd 5000 = 4000 kgf/cm 1,15

4000

Asq0 = Ase = 98000 = 0,015 cm

s u 2x816x4000

15

Disposio construtiva

Espaamento entre estribos:

td = 12,3 = 0,64 wu 19,3

u = 2(24+34) = 116 cm

Asq0 = 0,015 x s = 0,015 x 15 = 0,23 cm (uma perna)

6,3 = 0,32 cm ok! 6,3c.15

Verificao da armardura mnima

Asq0 = 0,14% x s x he = 0,14 x 15 x 5 = 0,11 cm < 0,23 ok!

(uma perna) 100

Ferro longitudinal

Como b

Asw = 0,02 x 30 x 15 = 0,09 cm (2 pernas)

(2 pernas) 100

Asf = 0,23 cm

Verificao do estribo mnimo para cortante

Asw 0,14% Asw = 0,14 x 30 x 15 = 0,63 cm (2 pernas) bw.s 100

6,3 ok!

Ferro longitudinal

Asl = 0,015 x u u = 2(24+34) = 116cm

Asl = 0,015 x 116 = 1,74 cm

Asl (1 ferro) = Asl = 0,44 cm 8mm ok! 4

Verificao do ferro de canto

s = u = 15 = 2,5 cm

6 48 6

s = 15 = 0,94 cm 9,4mm

16 16

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Verificao da flexo

M+ M = 1,32 x 4 2,64 tfm As = 1,5 cm

21= 10cm

logo os 225mm ok!

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Figura 2 Toro de compatibilidadeFigura 3 Toro de equilbrioPara armadura helicoidal

TORO E FLEXONo CEB, para limitar as aberturas de fissuras e deformaes,Armadura de estribosExemploTd = 1,4 x 70000 = 98000 kgf/cmBibliografia