철근콘크리트공학[1]

Ch. 4 보의 해석 설계

20

Chapter 4 보의 해석 설계

4.1 단철근보의 휨거동

Steel Yielding

Cracking

Ultimate State

Failure(Crushing)

Load

Ultimate

Service

No Cracks

Deflection

(3)

(3)

(5)

(5)

서울산업대학교 한봉구

(Analasys of Beams & Design)


21

4.2 단면 해석의 가정 [콘설기 6.2.1, 도설기 4.4.3.1]

⑴ 평형조건과 합조건을 만족시켜야 한다.

⑵ 변형률은 립축에서의 거리에 비례한다.

변형 의 평면은 변형 후에도 평면을 유지한다.

⑶ 휨 는 휨과 축하 을 동시에 받는 부재의 콘크리트

극한변형률은 0.003으로 가정한다. (Crushing)

⑷ 철근의 응력-변형률 곡선은 선형탄성-

완 소성으로 가정한다.

⑸ 휨 계산에서 콘크리트의 인장강도는

무시한다.

⑹ 콘크리트 압축응력의 분포와 콘크리트 변형률 사이의 계는 직사각형, 사다

리꼴, 포물선형, 는 강도의 측에서 범 한 실험의 결과와 실질 으로 일

치하는 어떤 형상으로도 가정할 수 있다.

⑺ 콘크리트의 압축응력분포는 등가 직사각응력분포를 사용해도 좋다.



22

4.3 공칭휨강도 (Nominal Flexural Strength) : Mn

◉ Moment Capacity in general

▪ : moment at failure.

▪Failure : concrete crushing, steel may yield or may not yield.

Equilibrium ;

C = volume of concrete stress

M = Force · moment arm

moment arm = ?

Have to know "c" (neutral axis) and "z" (location of force "C")

◉ 등가 직사각응력분포 : Equivalent Rectangular Stress Block

▪Equivalent : (1) Same magnitude of "C" (2) Same location of "C"

1) ≤ MPa ;

2) MPa :

3) ≥ MPa ;



23

◉ Nominal Strength Calculation

▪Mn = Force · arm = [C or T ] (d - a2 )

▪Steel stress,

If steel yields, →

If steel not yield, →

▪Check for steel yielding from triangular strain diagram

→

≥ → Steel yielding

→ Steel NOT yielding

▪Nominal Strength Calculation Procedure

(1) Assume tension steel yielding ; Check it later in (4) ! →

(2) Compute concrete compressive force ;

(3) Find "a" by equilibrium ; →

(4) Check tension steel yielding ;

If ≥ → Assumption is right.

(5) Compute Mn ; ·



24

◉ Example 4-1 : 단철근 직사각형 단면의 공칭휨강도

b = 320 mm h = 600 mm

d = 530 mm

3-D25 ; = 1,520 mm2

= 27 MPa

= 400 MPa

section strain stress & force

1) Assuming steel yields ;

N

2) [N] (unit of a : mm)

3) ; →

mm

4) Check steel yielding ;

since 27 MPa →

립축

mm

→ steel yielding → Assumption is right.

5)

N-mm

kN-m

※ 설계계산 은 최종단계에 서 유 효숫자 3 자리 !



25

◉ Alternative Expression of

Since

from equilibrium condition,

Define steel ratio (철근비),

→

∴

▪How good is Mn calculation ?

Total 364 beam test result



26

◉ Balanced Steel Ratio (균형철근비) :

▪Balanced Strain Condition (균형변형률상태) : 인장철근이 항복을 시작함과

동시에 콘크리트 압축연단이 극한변형률에 도달하는 변형률 분포.

▪를 이용하면 극한상태에서 인장철근의 항복여부를 쉽게 알 수 있다.

▪Equilibrium : , From ,

→

: ①

▪Compatibility : From strain diagram,

→

: ②

▪① = ② :

∴

: ③

Since →

×

: ④

( MPa)

▪Tension steel yielding check by : actual

If ≤ ≤ → Tension steel yielding

If → Tension steel NOT yielding



27

b

Asb

d

◉ Example 4-2 : 균형철근단면 , 균형철근비

Same section as the previous example.

b = 320 mm h = 600 mm d = 530 mm

= 27 MPa = 400 MPa

Find and .

(1) By compatibility & equilibrium conditions :

From strain diagram,

→

mm

mm

N

→

mm2

→

kN-m

(2) By equation :

→ mm2

(3) From the previous example 4-1 :

actual mm2 → actual

actual (actual ) → Tension steel yields at failure.



28

◉ of over-reinforced section : → NOT yielding

→ Quadratic equation for "c"

Calculate "c" → Compute C, T, a, and :

◉ Example 4-3 : b = 320 mm d = 530 mm = 27 MPa = 400 MPa

= 6,000 mm2

Since (= 4,963 mm2) → Steel does not yield at failure.

×

→

± mm

kN

kN

→ Say OK (0.23 % error). Then, kN

mm

×

kN-m



29

◉ Summary : Compressive Stress Distribution

◉ Nominal Flexural Strength of Non-Rectangular Section



30

4.4 설계휨강도 (Flexural Design Strength) :

◉ Application of Strength Reduction Factor (강도감소계수의 용방법)

▣ 도로교설계기 4.4.2.2(2) : 강도감소계수

▪휨모멘트 : (축력이 0인 모든 경우에 용)

▪축 력 : (띠철근 부재), (나선철근 부재)

≤ ≤ → ≤ ≤

▣ 콘크리트구조설계기 3.3.3, 6.2.2, 6.3.2 : 단면 구분, 강도감소계수 용

▪압축지배 단면 : 콘크리트 압축연단 변형률이 0.003에 도달할 때 최 외단 인장

철근의 순인장변형률 가 압축지배 변형률 한계 이하인 단면.

(띠철근 부재), (나선철근 부재)

▪인장지배 단면 : 콘크리트 압축연단 변형률이 0.003에 도달할 때 최 외단 인장

철근의 순인장변형률 가 인장지배 변형률 한계 이하인 단면.

▪변화구간 단면 : 순인장변형률 가 압축지배 변형률 한계와 인장지배 변형률

한계 사이인 단면. ≤ ≤

▪압축지배 변형률 한계 = 항복변형률,

▪인장지배 변형률 한계 = 0.005 (단, 가 400 MPa를 과하는 경우에는 )

▪순인장변형률 : 공칭강도에서 최외단 인장철근 는 긴장재의 인장변형률

에서 리스트 스, 크리 , 건조수축, 온도변화에 의한

변형률을 제외한 인장변형률

▪ 값 결 정 방 법 : 괴 때의 인장철근의 변형률에 따라 의 값을 결정한다.



31

◉ Example 4-4 : 콘크리트구조설계기 (2007)에 따른 Example 4-1, 4-2, 4-3

단면의 설계휨강도

Ex. 4-1 : mm2 kN-m

Since → 인장지배 단면

→ → kN-m

Ex. 4-2 : mm2 kN-m

Since → 압축지배 단면

→ → kN-m

Ex. 4-3 : mm2 kN-m

Since → 압축지배 단면

→ → kN-m

[Note] Ex. 4-2와 Ex. 4-3의 단면은 콘크리트구조설계기 (2007)에서

휨부재로 허용되지 않는 단면이다.


= 3,300 mm2 인 직사각형 단면의 설계휨강도

1) Assuming steel yields ; N

2) [N] (unit of a : mm)

3) ; →

mm

4) Check steel yielding ;

mm

> → steel yielding → Assumption is right.

5)

kN-m

6) ε → 변화구간 단면

kN-m



32

4.5 단철근 직 사 각 형 단면의 설계

(Design of Singly R einf orc ed R ec tangular Sec tion)

◉ Code Provisions

1) Strength : 계수하 상태에서 안 성 확보 ≥ ≥

2) Ductility : 취성 괴(brittle failure) 방지, 연성 괴 유도.

3) Serviceability : 사용하 상태에서 사용성 확보 (처짐, 균열, 진동 등)

4) Reinforcement Details : 강도 확보를 한 철근상세 (간격, 피복두께 등)

◉ Ductility Provision : 연성 확보 min ≤ ≤ max

▣ 도로교설계기 4.4.4(1) : 최 철근비, 최 인장철근량

max max



33

▣ 콘크리트구조설계기 6.2.2(5) : 최소허용변형률 (최 인장철근량)

▪ 용 상 : 리스트 스를 가하지 않은 휨 부 재 는 휨 모 멘 트 와 축 력 을

동 시 에 받 는 부재로서 계수축하 이 보다 작은 경우

▪ 용 방법 : 공칭강도에서의 순인장변형률 가 최소허용변형률 이상이도록.

▪최소허용변형률 : 철근의 항복강도가 400 MPa 이하인 경우에는 0.004,

철근의 항복강도가 400 MPa을 과하는 경우에는


인 직사각형 단면의 최 인장철근량

1. 도로교설계기 (2005)을 용한 경우

Example 4-2에서, mm2,

→ max mm2

or max

max max mm2

2. 콘크리트구조설계기 (2007)을 용한 경우

min

From strain diagram,

→ max

mm

mm

N

→ max

mm2

→ max



34

▣ 콘크리트구조설계기 6.3.2, 도로교설계기 4.3.6.1 : 최소철근량

(1) 다음 두 식에 의해 계산된 값 큰 값 이상.

[참고] 즉, min

는 min

(3) 해석상 필요한 철근량보다 1/3 이상 인장철근이 더 배근되는 경우에는

최소철근량의 규정을 용하지 않을 수 있다.

▪식 유도 개념 : (철근콘크리트)≥ (무근콘크리트)

(무근콘크리트) based on

가 무 작으면 콘크리트 압축연단이 crushing 되기

이 에 인장철근 단 → 취성 괴(brittle failure)

◉ Reinforcement Details : 철근상세(철근세목)

▪[콘설기 5.2.2(1)] 표 갈고리의 구부림 최소 내면반지름 : r

D10～D25 : 3 D29～D35 : 4 D38 이상 : 5

▪[콘설기 5.2.2(2)] D16 이하 Stirrup의 최소반지름 r

r = 2 r = C in figure



35

s

s

c

c

▪[콘설기 2.2.1(2)④] 굵은골재의 공칭 최 치수 : (라) 과다 철근 부재 - 생략

(가) 거푸집 양 측면 사이의 최소 거리의 1/5 (나) 슬래 두께의 1/3

(다) 개별 철근, 다발철근, 리스트 싱 긴장재 는 덕트 사이 최소 간격의

3/4 → [참고] 즉, 철근의 순간격은 굵은골재 최 치수의 4/3 배

▪[콘설기 5.3.2] 철근의 순간격

(1) 수평 순간격 s : 25 mm 이상, 철근지름 이상

(2) 수직 순간격 s : 25 mm 이상, 상하철근을 동일 연직면내에 배치

▪[콘설기 5.4] 피복두께 c : 경우에 따라 결정 - 최외곽철근에 한 피복두께

, c = 40 mm (흙에 하지 않는 보의 경우)

▪설계 참고사항 : Not Code Rules

1) 단면크기는 정수 cm 사용

2) 보의 폭은 짝수 cm 사용

3) 사각형보 단면의 경제 높이/폭 비율 = 1.5 ～ 2.5 (일반 구조)

4) T형보 단면의 flange 두께는 체높이의 약 20 % 정도 (일반 구조)

5) 단면 좌우 칭으로 철근 배근 : 최소한 2개 이상의 철근 사용

6) 보의 경우 가능하면 D35 이하의 철근 사용

7) 철근조합 시 2단계 이내의 크기조합 : D25 + D19 (O) D29 + D16 (×)

8) 가능하면 1열로 배근

9) 다열배근인 경우 큰 철근을 립축과 멀게 배근



36

◉ Required steel Area and Required Dimension for Flexure

▪Objectives : ≥ → ′

→

→

▪Two unknowns : ① steel amount, :

② sectional dimension, :

(1) If b ＆ d are determined or given :

Calculate

→ ′

From ; 에 한 2차 방정식

→ ′

→ ′ ′ ∙

(2) If or is determined or given :

Calculate → ′

From

; 에 한 1차 방정식

→ ′



37

d h

◉ Two Types of Design

(1) Given size Design ; Size (b & h ) given, determine steel area ()

(2) Free size Design : Determine size (b & h ) and steel area ()

◉ Given Size Design Procedure : 단철근 직사각형보 - , , b, h are given.

(1) Compute Mu :

(2) Estimate d :

≈ - [피복두께] - [ 단철근 지름] - [인장철근 반지름]

≈ ∼∼

≈

(3) Compute ′ : ′

(4) Compute ′ : ′

′ ′ ′ ∙

(5) Select reinforcing bars : considering steel spacing

(6) Check steel amount and strength :

1) Compute : actual

2) Check : min ≤ ≤ max or ≥ min (= 0.004)

3) Compute :

4) Check : ≥



38

◉ Example 4-7 : Given Size Design

옥외의 공기나 흙에 직 하지 않는 철근콘크리트 구조물로서, 추가고정하

= 15.2 kN/m, 활하 = 35 kN/m를 지지할 경간 6 m의 단순보를

콘크리트구조설계기 (2007)에 따라 설계하려고 한다. D13의 철근을 스터럽으

로 사용하고 단면의 폭 b = 320 mm, 높이 h = 600 mm 인 직사각형 단철근

단면을 사용하기로 하 을 때, SD400의 인장철근을 결정하라. 콘크리트의 설

계기 강도는 27 MPa이며 철근콘크리트의 단 질량 는 2.5 ton/m3이다.

(1) : 자 kN/m

고정하 kN/m

계수하 kN/m

최 계수모멘트

kN-m

(2) Estimate d : est. ≈ mm

(3) ′ : ′

MPa

(4) ′ : ′

′

′ ′ ∙ mm2

(5) Possible re-bars & select re-bars :

① 8-D19 ( = 19.1 mm, = 2,292 mm2) :

1-layer, min b =

= 465 mm > b = 320 mm → NG

2-layers, min b = 289 mm < b = 320 mm → OK



39

② 5-D25 ( = 25.4 mm, = 2,534 mm2) : min b = 359 mm → NG

③ 4-D29 ( = 28.6 mm, = 2,570 mm2) : → NG

min mm

④ 3-D32 ( = 31.8 mm, = 2,383 mm2) : min b = 283 mm → OK

⑤ 2-D25 + 2-D29 ( = 2,298 mm2) : min b ≈ 328 mm → NG

Try 3-D32 : = 2,383 mm2, = 31.8 mm

(6) Check Steel Area & Strength for 3-D32 : actual - [피복두께] - [ 단철근 지름] - [인장철근 반지름]

mm

min :

mm2

mm2

→ min mm2 mm2 → OK

[N] (unit of a : mm)

N → Steel yielding

;

mm →

mm

→ OK for max

kN-m

Since → 인장지배 단면 →

kN-m > kN-m

→ OK (4.7 % over-strength) → Use 3-D32



40

◉ Free Size Design Procedure : 단철근 직사각형보

fck, fy, and live load are given.

(1) Estimate self weight : 하 의 크기, 구조물의 용도, 구조형식 등에

따르는 경험 지식을 토 로 하여 선정한다.

(2) Compute :

( : 에 한 사용하 모멘트)

(3) Select : If max → 최소 단면

If min → 최 단면

If ≈ → 일반 크기

(4) Compute ′ : ′ ∙

(5) Assume & compute ′ : ′ ′

(6) Select b & d → Determine b & h [cover, steel spacing, etc.]

(7) ① If [ by selected b & d] ≈ ′ → Select re-bars by → ∙

② If [ by selected b & d] ≠ ′

→ Re-calculate ′ according to the design step (2)～(6).

(8) Check steel amount and strength :

1) Compute : actual

2) Check : min ≤ ≤ max or ≥ min (= 0.004)

3) Compute :

4) Check : ≥



41

◉ Example 4-8 : Free Size Design

자 을 포함한 고정하 = 20 kN/m, 활하 = 35 kN/m, 6 m 경간의

단순보를 직사각형단면으로 설계할 때 단면의 크기를 가능하면 작게 하려고

한다. 콘크리트구조설계기 (2007)에 따라 = 27 MPa, SD400 철근, D13의

스터럽을 사용하여 실무 으로 사용가능한 단면을 결정하라.

(1) : kN-m (from Example 4-7)

(2) Select : max (from Example 4-6)

(3) ′ : ′ ∙

MPa

(4) ′ : min

′ ′

×

mm3

(5) Beam Size : Select b & d → Determine b & h

① b = 200 mm → d = 580 mm → h = 580 + 70 = 650 mm, h/b = 3.25

② b = 240 mm → d = 530 mm → h = 530 + 70 = 600 mm, h/b = 2.5

③ b = 280 mm → d = 490 mm → h = 490 + 70 = 560 mm, h/b = 2.0

④ b = 320 mm → d = 459 mm → h = 459 + 70 = 529 mm,

practical h = 530 mm, h/b = 1.66

⑤ b = 360 mm → d = 432 mm → h = 432 + 70 = 502 mm,

practical h = 510 mm, h/b = 1.42

▪Use the section between [ b = 240 mm h = 600 mm section ]

and [ b = 320 mm h = 530 mm section ]



42

4.6 복 철근 단면 (Doub ly R einf orc ed Sec tion)

◉ 압축철근 사용목 : 1) Strength 증가 - 단철근으로는 휨강도가 부족한 경우

단면 을 감소시킬 필요가 있을 때

2) 장기처짐 감소 - 크리 와 건조수축에 의한 변형억제

3) Stirrup (스터럽, 단철근) 고정 - 시공

◉ Nominal Flexural Strength : Mn

′ ′

→ Tension steel yielding

′ ′ ′ : If ′≥ ′ ′ If ′ ′ ′ ′ The strain ′ depends on "c"(neutral axis).

By Equilibrium : ′ → Find "a" and "c"

◉ When compression steel yields :

′ ; ′

′ ′ →

Check As' yielding ;

′

′ → ′

′≥



43

◉ Example 4-9 : Mn of doubly reinforced section with As & As' yielding

b = 320 mm d = 530 mm d ' = 70 mm As = 4,963 mm2 (= )

As' = 1,520 mm2 (3-D25, ≈ 1/3 As) = 27 MPa = 400 MPa

b

Ad

d' c

d - c

a C'

C

T

ε ' s

ε s

s'

As

0.003

′ ′ N → Assuming As' yielding

N → Tension steel yielding

[N] (unit of a : mm)

Equilibrium : ′ →

→ mm

Check As' yielding :

mm

′ ′

→ OK

Check As yielding :

→ OK

Check max As : → OK

N

′ ′

kN-m

Since → 변화구간 단면 →

kN-m

※ As = 4,963 mm2, As' = 0 → c = 270 mm Mn = 784 kN-m

As = 4,963 mm2, As' = 1,520 mm2 → c = 226 mm Mn = 875 kN-m

(31 % more) (12 % more)



44

c

d - c

ε ' s

ε

0.003

d

y

c

d - c

ε

0.003

d

y

d'

◉ 복철근단면의 최 인장철근비

▪균형변형률상태, 압축철근이 항복하는 경우 :

′ ′ ≈′ ▪By Equilibrium : ′

→ ′

, ′ ′ → ′ ∴

′ ················ ①

→

′ ′

▣ 도로교설계기 4.4.4(1) : 최 철근비

압축철근에 의한 부분에 해서는 0.75 계수를 용할 필요가 없다.

As' yielding : ′ or ′

If not : ′′

or ′′

◉ 복철근단면의 압축철근 항복조건

′ 를 식 ①에 입

→

′

′

; 압축철근이 항복하기 한 인장철근의 최소값

◉ Summary : ≤ → As yielding, As' not yielding

≤ ≤ → As yielding, As' yielding



45

◉ Example 4-10 : Mn of doubly reinforced section with As' not yielding

b = 320 mm d = 530 mm d ' = 70 mm = 27 MPa

As = 2,383 mm2 (3-D32) As' = 573 mm2 (2-D19) = 400 MPa

′

′

′

′ ( )

→ As' not yielding

N

ｂ ′ ′ ′ ′

′

′ ;

→ mm

N

′

N

Check : ′ ≈ → OK

Check : ′ ′

→ OK

→ OK

′ ′ [ mm ]

kN-m

kN-m ( → )



46

4.7 T 형 단면 (T - Shaped Sec tion)

◉ 연속보의 거동

◉ 유효폭

▣ 콘크리트구조설계기 3.4.8 : T형보의 유효폭 b ( beff , be )

▪T형보 : [16 tf + bw , 양쪽 슬래 심간 거리, 보의 경간의 1/4 ] 최소값

▪반 T형보 : [6 tf + bw , 보 경간의 1/12 + bw , 인 보와의 내측거리의 1/2 + bw ]



47

◉ T형 단면 직사각형 단면의 정 - 등가직사각형 응력 깊이 a

If ≥ , then ≤

If , then

◉ 공칭휨강도 Mn

→

→

◉ T형 단면의 균형철근량

If ,

;



48

◉ T형 단면의 최 인장철근비

(1) 균형철근비 기 의 개념 : 도로교설계기 max

≤

b : T형 단면의 유효폭 : 단철근 직사각형 단면의 균형철근비

(2) 립축 기 의 개념 : AASHTO-LRFD

≤

(3) 인장철근의 변형률 기 의 개념 : ACI 318, 콘크리트구조설계기 (2007)

▪ACI 318-02/05 : ≥

▪콘크리트구조설계기 (2007) :

≥ for ≤ MPa

≥ for MPa

◉ T형 단면의 최소철근량

▣ 콘크리트구조설계기 6.3.2 : 최소철근량

(1) 랜지가 압축 상태인 T형 단면 : 다음 두 식 큰 값 이상.

(2) 랜지가 인장 상태인 정정구조물의 T형 단면 :

식에서 bw 에 랜지의 유효폭 b 와 2 bw 작은 값을 입하여 계산.

(3) 해석상 필요한 철근량보다 1/3 이상 인장철근이 더 배근되는 경우에는

최소철근량의 규정을 용하지 않을 수 있다.



49

◉ Example 4-11 : φ Mn of T-shaped section & Check [콘설기(2007) 용]

tf = 120 mm bw = 320 mm h = 600 mm d = 500 mm = 21 MPa

As = 4,765 mm2 (6-D32) 보의 경간 L = 3.2 m = 400 MPa

(1) 유효폭 : mm

Slab 심간 거리 mm

mm → 유효폭 mm

(2) Compute "a" & strength :

N

→ T-section →

N

→ mm > → OK mm

N

kN-m

kN-m ( → )

(3) 최소철근 검토 :

mm2

mm2

→ min mm2 mm2 → OK

(4) 최 철근검토 : → OK


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