UNIVERSITETI POLITEKNIK I TIRANES INXHINIERI INFORMATIKE

Sheshi Nënë Tereza, Nr. 4, TIRANE

Teori Sinjalesh

Punoi Pranoi

Ne skeme jepet nje model i thjeshtuar i sistemeve te transmetimin me radio – ura tokesore.

Burimi dhe destinacioni i informacionit mund te jete sinjal zanor. Ky sinjal shtrihet ne brezan 20 Hz 20 kHz. Shnderruesat ne anen e transmetuesit bejne perkatesisht shnderrimin e informacionit ne sinjal elektrik dhe shnderrimin e sinjalit elektrik ne sinjal zanor.

N e a nen e t r a n s m e t ue s i t k e m i : Kufizuesin e bandes i cili sinjalin f(t) e kufizon ne brezin 300Hz

3400 Hz. Sinjali i kufizuar ne bande i cili del ne piken 1, hyn ne modulator ku shumezohet ne kohe me sinjalin cosω0t (ku ω0=70 MHz ), pra behet modulimi i sinjalit cosω0t nga sinjali modulues qe nyn ne piken 1 .

Sinjali i moduluar del ne piken 2 dhe hyn ne AFN (amplifikator mefrekuence te ndermjetme) i cili supozojme se e amplifikon kete sinjal 4 here. Pra, koeficenti i amplifikimit = 4.

Oshilatori prodhon nje sinjal kosinusoidal me frekuence te larte, ne rastin tone 2 GHz – 70 MHz.

AH eshte nje amplifikator ne hiperfrekuence i cili amplifikon sinjalin duke dhene ne piken 5 nje sinjal te amplifikuar 2 here relativisht atij te pikes.

N e m a rrje k e m i : Ne piken 5` nje sinjal me energji me te vogel se sinjali ne piken 5 porfrekuenca e ketij sinjali eshte e njejte me ate te pikes 5.Sinjali ne piken 4` eshte sinjal si ne piken 3 ne transmetim, ky sinjal amplifikohetnga AFN dhe pas demodulohet dhe filtrohet.

Duke ditur se sinjali F(ω) i cili eshte transmetimi furie f(t) eshte real. Forma e tij ne frekuence ne intervalin (0 : +∞) jepet si ne figure :

Gjeni :1) Transformimin furie te sinjalit f(t)2) f(t) ne rrafshin e kohes3) Densitetin spektral te energjise se sinjalit4) Pseudofunksionin e autokorrelacionit te sinjalit5) Energjine e sinjalit f(t)6) Energjine e bashkeveprimit midis f(t) dhe sinjalit ne piken 17) A jane te korreluar keto dy sinjale dhe pse8) Supozoni qe sinjali ne hyrje eshte δ(t), gjeni sinjalin qe

merret ne piken 1, gjeni h(t)9) Paraqisni format e sinjalit ne rrafshin e frekuences per

pikat 0,1,2,3,410) Nqs sinjali f(t) ka te njejtenforme me sinjalin ne piken 1

ne rrafshin e frekuences, beni zberthimin e tij ne seri trigonometrike furie dhe eksponenciale furie, gjeni zberthimin e ketij sinjali ne intervalin e pafundem (-∞ :+∞). Ndertoni spektrin e amplitudave dhe te fazave te sinjalit

11) Nqs kampionojme ne piken 0 sinjalin f(t), sa duhet te jete frekuenca minimale e kampionimit me qellim qe sinjali nepiken 1 te jete i njejte me ate, kur f(t) ne piken 0 eshte i pakampionuar

1

0 2 f0 2 ⋅ 4000 ⋅ 8000 rad s

F ( ) − 10 −1F () ⋅0 − 0 −

Meqe f(t) eshte real atehere F(ω) eshte ciftF * () 1−

0

per 0 0

F () 1 0per − 0 0

2)

2 f () Sa2 0 →f ()

0 Sa2 0

0 2 2 2→ f (t)

0 Sa2 0t

→ f (t) 4000Sa2 4000 t

2 2

3)

Dime qe energjia e nje sinjali eshte :

E 1 ∫−∝

|F () |2 d ∫−∝

|F () |2 df2 ∝ ∝

Madhesia |F(ω)|² quhet densitet spektral i energjise se sinjalit dheshenohet :

W () F ()F * () | F

0

2 2 W− () 1−

1− 2

per0 0

0

0 0

2 2 W () 1

1 2

per -0 0

0

0 0

4) Pseudofunksioni i autokorelacionit eshte :

K `( ) F −1[W ()]

W () W1() W2 () W3 ()W1() 1

E spostojme me −02

W1 ( − )2

1 1

0

1

0

t

− j0t

−0 02 2

W − 0 Sa 0 e 21

2 2 0 2

t − j0t

Vetia e zhvendosjes ne kohe ⇒ W1 t 2

0 Sa 0 e 2 2

W () −22 0

2

2

Gjejme derivatinW ' () − 2

2 0

20

−0 02 2

−2 −20

0

− jtW t −1 2

2 2 0

0 Sa

0t2

− j0t

e 2 ⇒ W2 t

− 1 jt

Sa 0t

2

− j0t

e 2

W () 2

3 0W " ()

3

Gjejme derivatin

W ' () 23 0

−0 0

W " () 2 2 23 0

2 −1 2

0t

− j0t −1

0t

− j0t

− jt

W3 t

2

2 0 Sa e 2

0⇒ W3 t 0t 2 Sa

2 e 2

t − j0t − t − j

0t t − j

0t

Wx t

0 Sa 0 e 22 + 1 Sa 0 e jt 2

2 − 1 Sa 0 e t 2 22 K ' ( )

0

Ne menyre analoge gjejme dhe F −1 W () per degen per -0 0

W t 0 Sa

0t e4 2

j

0t

2

0

0

W5 t

− 1 jt

Sa 0t

2

j0t

e 2

W6 t

− 1 t 2 Sa

0t2

j0te 2

W t W1 t W2 t W3 t W4 t W5 t W6 t

W t K ' ( ) 0 Sa

0t cos 0t

− 2Sa

0t sin 0t − 2 Sa

0t cos 0t

2 2 t 2 2 0t 2 2 2

5) Dime qe E = K`(0)

E lim K ' ( ) lim 0 Sa

0t cos 0t −

lim 2Sa

0t sin 0t − lim 2 Sa

0t cos 0t

→0 →0 2 2 →0 t 2 2 →0 t 2 2 2

t 1 si n 0 si n 0

E 0 − lim Sa 02 0 2 lim Sa 0 0 2 2

→0 2 0 2 →0 2 2 402 2

E 0 -

0 20 2

0

0 8000

E 80002

2 4 2

4000 J

6) Per te gjetur energjine e bashkeveprimit midis f(t) dhe sinjalit ne piken 1 veprojme :

F

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5f kHz

E 1 ∫3.4 1− 2

2 d 1 − 2

2

3.4 1 3.1− 11.47

39.2 0.3

0 2 0 2 0.3 0 2

Ku 0 8000

0 0 0

7) Keto sinjale jane te korreluara sepse energjia e bashkeveprimit midis ketyre dy sinjaleve eshte nje madhesi e fundme

8) Per sinjal hyrje f(t) = δ(t) dhe sinjali ne piken 1` do te jete δ(t).

f(t) * h(t)= δ(t)

f(t) δ(t)h(t)

δ(t) * h(t)= δ(t) h(t)= δ(t)

9)

F0 1

0 -6 -4 -2 0 2 4 6

Ne piken 0

F1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Ne piken 1

1

0.8

F2

0.6

0.4

−70 MHz

0.2

0

Ne piken 2

70 MHz

4 F3

3

2

−70 MHz

1

0

Ne piken 370 MHz

4

4

4 F4

3

2

1

−2 GHz0

Ne piken 42 GHz

10)

a0

f(t) eshte nje funksion cift atehere :

≠ 0 f t an ≠ 0b0 0

Z berth i m i ne s e r i tr i go n o m etr i k e

f-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

∝f (t) a0 ∑ an cos

n0n1

t1-

f (t) 40.3 t 3.4

t1

4− 3.4 t −0.3

2 3.4 t a0

T

∫ 1− dt0.3

4 3.4 t an

T

4 3.4

∫ 1− cos n0t dt 0.3

4 3.4 −1.55 6k

T ∫ cos n0t dt −

T

∫ t cos n0t dt n

sin 31

0.3 0.3

n n

∝ ∝

n 3

2 n3

n

f (t) a

∝ −1.55 sin 6k cos n t

0 ∑ 0n1

Fn 1 an − jbn 1 an 2 2 F F an −0.775 sin 6n e jn

0t F−n F *

1 a2n −n

F (t) ∑ F e jn0t ∑ an e jn0t 4075 ∑ −0.775 sin 6n e

jn0t

−∝ −∝ 2

−∝ n 31

Spektri i A mplit udav e

F 1 a2 b2 ann 2 n n 2

Spektri i fa zav e es hte zero s eps e funksi oni es hte rea l

Zberthi mi ne s eri eks po nenci ale

f (t)

f1(t) f2 (t) f3 (t) f4 (t)

f1(t) 1

F () 1.55 Sa ⋅ 1.55 e− j1.551 2

f1 t

f1 t −

1.55

t

1 1

0 t0 1 2 3 4 5

0-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f (t) − t

2 4

f ' (t) − 12 4

f ' (t 1.55) − 1 -1.55 ⋅ 1.55 e− j1.55 −0.3875 Sa ⋅ 0.775e− j1.55

2 4 4 2

F () 1

−0.38752 j

Sa ⋅ 0.775e− j1.55

f3 (t) 1

f3 (t 1.55)

1.55 Sa ⋅ 1.55 e− j1.552

F () 1.55 Sa ⋅ 1.55 e− j1.553 2

f3 t f3 t −1.551 1

0-4 -3 -2 -1 0 1

0-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

t

f (t) t4 4

f ' (t) 12 4

f ' (t 1.55) − 1 -1.55 ⋅ 1.55 e− j1.55 −0.3875 Sa ⋅ 0.775e− j1.55

4 4 4 2

F () 1 0.38754 j Sa ⋅ 0.775e− j1.55

F () F1() F2 () F3 () F4 ()

F () 3.1cos1.55 ⋅ Sa 0.775 0.775 Sa 0.775sin 1.55

11)Nga figura tregojme formen e sinjalit te kampionimit fk1

fk

1

t0

-12 -8 -4 0 4 8 12

fk min 4 4 − 0.6 4 3.4 7.4 kHz