19.2 19.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形

19.2.1 19.2.1 矩形矩形

闽侯县竹岐中学 叶基成

有一个角是直角的平行四边形是矩形

矩形的定义：

平行四边形 矩形有一个角

是直角

矩形是特殊的平行四边形

具备平行四边形所有的性质

A

B C

D

O 角

边

对角线

对边平行且相等

对角相等

对角线互相平分

矩形的一般性质：

探索新知 :

矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？

猜想 1 ：矩形的四个角都是直角．

猜想 2 ：矩形的对角线相等．

A

B C

D

矩形特殊的性质

矩形的四个角都是直角．

矩形的两条对角线相等．

从角上看：

从对角线上看：

矩形的特殊性质

矩形的四个角都是直角数学语言

A

B C

D

∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴∠A= B= C= D=900∠ ∠ ∠

矩形的特殊性质

矩形的对角线相等数学语言

A

B C

D

∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴AC = BD

边

对角线

角

A

B C

D

O

矩形对边平行且相等；

矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等且互相平分；

四个学生正在做投圈游戏 , 他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处 , 这样的队形对每个人公平吗 ? 为什么？

O

A

B C

D

公平 , 因为 OA=OC=OB=OD

A

B C

D

O

得到：直角三角形的一个性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .

数学语言 : ∵在 Rt ABC△ 中 , BO 是斜边 AC 上的中线

∴ BO= AC21

在 Rt ABC△ 中 , BO= AC

探索新知

21

例 : 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠ AOB=60°,AB=4 ㎝ ,求矩形对角线的长？

方法小结 : 如果矩形两对角 线的夹角是 60°

或 120°, 则其中必有等边三角形 .

∴∴ACAC 与与 BDBD 相等且互相平相等且互相平分分 ∴ ∴ OA=OBOA=OB

∵∠ ∵∠AOB=60°AOB=60°

∴△ ∴△AOBAOB 是等边三角形是等边三角形 ∴ ∴ OA=AB=4(OA=AB=4( ㎝㎝ ))

∴ ∴ 矩形的对角线长 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8AC=BD=2OA=8(( ㎝㎝ ))

解：∵ 四边形解：∵ 四边形 ABCDABCD 是矩是矩形形

D

CB

A

o

练习：教材 104 页练习 1

如图，在矩形 ABCD 中，找出相等的线段与相等的角。

A D

CB

O

小试牛刀

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　矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )

B. 对边相等A. 对角相等

C. 对角线相等 D. 对角线互相平分

C

营中热身

• 已知 : 四边形 ABCD 是矩形• 1. 若已知 AB=8 ㎝， AD=6 ㎝，• 则 AC ＝ _______ ㎝ OB=_______

㎝

• 2. 若已知 ∠ DOC=120° ， AC ＝ 8 ㎝，则AD= _____cm

• AB= _____cm

O

D C

BA

510

4

营中寻宝

34

D

CB

A

┓

4. 已知△ ABC 是 Rt△ ，∠ ABC=900 ，

BD 是斜边 AC 上的中线

(1) 若 BD=3 ㎝ 则 AC ＝ ㎝

(2) 若∠ C=30° ， AB ＝ 5 ㎝，则 AC ＝ ㎝，

BD ＝ ㎝ .

6

5

10

营中寻宝

矩形的四个角都是直角 .

※ 矩形的性质定理 1

矩形的对角线相等 .

※ 矩形的性质定理 2

※ 直角三角形的一个性质 直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半 .

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 .

反思拓展：1 、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（ 1 ）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图 1 ），使 AB=CD, EF=GH;

（ 2 ）摆放成如图（ 2 ）的四边形，则这时窗框的形状是＿＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（ 3 ）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图 3 ）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图 4 ），说明窗框合格，这时窗框是＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

BA

C

E

D

G

F

H

1 2 3 4

平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形

课后作业 :

1 ． P104 练习第 3 题 2 ． P112 习题 19.2 第 1;

　 2;

　 4 题

求证：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形 ABCD 是矩形求证：∠ A= B= C= D=90°∠ ∠ ∠

A

B C

D

证明： ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠A=90°

又 矩形 ABCD 是平行四边形 ∴∠A= C B = D∠ ∠ ∠

∠A + B = 90°∠ ∴∠A= B= C= D=90°∠ ∠ ∠

即矩形的四个角都是直角

已知：如图 , 四边形 ABCD 是矩形 求证： AC = BD

A

B C

D

证明：在矩形 ABCD 中∵∠ABC = DCB = 90°∠

又∵ AB = DC ， BC = CB

∴△ABC DCB≌△

∴AC = BD 即矩形的对角线相等

求证 : 矩形的对角线相等