平行四边形（ 2 ）

平行四边形（ 2 ）

平顶山市第五十五中学黄洁

平行四边形的性质：

边平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等

角平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补

对角线平行四边形的对角线

互相平分

定理 : 平行四边形的对边相等 .

′

驶向胜利的彼岸

证明后的结论 , 以后可以直接运用 .

B

D

C

A

∵四边形 ABCD是平行四边形 ,∴AB=CD,BC=DA.

定理 : 平行四边形的对角相等 .

∵四边形 ABCD是平行四边形∴∠ A= C, B= D∠ ∠ ∠ .

平行四边形的性质 (三种语言 )

回顾与思考

22

平行四边形的性质 (三种语言 )

′



定理 : 平行四边形的对角线互相平分 .

∵四边形 ABCD是平行四边形∴ CO=AO,BO=DO. B

D

C

A

O

定理 : 夹在两条平行线间的平行线段相等 .∵ MN PQ,AB CD,∥ ∥∴AB=CD.

B

D

C

AM N

P Q

回顾与思考

33

驶向胜利的彼岸等腰梯形的性质 (三种语言 )

定理 : 等腰梯形同一底上的两个角相等 .

定理 : 等腰梯形的两条对角线相等 .在梯形 ABCD中 ,AD BC,∥∵AB=DC,∴AC=DB..

在梯形 ABCD中 ,AD BC,∥∵AB=DC,∴∠A= D, B= C∠ ∠ ∠ . B

D

C

A

B

D

C

A


回顾与思考

44


等腰梯形的判定 (三种语言 )

定理 : 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 .

在梯形 ABCD中 ,AD BC,∥∵∠A= D∠ 或∠ B= C∠ ,∴AB=DC.定理 : 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 .在梯形 ABCD中 ,AD BC,∥

∵AC=DB.∴AB=DC.

B

D

C

A

B

D

C

A


回顾与思考

55

驶向胜利的彼岸平行四边形的判定 P77

行家看门道11

定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .

B

D

C

A已知 : 如图 , 在四边形ABCD中 ,AB=CD,BC=DA..求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .

分析 : 要证明四边形ABCD是平行四边形 .可转化证明两组对边分别平行 , 从而作辅助线 , 用全等三角形来证明相应的角相等 .

证明 : 连接 AC.∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴ △ABC≌△CDA(SSS).∴∠1=∠2, ∠3=∠4.

∴ AB CD,CB AD.∥ ∥∴四边形 ABCD是平行四边形 .

123

4

平行四边形的判定 P78

定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .

′


议一议 22

已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,AB CD,AB=CD.∥求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .

分析 : 要证明四边形ABCD是平行四边形 .可转化证明两组对边分别相等 , 从而作辅助线 , 用全等三角形来证明相应的边相等 .

证明 : 连接 AC.∵ AB CD,∥∴ ∠1=∠2.∵ AB=CD,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SAS)..

∴四边形 ABCD是平行四边形 .∴ BC=DA.

B

D

C

A1

2

你还有不同的证法吗 ?



随堂练习 33

定理 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 , 对角线 AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO.求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .证明 :∵ CO=AO,BO=DO,∠1=∠2,∴△AOD≌△COB(SAS).∴∠3=∠4.∴ AD CB.∥同理 ,AB CD.∥∴四边形 ABCD是平行四边形 .

B

D

C

A

O

分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形 . 可转化证明两组对边分别平行 , 从而用全等三角形来证明相应的角相等 .

你还有几种不同的证法 ?

4

3

2

1


′


我思 ,我进步

44

定理 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形的 .已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,∠A=∠C,∠B=∠D.求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .

分析 : 要证明四边形ABCD是平行四边形 .可转化证明两组对边分别平行 . 从而转化为相关的角关系来证明 .

证明 : ∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠ A+∠C+∠B+∠D=3600.

∴∠A+∠B=1800.∴ AD BC.∥

B

D

C

A

∴ 2∠A+2∠B=3600.

同理 ,AB CD.∥∴四边形 ABCD是平行四边形 .

谁是“联想总裁” ?

做一做 55

′


已知 : 如图 .求证 : 四边形 MNOP是平行四边形 .

分析 : 这是一道综合性题目 ,利用勾股定理 , 方程和平行四边形的判定进行计算性推理可获证 .

证明 :

O

M

N

P

45x-3

11-x

x-5 .453 222 xx

.8 x.5 POMN .3 ONPM

∴四边形 MNPO是平行四边形 .

是金子 ,总会发光随堂练习 66

′


已知 : 如图 , 在□　ABCD中 ,BF=DE.求证 : 四边形 AFCE是平行四边形 .

分析 : 由已知的平行四边形和 BF=DE可知 ,CE=AF,则转化为利用一组对边平行且相等来证明 .

证明 :

∴ DC AB,DC=AB.∥∵ DE=CF,∴ CE=AF,

∴四边形 AFCE是平行四边形 .

∵四边形 ABCD是平行四边形 , A B

CD E

F

你还有几种不同的证法


定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .

定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .

回顾思考

∵ AB=CD,AD=BC,∴四边形 ABCD是平行四边形 .

B

D

C

A

∵ AB CD,AB=CD,∥∴四边形 ABCD是平行四边形 .

平行四边形的判定 (三种语言 )

驶向胜利的彼岸平行四边形的判定 (三种语

言 )定理 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .

定理 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 .

回顾思考

B

D

C

A

O

∵ AO=CO,BO=DO,∴四边形 ABCD是平行四边形 .

∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形 ABCD是平行四边形 .

B

D

C

A

知识的升华独立作业

P79 习题 3.2 1,2 题 .

祝你成功！


P79 习题 3.2 2 题驶向胜利的彼岸

2.已知 : 如图 , AC,BD是□ ABCD的两条对角线 , AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是 E,F.求证 :AE=CF.证明 :

∴ AD=CB,AD BC.∥∴ ∠1=∠2.

∵∠AED=∠CFB=900,

∴△AED≌△CFB(AAS).

∴ AE=CF.

∵四边形 ABCD是平行四边形 ,

独立作业

分析 : 要证明AE=CF,可转化全等三角形 (△ABE≌△CDF或△ AEO≌△CFO或△ AED≌△CFB)的对应边来证明 .

你还有其它的证法吗 ?

B

D

C

AF

E1

2

O

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