А.Д.Вентцель КУРС ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

(2-е изд., доп.—М.: Наука. Физматлит, 1996) Предназначена для первоначального ознакомления с теорией случайных

процессов. Подчеркивается связь этой теории с фактами функционального анализа.

Основное внимание уделяется не выкладкам и не доказательству теорем в окончательной форме, а объяснению сути применяемых методов на простом по возможности материале. В ходе изложения дается около 250 задач различной трудности и разного характера (упражнения, примеры, части доказательств, обобщения и т.п.); примерно для двух третей из них приведены решения.

Во втором издании (1-е изд.—1975 г.) добавлены параграфы о сходимости распределений в функциональных пространствах и о компенсаторах случайных функций.

Для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию 5 Предисловие к первому изданию Введение 9 Глава 1. Основные понятия 16 § 1.1. Что такое случайный процесс? 16 § 1.2. Примеры случайных процессов. Винеровский процесс 18 § 1.3. Обзор методов теории случайных процессов 27 § 1.4. Важнейшие классы случайных процессов 34 Глава 2. Элементы случайного анализа 39 § 2.1. Сходимости, непрерывности, производные, интегралы 39 § 2.2. Стохастические интегралы от неслучайных функций 51 Глава 3. Некоторые понятия общей и корреляционной теории

случайных процессов 63

§ 3.1. Связанные со случайной функцией 0-алгебры и пространства случайных величин

63

§ 3.2. Операторы сдвига 68 § 3.3. Задачи наилучшей оценки 74 Глава 4. Корреляционная теория стационарных (в широком смысле)

случайных процессов 84

§ 4.1. Корреляционные функции 84 § 4.2. Спектральные представления 90 § 4.3. Решение задачи линейного прогнозирования 98 Глава 5. Бесконечномерные распределения. Свойства с вероятностью

1 108

§ 5.1. Распределения случайных функций. Теорема Колмогорова о конечномерных распределениях

108

§ 5.2. Свойства с вероятностью 1 120 § 5.3. Абсолютная непрерывность бесконечномерных распределений и

плотности 131

§ 5.4. Слабая сходимость бесконечномерных распределений 137 Глава 6. Марковские моменты, свойства независимости от будущего 147 § 6.1. Марковские моменты 147 § 6.2. Свойства независимости от будущего 152 Глава 7. Мартингалы 161 § 7.1. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы 161 § 7.2. Компенсаторы 167 § 7.3. Неравенства и равенства, связанные с мартингалами 170 § 7.4. Теорема о сходимости супермартингалов 177 Глава 8. Марковские процессы. Основные понятия 183 § 8.1. Марковские процессы и марковские семейства 183 § 8.2. Различные формы марковского свойства. Конечномерные

распределения 191

§ 8.3. Семейства операторов, связанные с марковскими процессами 202 § 8.4. Однородные марковские семейства 213 § 8.5. Строго марковские процессы 219 § 8.6. Стационарные марковские процессы 229 Глава 9. Марковские процессы с непрерывным временем. Свойства

траекторий. Строго марковское свойство 231

§ 9.1. Свойства траекторий 231 § 9.2. Строго марковское свойство для феллеровских марковских семейств

с непрерывными справа траекториями 236

Глава 10. Инфинитезимальные операторы 240 § 10.1. Инфинитезимальный оператор полугруппы 240 § 10.2. Резольвента. Теорема Хилле — Йосида 247 § 10.3. Инфинитезимальные операторы и марковские процессы 252 Глава 11. Диффузии 264 § 11.1. Что такое диффузия? 264 § 11.2. Результаты Колмогорова. Обратное и прямое уравнения 266 Глава 12. Стохастические уравнения 277 § 12.1. Стохастические интегралы от случайных функций 277 § 12.2. Стохастический интеграл как функция верхнего предела 289 § 12.3. Стохастические дифференциалы. Формула Ито 295 § 12.4. Решение стохастических уравнений методом последовательных

приближений 306

§ 12.5. Диффузии, задаваемые стохастическими уравнениями 314 Глава 13. Связь диффузий с уравнениями в частных производных 322 § 13.1. Уравнения, связанные с дискретными цепями Маркова 322 § 13.2. Случай решений, допускающих гладкое продолжение 324 § 13.3. Регулярные и сингулярные точки границы 335

Решения задач 343 Список обозначений 394 Список литературы 396 Предметный указатель 397

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Бесконечномерные распределения

30, 108 — — плотности 131 Бикомпенсатор 169 Броуновское движение 19, 187, 267 Вероятностный процесс 16 Выборочная функция 16—17 ...в широком смысле 29 Гильбертов кирпич 114 Диффузия 264 Задача Дирихле 328 — интерполяции 78 — Коши 259, 322 — линейного прогнозирования 80, 98 — фильтрации 77 — экстраполяции (прогнозирования)

77 Задачи наилучшей оценки 74 Закон повторного логарифма для

винеровского процесса 176, 341 Законы больших чисел для

стационарных процессов 87 — нуля или единицы 31, 67, 238 Измеримость прогрессивная 152 Измеримость случайной функции 33 Инвариантная мера 229 Инфинитезимальный оператор 240 Квадратичный компенсатор 170 Компенсатор случайной функции 167 Корреляционная теория случайных

функций 29 — функция 28 — — взаимная 28 — — совместная 28 — — стационарного процесса 36 Марковский момент 32, 147 — процесс 38, 185 Марковское свойство 185—199, 219

— семейство 189, 197 — — однородное 213 Мартингал 161 Мартингалы и супермартингалы,

существование пределов 178 Мера с независимыми,

некоррелированными значениями см. Случайная мера

Микротеорема 6 Момент достижения множества 149 µ-система 191 Неотрицательно определенные

функции 28, 89 Непрерывность в среднем 41 Неравенство Колмогорова 174 Неубывающее семейство σ-алгебр

147 Оператор замкнутый 250 — локальный 253 Операторы, связанные с марковским

семейством 203 — сдвига 68, 226 Переходная плотность 184 — функция 183 — — однородная 213 Полугруппа операторов 214 Предсказуемость 152 Принцип максимума 245 Пространства случайных величин,

линейно порожденные случайной функцией 64

— — —, порожденные случайной функцией 63

Процесс винеровский 18 — — многомерный 21 — —, непрерывность реализаций 18,

126 — — остановленный 224

— —, предел суммы квадратов приращений 19

— — с отражением 187 — —.существование 119 — Коши 22 — Маркова см. Марковский процесс — пуассоновский 25 — с независимыми приращениями 34 — с некоррелированными

(ортогональными) приращениями 34, 59

— со стационарными приращениями 37

— стационарный 35 — — в широком смысле 36 — — марковский 229 Равномерная интегрируемость — непрерывность в среднем 42 — стохастическая непрерывность 41,

234 Распределения конечномерные 17,

108 Реализация 16 Регулярная точка границы 336 Регулярность линейная случайного

процесса 80 — случайного процесса 78 Резольвента полугруппы 247 Сепарабельность случайного

процесса 129 Сильная непрерывность полугруппы

244 Сингулярная точка границы 336 Сингулярность линейная случайного

процесса 80 — случайного процесса 78 Случайная мера 51 — — пуассоновская 23 — — с независимыми значениями 52 — — с некоррелированными

значениями 52 — последовательность 16 — функция 16

— — гауссовская 34 — —, согласованная с семейством σ-

алгебр 153 Случайное поле, изотропное

векторное со стационарными приращениями 37

— — однородное (стационарное) 37 — — — изотропное 37 Случайный процесс 16 Согласованности условия 111 Спектральная мера 89 — плотность 89 Спектральное представление 90 Стационарное распределение

марковского семейства 230 Стохастическая матрица 184 — непрерывность 41 — эквивалентность 17 Стохастический дифференциал 295 — интеграл 55, 277 — процесс 16 Стохастическое уравнение 306 Строго марковское свойство 221, 236 Субмартингал 161 Супермартингал 161 σ-алгебры, порожденные случайной

функцией 63 σ-алгебры «хвостов» 66 Траектория 17 Уравнения Чепмена — Колмогорова

183 Уравнения Колмогорова 272— 276 Феллеровские марковские семейства

208 Формула Ито (замены переменных в

стохастическом интеграле) 296—305

Фундаментальное решение уравнения параболического типа 275

Цепь Маркова 186 Цилиндрические множества 108

Эмпирическая функция распределения 22