ΠεριεχόμεναΆρθρα

Άρρητη συνάρτηση 1Άρτιες συναρτήσεις 3Όριο (μαθηματικά) 5Όριο ακολουθίας 8Όριο συνάρτησης 11Ακολουθία 18Ακολουθία Κωσύ 20Ακολουθία Φιμπονάτσι 20Ακτίνιο (μονάδα μέτρησης) 25Ανάδελτα 27Ανισότητα Μπερνούλι 29Απειροστικός λογισμός 30Αριθμητική πρόοδος 30Αρμονική πρόοδος 31Αρχική τιμή 31Αρχιμήδεια Ιδιότητα 32Ασύμπτωτες συνάρτησης 33Βελτιστοποίηση 35Βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια 35Γειτονιά (μαθηματικά) 38Γεωμετρική πρόοδος 39Γραφική παράσταση συνάρτησης 40Διαφορική εξίσωση 43Διαχωρίσιμος μετρικός χώρος 46Εκθετική συνάρτηση 47Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ 53Εξίσωση Λαπλάς 56Εξίσωση Πουασόν 56Επίλυση του βραχίονα 57Ημίτονο 58Θεωρία μέτρου 62Θεώρημα μέσης τιμής 63Ισότητα (Μαθηματικά) 64Κλίση συνάρτησης 66

Κριτήριο παρεμβολής 67Λογαριθμική συνάρτηση 70Μάστερ Θεώρημα 75Μέγιστος κύκλος 75Μαθηματική ανάλυση 76Μερικές διαφορικές εξισώσεις 76Μετρική (μαθηματικά) 78Μετρικός χώρος 79Μιγαδικός αριθμός 80Μονοτονία συνάρτησης 84Ολοκλήρωμα 88Ολοκλήρωμα Νταρμπού 92Παράγωγος 93Παραγοντοποίηση 105Περιοδική συνάρτηση 107Περιττές συναρτήσεις 110Πολυώνυμο 113Πραγματικός αριθμός 117Πυθαγόρεια τριάδα 119Ρητή συνάρτηση 120σ-άλγεβρα 122Σάλπιγγα του Γαβριήλ 123Σειρά 125Σειρά Taylor 126Σημείο συσσώρευσης 138Στοίχιση ακολουθιών 140Συνάρτηση 141Συνέχεια συνάρτησης 145Συνημίτονο 148Σφαιρική γεωμετρία 151Σύνθεση συνάρτησης 153Ταυτότητα του Όιλερ 155Τελεστής 156Τομή Ντέντεκιντ 157Τοπολογία 158Τρίγωνο 159Τριγωνική ανισότητα 162Τριγωνομετρία 163

Τριγωνομετρική συνάρτηση 167Υπερβολικές συναρτήσεις 178Φάση (τριγωνομετρία) 182Φράγμα (μαθηματικά) 183

ΠαραπομπέςΠηγές άρθρων και Συνεισφέροντες 184Πηγές Εικόνων, Άδειες και Συνεισφέροντες 186

Άδειες ΆρθρουΆδεια 189

Άρρητη συνάρτηση 2

Η άρρητη συνάρτηση είναι μία αλγεβρική συνάρτηση που περιέχει έναν ή περισσότερους όρους, υψωμένουςσε μία κλασματική δύναμη, ή αλλιώς ένας ή περισσότεροι όροι της βρίσκονται στην μορφή νιοστής ρίζας.Περιέχει δηλαδή όρους της μορφής:

Η ιδιαιτερότητα της άρρητης συνάρτησης σε σχέση με την πολυωνυμική είναι στο πεδίο ορισμού της. Η άρρητησυνάρτηση ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό για τον οποίο η υπόριζη ποσότητα είναι θετική. Συχνά οιάρρητες συναρτήσεις έχουν περιορισμένο πεδίο ορισμού. Για παράδειγμα η άρρητη συνάρτηση

έχει πεδίο ορισμού Α=[-1,1]

Γραφική παράσταση της συνάρτησης

Οι γραφικές παραστάσεις άρρητων συναρτήσεων συχνά είναι τμήματα κωνικών τομών. Η συνάρτηση π.χ.είναι τμήμα κύκλου (πρόκειται για το θετικό ημικύκλιο) με ακτίνα r, ενώ η απλούστερη

άρρητη συνάρτηση, η είναι τμήμα παραβολής.

Γραφική παράσταση της συνάρτησης

Πηγές

• Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, Σύγχρονηεκδοτική, τόμος Β΄

Άρτιες συναρτήσεις 4

Μία συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το Af λέγεται άρτια, αν για κάθε x που ανήκει στο Af ισχύει ότι το -xανήκει στο Af και ότι f(x)=f(-x).

Χαρακτηριστικά της άρτιας συνάρτησηςΛόγω της ιδιότητάς της για τη μελέτη της άρτιας συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενός προσήμου,για παράδειγμα για x μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευούν κατάλληλα καιγια τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.

Πεδίο ορισμούΤο πεδίο ορισμού της άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Για παράδειγμα, αν το διάστημα[2,6) ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε ανήκει και το διάστημα (-6,2].

Συνέχεια-ΠαραγωγισιμότηταΗ άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής ή παραγωγίσιμη. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν ησυνάρτηση έχει την ιδιότητα της συνέχειας ή της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο ή διάστημα έχει και τηνίδια ιδιότητα στο συμμετρικό ως προς τον άξονα y'y σημείο ή διάστημα. Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχειείναι περιττή συνάρτηση.

ΜονοτονίαΗ μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι αντίθετη σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Γιαπαράδειγμα, αν μια περιττή συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (-2,-1], τότε η ίδια συνάρτηση είναιγνησίως φθίνουσα το [1,2). Στο μηδέν, αν ορίζεται μονοτονία σε σύνολο που το περιλαμβάνει, τότε ησυνάρτηση είναι μονότονη με αντίθετο είδος μονοτονίας εκατέρωθεν του μηδέν, ενώ η γραφική παράστασηπαρουσιάζει ακρότατο στο μηδέν.

ΑσύμπτωτεςΟι ασύπμτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y'y.

Σύνολο τιμών-ΡίζεςΤο σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το πεδίο των θετικών (συμπεριλαμβανομένου και τουμηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και με πεδίο των αρνητικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου και τουμηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Κάθε τιμή τη λαμβάνει τουλάχιστον δύο φορές, άρα η άρτιασυνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Εξαιρείται το f(0). Το σύνολο των ριζών άρτιας συνάρτησης είναι περιττό,

Άρτιες συναρτήσεις 5

αν f(0)=0, αλλιώς είναι άρτιο.

ΚοιλοκυρτότηταΗ κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του ίδιου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδένπεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή άρτια.

ΣυμμετρίεςΗ άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική με τον εαυτό της ως προς τον άξονα y'y.Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίοΜαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος2.10, σελίδα 287 καθώς και στον ορισμό άρτιας συνάρτησης που περιλαμβάνεται σε αυτό

Όριο (μαθηματικά)Με τον όρο «όριο» στα Μαθηματικά, νοείται η διαρκής προσέγγιση ενός σημείου ή, διαφορετικά, η διαρκήςμείωση μιας απόστασης, χωρίς όμως ποτέ αυτή να μηδενίζεται.Συνήθως, η έννοια του ορίου χρησιμοποιείται για να περιγραφεί η συμπεριφορά μιας συνάρτησης καθώς τοόρισμά της πλησιάζει κάποιο σημείο ή καθώς μεγαλώνει (αντίστοιχα μικραίνει) απεριόριστα. Η έννοια τουορίου συνάρτησης περιλαμβάνει και την έννοια του ορίου ακολουθίας όπου εκεί η έννοια του ορίουχρησιμοποιείται για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά της ακολουθίας καθώς ο δείκτης της αυξάνεταιαπεριόριστα.

Όριο ακολουθίαςΘεωρούμε την ακολουθία:

με όρους:

Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0καθώς ο δείκτης της n αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι γιακαμιά τιμή του n δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι ηακολουθία μας δεν μπορεί να ξεπεράσει το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει όριο τον αριθμό 0.Ένας άτυπος ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ο εξής: μια ακολουθία λέμε ότι έχει όριο ή ότι συγκλίνει σεένα αριθμό L, όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεταιαπεριόριστα.

Ο αυστηρός ορισμός της σύγκλισης μιας ακολουθίας σε πραγματικό αριθμό είναι ο εξής:λέμε ότι ο

αριθμός L είναι όριο της ακολουθίας αν για κάθε ε > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμόςn0 τέτοιος, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

και το συμβολίζουμε με:

Όριο (μαθηματικά) 6

Διασθητικά ο ορισμός λέει ότι: αν μια ακολουθία συγκλίνει σε ένα αριθμό L τότε οποιαδήποτε περιοχή

του L και αν επιλέξουμε, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας όλοι οι επόμενοι θα βρίσκονται μέσα στηνπεριοχή αυτή. Σύμφωνα με τον ορισμό, αυτό μπορεί να γίνει για οσοδήποτε μικρή περιοχή του L.Φυσικά είναι δυνατόν μια ακολουθία να μην συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Μπορεί για παράδειγμα νααποκλίνει στο ή στο ― ή ακόμα να μην έχει όριο καθόλου. Παράδειγμα ακολουθίας που δεν έχειόριο είναι η . Αν όμως μια ακολουθία έχει όριο είτε πραγματικό αριθμό είτε άπειρο, τότεαποδεικνύεται ότι αυτό είναι μοναδικό.Στη γενική περίπτωση ένος μετρικού χώρου Μ, και όχι συγκεκριμένα του , ο ορισμός είναι αντίστοιχος καιη απόσταση ορίζεται από τη μετρική του χώρου αυτού.Η έννοια του ορίου ακολουθίας και του ορίου συνάρτησης είναι πολύ στενά συνδεδεμένα. Μάλιστα ο ορισμόςτου ορίου ακολουθίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσουμε γενικά το όριο συνάρτησης.

Όριο συνάρτησηςΈστω ότι είναι μια συνάρτηση με και είναι ένας πραγματικός αριθμός. Η έκφραση:

σημαίνει ότι το f(x) παίρνει τιμές όσο θέλουμε κοντά στο L αρκεί το x να πλησιάσει αρκετά κοντά το . Ότανγίνεται αυτό, λέμε ότι το όριο της f καθώς το x τείνει στο είναι L.Να σημειώσουμε ότι η πιο πάνω έκφραση μπορεί να είναι αληθής ακόμα και όταν το L δεν είναι η τιμή τηςσυνάρτησης στο , δηλαδή ή ακόμα και όταν το L δεν είναι τιμή της συνάρτησης για κανένα xτου πεδίου ορισμού της. Επίσης η έκφραση αυτή έχει νόημα μόνο καθώς το x πλησιάζει συγκεκριμένα σημεία

. Τα σημεία αυτά ενδέχεται να μην ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f, δηλαδή η πιο πάνω έκφραση μπορείνα έχει νόημα και για σημεία στα οποία η f δεν ορίζεται καν. Τα επόμενα παραδείγματα ξεκαθαρίζουνκάπως την κατάσταση.

Θεωρείστε την συνάρτηση με και ας δούμε πως συμπεριφέρεται καθώς το x

πλησιάζει τον αριθμό 2.

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)

0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882

Καθώς το x πλησιάζει το 2, η τιμή της συνάρτησης, f(x) πλησιάζει το 0.4 και για αυτό λέμε ότι το όριο της fκαθώς το x τείνει στο 2 είναι 0.4 και γράφουμε:

Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση f ορίζεται στο σημείο x = 2 και ισχύει:

Θεωρείστε τη συνάρτηση με:

Το όριο της g καθώς το x πλησιάζει το 2 είναι 0.4 όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα αλλά, εδώ αν και η fορίζεται στο σημείο x = 2 ισχύει:

Στα προηγούμενα δύο παραδείγματα μελετήσαμε το όριο της συνάρτησης σε ένα σημείο του πεδίουορισμού της. Θεωρείστε τώρα τη συναρτηση με:

Όριο (μαθηματικά) 7

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)

1.95 1.99 1.999 undef 2.001 2.010 2.10

Σε αυτή την περίπτωση η f δεν ορίζεται στο σημείο 1 αλλά καθώς το x πλησιάζει το 1 η f πλησιάζει τον αριθμό2. Η f αν και δεν ορίζεται στο σημείο 1 έχει όριο καθώς το x τείνει στο 1, τον αριθμό 2. Γράφουμε:

Αυστηρός ορισμόςΜέχρι τώρα έχουμε χρησιμοποιήσει εκφράσεις όπως πλησιάζει, τείνει, γίνεται όσο θέλουμε κοντά οι οποίεςφυσικά δεν είναι αυστηρές. Η έννοια του ορίου ορίζεται αυστηρά παρακάτω.

Έστω μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του Α. Λέμε ότι το όριο της f στο σημείο x0είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν για μια οποιαδήποτε ακολουθία xn στο Α που συγκλίνει στο x0 ηακολουθία (f(xn)) συγκλίνει στο L.

Ο παραπάνω ορισμός του ορίου μπορεί να διατυπωθεί και με την χρήση των ε και δ. Ο ε-δ ορισμός του ορίουσυνάρτησης είναι ο εξής:

Έστω μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του Α. Λέμε ότι το όριο της f στο σημείο x0είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν: για κάθε ε>0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) δ = δ(ε)>0 τέτοιο ώστε:

αν και , τότε .Φυσικά είναι δυνατόν μια συνάρτηση να μην έχει όριο στο x0 κάποιο πραγματικό αριθμό αλλά να έχει όριο το

ή το ή ακόμα να μην έχει όριο καθόλου. Αντίστιχοι ορισμοί μπορούν να δοθούν για μηπεπερασμένο όριο συνάρτησης στο x0..

Όριο συνάρτησης στο άπειροΟρισμένες φορές επιθυμούμε να δούμε πως συμπεριφέρεται μια συνάρτηση όταν η ανεξάρτητη μεταβλητήμεγαλώνει απεριόριστα. Για αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει η έννοια του όριου της συνάρτησης το άπειρο. Γιαπαράδειγμα για τη συνάρτηση: με έχουμε τα εξής:

f(1) = 1f(10) = 0.1f(100) = 0.01

f(100000) = 0.00001Είναι εύκολο να δούμε ότι οι τιμές της f πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς το x αυξάνεται, χωρίςόμως να το φτάνουν ή να το ξεπερνούν ποτέ. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι το όριο της f στο είναιμηδέν. Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής:

Έστω μια συνάρτηση και έστω ότι το είναι σημείο συσσώρευσης του Α. Λέμε ότι το όριο

της f στο σημείο x0 είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν: για κάθε ε>0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) δ =δ(ε)>0 τέτοιο ώστε:

αν και , τότε .

Όριο ακολουθίας 8

Όριο ακολουθίαςΗ έννοια του ορίου ακολουθίας είναι από τις πιο σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Διαισθητικά,μια ακολουθία λέμε ότι έχει όριο ή ότι συγκλίνει σε ένα αριθμό L, όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο καιπερισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα.

Θεωρούμε την ακολουθία:

με όρους:

Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0καθώς ο δείκτης n αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι γιακαμιά τιμή του n δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι ηακολουθία μας δεν μπορεί να ξεπεράσει το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει όριο τον αριθμό 0.Παρακάτω δίνονται αυστηροί ορισμοί της σύγκλισης μιας ακολουθίας.

Σύγκλιση ακολουθίας σε πραγματικό αριθμό

Ορισμός σύγκλισης ακολουθίας

Έστω μία πραγματική ακολουθία και L ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι ο αριθμός L είναι όριο της

ακολουθίας ή ότι η ακολουθία συγκλίνει στον αριθμό L αν: για κάθε ε > 0 υπάρχει(τουλάχιστον ένα) n0 τέτοιο, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

και συμβολίζεται με:

ή ή .Η έννοια του ορίου ακολουθίας όπως την έχουμε ορίσει διαισθητικά λέει ότι: αν μια ακολουθία συγκλίνεισε ένα αριθμό L τότε οποιαδήποτε περιοχή του L και αν επιλέξουμε, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίαςόλοι οι επόμενοι θα βρίσκονται μέσα στην περιοχή αυτή. Σύμφωνα με τον ορισμό, αυτό μπορεί να γίνει γιαοσοδήποτε μικρή περιοχή του L.

Σύγκλιση της ακολουθίας an. Μετά τον δεύτεροόρο της ακολουθίας, όλοι οι επόμενοι

βρίσκονται μέσα στην περιοχή του a, που είναιτο όριο της ακολουθίας. Επομένως, για το

συγκεκριμένο ε, n0=2.

Η διατύπωση του ορισμού μπορεί να γίνει πιο κομψή, χρησιμοποιώντας τη λέξη τελικά, η οποία δεν είναικαθόλου ασαφής, ως εξής: μια ακολουθία έχει όριο έναν πραγματικό αριθμό L, αν για κάθε ε>0 τελικά

ισχύει:

Εδώ, η λέξη τελικά σημαίνει: για όλα τα n>n0, που δείχνει ότι η κύρια πρόταση που ορίζει την έννοια της σύγκλισης μπορεί να μην ισχύει για τους πρώτους όρους της ακολουθίας, αλλά, αν υπάρχει το όριο, τότε σίγουρα, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας, για όλους τους επόμενους (δηλαδή τους τελικούς) θα ισχύει η

Όριο ακολουθίας 9

πρόταση αυτή.

Μοναδικότητα του όριουΑποδεικνύεται ότι αν μια ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει όριο, τότε το όριό της αυτό είναι μοναδικό.

Η απόδειξη γίνεται ως εξής: Έστω ότι μια ακολουθία έχει δύο όρια, τα α και β τα οποία δεν είναι ίσαμεταξύ τους. Τότε, με βάση τον ορισμό του ορίου ακολουθίας έχουμε τα εξής:

και

.

Έστω τώρα, ο φυσικός αριθμός n0 ο οποίος είναι ο μεγαλύτερος των n1 και n2, δηλαδή, n0=max{n1, n2}. Τότε:

και ισχύει: Από την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε:

Η σχέση ισχύει για κάθε ε>0 και επομένως a=b που είναι άτοπο. Επομένως αν μια ακολουθίαέχει όριο τότε το όριο αυτό είναι μοναδικό.

Σύγκλιση ακολουθίας στο άπειρο

Ορισμός απόκλισης ακολουθίας

Έστω μία πραγματική ακολουθία. Λέμε ότι η ακολουθία έχει όριο το ή αποκλίνει στο , ανγια κάθε Μ > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) n0 τέτοιο, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

και συμβολίζεται με:

ή με ή ακόμα με Εντελώς ανάλογα ορίζεται και η σύγκλιση μιας σκολουθίας στο :

Έστω μία πραγματική ακολουθία. Λέμε ότι η ακολουθία έχει όριο το ή αποκλίνει στο , ανγια κάθε Μ > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) n0 τέτοιο, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

και συμβολίζεται με:

ή με ή ακόμα με Όταν μια ακολουθία σύγκλινει στο άπειρο, τότε οποιοδήποτε θετικό αριθμό και να διαλέξουμε, οσοδήποτεμεγάλο, πάντα θα υπάρχει κάποιος όρος της ακολουθίας που θα έχει μεγαλύτερη τιμή και θα ξεπερνάει αυτόντον επιλεγμένο αριθμό, καθώς επίσης, θα τον ξεπερνάνε και οι επόμενοι όροι. Αντίστοιχα και για την σύγκλισητης ακολουθίας στο αρνητικό άπειρο, για οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό, οσοδήποτε μικρό, πάντα θα υπάρχειένας όρος της ακολουθίας όπου αυτός και οι επόμενοι όροι θα είναι ακόμα πιο μικροί.

Όριο ακολουθίας 10

Ιδιότητες ορίων ακολουθίαςΑποδεικνύονται, οι παρακάτω ιδιότητες:• Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία ειναι και φραγμένη. Όμως, κάθε φραγμένη ακολουθία δεν είναι απαραίτητα

συγκλίνουσα.

Έστω , δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών και a,b, λ πραγματικοί αριθμοί. Τότε:• ,• ,• ,• Αν και , τότε . Δεν ισχύει το αντίστροφο• Αν και , τότε . Δεν ισχύει το αντίστροφο!

Κριτήριο παρεμβολής

Έστω , , τρεις ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής:Αν και , τότε: .Τέλος, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano - Weierstrass, κάθε φραγμένη ακολουθία περιέχει μία τουλάχιστονσυγκλίνουσα υπακολουθία. Έτσι, αφού κάθε συγκλίνουσα ακολουθία ειναι φραγμένη, πρκύπτει ότι κάθεσυγκλίνουσα ακολουθία περιέχει μία τουλάχιστον συγκλίνουσα υπακολουθία.

Όριο συνάρτησης 12

Το όριο είναι μια έννοια που συναντάται στο πεδίο του Απειροστικού Λογισμού, με την βοήθεια του οποίουαναπτύχθηκαν και ορίστηκαν με σαφήνεια έννοιες όπως η παράγωγος και το ολοκλήρωμα.

Εισαγωγή στην έννοια του ορίουΈστω ότι είναι μια συνάρτηση με και είναι ένας πραγματικός αριθμός. Η έκφραση:

σημαίνει ότι το f(x) παίρνει τιμές όσο θέλουμε κοντά στο L αρκεί το x να πλησιάσει αρκετά κοντά το x0. Ότανγίνεται αυτό, λέμε ότι το όριο της f καθώς το x τείνει στο x0 είναι L.Να σημειώσουμε ότι η πιο πάνω έκφραση μπορεί να είναι αληθής ακόμα και όταν το L δεν είναι η τιμή τηςσυνάρτησης στο , δηλαδή ή ακόμα και όταν το L δεν είναι τιμή της συνάρτησης για κανένα xτου πεδίου ορισμού της. Επίσης η έκφραση αυτή έχει νόημα μόνο καθώς το x πλησιάζει συγκεκριμένα σημείαx0. Τα σημεία αυτά ενδέχεται να μην ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f, δηλαδή η πιο πάνω έκφραση μπορεί ναέχει νόημα και για σημεία x0 στα οποία η f δεν ορίζεται καν. (Η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης σε ένασημείο x0 έχει νόημα όταν το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της). Τα επόμενα παραδείγματαξεκαθαρίζουν κάπως την κατάσταση.Θεωρήστε την συνάρτηση με τύπο:

και ας δούμε πως συμπεριφέρεται καθώς το x πλησιάζει τον αριθμό 2.

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)

0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882

Καθώς το x πλησιάζει το 2, η τιμή της συνάρτησης, f(x) πλησιάζει το 0.4 και για αυτό λέμε ότι το όριο της fκαθώς το x τείνει στο 2 είναι 0.4 και γράφουμε:

Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση f ορίζεται στο σημείο x0 = 2 και τυγχάνει το όριο της σε αυτό να είναι ίσομε την τιμή της:

Θεωρείστε τη συνάρτηση με τύπο:

Όριο συνάρτησης 13

Το όριο της g καθώς το x πλησιάζει το 2 είναι 0.4 όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα αλλά εδώ, αν και η fορίζεται στο σημείο x0 = 2 το όριο της στο σημείο αυτό δεν ισούται με την τιμή της:

Στα προηγούμενα δύο παραδείγματα μελετήσαμε το όριο της συνάρτησης σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμούτης. Θεωρείστε τώρα τη συναρτηση: με τύπο:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)

1.95 1.99 1.999 undef 2.001 2.010 2.10

Σε αυτή την περίπτωση η f δεν ορίζεται στο σημείο 1 αλλά καθώς το x πλησιάζει το 1 η f πλησιάζει τον αριθμό2. Η f δεν ορίζεται στο σημείο 1 αλλά φαίνεται λογικό να πούμε ότι έχει όριο καθώς το x τείνει στο 1, τοναριθμό 2. Γράφουμε:

Μέχρι τώρα έχουμε χρησιμοποιήσει εκφράσεις όπως πλησιάζει, τείνει, γίνεται όσο θέλουμε κοντά οι οποίεςφυσικά δεν είναι αυστηρές. Η έννοια του ορίου ορίζεται αυστηρά στην επόμενη παράγραφο.

Σημεία συσσώρευσηςΤο όριο μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της. Έναςπραγματικός αριθμός είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν υπάρχει στοιχείο του Α οσοδήποτε κοντάθέλουμε στο x0 (που να είναι διαφορετικό του x0). Ο αυστηρός ορισμό είναι ο εξής:Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x

0είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0:

με και Ανάλογα η έννοια του πλευρικού ορίου μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης από δεξιάή από αριστερά του πεδίου ορισμού της. Τέλος η έννοια του ορίου στο άπειρο έχει νόημα μόνο όταν το άπειροείναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της.

Όριο συνάρτησης 14

Όριο συνάρτησης σε πραγματικό αριθμόΟ συνήθης ορισμός του ορίου συνάρτησης σε ένα σημείο συσσώρευσης x0 του πεδίου ορισμού της, είναι ο ε - δορισμός και διατυπώνεται ως εξής:

Η περιοχή του P στον άξονα των x και ηπεριοχή του ορίου L στον άξονα του y.

Έστω μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της. Λέμε ότι το όριο

της f στο x0

υπάρχει και είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν: για κάθε ε>0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα)δ = δ(ε)>0 τέτοιο ώστε:

με ισχύει Αυτό σημαίνει ότι το όριο υπάρχει, αν για κάθε ε - περιοχή του L, οσοδήποτε μικρή, μέσα στην οποία κινείταιτο f(x), υπάρχει μια δ - περιοχή του x0 μέσα στην οποία κινείται το x. Ο συμβολισμός δ = δ(ε) σημαίνει απλώςότι η τιμή του δ εξαρτάται από την τιμή του ε.Ένας άλλος τρόπος να ορίσουμε το ορίο συνάρτησης είναι να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του [Όριοακολουθίαςορίου ακολουθίας.

Έστω μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της. Λέμε ότι το όριο

της f στο x0 υπάρχει και είναι ίσο με , αν για οποιαδήποτε ακολουθία xn στο Α που συγκλίνει στο x0, ηακολουθία (f(x_n)) συγκλίνει στο L.

Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, οι ακολουθίες xn, πρέπει να συγκλίνουν στο x0 και κάθε όρος τους να βρίσκεταιμέσα στο πεδίο ορισμού της f, γιατί διαφορετικά, αν υπάρχει κάποιο n0 για το οποίο το xn0 δεν ανήκει στοπεδίο ορισμού της f, τότε δεν θα μπορεί να οριστεί το f(xn).

Στη γενική περίπτωση συνάρτησης μεταξύ δύο μετρικών χώρων το όριο ορίζεταιως εξής:

τέτοιο ώστε: .

Πλευρικά όριαΚατά τον ορισμό του ορίου της συνάρτησης, δεν ορίστηκε κάποιος ακριβής τρόπος με τον οποίο το x πλησιάζειτο x0. Συχνά, όμως, για τον υπολογισμό ενός ορίου αυτό είναι απαραίτητο. Θεωρώντας το x και το x0 ωςσημεία του άξονα των πραγματικών αριθμών, όπου το x0 είναι σταθερό, ενώ το x κινούμενο, οι δύοσυνηθέστεροι τρόποι να προσεγγίσει το x το x0 είναι από αριστερά και από δεξιά. Με αυτούς τους δύο τρόπουςμπορεί να υπολογιστεί και το όριο μιας συνάρτησης f(x) στο x0.Έτσι, το όριο της f στο x0, όταν το x πλησιάζει από τα δεξιά (δηλαδή, x>x0) συμβολίζεται

Όριο συνάρτησης 15

ενώ όταν πλησιάζει από τα αριστερά (δηλαδή, x<x0) συμβολίζεται

.

Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή του x0 στην πρώτη περίπτωση θα είναι (x0, x0+δ), ενώ στην δεύτερη περίπτωση θαείναι (x0-δ, x0). Τα όρια αυτά (όταν υπάρχουν), ονομάζονται πλευρικά όρια. Για να έχουν νόημα τα πλευρικάόρια στο σημείο x0 πρέπει το σημείο αυτό να είναι σημείο συσσώρευσης από αριστερά (για αριστερό πλευρικόόριο) ή από δεξιά (για δεξιό πλευρικό όριο).Αν ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά (δηλαδή έχουν νόημα και τα δύοπλευρικά όρια τότε: το όριο της f στο x0 υπάρχει και είναι ίσο με L αν και μόνο αν τα δύο πλευρικά όριαυπάρχουν και είναι ίσα με L:

Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης στο x0

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση τηςτριγωνομετρικής συνάρτηση της εφαπτομένης,

f(x)=tanx. Στα σημεία π/2 και -π/2, στοπελυρικό όριο από τα αριστερά η συνάρτησητείνει στο θετικό άπειρο, ενώ στο πλευρικόόριο από τα δεξιά η συνάρτηση τείνει στο

αρνητικό άπειρο.

Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες, καθώς μια ανεξάρτητημεταβλητή, x, πλησιάζει ένα σημείο, η τιμή της εξαρτημένηςαπ'αυτήν μεταβλητής, y=f(x), αυξάνεται ή μειώνεται διαρκώςχωρίς ωστόσο να προσεγγίζει μια συγκεκριμένη τιμή. Έτσι, αν ητιμή της f(x) αυξάνεται ή μειώνεται κατ'αυτόν τον τρόπο, λέμε ότιτο όριο της f στο x0 είναι το συν ή πλην άπειρο, αντίστοιχα, καιαυτό συμβολίζεται με:

ή .Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής: έστω μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης τουπεδίου ορισμού της. Λέμε ότι το όριο της f στο x

0 υπάρχει και είναι ίσο με , οταν για κάθε πραγματικό

αριθμό Μ υπάρχει δ=δ(Μ)>0 τέτοιος, ώστε:με ισχύει

Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε αριθμός και να επιλεγεί, θα υπάρχει κάποιο x στην περιοχή του x0 τέτοιο που η τιμή της συνάρτησης εκεί θα είναι μεγαλύτερη από τον θετικό αριθμό που επιλέχθηκε. Δηλαδή, δεν θα υπάρχει κάποιο φράγμα για τις τιμές της f στην περιοχή του x0 κι αυτό σημαίνει σχηματικά ότι δεν μπορεί να

Όριο συνάρτησης 16

κατασκευαστεί οριζόντια λωρίδα με οσοδήποτε πλάτος ώστε να "κλείνει" (ή να φράζει) την f στην περιοχή τουx0.

Αντίστοιχα, λέμε ότι το όριο μια συνάρτησης στο x0 είναι το πλην άπειρο, οταν για κάθεπραγματικό αριθμό Μ υπάρχει πραγματικός αριθμός δ=δ(Μ)>0 τέτοιος, ώστε:

με ισχύει Ένας ισοδύναμος ορισμός για το όριο συνάρτησης που τείνει στο θα μπορούσε να αποδοθεί με τηνχρήση του ορισμού του ορίου μιας συνάρτησης που τείνει στο (όπως γίνεται αντίστοιχα και με τονορισμό του ορίου μιας ακολουθίας που απειρίζεται αρνητικά). Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση f(x)έχει όριο το καθώς το x πλησιάζει στο x0, όταν το όριο της συνάρτησης -f(x) στο x0 είναι το .Σχηματικά, όταν μια συνάρτηση f(x) τείνει στο άπειρο καθώς το x πλησιάζει σε κάποιο x0, σημαίνει ότι ηκαμπύλη της f στην περιοχή του x0 πλησιάζει διαρκώς την κατακόρυφη ευθεία x=x0, χωρίς όμως ποτέ να τηναγγίζει.

Όριο συνάρτησης στο άπειροΟρισμένες φορές επιθυμούμε να δούμε πως συμπεριφέρεται μια συνάρτηση όταν η ανεξάρτητη μεταβλητήμεγαλώνει απεριόριστα. Για αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει η έννοια του όριου της συνάρτησης στο άπειρο. Γιαπαράδειγμα για τη συνάρτηση: με τύπο:

έχουμε τα εξής:f(1) = 1f(10) = 0.1f(100) = 0.01

f(100000) = 0.00001

Καθώς το x κινείται προς τα δεξιά (δηλαδή,προς το θετικό άπειρο), η f(x) τείνει να πάρειτην σταθερή τιμή L. Έτσι, το όριο της f στο

θετικό άπειρο είναι τo L.

Είναι εύκολο να δούμε ότι οι τιμές της f πλησιάζουν ολοένα καιπερισσότερο το 0 καθώς το x αυξάνεται, χωρίς όμως να το φτάνουνή να το ξεπερνούν ποτέ. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι τοόριο της f στο είναι μηδέν. Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής:

Έστω μια συνάρτηση και έστω ότι το είναι σημείο συσσώρευσης του Α. Λέμε ότι το όριο

της f στο σημείο x0

υπάρχει και είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν: για κάθε ε>0 υπάρχει(τουλάχιστον ένα) δ = δ(ε)>0 τέτοιο ώστε:

με ισχύει .Στο σχήμα δεξιά δίνεται η γραφική ερμηνεία του ορίου συνάρτησης στο άπειρο. Όταν υπάρχει το όριο μιαςσυνάρτησης στο άπειρο, η γραφική της παράσταση τείνει να σταθεροποιηθεί σε μια τιμή y=L, η οποία είναι τοσυγκεκριμένο όριο. Δηλαδή, η f πλησιάζει συνεχώς την ευθεία y=L, αλλά ποτέ δεν την "αγγίζει". Έτσι, η

Όριο συνάρτησης 17

απόσταση μεταξύ της τιμής y=f(x) και L περιορίζεται σε μια λωρίδα ακτίνας ε, η οποία, καθώς το x προχωράειστο άπειρο, συνεχώς λεπταίνει και τείνει να μηδενιστεί.

Όταν το όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο είναι το άπειρο, δηλαδή όταν , τότε η

συνάρτηση δεν συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό, αλλά η τιμή της συνεχώς αυξάνεται ή μειώνεται.Επομένως, δεν υπάρχει κάποια ευθεία y=L την οποία να προσεγγίζει.

Ιδιότητες ορίων συνάρτησης

Έστω οι αριθμητικές συναρτήσεις f(x) και g(x) με και . Τότε, αν και μόνο

αν υπάρχουν τα όρια για τις f και g ξεχωριστά, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:• Το όριο του αθροίσματος (ή της διαφοράς) των f και g ισούται με το άθροισμα (ή την διαφορά) των ορίων

αυτών.

• Το όριο του γινομένου των f και g ισούται με το γινόμενο των ορίων αυτών.

• Το όριο του πηλίκου των f και g ισούται με το πηλίκο των ορίων αυτών με την προϋπόθεση ότι το όριο τουπαρονομαστή είναι διάφορο από το μηδέν .

• Το όριο της απόλυτης τιμής του f ισούται με την απόλυτη τιμή του ορίου αυτής δηλαδή:

• Το όριο μιας δύναμης του f ισούται με την δύναμη του ορίου της f (εάν n είναι θετικός ακέραιος) δηλαδή:

• Το όριο της ρίζας μιας θετικής συνάρτησης ισούται με την ρίζα του ορίου της συνάρτησης .

• Τέλος, ισχύει:

, αν .

Κριτήριο παρεμβολής

Οι h και f κλείνουν την g σε μια λωρίδα πολύστενή στην περιοχή του x0=α

Το κριτήριο παρεμβολής δίνει την δυνατότητα έμμεσουυπολογισμού του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, αν αυτόδεν μπορεί να υπολογιστεί άμεσα.

Όριο συνάρτησης 18

Έστω τρεις πραγματικές συναρτήσεις f(x), g(x) και h(x) για τις οποίες ισχύει σε μιαπεριοχή του x0. Αν επιπρόσθετα ισχύει

,τότε, σύμωνα με το κριτήριο παρεμβολής, προκύπτει ότι

.Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και για γνήσια ανισότητα μεταξύ των τριών συναρτήσεων.Μ'αυτόν τον τρόπο, δεν χρειάζεται να υπολογιστεί το όριο της h στο x0 κατευθείαν από τον τύπο της h, αλλάμπορεί να γίνει με τον υπολογισμό των ορίων των f και g. Βέβαια, είναι απαραίτητο οι f και g να παρεμβάλουντην h σε μια "λωρίδα" οσοδήποτε στενή, στην περιοχή του x0. Αυτό εξασφαλίζεται από το γεγονός ότι τα όριατων δύο αυτών συναρτήσεων στο x0 είναι ίσα.

Παράδειγμα

Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της συνάρτησης f(x) στο x0=0, όταν γνωρίζουμε ότι.

Παρατηρούμε ότι,

.

Από τις δύο αυτές σχέσεις, προκύπτει ότι .

ΑκολουθίαΣτα μαθηματικά, μια ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα αντικειμένων. Μια ακολουθία έχει όρους και τοπλήθος των όρων της (που ενδέχεται να είναι και άπειρο) ονομάζεται μήκος της ακολουθίας. Σε αντίθεση με τασύνολα σε μια ακολουθία έχει σημασία η διάταξη των αντικειμένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος καιούτω καθ εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισμός όσο αφορά το πόσες φορές μπορεί να εμφανίζεται ένααντικείμενο μιας ακολουθίας (σε αντίθεση και πάλι με τα σύνολα όπου ένα αντικείμενο μπορεί να εμφανίζεταιτο πολύ μια φορά).Οι ακολουθίες διακρίνονται ως προς το πλήθος των όρων τους, στις άπειρες ακολουθίες και στιςπεπερασμένες. Σχεδόν αποκλειστικά, στην μαθηματική ανάλυση ενδιαφέρον έχουν οι πρώτες.

Αυστηρός ΟρισμόςΟνομάζουμε ακολουθία ή πιο συγκεκριμένα άπειρη ακολουθία οποιαδήποτε συνάρτηση α από το σύνολοτων φυσικών σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής:

Συνηθίζεται να συμβολίζουμε την τιμή μιας ακολουθίας, για κάθε στοιχείο με αk αντί με α(k) όπωςσυνηθίζεται γενικά για τις συναρτήσεις. Αν το σύνολο Α είναι ίσο με το σύνολο των πραγματικών αριθμώντότε η ακολουθία ονομάζεται πραγματική ακολουθία.Ονομάζουμε πεπερασμένη ακολουθία ή λίστα n στοιχείων οποιαδήποτε συνάρτηση α από ένα σύνολο

σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής:

Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών. Παρόλα αυτά μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη n-άδα για ευκολία και επομένως μπορούμε να τη συμβολίσουμε με (α1, α2, ..., a_n). Παρόμοια, για μια άπειρη ακολουθία μπορούμε να χρησιμοποιούμε το

Ακολουθία 19

συμβολισμό (α1, α2, ... ) όπου α1 είναι ο πρώτος όρος της, α2 ο δέυτερος κοκ. ή για συντομία (αn).

Όριο ΑκολουθίαςΘεωρούμε την ακολουθία:

με όρους:

Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0καθώς ο δείκτης της n αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι γιακαμιά τιμή του n δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι ηακολουθία μας δεν μπορεί να ξεπεράσει το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει όριο τον αριθμό 0.Ένας άτυπος ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ο εξής: μια ακολουθία λέμε ότι έχει όριο ή ότι συγκλίνει σεένα αριθμό L, όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεταιαπεριόριστα.

Ο αυστηρός ορισμός της σύκλισης μιας ακολουθίας (an) σε πραγματικό αριθμό είναι ο εξής: λέμε ότι οαριθμός L είναι όριο της ακολουθίας αν για κάθε ε > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμόςn0 τέτοιος, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

και το συμβολίζουμε με:

Φυσικά είναι δυνατόν μια ακολουθία να μην συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Μπορεί για παράδειγμα νααποκλίνει στο ή στο ή ακόμα να μην έχει όριο καθόλου. Αν όμως μια ακολουθία έχει όριο είτεπραγματικό αριθμό είτε άπειρο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτό είναι μοναδικό.

ΥπακολουθίαΑν είναι μια ακολουθία και είναι φυσικοί αριθμοί, τότε η ακολουθία ,δηλαδή η καλείται υπακολουθία της . Μια υπακολουθία μιας ακολουθίας αποτελεί κιαυτή ακολουθία. Επιπλέον, οι δείκτες των όρων μιας υπακολουθίας αποτελούν μια γνησίως αύξουσαακολουθία φυσικών αριθμών.Αν είναι υπακολουθία μιας συγκλίνουσας ακολουθίας , τότε συγκλίνει κι αυτή στο ίδιο όριο, στοοποίο συγκλίνει η .

Ακολουθία Κωσύ 20

Ακολουθία ΚωσύH ακολουθία Κωσύ ονομάστηκε έτσι προς τιμή του γάλλου μαθηματικού Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ(Augustin-Louis Cauchy). Είναι μία ακολουθία της οποίας οι όροι έχουν όλο και μικρότερη απόσταση όσο ηακολουθία εξελίσσεται.

ΟρισμόςΜία πραγματική ακολουθία είναι Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε γιακάθε n, m > N ισχύει .Μία ακολουθία ορισμένη στον μετρικό χώρο (Μ, d) είναι ακολουθία Κωσύ ανν για κάθε ε > 0υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει .Οι ακολουθίες Κωσύ δεν είναι αναγκαστικά συγκλίνουσες. Ένας μετρικός χώρος στον οποίο κάθε ακολουθίαΚωσύ είναι και συγκλίνουσα ονομάζεται πλήρης.

ΠαραδείγματαΘεωρούμε την ακολουθία στον, όπου οι αριθμοί Φιμπονάτσι. Οι όροι τηςακολουθίας είναι ρητοί αριθμοί. Στον χώρο των πραγματικών αριθμών η ακολουθία αυτή συγκλίνει στηχρυσή τομή . Στον χώρο των ρητών αριθμών η ακολουθία αυτή δε συγκλίνει, αφού το φείναι άρρητος, είναι όμως Κωσύ.

Ακολουθία ΦιμπονάτσιΣτα Μαθηματικά, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι είναι οι αριθμοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας:

Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι τοάθροισμα των δύο προηγούμενων.Σε μαθηματικούς όρους, η ακολουθία Fn των αριθμών Φιμπονάτσι ορίζεται από τον αναδρομικό τύπο:

με και . [1]

Η Ακολουθία Φιμπονάτσι ονομάστηκε έτσι από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό και ως Φιμπονάτσι. Τοβιβλίο του Φιμπονάτσι, το 1202, με τίτλο Liber Abaci, εισήγαγε την ακολουθία στα Μαθηματικά της ΔυτικήςΕυρώπης,[2] αν και η ακολουθία είχε περιγραφεί πιο πριν από τους Ινδούς.[3] [4] [5] (Κατά μία πιο σύγχρονησύμβαση, η ακολουθία ξεκινάει με F0=0. Στο Liber Abaci, όμως, η ακολουθία ξεκινάει με F1=1, παραλείπονταςτο αρχικό 0, κάτι που ακολουθείται από κάποιους ακόμη και σήμερα).Οι Αριθμοί Φιμπονάτσι σχετίζονται με τους Αριθμούς Λούκας δεδομένου ότι είναι συμπληρωματικό ζεύγος τηςΑκολουθίας Λούκας, ενώ είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι και με τη χρυσή αναλογία. Έχει αρκετές εφαρμογές σευπολογιστικούς αλγόριθμους, όπως για παράδειγμα η τεχνική αναζήτησης Φιμπονάτσι και η δομή δεδομένωνσωρός Φιμπονάτσι. Επιπλέον υπάρχουν γραφικές παραστάσεις οι οποίες ονομάζονται κύβοι Φιμπονάτσι καιχρησιμοποιούνται στις παράλληλες διασυνδέσεις και στα κατανεμημένα συστήματα. Τέλος, οι ΑριθμοίΦιμπονάτσι, εμφανίζονται και στη Βιολογία, όπως για παράδειγμα η διακλάδωση στα δέντρα, η διάταξη τωνφύλλων σε ένα στέλεχος, τα στόμια του καρπού ενός ανανά, η ανάπτυξη της αγκινάρας και πολλά άλλα.

Ακολουθία Φιμπονάτσι 21

ΙστορίαΗ Ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται στα Μαθηματικά των Ινδών και συγκεκριμένα σε ΣανσκριτικέςΠροσωδίες.[4] Στην Σανσκριτική προφορική παράδοση, δίνονταν μεγάλη έμφαση κατά πόσο οι μακρόσυρτεςσυλλαβές (Μ) συνέπιπταν με τις σύντομες (Σ), και μετρούσαν τα διαφορετικά πρότυπα των Μ και των Σ μέσασε ένα προκαθορισμένο διάστημα, κάτι που οδήγησε στους αριθμούς Φιμπονάτσι. Ο αριθμός των προτύπωνπου γίνονται m σύντομες συλλαβές μακρόσυρτες είναι ο αριθμός Φιμπονάτσι Fm+1.[5]

Η ανάπτυξη τη ακολουθίας αποδίδεται στον Pingala (200 π.Χ.), αλλά η πρώτη ξεκάθαρη αναφορά στηνΑκολουθία γίνεται στα έργα του Virahanka (700 μ.Χ.), τα έργα του οποίου δε σώζονται, αλλά μεταφέρθηκαναυτούσια στα έργα του Gopala (1153 μ.Χ.).Στη Δύση, οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται για πρώτη φορά στο βιβλίο Liber Abaci (1202) του Λεονάρντοτης Πίζας, γνωστού και ως Φιμπονάτσι.[2] Ο Φιμπονάτσι παίρνει ως δεδομένο ένα ιδανικό πληθυσμόκουνελιών και κάνει τις εξής υποθέσεις: έχουμε ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών (αρσενικό και θηλυκό) σεένα χωράφι, τα κουνέλια είναι σε θέση να ζευγαρώσουν σε ηλικία ενός μήνα από τη γέννησή τους, έτσι ώστεστο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό να μπορεί να γεννήσει ένα ζευγάρι κουνελιών, τα κουνέλια δεπεθαίνουν ποτέ και κάθε ζευγάρι κουνελιών γεννάει ένα νέο ζευγάρι (ένα αρσενικό και ένα θηλυκό) κάθεμήνα από τον δεύτερο μήνα και μετά. Το ερώτημα που έθεσε ο Φιμπονάτσι ήταν: πόσα ζεύγη κουνελιών θαέχουν γεννηθεί μέσα σε ένα έτος;• Στο τέλος του πρώτου μήνα, ζευγαρώνουν, αλλά ακόμη υπάρχει μόνο ένα ζεύγος.• Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννάει ένα νέο ζεύγος, οπότε στο ζωράφει υπάρχουν δύο ζεύγη

κουνελιών.• Στο τέλος του τρίτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννάει και δεύτερο ζεύγος, οπότε έχουμε τρία ζεύγη

κουνελιών.• Στο τέλος του τέταρτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννάει ακόμη ένα ζεύγος, το θηλυκό που γεννήθηκε δύο

μήνες πριν γεννάει το πρώτο της ζεύγος, οπότε έχουμε πέντε ζεύγη κουνελιών στο χωράφι.Στο τέλος του ν-οστού μήνα, το πλήθος των ζευγών των κουνελιών είναι ίσος με το πλήθος των νέων ζεύγων(n-2) προσθέτοντας το πλήθος ζεύγων που υπήρχαν στο χωράφι τον προηγούμενο μήνα (n-1). Αυτός είναι ον-οστός αριθμός Φιμπονάτσι.[6]

Ο όρος «Ακολουθία Φιμπονάτσι» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικόΕδουάρδο Λούκας. [7]

Λίστα των Αριθμών ΦιμπονάτσιΟι πρώτοι 21 αριθμοί Φιμπονάτσι Fn για n= 0, 1, 2, …, 20 είναι: [8]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Η ακολουθία μπορεί να επεκταθεί και σε αρνητικό δείκτη n χρησιμοποιώτας αναδιαταγμένη την αναδρομικήσχέση

που παράγει την ακολουθία των αρνητικών αριθμών Φιμπονάτσι και ικανοποιεί τη σχέση: [9]

Οπότε η πλήρης ακολουθία είναι η εξής:

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8

−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

Ακολουθία Φιμπονάτσι 22

Συνάφεια με τη Χρυσή Αναλογία

Έκφραση Κλειστής ΜορφήςΌπως κάθε ακολουθία, η οποία προσδιορίζεται από αναδρομική σχέση, έτσι και η ακολουθία Φιμπονάτσι έχειλύση κλειστής μορφής. Αυτή είναι γνωστή ως Φόρμουλα του Binet, αν και ήταν ήδη γνωστό από τον Αβραάμντε Μουάβρ

όπου

είναι η χρυσή αναλογία, και

[10]

Για να το δούμε αυτό,[11] θα πρέπει το φ και το ψ να είναι και τα δύο λύσεις της εξίσωσης

οπότε οι δυνάμει των φ και ψ ικανοποιούν την αναδρομική σχέση Φιμπονάτσι. Δηλαδή

και

Αυτό ισχύει για κάθε τιμή των a και b και η ακολουθία ορίζεται από

και ικανοποιεί την ίδια αναδρομική σχέση

Εάν a και b επιλεγούν έτσι ώστε U0 = 0 και U1 = 1 τότε η ακολουθία Unπου προκύπτει είναι η ακολουθίαΦιμπονάτσι. Αυτό είναι το ίδιο αν απαιτήσουμε τα a και b να ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα εξισώσεων:

το οποίο έχει λύση

και παράγει την απαιτούμενη φόρμουλα.

Υπολογισμός με στρογγυλοποίησηΕάν

για κάθε n ≥ 0, ο αριθμός Fn είναι ο κοντινότερος ακέραιος του

Επομένως μπορεί να βρεθεί στρογγυλοποιώντας

Ακολουθία Φιμπονάτσι 23

Ομοίως, εάν ήδη γνωρίζουμε ότι ο αριθμός F > 1 είναι αριθμός Φιμπονάτσι, μπορούμε να προσδιορίσουμε τοδείκτη του μέσα στην ακολουθία με

Όριο συνεχόμενων πηλίκωνΟ Γιοχάνες Κέπλερ παρατήρησε ότι η αναλογία συνεχόμενων αριθμών Φιμπονάτσι συγκλίνει. Συγκεκριμέναέγραψε ότι "ότι είναι το 5 για το 8 είναι το 8 για το 13, πρακτικά, ότι είναι το 8 για το 13, είναι το 13 για το 21σχεδόν" και κατέληξε ότι το όριο τείνει στη χρυσή αναλογία .[12]

Η σύγκλιση αυτή δεν εξαρτάται από τις αρχικές τιμές, εξαιρώντας το 0, 0. Για παράδειγμα, οι αρχικές τιμές 19και 31 παράγουν την ακολουθία 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555 ... κλπ. Η αναλογία συνεχόμενων όρων σεαυτή την ακολουθία παρουσιάζει την ίδια σύγκλιση προς τη χρυσή αναλογία.Στην ουσία αυτό ισχύει για κάθε ακολουθία η οποία ικανοποιεί την αναδρομική σχέση Φιμπονάτσι, εκτόςεκείνης που ξεκινάει με μηδέν. Αυτό προκύπτει από τη Φόρμουλα Binet.

Ανάλυση δυνάμεων της χρυσής αναλογίαςΕφόσον η χρυσή αναλογία ικανοποιεί την εξίσωση

η έκφραση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση μεγάλων δυνάμεων ως γραμμική εξίσωσημικρότερων δυνάμεων, η οποία με τη σειρά της μπορεί να αναλυθεί σε ένα γραμμικό συνδυασμό του καιτου 1. Η σχέση που προκύπτει παράγει αριθμούς Φιμπονάτσι ως γραμμικούς συντελεστές:

Η έκφραση αυτή είναι αληθής και για εάν η ακολουθία Φιμπονάτσι επεκταθεί και σεαρνητικούς ακέραιους χρησιμοποιώντας τη σχέση

ΠίνακεςΈνα σύστημα διαφορικών εξισώσεων δύο διαστάσεων που περιγράφει την ακολουθία Φιμπονάτσι είναι τοεξής:

ή

Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι και , και τα ιδιοδιανύσματά του A, και , είναι σε

αναλογίες και Έχοντας αυτά τα στοιχεία, και τις ιδιότητες των ιδιοτιμών, μπορούμε να βρούμετη φόρμουλα του n-οστού στοιχείου στην ακόλουθη σειρά Φιμπονάτσι:

Ο πίνακας έχει ορίζουσα -1, οπότε έχουμε έναν 2x2 πίνακα. Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό από το διαδοχικόκλάσμα της χρυσής αναλογίας:

Ακολουθία Φιμπονάτσι 24

Οι αριθμοί Φιμπονάτσι προκύπτουν από τα διαδοχικά πηλίκα του διαδοχικού κλάσματος της χρυσήςαναλογίας , και ο πίνακας δημιουργείται από τα διαδοχικά πηλίκα οποιουδήποτε διαδοχικού κλάσματοςπου έχει ορίζουσα +1 ή -1.Η αναπαράσταση σε πίνακα δίνει την ακόλουθη κλειστή έκφραση των αριθμών Φιμπονάτσι:

Παίρνοντας τις ορίζουσες και των δύο μερών προκύπτει η ταυτότητα του Κασίνι

Επιπρόσθετα, αν για κάθε τετραγωνικό πίνακα A, προκύπτουν οι ακόλουθες ταυτότητες:

Ιδιαίτερα, αν ,

Αναγνώριση αριθμών ΦιμπονάτσιΤο ερώτημα που προκύπτει είναι αν ένας θετικός ακέραιος αριθμός z είναι αριθμός Φιμπονάτσι. Εφόσον

είναι ο πιο κοντινός ακέραιος του , η πιο άμεση δοκιμή είναι η ταυτότητα:

Μία συνέπεια της παραπάνω σχέσης είναι ότι αν είναι γνωστό ότι ένας αριθμός z είναι αριθμός Φιμπονάτσι,μπορούμε να προσδιορίσουμε το n έτσι ώστε F(n) = z με το ακόλουθο:

Εναλλακτικά, ένας ακέραιος αριθμός z είναι αριθμός Φιμπονάτσι αν και μόνο αν μία από τις σχέσεις ή είναι τέλειο τετράγωνο.[13]

Ένα ελαφρώς πιο πολύπλοκο τεστ χρησιμοποιεί το γεγονός ότι τα πηλίκα των διαδοχικών κλασμάτων πουαναπαριστούν το είναι αναλογίες διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι. Δηλαδή, η ανισότητα

(με coprime ακέραιους αριθμούς p, q) είναι αληθής αν και μόνο αν τα p και q είναι διαδοχικοί αριθμοίΦιμπονάτσι. Από αυτό προκύπτει το κριτήριο ότι ο z είναι αριθμός Φιμποινάτσι αν και μόνο αν το κλειστόδιάστημα

περιέχει έναν θετικό ακέραιο.[14] Για , είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτό το διάστημα περιέχει το πολύ έναν ακέραιο, και στην περίπτωση που το z είναι αριθμός Φιμπονάτσι, ο ακέραιος αυτός είναι ίσος με τον επόμενο διαδοχικό αριθμό Φιμπονάτσι μετά το z. Είναι εντυπωσιακό, ότι αυτό το αποτέλεσμα ισχύει και για την περίπτωση , αλλά θα πρέπει να δηλωθεί επακριβώς γιατί το 1 εμφανίζεται δύο φορές στην

Ακολουθία Φιμπονάτσι 25

ακολουθία Φιμπονάτσι και έχει δύο διαφορετικούς διαδοχικούς επόμενους αριθμούς στην ακολουθία.

Σημειώσεις[1] Lucas p. 3[2] Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95419-8. Chapter II.12, pp. 404–405.[3] Susantha Goonatilake (1998). Toward a Global Science (http:/ / books. google. com/ ?id=SI5ip95BbgEC& pg=PA126& dq=Virahanka+

Fibonacci). Indiana University Press. σελ. 126. ISBN 9780253333889. .[4] Singh, Parmanand (1985). "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India". Historia Mathematica 12 (3): 229–244.

doi: 10.1016/0315-0860(85)90021-7 (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1016/ 0315-0860(85)90021-7).[5] Donald Knuth (2006). The Art of Computer Programming: Generating All Trees—History of Combinatorial Generation; Volume 4

(http:/ / books. google. com/ ?id=56LNfE2QGtYC& pg=PA50& dq=rhythms). Addison–Wesley. σελ. 50. ISBN 9780321335708. .[6] Knott, Ron. "Fibonacci's Rabbits" (http:/ / www. maths. surrey. ac. uk/ hosted-sites/ R. Knott/ Fibonacci/ fibnat. html#Rabbits). University

of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences. .[7] Martin Gardner (1996). Mathematical Circus. The Mathematical Association of America. ISBN 0883855062. p.133[8] Η ιστοσελίδα (http:/ / www. maths. surrey. ac. uk/ hosted-sites/ R. Knott/ Fibonacci/ fibtable. html) έχεις τους πρώτους 300 Fn και

περισσότερες πληροφορίες.[9] Knuth, Donald. "Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane" Εργασία που παρουσιάστηκε στα πλαίσια της Ετήσιας

Συνάντησης της Mathematical Association of America, The Fairmont Hotel, San Jose, CA. 2008-12-11<http://www.allacademic.com/meta/p206842_index.html>

[10] Ball p. 156[11] Following Ball p. 155-156[12] Kepler, Johannes (1966). A New Year Gift: On Hexagonal Snow. Oxford University Press. σελ. 92. ISBN 0198581203. Strena seu

de Nive Sexangula (1611).[13] Posamentier, Alfred; Lehmann, Ingmar (2007). The (Fabulous) FIBONACCI Numbers. Prometheus Books. σελ. 305. ISBN

978-1-59102-475-0.[14] M. Möbius, Wie erkennt man eine Fibonacci Zahl?, Math. Semesterber. (1998) 45; 243–246.

Ακτίνιο (μονάδα μέτρησης)

Γωνία ενός ακτίνιου ισοδυναμεί με το τόξο τοοποίο έχει μήκος ίσο με το μήκος της ακτίνας

του κύκλου.

Το ακτίνιο (rad) είναι μονάδα μέτρησης της γωνίας. Ένα ακτίνιο(1 rad) είναι η επίπεδη γωνία η οποία όταν γίνει επίκεντρη ορίζειτόξο, σε οποιοδήποτε κύκλο, με μήκος ίσο με την ακτίνα του.

Στο σύστημα SI το ακτίνιο θεωρούταν παλιότερα ως"συμπληρωματικό μέγεθος", αλλά αυτή η κατηγορία μεγεθώνκαταργήθηκε το 1995, και θεωρείται τώρα παράγωγο μέγεθος. Απότον ορισμό οι διαστάσεις του ακτίνιου στο SI είναι m∙m−1, είναιδηλαδή αδιάστατο μέγεθος.

Μετατροπή σε μοίρες

Ένα ακτίνιο ισούται με 180/π μοίρες, επομένως για ναμετατρέψουμε ακτίνια σε μοίρες πολλαπλασιάζουμε με 180/π, γιαπαράδειγμα:

Ακτίνιο (μονάδα μέτρησης) 26

Διάγραμμα μετατροπής μοιρών σε ακτίνια.

Αντίστροφα, για να μετατρέψουμεμοίρες σε ακτίνια πολλαπλασιάζουμεμε π/180, για παράδειγμα:

Γωνιακή ταχύτηταΣτην φυσική η γωνιακή ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που εκφράζει την ταχύτητα ενός σώματοςπου εκτελεί κυκλική κίνηση και ισούται με τον ρυθμό μεταβολής του τόξου που διαγράφει το σώμα σε κυκλικήκίνηση και δίνεται από την σχέση:

Όπου η μεταβολή της γωνίας που αντιστοιχεί στο διαγραφόμενο τόξο και οι μονάδες μέτρησης είναιrad/sec.

Πηγές• Σημειώσεις του Καθ. ΤΕΙ Αθηνών Ιωάννη Θ. Φαμέλη: "Εισαγωγή στην τριγωνομετρία". (pdf) [1]

• Φυσική θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ΄ λυκείου, ΟΕΔΒ σελ. 8 [2]

Παραπομπές[1] http:/ / users. teiath. gr/ ifamelis/ downloads/ teiathdnld/ EisagTrigon. pdf[2] http:/ / www. pi-schools. gr/ download/ lessons/ physics/ lykeio/ physics-c-thet-texn/ Talantwseis. zip

Ανάδελτα 27

ΑνάδελταΑνάδελτα είναι διανυσματικός διαφορικός τελεστής των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης ως προς τιςτρεις διαστάσεις του χώρου. Γενικά, δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται ένα μέγεθος στο χώρο.Συμβολίζεται με , το οποίο σύμβολο μοιάζει με αναποδογυρισμένο κεφαλαίο Δ. Η χρήση του ανάδελτα

μοιάζει με εσωτερικό ή εξωτερικό γινόμενο του οιωνεί διανύσματος [1] με τη

συνάρτηση, όπου το οιωνεί διάνυσμα είναι πάντα ο πρώτος παράγοντας.

Ορισμός του ανάδελταΈστω μια συνάρτηση ως προς τις τρεις διαστάσεις του χώρου . Τότε ορίζουμε:

• [1]

Αν η συνάρτηση f είναι διάνυσμα ( ) έχει συνιστώσες ως προς του άξονες x'x, y'y, z'z αντίστοιχα,τότε ορίζουμε:

• [1]

Όπου C μια κλειστή επιφάνεια και V ο περικλειόμενος όγκος.

Κλίση και Απόκλιση

Η έκφραση συμβολίζεται με gradf, κλίση της συνάρτησης f αν f πραγματική συνάρτηση και divvf,απόκλιση της συνάρτησης f αν f διανυσματική συνάρτηση.[1] Αυτή η έκφραση αναφέρεται σε συνάρτηση τωντριών διαστάσεων και διαφέρει από την κλίση παραγώγου πραγματικής συνάρτησης μιας πραγματικήςμεταβλητής που αφορά μόνο μία διάσταση. Αν η συνάρτηση f είναι πραγματική τριών πραγματικώνμεταβλητών, τότε η κλίση της αντιπροσπεύει ένα εφαπτόμενο υπερεπίπεδο στις τέσσερις διαστάσεις, όπως ηκλίση της παραγώγου αντιπροσωπεύει μια εφαπτόμενη ευθεία στις δύο διαστάσεις.

Γραφική απεικόνιση πραγματικής συνάρτησης f καιτης κλίσης της η οποία είναι διανυσματική. Ησυνάρτηση αναπαρίσταται χρωματικά, όσο πιο μαύρο

είναι ένα σημείο, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή τηςσυνάρτησης. Παρατηρήστε ότι η κλίση δείχνει προς την

κατεύθυνση αύξησης των τιμών.

Παρομοίως με προηγουμένως, αλλά αντί για κλίμακα του γκρίζουχρησιμοποιείται χρωματική κλίμακα με μπλε τις μικρότερες τιμές

και κόκκινο τις μεγαλύτερες.

Ανάδελτα 28

Στροβιλότητα

Η έκφραση συμβολίζεται[1] με rotf ή curlf και ονομάζεται στροβιλότητα της συνάρτησης f. Αν ησυνάρτηση f δεν περιέχει δίνες, τότε η στροβιλότητά της είναι μηδέν. Μια διανυσματική συνάρτησηπαρουσιάζει δίνες, αν η συνάρτηση ορίζει κλειστές διαδρομές. Δηλαδή, αν κάποιος ακολουθώντας ταδιανύσματά της συνάρτησης, υπάρχει τρόπος από ένα σημείο να ξανασυναντήσει το συγκεκριμένο σημείο.

Το εξωτερικό γινόμενο ανάδελτα με την f συμβολίζεται και με: [1]

σε μορφή ορίζουσας, αλλά υποχρεωτικά η ορίζουσα ανοίγεται ως προς την πρώτη γραμμή. Αυτός ομαθηματικός τύπος παραβιάζει τους κανόνες της τυπικής γλώσσας, αλλά χρησιμεύει ως μνημονικός κανόνας.

Η διανυσματική συνάρτηση f(x,y)=(-y,x). Εμφανίζει σαφώςστροβιλότητα. Η στροβιλότητά της ισούται με ,το οποίο είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της εικόνας προς

τον αναγνώστη με μέτρο δύο.

Αναπαράσταση της διανυσματικής συνάρτησης. Είναι

,λογικό αφού η συνάρτηση δεν

παρουσιάζει δίνες.

Ανάδελτα εις τη νΟρίζουμε την ύψωση του ανάδελτα σε φυσική δύναμη με βάση το εσωτερικό γινόμενο:

, αν ν>1.

Σε αυτήν την περίπτωση αν η συνάρτηση f είναι διανυσματική, τότε οι περιττής τάξεως δυνάμειςαναπαριστούν αποκλίσεις, ενώ οι άρτιας τάξης κλίσεις. Αντίστροφα, αν η συνάρτηση f είναι πραγματικόςαριθμός, τότε οι περιττής τάξης δυνάμεις αναπαριστούν κλίσεις, ενώ οι άρτιας αποκλίσεις. Σημειώνεται ότι ταμαναδιαία διανύσματα στη νιοστή δύναμη ισούνται με αν ν περιττός αριθμός και με 1, 1, 1αν ν άρτιος αριθμός.

Ανάδελτα 29

Τελεστής Λαπλάς[1]

Ο τελεστής Λαπλάς συμβολίζεται με , δηλαδή τον ανάδελτα αναποδογυρισμένο και ορίζουμε σε μιασυνάρτηση f των τριών μεταβλητών του χώρου: .

ΙδιότητεςΑν f διανυσματική συνάρτηση:

•Η απόκλιση της στροβιλότητας είναι μηδέν.[1]

•Η στροβιλότητα της κλίσης είναι μηδέν. [1]

•Στον τελεστή ανάδελτα ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της παραγώγισης όπως της γραμμικότητας. Αυτόσυμβαίνει, γιατί ο τελεστής ανάδελτα είναι διαφορικός. Σε κάθε ταυτότητα η οποία αναφέρεται στις ιδιότητεςτης παραγώγισης, το είδος του τελεστή που συμμετέχει διατηρείται και στα δύο μέλη της κάθε ταυτότητας. Γιαπαράδειγμα στον κανόνα του γινομένου ισχύει:

• [1]

•

Παραπομπές[1] "Τελεστής ανάδελτα" (http:/ / www. hellenica. de/ Math/ Telestis/ TelestisAnadelta. html) (html). www.hellenica.de. . Ανακτήθηκε την

2010-06-24.

Ανισότητα ΜπερνούλιΗ ανισότητα Μπερνούλι είναι η ανισότητα: Η ανισότητα αυτή αποδεικνύεται μέσω της μαθηματικής επαγωγής.

Πηγές• Κατσοπρινάκης, Εμμ.. "M205 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 2" [1]. Τμήμα Μαθηματικών,

Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε την 20 Σεπτεμβρίου 2011.

Παραπομπές[1] http:/ / www. math. uoc. gr/ ~ep_spoud/ FYLLADIA/ ErgAn-E-04-2. pdf

Απειροστικός λογισμός 30

Απειροστικός λογισμόςΑπειροστικός λογισμός είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη σύγκλιση ορίων καικατεπέκταση με τη διαφορισιμότητα και ολοκληρωσιμότητα συναρτήσεων πραγματικών αριθμών. Οαπειροστικός λογισμός, χρησιμοποιείται στην επιστήμη και στην μηχανική και μέσω αυτού δίνεται ηδυνατότητα επίλυσης προβλημάτων που η άλγεβρα μόνη της είναι ανεπαρκής. Βασίζεται στην άλγεβρα, τηντριγωνομετρία και την αναλυτική γεωμετρία και διαιρείται στους δύο κύριους κλάδους του, τον διαφορικό καιτον ολοκληρωτικό λογισμό. Σε ανώτερο επίπεδο, ο απειροστικός λογισμός λέγεται ανάλυση και μελετά τημελέτη των συναρτήσεων και των ορίων από αξιωματικό επίπεδο.

Αριθμητική πρόοδοςΑριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία, στην οποία για δύο διαδοχικούς όρους της αν, αν+1 ισχύει ότι

, όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Η ποσότητα ω ονομάζεται διαφορά της αριθμητικήςπροόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η οποιαδήποτε διαφορά δύο διαδοχικών όρων μιας ακολουθίαςείναι συγκεκριμένη, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι, η αριθμητική πρόοδος, όπωςπολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους τύπους:• Γενικός τύπος: αν=α1+(ν-1)ω• Αναδρομικός τύπος: αν=αν-1+ω

Ιδιότητες της προόδου• Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικα σημεία μιας ευθείας με κλίση

ίση με ω.• Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου.• Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) ( με πρώτον όρο τον α1) ισούται με

Αυτός ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικόςμαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα 1+2+3+...+999+1000 και αποδεικνύοντας ότιτο αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχικήπρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινότανλάθος.

• Αν ω=1 και α1=1 τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.

Αρμονική πρόοδος 31

Αρμονική πρόοδοςΑρμονική πρόοδος είναι η ακολουθία, στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύο

διαδοχικούς όρους της αν, αν+1 ισχύει ότι , όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Αντίστροφα,

αποδεικνύεται ότι, αν για οποιουσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους μιας ακολουθίας ισχύει η παραπάνω σχέσητότε αυτή η ακολουθία είναι αρμονική πρόοδος. Έτσι, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο τύπους:

• Γενικός τύπος:

• Αναδρομικός τύπος:

Ιδιότητες της προόδου• Η γραφική παράσταση της γεωμετρικής προόδου είναι διαδοχικά σημεία ενός κλάδου δίκλαδης υπερβολής

με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, η οποία όμως έχει μετατοπιστεί οριζόντια κατά

• Ο αρμονικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροιαρμονικής προόδου.

• Αν ω=0 και τότε η αρμονική πρόοδος είναι άπειροι ίσοι μεταξύ τους όροι με τον α1.

Αρχική τιμήΣτα μαθηματικά και στη φυσική επιστήμη γενικότερα με τον όρο αρχική τιμή χαρακτηρίζεται η συγκεκριμένητιμή μιας άγνωστης συνάρτησης στην αρχική κατάσταση αυτής απ΄ όπου αναζητείται η επίλυσή της.Πρόκειται για χαρακτηριστικό σημείο των διαφορικών εξισώσεων όπου οι διάφορες συνθήκες εξελίσσονται μετον χρόνο. Συνέπεια αυτού είναι να προσδιορίζεται πάντα η χρονική στιγμή t = to όπου για λόγους απλότηταςθεωρείται to = 0.

Αρχιμήδεια Ιδιότητα 32

Αρχιμήδεια ΙδιότηταΗ Αρχιμήδεια ιδιότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλώνει ότι για όλους τους πραγματικούςαριθμούς x και y με x > 0, υπάρχει φυσικός αριθμός ν τέτοιος ώστε .Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής προκύπτει εύκολα από το γεγονός ότι το σύνολο N των φυσικών αριθμών δενείναι άνω φραγμένο. Επειδή λοιπόν το N δεν είναι άνω φραγμένο ο πραγματικός αριθμός y/x δεν μπορεί ναείναι άνω φράγμα του και επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένας φυσικός αριθμός ν τέτοιος ώστε > y/x καιισοδύναμα .Η γεωμετρική ερμηνεία της αρχιμήδειας ιδιότητας είναι η εξής: για οποιαδήποτε δύο ευθύγραμμα τμήματα, μεένα πεπερασμένο αριθμό ευθυγράμμων τμημάτων ίσων με το μικρότερο από τα δύο, τοποθετημένα το έναδίπλα στο άλλο μπορούμε να σχηματίσουμε ευθύγραμμο τμήμα που να ξεπερνά το μεγαλύτερο από τα δύο σεμήκος.

Ασύμπτωτες συνάρτησης 34

Ασύμπτωτη μιας συνάρτησης ονομάζεται η γραμμή η οποία τείνει να συμπέσει στη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης χωρίς όμως τελικά να συμπέσει. Συνήθως αναφέρεται σε ευθεία γραμμή, αλλά ο όρος μπορεί ναχρησιμοποιηθεί για οποιαδήποτε καμπύλη. Υπάρχουν τρία είδη ασύμπτωτης ευθείας:• κατακόρυφη ασύμπτωτη• οριζόντια ασύμπτωτη• πλάγια ασύμπτωτη

Επειδή οι οριζόντιες και οι πλάγιες ασύμπτωτες μελετώνται με τον ίδιο τρόπο υπάρχει και ο όροςπλαγιοοριζόντιες ασύμπτωτες που περιλαμβάνει τις οριζόντιες και τις πλάγιες ασύμπτωτες.

Μαθηματικός ορισμός

Συνάρτηση υπερβολή με δύο ασύμπτωτες.

Mια καμπύλη g(x)=y είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης f(x) αν ή αν

και σε περιοχή του x0.Πιο συγκεκριμένα στις ευθείες:Μία ευθεία y=αx+β είναι πλαγιοοριζόντια ασύμπτωτη της συνάρτησης f(x) (οριζόντια ασύμπτωτη αν α=0,πλάγια αν α διάφορο του 0) αν και μόνο αν

Μία ευθεία x=β είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης f(x) αν και μόνο αν

Ασύμπτωτες συνάρτησης 35

ΧρησιμότηταΟι ασύμπτωτες δείχνουν με ποιόν τρόπο οι συναρτήσεις τείνουν στο άπειρο. Επιπλέον, οι ασύμπτωτες μπορούννα χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις της συνάρτησης σε ορισμένες περιοχές του πεδίου ορισμού.

ΒελτιστοποίησηΟ χώρος της βελτιστοποίησης στα εφαρμοσμένα μαθηματικά αναφέρεται στην αναζήτηση βέλτιστωνπαραμέτρων ενός - συνήθως περίπλοκου - συστήματος. Προβλήματα βελτιστοποίησης απαντώνται σε πολλάεπιστημονικά πεδία όπως π.χ. στη φυσική, στη χημεία, στην οικονομία κ.α..Στα μαθηματικά διατυπώνεται ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης σαν πρόβλημα ελαχιστοποίησης ήμεγιστοποίησης μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής ή πολλών μεταβλητών. Ενώ στην ελαχιστοποίηση (ήμεγιστοποίηση) συναρτήσεων μίας μεταβλητής μπορούν να χρησιμοποιηθούν αναλυτικές και αλγεβρικέςμέθοδοι για τον ακριβή ορισμό ελάχιστων (ή μέγιστων), στη μελέτη συναρτήσεων πολλών μεταβλητώνχρησιμοποιούνται κυρίως αριθμητικές μέθοδοι για έναν προσεγγιστικό ορισμό ελάχιστων (ή μέγιστων)σημείων.

Βελτιστοποίηση υπό συνθήκηΣε πολλά προβλήματα βελτιστοποίησης τίθενται επί πλέον περιορισμοί (constrainτs) τους οποίους οι λύσειςπρέπει να ικανοποιούν. Οι περιορισμοί ή συνθήκες αυτές συνήθως είναι ανισότητες.

Βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήριαΒελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια (ή προγραμματισμός),[1] [2] επίσης γνωστή και ως βελτιστοποίηση μεπολλαπλά αντικείμενα ή χαρακτηριστικά , είναι η διαδικασία της ταυτόχρονης βελτιστοποίησης δυο ήπερισσότερων αντικρουόμενων ζητημάτων με διαφόρους περιορισμούς.Προβλήματα βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια μπορούν να βρεθούν σε διαφόρους τομείς : παράγωγηκαι σχεδιασμός διαδικασιών, οικονομικά, σχεδιασμό αεροσκαφών, πετρελαϊκές βιομηχανίες, σχεδιασμόαυτοκίνητων, ή οπουδήποτε χρειάζεται να παρθεί η καταλληλότερη απόφαση για την εξισορρόπηση όλων τωνπαραγόντων μεταξύ δυο η περισσότερων αντικρουόμενων στόχων. Μεγιστοποιώντας το κέρδος καιελαχιστοποιώντας το κόστος ενός προϊόντος, μεγιστοποιώντας την απόδοση και ελαχιστοποιώντας τηνκατανάλωση καυσίμου σε ένα όχημα και ελαχιστοποιώντας το βάρος καθώς μεγιστοποιείται η αντοχή κάποιουεξαρτήματος είναι παραδείγματα προβλημάτων βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια.Εάν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια είναι καλώς ορισμένο, τότε δεν θα υπάρχειμοναδική λύση η οποία ταυτόχρονα να ελαχιστοποιεί τον κάθε στόχο στο ελάχιστο δυνατό. Σε κάθε περίπτωσηένα κριτήριο πρέπει να έχει φτάσει ένα σημείο τέτοιο ώστε κάθε προσπάθεια επιπλέον βελτιστοποίησής του ναέχει ως αποτέλεσμα την υποβάθμιση άλλων κριτηρίων. Το να βρεθεί μια τέτοια λύση, και να πιστοποιηθεί τοπόσο καλύτερη είναι συγκριτικά με άλλες (γενικά θα υπάρχουν πολλές) είναι ο σκοπός όταν συντίθεται καιλύνεται ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια.

Βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια 36

ΕισαγωγήΜε μαθηματικούς όρους, το πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια μπορεί να διατυπωθεί και ως:

όπου είναι η αντικειμενική συνάρτηση του κριτηρίου, τα και είναι οι περιορισμοί ανισότητας καιισότητας αντίστοιχα, και το είναι το διάνυσμα των μεταβλητών βελτιστοποίησης ή απόφασης. Η λύση για τοανωτέρω πρόβλημα είναι ένα σύνολο από σημεία Pareto. Οι λύσεις Pareto είναι εκείνες για της όποιες ηβελτιστοποίηση ενός κριτηρίου μπορεί να επέλθει μόνο με την χειροτέρευση ενός τουλάχιστον κριτηρίου.Παρόλα αυτά, αντί για μια μόνο λύση στο πρόβλημα (κάτι το οποίο είναι τυπικά η περίπτωση τουπαραδοσιακού μαθηματικού προγραμματισμού), η λύση σε ένα πρόβλημα πολλαπλών κριτηρίων είναι μιασειρά (πιθανότατα άπειρων) σημείων Pareto.

Ένα σημείο σχεδιασμού στον αντικειμενικό χώρο ορίζεται ως βέλτιστο Pareto αν δεν υπάρχει κανένα άλλοεφικτό διάνυσμα τέτοιο ώστε για όλα τα , και για τουλάχιστον ένανδείκτη , .

Μέθοδοι Επίλυσης

Κατασκευάζοντας ένα συνάθροισμα αντικειμενικών συναρτήσεων (aggregate objectivefunction - AOF)Αυτή είναι ίσως η πιο διαισθητική προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων με πολλαπλά κριτήρια. Η βασικήιδέα είναι να συνδυαστούν όλες οι αντικειμενικές συναρτήσεις σε μια μόνο συναρτησιακή μορφή, η οποίαονομάζεται AOF. Ένας γνωστός συνδυασμός είναι το σταθμισμένο γραμμικό άθροισμα των κριτηρίων.Ορίζουμε βαθμωτά σταθμά για το κάθε προς βελτιστοποίηση κριτήριο, και στη συνέχεια τα συνδυάζουμε σεμια συνάρτηση που μπορεί να επιλυθεί από έναν βελτιστοποιητή μονού κριτηρίου (όπως ο τρόπος SQP κ.τ.λ.).Ξεκάθαρα, η λύση που θα προκύψει θα βασίζεται στις τιμές (πιο συγκεκριμένα, τις σχετικές τιμές) τωνσταθμών που καθορίστηκαν. Για παράδειγμα, αν προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε την δύναμη ενόςεξαρτήματος μιας μηχανής και να ελαχιστοποιήσουμε το κριτήριο του κόστους και αν έχει οριστεί υψηλότεροσταθμικό για το κριτήριο κόστους έναντι αυτού της δύναμης, η λύση μας θα ικανοποιεί τα κριτήρια τηςμείωσης του κόστους έναντι στην αύξηση της δύναμης. Παρόλα αυτά, μπορεί να παρατηρηθεί ότι η μέθοδοςαυτή είναι κατά βάση υποκειμενική, καθώς πρέπει ένας υπεύθυνος λήψης αποφάσεων ( Decision Manager-DM) να παρέχει τα σταθμά. Πέραν τούτου, αυτή η προσέγγιση δεν μπορεί να αναγνωρίσει όλες τις μηεπικρατούσες λύσεις (μόνο λύσεις που βρίσκονται στο κυρτό μέτωπο του συστήματος Pareto μπορούν ναβρεθούν). Ο αντικειμενικός τρόπος επίλυσης προβλημάτων βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια χρειάζεταιμια συμβατή με το σύστημα Pareto μέθοδο βαθμολόγησης, ευνοώντας τις μη επικρατούσες λύσεις, όπωςφαίνεται σε πρόσφατες πολύ-κριτηριακές προσεγγίσεις όπως η NSGA-II [3] και SPEA2. Εδώ, δεν χρειάζονταισταθμά οπότε δεν χρειάζονται και προηγούμενες πληροφορίες για το πρόβλημα. [4]

Βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια 37

Μέθοδοι NBI, NC, SPOΟι μέθοδοι NBI (Λογικής Οριακής Διατομής, Normal Boundary Intersection)[5] [6] , NC (Λογική Σύγχυση,Normal Constraint)[7] [8] και SPO (Διαδοχικής Pareto Βελτιστοποίησης, Successive Pareto Optimization)[9]

επιλύουν προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών κριτηρίων κατασκευάζοντας διάφορα AOF. Η επίλυση τουκάθε AOF αποδίδει ένα σημείο Pareto κάτω από κάποιες υποθέσεις. Εάν οι υποθέσεις δεν ισχύουν, τότε ημέθοδος NC προτείνει την αφαίρεση τον μη-Pareto σημείων διαδοχικά με ένα φίλτρο Pareto. Τα AOFκατασκευάζονται με σκοπό να αποκτήσουν εν τέλη διανεμημένα σημεία Pareto τα οποία δίνουν μια καλήεντύπωση (διαδικασία προσέγγισης) του πραγματικού συνόλου των σημείων Pareto. Οι μέθοδος NC και SPOδημιουργούν λύσεις που αναπαριστούν μερικές περιφερειακές περιοχές του συνόλου τον σημείων Pareto γιαπερισσότερα από 2 κριτήρια τα οποία είναι γνωστό πως δεν αναπαρίστανται από τις λύσεις πουδημιουργούνται από την μέθοδο NBI .

Εξελικτικοί ΑλγόριθμοιΟι εξελικτικοί αλγόριθμοι είναι πολύ δημοφιλείς προσεγγίσεις στις πολυκριτηριακές βελτιστοποιήσεις. Τηνσημερινή εποχή, οι περισσότεροι εξελικτικοί βελτιστοποιητές εφαρμόζουν βασισμένα στο Pareto σχήματαβαθμολόγησης. Οι γενετικοί αλγόριθμοι όπως ο Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II (NSGA-II) καιStrength Pareto Evolutionary Approach 2 (SPEA-2) έχουν γίνει κλασσικές προσεγγίσεις, παρόλο που μερικάσχήματα βασισμένα σε βελτιστοποιήσεις σμήνους σωματιδίων και σε προσομοιωμένη ισχυροποίηση είναισημαντικά.

Άλλες μέθοδοι• Πολυκριτηριακοί Βελτιστοποιητικοί Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (Multiobjective Optimization Evolutionary

Algorithms - MOEA)[10] [11] [12]

• Δημιουργία επιφάνειας Pareto για κυρτά πολυκριτηριακά βήματα (PGEN - Pareto surface generation forconvex multiobjective instances)[13]

• Έμμεση βελτιστοποίηση στη βάση της αυτόνομης οργάνωσης (Indirect Optimization on the basis ofSelf-Organization)

Αναφορές[1] Steuer, R.E. (1986). Πολλαπλά κριτήρια βελτιστοποίησης: Θεωρία, Υπολογισμοί, και Εφαρμογή. New York: John Wiley & Sons,

Inc. ISBN 047188846X.[2] Sawaragi, Y.; Nakayama, H. and Tanino, T. (1985). Θεωρία βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια (τόμος 176 από Μαθηματικά

στην Επιστήμη και Μηχανική). Orlando, FL: Academic Press Inc. ISBN 0126203709.[3] Deb, K., Pratap. A, Agarwal, S., and Meyarivan, T.: Ένας γρήγορος και εκλεπτυσμένος πολύ-κριτηριακός γενετικός: NSGA-II.

IEEE Διεκπεραίωση σε Εξελικτικό Υπολογισμό , τόμος. 6, no2, pp. 181-197, 2002. [4] Deb, K.: Βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια χρησιμοποιώντας εξελικτικούς αλγορίθμους. Wiley, 2002. [5] I. Das and J. E. Dennis. Normal-Boundary Intersection: Μια νέα μέθοδος για την δημιουργία της επιφανείς Pareto σε μη

γραμμικά προβλήματα βελτιστοποίησης. SIAM Journal on Optimization, 8:631–657, 1998.[6] Normal-Boundary Intersection: An Alternate Method For Generating Pareto Optimal Points In Multicriteria Optimization Problems

(http:/ / ntrs. nasa. gov/ archive/ nasa/ casi. ntrs. nasa. gov/ 19970005647_1997005080. pdf)[7] A. Messac and A. Ismail-Yahaya and C.A. Mattson: Η μέθοδος κοινωνικοποιημένης λογικής σύγχυσης για την δημιουργία του

συνόρου Pareto . Structural and multidisciplinary optimization, τόμος. 25, no2, pp. 86-98, 2003. [8] A. Messac and C. A. Mattson: Μέθοδος λογικής σύγχυσης με εγγύηση ακόμη και της αναπαράστασης ολοκλήρου του Pareto .

AIAA journal, τόμος. 42, no10, pp. 2101-2111, 2004.[9] Daniel Mueller-Gritschneder, Helmut Graeb and Ulf Schlichtmann: Μια διαδοχική προσέγγιση για τον υπολογισμό του

υποχρεωτικού συνόρου Pareto σε πρακτικά προβλήματα πολλαπλών κριτήριων. SIAM Journal on Optimization, Volume 20, Issue2, pp. 915-934, 2009.

[10] Deb, K. Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms John Wiley & Sons, 2001.[11] Coello Coello, C. A.; Lamont, G. B. & Van Veldhuizen, D. A. Evolutionary Algorithms for Solving Multi-Objective Problems

Springer, 2007.

Βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια 38

[12] Das, S.; Panigrahi, B. K. Multi-objective Evolutionary Algorithms, Encyclopedia of Artificial Intelligence, (Eds. J. R. Rabuñal, J.Dorado & A. Pazos), Idea Group Publishing, 3:1145 – 1151, 2008.

[13] D. Craft, T. Halabi, H. Shih, and T. Bortfeld. Approximating convex Pareto surfaces in multiobjective radiotherapy planning.Medical Physics, 33(9):3399–3407, 2006.

• M.Ehrgott. Multicriteria optimization. Springer 2005. ISBN 978-3-540-21398-7• Ανάρτηση από φοιτητή του τμήματος Μάρκετινγκ και Διοίκησης Λειτουργιών του πανεπιστήμιου

Μακεδονίας στα πλαίσια του μαθήματος Διοίκησης Διεργασιών

Στο άρθρο αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το optimization άρθρο Multi-objective optimization (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/Multi-objective) της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0 (http:/ /creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ ). ( optimization ιστορικό/συντάκτες (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Multi-objective)).

Γειτονιά (μαθηματικά)

Το επίπεδο χωρίο V είναι γειτονιά του σημείουp αν ένας (οσοδήποτε) μικρός δίσκος με κέντρο

το p περιέχεται στο V.

Ένα τετράγωνο (χωρίο) δεν είναι γειτονιάκαμίας των κορυφών του.

Στα μαθηματικά η γειτονιά ενός σημείου είναι μία από τις βασικέςτοπολογικές έννοιες και χρησιμοποιείται για να τυποποιήσει την«εγγύτητα» άλλων σημείων προς αυτό.

Συγκεκριμένα, η γειτονιά ή ανοιχτή περιοχή ακτίνας και κέντρου σε ένα μετρικό χώρο είναι το σύνολο τωνσημείων του χώρου που απέχουν από το απόσταση μικρότερηαπό :

Γεωμετρική πρόοδος 39

Γεωμετρική πρόοδοςΓεωμετρική πρόοδος είναι η ακολουθία , στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύοδιαδοχικούς όρους της αν, αν+1 ισχύει ότι , όπου λ μία μη μηδενική σταθερή ποσότητα. Η

ποσότητα λ ονομάζεται λόγος της γεωμετρικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν το οποιοδήποτεπηλίκο δύο διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι συγκεκριμένο, τότε αυτή η ακολουθία είναι γεωμετρικήπρόοδος. Έτσι, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο τύπους:• Γενικός τύπος: αν=α1·λν-1

• Αναδρομικός τύπος: αν=αν-1·λ

Ιδιότητες της προόδου

Γραφική παράσταση αύξουσας γεωμετρικήςπροόδου.

• Η γραφική παράσταση της γεωμετρικής προόδου είναιδιαδοχικά σημεία μιας ή δύο μετασχηματισμένων καμπυλώνεκθετικής συνάρτησης.

• Ο γεωμετρικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν καιμόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικήςπροόδου.

Απεικόνιση της περατότητας της σειράςγεωμετρικής προόδου με λ=1/2. Το κάθε επιμέρουςεμβαδόν αντιστοιχεί σε έναν όρο της γεωμετρικής

προόδου, ενώ το συνολικό εμβαδόν αντιστοιχεί στησειρά, με άθροισμα 2.

• Αν λ δεν είναι ένα:• Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου (αν) ( με πρώτον όρο τον α1) ισούται με

• Αν η πρόοδος είναι φθίνουσα ( ), τότε η σειρά των όρων της γεωμετρικής προόδου (δηλαδήτο διαδοχικό άθροισμα των άπειρων όρων της) που έχει πρώτο όρο τον αριθμό α1 και λόγο λ, δίνεταιαπό τον τύπο:

• Αν λ=1, τότε όλοι οι όροι της γεωμετρικής προόδου είναι ίσοι μεταξύ τους και το άθροισμα ν όρων είναιv·α1.

Γεωμετρική πρόοδος 40

• Αν λ=-1, τότε όλοι οι όροι της γεωμετρικής προόδου έχουν ίδια απόλυτη τιμή και το άθροισμα ν όρων είναια1, αν ν περιττός αριθμός και 0 αν ν άρτιος αριθμός.

Γραφική παράσταση συνάρτησηςΓραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε το σύνολο των σημείων Μ(x,f(x)) για κάθε , όπου Αένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών το πεδίο ορισμού της f.[1]

Αν για ένα σημείο M(x,y) ισχύει y=f(x), ανήκει στη γραφική παράσταση της f.[1] Η εξίσωση y=f(x) λέγεταιεξίσωση της γραφικής παράστασης της f.[1]

Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.[1]

Κατασκευή της γραφικής παράστασηςΗ γραφική παράσταση αποδίδει οπτικά μια συνάρτηση δίνοντας άμεσα τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε.Μπορούμε να βρούμε ποια τιμή της συνάρτησης αντιστοιχεί σε μια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, έστωτην χ=α. Σχεδιάζουμε, νοητά ή όχι, την ευθεία χ=α, για να βρούμε το σημείο τομής της με τη γραφικήπαράσταση. Έπειτα, σχεδιάσουμε την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής μέχρι τον άξοναψ'ψ, όπου εκτιμούμε την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι άξονεςείναι κατάλληλα βαθμονομημένοι.Με περισσότερη εξοικείωση η γραφική παράσταση μπορεί να μας πληροφορήσει και για τη γενικότερησυμπεριφορά της συνάρτησης, ώστε να μπορούμε να την κατανοήσουμε και να προβλέψουμε τη συμπεριφοράτης διαισθητικά. Αυτή η ικανότητα είναι εξαιρετικά χρήσιμη, ειδικά να ο τύπος της συνάρτησης είναιπολύπλοκος ή χρειάζεται αρκετές πράξεις για υπολογισμό.Συνήθως τα σημεία της συνάρτησης είναι άπειρα, ώστε να είναι αδύνατος ο υπολογισμός όλων των σημείωνκαι η απόδοσή τους γραφικά. Έτσι, για την κατασκευή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησηςχρειάζεται πρώτα η μελέτη της συνάρτησης, ώστε να κατασκευαστεί ένας πίνακας μεταβολών της συνάρτησης.Ύστερα με κατάλληλη επιλογή μερικών σημείων και ακολουθώντας τις οδηγίες από τον πίνακα μεταβολώνμπορεί να κατασκευαστεί μια ικανοποιητική γραφική παράσταση.

Γραφική παράσταση συνάρτησης 41

Πεδίο ορισμού

Καμπύλη με άκρα. Τα διαστήματα στους δύο άξονες είναι η προβολή τηςκαμπύλης σε αυτούς

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναιγραφικά η ορθή προβολή της γραφικήςπαράστασης της στον άξονα χ'χ. Ταδιαστήματα συμβολίζονται μεευθύγραμμα τμήματα, ενώ οιμεμονωμένες τιμές με σημεία.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Αν η συνάρτηση ή τμήμα της είναισυνεχής, τότε η γραφική παράσταση σεόλο το πεδίο ορισμού της ή το τμήμα είναισυνεχής γραμμή, δηλαδή μπορεί νασχεδιαστεί χωρίς το μολύβι να αφήσει τοχαρτί. Όπου είναι παραγωγίσιμη, ηγραφική παράσταση είναι καμπύλη ήευθεία, δηλαδή μια ομαλή γραμμή χωρίςγωνίες.

Μονοτονία

Όπου η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, η γραφική παράσταση ανεβαίνει και όπου είναι γνησίως φθίνουσακατεβαίνει. Όπου είναι σταθερή, η γραφική παράσταση είναι ευθεία οριζόντια γραμμή.

Ακρότατα-ΑσύμπτωτεςΣε όρους περιγραφής κορυφογραμμής, όπου η συνάρτηση εμφανίζει μέγιστο, η γραφική παράσταση εμφανίζεικορυφή, ενώ όπου υπάρχει ελάχιστο στη γραφική παράσταση εμφανίζεται κοιλάδα. Όσων αφορά τιςασύμπτωτες, στη γραφική παράσταση εμφανίζονται ως ευθείες τις οποίες η γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης τις πλησιάζει συνεχώς χωρίς να τις τέμνει. Μερικές φορές στη γραφική παράσταση εμφανίζεταιλανθασμένα να ταυτίζεται από κάποιο σημείο και έπειτα με την ασύμπτωτη. Ασύμπτωτες μπορεί να είναι όχιμόνο ευθείες αλλά και καμπύλες, αν συνήθως δε χρησιμοποιούνται.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-ΡίζεςΤο σύνολο τιμών συνάρτησης εμφανίζεται γραφικά ως την ορθή προβολή της γραφικής παράστασης στονάξονα ψ'ψ, όπως και το πεδίο ορισμού. Οι γνωστές τιμές σημειώνονται με κουκίδες. Κατά την τελικήκατασκευή, δηλαδή τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης φροντίζουμε η καμπύλη να διέρχεται από αυτά τασημεία. Συνήθως τα γνωστά σημεία είναι τα μέγιστα, τα ελάχιστα, τα σημεία καμπής, οι ρίζες, το σημείο τομήςμε τον άξονα ψ'ψ.

ΚοιλοκυρτότηταΑν η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε η γραφική παράσταση είναι τέτοια, ώστε η εφαπτομένη σε οποιοδήποτεσημείο να μην είναι πάνω από οποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης. Αντίστροφα, αν η συνάρτηση είναι κοίλη,τότε η γραφική παράσταση είναι τέτοια, ώστε η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο να μην είναι κάτω απόοποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης. Εμπειρικά μια κυρτή συνάρτηση μοιάζει με ποτήρι που κρατάει νερό,ενώ η κοίλη με αναποδογυρισμένο ποτήρι που δεν κρατάει νερό.

Γραφική παράσταση συνάρτησης 42

Σύνοψη μεταβολών της εκθετικής συνάρτησηςΌλες οι παραπάνω πληροφορίες συγκεντρώνονται σε έναν πίνακα, ο οποίος ονομάζεται πίνακας μεταβολώντης συνάρτησης.

ΣυμμετρίεςΑν μια συνάρτηση είναι συμμετρική, τότε μπορεί να κατασκευαστεί μόνο ένα μέρος της συνάρτησης και τουπόλοιπο προκύπτει με κατάλληλη επανάληψη του προηγούμενου μέρους. Στις περιοδικές συναρτήσειςεπαναλαμβάνεται η γραφική παράσταση της περιόδου. Στις άρτιες ο άξονας ψ'ψ είναι άξονας συμμετρίας,[1]

ενώ στις περιττές σημείο συμμετρίας είναι η αρχή των αξόνων. Δεν υπάρχουν συναρτήσεις με άξονασυμμετρίας τον άξονα χ'χ γιατί τότε θα παραβιαζόταν ο ορισμός της συνάρτησης, εκτός από τις συναρτήσειςμε μοναδική τιμή το 0. Οι συμμετρίες που αναφέρονται είναι ενδεικτικές, υπάρχει περίπτωση μια συνάρτησηνα είναι συμμετρική ως προς την ευθεία χ=α και όχι τον άξονα ψ'ψ (την ευθεία χ=0).

Λεπτομέρειες σχεδίασηςΗ ακριβής κατασκευή μιας γραφικής παράστασης είναι αδύνατη, τουλάχιστον σύμφωνα με τη θεωρίασφαλμάτων. Αυτό συμβαίνει γιατί δεν υπάρχουν τέλεια όργανα, τέλειοι χειρισμοί τους, ή ακόμη η γραφικήπαράσταση μπορεί να είναι μια καμπύλη γραμμή άπειρου μήκους. Συνήθως απεικονίζεται μόνο το μέρος τηςγραφικής παράστασης που μας ενδιαφέρει.Η γραμμή που θα χρησιμοποιήσουμε θα έχει αναγκαστικά κάποιο πάχος. Επιπλέον, στους υπολογισμούςυπάρχει πάντα κάποιο σφάλμα. Είναι λοιπόν χρήσιμο το πάχος της γραμμής που θα χρησιμοποιήσουμε ναείναι τόσο όσο και το σφάλμα, ώστε να αποδοθεί μία σαφής εικόνα για τις μετρήσεις και τους υπολογισμούς.Επιπλέον, στα σημεία που υπολογίστηκαν ή μετρήθηκαν εκτός από κουκκίδα σημειώνονται και με σταυρό,όπου τα μήκη των δύο πλευρών του είναι ανάλογα του σφάλματος στον κάθε άξονα. Αρκετές φορές τυχαίνει ηακρίβεια προσδιορισμού της ανεξάρτητης μεταβλητής να είναι διαφορετική από την ακρίβεια τηςεξαρτημένης.Άλλο χαρακτηριστικό των γραφικών παραστάσεων είναι η μετατόπιση των αξόνων ή διαφορετικήβαθμονόμησή τους ανάλογα με τις ανάγκες μας. Αυτή η μετατόπιση επιτρέπει να απεικονιστεί μόνο το τμήματης συνάρτησης που μας ενδιαφέρει στην ανάλογη κλίμακα. Αυτό όμως, έχει σαν αποτέλεσμα το σύστημασυντεταγμένων να μην είναι πλέον ορθοκανονικό, ίσως ούτε καν ορθογώνιο, αφού οι δύο αρχές των αξόνωνμπορεί να μην ταυτίζονται, ή να μην εμφανίζονται στην απεικόνιση.

Πηγές[1] Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Σβέρκος Ανδρέας, (2005).

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄τάξη Ενιαίου Λυκείου. Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 71. ISBN 960-06-0360.

Διαφορική εξίσωση 43

Διαφορική εξίσωσηΔιαφορική εξίσωση είναι μια μαθηματική εξίσωση που συσχετίζει τις τιμές μιας άγνωστης συνάρτησης μιαςή περισσότερων μεταβλητών και των παραγώγων της πρώτου, δεύτερου ή ανώτερου βαθμού. Οι διαφορικέςεξισώσεις παίζουν προεξάρχοντα ρόλο στη Φυσική. Επίσης έχουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στηνΤεχνολογία, τα Οικονομικά, τη Βιολογία και άλλα επιστημονικά πεδία.

ΕισαγωγήΔιαφορικές εξισώσεις ανακύπτουν σε πολλές περιοχές της επιστήμης και τεχνολογίας. Ανακύπτουν κάθεφορά που η σχέση μεταξύ συνεχώς μεταβαλλόμενων ποσοτήτων (που περιγράφονται από συναρτήσεις) και τουρυθμού μεταβολής με το χρόνο και το χώρο (παράγωγοι των συναρτήσεων) είναι γνωστή. Ή όταν μια τέτοιασχέση μπορεί να υποτεθεί προκειμένου να μοντελοποιήσουμε και να περιγράψουμε φυσικά φαινόμενα,τεχνικές ή φυσικές διεργασίες, δυναμικά συστήματα στη βιολογία, στην οικονομία και αλλού. Έναχαρακτηριστικό παράδειγμα προέρχεται από την κλασική μηχανική όπου η κίνηση ενός σώματοςπεριγράφεται από τη θέση και την ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο. Οι Νόμοι του Νεύτωνα επιτρέπουντη συσχέτιση της θέσης, της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και των δυνάμεων που επιδρούν στο σώμα.Προκύπτει μια διαφορική εξίσωση όπου άγνωστος είναι η συνάρτηση της θέσης του σώματος με το χρόνο. Σεπολλές περιπτώσεις, η διαφορική αυτή εξίσωση μπορεί να επιλυθεί, δίνοντας το νόμο της κίνησης.Οι διαφορικές εξισώσεις μελετώνται στα μαθηματικά με πολλούς διαφορετικούς τρόπους θεώρησης, πουσυνήθως ασχολούνται με τις λύσεις τους, δηλαδή τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση. Μόνο οιαπλούστερες διαφορικές εξισώσεις δέχονται λύσεις που δίνονται από αναλυτικούς τύπους. Πολλές ιδιότητεςτων λύσεων μιας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης μπορούν να προσδιορισθούν χωρίς να βρεθεί η ακριβήςμορφή της λύσης. Ακόμα και όταν η αναλυτική έκφραση της λύσης δεν είναι εφικτή ενδέχεται η λύση ναμπορεί να προσεγγιστεί αριθμητικά με υπολογιστή. Η θεωρία των δυναμικών συστημάτων δίνει έμφαση στηνποιοτική ανάλυση συστημάτων που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις, ενώ πολλές αριθμητικέςμέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για τον υπολογισμό λύσεων με κάποιο δεδομένο βαθμό ακρίβειας.

Κατευθύνσεις μελέτηςΗ μελέτη των διαφορικών εξισώσεων αποτελεί ευρύ πεδίο τόσο στα καθαρά μαθηματικά όσο και σταεφαρμοσμένα μαθηματικά. Μπορούμε να συναντήσουμε πολλά είδη διαφορικών εξισώσεων, με πιο σημαντικήίσως τη διάκριση σε γραμμικές και μη-γραμμικές. Οι ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων, η δυσκολία ήευκολία με την οποία επιλύονται (αν επιλύονται) διαφέρουν πολύ ανάλογα με το είδος της διαφορικήςεξίσωσης. Τα καθαρά μαθηματικά μελετούν μεταξύ άλλων αν μια εξίσωση έχει λύση, και όταν έχει αν αυτήείναι μοναδική. Τα εφαρμοσμένα μαθηματικά δίνουν έμφαση στις διεξοδικές μεθόδους προσέγγισης τωνλύσεων και στη εξέταση του κατά πόσο οι προσεγγίσεις αυτές είναι κοντά στις κανονικές λύσεις. Οι φυσικοίκαι οι μηχανικοί συνήθως ενδιαφέρονται περισσότερο για τον υπολογισμό προσεγγιστικών λύσεων γιαδιαφορικές εξισώσεις και λιγότερο για εξηγήσεις του αν οι προσεγγίσεις αυτές είναι κοντά στις κανονικέςλύσεις. Οι λύσεις αυτές χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για να προσομοιώσουν την κίνηση των ουρανίωνσωμάτων, την προσομοίωση νευρώνων, το σχεδιασμό γεφυρών, αυτοκινήτων, αεροπλάνων, υδραυλικώνσυστημάτων, κλπ. Συνήθως οι διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν στους τομείς των εφαρμογών δεν έχουνλύσεις κλειστής μορφής και λύνονται με αριθμητικές μεθόδους που δουλεύουν αρκετά καλά για το δεδομένοπρόβλημα, όπως για παράδειγμα η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων που έχει εφαρμοστεί με επιτυχία γιατην επίλυση των μερικών διαφορικών που προκύπτουν στη μηχανική και αλλού.Τα μαθηματικά μελετούν ακόμα τις ασθενείς λύσεις, μια κλάση λύσεων που δεν απαιτείται να είναι παραγωγίσιμες παντού. Αυτή η επέκταση είναι συχνά απαραίτητη για την ύπαρξη λύσεων, και δίνει

Διαφορική εξίσωση 44

αποτελέσματα όπου οι ιδιότητες των λύσεων είναι φυσικά ερμηνεύσιμες, όπως για παράδειγμα η πιθανήύπαρξη κρουστικών αποκρίσεων σε εξισώσεις υπερβολικής μορφής.Η μελέτη της ευστάθειας των λύσεων διαφορικών εξισώσεων λέγεται θεωρία ευστάθειας.

Είδη διαφορικών εξισώσεων• Συνήθης διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι

συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.• Μερική διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι

συνάρτηση πολλαπλών ανεξάρτητων μεταβλητών και των μερικών παραγώγων τους.• Υστερημένη διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία η παράγωγος της άγνωστης

συνάρτησης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή δίδεται σε σχέση με τιμές της συνάρτησης σε προηγούμενεςστιγμές.

• Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία ένας ή περισσότεροι όροι είναιστοχαστικές διαδικασίες, που σημαίνει ότι η λύση είναι και η ίδια στοχαστική διαδικασία.

• Διαφορική αλγεβρική εξίσωση είναι η διαφορική εξίσωση που αποτελείται από διαφορικούς καιαλγεβρικούς όρους, δοσμένους σε πεπλεγμένη μορφή.

Κάθε μια από αυτές τις κατηγορίες διαιρείται σε γραμμικές και μη γραμμικές υποκατηγορίες. Μια διαφορικήεξίσωση λέγεται γραμμική όταν η εξαρτημένη μεταβλητή και όλες οι παράγωγοί της εμφανίζονται στη δύναμη1 και δεν υπάρχουν γινόμενα ή συναρτήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Διαφορετικά η διαφορική εξίσωσηλέγεται μη γραμμική. Έτσι, αν το είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης , τότε η εξίσωση

είναι γραμμική ενώ η εξίσωση

είναι μη γραμμική. Λύσεις μιας γραμμικής εξίσωσης στην οποία η άγνωστη συνάρτηση ή η παράγωγός (ήπαράγωγοί) της εμφανίζονται σε κάθε όρο (γραμμικές ομογενείς εξισώσεις) μπορούν να προστεθούν ή ναπολλαπλασιαστούν με οποιαδήποτε σταθερά δίνοντας επιπλέον λύσεις της εξίσωσης, αλλά δεν υπάρχειγενικός τρόπος να βρεθούν οικογένειες λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων, εκτός όταν εκδηλώνουν συμμετρίες(Βλ. συμμετρίες). Γραμμικές εξισώσεις συχνά εμφανίζονται ως προσεγγίσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις, και οιπροσεγγίσεις αυτές ισχύουν μόνο κάτω από περιορισμένες συνθήκες.Άλλο ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας διαφορικής εξίσωσης είναι ο βαθμός της, ο οποίος είναι ο βαθμόςτης μεγαλύτερης παραγώγου (μιας εξαρτημένης μεταβλητής) που εμφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγμα,μια διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού περιέχει μόνο πρώτες παραγώγους, όπως στα δύο παραπάνωπαραδείγματα.

Σχέση με τις εξισώσεις διαφορώνΗ θεωρία των διαφορικών εξισώσεων συσχετίζεται με τη θεωρία των εξισώσεων διαφορών, στις οποίες οιμεταβλητές παίρνουν μόνο διακριτές τιμές, και η σχέση περιέχει τιμές της άγνωστης συνάρτησης ήσυναρτήσεις και τιμές σε παραπλήσιες συντεταγμένες. Πολλές μέθοδοι για τον υπολογισμό αριθμητικώνλύσεων διαφορικών εξισώσεων ή τη μελέτη ιδιοτήτων των διαφορικών εξισώσεων περιέχουν προσέγγιση τηςλύσης μιας διαφορικής εξίσωσης από τη λύση μιας αντίστοιχης εξίσωσης διαφορών.

Διαφορική εξίσωση 45

Καθολικότητα της μαθηματικής περιγραφήςΜεγάλος αριθμός θεμελιωδών νόμων της φυσικής και της χημείας μπορούν να εκφραστούν ως διαφορικέςεξισώσεις. Στη βιολογία και τα οικονομικά χρησιμοποιούνται διαφορικές εξισώσεις για να περιγράψουν τησυμπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων. Η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων αναπτύχθηκεαρχικά μαζί με τις επιστήμες στις οποίες προκύπτουν οι εξισώσεις και στις οποίες χρησιμοποιούνται τααποτελέσματα. Παρ'όλα αυτά, διάφορα προβλήματα, πολλές φορές από αρκετά διαφορετικούς τομείς, μπορείνα ανάγονται σε ταυτόσημες διαφορικές εξισώσεις. Όταν συμβαίνει αυτό, η μαθηματική θεωρία τωνδιαφορικών εξισώσεων εκλαμβάνεται ως η αρχή που ενοποιεί τα ποικίλα αυτά φαινόμενα. Για παράδειγμα,θεωρήστε την διάδοση του φωτός και του ήχου στην ατμόσφαιρα, και τη διάδοση των κυμάτων στηνεπιφάνεια μιας λίμνης. Όλα μπορούν να περιγραφούν από την ίδια μερική διαφορική εξίσωση δεύτερουβαθμού, την κυματική εξίσωση, που επιτρέπει την αντιμετώπιση του φωτός και του ήχου σαν κύματα, όπως τακοινά κύματα στην επιφάνεια του νερού. Η μετάδοση της θερμότητας, της οποίας τη θεωρία ανέπτυξε οΤζόσεφ Φουριέ, κυβερνάται από μια διαφορετική μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού, την εξίσωσηθερμότητας. Προέκυψε ότι πολλές διεργασίες διάχυσης, φαινομενικά διαφορετικές, περιγράφονται τελικά απότην ίδια εξίσωση. Η εξίσωση Μπλάκ-Σόλ στα χρηματοοικονομικά για παράδειγμα, σχετίζεται με την εξίσωσηδιάδοσης της θερμότητας.

Διάσημες διαφορικές εξισώσεις• Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα στην δυναμική (μηχανική)• Οι εξισώσεις Χάμιλτον στην κλασική μηχανική• Η ραδιενεργή φθορά στην πυρηνική φυσική• Ο νόμος ψύξης του Νεύτωνα στη θερμοδυναμική• Η κυματική εξίσωση• Οι εξισώσεις του Μαξουελ στον ηλεκτρομαγνητισμό• Η εξίσωση θερμότητας στη θερμοδυναμική• Η εξίσωση Λαπλάς, η οποία ορίζει αρμονικές συναρτήσεις• Η εξίσωση Πουαζόν• Η εξίσωση πεδίων του Αϊνστάιν στη γενική σχετικότητα• Η εξίσωση Σρέντιγκερ στην κβαντομηχανική• Η εξίσωση γεωδαισίας• Η εξίσωση Ναβίερ-Στόουκς στη δυναμική υγρών• Η εξίσωση Λότκα-Βολτέρρα στη δυναμική πληθυσμού• Η εξίσωση Μπλάκ-Σολ στα χρηματοοικονομικά• Οι εξισώσεις Κοσύ-Ρίμαν στη μιγαδική ανάλυση• Οι εξισώσεις ρηχού νερού

Βιβλιογραφία• Σταυρακάκης Ν., Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εκδ. Παπασωτηρίου, 1997• Stephenson G., Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής

Εταιρείας, 1987

Στο άρθρο αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το equation άρθρο diferential equation [1] της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποίαδιανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0 [2]. (equation ιστορικό/συντάκτες [1]).

Διαφορική εξίσωση 46

Παραπομπές[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ diferential[2] http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/

Διαχωρίσιμος μετρικός χώροςΣτην τοπολογία και άλλες σχετικές περιοχές στα μαθηματικά, ένας τοπολογικός χώρος καλείται διαχωρίσιμος(separable), αν περιέχει ένα αριθμήσιμο πυκνό σύνολο δηλαδή, ένα σύνολο με αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων,του οποίου η κλειστότητα είναι ολόκληρος ο χώρος. Αυτή η συνθήκη είναι τυπική για χώρους που συναντώνταιστην κλασσική ανάλυση και γεωμετρία. Με τον ίδιο τρόπο που κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί ναπροσεγγιστεί με οσηδήποτε ακρίβεια από ρητούς αριθμούς, ένας διαχωρίσιμος χώρος περιέχει ένα αριθμήσιμουποσύνολο του οποίου τα στοιχεία μπορούν να προσεγγιστούν, με την έννοια του ορίου.Οι διαχωρίσιμοι χώροι είναι τοπολογικοί χώροι με ορισμένους περιορισμούς στο μέγεθός τους. Η ιδιότητα τηςδιαχωρισιμότητας αναφέρεται συχνά ως ένα από τα αξιώματα της αριθμησιμότητας. Από την σκοπιά τηςαξιωματικής θεμελίωσης, η διαχωρισιμότητα ήταν μάλλον υποεκτιμημένη την περίοδο 1940 έως 1960 — όπουπροηγουμένως ήταν έννοια βασική στην περιγραφική συνολοθεωρία. Αργότερα τα πράγματα άλλαξαν καισυχνά τα συγγράμματα επίλεγαν να εισάγουν την διαχωρισιμότητα, αποδεικνύοντας λιγότερα γενικάθεωρήματα (Αυτή η στάση υιοθετήθηκε, για παράδειγμα, από τον Jean Dieudonné).Η διαχωρισιμότητα είναι σημαντική έννοια στην αριθμητική ανάλυση και στα κατασκευαστικά μαθηματικά,εφόσον πολλά θεωρήματα στους μετρικούς χώρους έχουν κατασκευαστικές αποδείξεις μόνο γιαδιαχωρίσιμους χώρους. Τέτοιες κατασκευαστικές αποδείξεις μπορούν να μετατραπούν σε αλγορίθμους γιαχρήση στην αριθμητική ανάλυση, και μάλιστα είναι και το μοναδικό είδος αποδείξεων που είναι αποδεκτόστην κατασκευαστική ανάλυση. Ένα διάσημο παράδειγμα τέτοιου θεωρήματος είναι το θεώρημαHahn-Banach.

Εκθετική συνάρτηση 48

Γραφικές παραστάσεις εκθετικών συναρτήσεων Εκθετική συνάρτηση με βάση το 1/2 Εκθετική συνάρτηση με βάση το 10 Εκθετική συνάρτηση με βάση το e Εκθετική συνάρτηση με βάση το 2

Εκθετική συνάρτηση καλείται οποιαδήποτεσυνάρτηση της μορφής αx, όπου απραγματική σταθερά, α>0 και α≠1. Δηλαδή ητιμή εκθετικής συνάρτησης ισούται με τηδύναμη με βάση τη σταθερά α και εκθέτη τηνανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα) x τηςσυνάρτησης[1] .

Πολύ συχνά εκθετική συνάρτηση λέγεταισυγκεκριμένα η ex όπου e ο αριθμός Όιλερίσος περίπου με 2,718.

Εκθετική συνάρτηση 49

Χαρακτηριστικά της εκθετικής συνάρτησης

Γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης με βάση το e. Πάνω αριστεράείναι ο πίνακας μεταβολών της.

Πεδίο ορισμού

Με βάση τον ορισμό της δύναμης πεδίοορισμού είναι όλοι οι πραγματικοίαριθμοί.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Η εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής σεόλο το πεδίο ορισμού της, όπως καιπαραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε τηςπαράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει

ενώ για τη νιοστή παράγωγο

Μονοτονία

Εκθετική συνάρτηση με α>1

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις μία για α>1 και μία για 0<α<1.• Αν α>1:Οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση α>1 είναι γνησίως αύξουσες σεόλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα>0 και αx>0, άρα (αx)'>0.

Εκθετική συνάρτηση 50

Εκθετική συνάρτηση με 1>α>0.

• Αν 1>α>0:Οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσεςσε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα<0 και αx>0, άρα (αx)'<0.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες

• Αν α>1:Το όριο της εκθετικής στο συν άπειρο είναι συν άπειρο, ενώ το όριοτης εκθετικής στο μείον άπειρο είναι 0. Η συνάρτηση δεν έχειακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία y=0, δηλαδήο άξονας x'x. Το σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το

ανοιχτό μηδέν, συν άπειρο, δηλαδή όλοι οι θετικοί αριθμοί.• Αν 0<α<1:Το όριο της εκθετικής στο συν άπειρο είναι μηδέν, ενώ το όριο της εκθετικής στο μείον άπειρο είναι συνάπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία y=0, δηλαδή ο άξονας x'x.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-ΡίζεςΤο σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το ανοιχτό μηδέν, συν άπειρο, δηλαδή όλοι οι θετικοίαριθμοί. Κάθε εκθετική συνάρτηση διέρχεται από το σημείο (0,1). Καμία εκθετική συνάρτηση δεν έχει ρίζες,δηλαδή η εξίσωση αx=0 είναι αδύνατη.

ΚοιλοκυρτότηταΣε κάθε περίπτωση είναι

άρα η εκθετική συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή στρέφει τα κοίλα άνω. Δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Συμμετρίες

Κοινή γραφική παράσταση εκθετικώνσυναρτήσεων με αντίστροφες βάσεις.

Η εκθετική συνάρτηση αx είναι συμμετρική με την α-x=(1/α)x ωςπρος τον άξονα y'y. Παρατηρείται ότι οι δύο βάσεις είναιαντίστροφες μεταξύ τους.

Άλλες συναρτήσεις που σχετίζονται με τηνεκθετική

Η συνάρτηση αx

Στη συγκεκριμένη μορφή η παράμετρος α μπορεί να πάρειοποιαδήποτε τιμή, άρα δεν είναι πάντα εκθετική συνάρτηση. Ανα>1 ή 1>α>0, τότε η συνάρτηση είναι εκθετική. Αν α=1, τότε γιακάθε πραγματικό αριθμό αx=1x=1, δηλαδή είναι σταθερή συνάρτηση. Αν α=0, τότε μόνο για θετικούς αριθμούςορίζεται ότι αx=0x=0, δηλαδή και αυτή είναι σταθερή συνάρτηση στους θετικούς αριθμούς. Τέλος, αν α<0, τότεμε βάση τον ορισμό της δύναμης προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού είναι μόνο οι ακέραιοι αριθμοί, άρα ησυνάρτηση δεν είναι συνεχής.

Εκθετική συνάρτηση 51

Αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικήςΗ εκθετική είναι γνησίως μονότονη, άρα είναι αμφιμονοσήμαντη, άρα ορίζεται αντίστροφη συνάρτηση στοσύνολο τιμών της, τους θετικούς αριθμούς. Η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής αx είναι εξ'ορισμού ηλογαριθμική συνάρτηση logαx.

Διπλοεκθετική συνάρτησηΕίναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης της εκθετικής συνάρτησης με τον εαυτό της. Διπολεκθετική συνάρτησηείναι η f(x)=ααx. Πεδίο ορισμού της είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Η διπλοεκεθετική συνάρτηση είναιυποπερίπτωση της υπερεκθετικής συνάρτησης, η οποία με τη σειρά της είναι υποπερίπτωση της συνάρτησηςΆκερμαν.

Ψευτοεκθετική συνάρτησηΕίναι η συνάρτηση f(x)=xx. Για x>0 με τον εψιλοτικό μετασχηματισμό η συνάρτηση γίνεται xx=exlnx, δηλαδήμπορεί να μελετηθεί στους θετικούς αριθμούς ως σύνθεση της εκθετικής συνάρτησης με τη συνάρτησηg(x)=xlnx.

ΜετασχηματισμοίΗ εκθετική συνάρτηση μπορεί να μετασχηματιστεί με βάση τον εψιλοτικό μετασχηματισμό, δηλαδή τη σχέσηαx=ex⋅lnα. Έτσι, αρκεί να μελετηθεί ή να υπολογιστεί με ακρίβεια η εκθετική συνάρτηση ex και τασυμπεράσματα μπορούν να γενικευθούν κατάλληλα και σε όλες τις υπόλοιπες εκθετικές συναρτήσεις. Ηαντίστροφη συνάρτηση της ex είναι η λογαριθμική συνάρτηση lnx.

Σχέσεις με την εκθετική συνάρτηση

ΑνισοτικέςΓια κάθε πραγματικούς αριθμούς x, x0, y, και με α>0 και διάφορο του ενός, ισχύει:•••••

ΤαυτότητεςΓια κάθε πραγματικούς αριθμούς x, y, και με α>0 και διάφορο του ενός, ισχύει:

•••••

Εκθετική συνάρτηση 52

Παραδείγματα

••••

•

••••

Εκθετική συνάρτηση και απειροστικός λογισμόςΗ εκθετική συνάρτηση ex έχει τη σημαντική (εκ κατασκευής) ιδιότητα ότι (ex)'=ex. Έτσι, αποδεικνύεται ότι γιακάθε α≠1:

Η συνάρτηση cex (όπου c σταθερά) αποτελεί γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

Αντίθετα, η συνάρτηση ce-x αποτελεί γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

Επιπλέον, γραμμικοί συναδυασμοί μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης είναι λύσεις διαφορικών εξισώσεωνοποιαδήποτε τάξης, αλλά με σταθερούς συντελεστές. Για παράδειγμα, η δευτεροτάξια διαφορική εξίσωση

έχει ως γενική λύση

όπου c1,c2 σταθερές.Ισχύουν επίσης οι εξής σχέσεις για τα ολοκληρώματα:

Ανάπτυγμα σειράς TaylorΕπειδή (ex)'=ex και e0=1 η σειρά Taylor αυτής της συνάρτησης είναι:

Ενώ για όλες τις εκθετικές συναρτήσεις ισχύει:

Εκθετική συνάρτηση 53

Αναφορές[1] Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008

Εξίσωση Όιλερ-ΛαγκράνζΣτον λογισμό των μεταβολών, η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ είναι μία διαφορική εξίσωση της οποίας οι λύσειςείναι συναρτήσεις για τις οποίες ένα δεδομένο συναρτησοειδές (συνάρτηση συναρτήσεων) παρουσιάζειακρότατο. Η εξίσωση αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τους μαθηματικούς Λέοναρντ Όιλερ και Ζοζέφ ΛουίΛαγκράνζ τη δεκαετία του 1750.Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ έχει σημαντικές εφαρμογές στη θεωρητική φυσική, καθώς αποτελεί τη θεωρητικήβάση θεμελίωσης της Λαγκρανζιανής και Χαμιλτόνιας μηχανικής.

Τοποθέτηση του προβλήματοςΈστω διαφορίσιμη συνάρτηση q(t) (όπου t κάποια πραγματική μεταβλητή) που ορίζεται στο διάστημα [a,b]. Ηεξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ προκύπτει από την απαίτηση το συναρτησοειδές

να παρουσιάζει ακρότατο. Η συνάρτηση L είναι μία πραγματική, διαφορίσιμη συνάρτηση που ορίζεται στοδιάστημα [a,b] και η τελεία αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς τη μεταβλητή t. Τα ακρότατα τουσυναρτησοειδούς S προκύπτουν από την εξίσωση

όπου δS είναι η μεταβολή πρώτης τάξης του συναρτησοειδούς S.

ΛύσηΗ απαίτηση το συναρτησοειδές S να παρουσιάζει ακρότατο οδηγεί στη λεγόμενη εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ:

Η εξίσωση αυτή είναι μία διαφορική εξίσωση, οι λύσεις της οποίας είναι οι συναρτήσεις q(t) που εξασφαλίζουντην βασική απαίτηση του προβλήματος.

Απόδειξη

Η μεταβολή πρώτης τάξης του συναρτησοειδούς S είναι:

Ολοκληρώνοντας τον τελευταίο όρο κατά παράγοντες,

Ο τελευταίος όρος όμως είναι μηδέν, καθώς η μεταβολή πρώτης τάξης της συνάρτησης q είναι μηδέν στα άκρα του διαστήματος [a,b].Συνεπώς,

Αφού αναζητούμε λύσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη δS=0, θα πρέπει το παραπάνω ολοκλήρωμα να ισούται με μηδέν. Σύμφωνα με τοθεμελιώδες θεώρημα του λογισμού των μεταβολών, η απαίτηση αυτή ισοδυναμεί με την απαίτηση η ολοκληρωτέα ποσότητα να μηδενίζεται,ήτοι

Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ 54

που είναι η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ.

Παραδείγματα

Ελάχιστη απόσταση σημείων στον Ευκλείδειο χώροΈνα από τα πιο κλασικά παραδείγματα εφαρμογής της εξίσωσης Όιλερ-Λαγκράνζ είναι στον υπολογισμό τηςελάχιστης απόστασης μεταξύ δύο σημείων στον Ευκλείδειο χώρο. Για ευκολία, επιλέγουμε ένα καρτεσιανόσύστημα συντεταγμένων, στο οποίο δύο τυχαία σημεία Α και Β στο χώρο έχουν συντεταγμένες (xa,ya,0) και(xb,yb,0) αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων ισούται τότε με το ολοκλήρωμα

όπου

το απειροστό μήκος καμπύλης που σχετίζεται με τις απειροστές μετατοπίσεις dx και dy κατά τους άξονες x καιy μέσω του Πυθαγορείου θεωρήματος. Η σχέση αυτή ορίζει την μετρική του Ευκλείδειου χώρου.Εδώ η συνάρτηση y(x) είναι η ζητούμενη καμπύλη το μήκος της οποίας ισούται με την ελάχιστη απόστασημεταξύ των σημείων Α και Β. Κατ' αναλογία με το πρόβλημα ελαχιστοποίησης που καταλήγει στην εξίσωσηΌιλερ Λαγκράνζ, η συνάρτηση αυτή προσδιορίζεται από τη διαφορική εξίσωση

με

όπου ο τόνος αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς τη μεταβλητή x. Εκτελώντας τις πράξεις,

Άρα λοιπόν,

Η λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι μία ευθεία της μορφής

όπου α και β σταθερές. Στον Ευκλείδειο χώρο λοιπόν η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι τοευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν τα σημεία αυτά πάνω στην ευθεία που τα ενώνει.

Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ 55

Ελάχιστη απόσταση σημείων στην επιφάνεια σφαίραςΑνάλογα επιχειρήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην περίπτωση που επιθυμούμε να υπολογίσουμε τηνελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια μίας σφαίρας. Το διαφορικό ds μίας καμπύλης στηνεπιφάνεια μίας σφαίρας ακτίνας a σχετίζεται με τις γωνιακές συντεταγμένες (θ,φ) των σφαιρικώνσυντεταγμένων μέσω της σχέσης:

Δίχως βλάβη της γενικότητας, το σύστημα συντεταγμένων μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε τα δύο τυχαία σημείαΑ και Β στην επιφάνεια της σφαίρας να έχουν συντεταγμένες (0,φa) και (0,φb) αντίστοιχα. Με βάση τησύμβαση αυτή, το πρόβλημα προσδιορισμού της ελάχιστης απόστασης μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνειαμίας σφαίρας ανάγεται στην ελαχιστοποίηση της ποσότητας

Η ποσότητα αυτή είναι όμως σταθερή, συνεπώς η συνθήκη δS=0 ικανοποιείται πάντα. Άρα λοιπόν, η ελάχιστηαπόσταση μεταξύ δύο τυχαίων σημείων στην επιφάνεια μίας σφαίρας αντιστοιχεί στο μήκος τόξου πουορίζουν τα σημεία αυτά από τα οποία διέρχεται ένας μεγάλος κύκλος (κύκλος με κέντρο που συμπίπτει με τοκέντρο της σφαίρας).

Βιβλιογραφία• Κανάρης Χ. Τσίγκανος (2004). Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη.

Εξωτερικοί σύνδεσμοιWolfram Mathworld. "Euler-Lagrange Differential Equation" [1].

Παραπομπές[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Euler-LagrangeDifferentialEquation. html

Εξίσωση Λαπλάς 56

Εξίσωση ΛαπλάςΗ Εξίσωση Λαπλάς ορίζεται με την χρήση της εξίσωσης Πουασόν. Έτσι, όταν στον χώρο δεν υπάρχουνφορτία, και επομένως ρ=0, τότε .

ΧρήσηΗ εξίσωση Laplace ισχύει για κάθε συνάρτηση δυναμικού από οποιαδήποτε κατανομή φορτίου και ανπροέρχεται και δείχνει ότι δεν μπορεί να πάρει ακραίες τιμές σε σημεία του χώρου στα οποία δεν υπάρχουνφορτία.

Βιβλιογραφία - Πηγές• Stephenson G., Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής

Εταιρείας, 1987

Εξίσωση ΠουασόνΣτα μαθηματικά, η εξίσωση Πουασόν είναι μια μερική διαφορική εξίσωση με ευρεία εφαρμογή στηνηλεκτροστατική, τη μηχανολογία και τη θεωρητική φυσική. Έχει πάρει το όνομά της από το Γάλλομαθηματικό, γεωμέτρη και φυσικό Συμεών Πουασόν (Siméon Denis Poisson).

Εξίσωση ορισμού στον ηλεκτρομαγνητισμόΟι βασικές εξισώσεις του Ηλεκτρομαγνητισμού είναι:

••Συνδυάζοντας τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει η εξίσωση Πουασόν:

•

όπου:

• είναι η συνάρτηση κατανομής του φορτίου μέσα στον όγκο της πηγής

• ≈ 8.854187817×10−12 F/m είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού

ΧρήσηΗ εξίσωση αποτελεί από μαθηματική άποψη την θεμελιώδη εξίσωση του ηλεκτροστατικού πεδίου. Από αυτήντην εξίσωση, όταν είναι γνωστή η κατανομή των φορτίων, μπορεί να υπολογιστεί το βαθμωτό δυναμικό φ καιεπομένως η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου.Η εξίσωση Πουασόν έχει εφαρμογή και στα βαρυτικά δυναμικά. Οι βαρυτικές δυνάμεις μοιάζουν με τιςηλεκτρικές διότι και οι δυο ειναι κεντρικές και ακολουθούν το νόμο των αντιστρόφων τετραγώνων, είναιδηλαδή αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της απόστασης.Η εξίσωση Πουασόν για την βαρύτητα είναι

•

Εξίσωση Πουασόν 57

όπου πλέον το βαρυτικό δυναμικό εξαρτάται απο την πυκνότητα μάζας, ρm. Για ρm=0 η εξίσωση ανάγεται στηνεξίσωση Λαπλάς:

•O Αϊνστάιν στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (ΓΘΣ) γενίκευσε την εξίσωση του Πουασόν στις εξισώσειςπεδίου της ΓΘΣ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι• Norbert Dragon, Σημειώσεις και επεξηγήσεις για το πανεπιστημιακό μάθημα των μεθόδων υπολογισμού

φυσικής [1] (Γερμανικά)

Παραπομπές[1] http:/ / www. itp. uni-hannover. de/ ~dragon/ stonehenge/ rech. pdf

Επίλυση του βραχίοναΗ επίλυση του βραχίονα είναι όρος των εφαρμοσμένων μαθηματικών της μηχανικής των ρομπότ καιαναφέρεται σε μια μαθηματική επίλυση των εξισώσεων που επιτρέπουν τον υπολογισμό συγκεκριμένωνχαρακτηριστικών των βραχιόνων ενός ρομπότ έτσι ώστε να του επιτραπεί να κάνει συγκεκριμένες κινήσεις.Ένα τυπικό βιομηχανικό ρομπότ αποτελείται από τμήματα ίσου μήκους που είναι ενωμένα μεταξύ τους είτε μεενώσεις που μπορούν να αλλάζουν γωνία είτε πάνω σε μακριές μπάρες που μπορούν να αλλάζουν μήκος. Εάνο μηχανικός γνωρίζει τις γωνίες και τα μήκη, η θέση και η περιστροφή του άκρου του βραχίωνα του ρομπότ σεσχέση με τη βάση του μπορεί να υπολογιστεί με απλή τριγωνομετρία που μελετάται στο επιστημονικό πεδίοελέγχου των ρομπότ.Όμως το αντίστροφο — ο υπολογισμός των γωνιών και των μηκών που χρειάζονται έτσι ώστε το ρομπότ ναείναι σε συγκεκριμένη θέση και περιστροφή — είναι πολύ δυσκολότερο. Η μαθηματική διαδικασία για αυτότον υπολογισμό ονομάζεται επίλυση του βραχίονα. Σε μερικούς τύπους ρομπότ, όπως τον βραχίονα Στάνφορντ,το Ρομπότ SCARA, ή τα καρτεσιανά ρομπότ, αυτό μπορεί να γίνει σε κλειστή φόρμα. Άλλοι τύποι ρομπότχρειάζονται επαναληπτική επίλυση.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι• infolab.stanford.edu [1] - Ο βραχίονας Στάνφορντ (1969), με τέτοια διάταξη που απλοποίησε πολύ τις

μαθηματικές πράξεις (επιλύσεις του βραχίονα) έτσι ώστε οι υπολογισμοί να γίνονται γρήγορα

Στο άρθρο αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το solution άρθρο Arm solution [2] της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποίαδιανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0 [2]. (solution ιστορικό/συντάκτες [2]).

Παραπομπές[1] http:/ / infolab. stanford. edu/ pub/ voy/ museum/ pictures/ display/ 1-Robot. htm[2] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Arm

Ημίτονο 59

Το ημίτονο είναι ένας σημαντικός τριγωνομετρικός αριθμός, συμβολίζεται με ημθ ή διεθνώς με sinθ.Υπάρχουν τρεις ορισμοί που αποδίδουν το ημίτονο, όπου ο ένας είναι γενίκευση του άλλου:• Με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως ημίτονο μίας από τις οξείες γωνίες

του τριγώνου το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς δια την υποτείνουσα. Το ημίτονο, όπως έχει οριστείεδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του ενός. Η απέναντιπλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Το όνομα τηςσυνάρτησης οφείλεται στο ημίτονο σε ένα πολύ σημαντικό ορθογώνιο τρίγωνο, το ορθογώνιο τρίγωνο μεγωνίες 90, 60 και 30 μοιρών στις γωνίες. Το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 1/2, δηλαδή η απέναντι πλευράείναι το μισό του τόνου, όπου με τον όρο τόνος εννοείται το μήκος της υποτείνουσας.

• Με βάση τον τριγωνομετρικό κύκλο: sinθ=y, όπου y η τεταγμένη του σημείου τομής της πλευράς της γωνίαςθ και του τριγωνομετρικού κύκλου

• Ως ανάπτυγμα σειράς Taylor:

Η συνάρτηση ημίτονο όπως ορίστηκε παραπάνω αναφέρεται στο κυκλικό ημίτονο. Το υπερβολικό ημίτονοείναι άλλη συνάρτηση. Το ημίτονο είναι μία μορφή της αρμονικής συνάρτησης.Ως συνάρτηση το ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π και περιττή.

Χαρακτηριστικά της συνάρτησης ημίτονο

Πεδίο ορισμούΣυνήθως χρησιμοποιούμε το δεύτερο ορισμό με πεδίο οριμσού το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Συνέχεια-ΠαραγωγισιμότηταΗ συνάρτηση ημίτονο είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε τηςπαράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει , ενώ για τη νιοστή παράγωγο

.

Ημίτονο 60

ΜονοτονίαΣε διάστημα μιας περιόδου (χρησιμοποιείται το τμήμα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό):Στο [0,π/2] είναι γνησίως άυξουσα. Στο [π/2,3π/2] είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ στο [3π/2,2π] είναι γνησίωςαύξουσα.

Ακρότατα-ΑσύμπτωτεςΗ συνάρτηση ημίτονο δεν έχει σύμπτωτες. Στο διάστημα μιας περιόδου εμφανίζει ένα ελάχιστο, στο 3π/2 το -1,και ένα μέγιστο, στο π/2 το 1.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-ΡίζεςΤο σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το [-1,1]. Αυτό συνήθως συμβολίζεται από τουςμαθηματικούς με , αν και αυτός ο τύπος φράζει τη συνάρτηση χωρίς να προσδιορίζει ακριβώς τοσύνολο τιμών. Η συνάρτηση ημίτονο έχει άπειρες ρίζες της μορφής κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός.

ΚοιλοκυρτότηταΗ συνάρτηση ημίτονο είναι κοίλη στο [0,π] και κυρτή στο [π,2π]. Παρουσιάζει σημείο καμπής στα 0, π, 2π.

ΣυμμετρίεςΗ συνάρτηση ημίτονο είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Όμως, όπως αρμονική συνάρτηση έχειάπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας και σημεία συμμετρίας, τις ρίζες τις.

Άλλες συναρτήσεις που σχετίζονται με τη συνάρτηση ημίτονο• υπερβολικό ημίτονο• τόξο ημιτόνου (είναι η αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου)• συνημίτονο

ΜετασχηματισμοίΗ συνάρτηση ημίτονο μπορεί να μετασχηματιστεί με βάση τον εψιλοτικό μετασχηματισμό, δηλαδή τη μιγαδική

σχέση .

Σχέσεις με τη συνάρτηση ημίτονο

ΑνισοτικέςΓια κάθε πραγματικούς αριθμούς x, x0, y ισχύει:

διάταξη ορισμάτων-συνάρτησης

• με το ίσον να ισχύει αν υπάρχει ακέραιος κ τέτοιος, ώστε

• αν υπάρχει κ ακέραιος τέτοιος, ώστε , τότε

x>y <=>

• αν υπάρχει κ ακέραιος τέτοιος, ώστε , τότε

x>y <=>

Ημίτονο 61

ανισοτική σχέση με συνημίτονο

Σίγουρα υπάρχει ακέραιος αριθμός κ τέτοιος, ώστε να ισχύει ένα μόνο από τα τρία:

• , οπότε

ημx<συνx

• , οπότε

ημx>συνx

• , οπότε

ημx=συνx

βασική σχέση ημιτόνου ταυτοτικής

Αναπαράσταση των δύο συναρτήσεων, όπουφαίνεται η ανισότητα.

• με το ίσον να ισχύει αν x=0

ΤαυτότητεςΓια κάθε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει:

• , όπου κ ακέραιος αριθμός•••• sin(arcsinx)=x• arc sin(sinx)=x+2κπ, όπου κ ακέραιος• ημ2x+συν2x=1 (βασική τριγωνομετρική ταυτότητα)

Ημίτονο 62

Απειροστικός λογισμόςΗ συνάρτηση ημίτονο είναι αρμονική συνάρτηση και έχει τη σημαντική ιδιότητα να είναι παράγωγος και ένααόριστο ολοκλήρωμα αρμονικής συνάρτησης, όπως η συνάρτηση συνημίτονο και η εκθετική. Ισχύει ότι(ημx)'=συνx.Επίσης ισχύoυν οι εξή σχέσεις για τα ολοκληρώματα:

Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίοΜαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος2.10, σελίδα 287

Θεωρία μέτρουΗ θεωρία μέτρου στα μαθηματικά περιλαμβάνει την αυστηρή αξιωματική θεμελίωση και επίσης τη γενίκευσητων εννοιών του μήκους, του εμβαδού και του όγκου. Οι εφαρμογές επεκτείνονται και σε άλλες, πέρα από τιςγεωμετρικές, έννοιες του μέτρου. Σε απλουστευμένη αλλά αδόκιμη ορολογία, για δεδομένο σύνολο Sονομάζουμε "μέτρο" οποιαδήποτε διαδικασία ή κανόνα αποδίδει ένα "μέγεθος" σε κάθε ένα υποσύνολο του Sκατά συνεπή (δηλ. χωρίς αντιφάσεις) τρόπο.Ο ακριβής μαθηματικός ορισμός του όρου "μέτρο" μοιάζει δυσνόητος (προϋποθέτοντας έννοιες όπωςδ-δακτύλιος και σ-άλγεβρα) αλλά είναι εξαιρετικά σημαντικός για τη θεμελίωση, μεταξύ άλλων, βασικώνεννοιών της ανάλυσης και του απειροστικού λογισμού. Σημαντικά παραδείγματα είναι το μέτρο Jordan, τομέτρο Lebesgue, το μέτρο πιθανότητας και άλλα.Ο χώρος μέτρου (measure space) δεν θα πρέπει να συγχέεται με το μετρικό χώρο (metric space). Οι δύο έννοιεςείναι διαφορετικές. Για παράδειγμα στον ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων το μέτρο Lebesgue ορίζει το χώρομέτρου κατά τον οποίο αποδίδεται όγκος στα υποσύνολα του , ενώ η ευκλείδεια μετρική ορίζει το μετρικόχώρο που μετράει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του .

Ιστορικά στοιχείαΟι μαθηματικοί του 19ου γνώριζαν ότι, στο πεδίο του απειροστικού λογισμού, μπορούν να οριστούνσυναρτήσεις που συμπεριφέρονται «περίεργα». Για παράδειγμα συνεχείς αλλά μη-διαφορίσιμες συναρτήσεις,σειρές συνεχών συναρτήσεων των οποίων το άθροισμα είναι ασυνεχής συνάρτηση, συναρτήσεις με φραγμένεςπαραγώγους που δεν είναι ολοκληρώσιμες κατά Riemann, και μη-ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που είναι τοόριο ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.Τα «περίεργα» αυτά παραδείγματα αφορούσαν υποτίθεται αυθαίρετα/αφηρημένα κατασκευασμένεςσυναρτήσεις, και δεν υπήρχε λόγος ανησυχίας. Οι συναρτήσεις με χρήση στα εφαρμοσμένα μαθηματικά καιτις εφαρμοσμένες επιστήμες αναμένονταν να είναι συνεχείς, παραγωγίσιμες και ολοκληρώσιμες[1] .Ήδη όμως προβλήματα ανεπαρκώς θεμελιωμένης θεωρίας ανέκυπταν σχετικά με συναρτήσεις μεγάληςσπουδαιότητας και με σημαντικές εφαρμογές, όπως στη θεωρία των σειρών Fourier που αναπτύχθηκε απότους Dirichlet, Riemann, Cantor, Jordan και άλλους μαθηματικούς του 19ου αιώνα.Υπό αυτές τις συνθήκες ανέκυψε αναγκαιότητα εξαντλητικής έρευνας και αυστηρής θεμελίωσης των «προβληματικών» σημείων. Η συνεισφορά που έγινε από τους Peano, Borel, Jordan και τελικά με τη γενίκευση της έννοιας του μέτρου και του ολοκληρώματος από τον Henri Lebesgue έκανε ακριβώς αυτό, και θεωρείται

Θεωρία μέτρου 63

άμεση συνέχιση του έργου των Riemann, Darboux, Cantor πάνω στη θεωρία συναρτήσεων.

Παραπομπές[1] Lebesgue, Henri, Notice sur les travaux scientifiques de M. Henri Lebesgue, Edouard Privat, 1922.

ΠηγέςMorris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (vol. 3), chapt.44

Εξωτερικοί σύνδεσμοι• Μετρήσιμα σύνολα (http:/ / www. math. aegean. gr/ students/ s97130/ ptyxiaki/ node21. html) (τμήμα

πτυχιακής εργασίας)• Εισαγωγή στη Θεωρία Μέτρου (http:/ / www. stat-athens. aueb. gr/ gr/ prop/ ili/ 403. htm) (περιγραφή

εξαμηνιαίου μαθήματος και βιβλιογραφία)

Θεώρημα μέσης τιμήςΥπάρχουν στον απειροστικό λογισμό δύο θεωρήματα για τη μέση τιμή:

Θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού

Έστω μια συνάρτηση φ(χ) συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο

(α,β) τέτοιο, ώστε:

Αυτή η σχέση δηλώνει ότι για κάθε ευθεία από δύο σημεία γραφικής παράστασης σε μια παραγωγίσιμησυνάρτηση υπάρχει εφαπτομένη στην καμπύλη της συνάρτησης που να της είναι παράλληλη.

Θεώρημα μέσης τιμής 64

Θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού

Το θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Ηκαμπύλη είναι η συνάρτηση, τα σκούρα μέρη

είναι μέρη του ολοκληρώματός της, ενώ ταγαλάζια μέρη είναι μέρη του ορθογωνίου.

Έστω μια συνάρτηση φ(χ) συνεχής στο [α,β]. Υπάρχει τουλάχιστον ένα χ0 στο φ([α,β]) τέτοιο, ώστε:

Αν η συνάρτηση φ θεωρηθεί στατιστική κατανομή, τότε ο αριθμός χ0 είναι ο αριθμητικός μέσος της. Αν ηκατανομή διατηρεί πρόσημο, τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου μήκους β-α και ύψους χ0 ισούται με το εμβαδόντης κατανομής.

δείτε επίσης• μέση τιμή• μέσος όρος

Ισότητα (Μαθηματικά)

Ισότητα (Μαθηματικά) 65

Για τις διάφορες τιμές των δύο μεταβλητών ελέγχεται η αληθοτιμήτης ισότητας. Όπου υπάρχει το σημάδι της έγκρισης η αληθοτιμή

είναι αληθές και στα υπόλοιπα σημεία είναι ψευδές.

Ισότητα ονομάζεται ένα οποιοδήποτε ζεύγοςμαθηματικών παραστάσεων που συνδέονται μετον τελεστή =, δηλαδή αν Α είναι η μίαπαράσταση και Β η άλλη τότε η έκφραση Α=Βείναι μια ισότητα. Το νόημα της ισότητας είναι ότιαν υπολογιστεί η τιμή της μιας παράστασης και ητιμή της άλλης, τότε οι δύο τιμές είναι ίδιες.

Υπάρχουν δύο είδη ισότητας:• Η ταυτότητα που δηλώνει ότι η ισότητα ισχύει

υπό οποιεσδήποτε συνθήκες.• Η εξίσωση που δηλώνει ότι η ισότητα ισχύει

μόνο υπό συγκεκριμένες συνθήκες.

Η ταυτότητα χρειάζεται να αποδειχθεί, ενώ ηεξίσωση να να λυθεί, δηλαδή να βρεθούν οι τιμέςτων μεταβλητών των παραστάσεων πουικανοποιούν την ισότητα.

Αν μια εξίσωση ικανοποιείται για όλες τις τιμέςτων μεταβλητών λέγεται αόριστη και είναιταυτότητα, αν δεν υπάρχουν τιμές που να τηνικανοποιούν λέγεται αδύνατη.

Μια ισότητα μπορεί και η ίδια να γίνει αντικείμενο μιας μαθηματικής πράξης, συγκεκριμένα μιας λογικήςπράξης, ενώ οι τιμές που λαμβάνει είναι αληθοτιμή. Σε αυτήν την περίπτωση υπολογίζονται οι δύοπαραστάσεις και αν οι τιμές τους είναι ίδιες τότε η ισότητα λαμβάνει την αληθοτιμή αληθές, αν οι τιμές τωνδύο παραστάσεων δεν είναι ίδιες τότε η αληθοτιμή της ισότητας είναι ψευδές.

ΤαύτισηΜια άλλη έννοια σχετική με την ισότητα είναι η ταύτιση. Η ταύτιση συμβολίζεται με και σημαίνει ότι τα δύοαντικείμενα δεν έχουν απλώς την ίδια τιμή αλλά είναι ίδια μεταξύ τους, δηλαδή οι δύο παραστάσειςαναπαριστούν το ίδιο πράγμα. Μερικές φορές αυτός ο συμβολισμός χρησιμοποιείται κυρίως στη φυσική, γιανα δηλωθούν με τύπους ορισμοί, για παράδειγμα ο ορισμός της ταχύτητας μπορεί να τυποποιηθεί ως:

Κλίση συνάρτησης 66

Κλίση συνάρτησηςΗ γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι . Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης

(δηλ. μιας ευθείας) είναι

Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης.

για δύο οποιαδήποτε σημεία , όταν διάφορο .Αν Τότε ΔΕΝορίζεται κλίση ευθείας .

Η κλίση μιας μη γραμμικής συνάρτησης.

Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής) συνάρτησης σε κάποιο σημείο είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο κοντά στο

η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία και έχει περίπου την ίδια κλίση με

Κλίση συνάρτησης 67

την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι

Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο στοσημείο , τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου

στο σημείο και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ωςακολούθως

ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο . Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως ηπαράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το τείνει στο . Αν αυτό το όριο υπάρχει τότεη συνάρτηση ονομάζεται διαφορίσιμη, αν όχι, μη διαφορίσιμη.

Κριτήριο παρεμβολήςΣτην μαθηματική ανάλυση το κριτήριο παρεμβολής είναι ένα πολύ σημαντικό θεώρημα όταν επιθυμούμε ναεπιβεβαιώσουμε το όριο μιας συνάρτησης. Η χρήση του κριτηρίου βασίζεται στη σύγκριση της συνάρτησης μαςμε δύο άλλες συναρτήσεις των οποίων τα όρια είναι ίσα και επιπλέον είναι γνωστά ή μπορούν εύκολα ναυπολογιστούν. Χρησιμοποιήθηκε πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη και τον Εύδοξο στην προσπάθειά τους ναυπολογίσουν την τιμή του π και διατυπώθηκε σε σύγχρονους όρους από τον Γκάους.Το κριτήριο λέει ότι όταν δύο συναρτήσεις έχουν το ίδιο όριο και μια τρίτη συνάρτηση παίρνει τιμές μεταξύτων τιμών των δύο αυτών συναρτήσεων τότε το όριο της είναι ίσο με το όριο των δύο άλλων.

Διατύπωση του Κριτηρίου

Κριτήριο παρεμβολής 68

Η συνάρτηση με μπλε χρώμα παίρνει τιμές μεταξύ τωνσυναρτήσεων με κόκκινο και πράσινο χρώμα, οπότε έχει ίδιο όριο

με αυτές, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής

Η αυστηρή διατύπωση του κριτηρίου είναι η εξής:

Έστω τρεις πραγματικές συναρτήσεις και ένα σημείο συσσώρευσης του Α. Ανισχύει:

για κάθε και:

τότε:

ΑπόδειξηΗ απόδειξη χρησιμοποιεί τον ε-δ ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο . Ξεκινούμε με ένατυχαίο ε >0 και ζητούμε ένα δ(ε) > 0 τέτοιο ώστε να ικανοποιείται ο ορισμός του ορίου συνάρτησης.Έστω ε > 0. Αφού ισχύει έχουμε ότι:

υπάρχει δ1 > 0 τέτοιο ώστε: αν και τότε υπάρχει δ2 > 0 τέτοιο ώστε: αν και τότε

Ορίζουμε . Τότε αν έχουμε:και άρα και άρα

Επομένως έχουμε:

και άρα και άρα

και αφού για κάθε ισχύει ότι:

Από την πιο πάνω παίρνουμε την:

Κριτήριο παρεμβολής 69

και τελικα

Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε ε > 0 επομένως από τον ορισμό του ορίου συνάρτησης:

Παρατηρήσεις• Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και όταν οι ανισότητες είναι γνήσιες δηλαδή και όταν:

για κάθε • Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και όταν η ανισότητα:

ισχυει μόνο για μια περιοχή του . Δεν χρειάζεται δηλαδή να ισχύει για κάθε x στο πεδίο ορισμού αλλάαπλώς να ισχύει σε ένα διάστημα ( - δ, + δ).

Λογαριθμική συνάρτηση 71

Λογαριθμική συνάρτηση καλείται οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής logαx, όπου α πραγματική σταθερά,

α>0 και α≠1. Δηλαδή η τιμή εκθετικής συνάρτησης ισούται με το λογάριθμο που έχει σαν βάση τη σταθερά ακαι σαν λογαριθμιζόμενο μέρος x μία ανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα).Οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες λογαριθμικές συναρτήσεις είναι η λογαριθμική συνάρτηση με βάση το 2(στους υπολογιστές), με βάση το 10 (συνήθως συμβολίζεται με logx), και με βάση το e (αριθμός Όιλερ ίσοςπερίπου με 2,718). Στην τελευταία περίπτωση συμβολίζεται με lnx και ονομάζεται φυσικός λογάριθμος καισπανιότερα νεπέριος λογάριθμος.

Χαρακτηριστικά της λογαριθμικής συνάρτησης

Γραφικές παραστάσεις λογαριθμικών συναρτήσεων Λογάριθμος με βάση το 1,7 Λογάριθμος με βάση το e

Λογάριθμος με βάση το 10

Πεδίο ορισμού

Με βάση τον ορισμό του λογαρίθμου πεδίοορισμού είναι το ανοιχτό σύνολο από μηδένστο συν άπειρο , δηλαδή οι θετικοίπραγματικοί αριθμοί.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Η λογαριθμική συνάρτηση είναι συνεχής σεόλο το πεδίο ορισμού της, όπως καιπαραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε τηςπαράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει(logα

x)'=1/(lnα x), ενώ για τη νιοστή παράγωγο(logα

x)ν=(-1)ν-1/(lnα xν).

Ειδικότερα στην lnx ισχύει (lnx)'=1/x μίαιδιότητα πολύ σημαντική, γιατί η παράγωγοςμιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι μια αμιγώς ρητή συνάρτηση.

ΜονοτονίαΔιακρίνουμε δύο περιπτώσεις μία για α>1 και μία για 0<α<1.• Αν α>1:Οι λογαριθμικές συναρτήσεις με βάση α>1 είναι γνησίως αύξουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα>0και 1/x>0, άρα (logα

x)'>0.

Λογαριθμική συνάρτηση 72

• Αν 1>α>0:Οι λογαριθμικές συναρτήσεις με βάση 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατίlnα<0 και 1/x>0, άρα (logα

x)'<0.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες• Αν α>1:Το όριο της λογαριθμικής στο συν άπειρο είναι συν άπειρο, ενώ το όριο της λογαριθμικής στο 0 είναι μείονάπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία x=0, δηλαδή ο άξονας y'y.Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί.• Αν 0<α<1:Το όριο της λογαριθμικής στο συν άπειρο είναι πλην άπειρο, ενώ το όριο της λογαριθμικής στο 0 είναι συνάπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία x=0, δηλαδή ο άξονας y'y.Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-ΡίζεςΤο σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Κάθε λογαριθμική συνάρτησηδιέρχεται από το σημείο (1,0). Όλες οι λογαριθμικές συναρτήσεις έχουν ως μοναδική ρίζα το 1, δηλαδή ισχύειότι logα

x=0 <=> x=1.

Κοιλοκυρτότητα• Αν α>1 τότε:Είναι (logα

x)''=-1/(lnα x2)<0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι κοίλη, δηλαδή στρέφει τα κοίλα κάτω.• Αν 1>α>0 τότε:Είναι (logα

x)''=-1/(lnα x2)>0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή στρέφει τα κοίλα άνω.Σε κάθε περίπτωση δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

ΣυμμετρίεςΗ λογαριθμική συνάρτηση logα

x είναι συμμετρική με την log1/αx ως προς τον άξονα x'x. Παρατηρείται ότι οι

δύο βάσεις είναι αντίστροφες μεταξύ τους. H ιδιότητα αυτή είναι ανάλογη με την αντίστοιχη ιδιότητα στηνεκθετική συνάρτηση.

Αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής

Λογαριθμική συνάρτηση 73

Μία φυσική λογαριθμική συνάρτηση, ηεκθετική και μία λογαριθμική με βάση 1/e.

Αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής εξ ορισμού είναι ηεκθετική συνάρτηση.

ΜετασχηματισμοίΗ λογαριθμική συνάρτηση μπορεί να μετασχηματιστεί μέσω του φυσικού λογαρίθμου. Ισχύει ότι logαx=y <=>x=αy <=> x=ey⋅lnα <=> lnx=y⋅lnα <=> y= . Επομένως, αρκεί να μελετηθεί η συνάρτηση του φυσικού

λογαρίθμου και μπορούν αναλόγως να επεκταθούν τα συμπεράσματα και σε άλλες λογαριθμικές συναρτήσεις.Η συγκεκριμένη ιδιότητα ισχύει αναλόγως και με άλλες βάσεις εκτός από το e, όπως το 10 και το 2. Έτσι,

logαx= .

Σχέσεις με τη λογαριθμική συνάρτηση

ΑνισοτικέςΓια κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, x0, y ισχύει:• ex>lnxΓια α>1:• logαx>logαy <=> x>y

• logαx>0 <=> x>1• logαx<0 <=> x<1

• logαx<=1/(lnα x0)x+(logαx0-1/lnα), το ίσον ισχύει μόνο για x=x0Για 0<α<1:• logαx>logαy <=> x<y

• logαx>0 <=> x<1• logαx<0 <=> x>1

• logαx>=1/(lnα x0)x+(logαx0-1/lnα), το ίσον ισχύει μόνο για x=x0

Λογαριθμική συνάρτηση 74

ΤαυτότητεςΓια κάθε πραγματικό αριθμό κ, για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, y, και με α>0 και διάφορο τουενός, ισχύει:• logαx=logαy <=> x=y• logαx=0 <=> x=1• logαx=-log1/αx• logαx+logαy=logα(xy)• logαx-logαy=logα(x/y)• logαxκ=κlogαx• logα(αx)=x

• logαα=1

Λογαριθμική συνάρτηση και απειροστικός λογισμόςΗ λογαριθμική συνάρτηση lnx έχει τη σημαντική ιδιότητα ότι (lnx)'=1/x. Έτσι, αποδεικνύεται ότι(logαx)'=(lnx/lnα)'=1/lnαx.Επίσης ισχύoυν οι εξή σχέσεις για τα ολοκληρώματα:

Μάστερ Θεώρημα 75

Μάστερ ΘεώρημαTο μάστερ θεώρημα (master theorem) είναι ειδική περίπτωση του θεωρήματος Akra-Bazzi. Χρησιμοποιείταιστην ανάλυση αλγορίθμων για τον προσδιορισμό του ασυμπτωτικού ορίου μιας αναδρομικής συνάρτησης.Ωστόσο δεν επιλύεται κάθε αναδρομική σχέση με το μάστερ θεώρημα.

Γενική ΜορφήΗ γενική μορφή του θεωρήματος είναι:

Όπου T(n)είναι η αναδρομική σχέση, a και b είναι σταθερές και f(n) είναι μια μη αρνητική συνάρτησηανεξάρτητη της T(n)Για να εφαρμοστεί το μάστερ θεώρημα θα πρέπει να ισχύει για τις δυο σταθερές: a ≥ 1  και  b > 1

Το μάστερ θεώρημα χωρίζεται σε τρεις περιπτώσεις, οι οποίες μπορούν συνήθως να δώσουν λύση. Παρόλααυτά υπάρχει και μια ειδική περίπτωση, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν δεν ταιριάζουν όλες οι άλλες.

Μέγιστος κύκλοςΜέγιστος κύκλος ονομάζεται η τομή μιας σφαίρας και ενός επιπέδου το οποίο περνάει από το κέντρο τηςσφαίρας.Η διάμετρος κάθε μέγιστου κύκλου είναι και διάμετρος της σφαίρας. Τα τόξα των μέγιστων κύκλωναποτελούν τη συντομότερη διαδρομή ανάμεσα σε δύο σημεία στην επιφάνεια μιας σφαίρας.Στη γεωδαισία οι μεσημβρινοί αποτελούν μέγιστους κύκλους, ενώ μόνο ο ισημερινός είναι μέγιστος κύκλος σεαντίθεση με τους υπόλοιπους παράλληλους. Πρακτικά, επειδή η Γη δεν είναι τελείως σφαιρική, οι διάφοροι"μέγιστοι κύκλοι" δεν έχουν ίδιο μήκος. Στους ναυτικούς χάρτες συχνά η πορεία που χαράσσεται δεν είναιευθεία και αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο πιο σύντομος δρόμος στην επιφάνεια μιας σφαίρας αντιστοιχεί σετόξο μέγιστου κύκλου.

Πηγές• "Τυπολόγιο σφαιρικής τριγωνομετρίας" [1] (στα Ελληνικά) (pdf). Ανακτήθηκε την 2011-01-28.

Παραπομπές[1] http:/ / portal. survey. ntua. gr/ main/ courses/ hisatgeodesy/ geoastro/ book/ GeoAstro_chapter11. pdf

Μαθηματική ανάλυση 76

Μαθηματική ανάλυσηΗ μαθηματική ανάλυση είναι ένα από τα βασικά πεδία των μαθηματικών, το οποίο ασχολείται με την έννοιατης απόστασης. Θεμελιωτές της ήταν ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς και ο Ισαάκ Νεύτων, οι οποίοι τηνανακάλυψαν ανεξάρτητα στα τέλη του 17ου αιώνα.Κλάδοι της μαθηματικής ανάλυσης είναι ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός (οι οποίοι συλλήβδηνκαλούνται και "απειροστικός λογισμός"), η τοπολογία, η συναρτησιακή ανάλυση, η θεωρία μέτρου. Πρόκειταιεπίσης για το κατεξοχήν εργαλείο της (μαθηματικής) φυσικής, η οποία, άλλωστε, αρχικά αποτελούσε τον μόνολόγο ύπαρξής της, και αποτελεί ακόμη έναν από τους σημαντικότερους. Μέθοδοι της μαθηματικής ανάλυσης,κυρίως μέσα από την εφαρμοσμένη μηχανική, βρίσκουν επίσης μεγάλη εφαρμογή στην τεχνολογία.Σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης είναι οι πραγματικοί αριθμοί, η συνάρτηση, το όριο και ησύγκλιση, η διαφορισιμότητα ή παραγωγισιμότητα και η ολοκληρωσιμότητα, η μετρική κ.ά.Το κύριο αντικείμενο μελέτης της ανάλυσης είναι η μελέτη των συναρτήσεων. Οι βασικές έννοιες τηςανάλυσης είναι το όριο,η παράγωγος και το ολοκλήρωμα. Η παράγωγος και το ολοκλήρωμα αποτελούν τiς δύοδιαφορετικές όψεις του ίδιου νομίσματος. Η ολοκλήρωση και η παραγώγιση είναι μεταξύ τους αντίστροφεςδιαδικασίες.

Μερικές διαφορικές εξισώσεις

Τρισδιάστατη (αριστερά) και δισδιάστατη (δεξιά) γραφική απεικόνιση μιας λύσηςτης δισδιάστατης εξίσωσης Laplace σε δακτύλιο (r=2 και R=4) και για αρχικές

συνθήκες Dirichlet: u(r=2)=0 και u(r=4)=4sin(5*θ).

Οι μερικές διαφορικές εξισώσειςείναι διαφορικές εξισώσεις στιςοποίες η άγνωστη συνάρτηση είναισυνάρτηση πολλαπλών μεταβλητώνκαι στις οποίες έχουμε μερικέςπαραγώγους της άγνωστηςσυνάρτησης. Η τάξη μιας μερικήςδιαφορικής εξίσωσης ορίζεται όπωςκαι στις συνήθεις διαφορικέςεξισώσεις. Επιπλέον, ιδιαίτερηςσημασίας ως προς τις μεθόδουςεπίλυσης είναι η ταξινόμηση σεελλειπτικές, υπερβολικές καιπαραβολικές εξισώσεις, ειδικά γιατις δεύτερης τάξης γραμμικέςμερικές διαφορικές εξισώσεις.

Μερικές διαφορικές εξισώσεις 77

ΕισαγωγήΜια μερική διαφορική εξίσωση με άγνωστη συνάρτηση έχει τη γενική μορφή:

όπου είναι γραμμική συνάρτηση (γνωστή, εφόσον η μορφή δεδομένης εξίσωσης προς επίλυση είναι γνωστή)και είναι το πλήθος ( ) ανεξάρτητες μεταβλητές. Η άγνωστη συνάρτηση

ορίζεται σε ένα κάποιο χώρο, π.χ. σε όλο το και θα δίνει τιμές π.χ. σε όλο το ήσυνηθέστερα στο σύνολο των μιγαδικών . Το σύνολο των μεταβλητών μπορεί σε δεδομένο πρόβλημα ναείναι έτσι ώστε να μην είναι όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή να έχουμε πεπλεγμένες συναρτήσεις.Ωστόσο σε κάθε περίπτωση το πρόβλημα μπορεί να λάβει τη γενική μορφή όπως παραπάνω, εισάγονταςεπιπλέον (άγνωστες) μεταβλητές , όπου το πλήθος των πεπλεγμένων μεταβλητών. Συνήθως σταπροβλήματα που προκύπτουν από τις εφαρμογές είναι γνωστές επί πλέον και κάποιες «συνοριακές» χωρικάκαι χρονικά συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί η λύση, οι οποίες ονομάζονται συνοριακές και αρχικέςσυνθήκες και συνήθως δίνονται ή επιλέγονται ώστε να ικανοποιείται η ύπαρξη και μοναδικότητα(μονοσήμαντο) των λύσεων.Στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, εξισώσεις δηλαδή με άγνωστη συνάρτηση μιας μεταβλητής όπως π.χ.y=f(x), ως γνωστόν οι λύσεις είναι συναρτήσεις που διαφέρουν κατά σταθερά. Κατ αντιδιαστολή, τα πράγματαείναι πολύ διαφορετικά στις μερικές διαφορικές εξισώσεις, όπου οι λύσεις είναι οικογένειες συναρτήσεων πουπεριέχουν αυθαίρετες συναρτήσεις.Για παράδειγμα, όπως μπορεί ο αναγνώστης να επαληθεύσει μόνος του, κάνοντας μία μερική παραγώγιση ωςπρος y και απαλοιφή του f(x), οι συναρτήσεις με μορφή:

όπου f(x) τυχαία συνάρτηση του x, αποτελούν τη γενική λύση της μερικής διαφορικής εξίσωσης:

που είναι ένα παράδειγμα μιας ιδιαίτερα απλής μερικής διαφορικής.Ένα άλλο παράδειγμα ιδιαίτερα απλής, αλλά και πολύ σημαντικής, μερικής διαφορικής είναι η δισδιάστατηεξίσωση Laplace, η οποία γράφεται:

και, όπως ο αναγνώστης μπορεί μόνος του να επαληθεύσει, έχει γενική λύση το σύνολο των συναρτήσεων:

,όπου F και G οποιεσδήποτε συναρτήσεις.Γενικά οι μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι πολύ πιο δύσκολο να επιλυθούν από τις συνήθεις μιαςμεταβλητής. Εκτός από ειδικές περιπτώσεις γραμμικών εξισώσεων δεν υπάρχει γενική μέθοδος επίλυσης. Οιπιο συνηθισμένες μερικές διαφορικές, ιδιαίτερα στον χώρο των φυσικών επιστημών, έχουν τέσσεριςανεξάρτητες μεταβλητές, δηλαδή τις τρεις χωρικές διαστάσεις x, y, z και τον χρόνο t.

Μερικές διαφορικές εξισώσεις 78

πηγές• G. Stephenson, 1970, Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις [1], ελλ. μτφ, 1987.

εξωτερικοί σύνδεσμοι• Δημήτρης Τσουμπελής, 2009, Mερικές Διαφορικές Εξισώσεις Τόμος Α' [2].• Δημήτρης Τσουμπελής, 2010, Mερικές Διαφορικές Εξισώσεις Τόμος Β΄ [3].• Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους [4] μια εισαγωγική παρουσίαση σε μεθόδους αριθμητικής

επίλυσης.

Παραπομπές[1] http:/ / www. hms. gr/ ?q=node/ 157[2] http:/ / www. math. upatras. gr/ ~tsoubeli/ MDEI. pdf[3] http:/ / eclass. math. upatras. gr/ modules/ document/ file. php/ MATH_APPL112/

%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%BF%20%CF%83%CE%B5%20%CE%BC%CE%BF%CF%81%CF%86%CE%AE%20pdf/PDEs_II. pdf

[4] http:/ / www. astro. auth. gr/ ~kokkotas/ lesson/ na_book/ node155. html

Μετρική (μαθηματικά)Μετρική ονομάζεται μια συνάρτηση , όπου τυχόν σύνολο, η οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω ιδιότητες για κάθε :• , αν και μόνο αν •• (τριγωνική ανισότητα)Η τιμή d(x,y) ονομάζεται απόσταση των x, y, (ενν. μέσω της μετρικής d). Οποιοδήποτε σύνολο εφοδιασμένο μεμία μετρική ονομάζεται μετρικός χώρος.Σε έναν μετρικό χώρο επιπλέον, μπορεί να δείξει κανείς ότι

,για κάθε . Πράγματι, για κάθε x και για κάθε y, η τριγωνική ανισότητα δίνει

· από τα αξιώματα ταύτισης και συμμετρίας παίρνουμε ,δηλαδή .

Παραδείγματα• Η Ευκλείδεια μετρική

• Η Διακριτή μετρική:

• Η μετρική στο

Μετρικός χώρος 79

Μετρικός χώροςΣτα μαθηματικά, μετρικός χώρος είναι ένα σύνολο στο οποίο έχει οριστεί μία έννοια «απόστασης».Συγκεκριμένα, ας είναι ένα μη κενό σύνολο, και μία συνάρτηση. Η συνάρτηση θαλέγεται μετρική, και το ζεύγος θε λέγεται μετρικός χώρος, αν για κάθε ικανοποιεί ταακόλουθα:• (αξίωμα ταύτισης)• (αξίωμα συμμετρίας)• (αξίωμα τριγώνου)Απόσταση δύο σημείων x, y του χώρου, ονομάζεται η τιμή d(x,y).Σε έναν μετρικό χώρο επιπλέον, μπορεί να δείξει κανείς ότι

,για κάθε . Πράγματι, για κάθε x και για κάθε y, η τριγωνική ανισότητα δίνει

· από τα αξιώματα ταύτισης και συμμετρίας παίρνουμε ,δηλαδή . Τυπικό παράδειγμα μετρικού χώρου αποτελεί ο τριδιάστατος ευκλείδειος χώρος,εφοδιασμένος με την ευκλείδεια μετρική. Άλλο τυπικό παράδειγμα μετρικού χώρου είναι ο ΔιακριτόςΜετρικός χώρος ο οποίος ορίζεται αν σε ένα τυχαίο σύνολο ορίσουμε την μετρική ως εξής: αν

και αν Εύκολα δείχνουμε ότι ισχύουν και οι τρεις ιδιότητες της μετρικής.

ΓενικεύσειςΈνα σύνολο εφοδιασμένο με μία συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τα αξιώματα συμμετρίας και τριγώνου, αλλάαντί του αξιώματος ταύτισης, ικανοποιεί το

•λέγεται ψευδομετρικός χώρος. Ακόμη, ένα σύνολο εφοδιασμένο με μια συνάρτηση που ικανοποιεί το αξίωματαύτισης και το αξίωμα τριγώνου, αλλά όχι απαραίτητα και το αξίωμα συμμετρίας, λέγεται οιονεί μετρικόςχώρος (quasi-metric space) ή μη συμμετρικός μετρικός χώρος.

Μιγαδικός αριθμός 80

Μιγαδικός αριθμόςΣτα μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών με τηνπροσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται φανταστική μονάδα, και έχει την ιδιότητα:

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή α + βi, όπου τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί καιλέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.Για παράδειγμα, ο 3 + 2i είναι ένας μιγαδικός, με πραγματικό μέρος 3 και φανταστικό μέρος 2.Για τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης,της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού καιτης διαίρεσης, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Στην ορολογία των μαθηματικών, αυτό σημαίνει ότι τοσύνολο των μιγαδικών είναι σώμα.Η βασική διαφορά των μιγαδικών αριθμούς με τους πραγματικούς είναι η ύπαρξη του στοιχείου i και τωνπολλαπλασίων του, που όταν υψωθούν στο τετράγωνο δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον,στους μιγαδικούς δεν ορίζεται η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς ώστε ναπούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό.Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά καιστη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής.

ΙστορικόΟι μιγαδικοί αριθμοί ανακαλύφθηκαν από τον Ιταλό μαθηματικό Τζερόλαμο Καρντάνο, ο οποίος τουςαποκαλούσε φανταστικούς, στην προσπάθεια του να βρει αναλυτικές λύσεις σε κυβικές εξισώσεις. Ηδιαδικασία επίλυσης τέτοιων εξισώσεων απαιτεί ενδιάμεσους υπολογισμούς, οι οποίοι μπορεί ναπεριλαμβάνουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών, ακόμα κι όταν η ρίζα είναι πραγματικός αριθμός. Τογεγονός αυτό οδήγησε τελικά στο θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, που δείχνει ότι στους μιγαδικούςαριθμούς είναι πάντοτε δυνατόν να βρεθούν λύσεις σε πολυωνυμικές εξισώσεις.

Ορισμοί

Συμβολισμοί και πράξειςΤο σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται συνήθως ως C, ή και ορίζεται ως εξής:

Το σύνολο των μιγαδικών περιέχει επιπλέον όλους τους πραγματικούς αριθμούς, καθώς κάθε πραγματικόςαριθμός μπορεί να γραφτεί ως ένας μιγαδικός με μηδενικό φανταστικό μέρος: α = α + 0i.Αν το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού είναι ίσο με το μηδέν, τότε αυτός ο μιγαδικός ταυτίζεται με τονπραγματικό αριθμό α.Το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού z= a + bi συμβολίζεται με Re(z) ενώ το φανταστικό μέρος με Im(z),δηλαδή ισχύει:• Re(z)=a• Im(z)=b

Δύο μιγαδικοί αριθμοί, z1=x1+iy1 και z2=x2+iy2, είναι ίσοι μεταξύ τους αν και μόνο αν τα πραγματικά τουςμέρη και τα φανταστικά τους μέρη είναι μεταξύ τους ίσα. Δηλαδή, αν x1=x2 και y1=y2.Πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών, γίνονται με βάση τους γνωστούς κανόνες αντιμετάθεσης, προσεταιρισμούκαι επιμερισμού, της άλγεβρας:

Μιγαδικός αριθμός 81

• (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i• (a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i• (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i

Πιο αυστηρα, οι μιγαδικοί αρίθμοί ορίζονται ως το σώμα με καιπροσθετική πράξη πολλαπλασιαστική πράξη

όπου + και η κοινή πρόσθεση και ο κοινός πολλαπλασιασμός των πραγματικών.Αποδεικνύεται εύκολα οτι το υποσύνολο του

={(a,0):a }είναι υπόσωμα του και είναι ισόμορφο με το . Με βάση αυτό, πολλές φορές συμβολίζουμε το (a,0) με a,έτσι π.χ. συμβολίζουμε το (3,0) με 3, το (5/11,0) με 5/11.

Το στοιχείο το συμβολίζουμε και το ονομάζουμε φανταστική μονάδα.Το αυστηρά ορισμένο αυτό σώμα έχει ολες τις ιδιότητες που προαναφέρθηκαν για τους μιγαδικούς καιαποφεύγει την 'αντιδιαισθητική' αναφορά στην ρίζα του -1. Για το σώμα αυτό ισχύει

όπου όμως το -1 δεν είναι ο πραγματικός -1 αλλά ο εναλλακτικός συμβολισμός του μιγαδικού (-1,0), κι έτσι δενδημιουργήται πρόβλημα, οι μιγαδικοί δηλαδή δεν είναι μια αυθαίρετη επικληση στην ύπαρξη ριζώναρνητικών πραγματικών, αλλά ένα εντελώς διαφορετικό σώμα του οποίου τουλάχιστον ένα υπόσωμα είναιισόμορφο με τους πραγματικούς.

Μιγαδικό επίπεδο

Ένας μιγαδικός z=a+bi παριστάνεται και με τοδιάνυσμα με αρχή το κέντρο των αξόνων και

πέρας το σημείο (a,b).

Κάθε μιγαδικός αριθμός z=a+bi μπορεί να αντιστοιχισθεί σε ένασημείο Μ(a,b) ενός δισδιάστατου καρτεσιανού συστήματοςσυντεταγμένων. Κάθε τέτοιο σημείο Μ λέγεται εικόνα τουαντίστοιχου μιγαδικού αριθμού z και συμβολίζεται με M(z) ήM(a,b). Σε αυτή την περίπτωση, το καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένων λέγεται μιγαδικό επίπεδο (ή διάγραμμα Argand).

Λόγω της παραπάνω αντιστοίχισης μιγαδικού με σημείο, κάθε μιγαδικός αριθμός z μπορεί να αναπαρασταθείστο μιγαδικό επίπεδο με το διάνυσμα , που έχει αρχή το κέντρο Ο των αξόνων και τέλος το σημείοΜ(a,b).Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως το μέτρο του διανύσματος ή, ισοδύναμα, ως η απόστασητου Μ από το κέντρο Ο του μιγαδικού επιπέδου:

Μιγαδικός αριθμός 82

Συζυγής μιγαδικόςΟ συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού z = a + ib ορίζεται ως a - ib, και συμβολίζεται ή . Γεωμετρικά, ο αποτελεί τον κατοπτρισμό του z ως προς τον άξονα των πραγματικών (σχήμα). Για ένα μιγαδικό αριθμό z, τονσυζυγή και το μέτρο του ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

••••

••   αν και μόνο αν ο z είναι πραγματικός•   αν και μόνο αν ο z είναι φανταστικός•

•   για z μη μηδενικό.

Τριγωνομετρική μορφή

Εκτός από τις καρτεσιανές συντεταγμένες του, ένας μιγαδικόςμπορεί να γραφεί και με πολική ή τριγωνομετρική μορφή. Οιπολικές συντεταγμένες ενός μιγαδικού z είναι το ζευγάρι (r,φ),όπου r = |z|, είναι το μέτρο του μιγαδικού και φ = arg(z), τοπρωτεύον όρισμα του z.

Όρισμα ενός μιγαδικού z είναι κάθε μία από τις γωνίες πουσχηματίζει ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας R με το αντίστοιχοδιάνυσμα του z. Πρωτεύον όρισμα είναι η γωνία εκείνη πουβρίσκεται στο διάστημα [0, 2π], και συμβολίζεται με Arg(z).Οπότε κάθε άλλο όρισμα του z, διαφέρει κατά 2kπ από τοArg(z), όπου k ακέραιος.

Ισχύει ότι:

όπου:

και το όρισμα προσδιορίζεται με προσθετέο 2kπ, δηλαδή ορίσματα που διαφέρουν κατά ένα ακέραιοπολλαπλάσιο του 2π είναι ισοδύναμα.

Μιγαδικός αριθμός 83

Εκθετική μορφήΧρησιμοποιώντας τη φόρμουλα του Όιλερ, η τριγωνομετρική μορφή μετατρέπεται σε

που λέγεται εκθετική μορφή.Με βάση την εκθετική μορφή των μιγαδικών αριθμών, μπορούν να οριστoύν ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεσήτους ως εξής:

και

Κατά αυτό τον τρόπο, η πρόσθεση μιγαδικών ταυτίζεται με πρόσθεση διανυσμάτων ενώ ο πολλαπλασιασμόςμπορεί να θεωρηθεί ως μία στροφή (και ομοιοθεσία, δηλ. επιμήκυνση ή σμίκρυνση) διανύσματος. Οπολλαπλασιασμός με τον φανταστικό αριθμό i αντιστοιχεί σε μία στροφή 90 μοιρών (με φορά αντίθετη τωνδεικτών του ρολογιού). Η γεωμετρική επομένως σημασία της εξίσωσης i2 = −1, που ορίζει τον φανταστικόαριθμό, είναι πως δύο διαδοχικές στροφές 90 μοιρών ταυτίζονται με μία στροφή 180 μοιρών.

Δείτε ακόμα• Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι• Βικιβιβλίο στην αγγλική έκδοση (Wikibooks)

Μονοτονία συνάρτησης 85

Τέσσερις περιπτώσεις συναρτήσεων όπου φαίνεται η σχέση τωνκατευθύνσεων των μεταβολών της ανεξάρτητης και εξαρημένης

μεταβλητής, ανάλογα με τη μονοτονία.

Η μονοτονία μιας συνάρτησης αναφέρεται ποιοτικάστην κατεύθυνση της μεταβολής των τιμών της στοπεδίο ορισμού της ή σε τμήμα αυτού. Με άλλα λόγια,έστω ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησηςαυξάνεται, η μονοτονία είναι η πληροφορία πουαναφέρει αν η εξαρτημένη μεταβλητή αυξάνεται καιαυτή ή αντίθετα μειώνεται ή μένει αμετάβλητη.

Η μονοτονία μπορεί να είναι:• Γνήσια αύξουσα• Γνήσια φθίνουσα• Αύξουσα• Φθίνουσα• Σταθερή

Μονοτονία συνάρτησης 86

Γνήσια αύξουσα

Παράδειγμα γνήσιας αύξουσας συνάρτησης.Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση δεν είναι

παραγωγίσιμη ή συνεχής.

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή τηςεξαρτημένης επίσης αυξάνεται και αντίστροφα, αν η τιμή τηςανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσηςμειώνεται. Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) <=> α>β, όπου fείναι η συνάρτηση.

Γνήσια φθίνουσα

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή τηςεξαρτημένης μειώνεται και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητηςμεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης αυξάνεται. Γενικά,ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) <=> α<β, όπου f είναι η συνάρτηση.

Αν η συνάρτηση είναι σε ένα τμήμα του πεδίου ορισμούτ της, ή στοπεδίο ορισμού της γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα, τότεονομάζεται γνησίως μονότοτονη. Αυτό ο όρος διακρίνει τις περιπτώσεις όπου μία συνάρτηση μπορεί να είναισταθερή σε κάποια τμήματα του πεδίου ορισμού της.

Αύξουσα

Μεταβάλλεται το x, ανάλογα με τη μονοτονίαμεταβάλλεται και το y.

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή τηςεξαρτημένης επίσης αυξάνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή καιαντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, ητιμή της εξαρτημένης επίσης μειώνεται ή μένει κατά τόπουςσταθερή. Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή α>β => f(α)>=f(β), όπου fείναι η συνάρτηση.

Φθίνουσα

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή τηςεξαρτημένης μειώνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή καιαντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, ητιμή της εξαρτημένης αυξάνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή.Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή α>β => f(α)<=f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

ΣταθερήΑνεξάρτητα από τις αλλαγές της εξαρτημένης μεταβλητής η τιμή της συνάρτησης δε μεταβάλλεται. Ισχύειf(α)=f(β), όπου f είναι η συνάρτηση, ανεξάρτητα αν α>β, α<β ή α=β.

Μελέτη της μονοτονίας

Λόγος μεταβολήςΗ κατεύθυνση της μεταβολής δύο διαδοχικών τιμών α1 και α2 μιας μεταβλητής α είναι το πρόσημο τηςδιαφοράς Δα=α2-α1. Έτσι, ισχύει:• Γνήσια αύξουσα: Δα>0 => Δf(α)>0 ή Δα<0 => Δf(α)<0• Γνήσια φθίνουσα: Δα>0 => Δf(α)<0 ή Δα<0 => Δf(α)>0

Μονοτονία συνάρτησης 87

• Αύξουσα: Δα>0 => Δf(α)>=0 ή Δα<0 => Δf(α)<=0• Φθίνουσα: Δα>0 => Δf(α)<=0 ή Δα<0 => Δf(α)>=0• Σταθερή: Δf(α)=0Η μελέτη της μονοτονίας γίνεται πρωτογενώς μέσω του λόγου μεταβολής της συνάρτησης λ=Δf(α)/Δα, όπου f ησυνάρτηση. Το πρόσημο του λόγου μεταβολής δείχνει την ποιοτική σχέση της ανισότητας των f(α),f(β) και τηςανισότητας των α,β. Αν η συνάρτηση είνα γνήσια αύξουσα, τότε η μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής είναιίδια με αυτήν της ανεξάρτητης και ισχύει λ>0. Παρομοίως, αν η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα τότε λ<0.Αν είναι αύξουσα είναι λ>=0, αν είναι φθίνουσα λ<=0 και αν είναι σταθερή λ=0.

Παράγωγος αριθμόςΗ μονοτονία μπορεί να μελετηθεί τόσο σε παραγωγίσιμες, όσο και σε μή παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Η μελέτητης μονοτονίας στις παραγωγίσιμες συναρτήσεις γίνεται με τον παράγωγο αριθμό πόυ μπορεί να οριστεί ως τοόριο του λ, όταν το Δα τείνει στο μηδέν. Αποδεικνύεται ότι η μονοτονία σε περιοχή του σημείου στο οποίοβρίσκουμε την παράγωγο μπορεί να προσδιοριστεί με βάση το πρόσημο της παραγώγου, όπως και στο λόγομεταβολής. Για αυτό και η παράγωγος ονομάζεται και ρυθμός μεταβολής. Αν η παράγωγος είναι μηδέν, τότε δεμπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για το προδισε υποσύνολα του πεδίου ορισμού (συνήθως διαστήματα) ή όλοτο πεδίο ορισμού. Συνήθως προσπαθούμε να βρούμε διαδοχικά υποσύνολα του πεδίου ορισμού, όπου τοκαθένα έχει ένα συγκεκριμένο είδος μονοτονίας, ενώ ο συνδυασμός τους είναι το ίδιο το πεδίο ορισμού. Σεδιαστήματα στα οποία η παράγωγος συνάρτηση είναι θετική, η αρχική συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα, ενώσε διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι αρνητική η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα.Σημεία στα οποία η μονοτονία είναι διαφορετική στις δυο μεριές του σημείου είναι ακρότατα. Ο παράγωγοςαριθμός σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν (αυτή η πρόταση είναι γνωστή και ως μικρό θεώρημα του Φερμά).

Εφαπτομένη

Έστω η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία θεφαπτομένης ίση με το λόγο μεταβολής. Αποδεικνύεται ότι αυτή ηευθεία διέρχεται από τα σημεία που χρησιμοποιήσαμε για τονπροσδιορισμό του λόγου μεταβολής τους και το είδος μονοτονίαςτης εξαρτάται από τη σχέση των ανισοτικών σχέσεων των δύοσημείων. Η εφαπτομένη της θ ονομάζεται και κλίση της ευθείας. Ηεφαπτομένη σε σημείο γραφικής παράστασης έχει κλίση ίση με τονπαράγωγο αριθμό στο σημείο επαφής, που ισούται με τηνεφαπτομένη της γωνίας θ.

Αν τα δύο σημεία ορίζουν κλειστό διάστημα συνέχειας τηςσυνάρτησης και ανοιχτό διάστημα στο οποίο είναι παραγωγίσιμη, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εντόςτου ανοιχτού διαστήματος στο οποίο ο παράγωγος αριθμός να ισούται με την κλίση του αρχικού λόγουμεταβολής. Αυτή η πρόταση είναι γνωστή και ως θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Γεωμετρικά ηπαραπάνω πρόταση σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία εφαπτόμενη ευθεία στη γραφική παράσταση ηοποία να είναι παράλληλη (ή να ταυτίζεται) με την αρχική ευθεία. Σε μαθηματική γλώσσα:

Ολοκλήρωμα 88

Ολοκλήρωμα

Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) από το aστο b είναι η επιφάνεια πάνω από τον άξονα xκαι κάτω από την καμπύλη y = f(x), μείον τηνεπιφάνεια κάτω από τον άξονα x και πάνωαπό την καμπύλη, για x στο διάστημα [a,b].

Η ολοκλήρωση είναι στοιχειώδης έννοια των προχωρημένωνμαθηματικών, ειδικά στα πεδία του απειροστικού λογισμού και τηςμαθηματικής ανάλυσης. Έστω μια συνάρτηση f με ανεξάρτητημεταβλητή την x. Έστω υποσύνολο D του πεδίου ορισμού τηςσυνάρτησης. Έστω (μεταβλητή) διαμέριση P, n στοιχείων, τουσυνόλου D, με λεπτότητα ||P||. Με απλά λόγια διαμέριση λέγεταιοποιοσδήποτε τρόπος κομματιάζει το D σε n κομμάτια, ενώ ηλεπτότητά δείχνει πόσο μεγάλο είναι το μεγαλύτερο κομμάτι τηςδιαμέρισης. Ένα κομμάτι της διαμέρισης συμβολίζεται με δx. Σεκάθε στοιχείο δxi της διαμέρισης (δηλαδή σε κάθε κομμάτι)επιλέγεται ένα σημείο xi και υπολογίζεται η f(xi). Έστω τοάθροισμα:

Τότε ως ορισμένο ολοκλήρωμα της f στο D ορίζεται το όριο (αν υπάρχει):

Ο ορισμένο ολοκλήρωμα συμβολίζεται με , δηλαδή ισχύει:

Σημειώνεται ότι ισχύει:

Στην περίπτωση που το D είναι διάστημα με άκρα τα a,b (a μεγαλύτερο ή ίσο του b) το ολοκλήρωμασυμβολίζεται με:

Ο όρος "ολοκλήρωμα" μπορεί επίσης να αναφέρεται στην έννοια της αντιπαραγώγου ή παράγουσαςσυνάρτησης, η οποία είναι μια συνάρτηση F της οποίας η παράγωγος είναι η αρχική f. Σ' αυτή την περίπτωσηλέγεται και αόριστο ολοκλήρωμα, ενώ τα ολοκληρώματα που αναφέρονται σε αυτό το άρθρο λέγονταιορισμένα ολοκληρώματα. Τα αόριστα ολοκληρώματα δεν αναφέρονται σε κάποιο συγκεκριμένο υποσύνολοτου πεδίου ορισμού, άρα δεν προσδιορίζουμε που ολοκληρώνουμε, ενώ κατά τα άλλα ο συμβολισμός παραμένειο ίδιος. Ο λόγος για αυτό είναι οι σχέσεις:

•

•

όπου ci οποιαδήποτε πραγματική σταθερά

Ολοκλήρωμα 89

Με άλλα λόγια το ολοκλήρωμα της παραγώγου ισούται (με μία διαφορά) με την αρχική συνάρτηση. Άρα γιανα βρούμε την αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης, αρκεί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμά της.Μερικοί συγγραφείς θεωρούν διαφορετική την έννοια της αντιπαραγώγου από το αόριστο ολοκλήρωμα. Ηδιαφορά είναι ότι αντιπαράγωγος είναι κάθε συνάρτηση της οποίας η παράγωγος δίνει την f, ενώ το αόριστοολοκλήρωμα της f είναι μια οικογένεια συναρτήσεων που διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια σταθερά, κάθε μιααπό τις οποίες είναι αντιπαράγωγος της f.[1]

Ιστορική αναδρομήΟι αρχές της ολοκλήρωσης διατυπώθηκαν από τον Ισαάκ Νεύτονα και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς στοτέλος του 17ου αιώνα. Μέσα από το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού, που ανέπτυξανανεξάρτητα, η ολοκλήρωση συνδέεται με την παραγώγιση και το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησηςμπορεί εύκολα να υπολογιστεί μόλις γίνει γνωστή η αντιπαράγωγος. Τα ολοκληρώματα και οι παράγωγοιέγιναν τα βασικά εργαλεία του απειροστικού λογισμού, με πολυάριθμες εφαρμογές στην επιστήμη και τημηχανική.Ένας αυστηρός μαθηματικός ορισμός του ολοκληρώματος δόθηκε από τον Μπέρναρντ Ρίμαν. Βασίζεται σεένα όριο που προσεγγίζει την επιφάνεια μιας καμπυλόγραμμης περιοχής με το να σπάει την περιοχή σεκάθετες λωρίδες. Τον 19ο αιώνα άρχισαν να εμφανίζονται πιο εξελιγμένες έννοιες του ολοκληρώματος, όπου οτύπος της συνάρτησης όπως και το πεδίο ορισμού της ολοκλήρωσης έχουν γενικευθεί. Το επικαμπύλιοολοκλήρωμα ορίζεται για συναρτήσεις δύο ή τριών μεταβλητών, και το διάστημα της ολοκλήρωσης [a,b]αντικαθίστανται από μια καμπύλη μεταξύ δυο σημείων του επιπέδου ή του χώρου. Στο επιφανειακόολοκλήρωμα, η καμπύλη αυτή αντικαθίσταται από μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο. Τα ολοκληρώματαδιαφορικής μορφής παίζουν θεμελιώδη ρόλο στη σύγχρονη διαφορική γεωμετρία. Αυτές οι γενικεύσεις τουολοκληρώματος αρχικά εξελίχθηκαν από τις ανάγκες της φυσικής, και παίζουν σημαντικό ρόλο στηδιατύπωση πολλών φυσικών νόμων, κυρίως αυτών της ηλεκτροδυναμικής. Σύγχρονες έννοιες τηςολοκλήρωσης βασίζονται στην αφηρημένη μαθηματική θεωρία γνωστή ως ολοκλήρωση Λεμπέγκ, πουαναπτύχθηκε από τον Ανρί Λεμπέγκ.

Θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμούΤο θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού δηλώνει ότι η ολοκλήρωση και η παραγώγιση είναιαντίστροφες πράξεις.

Έστω f μια πραγματική συνεχής συνάρτηση που ορίζεται σε κλειστό διάστημα, . Ησυνάρτηση με

είναι συνεχής και ισχύει

για κάθε Η F ονομάζεται αρχική ή αντιπαράγωγος της f.

Έστω f μια πραγματική συνεχής συνάρτηση που ορίζεται σε κλειστό διάστημα, και F ηαρχική της f. Τότε ισχύει

Ολοκλήρωμα 90

Ολοκληρώματα Νταρμπού και Ρίμαν

Αθροίσματα Ρίμαν ■ δεξιά, ■ ελάχιστο(κάτωάθροισμα Νταρμπού), ■ μέγιστο(άνω

άθροισμα Νταρμπού), ■ αριστερά.

Σε ένα κλειστό διάστημα ορίζουμε μια διαμέριση . Προσεγγίζουμε τοεμβαδό που περικλείεται από το γράφημα της f και τον άξονα x με αθροίσματα εμβαδών ορθογωνίων

Τα αθροίσματα αυτά ονομάζονται αθροίσματα Ρίμαν. Στην ειδική περίπτωση που θεωρούμε τα μέγισταδυνατά εμβαδά ορθογωνίων

το αθροίσμα ονομάζενται άνω αθροίσμα Νταρμπού. Στην περίπτωση που θεωρούμε τα ελάχιστα δυνατάεμβαδά ορθογωνίων

το αθροίσματα ονομάζεται κάτω αθροίσμα Νταρμπού.Θεωρούμε εκλεπτύνσεις της αρχικής διαμέρισης, δηλαδή λεπτότερες διαμερίσεις. Μια συνάρτηση είναιολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν, αν τα αθροίσματα Ρίμαν συγκλίνουν καθώς ο αριθμός διαστημάτων διαμέρισηςτίνει στο άπειρο. Μια συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη κατά Νταρμπού, αν τα άνω και κάτω αθροίσματαΝταρμπού συγκλίνουν στην ίδια τιμή.Τα ολοκληρώματα Νταρμπού και Ρίμαν είναι ισοδύναμα.

Ολοκλήρωμα 91

Ολοκλήρωμα Λεμπέγκ

Προσεγγίσεις μιας συνάρτησης για τηνκατασκεύη του ολοκληρώματος Ρίμαν (μπλε)και του ολοκληρώματος Λεμπέγκ (κόκκινο)

Το ολολήρωμα Λεμπέγκ βασίζεται στην θεωρία μέτρου.Χρησημοποιεί το μέτρο Λεμπέγκ, που γενικεύει την έννοια τουμήκους.

Αρχικά ολοκληρώνουμε μια απλή συνάρτηση f, δηλαδή μια συνάρτηση με πεπερασμένο πλήθος τιμών, έστω. Θεωρούμε τα υποσύνολα του πεδίου ορισμού . Το μέτρο μ( )

αυτών των συνόλων αντιστοιχεί στο μήκος τους. Τότε το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ ορίζεται ως

Για να βρούμε το ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης την προσεγγίζουμε με απλές συναρτήσεις.Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ αποτελεί γενίκευση του ολοκληρώματος Ρίμαν. Μια συνάρτηση ολοκληρώσιμη κατάΡίμαν είναι ολοκληρώσιμη κατά Λεμπέγκ και τα δυο ολοκληρώματα έχουν την ίδια τιμή. Αντιστρόφως μιασυνάρτηση ολοκληρώσιμη κατά Λεμπέγκ δεν είναι απαραίτητα ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.

Είδη και πολλαπλότητα ολοκληρωμάτωνΈνα ολοκλήρωμα εκτός από απλό μπορεί να είναι διπλό ή τριπλό και γενικά πολλαπλό. Η πολλαπλότητα ενόςολοκληρώματος δηλώνει τον αριθμό των μεταβλητών ως προς τις οποίες γίνεται η ολοκλήρωση, δηλαδή ταορίσματα της συνάρτησης που ολοκληρώνεται. Τα είδη των ολοκληρωμάτων δηλώνουν αντίστοιχα τη φύσητου αποτελέσματος του ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα α' είδους αντιστοιχεί γεωμετρικά σε γραμμή, τουδεύτερου είδους σε επιφάνεια, του τρίτου είδους σε όγκο και ούτω κάθ' εξής.

Παραπομπές[1] Θεοδούλα Ν. Γράψα. "Το Αόριστο Ολοκλήρωμα" (http:/ / www. math. upatras. gr/ ~grapsa/ eap-pli12/ eap_indefinite_integral. doc) (doc).

Βοηθητικό υλικό Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου. . Ανακτήθηκε την 05-10-2008.

Στο άρθρο αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το άρθρο integral (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ integral) της ΑγγλόγλωσσηςΒικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0 (http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ ). (ιστορικό/συντάκτες (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ integral)).

Ολοκλήρωμα Νταρμπού 92

Ολοκλήρωμα ΝταρμπούΣτα μαθηματικά, το ολοκλήρωμα Νταρμπού είναι ένας από τους υπάρχοντες ορισμούς του ολοκληρώματοςμιας συνάρτησης και πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Ζαν Γκαστόν Νταρμπού (Jean GastonDarboux) ο οποίος και το ανακάλυψε. Το ολοκλήρωμα Νταρμπού είναι ισοδύναμο με το ολοκλήρωμα Ρίμαν.Αποδεικνύεται ότι μια συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη κατά Νταρμπού αν και μόνο αν είναι ολοκληρώσιμηκατά Ρίμαν και οι τιμές των ολοκληρωμάτων, αν υπάρχουν είναι ίσες. Ωστόσο ο ορισμός του Νταρμπούθεωρείται πιο απλός από αυτόν του Ρίμαν.

Ορισμός Ολοκληρώματος Νταρμπού

Διαμερίσεις

Αν έχουμε ένα κλειστό διάστημα , τότε ονομάζουμε διαμέριση του κάθε πεπερασμένο σύνολο:,

Τα άκρα του διαστήματος ανήκουν υποχρεωτικά στη διαμέριση και επομένως κάθε διαμέριση περιέχειτουλάχιστον δύο σημεία. Επιπλέον, συνήθως υποθέτουμε ότι τα είναι διατεταγμένα ως εξής

και για μια διαμέριση P θα γράφουμε:

Με άλλα λόγια μια διαμέριση ενός διαστήματος , το χωρίζεισε n υποδιαστήματα:

που δεν έχουν όλα αναγκαστικά το ίδιο μήκος, δηλαδή τα σημεία δεν απαιτούμε να ισαπέχουν.Ονομάζουμε πλάτος της διαμέρισης P τον αριθμό:

,δηλαδή το μεγαλύτερο από τα μήκη των υποδιαστημάτων.

• Αν έχουμε μια διαμέριση ενός διαστήματος , τότεονομάζουμε μια άλλη διαμέριση Q εκλέπτυνση της P αν , δηλαδή αν η διαμέριση Q προκύπτειαπό την P με την προσθήκη (ίσως) μερικών σημείων. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι η Q είναι λεπτότερηαπό την P.

• Αν έχουμε δύο διαμερίσεις και ενός διαστήματος , τότε ονομάζουμε κοινή εκλέπτυνση τωνκαι κάθε άλλη διαμέριση P για την οποία ισχύει και . Δηλαδή κοινή εκλέπτυνση

των και είναι μια διαμέριση λεπτότερη και από τις δύο. Είναι εύκολο να δούμε ότι η διαμέρισηείναι κοινή εκλέπτυνση των και και μάλιστα είναι η μικρότερη δυνατή.

Άνω και Κάτω Αθροίσματα Νταρμπού

Θεωρούμε μια φραγμένη συνάρτηση και μια διαμέρισητου . Η P διαμερίζει το στα υποδιαστήματα::

.Για κάθε ένα από τα υποδιαστήματα αυτά ορίζουμε τους αριθμούς:

και

Για κάθε διαμέριση P του ορίζουμε το άνω και το κάτω άθροισμα Νταρμπού ως εξής:

Ολοκλήρωμα Νταρμπού 93

,

και

Για κάθε διαμέριση P ισχύει:

Ορίζουμε τώρα το άνω και το κάτω ολοκλήρωμα Νταρμπού ως εξής:

διαμέριση του ,

και

διαμέριση του

Η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη κατά Νταρμπού αν:

=

Η κοινή τιμή του άνω και κάτω ολοκληρώματος Νταρμπού ονομάζεται ολοκλήρωμα της f και συμβολίζεταιμε:

ή με

Παράγωγος

Το γράφημα μιας συνάρτησης, με μαύρο χρώμα, καιη εφαπτομένη της συνάρτησης, με κόκκινο χρώμα.Η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής είναι ίση με την

παράγωγο της συνάρτησης στο υποδεικνυόμενοσημείο.

Στη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος είναι ένα μέτρο για τοπώς αλλάζει μια συνάρτηση όταν αλλάζουν οι τιμές τηςεισόδου της. Χονδρικά, θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει ότι ηπαράγωγος μας δείχνει πόσο αλλάζει μια ποσότητα σε ένασυγκεκριμένο σημείο. Για παράδειγμα, η παράγωγος της θέσηςή της απόστασης ενός αυτοκινήτου, για κάποια στιγμή τουχρόνου, είναι η στιγμιαία ταχύτητα με την οποία το αυτοκίνητοταξιδεύει εκείνη τη στιγμή.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε μια επιλεγμένη τιμή εισόδουπεριγράφει την καλύτερη γραμμική προσέγγιση τηςσυνάρτησης κοντά σε αυτή την τιμή εισόδου. Για μιαπραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ηπαράγωγος σε ένα σημείο ισούται με την κλίση τηςεφαπτόμενης γραμμής στο γράφημα της συνάρτησης σ' αυτό τοσημείο. Σε μεγαλύτερο αριθμό διαστάσεων, η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ένας γραμμικόςμετασχηματισμός που λέγεται γραμμικοποίηση[1] .

Η διαδικασία της εύρεσης της παραγώγου λέγεται παραγώγιση ή διαφόριση (οι δύο όροι είναι συνώνυμοι).Όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της υπάρχει και είναι μοναδική ησυνάρτηση καλείται παραγωγίσιμη ή διαφορίσιμη στο x0. Το θεμελιακό θεώρημα του απειροστικού λογισμούδιατυπώνει ότι η παραγώγιση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης.

Παράγωγος 94

Παραγώγιση και παράγωγος

Σε κάθε σημείο, η παράγωγος είναι η κλίσημιας γραμμής που εφάπτεται στην καμπύλη. Η

κόκκινη γραμμή πάντα εφάπτεται της μπλεκαμπύλης. Η κλίση της είναι η παράγωγος.

Η παραγώγιση είναι μία μέθοδος για τον υπολογισμό του βαθμούμε τον οποίο μια ποσότητα, y, αλλάζει, όταν αλλάζει μια άλληποσότητα, x, από την οποία εξαρτάται. Αυτός ο βαθμός αλλαγήςονομάζεται παράγωγος. Για μεγαλύτερη σαφήνεια, η εξάρτηση τουy από το x σημαίνει ότι το y είναι συνάρτηση του x. Αν τα x και yείναι πραγματικοί αριθμοί και αν σχεδιαστεί η γραφικήπαράσταση του y συναρτήσει του x, τότε η παράγωγος δίνει τηνκλίση αυτής της γραφικής παράστασης σε κάθε σημείο. Αυτή ησυναρτησιακή σχέση συνήθως συμβολίζεται ως y=f(x), όπου το fσυμβολίζει την συνάρτηση.

Η απλούστερη περίπτωση είναι όταν το y είναι μια γραμμικήσυνάρτηση του x, που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση του yσυναρτήσει του x είναι μια ευθεία γραμμή. Σ'αυτήν την περίπτωση,y=f(x)=αx+β, όπου τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί. Η κλίση ατης ευθείας δίνεται από την σχέση

Πράγματι, ο τύπος αυτός ισχύει, αφούy + Δy = f(x + Δx) = α(x + Δx) + β = αx + β + αΔx = y + αΔxκαι από αυτό βγαίνει ότι Δy = α Δx

Αυτό δίνει μια συγκεκριμένη τιμή για την κλίση της ευθείας. Αν η συνάρτηση δεν είναι γραμμική (δηλαδή, ηγραφική της παράσταση δεν είναι μια ευθεία), τότε η αλλαγή του y σε σχέση με την αλλαγή του x ποικίλει. Ηπαραγώγιση είναι μια μέθοδος της ακριβούς τιμής του βαθμού αλλαγής, για οποιοδήποτε δοθέν x.

Σχήμα 1. Η εφαπτόμενη γραμμή στο (x, f(x))

Η ιδέα, που απεικονίζεται στα Σχήματα1-3, είναι ο υπολογισμός του βαθμούδιαφοράς ως η οριακή τιμή του λόγουΔy/Δx καθώς το Δx γίνεται άπειρα μικρό.Κατά την σημειογραφία του Leibniz, μιατέτοια απειροστά μικρή αλλαγή στο xσυμβολίζεται dx και η παράγωγος του yσυναρτήσει του x γράφεται

συμβολίζοντας τον λόγο δύο απειροστάμικρών ποσοτήτων.Η πιο συνηθισμένη προσέγγιση[2] για τονσαφή ορισμό αυτής της διαισθητικήςιδέας, χρησιμοποιούνται συνήθως ταόρια, αλλά υπάρχουν και άλλες μέθοδοι.

Παράγωγος 95

Σχήμα 2. Η τέμνουσα της καμπύλης y= f(x) που ορίζεται από τα σημεία (x,f(x))και (x+h,f(x+h)).

Σχήμα 3. Η εφαπτομένη ως το όριο τεμνουσών.

Ορισμός μέσω διηρημένωνδιαφορών

Έστω y=f(x) συνάρτηση του x. Κατά τηνκλασική γεωμετρία, η εφαπτομένηγραμμή σ'εναν πραγματικό αριθμό α είναιη μοναδική γραμμή που περνάει από τοσημείο (α,f(α)) και δεν τέμνει τηνκαμπύλη της f κάθετα, που σημαίνει ότι ηγραμμή δεν περνάει μέσα από τηνκαμπύλη. Η παράγωγος του y σε σχέση μετο x στο σημείο α είναι γεωμετρικά ηκλίση της εφαπτομένης της καμπύλης στοσημείο α. Η κλίση της εφαπτομένηςπροσεγγίζεται από την κλίσης μιαςγραμμής που περνάει από το σημείο(α,f(α)) κι από ένα άλλο σημείο κοντά στο(α,f(α)), για παράδειγμα το (α+h,f(α+h)).Μια τέτοια γραμμή ονομάζεται τέμνουσα.Όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι η τιμή τουh (σε απόλυτη τιμή), τόσο καλύτερηπροσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένηςέχουμε. Η κλίσης της τέμνουσας είναι ηδιαφορά των τιμών του y διά την διαφοράτων τιμών του x. Δηλαδή,

Αυτή η έκφραση είναι η διηρημένη διαφορά του Νεύτωνα. Η παράγωγος είναι η τιμή της διηρημένηςδιαφοράς καθώς η τέμνουσα πλησιάζει όλο και περισσότερο την εφαπτομένη. Τυπικά, η παράγωγος τηςσυνάτησης f στο α είναι το όριο

της διηρημένης διαφοράς, καθώς το h πλησιάζει το μηδέν, αν αυτό το όριο υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει, τότε ηf είναι διαφορίσιμη στο α. Εδώ, το f'(α) ένας από τους κοινούς συμβολισμούς της παραγώγου.Ισοδύναμα, η παράγωγος ικανοποιεί την ιδιότητα

Παράγωγος 96

της οποίας η ερμηνεία είναι (βλ. Σχήμα 1) ότι η εφαπτομένη της f στο α δίνει την καλύτερη γραμμικήπροσέγγιση

της f στο α (π.χ. για πολύ μικρές τιμές του h). Αυτή η ερμηνεία είναι η ευκολότερη για να γενικευτεί.Αντικαθιστώντας το h με 0 στην διηρημένη διαφορά, θα είχαμε διαίρεση διά του μηδενός. Έτσι, η κλίση τηςεφαπτομένης γραμμής δεν θα μπορούσε να υπολογιστεί άμεσα. Αντί αυτού, ορίζεται η Q(h), που είναι ηδιηρημένη διαφορά συναρτήσει του h.

.

H Q(h) είναι η κλίση της τέμνουσας μεταξύ των (α,f(α)) και (α+h,f(α+h)). Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση,που σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση δεν διακόπτεται και δεν έχει κενά, τότε και η Q είναι συνεχήςσυάρτησης μακριά από το h=0. Αν υπάρχει το όριο , που σημαίνει ότι υπάρχει ένας τρόπος να

"επιλεγεί" μια τιμή για το Q(0), κάτι που καθιστά την συνάρτηση Q συνεχή, τότε η συνάρτηση f είναιδιαφορίσιμη στο σημείο α και η παράγωγός της στο α είναι ίση με το Q(0).Πρακτικά, η ύπαρξη μιας συνεχούς προέκτασης της διηρημένης διαφοράς Q(h) στο h=0 φαίνεται με τηναλλαγή του αριθμητή, ώστε να απαλείφει το h του παρονομαστή. Η διαδικασία αυτή μπορεί να είναι μακράκαι κουραστική, και γίνονται αρκετές συντομεύσεις για να απολουστευθεί η διαδικασία.

ΠαράδειγμαΗ συνάρτηση f(x)=x2 είναι διαφορίσιμη στο x=3 και η παράγωγός της εκεί είναι 6. Αυτό μπορεί να αποδειχθείαν γράψουμε την διηρημένη διαφορά ως εξής.

Έτσι, έχουμε μια απλουστευμένη συνάρτηση στο όριο

Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η διηρημένη διαφορά είναι ίση με 6+h όταν το h δεν είναι μηδέν και είναιαπροσδιόριστη όταν το h είναι 0. Θυμηθείτε ότι από τον ορισμό της διηρημένης διαφοράς, η διηρημένηδιαφορά είναι πάντα απροσδιόριστη όταν h=0.) Παρόλ'αυτά, υπάρχει ένας φυσικός τρόπος για νασυμπληρωθεί η τιμή της διηρημένης διαφοράς στο σημείο h=0, στην περίπτωσή μας η τιμή αυτή είναι το 6.Επομένως, η κλίση της γραφικής παράσασης της f στο σημείο (3, 9) είναι 6, κι έτσι η παράγωγός της στο x=3είναι f'(3)=6.

Παράγωγος 97

Παραγωγισιμότητα και συνέχεια

Αυτή η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στομαρκαρισμένο σημείο αλλά ούτε και

παραγωγίσιμη.

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στοσημείο αυτό. Αυτό έχει ως συνέπεια το εξής: αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο τότε δενμπορεί να είναι ούτε και παραγωγίσιμη. Αν όμως μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 τότε δεν είναιπάντα σωστό ότι είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτησης της απολύτου τιμής

με τύπο:

είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x = 0 (σε όλατα άλλα είναι).

Η συνάρτησης της απολύτου τιμής είναισυνεχής παντού, αλλά όχι παραγωγίσιμη στο

x = 0.

Διαισθητικά αυτό μπορεί να εξηγηθεί ως εξής: αν το h είναι θετικό,τότε η κλίση της εφαπτομένης από το 0 στο h θα είναι 1. Αντίθετα,αν το h είναι αρνητικό, η κλίση της εφαπτομένης από το 0 στο hείναι -1. Αυτό γραφικά δείχνει μια απότομη στροφή στο σημείοx=0. Ωστόσο ακόμα και συναρτήσεις με ομαλή γραφική παράστασηενδέχεται να μην είναι παραγωγίσιμη σε ορισμένα σημεία (αυτάστα οποία η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη). Για παράδειγμα, ησυνάρτηση με τύπο:

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=0.Ενδέχεται ακόμα μια συνάρτηση να είναι παντού συνεχής αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Το πρώτο γνωστόπαράδειγμα συνάρτησης που είναι παντού συνεχής, αλλά πουθενά παραγωγίσιμη, είναι η συνάρτησηWeierstrass.Σύμφωνα με ένα αποτέλεσμα του Stefan Banach, το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε μερικάσημεία είναι ένα σύνολο πρώτης κατηγορίας στον χώρο των συνεχών συναρτήσεων, δηλαδή αν από το σύνολοτων συνεχών συναρτήσεων σε ένα σημείο πάρουμε μια στην τύχη, τότε είναι σχεδόν σίγουρο ότι αυτή δεν θαείναι παραγωγίσιμη σε αυτό. Ωστόσο οι περισσότερες συνεχείς συναρτήσεις που συναντάμε στην φυσική έχουνπαράγωγο σε όλα τα σημεία τους ή σχεδόν σε κάθε σημείο τους.

Παράγωγος 98

Οι περισσότερες συναρτήσεις που προκύπτουν στην πράξη έχουν παράγωγο σε όλα τα σημεία ή σχεδόν σε όλατα σημεία. Ωστόσο, σε ένα αποτέλεσμα του Στέφαν Μπάναχ υποστηρίζεται ότι το σύνολο των συναρτήσεωνπου έχουν παράγωγο σε κάποιο σημείο είναι ένα μη πυκνό υποσύνολο στον χώρο όλων των συνεχώνσυναρτήσεων. Αυτό σημαίνει ότι οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις είναι πολύ αντικανονικές μεταξύ των συνεχώνσυναρτήσεων[3] . Το πρώτο γνωστό παράδειγμα συνάρτησης που είναι παντού συνεχής αλλά πουθενάπαραγωγίσιμη είναι η συνάρτηση Weierstrass.

Η παράγωγος ως συνάρτησηΈστω f μια συνάρτηση που έχει παράγωγο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Επειδή κάθε σημείο α έχειμια παράγωγο υπάρχει μια συνάρτηση που αντιστοιχεί το σημείο α με την παράγωγο της f στο α. Αυτή ησυνάρτηση συμβολίζεται f'(x) και ονομάζεται παράγωγος της f. Η παράγωγος της f "μαζεύει" όλες τιςπαραγώγους της f σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της f.Μερικές φορές, η f έχει παράγωγο στα περισσότερα αλλά όχι σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της. Ηπαράγωγος της οποίας η τιμή στο α είναι ίση με f'(α) όταν το f'(α) ορίζεται και οπουδήποτε αλλού δεν ορίζεται,καλείται επίσης παράγωγος της f. Συνεχίζει να είναι συνάρτηση, αλλά το πεδίο ορισμού της είναι γνήσιαμικρότερο από το πεδίο ορισμού της f.Χρησιμοποιώντας αυτή την ιδέα, η παραγώγιση μετατρέπεται σε μια συνάρτηση συναρτήσεων. Η παράγωγοςείναι ένας τελεστής του οποίου το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων που έχουν παράγωγοσε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους και το πεδίο τιμών του είναι ένα σύνολο συναρτήσεων. Ανσυμβολίσουμε αυτόν τον τελεστή , τότε το είναι η συνάρτηση . Από την στιγμή που το αποτελεί συνάρτηση, μπορεί να πάρει τιμή στο σημείο α. Από τον ορισμό της παραγώγου ως συνάρτηση:

.Για σύγκριση, θεωρήστε την συνάρτηση . H f είναι μια πραγματική συνάρτηση πραγματικήςμεταβλητής, που σημαίνει ότι δέχεται σαν είσοδο πραγματικούς αριθμούς και βγάζει σαν έξοδο πραγματικούςαριθμούς.

Ο τελεστής D, όμως, δεν ορίζεται για συγκεκριμένους αριθμούς, αλλά μόνο για συναρτήσεις:

Επειδή η έξοδος του είναι συνάρτηση, αυτή μπορεί να πάρει τιμή σε κάποιο σημείο. Για παράδειγμα, όταντο D εφαρμόζεται στην τετραγωνική συνάρτηση,

τότε βγάζει για έξοδο την συνάρτηση

την οποία ονομάζουμε . Αυτή η συνάρτηση της εξόδου, μπορεί να πάρει τιμές , κ.ο.κ.

Παράγωγος 99

Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξηςΈστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση και f′(x) η παράγωγός της. Η παράγωγος της f′(x) (αν υπάρχει) γράφεταιf′′(x) και ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της f. Όμοια, η παράγωγος της δεύτερης παραγώγου, αν υπάρχει,γράφεται f′′′(x) και καλείται τρίτη παράγωγος. Αυτές οι επαναλαμβανόμενες παράγωγοι ονομάζονταιπαράγωγοι μεγαλύτερης τάξης.Μια συνάρτηση f δεν έχει παράγωγο, αν δεν είναι συνεχής. Κατά τον ίδιο τρόπο, ακόμα κι αν η f έχειπαράγωγο, μπορεί να μην έχει δεύτερη παράγωγο. Για παράδειγμα, έστω

.

Με βασικούς υπολογισμούς, διαπιστώνεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη (ή διαφορίσιμη), της οποίας ηπαράγωγος είναι

.

Η f'(x) είναι το διπλάσιο της απόλυτης τιμής του x και δεν έχει παράγωγο στο 0. Παρόμοια παραδείγματαδείχνουν ότι μια συνάρτηση μπορεί να έχει κ παραγώγους (όπου κ ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός), αλλάόχι κ+1 τάξης παράγωγο. Μια συνάρτηση που έχει κ παραγώγους, καλείται κ φορές διαφορίσιμη. Επιπλέον,αν η κ-οστή παράγωγος της f είναι συνεχής, τότε η f είναι διαφορικής κλάσης Cκ. (Αυτή είναι μια δυνατότερησυνθήκη από τα να έχει κ παραγώγους. Για παραδείγματα, βλ. τάξη διαφορισιμότητας). Μια συνάρτησης πουέχει άπειρα πολλές παραγώγους, λέγεται απείρως παραγωγίσιμη/διαφορίσιμη ή ομαλή.Στην γραμμή των πραγματικών αριθμών, κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι απείρως παραγωγίσιμη. Απότους κανόνες της παραγώγισης, προκύπτει ότι αν ένα πολυώνυμο βαθμού n παραγωγιστεί n φορές, τότεκαταλήγει σε σταθερή συνάρτηση. Όλες οι υπόλοιπες υπακόλουθες παράγωγοι είναι μηδενικές, δηλαδήυπάρχουν. Έτσι, τα πολυώνυμα είναι ομαλές συναρτήσεις.Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f σ'ένα σημείο x παρέχουν πολυωνυμικές προσεγγίσεις της συνάρτησης αυτήςκοντά στο x. Για παράδειγμα, αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε

με το σκεπτικό ότι

Αν η f είναι απείρως παραγωγίσιμη, τότε αυτή είναι η αρχή της σειράς Taylor για την f.

Σημείο καμπήςΈνα σημείο στο οποίο η δεύτερη παράγωγος έχει διαφορετικό πρόσημο ονομάζεται σημείο καμπής[4] . Σε ένασημείο καμπής, η δεύτερη παράγωγος μπορεί να είναι μηδενική, όπως στην περίπτωση του σημείου καμπήςx=0 της συνάρτησης y=x3. Σε ένα σημείο καμπής, η συνάρτηση αλλάζει κυρτότητα από κοίλη σε κυρτή ήαντίστροφα.

Σημειογραφία και συμβολισμός του διαφορικού λογισμού

Σημειογραφία του LeibnizΗ σημειογραφία για τις παραγώγους που παρουσιάστηκε από τον Gottfried Leibniz είναι μία από τις πρώτες.Χρησιμοποιείται ακόμα ευρέως όταν η εξίσωση y=f(x) εκλαμβάνεται ως μια συναρτησιακή σχέση μεταξύεξαρτώμενων και ανεξάρτητων μεταβλητών. Τότε, η πρώτη παράγωγος συμβολίζεται με

Παράγωγος 100

Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης εκφράζονται γράφοντας

για την n-οστή παράγωγο της y=f(x).Με την σημειογραφία του Leibniz μπορούμε να εκφράσουμε την παράγωγο της f στο x=α με δύοδιαφορετικούς τρόπους:

Στον συμβολισμό του Leibniz γίνεται σαφές ως προς πια μεταβλητή γίνεται η παραγώγιση (στονπαρονομαστή). Αυτό σχετίζεται ιδιαίτερα με την μερική διαφόριση. Επίσης, με αυτήν την σημειογραφίαγίνεται ευκολομνημόνευτος ο κανόνας της αλυσίδας[5] :

.

Σημειογραφία του LagrangeΈνας από τους πιο κοινούς σύγχρονους συμβολισμούς για την διαφόριση οφείλεται στον Joseph Louis Lagrangeκαι χρησιμοποιεί τον τόνο έτσι, ώστε η παράγωγος μια συνάρτησης f(x) συμβολίζεται με f'(x) ή απλούστερα f'.Όμοια, η δεύτερη και η τρίτη παράγωγος συμβολίζονται

και Εκτός από τον τόνο, μερικοί χρησιμοποιούν τους Ρωμαϊκούς αριθμούς, όπως

για την τέταρτη παράγωγο, καθώς άλλοι τοποθετούν τον αριθμό της τάξης της παραγώγου σε παρένθεση

Ο τελευταίος συμβολισμός γενικεύεται δίνοντας το σύμβολο f(n) για την n-οστή παράγωγο της f. Αυτή ησημειογραφία είναι πιο χρήσιμη όταν αναφερόμαστε στην παράγωγο όντας μια συνάρτηση από μόνη της, κάτιγια το οποίο η σημειογραφία του Leibniz γίνεται περίπλοκη.

Σημειογραφία του ΝεύτωναΚατά τον συμβολισμό του Νεύτωνα για την παραγώγιση, τοποθετείται μια τελίτσα πάνω από την συνάρτησηπου παριστάνει την παράγωγο. Αν y=f(t), τότε τα

and παριστάνουν, αντίστοιχα, την πρώτη και την δεύτερη παράγωγο της y σε σχέση με την μεταβλητή t. Αυτός οσυμβλισμός χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά για χρονικές παραγώγους, με την έννοια ότι η ανεξάρτητημεταβλητή της συνάρτησης εκφράζει τον χρόνο. Είναι κάτι κοινό στην Φυσική και σε τομείς των Μαθηματικώνπου συνδέονται με την Φυσική, όπως οι διαφορικές εξισώσεις. Καθώς ο συμβολισμός αυτός γίνεται πολύδύσχρηστος για μεγάλες τάξεις παραγώγων, πρακτικά χρειάζονται αρκετά μικρές παράγωγοι.

Παράγωγος 101

Σημειογραφία του EulerΣτην σημειογραφία του Euler χρησιμοποιείται ένας διαφορικός τελεστής D, ο οποίος εφαρμόζεται σε μιασυνάρτηση f δίνοντας την πρώτη παράγωγο Df. Η δεύτερη παράγωγος συμβολίζεται με D2f και η n-οστήπαράγωγος με Dnf.Αν y=f(x) είναι μια εξαρτημένη μεταβλητή, τότε ο δείκτης x γράφεται μαζί με το D διευκρινίζοντας τηνανεξάρτητη μεταβλητή x. Έτσι, ο συμβολισμός του Euler είναι

ή ,αν και αυτός ο δείκτης συχνά παραλείπεται όταν εννοείται, για παράδειγμα όταν αυτή είναι η μόνη μεταβλητήπου υπάρχει σε μια έκφραση.Η σημειογραφία του Euler είναι χρήσιμη στην δήλωση και επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

Υπολογίζοντας την παράγωγοΗ παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί, κατά κανόνα, να υπολογιστεί μέσω του ορισμού θεωρώντας τιςδιηρημένες διαφορές και υπολογίζοντας τα όριά τους. Πρακτικά, από την στιγμή που οι παράγωγοι απλώνσυναρτήσεων είναι γνωστές, οι παράγωγοι άλλων συναρτήσεων είναι πιο εύκολα υπολογίσιμοιχρησιμοποιώντας κανόνες για την εύρεση της παραγώγου σύνθετων συναρτήσεων μέσω απλούστερων.

Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεωνΤις περισσότερες φορές, ο υπολογισμός μιας παραγώγου απαιτεί την παραγώγιση μερικών κοινώνσυναρτήσεων. Η παρακάτω μη ολοκληρωμένη λίστα δίνει κάποιες από τις συχνότερα χρησιμοποιούμενεςσυναρτήσεις και τις παραγώγους τους.• Παράγωγοι δυνάμεων: Αν

,όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός, τότε

σε κάθε σημείο όπου ορίζεται η συνάρτηση. Για παράδειγμα, αν α=1/2, τότε

,

και η συνάρτηση ορίζεται μόνο για μη αρνητικά x. Όταν x=0, αυτός ο κανόνας περικλείει τον κανόναπαραγώγισης σταθερής συνάρτησης.• Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις:

• Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Παράγωγος 102

• Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Κανόνες παραγώγισηςΣε πολλές περιπτώσεις, περίπλοκοι υπολογισμοί ορίων με την άμεση εφαρμογή των διηρημένων διαφορών τουΝεύτωνα μπορούν να αποφευχθούν με τους κανόνες παραγώγισης. Κάποιοι από τους βασικότερους είναι οιακόλουθοι.• Κανόνας σταθερής συνάρτησης: αν η f(x) = α είναι σταθερή συνάρτηση και α είναι ένας πραγματικός

αριθμός, τότε

.• Κανόνας αθροίσματος:

, για κάθε συνάρτηση f και g και για κάθε πραγματικό αριθμόα και β.

Το ίδιο ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.• Κανόνας γινομένου:

, για κάθε συνάρτηση f και g.Το ίδιο ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.• Κανόνας πηλίκου:

, για κάθε συνάρτηση f και g, όπου .

• Κανόνας αλυσίδας: εάν f(x) = h·(g(x))

.

Παράδειγμα υπολογισμούΗ παράγωγος της

είναι

Εδώ, ο δεύτερος όρος υπολογίστηκε με τον κανόνα της αλυσίδας και ο τρίτος με τον κανόνα του γινομένου.Χρησιμοποιήθηκαν επίσης οι γνωστές παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων x2, x4, sin(x), ln(x) and exp(x)= ex

Παράγωγος 103

Παράγωγος σε περισσότερες διαστάσεις

Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησηςΜια διανυσματική συνάρτηση y(t) μιας πραγματικής μεταβλής είναι μια συνάρτηση που "στέλνει"πραγματικούς αριθμούς σε διανύσματα στον διανυσματικό χώρο . Μια διανυσματική συνάρτησηy(t)=(y1(t), y2(t), y3(t),...,yn(t)) μπορεί να διασπαστεί στις συνιστώσες συναρτήσεις της y1(t),...,yn(t). Αυτόπεριλεμβάνει, για παράδειγμα, παραμετρικές καμπύλες στο ή . Οι συνιστώσες συναρτήσεις είναιπραγματικές συναρτήσεις και έτσι ο παραπάνω ορισμός της παραγώγισης μπορεί να εφαρμοστεί σ'αυτές. Ηπαράγωγος της y(t) ορίζεται ως το διάνυσμα, λέγεται εφαπτόμενο διάνυσμα, του οποίου οι συντεταγμένες είναιοι παράγωγοι των συνιστωσών συναρτήσεων. Δηλαδή,

Ισοδύναμα,

αν το όριο υπάρχει. Η διαφορά στον αριθμητή είναι διαφορά διανυσμάτων, όχι βαθμωτών. Αν η παράγωγοςτης y υπάρχει για κάθε τιμή του t, τότε η y′ είναι μια άλλη διανυσματική συνάρτηση.Αν {e1, e2, e3,...,en} αποτελεί μια βάση του , τότε η y(t) μπορεί επίσης να γραφτεί y1(t)e1, y2(t)e2,y3(t)e3,...,yn(t)en. Αν θεωρήσουμε ότι η παράγωγος μια διανυσματικής συνάρτησης διατηρεί την γραμμικότητα,τότε η παράγωγος της y(t) είναι

γιατί κάθε ένα από τα διανύσματα της βάσης είναι σταθερές.Αυτή η γενίκευση είναι χρήσιμη αν, για παράδειγμα, η y(t) είναι το διάνυσμα θέσης ενός αντικειμένου στηνστιγμή t. Τότε η παράγωγος y′(t) εκφράζει την ταχύτητα του αντικειμένου την στιγμή t.

Μερικές παράγωγοιΥποθέστε ότι η f είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από παραπάνω από μία μεταβλητές. Για παράδειγμα,

Η f μπορεί να αναθεωρηθεί ως μια οικογένεια συναρτήσεων μιας μεταβλητής με δείκτες τις άλλες μεταβλητές:

Με άλλα λόγια, κάθε τιμή του x «επιλέγει» μια συνάρτηση, που συμβολίζτεαι fx και είναι συνάρτηση μίαςπραγματικής μεταβλητής. Έτσι,

Από την στιγμή που έχει επιλεγεί μια τιμή για το x, έστω α, τότε η f(x,y) καθορίζει την fα που «στέλνει» το y στοα2+αy+y2.

Σ'αυτήν την παράσταση, το α είναι σταθερά, και όχι μεταβλητή, έτσι η fα είναι συνάρτηση μόνο μίαςπραγματικής μεταβλητής. Συνεπώς, ο ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής μπορεί ναεφαρμοστεί:

Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να γίνει για οποιαδήποτε τιμή του α. Μαζεύοντας τις παραγώγους σε μίασυνάρτηση το αποτέλεσμα θα ήταν μια συνάρτηση που εκφράζει την αλλαγή της f στην κατεύθυνση του y:

Παράγωγος 104

Αυτή είναι η μερική παράγωγος της f σε σχέση με το y. Εδώ, το ∂ είναι το σύμβολο της μερικής παραγώγου.Γενικά, η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης f(x1, x2,...,xn) στην κατεύθυνση του xi στο σημείο (α1, α2,...,αn)ορίζεται ως:

Στην παραπάνω διηρημένη διαφορά, όλες οι μεταβλητές εκτός της xi διατηρούνται σταθερές. Αυτή η επιλογήσταθερών τιμών προσδιορίζει μια συνάρτηση μίας μεταβλητής

και εξ'ορισμού

Με άλλα λόγια, οι διαφορετικές επιλογές της τιμής του α, δίνουν μια οικογένεια συναρτήσεων μίαςμεταβλητής, ακιβώς όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Αυτή η έκφραση δείχνει επίσης ότι ο υπολογισμός τηςμερικής παραγώγου περιορίζεται στον υπολογισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής.Ένα σημαντικό παράδειμα συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η περίπτωση της βαθμωτής συνάρτησηςf(x1,...xn) σε ένα πεδίο ορισμού στον Ευκλείδειο χώρο (π.χ. ή ). Σ'αυτην την περίπτωση, η f έχει μιαμερική παράγωγο ∂f/∂xj σε σχέση με κάθε μεταβλητή xj. Στο σημείο α, αυτές οι μερικές παράγωγοι ορίζουν τοδιάνυσμα

Αυτό το διάνυσμα ονομάζεται ανάδελτα της f στο α. Αν η f είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο στο πεδίοορισμού της, τότε το ανάδελτα είναι μια διανυσματική συνάρτηση ∇f που αντιστοιχεί το σημείο α στοδιάνυσμα ∇f(α). Κατά συνέπεια, το ανάδελτα προσδιορίζει ένα διανυσματικό πεδίο.

Διανυσματική παράγωγοςΑν η f είναι μια πραγματική συνάρτηση στο , τότε η μερική παράγωγος της f εκφράζει ένα μέτρο αλλαγήςτης στον άξονα της συνισταμένης. Για παράδειγμα, αν η f είναι μια συνάρτηση του x και του y, τότε οι μερικέςτης παράγωγοι μετράνε την αλλαγή της f στην κατεύθυνση x και στην κατεύθυνση y. Ωστόσο, δεν μετράνεάμεσα την αλλαγή της f σε κάποια άλλη κατεύθυνση, όπως πάνω στην διχοτόμο y=x. Αυτές μετρούνται με τηνβοήθεια των διανυσματικών παραγώγων. Επιλέξτε ένα διάνυσμα

Η διανυσματική παράγωγος της f στην κατεύθυνση του v στο σημείο x είναι το όριο

Έστω λ πραγματικός αριθμός. Η αντικατάσταση του h με h/λ αλλάζει την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσηςλv σε λ φορές την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης v. Συνεπώς, η διανυσματική παράγωγος στηνκατεύθυνση λv είναι ίση με λ φορές την διανυσματική παράγωγο στην κατεύθυνση v. Λόγω αυτού, οιδιανυσματικές παράγωγοι συνήθως λαμβάνονται μόνο για μοναδιαία διανύσματα v.Αν όλες οι μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν και είναι συνεζείς στο x, τότε προσδιορίζουν την διανυσματικήπαράγωγο της f στην κατεύθυνση v με τον τύπο:

Παράγωγος 105

Αυτή είναι μια συνέπεια του ορισμού της ολικής παραγώγου. Ακολούθως, η διανυσματική παράγωγος είναιγραμμική στο v.Ο ίδιος ορισμός χρησιμοποιείται επίσης όταν η f είναι μια συνάρτηση που λαμβάνει τιμές στο . Απλά,εφαρμόζουμε τον παραπάνω ορισμό σε κάθε στοιχείο του διανύσματος. Σ'αυτήν την περίπτωση, ηδιανυσματική παράγωγος είναι ένα διάνυσμα στο .

Παραπομπές[1] Ο απειροστικός λογισμός, όπως συζητάται σε αυτό το άρθρο, είναι ένας πολύ καλά ορισμένος κλάδος των μαθηματικών, για τον οποίο

υπάρχουν πολλές πηγές. Σχεδόν όλο το υλικό που σε αυτό το άρθρο βρίσκεται στο Apostol 1967, Aposton 1969 και Spivak 1994.[2] Spivak 1994, chapter 10.[3] Banach, S. (1931). "Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia. Math. (3): 174–179. . Cited by Hewitt, E and

Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. Theorem 17.8.[4] Apostol 1967, §4.18[5] Στη σημειογραφία του απειροστικού λογισμού με χρήση των ορίων, έχουν αποδοθεί διάφορες σημασίες από διάφορους συγγραφείς

στο σύμβολο du. Μερικοί συγγραφείς δεν αποδίδουν κάποια σημασία στο σύμβολο du καθαυτό, αλλά μόνο ως μέρος τους συμβολισμούdu/dx. Άλλοι ορίζουν το dx ως ανεξάρτητη μεταβλητή και ορίζουν το du ως du = dx•ƒ′(x).

ΠαραγοντοποίησηΠαραγοντοποίηση είναι στα μαθηματικά η διαδικασία κατά την οποία ένας όρος μετατρέπεται σε γινόμενο.Οι όροι που συμμετέχουν στο γινόμενο ονομάζονται παράγοντες. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεταιανάλυση. Συνήθως η παραγοντοποίηση διευκολύνει άλλες μαθηματικές διαδικασίες οι οποίες είναιαπαραίτητες για την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος. Υπάρχουν δύο βασικά είδη παραγοντοποιήσηςη παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών (σε πρώτους παράγοντες), η παραγοντοποίηση πολυωνύμων. Ηπαραγοντοποίηση αρχίζει να διδάσκεται στο δημοτικό σχολείο.

Παραγοντοποίηση αριθμών

Η διάταξη με τηνοποία γίνεται η

παραγοντοποίησηστο χέρι.

Σε αυτό το είδος δίνεται ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1, ενώ ζητείται να βρεθούν πρώτοι αριθμοίβ1,β2,β3...,βν τέτοιοι, ώστε να ισχύει: Διατάσσουμε τους πρώτους αριθμούς κατά αύξουσα (ή φθίνουσα) σειρά. Αν ένας αριθμός επαναλαμβάνονται,τότε αυτός αντικαθίσταται από μια δύναμη με βάση τον αριθμό και εκθέτη ίσο τον αριθμό των φορώνεπανάληψης. Έτσι, προκύπτει μία έκφραση του τύπου:

Παραγοντοποίηση 106

όπου Αυτή η μορφή παραγοντοποίσης (μπορεί να ονομαστεί ως συντμημένη μορφή γινομένου) είναι μοναδική γιαφυσικό αριθμό, γιατί διαφορετικά θα προκύψει ότι δύο γινόμενα φυσικών αριθμών είναι ίσα παρόλο που είναιαποτέλεσμα άλλων παραγόντων το ένα γινόμενο και άλλων διαφορετικών παραγόντων το άλλο γινόμενο. Αυτόείναι άτοπο, γιατί αν κ=λ και μ διαιρεί τον κ, τότε υποχρεωτικά διαιρεί και τον λ. Αυτή η πρόταση είναιγνωστή ως θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.Μία μέθοδος με την οποία γίνεται η παραγοντοποίηση αριθμών στο χέρι είναι η μέθοδος με τις διαδοχικέςδιαιρέσεις. Σχεδιάζουμε μια μακριά κάθετη γραμμή και πάνω αριστερά της γράφουμς τον αριθμό που θέλουμενα παραγοντοποιήσουμε. Ξεκινώντας από το 2 και τον αρχικό αριθμό ελέγχουμε αν ο πρώτος στον οποίονβρισκόμαστε διαιρεί τον αριθμό στον οποίο βρισκόμαστε. Αν τον διαιρεί κάνουμε τη διαίρεση, κάτω από τοναριθμό γράφουμε το πηλοίκο, το οποίο είναι ο νέος αριθμός στον οποίο βρισκόμαστε, ενώ δεξιά από τη γραμμήστο ύψος του διαιρεταίου γράφουμε τον διαιρέτη. Αν δεν διαιρείται δε γράφουμε τίποτε και ελέγχουμε τονεπόμενο κατά αύξουσα σειρά πρώτο αριθμό, ο οποίος αποτελεί πλέον τον πρώτο στον οποίον βρισκόμαστε. Ηδιαδικασία συνεχίζεται μέχρι να εμφανιστεί ως πηλοίκο το 1. Ο αρχικός αριθμός ισούται με το γινόμενο τωνπρώτων αριθμών δεξιά της κάθετης γραμμής. Επιπλέον, οι παράγοντες είναι διατεταγμένοι κατά αύξουσασειρά από πάνω προς τα κάτω, οπότε σχετικά εύκολα μπορούμε να τον γράψουμε σε συντμημένη μορφήγινομένου.

Παραγοντοποίηση πολυωνύμωνΗ παραγοντοποίηση πολυωνύμων αφορά τη γραφή ενός πολυωνύμου ως γινόμενο άλλων πολυωνύμων, καισυγκεκριμένα πολυωνύμων με τις μικρότερες δυνατές τάξεις. Αν το αρχικό πολυώνυμο είναι α τάξης και οιπαράγοντες β1,β2,β3...,βν τάξης, τότε ισχύει α=β1+β2+β3+...+βνΟι παραγοντοποιήσεις σχετικά απλών πολυωνύμων γίνονται με τις μαθηματικές ταυτότητες.Οι πιο περίπλοκες μορφές μπορούν να γίνουν με την αριθμητική ανάλυση της συνάρτησης στην οποίααντιστοιχεί το πολυώνυμο. Πιο συγκεκριμένα αν ρ είναι μια ρίζα του πολυωνύμου, τότε το πολυώνυμο (χ-ρ)είναι ένας παράγοντας του. Αν το ρ είναι ρίζα και του πηλοίκου πολυωνύμου, τότε είναι διπλή ρίζα τουπολυωνύμου, ενώ αν είναι και ρίζα και του δεύτερου πηλοίκου, τότε ονομάζεται τριπλή και ούτω κάθε εξής.

ΠηγέςΣχολικά βιβλία μαθηματικών Γυμνασίου, και μαθηματικών της Β' Λυκείου γενικής παιδείας (ακαδημαϊκήςχρονιάς 2007-2008)

Περιοδική συνάρτηση 108

Μία συνάρτηση f(x) πραγματικής μεταβλητής με πεδίο ορισμού το Af λέγεται περιοδική, αν υπάρχειπραγματικός αριθμός Τ τέτοιος, ώστε για κάθε x που ανήκει στο Af ισχύει ότι x-Τ, x+Τ ανήκουν στο Af και ότιf(x+Τ)=f(x-Τ)=f(x). Ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος. Επίσης, λέμε ότι η συνάρτηση επαναλαμβάνεται.

Χαρακτηριστικά της περιοδικής συνάρτησης

Γραφική παράσταση μια ασυνεχούςπεριοδικής συνάρτησης. Σημειώνεται και η

περίοδος.

Λόγω της ιδιότητάς της για τη μελέτη της περιοδικής συνάρτησηςαρκεί να μελετηθεί για τιμές στο διάστημα μιας περιόδου. Τααποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα και για τιςυπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.

Πεδίο ορισμού

Το πεδίο ορισμού της άρτιας συνάρτησης είτε είναι το σύνολο τωνπραγματικών αριθμών, ή είναι μια απειρία ένωσης όμοιων πεδίων.Για παράδειγμα, αν το διάστημα [2,6) ανήκει στο πεδίο ορισμούκαι Τ=5, τότε ανήκει και το διάστημα [7,11) και το διάστημα [-3,1).

Συνέχεια-ΠαραγωγισιμότηταΗ περιοδική συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής ή παραγωγίσιμη. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι, αν ησυνάρτηση έχει την ιδιότητα της συνέχειας ή της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο ή διάστημα, έχει και τηνίδια ιδιότητα στο σημείο ή διάστημα με διαφορά από το προηγούμενο κατά Τ. Επιπλέον, η παράγωγος, ανυπάρχει είναι περιοδική συνάρτηση με την ίδια περίοδο.

ΜονοτονίαΗ μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, επαναλαμβάνεται και αυτή με βάση την περίοδο. Γιαπαράδειγμα, αν μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ=4 είναι γνησίως αύξουσα στο (-2,-1], τότε η ίδιασυνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (2,3] και στο (-6,-5].

Περιοδική συνάρτηση 109

ΑσύμπτωτεςΗ περιοδική συνάρτηση είναι αδύνατον να έχει πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες, γιατί είναι αδύνατον να έχειόριο στο συν ή πλην άπειρο, εκτός αν είναι σταθερή συνάρτηση. Αν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, τότε αυτέςείναι άπειρες και επαναλαμβάνονται κατά την περίοδο της συνάρτησης.

Σύνολο τιμών-ΡίζεςΤο σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το σύνολο τιμών της συνάρτησης σε οποιαδήποτε περίοδο.Κάθε τιμή τη λαμβάνει άπειρες φορές, άρα η περιοδική συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Το σύνολο τωνριζών περιοδικής συνάρτησης είναι άπειρο ή μηδέν.

ΚοιλοκυρτότηταΗ κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, επαναλαμβάνετε κατά την περίοδο. Η δεύτερη παράγωγοςτης συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή περιοδική με την ίδια περίοδο.

ΣυμμετρίεςΗ γραφική παράσταση της περιοδικής συνάρτησης επαναλαμβάνεται ακριβώς η ίδια κατά την περίοδο. Γιααυτό συνήθως σχεδιάζεται μόνο ένα κομμάτι της, αυτό που αντιστοιχεί σε μία περίοδο που περιλαμβάνει τονάξονα y'y.

Αντίστροφη συνάρτησηΜερικές περιοδικές συναρτήσεις είναι ένα προς ένα σε διάστημα μιας περιόδου, άρα ορίζεται αντίστροφημόνο σε ένα διάστημα.

Ανάλυση περιοδικών συναρτήσεωνΟι περιοδικές συναρτήσεις μπορούν να αναλυθούν με δύο τρόπους: την ανάλυση Φουριέ και την ανάλυσησειράς Taylor.

Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίοΜαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος2.10, σελίδα 287 καθώς και στον ορισμό άρτιας συνάρτησης που περιλαμβάνεται σε αυτό

Περιττές συναρτήσεις 111

Μία συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το Af λέγεται περιττή, αν για κάθε x που ανήκει στο Af ισχύει ότι το -xανήκει στο Af και ότι f(-x)=-f(x).

Χαρακτηριστικά της περιττής συνάρτησηςΛόγω της ιδιότητάς της για τη μελέτη της περιττής συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενόςπροσήμου, για παράδειγμα για x μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευούνκατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.

Πεδίο ορισμούΤο πεδίο ορισμού της περιττής συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Για παράδειγμα, αν τοδιάστημα [2,6) ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε ανήκει και το διάστημα (-6,2].

Συνέχεια-ΠαραγωγισιμότηταΗ περιττή συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής ή παραγωγίσιμη. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν ησυνάρτηση έχει την ιδιότητα της συνέχειας ή της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο ή διάστημα έχει και τηνίδια ιδιότητα στο συμμετρικό ως προε τον άξονα y'y σημείο ή διάστημα. Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχειείναι άρτια συνάρτηση.

ΜονοτονίαΗ μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι ίδια σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Γιαπαράδειγμα, αν μια περιττή συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (-2,-1], τότε η ίδια συνάρτηση είναιγνησίως αύξουσα το [1,2).

ΑσύμπτωτεςΟι ασύπμτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο, άρα και παράλληλεςμεταξύ τους.

Σύνολο τιμών-ΡίζεςΤο σύνολο τιμών περιττής συνάρτησης ταυτίζεται με την ένωση του πεδίου των θετικών(συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και του πεδίου των αρνητικών αριθμών(συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Τα δύο επιμέρους σύνολα τιμών είναισυμμετρικά μεταξύ τους ως προς το μηδέν. Σε κάθε περιττή συνάρτηση, αν στο πεδίο ορισμούσυμπεριλαμβάνεται και το μηδέν ισχύει ότι f(0)=0. Το σύνολο των ριζών περιττής συνάρτησης είναι περιττό.

Περιττές συναρτήσεις 112

ΚοιλοκυρτότηταΗ κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του αντίθετου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδένπεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή περιττή.

ΣυμμετρίεςΗ περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική με τον εαυτό της ως προς την αρχή των αξόνων Ο.Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίοΜαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος2.10, σελίδα 287

Πολυώνυμο 114

Μονώνυμο είναι το γινόμενο μιας σταθεράς με μια μεταβλητή υψωμένη σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη. Ησταθερά ονομάζεται σταθερό μέρος ή συντελεστής, ενώ η υψωμένη μεταβλητή μεταβλητό μέρος. Ως μονώνυμο,επίσης, ορίζεται και οποιαδήποτε σταθερά.Πολυώνυμο είναι αλγεβρική παράσταση σταθερών και μιας μεταβλητής που συνδέονται μεταξύ τους μόνο μετις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ενώ η μεταβλητή μπορεί να εμφανίζεται υψωμένη σεδιάφορες φυσικές δυνάμεις. Ουσιαστικά το πολυώνυμο είναι άθροισμα μονωνύμων της ίδιας μεταβλητής.Κάθε δύναμη εμφανίζεται μία φορά στο πολυώνυμο, δηλαδή στην τελική μορφή του αθροίσματος δενεμφανίζονται δύο μονώνυμα με την ίδια δύναμη της μεταβλητής. Οι συντελεστές των μονωνύμων θεωρούνταικαι ως συντελεστές του πολυωνύμου.Συνήθως το πολυώνυμο της μεταβλητής x συμβολίζεται με P(x). Οι συντελεστές συμβολίζονται με ένα γράμμαμε δείκτη συνήθως τη δύναμη της μεταβλητής που συνοδεύει. Ο σταθερός όρος έχει συνήθως δείκτη μηδέν.Έτσι, η γενική μορφή του πολυωνύμου είναι:P(x)=ανxν+αν-1xν-1+...+ακxκ+...+α1x1+α0Σταθερό πολυώνυμο θεωρείται μια οποιαδήποτε σταθερά, ενώ αν η σταθερά είναι μηδέν, τότε το πολυώνυμολέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Το μηδενικό πολυώνυμο συμβολίζεται με 0, το οποίο είναι πάντα έντοναγραμμένο για να διακρίνεται από τον αριθμό μηδέν.Βαθμός του πολυωνύμου ονομάζεται η μέγιστη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή. Σεσταθερό πολυώνυμο ορίζεται ως βαθμός του πολυωνύμου το μηδέν, ενώ σε μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεταιβαθμός. Ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) συμβολίζεται με degP(x).Ορισμένες εξαιρέσεις στους παραπάνω ορισμούς οφείλονται στο γεγονός ότι το 00 δεν ορίζεται, αλλά οιιδιότητες των πολυωνύμων θέλουμε να ισχύουν για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, ακόμα και για τομηδέν. Προσέξτε ότι στη γενική μορφή του πολυωνύμου ο τελευταίος όρος δεν είναι α0x0, αλλά α0.

Πράξεις με πολυώνυμαΣτα πολυώνυμα (με κοινή μεταβλητή) διακρίνουμε τις πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός, των οποίωντο αποτέλεσμα είναι επίσης πολυώνυμο. Η αφαίρεση μπορεί να οριστεί μέσω της πρόσθεσης. Η διαίρεσηπολυωνύμων είναι και αυτή σημαντική, αλλά είναι ευκλείδια, ώστε το αποτέλεσμα να είναι πάλι πολυώνυμα.

ΠρόσθεσηΟ κάθε συντελεστής του νέου πολυωνύμου είναι το άθροισμα των συντελεστών των αντίστοιχων δυνάμεων τηςμεταβλητής. Αν η αντίστοιχη δύναμη σε ένα πολυώνυμο δεν υπάρχει ο συντελεστής μπορεί να θεωρηθεί ωςμηδέν. Παράδειγμα:

Πολυώνυμο 115

(2x3 -3x2) + (3x2 +4x) = (2x3 -3x2 +0x) + (0x3 +3x2 +4x) = (2x3 + 0x3) + (-3x2 +3x2) + (0x +4x) = 2x3 +0x2 +4x =2x3 +4x

Αν ένας συντελεστής του αποτελέσματος είναι μηδέν τότε η αντίστοιχη δύναμη δεν αναγράφεται στοάθροισμα. Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι ίσος με το βαθμό του πολυωνύμου με τομεγαλύτερο βαθμό. Αν οι βαθμοί είναι ίσοι τότε ο βαθμός του αποτελέσματος μπορεί να είναι ίσος ήμικρότερος ή να μην ορίζεται. Η αφαίρεση μπορεί να γίνει με την πρόσθεση του πολυωνύμου με αντίθετουςσυντελεστές.

ΠολλαπλασιασμόςΟι πράξεις για την εύρεση του αποτελέσματος εκτελούνται σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, ενώ οι νέεςδυνάμεις βρίσκονται με βάση τον ορισμό της δύναμης. Ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναισίγουρα ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων. Αν ένας βαθμός από τους δύο δεν ορίζεται, τότεδεν ορίζεται ούτε ο βαθμός του αποτελέσματος, γιατί είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ΔιαίρεσηΣτη διαίρεση των πολυωνύμων Q(x) διά P(x) το πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο άλλων πολυωνύμων q(x) καιυ(x), ώστε Q(x)=P(x)q(x)+υ(x), με degυ(x)<degP(x). Αποδεικνύεται ότι τα δύο αυτά πολυώνυμα είναι μοναδικάσε κάθε διαίρεση. Το πολυώνυμο q(x) ονομάζεται πηλίκο, ενώ το πολυώνυμο υ(x) ονομάζεται υπόλοιπο. Ανυ(x)=0, τότε το πολυώνυμο P(x) ονομάζεται παράγοντας του Q(x) και η διαίρεση τέλεια. Ισχύει ότιdegq(x)=degQ(x)-degP(x), αν ορίζονται βαθμοί στα δύο αρχικά πολυώνυμα.

Ταύτιση δύο πολυωνύμωνΔύο πολυώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους αν και μόνο αν είναι του ίδιου βαθμού και κάθε συντελεστής του ενόςπολυωνύμου που αντιστοιχεί στη δύναμη α ισούται με το συντελεστή του άλλου πολυωνύμου που αντιστοιχείεπίσης στη δύναμη α. Συμβολικά ισχύει:

Πολυωνυμική συνάρτησηΜια συνάρτηση ονομάζεται πολυώνυμο ή πολυωνυμική συνάρτηση, αν υπάρχει πεπερασμένηακολουθία τέτοια ώστε να ισχύει:

,

Η ταυτότητα ονομάζεται αναπαράσταση του πολυωνύμου p και τα

συντελεστές του πολυωνύμου. Η αναπαράσταση ενός πολυωνύμου είναι μοναδική.

Πολυώνυμο 116

Ανάπτυγμα σειράς TaylorΈστω μία πραγματική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής ορισμένη στους πραγματικούς αριθμούς η οποίαείναι παραγωγίσιμη και κάθε παράγωγός της είναι παραγωγίσιμη. Αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο x0 τουπεδίου ορισμού της ισχύει [1] :

Όπου fν(x0) η νιοστή παράγωγος της f στο x0.Δηλαδή κάθε τέτοια συνάρτηση είναι πολυώνυμο άπειρων όρων. Επειδή ορίζονται δυνάμεις με μιγαδικέςβάσεις το ανάπτυγμα της σειράς Taylor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επέκταση των συναρτήσεων στουςμιγαδικούς αριθμούς. Με βάση τη σειρά Taylor μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγίσεις της συνάρτησης,ειδικά αν η τελευταία είναι περίπλοκη. Συνήθως στους υπολογιστές ή τη μηχανική και τη φυσική, ανάλογα μετην επιθυμητή ακρίβεια, αποφασίζουμε τους μ πρώτους όρους της σειράς, ώστε να μπορούμε να υπολογίζουμεμε πιο εύχρηστο τύπο προσεγγίσεις μιας συνάρτησης. Αν λαμβάνουμε υπόψιν μόνο τους δύο πρώτους όρους,τότε η διαδικασία ονομάζεται γραμμικοποίηση.Η ακρίβεια της προσέγγισης της σειράς εξαρτάται από την επιλογή του σημείου x0 και των μ πρώτων όρωνπου θα επιλέξουμε. Όσο πιο κοντά στο x0 και με όσους περισσότερους όρους υπολογίζουμε την προσέγγιση,τόσο καλύτερη είναι.Προφανώς, η ανάπτυξη της σειράς Taylor, αν η f είναι πολυωνυμική, είναι η ίδια η f.

Πηγές[1] Σειρά Taylor από το mathworld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ TaylorSeries. html)

Βιβλιογραφία• Αλέξανδρος Π. Τραγανίτης, Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου, Α΄ Τεύχος, εκδ. Σαβάλλας• Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου, εκδόσεις ΟΕΔΒ 2007, ISBN 960-06-0357-X

Πραγματικός αριθμός 117

Πραγματικός αριθμόςΣτα μαθηματικά, οι πραγματικοί αριθμοί γίνονται αντιληπτοί διαισθητικά ως το σύνολο όλων των αριθμώνπου είναι σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα σημεία μιας άπειρης ευθείας, που καλείται ευθεία τωνπραγματικών αριθμών ή πραγματικός άξονας. Ο όρος "πραγματικός αριθμός" πλάστηκε εκ των υστέρων σεαντιδιαστολή προς τους "φανταστικούς αριθμούς", των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίνει τουςμιγαδικούς. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της πραγματικής ανάλυσης. Σεαυστηρή μαθηματική γλώσσα, ο πραγματικός αριθμός ορίζεται ως εξής:

Άν για τον αριθμό L ισχύει , όπου an μια ρητή προσέγγιση του L με n δεκαδικά ψηφία, τότε ο Lείναι πραγματικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι πραγματικός είναι ο αριθμός του οποίου μπορούμε ναγράψουμε μια δεκαδική προσέγγιση, όπως στον αριθμό π~3,14.Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε ρητούς αριθμούς (που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα μεακέραιο αριθμητή και παρονομαστή) και σε άρρητους αριθμούς (που δεν μπορούν να εκφραστούν επακριβώςως κλάσματα). Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα συνεχές.Κάθε "φυσικό μέγεθος" που μπορεί να μετρηθεί εκφράζεται συνήθως με έναν πραγματικό αριθμό. Το σύνολοτων πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με .

Αξιωματική Θεμελίωση των Πραγματικών ΑριθμώνΟνομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο το οποίο ικανοποιά τα παρακάτω τρίααξιώματα:• Το σύνολο αποτελεί σώμα. Αναλυτικά:

• Για όλα τα x, y, και z στο , ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and x(yz) = (xy)z.• Για όλα τα x και y στο , x + y = y + x και xy = yx.• Για όλα τα x, y, και z στο , ισχύει x(y + z) = (xy) + (xz).• Για όλα τα x στο , υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 = x = 0 + x και ένα στοιχείο 1 0, τέτοιο

ώστε x1 = x = 1x.• Για όλα τα x στο , υπάρχει ένα στοιχείο −x στο R, τέτοιο ώστε x + (−x) = 0 = (-x) + x.• Για όλα τα x ≠ 0 στο , υπάρχει ένα στοιχείο x−1 στο R, τέτοιο ώστε xx −1 = 1 = x −1 x.

• Το σώμα είναι διατεταγμένο. Αναλυτικά για x, y, και z στο • ισχύει ακριβώς μια από τις: x<y, x=y, x>y (τριχοτομία)• αν x<y τότε x+z<y+z ** αν x>0 και y>0 τότε xy>0.

• Το διατεταγμένο σώμα είναι πλήρες: Κάθε μη κένό άνω φραγμένο υποσύνολό του έχει ένα ελάχιστο άνωφράγμα (suprimum).

Ισοδύναμα μπορούμε να ορίσουμε την πληρότητα με τον ορισμό στους μετρικούς χώρους, δηλαδή κάθεακολουθία Κωσύ συγλίνει.

Αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα που ικανοποιούν τα παραπάνω τρία αξιώματα είναι ισομορφικά, κάτι πουμας επιτρέπει να λέμε ότι υπάρχει μόνο ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών.Το σύνολο των ρητών αν και είναι διατεταγμένο σώμα δεν ικανοποιεί την Αρχή της πληρότητας ενώ τασύνολα των φυσικών και ακεραίων δεν αποτελούν σώματα.

Πραγματικός αριθμός 118

ΚατασκευήΓια την κατασκευή των πραγματικών αριθμών χρησιμοποιούμε ως αφετερία το σύνολο των ρητών αριθμών

. Ζητούμε ένα σύνολο που είναι διατεταγμένο σώμα όπως το και επιπλέον ικανοποιεί το αξίωμα τηςπληρότητας. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους.• Τομές Dedekind:Οι τομές Dedekind είναι άνω φραγμένα ανοιχτά υποσύνολα του . Για κάθε ρητό αριθμό θεωρουμετην τομή Dedekind . To κατασκευάζεται από το σύνολο των τομών Dedekind.• Ακολουθίες Κωσύ

Θεωρούμε τις ακολουθίες Κωσύ στον και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας: Δύο ακολουθίεςΚωσύ (αν) και (βν) είναι ισοδύναμες ανν η διαφορά τους τείνει στο μηδέν, δηλαδή ανν για κάθε ρητό ε>0υπάρχει φυσικός Ν, τέτοιος ώστε |αν - βν|<ε για κάθε ν>Ν. To κατασκευάζεται από το σύνολο των κλάσεωνισοδυναμίας.

Η ευθεία των πραγματικών αριθμώνΤο σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί σε μια ευθεία, της οποίας κάθε σημείοαντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό. Στην ευθεία αυτή, τα σημεία είναι διατεταγμένα έτσι ώστεκινούμενοι από αριστερά προς τα δεξιά η τιμή των πραγματικών αριθμών να αυξάνεται. Έτσι, επιλέγονταςένα σημείο x, κάθε σημείο αριστερά από αυτό αντιστοιχεί σε πραγματικό αριθμό μικρότερο από αυτόν πουαντιστοιχεί στο x, ενώ κάθε σημείο δεξιά απ'αυτό αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό. Αν x=0, τότεαριστερά βρίσκονται όλα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, ενώ δεξιάβρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στους θετικούς.

Το σύνολο είναι ολικά διατεταγμένο, δηλαδή αν επιλέξουμε δύο αριθμούς , τότε θα ισχύει μίααπό τις τρεις παρακάτω σχέσεις:

.Στον πραγματικό άξονα, αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε δύο σημεία α και β πάνω του, τότε ή το α είναιαριστερά του β ή το α θα συμπέσει με το β ή το α θα είναι δεξιά του β. Η πρόταση αυτή ακούγεται προφανής.Η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν διακόπτεται και πουθενάδεν έχει κενά. Αντίστοιχα, το σύνολο των πραγματικών αριθμώνείναι τόσο πυκνό που πάντα μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών,όσο μικρή απόσταση κι αν έχουν μεταξύ τους, θα υπάρχειτουλάχιστον ακόμη ένας.

ΠληθάριθμοςΤο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο. Σε αντίθεση δηλαδή με τους φυσικούς αριθμούςδεν μπορούμε να απαριθμίσουμε όλους τους πραγματικούς. Ο πληθάριθμος του συμβολίζεται με τονπληθάριθμο του συνεχούς . Σύμφωνα με την υπόθεση του συνεχούς του Καντόρ, ότι δεν υπάρχει σύνολο μεπληθάριθμο μεταξύ αυτου των φυσικών και αυτού των πραγματικών αριθμών, ο πληθάριθμος του συνεχούςείναι ίσος με (άλεφ-ένα).

Πραγματικός αριθμός 119

Τοπολογικές ιδιότητεςΤο σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την ευκλείδεια μετρική αποτελούν μετρικό χώρο. Η συνήθηςτοπολογία προκύπτει από ανοιχτα διαστήματα της μορφής .O δεν είναι συμπαγής μετρικός χώρος. Υπάρχει ανοιχτή κάλυψη του για την οποία δεν υπάρχειπεπερασμένη ανοιχτή υπο-κάλυψη. Π.χ. θεωρούμε τα σύνολα . Η ένωσή τους

είναι μια κάλυψη του . Δεν υπάρχει όμως πεπερασμένος αριθμός των που μπορούν νακαλυψουν τον . Ο είναι όμως τοπικά συμπαγής, για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει περιοχή του, τηςοποίας η κλειστή θήκη είναι συμπαγής.O είναι συναφής χώρος, αφού δε μπορεί να διαιρεθεί σε δυο ανοιχτά ξένα μεταξύ τους σύνολα.

Πυθαγόρεια τριάδα

Το πυθαγόρειο θεώρημα: a2 + b2 = c2

Μια πυθαγόρεια τριάδα αποτελείται από τρειςθετικούς ακέραιους αριθμούς α, β, και γ, τέτοιοιώστε να ισχύει η σχέση α2 + β2 = γ2, ευρέως γνωστήως πυθαγόρειο θεώρημα. Μια τέτοια τριάδασυνήθως γράφεται (α, β, γ), και ένα χαρακτηριστικόπαράδειγμα αποτελούν οι αριθμοί (3, 4, 5) εφόσονισχύει . Εάν (α, β, γ) είναιπυθαγόρεια τριάδα, τότε ομοίως θα είναι και η (κα,κβ, κγ) για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο κ.

Ρητή συνάρτηση 121

Η ρητή συνάρτηση είναι μία κλασματική συνάρτηση με πολυωνυμικούς όρους. Ανήκει στις αλγεβρικέςσυναρτήσεις. Περιγράφεται από τον γενικό τύπο:

ή

Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό, εκτός από τους αριθμούς που μηδενίζουν τοπολυώνυμο του παρονομαστή.

Γραφική παράσταση της ρητής συνάρτησης :

Παραγώγιση ρητής συνάρτησης

Εφόσον οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι παραγωγίσιμεςως πολυωνυμικές προκύπτει ότι και η συνάρτηση f(x)/g(x)είναι παραγωγίσιμη και η παράγωγός της ισούται με:

Ρητή συνάρτηση 122

Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησηςΗ ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης δίνει ως αποτέλεσμα συνήθως κάποια υπερβατική συνάρτηση. Υπάρχουνπολλές μέθοδοι ολοκλήρωσης ρητής συνάρτησης ανάλογα με την περίπτωση. Στις περισσότερες περιπτώσεις ησυνάρτηση γράφεται ως άθροισμα απλούστερων κλασμάτων της μορφής:

ή

Τα οποία έχουν γνωστά ολοκληρώματα:

Πηγές• Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, Σύγχρονη εκδοτική, τόμος Β΄• Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ΄λυκείου - ΟΕΔΒ

σ-άλγεβρασ-άλγεβρα (σίγμα άλγεβρα) είναι μια άλγεβρα συνόλων (σύνολο από σύνολα στο οποίο μπορούμε να κάνουμεπράξεις μεταξύ των συνόλων) που είναι κλειστή ως προς τη συμπλήρωση και τις αριθμήσιμες ενώσεις τωνμελών της.Η σ-άλγεβρα είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο στα στοχαστικά μαθηματικά, κυρίως διότι αριθμήσιμες (το πολύ) τοπλήθος συνολοθεωρητικές πράξεις μεταξύ συνόλων που ανήκουν στην ίδια σ-άλγεβρα δίνουν σύνολα πουανήκουν και αυτά στην ίδια σ-άλγεβρα. Οι σ-άλγεβρες είναι η βάση για τον ορισμό του χώρου των μαζών καιτων πιθανοτήτων.Οι σ-άλγεβρες είναι αναγκαίες για την κατασκευή του μέτρου και του ολοκληρώματος κατά Λεμπέγκ.

Τεχνικός ΟρισμόςΈστω Ω ενα σύνολο. Τότε η σ-άλγεβρα είναι μια μη άδεια συλλογή υποσυνόλων του Ω έτσι ώστε:1) Το Ω ανήκει στο 2) Αν το σύνολο Α ανήκει στο , τότε, και το συμπληρωματικό του Α ανήκει στο 3) Αν έχουμε μια ακολουθία συνόλων { , όπου n=1,2,...} στο τότε η ένωση των ανηκει επισης στο

.Από τον ορισμό προκύπτει ότι σε κάθε σ-άλγεβρα ανήκει το Ω και το κενό σύνολο. Επίσης καθε σ-άλγεβραείναι ένα σύστημα Ντύνκιν.

σ-άλγεβρα 123

Παραδειγματα• Στη θεωρία πιθανοτήτων, αν Ω είναι το σύνολο όλων των πιθανών ενδεχομένων, σ-άλγεβρα κάθε

συλλογή από υποσύνολα του Ω που ικανοποιεί τα τρία αξιώματα που δόθηκαν παραπάνω.• Για κάθε σύνολο το είναι η μικρότερη και το δυναμοσύνολο η μεγαλύτερη σ-αλγεβρα.• Η σ-άλγεβρα των υποσυνόλων κατά Μπορέλ των πραγματικών αριθμών περιέχει, μεταξύ άλλων[1] , και όλα

τα διαστήματα.

Παραγόμενη σ-άλγεβραΜια σ-άλγεβρα F είναι παραγόμενη από μια κλάση C όταν είναι η μικρότερη σ-άλγεβρα που την περιέχει.Συγκεκριμένα ορίζεται ως η τομή όλων των σ-αλγεβρών που περιέχουν την C.

σ-άλγεβρα Borelσ-άλγεβρα Borel είναι μια σ-άλγεβρα η οποία είναι παραγόμενη από συλλογή τοπολογικών διαστημάτων.Τυπικός ορισμός: σ-άλγεβρα Borel ή αλλιώς Μπορελιανή άλγεβρα είναι η παραγόμενη σ-άλγεβρα από τηνκλάση Pn όπου Pn={(a1,b1]x...x(an,bn]: ai<bi για κάθε i=1,2,...,n}U{κενό σύνολο}.Η μπορελιανή άλγεβρα χωράει τεράστιο αριθμό υποσυνόλων του γι' αυτό και μας είναι εξαιρετικάχρήσιμη.

Σημειώσεις - Παραπομπές[1] Για παράδειγμα, για κάθε ένα διάστημα (a,b) που περιέχει πρέπει αναγκαστικά να περιέχει και το συμπλήρωμα του.

Σάλπιγγα του ΓαβριήλΗ Σάλπιγγα του Γαβριήλ (που επίσης λέγεται και τρομπέτα του Τοριτσέλι) είναι ένα σχήμα που επινοήθηκεαπό τον Εβαντζελίστα Τοριτσέλι και το οποίο έχει άπειρο εμβαδό, αλλά πεπερασμένο όγκο. Η ονομασία τουαναφέρεται στη θρησκευτική παράδοση που θέλει τον Αρχάγγελο Γαβριήλ να φυσά τη σάλπιγγα πουαναγγέλλει τη Ημέρα της Κρίσης, συνδέοντας έτσι το άπειρο με το θείο.

Σχήμα μέρους της «Σάλπιγγας του Γαβριήλ»

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ σχηματίζεται αν πάρουμε τη γραφική παράσταση του , στο διάστημα

(αποφεύγοντας έτσι την απροσδιοριστία στο σημείο x=0) και περιστρέφοντάς την σε τρεις διαστάσεις γύρω από τον άξονα των x. Η ανακάλυψη έγινε χρησιμοποιώντας την αρχή του Καβαλιέρι και πριν την ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης, όμως σήμερα η μαθηματική ανάλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί ο όγκος και το εμβαδό της Σάλπιγγας στο διάστημα από x = 1 μέχρι x = a, όπου a > 1. Χρησιμοποιώντας ολοκληρωτικό λογισμό (δείτε τα Στερεό εκ περιστροφής και Επιφάνεια εκ περιστροφής για

Σάλπιγγα του Γαβριήλ 124

λεπτομέρειες), είναι δυνατό να υπολογιστεί ο όγκος και το εμβαδό :

Το μπορεί να γίνει όσο μεγάλο χρειάζεται, αλλά από την εξίσωση φαίνεται ότι ο όγκος του τμήματος τηςΣάλπιγγας μεταξύ και ποτέ δεν θα ξεπεράσει το - όμως, θα πλησιάζει ολοένα το καθώςτο γίνεται μεγαλύτερο. Ή αλλιώς, με τη μαθηματική ορολογία, λέμε ότι ο όγκος «τείνει στο όταν το τείνει στο άπειρο», που σημαίνει ότι ο όγκος της Σάλπιγγας ισούται με για μεγάλα . Το παραπάνω μπορείνα γραφεί σε μορφή ορίου:

Όσο για το εμβαδό, τα παραπάνω δείχνουν ότι αυτό είναι μεγαλύτερο από φορές το φυσικό λογάριθμο του. Δεν υπάρχει άνω όριο για το φυσικό λογάριθμο του καθώς αυτό τείνει στο άπειρο. Αυτό σημαίνει, στην

περίπτωση που εξετάζουμε, ότι η Σάλπιγγα έχει άπειρη επιφάνεια. Γράφοντας πάλι αυτή τη διαπίστωση σανόριο:

Την εποχή που ανακαλύφθηκαν τα παραπάνω, θεωρήθηκαν παραδοξολογίες - καθώς με την περιστροφή μιαςάπειρης επιφάνειας γύρω από τον άξονα των x δημιουργείται ένας πεπερασμένος όγκος. Αυτό, μεανεπίσημους όρους, έχει περιγραφεί ως το ισοδύναμο μιας κατάστασης όπου θα χρειαζόταν άπειρη ποσότηταμπογιάς για να βαφεί η εσωτερική επιφάνεια, θα αρκούσε ωστόσο το να γεμίσουμε τον εσωτερικό όγκο μεπεπερασμένη ποσότητα μπογιάς έτσι ώστε να καλυφθεί και η εσωτερική επιφάνεια.Το παράδοξο λύνεται αν σκεφτούμε ότι ο ισχυρισμός πως μια άπειρη επιφάνεια απαιτεί άπειρη ποσότηταμπογιάς προϋποθέτει ότι η μπογιά έχει σταθερή πυκνότητα. Αυτό όμως θεωρητικά δεν συμβαίνει στοεσωτερικό της Σάλπιγγας, και στην πράξη το μεγαλύτερο μέρος της θα ήταν μη προσβάσιμο από τη μπογιά,καθώς η διάμετρός της θα ήταν μικρότερη από τη διάμετρο ενός μορίου μπογιάς. Ακόμα όμως κι ανθεωρήσουμε τη μπογιά χωρίς πυκνότητα, και τα μόριά της χωρίς διαστάσεις, θα απαιτούνταν άπειρα μεγάλοςχρόνος ώστε η μπογιά να φτάσει μέχρι την «άκρη» της Σάλπιγγας.Άλλος ένας τρόπος να περιγραφεί το παραπάνω παράδοξο είναι να διαπιστώσουμε ότι κάποιος θα μπορούσενα γεμίσει το εσωτερικό της Σάλπιγγας με μπογιά, ποτέ όμως δεν θα έχει αρκετή ώστε να βάψει το εξωτερικότης.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι• Πληροφορίες και διαγράμματα [1] για τη Σάλπιγγα του Γαβριήλ.

Στο άρθρο αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το Horn άρθρο Gabriel's Horn [2] της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεταιυπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0 [2]. (Horn ιστορικό/συντάκτες [2]).

Παραπομπές[1] http:/ / curvebank. calstatela. edu/ torricelli/ torricelli. htm[2] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Gabriel's

Σειρά 125

ΣειράΣτα μαθηματικά ονομάζουμε σειρά το άθροισμα των όρων μιας ακολουθίας. Συνήθως με τον όρο σειράεννοούμε άπειρη σειρά, δηλαδή το άθροισμα μιας ακολουθίας με άπειρο πλήθος όρων.

Για την ακρίβεια, σειρά ονομάζεται η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων

Η σειρά, δηλαδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων, διαφέρει από το άθροισμα της σειράς, δηλαδή το όριο τηςακολουθίας μερικών αθροισμάτων, το οποίο σημειώνεται με

εφόσον το όριο αυτό υπάρχει, δηλαδή εφόσον η σειρά συγκλίνει.

ΟρισμόςΟνομάζουμε σειρά κάθε άπειρο άθροισμα της μορφής:

Αν είναι μια πραγματική ακολουθία, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καινούργια ακολουθίαως εξής:

Η ακολουθία ονομάζεται σειρά της και συμβολίζεται με ή με .

Ο όρος ονομάζεται n-οστός προσθετέος της σειράς και ο όρος ονομάζεται n-οστό

μερικό άθροισμα της σειράς.

Σύγκλιση ΣειράςΑν η ακολουθία έχει όριο κάποιον πραγματικό αριθμό τότε γράφουμε:

και λέμε ότι η σειρά έχει άθροισμα . Αν τότε λέμε ότι η σειρά συγκλίνει στο ενώ αν ήτότε λέμε ότι αποκλίνει στο ή αντίστοιχα. Αν η ακολουθία δεν έχει όριο τότε

λέμε απλώς ότι η σειρά αποκλίνει.

Αποδεικνύεται ότι αν μια σειρά συγκλίνει τότε η ακολουθία συγκλίνει στο μηδέν.

Σειρά 126

Απόλυτη Σύγκλιση και Σύγκλιση υπό ΣυνθήκηΜια σειρά

λέμε ότι συγκλίνει απολύτως αν η σειρά:

συγκλίνει. Λέμε ότι συγκλίνει υπό συνθήκη αν συγκλίνει αλλά δεν συγκλίνει απολύτως.

Κριτήριο Σύγκλισης Cauchy

Μια σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της είναι Cauchy δηλ. για

κάθε υπάρχει ώστε:αν , τότε , δηλ. .

Σειρά Taylor

Καθώς ο βαθμός του πολυωνύμου Taylor αυξάνεται, προσεγγίζει την σωστήσυνάρτηση. Η εικόνα δείχνει την συνάρτηση (σε μαύρο) και τις

προσεγγίσεις Taylor, πολυώνυμα βαθμού1, 3, 5, 7, 9, 11 και 13.

Στα μαθηματικά, σειρά Taylor είναι ηαναπαράσταση μίας συνάρτησης ωςάθροισμα απείρων όρων οι οποίοιυπολογίζονται από τις τιμές τωνπαραγώγων της σε ένα συγκεκριμένοσημείο.

Οι σειρές Taylor είσήχθησαν από τονάγγλο μαθηματικό Μπρουκ Τέιλορ (BrookTaylor) το 1715. Αν η σειρά έχει κέντρο τομηδέν, τότε καλείται επίσης σειράMaclaurin, από τον Σκοτσέζο μαθηματικόΚόλιν Μακλόριν ο οποίος έκανεεκτεταμένη χρήση αυτής της ειδικήςπερίπτωσης των σειρών Taylor τον 18οαιώνα.

Είναι κοινή πρακτική να γίνεται χρήσηπεπερασμένου αριθμού όρων μιας σειράςγια την προσέγγιση μιας συνάρτησης. Τοθεώρημα Taylor δίνει ποσοτικέςεκτιμήσεις για το σφάλμα τηςπροσέγγισης. Οποιοσδήποτεπεπερασμένος αριθμός αρχικών όρων της σειράς καλείται πολυώνυμο Taylor. Η σειρά Taylor μίας συνάρτησηςείναι το

Σειρά Taylor 127

Η εκθετική συνάρτηση (μπλε), και το άθροισματων πρώτων n+1 όρων της οικείας σειράς

Taylor στο 0 (κόκκινο).

όριο του πολυωνύμου Taylor αυτής της συνάρτησης, υπό τηνπροϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. Μία συνάρτηση ενδέχεται να μηνισούται με την οικεία σειρά Taylor, ακόμα και αν η σειρά Taylorσυγκλίνει σε κάθε σημείο. Μία συνάρτηση η οποία είναι ίση με τηνοικεία σειρά Taylor σε ένα ανοιχτό διάστημα (ή δίσκο στο μιγαδικόεπίπεδο) είναι γνωστή ως αναλυτική συνάρτηση.

Ορισμός

Η σειρά Taylor μίας πραγματικής ή μιγαδικής συνάρτησης ƒ(x) ηοποία είναι απείρως παραγωγίσιμη σε μία γειτονιά ενόςπραγματικού ή μιγαδικού αριθμού α είναι η δυναμοσειρά

η οποία μπορεί να γραφτεί και

όπου n! υποδηλώνει το παραγοντικό του n και ƒ (n)(a) την τιμή της n-οστής παραγώγου της ƒ στο σημείο α. Η0οστή παράγωγος της ƒ ορίζεται να είναι η ίδια η ƒ και τα (x − α)0 και 0! είναι επίσης εξ ορισμού 1. Στηνπερίπτωση που α = 0, η σειρά αποκαλείται και σειρά Maclaurin.

ΠαραδείγματαΗ σειρά Maclaurin οποιουδήποτε πολυωνύμου είναι το ίδιο το πολυώνυμο.Η σειρά Maclaurin του (1 − x)−1 για |x| < 1 είναι η γεωμετρική σειρά

έτσι η σειρά Taylor για x−1 στο α = 1 είναι

Ολοκληρώνωντας την παραπάνω σειρά Maclaurin βρίσκεται η σειρά Maclaurin του log(1 − x), όπου logυποδηλώνει τον φυσικό λογάριθμο:

και η αντίστοιχη σειρά Taylor για το log(x) στο α = 1 είναι

Η σειρά Taylor της εκθετική συνάρτησης ex στο α = 0 είναι

Η παραπάνω σχέση προκύπτει έτσι επειδή η παράγωγος της ex ως προς το x είναι επίσης ex ενώ e0 ισούταιμε 1. Έτσι μένουν οι όροι (x − 0)n στον αριθμητή και στον παρονομαστή n! για κάθε όρο της άπειρης σειράς.

Σειρά Taylor 128

ΙστορίαΟ Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ασχολήθηκε με το πρόβλημα της άθροισης άπειρης σειράς προσπαθώντας ναεπιτύχει πεπερασμένο αποτέλεσμα, αλλά το απέρριψε θεωρώντας το απίθανο. Το αποτέλεσμα ήταν τοπαράδοξο του Ζήνωνα. Αργότερα ο Αριστοτέλης έθεσε μία φιλοσοφική επίλυση του παραδόξου, ωστόσο τομαθηματικό περιεχόμενο του προβλήματος παρέμενε άλυτο έως ότου ασχολήθηκαν με αυτό ο Δημόκριτος καιέπειτα ο Αρχιμήδης. Με την μέθοδο της εξάντλησης του Αρχιμήδη ήταν δυνατό να διαχειριστούν διαδοχικέςυποδιαιρέσεις ώστε να επιτευχθεί πεπερασμένο αποτέλεσμα.[1] Ο Λιου Χούι ανεξάρτητα χρησιμοποίησεπαρόμοια μέθοδο λίγους αιώνες αργότερα.[2]

Τον 14ο αιώνα, τα νωρίτερα παραδείγματα της χρήσης σειρών Taylor και στενά συγγενικών μεθόδων δίνονταιαπό τον Μαντάβα του Σανγκαμαγκράμα.[3] Αν και δεν σώζεται καταγραφή του έργου του, γραπτάμεταγενέστερων ινδών μαθηματικών υποδεικνύουν ότι είχε βρει κάποιες ειδικές περιπτώσεις σειρών Taylor,όπως αυτές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και τουτόξου εφαπτομένης. Η σχολή μαθηματικών και αστρονομίας της Κεράλα επέκτεινε περαιτέρω το έργο τουμέχρι τον 16ο αιώνα.Τον 17ο αιώνα, ο Τζέιμς Γκρέγκορι δημοσίευσε αρκετές σειρές Maclaurin. Το 1715 εν τέλει δώθηκε η γενικήμέθοδος κατασκευής αυτών των σειρών για όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχουν από τον ΜπρουκΤέιλορ,[4] του οποίου πήραν το όνομα.Η σεριά Maclaurin πήρε το όνομά της από τον Κόλιν Μακλόριν, καθηγητή στο Εδιμβούργο, ο οποίοςδημοσίευσε την ειδική περίπτωση των σειρων Taylor τον 18ο αιώνα.

Αναλυτικές συναρτήσεις

Η συνάρτηση e−1/x² δεν είναι αναλυτική στο x = 0: ησειρά Taylor είναι 0, ενώ η συνάρτηση όχι.

Αν η f(x) δίνεται από μία συγκλίνουσα δυναμοσειρά σε έναανοικτό δίσκο (ή διάστημα στους πραγματικούς) με κέντρο τοb, ονομάζεται αναλυτική στον δίσκο. Έτσι για x εντός τουδίσκου, η f δίνεται από μία συγκλίνουσα δυναμοσειρά

Παραγωγίζοντας ως προς x την παραπάνω n φορές, και θέτωντας x=b προκύπτει:

έτσι το ανάπτυγμα της δυναμοσειράς συμφωνεί με την σειρά Taylor. Έτσι η συνάρτηση είναι αναλυτή σε έναανοιχτό δίσκο με κέντρο το b αν και μόνον αν η σειρά Taylor της συγκλίνει στην τιμή της συνάρτησης σε κάθεσημείο του δίσκου.

Σειρά Taylor 129

Αν η f(x) ισούται με την οικεία σειρά Taylor παντού τότε καλείται ακέραια αναλυτική συνάρτηση. Ταπολυώνυμα, η εκθετική συνάρτηση ex και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναιπαραδείγματα ακεραίων συναρτήσεων. Παραδείγματα συναρτήσεων που δεν είναι ακέραιες περιλαμβάνουντον λογάριθμο, την τριγωνομετρική συνάρτηση της εφαπτομένης και την αντίστροφή της, το τόξοεφαπτομένης. Για αυτές τις συναρτήσεις η σειρά Taylor δεν συγκλίνει αν το x απέχει από το α. Οι σειρά Taylorμπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της τιμής μίας ακέραιας συνάρτησης σε κάθε σημείο, αν η τιμήτης συνάρτησης, και όλων των παραγώγων της είναι γνωστές σε ένα σημείο.

Προσέγγιση και σύγκλιση

Η συνάρτηση του ημιτόνου (μπλε) προσεγίζεται από το 7βάθμιο πολυώνυμοTaylor για μία περίοδο με κέντρο την αρχή των αξόνων.

Στα δεξιά εικονίζεται μια ακριβήςπροσέγγιση της συνάρτησης ημx γύρωαπό το σημείο x = 0. Η ροζ καμπύλη είναιπολυώνυμο 7ου βαθμού:

Σειρά Taylor 130

Τα πολυώνυμα Taylor για το log(1+x) παρέχουν ακριβείς προσεγγίσεις μόνοστο εύρος−1 < x ≤ 1. Σημειωτέον ότι για x > 1, τα πολυώνυμα Taylor

μεγαλύτερου βαθμού αποτελούν χειρότερες προσεγγίσεις.

Το σφάλμα της προσέγγισης δεν είναι πάνω από |x|9/9!. Συγκεκριμένα για −1 < x < 1, το σφάλμα είναιμικρότερο από 0.000003.Για αντίθεση, επιδεικνύεται επίσης μία αναπαράσταση της συνάρτησης του φυσικού λογαρίθμου log(1 + x) καικάποιων από τα πολυώνυμα Taylor γύρω από το α = 0. Αυτές οι προσεγγίσεις συγκλίνουν στη συνάρτηση μόνοστην περιοχή −1 < x ≤ 1; έξω από αυτή την περιοχή τα ανωτέρου βαθμού πολυώνυμα αποτελούν χειρότερεςπροσεγγίσεις της συνάρτησης. Αυτό είναι παρόμοιο με το φαινόμενο του Runge.Το σφάλμα που προκύπτει από την προσέγγιση της συνάρτησης με το n-οστού βαθμού πολυώνυμο ονομάζεταιυπόλοιπο και αποδίδεται από την συνάρτηση Rn(x). Το θεώρημα Taylor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τηνεύρεση του φράγματος του υπολοίπου.Εν γένει, η σειρά Taylor δεν είναι συγκλίνουσα. Στην πραγματικότητα το σύνολο των συναρτήσεων μεσυγκλίνουσα σειρά Taylor είναι υποσύνολο του χώρου Frechet των λείων συναρτήσεων. Ακόμα και αν η σειράTaylor μιας συνάρτησης f είναι συγκλίνουσα, το όριο της δεν είναι εν γένει ίσο με την τιμή της συνάρτησης f(x).Για παράδειγμα η συνάρτηση

είναι απείρως παραγωγίσιμη στο x = 0 και όλες οι παράγωγοι είναι μηδέν στο σημείο. Συνεπώς η σειρά Taylorτης f(x) γύρω από το x = 0 είναι ταυτόσημη με το μηδέν. Ωστόσο η f(x) δεν είναι ίση με την μηδενική συνάρτησηκαι συνεπώς δεν είναι ίση με την σειρά Taylor γύρω από το μηδέν.Στην πραγματική ανάλυση, αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι υπάρχουν απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x) των οποίων η σειρά Taylor δεν είναι ίση με την f(x) ακόμα και αν συγκλίνει. Αντιθέτως στην μιγαδική ανάλυση δεν υπάρχουν ολομορφικές συναρτήσεις f(z) των οποίων η σειρά Taylor να συγκλίνει σε τιμή

Σειρά Taylor 131

διαφορετική από την f(z). Η μιγαδική συνάρτηση e−z−2 δεν προσεγγίζει το 0 καθώς το z πλησιάζει το 0 πάνωστον φανταστικό άξονα, και έτσι η σειρά Taylor έτσι ορίζεται εκεί.Πιο γενικά, κάθε ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών μπορεί να εμφανιστεί ως συντελεστές στηνσειρά Taylor μιας απείρως παραγωγίσιμης συνάρτησης που ορίζεται στην ευθεία των πραγματικών, ωςσυνέπεια του λήμματος του Borel. Ως αποτέλεσμα, η ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς Taylor μπορεί να είναιμηδέν. Υπάρχουν ακόμα και απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις που ορίζονται στην ευθεία τωνπραγματικών των οποίων η σειρά Taylor έχει ακτίνα σύγκλισης 0 παντού.[5]

Κάποιες συναρτήσεις δεν μπορούν να γραφούν ως σειρά Taylor γιατί περιέχουν μία ανωμαλία, σε αυτές τιςπεριπτώσεις, μπορεί να επιτευχθεί η ανάπτυξη της σειράς αν επιτραπούν οι αρνητικές δυνάμεις τηςμεταβλητής x. Για παράδειγμα η f(x) = e−x−2 μπορεί να γραφεί ως σειρά Laurent.

ΓενίκευσηΥπάρχει ωστόσο μία γενίκευση[6] [7] της σειράς Taylor η οποία συγκλίνει στην τιμή της συνάρτησης γιαοποιαδήποτε φραγμένη συνεχή συνάρτηση στο (0,∞), χρησιμοποιώντας τον λογισμό των πεπερασμένωνδιαφορών. Ειδικότερα υπάρχει το ακόλουθο θεώρημα του Einar Hille, σύμφωνα με το οποίο για οποιοδήποτεt > 0,

Εδώ το είναι ο τελεστής της n-οστής πεπερασμένης διαφοράς. Η σειρά είναι ακριβώς η σειρά Taylor,εκτός από το ότι εμφανίζονται διαιρέσεις με πεπερασμένες διαφορές αντί για παραγωγίσεις: η σειρά μοιάζειμε την σειρά Newton. Όταν η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο a, οι όροι της σειράς συγκλίνουν στους όρουςτης σειράς Taylor, και υπό αυτή την έννοια αποτελεί την γενίκευση της σειράς Taylor.Εν γένει για οποιαδήποτε άπειρη ακολουθία ai, ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα δυναμοσειρών.

Έτσι συγκεκριμένα,

Η σειρά στα δεξιά είναι η αναμενόμενη τιμή της f(a + X), όπου X είναι τυχαία μεταβλητή με κατανομή Poissonπου παίρνει την τιμή jh με πιθανότητα e−t/h(t/h)j/j!. Έτσι

Η ταυτότητα ισχύει σύμφωνα με τον νόμο των μεγάλων αριθμών.

Σειρά Taylor 132

Κατάλογος σειρών Maclaurin κοινών συναρτήσεων

Το πραγματικό μέρος της συνάρτησηςτου συνημιτόνου στο μιγαδικό επίπεδο.

Προσέγγιση 8ου βαθμού τηςσυνάρτησης του συνημιτόνου στο

μιγαδικό επίπεδο.

Σύνθεση των δύο παραπάνωκαμπυλών.

Ακολουθούν τα αναπτύγματα σημαντικών σειρών Maclaurin.[8] Όλες οισχέσεις ισχύουν για μιγαδικά x.

Εκθετική συνάρτηση:

Φυσικός λογάριθμος:

για

για

Πεπερασμένη γεωμετρική σειρά:

για και

Άπειρη γεωμετρική σειρά:

Σειρά Taylor 133

για

Παραλλαγές της άπειρης γεωμετρικής σειράς:

για και

για

για

Τετραγωνική ρίζα:

για

Διωνυμική σειρά (περιλαμβάνει και την τετραγωνική ρίζα για α = 1/2 και την άπειρη γεωμετρική σειρά για α =−1):

για όλα τα και όλους τους μιγαδικούς

με γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

για όλα τα

για όλα τα

για

όπου Bs είναι οι αριθμοί Bernoulli.

για

για

για

για

Υπερβολικές συναρτήσεις:

για όλα τα

για όλα τα

για

Σειρά Taylor 134

για

για

Συνάρτηση W του Lambert:

για

Οι αριθμοί Bk που εμφανίζονται στο ανάπτυγμα της tan(x) και tanh(x) είναι οι αριθμοί Bernoulli. Οι Ek στοανάπτυγμα της sec(x) είναι οι αριθμοί Euler.

Υπολογισμός της σειράς TaylorΑρκετές μέθοδοι υπάρχουν για τον υπολογισμό της σειράς Taylor για μεγάλο αριθμό συναρτήσεων. Είναιδυνατόν να χρησιμοποιηθεί η σειρά Taylor ως έχει και να γενικευθεί η μορφή των συντελεστών, ή ναχρησιμοποιηθούν χειρισμοί όπως η αντικατάσταση, ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση, πρόσθεση ή αφαίρεσητυπικής σειράς Taylor για την κατασκευή της σειράς Taylor μιας συνάρτησης. Σε κάποιες περιπτώσεις μπορείνα εξαχθεί η σειρά Taylor από την επαναληπτική ολοκλήρωση κατά μέρη.

Πρώτο παράδειγμαΥπολογισμός του πολυωνύμου Maclaurin 7ου βαθμού της συνάρτησης

.Αρχικά η συνάρτηση μεταγράφεται ως

.Για τον φυσικό λογάριθμο (με χρήση του συμβολισμού Ο)

για την συνάρτηση του συνημιτόνου

Η ανάπτυξη της τελευταίας έχει ένα μηδενικό σταθερό όρο που επιτρέπει να αντικατασταθεί η δεύτερη σειραστην πρώτη και να γίνει παράλειψη των όρων τάξεως άνω του 7:

Καθώς το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, οι συντελεστές όλων των περιττών δυνάμεων x, x3, x5, x7, ...πρέπει να είναι μηδέν.

Σειρά Taylor 135

Δεύτερο παράδειγμαΕύρεση της σειράς Taylor στο 0 της συνάρτησης

.

Για την εκθετική συνάρτηση

και, όπως στο πρώτο παράδειγμα

Υπόθεση ότι η δυναμοσειρά είναι

Και πολλαπλασιασμός με τον παρονομαστή και υποκατάσταση της σειράς του συνημιτόνου

Οι όροι μέχρι τέταρτης τάξεως είναι

Συγκρίνοντας τους συντελεστές με την παραπάνω σειρά της εκθετικής συνάρτησης προκύπτει η επιθυμητήσειρά Taylor

Σειρές Taylor ως ορισμοίΤυπικά, οι αλγεβρικές συναρτήσεις ορίζονται από μία αλγεβρική εξίσωση, και οι υπερβατικές συναρτήσειςορίζονται από μία ιδιότητά τους, όπως μία διαφορική εξίσωση. Για παράδειγμα η εκθετική συνάρτηση είναι ησυνάρτηση που είναι ίση με την παράγωγό της σε κάθε σημείο και έχει την τιμή 1 στην αρχή των αξόνων.Ωστόσο, μία αναλυτική συνάρτηση μπορεί να οριστεί και από την οικεία σειρά Taylor.Οι σειρές Taylor χρησιμοποιούνται για τους ορισμούς συναρτήσεων και τελεστών σε ποικίλους τομείς τωνμαθηματικών. Συγκεκριμένα, σε τομείς όπου οι κλασικοί ορισμοί δεν αποδίδουν. Για παράδειγμα με την χρήσησειρών Taylor, μπορούν να οριστούν αναλυτικές συναρτήσεις πινάκων και τελεστών, όπως ο εκθετικόςπίνακας ή ο λογαριθμικός πίνακας.Σε άλλους τομείς, όπως η τυπική ανάλυση, είναι πιο βολικό να εργάζεται κανείς με δυναμοσειρές. Έτσι είναιδυνατόν να οριστεί μία διαφορική εξίσωση ως δυναμοσειρά η οποία να αποδειχθεί ότι είναι η επιθυμητή λύσητης εξίσωσης.

Σειρά Taylor 136

Σειρά Taylor πολλών μεταβλητώνΗ σειρά Taylor μπορεί να γενικευθεί σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών με

Για παράδειγμα, για μία συνάρτηση δύο μεταβλητών,x και y, η σειρά Taylor στο σημείο (a, b) και μέχριδευτέρας τάξεως είναι:

όπου οι δείκτες υποδηλώνουν τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους.Το ανάπτυγμα δευτέρας τάξεως σειράς Taylor κλιμακωτής συνάρτησς πολλών μεταβλητών μπορεί να γραφτείως

Οπου είναι είναι η βαθμίδα της στο και είναι ο πίνακας του Hesse.Χρησιμοποιώντας συμβολισμό δεικτών η σειρά Taylor για πολλές μεταβλητές γίνεται

η οποία είναι συντετμιμένη εκδοχή πολλών δεικτών της πρώτης εξίσωσης της παραγράφου, σε πλήρηαναλογία με την περίπτωση της μίας μεταβλητής.

Παράδειγμα

Υπολογισμός αναπτύγματος σειράς Taylor μέχρι δευτέρας τάξεως γύρω από το για τηνσυνάρτηση

Αρχικά υπολογίζονται οι αναγκαίες μερικές παράγωγοι

Η σειρά Taylor είναι

που σε αυτή την περίπτωση γίνεται

Σειρά Taylor 137

Αφού log(1 + y) είναι αναλυτική στο |y| < 1, προκύπτει

για |y| < 1.

Κλασματική σειρά TaylorΜε την εμφάνιση του κλασματικού λογισμού, προέκυψε το ερώτημα για το ποια θα ήταν η επέκταση τωνσειρών Taylor στο νέο πεδίο. Οι Odibat και Shawagfeh[9] απάντησαν στο ερώτημα το 2007, χρησιμοποιώνταςτην κλασματική παράγωγο Caputo, , και το που υποδεικνύει το όριο καθώς προσεγγίζεται το

από τα δεξιά, και έτσι η κλασματική σειρά Taylor γράφεται:

Παραπομπές[1] Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.[2] Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.[3] "Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala" (http:/ / www. canisius. edu/

topos/ rajeev. asp). MAT 314. Canisius College. . Ανακτήθηκε την 2006-07-09.[4] Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages

21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800(Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.

[5] Rudin, Walter (1980), Real and Complex Analysis, New Dehli: McGraw-Hill, σελ. 418, Exercise 13, ISBN 0-07-099557-5[6] Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications, Volume 2 (3rd έκδοση), Wiley, σελ. 230–232.[7] Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Functional analysis and semi-groups, AMS Colloquium Publications, 31, American

Mathematical Society, σελ. 300–327.[8] Τα περισσότερα μπορούν να βρεθούν στο (Abramowitz & Stegun 1970).[9] Odibat, ZM., Shawagfeh, NT., 2007. "Generalized Taylor's formula." Applied Mathematics and Computation 186, 286-293.

Αναφορές• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and

Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley,

ISBN 0-201-53174-7• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1

Στο άρθρο αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το series άρθρο Taylor series (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Taylor) της ΑγγλόγλωσσηςΒικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0 (http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ ). (series ιστορικό/συντάκτες (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Taylor)).

Σημείο συσσώρευσης 138

Σημείο συσσώρευσηςΣτη μαθηματική ανάλυση η έννοια του σημείου συσσώρευσης είναι αναγκαία όταν θέλουμε να ορίσουμε τοορίο συνάρτησης. Συγκεκριμένα το όριο μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης τουπεδίου ορισμού της συνάρτησης.

ΟρισμόςΈνας άτυπος ορισμός του σημείου συσσώρευσης είναι ο εξής: ένας πραγματικός αριθμός είναι σημείοσυσσώρευσης ενός συνόλου Α αν υπάρχει στοιχείο του Α (που να είναι διαφορετικό του x0) οσοδήποτε κοντάθέλουμε στο x0. Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής:Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x

0είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0:

με και Σημεία συσσώρευσης μπορεί να είναι και τα . Οι αντίστοιχοι ορισμοί είναι οι εξής:Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Λέμε ότι το είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλουΑ αν για κάθε δ > 0:

με και ότι το είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0:

με

Μεμονωμένα σημείαΈστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένα στοιχείο του Α. Λέμε ότι το x0 είναιμεμονωμένο σημείο του συνόλου Α αν δεν είναι σημείο συσσώρευσής του, δηλαδή αν υπάρχει δ > 0 τέτοιοώστε:

με να ισχύει Επομένως τα στοιχεία ενός συνόλου χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στα σημεία συσσώρευσης και σταμεμονωμένα σημεία. Φυσικά είναι δυνατόν ένα σύνολο να έχει μόνο σημεία συσσώρευσης ή μόνο μεμονωμένασημεία. Σημειώνουμε ότι ενώ ενδέχεται τα σημεία συσσώρευσης ενός συνόλου να ανήκουν σε αυτό ή και ναμην ανήκουν, τα μεμονωμένα σημεία είναι πάντοτε εξ'ορισμού στοιχεία του συνόλου.

Παραδείγματα• Έστω [a, b] ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].• Έστω (a, b) ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].• Έστω I ένα μη κενό διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι ακριβώς τα σημεία x του Ι και επίσης τα

άκρα του (συμπεριλαμβανομένων των αν είναι άκρα του Ι).• Το σύνολο έχει ως σημείο συσσώρευσης μόνο το .• Τα σύνολα και έχουν ως σημεία συσσώρευσης κάθε x στο , καθώς επίσης και τα .

Σημείο συσσώρευσης 139

Σημεία συσσώρευσης από δεξιά και από αριστεράΈστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x0είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από δεξιά, αν για κάθε δ > 0:

με και ότι το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από αριστερά, αν για κάθε δ > 0:

με Αν ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α από δεξία ή από αριστερά, τότε είναι σημείοσυσσώρευσης του Α. Αν όμως ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α τότε δεν είναι πάντα σωστό ότιτο x0 είναι σημείο συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά. Μπορεί να είναι σημείο συσσώρευσης μόνο απόδεξιά ή μόνο από αριστερά.

Βασικές Προτάσεις• Αν ένα σύνολο είναι πεπερασμένο τότε δεν έχει σημείο συσσώρευσης και επομένως κάθε στοιχείο του είναι

μεμονωμένο σημείο.• Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Το x0 είναι

σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχουν άπειρα το πλήθος στοιχεία του Α στο διάστημαγια κάθε δ > 0.

• Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Το x0 είναισημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία xn στο Α τέτοια ώστε: και

για κάθε n στο .• Το είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν το Α δεν είναι άνω φραγμένο και το είναι

σημείο συσσώρευσης του αν δεν είναι κάτω φραγμένο.

Στοίχιση ακολουθιών 140

Στοίχιση ακολουθιώνΗ στοίχιση ακολουθιών (sequence alignment), είναι μια διαδικασία κατά την οποία δύο ακολουθίες ή αλλιώςσυμβολοσειρές τοποθετούνται η μία κάτω από την άλλη, με τέτοιον τρόπο που τα κοινά τους σύμβολα να είναιτοποθετημένοι στην ίδια θέση. Σκοπός είναι να βρεθεί η "βέλτιστη στοίχιση", δηλαδή η στοίχιση στην οποία οιδύο ακολουθίες ταιριάζουν περισσότερο μεταξύ τους. Η διαδικασία αυτή χρησιμοποιείται ιδιαίτερα στηβιοπληροφορική (bioinformatics), όπου ως ακολουθίες χρησιμοποιούνται τμήματα DNA, RNA ή πρωτεΐνών.Η διαδικασία της στοίχισης, όταν συμβαίνει σε συμβολοσειρές μεγάλου μήκους (όπως αυτές που προκύπτουναπό τα βιολογικά δεδομένα) είναι μια σχετικά δύσκολη διαδικασία. Στην πράξη χρησιμοποιείται πληθώρααλγορίθμων, οι περισσότεροι από τους οποίους χρησιμοποιούν την φιλοσοφία του δυναμικούπρογραμματισμού (dynamic programming).

Σκοπός στοίχισης ακολουθιώνΗ στοίχιση ακολουθιών χρησιμοποιείται στο πεδίο της βιοπληροφορικής για την εύρεση ομοιοτήτων μεταξύβιολογικών ακολουθιών (DNA, RNA, πρωτεΐνες...), μια εργασία πολύ συχνή και με ιδιαίτερη σημασία. Ησημασία της πηγάζει από το γεγονός ότι οι ομοιότητες αυτές υποδηλώνουν συνήθως κάποια βιολογικήσυσχέτιση, πράγμα που οδηγεί σε καλύτερη κατανόηση των διαφόρων βιολογικών μηχανισμών.

Κανόνες στοίχισης ακολουθιώνΟ βασικός κανόνας της στοίχισης ακολουθιών είναι η τοποθέτηση των δύο (υπό εξέταση) ακολουθιών μετέτοιον τρόπο την μία κάτω από την άλλη, ώστε να ταιριάζουν όσο το δυνατόν περισσότερο. Από αυτόφαίνεται ότι μπορεί κάποια από τα σύμβολα των ακολουθιών να μην ταιριάζουν μετά τη στοίχιση. Το τι γίνεταιτότε έχει να κάνει με τον τρόπο με τον οποίο μετράται το "ταίριασμα". Συνήθως γίνεται προσπάθεια ναστοιχιστούν οι ακολουθίες με τέτοιον τρόπο, ώστε να μεγιστοποιηθεί κάποιο σκορ. Κάθε ζεύγος συμβόλων πουταιριάζουν μεταξύ τους παίρνει κάποιο θετικό σκορ (π.χ. +1), ενώ κάθε ζεύγος που αποτυγχάνει να ταιριάξειπαίρνει κάποιο αρνητικό σκορ (π.χ. -1). Αν επιτρέπεται να εισαχθούν κενοί χαρακτήρες για αποφυγήαποτυχίας σε ένα σημείο, τότε κάθε κενό "κοστολογείται" και αυτό με αρνητικό σκορ (π.χ. -1). Δύο κενά δενγίνεται να ταιριάζουν μεταξύ τους. Αθροίζοντας όλα τα επιμέρους σκορ υπολογίζεται το συνολικό σκορ τηςστοίχισης.

Είδη στοίχισης ακολουθιώνΥπάρχουν δύο είδη στοίχισης, η ολική στοίχιση (global alignment) και η τοπική στοίχιση (local alignment), οιοποίες χρησιμοποιούνται ανάλογα με τον τύπο του προβλήματος που αντιμετωπίζεται.

Ολική στοίχιση ακολουθιώνΚατά την ολική στοίχιση ακολουθιών (global sequence alignment) γίνεται προσπάθεια να στοιχιστεί κάθεσύμβολο κάθε ακολουθίας. Οι δύο ακολουθίες στοιχίζονται σε ολόκληρο το μήκος τους με τον καλύτεροδυνατό τρόπο. Κάθε σύμβολο κάθε ακολουθίας, λοιπόν, αντιστοιχίζεται σε ένα σύμβολο της άλλης ή σε ένακενό. Ένας γνωστός αλγόριθμος για ολική στοίχιση ακολουθιών είναι ο αλγόριθμος Needleman-Wunsch.

Στοίχιση ακολουθιών 141

Τοπική στοίχιση ακολουθιώνΚατά την τοπική στοίχιση ακολουθιών (local sequence alignment) γίνεται η καλύτερη δυνατή στοίχιση μεταξύτμημάτων των δύο ακολουθιών. Δηλαδή επιτρέπεται κάποια κομμάτια που "χαλούν" τη στοίχιση να μείνουνεκτός. Ένα παράδειγμα που χρησιμοποιείται συχνά είναι ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τοπικήστοίχιση ακολουθιών προκειμένου να βρούμε τις προτάσεις δύο κειμένων, οι οποίες παρουσιάζουν τηνπερισσότερη ομοιότητα. Ένας γνωστός αλγόριθμος για τοπική στοίχιση ακολουθιών είναι ο αλγόριθμοςSmith-Waterman.

Συνάρτηση

Οι αντιστοιχίσεις b), c) d) είναι συναρτήσεις. Η αντιστοίχιση a) δεν αποτελείσυνάρτηση διότι υπάρχει στοιχείο του συνόλου ορισμού που αντιστοιχίζεται σε δύο

διαφορετικά στοιχεία του συνόλου τιμών.

Στα μαθηματικά, συνάρτηση, ήαπεικόνιση όπως ονομάζεταιδιαφορετικά, είναι μια αντιστοίχισημεταξύ δύο συνόλων, που καλούνταισύνολο ορισμού και σύνολο τιμών,κατά την οποία κάθε ένα στοιχείοτου συνόλου ορισμού αντιστοιχίζεταισε ένα και μόνο στοιχείο του συνόλουτιμών. Αν Α και Β είναι τα δύοσύνολα, γράφουμε f : Α → Β.

Ιστορικά η έννοια της συνάρτησηςεισήχθηκε στα μαθηματικά από τοθεμελιωτή του διαφορικού καιολοκληρωτικού λογισμού ελβετόμαθηματικό Gottfried WilhelmLeibniz to 1694.

Οι όροι απεικόνιση και συνάρτησηείναι συνώνυμοι.

Γενικά

Μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι ο «τρόπος» ή «κανόνας» με τον οποίο αντιστοιχίζεται μίαμοναδική τιμή της εξαρτημένης ποσότητας (σύνολο τιμών) σε κάθε τιμή της ανεξάρτητης ποσότητας (σύνολοορισμού). Η έννοια της συνάρτησης εκφράζει τη διαισθητική ιδέα της ντετερμινιστικής εξάρτησης μιαςποσότητας από μια άλλη. Τούτο διότι εξορισμού απαγορεύεται η αντιστοίχιση μιας τιμής της ανεξάρτητηςποσότητας σε περισσότερες από μία τιμές της εξαρτημένης ποσότητας κατά τρόπο στοχαστικό ή τυχαίο,δηλαδή κατά τρόπο που δεν θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε από πριν δεδομένο όρισμα σε ποια ακριβώς τιμήαντιστοιχεί.

Συνάρτηση 142

Ορολογία

Γραφική παράσταση της συνάρτησηςστο διάστημα ορισμού [-1,1.5]

του και με πεδίο τιμών επίσης στο [-1,1.5] του .

Αν Α και Β είναι δύο σύνολα και f : Α → Β μιασυνάρτηση από το Α στο Β, το Α λέγεται σύνολοορισμού και το Β σύνολο τιμών. Κάθε στοιχείο a τουΑ λέγεται όρισμα της f και κάθε στοιχείο b του Β στοοποίο αντιστοιχίζεται ένα τουλάχιστον όρισμα aλέγεται τιμή ή εικόνα της f στο a, και γράφουμε b =f(a).

Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό, για να είναι ηf συνάρτηση, θα πρέπει να ισχύει: αν f(a) ≠ f(a') τότεa ≠ a'. Δηλαδή δυο τιμές που είναι διαφορετικές ναμην αντιστοιχούν παρά σε διαφορετικά ορίσματα.

Το τυχαίο στοιχείο του συνόλου Α, δηλαδή τουπεδίου ορισμού, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητήτης συνάρτησης. Ενώ το τυχαίο στοιχείο του συνόλουΒ, δηλαδή του συνόλου τιμών, ονομάζεταιεξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης. Θαμπορούσε να ειπωθεί ότι οι δύο όροι δηλώνουν τηδιαισθητική σχέση αιτιότητας μεταξύ των δύομεταβλητών. Η ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνειτιμή αυθαίρετα, ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνει την τιμή της πάντα σε σχέση με την ίδια τη συνάρτησηκαι την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Το γράφημα της συνάρτησης f : A → B είναι το σύνολο που αποτελείται από τα διατεταγμένα ζευγάρια τηςαντιστοίχισης

G(f) = {(a,b)∈ A×B, όπου b = f(a)}Για συναρτήσεις ορισμένες στο πεδίο των πραγματικών αριθμών το γράφημα ή αλλιώς γραφική παράστασηείναι η απεικόνιση αυτών των ζευγαριών στο καρτεσιανό επίπεδο, όπου κάθε ζευγάρι ορίσματος-τιμής είναιένα σημείο της γραφικής παράστασης και το σύνολο των σημείων σχηματίζουν τη καμπύλη της γραφικήςπαράστασης.

Η αντίστροφη αντιστοίχιση f -1 της συνάρτησης f είναι η αντιστοίχιση από το Β στο Α, που ορίζεται ως εξής:f -1(b) = a ανν f(a) = b

Η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνάρτηση, μια και δεν υπακούει απαραίτηταστο αξίωμα μονοτιμίας: ένα στοιχείο b μπορεί να είναι τιμή δύο διαφορετικών ορισμάτων a και a' της f. Στηνπερίπτωση πάντως που είναι, η f λέγεται αντιστρέψιμη και η f -1 αντίστροφη συνάρτηση της f.

Συνάρτηση 143

ΟρισμοίΣτα πλαίσια της θεωρίας συνόλων η συνάρτηση ορίζεται από το γράφημά της. Συγκεκριμένα, μια συνάρτηση f: A → B θεωρείται ως σχέση μεταξύ των Α και Β, δηλαδή ως ένα σύνολο f ⊂ A×B, η οποία υπακούει στοαξίωμα της μονοτιμίας, που εδώ παίρνει την εξής μορφή:

αν (a,b) ∈ f και (a,b') ∈ f τότε b = b'Από την άποψη της μαθηματικής λογικής, η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μια τυπική γλώσσαως ένα σύμβολο f βαθμού 2, το οποίο πάλι υπακούει στο αξίωμα μονοτιμίας:

αν f(a,b) και f(a,b') τότε b ≡ b'Στα πλαίσια του λ-λογισμού, η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μία τυπική γλώσσα ως λογικόςόρος t, ο οποίος μπορεί αξιωματικά να• εφαρμόζεται σε άλλον όρο s, ο οποίος συμπεριφέρεται ως όρισμα, με αποτέλεσμα η σύνταξη t s να ανάγεται

(β-αναγωγή) σε έναν νέο όρο που μαθηματικά είναι η τιμή του t(s)• μετατρέπεται σε αφαίρεση ως προς κάποια του μεταβλητή x, με αποτέλεσμα έναν νέο όρο λx.t, ο οποίος

συμπεριφέρεται ως γενικός κανόνας αντιστοίχισης μέσα από τον κανόνα της αντικατάστασης:(λx.t)(s) = t[x:=s]

Η συνηθισμένη διαισθητική ερμηνεία των παραπάνω είναι ότι «η ανεξάρτητη μεταβλητή x αντιστοιχίζεταιστην εξαρτημένη μεταβλητή t(x), ώστε αν εφαρμοστεί σε όρισμα s, τότε θα προκύψει η τιμή t(s)».

Είδη συναρτήσεων• Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται ένα προς ένα (1-1) ή αμφιμονότιμη ή αμφιμονοσήμαντη όταν αντιστοιχίζει

κάθε όρισμα σε αποκλειστικά δική του τιμή, δηλαδή όταν διαφορετικά ορίσματα απεικονίζονται σεδιαφορετικές τιμές:

αν a ≠ a' τότε f(a) ≠ f(a')• Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται επί (με την έννοια: «το Α απεικονίζεται μέσω της f επί του Β, πάνω στο

Β») όταν δεν υπάρχει στοιχείο στο Β που να μην είναι η εικόνα κάποιου στοιχείου στο Α:για κάθε b∈B υπάρχει a∈A ώστε b = f(a)

Από πολλούς μαθηματικούς, ο όρος «αμφιμονότιμη συνάρτηση» δεν χρησιμοποιείται ως συνώνυμο του «έναπρος ένα συνάρτηση» παρά ως συνώνυμο του «ένα προς ένα και επί». Το δε επίθημα -εση (<ίημι) αποδίδει τογαλλικό -jection (<λατ. jacere), και έτσι χρησιμοποιούνται και οι όροι «ένεση» - «έφεση» - «αμφίεση» για νααποδίδουν τα «injection» - «surjection» - «bijection», τα οποία έχουν επικρατήσει στη δυτική μαθηματικήορολογία, και σημαίνουν «ένα προς ένα» - «επί» - «ένα προς ένα και επί» αντίστοιχα.

Σύγκριση συναρτήσεων και πράξειςΜία συνάρτηση f είναι ίση με μία συνάρτηση g όταν έχουν το ίδιο σύνολο ορισμού, το ίδιο σύνολο τιμών καιαντιστοιχίζουν ίσα ορίσματα σε ίσες τιμές:

f(a) = b ανν g(a) = bΣύμφωνα εξάλλου με τη συνολοθεωρητική προσέγγιση, δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν τα γραφήματά τουςταυτίζονται (ως σύνολα).• Η (ξένη) ένωση δύο συναρτήσεων f : A → B και g : A' → B', όπου τα Α, Α' είναι σύνολα ξένα μεταξύ τους,

είναι η αντιστοίχιση f∪g: A∪A' → B∪B' που ορίζεται ωςf∪g(a) = f(a) και f∪g(a') = g(a')

για κάθε a∈A, a'∈A'.

Συνάρτηση 144

• Η τομή δύο συναρτήσεων f : A → B και g : A' → B' είναι η αντιστοίχιση f∩g: A∩A' → B∩B' που ορίζεται ωςf∩g(a) = b ανν f(a)=g(a)=b

για κάθε a∈ A∩A'.• Η σύνθεση της συνάρτησης f : A → B με την g : B → C είναι η αντιστοίχιση gof: A → C, που ορίζεται ως

gof(a) = g(f(a))για κάθε a∈ A∩A'.

Ιδιότητες• Μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη αν και μόνο αν είναι αμφίεση.• H ένωση δύο συναρτήσεων είναι πάλι συνάρτηση, ενώ η τομή όχι πάντα (ωστόσο είναι πάντα μερική

συνάρτηση, δες παρακάτω).• Η σύνθεση δύο συναρτήσεων είναι επίσης συνάρτηση.• Αν f : A → B και g : B → C είναι ενέσεις τότε και η σύνθεσή τους gof είναι ένεση.• Αν f : A → B και g : B → C είναι εφέσεις τότε και η σύνθεσή τους gof είναι έφεση.

Γενικεύσεις• Μία αντιστοίχιση f : A → B, η οποία δεν είναι απαραίτητα μονότιμη, αλλά μπορεί να αποδίνει περισσότερες

από μία τιμές σε ένα όρισμα, λέγεται πολύτιμη ή πλειότιμη ή πολυσήμαντη συνάρτηση. Παράδειγμαπολύτιμης συνάρτησης είναι η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης.

• Μία αντιστοίχιση f : A → B, η οποία δεν αποδίνει απαραίτητα τιμή σε κάθε όρισμα από το Α, λέγεται μερικήσυνάρτηση, και στην αντίθετη περίπτωση, ολική συνάρτηση. Στην περίπτωση της μερικής συνάρτησης, λέμεότι η f ορίζεται σε κάποιο στοιχείο a του Α όταν το αντιστοιχίζει σε κάποιο στοιχείο b του Β· το υποσύνολο Α'του συνόλου ορισμού Α στο οποίο η f ορίζεται, λέγεται πεδίο ορισμού (ακόμη, πεδίο), και το υποσύνολο Β'του συνόλου τιμών Β, που αποτελείται από τις εικόνες της f, λέγεται πεδίο τιμών (ακόμη, συμπεδίο) της f.

• Μία αντιστοίχιση F : (A → B) → C, που δέχεται δηλαδή συναρτήσεις f : A → B ως ορίσματα και τουςαποδίνει τιμή F(f) μέσα στο C, και ακόμη υπακούει στο αξίωμα της μονοτιμίας, λέγεται συναρτησιακό ήσυναρτησοειδές. Τυπικά παραδείγματα συναρτησιακών στη μαθηματική ανάλυση είναι το ολοκλήρωμα καιη παράγωγος συνάρτησης.

Δείτε ακόμη• Γραφική παράσταση συνάρτησης• Συνέχεια συνάρτησης• Πραγματική συνάρτηση• Μιγαδική συνάρτηση• Συναρτησιακό και Τελεστής• Μερική συνάρτηση• Σχέση• Συνάρτηση μεταφοράς

Συνέχεια συνάρτησης 146

Ένας μη αυστηρός ορισμός της έννοιας της συνέχειας, είναι ο εξής: μια συνάρτηση είναι συνεχής αν μικρέςμεταβολές στο όρισμα της έχουν ως αποτέλεσμα μικρές μεταβολές στην τιμή της. Διαισθητικά (αν και αυτό είναιαρκετά ανακριβές) η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς χρειαστεί νασηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.

Συνέχεια πραγματικών συναρτήσεων

Ορισμός Κωσύ, (έψιλον - δέλτα ορισμός)

Αν είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού και το ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότεη f ονομάζεται συνεχής στο αν

Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Ησυνάρτηση ονομάζεται συνεχής στο αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του , δηλαδή αν

Σε αντιδιαστολή προς την ομοιόμορφη συνέχεια, η συνέχεια που ορίστηκε παραπάνω λέγεται και σημειακήσυνέχεια.

Ορισμός μέσω ορίωνΈνας ορισμός που κάνει χρήση της έννοιας του ορίου στις πραγματικές συναρτήσεις λέει ότι μια συνάρτησηείναι συνεχής σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της αν το όριο της συνάρτησης στο σημείο αυτόσυμπίπτει με την τιμή της, δηλαδή αν:

Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός γιατί το όριο έχει έννοια μόνο όταν το είναι σημείο

συσσώρευσης της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μια συνάρτησηείναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότεείναι μεμονωμένο σημείο και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό).

Συνέχεια συνάρτησης 147

Αρχή της μεταφοράς (ορισμός Χάινε)Μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Α αν και μόνο αν γιακάθε ακολουθία στο Α, με:

ισχύει:

Με άλλα λόγια μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής κατά Χάινε αν διατηρεί τα όρια, δηλαδή αν το όριοτων εικόνων ισούται με την εικόνα του ορίου.

Συνέχεια σε τοπολογικούς χώρουςΜια συνάρτηση f ορισμένη στο X που λαμβάνει τιμές στο Y, όπου X και Y είναι τοπολογικοί χώροι, είναισυνεχής στο x όπου αν για κάθε γειτονιά V της f(x), υπάρχει μια γειτονιά U του x τέτοια ώστε

. Με πιο απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρή κι αν γίνεται η V μπορούμε πάντα να βρούμεμια U του x που να απεικονίζεται στην V. Λέμε ότι η f είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε .

Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

Θεώρημα ενδιάμεσης τιμήςΤο θεώρημα ενδιάμεσης τιμής βασίζεται στην αρχή της πληρότητας και διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει f(α)< ρ < f(β) τότε υπάρχει ένα στοιχείο ξ στο [α, β] τέτοιος ώστε f(ξ) = ρ.

Ειδική περίπτωση του πιο πάνω είναι το εξής πόρισμα:Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], είναι συνεχής σε αυτό και ισχύειf(α)f(β) < 0 τότε υπάρχει ένα στοιχείο ξ στο [α, β] τέτοιος ώστε f(ξ) = 0.

Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμήςΤο θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], είναι συνεχής σε αυτό τότε υπάρχουνστοιχεία μ και Μ στο [α, β] ώστε f(μ) = min(f) και f(Μ) = max(f).

Το πιο πάνω δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα. Για παράδειγμα η συνάρτησημε τύπο είναι συνεχής στο (0, 1) αλλά δεν έχει μέγιστο.

Ομοιόμορφη συνέχειαΗ έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι πιο ισχυρή από αυτήν της (σημειακής) συνέχειας. Επιπλέον ενώ ησυνέχεια μιας συνάρτησης είναι τοπική έννοια, δηλαδή αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία του πεδίουορισμού της, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας αναφέρεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής αν

Η θεμελιώδης διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή έγκειται στο ότι η ακτίνα δ δεν εξαρτάταιαπό το κέντρο x0 κάθε φορά, παρά μόνο από την ακτίνα ε.

Συνημίτονο 149

Το συνημίτονο είναι ένας σημαντικός τριγωνομετρικός αριθμός, συμβολίζεται με συνθ ή διεθνώς με cosθ.Υπάρχουν τρεις ορισμοί που αποδίδουν το συνημίτονο, όπου ο ένας είναι γενίκευση του άλλου:• Με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως συνημίτονο μίας από τις οξείες

γωνίες του τριγώνου το πηλίκο της προσκείμενης κάθετης πλευράς δια την υποτείνουσα. Το συνημίτονο,όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του ενός.Η απέναντι πλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Τοόνομα της συνάρτησης οφείλεται στο ημίτονο, είναι ο συνοδευτικός τριγωνομετρικός αριθμός ως προς τησυμπληρωματικότητα των γωνιών, δηλαδή το συνημίτονο μιας γωνίας ισούται με το ημίτονο τηςσυμπληρωματικής της.

• Με βάση τον τριγωνομετρικό κύκλο: cosθ=x, όπου x η τετμημένη του σημείου τομής της πλευράς της γωνίαςθ και του τριγωνομετρικού κύκλου

• Ως ανάπτυγμα σειράς Taylor:

Η συνάρτηση συνημίτονο όπως ορίστηκε παραπάνω αναφέρεται στο κυκλικό συνημίτονο. Το υπερβολικόσυνημίτονο είναι άλλη συνάρτηση. Το συνημίτονο είναι μία μορφή της αρμονικής συνάρτησης.Ως συνάρτηση το συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π και άρτια.

Χαρακτηριστικά της συνάρτησης συνημίτονο

Γραφική παράσταση της περιόδου [0,2π] τηςσυνάρτησης συνημίτονο.

Πεδίο ορισμού

Συνήθως χρησιμοποιούμε το δεύτερο ορισμό με πεδίο οριμσού τοσύνολο των πραγματικών αριθμών.

Συνημίτονο 150

Συνέχεια-ΠαραγωγισιμότηταΗ συνάρτηση συνημίτονο είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθετης παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει , ενώ για τη νιοστή

παράγωγο .

ΜονοτονίαΣε διάστημα μιας περιόδου (χρησιμοποιείται το τμήμα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό):Στο [0,π] είναι γνησίως φθίνουσα. Στο [π,2π] είναι γνησίως αύξουσα.

Ακρότατα-ΑσύμπτωτεςΗ συνάρτηση συνημίτονο δεν έχει σύμπτωτες. Στο διάστημα μιας περιόδου εμφανίζει ένα ελάχιστο, στο π το-1, και ένα μέγιστο, στο 0 (ή το 2π) το 1.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-ΡίζεςΤο σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το [-1,1]. Αυτό συνήθως συμβολίζεται από τουςμαθηματικούς με , αν και αυτός ο τύπος φράζει τη συνάρτηση χωρίς να προσδιορίζει ακριβώς τοσύνολο τιμών. Η συνάρτηση συνημίτονο έχει άπειρες ρίζες της μορφής κπ+π/2, όπου κ ακέραιος αριθμός.

ΚοιλοκυρτότηταΗ συνάρτηση ημίτονο είναι κοίλη στο [0,π/2] και κυρτή στο [π/2,3π/2] και κοίλη ξανά στο [3π/2,2π].Παρουσιάζει σημείο καμπής στα π/2, 3π/2.

ΣυμμετρίεςΗ συνάρτηση συνημίτονο είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y. Όμως, όπως αρμονική συνάρτηση έχειάπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας και σημεία συμμετρίας, τις ρίζες τις.

Πηγές• Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο

Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008,παράγραφος 2.10, σελίδα 287

Σφαιρική γεωμετρία 151

Σφαιρική γεωμετρία

Σφαιρικό τρίγωνο, οριζόμενο από μέγιστουςκύκλους

Η Σφαιρική γεωμετρία είναι ιδιαίτερος κλάδος της μηΕυκλείδειας γεωμετρίας που πραγματεύεται ειδικά την κυρτήεπιφάνεια της σφαίρας εξετάζοντας και μετρώντας τόσοαποστάσεις όσο ειδικότερα τα σφαιρικά τρίγωνα. Συναφής δεκλάδος είναι και η σφαιρική τριγωνομετρία.

Σε αντίθεση με την επιπεδομετρία όπου βασικές έννοιες μετρήσεωνείναι σημεία, ευθείες γραμμές και επίπεδες γωνίες στη σφαιρικήγεωμετρία αντίστοιχα είναι ίχνη σημείων, αποστάσεις, κατ΄ονομασία «συντομότερες», που αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλωνκαι δίεδρες γωνίες επιπέδων μεγίστων κύκλων. Ένα πρόσθετοστοιχείο που λαμβάνει υπόψη είναι ο λεγόμενος αντίποδας ενόςσημείου ή ίχνους σημείου.

Σε εφαρμογή των παραπάνω εννοιών στην επιφάνεια της Γηςχαρακτηρίζονται επίσης γεωδαισιακές, σε εφαρμογή επί τηςουράνιας σφαίρας λέγονται "αστρονομικές" ή "ουράνιες" όπου και ορίζονται με ανάλογα συστήματασυντεταγμένων. Κατ΄ επέκταση και η μετρική αστρονομία χαρακτηρίζεται σφαιρική αστρονομία.

Συχνότερη κλασική χρήση σφαιρικής γεωμετρίας κάνουν τόσο η Αστρονομία όσο και η Ωκεανοπλοΐακαλούμενη επί τούτου και "αστρονομική ναυτιλία", η μεν πρώτη στις διάφορες αστρονομικές παρατηρήσειςκαι μελέτες, η δε δεύτερη κυρίως στην εύρεση γραμμής θέσεως ή την επίλυση του τριγώνου θέσεως για τονπροσδιορισμό του γεωγραφικού στίγματος.

Βιβλιογραφία• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В

кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.:ВИНИТИ, 1988. Т. 29. С. 1-146.

• Берже М. Геометрия. Пер. с франц., в 2 т. М.: Мир, 1984. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы,гиперболическая геометрия, пространство сфер.

• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. Л.-М., 1948.• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия, — Наука, Москва, 1990.• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия, — УРСС, Москва, 2007.

Σφαιρική γεωμετρία 152

Εξωτερικές συνδέσεις• Geometrie auf der Kugel (Facharbeit).pdf [1] (1,71 MB)• Vorlesung über sphärische Geometrie [2]

• Σφαιρική γεωμετρία. - Πανεπιστήμιο Βόρειας Καρολίνας [3]

• Γεωμετρία της σφαίρας - Πενεπιστήμιο Rise [4]

Παραπομπές[1] http:/ / www. fkccp. de/ Geometrie%20auf%20der%20Kugel%20(Facharbeit). pdf[2] http:/ / www. hopfenwiesen. de/ 1-runterladen/ 1-12-sphaerGeo. php[3] http:/ / www. math. uncc. edu/ ~droyster/ math3181/ notes/ hyprgeom/ node5. html[4] http:/ / math. rice. edu/ ~pcmi/ sphere/

Σύνθεση συνάρτησης 154

Η σύνθεση συνάρτησης είναι πράξη μαθηματικών συναρτήσεων και συμβολίζεται με . Στηνσύνθεση συναρτήσεων η ανεξάρτητη μεταβλητή x συνδέεται με την εξαρτημένη μεταβλητή y μέσω μίαςενδιάμεσης συνάρτησης.Σύνθεση συνάρτησης της f(x) (με πεδίο ορισμού Α) με την g(x) (με πεδίο ορισμού Β) είναι μία συνάρτηση πουέχει τιμή:

και πεδίο ορισμού:

Παράδειγμα σύνθεσης συνάρτησηςΈστω ότι έχουμε την συνάρτηση με πεδίο ορισμού και την συνάρτηση μεπεδίο ορισμού .Το αποτέλεσμα της σύνθεσης είναι η συνάρτηση:

με πεδίο ορισμού

Παραγώγιση σύνθετης συνάρτησηςΗ παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης g(f(x)) ισούται με:

.

Πηγές• Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, Σύγχρονη εκδοτική, τόμος Β΄• Μαθηματικά Θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2006

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι• math.hws.edu [1] Online υπολογισμός σύνθετων συναρτήσεων

Παραπομπές[1] http:/ / math. hws. edu/ javamath/ config_applets/ FunctionComposition. html

Ταυτότητα του Όιλερ 155

Ταυτότητα του ΌιλερΗ ταυτότητα του Όιλερ (Euler's identity) στη μαθηματική ανάλυση, είναι η εξίσωση

όπουείναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,είναι ο φανταστικός αριθμός, ένας από τους δύο μιγαδικούς αριθμούς του οποίου το τετράγωνο

ισούται με μείον ένα (ο άλλος είναι το ), καιο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη

Η φόρμουλα του Όιλερ για τυχαία γωνιά.

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση τηςεξίσωσης του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία

για κάθε πραγματικό αριθμό x. (οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια.) Συγκεκριμένα, αν

τότε

Αφού

Συνεπώς,

που δίνει την ταυτότητα

Ταυτότητα του Όιλερ 156

ΌνομαΑν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνιμήτονο, δενυπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια ηφόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημααν η ταυτότητα μπορεί να αποδωθεί στον Όιλερ.

Εξωτερικές συνδέσεις• Η ταυτότητα του Όιλερ [1]

Στο άρθρο αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το identity άρθρο Euler's identity [2] της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποίαδιανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0 [2]. (identity ιστορικό/συντάκτες [2]).

Παραπομπές[1] http:/ / www. physics. ntua. gr/ ~cchrist/ SIMEIOSEIS/ MATH. SYMPL. 2003. PDF/ KEFALAIO%2005%20. pdf[2] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Euler's

ΤελεστήςΟ τελεστής στα μαθηματικά ορίζεται γενικά ως μία συνάρτηση που δρα πάνω σε κάποια άλλη συνάρτηση,μετασχηματίζοντάς την κατά έναν καθορισμένο τρόπο. Μπορεί να θεωρηθεί γενίκευση της έννοιας τηςσυνάρτησης, καθώς οι συναρτήσεις δρουν συνήθως πάνω σε μεμονωμένα "αντικείμενα", ενώ ένας τελεστήςμπορεί να δράσει πάνω στη "μορφή" μιας συνάρτησης ως σύνολο και να δώσει μια άλλη συνάρτηση.Ένας τελεστής παριστάνεται συνήθως με ένα σύμβολο το οποίο τίθεται μπροστά από μια συνάρτηση (με τηγενική έννοια) και την αλλάζει σε κάποια άλλη συνάρτηση των ίδιων μεταβλητών. Οι τελεστές συμβολίζονταισυνήθως με ένα κεφαλαίο γράμμα με το σύμβολο "^" πάνω του, π.χ.: .

Ένα παράδειγμα τελεστή είναι αυτός της παραγώγισης , ο οποίος για μονοδιάστατη συνάρτηση

μεταβλητής , έχει τη μορφή: . Γενικά μπορεί κανείς να ορίσει μέσω τελεστή οποιονδήποτε

μετασχηματισμό. Για παράδειγμα, η "πράξη" της μετατόπισης του γραφήματος μιας συνάρτησης κατά 5μονάδες προς τα δεξιά θα συμβολιζόταν ως , όπου ο τελεστής της συγκεκριμένηςπράξης και τυχούσα συνάρτηση επί της οποίας δρα.Ένας πιο πλήρης ορισμός του τελεστή χρησιμοποιεί την έννοια του γραμμικού διανυσματικού χώρου:"Δοθέντων δύο γραμμικών διανυσματικών χώρων και , καλούμε τελεστή ή μετασχηματισμό τη μονότιμηδιανυσματική συνάρτηση, δηλαδή την απεικόνιση Α που δρα ως εξής:".

δηλαδή, σε κάθε διάνυσμα του υποσυνόλου (πεδίο ορισμού) του χώρου , η Α αντιστοιχεί ένα και

μόνο ένα διάνυσμα του υποσυνόλου (πεδίο τιμών) του χώρου .Συμβολικά γράφουμε: , όπου τα βέλη μπορούν να παραλείπονται χάριν απλότητας. Η ίδια σχέση μετο συμβολισμό του Ντιράκ (Dirac) που χρησιμοποιείται ευρέως σε προβλήματα κβαντομηχανικής γράφεται:

. (Ένα σύνολο συναρτήσεων, υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις, μπορούν να θεωρηθούνδιανύσματα που ανήκουν σε έναν αφηρημένο διανυσματικό χώρο με άπειρη διάσταση. Οι τιμές τηςσυνάρτησης αντιστοιχούν τότε στις "συνιστώσες" του διανύσματος).

Τελεστής 157

ΓενικάΗ χρήση της λέξης τελεστής στα μαθηματικά προϋποθέτει τη χρήση συναρτήσεων: ένας τελεστής μπορεί ναληφθεί ως μία ειδική συνάρτηση, που εφαρμόζεται σε κάποια άλλη συνάρτηση. Ένας τελεστής μπορεί να έχειτα ακόλουθα χαρακτηριστικά:• Να υποστηρίζει υπερφόρτωση, κατά την οποία ο ίδιος τελεστής μπορεί να επιδρά σε αριθμούς, διανύσματα,

μήτρες κ.ο.κ. με παρόμοια δράση.• Να αποτελεί γενικά μία μερική συνάρτηση, πράγμα που συνηθίζεται στη θεωρία των διαφορικών

εξισώσεων, αφού δεν υπάρχει εξ αρχής εγγύηση για την ύπαρξη παραγώγων.• Να εφαρμόζεται τελεστής σε τελεστές.Ένας τελεστής μπορεί να δρα πάνω σε περισσότερα από ένα αντικείμενα. Για παράδειγμα, ο τελεστής τηςπρόσθεσης, "+", είναι ένας δυαδικός τελεστής - σε κάθε ζεύγος αντικειμένων (α,β) αντιστοιχεί ένα τρίτοαντικείμενο, το "α+β". Τα αντικείμενα μπορεί να είναι αριθμοί, μήτρες, διανύσματα, συναρτήσεις κ.ο.κ. Έναάλλο παράδειγμα δυαδικού τελεστή είναι η σύνθεση συναρτήσεων που συμβολίζεται με " " και ορίζεται ωςεξής: . Οι δυαδικοί τελεστές κατά το συμβολισμό τοποθετούνται συνήθως ανάμεσα

στα αντικείμενα στα οποία δρουν.Οι τελεστές χρησιμοποιούνται σε επιστήμες όπως τα μαθηματικά, η επιστήμη των υπολογιστών και η Φυσική(με εκτεταμένη χρήση στην κβαντομηχανική).

Τομή ΝτέντεκιντΣτα μαθηματικά, τομή Ντέντεκιντ (Dedekind) από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Ρίχαρντ Ντέντεκιντ,είναι ένα υποσύνολο Τ των ρητών αριθμών με τις εξής ιδιότητες:

• , • αν , και , τότε • αν , τότε υπάρχει τέτοιο ώστε Η ιδέα αυτή των τομών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί η πληρότητα του συνόλου τωνπραγματικών αριθμών χωρίς το αξίωμα της επιλογής. Όλοι οι ρητοί αριθμοί περιγράφονται από μια τομή αλλάμπορούν να βρεθούν τομές οι οποίες δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθμό. Αυτές οι τομές ορίζουμε ναείναι οι άρρητοι αριθμοί. Έτσι η έννοια της τομής προσφέρει ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικώναριθμών από το σύνολο των ρητών, αν δεχθούμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολοόλων των δυνατών τομών.

Τοπολογία 158

ΤοπολογίαΤοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων στα οποία μπορεί να οριστεί μια έννοια "κλειστότητας" έτσι ώστε ναδιακρίνεται η συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται σε αυτά. Είναι, συνεπώς ένα είδοςγενικευμένης γεωμετρίας αφού θεωρούμε κι εδώ σχήματα. Δεν μας ενδιαφέρει όμως η διάσταση ή μιαγενικευμένη ανάλυση αφού εστιάζουμε στην συνέχεια ή μη κάποιων συναρτήσεων. Αντικείμενο μελέτης τηςτοπολογίας είναι ο Τοπολογικός Χώρος. Τοπολογικούς χώρους συναντούμε στην μαθηματική ανάλυση, τηνάλγεβρα και την γεωμετρία.Θεμελιώδεις έννοιες όπως σύγκλιση, όριο, συνέχεια, συνεκτικότητα ή συμπάγεια συναντούν στηντοπολογία την καλύτερη τους μορφοποίηση. Η τοπολογία βασίζεται ουσιαστικά στις έννοιες του τοπολογικούχώρου και του ομοιομορφισμού. Με τον όρο τοπολογία δηλώνεται επίσης η συλλογή ανοιχτών συνόλων πουορίζουν έναν τοπολογικό χώρο.Για παράδειγμα, ένας στερεός κύβος και μια στερεή σφαίρα είναι ομοιόμορφα, μπορούμε δηλαδή ναπαραμορφώσουμε το ένα μέχρι να εξασφαλίσουμε το άλλο χωρίς να κολλήσουμε ή να σχίσουμε οτιδήποτε: δενείναι όμως δυνατόν για παράδειγμα να παραμορφώσουμε μια σφαίρα σε έναν κύκλο με τον ίδιο τρόπο, επειδήη διάσταση ενός αντικειμένου είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που δεν αλλάζει με τις μεταμορφώσεις. Υπό αυτήντην έννοια, η τοπολογία ερευνά τις βαθύτερες ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων.

Ιστορικά στοιχείαΠροάγγελος της τοπολογίας ήταν η αρχαία γεωμετρία. Το άρθρο του Ελβετού μαθηματικού Euler το 1736 γιατις Επτά Γέφυρες του Königsberg θεωρείται ως ένα από τα πρώτα αποτελέσματα που δεν εξαρτώνται απόκανέναν τύπο μέτρησης, δηλαδή ως ένα από τα πρώτα τοπολογικά αποτελέσματα.Ο Georg Cantor, που επινόησε τη θεωρία των συνόλων, ξεκίνησε να μελετά τη θεωρία των συνόλων τωνσημείων στον ευκλείδειο χώρο προς τα τέλη του 19ου αιώνα. Ο Maurice Fréchet εισήγαγε το 1906 την έννοιατου μετρικού χώρου, ενοποιώντας την εργασία των Cantor, Vito Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli κι άλλωνγια τους χώρους των συναρτήσεων. Το 1914 ο Felix Hausdorff, γενικεύοντας την έννοια του μετρικού χώρου,έπλασε τον όρο τοπολογικός χώρος κι όρισε αυτό που σήμερα ονομάζεται χώρος του Hausdorff. Τέλος, το 1922,ο Kuratowsky, με μια επιπρόσθετη μικρή γενίκευση, έδωσε τον ορισμό που έχει σήμερα ο τοπολογικός χώρος.

Τρίγωνο 159

Τρίγωνο

Ένα ευκλείδειο τρίγωνο.

Το τρίγωνο στην γεωμετρία είναι επίπεδο γεωμετρικό σχήμα.Ορίζεται ως μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή τριών σημείων. Έτσι,το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, αυτές που ορίζονται ανά δύο από τασημεία και τρεις γωνίες, τις κυρτές που ορίζονται ανά δύο από τιςπλευρές. Δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου είναι τα ύψη, οιδιχοτόμοι και οι διάμεσοι. Πρόκειται για το μοναδικό σχήμα πουέδωσε το όνομά του σε ένα ολόκληρο μαθηματικό κλάδο, τηνΤριγωνομετρία, γεγονός που καταδεικνύει τη σπουδαιότητά του.

Το τρίγωνο στην ευκλείδεια γεωμετρία

Ταξινόμηση με βάση τα κύρια στοιχεία του τριγώνου

Ταξινόμηση των τριγώνων με βάση τα κύρια στοιχεία τους.

Ανάλογα με τις πλευρές του, ένατρίγωνο κατατάσσεται σε ένα από ταεξής τρία είδη:• Σκαληνό, όταν οι τρεις πλευρές

του είναι άνισες μεταξύ τους.• Ισοσκελές, όταν δύο από τις

πλευρές του είναι ίσες μεταξύτους.

• Ισόπλευρο, όταν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους.Ανάλογα με τις γωνίες του, ένα τρίγωνο κατατάσσεται σε ένα από τα εξής τρία είδη:• Οξυγώνιο, όταν όλες οι γωνίες του είναι οξείες.• Ορθογώνιο, όταν μία γωνία του είναι ορθή.• Αμβλυγώνιο, όταν μία γωνία του είναι αμβλεία.

Ισόπλευρο Ισοσκελές Αμβλυγώνιο σκαληνό Αμβλυγώνιο σκαληνό Οξυγώνιο σκαληνό Ορθογώνιο σκαληνό

.

Τρίγωνο 160

Κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων

Κριτήριοπλευράς-γωνίας-πλευράς.

Κριτήριογωνίας-πλευράς-γωνίας.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τα κύρια στοιχεία τους ίσα, δηλαδή όταν οιπλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες μία προς μία. Για να συμπεράνουμεωστόσο την ισότητα δύο τριγώνων αρκεί να ελέγξουμε λιγότερα από έξιστοιχεία κάθε φορά.

Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύοπλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενή τους γωνία ίση.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ και ΔΕΖ τρίγωνα για τα οποία ισχύει ΑΒ = ΔΕ, ΑΓ =ΔΖ και Α = Δ (ισότητα γωνιών). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ έτσι ώστε ναταυτιστούν οι ημιευθείες ΑΒ και ΔΕ. Από την ισότητα των γωνιών θα έχουμεκαι ταύτιση των ημιευθειών ΑΓ και ΔΖ. Από τις ισότητες των πλευρών τότε θαέχουμε ταύτιση του Β με το Ε και του Γ με το Ζ. Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα.

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύογωνίες ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη πλευρά τους ίση.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με Β = Ε (ισότητα γωνιών), Γ = Ζ(ισότητα γωνιών) και ΒΓ = ΕΖ. Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ = ΔΕ, οπότεσύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Θα τοδείξουμε με απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι ΑΒ > ΔΕ. Θα υπάρχει στηνΑΒ σημείο Η τέτοιο ώστε ΗΒ = ΔΕ. Θεωρούμε την ΗΓ. Επειδή το Η είναιεσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, θα είναι ΗΓΒ < Γ(ανισότητα γωνιών). Τα ΗΒΓ και ΔΕΖ θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριοπλευράς-γωνίας-πλευράς, συνεπώς θα είναι και ΗΓΒ = Ζ (ισότητα γωνιών),που είναι άτοπο επειδή Ζ = Γ > ΗΓΒ (ανισότητα γωνιών). Ανάλογη απόδειξηισχύει και στη περίπτωση που υποθέσουμε ότι ΑΒ < ΔΕ.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς:Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις τρειςπλευρές τους ίσες.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ μεΑΒ = ΔΕ, ΒΓ = ΕΖ και ΑΓ = ΔΖ. Αρκεί ναδείξουμε ότι Α = Δ (ισότητα γωνιών),οπότε με το κριτήριοπλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα.Φέρνουμε την ημιευθεία Εχ έτσι ώστε ΖΕχ= Β (ισότητα γωνιών). Στην Εχ θεωρούμετο σημείο Η για το οποίο ΗΕ = ΑΒ.

Θεωρούμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα ΖΗ και ΔΗ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΕΖ είναι ίσα από το κριτήριοπλευράς-γωνίας-πλευράς, έτσι θα έχουν ΗΖ = ΑΓ και Η = Α (ισότητα γωνιών). Τα τρίγωνα ΕΔΗ και ΖΔΗ είναιισοσκελή, συνεπώς έχουμε Δ1 = Η1 και Δ2 = Η2 (ισότητες γωνιών). Συνεπώς έχουμε Α = Η = Η1 + Η2 = Δ1 + Δ2 =Δ.

Τρίγωνο 161

Ιδιότητες• Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με μία ευθεία γωνία (180°).

Το άθροισμα των γωνιών τριγώνουισούται με μία πλήρη γωνία

Απόδειξη: Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε παράλληλη χΆχπρος την απέναντι πλευρά ΒΓ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα.Επειδή οι χ'Αχ, ΒΓ είναι παράλληλες από κατασκευή, θα έχουμε τιςισότητες γωνιών χ'ΑΒ = Β και χΑΓ = Γ, ως ζεύγη εντός εναλλάξ γωνιών,άρα:

Α + Β + Γ = Α + χ'ΑΒ + χΑΓ = 180°• Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των

απέναντι εσωτερικών γωνιών.• Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε έχουν και

τις τρίτες γωνίες τους ίσες.

• Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτηπλευρά και ίσο με το μισό της.

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τωνδύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλοπρος την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ ένα τρίγωνο και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα. Αν ΚΆ είναι το συμμετρικό του Κ ως προς το Λτότε το ΑΚΆΓΚ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί τουΑΓ και ΚΚΆ διχοτομούνται. Τότε τα Κ'Γ και ΑΚ είναι παράλληλακαι ίσα, καθώς και τα Κ'Γ, ΚΒ· άρα το ΚΚΆΓΒ είναιπαραλληλόγραμμο, αφού έχει ίσες και παράλληλες δύο απέναντιπλευρές. Τότε έχουμε: ΚΚ', ΒΓ παράλληλα και ίσα, άρα 2ΚΛ, ΒΓπαράλληλα και ίσα, άρα ΚΛ, ΒΓ/2 παράλληλα και ίσα.

• Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληληπρος μία άλλη πλευρά τότε η παράλληλη θα διέρχεται από τομέσο της τρίτης πλευράς.

Η παράλληλη από το μέσο πλευράςπρος άλλη πλευρά διέρχεται από το

μέσο της τρίτης πλευράς

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ τρίγωνο και Κ το μέσο της ΑΒ. Φέρνουμε Κχπαράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Λ. Αν υποθέσουμε ότιείναι το μέσο της ΑΓ, τότε, από την προηγούμενη ιδιότητα, η ΚΛΆ θαείναι παράλληλη προς τη ΒΓ. Αυτό είναι άτοπο με βάση το αξίωμαπαραλληλίας, αφού από το Κ θα διέρχονται δύο διαφορετικέςπαράλληλες προς τη ΒΓ.

Το τρίγωνο σε μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Στις Ρημάνειες γεωμετρίες, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνουγενικά διαφέρει των 180° (σε χώρους σταθερής καμπυλότητας η διαφοράείναι γενικά ανάλογη του εμβαδού του τριγώνου).

Τρίγωνο 162

Σφαιρικό τρίγωνοΣφαιρικό τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο που υποτυπώνεται στην επιφάνεια της σφαίρας και του οποίου οιπλευρές αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων αυτής, που τέμνονται ανά δύο.

Τριγωνική ανισότηταΗ τριγωνική ανισότητα στα μαθηματικά είναι μία έκφραση του ότι «μεταξύ δύο σημείων, συντομωτέρα οδόςη ευθεία». Συγκεκριμένα εκφράζει ότι σε ένα τρίγωνο, το μήκος κάθε πλευράς είναι μικρότερο από τοάθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, καθώς και μεγαλύτερο από τη διαφορά τους.

Στη μαθηματική ανάλυσηΑς είναι x και y δύο πραγματικοί αριθμοί. Η τριγωνική ανισότητα γράφεται

όπου με |x| συμβολίζουμε την απόλυτη τιμή του αριθμού x.Γενικότερα, σε έναν μετρικό χώρο (X,d) η τριγωνική ανισότητα λαβαίνεται ως αξίωμα:

και σε έναν νορμικό χώρο (V,||.||):

για οποιαδήποτε διανύσματα x,y του V.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία

Τριγωνική ανισότητα

• Τριγωνική ανισότητα: Κάθε πλευρά σε τρίγωνο είναι μικρότερη από τοάθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ. Προεκτείνουμε την γ προς το Α καιπαίρνουμε ΑΔ = β. Το τρίγωνο ΑΓΔ δηλαδή είναι ισοσκελές, άρα Δ = ΑΓΔ <ΒΓΔ και έτσι α < β + γ.

Με κυκλική εναλλαγή προκύπτει επίσης ότι β < γ + α και γ < α + β.Εφόσον τώρα είναι β > γ, από το ότι β < γ + α παίρνουμε β - γ < α. Αποδείξαμετελικά ότι ισχύει

|β - γ| < α < β + γ

• Η τριγωνική ανισότητα είναι στην πραγματικότητα ένα κριτήριο τριγώνων, υπό την έννοια ότι αν δίνονταιτρία μήκη α, β και γ, αυτά θα είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα.

Τριγωνική ανισότητα 163

Πολυγωνική ανισότητα

• Πολυγωνική ανισότητα: Το ευθύγραμμοτμήμα που ενώνει δύο σημεία είναι μικρότεροαπό κάθε τεθλασμένη που ενώνει τα σημείααυτά.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα καιΑΣ1Σ2Σ3…Σν-1ΣνΒ μία τεθλασμένη. Φέρνουμεόλες τις διαγωνίους από το Β. Από τις τριγωνικέςανισότητες στα τρίγωνα που σχηματίζονταιπαίρνουμε διαδοχικά:

ΤριγωνομετρίαΤριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη ειδικών συναρτήσεων τωνγωνιών και τις εφαρμογές τους σε διάφορους υπολογισμούς , όπως στην επίλυση τριγώνου, δηλαδή με τονπροσδιορισμό άγνωστων στοιχείων τριγώνου, σε συνάρτηση πλευρών και γωνιών. Η τριγωνομετρία ανάλογατου είδους των τριγώνων διακρίνεται σε επίπεδη και σφαιρική τριγωνομετρία.

Ιστορική αναδρομήΟ όρος τριγωνομετρία καθιερώθηκε το 1595 από τον Γερμανό μαθηματικό Bartholomäus Pitiscus στο έργο τουTrigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus. Εντούτοις η τριγωνομετρίααναπτύχθηκε και ήταν μέρος των μαθηματικών από την αρχαιότητα. Ο Αρίσταρχος χρησιμοποίησε ορθογώνιατρίγωνα για να υπολογίσει την απόσταση της Γης από την Ήλιο και την Σελήνη. Οι αστρονόμοι Ίππαρχος καιΠτολεμαίος χρησιμοποιούσαν καταλόγους που μετέτρεπαν γωνίες κύκλου σε μήκος χορδής, η γνωστή σε μαςτριγωνομετρική συνάρτηση του ημίτονου.Οι Άραβες υιοθέτησαν τις τριγωνομετρικές μελέτες των αρχαίων Ελλήνων και των Ινδών και ανάπτυξαν τηνσφαιρική τριγωνομετρία. Οι μαθηματικοί της Ευρώπης μυήθηκαν στην τριγωνομετρία ον 15ο αιώνα, όταν τηνεποχή της Αναγέννησης ασχολήθηκαν με τον υπολογισμό βαλλιστικών τροχιών. Ο Γερμανός αστρονόμοςΡεγιομοντάνος σύνταξε μια πεντάτομη διδασκαλία της επίπεδης και σφαιρικής τριγωνομετρία με τίτλο Detriangulis omnimodis. Σήμερα ο τρόπος γραφής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων βασίζεται κατά μεγάλοβαθμό στα έργα του Όιλερ.

Τριγωνομετρία 164

Επίπεδη τριγωνομετρία

Σχήμα 1

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος 1, ορίζουμε τους εξήςτριγωνομετρικούς αριθμούς:

Γενικότερα, μια οποιαδήποτε γωνία ω μπορούμε να την θέσουμε σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, όπωςφαίνεται στο Σχήμα 2, και από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται, να έχουμε τους τρειςτριγωνομετρικούς αριθμούς. Συγκεκριμένα:

Τριγωνομετρία 165

Ιδιότητες

Σχήμα 2

Για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ισχύουν ταπαρακάτω:

• και

• και

• , και

•

•• Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ο νόμος των ημιτόνων:

όπου α, β και γ είναι οι πλευρές απέναντι από τις γωνίες Α, Β και Γ αντίστοιχα.• Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι νόμοι των συνημιτόνων:

Μια και , ο νόμος του συνημιτόνου για την ορθή γωνία ορθογώνιου τριγώνου, όπως στο Σχήμα 1,

δίνει το πυθαγόρειο θεώρημα:

Τριγωνομετρία 166

Σφαιρική τριγωνομετρίαΗ σφαιρική τριγωνομετρία αποτελεί εν μέρει αντικείμενο της ουράνιας μηχανικής στην αστρονομία και αφοράστην επίλυση σφαιρικών τριγώνων.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι• Τυπολόγιο σφαιρικής τριγωνομετρίας (στα Ελληνικά) (pdf) [1]

Τριγωνομετρική συνάρτηση 168

Στα μαθηματικά, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις γωνιών, δηλαδή συναρτήσεις τηςοποίας το όρισμα είναι γωνία. Πολλές φορές το όρισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν είναι άμεσααντιληπτό ως γωνία, οπότε ονομάζεται (φάση). Είναι σημαντικές στη μελέτη τριγώνων και την μοντελοποίησηπεριοδικών φαινομένων, μεταξύ των άλλων. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται συνήθως ως λόγοςτων δυο πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου που περιέχει τη δεδομένη γωνία, και μπορούν ισοδύναμα ναοριστούν ως το μήκος διαφόρων ευθύγραμμων τμημάτων σε ένα μοναδιαίο κύκλο. Νεώτεροι ορισμοίεκφράζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως εκθετικές συναρτήσεις μιγαδικών αριθμών. Επιπλέον οιτριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να εκφρασθούν και σαν αθροίσματα απειροσειρών που επιτρέπουν τοναριθμητικό υπολογισμό της τιμής τους.Στη σύγχρονη τριγωνομετρία, υπάρχουν έξι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που παρουσιάζονται εδώμαζί με τις εξισώσεις που τις συσχετίζουν μεταξύ τους. Ειδικά στην περίπτωση των τελευταίων τεσσάρων,αυτές οι σχέσεις συχνά δίνονται ως ορισμοί των συναρτήσεων αυτών, αλλά μπορούν να οριστούν εξίσου καλάγεωμετρικά ή με άλλα μέσα, και στη συνέχεια να αποδειχθούν οι σχέσεις αυτές.

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί και τριγωνομετρία

Σχήμα 1

Χρησιμοποιώντας τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορούννα οριστούν οι τρεις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ηεφαπτομένη, το ημίτονο και το συνημίτονο. Επιπλέον μπορεί ναοριστεί και η συνάρτηση συνεφαπτομένη. Αυτές οι συναρτήσειςορίζονται ως προς μια οξεία γωνία θ του τριγώνου. Η θ συνήθωςμετριέται σε ακτίνια ή μοίρες. Αν η γωνία δε μετριέται σε ακτίνια,τότε η γωνία γράφεται μαζί με τις μονάδες μέτρησης.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο κάθετες μεταξύ τους πλευρές καιμια υποτείνουσα. Οι κάθετες είναι αυτές που σχηματίζουν μεταξύτους ορθή γωνία, ενώ η υποτείνουσα είναι η τρίτη πλευρά πουσχηματίζει οξείες γωνίες με τις υπόλοιπες δύο πλευρές. Στο Σχήμα 1, οι κάθετες είναι οι πλευρές c και b, ενώ ηυποτείνουσα είναι η a.

Με βάση μια οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ορίζουμε ως προσκείμενη (κάθετη) πλευρά την πλευράτου τριγώνου που είναι ταυτόχρονα και πλευρά της γωνίας. Επιλέον, ως απέναντι (κάθετη) πλευρά της γωνίαςορίζουμε την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. Στο συγκεκριμένο σχήμα προσκείμενη πλευρά είναι η b, καιαπέναντι πλευρά η c.Οι τρεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως συναρτήσεις μόνο της γωνίας θ, γιατί αποδεικνύεται ότι ητιμή τους δεν εξαρτάται από το μήκος των πλευρών, αλλά μόνο από τη γωνία θ. Το πεδίο ορισμού των

Τριγωνομετρική συνάρτηση 169

συναρτήσεων όπως ορίζονται με βάση ορθογώνιο τρίγωνο είναι από μηδέν μέχρι π/2 ακτίνια, δηλαδή η γωνίαθ πρέπαι να είναι οξεία.

ΕφαπτομένηΣε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως εφαπτομένη της γωνίας θ του τριγώνου το πηλίκο της απέναντιπλευράς διά την προσκείμενη πλευρά. Συμβολίζεται με εφθ, στα ελληνικά ή tanθ διεθνώς. Η εφαπτομένη,όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός.

ΗμίτονοΣε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως ημίτονο της γωνίας θ του τριγώνου το πηλίκο της απέναντι κάθετηςπλευράς διά την υποτείνουσα. Συμβολίζεται με ημθ, στα ελληνικά ή sinθ διεθνώς. Το ημίτονο, όπως έχειοριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του ενός. Η απέναντιπλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Το όνομα τηςσυνάρτησης οφείλεται στο ημίτονο σε ένα πολύ σημαντικό ορθογώνιο τρίγωνο, το ορθογώνιο τρίγωνο μεγωνίες 90, 60 και 30 μοιρών στις γωνίες. Το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 1/2, δηλαδή η απέναντι πλευρά είναιτο μισό του τόνου, όπου με τον όρο τόνος εννοείται το μήκος της υποτείνουσας.

ΣυνημίτονοΣε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως συνημίτονο της γωνίας θ του τριγώνου το πηλίκο της προσκείμενηςκάθετης πλευράς διά την υποτείνουσα. Συμβολίζεται με συνθ, στα ελληνικά ή cosθ διεθνώς. Το συνημίτονο,όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του ενός. Ηπροσκείμενη πλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Τοόνομά του οφείλεται στο όνομα του ημιτόνου, συνημίτονο είναι ο τριγωνομετρικός αριθμός που συνοδεύει τοημίτονο. Γενικά κάθε τριγωνομετρικός αριθμός συνοδεύεται από κάποιον άλλον, και το όνομά του προκύπτειαπό την προσθήκη του προθέματος συν πριν από το όνομά του.

ΣυνεφαπτομένηΣε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως συνεφαπτομένη της γωνίας θ του τριγώνου το πηλίκο της προσκείμενηςπλευράς δια την απέναντι πλευρά. Συμβολίζεται με σφθ, στα ελληνικά ή cotθ διεθνώς. Η συνεφαπτομένη,όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός.Επιπλέον ορίζονται και οι εξής τριγωνομετρικοί αριθμοί:• Τέμνουσα(sec): Το κλάσμα 1/cosθ.• Συντέμνουσα(csc): Το κλάσμα 1/sinθ.Παρατηρούμε ότι δεδομένου των συναρτήσεων ημίτονο και συνημίτονο. Αν ορίσουμε έναν άλλοτριγωνομετρικό αριθμό με μία σχέση που περιλαμβάνει ημίτονα και συνημίτονα, ο αντίστοιχος συν-τριγωνομετρικός αριθμός προκύπτει, αν στη σχέση αντιμεταθέσουμε τα ημίτονα και τα συνημίτονα.Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα ότιsin2x+cos2x=1.

Τριγωνομετρική συνάρτηση 170

Γενίκευση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (στους πραγματικούςαριθμούς)

Τριγωνομετρικός κύκλοςΟι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να γενικευθούν μέσω του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων.Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και πάνω σε αυτό μοναδιαίος κύκλος με κέντρο την αρχήτων αξόνων. Θεωρούμε τη γωνία θ ως τη γωνία του θετικού ημιάξονα x'x και της θέσης που θα λάβει ο θετικόςημιάξονας x'x, αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά, για να διαγράψει γωνία θ. Ως θετική φορά θεωρείται ηφορά κατά την οποία η μεταβλητή πλευρά αρχίζει την πορεία της στο πρώτο τεταρτημόριο, δηλαδή κατά τηναντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού. Τότε η μεταβλητή πλευρά της γωνίας τέμνει το μοναδιαίο κύκλο σεένα σημείο. Έστω οι συντεταγμένες του χ, ψ. Το τόξο που αντιστοιχεί στη γωνία προφανώς είναι του ίδιουμεγέθους με τη γωνία. Επειδή ο κύκλος είναι μοναδιαίος, δηλαδή έχει ακτίνα ίση με τη μονάδα, το μήκος τουτόξου ισούται με το μέτρο της γωνίας (σε ακτίνια).Τότε μπορούμε να ορίσουμε εκ νέου τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, ώστε σαν πεδίο ορισμού να δέχονταιοποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, δηλαδή η γωνία θ δεν είναι ανάγκη πλέον να είναι οξεία, μπορεί να είναιοποιαδήποτε. Αν η γωνία θ είναι μεγαλύτερη από μία πλήρη γωνία, τότε η μεταβλητή πλευρά εκτελεί μιαπλήρη περιστροφή και συνεχίζει. Αν η γωνία θ είναι αρνητική, τότε η περιστροφή θεωρείται κατά τηναρνητική φορά. Με αυτήν τη γενίκευση οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν ως ανεξάρτητη μεταβλητήοποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και όχι υποχρεωτικά γωνία. Γι' αυτό η ανεξάρτητη μεταβλητή τωντριγωνομετρικών συναρτήσεων ονομάζεται φάση.

Ορισμός τωντριγωνομετρικώνσυναρτήσεων

Ορίζουμε ως ημίτονο την τεταγμένηψ του σημείου και ως συνημίτονο τηντετμημένη χ. Έτσι, οι συναρτήσειςαυτές πλέον μπορούν να λάβουνοποιαδήποτε τιμή μεταξύ του ένακαι του πλην ένα.Για τους υπόλοιπουςτριγωνομετρικούς αριθμούςχρησιμοποιούμε τη σχέση τους με τοημίτονο και το συνημίτονο. Έτσι:• tanθ=sinθ/cosθ• cotθ=cosθ/sinθ• secθ=1/cosθ• cscθ=1/sinθ

Τριγωνομετρική συνάρτηση 171

Γεωμετρική ερμηνεία των τριγωνομετρικών αριθμώνΓεωμετρικά στο καρτεσιανό επίπεδο αυτοί οι αριθμοί αντιστοιχούν σε ευθύγραμμα τμήματα, ενώ η τιμή τουςείναι ίση με το μήκος τους (κατά απόλυτη τιμή). Πιο συγκεκριμένα:• Το ημίτονο ισούται με το απόστημα στον άξονα x'x.• Το συνημίτονο ισούται με το απόστημα στον άξονα y'y.• Η εφαπτομένη ισούται με την τεταγμένη της τομής της μεταβλητής πλευράς με τον άξονα των

εφαπτομένων. Ο άξονας αυτός προκύπτει από τη μετατόπιση του άξονα y'y κατά μία μονάδα στον άξοναx'x. Εφάπτεται στο μοναδιαίο κύκλο στο σημείο (1,0).

• Η συνεφαπτομένη ισούται με την τετμημένη της τομής της μεταβλητής πλευράς με τον άξονα τωνσυνεφαπτομένων. Ο άξονας αυτός προκύπτει από τη μετατόπιση του άξονα x'x κατά μία μονάδα στονάξονα y'y. Εφάπτεται στο μοναδιαίο κύκλο στο σημείο (0,1).

Θεωρούμε την εφαπτομένη ευθεία στο μοναδιαίο κύκλο στο σημείο τομής του κύκλου με τη μεταβλητή πλευρά.Τότε αυτή έχει σημείο τομής με τον άξονα x'x (άξονας των συνημιτόνων) και τον άξονα y'y (άξονας τωνημιτόνων).• Η τέμνουσα ισούται με την τετμημένη του σημείου τομής με τον άξονα των συνημιτόνων.• Η συντέμνουσα ισούται με την τεταγμένη του σημείου τομής με τον άξονα των ημιτόνων.Θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο, που προκύπτει από τη γωνία θ, και το κάθετο στον άξονα x'x ευθύγραμμοτμήμα από το σημείο τομής της μεταβλητής πλευράς με τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε αν η γωνία θ είναιοξεία, με βάση του ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου στο ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ότι ημθ=ψ/1=ψκαι συνθ=χ/1=χ. Έτσι, αποδείχθηκε ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί που ορίστηκαν με βάση τον τριγωνομετρικόκύκλο είναι γενίκευση των τριγωνομετρικών αριθμών που ορίστηκαν με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο.

Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες

Συνάρτηση Συμβολισμός Διεθνήςσυμβολισμός

Ταυτότητες

Ημίτονο ημ sin

Συνημίτονο συν cos

Εφαπτομένη εφ tan(or tg)

Συνεφαπτομένη σφ cot(or ctg or ctn)

Συντέμνουσα στεμ csc(or cosec)

Τέμνουσα τεμ sec

Τριγωνομετρική συνάρτηση 172

Μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεωνΟι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής. Η φάση είναιπραγματικός αριθμός, αντιστοιχίζεται πρώτα στην αντίστοιχη γωνία με μέτρο την ανεξάρτητη μεταβλητή σεακτίνια και έπειτα στον αντίστοιχο τριγωνομετρικό αριθμό. Για παράδειγμα sin5=sin(5rad). Από τη μελέτητους ως συναρτήσεις προκύπτουν τα παρακάτω:

Ημίτονο

Η δημιουργία της γραφικής παράστασης τουημιτόνου. Χρησιμοποιείται ο ακόμη πιο

γενικευμένος ορισμός με το μιγαδικό εψιλοτικόμετασχηματισμό.

Η γραφική παράσταση του ημιτόνου.

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης ημίτονο είναι οι πραγματικοίαριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-1,1], ενώ η συνάρτηση δενείναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναιπαραγωγίσιμη με (sinx)'=cosx. Σε διάστημα μιας περιόδου(θεωρείται το διάστημα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτησηημίτονο είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [0,π/2], γνήσιαφθίνουσα και κοίλη στο [π/2,π], γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο[π,3π/2], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [3π/2,2π). Παρουσιάζειμέγιστο την τιμή 1 στο π/2, ελάχιστο την τιμή -1 στο 3π/2 και δύοσημεία καμπής, ένα στο 0 και ένα στο π.

Συνημίτονο

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνημίτονο είναι οι πραγματικοίαριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-1,1], ενώ η συνάρτηση δενείναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναιπαραγωγίσιμη με (cosx)'=-sinx. Σε διάστημα μιας περιόδου(θεωρείται το διάστημα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτησησυνημίτονο είναι γνήσια φθινουσα και κοίλη στο [0,π/2], γνήσιαφθίνουσα και κυρτή στο [π/2,π], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο[π,3π/2], γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [3π/2,2π). Παρουσιάζειμέγιστο την τιμή 1 στο 0, ελάχιστο την τιμή -1 στο π και δύο σημείακαμπής, ένα στο π/2 και ένα στο 3π/2.

Εφαπτομένη

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης της εφαπτομένης φαίνεται παρακάτω.(προσοχή η γωνία μετριέται σε μοίρες!)

Πεδίο ορισμού της συνάρτησηςεφαπτομένη είναι οι πραγματικοίαριθμοί, εξαιρουμένων αυτών πουμηδενίζουν τη συνάρτησησυνημίτονο, δηλαδή των αριθμώντης μορφής x=κπ +π/2, όπου κακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμώνείναι το σύνολο όλοι οι πραγματικοίαριθμοί, ενώ η συνάρτηση δεν είναιένα προς ένα, ως περιοδική, μεπερίοδο Τ=π. Είναι παραγωγίσιμη με

Τριγωνομετρική συνάρτηση 173

(tanx)'=1/cos2x=sec2x. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα (-π/2,π/2) ως αντιπροσωπευτικό) ησυνάρτηση εφαπτομένη είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο (-π/2,0], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [0,π/2).Παρουσιάζει σημείο καμπής στο μηδέν και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες y=-π/2, y=π/2.Γεωμετρικά, όταν η φάση είναι μηδέν, η γωνία θ είναι μηδενική, τότε προφανώς και η εφαπτομένη της θ θαείναι μηδενική, αφού η υποτείνουσα του τριγώνου θα είναι παράλληλη στον άξονα x, δηλαδή θα έχει μηδενικήκλίση και η απέναντι κάθετη πλευρά θα είναι κι αυτή μηδενική, δηλαδή Δy=0. Η εφαπτομένη της γωνίας θαπειρίζεται όταν θ=90ο, αφού σ'αυτήν την περίπτωση, η απόσταση Δy είναι άπειρη και η κλίση τηςυποτείνουσας είναι κάθετη προς τον άξονα x.

ΣυνεφαπτομένηΠεδίο ορισμού της συνάρτησης συνεφαπτομένη είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών πουμηδενίζουν τη συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής x=κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός. Σύνολοτιμών είναι το σύνολο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, μεπερίοδο Τ=π. Είναι παραγωγίσιμη με (cotx)'=-1/sin2x=csc2x. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται τοδιάστημα (0,π) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο(0,π/2], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [π/2,π). Παρουσιάζει σημείο καμπής στο π/2 και κατακόρυφεςασύμπτωτες τις ευθείες y=0, y=π.

Τέμνουσα

Γραφική παράσταση της τέμνουσας

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης τέμνουσαείναι οι πραγματικοί αριθμοί,εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τησυνάρτηση συνημίτονο, δηλαδή τωναριθμών της μορφής x=κπ+π/2, όπου κακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι τοσύνολο των πραγματικών αριθμώνεξαιρουμένου του τμήματος (-1,1), ενώ ησυνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ωςπεριοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναιπαραγωγίσιμη με(secx)'=sinx/cos2x=tanx/cosx. Σε διάστημαμιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα(-π/2,π/2)U(π/2,3π/2) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση τέμνουσα είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο(-π/2,0], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [0,π/2), γνήσια αύξουσα και κοίλη στο (π/2,π], γνήσια φθίνουσα καικοίλη στο [π,3π/2). Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή 1 στο 0, τοπικό μέγιστο με τιμή -1 στο π καικατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες y=π/2, y=3π/2.

ΣυντέμνουσαΠεδίο ορισμού της συνάρτησης συντέμνουσα είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών πουμηδενίζουν τη συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής x=κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός. Σύνολοτιμών είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών εξαιρουμένου του τμήματος (-1,1), ενώ η συνάρτηση δενείναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι παραγωγίσιμη με (cscx)'=-cosx/sin2x=-cotx/sinx. Σεδιάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα (0,π)U(π,2π) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση τέμνουσαείναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο (0,π/2], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [π/2,π), γνήσια αύξουσα καικοίλη στο (π,3π/2], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [3π/2,2π). Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή 1 στο π/2,τοπικό μέγιστο με τιμή -1 στο 3π/2 και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες y=0, y=π.

Τριγωνομετρική συνάρτηση 174

Αρμονική συνάρτηση

Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναιοι ίδιες συναρτήσεις, η μία είναι αποτέλεσμα

της μετατόπισης της άλλης.

Παρατηρήθηκε ότι ισχύει cosx=sin(x+π/2). Επιπλέον, στημοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινομένων, όπως η απλήαρμονική ταλάντωση εμφανίζονται συναρτήσεις της μορφήςsin(x+α), όπου α μπορεί να είναι οποιαδήποτε γωνία (σε ακτίνια).Έτσι, μπορεί να οριστεί μια τριγωνομετρική συνάρτηση, η αρμονικήσυνάρτηση, η οποία είναι της παραμετρικής μορφής sin(x+α).Ουσιαστικά η αρμονική συνάρτηση είναι η συνάρτηση ημίτονομετατομπισμένη στον άξονα x'x κατά -α μονάδες.

Πεδίο ορισμού της αρμονικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοίαριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-1,1], ενώ η συνάρτηση δενείναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναιπαραγωγίσιμη με (sin(x+α))'=sin(x+α+π/2), δηλαδή η παράγωγός της αρμονικής συνάρτησης είναι αρμονικήσυνάρτηση. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα [-α,2π-α) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτησηημίτονο είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [-α,π/2-α], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [π/2-α,π-α], γνήσιαφθίνουσα και κυρτή στο [π-α,3π/2-α], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [3π/2-α,2π-α). Παρουσιάζει μέγιστο τηντιμή 1 στο π/2-α, ελάχιστο την τιμή -1 στο 3π/2-α και δύο σημεία καμπής, ένα στο -α και ένα στο π-α.

Η αρμονική συνάρτηση έχει άπειρα σημεία συμμετρίας, όλες τις ρίζες της. Επιπλέον έχει άπειρουςκατακόρυφους άξονες συμμετρίας, όλες τις κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από τα μέγιστα και ταελάχιστά της.Με βάση τον ορισμό της αρμονικής συνάρτησης προκύπτει ότι οι συναρτήσεις sinx, cosx, -sinx, -cosx, είναιπεριπτώσεις της αρμονικής συνάρτησης. Επιπλέον, η αρμονική συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως cos(x+α).Ανεξάρτητα ποια τριγωνομετρική συνάρτηση θα χρησιμοποιηθεί ως βάση για τον ορισμό της το νόημα είναιότι οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο, όπως και άλλες παρόμοιες συναρτήσεις, είναι παραμετρικέςμορφές της ίδιας συνάρτησης.

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσειςΓια κάθε τριγωνομετρική συνάρτηση ορίζεται αντίστοιχη αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση. Οιαντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ορίζονται με βάση τμήμα του πεδίου ορισμού τωντριγωνομετρικών, στο οποίο αυτές είναι ένα προς ένα. Προφανώς αυτό το τμήμα είναι τμήμα περιόδου. Γιαπαράδειγμα η συνάρτηση ημίτονο είναι ένα προς ένα στο [-π/2,π/2], και με βάση αυτό ορίζεται η αντίστροφητης. Ονομάζονται και τόξο της τριγωνομετρικής συνάρτησης που αντιστοιχούν, γιατί αντιστοιχούν το δοσμένοτριγωνομετρικό αριθμό σε αντίστοιχη γωνία, άρα και στο μήκος του αντίστοιχου τόξου του μοναδιαίου κύκλου.Η γωνία στην οποία αντιστοιχούν οι αντίστροφες πάντα εντός μιας πλήρης περιστροφής. Συνήθως οιαντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σε θετικές γωνίες, εκτός αν προκύπτει ασυνεχής ηαντίστροφη συνάρτηση, ή δεν είναι δυνατό να οριστεί πλήρως η αντίστροφη, οπότε αντιστοιχούν και σεαρνητικές γωνίες.

Τριγωνομετρική συνάρτηση 175

Αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου

Γραφική παράσταση του τόξου ημιτόνου

Θεωρούμε τη συνάρτηση ημίτονο στο [-π/2,π/2], όπου είναι έναπρος ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο ημιτόνου καισυμβολίζεται με arc sin x.

Πεδίο ορισμού του τόξου ημιτόνου είναι το [-1,1]. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-π/2,π/2], ενώ η συνάρτηση

είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη. Είναι παραγωγίσιμη με .Η συνάρτηση τόξο

ημιτόνου είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [-1,0], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [0,1]. Παρουσιάζει μέγιστοτην τιμή π/2 στο 1, ελάχιστο την τιμή -π/2 στο -1 και σημείο καμπής στο 0.

Αντίστροφη συνάρτηση του συνημιτόνου

Θεωρούμε τη συνάρτηση συνημίτονο στο [0,π], όπου είναι ένα προς ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεταιτόξο συνημιτόνου και συμβολίζεται με arc cos x.Πεδίο ορισμού του τόξου συνημιτόνου είναι το [-1,1]. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [0,π], ενώ η συνάρτηση

είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη. Είναι παραγωγίσιμη με . Η συνάρτηση τόξο

συνημιτόνου είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο [-1,0], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [0,1]. Παρουσιάζειμέγιστο την τιμή π στο -1, ελάχιστο την τιμή 0 στο 1 και σημείο καμπής στο 0.

Υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσειςΚύριο άρθρο υπερβολικές συναρτήσεις

Ορισμός υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεωνΟρίζονται με βάση την εκθετική συνάρτηση ex. Ουσιαστικά είναι η περιττή και άρτια συνάρτηση των οποίωντο άθροισμα ισούται με τη συνάρτηση ex. Ορίζεται:• Υπερβολικό ημίτονο

• Υπερβολικό συνημίτονο

• Υπερβολική εφαπτομένη

Τριγωνομετρική συνάρτηση 176

• Υπερβολική συνεφαπτομένη

• Υπερβολική τέμνουσα

• υπερβολική συντέμνουσα

Σύγκριση υπερβολικών (τριγωνομετρικών) συναρτήσεων και (κυκλικών)τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Σύγκριση κυκλικών και υπερβολικώντριγωνομετρικών συναρτήσεων. Προσέξτε ότιη ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το εμβαδόν του

γραμμοσκιασμένου χωρίου.

Παρατηρούμε ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν άμεσησχέση με τις κωνικές τομές. Πιο συγκεκριμένα οι απλές ή κυκλικέςτριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σε κύκλο (και κατ'επέκταση σε έλλειψη), ενώ οι υπερβολικές συναρτήσεις στηνισοσκελή υπερβολή (και κατ' επέκταση στις υπερβολές). Αυτόγίνεται αντιληπτό από τις βασικές σχέσεις που συνδέουν ταημίτονα και τα συνημίτονα:

• cos2x+sin2x=1 Συνδέουν τα ημίτονα και τα συνημίτονα στιςαπλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το σημείο (cos2x,sin2x)ανήκει σε κύκλο ακτίνας 1. Είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

• cosh2x-sinh2x=1 Συνδέουν τα ημίτονα και συνημίτονα στιςυπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το σημείο(cosh2x,sinh2x) ανήκει στο δεξιό κλάδο ισοσκελούς υπερβολής.

Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ένα μοναδιαίοκύκλο και μια ισοσκελής υπερβολή με εξισώσεις x2+y2=1 και x2-y2=1 αντίστοιχα. Θεωρούμε και ένανμεταβλητό ημιάξονα Οz. Έστω το εμβαδόν που περικλείεται από τον ημιάξονα, τον άξονα x'x και το μοναδιαίοκύκλο Εc, και το σημείο τομής του ημιάξονα με τον κύκλο Μc. Έστω, επίσης, το εμβαδόν που περικλείεται απότον ημιάξονα, τον άξονα x'x και την υπερβολή Eh και το σημείο Μh. Αποδεικνύεται ότι όταν το εμβαδόν Ε έιναιθ/2, τότε το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (συνημίτονο,ημίτονο). Δηλαδή η ανεξάρτητη μεταβλητή τωντριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι το εμβαδόν (για την ακρίβεια είναι ολοκλήρωμα).

Όμως στις κυκλικες τριγωνομετρικές συναρτήσεις οι ορισμοί βασίζονται στη γωνία και όχι το εμβαδόν. Τοφαινομενικό παράδοξο λύνεται από τον τύπο Ε=θ/2, που δίνει το εμβαδόν κυκλικού τομέα συναρτήσει τηςγωνίας θ (μετρημένη σε ακτίνια.

Τριγωνομετρική συνάρτηση 177

Γενίκευση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (στους μιγαδικούςαριθμούς)Η γενίκευση αυτή δε μπορεί να γίνει άμεσα, επειδή δεν υπάρχουν (αντιληπτές) μιγαδικές γωνίες ή εμβαδά.Αρχικά, αποδείχθηκαν ποιες σειρές Taylor αντιστοιχούν στο ημίτονο, το συνημίτονο, το υπερβολικό ημίτονοκαι το υπερβολικό συνημίτονο. Επαναθεωρώντας τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου, μπορούμενα τα ορίσουμε ως σειρές Taylor, δηλαδή ως πολυώνυμα άπειρων όρων. Έτσι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμεως ανεξάρτητη μεταβλητή οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό. Επίσης, αποδείχθηκαν με βάση αυτές τις σειρές καιοι εξής σχέσεις:

Η δημιουργία της γραφικής παράστασης τουημιτόνου. Χρησιμοποιείται ο ακόμη πιο

γενικευμένος ορισμός με το μιγαδικό εψιλοτικόμετασχηματισμό.

• eix=cosx+isinx• eiπ+1=0• sinx=(eix-e-ix)/2i• cosx==(eix+e-ix)/2Στην περίπτωση της πρώτης εξίσωσης, αν θεωρήσουμε τηνανεξάρτητη μεταβλητή στον πραγματικό άξονα και τηνεξαρτημένη στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η τρισδιάστατη γραφικήπαράσταση είναι έλικας.

Κατηγοριοποίηση των τριγωνομετρικώνσυναρτήσεων

• Κυκλικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις• Βασικές:

• ημίτονο (sinx)• συνημίτονο (cosx) και• εφαπτομένη (tanx)

• Δευτερεύουσες:• συνεφαπτομένη (cotx)• τέμνουσα (secx)• συντέμνουσα (cscx)

• Αντίστροφες κυκλικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων• τόξο ημιτόνου (arcsinx)• τόξο συνημιτόνου (arccosx)• τόξο εφαπτομένης (arctanx)• τόξο συνεφαπτομένης (arccotx)• τόξο τέμνουσας (arcsecx)• τόξο συντέμνουσας (arccscx)

• Υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις• υπερβολικό ημίτονο (sinhx)• υπερβολικό συνημίτονο (coshx)• υπερβολική εφαπτομένη (tanhx)• υπερβολική συνεφαπτομένη (cothx)• υπερβολική τέμνουσα (sectx)• υπερβολική συντέμνουσα (csctx)

• Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις

Τριγωνομετρική συνάρτηση 178

• αντίστροφη υπερβολικού ημιτόνου (sinhx)-1

• αντίστροφη υπερβολικού συνημιτόνου (coshx)-1

• αντίστροφη υπερβολικής εφαπτομένης (tanhx)-1

• αντίστροφη υπερβολικής συνεφαπτομένης (cothx)-1

• αντίστροφη υπερβολικής τέμνουσας (sechx)-1

• αντίστροφη υπερβολικής συντέμνουσας (cschx)-1

Χρησιμότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεωνΟι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν οριστεί τουλάχιστον τρεις φορές, ενώ υπάρχουν τουλάχιστον είκοσιτέσσερις διαφορετικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (υπάρχουν και μέρικες που συναντόνται σπάνια που δεναναφέρονται στο άρθρο). Ο λόγος της μαγάλης ανάπτυξης της μελέτης τους είναι η χρησιμότητα τους στημηχανική, τη φυσική και άλλες επιστήμες. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:• Συνδέουν τα μήκη των πλευρών των τριγώνων με τις γωνίες τους.• Αυτές οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση περιοδικών φαινομένων, όπως η ταλάντωση, το

κύμα, το ηλεκτρικό ρεύμα, τις τηλεπικοινωνίες και άλλα.• Εμφανίζονται πολλές φορές στη επίλυση των διαφορικών εξισώσεων.• Χρησιμοποιούνται στον απειροστικό λογισμό, συνήθως στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων.• Συνδέουν το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με το πολικό σύστημα συντεταγμένων.• Με βάση αυτές εκφράζονται οι παραμετρικές εξισώσεις των κωνικών τομών.• Συνδέουν τις εκθετικές εκφράσεις με το μιγαδικό επίπεδο.

Υπερβολικές συναρτήσεις

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh, cosh και tanh

Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσειςείναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ήκυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικέςσυναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο(συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο(cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολικήεφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές,κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικώνσυναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκανέτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μίαυπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση τωντριγωνομετρικών συναρτήσεων με τηνπεριφέρεια.[1]

Αλγεβρικές εκφράσεις

• Υπερβολικό ημίτονο

Υπερβολικές συναρτήσεις 179

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch, sech και coth

• Υπερβολικό συνημίτονο

• Υπερβολική εφαπτομένη

• Υπερβολική συνεφαπτομένη

• Υπερβολική τέμνουσα

• υπερβολική συντέμνουσα

Όπου είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως .

Χρήσιμες σχέσεις

Οπότε:

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττέςσυναρτήσεις.

Υπερβολικές συναρτήσεις 180

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.[2] :

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους

Παράγωγοι

Υπερβολικές συναρτήσεις 181

Συνήθη ολοκληρώματα

Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

Σχέσεις με σειρά ΤέιλορΕίναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

(Σειρά Laurent)

Υπερβολικές συναρτήσεις 182

(Σειρά

Laurent)όπου

είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλιείναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

Αναφορές[1] Tom M. Apostol. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι. Ατλαντίς. ISBN 9600700672.[2] Eric W. Weisstein. "Hyperbolic Tangent" (http:/ / mathworld. wolfram. com/ HyperbolicTangent. html). MathWorld. . Ανακτήθηκε την

2008-10-20.

Φάση (τριγωνομετρία)Φάση είναι το όρισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και μετριέται ή υπονοείται ότι μετριέται σε ακτίνια.Έτσι, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι γωνία.Στη φυσική και κυρίως στην κυματική χρησιμομποιείται για τη μοντελοποίηση μερικών περιοδικώνφαινομένων. Πολλές φορές παρατηρούμε ότι ένα φαινόμενο είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. Οπότε ηφάση είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου δηλαδή η φάση είναι της μορφής:

Το φ0 ονομάζεται αρχική φάση, ενώ το ω γωνιακή συχνότητα ή κυκλική συχνότητα και ισχύει ότι, όπου Τ είναι η περίοδος του φαινομένου.

Ως αρχική φάση θα μπορούσε να τεθεί οποιαδήποτε από τις ποσότητες (κ ακέραιος). Συνήθωςεπιλέγουμε την τιμή για την οποία η αρμονική συνάρτηση είναι ημίτονο, συνημίτονο, αρνητικό ημίτονο ήαρνητικό συνημίτονο. Έτσι, ουσιαστικά ο προσδιορισμός της αρχικής φάσης είναι καθορισμός ενόςσυστήματος αναφοράς.Όταν ένα σημίο έχει φάση (όπου κ ακέραιος):• 2κπ :Βρίσκεται σε θέση ισοροπίας με θετικό ρυθμό μεταβολής• 2κπ+π/2 :Βρίσκεται σε θέση θετικού πλάτους (ο ρυθμός μεταβολής υποχρεωτικά είναι αρνητικός)• 2κπ+π :Βρίσκεται σε θέση ισοροπίας με αρνητικό ρυθμό μεταβολής• 2κπ+3π/2 :Βρίσκεται σε θέση αρνητικού πλάτους (ο ρυθμός μεταβολής υποχρεωτικά είναι θετικός)

Διαφορά φάσηςΗ φάση μπορεί να είναι γραμμική συνάρτηση περισσότερων μεταβλητών, όπως της θέσης και του χρόνου. Σεαυτήν την περίπτωση μιλάμε για διαφορά φάσης δύο διαφορετικών σημείων. Η διαφορά φάσης δείχνει κατάπόσον καθυστερεί ή προηγείται ένα σημείο σε σχέση με ένα άλλο, όσων αφορά την εξέλιξη του φαινομένου.Όταν δύο σημεία έχουν διαφορά φάσης (όπου κ ακέραιος):• 2κπ :Λέμε ότι βρίσκονται σε φάση. Η μεταβολή τους είναι ίδια.• 2κπ+π :Λέμε ότι βρίσκονται σε αντίθεση φάσης. Η μεταβολή τους είναι αντίθετη.

Φράγμα (μαθηματικά) 183

Φράγμα (μαθηματικά)Ονομάζουμε έναν πραγματικό αριθμό α άνω φράγμα ενός μη κενού υποσυνόλου Α των πραγματικών αριθμώναν και μόνο αν ισχύει α ≥ x για κάθε στοιχείο .Παρόμοια, ονομάζουμε έναν πραγματικό αριθμό α κάτω φράγμα ενός μη κενού υποσυνόλου Α τωνπραγματικών αριθμών αν και μόνο αν ισχύει α ≤ x για κάθε στοιχείο .Ένα μη κενό σύνολο Α ⊆ ℝ ονομάζεται άνω φραγμένο αν υπάρχει ένα τουλάχιστον άνω φράγμα του και κάτωφραγμένο αν υπάρχει ένα τουλάχιστον κάτω φράγμα του. Αν ένα σύνολο είναι άνω και κάτω φραγμένο, τότεονομάζεται φραγμένο.