ANALIZA SIGNALA I SISTEMA II Auditorne vjebe

Vjebe broj 2

KONTINUALNI SISTEMI U PROSTORU STANJA

Zadatak 1: Kontinualni sistem je opisan slijedeim jednainama prostora stanja: ( )

( ) ( )( ) ( )tfxxtg

tfxxdttdx

xxdttdx

++=++=

+=

21

212

211

2

2

2

Nai odgovarajuu diferencijalnu j-nu koja opisuje ovaj sistem. Rjeenje: Opta predstava SISO sistema u prostoru stanja je oblika: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tdftCxtgtBftAxtx

+=+=&

Odavdje se moe izvesti oblik za prenosnu funkciju sistema, koritenjem matrica prostora stanja:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) dBAsICsH

sFdsFBAsICsG

+=+=

1

1 , tj.

Iz zadanog sistema lako se dolazi do odgovarajuih matrica:

[ ] 1,21,10

,1221 ==

=

= dCBA

52412det ,12

21

1221

1221

00

22 +=++=

=

=

=

=

ssssks

sadjk

ks

ss

sAsI

( ) [ ] [ ]( )

5251

522

522

52222

det1

12

21det

110

1221

21

2

2

2

221

++=++=

+=+/+/=

=

=

sss

ssssH

sss

sss

kskss

BAsIC

Iz prenosne funkcije se lako izvlai diferencijalna jednaina koja opisuje dati sistem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfdt

tfdtgdttdg

dttgd 552 2

2

2

2

+=+ Zadatak 2: Data je diferencijalna jednaina: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftgtgtgtg =++ 36 &&&&&&

a) Nacrtati blok-dijagram sistema b) Odrediti matrinu jednainu u prostoru stanja u prateoj formi. Rjeenje: Laplasovom transformacijom data diferencijalna jednaina prelazi u algebarsku u s domenu (uz pretpostavku da sistem nije posjedovao poetnu energiju u bilo kojem obliku):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sF

ssG

ssG

ssG

ssG

sFsGssGsGssGs

332

23

13116

36

++==++

b)

( ) ( ) ( ) ( )txtxtgtx 211 == & ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] 0,001,100

,613

100010

36 12333322

==

=

=

++====

dCBA

tftxtxtxtxtgtxtxtxtgtx

&&&&&

Zadatak 3: Dat je kontinualni sistem u prostoru stanja. Napisati odgovarajuu diferencijalnu jednainu i nacrtati blok dijagram sistema.

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )tfxtg

tfxxxtxxxxtx

tfxxxtx

232

2332

1

3213

3212

3211

+=++=

+=+=

&&&

Rjeenje:

[ ] 2,001,101

,132213321

==

=

= dCBA

F(s)_

1/s 1/s 1/s

6

3

G(s)_

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) 521531188271det6173112

11261737311261

132

213321

233

2

2

2

1

+=++=

++++++

==

=

+=

sssssk

sssssssss

adjkks

ss

AsI

sFdsFBAsICsG

( ) [ ]( )

( )( )

( )[ ]( )( )

5215325

5215317361

det1

101

7311261

det1

101

617311211261737311261

001

23

2

232

2

2

2

2

1

++=++=

=

++=

=

++++++

=

sssss

sssss

ksss

ksss

ssssss

BAsIC

( ) ( )sFsssssssG ++=

521531063552

23

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftftftftgtgtgtg 106355252153 ==+ &&&&&&&&&&&&

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sFs

sFs

sFs

sFsGs

sGs

sGs

sG

sFssFsFssFssGssGsGssGs

3232

2323

110613515215211513

106355252153

+++=+=+

f(t)

_1/s 1/s

3

g(t)__

1/s106

35

5

2

15

52