Stabilnost sistema

automatskog upravljanja

• Najvažnija osobina SAU

• Otvorena i zatvorena povratna sprega

• Apsolutna – relativna - granična

Stabilnost

a) b) c)

Stabilan sistem je dinamički sistem koji na

ograničenu (konačnu) pobudu daje ograničen

(konačan) odziv

(t)

0 t

stabilnost je u tesnoj vezi sa položajem polova

dinamičkog sistema u kompleksnoj s-ravni

W(s)Y(s)U(s) +

- W(s)=KPm(s)

Qn(s)

Ws(s)=W(s)

1+W(s) =

KPm(s)KPm(s)+Qn(s)

KPm(s)+Qn(s)=0

Y(s) = i=1

pAi

s+i +

k=1

rBks+Ck

s2+2ks+

2k+

2k

Ws(s) = KPm(s)

i=1

n(s-si)

y(t) = i=1

p

Ai e-it +

k=1

r

Dke-kt sin(kt+k)

yss=y()= limt

y(t)=0

Impulsni odziv sistema

Algebarski kriterijumi stabilnosti

f(s)=ansn+an-1s

n-1+...+a1s+a0=0

f(s)=an(s-p1)(s-p2)...(s-pn)=0

f(s)=ansn-an(p1+p2+...+pn)s

n-1+ an(p1p2+p1p3+p2p3+...)sn-2-

-an(p1p2p3+p1p2p4+...)sn-3+...+an(-1)np1p2...pn=0

Sistem prvog reda

a1s+a0=0

s= - a0

a1

Sistem drugog reda

a2s2+a1s+a0=0

s1,2 = -a1 a

21-4a2a0

2a2

Routh-ov kriterijum stabilnosti

f(s)=ansn+an-1s

n-1+...+a1s+a0=0

sn an an-2 an-4 ... sn-1 an-1 an-3 an-5 ... sn-2 b1 b2 b3 ... sn-3 c1 c2 c3 ...

s0 h1

b1 = an-1an-2 - anan-3

an-1

b2 = an-1an-4 - anan-5

an-1

b3 = an-1an-6 - anan-7

an-1

c1 = b1an-3 - an-1b2

b1

c2 = b1an-5 - an-1b3

b1

sn an an-2 an-4 ...

sn-1

an-1 an-3 an-5 ... s

n-2 b1 b2 b3 ...

sn-3

c1 c2 c3 ...

s0 h1

Potreban i dovoljan uslov da bi sistem bio stabilan

jeste da svi elementi Routh-ove kolone, formirane na

osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma, budu

istog znaka (što se najčešće svodi na “pozitivni”)

221

24*12*1

2422

0*124*22

f(s) = s3+s2+2s+24.

s3

s2

s1

s0

1

1

2

24

Primer:

Primer R2: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s5+2s4+s3+3s2+4s+5. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:

s5 1 1 4 s4 2 3 5

s3 -1

2 (-1)

3

2 (3) /2

s2 9 5

s1 32

9 (32) /9

s0 5

Primer R3: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s4+2s3+s2+2s+1. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:

s4 1 1 1 s3 2 2

s2 1

s1 2 - 2

s0 1

1 2 0

- 1

Primer R4: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s5+6s4+12s3+12s2+11s+6. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:

s5 1 12 11 s4 6 12 6 s3 10 10 s2 6 6

s1 (0)

s0 6

R(s)=2s4+2s2+2

dR(s)ds

= 8s3+4s

s5 1 1 1 s4 2 2 2 s3 8 4 s2 1 2 s1 -12 s0 2

Primer R5: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim

polinomom f(s) = s5+2s4+s3+2s2+s+2.

s5 1 1 1 s4 2 2 2 s3 0 0 s2 ??? ??? s1 ??? ??? s0 ??? ???

Primer R6: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim

polinomom f(s) = s4-10s2+6.

s4 1 -10 6 s3 0 0 s2 ??? ??? s1 ??? ??? s0 ??? ???

R(s)=s4-10s2+6

dR(s)ds

= 4s3-20s

s4 1 -10 6 s3 4 -20 s2 -5 6 s1 -76 s0 6

Hurwitz-ov kriterijum stabilnosti

f(s)=ansn+an-1s

n-1+...+a1s+a0=0

an-1 an-3 an-5 ... 0 0 an an-2 an-4 ... 0 0 0 an-1 an-3 ... 0 0

h = 0 an an-2 ... 0 0

0 0 0 a1 0 0 0 0 a2 a0

Sistem će biti stabilan ako su svi dijagonalni minori

Hurwitz-ove determinante, formirane na osnovu

koeficijenata karakterističnog polinoma, veći od nule.

an-1 an-3 an-5 ... 0 0 an an-2 an-4 ... 0 0 0 an-1 an-3 ... 0 0

h = 0 an an-2 ... 0 0

0 0 0 a1 0 0 0 0 a2 a0

1 = an-1 > 0

2 =

an-1 an-3

an an-2 = an-1an-2 - anan-3 > 0

3 =

an-1 an-3 an-5

an an-2 an-4

0 an-1 an-3

> 0

n = h

n = n-1a0

Primer: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim

polinomom f(s) = s4+6s3+6s2+4s+6.

h =

6 4 0 0

1 6 6 0

0 6 4 0

0 1 6 6

1 = 6

2 = 32

3 =

6 4 0

1 6 6

0 6 4 = -88

4 = 63= -528

1

1 = 6

2

1 =

32

6

3

2 =

-88

32

4

3 =

-528

-88

Primer: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim

polinomom f(s) = s4+2s3+2s2+2s+1.

h =

2 2 0 0

1 2 1 0

0 2 2 0

0 1 2 1

1 = 2

2 = 2

3 =

2 2 0

1 2 1

0 2 2 = 0

4 = 13= 0

Primer: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim

polinomom f(s) = s4+3s2+s+2.

h =

0 1 0 0

1 3 2 0

0 0 1 0

0 1 3 2

1 = 0

2 = -1

3 = -1

4 = -2

1

1 = 0

2

1 =

-1

0 = -

3

2 =

-1

-1 = 1

4

3 =

-2

-1 = 2

Stabilnost sistema opisanih matematičkim

modelom u prostoru stanja

x = Ax + Bu

y = Cx + Du

Ws(s) = Y(s)

U(s) = C[sI-A]-1B + D =

Cadj[sI-A]B + det[sI-A]D

det[sI-A]

f(s) = det[sI-A]

KRAJ