INFORME N º 3 DE LABORATORIO DE FÍSICA II

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

1. INTRODUCCIÓN:

Los sistemas oscilantes idealizados que hemos visto hasta ahora no tienen fricción. No hay fuerzas no conservadoras, la energía mecánica total es constante y un sistema puesto en movimiento sigue oscilando eternamente sin disminución de la amplitud.

Sin embargo, los sistemas del mundo real siempre tienen fuerzas disipadoras, y las oscilaciones cesan con el tiempo si no hay un mecanismo que reponga la energía mecánica disipada.

Si una campana que oscila se deja de impulsar, tarde o temprano las fuerzas amortiguadoras (resistencia del aíre y fricción, en el punto de suspensión) harán que deje de oscilar.

Un reloj mecánico de péndulo sigue andando porque la energía potencial almacenada en el resorte o en un sistema de pesos colgantes repone la energía mecánica perdida por fricción en el pivote y los engranes. En algún momento, el resorte perderá su tensión o los pesos llegarán al fondo de su trayecto. Al no haber más energía disponible, la amplitud de las oscilaciones del péndulo disminuirá y el reloj se parará.

En este capítulo, estudiaremos el caso en el cual en una oscilación intervienen las fuerzas de fricción, y entonces el movimiento armónico simple ya no explica este fenómeno muy bien. Diremos que estamos ante un movimiento armónico del tipo amortiguado.

2. OBJETIVOS:

Observar las características del movimiento armónico amortiguado. Establecer las cantidades físicas del medio que amortigua la oscilación Determinar experimentalmente la relación entre la amplitud y el tiempo Verificar la validez del modelo teórico del movimiento armónico amortiguado

3. FUNDAMENTO TEÓRICO:

La disminución de la amplitud causada por fuerzas disipadoras se denomina amortiguación, y el movimiento correspondiente se llama oscilación amortiguada. El caso más sencillo para un análisis detallado es un oscilador armónico simple con una fuerza de amortiguación por fricción directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante. Este comportamiento se observa en la fricción por flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los autos o el deslizamiento de superficies lubricadas con aceite. Así, sobre el cuerpo actúa una fuerza adicional debida a la fricción, FX=−bv X, donde vX=dx /dt es la velocidad y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza amortiguadora. El signo menos indica que la fuerza siempre tiene dirección opuesta a la velocidad. La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es entonces:

∑ F X=−kx−bv X

Y la segunda ley de Newton para el sistema es:−kx−bv X=maX

O también:

−kx−bdxdt

=md2 xd t 2 ⋯(1)

La ecuación anterior es una ecuación diferencial en x; sería igual a la ecuación diferencial del MAS, que da la aceleración en MAS, si no fuera por el término adicional – bdx /dt. La resolución de esta ecuación es un problema sencillo en ecuaciones diferenciales, pero no entraremos aquí en detalles. Si la fuerza de amortiguación es relativamente pequeña, el movimiento está descrito por:

x=Ae−( b

2m)t

cos (ωA t+φ )⋯ (oscilador con poca amortiguación )(2)

La frecuencia angular de la oscilación ωA está dada por:

ωA=√ km

− b2

4m2⋯ (oscilador con pocaamortiguación )(3)

Podemos verificar que la ecuación (2) es una solución de la ecuación (1) calculando la primera y segunda derivadas de x, sustituyéndolas en la ecuación (1) y viendo si los miembros derecho e izquierdo son iguales. Este procedimiento es sencillo aunque algo tedioso.

El movimiento descrito por la ecuación (2) difiere del caso no amortiguado en dos

aspectos. Primero, la amplitud Ae−( b

2m)t no es constante sino que disminuye con el

tiempo a causa del factor exponencial decreciente e−( b

2m)t . La figura siguiente es una

gráfica de la ecuación (2) para el caso φ = 0; muestra que, cuanto mayor es b, más rápidamente disminuye la amplitud.Segundo, la frecuencia angular ωA, dada por la ecuación del oscilador (3), ya no es igual a ω=√k /m, sino un poco menor, y se hace cero si b es tan grande que:

km

− b2

4m2=0 , obienb=2√km⋯(4)

Si se satisface la ecuación (4), la condición se denomina amortiguación crítica. El sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta.

Si b es mayor que 2√km, la condición se denomina sobreamortiguación. Aquí tampoco hay oscilación, pero el sistema vuelve al equilibrio más lentamente que con amortiguación crítica. En este caso, las soluciones de la ecuación (1) tienen la forma:

x=C1e−a1 t+C2 e

−a2 t

donde C1 y C2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales, y a1 y a2, son constantes determinadas por m, k y b.Si b es menor que el valor crítico, como en la ecuación (2), la condición se llama subamortiguación. El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente.

En un diapasón o cuerda de guitarra que vibra, normalmente queremos la mínima amortiguación posible. En cambio, la amortiguación es benéfica en las oscilaciones de la suspensión de un auto. Los amortiguadores proveen una fuerza amortiguadora dependiente de la velocidad para que, cuando el auto pasa por un bache, no siga rebotando eternamente. En la figura lateral vemos el esquema de un amortiguador de automóvil. El fluido viscoso causa una fuerza amortiguadora que depende de la velocidad relativa de los dos extremos de la

unidad. Esto ayuda a controlar el rebote y las sacudidas de las ruedas. Para optimizar la comodidad de los pasajeros, el sistema debe estar críticamente amortiguado o un poco subamortiguado. Al hacerse viejos los amortiguadores, el valor de b disminuye y el rebote persiste más tiempo. Esto no sólo causa náuseas, perjudica la dirección porque las ruedas delanteras tienen menos contacto positivo con el suelo. Así, la amortiguación es una ventaja en este sistema.Demasiada amortiguación sería contraproducente; si b es excesiva, el sistema estará sobreamortiguado y la suspensión volverá al equilibrio más lentamente. En tal caso, si el auto cae en otro bache, justo después del primero, los resortes de la suspensión todavía estarán comprimidos un poco por el primer golpe y no podrán absorber plenamente el impacto.

En oscilaciones amortiguadas, la fuerza amortiguadora no es conservadora; la energía mecánica del sistema no es constante, sino que disminuye continuamente, acercándose a cero después de un tiempo largo. Si queremos deducir una expresión para la rapidez de cambio de energía, primero escribimos una para la energía mecánica total E en cualquier instante:

E=12mvX

2 + 12k x2

Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo:

dEdt

=mv X

d v X

dt+kx dx

dt

Pero d v X /dt=aX , y dx /dt=v X , así que:

dEdt

=vX (maX+kx )

Por la ecuación (1), maX+kx=−b dx /dt=−bv X, así que:

dEdt

=vX (−b vX )=−bv X2 ⋯(oscilacionesamortiguadas)(5)

El miembro derecho de la ecuación (5) siempre es negativo, sea u positiva o negativa. Esto indica que E disminuye continuamente, aunque no con rapidez uniforme. El término −b vX

2 =(−bv X )v X (fuerza multiplicada por velocidad) es la rapidez con que la fuerza amortiguadora efectúa trabajo (negativo) sobre el sistema (o sea, la potencia amortiguadora). Esto es igual a la rapidez de cambio de la energía mecánica total del sistema.

Se observa un comportamiento similar en circuitos eléctricos que contienen inductancia, capacitancia y resistencia. Hay una frecuencia de oscilación natural, y la resistencia desempeña el papel de la constante de amortiguación b. En tales circuitos, suele ser deseable reducir al mínimo la amortiguación, pero nunca puede evitarse por completo. Estudiaremos esto con detalle en los temas a desarrollarse en el curso de Física 3.

Consideremos un péndulo simple de longitud “L” formado por una esfera solida de masa “m” y de diámetro “D”, que oscila en el aire, medio gaseoso que ejerce una fuerza amortiguadora f=−bv=−3πdηv sobre el péndulo. Para esta oscilación rige la ecuación diferencial de la forma:

d2θd t2 +2 γ

dθdt

+ϖ 02=0−−−−−−−−−(1)

Donde θ es el ángulo barrido por el hilo con respecto a la línea vertical. Y la solución de la ecuación (1) es de la forma:

θ=A0 e−γt sin(ϖt+φ)−−−−−−−−−(2)

Los parámetros de esta ecuación están definidos por las ecuaciones

ϖ 0=√ gL−−−−−−−(3)

γ= b2m

=3 πdη2m

−−−−(4)

ϖ=√ϖ02−γ2−−−−−(5)

La amplitud de las oscilaciones es una función del tiempo, que tiene la forma:

θ0=A0 e−γt−−−−−−−(6)

El periodo de la oscilación amortiguada es:

T= 2π

√ϖ02−γ2

−−−−−−(7)

4. MATERIALES:

1 soporte universal con pinza y nuez 2 esferas (madera y tecno por) 2 metro de hilo de coser 1 Xplorer GLX y su cargador 1 sensor de movimiento circular 1 balanza de precisión igual a 0.1g 1 regla metálica de 1 m 1 calibrador de vernier

5. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

1. Fije al soporte universal el sensor de movimiento circular. Cuelgue de la polea grande del péndulo. Amarre bien el hilo a esta polea

2. Mida la masa y la distancia desde el eje de la polea hasta el centro de masa del cuento de longitud “L” del péndulo. Anote los valores.

3. Enchufe el cargador al toma corriente de 220V y conecte este al Xplorer, espere que cargue automáticamente. Luego conecte el sensor de movimiento circular a un puerto del Xplorer y con AYUDA DEL PROFESOR ajuste la escala del Xplorer.

4. Luego active la tecla play del Xplorer y seguidamente mueva la esfera unos 20° hacia el costado de la vertical y soltarla.

5. Observe la pantalla del Xplorer y note que la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo. Cuando la oscilación se haya reducido en un 80% active nuevamente la tecla play

6. Directamente de la pantalla del Xplorer tome lectura del tiempo y de la máxima amplitud de las oscilaciones y anote los valores.

7. Directamente de la pantalla del Xplorer tome lectura del periodo de las oscilaciones del péndulo amortiguado. Anote el valor

8. Repita los pasos de la experiencia anterior, pero con la otra esfera.

6. DATOS Y ANÁLISIS EXPERIMENTAL:

Los datos obtenidos son tomados directamente del Xplorer la tabla N° 1 corresponde a la esfera de tecno por

L (m) = 0.67 m (g) = 4.7 g = 9.8 m/s2

Tabla N° 1 Esfera de tecno por

t(s) 3.2 4.9 6.6 8.3 10.1 11.7 13.4

θ0(rad) 0.267 0.212 0.174 0.149 0.123 0.107 0.088

T(s) 1.7 1.7 1.7 1.8 1.6 1.7 1.7

Ln (A) -1.5 -1.523 -1.726 -1.884 -1.938 -2.104 -2.226

A(m) 0.223 0.218 0.178 0.152 0.144 0.122 0.108

Lo mismo pasa con la Tabla N° 2 Esfera de madera

L (m) = 1.01 m (g) = 350

Tabla N° 2 Esfera de madera

t(s) 72.7 74.9 77.1 79.2 81.5 83.7 85.9

θ0(rad) 0.168 0.167 0.165 0.163 0.159 0.157 0.154

T(s) 2.1 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2

Ln (A) -1.754 -1.796 -1.814 -1.839 -1.845 -1.884 -1.952

A(m) 0.173 0.166 0.163 0.159 0.158 0.152 0.142

7. CUESTIONARIO:

1. Realice un gráfico de amplitud vs tiempo para cada una de las oscilaciones estudiadas, el tiempo t en el eje X, la amplitud A en el eje Y. Escribir la ecuación matemática que describe la gráfica.

Para la actividad Nº1

Para la actividad Nº2

La ecuación matemática para las graficas será:

2. Tome logaritmo natural a la ecuación 6 y demuestre que resulta una recta cuya pendiente es igual al parámetro de amortiguamiento.

θ0=A0 e−γt

Tomando logaritmo natural tenemos:

ln θ0=ln A0 e−γt

Utilizando las propiedades de logaritmo

ln θ0=ln A0+ ln e−γt

ln θ0=ln A0+(−γt ln e)

ln θ0=ln A0 – γt

Haciendo comparación con la ecuación de una recta notamos:

ln θ0=ln A0 – γt⟹ y=mx+b

−γ=m

3. Realice un grafico de ln(A) en el eje Y, el tiempo T en el eje X, con un ajuste de mínimos cuadrados determine el parámetro de amortiguamiento γ

Tabla N° 1 Esfera de tecno por

Ln (A) -1.754 -1.796 -1.814 -1.839 -1.845 -1.884 -1.952

t(s) 72.7 74.9 77.1 79.2 81.5 83.7 85.9

N Xi = t(s) Yi = Ln (A) XiYi Xi2

7 58.2 -12.901 -113.3105 565.16

Haciendo mínimo cuadrados:

m=N (∑Xi.Yi )−(∑Xi ) (∑Yi )

N∑ (X 2)−(∑Xi )2b=¿¿

−γ=m: Pendiente b: intercepto

A=Ao e−tγ

Hallamos – γ :

−γ=7 (−113.3105 )−(58.2 )(−12.901)

7 (565.16 )−(58.2) ²−γ=−0.0744 s−1

γ=0.0744 s−1

Tabla N° 1 Esfera de madera

Ln (A) -1.5 -1.523 -1.726 -1.884 -1.938 -2.104 -2.226

t(s) 3.2 4.9 6.6 8.3 10.1 11.7 13.4

N Xi = t(s) Yi = Ln (A) XiYi Xi2

7 555 -12.884 -1023.2795 44139.1

Haciendo mínimo cuadrados:

m=N (∑Xi.Yi )−(∑Xi ) (∑Yi )

N∑ (X 2)−(∑Xi )2b=¿¿

−γ=m: Pendiente b: intercepto

Hallamos – γ :

−γ=7 (−1023.2795 )−(555 )(−12.884)

7 (44139.1 )−(555)²−γ=−0.013 s−1

γ=0.013 s−1

4. Con el resultado de γ obtenido del problema anterior y junto a la ecuación (4) determine el coeficiente de viscosidad del aire, compare con el valor de la teoría.

Diámetro de la esfera de tecno por = 6.207cm

η =2m .γ3 πd

η =2×0.0047×0.0744

3 π×0.06207 = 1.196×10−3

5. Determine la frecuencia angular propia y la frecuencia angular amortiguada en cada experiencia ¿Cuál es la diferencia entre estos dos valores?

Primera actividad

Wo= √ gL

Wo=√ 9.8m /s20.67 m

= 3.8245 rad/s

γ= 0.0744

W = √Wo2−γ2 W=√3.822−0.07442=3.8238 rad/sSegunda Actividad

Wo= √ gL

Wo=√ 9.8m /s21.01m

= 3.1305 rad/s

γ= 0.0744

W = √Wo2−γ2 W=√3.13052−0.0132=3.1304 rad/s

La diferencia es que la frecuencia angular propia es mayor a la frecuencia angular amortiguada

6. Calcular el periodo del péndulo simple y el periodo del péndulo amortiguado de cada experiencia realizada.

Periodo del Péndulo simple T=2π√ Lg

Periodo de la oscilación amortiguada T=2 π

√Wo2−γ 2

Primera actividad

Wo= √ gL

Wo=√ 9.8m /s20.67 m

=3.8245 rad/s

γ= 0.0744

T=2 π

√Wo2−γ 2 T=2π

√3.822−0.07442 = 1.643 s

T=2π√ Lg

T=2π√ 0.67 m9.8m /s2

= 1.642 s

Segunda Actividad

Wo= √ gL

Wo=√ 9.8m /s21.01m

= 3.1149 rad/s

γ = 0.0130

T =2 π

√Wo2−γ 2 T=2π

√9.852−−0.0132= 2.0072 s

T=2π√ Lg

T=2π√ 1.01m9.8m /s2

= 2.0171 s

7. ¿Cuál es el tiempo de relajamiento т=1γ

de la oscilación amortiguada de cada

experiencia realizada en el laboratorio?

El tiempo de relajamiento τ =1γ

en la Primera actividad

τ =1γ

τ = 1

0.0744 = 13.4408 s

El tiempo de relajamiento τ = 1γ

en la Segunda actividad

τ =1γ

τ = 1

0.0130= 76.9231 s

8. Calcular la amplitud de las oscilaciones para los tiempos t = 4s ; t = 6s ; t = 10s

Para calcular la amplitud de las oscilaciones usaremos la siguiente fórmula:θ0=A0∗e−γt

Tomando logaritmo en ambos términos:ln θ0=ln (A0∗e

− γt )ln θ0=ln A0−γtln A0=ln θ0+γt

Experimento N° 1:Tomamos θ0 promedio

=0.16

Pasamos a calcular el parámetro usando la siguiente fórmula:γ=0.0744 s−1

Para t = 4s:ln A0=ln 0.16+ (0.0744 )(4)

ln A0=−1.535A0=0.215m

Para t = 6s:ln A0=ln 0.16+ (0.0744 )(6)

ln A0=−1.386

A0=0.25mPara t = 10s:

ln A0=ln 0.16+ (0.0744 )(10)ln A0=−1.088A0=0.337m

Experimento N° 2:Tomamos θ0 promedio

=0.16

Pasamos a calcular el parámetro usando la siguiente fórmula:γ=0.013 s−1

Para t = 4s:ln A0=ln 0.16+ (0.013 )(4 )

ln A0=−1.781A0=0.168m

Para t = 6s:ln A0=ln 0.16+ (0.013 )(6)

ln A0=−1.755A0=0.172m

Para t = 10s:ln A0=ln 0.16+ (0.013 )(10)

ln A0=−1.703A0=0.182m

9. Calcule la energía mecánica para cada valor de la amplitud y tiempo de la tabla N°1y realice un grafico de energía función del tiempo E = E(t)

La energía mecánica se calcula de la formula:

Em=12∗m∗w0

2∗A2

Tabla N° 1 Esfera de tecno porE(J) 549.26*10-9 524.9*10-9 349.95*10-9 255.18*10-9 229.03*10-9 164.39*10-9 128.83*10-9

t(s) 72.7 74.9 77.1 79.2 81.5 83.7 85.9

8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:

Podemos concluir que, como la frecuencia angular en un movimiento armónico

es independiente de la amplitud del movimiento, entonces, a pesar de la

disminución progresiva de la amplitud, se mantendrá constante.

Precisamente notamos que la amplitud del movimiento evoluciona

exponencialmente, y que este decaimiento depende directamente del valor de la

constante de rozamiento que produce el medio viscoso, con el cuerpo sumergido

en él.

Notamos también que el error más probable, se debe la oscilación del péndulo, el

cual pudo haber sido puesto en movimiento con un  > 15º o haberlo soltado

desde el reposo.

Recomendamos hacer las mediciones con exactitud teniendo en cuenta los

márgenes de errar de los instrumentos, a su vez estos deben encontrarse en

óptimas condiciones para así poder obtener los resultados esperados.

Recomendamos también tomar en cuenta los fundamentos teóricos y hacer un

uso correcto de las formulas entregados en estos.

9. BIBLIOGRAFÍA:

“Física para estudiantes de ciencias e ingeniería” por Robert Resnick y David Halliday, Tomo 1, Quinta edición en español, Editorial CECSA, México 1972

“Física Universitaria” por Francis W. Sears, Mark W. Zemansky y Hugh D. Young, Tomo 1, Decimoprimera edición en español, Editorial Pearson Addison Wesley Longman, México, 2005

“Física para ciencias e ingeniería” por Raymond A. Serway y John W. Jewett Jr. , Tomo 1, Sexta edición en español, Editorial Internacional Thomson Editores, México, 2005

“Física” por Ing. Andrés Custodio García, Tercera Edición, Editorial IMPECUS, Lima 2005

“Física Conceptual” por Paul G. Hewitt, Tercera edición en español, Editorial Pearson Addison Wesley Longman, México, 1999.

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