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Registro de autor
Título: Ondas Módulo I. 1ª. Edición, 2008
Autor: Diana Nesbit Depósito Legal: 1f55320085303794
ISBN: 978-980-233-456-8
Editorial: Universidad de Carabobo
Impreso en Valencia, Estado Carabobo.
A mis padres
A mis hijos
Indice
Introducción 1
Capítulo I: Oscilador Armónico Simple 7
Oscilaciones 7
Relación entre el Movimiento Armónico Simple y
el Movimiento Circular Uniforme 20
Velocidad y aceleración en el Movimiento Armónico Simple 23
Energía de un Oscilador Armónico Simple 24
Superposición de dos oscilaciones armónicas simples 28
Oscilaciones paralelas 29
Oscilaciones perpendiculares 33
Vectores en rotación y números complejos 38
Problemas 45
Capítulo 2: Oscilador Armónico Amortiguado 51
Oscilaciones libres amortiguadas 51
Caso 1: Amortiguamiento fuerte o sobreamortiguado 57
Caso 2: Amortiguamiento crítico 58
Caso 3: Movimiento Armónico Simple Amortiguado 61
Métodos para describir el amortiguamiento de un oscilador 64
Método del Decremento Logarítmico 65
Tiempo de Relajación o Módulo de Decaimiento 67
Factor de Calidad o Valor Q de un OAS Amortiguado 67
Energía Disipada 72
Problemas 73
Conclusiones 75
Anexos 77
Bibliografía 115
1
INTRODUCCIÓN
La asignatura Física Moderna y Ondas está inscrita dentro del pensum de
estudios de las carreras de Ingeniería Eléctrica e Ingeniería de Telecomunicaciones, de
la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Carabobo. El contenido de esta
asignatura es muy amplio e incluye fenómenos físicos relacionados con las ondas
mecánicas, ondas electromagnéticas, óptica y ondas de materia. En la actualidad no
existe un libro que incluya todos estos tópicos, imponiendo al profesor la tarea de crear
guías de estudios para darle coherencia y continuidad al dictado de las clases. Es por
esto que surge el proyecto de escribir un libro de Física que contenga la totalidad de los
temas de la asignatura en cuestión, enfocado principalmente a futuros ingenieros
electricistas e ingenieros en telecomunicaciones, con el objetivo de facilitar a estos
últimos la transferencia de los conceptos y leyes físicas hacia los contextos propios de
las ramas de Ingeniería. El libro no sólo se limita a las carreras arriba mencionadas, sino
que puede ser utilizado por estudiantes de otras carreras, como Ingeniería Mecánica,
Civil, Industrial para la comprensión de los fenómenos ondulatorios que surgen en los
mecanismos de motores y partes mecánicas, en las obras civiles (edificios, puentes), en
el área de control de calidad en las industrias de alimentos y partes, etc.
En la creación de este libro, se ha tomado en cuenta el desarrollo de habilidades
y competencias, siguiendo los lineamientos expresados por el Instituto Internacional de
la UNESCO para la Educación Superior en América Latina y el Caribe (IESALC) en su
Informe sobre la Educación Superior en América Latina el Caribe. 2000-2005, titulado
“La metamorfosis de la educación superior”, que indican claramente la necesidad de
“La Formación integral: entendida ésta como un proceso complejo, abierto e inacabado
mediante el cual se contribuye no sólo a desarrollar competencias profesionales, sino
también y, fundamentalmente, a forjar en los estudiantes nuevas actitudes y
competencias intelectuales”. Asimismo propone a nivel institucional y académico
“establecer innovaciones curriculares (perfiles y enseñanza por competencias y
fortalecer la metodología de resolución de problemas)”
Desarrollo de habilidades:
- Conocer y comprender los esquemas conceptuales básicos de las ondas.
2
- Conocer, comprender y aplicar los métodos matemáticos y numéricos más comúnmente utilizados en ondas.(Ecuaciones diferenciales, Series de Taylor y Maclaurin, Fórmulas de Euler, números complejos)
- Tener una buena comprensión de las teorías físicas más importantes, localizando en su
estructura lógica y matemática el fenómeno físico que puede ser descrito a través de ellas y, adicionalmente, su soporte experimental.
- Conocer el mundo laboral en el que desarrollar lo aprendido.
- Adquirir destreza en la modelización matemática de fenómenos físicos.
- Desarrollar la “intuición” física. - Utilizar herramientas informáticas en el contexto de la matemática aplicada.
- Aprender a programar en un lenguaje relevante para el cálculo científico. - Utilizar la computadora como herramienta básica para modelar los sistemas físicos y su
comportamiento - Ser capaz de evaluar claramente los órdenes de magnitud, así como de desarrollar una
clara percepción de las situaciones que son físicamente diferentes, pero que muestran analogías, permitiendo el uso de soluciones conocidas a nuevos problemas.
- Afrontar problemas y generar nuevas ideas que puedan solucionarlos. - Saber discutir conceptos, problemas y experimentos, defendiendo con solidez y rigor
científico sus argumentos. (Preguntas conceptuales).
Desarrollo de competencias: Al finalizar este libro los estudiantes
- Poseerán las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y
defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio y sabrán aplicar sus conocimientos en el campo de trabajo de una forma profesional.
- Tendrán la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su
área de estudio, pero no limitante ) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica, etc.
- Podrán transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto
especializado como no especializado.
- Habrán desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Estarán capacitados para emprender con éxito algunas actividades como el desarrollo e
innovación científica y tecnológica; planificación y gestión de tecnologías relacionadas con las ondas, en sectores tales como la industria, medio ambiente, salud, entre otras; desarrollo de actividades profesionales en el marco de tecnologías aplicadas, tanto a nivel de laboratorio como industrial, relativas a las ondas, como por ejemplo: a la radio-protección, telecomunicación, diagnóstico remoto, control remoto por satélite, control de calidad, entre otras; participación en actividades de centros de investigación públicos y privados, seminarios, congresos, etc.
3
Introducción al contenido del Módulo I
Con este libro queremos iniciar al alumno en el estudio de las ondas. El
contenido del tema abarca un vasto número de sistemas físicos presentes en todas las
ramas de la ingeniería. El comportamiento oscilatorio de estos sistemas representa la
temática central de este módulo. La primera clase deberá siempre comenzar con un foro
en el que se invite a los alumnos a dar ejemplos en los que haya percibido algún
fenómeno físico relacionado con ondas. Trataremos de llegar a captar el concepto de
ondas, primero intuitivamente, conociendo o identificando las características más
resaltantes que uno puede observar en las ondas. Esto lo haremos generando preguntas
que nos permitan, de una manera constructiva, acercarnos cada vez más al concepto de
ondas. Luego utilizaremos las leyes físicas y las herramientas matemáticas adquiridas en
los semestres anteriores para llegar a describir de una manera formal y operativa el
concepto de onda.
Pero comencemos desde el principio con una pregunta…..la más lógica acerca
del tema que estamos tratando: ¿Qué es una onda?
La mayoría de las personas, comienza a mover las manos tratando de ilustrar lo
que ellos piensan que es una onda. ¿Porqué es tan difícil dar, de una manera coherente,
una definición de onda?
Vamos a plantearlo de otra manera. Cuando mencionamos la palabra onda ¿de
qué estamos hablando? ¿Qué es lo primero que se nos viene a la mente?
En general encontraremos que las personas relacionan la palabra ondas con lo
que observan en la superficie del mar o de un estanque de agua. Además añaden que se
mueven, alejándose o acercándose de algún punto de referencia. También pueden
identificar las ondas en el cabello de una persona: éstas no se mueven, pero parecen
ondas.
En estos dos ejemplos tan comúnmente usados, podemos identificar dos de las
propiedades que caracterizan a las ondas: 1) que tienen forma y 2) que se mueven.
4
¿Podría ud generar una onda? Explique. ¿Qué materiales utilizaría para generarla?
Cuando dejamos caer una piedra en un estanque observamos que la superficie
del agua deja de ser lisa: adopta una forma que nosotros llamamos ondas. Pero no ha
dejado de ser agua para transformarse en onda ¿o si? ¿Es una onda en forma de agua o
es agua que tiene forma de onda? En realidad lo que estamos observando es el efecto
que produce en el agua esta perturbación (la piedra arrojada).
Podríamos llegar a la conclusión que la perturbación no sólo deforma la superficie del
agua, sino que viaja (se propaga) a través de él.
Vamos a poner otro ejemplo. Suponga que ud tiene una cuerda en su mano y que
le proporciona un movimiento vertical. Observamos que la cuerda también adoptará una
forma que tendrá la misma altura del movimiento de la mano, y el ancho de la forma
estará relacionado con el tiempo que duró el movimiento de la mano. Además viajará
por la cuerda hasta el final de la misma.
En estos dos ejemplos, hemos identificado forma y movimiento, las dos
propiedades citadas anteriormente.
Suponga que una persona observa “la forma” que se está propagando en la
cuerda, pero no estuvo allí para ver el movimiento de la mano. ¿Podría esta persona
deducir cómo sería el movimiento (perturbación) inicial aplicado a la cuerda con sólo
observar esta forma en cualquier lugar de la cuerda?
Antes de contestar esta pregunta debemos señalar que en muchos libros de Física
encontramos la siguiente definición de onda: “una perturbación que se propaga a través
5
de un medio”. En el caso de que el medio sea material, se les denomina ondas
mecánicas. Más adelante hablaremos de otro tipo de ondas que se propagan, además, en
el vacío.
Esta definición anterior nos permite, asumiendo el principio de causa y efecto,
afirmar que toda perturbación (causa) tendrá un efecto sobre la materia que perturba.
Por lo tanto, si estudiamos este efecto, que es el que podemos observar, y logramos
describirlo con las herramientas matemáticas y físicas adquiridas, podremos describir,
con las mismas herramientas, la perturbación (causa) que lo produjo.
¡He aquí en términos sencillos cómo tradicionalmente se aborda el estudio de las ondas!
La intención de este curso es la de utilizar el acercamiento tradicional al estudio
de las ondas, examinando los fenómenos físicos que podemos observar, pero
añadiéndole o complementándolo con un enfoque constructivista. En otras palabras, la
dinámica que utilizaremos será la de construir el saber o conocimiento acerca de las
ondas, obteniendo, a partir de conocimientos previos, experiencias previas o cualquier
otro tipo de aporte que enriquezca el proceso, los conceptos que están involucrados en
ese saber.
En este sentido, la materia Ondas es idónea para utilizar este enfoque y lograr
construir este conocimiento que es nuestro objetivo general. No se le dará al alumno la o
las ecuaciones que deberá utilizar para resolver los problemas o ejercicios de esta
materia, tal como estaba acostumbrado en las dos Físicas generales que ya cursaron,
sino que construiremos juntos las ecuaciones a partir del estudio de los sistemas físicos
estudiados. Con esto lo que queremos lograr es que el alumno advierta que, si
estudiamos un sistema físico y obtenemos las ecuaciones matemáticas que lo rigen,
estas ecuaciones o funciones representarán o describirán el comportamiento de ese
sistema físico. Así que si estudia un segundo sistema físico, no necesariamente de la
misma naturaleza (por ejemplo sistemas mecánicos y sistemas eléctricos), y obtiene una
función matemática similar, pueda convencerse y afirmar que ambos sistemas, aunque
no tengan nada en común, se comportarán de la misma manera.
¡He ahí el misterio de las funciones matemáticas……..!
6
Si una misma estructura (ecuación, función) matemática es obtenida al estudiar
diferentes sistemas físicos, se puede asegurar con toda certeza que todos estos sistemas
se comportarán exactamente igual. A las matemáticas le da lo mismo a qué sistema
físico se refiera, es abstracta en ese sentido. Nuestro trabajo será obtener esa estructura
matemática y darle la interpretación física correspondiente. En eso insistiremos mucho,
porque al fin de cuentas lo que estamos estudiando es física, no matemáticas.
Sin embargo, no ahorraremos esfuerzos en destacar la importancia del papel de
las matemáticas en el estudio de la física. Sin su ayuda, no podrían los físicos describir
inteligiblemente lo que está ocurriendo en todo sistema físico, es decir, el
comportamiento del sistema físico.
En el Capítulo 1 comenzaremos nuestro estudio con el sistema oscilatorio más
sencillo: El Oscilador Armónico Simple. Las oscilaciones de este sistema son llamadas
oscilaciones libres. Se necesita una perturbación para sacar estos sistemas del equilibrio
en el cual se encuentran. Esta perturbación ocurre en un instante y luego se deja al
sistema oscilar libremente. Se determinan las ecuaciones de movimiento y se obtienen
las funciones que describen el comportamiento de estos sistemas físicos. Se hace
hincapié en la importancia del estudio de la energía del sistema y cómo determinarla.
Luego estudiamos la superposición de varias perturbaciones representadas por
movimientos armónicos simples aplicados al mismo oscilador armónico.
En el Capítulo 2 estudiaremos el oscilador amortiguado. Seguiremos los
mismos pasos que en el capítulo 1, es decir, determinamos la ecuación diferencial de
movimiento y su solución. Además, el estudio de la pérdida de energía de este sistema
amortiguado va acompañado de métodos para describir y calcular esta pérdida.
Finalmente, cada capítulo contiene una gran cantidad de problemas que
permiten lograr, en el alumno, la captura de los conceptos físicos contenidos en este
libro.
7
Capítulo 1
Oscilador Armónico Simple
Oscilaciones.
Como se mencionó antes, la onda puede ser descrita como una perturbación que
se propaga a través de un medio, transportando energía de un lugar a otro. El medio
puede ser la materia (en sus tres estados) o el vacío. Los elementos constituyentes del
medio (partículas, átomos, moléculas) realizarán movimientos vibratorios u oscilatorios
alrededor de su posición de equilibrio en respuesta a la perturbación. El medio se
comporta como un continuo de osciladores, acoplados entre sí. Las características
físicas que describen a las ondas pueden ser determinadas observando el
comportamiento de estos elementos. Al describir su movimiento, estaremos
describiendo la perturbación que lo produjo.
En la naturaleza encontramos innumerables ejemplos de movimiento oscilatorio:
el movimiento de los electrones en una antena receptora o transmisora, el movimiento
de un péndulo, las vibraciones de los átomos de un sólido alrededor de su punto de
inserción en la red. Los anteriores son ejemplos de osciladores armónicos.
Iniciaremos el estudio del movimiento oscilatorio con el análisis de los sistemas
físicos más sencillos: los osciladores armónicos simples. En la figura 1.1 se muestran
algunos de estos sistemas.
Todos estos sistemas físicos tienen en común las siguientes características: 1) Al
ser ligeramente desplazados de su posición de reposo o de equilibrio, experimentan una
fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento y que actúa intentando
regresarlos a su posición de equilibrio; 2) Están representados por una ecuación
diferencial de segundo orden cuya estructura matemática es idéntica y, por lo tanto, su
solución es una función que representa el comportamiento de todos los sistemas citados;
3) Están constituidos, en general, por tres elementos: a) elementos de inercia, b)
elementos de rigidez y c) elementos de disipación. El elemento de inercia almacena y
libera energía cinética; el elemento de rigidez almacena y libera energía potencial y el
8
elemento de disipación o amortiguamiento, es el responsable de que el sistema pierda
energía.
Figura 1.1 Osciladores armónicos simples: (a) Péndulo simple; (b) Circuito LC; (c) Sistema masa-resorte; (d) Carga negativa
restringida a moverse en el eje del anillo cargado;(e) Péndulo de torsión.
La figura 1.2 muestra la gráfica de la Fuerza restauradora en función de la
posición. Para oscilaciones pequeñas, la curva se aproxima a una recta cuya pendiente
es dxdF .
Figura 1.2: Fuerza restauradora en función de la posición.
Nótese la linealidad para desplazamientos pequeños.
9
kdx
dF−= ; k = constante. Ec (1.1)
la pendiente negativa significa que el sentido de la fuerza aplicada y el desplazamiento
son opuestas.
Reescribiendo e integrando la ecuación anterior, nos queda
∫∫ −=x
x
F
0 equi
dx.kdF
Y resolviendo obtenemos la expresión de la fuerza proporcional al desplazamiento, es
decir, la fuerza restauradora.
)xx(k)x(Fequi
−−= ; Ec (1.2)
equix es la posición de equilibrio En la figura 1.2 0x
equi=
La acción de esta fuerza restauradora da origen al más sencillo de los
movimientos oscilatorios: el Movimiento Armónico Simple (MAS).
Tomemos uno de estos sistemas físicos, por ejemplo, una cuerpo de masa m
unido a un resorte de constante de elasticidad k (también llamada rigidez). El otro
extremo del resorte está fijo a una pared. Supondremos que la masa del resorte es
despreciable frente a m, el cuerpo está restringido a moverse en la dirección x y no hay
fuerzas disipativas actuando sobre él (ver figura 1.3).
Figura 1.3: Sistema masa-resorte
10
Si desplazamos la masa separándola de su posición de equilibrio una cantidad x,
la fuerza restauradora que actúa sobre la masa viene dada por la Ley de Hooke, que
establece que la fuerza es proporcional al estiramiento del resorte o, lo que es lo mismo,
igual al desplazamiento que realiza la masa medido desde su posición de equilibrio. En
forma vectorial,
)xx(k)x(Fequi
rrr−−= Ec.(1.3)
De esta forma, si x>xequi la fuerza apunta en sentido negativo, y tiende a reducir
la posición de la masa, dada por x, para que recupere su posición de equilibrio. Si
x<xeq la fuerza apunta en sentido positivo, y tiende a empujar la masa hacia valores de
x más grandes, de modo que se acerque a su posición de equilibrio.
En la figura 4 se muestra el sistema masa-resorte para tres casos: a) resorte sin
deformar; b) resorte comprimido y c) resorte estirado. Por conveniencia escogimos
xequi=0
Figura 1.4: Sistema masa-resorte.
a) en equilibrio; b) y c) situación dinámica.
11
La única fuerza horizontal que actúa sobre la masa es la que ejerce el resorte. En
el eje vertical, los módulos del peso gmr
y la fuerza normal Nr
son iguales y su suma es
cero, por tanto no hay movimiento en ese eje.
La ecuación de movimiento de la masa se obtiene de aplicar las leyes de la dinámica.
∑ =xx
maF . 2
x 2
d xa x
dt= = && , es la aceleración en el eje x.
Sustituyendo la fuerza y la aceleración anterior obtenemos la ecuación diferencial:
kx mx− = &&
k
x x 0m
+ =&& Ec.(1.4)
Observamos que el término mk tiene las unidades de inverso de tiempo al cuadrado
2
22s
s
1
kgms
mkg −==××
×
Ya que estamos analizando un sistema oscilatorio, deberemos relacionar el
término anterior con la frecuencia de la oscilación, la cual tiene unidades de s-1
, por lo
que el término mk tiene unidades de frecuencia al cuadrado. La frecuencia está
relacionada con el período T (tiempo durante el cual el sistema realiza una oscilación
completa) a través de las siguientes relaciones:
1
fT
= ; Frecuencia (a veces llamada Frec. lineal)
T
2f2
π=π=ω ; Frecuencia angular Ec.(1.5)
Utilizaremos la ecuación (1.5), por ser la más apropiada para describir el
comportamiento oscilatorio. (En la sección 1.2 quedará justificado el uso deω).
; La frecuencia ωωωω es llamada frecuencia natural de oscilación.
En el resto del libro será denominada ωωωω0.
2 k
mω =
12
Al sustituir en la ecuación (1.4) obtenemos la ecuación del Oscilador Armónico Simple
(OAS)
Ec.(1.6)
La ecuación (1.6) es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo
orden con coeficientes constantes. La solución de esta ecuación es una función que
representa el comportamiento del oscilador armónico simple.
Antes de proceder a resolver la ecuación del OAS, veamos algunos ejemplos de
otros sistemas oscilatorios ideales.
Ejemplo 1. Oscilador Vertical:
Los principios desarrollados para un sistema masa-resorte horizontal, también
son válidos para un cuerpo que cuelga de un resorte vertical (fig.5). Aquí el peso
gmr
del cuerpo estirará al resorte hasta una nueva posición de equilibrio equi
y .
Figura 1.5 Oscilador vertical. (a) Resorte sin estirar; (b) Sistema en equilibrio; (c) Condición dinámica
La figura 1.5.a muestra un resorte sin estirar. En la figura 1.5.b se cuelga el
cuerpo y se lleva lentamente hacia abajo, hasta que llegue a la posición en la cual está
en equilibrio. La figura 1.5.c es la condición dinámica, en la cual se comprime (o estira)
el resorte. Aplicando las leyes de la dinámica:
2
0x x 0+ ω =&&
13
y equiF (y) k(y y ) mg my= − − − =∑ && Ec. 1.7
Como mgkyequi
= , la ecuación (1.6) queda
k
y y 0m
+ =&& . Llamando 2
0 k mω = obtenemos la ecuación del OAS
2
0y y 0+ ω =&& ;
Ejemplo 2. Péndulo simple:
Un péndulo simple es un sistema ideal que consiste en un cuerpo de masa m
suspendido de una cuerda, sin masa e inextensible, de longitud l. En la figura 1.6
tenemos una representación del péndulo simple. Al separar la masa de su posición de
equilibrio ( 0≠θ ) y soltarla, el péndulo comenzará a oscilar en el plano, alrededor de su
posición de equilibrio y bajo la acción de la gravedad. Lo primero que debemos hallar
es la fuerza restauradora que trata de volverlo al equilibrio.
Figura 1.6 Péndulo simple
14
Observamos que las fuerzas que actúan sobre la masa son el pesov
mg y la
tensión de la cuerda rT . La trayectoria que describe la masa es un arco de circunferencia
de radio llll por lo que es conveniente descomponer el peso en una componente radial,
cuyo módulo es mg cos(θ), y una componente tangencial, cuyo módulo es mg sen(θ) .
La componente radial es la responsable de que la masa describa la trayectoria curvilínea
y la componente tangencial es la fuerza restauradora que actúa sobre m obligándola a
regresar a su posición de equilibrio.
)(senmgFtan
θ⋅−= Εc.(1.8)
el signo menos indica que la fuerza se opone al movimiento en la dirección del
incremento de θ.
La ecuación (1.6) no es proporcional al desplazamiento de la masa (relacionado
con el incremento o decremento angular), sino al seno del ángulo, con lo cual el
movimiento resultante no es un MAS. Sin embargo, para oscilaciones pequeñas (θ
pequeños), ( )θ ≅ θsen y ( ) ( )θ ≅ θsen tan . La tabla 1.1 muestra estos valores.
Tabla 1.1
Para oscilaciones pequeñas, el desplazamiento es casi una trayectoria rectilínea.
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Podemos sustituir sen(θ) por x/llll en la ecuación (1.6), y obtenemos una fuerza
restauradora proporcional al desplazamiento.
l
xmgF
tan−= .
Aplicando las leyes de la dinámica
x
mg mxl
− = && Ec.(1.7)
Observamos que el término lmg tiene las mismas unidades que el coeficiente de
rigidez k del sistema masa-resorte.
22
s
kg
ms
mkg=
×
×, ⇒
l
g.mk =
De la ecuación (1.7) obtenemos la ecuación de movimiento del OAS
2
0x x 0+ ω =&& , con l
g2
0=ω .
Al analizar la expresión anterior, podemos deducir que la frecuencia del péndulo
aumentará (disminuirá) si disminuye (aumenta) su longitud.
Ejemplo 3. Circuito LC:
Para el análisis del circuito LC de la figura 7, utilizaremos las leyes de Kirchoff.
Figura 1.7 Circuito LC ideal (sin elementos resistivos).
Aplicando la ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV)
LC
VV = Ec.(1.8)
Pero C
V q C= y ( )LV L di dt= − . El signo menos indica que la fem inducida en el
inductor se opone al aumento de la corriente.
16
Sustituyendo en la ecuación (1.8)
q(t) di(t)
LC dt
= −
También usamos la definición de corriente instantánea i dq dt= . Al sustituir en
la ecuación anterior, obtenemos una ecuación diferencial de 2do. orden para la carga q.
2
2
d q qL 0
dt C+ = . Ec.(1.9)
Utilizando la notación correspondiente a la derivada segunda y reordenando
1
q q 0LC
+ =&&
Al explorar las unidades del término (LC)-1
, encontramos que tiene unidades de
inverso de frecuencia al cuadrado (se deja como ejercicio): 2
0 1 LCω =
Sustituyendo en la ecuación diferencial del circuito LC
2
0q q 0+ ω =&&
Concluimos que el circuito LC es un oscilador armónico!!!
En estos tres ejemplos anteriores hemos obtenido la misma ecuación diferencial.
Esto significa que el comportamiento de los tres sistemas físicos es exactamente el
mismo, es decir, cada uno de ellos es un oscilador armónico simple. Basta con resolver
uno sólo de ellos y automáticamente tendremos la solución de cualquier otro oscilador
armónico simple.
Volvamos a nuestro sistema masa-resorte. La solución de la ecuación diferencial
de movimiento
2
0x x 0+ ω =&&
es una función x(t) que representa el comportamiento del OAS. Hay varias maneras de
resolver una ecuación diferencial de este tipo. Una de ellas es proponer una solución,
17
derivarla dos veces, sustituirla en la ecuación diferencial y comprobar que satisfaga la
ecuación de movimiento.
Proponer una solución en este caso es relativamente fácil. Basta con imaginar la
trayectoria que describe la masa. Las posiciones que ésta ocupa se repiten en el tiempo,
es decir, reproduce el movimiento en ciclos regulares, cada uno de estos representa una
oscilación completa. Por otra parte, del análisis de la ecuación diferencial observamos
que la variable x y su derivada segunda aparecen en ella. Por lo tanto, estamos buscando
una función cuya derivada segunda sea de nuevo la misma función pero con signo
cambiado (para que puedan anularse). Proponemos la siguiente función periódica como
solución de la ecuación del OAS: (En el Anexo I se describe el método general para la
solución de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes
constantes)
)tcos(A)t(x0
ω= ; A es una constante con las mismas
; unidades de x.
derivamos dos veces y sustituimos en la ec. diferencial
0 0x(t) A sen( t)= −ω ω&
2 2
0 0 0x(t) A cos( t) x= −ω ω = −ω&& .
la solución propuesta cumple con la ec. diferencial.
Si probamos la solución
)tsen(B)t(x0
ω= ; Donde B es una constante
; con las mismas unidades de A
0x(t) Bcos( t)= ω ω&
2 2
0 0 0x(t) Bsen( t) x= −ω ω = −ω&& .
también satisface la ecuación del OAS.
Si para una ecuación diferencial lineal, existen varias soluciones, la solución
general será la superposición de las soluciones individuales encontradas.
18
)t(senB)tcos(A)t(x00
ω+ω= . Ec.(1.10)
Podemos comprobar que es solución, derivando dos veces y sustituyendo en la ec.
diferencial.
2 2
0 0 0 0x(t) A cos( t) Bsen( t) x
= −ω ω + ω = −ω
&&
A y B representan las 2 constantes de integración de la ecuación diferencial. Se
determinan por los valores de )t(x y x(t)& en un instante t dado. En la figura 1.8 está
representada la función hallada.
Figura 1.8 Gráfico de la solución )t(senB)tcos(A)t(x00
ω+ω= del OAS
El significado físico de la ecuación (1.10) se manifiesta cuando reescribimos las
constantes A y B de la siguiente manera:
A a sen( )= φ
B a cos( )= φ ; ( )2 2 2 2 2A B a sen cos+ = φ + φ
a y φ constantes. Sustituyendo en la ecuación (1.10)
0x(t) a sen( t )= ω + φ Ec.(1.11)
Podemos encontrar el significado físico de a usando la ecuación (1.11). El valor
máximo de x será
19
[ ]max 0 0 maxmax
x(t) a sen( t ) a sen( t )
= ω + φ = ω + φ
Pero el valor máximo de la función seno es 1± , lo que nos revela que a es el valor
máximo que puede tomar la variable )t(x
a)t(xmax
±= .
Figura 1.9 Gráfico de la solución 0x(t) a sen( t )= ω + φ del OAS
Por otra parte, el ángulo φ se denomina constante de fase (o ángulo inicial de
fase) y está determinado, al igual que la amplitud máxima a, por la posición y velocidad
de la partícula en t = 0 (condiciones iniciales).
Ejercicio 1: Cálculo de las constantes A y φφφφ a partir de las condiciones iniciales
Hallar la ecuación que describe el oscilador armónico simple, no amortiguado,
cuya frecuencia natural de oscilación es ω0 [s-1
] y en t = 0 su posición es x0 [m] y su
velocidad es v0 [m/s].
Para hallar la ecuación que describe el comportamiento del oscilador armónico
del problema, utilizamos la ecuación general que describe a todos los OAS.
0x(t) a sen( t )= ω + φ . Con: 0(0)x x= y
0x(0) v=&
0 0x(t) a cos( t )= ω ω + φ&
Evaluamos )t(x y x(t)& en t = 0
0(0)x x asen= = φ
0 0(0)x v a cos= = ω φ&
20
Tenemos dos ecuaciones con 2 incógnitas: a y φ . Resolviendo y sustituyendo en la
ecuación general, arribamos a la expresión que buscábamos
ω+ω
ω+= −
0
001
0
2
0
02
0
v
xtantsen
vxa)t(x
Relación entre el Movimiento Armónico Simple MAS y el Movimiento
Circular Uniforme MCU.
Es muy útil describir el movimiento armónico simple MAS como la proyección
de un movimiento circular uniforme MCU sobre un diámetro de la circunferencia.
Estudiaremos el sistema físico representado por una partícula de masa m, que describe
una trayectoria circular de radio r, con rapidez constante v y velocidad angular ω0. En
particular escogemos el diámetro paralelo al eje x para estudiar la proyección de este
MCU, tal como lo muestra la figura 1.10, y demostraremos que esta proyección realiza
un MAS.
Figura 1.10: Movimiento circular uniforme de una partícula y su proyección en el eje x.
Nótese que, aún cuando su rapidez es constante, las componentes vx y vy de la
velocidad cambian constantemente, tal como lo revela el espaciamiento no uniforme de
la proyección, sobre el eje x, de los puntos de la trayectoria.
21
Expresamos la aceleración que experimenta cualquier cuerpo que realiza un
MCU como:
2v
ar
=r
Ec.(1.12)
donde a
r es la aceleración centrípeta, v es la rapidez y r es el radio de la trayectoria
circular.
Figura 1.11: Movimiento circular uniforme
De la figura 1.11 observamos que la componente x de la aceleración, ax, es
x
va cos
r= − θ
2
; Ec.(1.13)
θ es el ángulo medido, en sentido antihorario, desde el eje x: 0tθ = ω + φ ; y φ es el
ángulo inicial (en t = 0). Usando la segunda Ley de Newton
xF vcos
m r= − θ
2
; despejamos la fuerza Fx de la ecuación
anterior
x
vF m cos
r= − θ
2
; Ec.(1.14)
Como es un MCU, podemos escribir vt=s , donde s es un segmento de la trayectoria
circular. Para un ciclo completo 2 r= πs y t es un período ( Tt = =2π/ω0).
Sustituyendo en la ecuación (1.14)
2
2
x 02
4 mrF cos m r cos
T
π= − θ = − ω θ
22
Pero km 2
0=ω , y de la figura 1.11, observamos que la proyección de r en el eje x es:
r cos xθ = .
Sustituyendo en la expresión anterior
kxFx
−=
obtenemos una fuerza directamente proporcional al desplazamiento. En otras palabras,
al estudiar la proyección sobre un diámetro de una partícula que efectúa un MCU, cuya
posición viene determinada por un vector en rotación r (llamado también vector
rotatorio o fasor), obtenemos la expresión de una fuerza restauradora exactamente igual
a la que origina un MAS.
El uso de los vectores rotatorios o fasores será de gran utilidad en el análisis del
comportamiento de un oscilador armónico bajo la acción simultánea de varios
movimientos periódicos (Sección 1.5). Si hacemos r = a, podemos escribir la proyección
sobre el eje x como
( )x a cos a cos t= θ = ω + φ
Con lo cual obtenemos la solución del OAS, similar al encontrado en la sección 1.
Figura 1.12: Relación entre el MAS y el MCU.
En la figura 1.12 observamos que el ángulo φn (n = 0,1,….,6), cuyo rango de
valores varía entre 0 y 2π [rad], es el desplazamiento angular en t=0 y define la posición
(dentro del ciclo de oscilación) para el instante inicial.
( t 0)x a sen= = φ
23
Velocidad y aceleración en el Movimiento Armónico Simple
La velocidad y la aceleración en el MAS, pueden ser evaluadas a partir de la
ecuación general del MAS (Ec.1.11)
0x(t) a sen( t )= ω + φ .
La velocidad se obtiene derivando la ecuación 1.11 con respecto al tiempo
(usaremos la notación x& y x&& para la primera y segunda derivada temporales)
0 0x(t) a cos( t )= ω ω + φ& . Ec.(1.15)
El valor máximo de la velocidad será [ ] [ ]0 0 0max maxx(t) a cos( t ) a= ω ω + φ = ±ω& .
Podemos observar que la velocidad adelanta en un ángulo de π/2 al desplazamiento, es
decir precede en un cuarto de ciclo al desplazamiento.
La aceleración se obtiene derivando dos veces la ecuación 1.11 con respecto al
tiempo
2
0 0x(t) a sen( t )= −ω ω + φ&& . Ec.(1.16)
El valor máximo de la aceleración será [ ] [ ]2 2
0 0 0max max(t )x a sen( t ) a= −ω ω + φ = ±ω&& .
La aceleración se encuentra en contrafase, u oposición de fase, con el
desplazamiento, de manera que cuando uno de ellos tiene el valor máximo positivo, el
otro tiene el valor máximo negativo y viceversa. La figura 1.13 permite apreciar estos
desfasajes.
Figura 1.13: Gráfica de desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo
24
Energía de un Oscilador Armónico Simple
Uno de los más importantes aspectos del estudio del movimiento oscilatorio es
el que se refiere a la energía. En el sistema bajo estudio podemos reconocer que existe
energía cinética (la masa está moviéndose) y energía potencial (el resorte se deforma).
Comencemos el estudio de esta magnitud física señalando que en el caso ideal de
movimiento armónico simple no existen fuerzas disipativas, por lo tanto, la energía
mecánica total permanece constante.
tot C p
E E E ctte= + = Ec.(1.17)
EC es la energía cinética, dada por la expresión:
( )2 2 2 2
C
1 1E mx m a cos t
2 2= = ω ω + φ& Ec.(1.18)
Ep es la energía potencial, dada por la expresión:
2 2 2
p
1 1E kx ka sen ( t )
2 2= = ω + φ Ec.(1.19)
Aún cuando las energías potencial y cinética no son constantes, su suma si lo es.
Esto se explica con el fenómeno de intercambio entre las energías potencial y cinética; a
medida que aumenta una de ellas, la otra disminuye. Sustituyendo éstas en la ecuación
(1.17)
2 2
tot
1 1E mx kx
2 2= +& Ec.(1.20)
Para calcular el valor de la energía total, usaremos el hecho de que la velocidad
es cero cuando el desplazamiento es máximo. En este caso maxx a= , la energía cinética
es cero y la potencial es máxima, Epmax. El valor de la energía total en todo instante es:
max
2
tot p
1E E ka
2= =
¡La energía es proporcional a la amplitud al cuadrado!
25
De la misma manera podemos establecer que para x=0 la energía potencial es
cero y la cinética es máxima Ecmax y es igual a
max
2
c tot
1E E ka
2= =
A partir de la ecuación (1.20) podemos obtener una expresión de la velocidad en
función de la posición
2 2 21 1 1ka mx kx
2 2 2= +&
despejamos la velocidad y nos queda la expresión que buscamos
( )2 2 2 2
0
kx a x a x
m= − = ω −& [m/s] Ec.(1.21)
Figura 1.14 Gráficas de Energía Potencial,
Energía Total y Energía Cinética en función de x
La figura 1.14 es una gráfica de las energías potencial y cinética en función de la
posición. La figura 1.15 es una gráfica de las energías potencial y cinética en función
del tiempo. En ambas se muestra la energía total.
26
Figura 1.15 Gráficas de las Energías Cinética,
Potencial y Total en función del tiempo
En las gráficas precedentes se puede observar que, para cualquier posición x o
cualquier instante t, la suma de las energías potencial y cinética es igual a la energía
total.
Anteriormente mencionamos que la energía total es constante, por lo que se debe
cumplir que
dE
0dt
⇒ = .
2
2d 1 1 1m x kx 2m x x 2kx x x m x kx
dt 2 2 2
+ = + = +
Este último término en paréntesis es la ecuación del OAS
m x kx 0+ =
. Lo que demuestra que la energía se conserva.
27
Ejemplo 4. Energía en un circuito LC:
Veamos cómo abordar el estudio de la energía almacenada en un circuito LC. En
ausencia de resistencias, la energía del circuito eléctrico permanecerá constante. Esta
energía está definida por la energía UM almacenada en el campo magnético que existe
en el inductor y la energía UE almacenada en el campo eléctrico que existe entre las
placas del capacitor. Es decir
tot M EE U U= + Ec.(1.22)
Calculamos la energía almacenada en el campo magnético
M instU P dt= ∫
inst L(t) i(t)P V= es la potencia instantánea en el circuito y VL es la magnitud del voltaje
en los extremos del inductor. Sustituyendo e integrando
I
M L
0
2 2
diU V i dt L i dt L i di
dt
1 1Li Lq
2 2
= = =
= =
∫ ∫ ∫
&
Calculamos ahora la energía almacenada en el campo eléctrico
Q 2
E C
0
dq q qU V dt dq
dt C 2C= = =∫ ∫
Sustituimos en la ecuación (1.22)
2 2
tot
1 1E Lq q
2 2C= +& .
Se deja como ejercicio demostrar que dE
0dt
= .
28
La tabla 1.2 muestra la equivalencia entre los sistemas mecánico y eléctrico.
Oscilador Mecánico Oscilador eléctrico
Sistema físico
Ecuación
diferencial mx kx 0+ =&&
1Lq q 0
C+ =&&
Energía 2 2
tot
1 1E mx kx
2 2= +& 2 2
tot
1 1E Lq q
2 2C= +&
Variables
x q
dxx
dt= &
dqi q
dt= = &
Elemento inercial m L
Elemento de rigidez k 1/C
Tabla 1.2. Equivalencia entre los sistemas mecánico y eléctrico.
Superposición de dos oscilaciones armónicas simples
Hasta aquí hemos descrito el comportamiento del oscilador armónico cuando se
ve afectado por una perturbación que lo separa de su posición de equilibrio. Sin
embargo, es muy común encontrar sistemas físicos que están siendo perturbados por la
aplicación simultánea de dos o más vibraciones armónicas. Como ejemplo podemos
citar los electrones en una antena, sometidos a las perturbaciones electromagnéticas de
los alrededores; el tímpano, actuando como un sistema físico oscilante, al ser perturbado
por los diversos sonidos del medio ambiente. En estos dos ejemplos, así como en
muchos otros, el sistema responde a estas perturbaciones con un desplazamiento
descrito por una función dependiente del tiempo.
En esta sección estudiaremos el comportamiento de un sistema físico sometido a
dos vibraciones u oscilaciones para los siguientes casos:
29
• Oscilaciones paralelas (una dimensión) :
a) De igual frecuencia, diferentes amplitudes y constantes de fase.
b) De diferentes frecuencias e igual amplitud.
• Oscilaciones perpendiculares (dos dimensiones):
a) De igual frecuencia, diferentes amplitudes y constantes de fase.
b) De diferentes frecuencias.
Superposición de dos oscilaciones paralelas (una dimensión):
a) Oscilaciones paralelas de igual frecuencia, con diferentes amplitudes y
diferente constante de fase
Sean dos MAS representados por las ecuaciones siguientes
( )1 1 1x a sen t= ω + φ
( )2 2 2x a sen t= ω + φ
La acción simultánea de estos dos movimientos sobre el oscilador, inducirá en éste un
movimiento resultante que será la superposición de ambos movimientos aplicados.
Lo que se desea es describir este movimiento resultante. La Figura 1.16 muestra una
representación gráfica de x1 y x2, así como su superposición.
Figura 1.16 Gráfica de la superposición de dos MAS de igual frecuencia
30
Se observa que la superposición de estas dos señales produce una señal que tiene
el mismo período y, en consecuencia, la misma frecuencia que las señales superpuestas,
por lo que es posible expresar el desplazamiento resultante del oscilador como un MAS,
de la forma
( )x R sen t= ω + θ Ec.(1.23)
donde R es la amplitud máxima de la oscilación resultante y θ es la constante de fase de
la misma.
Como dijimos anteriormente, en la sección 1.2, el uso de los vectores en
rotación, también llamados vectores rotatorios o fasores, será de gran utilidad en el
análisis del comportamiento de un oscilador armónico bajo la acción simultánea de
varios movimientos periódicos. En la Figura 1.17 están representados estos tres
movimientos mediante vectores en rotación, lo que nos permite obtener el resultado
geométricamente.
Figura 1.17 Diagrama de fasores para cálculo geométrico de R y θ
De la figura (1.17a)
( )22 2
1 2 2R (a a cos ) a sen= + δ + δ
donde 2 1δ = φ − φ es una constante. Efectuamos el binomio cuadrado y agrupamos
Ec.(1.24)
De la figura (1.17b) podemos obtener la constante de fase calculando la tangente del
ángulo θ Εc.(1.25)
1 1 2 2
1 1 2 2
a sen a sentan
a cos a cos
φ + φθ =
φ + φ
2 2 2 2
1 2 1 2R a a 2a a cos= + + δ
31
Αl sustituir en la ecuación (1.23) obtendremos la expresión buscada.
El método anterior se puede aplicar a la superposición de un número grande de
vibraciones. Sin embargo, se dejará su estudio para el capítulo de ondas, cuando veamos
serie de Fourier.
b) Oscilaciones paralelas de diferentes frecuencias, con amplitudes iguales.
La diferencia de fase entre las señales está cambiando constantemente por lo que
no se especificará una diferencia de fase inicial. Supongamos, para simplificar la
expresión, que φ1 = φ2 y escribimos los dos MAS de la siguiente manera:
1 1x a sen t= ω
2 2x a sen t= ω
La superposición de estos MAS dará como resultado
( )1 2 1 2x x x a sen t sen t= + = ω + ω Ec.(1.26)
Con 2 1ω > ω
Podemos reescribir la ecuación (1.26) utilizando la identidad trigonométrica:
( )
( ) ( )
sen sen cos cos sen
sen sen 2sen cos
α ± β = α β ± α β
α + β + α − β = α β
Hacemos:2
α + β = ω y 1
α −β = ω
1 2
2
ω + ω⇒ α = y 2 1
2
ω − ωβ =
Sustituyendo en la ecuación (1.26) obtenemos la expresión deseada
Ec.(1.28)
En la figura 1.18 se encuentra graficada la expresión anterior. Podemos observar
que se trata de una oscilación lenta de frecuencia ( )2 1 2ω − ω y amplitud ± 2a
combinada con una oscilación rápida de frecuencia ( )1 2 2ω + ω (frecuencia promedio).
1 2 2 1x 2a sen t cos t2 2
ω +ω ω −ω =
32
Se dice que la señal de frecuencia lenta modula o envuelve a la señal de frecuencia
rápida.
Figura 1.18 Superposición de oscilaciones paralelas con diferentes frecuencias.
Ejemplo 5. Pulsaciones o Batidos:
Uno de los casos más interesantes de superposición de oscilaciones con
diferentes frecuencias, se observa para 1 2
ω ≈ ω . Mencionaremos, como ejemplo, el caso
de dos diapasones de frecuencias ligeramente diferentes. Al vibrar juntos, se puede
escuchar un sonido cuya amplitud aumenta y disminuye alternadamente. Este fenómeno
se conoce, en acústica, como “batidos” o también “pulsaciones”. Nuestro sistema
auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes. Según la
ecuación (1.28), lo que escuchamos es una frecuencia promedio (1 2 2ω + ω ), cuyo
amplitud del sonido aumenta o disminuye con una frecuencia dada por 2 1
ω − ω . Es lo
que perciben los músicos cuando escuchan simultáneamente dos instrumentos, uno de
ellos levemente desafinado (1 2ω ≈ ω ). Por ejemplo, supongamos que la cuerda “la” de
una guitarra está afinada (440 Hz) y la de otra guitarra está desafinada (438 Hz). Al
pulsar ambas, nuestro sistema auditivo percibirá un sonido de frecuencia 439 Hz y cuya
amplitud varía con una frecuencia de 2 Hz, es decir, pasa por un máximo de intensidad
dos veces cada segundo o dos pulsaciones por segundo. La frecuencia de la oscilación
33
rápida es muy cercana a las frecuencias de las oscilaciones superpuestas, mientras que la
frecuencia de la envolvente es muy lenta . En la figura 1.19 se evidencia esto último.
Figura 1.19 Superposición de oscilaciones paralelas, caso 1 2
ω ≈ ω . Batidos o pulsaciones
Superposición de dos oscilaciones perpendiculares (dos dimensiones):
a) Oscilaciones perpendiculares de igual frecuencia, con diferentes amplitudes
y diferente constante de fase.
Como en los casos anteriores queremos obtener la ecuación que describe el
movimiento de una partícula que se encuentra bajo la acción de dos oscilaciones,
una de ellas a lo largo del eje x y la otra a lo largo del eje y
1 1x a sen( t )= ω + φ
2 2y a sen( t )= ω + φ
34
por lo que determinaremos la trayectoria que describe la partícula. Esto se hace
eliminando el tiempo t de las ecuaciones anteriores. Comenzamos efectuando el
seno de la suma de los ángulos del argumento y reescribiendo así:
1 1
1
xsen t cos cos t sen
a= ω φ + ω φ (1)
2 2
2
ysen t cos cos t sen
a= ω φ + ω φ (2)
Luego eliminamos el tiempo realizando los siguientes pasos:
Mapa de operaciones algebráicas para la obtención de Ec. (1.29)
Finalmente nos queda la ecuación general de una elipse
Ec.(1.29)
Estudiaremos algunos casos para el desfasaje (φ2−φ1) entre las señales.
Caso 1: 2 1 0φ − φ =
En este caso las dos oscilaciones están en fase. Esto quiere decir que las dos
señales pasan por cero (con la misma fase), o por sus valores extremos, en el mismo
2 22
2 1 2 12 2
1 2 1 2
x y 2xycos( ) sen ( )
a a a a+ − φ −φ = φ −φ
35
instante. Analizaremos el comportamiento del oscilador bajo la influencia de las dos
señales de dos maneras: a) desde el punto de vista gráfico, y b) analíticamente, usando
la ecuación (1.29).
Desde el punto de vista gráfico, podemos suponer dos funciones senoidales
inicialmente con amplitud cero. Una de ellas representa una oscilación en el eje x y la
otra representa una oscilación en el eje y. Ambas comienzan tomando valores positivos
en sus respectivos ejes. Si graficamos cada punto xy correspondiente a cada instante t,
encontraremos que la trayectoria será una línea recta, cuya pendiente es la relación entre
las amplitudes, tal como puede verse en la Figura 1.20a.
Desde el punto de vista analítico, sustituimos 2 1
0φ − φ = en la ecuación (1.29) y,
sabiendo que cos(0) 1= y , 2sen (0) 0= nos queda
2 2
2 2
1 2 1 2
x y 2xy0
a a a a+ − = . Este es un trinomio cuadrado perfecto. Factorizando tenemos
2 2
1 2
x y0
a a
− =
⇒ 2
1
ay x
a= Esta es la ecuación de una recta, tal como esperábamos.
El caso 1, representa una oscilación linealmente polarizada o con polarización
lineal. El concepto de polarización será desarrollado en el capítulo correspondiente a
ondas electromagnéticas, sin embargo es importante relacionarlo con la superposición
que estamos estudiando en este capítulo.
En el caso que2 1φ − φ = π , la trayectoria también será lineal, pero con pendiente
negativa. (Ver Figura 1.20e)
Caso 2: 2 12
πφ − φ =
En este caso mientras una de las señales tiene su máxima amplitud, la otra señal
tiene amplitud cero; están desfasadas en un cuarto de ciclo. Si escogemos, por
simplicidad,1
0φ = , podemos escribir las señales
1x a sen t= ω en t 0= x 0=
36
2 2y a sen( t ) a cos t2
π= ω + = ω en t 0=
2y a=
De nuevo podemos graficar cada punto xy y observaremos que la trayectoria que
sigue el oscilador es elíptica, centrada en 0 y de semiejes a1 y a2 . La Figura 1.20d
representa este caso. A medida que x aumenta, y disminuye. La trayectoria elíptica se
forma en sentido horario. Cuando los semiejes son iguales ( 1 2a a a= = ) se obtiene una
circunferencia de radio a.
Analíticamente, sustituimos 2 1 2φ − φ = π en la ecuación (1.29), y, sabiendo que
cos( 2) 0π = y , 2sen ( 2) 1π = , nos queda
2 2
2 2
1 2
x y1
a a+ =
Si 1 2
a a a= =
2 2 2
x y a+ = . Obtenemos una circunferencia de radio a.
El Caso 2 representa una oscilación elípticamente polarizada, y en el caso especial en el
que ambas amplitudes son iguales, será una polarización circular.
Figura 1.20 Trayectorias que describe el oscilador armónico debido a la superposición de oscilaciones perpendiculares. Se especifican los valores de desfasaje entre las señales superpuestas.
37
La Figura1.20 muestra la trayectoria que seguirá el oscilador armónico para
diferentes valores de 2 1φ − φ . Podemos observar que para
2 1 2φ − φ = − π , la trayectoria
será igual que en el caso 2, excepto que la elipse se forma en sentido antihorario
(Figura 1.20f).
El conocimiento de los tipos de polarización cobra especial importancia en el
estudio de señales de radiofrecuencias VHF (very high frequency) y UHF (ultra high
frequency). Como se dijo anteriormente, el tema lo trataremos de nuevo en el estudio de
ondas electromagnéticas.
b) Oscilaciones perpendiculares de diferentes frecuencias.
Las trayectorias que describe el oscilador armónico sujeto a una superposición
de oscilaciones perpendiculares de diferentes frecuencias, son curvas cerradas, bastante
complicadas, que reciben el nombre de figuras o patrones de Lissajous. La relación
entre las frecuencias x
ω y yω , de las oscilaciones perpendiculares entre sí, es un número
racional, es decir x yω ω = n m donde n y m son números naturales Por ejemplo, para
x y 1 2ω ω = las ecuaciones paramétricas de movimiento son
( )1 1
2 2
x a sen t
y a sen(2 t )
= ω + φ
= ω + φ Ec.(1.30)
En la figura 1.21 se muestran los patrones de Lissajous para valores enteros de
2 1ω ω y diferentes valores de
2 1φ − φ . Nótese que todos los puntos se encuentran
contenidos en un rectángulo de lados 1
2a y 2
2a . La coincidencia tangencial de la curva
con los lados del rectángulo en varios puntos, mantiene una relación inversa a la
relación entre las frecuencias:
ejeyx
y ejex
Nº puntos
Nº puntos
ω=
ω
38
Figura 1.21 Patrones de Lissajous para diferentes valores de 2 1
ω ω y 2 1
φ − φ
Vectores en rotación y números complejos
Hemos escrito la solución de la ecuación diferencial del OAS 2
0x x 0+ ω =&& , como
una función seno de la forma 0
x(t) a sen( t )= ω + φ , lo que describe un MAS. También
demostramos que la función coseno, y la superposición de ambas, es solución: una y
otra son funciones periódicas.
39
Vamos a obtener otra función, que es periódica y que será de gran utilidad para
describir el comportamiento de sistemas oscilatorios. Usaremos la Serie de Taylor (ver
Anexo B) para representar algunas funciones conocidas y llegar a la función periódica
que estamos buscando.
Comencemos haciendo un desarrollo en serie de las funciones exponenciales xe
y xeα , evaluadas en a 0= .
2 3 n
x x x xe 1 x .... ...
2! 3! n!= + + + + + + Ec.(1.31)
( ) ( ) ( )
2 3 n
xx x x
e 1 x .... ...2! 3! n!
α α α α= + α + + + + + Ec.(1.32)
Si derivamos esta última función, obtendremos
2 3
x 2d 2 3e x x ....
dx 2! 3!
α α α= α + + +
( ) ( )
2 3x x
x ....2! 3!
α α= α α + + +
xeα= α
Similarmente,
2
x x2
2
de e
dx
α α= α
Un caso interesante se presenta cuando α = j , donde j es el número imaginario
1= −j . Como sabemos,
2 1= −j 3 = −j i 4 1=j 5 =j i
Al sustituir los valores de j en la ecuación (1.32) y agrupar
( ) ( ) ( )2 3 n
xx x x
e 1 x .... ...2! 3! n!
= + + + + + +jj j j
j
2 3 4 5x x x x x
e 1 x ...2! 3! 4! 5!
= + − − + +jj j j
2 4 3 5x x x x1 .... x ...
2! 4! 3! 5!
= − + + − +
j Ec.(1.33)
Hasta ahora hemos obtenido un número complejo cuya parte real es una suma de n-
términos y la parte imaginaria también es una suma de n-términos. ¿Es una señal
periódica?
40
Para contestar la pregunta anterior, hagamos el desarrollo en serie de las dos
funciones periódicas que conocemos: Sen(x) y Cos(x), evaluadas en a = 0.
3 5x xSen x 0 1.x 0 0 ..
3! 5!
Sen(0) 0
(Sen x) Cos x Cos(0) 1
(Sen x) Sen x Sen(0) 0
(Sen x) Cos x
= + − − + + =
=
′ = ⇒ =
′′ = − ⇒ − =
′′′ = −
3 5 7x x xx- + - ..3! 5! 7!
Ec.(1.34)
2 4 6x x xCos x 1 0 0 0 ..
2! 4! 6!
Cos(0) 1
(Cos x) Sen x Sen(0) 0
(Cos x) Cos x Cos(0) 1
(Cos x) Sen x Sen(0) 0
= − − + + − − =
=
′ = − ⇒ − =
′′ = − ⇒ − = −
′′′ = ⇒ − =
2 4 6x x x1- + - ..2! 4! 6!
Ec.(1.35)
Comparando las tres últimas ecuaciones, podemos concluir que
x
e Cos x j Sen x= +j Ec.(1.36)
Si hacemos un desarrollo en serie de xe- j ,
x
e Cos x j Sen x= −- j Ec.(1.37)
Es decir, hemos obtenido una función periódica a partir de una función exponencial!!!
…. y ésta también debe ser solución del OAS. La ecuación (1.36) fué establecida por L.
Euler en 1748 y es conocida como Fórmula o relación de Euler.
Si Sumamos las ecuaciones (1.36) y (1.37) obtendremos representadas las
funciones Seno y Coseno por medio de funciones exponenciales complejas, de la
siguiente manera:
x x
x x
e eCos x
2
e eSen x
2
−
−
+=
−=
j j
j j
j
Ec.(1.38)
41
El estudio anterior nos permitió la obtención de una función matemática, “la
exponencial compleja”, cuyo beneficio será el de facilitar el manejo de los problemas
oscilatorios debido a que la función exponencial tiene la propiedad de aparecer de
nuevo en cada proceso de derivación e integración
Para la interpretación de la ecuación (1.36) utilizaremos la relación que existe
entre el MAS y el MCU. Sustituimos la letra x, que utilizamos para el desarrollo en
serie de las funciones anteriores, por la variable angular θ, medida en radianes y
representamos la posición de la partícula que describe el MCU en la forma
ˆ ˆr ix jy= +r
con 2 2r a x y= = +r
donde î es el vector unitario para describir los desplazamientos a lo largo del eje x, y j
es el vector unitario para describir los desplazamientos en el eje y.
Figura 1.22 Partícula describiendo un MCU
Tomando en cuenta que r es un vector rotatorio o fasor, y sin sacrificar
información, podemos escribir
r x y= + j
y relacionarlo con la notación compleja
z x y= + j Ec.(1.39)
donde x y y son números reales y 1= −j .
De la figura 1.22 podemos obtener las expresiones para x y para y
x a cos
y a sen
= θ
= θ
42
Finalmente, con tθ = ω + φ , sustituimos en ecuación (1.39)
[ ]z a cos( t ) sen( t )= ω + φ + ω + φj
Ec.(1.40)
Al representar un MAS por un vector en rotación o fasor, estamos haciendo la
representación bidimensional de oscilaciones en una dimensión. Luego al trabajar con
números complejos podemos seleccionar la parte física de interés para el análisis de las
oscilaciones monodimensionales, ya que se ajusta a las partes físicamente reales y no
reales de un movimiento bidimensional imaginado. (Ver figura 1.23)
x(t) Re z(t) a cos( t )= = ω + φ
Figura 1.23 Fasor como número complejo en diferentes instantes y representación de la parte real (proyección en x, en azul.)
( t )z ae ω +φ= j
43
Volviendo a la ecuación diferencial del OAS
2
0x x 0+ ω =&&
si proponemos una solución de la forma
( t )x(t) ae ω +φ= j Ec.(1.41)
derivamos dos veces e introducimos en la ecuación diferencial
2
2 2
2
( t )
( t )
dxx ae
dt
d xx ae x
dt
ω +φ
ω +φ
= = ω
= = −ω = −ω
&
&&
j
j
j
comprobamos que la ecuación (1.41) también es solución de la ecuación diferencial del
OAS y, por lo tanto, es la ecuación exponencial compleja que andábamos buscando.
Ejemplo 6. Superposición de dos oscilaciones paralelas utilizando el método
geométrico y la solución exponencial compleja:
Sea z una superposición de dos oscilaciones dada por
z sen t cos t= ω + ω
Escriba la superposición en la forma:
a) ( )z R cos t= ω + θ
b) ( ) tz Re Ae
ω +θ=
j
Solución a)
Hacemos ( )1x cos t
2π= ω − y
2x cos t= ω .
Con 1
2
a 1
a 1
=
=
1
2
2
0
πφ = −
φ =
Calculamos R y θ
( )2 2
1 2 1 2 2 1R a a 2a a cos
R 2
= + + φ − φ
=
1 1 2 2
1 1 2 2
a sen a sentan
a cos a sen
tan 14
φ + φθ =
φ + φ
πθ = − ⇒ θ = −
Finalmente escribimos
z 2 cos t4
π = ω −
44
Solución b)
Hacemos
( ) tz sen t cos t Re Ae
ω +θ= ω + ω =
j
Desarrollamos
( ) ( )tRe Ae A cos t
A cos t cos Asen tsen
ω +θ= ω + θ
= ω θ − ω θ
j
Construyamos dos ecuaciones para obtener las incógnitas A y θ
A cos t cos cos tω θ = ω A cos 1⇒ θ = (1)
Asen t sen sen t− ω θ = ω A sen 1⇒ − θ = (2)
Elevando al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y sumando obtenemos el valor de A
2A 2 A 2= ⇒ = ±
Dividiendo la ecuación (2) entre la ecuación (1) obtenemos el valor de θ
sen 1tan
cos 1 4
θ − πθ = = ⇒ θ = −
θ
Finalmente escribimos z en forma exponencial
t4z Re 2e
π ω −
=
j
45
PROBLEMAS
Osciladores mecánicos
1. Un bloque, en el extremo de un
resorte, es jalado hasta la posición x
= A y luego soltado. En un ciclo
completo de su movimiento, ¿qué
distancia total recorre?
a) A/2
b) A
c) 2A
d) 4A
2. Dos resortes paralelos, de
constantes de elasticidad k1 y k2, se
conectan a un bloque de masa m y
el sistema se hace oscilar sin
fricción (Fig.1.23a). (a)Calcule el
período de oscilación. (b)
Seguidamente se conectan los resortes en fila, uno a continuación
del otro, y al extremo se conecta el
bloque anterior(Fig.1.23b).
Nuevamente se hace oscilar el
sistema sin fricción. Calcule el
nuevo período. (c) Si ahora se
conecta uno de los extremos de
cada resorte a caras opuestas del
bloque y los extremos libres a
paredes opuestas, calcule el nuevo
período (Fig.1.23c).
Figura
1.23
3. Una partícula de masa 4kg se
mueve a lo largo del eje x bajo la
acción de la fuerza
[ ]2
F N16
π= − .
4. La partícula pasa por el origen a los
2s, y cuando t = 4s, su velocidad es
de 4 m/s. Halle la ecuación del
desplazamiento.
5. El pistón de un motor oscila con un
MAS dado por la
expresión ( )x 5cos 2t / 6= + π ,
donde x está en centímetros y t en
segundos. Obtenga: (a) Los valores
iniciales de la posición, velocidad y
aceleración del pistón.; (b) el
período y la amplitud del
movimiento.
6. La posición de una partícula está dada por la expresión
( )x 4cos 3 t= π + π , donde x está
en metros y t en segundos.
Determine: (a) la frecuencia y el
período del movimiento, (b) la
amplitud del movimiento, (c) la
constante de fase y (d) la posición
de la partícula cuando t = 0.25 s.
7. Dos bloques cuyas masas son
1m 440g= y
2m 450g= se
cuelgan de sendos resortes, los
cuales se estiran 10,5 cm y 10 cm
respectivamente cuando los
sistemas quedan en equilibrio. A
continuación se jalan hacia abajo
18 cm y se sueltan desde el reposo.
Calcule: (a) El recorrido de cada
bloque transcurridos 15 s. ¿En qué
sentido se está moviendo cada uno?
(b) El instante en el cual ambos
sistemas se encuentran en las
mismas condiciones que en t=0?
46
8. La lenteja de un péndulo simple de
612.5 mm de longitud se desplaza
hasta que la varilla de éste forma un
ángulo de θ0 = 5° con la vertical. Si
se suelta el péndulo en esta
posición, se pide: (a) hallar el
ángulo θ formado por la varilla y la
vertical en un instante cualquiera;
(b) determinar la frecuencia de la
oscilación; (c) calcular la distancia
recorrida por la lenteja del péndulo
durante un período; (d) hallar la
velocidad angular y la aceleración
de la lenteja en el centro de la
trayectoria.
9. El balancín de un reloj vibra con
una amplitud angular de
20
πradianes y un período de 0.5
segundos. Calcular: (a) la longitud
del balancín; (b) la máxima
velocidad angular; (c) la velocidad
angular cuando su desplazamiento
es de 40π radianes.
10. Un objeto de 500 g unido a un
resorte de constante de fuerza 8
N/m vibra en movimiento armónico
simple con una amplitud de 10 cm.
Calcule: (a) los valores máximos de la rapidez y aceleración, (b) la
rapidez y aceleración cuando el
objeto está a 6 cm de la posición de
equilibrio, y (c) el intervalo
necesario para que el objeto se
mueva de x = 0 a x = 8 cm.
11. Un bloque de 1 kg está unido al
extremo de un resorte horizontal. El
otro extremo del resorte está fijo a
la pared. Inicialmente, el resorte es
estirado10 cm. A continuación se
suelta el bloque desde el reposo
moviéndose sobre la superficie sin
fricción. El siguiente instante en
que la rapidez del cuerpo es cero, es
0.5 s después. ¿Cuál es la máxima
rapidez del cuerpo?
12. Una banda elástica cuelga de uno
de sus extremos, que está fijado a
un punto A. Una masa de 1 kg
unida al otro extremo, llega al
punto B, siendo la longitud AB, 16
cm mayor que la longitud natural
de la banda. Si la masa es
posteriormente colocada en una
posición, 8 cm por encima de B y
soltada, ¿cuál será su velocidad
cuando pase por la posición B?
13. Un bloque de masa desconocida
está unido a un resorte de constante
de rigidez 6.5 N/m y experimenta
un movimiento armónico simple
con una amplitud de 10 cm.
Cuando el bloque está a la mitad
entre su posición de equilibrio y el
punto extremo, su rapidez medida
es de 30 cm/s. Calcule (a) la masa
del bloque, (b) el período del
movimiento y (c) la aceleración
máxima del bloque.
14. Un péndulo simple de 1 m de
longitud hace 100 oscilaciones
completas en 204 segundos, en un
cierto lugar. ¿Cuál es el valor de la
aceleración de la gravedad en ese
punto?
15. Un cuerpo oscila con movimiento
armónico simple a lo largo del eje
x. Su posición varía con el tiempo
según la ecuación
( )x 4 m cos t4
π = π +
(t en segundos y los ángulos en
radianes). Determine: (a) la
amplitud, frecuencia y período del
movimiento; (b) velocidad y aceleración del cuerpo en cualquier
instante t; (c) posición, velocidad y
aceleración del cuerpo en t = 1 s;
(d) la máxima rapidez y máxima
aceleración del cuerpo y (e) el
desplazamiento del cuerpo entre t =
0 y t = 1 s.
47
16. Un bloque de 200 g está unido a un
resorte horizontal y ejecuta un
movimiento armónico simple con
un período de 0.25 s. Si la energía
total del sistema es de 2 J,
encuentre (a) la constante de
rigidez del resorte y (b) la amplitud
del movimiento.
17. Un OAS se mueve con una
amplitud A0. Si se duplica la
amplitud determine los cambios en
(a) el período, (b) la velocidad
máxima, (c) la aceleración máxima
y (d) la energía total.
18. Una partícula ejecuta un
movimiento armónico simple con
una amplitud de 3 cm. ¿En qué
posición su velocidad alcanzará la
mitad de su máxima velocidad?
19. Un auto que viaja a 3 m/s tiene una
pequeña protuberancia semiesférica
en uno de los cauchos. El conductor
de otro auto situado detrás del
primero, observa que la protuberancia ejecuta un
movimiento armónico simple. Si el
radio de los cauchos del primer
auto es de 0.3 m, ¿cuál es el
período de oscilación de la
protuberancia?
20. Una partícula gira en sentido
contrario a las manecillas de un
reloj en un círculo de radio 3 m con
una rapidez angular constante de 8
rad/s. En t = 0, la partícula tiene
una coordenada x de 2 m y se
mueve a la derecha. (a) Determine
la coordenada x como función del
tiempo; (b) hállense los
componentes x de la velocidad y
aceleración de la partícula en
cualquier tiempo t.
21. Un punto se mueve en una
circunferencia con una celeridad
constante de 50 cm/s. El período de
una vuelta completa es 6 s. Para t =
0 la recta que va del punto al centro
de la circunferencia forma un
ángulo de 30° con el eje x. (a)
Obtener la ecuación de la
coordenada x del punto en función
del tiempo, en la forma
( )x A cos t= ω + α , conocidos los
valores numéricos de A, ω y α. (b)
hallar los valores de x, dx/dt,
d2x/dt
2, para t = 2 s.
22. Un bloque de masa m1 = 9 kg se
encuentra conectado al extremo de
un resorte cuya constante de rigidez
es de 100 N/m. El otro extremo del
resorte se encuentra conectado a la
pared. Inicialmente el sistema
masa-resorte se encuentra en
equilibrio. Un segundo bloque de
masa m2 = 7 kg es empujado
lentamente contra m1,
comprimiendo el resorte en una
cantidad A = 0.2 m. El sistema se
suelta entonces, y ambos objetos
comienzan a moverse hacia la
derecha sobre la superficie sin
fricción. Cuando m1 está pasando
por la posición de equilibrio, m2
pierde contacto con m1 y se mueve
a la derecha con rapidez v. (a)
Determine el valor de v. (b) ¿Cuál
es la separación entre los bloques
cuando el resorte se estira por
completo por primera vez? (Sugerencia: Determine el período
de oscilación y la amplitud del
sistema formado por m1 y el resorte
después que m2 pierde contacto con
m1).
23. Comprobar que la ecuación
diferencial 2 2d y / dx ky= − tiene
por solución
( ) ( )y A cos kx B sen kx= + ,
siendo A y B constantes arbitrarias.
Demostrar también que esta
solución puede escribirse en la
forma
( ) ( )
( )
kx
kx
y Ccos kx C Re e
Re Ce e
+φ
φ
= + φ =
=
j
j j
y expresar C y φ en función de A y
B.
48
24. Una masa al extremo de un muelle
oscila con una amplitud de 5 cm y
una frecuencia de 1 Hz (ciclos por
segundo). Para t = 0, la masa está
en su posición de equilibrio (x = 0).
(a) Hallar las ecuaciones posibles
que describen la posición de la
masa en función del tiempo en la
forma ( )x A cos t= ω + φ , dando
los valores numéricos de A, ω y α.
(b)¿Cuáles son los valores de
x, dx/dt, d2x/dt
2, para t = 8/3 s?
25. Escribir las expresiones siguientes
en la forma ( )t t
z Re Aeω +φ = :
a) z sen t cos t= ω + ω
b) z cos t cos t3
π = ω − − ω
c) z 2 sen t 3cos t= ω + ω
d) z =
sen t 2 cos t cos t4
π ω − ω − + ω
26. Una partícula está sometida
simultáneamente a tres movimientos armónicos simples de
la misma frecuencia y en dirección
x. Si las amplitudes son 0.25, 0.20
y 0.15 mm, respectivamente, y la
diferencia de fase entre el primero y
segundo es 45°, y entre el segundo
y tercero es 30°, hallar la amplitud
del desplazamiento resultante y su
fase relativa respecto al primer
componente (de amplitud 0.25 mm).
27. Dos vibraciones sobre la misma
recta vienen descritas por las
ecuaciones:
1
2
y A cos10 t
y A cos12 t
= π
= π
Hallar el período de batido y
dibujar un esquema cuidadoso de la
perturbación resultante durante
un período de la pulsación.
28. Hallar la frecuencia del movimiento
combinado en cada una de las
siguientes vibraciones:
a) ( ) ( )sen 2 t 2 cos 2 tπ − + π
b) ( )sen 12 t cos 13 t4
π π + π −
c) ( ) ( )sen 3t cos t− π
29. Dos vibraciones perpendiculares
vienen descritas por las ecuaciones:
( )x 10cos 5 t
y 10cos 10 t3
= π
π = π +
Construir la figura de Lissajous del
movimiento combinado
30. Construir las figuras de Lissajous
de los movimientos siguientes:
a) x cos 2 t, y sen 2 t= ω = ω
b) x cos 2 t, y cos 2 t4
π = ω = ω −
c) x cos 2 t, y cos t= ω = ω
Osciladores eléctricos 31.- Un inductor de 1,48 mH en un circuito
RCL, acumula una energía máxima de 11,2
µJ. ¿Cuál es la corriente máxima?
32.- Los osciladores RCL han sido usados
en un circuito conectado a unos altavoces
para crear algunos sonidos de la “música
electrónica”. ¿Cuál es la inductancia que
deberá ser usada con un capacitor de 6,7
µF para producir una frecuencia de 10 kHz,
cerca del límite superior del rango audible
de frecuencias?
33.- Considere el circuito que se muestra en
la figura. Con el interruptor S1 cerrado y los
otros dos abiertos, el circuito tiene un
tiempo constante Tc. Con el interruptor S2
cerrado y los otros dos abiertos, el circuito
posee un tiempo constante Tl. Cuando el
interruptor S3 está cerrado y los otros dos
49
abiertos, el circuito oscila con un período T.
Demuestre que C LT 2 T T= π .
34.- Sea un inductor de 10,0 mH y dos
capacitores, uno de 5,00 µF y el otro de
2.00 µF de capacitancia. Calcule las
frecuencias resonantes que pueden
generarse al conectar estos elementos en
distintas combinaciones.
35.- En un circuito RCL, donde L = 52,2
mH y C = 4,21 µF, la corriente está
inicialmente al máximo. ¿Cuánto tiempo
pasará hasta que el capacitor se cargue
completamente por primera vez?
36.- En el circuito que se muestra en la
figura, el interruptor ha estado en la
posición a por mucho tiempo. Se mueve a
la posición b. (a) Calcule la frecuencia de la
corriente osciladora resultante. (b) ¿Cuál
será la amplitud de las oscilaciones de la
corriente?
37.- Un inductor está conectado en paralelo
con un capacitor que al cual se le puede
variar su capacitancia al hacer girar una
perilla. Se desea que la frecuencia de las
oscilaciones del circuito RCL varíe
linealmente con el ángulo de rotación de la
perilla, “cambiando” de 200 a 400 kHz
mientras la perilla rota 180 grados. Si L =
1,0 mH, haga una gráfica de C como
función del ángulo para la rotación de 180
grados.
38.- En un circuito RCL, tenemos que L =
24,8 mH y C = 7,73 µF. Cuando t = 0, la
corriente es de 9,16 mA, la carga del
capacitor es de 3,83 µC, y éste último se
está cargando. (a) ¿Cuál es la energía total
del circuito? (b) ¿Cuál es la carga máxima
del capacitor? (c) ¿Cuál es la corriente
máxima? (d) Si la carga del capacitor viene
dada por q = qm cos(ωt+φ) ¿Cuál es el
ángulo de fase φ ? (e) Supongamos que los
datos son los mismos, salvo que el
capacitor se está descargando cuando t = 0,
¿Cuál vendría a ser el ángulo de fase φ?
39.- En la figura, el capacitor de 900 µF
inicialmente está cargado con 100 V, y el
de 100 µF se encuentra sin carga. Explique
detalladamente cómo se podría cargar con
300 V el capacitor de 100 µF manipulando
solamente los interruptores S1 y S2.
51
Capítulo 21
Oscilador Armónico Amortiguado
Oscilaciones libres amortiguadas
En el capítulo anterior estudiamos las oscilaciones libres de un sistema físico
que realiza un movimiento armónico simple ideal, donde la energía total permanece
constante y el sistema oscilará indefinidamente. El desplazamiento está representado
por una curva sinusoidal de amplitud máxima constante. Pero en un sistema físico real,
existen siempre características disipativas mediante las cuales se va perdiendo la energía
mecánica involucrada en la oscilación. Los elementos del sistema físico que presentan
estas características son llamados elementos de amortiguamiento y se supone que no
tienen inercia ni medios de almacenar o liberar energía potencial. Como resultado, el
sistema experimenta una resistencia a moverse, El movimiento mecánico impartido a
estos elementos se convierte en calor o sonido y, por lo tanto, se les denomina
elementos no conservativos o disipativos porque el sistema no puede recuperar esta
energía. Este efecto de pérdida de energía se observa inmediatamente en la disminución
de la amplitud de oscilación y el movimiento se denomina Movimiento Amortiguado.
Figura 2.1 Oscilador amortiguado
Existen muchos ejemplos de oscilaciones amortiguadas: Cuando escuchamos un
diapasón, como resultado de la energía comunicada al aire y de éste a nuestros oídos,
podemos notar la disminución del sonido a medida que avanza el tiempo; la amplitud de
52
un péndulo que oscila libremente siempre disminuirá con el tiempo a medida que pierde
energía. En la figura 2.2 ilustramos algunos ejemplos de osciladores amortiguados.
Figura 2.2 Ejemplos de osciladores amortiguados: (a) y (c) osciladores mecánicos;
(b) oscilador eléctrico
En estos sistemas amortiguados, la presencia de la resistencia al movimiento
significa que, además de la fuerza restauradora, existen fuerzas no conservativas
(llamadas también disipativas, retardadoras o de amortiguamiento) que retardan dicho
movimiento. El caso más común involucra fuerzas disipativas, como la fuerza de
rozamiento, proporcionales a la velocidad.
F bx= − & Ec.(2.1)
donde b es la constante de proporcionalidad, llamada también coeficiente de
amortiguamiento o coeficiente resistivo, y tiene dimensiones de fuerza por unidad de
velocidad. La presencia de este término siempre resultará en pérdida de energía El signo
menos implica que el sentido de esta fuerza es contrario al sentido de la velocidad y,
como el movimiento ocurre en el sentido de la velocidad, se podría decir que la fuerza
se opone siempre al movimiento.
Podemos entender la acción de la fuerza de amortiguamiento si recordamos la
experiencia de moverse dentro del agua, por ejemplo cuando estamos en una playa o
piscina, tratando de alcanzar una pelota; mientras más rápido tratemos de movernos,
más difícil resultará el movimiento. El agua actúa como un elemento de resistencia que
53
se opondrá siempre a nuestro movimiento. También tenemos la experiencia de estar en
un auto y pasar por un hueco o bache en la calle; a mayor rapidez más fuerte será el
impacto en los amortiguadores del auto y éste se moverá más bruscamente (con todo lo
que haya dentro). Por eso el conductor prudente reduce la velocidad antes de pasar por
una irregularidad del suelo.
Para el estudio del movimiento amortiguado utilizaremos el sistema masa-
resorte del capítulo anterior, añadiéndole un elemento resistivo, como se muestra en la
Figura 2.3.
Figura 2.3 Sistema amortiguado masa-resorte
Al separar el sistema de su posición de equilibrio estático, el nuevo balance de
fuerzas o ecuación de movimiento vendría a ser:
F bx kx mx= − − =∑ & && ; Reordenando nos queda
mx bx kx 0+ + =&& & Ec.(2.2)
La ecuación (2.2) es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo
orden con coeficientes m, b y k constantes. La solución de esta ecuación es una función
x(t) que representa el comportamiento del sistema amortiguado. Pero primero veamos
algunos ejemplos.
Ejemplo 7: Sistema amortiguado masa-resorte
El análisis del sistema amortiguado que se muestra en la Figura 2.4.a se hará
tomando en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre la masa, debidas a la combinación
de resortes y elementos resistivos a los cuales está unida.
54
Figura 2.4: (a) Sistema amortiguado; (b) Diagrama de fuerzas aplicadas a la masa;
(c) Sistema amortiguado equivalente
En el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.4.b aparecen dichas fuerzas. En la figura
2.4.c se observa el sistema equivalente.
Aplicando las leyes de la dinámica y tomando en cuenta sólo las fuerzas en la
dirección x (movimiento restringido al eje x) tenemos
2 31 2 1
2 3
k kF b x b x k x x mx
k k= − − − − =
+∑ & & &&
Sacando factor común y reordenando
( ) 2 31 2 1
2 3
k kmx b b x k x 0
k k
+ + + + =
+ && &
Llamando eb a la constante de amortiguamiento equivalente y ek la constante de
rigidez (o elasticidad) equivalente
1 2eb b b= + 2 31
2 3
e
k kk k
k k= +
+
y sustituyendo en la ecuación diferencial del sistema o ecuación de movimiento
e emx b x k x 0+ + =&& &
Para hallar la solución de la ecuación diferencial (2.2) procederemos como en el
capítulo anterior: proponemos una solución, la derivamos dos veces y la sustituimos en
la ecuación diferencial de movimiento. Como sabemos que el sistema debe oscilar, bajo
55
ciertas condiciones, y además la amplitud de oscilación disminuye con el tiempo, la
solución propuesta debe ser una combinación de una función periódica (igual a la del
OAS) y una exponencial decreciente. Por otra parte, ya observamos, en el capítulo
anterior, que una función exponencial con exponente imaginario es una función
periódica.
Por todas estas razones, proponemos la siguiente función periódica como
solución de la ecuación (2.2): (En el Anexo A se describe el método general para la
solución de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes
constantes. Asimismo, en el Anexo C presentamos el método exponencial complejo
para resolver la ecuación 2.2)
tx(t) Ce
α= Ec.(2.3)
C es una constante con las mismas unidades de x y α tiene unidades de inverso de
tiempo. Tomamos las derivadas primera y segunda temporales de la ecuación (2.3) y las
sustituimos en la ecuación diferencial (2.2)
2
t
t
x C
x C
e
e
α
α
= α
= α
&
&&
2tC (m b k) 0eα α + α + = Ec.(2.4)
En la ecuación (2.4) tenemos el producto de dos términos igualados a cero. Si esta
ecuación ha de satisfacerse para todo valor de t,
2m b k 0α + α + = .
siendo ésta una ecuación cuadrática que nos permitirá obtener el término α de la
solución propuesta en función de los elementos m, b y k característicos del sistema
físico bajo estudio.
Resolviendo la ecuación cuadrática en α obtenemos
2
1,2 2
b b k
2m 4m m
−α = ± − Ec.(2.5)
Podemos notar que b / 2m y 1/ 2(k / m) tienen dimensiones de inverso de tiempo tal
como esperábamos, ya que el exponente teα debe ser adimensional.
Sustituyendo la ecuación (2.5) en la ecuación (2.3) obtenemos la expresión para
el desplazamiento
56
2
2
b b kt t
2m m4m
1,2x C e
− ± − =
Como ya es sabido, el número de constantes permitidas en la solución general de
una ecuación diferencial siempre es igual al orden de la misma. En este caso la ecuación
(2.2) nos señala que debe haber dos constantes, por lo que podemos escribir la solución
x(t) como la suma de ambos términos
1 2
2
2
1 22
2
b b kt
2 m m4m
b b kt
2m m4mtt
1 2 1 2x x x C e C e− + − − − −
= + = +
Ec.(2.6)
donde las constantes C1 y C2 tienen las mismas dimensiones de C y estarán
determinadas por las condiciones iniciales.
Debemos prestar especial atención a la cantidad subradical
2
2
b k( )4m m
− ,
la cual puede ser positiva, cero o negativa, dependiendo de la magnitud relativa de los
dos términos que la integran. Estos, a su vez dependen de las características y magnitud
de los elementos constitutivos del sistema. Las tres condiciones posibles de la cantidad
subradical darán origen a tres posibles soluciones; cada una de éstas describe un
comportamiento particular. Discutiremos estas soluciones siguiendo el orden en el cual
nombramos las condiciones y nos concentraremos en la tercera solución, ya que es la
correspondiente al Oscilador Amortiguado.
Caso 1: 2
2
b k( )4m m
> Amortiguamiento Fuerte o
Sobreamortiguado.
Caso 2: 2
2
b k( )4m m
= Amortiguamiento Crítico.
Caso 3: 2
2
b k( )4m m
< Amortiguamiento Débil, Subamortiguado u
Oscilador Amortiguado
57
Caso 1: Amortiguamiento Fuerte o Sobreamortiguado
Aquí el término relacionado con el amortiguamiento resistivo 2 2b / 4m domina
al término relacionado con la elasticidad o rigidez k/m, y el sistema sobreamortiguado
no realizará oscilaciones. Escribiremos el exponente, usando los siguientes cambios
b
p2m
= y 2
2
b kq p
4m m= − ≤
Sustituyendo en la ecuación (2.6), nos queda la expresión
p t q t q t
1 2x e (C e C e )
− −= + Ec.(2.7)
En el capítulo 1 aprendimos que una función exponencial con exponente
imaginario, es una función periódica. En este caso, la exponencial nunca es imaginaria
porque p y q son positivas. Concluimos entonces que, un sistema con amortiguamiento
fuerte, no realiza oscilaciones.
La ecuación (2.7) representa el comportamiento del sistema sobreamortiguado.
Muchas veces ocurre que no podemos representarnos mentalmente, a partir de la
ecuación obtenida, cuál será el comportamiento de un sistema. Necesitamos reescribir la
ecuación con funciones conocidas equivalentes, que cumplan con las condiciones
iniciales. Así lo hicimos en el capítulo 1 con la solución general de OAS y en el caso de
superposición de oscilaciones con frecuencias distintas.
Si ahora introducimos los términos 1 2
F C C= + y 1 2
G C C= − , la ecuación (2.7)
quedará expresada como
( ) ( )p t q t q t q t q tF Gx e e e e - e
2 2
− − − = + +
Recordando que
x x
e esenh x
2
−−= ,
x xe e
cosh x2
−+=
podemos reescribir la ecuación (2.7)
( ) ( )p tx e Fcosh qt G sinh qt−= + Ec.(2.8)
58
Vamos a detenernos un momento para analizar esta expresión. Aquí tenemos las
funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico, ambas afectadas (multiplicadas) por
una función exponencial decreciente. ¿Podemos representarnos el comportamiento con
esta última expresión?
Sabemos que estas funciones representan un comportamiento no oscilatorio, tal
como se esperaba, pero el desplazamiento dependerá de las condiciones iniciales (o de
borde), es decir, el valor de x en el instante t 0= . Si imponemos las condiciones
iniciales x 0= en t 0= , entonces F 0= ,
( ) ( )0x(0) 0 e Fcosh 0 G sinh 0
−= = +
y
b 2
t2m
2
b kx Ge senh t
4m m
− = −
Ec.(2.9)
La gráfica de esta función se muestra en la figura 2.5 para dos valores de la constante de
amortiguamiento b
Figura 2.5 Gráfica del desplazamiento vs tiempo de un sistema fuertemente amortiguado
para las condiciones iniciales x 0= en t 0= y para b1<b2
Caso 2: Amortiguamiento Crítico:
La cantidad subradical es nula 2 2(b / 4m k / m)= .
59
Usando la notación del Caso 1, vemos que q 0= y que p tx Ce−= . Este es el
caso límite del comportamiento del caso anterior, cuando q está por cambiar de positivo
a negativo. En este caso la ecuación cuadrática en α tiene sus dos raíces iguales y la
solución de la ecuación diferencial, exige que C sea escrita de la forma C A Bt= + ,
donde A es una constante de longitud y B una velocidad dada que depende de las
condiciones de borde. Es fácilmente verificable que la función
b
tpt 2mx(t) (A Bt)e (A Bt)e
−−= + = + Ec.(2.10)
satisface la ecuación 2.2 mx bx kx 0+ + =&& & cuando 2 2b / 4m k / m= .
El caso de amortiguamiento crítico es de vital importancia en sistemas
oscilatorios mecánicos que experimentan impulsos súbitos y se les impone retornar en
el menor tiempo a su posición de equilibrio, o desplazamiento cero, sin realizar
oscilaciones. En los sistemas mecánicos reales suele ajustarse el valor de la constante de
amortiguamiento para que satisfaga esta condición ya que, si se aplica repentinamente al
sistema en reposo una fuerza constante, responderá aproximándose suavemente a una
nueva posición de equilibrio sin oscilaciones, quedando en esa posición mientras
perdure la fuerza aplicada. Este comportamiento es ventajoso, por ejemplo, en los
aparatos de medida eléctricos, como voltímetros, amperímetros, en los cuales debe
haber una lectura estable (sin oscilaciones) de la magnitud medida en el instante en que
se conecta el medidor al circuito o se cierra el interruptor.
Ejemplo 8: Estudio de un sistema con amortiguamiento crítico
Suponga un sistema oscilatorio mecánico cuya posición inicial es cero y recibe
un impulso que le confiere una velocidad inicial v0. Las condiciones iniciales del
sistema las escribimos
x(0) 0= y 0
x(0) v=&
Evaluamos las ecuación (2.10) en t=0
0
x(0) 0 (A B.(0))e−= = + A 0⇒ =
La ecuación (2.10), para el sistema en estudio, quedará de la siguiente forma:
60
ptx(t) Bte
−= .
Derivando la expresion anterior y evaluando en t = 0
pt pt pt ptdxx ( p)Bte Be B ( p)te e
dx
− − − − = = − + = − + & .
En t = 0
0 0
0x(0) v B ( p)(0)e e B− − = = − + = &
Podemos escribir la función que representa el comportamiento del sistema bajo estudio,
es decir, la ley bajo la cual funciona este sistema oscilatorio amortiguado.
p t
0x(t) v t e−= Ec.(2.11)
Ahora calculemos el tiempo t´ que tarda el sistema en llegar a su nueva posición
de equilibrio. El criterio utilizado es el siguiente: el desplazamiento máximo ocurre
cuando el sistema llega al reposo antes de retornar a la posición inicial de cero
desplazamiento. En el máximo desplazamiento, la velocidad es cero. Derivando la
ecuación (2.11) e igualándola a cero
podemos encontrar el valor de t´
[ ]pt
0x(t ) v e 1 pt 0′−′ ′= − =&
Haciendo [ ]1 pt 0′− = y despejando 1
tp
′ =
Para ese instante, el desplazamiento es
p t 100
vx(t ) v t e e
p
′− −′ ′= =
0 0v 2mv
x(t ) 0.368 0.368p b
′ = =
Un sistema con amortiguamiento crítico siempre retorna a su posición de
equilibrio en el tiempo mínimo. (Ver figura 2.6)
61
Figura 2.6 Gráfica del desplazamiento vs tiempo para un sistema con amortiguamiento crítico
Caso 3: Movimiento Armónico Simple Amortiguado Cuando 2 2b / 4m k / m< , la amortiguación es suave y, desde el punto de vista
oscilatorio, nos conduce al más importante de los tres casos: el comportamiento
oscilatorio amortiguado.
En este caso, la expresión 2 2 1/ 2(b / 4m k / m)− es una cantidad imaginaria, la raíz
cuadrada de un número negativo (en el capítulo anterior ya habíamos conocido que una
exponencial imaginaria es una función periódica). La cantidad subradical puede ser
reescrita de la siguiente manera
1/2 1/22 2
2 2
1/22
2
0 2
b k k b1
4m m m 4m
b
4m
± − = ± − −
= ± ω −
j
(donde 1= −j ) y 2
0
k
mω =
así el desplazamiento quedaría expresado como
62
( ) ( )
1 12 22 2 2 2 2 2
0 0
b bt tb 4m t b 4m t
2m 2m1 2
x C Ce e e e − −ω − − ω − = +
j j
La expresión dentro del paréntesis tiene las dimensiones de inverso de tiempo, es
decir, dimensiones de frecuencia y puede ser escrito como
1/22
20 2
b
4m
′ω = ω −
, y el segundo exponencial se convierte en te cos t sen t
′ω ′ ′= ω + ωj j ,
por lo que la solución la escribimos
b bt t
t t2m 2m1 2x C Ce e e e
− −′ ′ω − ω= +j j, o
b t /2m t - t
1 2x e (C e +C e )′ ′− ω ω= j j
Ec.(2.12)
Esto muestra que el comportamiento del desplazamiento x es oscilatorio con
una nueva frecuencia 0
′ω < ω , siendo 1/2
0 (k / m)ω = la frecuencia de las oscilaciones
libres (movimiento armónico simple ideal) o frecuencia natural de oscilación del
sistema.
Para comparar el comportamiento del oscilador armónico amortiguado con el
caso ideal deberíamos expresar la solución en una forma similar al caso
ideal,0
x a sin( t )= ω + φ , pero reemplazando ω por ′ω .
Podemos hacer eso al escribir
( ) ( )
( ) ( )
t - t
t - t
t t
e eAsin( t ) A
2
A Ae e
2 2
A Ae e e e
2 2
′ ′ω +φ ω +φ
′ ′ω +φ ω +φ
′ ′φ ω φ ω
−′ω + φ =
= −
= −
j j
j j
j j -j -j
j
j j
j j
Si ahora elegimos
1
AC
2e φ= j
j
y
-
2
AC
2e φ= − j
j
63
donde A y φ (y por lo tanto e φj ) son constantes que dependen del movimiento en t 0= .
Sustituyendo en la ecuación (2.12)
( t + ) ( )
bt 2m e ex A
2ie
′ ′ω φ ω + φ− −
=
j j t
( )bt /2mx = A sen t +e− ′ω φ Ec.(2.13)
Este procedimiento equivale a imponer condiciones de borde x Asen= φ en t 0= para
la solución de x . El desplazamiento por lo tanto varía sinusoidalmente a través del
tiempo como en el caso del movimiento armónico simple, pero ahora tiene una nueva
frecuencia ω´ menor que la frecuencia ω0 del OAS.
1/22
2
1/22
2
0 02
k b
m 4m
b
4m
′ω = −
= ω − < ω
y una amplitud que decae exponencialmente con el tiempo b
t2mA(t) = Ae
−
Figura 2.7 Gráfica del movimiento oscilatorio amortiguado. La amplitud decae con
la función exponencial bt 2me−
. Si x 0= en t 0= entonces 0φ =
La figura 2.7 muestra el comportamiento de x en función del tiempo. La
amplitud de oscilación gradualmente decae siguiendo la curva descrita por bt /2me− . La
constante A es obviamente el valor al cual la amplitud hubiese subido al primer máximo
si no existiera amortiguación.
64
Métodos para Describir el amortiguamiento de un Oscilador
En el capítulo anterior estudiamos la energía mecánica total de un oscilador
armónico simple, la cual viene dada por la expresión
2 2 21 1E m a ka
2 2= ω =
es decir, la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud.
La presencia del término de la fuerza bx& (fuerza amortiguadora o resistiva) en la
ecuación de movimiento introduce una pérdida de energía que causa el decaimiento de
la amplitud de oscilación con el tiempo, descrita por
bt
2m0
A(t) A e−
= . Ec.(2.14)
Sustituyendo esta amplitud variable en la expresión anterior de la energía, así que la
energía que decae es proporcional a bt me−
2b b
t t2 22m m0 0
1 1E(t) kA kA
2 2e e
− − = =
bt
m0
E(t) E e−
= Ec.(2.15)
Mientras más grande sea el valor del término de amortiguamiento o resistivo b,
más rápidamente decaen la amplitud y la energía.
Es interesante señalar que la disminución exponencial de la energía, dada por la
ecuación (2.15), puede representar a muchos tipos diferentes de procesos disipativos.
Por ejemplo, en un circuito eléctrico oscilante la disipación de energía por unidad de
tiempo en una resistencia es proporcional al cuadrado de la intensidad de corriente.
Igualmente, si evaluamos la energía de los campos eléctrico y magnético del circuito,
encontraremos que presentan el mismo comportamiento disipativo. Las magnitudes
físicas nombradas presentan un comportamiento análogo al oscilador mecánico con
amortiguamiento viscoso.
Otro ejemplo que podemos citar ocurre en el área de la física atómica y nuclear.
Existen muchas interacciones que originan una disminución exponencial de la energía
65
del sistema en estudio, lo que permite hacer una analogía entre su comportamiento y el
de un oscilador mecánico con amortiguamiento viscoso.
El comportamiento de los sistemas anteriores nos permite expresar que el
análisis del oscilador mecánico proporciona cierta idea de lo que sucede en todos los
fenómenos semejantes.
Podemos usar el factor exponencial para expresar el ritmo al cual se reducen o
decaen tanto la amplitud como la energía. Se presentan tres métodos para medir el
amortiguamiento de un oscilador. Los dos primeros se refieren al decaimiento de la
amplitud y el tercero tiene que ver con el decaimiento de la energía.
Método del Decremento Logarítmico Este método mide el ritmo al cual disminuye la amplitud. Usaremos la ecuación
(2.13) con la constante de fase 2
πφ =
bt/2mx A sen( t )2
e− π′= ω +
con lo cual, la ecuación anterior nos queda
bt/2m
0x A cos te− ′= ω Ec.(2.16)
donde 0
x A= en t 0= . Su comportamiento seguirá la curva de la figura 2.9
Utilizaremos la ecuación (2.14) para evaluar la amplitud en t = T, 2T, …, nT. ,
siendo T el período de oscilación, T 2 / ′= π ω . Para el primer período, t = T , la
amplitud está dada por
( b/2m)T
1 0A A e −=
entonces
bT/2m0
0
1
AA
Ae eδ= =
Ec.(2.17)
donde b
T2m
δ =
es llamado el Decremento logarítmico. δ > 0
66
Figura 2.8 Gráfica del movimiento oscilatorio amortiguado para 2φ = π .
Se muestran las amplitudes A0, A1, A2, para t = 0, T, 2T respectivamente
Aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación (2.17) obtenemos
0e
1
Alog
A= δ
El decremento logarítmico δ es el logaritmo de la razón de dos amplitudes de oscilación
que están separadas sólo por un período, siendo el numerador la amplitud más grande ya
que e 1δ > .
Similarmente, para t = 2T
b(2T)
2m 20
2
Ae e
Aδ= =
aplicando logaritmo natural,
e
0
2
log 2A
A= δ
Y, en general, para t = nT
67
b(nT)
2m n0
n
Ae e
Aδ= =
Ec.(2.18)
Experimentalmente podemos obtener el valor del Decremento logarítmico δ de
un oscilador, midiendo las amplitudes que estén separadas entre sí por n períodos y
graficando
0e
n
Alog
A
versus n para diferentes valores de n. La gráfica que se obtenga debe ser una recta ya
que la ecuación (2.18) es lineal. La pendiente de esta recta es el Decremento δ .
Tiempo de Relajación o Módulo de Decaimiento. Otra manera de expresar el efecto resistivo es mediante el tiempo transcurrido
hasta que la amplitud decae desde su valor inicial A0 hasta un valor
1
0 0A 0,368Ae− =
Este tiempo es llamado tiempo de relajación o módulo de decaimiento y es
característico de todos los sistemas con comportamiento de tipo exponencial. Para
obtener este tiempo de relajación utilizamos la ecuación (2.14)
b t
2m 10 0A(t) A e A e
− −= =
Esta amplitud se logra en un tiempo
2m
tb
= . Ec.(2.19)
Medir el decaimiento natural en términos de la fracción 1e− del valor original es
un procedimiento normal en física. El tiempo para que el proceso natural de
decaimiento llegue a cero es, por supuesto, teóricamente infinito.
Factor de Calidad o Valor Q de un OAS Amortiguado. Este método mide la tasa a la cual la energía decae. Se determina el tiempo que
requiere para que la energía disminuya a de su valor inicial. Utilizamos la
ecuación (2.15)
0
e
n
Alog n
A= δ
1 e
68
bt
m0E(t) E e
−
=
donde 0E es el valor de la energía en t 0= .
El tiempo que tarda la energía E en decaer a 1
0E e− viene dado por
t m / b= = τ durante el cual el sistema habrá oscilado un número de ciclos determinado
por el argumento del coseno de la ecuación (2.16) cuando sustituimos ( t′ω ) por ( ′ω τ )
rad.
Se define el factor de calidad
m
Qb
′ω′= = ω τ
como el número de oscilaciones, medida en radianes, que realiza el sistema hasta que la
energía decae a
1
0E E e−=
Como b es pequeño para un oscilador subamortiguado, entonces Q es muy grande y
2
2
k b
m 4m
1/2
0
k
m
′ω ≈ ω =
Por lo tanto escribimos, para una aproximación cercana, Ec. (2.20)
que es una constante del sistema amortiguado.
Ya que b / m ahora es igual a 0
/ Qω (b pequeños) podemos reescribir la
ecuación (2.15) en función del factor de calidad Q como sigue
0t /Q( b/m)t0 0E E e E e
−ω−= =
Podemos relacionar Q con la pérdida relativa de energía por ciclo
ciclo
E
E
∆
de la siguiente manera. Derivamos la ecuación (2.15) con respecto al tiempo
bt
m0E(t) E e
−
=
bt
m0
dE b bE E
dt m me
−
= − = −
00
mQ
b
ω= = ω τ
69
Reescribimos la expresión anterior de la siguiente manera
dE b
dtE m
−=
Si la amortiguación es suficientemente débil para que la pérdida de energía por
ciclo sea pequeña, podemos reemplazar dE por ∆E y dt por el período T , donde
0T 2= π ω
La pérdida relativa de energía será
0ciclo
E b 2 bT
E m m
∆ π= =
ω
Sustituyendo la ecuación (2.20) en la expresión anterior
ciclo
E 2
E Q
∆ π=
Ec.(2.21)
Dicho de otra manera: El hecho de que Q sea una constante 0
( m / b)= ω implica
que la relación
energía almacenada en el sistema Q
energía perdida por ciclo de oscilación 2=
π
es también una constante.
El factor de calidad Q juega un rol muy importante en el estudio del fenómeno
de resonancia. En primer lugar está relacionado con el ancho de banda de absorción de
un oscilador armónico, forzado a oscilar con una frecuencia cercana a su frecuencia
natural de oscilación ω0. Asimismo, representa el factor por el cual el desplazamiento
del oscilador es amplificado al resonar.
También podemos escribir la frecuencia exacta de un oscilador subamortiguado
ω’ en función del factor de calidad Q.
2 2 2
2 2 2
0 02 2 2 2
0
k b b b1
m 4m 4m 4m
′ω = − = ω − = ω −
ω
70
y, como0Q m b = ω
2 2
0 2
11
4Q
′ω = ω −
Si Q es grande, 0
′ω ≈ ω
Asimismo, podemos escribir la ecuación diferencial de movimiento en función
de Q y ω0
200x x x 0
Q
ω+ + ω =&& &
Ejemplo 9: Estudio del factor de calidad Q y la pérdida de energía de un sistema
amortiguado.
Cuando se pulsa la cuerda La (440 Hz) de la guitarra se observa que la mitad de
la energía se pierde en 4 segundos. (a) ¿Cuál es el tiempo de relajación τ de la energía?;
(b) Obtenga el factor de calidad Q de esta cuerda; (c) ¿Cuál es la pérdida de energía por
ciclo de oscilación?
Utilizaremos la expresión de la energía contenida en la ecuación (2.15)
tbt
m0 0E(t) E Ee e
−−τ= =
(a) Para calcular el tiempo de relajación utilizaremos el hecho que en t = 4 s, la
energía inicial 0
E ha decaído a la mitad, es decir, 0
E 2 . Introduciendo estos
valores en la ecuación anterior
4
00
4
EE( ) E
2
1
2
e
e
−τ
−τ
τ = =
=
aplicamos logaritmo natural (loge) a ambos lados de la expresión y despejamos τ
e
e
4log 2 s
4s5.77s
log 2
=τ
τ = =
71
(b) Utilizamos la ecuación (2.20) para calcular el factor de calidad Q
1
0
3
Q 2 (440s )(5.77s)
Q 15.95*10
−= ω τ = π
=
(c) Para calcular la pérdida de energía por ciclo de oscilación, utilizaremos la ecuación 2.21
4
ciclo
E 23.93*10
E Q
− ∆ π= =
Sería interesante conocer cuánto ha disminuido la amplitud de la oscilación a los 4
segundos.
Para esto utilizaremos la ecuación (2.14)
b t
2m0A(t) A e
−=
Sustituyendo en la ecuación anterior los datos
t = 4s
b m 1 0.173= τ =
obtenemos
( )0.173 2
0
0
A(t) A e
0.71A
−=
=
Comparando la disminución de ambas magnitudes a los 4s
0
0
E(t 4s) 50%E
A(t 4s) 71%A
= =
= =
Encontramos que la energía decae más rápidamente
72
Energía Disipada
Hemos observado que la presencia de una fuerza resistiva o amortiguadora
reduce en el tiempo la amplitud de oscilación a medida que la energía es disipada.
La energía total sigue siendo la suma de la energía cinética y la energía
potencial, tal como lo vimos en el oscilador armónico simple
2 2
tot
1 1E mx kx
2 2= +&
Pero, a diferencia de éste, dE/dt es diferente de cero, ya que la energía se pierde en
cada ciclo de oscilación. Si diferenciamos la energía
( )2 2dE d 1 1mx kx x mx kx
dt dt 2 2
= + = +
& & &
y utilizamos la ecuación diferencial del oscilador amortiguado,
mx bx kx 0 mx kx bx+ + = ⇒ + = −&& & && &
obtenemos la variación de la energía relacionada con la fuerza amortiguadora
dE
bxdt
= − &
con lo cual se comprueba que la pérdida de energía (observe el signo negativo) se
debe precisamente a la fuerza resistiva o amortiguadora. También es válido decir
que es la razón o rapidez a la cual se hace trabajo en contra de la fuerza resistiva.
73
PROBLEMAS
Osciladores amortiguados mecánicos 1.- Un objeto de 2 kg cuelga de un resorte de constante k = 400 N/m. El sistema oscila
con una amplitud inicial de 3 cm. Si la energía disminuye en 1% por período, hallar la constante de amortiguamiento b y
el factor Q.
2.- Una masa de 5 kg se cuelga de un
resorte de constante elástica 80 N/m y longitud sin estirar prácticamente nula. Se
baja lentamente la masa sometida a la acción de la gravedad hasta que el sistema
queda en equilibrio. Hallar: a) Longitud en
reposo del resorte estirado por el peso de dicha masa. b) Si en estas condiciones se hace oscilar la masa verticalmente, calcule
la frecuencia de las oscilaciones. c) Se
desplaza la masa 1 cm por debajo de su posición de reposo y se le imprime una
velocidad inicial hacia abajo de 2 cm/s.
Calcule la energía total del movimiento armónico. e) Calcule la amplitud del movimiento en cm y la velocidad máxima
en cm/s. f) Calcule la máxima fuerza restauradora y la aceleración máxima del
movimiento en cm/s2. g) El sistema es
disipativo y se observa que la amplitud de oscilación al cabo de 1 minuto es de 1cm. Calcule el tiempo de relajación (constante
de tiempo). h) Calcule el porcentaje de la
energía total que el sistema pierde en cada oscilación. i) Suponiendo que el sistema se
considera detenido cuando su amplitud es
menor de 1mm ¿Cuántos minutos tardará en detenerse?
3) Un péndulo de masa 100 g y longitud 1
m, se suelta desde un ángulo inicial de 27 x10
-2 rad. Después de 1000 s, su amplitud
ha sido reducida por fricción a 9 x10-2
rad. ¿Cuál es el valor del coeficiente de amortiguamiento b?
4) Un bloque de masa 10 kg oscila en el
extremo de un resorte vertical cuya constante de rigidez es 2 x 10
4 kg/s
2. El
efecto de resistencia del aire está dado por
el coeficiente de amortiguamiento b = 3 kg/s. Calcule: (a) frecuencia de oscilación
del sistema amortiguado; (b) porcentaje de disminución de la amplitud en cada ciclo de
oscilación; (c) intervalo que transcurre hasta que la energía del sistema decae a 5% de su valor inicial.
5) Considere un oscilador amortiguado. Suponga que la masa es de 375 g, la
constante del resorte es de 100 N/m, y b = 0.100 N•s/m. (a) ¿Cuánto tarda la amplitud
en caer a la mitad de su valor inicial? (b)¿Cuánto tarda la energía mecánica en
caer a la mitad de su valor inicial? (c)
Demuestre que, en general, la cantidad fraccionaria a la que la amplitud disminuye en un oscilador armónico amortiguado, es
la mitad de la cantidad fraccionaria a la que
disminuye la energía mecánica.
6) Una masa de 2 kg estira un muelle 49.05
cm hasta llegar a la posición de equilibrio. La constante de amortiguamiento del
sistema es de 8 5 kg/seg. Si la masa se
desplaza 10 cm hacia abajo del punto de
equilibrio y en esta posición se le imprime una velocidad de 2 m/seg en el mismo sentido, (a) Hallar la posición de la masa en
cualquier instante, (b) Determine cuándo
llegará a su máximo desplazamiento respecto de la posición de equilibrio, (c)
¿Qué tipo de amortiguamiento tiene este
oscilador?.
7) La suspensión de un vehículo pesado es un sistema amortiguado representado por un modelo como el de la figura. El vehículo
se desplaza con velocidad constante v y
choca con una irregularidad que se encuentra en su camino, lo cual genera un
desplazamiento vertical inicial de 0.2m y
una velocidad inicial de 0.1m en la base. Si la masa del vehículo es de 5000 kg, la
rigidez del resorte es 2800 kN/m y el
coeficiente de amortiguamiento de la fuerza b es 18 kN.s/m, determine (a) La expresión
del desplazamiento; (b) ¿Cuánto tiempo
transcurre hasta que el sistema regresa a su posición de equilibrio?
74
8) Se cuelga un objeto de masa 0.2 kg de un
muelle cuya constante es de 80 N/m. Se
somete el objeto a una fuerza resistiva -bv. Si la frecuencia del oscilador amortiguado
ω´ es 3 2 el valor de ω. (a) Calcule el
valor de la constante b; (b) Halle el factor
de calidad Q del sistema; (c) ¿En qué factor
se reducirá la amplitud del sistema después de 10 ciclos completos?
9) Cuando se pulsa la tecla “do” del piano (256 Hz) su energía de oscilación
disminuye a la mitad de su valor inicial en 1
segundo. (a) Calcule el factor de calidad Q
del sistema. Si se pulsa la tecla correspondiente a una octava más alta (512 Hz), se observa que emplea el mismo
tiempo para perder su energía (tiempo de relajación). ¿Cuál es su Q?
10) Un objeto de masa 1.2 kg oscila sobre un muelle de constante k = 600 N/m. El sistema pierde el 3% de su energía en cada
ciclo de oscilación. ¿Cuál es el valor del
factor de calidad Q del sistema?
11) Un péndulo simple de 1 metro de
longitud se encuentra inicialmente formando un ángulo de 15º con la vertical.
Luego de 1000s, su amplitud angular se ha
reducido a 5.5º. ¿Cuál es el valor de b/2m?
12) Un objeto de 10.6 kg oscila en el extremo de un resorte vertical, de constante
de elasticidad k = 2.05x104
N/m. El
coeficiente de amortiguamiento b es de 3
N.s/m. (a) ¿Cuál es la frecuencia del oscilador amortiguado?; (b) ¿En qué porcentaje disminuye la amplitud con cada
ciclo de oscilación?; (c) ¿Qué tiempo se
necesita para que la energía disminuya hasta 5% de su valor inicial?
13) Un oscilador armónico amortiguado consta de un bloque de 1.91 kg unido a un
resorte de constante k = 12.6 N/m. Si la
amplitud inicial es de 26.2 cm y disminuye
a tres cuartas partes de su valor inicial después de 4 ciclos completos, halle el valor de la constante b y la energía perdida
en ese intervalo.
Osciladores amortiguados eléctricos 14) Se tiene un circuito serie RLC con un
resistor de resistencia R = 7.22 Ω, un inductor de inductancia L = 12.3 H y un
capacitor de capacitancia C = 3.18 µF. Inicialmente el capacitor tiene una carga de
6.31 µC y la corriente en el circuito es cero. Calcule la carga del capacitor cuando hayan
transcurrido N ciclos completos, con N = 5, 10 y 100.
14) En un circuito LC de capacitancia 12
µF e inductancia 220 mH halle la resistencia que se requiere conectar en serie para que la carga máxima disminuya hasta
99% de su valor inicial en 50 ciclos.
15) La frecuencia natural de oscilación de un circuito LC de capacitancia C1 e
inductancia L1 es ω0. La frecuencia natural de oscilación de otro circuito LC de
capacitancia C2 e inductancia L2 también es
ω0. ¿Cuál será la frecuencia natural de un circuito en serie formado por estos cuatro elementos?
75
CONCLUSIONES
• La utilización de este libro como texto para el aprendizaje y la comprensión del
tema tratado, ha llevado al estudiante cursante de la asignatura Física Moderna y
Ondas, a comprender y asimilar los conceptos emitidos en el libro, lo que se
evidencia a través de las pruebas de respuestas múltiples y/o pruebas de
respuesta verdadero o falso justificadas, aplicadas durante el dictado de la
materia.
• Asimismo, el estudiante pone en evidencia su comprensión a través del lenguaje
utilizado para representar la idea o imagen conceptual del fenómeno físico
estudiado.
• Por otra parte, la utilización de programas de computación para simular el
comportamiento de los sistemas físicos estudiados, a partir de las funciones
obtenidas para cada caso, resulta de gran ayuda en la comprensión de estos
sistemas. Esto se logra exhortando al alumno a utilizar estos recursos en el
trazado de los gráficos de cada función e introduciendo en el plan de evaluación
la realización de tareas relacionadas con el tema tratado.
• La abundancia de ejemplos presentes en este libro significan una ayuda en la
ocasión de hacer la representación mental del sistema físico o los conceptos
estudiados.
• El uso de las analogías en el análisis, la comprensión y resolución de sistemas
físicos permite practicar la transferencia de conceptos de las situaciones que son
físicamente diferentes, permitiendo el uso de soluciones conocidas a nuevos
problemas.
• El lenguaje y nomenclatura sencillos utilizados en este libro, permiten al
estudiante seguir de una manera fácil y coherente la lectura y los conceptos
presentes en él.
• Por último, los problemas propuestos en cada capítulo, tomando en cuenta el
enfoque de cada uno de ellos, están diseñados para llevar al estudiante
directamente a la aplicación de los conceptos aprehendidos en el desarrollo del
tema y la aplicación de las analogías correspondientes.
ANEXOS
79
Anexo A
Método de resolución de Ecuación diferencial lineal homogénea de 2do orden con coeficientes constantes
Sea la ecuación diferencial homogénea
2
2 1 02
d y dyA A A y 0
dx dx+ + = ; A2, 1 0A ,A cttes= )
El método consiste de los siguientes pasos:
1) Se construye la ecuación polinómica característica sustituyendo la derivada de orden
n por pn.
( )2
2 1 0A p A p A y 0+ + =
La cual se cumple para todo t si
2
2 1 0A p A p A 0+ + =
2) Una vez hallado el polinomio, se determinan sus dos raíces
2
1 1 0 2
2
A A 4A Ap
2A±
− ± −=
3) Teniendo en cuenta la cantidad subradical, tendremos tres casos diferentes:
a) 2
1 0 2A 4A A 0− >
Las dos raíces son reales y distintas
p+ y p-
La solución de la ecuación diferencial es
p t p t
1 2y(t) C Ce e+ −= +
donde C1 y C2 son dos constantes arbitrarias.
b) 2
1 0 2A 4A A 0− =
Las dos raices son reales e iguales
p+ = p- = p
La solución de la ecuación diferencial es
80
p t p t
1 2y(t) C Ce e+ −= +
c) 2
1 0 2A 4A A 0− <
Las dos raíces son complejas y conjugadas
p p q± = ± j
Utilizamos las ecuaciones de Euler
ix ix
ix ix
e ecos x
2
e esen x
2i
−
−
+=
−=
y escribimos la solución en la forma
( ) ( )
( )
pt
1 2
pt
p e C cos qt C sen qt
A cos qte±
= +
= + φ
La relación entre las constantes arbitrarias C1 y C2 con A y φ se determinan
usando la identidad trigonométrica cos(a b) cos a cos b sena senb+ = − , de forma que
desarrollamos
( )A cos qt A cos qt cos Asenqt sen+ φ = φ − φ
y comparando con la solución que incluye a C1 y C2 , tenemos
1
2
C A cos
C A sen
= φ
= − φ
Solución de la ecuación del oscilador armónico simple
En este caso especial, la ecuación diferencial es
k
x x 0m
+ =&&
El polinomio asociado es
81
2 kp x 0
m
+ =
que tiene por raíces
k k
pm m
± = ± − = ± j
La solución será
kx(t) A cos t
m
= + φ
82
83
Anexo B
Series de Taylor y de Maclaurin Definiciones:
Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en todo un intervalo que
contenga a como un punto interior. Entonces la serie de Taylor generada por f en
x a= es
( )(k )
k
k 0
(n )n
f (a) f "(a)x a f (a) f (a)(x a)
k! 2!
f (a)(x a)
n!
∞
=
′′′− = + − +
+ + − +
∑
L L
La serie de Maclaurin generada por f es
(k ) (n )k 2 n
k 0
f (0) f "(0) f (0)x f (0) f (0)x x x
k! 2! n!
∞
=
′′′= + + + + +∑ L L
la serie de Taylor generada por f en x 0=
Ejemplo 1 Hallar la serie de Taylor y los polinomios de Taylor generados por
f (x) cos x= en x 0= .
Solución El coseno y sus derivadas son
( )2n n
f (x) cos x,
f (x) cos x,
f (x) ( 1) cos x,
=
′′ = −
= −
M
( )2n 1 n 1
f (x) senx,
f (x) senx,
f (x) ( 1) senx.+ +
′ = −
′′′ =
= −
M
En x 0= , los cosenos son 1 y los senos son 0, por lo cual
( )2n nf (0) ( 1) ,= − ( )2n 1
f (0) 0.+
=
La serie de Taylor generada por f en 0 es
84
(n )2 3 n
2 4 2n3 n
2 4 2nn
n 2n
n 0
f (0) f '(0) f (0)f (0) f (0)x x x x
2! 3! n!
x x x1 0.x 0.x ( 1)
2! 4! (2n)!
x x x1 ( 1)
2! 4! (2n)!
( 1) x.
(2n)!
∞
=
′′ ′′′′+ + + + + +
= + − + + + + − +
= − + + + − +
−=∑
L L
L L
L L
Ejemplo 2 Mostrar que la serie de Maclaurin para cos x converge a cos x para toda x
Solución Sumamos el término residual al polinomio de Taylor para cos x, y
obtenemos la fórmula de Taylor para cos x, con n 2k= :
2 4 2k
k
2k
x x xcos x 1 ( 1) R (x).
2! 4! (2k)!= − + − + − +L
Dado que las derivadas del coseno tienen un valor absoluto menor o igual que 1, el
teorema de estimación del residuo con M 1= y r 1= resulta
( )
2k 1
2k
xR (x) 1 .
2k 1 !
+
≤ ⋅+
Para todo valor de x, 2kR 0→ cuando k → ∞ . Por tanto, la serie converge a cos x para
todo valor de x
k 2k 2 4 6
k 0
( 1) x x x xcos x 1
(2k)! 2! 4! 6!
∞
=
−= = − + − +∑ L
85
Anexo C
Método de exponente complejo para resolver la ecuación diferencial del sistema amortiguado
Partiendo de la ecuación diferencial del oscilador amortiguado desarrollada en el
capítulo 2
mx bx kx 0+ + =&& & Ec.(C.1)
y recordando que podemos representar el oscilador armónico como la proyección de un
vector en rotación o fasor que describe un MCU, admitiremos que x es la parte real del
fasor z , x Re z= , en donde z satisface la ecuación (C.1)
mz bz kz 0+ + =&& & Ec.(C.2)
Como ya sabemos, una exponencial compleja es una función periódica por lo que
proponemos una solución de la forma
( )j s t
z Ae+ φ
=
en donde A yφ son constantes que utilizaremos para ajustar los valores dados por las
condiciones iniciales (valores iniciales de desplazamiento y velocidad). Derivando y
sustituyendo en la ecuación (C.2) tenemos
( ) ( )j s t2ms jbs k Ae 0+ φ
− + + =
Como la ecuación anterior debe cumplirse para todo tiempo t,
2ms jbs k 0− + + =
Llamaremos b
mγ = y 2
0
k
mω = , con lo que la ecuación anterior nos queda
2 2
0s j s 0− + γ + ω = Ec.(C.3)
Observamos en primer lugar una ecuación cuadrática en el término s, por lo
tanto debemos obtener dos soluciones. En segundo lugar, s debe ser complejo ya que, si
86
fuera real puro, el segundo término de la izquierda, jγs, sería una magnitud imaginaria
pura y no tendría con quien anularse o compensarse y la ecuación (C.3) no se cumpliría.
Escribimos s en la forma compleja
s q jp= +
donde q y p son reales, y sustituimos en la ecuación (C.3),
2 2 2
0q 2jqp p j q p 0− − + + γ − γ + ω =
Podemos separar la parte real de la imaginaria y así obtenemos dos ecuaciones
Parte real: 2 2 2
0q p p 0− + − γ + ω = (1)
Parte imaginaria: 2 jqp j q 0− + γ = (2)
De la ecuación (2) obtenemos el valor de p
p2
γ=
Sustituimos este valor en la ecuación (1) y obtenemos el valor de q
2
2 2
0q4
γ= ω −
A continuación podemos escribir el número complejo s
2
2
0s4 2
γ γ= ω − + j
Finalmente sustituimos en la solución
12 2
20 j t
4 2
z Ae
γ γ ω − + + φ
=
j
Aplicando la propiedad distributiva en el exponente
12 2
20 t
4t2z Ae e
γ ω − + φ γ − =
j
Hacemos
12 2
2
04
γ′ω = ω −
0
≤ ω
con lo que la solución nos queda
87
[ ] [ ]
bt tt t2 2mz Ae e Ae e
γ− −′ ′ω + φ ω + φ
= =j j
,
Sabiendo que ie cos jsen
θ = θ + θ podemos escribir
[ ]b
t2mz Ae cos( t ) sen( t )
−
′ ′= ω + φ + ω + φj
Finalmente, como x Re z=
bt
2mx Ae cos( t )−
′= ω + φ
La gráfica de esta función se muestra en la Figura C.1 para φ=0
Figura C.1
Gráfica del Oscilador Amortiguado con φ=0
Los ceros de esta función se encuentran separados una cantidad constante ∆t igual a
medio período, o
t′ω ∆ = π
88
89
Anexo D
Algunos programas desarrollados en matlab relativos al contenido del libro.
Ejercicio 1. Oscilador Amortiguado
t=0:0.01:10*pi ; %rango de valores de t
y1 = sin(t) ; %funcion seno argumento t
y2 = exp(-0.1*t) .* cos(t) ;% funcion para graficar oscilador
amortiguado
y = exp(-0.1*t); %plot(t,y1) ; grafica la funcion seno
plot(t,y2) ; %grafica de un oscilador amortiguado
hold
plot(t,y,'-')
y4=-y
plot(t,y4,'-')
figure
y3 = exp(-0.1*t) .* sin(t) ;
plot(t,y3)
hold
plot(t,y,'-')
y4=-y
plot(t,y4)
90
91
Ejercicio 2. Sistema Amortiguado
%Sistema Amortiguado.
%datos del sistema:k,m,b,G k=5; m=5; G=5;
%Para amortiguamiento fuerte, b>10;para amortiguamiento débil,
b=10;para amortiguamiento débil, b<10
%Caso 1: Amortiguamiento Fuerte
b=120; %Amortiguamiento fuerte 1
t=0:0.0001:0.04; x1=G.*exp(-b.*t/2*m).*sinh((((b/(2*m))^2-(k/m))^0.5).*t);
%Amortiguamiento fuerte 2
b=500; %Amortiguamiento fuerte 1
t=0:0.0001:0.04;
x2=G.*exp(-b.*t/2*m).*sinh((((b/(2*m))^2-(k/m))^0.5).*t); %Amortiguamiento fuerte 2
b=1000; %Amortiguamiento fuerte 1
t=0:0.0001:0.04;
x3=G.*exp(-b.*t/2*m).*sinh((((b/(2*m))^2-(k/m))^0.5).*t);
plot(t,x1,t,x2,'r',t,x3,'k')
92
Ejercicio 3. Superposición 1 Dim. Frecuencias iguales
%Figura 8 Superposición x=Asen(wt)+Bcos(wt)
A=3; w=2; t=0:0.01:4*pi;
x1=A*sin(w*t); B=2;
x2=B*cos(w*t); x=x1+x2;
subplot(2,1,1),plot(t,x1,':b',t,x2,'--r','Linewidth',1)
hold
subplot(2,1,1),plot(t,x,'k-','Linewidth',2)
%Figura 8m Superposición x=asen(wt+fi)
a=(A^2+B^2)^(1/2);
fi=(pi/6);
x=a*sin(w*t+fi);
subplot(2,1,2),plot(t,x,'k-','Linewidth',2)
93
Ejercicio 4. Superposición 1Dim. Frecuencias distintas
%Batidos
%Superposición de dos MAS en 1D, diferente frecuencia e igual amplitud % frecuencias cercanas
a1=1;
a2=1;
fi1=0;
fi2=pi;
w1=500;
w2=600;
tm=2*pi/(w2-w1);
t=0:.0005:8*tm/3;
x1=a1*sin(w1*t+fi1);
x2=a2*sin(w2*t+fi2);
x=x1+x2;
subplot(2,1,1);plot(t,x1,'b--',t,x2,'r:')
subplot(2,1,2);plot(t,x,'k','linewidth',1);
% frecuencias distintas figure
fi1=pi;
w1=400;
x1=a1*sin(w1*t+fi1);
x=x1+x2;
subplot(2,1,1);plot(t,x1,'b--',t,x2,'r:')
subplot(2,1,2);plot(t,x,'k','linewidth',1);
94
95
Ejercicio 5 Lissajous. Frecuencias iguales
%Figuras de lissajous Frecuencias iguales a1=0.5; a2=1; fi1=0; fi2=0; w=400; t=0:.0005:2*pi; n=1;
for fi2=0:pi/6:2*pi/3; x1=a1*sin(w*t+fi1); x2=a2*sin(w*t+fi2); x=x1+x2; subplot(3,2,n);plot(x1,x2,'b--') subplot(3,2,n);plot(x1,x2,'b--') n=n+1; end
n=5; for fi2=pi:pi/2:3*pi/2 x1=a1*sin(w*t+fi1); x2=a2*sin(w*t+fi2); x=x1+x2; subplot(3,2,n);plot(x1,x2,'b--') n=n+1; end
96
Ejercicio 6. Movimiento armónico simple
%MAS
A=5;
w=2;
t=0:0.01:5*pi;
x1=A*sin(w*t);
B=2;
x2=B*cos(w*t);
x=x1+x2;
plot(t,x1,t,x2,t,x)
grid
figure
a=(A^2+B^2)^(1/2);
phi=0; x=a*sin(w*t+phi);
plot(t,x,'r')
grid
axis([0 20 0:1:6])
97
98
Ejercicio 7. Desplazamiento,Velocidad y Aceleración en el MAS
%Desplazamiento,Velocidad y Aceleración en el MAS
A=5;
w=2;
t=0:0.01:1.5*pi;
B=2;
a=(A^2+B^2)^(1/2);
phi=0;
x=a*sin(w*t+phi);
y=w*a*cos(w*t+phi);
z=-w^2*a*sin(w*t+phi);
plot(t,x,t,y,t,z)
99
Ejercicio 8. Sistema críticamente amortiguado
%Sistema amortiguado k=25; m=1; b=9;
%para saber si es amortiguado o no, se debe comparar b con la cantidad
b=2*sqrt(k*m),si es menor, será amortiguado.
w0=sqrt(k/m);
%x=dsolve('D2x+wo*x=0','x(0)=2','Dx(0)=0').....Ec.Dif.del OAS
x=dsolve('D2x+b*Dx+wo*x=0','x(0)=2','Dx(0)=0')
%ec.dif.del osc.amortiguado
% La solución es %x =(b*(b^2-4*wo)^(1/2)+b^2-4*wo)/(b^2-4*wo)*exp((-1/2*b+1/2*(b^2-
4*wo)^(1/2))*t)+(b^2-b*(b^2-4*wo)^(1/2)-4*wo)/(b^2-4*wo)*exp((-1/2*b-
1/2*(b^2-4*wo)^(1/2))*t)
%Para graficarlo t=0:0.01:10*pi; x=(b*(b^2-4*w0)^(1/2)+b^2-4*w0)/(b^2-4*w0)*exp((-1/2*b+1/2*(b^2-
4*w0)^(1/2)).*t)+(b^2-b*(b^2-4*w0)^(1/2)-4*w0)/(b^2-4*w0)*exp((-1/2*b-
1/2*(b^2-4*w0)^(1/2)).*t);
plot(t,x)
100
Ejercicio 9. Problema de superposición
a) La situación de una partícula en movimiento en función del tiempo viene dada por:
(((( ))))(((( ))))
2
)()cos(42
)cos()cos(42
tz
tsenty
ttx
====
++++====
++++====
b) Dibuja la gráfica de la partícula para 0 <= t <= 20. t=0:.1:20; % El intervalo se hizo de .1 para aumentar el número de
puntos a graficar y así obtener una curva de trazos más suaves.
x=(2+4*cos(t)).*cos(t); % Definimos la función x(t) y=(2+4*cos(t)).*sin(t); % Definimos la función y(t)
z=t.^2; % Definimos la función z(t)
subplot(2,2,1),plot(t,x) % Grafica x vs t en una pantalla que esta dividida en 2x2 axis([0 20 0 6]) % Coloca un rango de valores del gráfico diferente al
default.
xlabel('t[s]') % Etiqueta para el eje x
ylabel('x=(2+4*cos(t)).*cos(t)') % Etiqueta para el eje y
subplot(2,2,2),plot(t,y) % Grafica y vs t en la misma pantalla anterior
xlabel('t[s]') % Etiqueta para el eje x
ylabel('y=(2+4*cos(t)).*sin(t)') % Etiqueta para el eje y
subplot(2,2,3),plot(t,z) % Grafica z vs t (igual que anterior). xlabel('t[s]') % Etiqueta para el eje x
ylabel('z=t.^2') % Etiqueta para el eje y
subplot(2,2,4),plot3(x,y,z) % Grafica la trayectoria de la particula en 3D en la misma pantalla dividida
grid % Coloca cuadrícula en la gráfica anterior(3D)
xlabel('x=(2+4*cos(t)).*cos(t)') % Etiqueta para el eje x.
ylabel('y=(2+4*cos(t)).*sin(t)') % Etiqueta para el eje y.
zlabel('z=t.^2') % Etiqueta para el eje z.
101
pause(5) % Detiene durante 5 segundos el proceso
figure % Función que abre una nueva ventana
plot3(x,y,z) % Grafica la última función en una nueva ventana sin
dividir grid % Coloca cuadrícula a la gráfica anterior
xlabel('x=(2+4*cos(t)).*cos(t)') % Etiqueta para el eje x. ylabel('y=(2+4*cos(t)).*sin(t)') % Etiqueta para el eje y.
zlabel('z=t.^2') % Etiqueta para el eje z.
102
pause(5) % Detiene durante 5 segundos el proceso
z=t; % En mi opinión, la gráfica con z=t queda mejor que con
z=t^2
figure % Abro otra ventana
plot3(x,y,z) % Grafico la trayectoria de la partícula con z=t
grid % Coloca cuadrícula a la gráfica anterior
xlabel('x=(2+4*cos(t)).*cos(t)') % Etiqueta para el eje x. ylabel('y=(2+4*cos(t)).*sin(t)') % Etiqueta para el eje y.
zlabel('z=t.^2') % Etiqueta para el eje z.
103
Ejercicio 10:
Una masa de 1 Kg. se encuentra unida a un resorte de constante k=25 N/m. Sabiendo que la ecuación de movimiento de la masa es de la forma:
x(t) = A cos(ωt +φ) y que en el instante t=0 la masa se suelta (sin velocidad inicial) desde una distancia de 10 cm. de la posición de equilibrio, escribir una expresión para el
desplazamiento y la velocidad de la masa en función del tiempo
(recordar que m
κκκκωωωω ==== )
Con los datos m, κ, y las condiciones iniciales, obtenemos los valores de A y φ Α = 10−2m
φ = 0
Por lo tanto, la función que describe el comportamiento del sistema masa-resorte, con las condiciones dadas, es:
x(t) = 10-2cos(5555t) 10.1- Graficar la posición y la velocidad de la masa durante los primeros tres ciclos de movimiento. m=1; %masa en unidades SI k=25; %constante de elasticidad del resorte en unidades
SI
w=sqrt(k/m); % frecuencia angular
xinic=10^-2 ; % Posicion inicial en unidades SI
vinic=0 ; % velocidad inicial de la masa
t=0:.005:6*pi/w; % Rango de valores de t para que podamos graficar
3 ciclos de oscilación. x=xinic*cos(w*t); % Define la función que representa el
comportamiento del desplazamiento de la masa x(t) v=-w*xinic*sin(w*t); % Define la función que representa el
comportamiento de la velocidad de la masa v(t) subplot(2,1,1),plot(t,x) % Grafica el desplazamiento en una pantalla
dividida en 2x1
xlabel('wt[rad]') % Etiqueta del eje x ylabel('Desplazamiento[m]') % Etiqueta del eje y
104
subplot(2,1,2),plot(t,v) % Grafica la velocidad en la pantalla anterior.
xlabel('wt[rad]') % Etiqueta del eje x
ylabel('Velocidad[m/s]') % Etiqueta del eje y
pause(5)
10.2- Hallar y graficar la energía cinética y potencial en función del tiempo. 10.3- Graficar la suma de ambas energías en función del tiempo (en la misma gráfica de la parte anterior). figure % Abre una nueva ventana de
gráficos
Ecin=1/2*m*v.^2; %subplot(2,1,1),plot(t,Ecin) % Grafica la Energía cinética vs tiempo
Epot=1/2*k*x.^2;%subplot(2,1,2),plot(t,Epot) % Grafica la Energía potencial vs tiempo Etot=Ecin+Epot;
plot(t,Ecin,t,Epot,t,Etot); %Grafica Ecinética, Epotencial y
Etotal en función de tiempo en la misma gráfica anterior
105
10.4 Añadida gráfica de las energías en función de x
pause(5)
figure % Abre una nueva ventana para el gráfico de las
energías en función de la posición x
Etot=1/2*k*max(x).^2;
Ecin=Etot-Epot; % Para que se pueda graficar la Ecinética vs x
107
Anexo E
Iniciando una sesión de trabajo en MATLAB Inicie MATLAB haciendo doble clic en el icono que se encuentra en el escritorio.
Enseguida deberá aparecer una pantalla dividida en 3 ventanas (figura 1). La ventana en
la cual debe realizar su trabajo es la que tiene el título de COMMAND WINDOW. Por
el momento, se puede ignorar a las otras dos ventanas. En la ventana de COMMAND
WINDOW se visualiza el símbolo >> al inicio de la línea. A esto se le llama prompt.
Todos los comandos se deberán escribir inmediatamente después del prompt y dando
enter al final.
Figura 1 Espacio de trabajo de MATLAB
Se debe elegir un directorio de trabajo, por defecto, MATLAB utiliza el directorio work
que se encuentra en la trayectoria c:\MATLAB6p5\work. Si se desea trabajar en un
directorio distinto, se debe tener cuidado de indicar la ruta a MATLAB. Por ejemplo, si
se desea trabajar en disco flexible, entonces se tendrá que escribir:
>> a:
o si se desea trabajar en un directorio c:\work
>> cd c:\work
Para la versión 6.5, se puede cambiar de directorio de trabajo haciendo clic sobre la lista que se encuentra en la barra de herramientas y que tiene por nombre Current directory
(figura 2).
108
Figura 2 Cambiando de directorio de trabajo
Figura 3 Eligiendo un directorio de trabajo
Si se hace clic en el icono aparece la pantalla que se muestra en la figura 3, y en ella se puede navegar
y seleccionar el directorio de trabajo deseado. Aún cuando la versión 6.5 acepta nombres de directorios largos, es conveniente respetar la convención de nombrar los directorios con hasta 11 caracteres y evitar
los espacios; como por ejemplo Mis documentos que su nombre MS Dos es Misdoc~1; y este detalle es
muchas veces causa de error.
Ajuste de curvas, gráficos logarítmicos y gráficos semilogarítmicos Suponga que mide la altura h del crecimiento de un cultivo. La altura (medida en cm) es
una función del tiempo (en días). Suponga que se mide la altura una vez al día y se
obtienen los siguientes datos:
t (días) 1 2 3 4 5
h (cm) 5.2 6.6 7.3 8.6 10.7
109
Para graficar estos datos en MATLAB, debemos representarlos como arreglos
unidimensionales; a los cuales también se les llama vectores. Escriba los siguientes
comandos:
>> t=[1 2 3 4 5]
>> h=[5.2 6.6 7.3 8.6 10.7]
No omita el espacio que sigue a cada dato (pruebe escribir una , entre dato y dato; ¿cuál
es la diferencia?). Para graficar, empleamos el comando plot de la siguiente manera:
>> plot(t,h,’ro’)
El argumento ’ro’ del comando plot MATLAB dibuja un circulo rojo en cada dato. Esto
es opcional, puesto que si se omite, MATLAB une los puntos mediante segmentos de línea recta. Haga la prueba.
Si ahora usted escribe:
>> plot(t,h,’k+’)
Para cambiar los límites de los ejes, de forma que se muestren claramente todos los
puntos, podemos forzar a MATLAB a tomar los intervalos [0,6] en x y de [0,15] en y.
Para ello escribimos:
>> axis([0 6 0 15])
Al inspeccionar la gráfica construida, ¿le parece que h(t) es una función lineal? Aún
cuando no parece exactamente una línea recta, parece que hay una relación lineal del
crecimiento con respecto al tiempo.
¿Cómo poder conocer la función lineal que mejor se ajuste a los puntos? MATLAB
posee un comando que permite ajustar los puntos a una línea recta. Escriba:
>> polyfit(t,h,1)
Como resultado, MATLAB regresa un par de números. El primero de ellos representa la pendiente de la línea recta (m) y el segundo la intercepción con el eje y (b).
Por lo tanto, el modelo corresponde a la forma y = ax + b. Para graficar esta línea en la misma gráfica que contiene los puntos, escriba la siguiente secuencia de comandos:
>> hold on
>> x=0:0.5:6
>> y =a*x+b
>> plot(x,y)
Recuerde sustituir los valores numéricos de a y b por los que MATLAB ha calculado
previamente al momento de escribir los comandos, si no lo hace, MATLAB marcará
error puesto que las matrices a y b no están definidas. Alternativamente, puede
definirlos al momento de hacer el ajuste si escribe lo siguiente:
110
>> [a,b]=polyfit(t,h,1)
Al igual que en los ejercicios anteriores, coloque etiquetas a los ejes, y en el título
incluya su nombre, grupo y fecha e imprima su gráfica.
Ahora suponga que registra el crecimiento, L en cm, de cierto roedor y que a su vez
registra su masa, m en g. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos:
t (semanas) 1 2 3 4 5
L (cm) 1.0 1.6 3.0 6.2 12.8 m (g) 0.1 0.3 2.1 19.0 168.7
Defina los vectores L y m:
>> L=[1.0 1.6 3.0 6.2 12.8]
>> m=[0.1 0.3 2.1 19.0 168.7]
grafique L como función de t:
>> hold off >> figure
>> plot (t,L,’ro’)
Observe su gráfica, ¿parece que los puntos se ajustan a una línea recta? Para poder
ajustarlos a una recta, hagamos lo siguiente; grafiquemos los puntos con una escala
semilogarítmica. Para ello, ejecute la siguiente sentencia:
>> semilogy(t,L,’ro’)
Ahora los datos deberán de observarse sobre una línea recta. Note que la escala
horizontal (el eje de tiempo) es lineal y la escala vertical (el eje de crecimiento) es
logarítmico. A este tipo de gráfica se le denomina semilogarítmica. Empleando polyfit podemos encontrar la función que se ajusta a la línea que se muestra
en la gráfica. Debemos recordar que L tiene una relación logarítmica (log10) con t.
Entonces, se debe emplear el comando de la siguiente forma:
>> polyfit (t,log10(L),1)
Nuevamente MATLAB da como resultado un par de números. ¿Cómo interpretar estos resultados? De la siguiente manera:
log L at b= +
dado que L está siendo graficado logarítmicamente. Para obtener L, tenemos:
( )
( )
log10 10
10
at bL
at bL
+
+
=
=
111
por lo tanto, el crecimiento de los roedores resulta aumentar exponencialmente con
respecto al tiempo.
Para verificar que nuestro modelo es correcto, pruebe lo siguiente:
>> plot (t,L,’ro’)
>> hold on
>> x=[1:0.01:5]
>> y=10.^(a*x+b)
>> plot (x,y)
>> hold off
Nuevamente, no olvide sustituir los valores numéricos de a y b. Agregue etiquetas a los ejes y en el título incluya su nombre, grupo y fecha. Imprima su gráfica.
Finalmente exploraremos la relación entre la longitud L y la masa del roedor m. Para
graficar L en función de m escriba:
>> plot (L,m,’ro’)
los puntos marcados por círculos rojos no parecen en esta ocasión ajustarse por medio
de una línea recta. ¿Cómo poder aproximarlos a una línea recta? Grafíquelos probando
una gráfica semilogarítmica, como por ejemplo:
>> semilogy (L,m,’ro’)
¿Es ahora una línea recta? Pruebe graficar los puntos en una gráfica log-log
(logarítmica).
>> loglog (L,m,’ro’)
Sin duda, ahora los datos parecerán ajustarse a una línea recta. Note que en este ejercicio las escalas de ambos ejes son logarítmicas. Podemos emplear la función polyfit
para encontrar la ecuación de esta recta, para ello escriba:
>> polyfit (log10(L),log10(m),1)
MATLAB obtendrá un par de valores que corresponde a la pendiente y la intersección
con el eje y. Esto significa que los datos están relacionados de la siguiente manera:
bLam += loglog
de aquí que entonces:
( )ba
baL
bLa
bLam
Lm
m
m
10
1010
1010
1010
log
log
loglog
⋅=
⋅=
⋅=
= +
112
y por lo tanto:
ab Lm 10=
lo cual quiere decir que la masa del roedor debe de ser aproximadamente proporcional a
la a potencia de su longitud. Para comprobar este modelo, haga lo siguiente:
>> plot (L,m,’ro’)
>> hold on
>> x=[0:0.01:14]
>> y=10 ^b*x. ^a
>> plot (x,y) >> hold off
Nuevamente, no olvide sustituir los valores numéricos de a y b. Agregue etiquetas a los
ejes y en el título incluya su nombre, grupo y fecha. Imprima su gráfica.
Definiendo variables simbólicas: funciones.
Una de las principales características de MATLAB es que permite definir funciones de
manera muy sencilla. Por ejemplo, la función lineal ( ) 0.6 1.2u t t= + se define por
medio del siguiente comando:
>> u = inline(’0.6*t+1.2’,’t’)
con esto hemos especificado que la variable u es función de t y tiene la regla de
correspondencia indicada. Debe tener cuidado de no omitir los símbolos ’’ y * o de lo
contrario MATLAB indicará error.
Evalue la función u(t) para varios valores. Para ello, escriba lo siguiente:
>> u(1)
para localizar la intercepción con el eje y escriba :
>> u(0)
Ahora usted evalúe la función en el punto x = 2.67 con MATLAB.
Una característica más de MATLAB es que nos permite graficar la función. La forma
más simple para hacerlo es empleando el comando ezplot. Usaremos esta herramienta
para dibujar la grafica de la función ( ) 1.2f x x= en el intervalo [0,2]. Para esto, debe
escribir:
>> ezplot(’1.2*x’,[0 2])
113
Inmediatamente después de haber oprimido la tecla enter, debe surgir una ventana con
la gráfica deseada. Note que el comando ezplot automáticamente elige una escala para
el eje y. Para etiquetar los ejes, haga clic sobre la bara de menus en la opción Insert y
ahí elija X Label o Y Label (figura 4). Para insertar una leyenda, haga clic sobre el
icono de la barra de herramientas; y después haga clic sobre un punto del área del
gráfico. Deberá aparecer un área sombreada, y ahí puede escribir la leyenda que desee.
Puede hacer clic sobre esta y arrastrarla sobre el gráfico para colocarla en donde más le
convenga.
Figura 4 Etiquetando los ejes de una gráfica
Para ver que sucede con la gráfica de la función f(x) si se le agrega una constante,
grafiquemos la función ( ) 1.2 0.9g x x= + . Como deseamos comparar, para que ambas
gráficas se presenten en una misma ventana de graficación, se debe ejecutar el
comando:
>> hold on
y después:
>> ezplot(’1.2*x+1.9’,[0 2])
Ahora grafique una tercera función a la cual ha modificado la pendiente, haciéndola más
pequeña. Emplee ezplot para graficar la función ( ) 0.5 1.2h x x= + en el intervalo [0,2].
Finalmente grafique una función lineal con pendiente negativa. Emplee los comandos
correspondientes para graficar la función ( ) 0.4 2j x x= − + en el intervalo [0, 2]. Ejecute
los comandos:
>> hold off
>> title ’Su nombre, grupo y fecha’
Guarde en un archivo e imprima su gráfica. Para hacerlo, haga clic en la barra de menús
File y elija las opciones Save y Print.
114
Examinando la gráfica que construyó, en algún punto de esta, las gráficas de las
funciones h(x) y j(x) se intersectan. Podemos usar MATLAB para encontrar las
coordenadas (x,y) de este punto.
La coordenada x debe satisfacer la igualdad 0.5 1.2 0.4 2x x+ = − + . Para encontrarla,
ejecute el siguiente comando:
>> solve(’0.5*x+1.2=-0.4*x+2’)
Para encontrar la coordenada y podemos sustituir en cualquiera de las funciones h(x) o
j(x) la coordenada x encontrada. Para ello, podemos escribir:
>> 0.5*ans+1.2
ans es una variable que MATLAB genera inmediatamente después de haber completado
un cálculo. Se debe tener cuidado cuando se trabaja con ella, pues se refresca cada vez que se ejecuta un comando. Esto puede dar pie a que se obtengan resultados erróneos,
pues se puede emplear un valor diferente al que se deseaba emplear.
Para finalizar este ejercicio encuentre las coordenadas (x,y) del punto donde se intersectan las gráficas de las funciones g(x) y j(x).
115
Bibliografía
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Hill Book Company. Estados Unidos de América.
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Resnick, Robert, Halliday, David y Krane, Kermeth. Física Vol.I. 4ta. Edición. (2001).
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