Upload
hadan
View
233
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
2. ZÁKLADY KINEMATIKY Kinematika
se zabývá popisem pohybu částice nebo tělesa, aniž leduje příčinné souvislosti. edním ze základních vlastností pohybu je, že jeho popis záleží na
volbě vztažného tělesa ( souřadnicového systému ). Nelze vyloučit
sJ
případ, kdy se vztažná soustava souřadnic pohybuje.
2.1. Kinematika hmotného bodu Poloha hmotného bodu dána polohovým vektorem.
Popis pohybu hmotného bodu - jsou-li známy hodnoty
olohového vektoru ve všech časových okamžicích.
p
Kartézská souřadnicová soustava
( )( ) ) ( )tett
ktz
⋅
⋅
( ) ( ) ( ) jtyitxtr +⋅+⋅=z
( ) ( 321 ezetyxr ⋅++⋅=kde x rd
r
vektorybázové
vektoryjednotkové
321 eee
kji
,,
,,
Rozepsáno pro jednotlivé souřadnice
( ) ( ) ( ) ]m [ tzztyytxx ===
Po eliminaci času t těchto rovnic dostáváme dráhu ( trajektorie ) - křivku, po které se bod pohybuje.
Jiné vyjádření trajekt rie
z
o ( )( ) 0
0
2
1
==
zyxFzyxF
,,,,
}
z
A
B
y
dráha je dána jako
průsečnice 2 rovin.
x
y rdr +
2e1e
3e k
ji
Def. 2.1.1. Rychlost je časová změna (derivace dle času) polohového vektoru r
Stejný výsledek dostaneme
, derivujeme-li dráhu dle času.
kzjyixrdt
rdtrv
t⋅+⋅+⋅===
∆∆
=→∆
&&&&0
lim
nebo ve složkách ] sm [ , , 1-⋅===dtdzv
dtdyv
dtdxv zyx
222222zyx vvvzyxv ++=++= &&& velikost vektoru rychlosti
Důkaz o velikosti vektoru rychlosti:
222222
222 zyxdtdz
dtdy
dtdxdzdydx
dtd
dtdsv &&& ++=
+
+
=++==
Věta 2.1.1. Rychlost je vektor a má směr dráhy a velikost rovnou první derivaci podle času. Důkaz o směru
, ,
00
∫ ⋅=
⋅=⋅=⋅
===
tt
rdrdds
vdsdx
dtds
dsds
dtdxdx
dsdz
dsdy
dsdx
α
γβα
cos
coscoscos
==x dtv
( ) ∫==tt
tss
s se nazývá délkou oblouku od bodu Oblouk s je přípustným parametrem křivky a její rovnici lze zapsat
0t do bodu t
( ) srr = ( ) ( ) ( ) , , szzsyysxx === a ve složkách
222 dzdy ++ dxrdds ==Obdobně , γβ coscos ⋅=⋅= vvvv zy
dráze at .
Def. 2.1.2. Zrychlení je časová změna vektoru rychlosti v
kzjyixrvdtvda ⋅+⋅+⋅==== &&&&&&&&&
Složky vektoru zrychlení jsou
Velikost zrychlení ] sm [ , 2-⋅= z&& , , ===== vayvaxva zzyyxx &&&&&&&
x222zy aaaa ++=
Důležité složky vektoru zrychlení Složka do směru normály k dráze je an ,složka do směru tečny k
Z diferenciální geometrie plyne:
každém bodě prostorové křivky lze určit trojhran, který je popsán vektorem tečny, vektorem normály a vektorem binormály .
ou velikost a platí, že s
polu s uvažovaným bodem určují
V
Všechny vektory mají
jednotkov
z( )tr
B
tene(
( )BB
x
y
be
- nor( )
bn eeB ,, málovou rovinu - rektifikační rovinu - oskulační rovinu
)
nt
bt
eeee
,,,,
0
s∆
ϕ∆R
v∆nv∆
tv∆
v∆
okamžiku a
tečny
Tečné zrychlení ( )
tvvvav
ttt ∆∆⋅−∆+
==∆→∆
ϕcoslim0
a protože platí v limitě
v
vv ∆+
a) vektory rychlosti na dráze bodu po časovém
b) složky tn vv ∆∆ , přírůstku rychlosti v∆ do směru normály
v
v +
ϕ∆
1→∆ϕos potom
Věta 2.1.2.
cdv
tva
tt ∆
∆=
→∆ 0lim v
dt&==
Tečné zrychlení má velikost rovnou derivaci velikost rychlosti podle času. Normálové zrychlení
tvav
tnn ∆∆⋅
==∆→∆
ϕsinlim0
ϕϕ ∆→∆sin a ze vztahu V limitě platí
Rs∆
=∆ϕ Rs ⇒∆⋅=∆ ϕ
kde R je poloměr křivosti dráhy
Rv
ts
Rva
tn
2
0=
∆∆
⋅=→∆
lim
Věta 2.1.3. Normál ní má velikost rovnou čtverci rychlosti ové zrychle
dělenému křivostí dráhy a směr do středu křivosti. Normálová složka zrychlení se proto nazývá zrychlení dostředivé nebo centripetální.
2.1.1. Přímočarý pohyb V tomto případě je dráha hmotného bodu přímka. Směr rychlosti je
stálý. Zrychlení je pouze tečné a má směr shodný se směrem rychlosti
Časté jsou případy, kdy ve směru některé osy je konstantní zrychlení nebo nulové. Budeme předpokládat, že je to směr osy x. 1. Případ 0=xa nazveme pohyb přímočarý rovnoměrný ve směru osy x .
dtdxv x = integrací získáme 0xtvx x +⋅=
kde x0 je integrační konstanta - počáteční dráha. pohyb rovnoměrně zrychlený 2. Případ .konsta x = pohyb rovnoměrně zpomalený
kde x0 ( počáteční dráha ) a vkonstanty.
x0 (počáteční rychlost ) jsou integrační
+dt
dva x
x = a integrací 0xxx vtav ⋅=
a d r2
x⋅⋅2
2
dtxd
x = a vojí integ ací 0021 tvtax xx ++=
Obdobné vztahy platí pro osy y,z Ve z případvláštním ě, když pohyb začne současně s počátkem
a v s
t t t
.konsta =
21 tas
měření času z nulové polohy nulovou rychlostí 000 == xv x platí
tav ⋅= 2⋅=
atvats == 21 2
C rakha teristickým příkladem pohybu rovnoměrně zrychleného je volný pád, j. gravitační zrychlení (nebo tíhové zrychlení g=9.81 ms-2 , mění se se zeměpisnou šířkou ). Ve směru vodorovném je nulové zr
kde a=g , t
ychlení.
2.1.2. Kruhový pohyb φ
x
osa y
y( )rr t
rr x i y j k= + + 0Pohyb v rovině xy
rx r
y r
=
= r. cos
.sin
φ
φ
Pro popis volíme polární souřadnice r, φ e-li pohyb kruhový rovnoměrný, potom platí φ = ω . t
Okamžitý polohový vektor tedy je
osa x
r r r
J
( ) ( )r r rr r t i r t j= +.cos . .sin .ω ω
í o úhel ωt = 2π je rovna délce obvodu Délka trajektorie pro otočenkružnice a platí pro ni
s dx dy= +∫2 2
0
2π
( )∫ +=π
ωω2
0
222 ttrs cosin. dts
s r dt r= =∫ . 20
2
ππ
Pro délku dráhy platí s = φ . r Obvodová rychlost rv je definována: r
rv dr=
dt
(r
a tudíž pro ni platí: (rv = −ω ) )r
r t i r t j+ω ω ωsin . cos .
Absolutní hodnota (velikost) vektoru rychlosti rv v v= +2 2
x y ,
( )ttrv ωωω 2222 cossin +=r , což po dosazení dá rv r= . .ω neboli r
rr
ω φ φ= =ddt
& Odtud je vidět, že
Obvodová rychlost rv je vektor, který má směr tečny k trajektorii. Leží v rovině trajekto kolmý na
olohovým vektoremrie a je rovinu určenou osou rotace a .
p Proto pro něj můžeme psát
rv ×=ω vektor rrr obvodové rychlosti
rdvdt
, Zrychlení kruhového pohybu ra =
což po dosazení dá (ra r k= − . c ) ( )[ ]r r
t i r t+os . . sin .ω ω ω ω2 2
Ze srovnání s definičními rovnicemi kruhového pohybu ,sin.,cos. trytrx ωω ==
rplyne
r = dostředivé zrychlenía r−ω 2. Toto zrychlení má stejný směr jako polohový vektor rr , avšak opačnou orientaci. Míří proto trvale do počátkou souřadnic = do středu rotace a proto se nazývá dostředivé zrychlení. eho velikost je rovna velikosti normálového zrychlení J
n
ra r= .ω 2 Spojením se vztahem pro ω dostaneme velikost normálového
rychle í n v=2
rarnz
ě rovno nule, Tečné zrychlení je v tomto případ
rr
ad vdtt = = 0 ,
neboť absolutní hodnota (velikost) rychlosti zůstáv konstantní.
Perioda T
á
= dob = 2π a 1 oběhu. Pro t = T je φ2π
takže (protože platí φ = ωt) T =ω
.
Převrácená hodnota periody T je frekvence f 1
f = . T
Spojením těchto rovnic: , Takže obv l
ω π= 2 f
rvobv má velikost r rv r fobv = 2π . odová rych ost
2.1.3. Šikmý vrh ve vakuu
Počáteční podmínky ( ) ( ) 0 pro 000 0 === tyx
y
d
x
ov
ϕ
- počáteční rychlost v0 - elevační úhel α - tíhové zrychlení ay = - g- zrychlení ax = 0
oyv
oxv
Pohybové rovnice rovnoměrný přímočarý pohyb
y
x
2
( )tr
tvo ⋅ 21 tg ⋅
( 0xtx x +⋅= )v→
( ) tvtvtx x ⋅⋅=⋅= αcos00
+⋅+⋅ 00
2
21 ytvtay yy
↓= rovnoměrně zrychlený pohyb
( ) αsin⋅⋅+⋅−=+⋅+⋅−= tvtgytvtgty y 02
002
21
21
Vyloučíme-li čas t z obou rovnic dostaneme
( ) ( ) ( ) ( )αα
αα 22
0
2
20
00 2
121
coscossin
cos ⋅⋅−
⋅⋅⋅⋅=
⋅=
vtxg
vtxvty
vtxt
Potom rovnice dráhy v souřadnicích x,y ( x = x(t) , y = y(t) ) 2
2202
1 xv
gtgxy ⋅⋅−⋅=
αα
cos
Určení času dopadu td částice
v αsin2 ⋅g
td0= netriviáln
triviální řešení
( )
02
010
2
=⋅⋅+⋅−=
d
ddd
t
tvtgty αsin2
010 =⇒=
⋅−⋅ dd ttgv αsin
í řešení
Dostřel (dolet)
polohový vektor 02
tgtvr ⋅+⋅= 21
( ) αα
cossin
cos ⋅⋅=⋅⋅==g
vvttvtxd ddd
000
2
Maximální dostřel je ro elevač
p ní úhel
045=α α220 sin⋅=g
vd
2.2. Kinematika tuhého tělesa Na tělese zvolíme 2 body A,B.
Pohyb tělesa popíšeme tak, že popíšeme polohu bodu A v čase a úhel spojnice AB v čase
ry
A B ( ) ( )ttr ϕϕ == ,
kalárně ve složkách
x
s( ) ( ) ( )tzztyytxx AAA ===
- vyjadřuje posunutí "translaci" tělesa ( ) ( ) ( )ttt zzyyxx ϕϕϕϕϕϕ ===
z
- úhly vyjadřují pootočení podél souřadných os, tj. rotaci tělesa
a) Translační pohyb - dráhy alespoň 3 bodů všech bodů tělesa je stejný,proto je rychlost
jsou shodné. Pohyb v a zrychlení a
Jeho )t
od translačního pohybu konstantní a rovné rychlosti zrychlení bodu A. Probléřešíme jako pohyb bodu o h celého tělesa.
poloha je určena vektorem
a m motě rovné hmotě
2
2
dtrd
dtvda
dtrdv = ==
(r
R pohyb b) otační - dva body tělesa zůstávají stále na svých místech, potom se nepohybují všechny body ležící na spojnici těchto dvou bodů. Těleso se otáčí kolem této spojnice, nastává rotace
tělesa kolem osy. Každý bod tělesa vykonává kruhovou dráhu o
táčení. středu na ose oω
r
v
ρO ′
o
ω - vektor úhlové ti otáčení vázaný rychlosna osu rotace o , směr je stálý
P iotom rychlost bodu C při rotac je rv ×= ω
zrychl ní ( ) rdrdrdtdvda ×+×=×==
ωω
ektor úhlového zrychlení ε =
Vektor r×ε má směr rychlosti v a znamená složku zrychlení do
dtdtdtωa e
dtdω má směr osy otáčení V
směru tečny ke dráze Vyjádříme-li v ×= ω v absolutních hodnotách, dostaneme r
ρω ⋅=v resp. ρ
ω v=
Vektor vdt
rd×=× ωω
zrychlení dostředivého
má směr do středu a představuje složku
2ωρωρω ⋅=⋅⋅=na
a tečné zrychlení ⇒=×=ω rdat 1
⋅⋅ ρρ dt
dvdt
dtdvat =
2.3. Kinematika desky je zvláštním případem
kinematiky tělesa, které vykonává pohyb v rovině x,y, tzn. že
yxAz ϕϕ ,, se nemění ( ) ( )
( )
ttyytxx
z
AAAA
ϕϕϕ =≡
==
x,y - nepohyblivý souřadný systém v rovině pohybu x´,y´ - pohyblivý souř. systém v rovině desky s
očátkem v bodě A. Souřadnice obecného bodu B při pohybu desky
y
x
A
Bϕ
ϕϕ
AxAy
y′
x′
0p
ϕϕϕϕ
cossinsincos
⋅′+⋅′+=⋅′−⋅′+=
yxyyyxxx
A
A
ϕϕϕϕ
cossinsincos
⋅′+⋅′=−⋅′−⋅′=−
yxyyyxxx
A
A
derivací drah získáme složky rychlosti
( )
( ) ϕϕϕ
ϕϕ
&&
&
⋅⋅′−⋅′−==
⋅⋅′+⋅′−==
sincos
cossin
yxydtdyv
yxxdtdxv
Ay
Ax
ϕ&
dosadíme ϕϕω &≈=dtd
a potom
(
( )
AAxx
xxv
yyvv
−⋅−
−⋅−=
ω
ω, )
v =
AAyy ,
Def. 1 Okamžitý střed otáčení (pól otáčení) je bod, který má v čase T nulovou rychlost. Souřadnice okamžitého středu otáčení pp yx , určíme z podmínky 0== yx vv :
( )ω
ω AxApApAx
vyyyyv ,
, +=⇒=−⋅− 0
ωAy
Apv
xx ,−= obdobně
Def.2 Spojnici středů otáčení kreslenou v pevném souřadném systému x , y nazveme pevná poloida. Spojnici středů otáčení kreslenou v pohyblivém souřadném systému x´, y´ v rovině desky nazveme pohyblivá poloida
Poloidy
se používají pro určování vhodného tvaru soukolí.
(PoužiNekonečně
tí v principu virtuálních prací) malý pohyb desky za časový okamžik t∆ lze rea
lizovat n kjako otoče í des y dle okamžitého středu otáčení.
Dostaneme
ϕ∆
+=
∆∆
−=
A
AAp
xyy
yxx
ϕ∆Ap
Příklad 2.3.1. Kolo o poloměru r se otáčí úhlovou rychlostí ω a řed kola A má posuvnou rychlost
strv ⋅< ω , t.zn., že kolo prokluzu Určete pevnou
u poloidu. je.
Posuvná rychlost bodu A a pohyblivo
y
x
yp
0 == AyAx vvv ,, Okamžitý střed otáčení
ωωω
ωωvvv
yy
vxx
AxAp
AyAp
=+=+=
=−=−=
0
000
,
,
r
A
Okamžitý střed otáčení je stále ωv pod středem kola (pohyblivá
poloida) rv<
ω dle zadání.