2006. március 3.

Három négyzet oldalai különböző prím-számok. A két kisebb négyzet kerületének ösz-szege egyenlő a legnagyobb négyzet kerületé-vel; a két nagyobb területének összege 290 cm2.

Mekkorák a négyzetek oldalai?

Telefonos feladat

Emelt szintű írásbeli érettségi

Matematika – (1.)

2006. február 21.

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

1. feladat (12 pont)

04sin5sin42cos 2 xxx

04sin5sin42cos 2 xxx

xx 22 sincos

x2sin1

x2sin21

04sin5sin4sin21 22 xxx

03sin5sin2 2 xx

03sin5sin2 2 xx

4

24255sin 2,1

x

4

75

,3sin x2

1sin x

kx 26

71

kx 262

2. feladat Az 52 941 számjegyeit leírjuk az összes lehetséges sorrendben. a) Az 52 941 számmal együtt hány ötjegyű számot kaptunk? (2 pont) b) Ezen számok közül hány osztható 12-vel? (6 pont) c) Bizonyítsa be, hogy e számok egyike sem négyzetszám! (4 pont)

a) 54321!5 120

b) 52 941 3-mal mindegyik osztható

24... ,92... ,52... ,12...!3

!3

!3

!3

24!34 c) 3-mal osztható, de 9-cel nem, így nem lehet

négyzetszám.

3. feladat Egy automatából 100 Ft értékű ital kapható, s az automatába csak 100 Ft-os érme dobható be. Az automata gyakran hibásan működik. 160 kísérletet végezve azt tapaszaljuk, hogy - az esetek 18,75%-ában az automata elnyeli a pénzt, és nem ad italt; - 90 esetben visszaadja a 100 forintost, anélkül, hogy italt adna; - 30 esetben italt is ad és a 100 Ft-ost is visszaadja; - és csak a fennmaradó esetekben működik rendel-tetésszerűen

a) Mekkora annak az esélye, hogy egy százast bedobva az automata rendeltetésszerűen fog működni? (4 pont) b) Minek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy ingyen ihatunk, vagy annak, hogy ráfizetünk? (5 pont) c) Várhatóan mennyi lesz a ráfizetése annak, aki 160-szor próbál italt vásárolni ennél az automatánál? (4 pont)

3075,186,1

a)

16

1

160

10 b) Mindkét valószínűség:

16

3

c) Nem lesz vesztesége

4. feladat Állítsuk a pozitív egész számokat növekvő sorrendbe, majd bontsuk rendre 1-gyel növekvő elemszámú csoportokra, a felbontást az alábbi módon kezdve:

(1), (2; 3), (4; 5; 6), (7; 8; 9; 10)

a) A 100-adik csoportban melyik szám az első elem? (5 pont)

b) Az 1851 hányadik csoport hányadik eleme? (9 pont)

a) A k-adik csoportban levő utolsó elem:

2

)1(.....321

kkk

A 99. csoport utolsó eleme: 49502

10099

Tehát a 100. csoport első eleme: 4951

(1), (2; 3), (4; 5; 6), (7; 8; 9; 10)

b) Ha 1851 a k-adik csoportban van, akkor

2

)1(1851

2

)1(

kkkk

kkkk 22 3702

037022 kk

37020 2 kk

3,61k k3,60 61k

61k

12

6160

A 61. sor első eleme: a 60. sor utolsó eleme +1

183111830

1851 a 61. sor 21. eleme.

5. feladat (16 pont) Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, AB>CD. A trapéz átlóinak metszéspontja K. Az ABK háromszög AB oldalhoz tartozó ma-gassága kétszerese a CDK háromszög CD oldalá-hoz tartozó magas-ságának. Jelölje T az ADK háromszög terü-letét. Hányszorosa az ABCD trapéz területe T-nek?

AMDBMC TT

AK

CK

T

t x

AK

CK

t

T

x

4

x

x

t

T

T

t

4

2

Tt x

TTT

TTABCD 24

2T 5,4

A telefonos feladat megoldása

A feltételekből

rqp

)( rqp

29022 rq

Az első feltételből csak 2p lehetséges.

A másodikból pedig .13 ,11 rq