Ιδιόμορφες ασκήσεις στην αρχική συνάρτηση

Μπάμπης Στεργίου

Υπάρχουν πολλά και δύσκολα προβλήματα που αφορούν την αρχική συνάρτηση. Πολλά

έχουν και θεωρητικό χαρακτήρα και συνδέονται με το θεώρημα Darboux.Δίνω παρακάτω, για

αρχή, μερικά τελείως χαρακτηριστικά παραδείγματα για να φανεί το βάθος και η δυσκολία της

έννοιας αυτής.

1. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν αρχική :

α) 1sin ,x 0

f(x) x0 , x 0

⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩

β) 1cos ,x 0

f(x) x0 , x 0

⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩

2. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν έχουν αρχική :

α) sin x ,x 0

f(x) x0 , x 0

⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩

β) tan x ,x ( , ) {0}

f(x) x 2 21 , x 0

π π⎧ ∈ − −⎪=⎨⎪ − =⎩

3. Να αποδείξετε ότι η παρακάτω συνάρτηση δεν έχει αρχική :

2 1cos , x 0f(x) x

0 , x 0

⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩

Σχόλιο

Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ενώ η μπορεί να έχει αρχική, η μπορεί και να μην έχει !

.Μπορούμε να πάρουμε για την f στο 1.β)

g 2g

g