20.1 平行四边形的判定

--- 证明题与作图题

东漖中学 周丽影

下列哪些四边形是平行四边形 ?为什么 ?

A D

CB

110°

70° 110°

⑴

⑷⑶

120°A

B C

D

O5㎝

5㎝4㎝

4㎝

B

A D

C

4.8㎝ 4.8㎝

A

BC

D60°5㎝ 5㎝

⑵7.6㎝

7.6㎝

基础闯关

平行四边形的判定方法 边 1.两组对边分别平行的四边形是……

2.两组对边分别相等的四边形是……3.一组对边平行且相等的四边形是……

角 4.两组对角分别相等的四边形是……

对角线 5.对角线互相平分的四边形是……

定理定理 :: 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ..

定理定理 :: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ..

∵∵AB=CD,AD=BC,AB=CD,AD=BC,∴∴ 四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形 ..

BB

DD

CC

AA

∵∵AB∥CD,AB=CD,AB∥CD,AB=CD,∴∴ 四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形 .

平行四边形的判定平行四边形的判定 语言叙述语言叙述

定义定义 :: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ..∵∵ABAB∥∥CD,ADCD,AD∥∥BC,BC,∴∴ 四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形 ..

平行四边形的判定平行四边形的判定

定理定理 :: 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 .

定理定理 :: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ..BB

DD

CC

AA

OO

∵∵AO=CO,BO=DO,AO=CO,BO=DO,∴∴ 四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形.

∵∠∵∠A=∠C,∠B=∠D.A=∠C,∠B=∠D.∴∴ 四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形..

BB

DD

CC

AA

语言叙述语言叙述

例 1 ： 已知： E 、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，并且 AE=CF 。

求证：四边形 BFDE 是平行四边形

D

O

A

B C

E

F

∵ 四边形 ABCD 是平行四边形

∴ AO=CO ， BO=DO

∵AE=CF

∴AO-AE=CO-CF

∴EO=FO

又∵ BO=DO

∴ 四边形 BFDE 是平行四边形

挑战证明题

证明：连结ＢＤ，交ＡＣ于点Ｏ

变式 1 已知： E 、 F 是平行四边形 ABCD

对角线 AC 上的两点，并且

求证：四边形 BFDE 是平行四边形

DA

B C

E

F

BE DF∥

驶向胜利的彼岸

变式 2 已知： E 、 F 是平行四边形 ABCD

对角线 AC 上的两点，并且

求证：四边形 BFDE 是平行四边形DA

B C

E

F

BE AC⊥ 于 E ， DF AC⊥ 于F

驶向胜利的彼岸

想一想 已知： E 、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，并且

可以证明四边形 BFDE 是平行四边形 ?

DA

B C

E

F

BE=DF

驶向胜利的彼岸

例 2 、如图 : 在平行四边形 ABCD 中 ,E 、 F 、 G 、 H分别是各

边上的点，且 AE=CF ， BG=DH 。求证： EF 与 GH 互相平分。 D C

A B

H

F

G

E

练习 1 、如图所示，在四边形 ABCD 中，M是 BC 中点， AM、 BD 互相平分于点O，那么请说明 AM=DC 且 AM∥DC 。

M

A

B C

D

O

例 3. 生物实验室有一块平行四边形的玻璃片 ,在做实验时 ,小明一不小心碰碎了一部分 (如图所示 ),同学们 !有没有办法把原来的平行四边形重新画出来 ?(A,B,C 为三顶点 ,即找出第四个顶点 D)A

B C

(请用尺规完成 )

1、以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作（ ）A、 4个 B、 3个 C、 2个 D、 1个

2 、 如图，在 ▱ ABCD 中，已知两条对角线相交于点 O， E、 F、 G、 H分别是 AO、 BO 、 CO 、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。

A D

CB

E

FG

H

O

小结一、能根据题目的条件灵活选用平行四边形

判定方法去证明有关的结论问题

二、有关的作图题

在四边形 ABCD 中， AD∥BC ，且 AD >BC ，BC = 6cm,P,Q 分别从 A， C 同时出发，P 以 1厘米 /秒的速度由 A 向 D 运动，Q 以 2厘米 /秒的速度由 C 向 B 运动，几秒后四边形 ABQP 成为平行四边形？

课后探索课后探索

课后习题 如图，在△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ， DE∥BC 交 AB 于点 E， EF∥AC 交 BC 于点 F，那么 BE=CF ，请你说明理由 .

A

B C

DE

F

12

3