2013 Matematica Locala Dambovita Clasele Vviii Subiecte Si Bareme

CLASA a V-a

SUBIECTUL 1 Comparai numerele: x = 2222 + 2202 i y = 2221 + 2220 + 2212. VARIANTA 1 DE NOTARE:

n baza 2, x are 223 cifre, 3p

iar y are 222 cifre, 3p

rezult x>y. 1p VARIANTA 2 DE NOTARE:

x = 22121024 + 2202, 3p

iar y = 2212(29 + 28 + 1) = 2212769, 3p

rezult x>y. 1p VARIANTA 3 DE NOTARE:

x = 2221 + 2221 + 2202 3p

= 2221 + 2220 + 2220 + 2202. 2p

Cum 2220 + 2202 > 2212, rezult x>y. 2p SUBIECTUL 2 Fie numrul A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 2511.

a) Artai c numrul A + 1 este divizibil cu 512. b) Aflai restul mpririi numrului A 1 la 512.

VARIANTA 1 DE NOTARE:

a)

Calculnd 2A A = 2512 1, rezult A + 1 = 2512. 2p Cum 512 = 29 i A + 1 = 2503 29, se obine A + 1 este divizibil cu 512. 1p

b)

A 1 = 2 + 22 + 23 + + 2511 1p = 2 + 22 + + 28 + 29(1 + 2 + 22 + 23 + + 2502) 2p = 510 + 512(1 + 2 + 22 + 23 + + 2502), rezult restul este 510. 1p VARIANTA 2 DE NOTARE:

a)

A + 1 = 2 + 2 + 22 + 23 + + 2511 1p 2 + 2 = 22, 22 + 22 = 23, , 2511 + 2511 = 2512. 1p Cum 512 = 29 i A + 1 = 2503 29, se obine A + 1 este divizibil cu 512. 1p

b)

A 1 = A + 1 2 1p

= M512 2 1p

= M512 + 510, rezult restul este 510. 2p SUBIECTUL 3

a) Dai un exemplu de triplet (a, b, c), unde a, b, c i ( a + b + c ):3 sunt patru ptrate perfecte diferite. b) Artai c exist o infinitate de triplete (a, b, c), unde a, b, c i ( a + b + c ):3 sunt patru ptrate

perfecte diferite. a)

Pentru un singur exemplu: (1, 25, 121) sau (25, 49, 289). 1p

Calculeaz (1+25+121):3 = 49 sau (25+49+289):3 = 121, ptrat perfect. Numai pentru unul se acord cele 2p. 2p b)

Un exemplu de forma (k2 , 25k2 , 121k2), unde k* 2p i (k2 + 25k2 + 121k2):3=49k2 =(7k)2 , arat c exist o infinitate de triplete (a, b, c), unde a, b, c i (a + b + c ):3 sunt patru ptrate perfecte diferite.

2p

SUBIECTUL 4

a) Aflai numerele de forma abc , tiind c abc mprit la b c d ctul 3 i restul 4.

b) Aflai numerele de forma abcd , tiind c abcd mprit la b cd d ctul 33 i restul 32.

a)

abc = 3 b c + 4, de unde 100a + b c = 3 b c + 4. 1p

100a = 2 b c + 4 sau 50a = b c + 2. 1p

Cu soluiile: a = 1, b c = 48 i a = 2, b c = 98. Numerele sunt: 148 i 298. 1p

b)

abcd = 33 b cd + 32, 1p

de unde 1000a + b cd = 33 b cd + 32, apoi 1000a = 32 b cd + 32 1p

i de aici 125a = 4 b cd + 4 sau 125a = 4( b cd + 1) 1p

Cu soluiile: a = 4, b cd = 124 i a = 8, b cd = 249. Numerele sunt: 4124 i 8249. 1p

CLASA a VI-a

SUBIECTUL 1 Determinai cel mai mic numr natural n, de patru cifre, tiind c n 19 este divizibil cu 28 i n 31 este divizibil cu 36. VARIANTA 1 DE NOTARE:

n = 28k + 19 i n = 36p + 31, 1p rezult 28k + 19 = 36p + 31, 1p 28k = 36p + 12; 7k = 9p + 3. 1p

Cea mai mic valoare a lui p pentru care ecuaia are soluie este 2 i atunci p = 7q + 2. 1p Se obine n = 36(7q + 2) + 31 = 252q + 103. 2p Cel mai mic numr de patru cifre este 1111. 1p VARIANTA 2 DE NOTARE:

Numerele de forma 28k + 19 sunt: 19, 47, 75, 103, . 2p Numerele de forma 36p + 31 sunt: 31, 67, 103, . 2p Cum 103 este cel mai mic numr comun ambelor forme, rezult n = [28, 36] q + 103, 1p n = 252 q + 103. 1p

Cel mai mic numr de patru cifre este 1111. 1p SUBIECTUL 2 Aflai numerele prime a, b, c, tiind c a + b = 380 i 6a + 15b + 29c = b4. Din a II-a condiie 6a i b4 15b sunt numere pare, rezult 29c este par, 2p c fiind prim, de unde c = 2. 2p

Dup nlocuire i cu prima relaie se obine 2280 + 9b + 58 = b4 sau b(b3 9) = 2338. 1p b | 2338 = 2 7 167. Singura valoare b, numr prim, care verific este b = 7. 1p Numerele sunt: a = 373, b = 7, c = 2. 1p

SUBIECTUL 3

a) Aflai msura unui unghi, tiind c msura complementului su este cu 550 mai mic dect dou treimi din msura suplementului su.

b) Unghiurile AOB i BOC sunt neadiacente suplementare. Aflai msurile lor, tiind c bisectoarea unghiului BOC formeaz cu [OA un unghi avnd msura cu 50 mai mare dect msura unghiului BOC.

a)

Dac c reprezint msura complementului i s msura suplementului unui unghi, atunci

c = s 900 i c = 2

3s 550.

1p

Se obine ecuaia: s 900 = 2

3s 550, 1p

de unde 1

3s = 350. Rezult s = 1050 i de aici msura unghiului este de 1800 1050 = 750. 1p

b)

Dac m(BOC) = 2x, rezult m(AOC) = x + 50 1p

i m(AOB) = 3x + 50. 1p

i cum m(AOB) + m(BOC) = 1800, rezult ecuaia 3x + 50 + 2x = 1800. 1p

Cu x = 350. i atunci m(AOB) = 1100 i m(BOC) = 700. 1p

SUBIECTUL 4 Triunghiurile isoscele ABC i DBC au aceeai baz [BC] i interioarele disjuncte.

Dac M(AB), N(AC), astfel nct AM = AN, iar MDBC = {E}, NDBC = {F}, demonstrai c ME = NF i FMNENM.

MBDNCD(LUL) BMECNF. 2p

MBECNF(ULU) ME = NF i BE = CF. 2p

MBFNCE(LUL) BMFCNE(1), 1p

dar din AM = AN, avem AMNANM(2). 1p

Din (1) i (2), rezult FMNENM. 1p

(Variant: MNENMF(LLL) FMNENM. Varianta este pentru ultimele 2p).

CLASA a VII-a

SUBIECTUL 1

Rezolvai ecuaia: 1

.1

x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 2012 x+ + + + + + ... + + =

2012 2 2 2012 3 3 2012 4 2012 2012 2013 2013

Ecuaia este echivalent cu:

x 1 1 1 1 1 1 1 x1 + + + ... + + + + ... + =

2012 2 3 2012 2 3 4 2013 2013 2p

x 1 1 1 1 1 1 x 11 + + + ... + + 1 + + + ... + = + 1

2012 2 3 2012 2 3 2012 2013 2013 1p

1

1 1 1 x x + 20121 + + + ... + =

2 3 2012 2012 2013 1p

1 1 1 2012x + 2012 1 + + + ... + = 0

2 3 2012 2013 1p

1 1 1 1x + 2012 + + ... + = 0

2 3 2012 2013 1p

Cum 1 1 1 1

+ + ... +2 3 2012 2013

> 0, rezult soluia ecuaiei este 2012. 1p

SUBIECTUL 2

a) Scriei numrul 1

2013 ca sum de dou fracii cu numrtorul 1 i numitori diferii.

b) Artai c numrul 1

2013 se scrie ca suma a 2013 fracii cu numrtorul 1 i numitori diferii.

VARIANTA 1 DE NOTARE: a)

1

2013=

1 1 1

2013 2014 2014 2p

.

1 1

2013 2014 2014 1p

b)

1

2013= ...

1 1 1 1 1 1 1

2013 2014 2014 2015 2015 4025 4025 2p

... .

1 1 1 1

2013 2014 2014 2015 4024 4025 4025 2p


a)

Scrie ecuaia: 1

2013 =

1 1

x y n * i exprim o necunoscut n funcie de cealalt. 1p

Obinerea unei soluii. 2p b)

...

1 1 1 2012

1 2 2 3 2012 2013 2013, rezult 1p

...

1 1 1 1

1 2 2012 2 3 2012 2012 2013 2012 2013 2p

Fiind numai 2012 fracii, de mai scrie prima ca suma a dou:

1 1 1

4024 4024 4025 4025 1p

SUBIECTUL 3

n rombul ABCD, m() = 600, M i N sunt mijloacele laturilor [AB], respectiv [BC]. Dac ANBD={P} i

ANDM={Q}, artai c rapoartele P Q

P N i

D Q

D M au aceeai valoare i s se determine aceast valoare.


Triunghiurile ABD i BCD sunt echilaterale, [DP este bisectoare n DNQ i atunci

P Q D Q D Q

P N D N D M.

3p

Fie {R} = ANDC. NC || AD i NC = A D

2, rezult DR = 2 CD = 4 MA 1p

i atunci din QMA QDR(AM || DR), rezult D Q D R 4M A

4M Q M A M A

, 2p

de aici D Q 4

D M 5. 1p


Triunghiurile ABD i BCD sunt echilaterale, [DP este bisectoare n DNQ i atunci

P Q D Q D Q

P N D N D M.

3p

Pentru calculul valorii se poate utiliza i c P este centru de greutate n ABC. 1

P N = A P2

1p

i cu teorema bisectoarei P Q D P D P 2

A Q A D B D 3(deoarece

D P A D2

B P B N), 1p

de unde P Q 2

A P 5 sau

2P Q = A P

5. 1p

i atunci P Q 2 4

2P N 5 5

. 1p

SUBIECTUL 4

n triunghiul ABC, m() = 1200, AB = 42 cm, AC = 56 cm, iar [AD este bisectoare, D(BC). Aflai lungimea segmentului [AD]. VARIANTA 1 DE NOTARE:

Fie DE || AB, E(AC), DF || AC, F(AB). 2p Patrulaterul AEDF este romb. 1p

D E D C

A B B C,

D F B D

A C B C, d 1

D E D F

A B A C, (sau

A E B D

A C B C,

A F D C

A B B C) 2p

cum DE = DF = AD, se obine 1

1 1A D +

42 56, 1p

de unde AD = 24 cm. 1p


Fie BM || AD, MAC i CN || AD, NAB. 2p Triunghiurile ABM i ACN sunt echilaterale de laturi 42, respectiv 56. 1p

A D D C

B M B C i

A D B D

C N B C, 1p

rezult 1 A D A D

B M C N 2p

i 1 A D A D

42 56, de unde AD = 24 cm.

1p

CLASA a VIII-a SUBIECTUL 1

Rezolvai n numere ntregi ecuaia:

2 2 2 2

1 1 1+ = .

2x + y + x + y x + y x + y

2 2 22 2 2 2

2 x + y1 1 2x + 2y 1 1+ = = = + .

2xy x yx + y x + yx + y + x + y x + y x + y

2p

i atunci ecuaia devine: 1 1 1

+x y 2

; x i y numere ntregi nenule. 1p

2

2

yx

y

i atunci 1p

42

2x

y

1p

de unde y + 2{ 1; 2; 4 }. 1p Se obine mulimea soluiilor: S = { (6, 3); (3, 6); (4, 4); (1, 2); (2, 1) }. 1p SUBIECTUL 2

Fie ab>0, ma, mg media aritmetic, respectiv media geometric a numerelor a i b, atunci ga

g a

mm a b+ + .

m m b a

Dac se noteaz a

g

m= x

m 1p

i avnd 2

22 2

a

2

g

a + b 2ab 4ma b a + b2

b a ab ab m

2p

se obine inegalitatea: 21

x + 4x 2x

. 1p

Aceast inegalitate devine: 4x3 x2 2x 1 0 1p sau (x 1)(4x2 + 3x + 1) 0, inegalitate adevrat, deoarece x 1 i 4x2 + 3x + 1 > 0. 2p SUBIECTUL 3 Se consider cubul ABCDABCD i M, N, P, Q mijloacele segmentelor [BC], [AA], [DD], [BC].

a) Aflai msura unghiului dintre DQ i AB. b) Demonstrai c planele (DNQ) i (AMP) sunt paralele, iar dac lungimea muchiei cubului este de

12 cm, determinai distana dintre ele.

a) AB || DC, rezult m((DQ, AB)) = m((DQ, DC)). 1p BDC fiind echilateral i Q mijlocul lui [BC], rezult m((DQ, AB))= 300. 2p b) AM || NQ, AP || ND i AMAP = {A}, rezult (AMP) || (DNQ). 1p Distana dintre plane este egal cu distana oricrui punct dintr-un plan la cellalt plan.

1p

S lum d(N, (AMP)). Avem: AAMP d(N, (AMP)) = AANP d(M, (ANP)). 1p

AMP este isoscel de laturi 6 5 , 6 5 , 6 6 , se obine AAMP=18 21 .

1 8 21 d(N, (AMP)) = 36 12, de unde d(N, (AMP)) = 8 21

7. 1p

SUBIECTUL 4 n prisma triunghiular regulat ABCABC, M este mijlocul segmentului [AB], AB = AA = 12 cm.

a) Aflai distana de la punctul B la dreapta de intersecie a planelor (AMC) i (ABC).

b) Dac {N} = BB(AMC) i {P} = BC(AMC), determinai aria triunghiului ANP.

a) AMBB={N}, unde BN=24 cm, NCBC={P}, unde BP=24 cm. 1p n APC, m(C)=1200 i AC=PC, rezult m(A) = 300 i atunci m(BAP)=900.

1p

Cum AP este dreapta de intersecie a planelor, cu teorema celor trei perpendiculare, rezult c BA reprezint distana de la B la AP.

BA=12 2 cm. (Sau calculnd laturile BAP).

1p

b) NB(ABC), BAAP, BA, AP(ABC), rezult NAAP i atunci ANP este dreptunghic n A. (Sau calculnd laturile ANP).

1p

AN= 2 2 2 2AB BN 12 + 24 12 5 ,

AP= 2 2 2 2BP AB 24 12 12 3 2p

AANP = 72 15 . 1p

INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN DMBOVIA

OLIMPIADA DE MATEMATIC ETAPA LOCAL 9.02.2013

CLASA a V-a

SUBIECTUL 1

Comparai numerele: x = 2222 + 2202 i y = 2221 + 2220 + 2212.

RMT 4/2008

SUBIECTUL 2 Fie numrul A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 2511.

a) Artai c numrul A + 1 este divizibil cu 512. b) Aflai restul mpririi numrului A 1 la 512.

SUBIECTUL 3

a) Dai un exemplu de triplet (a, b, c), unde a, b, c i ( a + b + c ):3 sunt patru ptrate

perfecte diferite. b) Artai c exist o infinitate de triplete (a, b, c), unde a, b, c i ( a + b + c ):3 sunt patru

ptrate perfecte diferite. SUBIECTUL 4

a) Aflai numerele de forma abc , tiind c abc mprit la b c d ctul 3 i restul 4.

b) Aflai numerele de forma abcd , tiind c abcd mprit la b cd d ctul 33 i restul 32.

NOT: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. Timp de lucru: 3 ore.



CLASA a VI-a

SUBIECTUL 1 Determinai cel mai mic numr natural n, de patru cifre, tiind c n 19 este divizibil cu 28 i n 31 este divizibil cu 36.

SUBIECTUL 2

Aflai numerele prime a, b, c, tiind c a + b = 380 i 6a + 15b + 29c = b4.

SUBIECTUL 3

a) Aflai msura unui unghi, tiind c msura complementului su este cu 550 mai mic

dect dou treimi din msura suplementului su. b) Unghiurile AOB i BOC sunt neadiacente suplementare. Aflai msurile lor, tiind c

bisectoarea unghiului BOC formeaz cu [OA un unghi avnd msura cu 50 mai mare dect msura unghiului BOC.

SUBIECTUL 4

Triunghiurile isoscele ABC i DBC au aceeai baz [BC] i interioarele disjuncte.

Dac M(AB), N(AC), astfel nct AM = AN, iar MDBC = {E}, NDBC = {F}, demonstrai c ME = NF i FMNENM.




CLASA a VII-a

SUBIECTUL 1

Rezolvai ecuaia: 1

.1

x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 2012 x+ + + + + + ... + + =

2012 2 2 2012 3 3 2012 4 2012 2012 2013 2013

RMT 1/2009(ENUN ACTUALIZAT) SUBIECTUL 2

a) Scriei numrul 1

2013 ca sum de dou fracii cu numrtorul 1 i numitori diferii.

b) Artai c numrul 1

2013 se scrie ca suma a 2013 fracii cu numrtorul 1 i

numitori diferii.

SUBIECTUL 3

n rombul ABCD, m() = 600, M i N sunt mijloacele laturilor [AB], respectiv [BC]. Dac

ANBD={P} i ANDM={Q}, artai c rapoartele P QP N

i D Q

D M au aceeai valoare i s se

determine aceast valoare.

SUBIECTUL 4

n triunghiul ABC, m() = 1200, AB = 42 cm, AC = 56 cm, iar [AD este bisectoare, D(BC). Aflai lungimea segmentului [AD].




CLASA a VIII-a

SUBIECTUL 1

Rezolvai n numere ntregi ecuaia:

2 2 2 2

1 1 1+ = .

2x + y + x + y x + y x + y

RMT 4/2009 SUBIECTUL 2 Fie ab>0, ma, mg media aritmetic, respectiv media geometric a numerelor a i b, atunci

ga

g a

mm a b+ + .

m m b a

RMT 4/2010

SUBIECTUL 3 Se consider cubul ABCDABCD i M, N, P, Q mijloacele segmentelor [BC], [AA], [DD], [BC].

a) Aflai msura unghiului dintre DQ i AB. b) Demonstrai c planele (DNQ) i (AMP) sunt paralele, iar dac lungimea muchiei

cubului este de 12 cm, determinai distana dintre ele.

SUBIECTUL 4 n prisma triunghiular regulat ABCABC, M este mijlocul segmentului [AB], AB=AA=12 cm.

a) Aflai distana de la punctul B la dreapta de intersecie a planelor (AMC) i (ABC).

b) Dac {N} = BB(AMC) i {P} = BC(AMC), determinai aria triunghiului ANP.


2013_Matematica_Locala (Dambovita)_Clasele V-VIII_Bareme2013_Matematica_Locala (Dambovita)_Clasele V-VIII_Subiecte

Documents

2013 Matematica Locala Dambovita Clasele Vviii Subiecte Si Bareme