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八年级期末 数学试卷 第 1页（共 12页）
北京市西城区 2018— 2019 学年度第一学期期末试卷
八年级数学 2019.1
试卷满分：100 分，考试时间：100 分钟
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是．．轴对称的是
（A） （B） （C） （D）
2．500 米口径球面射电望远镜，简称 FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国
天眼”． 2018年 4 月 18日， FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲
星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科
学记数法表示应为
（A）0.519×10-2 （B）5.19×10-3 （C）51.9×10-4 （D）519×10-6
3．在△ABC中，AB=3，AC=5，第三边 BC的取值范围是
（A）10＜BC＜13 （B） 4＜BC＜12（C）3＜BC＜8 （D） 2＜BC＜8
4．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 等于
（A）360° （B）540°
（C）720° （D）900°
5．对于一次函数 y＝（k -3）x＋2，y随 x的增大而增大，k的取值范围是
（A）k＜0 （B） k＞0 （C）k＜3 （D） k＞3
6．下列各式中，正确的是（ ）．
（A） 224 2ab ba c c
（B）1a b b
ab b
（C） 23 19 3
xx x
（D）2 2x y x y
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7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是
图 1（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁
8．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90 km，
汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小
时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是
（A）75 90 1
1.8 2x x （B）
75 90 11.8 2x x
（C）75 90 11.8 2x x
（D）75 90 11.8 2x x
9．如图，△ABC是等边三角形，AD是 BC边上的高，E是 AC的中点，P是
AD上的一个动点，当 PC与 PE的和最小时，∠CPE的度数是
（A）30° （B）45°
（C）60° （D）90°
10. 如图，线段 AB=6cm，动点 P以 2cm/s的速度从 A---B---A在线
段 AB上运动，到达点 A后，停止运动；动点 Q以 1cm/s的速度从
B---A在线段 AB上运动，到达点 A后，停止运动．若动点 P，Q同
时出发，设点 Q的运动时间是 t（单位：s）时，两个动点之间的距
离为 s（单位：cm），则能表示 s与 t的函数关系的是
（A） （B） （C） （D）
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二、填空题（本题共 18 分，第 11～16 题，每小题 2 分，第 17 题 3 分，第 18 题 3 分）
11．若分式11
xx
的值为 0，则 x的值为 ．
12．在平面直角坐标系 xOy中，点（1，-2）关于 x轴对称的点的坐标为 ．
13．计算 20 + 2-2 = ．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线 MN交 AC于点 D，
连接 BD．若 AC=7，BC=5，则△BDC的周长是 ．
15．如图，边长为 a cm的正方形，将它的边长增加 b cm，根据图形
写一个等式 ．
16．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E．
若 BC=6 cm，DE=2 cm，则△BCD的面积为 cm2．
第 16题图 第 17题图
17．如图，在平面直角坐标系 xOy中， 点 A的坐标为 （4，－3），且 OA=5，在 x轴上确定一点 P，使△AOP为等腰三角形．
（ 1 ） 写 出 一 个 符 合 题 意 的 点 P 的 坐
标 ；
（2）请在图中画出所有．．符合条件的△AOP．
18．（1） 如图1，∠MAB=30°，AB=2cm．点C在射线AM上，利
用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别
相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取
的BC的长约为 cm（精确到0.1cm）．
（2）∠MAB为锐．角．，AB=a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d， BC=x，若△ABC的形
状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
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三、解答题（本题共 30分，每小题 6分）
19．（1）分解因式 ( ) ( )x x a y a x （2）分解因式3 210 25x y x y xy
（1）解： （2）解：
20．计算2
2
1 2 4 41
x x xx x x x
解：
21．解方程6 1
3 3x
x x
解：
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22．如图，点 A,B,C, D在一条直线上，且 AB=CD，若∠1=∠2，EC=FB．求证：∠E=∠F.证明：
23．在平面直角坐标系 xOy中， 直线 l1: y=3x与直线 l2: y=kx+b交于点 A(a，3) ，点 B (2， 4) 在
直线 l 2 上．
（1）求 a的值；
（2）求直线 l2的解析式；
（3）直接写出关于 x的不等式 3x ＜ kx+b的解集．
解：（1）
（2）
（3）关于 x的不等式 3x ＜ kx+b的解集为_________________．
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四、解答题（本题共 12分，第 24题 7分，第 25题 5分）
24．在平面直角坐标系 xOy中，正方形 ABCD的两个顶点的坐标分别为 A(-2，0) ，D(-2，4) ，顶点
B在 x轴的正半轴上．
（1）写出点 B，C的坐标；
（2）直线 y=5x+5与 x轴交于点 E，与 y轴交于点 F．求△EFC的面积．
解：（1）点 B的坐标为 ，点 C的坐标为 ；
（2）
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25．阅读下列材料
下面是小明同学“作一个角等于 60°的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段 AB（如图 1）．
求作：△ABC，使∠CAB=90°，∠ABC=60°．
作法：如图 2,
（1）分别以点 A ，点 B为圆心，AB 长为半径画弧，
两弧交于点 D，连接 BD；
（2）连接 BD并延长，使得 CD=BD；
（3）连接 AC ．
△ABC就是所求的直角三角形．
证明：连接 AD．
由作图可知，AD= BD = AB，CD=BD，
∴△ABD是等边三角形(等边三角形定义)．
∴ ∠1=∠B=60° (等边三角形每个内角都等于 60°) ．
∴ CD=AD．
∴ ∠2=∠C (等边对等角) ．
在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C=180° (三角形的内角和等于 180°) ．
∴ ∠2=∠C=30°．
∴ ∠1+∠2=90° (三角形的内角和等于 180°) ，即∠CAB=90°．
∴△ABC就是所求作的直角三角形．
请你参考小明同学解决问题的方式，利用图 3 再设计一种“作一个角等于 60°的直角三角
形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．
作法：
图 3证明：
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五、解答题（本题 8分）
26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为 AC的中点，连接 DE并延
长交 BC于点 F，连接 BD．
（1）如图 1，若∠BAC=100°，求∠BDF的度数；
（2）如图 2，∠ACB的平分线交 AB于点 M，交 EF于点 N，连接 BN．
①补全图 2；
②若 BN=DN，求证：MB=MN．
图 1 图 2
（1）解：
（2）① 补全图形；
② 证明：
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北京市西城区 2018— 2019 学年度第一学期期末试卷
八年级数学参考答案及评分标准 2019.1
一、选择题（本题 30 分，每小题 3 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B D B D C C A C D二、填空题（本题共 18 分，第 11～16 题每小题 2 分，第 17，18 题每小题 3 分）
题号 11 12 13 14 15 16
答案 1 （1， 2）114
12 a2 + 2ab + b2= ( a + b ) 2 6
题号 17 18
答案
（1）答案不唯一，如：（-5，0）；（2）如图，
(1) 答案不唯一，如：
BC=1.2cm；
(2) x=d或 x≥a．
三、解答题（本题共 30分，每小题 6分）
19．（1）解： ( ) ( )x x a y a x
= ( ) ( )x x a y x a
= ( )( )x a x y ··················································································· 3分
（2）解：3 210 25x y x y xy
= 2( 10 25)xy x x
= 2( 5)xy x ························································································ 3分
20． 解：2
2
1 2 4 41
x x xx x x x
= 2
1 2 ( 1)( 1) ( 2)x x
x x x x
=1 1
( 2)x x x
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=2 1
( 2) ( 2)xx x x x
=1
( 2)x
x x
·······························································································6分
21．解：方程两边乘 (x - 3)(x + 3)，得 x(x+3) + 6 (x -3)= x2 -9．
解得 x = 1 ．
检验：当 x = 1 时，(x - 3)(x + 3)≠0．
所以，原分式方程的解为 x =1 ．································································· 6分
22．证明：∵ ∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°．
又 ∵ ∠1=∠2，
∴ ∠3=∠4，
∵ AB = CD，
∴ AB + BC = CD + BC
即 AC = DB．····························· 3分
在△ACE和△DBF中，
∵
,4 3,
,
AC DB
EC FB
∴ △ACE≌△DBF． ···············································································5分
∴ ∠E=∠F．·························································································6分
23．解：（1）直线 l1: y=3x与直线 l2: y=kx+b交于点 A(a，3) ，
所以 3a =3．
解得 a =1．
（2）由（1）点 A(1，3) ，
直线 l2: y=kx+b过点 A(1，3) ，
点 B (2， 4) ，
所以3,
2 4.k bk b
．
解方程组得1,2.
kb
直线 l2的解析式为 y=x+2． ···········4分
（3）x＜1．
············································································································· 6分
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四、解答题（本题共 12分，第 24题 8，第 25题 6分）
24．解：（1）点 B的坐标为 (2，0) ，点 C的坐标(2，4)；····································· 2分
直线 EC的解析式为4 43 3
y x ，
（2）直线 y=5x+5与 x轴交于点 E (-1，0) ，与 y轴交于点 F(0，5) ．·················· 4分
直线 EC的解析式为4 43 3
y x ，
EC与 y轴交于点 H（0， 43），
所以 FH= 113．
所以 S△EFC=1 ( )2 E CEH x x = 11
2．························································ 8分
25．（本题 5分）
本题答案不唯一，如：
作法：如图 3,
（1）延长 BA至 B’，使得 AB’=AB；
（2）分别以点 B ，点 B’ 为圆心，BB’长为半径画弧，
两弧交于点 C；
（3）连接 AC，BC．
△ABC就是所求的直角三角形．······················· 1分
证明:连接 B’C．由作图可知， BC= BB’ = B’C，AB’=AB，
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义)．
∴ ∠B=60° (等边三角形每个内角都等于 60°) ．
∴ AC⊥BB’于点 E (等边三角形一边上的中线与这边上的高相互重合) ．
∴ △ABC就是所求作的直角三角形．······················································· 6分
四、解答题（本题共 8分）
26．（1）解： 在等边三角形△ACD中，
∠CAD =∠ADC =60°，AD＝AC．
∵ E为 AC的中点，
∴∠ADE= 12∠ADC＝30°．····························································· 2分
∵ AB＝AC，
∴ AD＝AB．
∵ ∠BAD=∠BAC+∠CAD＝160°．
八年级期末 数学试卷 第 12页（共 12页）
∴ ∠ADB=∠ABD＝10°．
∴ ∠BDF=∠ADF -∠ADB＝20°．··················································4分
（2）①补全图形，如图所示．················································································ 5分
②证明：连接 AN．
∵ CM平分∠ACB，
∴ 设 ∠ACM=∠BCM=α．
∵ AB＝AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=2α．
在等边三角形△ACD中，
∵ E为 AC的中点，
∴DN⊥AC．
∴ NA=NC．
∴ ∠NAC=∠NCA=α．
∴ ∠DAN=60° + α．
在△ABN和△ADN中，
∵
,,,
AB ADBN DNAN AN
∴ △ABN≌△ADN．
∴ ∠ABN=∠ADN＝30°，∠BAN=∠DAN＝60° + α．
∴ ∠BAC＝60° + 2α．
在△ABC中，∠BAC+∠ACB +∠ABC＝180°，
∴ 60° + 2α + 2α +2α =180°．
∴α =20°．
∴ ∠NBC=∠ABC-∠ABN= 10°．
∴ ∠MNB=∠NBC+ ∠NCB=30°．
∴ ∠MNB=∠MBN．
∴ MB=MN．························································································ 8分
