20.predavanje

8/19/2019 20.predavanje

1/26

1

14. Neprekidno vrijeme:diferencijalne jednačine I reda

.. /

) / (

:

)()(

)()(

0)()(

:.

:

,

pr razd nasesvodeu x ysmjenom

x y f y

ne j Homogene

dt t gdy y f

dt t gdy y f

dt t gdy y f

promj Razdvojene

CIJA REKAPITULA

=

=

−

−=⇒−=

⇒=+

∫∫


2/26

2

14.1 Diferencijalne jednačine (linearne)

prvog reda sa konstantnim koeficijentom ikonstantnim članom

• Homogeni slučaj

• Nehomogeni slučaj• Provjera rešenja

)()( t w yt udt dy =+


3/26

3

Nehomogeni slučaj

(*)baydt

dy

=+

at

c Aet y −=)(

ab Ae y yt y at pc +=+= −)( Opšte rešenje

Partikularno rešenje

a

bt y p =)(

a

be

a

b yt y

at +−= −))0(()(


4/26

4

Homogeni slučaj

adt y

dy

−=0=+ aydt

dy

at Aet y

−=)(

at

e yt y −

= )0()(

Opšte rešenje

Partikularno rešenje


5/26

5

Provjera rešenja

bbtj

babe

ab yae

ab ya

slajdasauemuvrštavanjto

ea

b ya

dt

dy jeKako

at at

at

=

=+

−+

−−

−−=

−−

−

.

))0()0(

9(*)

,)0(


6/26

6

14.2 Dinamika tržišne cijene• Okvir modela

• Vremenska putanja• Dinamička stabilnost ravnoteže


7/26

7

Okvir modela

cijenaravnotezna

)0,(

)0,(

δ β

γ α δ γ δ γ

β β

+

+=

>+−=

>−=

P

PQ

PQ

s

d


8/26

8

Vremenska putanja

[ ] PePP

ePt P

jP jdt

dP

P j jPP jdt

dP

jQQ j

dt

dP

kt

t j

sd

+−=

+++

+

+−=

+=++

+−+=−+−=

>−=

−

+−

)0(

)0()(

)()(

tj.,)()()(

)0( )(

)(

δ β γ α

δ β γ α

γ α δ β

δ β γ α δ γ β α

δ β


9/26

9

Dinamička stabilnost ravnoteže

O

P(t): slučaj P(0)>P _

P _

P(0)

P(0)

P(t)

P(t): slučaj P(0)


10/26

10

14.3 Promjenljivi koeficijent i

promjenljivi član

• Homogeni slučaj• Nehomogeni slučaj

)()( t w yt udt dy =+


11/26

11

Homogeni slučaj

dt t u y

dy

)(−=0)( =+ yt udt

dy

:(**).hom

,

...(**)

),(.var

)()(ln)(

ednač o enener ešen e

dobijamrješavanjeseč ijimvim promjenlji

razdvsa jedndifer sedobijauemuvrštavanj

t A ju f u Akonst ijacije Metodom

dt t udt t uc y Aeeeet y

−

∫=∫== −−−


12/26

12

Nehomogeni slučaj

∫+∫= ∫−

dt ew Aet y dt t uudt )(

)(


13/26

13

15. DIFERENCIJALNE

JEDNAČINE VIŠEG REDA

• Razmatraćemo samo linearne diferencij.

jednačine drugog reda (LDJ II reda) sakonstantnim koeficijentima


14/26

14

Linearne diferencijalne jednačine

drugog reda sa konstantnimkoeficijentima• Linearna diferencijalna jednačina drugog

reday" + P(x)y' + Q(x)y = f(x)

• Ako su P(x) i Q(x) konstante (tj. P(x) = a iQ(x) = b) , tada jey" + ay' + by = f(x)

• Linearna diferencijalna jednačina drugogreda sa konstantnim koeficijentima


15/26

15

Rešenje diferencijalne jednačine

drugog reda sa konstantnimkoeficijentima

Zamjenom funkcije y = ekx, k∈R, uhomogenoj jednačini dobija se

ekx(k2 + a k + b ) = 0koja ima rješenje ako i samo ako je

k2 + a k + b = 0-karakteristična jednačina


16/26

16

Rešenje homogene diferencijalne jednačine

drugog reda sa konstantnim koeficijentima• Zavisno od diskriminante d = a2 - 4b imamo tri slučaja:

• d > 0. Jednačina ima dva realna i različita korijena k1 ik2, pa su funkcije ii rješenja jednačine.Otuda je opšte rješenje jednačine funkcija

y e k x11=

xk e y 22 =

xk xk ecec y 21 21 +=

Primjer: y’’-5y’+6y=0 (k1=2,k2=3)


17/26

17

• d = 0. U ovom slučaju je k 1=k

2 =-1/2a i

jedino rješenje jednačine je funkcijaax

e y 21

1

−

=

Zamjenom funkcije y xeax

2

12=

−

i njenih izvoda u jednačini zaključujemo

da je i ta funkcija jedno rješenje, pa jeopšte rešenje homogene jednačine

y c e c xe

ax ax

= +

− −

1

1

22

1

2

Pr. y’’-4y’+4y=0 (k1=k2=2)


18/26

18

• d < 0. Korijeni karakteristične jednačine uovom slučaju su konjugovano -kompleksni brojevi

k i k i a b a1 2 212

12

4= − = + = − = −α β α β α β, , ,

y e xx1 = α βcos

y e xx2 = α βsin

( )y e c x c xx= +α β β1 2

cos sin

Provjerom se utvrđuje da su

i rešenja, pa je opšterešenje

Pr. y’’+2y’+2y=0 (α=-1, β=1)


19/26

19

Nehomogena jednačina• Ako je yh rešenje homogene, a yp jedno

partikularno rešenje nehomogenediferencijalne jednačine, tada je opšterešenje yo=yh+yp

• Partikularno rešenje se može tražiti npr.metodom varijacije konstanti ili metodom

pogađanja (za određene tipove f(x))Pr. y’’=2, y=c1+c2x+x2


20/26

20

Diskretno vrijeme: diferencne

jednačine∆f(x) = f(x + 1) - f(x). Prva razlika

• ∆ 2f(x) = ∆(∆ f(x)) = ∆[f(x+1) - f(x)] =f(x+2) - f(x+1) - [f(x+1) - f(x)]=

=f(x+2) - 2f(x+1) + f(x). Druga razlika.• Slično n-ta razlika• Uvedemo li oznaku f(x) = yx, biće

• f(x+ i) = yx+i, i = 1,2,...,n i ∆yx = yx+1 - yx,odakle je

• yx+1 = yx + ∆yx


21/26

21

• Svaka vrijednost yx+i, i = 1,2,...,n se takođe

može izraziti preko vrijednosti funkcije injenih razlika u tački:

• ∆yx+1 = yx+2 - yx+1 ⇒ yx+2 = yx+1 + ∆yx+1 ==yx + ∆yx + ∆yx+1• Druga razlika funkcije yx u tački x je• ∆2yx = ∆(∆yx) = ∆(yx+1 - yx) =yx+2 - yx+1 - yx+1 + yx = ∆yx+1 - ∆yx, tj.

• ∆yx+1 = ∆2yx + ∆yx. Otuda• yx+2 = yx + 2∆yx + ∆2yx


22/26

22

• Prema tome svaku jednačinu oblikag(x, yx, yx+1, ..., yx+n) = 0

• možemo zamijeniti jednačinom oblika

g(x, yx, ∆yx, ..., ∆n

yx) = 0.• Gornju jednačinu zovemo diferencnomjednačinom

• Riješiti diferencnu jednač

inu znači naćifunkciju f(x) = yx koja zadovoljava tu jednačinu,tj. čijom zamjenom i zamjenom njenih razlikadata jednačina prelazi u identitet. I ova

jednačina ima opšta i partikularna rješenjazavisno od toga da li sadrži proizvoljnekonstante ili ih ne sadrži.


23/26

23

diferencne jednačine prvog reda•Diferencnu jednačinu oblika

yx+1 - ayx = f(x) gdje je a konstanta zovemolinearnom diferencnom jednačinom Ireda (sa konstantnim koeficijentima)

Tvrđenje: Ako je yx = y(x) partikularnorješenje linearne jednačine i y(x,c) opšterješenje odgovarajuće homogene jednačine,onda je y(x) + y(x,c) opšte rješenje linearne jednačine.


24/26

24

•Jednačina

yx+1 - ayx = 0 ima rešenje yx = ax, pa nehomogena jednačina yx+1 - ayx = b ima rešenje

yb

a

caxx=

−

+

1Pr. yx+1+yx=1, (a=-1, b=1)


25/26

25

Diferencne jednačine drugog reda

• Diferencnu jednačinu oblika

ayx+2 + byx+1 + cyx = 0

zovemo homogenom linearnom diferencnom

jednačinom II reda (sa konstantnim

koeficijentima)

• Smjenom yx = λ x dobija se karakteristična

jednačina aλ 2 + bλ + c = 0 .


26/26

26

• Neka su λ 1, λ 2 rješenja ove kvadratne

jednačine. Tada diferencna jednačina ima

rješenje:

za D = b2

- 4ac > 0,za D = 0, (ovdje je λ 1= λ 2 ).

za D < 0,

gdje je λ 1/2 = ρ(cosθx±i⋅ sin θx)

(za kompleksan broj z = a + bi,

i tgθ = b/a).

x x

x C C y 2211 λ λ +=y C C xx

x x= +1 1 2 1λ λ

( )y C x C xxx= +ρ θ θ1 2cos sin

ρ = +a b2 2

Pr. Koji je opšti član niza kod kojeg je svaki naredni član poluzbir prethodna dva?

yn=(yn-1+yn-2)/2, λ1=1, λ2=-1/2

Documents

20.predavanje