1

REALNA FUNKCIJA VIŠE NEZAVISNO PROMJENLJIVIH

Opšti oblik (eksplicitni) glasi:y = f(x1,x2,...,xn), (x1,...,xn) ∈ D ⊂ Rn.

Za n = 2, tj. za slučaj realne funkcije od dvije nezavisnopromjenljive, obično koristimo oznake x i y za nezavisnopromjenljive i z za odgovarajuću vrijednost funkcije i pišemo:

z = f(x,y).

2

( ) ( )x

yxfyxxf

x

z

x

zzyxf

xxxx

∆

−∆+=

∆

∆==′=′

→∆→∆

,,limlim ),(

00∂

∂

( ) ( ) ( )y

yxfyyxf

y

zzyxf

yyy

∆

−∆+==′=′

→∆

,,lim,

0∂

∂

.

Pretpostavimo da je argument y konstanta, funkciju z = f(x,y) možemo smatrati funkcijom jednog argumenta - x - i ispitivatipostojanje granične vrijednosti

PARCIJALNI IZVODI

3

′ =z exy

′ =z xeyy

′ =z x 0 ′ =z yy 2

′ =z x 0 ′ =z y 6

�Primjer 1. Prvi parcijalni izvodi funkcije z = xey su:

�Primjer 2. Prvi parcijalni izvodi funkcije z = y2, su

Npr. u tački, (2,3) su:

4

( )E pp

x

x

p1 11

1

1

1

= ⋅∂

∂

( )E pp

x

x

p1 22

1

1

2

= ⋅∂

∂

�Primjer 3. Neka je p1 cijena proizvoda A, p2 - cijenaproizvoda B, x1 i x2 odgovarajuće tražnje i neka tražnjaproizvoda A zavisi od cijene p2 proizvoda B i obrnuto, tj. x1 = f1(p1,p2) i x2 = f2(p1,p2). Tada se elastičnost tražnje x1 u odnosu na cijenu p1 zove parcijalna elastičnost:

Elastičnost (ukrštena) tražnje x1 u odnosu na cijenu p2 je.

5

( )E pp

x

x

p2 11

2

2

1

= ⋅∂

∂( )E p

p

x

x

p2 22

2

2

2

= ⋅∂

∂

Analogno:

Parcijalna elastičnost E1(p1) približno predstavlja procenatrasta (smanjenja) tražnje proizvoda A, ako se njegovacijena poveća za 1%, a cijena p2 proizvoda B ostane ista. Parcijalna elastičnost E2(p1) predstavlja (približno) procenat rasta (smanjenja) tražnje drugog proizvoda ako je njegova cijena nepromijenjena, a cijena proizvoda A se poveća za 1%.

6

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂

2

2

2 2 2

2

z

x

z

x y

z

y x

z

y, , ,

yyyxxyxx zzzz ′′′′′′′′ ,,, ili

U opštem slučaju prvi parcijalni izvodi funkcije z = f(x,y) su takođe funkcije istih argumenata, pa ima smislagovoriti o eventualnom postojanju njihovih parcijalnihizvoda. Ukoliko postoje, te izvode zovemo drugim

parcijalnim izvodima funkcije z = f(x,y) i označavamosa

DRUGI PARCIJALNI IZVODI

7

′ = +z x yx 2 3 ′ = − +z y xy 4 3

′′ =z xx 2 ′′ =z xy 3 ′′ =z yx 3 ′′ = −z yy 4

mješoviti. sezovu yxxy ziz ′′′′

�Primjer 4. Prvi parcijalni izvodi funkcije z = x2 - 2y2 + 3xy su

Drugi parcijalni izvodi date funkcije su prvi parcijalnihizvodi prvih parcijalnih izvoda:

Drugi parcijalni izvodi

•Mješoviti izvodi, ako su neprekidni, su jednaki

8

TOTALNI DIFERENCIJAL

dzz

xdx

z

ydy= +

∂

∂

∂

∂

d z d dzz

xdx

z

ydy

z

x ydxdy2

2

2

22

2

22

2= = + +( )∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

Ako je z = f(x,y) funkcija sa neprekidnim parcijalnimizvodima, definišemo njen totalni diferencijal dz kao izraz

gdje su dx i dy diferencijali argumenata x i y.Drugi totalni diferencijal d2z je izraz

.

9

EKSTREMNE VRIJEDNOSTI

Za funkciju z = f(x,y) kažemo da u tački (a,b) imamaksimum ako je f(x,y) < f(a,b) za svaku tačku (x,y)≠(a,b) iz neke okoline tačke (a,b). Ako je, f(x,y) > f(a,b), kažemo da u tački (a,b) funkcijaz = f(x,y) ima minimum.Ako u tački (a,b) funkcija z = f(x,y) ima maksimum(minimum), onda se vrijednost f(a,b) zove maksimum

(minimum) funkcije. Minimum i maksimum se zovu i ekstremne vrijednosti.

10

′ =f a bx ( , ) 0 ′ =f a by ( , ) 0

Neophodan uslov da diferencijabilna funkcija z = f(x,y) u tački (a,b) ima ekstremnu vrijednost je

Tačke u kojima su parcijalni izvodi jednaki nuli zovu se stacionarne (kritične) tačke diferencijabilne funkcije.

Primjer 1. Stacionarne tačke funkcije z = 2x + 8y - x2 - 2y2

su rješenja sistema jednačina2 - 2x = 08 - 4y = 0

tj. data funkcija ima jednu stacionarnu tačku (1,2).

11

( )W a b z z zxx yy xy( , ) = ′′ ⋅ ′′ − ′′2

′′ <z xx 0 ′′ <z yy 0

′′ >z xx 0 ′′ >z yy 0

Dovoljan uslov (bez dokaza) da u stacionarnoj tački (a,b) funkcija z = f(x,y) ima ekstremum da izraz

bude pozitivan. Ako je, pritom,

(tada je i ) funkcija ima maksimum, ako je

(tada je i

Ako je W(a,b) < 0, funkcija nema ekstremum, a ako je W(a,b) = 0 pitanje ostaje otvoreno.Izraz W(x,y) zove se diskriminanta funkcije z = f(x,y).

) - minimum.

12

′ =z x 0′ =z y 0

′′ =z xxx 6 ′′ = −z xy 9 ′′ =z yyy 6

018 >=′′xxz

�Primjer 2. Odrediti ekstremne vrijednosti funkcijez = x3 + y3 - 9xy.Rješenje: Stacionarne tačke date funkcije su tačke (3,3) i (0,0) - rješenja sistema jednačina

tj. sistema 3x2 - 9y = 0, 3y2 - 9x = 0. Drugi parcijalni izvodi su

Kako je W(3,3) = 18⋅18 - 81 > 0, to u tački (3,3) funkcijaima ekstremum. Još je

pa je taj ekstremum minimum: zmin = z(3,3) = -27. U tački(0,0) je W(0,0) = 0⋅0 - 81 < 0, tj. u tački (0,0) data funkcijanema ekstremum.

13

Ako promjenljive x i y nijesu međusobno nezavisne nego suvezane nekom relacijom g(x,y) = 0 onda ekstremnuvrijednost funkcije z = f(x,y) zovemo uslovni (relativni) ekstremum. Rješavanjem jednačine g(x,y) = 0 po x ili po y, ako je to moguće, određivanje relativnog ekstremuma se svodi na određivanje ekstremuma funkcije jednogargumenta. Ako, pak, iz jednačine g(x,y) = 0 ni jednu odnepoznatih ne možemo izraziti u eksplicitnom obliku, relativni ekstremum određujemo kao ekstremum tzv. Lagranžove funkcije F(x,y) = f(x,y) + λg(x,y),gdje je λ parametar koji treba odrediti.

14

0),(

0

0

=

=′

=′

yxg

F

F

y

x

∂

∂

∂

∂

g

xdx

g

ydy+ = 0

∂

∂

∂

∂

g

xdx

g

ydy+ = 0

Potreban uslov: Stacionarne tačke određujemo iz sistemajednačina

Dovoljan uslov: Ako je drugi totalni diferencijal d2F u stacionarnoj tački (a,b,λ), uz uslov

pozitivan, funkcija u toj tački dostiže uslovni maksimum, a ako je negativan uslovni minimum. Uslov

dobija se diferenciranjem uslova g(x,y) = 0.

15

λ1

5

2= x1

4

5= y1

3

5=

λ 2

5

2= − x 2

4

5= − y 2

3

5= −

�Primjer 3. Odrediti ekstremne vrijednosti funkcijez = 6 - 4x - 3y, ako je x2 + y2 = 1.Rješenje: Lagranžova funkcija u navedenom primjeru jeF(x,y) = 6 - 4x - 3y + λ(x2 + y2 - 1).Stacionarne tačke se dobijaju iz sistema-4 + 2λx = 0-3 + 2λy = 0x2 + y2 = 1Rješenja navedenog sistema jednačina su

16

( )d F dx dy2 2 24

5

3

5

5

25 0, ,

= + >

( )d F dx dy2 2 24

5

3

5

5

25 0− − −

= − + <, ,

4

5

3

5,

− −

4

5

3

5,

Kako je d2F = 2λdx2 + 2λdy2, to je

(pretpostavljamo da dx i dy nijesu istovremeno jednaki nuli)

⇒ ima uslovni minimum, zmin = 1, a u tački

Primjetimo da ovdje, u cilju određivanja znaka d2F, nije bilopotrebno diferencirati uslov.

⇒uslovni maksimum, zmax = 11.

17

11.6 Ekonomske primjene

• Problem višeproizvodnog preduzeća

• Diskriminacija cijena

18

Problem višeproizvodnog preduzeća

• Preduzeće proizvodi 2 proizvoda

• R = P10Q1 + P20Q2

• Funkcija troškova C = 2Q12 + Q1Q2+2Q2

2

• Profit: π = R – C = P10Q1 + P20Q2 – (2Q12 +

Q1Q2+ 2Q22)

19

Problem višeproizvodnog preduzeća

• π = R – C = P10Q1 + P20Q2 – 2Q12 – Q1Q2 –

2Q22

• π1 = ∂π/∂Q1 = P10 – 4Q1 – Q2= 0; π2 = ∂π/∂Q2= P20 – Q1 – 4Q2 = 0;

• Dobijen je sistem koji ima jedinstveno rešenje:

Q1=(4P10-P20)/15, Q2=(4P20-P10)/15

20

Diskriminacija cijena

• Razlika elastičnosti na različitim tržištima

• Maksimizacija profita zahtijeva diskriminaciju cijena

• R=R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)

•C=C(Q) Q=Q1+Q2+Q3

•π = R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)– C(Q)

•πi = R'i(Qi)– C'(Q) , i =1,2,3

•Nakon izjednačavanja sa 0: C '(Q)= R'i(Qi), i=1,2,3

iQ

Q

∂

∂

21

Diskriminacija cijena

)1

1()1(di

i

i

i

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

PP

Q

dQ

dPP

dQ

dPQ

dQ

dQP

dQ

dRMR

ε+=+=

+==

)1

1(di

ii PMRε

−=

)1

1()1

1()1

1(3

32

21

1

321

εεε−=−=−

⇒==

PPP

MRMRMR

dd

22

12.5 Maksimizacija korisnosti i potrošačeva tražnja

• 12.5-1 Uslov prvog reda

• 12.5-2 Uslov drugog reda

• 12.5-3 Komparativnostatička analiza

• 12.5-4 Proporcionalne promjene cijena idohotka

23

12.5-1 Uslov prvog reda

• U = U(x, y) (Ux, Uy > 0)• B = xPx + yPy

• Z = U (x, y) + λ(B - xPx - yPy)

Z U Px x x

= − =λ 0

Z U Py y y

= − =λ 0λ==

y

y

x

x

P

U

P

U

0=−−= yx yPxPZ βλ