2.3.- Essyestabilidad

1

RESPUESTA EN RÉGIMEN PERMANENTE. ESTABILIDAD

2.3

Competencias:Conocer el concepto de precisión, como capacidad del sistema realimentado para seguir las órdenes de mando que le son impuestas, en estado estacionarioClasificar los sistemas por su tipoEstudiar el error estacionario de un sistema ante una entrada escalón, rampa y parabólica en función del tipo del sistema.Determinar la estabilidad de un sistema representado como función de transferencia y espacio de estado

2

El estudio de la respuesta en régimen permanente es determinar el comportamiento del sistema cuando ha transcurrido un tiempo suficientemente largo después de aplicar una señal de entrada. Tal estudio es de interés ya que facilita información sobre la capacidad del sistema para seguir las señales de mando que le son impuestas a su entrada.Llamaremos precisión a la exactitud de un sistema en el seguimiento de una señal de entrada y está representada por su error en régimen permanente.

Idealmente, el deseo del diseñador sería que el sistema no presentase ningún error en régimen permanente a cualquier señal de entrada; sin embargo, en la realidad, cada sistema muestra una cierta incapacidad para seguir determinado tipo de entradas.

3

¿Para qué realimentamos un sistema?

Mejorar la estabilidad - conseguir un sistema estable a partir de uno inestable - mejorar la estabilidad

Precisión en régimen permanente - seguimiento de una señal de referencia sin error en régimen permanente - eliminar el efecto de perturbación sobre la salida del sistema

Respuesta transitoria adecuada - transitorio suficientemente rápido - amortiguamiento adecuado

G(s)Y(s)W(s) E(s)

+-

D(s)V(s)

++

H(s)

4

Error en régimen permanente de un sistema realimentado

G(s)Y(s)W(s)

+-

D(s)V(s)

++

)(lim)(lim0

ssEteestss

Ante un cambio en la referencia o perturbación, ¿Que valor toma el error e(t) cuando se alcance estado estacionario?

(1/2)

H(s)

5

Error en régimen permanente de un sistema realimentado

errorw(t)

v(t)

(2/2)

6

ANÁLISIS DE ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO

Si la salida de un sistema de control en estado estacionario no coincide exactamente con la entrada se dice que el sistema tiene un error en estado estacionario

7

Los errores se pueden atribuir a muchos factores siendo los más importantes: A.-Variación en la entrada

de referencia B.-La imperfección de

componentes, fricción, envejecimiento, deterioro

8

Señal de error

H(s)

G(s)Y(s)W(s) E(s)

+-

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

E s W s H s Y sY s G s E s

1 ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )1 ( ) ( )

G s H s E s W s

E s W sG s H s

(1/2)

9

Señal de errorEl error en estado estacionario:

)(lim)(lim0

ssEteestss

0

1lim ( )1 ( ) ( )ss s

e s W sG s H s

1 2

(1 )(1 )......( ) ( )(1 )(1 ).....

a bN

K T s T sG s H ss T s T s

Polo en el origen de multiplicidad NN = el tipo de sistema

Un sistema es denominado de tipo 0 si N=0.Un sistema es denominado de tipo 1 si N=1.Un sistema es denominado de tipo 2 si N=2Etc.

Clasificación distinta de la del orden de un sistema

(2/2)

10

Error ante una entrada de referencia escalón

t

y(t)1

GGH

Y(s)sAsW )(

A

w(t)

w(t)

ess

H(s)

G(s)Y(s)W(s) E(s)

+-

(1/2)

11

Error ante una entrada de referencia escalón

00

1lim1 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 1ss s

ps

A A Ae sG s H s s G s H s K

donde 0lim ( ) ( ) (0) (0)p s

K G s H s G H

Coeficiente de error estático de posición (constante de error escalón)

10 NKe pss Si se desea un error estacionario cero para una referencia escalón, el tipo de sistema debe ser mayor o igual al 1 (GH debe tener al menos un polo en s=0). En caso contrario habrá un error estacionario finito inversamente proporcional a Kp.

(2/2)

CONCLUSIÓN: Ante una entrada escalón, un sistema realimentado sin integradores en lazo abierto (tipo 0) produce un error en régimen permanente, que se puede reducir aumentando la ganancia del lazo. Un sistema de tipo 1 o superior sigue a una entrada escalón sin error.

12

Error ante una referencia rampa

G(s)Y(s)W(s) E(s)

+-

H (s)

1GGH

Y(s)2)(sAsW

w(t)=Atw(t)

ess

0t

y(t)

(1/2)

13

Error ante una referencia rampa

20 0

0

0 0

1lim lim1 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( )

lim lim( ) ( ) ( ) ( )

ss s s

s

s sv

A Ae sG s H s s s G s H s

A A As sG s H s sG s H s K

donde0

lim ( ) ( )v sK sG s H s

Coeficiente de error estático de velocidad

(constante de velocidad)

20 NKe vssSi se desea un error estacionario cero para una referencia rampa, el tipo de sistema debe ser mayor o igual al 2 (GH debe tener al menos dos polos en s=0)

0 :2 :1 0 :0

ssv

ssv

ssv

eKNcteecteKN

eKNUn sistema tipo cero es incapaz de seguir una entrada rampa en estado estacionario. El sistema tipo 1 puede seguir a la referencia rampa con un error finito.

(2/2)

Significado de «Posición» y « Velocidad »

Se denomina «posición » a la salida. Se denomina « velocidad» a la razón de cambio de

la salida. Esto significa que, en un sistema de control de

presión: «posición » representa la presión de salida

« velocidad» representa la razón de cambio de la presión de salida

14

15

Error ante una referencia parábola

G(s)Y(s)W(s) E(s)

+-

H (s)

1GGH

Y(s)3)(sAsW

w(t)

ess

0t

y(t)

2)(

2tAtw

(1/2)

16

Error ante una referencia parábola

3 20 0

0

2 2 20 0

1lim lim1 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( )

lim lim( ) ( ) ( ) ( )

ss s s

s

s sa

A Ae sG s H s s s G s H s

A A As s G s H s s G s H s K

donde 2

0lim ( ) ( )a s

K s G s H s

Coeficiente de error estático de aceleración (constante de aceleración)

30 NKe assSi se desea un error estacionario cero para una referencia parábola, el tipo de sistema debe ser mayor o igual al 3 (GH debe tener al menos tres polos en s=0)

0 :3 :2 0 :1 0 :0

ssa

ssa

ssa

ssa

eKNcteecteKN

eKNeKN

Los sistemas tipo 0 y 1 son incapaces de seguir una referencia parábola en estado estacionario. El sistema tipo 2 puede seguir a la referencia parábola con un error finito.

(2/2)

17

Errores en lazo cerrado: cambios en la referenciaResumen

0 0 0 3 cte 0 0 cte 2 cte 0 0 cte 1

cte 0 0 cte 0 2

naceleració rampa escalón sistema Entrada Entrada Entrada error de Constantes Tipo

2

Atr(t)Atr(t)Ar(t)KKKN avp

Para que estos resultados sean válidos, el sistema en lazo cerrado debe ser estable.Ya que el análisis de error se basa en el empleo del teorema del valor final de la transformada de Laplace, es importante primero revisar si sE(s) tiene algún polo sobre el eje j o en el semiplano derecho del plano s.

18

19

Lazo cerrado

( ) ( )( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

G s D sY s W s V sG s H s G s H s

Las características básicas de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado son determinadas por los polos de lazo cerrado. Por tanto, en problemas de análisis es importante ubicar los polos de lazo cerrado en el plano s.

Polos en lazo cerrado Raíces de la ecuación característica

Su localización determina la estabilidad del sistema de control en lazo cerrado.

H(s)

G(s)Y(s)W(s) E(s)

+-

D(s)V(s)

++

20

Estabilidad (BIBO)

Im(s)

Re(s)Plano s

ESTABLE INESTABLE

Polos en el semiplano izquierdo: sistema estable Si por lo menos uno de los polos no está en el semiplano izquierdo: sistema

inestable Polos simples sobre el eje j y ninguna en el semiplano derecho: sistema en

el límite de estabilidad (marginalmente estable) Si por lo menos un polo múltiple está en el eje imaginario: sistema inestable

Un sistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotadaUn sistema es inestable si cualquier entrada acotada produce una salida no acotada

21

EstabilidadEjemplos

2

2

20( ) estable( 1)( 2)( 3)

20( 1)( ) inestable por el polo 1( 1)( 2 2)

20( 1)( ) límite de estabilidad debido a 2( 2)( 4)

10( )( 10

G ss s s

sG s ss s s

sG s s js s

G ss

2 2 inestable por los polos de orden múltiple 2

)( 4)s j

s

(1/3)

22

EstabilidadEjemplos

Los polos del sistema en lazo cerrado

Sistema estable

(2/3)

Respuesta ante un escalon unitario

23

3 2

3 2

( ) 3 3( ) ( 1)( 2) 3 3 2 3

3 2 3 0( . ) polos

-2.6717 -0.1642 + 1.0469i -0.1642 - 1.0469i

C sR s s s s s s s

s s s Ec caracteristicaLos

24

Programa en MATLAB

N=[0 0 0 3]; D=[1 3 2 3]; T=0:0.1:6; step(N,D,T);grid

25

26

27

EstabilidadEjemplos

Los polos del sistema en lazo cerrado

Sistema inestable

(3/3)

Respuesta ante un escalon unitario

28

29

3030

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

• Dice si hay o no raíces positivas en una ecuación polinómica sin necesidad de resolverla

• Aplicado a un sistema de control, se puede obtener directamente información acerca de la estabilidad a partir de los coeficientes de la ecuación característica, sin necesidad de determinar los polos del sistema en lazo cerrado

(1/6)

3131


Procedimiento:

1. Escribir el polinomio en s en la siguiente forma:

0reales

0...

0

011

1

aa

asasasa

i

nn

nn

2. Si cualquiera de los coeficientes es cero o negativo en la presencia de por lo menos un coeficiente positivo, hay una raíz o raíces que son imaginarias o que tienen partes reales positivas. En tal caso el sistema no es estable.

(2/6)

3232


Condiciones necesarias pero no suficientes para que el sistema sea estable:

• Todos los coeficientes ai tengan el mismo signo.

• Ningún ai=0

3. Si todos los coeficientes son positivos, se agrupan en filas y columnas según la tabla:

(3/6)

3333


...000

...000

...11

...11

...

...

010

11

4331

51

11

31512

21

31

11

21311

3

4351

4

11

5412

31

2

11

3211

2

75311

642

agsfs

ccbb

aabb

baabcbb

aabb

baabcs

bbaaaa

aaaaaab

aaaa

aaaaaabs

aaaasaaaas

nnnnnnnnn

nn

nn

nn

nnnn

nn

nn

nn

nnnnn

nnnnn

nnnnn

El conjunto completo de los coeficientes es triangular.

La cantidad de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna de la tabla.

(4/6)

3434


Condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación queden en el semiplano izquierdo:

• Todos los coeficientes ai de la ecuación sean positivos

• Todos los términos en la primera columna de la tabla tengan signo positivo. El polinomio tiene tantas raíces con parte real positiva como cambios de signo que se producen en la primera columna de la tabla.

(5/6)

35

CASOS ESPECIAL(1)Si un termino de la primera columna en cualquier fila es cero pero los

términos restantes no son ceros este termino se sustituye por un número

positivo pequeño para encontrar los elementos de la siguiente fila.

3 2

3

2

1

0

2 2 0

1 12 2

# positivo pequeño0

2

s s s

ssss

36

CASOS ESPECIAL(2)Si todos los coeficientes calculados en una fila son cero, esto

indica que en plano complejo “S” hay dos raíces de igual valor con signo opuesto (pueden ser reales o imaginarios)

5 4 3 2

5

4

3

2

1

0

2 24 48 25 50 0

1 24 252 48 50

0 8 0 9624 50

112.60 050

s s s s s

ssssss

INESTABLE

37

CASOS ESPECIALES(2)

Se forma un polinomio auxiliar P(S) con lo coeficientes del ultimo renglón antes de la fila de ceros.

Los coeficientes de “dP/ds” se reemplazan en la fila de ceros.

sssPluego

ssP S

968:

50482

3

24

3838

EJERCICIO 1.-Determinar los parámetros de un sistema para obtener estabilidad

Ejemplo:

Función de transferencia en lazo cerrado

Ks

KsKs

sKsss

KsT

0

2

3

23

181386

187717718

)(

0<K<1386: sistema estable: 3 polos en el semiplano izquierdo

K>1386: sistema inestable: dos cambios de signo en la primera columna: dos polos en el semiplano derecho

(6/6)

K=1386 Limite de estabilidad(marginalmenteEstable)

39

ESTABILIDAD APLICADA A MODELOS EN ESPACIO DE ESTADO Sea:

El sistema es asintóticamente estable si todos los términos de la matriz de transición de estado, tiende a cero cuando el tiempo “t” tiende al infinito. Por consiguiente un sistema presenta estabilidad asintótica

X Ax B

Y Cx D

40

1

11

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) At

X Ax

X Ax

SX s X o AX s

X s SI A X o

X s SI A X o

X s S X o

x t SI A X o

x t t x o

t e

L L

L

41

2

1

2 3

21 1

2 3

2

( ) ......

[ ( )] [ ......]

( ) ...............2!

( ) ( de transicion de estado)At

I A As SI As s s

I A Ass s sAtt I At

t e Matriz

L L

La determinante de [SI-A] se denomina ecuación característica, por consiguiente la estabilidad asintótica se satisface si todas las raíces o valores propios de la det [SI-A] se localizan en el semiplano izquierdo.

42

EJERCICIO 2.-

Se tiene la siguiente ecuación de estado, determinar el intervalo de k para que el sistema sea estable

1

2

3

1

2

3

0 1 0 00 0 1 06 8 6 1

6 0 0

XX X r

k X

XY k X

X

43

HALLAMOS

0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 1 0 10 0 6 8 6 6 8 6

SI A

S SS S

S k k S

44

1

3 2

3

2

1

0

det

El denominador es la ecuacion caracteristicadet 0

6 8 6 0

1 86 6

48 66

648 6 0 48 6

6

adj SI ASI A

SI A

SI A

S S S k

SS k

kS

S kk k

0 < k < 8 Para que el sistema sea estable k debe mantenerse en ese intervalo

45

EJERCICIO 3

La función de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentación unidades:

a) Calcular los coeficientes estáticos de error ( Kp, Kv, Ka ) del sistemab) Obtener el error estacionario del sistema cuando se somete a una entrada polinómica de la forma:r(t) = a0 + a1 t + a 2t2 / 2

46

0 0

0 0

2 2

0 0

)100lim ( ) ( ) lim

( 10)100lim ( ) ( ) lim 10

( 10)100lim ( ) ( ) lim 0

( 10)

p s s

v s s

a s s

a

K G s H sS S

K SG s H s SS S

K S G s H s SS S

b) El error en estado estacionario es infinito. Un sistema tipo 1 no puede seguir una entrada parabólica

47

EJERCICIO 4

Considérese el sistema de la Figura siguiente Si la señal de entrada es de la forma r(t) = 2 - t , calcular el error estacionario

48

2

2

0 0

2

2 20

señal error con entrada R(s) y H(s)=11( ) R( )

1 ( ) ( )2 1R(s)

2 1

lim ( ) lim 251( 6)

( 6)(2 1) 6lim( 6 25) 25

ss s s

ss s

La

E s sG s H s

S S

S Se SE s S

S S

S S SeS S S

Documents

2.3.- Essyestabilidad