Tema 11DERIVADASY GRFICAS

Apuntes 1 Bachillerato CT

Tema 11.5 * 1 BCTDERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

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LMITES EN TRIGONOMETRAObservar la figura.El radio de la circunferencia trigonomtrica es la unidad.Tenemos el ngulo x, el sen x, el arco de longitud x y la tg x

Podemos poner:sen x < x < tg x Dividiendo todo entre sen x queda:sen x x tg x-------- < --------- < ----------- sen x sen x sen x x 1 < --------- < cos x sen x

Cuando x 0 1 < 0 / sen 0 < cos 0 0Es decir 1 < 0 / sen 0 < 1 Lo que obliga a que --------- = 1 sen 0 xxsen xtg x

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DERIVADAS TRIGONOMTRICASSea f(x) = sen xAplicando la definicin de derivada de una funcin: f (x + h) - f(x) sen (x+h) sen xf (x) = lm ------------------- = lim ------------------------ = h 0 h h0 h

Aplicando la conversin de sumas en productos de trigonometra: 2.cos [(x+h+x)/2] . sen [(x+h x)/2] f (x) = lm ------------------------------------------------ = h 0 h

sen (h/2) sen h/2 = lm cos [x+(h/2)] . ------------- = cos x . Lim ------------ = cos x . 1 = cos x h 0 h/2 h0 h/2

Puesto que hemos visto antes que el ltimo lmite vale 1

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DERIVADAS TRIGONOMTRICASSea f(x) = cos xAplicando la definicin de derivada de una funcin: f (x + h) - f(x) cos (x+h) cos xf (x) = lm ------------------- = lim ------------------------ = h 0 h h0 h

Aplicando la conversin de sumas en productos de trigonometra: - 2.sen [(x+h+x)/2] . sen [(x+h x)/2] f (x) = lm ------------------------------------------------ = h 0 h

sen (h/2) sen h/2 = lm - sen [x+(h/2)] . ------------- = - sen x . Lim ------------ = - sen x h 0 h/2 h0 h/2

Puesto que se puede comprobar que el ltimo lmite vale 1

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DERIVADAS TRIGONOMTRICASSea f(x) = tg xAplicando la definicin de tangente:tg x = sen x / cos xDerivando como una divisin de funciones que es:

cos x. cos x sen x. (- sen x) (cos x)2 + (sen x)2 1f (x) = ------------------------------------------- = ------------------------ = ---------- (cos x)2 (cos x)2 (cos x)2

Como 1/ cos x = sec xQueda:

f (x) = 1 / cos2 xO tambinf (x) = sec2 x

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OTRAS DERIVADAS TRIGONOMTRICASSea f(x) = sec xAplicando la definicin de secante:sec x = 1 / cos xY se derivara como una divisin (- sen x) sen x tg xf (x) = ---------------- = ------------ = ---------- (cos x)2 (cos x)2 cos x

Sea f(x) = cosec xAplicando la definicin de cosecante:cosec x = 1 / sen xY se derivara como una divisin cos x - cos x - 1f (x) = -------------- = ------------ = ---------------- (sen x)2 (sen x)2 tg x . sen x

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OTRAS DERIVADAS TRIGONOMTRICASSea f(x) = cotg xAplicando la definicin de secante:cotg x = cos x / sen xY se derivara como una divisin ( sen x).sen x cos x. cos x (sen x)2 (cos x)2 1f (x) = ----------------------------------------- = --------------------------- = ---------- (sen x)2 (sen x)2 (sen x)2

Sea f(x) = sen g(x)Sea f(x) = cos g(x) Sea f(x) = tg g(x)Etc

Se aplicara la Regla de la Cadena para funciones compuestas.

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Ejemplosy = sen x2 y = cos x2 . 2x

y = cos x3 y = - sen x3 . 3x2

y = ln sen x y = cos x / sen x = cotg x

y = log cos x y = (- sen x / cos x) / ln 10

y = sen ln x y = cos ln x . (1 / x)

y = sen3 x y = 3. sen2 x . cos x

y = cos5 x3 y = 5. cos4 x3 . ( sen x3). 3x2

y = sen x y = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x

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Tema 11.6 * 1 BCTDERIVADAS TRIGONOMTRICASINVERSAS

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DERIVADAS DEL ARCO SENOSea f(x) = arcsen xEs la funcin inversa de f(x) = sen xSu dominio est limitado a [-/2, /2], pues sino no sera funcin.Como y = sen x e y = arcsen x son funciones inversas:sen(arcsen x) = x

Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:(cos(arcsen x)).(arcsen x) = 1 Como sabemos que: (sen(arcsen x))2 + (cos(arcsen x))2 = 1Tambin sabemos que sen(arcsen x) = x Luego x2 + (cos(arcsen x))2 = 1 (cos(arcsen x)) = (1 - x2)Despejando:(arcsen x) = 1 / (cos(arcsen x))

Resultando que f (x) = 1 / (1 - x2)

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DERIVADAS DEL ARCO COSENOSea f(x) = arccos xEs la funcin inversa de f(x) = cos xSu dominio est limitado a [-/2, /2], pues sino no sera funcin.Como y = cos x e y = arccos x son funciones inversas:cos(arccos x) = x

Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:(- sen(arccos x)).(arccos x) = 1 Como sabemos que: (sen(arccos x))2 + (cos(arccos x))2 = 1Tambin sabemos que cos(arccos x) = x Luego (sen(arccos x))2 + x2 = 1 (sen(arccos x)) = (1 - x2)Despejando:(arccos x) = 1 / (- sen(arccos x))

Resultando que f (x) = 1 / (1 - x2)

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DERIVADAS DEL ARCO TANGENTESea f(x) = arctg xEs la funcin inversa de f(x) = tg xSu dominio es todo R.Como y = tg x e y = arctg x son funciones inversas:tg(arctg x) = x

Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:(1 / (cos(arccos x))2).(arctg x) = 1 Como sabemos que: 1 / (cos(arccos x))2 = (sec(arctg x))2Tambin sabemos que (sec(arctg x))2 = (tg(arctg x))2 + 1 Y por ltimo como tg(arctg x) = x (sec(arctg x))2 = x2 + 1Despejando:(arctg x) = 1 / (x2 + 1)

Resultando que f (x) = 1 / (x2 + 1)

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Ejercicios propuestosAplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de:

y = arcsen x2 y =

y = arccos x3 y =

y = ln arcsen x y =

y = log arctg x y =

y = arctg ex y =

y = arcsen3 x y =

y = arccos5 x3 y =

y = arcsen ex y =

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