REPRESENTAÇÕES DE FOURIER PARA SINAIS CONTÍNUOS – SÉRIE

TRIGONOMÉTRICA

• Qualquer função periódica prática de frequencia ωo pode serexpressa com uma soma infinita de funções seno ou cossenocom múltiplos inteiros de ωo .

• A série de Fourier de uma função periódica f(t) é arepresentação que separa f(t) em um componente CC e umcomponente CA, contendo uma série infinita de senóidesharmônicas.

f(t) de médioou valor dc componentea ac) componente do senóides das plitudeFourier(am de escoeficient b e a

f(t) de harmônicasnth t)cos(nou t)sin(n lFundamenta Frequência2

onn

oo

→→

→→= ωωπωT

o

Série Trigonométrica de Fourier de f(t)

• Para ter-se uma série de Fourier convergente f(t) deve:– Ter apenas um valor para cada t– Ter um número finito de descontinuidades finitas em um período.– Ter um número finito de máximos e mínimos em um período.

• A principal tarefa na série de Fourier é a determinação doscoeficientes de Fourier a0 ,an e bn . O processo dedeterminação dos coeficientes é chamado Analise de Fourier.

• Integrais trigonométricas úteis na análise de Fourier:

∞<∫+Tto

to

dttf )(

• Integrais trigonométricas úteis na análise de Fourier:

• Expressão de a0:

a0 é o valor médio de f(t)

• Expressão de an:

• Similarmente como obteve-se a expressão de an, obtém-se a expressão de bn :

• Desde que f(t) é periódica, pode ser mais conveniente atribuiros limites de integração de –T/2 a T/2 ou generalmente de to a to+T em vez de 0 a T.

• Forma alternativa da série de Fourier é a forma amplitude-fase:

• Espectro de frequencia de um sinal consiste em plotar aamplitude e a fase das harmônicas versus a frequencia.

• Para avaliar os coeficientes Fourier a0 ,an e bn ,frequentemente precisamos aplicar as seguintes integrais:

Amplitude decai rápido com a frequencia

SIMETRIA• Serve para saber antecipadamente quaL coeficiente será

zero.

• SIMETRIA PAR

SIMETRIA PAR

SIMETRIA PAR

SIMETRIA PAR

SIMETRIA IMPAR

SIMETRIA IMPAR

SIMETRIA IMPAR

• Qualquer função periódica que não é par nemímpar pode ser decomposta em partes pares e ímpares.

• par.par=par• Ímpar.ímpar=par• Ímpar.par=ímpar• par+(-)par=par• ímpar +(-) ímpar= ímpar

SIMETRIA DE MEIA ONDA• Um meio ciclo é a versão invertida do meio ciclo

adjacente.

SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER

• Uma maneira resumida de expressar a sérietrigonométrica é colocá-la na forma exponencial.